Preguntas propuestas
Geometría Triángulos, Cuadriláteros y Circunferencia NIVEL BÁSICO
A)
37º
L
2 θ
B) 18º 1.
C) 14º
Si AB= BC , DE = DF y y a+b=130º, calcule x.
D) 8º
B
E) D
α
A
2.
H
2
E
x
B) 25º
A
β
80º
4.
D
C
C) 35º E) 45º 70º
A
Según el gráfico, calcule el valor de x. x
B
P
β θ θ
C
En el gráfico, ABCD ABCD es un rombo. Calcule la m PQ.
C
F
A) 20º D) 40º
B
53º
A) 30º D) 60º
β 5.
B) 40º
Q
C) 50º E) 70º
Del gráfico, calcule x.
x
80º
A) 120º B) 100º C) 150º D) 130º E) 145º 3.
x
Según el gráfico, calcule el valor de q si los triángulos ABC y y BHL son congruentes y BH = HC .
A) 25º D) 80º
B) 40º
C) 50º E) 100º
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Geometría A) 30º
NIVEL INTERMEDIO
6.
D)
Según el gráfico, calcule el valor de x. 10.
θ θ
x
A) 40º D) 15º 7.
C) 10º E) 20º
Dado un triángulo equilátero ABC se traza la altura AH , luego se ubica el punto P en BH . Si m PAB=15º y la distancia de H hacia AP es 1, calcule PC . A) 2 D)
8.
B) 30º
B)
6
3 6 2
4 6
C) E)
3
11.
153 m
C)
Calcule el número de lados de un polígono equilátero cuyo lado mide 4m si el número de diagonales es numéricamente igual al cuádruplo del número que expresa su perímetro.
Si P, T , D y Q son puntos de tangencia, PB=3 y CD=7, calcule x.
D P
3
T
3 6
x
3
A
9.
C
B) 37º
C) 37º/2
D) 53º/2
E) 16º
En la figura, m AQE + m BPT = 190º y
127 m m ED
E) 8 m
=
C
130º.
Calcule m TC .
E
Según el gráfico, calcule el valor de x si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, AF = FC y el cuadrilátero EFGD es un cuadrado. B
Q
A) 30º
D) 11 m
2
E) 15º
2
2 6
12.
B)
37º
53º
B
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases BC y AD miden 5 m y 13 m respectivamente, y la m BCA=m ACD. Calcule la longitud de la altura del trapecio. A) 12 m
C)
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
α α
40º
B) 37º
Q
A
B
D
P
x
T F
E
C
G
D
A) 70º D) 80º
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B) 50º
C) 40º E) 90º
Geometría 13.
Si P, T y Q son puntos de tangencia, calcule x.
17.
a
x
T
A) 7 D) 6
Q
x
18.
2a
P
A) 45º D) 75º
Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD donde BD=12 y m ABD=90º. Calcule el mínimo valor entero que puede tomar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. B) 8
Si ABCD es un cuadrado, calcule x. A) 74º
B) 53º
C) 60º E) 50º
C) 2 E) 4
B
C x
B) 53º C) 60º D)
NIVEL AVANZADO
127º 2
E) 75º 14.
30º
En el gráfico, si AB= DC , calcule x. A
D
B 19. 13 x
Del gráfico, P, S y T son puntos de tangencia. Si 9 r =4 R, calcule la m PAT .
7 x
P
D
2 x
3 x
A
A) 5º D) 9º 15.
r
C
B) 6º
C) 8º E) 10º
A) 36º D) 20.
16.
B) 2
C) 2 E) 3
3
B) 40º
C) 53º E) 36º
B) 34º
O1
B
T
C) 37º
69º
E) 30º
2
Según la figura, ABOC es un cuadrado y M es centro de dicho cuadrado. Calcule la m PE .
B
A
Se tiene un triángulo rectángulo BAC recto en A. En la prolongación de AB y en la región exterior relativa a BC se ubican los puntos M y N , respectivamente, de tal forma que m MBN =m ACB y AC =2( BN ). Calcule la m BNE siendo E punto medio de AC . A) 60º D) 45º
O
A
Se tiene un triángulo equilátero ABC . En la región exterior y relativa a BC se ubica el punto D, de tal manera que la m BDC =60º y CD=4. Calcule la distancia de A hacia CD. A) 4 D) 3 3
S
R
P E
M
O
C
A) 10º D) 15º
B) 8º
D
C) 12º E) 9º
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Geometría Proporcionalidad de segmentos, Semejanza de triángulos y Relaciones métricas I 4.
NIVEL BÁSICO
En el gráfico, MN = NH y HL=a. Calcule AH . M
1.
Del gráfico, 2( AC )=5( AB), BD=6. Halle CD. N
B
A
L
A
2α
H
D
A) 2 a D) 4a
B) 6a
C) 3a E) 8a
α
C
A) 8 D) 12 2.
B) 9
5.
Si A y B son puntos de tangencia, PM =4, MN =5 y DN =7, halle AP+ PB.
C) 10 E) 15
B P
Del gráfico, BC =2( AB)=4. Halle CD ( B y C son puntos de tangencia).
M A N
D
D
A
A) 10 D) 14 B
A) 6 D) 8 3.
B) 4
B) 11
C) 12 E) 15
C
C) 3
2
6
NIVEL INTERMEDIO
E) 8
2
Del gráfico, AB=2, BC =3 y BD
=
2. Halle BE .
6.
Si BH =1 y BC =4, calcule AH .
A D
B E C C
A) 2 3 B) 6 C) 3 2 D) 4 2 E) 8 2
A) D)
3 2
5 4
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B
B)
4 3
H
C) E)
A
1 2
6 5
Geometría 7.
En el gráfico mostrado, G es el baricentro de la región triangular ABC , FM // PQ y 2( BM )=5(QC ). Calcule AP si se sabe que excede en 2 m a FB.
11.
Según el gráfico mostrado, ABCD y DEFG son cuadrados. Calcule BF si MA=1m, AG=7m y GN =2m.
B
E B
F P
Q
A
2 cm
D) 3
3 cm
B) 7 m
C) 8 m E) 12 m
B) 4
C) 3
2 cm
E)
Si T es punto de tangencia, m TQ = m OAT , PT =a y OA= b, calcule R. T
R
Q A
B)
ab a+ b
C) 2 E)
ab
2 2 b − a
En un triángulo isósceles ABC ( AB= BC ), el lado AB es el diámetro de la semicircunferencia que interseca a los lados BC y AC en D y E , respectivamente. Si CD =4m y DB=8 m, calcule ED.
D) 2
B) 3 6µ
2µ
3µ 2µ
C) 4 E) 6
Según el gráfico, T , S y Q son puntos de tangencia. Si AB=9 y PB=7, calcule AT .
S B
Q
NIVEL AVANZADO
14.
Los lados de un triángulo ABC miden a=7m, b=8m y c=5m. Los lados AB y BC son tangentes a la circunferencia inscrita en los puntos M y N , respectivamente. Además se traza MQ // AC (Q ∈ BC ). Calcule la razón entre las longitudes de NQ y QM .
C) 2 2µ E) 3 3µ
T
A
P
A) A) 2m
C) 5 E) 7
2µ
B) 3
O
D) 2ab 10.
N
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH y las bisectrices interiores BM y BN de los triángulos ABH y CBH , respectivamente, tal que AM =1 y CN =8. Halle MN .
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 13,5
P
ab
G
4 3 cm
A)
B) 5
A) 2 D) 5
6 cm
13. 9.
D
A) 5 m D) 7m
En un triángulo isósceles ABC se traza la altura BH , tal que ( BC )( AH )=16 cm2. Calcule la longitud de la base AB. A) 3
A
C
12. 8.
C
M G
M
A) 5 m D) 10 m
F
D)
1
B)
5 2
2 5
C) E)
3
1 2 1 4
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Geometría 15.
A) 18 m D) 8 m
Del grafico, m SO 2(m DAI ), AG=6, además 2( DO)=3( DI ). Calcule AD.
=
D
18.
A R
B) 12 m
C) 9 m E) 6 m
En un triángulo ABC recto en B se trazan las bisectrices interiores AD y CE , las cuales se intersecan en I , tal que ( BE )( BD)=8. Halle la longitud del inradio de dicho triángulo ABC .
I
G
A) 1 D) 2 2
O
B) 2
C) 2 E) 4
S 19.
A) 6 D) 24 16.
B) 12
Si CD=2( BC )=4, calcule AB.
C) 18 E) 36
A
En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado y O es el centro del cuadrante EOD. Si DQ=9m y QC =7m, calcule FD.
B
C
C
B E F
D
Q
A) 2 D) 2,5 A O
A) 8 m D) 10m 17.
D
B) 12m
20.
B) 3
Si ND=2(CD), AB=6, BC =4, calcule CD.
C) 16m E) 14m
C
B
En el gráfico, m AP 60 º, EF // PB y ( AQ)( AE )=72 m2. Calcule AB.
P
C) 4 E) 3,5
=
D
E F
Q
A
N
R
A) 1 A
B
D) 2 2
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B) 2
C) 2 E)
2 3
Geometría Relaciones métricas II y Áreas de regiones triangulares 4.
NIVEL BÁSICO
1.
Del gráfico, S y R son puntos de tangencia. Calcule la razón de áreas de las regiones sombreadas.
Según el gráfico, AM =2 y MB=7. Calcule R.
S
R 74º A
A) 2 D) 3
M
R
B
B) 3
A)
C) 2 2 3
E)
2
D) 2.
En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B, se traza BK ( K es punto medio de CD), tal que ( BC )2+( AD)2=10 cm2 y ( BK )2+(CK )2=9 cm2. Calcule AB. A) 2 D)
2 cm
3 2
B) 3
2 cm
C)
5.
E)
2
I
A
A)
1 2
D) 2 2
C)
4
3
E)
2
9 16 7 24
4
B)
15
3
C)
17
1 6
6 2 cm
Del gráfico ABCD y DRSI son cuadrados. Calcule la razón de áreas de las regiones sombreadas.
B
5
3
2 cm
D) 3.
B)
En un triángulo ABC , AB=13, BC =20 y AC =21; áreas, se traza la altura relativa a AC . Calcule la razón de áreas triangulares determinadas por dicha altura. A)
cm
9
S
5
E)
16
1 2
NIVEL INTERMEDIO 6.
En el gráfico, T es punto de tangencia, G es baricentro de la región triangular ATB y TB=6. Calcule TD.
C
R
D
B) 2
A) 2 B) 2 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 6
D
T
H
B G
C) 4 E) 1
A
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Geometría 7.
Calcule el radio de la circunferencia inscrita a un trapecio isósceles en el cual el producto de las longitudes de las bases es 36. A) 2 D) 6
8.
B) 3
11.
C) 4 E) 3
En la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubican los puntos M , L y N , tal que M ∈ LA, AM = NC =1 cm, la m LBC =m LCB, luego se ubica el punto S en la región exterior relativa a CA, de modo que ( MS)2+( NS)2=8 cm2 y ( LS)2+( LB)2=9 cm2. Calcule BL.
La base de un triángulo isósceles mide 2 cm y las medianas relativas a los lados congruentes son perpendiculares. Calcule el área de la región que limita dicho triángulo. A) 4 cm 2 B) 3,5 cm2 C) 2 cm2 D) 1,5 cm2 E) 1 cm2
12.
En el gráfico, BL=a. Calcule el área de la región sombreada si L, T y G son puntos de tangencia. B
A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm 9.
L T
A) 1 D) 10.
A
En los lados AB y BC de un triángulo ABC se ubican los puntos M y N , respectivamente, de modo que MN determina regiones equivalentes, AM =1, MB=2 y BN =3. Calcule CN . B) 2
A)
E)
2
2 a
G
B)
2
D)
4 3
13.
Si A, P y T son puntos de tangencia, el triángulo ABC es equilátero y BT =2, calcule el área de la región sombreada.
C
2
2
a
C)
3
a
7 2
2
C) 3
3
N
a
E)
4
a
5
En el gráfico, BK // AS , AB=6 cm, ED=10 m y KB=5,5 m. Calcule el área de la región triangular ABS. B
B
T
A P
E
A
A) 1 D) 3
B) 2
C
C) 3 E) 4
A) 8,5 m 2 B) 10,5 m2 C) 7,5 m2 D) 9,5 m2 E) 6,5 m2
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S
K
D
Geometría A
K
NIVEL AVANZADO
B
S 14.
Si B y T son puntos de tangencia, BM = MA y AN =a, calcule NT . L
B M
A) 10
O
B) 1 1, 5 2 cm 2 C) 12
2
D) 12, 5 2 cm 2
A
N
2 cm
2 cm
2
E) 13, 5 2 cm 2
T 18.
A) a
B)
a
C)
2
D) a 2 15.
E)
a
3 a
4
Si T es punto de tangencia, DT =2 y AB=4, calcule AC . 19.
C
E
En un triángulo ABC , en AC se ubica el punto N , luego se trazan las mediatrices de NA y NC que intersecan a BA y BC en L y S, respectivamente. Si la m ABC =60º y ( AL)(CS)=36 m2, calcule el área de la región triangular LNS.
D O
A) 4
3 cm
D) 5
3 cm
3
B)
A
A) 4 D) 4 16.
B) 2 2
E)
D) 2
C) 3
20.
2
De la figura,
2m
2 cm
9 3 cm
3
3
C) 8 E) 6
5 2
LB
=
2 y AO=a. Calcule el área de
A L
C) 4 m E)
AL
la región sombreada.
2 6
O
B
S
2m
A) 17.
B) 15
=
B) 3 m
C) 4
En un triángulo ABC , AC =14, ( p – BC )( p – AB)=48 y el semiperímetro p de la región ABC es 21. Calcule la longitud de la altura relativa a CA.
En un triángulo ABC se sabe que AC 5 2 m; además se ubican los puntos M y N sobre AB y // BC , de modo que MN AC . Calcule MN para que las regiones MBN y AMNC sean equivalentes. A) 5 m
2
3
T
E)
2
cm
3
A) 10 D) 12 B
9 3
En la figura, A y B son puntos de tangencia; LK =9( SK )=9 cm y la m LKB=45º. Calcule el área de la región sombreada.
a2 2
B) a2 2
2 2
D) 2a
2
C) 3a2
E)
a2 4
2
2
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Geometría Áreas de regiones cuadrangulares y circulares 4.
NIVEL BÁSICO
Del gráfico A, B y m BC
1.
−
m AC
=
C son
30 º,
puntos de tangencia,
además,
R=6.
Calcule el
área de la región sombreada.
Si AB=4 m y CD=9 m, calcule el área de la región ABCD. ( B y C son puntos de tangencia).
A E R
C
B
B C A
O
A) 56 m 2 D) 57 m2
D
B) 50 m2
A) 15p D) 20p
C) 37 m2 E) 80 m2 5.
2.
B) 16p
C) 18p E) 36p
Según el gráfico, calcule
En un triángulo ABC , en AB se ubican los puntos L y K , tal que
AL 2
=
LK
=
KB 3
S S1
.
y luego en BC
se ubican los puntos N y S, tal que BN = NS= SC . Calcule la razón de las área de las regiones
S1
S
BKN y ALSC .
A) 1 D) 3.
B)
3
C)
10
2
E)
3
1 3 3
A) 1
4
D)
Si T es punto de tangencia, AO=OB, AB=8, calcule el área de la región sombreada.
B)
1 3
2
C) E)
11
2 11 1 4
NIVEL INTERMEDIO T
A
6.
O
A) p – 2 D) 4(p – 2)
B
B) 2(p – 1)
C) 2(p – 2) E) 8(p – 2)
Halle el área de la región de un rombo ABCD, si se sabe que el área de la región triangular 2 MNP es 4 m , además M , N y P son los puntos medios de AB, BC y AD, respectivamente. A) 8 m2 D) 18 m2
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B) 12 m2
C) 16 m2 E) 20 m2
Geometría 7.
El área de la región triangular ABC es 22 u , además sobre las prolongaciones de los lados BA y BC se consideran las longitudes AE =2( AB) y CF =3( BC ). Calcule el área de la región ACFE . A) 250 u2 D) 264 u2
8.
B) 242 u2
C) 238 u2 E) 232 u2
A) 36 p
5
AO OC
=
2
11.
y el área de la región
A) 116 u D) 176 u2
B) 136 u
13 π 2
M
C N
T
P
2
C) 156 u E) 196 u2
α α
A 9.
36 −
B
triangular OMD es 50 u , calcule el área de la región ABCD. 2
E)
Se muestra un romboide ABCD, AB=a y BC = b. Halle la razón de áreas del menor y mayor círculo. Considere que M , N , P, R y T son puntos de tangencia.
2
2
C) 9 – p
D) 10 – 2p
Sea ABCD un trapecio, O es la intersección de las diagonales y M es punto medio de la base mayor AD. Si
B) 15 – 2p
Del gráfico, m ANM =105º, AP = 6, M , N y P son puntos de tangencia. Calcule el área de la región sombreada.
A)
R
a
B)
b
D
2 a C) 2 b
a b
M
D)
ab
E)
( a + b)2
a− b a+ b
P 12.
A
A) 2p D) 10.
N
B)
π
2
3 8
C) p E)
π
Según el gráfico, ABCD es un rectángulo. Calcule la razón de área de las regiones sombreadas. Considere que P y Q son puntos de tangencia.
π
A
4
P
D
Q
En la figura, Q es punto de tangencia y ABCD es un cuadrado. Si AB=6, calcule el área de la región sombreada. B
C
C
A) 1
Q
D) A
B
D
B) 2
1
C) 3 E)
4
3 4
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Geometría 13.
En la figura, AM OB la región sombreada. =
=
B
2 2.Calcule el área de
M
A
C
T
P M
Q A O
A) 2 2π − 2 D)
3π
B) 3
2π −
B 1 2
C) 2
2
2π − 2π
E)
−1
A) 3 p D) p
−
2
1
17.
2
D
B) 4p
=
1 2
B
C
R
Se tiene un cuadrado ABCD. En la diagonal AC se ubican los puntos P y Q, tal que PBQD es un 2( AD), calcule la razón de rombo. Si 3( AP) área entre la región rombal y cuadrada. =
A) D)
2 3
B)
1 3
2 2
C) E)
A
A)
4 5 1 2
127 π −
D
B) 4p – 2
4
36
D) 4p – 3 18.
Según el gráfico, T , P, Q y M son puntos de
En un cuadrado ABCD se ubican los puntos P y Q en AD y CD, respectivamente. Calcule la razón de las áreas de las regiones ABP y LQC 1 si el área de la región cuadrada PLQD es del K área de la región ABCD. A) D)
16.
K
3 K
2
B) 2 K
.
A
A
P θ
E) K
M B
θ
Q
A) D)
1 3
1 9
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B
T
C) 2 K
En el gráfico, ABCD es un cuadrado donde M y N son puntos medios y AB = 2 5 + 2. Calcule el área de la región sombreada. Considere que P, T y Q son puntos de tangencia.
C) 4p – 1 E) 3p – 2
tangencia. Calcule 15.
C) 5p E) 2p
Del gráfico, una circunferencia está inscrita en el cuadrado ABCD. Si R 5, calcule el área de la región sombreada.
NIVEL AVANZADO
14.
N
B)
1 5
C) E)
1 6 1 4
Geometría 19.
Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores en H y de centros O y O'. Desde un punto L de la menor se trazan las tangentes LA y LB a la mayor, que son secantes a la menor en P y Q. Si H ∈ OL, m AB = 240 º y OA = 2 3, calcule el área del sector circular PO'Q. (O es centro de la mayor).
20.
Del gráfico, R=5 u y T es punto de tangencia. Calcule el área de la región sombreada. A) 5 p u2
C
C) A)
π
2
D) 3 p
B) 2p
C) p
E)
2π 3
72º
B) 25p u2 5π 2
u
T
2
R
D) p u2 E)
π
u
A
B
2
4
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Geometría Sólidos geométricos 4.
NIVEL BÁSICO
1.
Calcule el volumen del prisma recto ABCD - EFGH de base rectangular si AB=3, AC =5 y AE =2.
En una pirámide cuadrangular regular la altura y las aristas básicas son de longitud igual a 4, Calcule el área de la superficie lateral de dicho sólido. A) 8
A) 12
B) 16
E) 28 5.
2.
Según el gráfico, AB y CD son generatrices diametralmente opuestas. Calcule el volumen del cilindro de revolución. A
R R
C) 4
5
D) 5 5
C) 18
D) 24
B) 2
5
E) 16
5
Se tiene un cono de revolución, tal que el área de su superficie lateral es numéricamente igual a su volumen. Calcule la distancia del centro de la base a una de las generatrices. A) 2
C
5
B) 3
C) 4
D) 3,5
E) 1
NIVEL INTERMEDIO B
A)
2π R
3
D
B) p R3
D) 3p R3 3.
6.
C) 2p R3 3π R 3
E)
En el gráfico, los sólidos mostrados son de revolución. Si el volumen del cilindro es 16 p, calcule el volumen del cono mostrado.
En un prisma regular ABC - DEF , M es el punto de intersección de las diagonales de la cara lateral CBEF . Si DM =5 m y el ángulo entre DM y el plano de la base DEF mide 53º, calcule el volumen del prisma. A)
12 3
3
2
D) 15 7.
m
3m
B) 6
3m
3
3
C) 16 E)
3m
24 3 m
C
M
D)
16 π 3 2π 3
B)
8π 3
C)
E)
A
4π
3
A) 40 5 π D) 50p
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O
3 π
3
En el gráfico, AM = MB, MC =CO=10. Calcule el volumen del cilindro de revolución. B
A)
3
B) 20p
C) 100p E) 80 5 π
Geometría 8.
En el gráfico se muestra un cilindro de revolución. Si AM = MB=3 m y MP=2 m, calcule el volumen del cilindro. B
V
C C
B
M
A
P
A) 4 A
D
D) A) 9 p D) 9.
B) 18p
C) 36p
63π
E)
2
12.
81π 2
Si AP=3 y
m PBC =
53º 2
, calcule el volumen B)
de dicho cilindro. C) A
D)
P
E) C
A) 15 p D) 10.
B
B)
18 π
C)
5
125π
E)
4
13.
B) 3
C)
4
2 3
E) 6
3
En el gráfico se muestran 2 conos de revolución y m ABC =53º. Calcule la razón de los volúmenes de dichos sólidos. A)
En el gráfico se muestra un cilindro equilátero.
D
1
B
2
5 2 2 5 5 5 5 8
A
C
3 5 8
En el gráfico se muestra un cono de revolución. Si el área de la región trapecial isósceles ABOC es 3 3, calcule el volumen de dicho sólido.
65 π
A
3 125π 5
B
En una pirámide cuadrangular regular O - ABCD; OD= DA. Si su altura es 3 2, calcule su volumen.
A) 9 D) 24
6 7
B) 16
3
C) 18 E)
2
36 2
A) 11.
En el gráfico, la arista del cubo es igual a 3. Calcule el volumen de V - ABCD.
C
O
D)
2π
B)
3 4 3π
4π 9
C) E)
3
3π 3 8 3π 3
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Geometría 17.
NIVEL AVANZADO
14.
Calcule el volumen de un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH si HC = 10 m y el ángulo entre CH y BG mide 53º. A) D)
15.
6 m 2
3
B) 2
6 m
5m
3
C) 4
3
A)
6m
18.
A
4 3
5π
15
C)
E)
π
3
3
3
B)
3
3
En el gráfico AB= BC = DQ=2. Calcule la razón de volúmenes entre los cilindros de revolución. E
8 15 π
D)
4
E)
3
6m
Se tiene un cono de revolución en que el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrantal cuyo radio es 8. Calcule el volumen del cono. 2
15 π
3 9
15 π
4
En un cono de revolución cuyas generatrices miden 6m, dos generatrices que determinan un ángulo que mide 60º tienen extremos en la base que determinan una cuerda, la cual subtiende un arco que mide 120º. Calcule el área de la superficie del cono.
B
A) 2 C
D) P D
A) D)
2 4
B)
r
2 2
Q 2
C)
3
9
3 3 2
Al cilindro de revolución, cuyo volumen es V , se le quita los sólidos que tienen como bases a los sectores circulares PO1Q y AO2 B, y el otro tiene como bases a los sectores circulares TO1 R y DO2C , respectivamente. Halle el volumen restante del cilindro. A) B) C) D) E)
2V 3
T O1
P
V
Q
S R
3 V
2 V
4 2V
D
O2
A
C
B
5
6 3π
En un cono de revolución cuya altura mide 2 + 2, dos generatrices diametrales opuestas determinan un ángulo que mide 53º, luego se inscribe un cubo con una cara en la base del cono. Calcule la longitud de la arista del cubo. B) 3
C)
D) 2 20.
E)
2 2 3 2
En el gráfico se muestra un cono de revolución y un cilindro de revolución. Calcule el volumen del cono si VM =5 m y r =2 m. A) 40
3m
B) 80
3m
C) 60
2m
D) E)
40 3 80 3
3
V
3
3
5m
3
5m
3
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C) 3π E)
π
A) 2 2 16.
3π
2
E)
2
19.
B) 12
3π
M
r A
B
Geometría Esfera, Poliedros regulares y Geometría analítica 5.
NIVEL BÁSICO
1.
Si el volumen del cubo ABCD - PQRS es 27 y T es punto de tangencia, calcule TC . Q
A) 4 x+ y –10=0 B) 4 x – y –10=0 C) 4 x+ y+10=0 D) 4 x – y+10=0 E) x+4 y –10=0
R
P
T S B
C
NIVEL INTERMEDIO
D
A
6.
A) 8 D) 6 2.
B) 12
10
D) 2 3.
B) 2
C) 2 2 E) 3
3
La altura y el radio de la base de un cono circular recto tienen la misma longitud que el radio de una esfera de 1 m3 de volumen. Halle el volumen del cono. A) 0,15 m3 D) 0,30 m3
7.
B) 0,75 m3
B) –10
C) 0,50 m3 E) 0,25 m3
En el gráfico se muestra una semiesfera inscrita en un cono de revolución. Calcule el volumen de la semiesfera si AM =2 m y MV =6 m, además M es punto de tangencia.
Si la recta ax+2 y – 6+ b=0 pasa por el punto (0; – 5) y es paralela a la recta 3 x – y –1=0, calcule a+ b. A) 22 D) 25
4.
C) 3 E) 9
En un tetraedro regular ABCD, cuyas aristas miden 4, M y N están en BC y AD, respectivamente, tal que AN = ND y BM =1. Calcule MN . A)
Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es – 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas – 2 x+ y – 8=0 y 3 x – 2 y+9=0.
V
C) 10 E) 23
M
Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (3; – 2) y que pasa por el punto (7; 0).
A
A) ( x + 3)2 + ( y − 2)2
=
2 5
A) 16
3 π m
B) ( x − 3)2 + ( y + 2)2
=
2 5
B) 32
3π m
C) ( x – 3)2+( y+2)2=20
C) 24
3π m
D) ( x – 3)2+( y+2)2=16
D) 12
E) ( x – 3)2+( y+2)2=25
3π m 3
E) 64p m
3 3 3
3
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Geometría 8.
En un tetraedro regular cuya arista mide 6, calcule la distancia del baricentro de una cara a una de las aristas que no limitan a dicha cara.
11.
De acuerdo con el gráfico, halle la ecuación BC , además el área de la de la recta L , si L // región triangular ABD es cuatro veces el área de la región triangular BCD.
A) 3 B)
C) D) E) 9.
2
B(1;
C (5;
3
6)
3 2
D(3;
1
3)
2
3
A 3
L
3 2 3
En la figura, las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son x+ y – a=0 y x – y – b=0, respectivamente; además P y Q son puntos de tangencia. Calcule a.
A) 4 x+3 y+47=0 B) 3 x+4 y+51=0 C) 2 x+3 y+51=0 D) 3 x+2 y+33=0 E) 3 x+4 y – 19=0 12.
L2
L1 α
X
A) 30º D) 53º
13.
B) 37º
C) 45º E) 60º
Determine la ecuación de la recta que contiene al punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son L1: x – y+1=0 L2: x+ y – 5=0 y al punto (5; 4). A) x+3 y+8=0 B) x – 3 y – 8=0 C) x – 3 y+7=0 D) x+3 y+4=0 E) x – 3 y – 4=0
En una circunferencia cuya ecuación es x2+ y2=20, calcule el área de la región cuadrada inscrita en ella. A) 10 D) 30
Q
P Y
10.
9)
C) 25 E) 40
Desde el punto P(6; – 8) se trazan las tangentes PA y PB a la circunferencia cuya ecuación es x2+ y2=25. Calcule la distancia de P a la cuerda AB. A) 2 D) 6
B) 3
C) 4,5 E) 7,5
NIVEL AVANZADO
14.
Calcule el área de la superficie esférica inscrita en un cono equilátero, cuya área de la superficie total es S. A) D)
2S 3 S
3
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B) 20
B)
3S 4
C) E)
4S 9 S
2
Geometría 15.
En el gráfico se muestra una esfera inscrita en un cilindro de revolución. Calcule el volumen de la esfera si OM =2 m. Considere que T es punto de tangencia.
18.
Se sabe que ABCD es un paralelogramo, además AM = MD. Determine la ecuación de la recta L . C (9;
13)
O
B(2;
7)
M
D
T
L M A(1;
A)
160 5 3
B) 40 C) D) E) 16.
π m
5 π m
80 5 3
A) 2 x+7 y – 210=0 B) 7 x+2 y – 510=0 C) 8 x+3 y – 610=0 D) 9 x+10 y – 182=0 E) 10 x+9 y+182=0
3
3
π m
30 5 π m
5)
3
19.
En el gráfico L 1 // L 2, donde L1: ax – (a – 1) y+36=0
3
L2: 4 x – 3 y+24=0 40 5 3
π m
Calcule el área de la región sombreada.
3
Y
En la arista CG de un hexaedro regular ABCD - EFGH , se ubica un punto M , tal que CM =3 y MG=1. Calcule la distancia de M al centro de la cara ABFE .
L1
L2
X
A) 4 D) 17.
210
B) 3
21
C) E)
21
2
2
B) 36
3
C) 12
2
D) 9 E) 18
3 2
A) 50 D) 40
2 7
En un tetraedro regular P - ABC , en la cara PBC se traza PT , T ∈ BC y en la cara APC se traza, PS, S ∈ AC . Si m PTB+m PSC =180º y CS=2 y TB=4, calcule el volumen de dicho sólido. A) 36
(10; 0)
21
20.
B) 30
C) 25 E) 20
Se tiene la circunferencia cuya ecuación es x2+ y2 – 2 x – 2 y –14=0. Se traza la recta tangente en P a la circunferencia y de pendiente 1. Determine la ecuación de la recta que contiene al centro de la circunferencia y al punto P. A) x+ y+2=0 B) x+ y – 2=0 C) x – y+2=0 D) x+y – 4=0 E) x+ y+4=0
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Repaso Especial San Marcos TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS, SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS, RELACIONES MÉTRICAS I
RELACIONES MÉTRICAS II Y ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y CIRCULARES
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
ESFERA, POLIEDROS REGULARES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
