METODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN VIGAS: VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA
w 2
2
wl /12
wl /12
A
B l
VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA
w 2
+ A
2
wl /12
B
wl /12
A
B
l
l
δ1
δ2
δ = δ1 + δ2 VIGA SIMPLEMENTE APOYADA Sea la viga simplemente apoyada AB con una fuerza uniformemente distribuida w Obtener la expresion para δ = δ (w, l, E, I) Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l w M wl/2
x
∑ M = M = 0 M + wx . x/2 - wl/2 . x = 0 2
M = -wx /2 + wlx/2
…………….(3)
Aplicando la carga unitaria Se sabe que la deflexion máxima ocurre en l/2; así: 1
A
B l
1/2
1/2
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l/2
Cuando l/2 ≤ x ≤ l
1
m 1/2
x
m 1/2
x l /2
∑ M = M = 0 m - 1/2 . x = 0 m = x/2
…………….(4)
x - l/2
∑ M = M = 0 m + 1 . (x - l/2 ) - 1/2 . x = 0 m = -x/2 + l/2 …………….(5)
Cálculo de la deflexion vertical δ = ∫Mm/EI dx …………….(6) Cuando 0 ≤ x ≤ l/2 Reemplazando (3) y (4) en (6) 2
δ = 1/ EI ∫ (-wx /2 + wlx/2) (x/2) dx 4
3
δ =-w/4EI * (x /4 - lx /3) 4
δ = 5/768 wl /EI
l/2 0
Cuando l/2 ≤ x ≤ l Reemplazando (3) y (5) en (6) 2
δ = 1/ EI ∫ (-wx /2 + wlx/2) (-x/2 + l/2) dx 4
…………….(7)
4
δ = 5/768 wl /EI
Luego (7) + (8) δ1 =
4
5/384 wl /EI
3
2 2
l
δ = w/4EI * (x /4 - 2lx /3 + l x /2) l/2
…………….(9)
VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA Sea la viga doblemente empotrada AB con momentos concentrados en sus extremos wl2/12 Obtener la expresion para δ = δ (w, l, E, I)
…………….(8)
2
2
wl /12
wl /12
A
B l
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l 2
M
wl /12
A x ∑ M = 0 2
M + wl /12 = 0 2
M = -wl /12
…………….(10)
Aplicando la carga unitaria Se sabe que la deflexion máxima ocurre en l/2; así: 1 2
2
wl /12
wl /12
A
B l
1/2
1/2
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l/2 (de izquierda a derecha)
Cuando 0 ≤ x ≤ l/2 (de derecha a izquierda)
m
m
x
x
1/2
1/2
∑ M = 0 m - x/2 = 0 m = x/2
…………….(11)
∑ M = 0 m - x/2 = 0 m = x/2
Luego, cálculo de la deflexion vertical Cuando 0 ≤ x ≤ l/2 Reemplazando (10) y (11) en (6) 2
δ = 1/ EI ∫ (-wl /12) (x/2) dx 2
δ =-w/48EI * (x )
l/2 0
4
δ = -1/182 wl /EI
…………….(13)
Para el caso cuando l/2 ≤ x ≤ l, por simetria se obtiene el mismo valor de (13); por lo que, la deflexion debido a los momentos concentrados será: 4
δ2 = -1/96 wl /EI
…………….(14)
Finalmente (9) + (14) δ=
4
1/384 wl /EI
…………….(15)
…………….(12)
METODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN VIGAS: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA w A
B l Sea la viga simplemente apoyada AB con una fuerza uniformemente distribuida w Obtener la expresion para δ = δ (w, l, E, I)
Calculo de reacciones wl w A
B l
RA
RB
∑ Fv = 0 RA + RB = wl
…………….(1)
Por simetría: R A = RB
…………….(2)
Luego (2) en (1) RA = RB = wl/2
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l w M wl/2
x
∑ M = 0 M + wx . x/2 - wl/2 . x = 0 2
M = -wx /2 + wlx/2
…………….(3)
Aplicando la carga unitaria Se sabe que la deflexion máxima ocurre en l/2; así: 1
A
B l
1/2
1/2
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l/2
Cuando l/2 ≤ x ≤ l
1
m 1/2
x
m 1/2
x l/2
∑ M = 0 m - 1/2 . x = 0 m = x/2
…………….(4)
∑ M = 0 m + 1 . (x - l/2 ) - 1/2 . x = 0 m = -x/2 + l/2
x - l/2
…………….(5)
Cálculo de la deflexion vertical δ = ∫Mm/EI dx …………….(6) Cuando 0 ≤ x ≤ l/2 Reemplazando (3) y (4) en (6) 2
δ = 1/ EI ∫ (-wx /2 + wlx/2) (x/2) dx 4
3
δ =-w/4EI * (x /4 - lx /3) 4
δ = 5/768 wl /EI Luego (7) + (8) 4
δ = 5/384 wl /EI
l/2 0
Cuando l/2 ≤ x ≤ l Reemplazando (3) y (5) en (6) 2
δ = 1/ EI ∫ (-wx /2 + wlx/2) (-x/2 + l/2) dx 4
3
2 2
δ = w/4EI * (x /4 - 2lx /3 + l x /2) l/2 …………….(7)
4
δ = 5/768 wl /EI
l
…………….(8)
METODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN VIGAS: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA p
A
C
B l
Sea la viga simplemente apoyada AB con una fuerza concentrada P Obtener la expresion para δ = δ (P, l, E, I) Calculo de reacciones por proporciones: P
A
C
B
al
bl l
RA
RB
Por proporciones: RA = bP
…………….(1)
RB = aP
…………….(2)
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ al
Cuando al ≤ x ≤ l
P
M
M
A
A
C al
x - al
x
x
bP
bP
∑ M = 0 M - bP . x = 0 M = bPx
∑ M = 0 M + P . (x - al) - bP . x = 0 M = -aPx + aPl
…………….(3)
…………….(4)
Aplicando la carga unitaria Se sabe que la deflexion máxima ocurre en C; así: 1
A
C
B
al
bl l
b
a
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ al
Cuando al ≤ x ≤ l
1
m
m A
b
C
x
al
x - al x
b ∑ M = 0 m-b.x=0 m = bx
…………….(5)
∑ M = 0 m + 1 . (x - al ) - b . x = 0 m = -ax + al
…………….(6)
Cálculo de la deflexion vertical δ = ∫Mm/EI dx …………….(7) Cuando 0 ≤ x ≤ al Reemplazando (3) y (5) en (7) δ = 1/ EI ∫ (bPx) (bx) dx 2
3
δ = b P/ EI * x /3 2 3
3
δ = (b a /3)P l /EI Luego (8) + (9) 2 2
3
δ = (a b /3)P l /EI
al
Cuando al ≤ x ≤ l Reemplazando (4) y (6) en (7) δ = 1/ EI ∫ (-aPx + aPl) (-ax + al) dx 2
3
2
2
δ = a P/ EI * (x /3 – lx + l x) al
0
…………….(8)
2
3
2
l
3
δ = *a (-a + 3a - 3a + 1)/3] Pl /EI
…………….(9)
METODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN VIGAS: VIGA EN VOLADIZO P
A
l
B
Sea la viga en voladizo AB con una fuerza concentrada aplicada en su extremo A Obtener la expresion para δ = δ (P, l, E, I) Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l P M x ∑ M = 0 M+P.x=0 M = -Px
…………….(1)
Aplicando la carga unitaria Se sabe que la deflexion máxima ocurre en A; así: 1
l A
B
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l 1 m x
∑ M = 0 m+1.x=0 m = -x
…………….(2)
Cálculo de la deflexion vertical δ = ∫Mm/EI dx …………….(3) Cuando 0 ≤ x ≤ l Reemplazando (1) y (2) en (3) δ = 1/ EI ∫ (-Px) (-x) dx 3
δ = P/ EI * x /3 3
δ = 1/3 Pl /EI
…………….(4)
METODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN VIGAS: VIGA EN VOLADIZO w
A
l
B
Sea la viga en voladizo AB con una fuerza uniformemente distribuida w Obtener la expresion para δ = δ (w, l, E, I)
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l w M x ∑ M = 0 M + wx . x/2 = 0 2
M = -wx /2
…………….(1)
Aplicando la carga unitaria Se sabe que la deflexion máxima ocurre en A; así: 1
A
B
Diagrama de Cuerpo Libre Cuando 0 ≤ x ≤ l 1 m x
∑ M = 0 m+1.x=0 m = -x
…………….(2)
Cálculo de la deflexion vertical δ = ∫Mm/EI dx …………….(3) Cuando 0 ≤ x ≤ l Reemplazando (1) y (2) en (3) 2
