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2 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Faculté des sciences de Tunis Section : Electronique & Génie Electrique

COURS ET EXERCICES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Sections:

4ième année de Maîtrise Electronique 2ième année de Génie Electrique

Par :

CHERIF Adnène

2003


COURS DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Table des matières

Introduction Chap I : Généralités sur les signaux et systèmes 1 - Définitions 2 - Classification des signaux. 3 - Représentation mathématique d'un signal 4 - Opérations sur les signaux ( convolution,filtrage,corrélation...) 5 - Systèmes linéaires 6- Analyse temporelle et fréquentielle ( Bode, Nyquist…)

Chap II : Numérisation et échantillonnage des signaux 1 - Principe de la numérisation 2- Echantillonnage d'un signal - T.Z - Théorème de Shanoon 3- Quantification - principe de conversion A/N - quantification uniforme - quantification par compression des données 4- Codage - différents types de codage - paramètres d'un codeur 5 – Transformée de Fourier discrète DFT - Algorithme FFT - Transformée en cosinus discrète DCT Chap III : Filtrage numérique 1 - Définition d'un filtre numérique 2 - Etude des filtres R.I.F 3 - Etude des filtres R.I.I 4 - Méthodes de synthèses des filtres numériques 5 – Exemples et applications


Chap IV: Techniques de transmission numérique 1 - Constitution d'un système de transmission 2 - Modulation et démodulation analogique - modulations AM, SSB, DSB - modulations FM et PM - détection synchrone par PLL 3 - Modulation et démodulation numérique - modulation P.C.M - modulation ASK, FSK et PSK - techniques de multiplexage temporel des canaux FDM - techniques de multiplexage fréquentiel des canaux TDM 4 - Introduction à la transmission de données

Bibliographie


INTRODUCTION

Le signal est le support physique de l'information. Il se trouve sous la forme d'une grandeur observable de type électrique, mécanique, acoustique ou optique. Cette notion s'oppose à celle du bruit qui peut modifier l'information ou même la masquer. La description, la modélisation et l'analyse mathématique des signaux fait l'objet de la théorie du signal, alors que le traitement des signaux les interprète, en extrait ou y ajoute de l'information. Les champs d'application de cette discipline sont très vastes tels que : - la télécommunication - l'instrumentation - les radars et sonar - le traitement et la reconnaissance de la parole - le traitement d'image - la reconnaissance de forme - l'analyse des vibrations dans les machines outils. - La médecine et la biotechnologie. Ce cours qui est destiné essentiellement aux étudiants de deuxième année de la maîtrise Electronique et du cycle d’Ingénieurs est divisé en deux grandes parties représentant les signaux et les systèmes continus et discrets. Dans les deux premiers chapitres, nous sommes intéressés à permettre à l'étudiant de maîtriser les outils et les concepts de base de l'analyse d'un signal (Transformée de Fourier, analyse spectrale, analyse statistique,...) avant d’aborder les techniques d'analyse des systèmes et le filtrage linéaire. Le troisième chapitre est consacré à la présentation des signaux aléatoires, de leurs propriétés et de leurs méthodes d’analyse statistique. Les chapitres quatre et cinq représentent la partie numérique de ce cours et dans la quelle nous présentons en détails toutes les étapes de numérisation d’un signal ainsi que les conditions de réalisation de chacune. Cela permet d'aborder la dernière partie qui est la transmission analogique et numérique des signaux et dans la quelle on verra les techniques de modulation et de démodulation AM, SSB, FM, PM, PCM, QPSK ainsi que leurs applications.


Chapitre 1

GENERALITES SUR LES SIGNAUX ET SYSTEMES 1- définition d’un signal Un signal est un support physique de l'information qui représente un phénomène physique qui peut être du type : - électrique ( courant, tension, champ électrique ou magnétique ) - mécanique ( vibration ) - optique, etc… Il peut prendre une représentation scalaire ( signal à la sortie d'un microphone) ou vectorielle ( champ électrique dans l'espace ). Pour illustrer ce concept, prenons le signal sinusoïdal x(t) de la figure 1 mélangé avec un bruit d’acquisition b(t). x(t) = sin(628.t ) b(t) : bruit uniforme. Dans le premier cas ( figure 3 ), nous avons choisi un faible niveau de bruit de façon que celuici ne masque ou ne modifie pas trop le signal original, soit : y(t) = x(t) + b(t) . Alors que dans le deuxième cas ( figure 4 ), nous avons choisi un niveau plus élevé du bruit de façon que celui-ci masque complètement le signal original, soit : y(t) = x(t) +10 b(t) . 1.5

1 0.9

1

0.8 0.7

0.5

0.6 0

0.5

signal bruité : x(t)+b(t)

signal bruité : x(t)+8 b(t)

90.4

2

-0.5

80.3 1.5

70.2

-1

60.1

1 -1.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.5

5

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

4

Figure 1: signal sinusoïdal

0

Figure 2 : signal bruit

3 2

-0.5

1 -1 -1.5

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05


Figure 3: signal faiblement bruité

Figure 4 : signal masqué par le bruit

2- Paramètres temporels et énergétiques Un signal est caractérisé par des paramètres temporels, énergétiques et statistiques qui caractérisent sa variabilité, sa dynamique, son intensité et sa puissance. 2-1- paramètres temporels: Ce sont des grandeurs physiques qui peuvent être explicitées par l’observation de la variation temporelle du signal ou suite à un traitement de ces données, telles que : - l’amplitude, la période et la phase pour les signaux déterministes - la valeur moyenne, la variance, la densité de probabilité et la fonction d’autocorrélation pour les signaux aléatoires. • Pour un signal discret, la valeur moyenne et la variance ont l’expression : 1 N

x moy = VarX =

1 N

N

∑ x(i) i =1

N

∑ (x(i) - x

moy

)2

i =1

• Dans le cas d'un signal continu périodique x(t) = A sin(ω t +ϕ), on définit : - la valeur moyenne par :

T/2

∫

1 T

Xm =

x(t) dt

où T désigne la période

-T/2

- la valeur efficace par :

T/2

∫

1 T

Xeff = [

|x|2(t) dt ]1/2

-T/2

- la puissance moyenne par: Pmoy = (Xeff )2 - l'amplitude par :

A = Xeff . √2

- la phase par :

ϕ

- la période par :

T = 2π/ω

où ω désige la pulsation

2-2- paramètres énergétiques: ! l’énergie : dans le cas d’un signal apériodique x(t) à énergie finie, l’énergie s’écrit : ∞

Ex =

∫ x(t).x*(t) dt

où x*(t) désigne le conjugué de x(t).

-∞

Si le signal x(t) est réel alors l’expression de l’énergie devient: ∞

Ex =

∫

-∞

| x(t) | 2 dt .


! la puissance moyenne : elle est définie pour les signaux périodiques comme : Pmoy =

1 T

T/2

∫

|x(t)|2 dt

-T/2

La valeur de Pmoy est toujours nulle dans le cas des signaux à énergie finie. ! la distorsion harmonique : elle représente le pourcentage des harmoniques du signal ( généralement indésirables et se manifestent par des pertes énergétiques) par rapport au fondamental. Pour mieux comprendre ce phénomène, prenons l’exemple d’un moteur à courant alternatif fonctionnant normalement à 50 Hz, qui alimenté par le signal suivant : x(t) = 255 sin(2π.50.t) + 60 sin(2π.100.t) + 25 sin(2π.250.t) . Seule la première composante x1(t) = 255 sin(2π50.t) est utile pour le fonctionnement du moteur. Cependant les deux autres composantes sont indésirables puisqu’elles augmentent les pertes par effet Joule et par conséquent l’échauffement du moteur. Cela a pour effet de diminuer le rendement du moteur et même d’endommager ses enroulements. Dans ce cas , la valeur de la distorsion harmonique est égale à : σx = =

60 2 + 25 2 255 2

≈ 0.25

300

200

100

0

-100

-200

-300

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Figure 5 Prenons maintenant, le signal bruit uniforme de la figure 1, d’après le calcul des différentes valeurs du signal ,on obtient : ! ! ! !

valeur moyenne : bmoy = 0.505 variance = 0.084 écart type = 0.29 énergie = 0.34.

Cependant, pour le signal sinusoïdal de la figure 2, on a : ! valeur moyenne : xmoy = 0 ! variance = 0.50


! écart type = 0.7 ! énergie = 0.50 . 2-3- exemple: Soit à calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne du signal de la figure suivante : x(t) τ/2

0

τ/2

τ

Τ

t

figure 6 ! La valeur moyenne est donnée par : Xm =

1 T

T

∫ x(t) dt = ∫ 1 T

0

τ/2

t dt +

1 T

∫

τ

(τ - t ) dt =

τ/2

0

τ2 4T

! La puissance moyenne est égale à :

Pmoy =

1 T

T

∫ x (t) dt = ∫ 1 T

2

0

τ/2 2

t dt +

1 T

∫

τ

(τ - t ) 2 dt =

τ/2

0

τ3 12T

! La valeur efficace se déduit de Pmoy comme suit : 1/2 Xeff = (Pmoy ) =

τ3 12T

2- Représentation mathématique d’un signal 2-1- décomposition en fonctions orthogonales Un signal peut se décomposer en une combinaison linéaire de fonctions φ(k) complexes qui peut se définir à partir d’une base orthogonale [cos(2πfo t) ; sin(2πfo t)], tels que: x(t ) =

∞

∑a

k

. ϕ k (t)

où

ϕ k (t) = e j2πfk.t

k = -∞

Si cette fonction est de dimension unitaire alors le signal est du type scalaire si non on parle de signal vectoriel.


• Exemple : Prenons le cas du signal suivant : sin

x(t) = cos 2t

ej2 t cos

Figure 7 Alors, on peut écrire x(t) sous la forme : e j .2t + e − j .2t 2 ce qui permet correspond aux coordonnées suivants dans la base orthgonale B1= [ej2 t, e-j2 t] : x(t) =

x(t) = (0.5

0.5)B1

2-2- décomposition en somme d’impulsions rectangulaires On peut approcher x(t) par une fonction en escalier (quantifiée) selon figure suivante : x(t)

kT

t

Figure 8 On peut dans ce cas faire l’approximation suivante : ~ x (t ) =

∞

∑ x(kT) Π T (t - kT) .

k = −∞

∏Τ(t) est la fonction fenêtre de largeur T. 3- Classification des signaux On peut classer les signaux selon les catégories suivantes : 3-1- Classification déterministe-aléatoire : Un signal déterministe est un signal dont la variation peut étre régie par une représentation mathématique ou une suite de données ( signal sinusoïdal, carré,...) . Par contre un signal aléatoire n'est pas modélisable mais il est plutôt caractérisé par ses propriétés statistiques ( moyenne, variance, loi de probabilité,...).Il peut être approché à des lois pseudoaléatoires ( poisson, binomiale,...).


3-2- Classification énergétique : a- Signaux à énergie finie Ils sont caractérisés par une énergie finie (constante) et une puissance moyenne nulle. Cette catégorie comprend les signaux non périodiques . +∞

2

Ex = ∫ x(t) dt -∞

Px = 0 b- Signaux à puissance moyenne finie Ils sont caractérisés par une énergie infinie et une puissance moyenne constant. Cette classe comprend les signaux périodiques . Px =

1

lim T T→∞

∫

T/2

2

x(t) dt

-T/2

Ex = ∞ Cette catégorie comprend les signaux périodiques et les signaux aléatoires permanents . 3-3- Classification continu-discret Un signal discret n'est défini qu'à des instants réguliers dits instants d'échantillonnage. Malgré que la plupart des signaux rencontrés et mesurés dans la nature sont des signaux continus, on retrouve souvent ces signaux dans les systèmes numériques. discret

continu

t

Figure 9

4- Opérations sur les signaux 4-1-addition Prenons le cas des deux signaux suivants: x1(t) = A1 cos (2π f1 t) x2(t) = A2 cos (2π f2 t) • Si f1 = f2 , alors :

x1(t)+ x2(t) = (A1+A2) cos (2π f1 t).

• Si f1 ≠ f2 , alors il faut faire la somme instantanée terme à terme.


4-2- Multiplication La multiplication de deux signaux revient à une transposition de fréquence. Prenons le cas des deux signaux suivants :

alors,

x1(t) = A1 cos (2π f1 t) x2(t) = A2 cos (2π f2 t) y(t) = x1(t) . x2(t) = 0.5 A1 A2 cos [2π (f1+f2 )t ] + 0.5 A1 A2 cos [2π (f1-f2 )t ].

x1(t)

y(t) x2(t)

f1-f2

f1

f1+f2

f

Figure 10 Le multiplieur de la figure 10 est très utilisé dans les modulateurs et les démodulateurs AM. 4-3- déphasage Le déphasage d’un signal conduit à un décalage temporel, en avant ou en retard selon la valeur de ce déphasage. Si celui-ci est positif alors le signal déphasé est en avance de phase par rapport au signal original et vice versa. Par exemple, dans le cas des signaux de la figure 6, le signal y1(t) est en avance de phase puisque le déphasage est positif par contre y2(t) est en retrad phase. y1(t) = y(t+ ϕ1) avec ϕ1> 0 y2(t) = y(t+ ϕ2) avec ϕ2 < 0 y(t) y1(t)

y2(t)

0

-ϕ1

−ϕ2

figure 11

4-4- produit scalaire Le produit scalaire de deux signaux continus à énergies finies est défini par : =

∞

∫ x(t).y*(t) dt -∞

Dans le cas discret, cette expression se ramène à : =

∞

∑ x(n).y * (n) n =0

t


Pour les signaux périodiques, le produit scalaire a pour expression : T

∫ x(t) y*(t) dt .

1

= T

0

Si ce produit scalaire est nul, alors les deux signaux sont orthogonaux.

• Exemple Les deux signaux x(t) et y(t) suivants sont orthogonaux. x(t) = cos t et

y(t) = sin t

En effet, T

∫ cos t. sin t dt

1

= T

avec T=2 π .

0

T

∫ sin 2t dt = 0 .

= 1

2T

0

4-5- Convolution On appelle produit de convolution de deux signaux à énergie finie x(t) et y(t), la fonction définie par : ( x * y )(t ) = x(t ) * y (t ) =

∫

∞

x( θ ) y(t - θ ) dθ .

−∞

D'après l'inégalité de Schwartz, ce produit est toujours définie puisque les énergies 2 ||x|| et ||y||2 sont finies. a- Propriétés : • Commutativité : [x * y](t) = [y * x](t) . On peut démontrer cette propriété en utilisant la propriété suivante : posons u = t - θ

⇒

x(t ) * y (t ) =

∫

∞

x(t - u) y( u ) (-du ) .

−∞

• Distributivité :

[x * ( y + z)](t) = [(x * y) + (x * z](t)

• Associativité :

[x * ( y * z )](t) = [(x * y) * z](t)

• Elément neutre δ(t) : • Dérivation :

x(t) * δ(t) = x(t)

d ( x * y)(t ) dx(t ) dy (t ) = * y (t ) = x(t)* . dt dt dt

b- Exemples de convolution • Convolution d’un signal avec l'échelon de position Γ(t) :


∫

( x * Γ)(t ) =

∞

x( θ ) Γ(t - θ ) dθ =

−∞

∫

t

x( θ ) dθ .

−∞

A titre d’exemple, calculons la convolution de l’échelon de position avec lui même. Dans ce cas, reprenons la dernière expression et remplaçons x(t) par Γ(t) : (Γ * Γ)(t ) =

∫

t

Γ( θ ) dθ .

−∞

si t < 0 , alors : si t ≥ 0 , alors :

(Γ * Γ )(t) = 0 , (Γ * Γ)(t ) =

∫

t

dθ = t .

0

Γ(t)*Γ(t)

0

t

Figure 12 • Convolution d’un signal avec la fonction fenêtre ∏τ(t), τ > 0 t+

∫τ

( x * Π τ )(t ) =

t−

τ 2

x( θ ) dθ .

2

A titre d’exemple, calculons la convolution de l’échelon de position avec la fonction fenêtre de largeur τ. Dans ce cas, reprenons la dernière expression et remplaçons x(t) par Γ(t) : t+

(Γ * Π τ )(t ) =

∫τ

t−

si t < -τ/2, alors :

Γ( θ ) dθ .

2

(Γ * ∏τ)(t) = 0 , t+

si -τ/2 ≤ t < τ/2 , alors :

τ 2

(Γ * Π τ )(t ) =

∫

τ 2

Γ( θ ) dθ = t +

0

t+

si t ≥ τ/2 , alors :

(Γ * Π τ )(t ) =

∫τ

t−

2

τ 2

dθ = τ .

τ 2


Γ(t)* ∏τ(t)

τ

-τ/2

τ/2

0

t

Figure 13 4-6- Autocorrélation et Intercorrélation a- Intercorrélation de deux signaux Pour deux signaux à énergie finie x(t) et y(t), on peut associer une fonction d'intercorrélation Rx,y qui définie la dépendance entre les événements de chacun et la mesure de similarité entre eux. Elle est donnée par l’expression suivante :

∫

R x , y (τ ) =

∞

x( t ) y * (t + τ ) dt .

−∞

Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d'intercorrélation Rx,y est donnée par l’expression suivante : R x , y (τ ) = lim

T →∞

1 T

∫

T

x( t ) y * (t + τ ) dt .

0

• Propriétés

♦ Rx,y(τ) = R*y,x(-τ) : symétrie hermitienne .

En effet :

R y , x (−τ ) =

∫

∞

y( t ) x * (t − τ ) dt .

−∞

posons u= t-τ R y , x (−τ ) =

∫

∞

y( u + τ ) x * ( u ) du =

−∞

∫

∞

[ x(u) y * ( u + τ ) ] * du = R x, y * (τ ) .

−∞

♦ Rxy(τ) ≠ Ryx(τ) ♦ Rxy(τ) = x(τ) * y*(-τ) . On peut montrer cette propriété en utilisant la relation de la convolution :

∫

x(t) * y * (-t) =

∞

x( θ ) y * (-t − θ ) dθ .

−∞

=

∫

∞

−∞

x( θ ) y * (t + θ ) dθ = R xy (t )


b- Autocorrélation Pour un signal à énergie finie, on définie une fonction d'autocorrélation qui définie la similarité entre un signal et une version décalée de celui-ci. Elle a pour expression :

∫

R x , x (τ ) =

∞

x( t ) x * (t + τ ) dt .

−∞

Cette expression peut être obtenue de Rxy(τ) en prenant x(t) = y(t) . Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d'intercorrélation Rx,x s’écrit : R x , x (τ ) = lim

T →∞

1 T

∫

T

x( t ) x * (t + τ ) dt .

0

* Propriétés

♦ Rxx(τ) = R*xx(-τ) : symétrie hermitienne . ♦ si x(t) est réel alors Rxx(τ) est réelle et paire et possède un maximum en Rxx(0) En effet, si x(t) est réel, alors : R x , x (−τ ) =

∫

∞

x( t ) x(t − τ ) dt .

−∞

Posons u = t-τ, il vient : R x , x (−τ ) =

∫

∞

x( u + τ ) x( u ) du = R x,x ( τ ) .

−∞

ce qui montre que Rxx est paire. D’autre part, l’inégalité de Schwartz |Rx,y(τ)|2 ≤ Rx,x(0).Ryy(0) , montre que le maximum de la fonction d’autocorrélation est Rx,x(0) et ce, en posant simplement y(t)=x(t) , soit : |Rx,x(τ)|2 ≤ R2x,x(0)

soit

Rx,y(τ) ≤ Rx,x(0).

car Rx,x(0) ≥ 0 .

♦ Inégalité de Schwartz : |Rx,y(τ)|2 ≤ Rx,x(0).Ryy(0) . Cette propriété se démontre en utilisant la même propriété de la norme et du produit scalaire.

♦ Rxx(0) est l’énergie du signal et Rxx(τ) ≤ Rxx(0) . En effet, R x , x ( 0) =

∫

∞

−∞

x( t ) x * (t + 0) dt =

∫

∞

−∞

2

x(t) dt = E x .


♦ Si x(t) est périodique de période T , alors Rxx en est de même ( périodique de période T ) et possède un maximum à l’origine Rxx(0) .. 1 T

R x , x (τ ) = lim

T →∞

1 R x , x (τ ) = lim T →∞ T

∫

∞

T

[

∑

n =- ∞

0

Cn e

∫

T

x( t ) x * (t + τ ) dt .

0

+j

2π n t T

∞

∑ Cn

*

e

−j

2π n t T

e

−j

2π n τ T

] dt .

n =- ∞

soit : 1 R x , x (τ ) = lim T →∞ T

∞

∑

n =-∞

2

Cn

e

−j

2π n τ T

∫

T

dt =

0

∞

∑

n =-∞

Cn

2

e

−j

2π n τ T

.

Cette relation n’est que la décomposition en série de Fourier de Rxx(τ). Elle montre que celle-ci est périodique de période T et ayant pour spectre d’amplitude |Cn|2 . Cette propriété est très importante en analyse corrélatoire puisqu’elle permet de déterminer la périodicité d'un signal ainsi que son spectre d’amplitude. • Exemple 1 : Fonction d’autocorrélation du signal fenêtre x(t) = ∏τ(t), τ > 0

∫

R xx ( θ ) =

∞

Π τ ( t ) . Π τ (t + θ ) dt

−∞

♦ si |θ | > τ , alors :

Rxx(θ) = 0 , ∏τ(t+θ)

∏τ(t)

∏τ(t). ∏τ(t+θ)

1

-τ/2

1

τ/2

θ−τ/2

θ

0

θ+τ/2

t-τ/2

t

t

t+τ/2

θ

Figure 14 ♦ si |θ | ≤ τ , alors :

Rxx(θ) = τ − |θ | , puisque : ∏τ(t+θ)

∏τ(t)

∏τ(t). ∏τ(t+θ) 1

-τ/2

τ/2 θ

0 t

t-τ/2

t

t+τ/2

θ


Figure 15

∫

R xx ( θ ) =

R xx ( θ ) =

∞

−∞ τ 2

∫τ

θ−

Π τ ( t ) . Π τ (t + θ ) dt

dt = τ - θ ,

si θ > 0

2

et : θ+

R xx ( θ ) =

∫τ

−

τ 2

dt = τ + θ , si θ < 0

2

♦ En définitif, l’expression générale de la fonction d’autocorrélation est : Rxx(θ) = τ − |θ | , ∀ τ ∈ ℜ . Rxx(θ)

τ -τ

0

τ

θ

Figure 16

5- Les systèmes 5-1- définition Un système est un opérateur physique fonctionnel H ( fonction, application ) qui à une entrée e(t) lui associe une sortie s(t). e(t)

H

s(t)= H[ e(t) ]

figure 17

5-2- classification des systèmes Il existe plusieurs types de systèmes qui peuvent être classés selon leur représentation, leurs réponses, et leurs comportements. Chaque classe de système possède ses propres outils d’étude, d’analyse et de synthèse. A titre d’exemple, on peut citer: - les systèmes linéaires, non linéaires - les systèmes mono-variables, multi-variables - les systèmes continus, échantillonnés (ou discrets), - les systèmes déterministes, stochastiques.


5-3- systèmes linéaires Un système et dit linéaire s'il obéit au théorème de superposition. Ainsi, le système de la figure 12 est linéaire si : - pour des entrées e1(t) et e2(t) correspondent les sorties s1= H(e1 ) et s2= H(e2 ) alors : - pour une entrée A e1(t)+B e2(t) correspond une sortie S = A s1(t)+ B s2(t). D’autre part, un système linéaire est régi soit : a) par une équation différentielle : m

∑

b i.

d i e(t )

i =0

dt

i

n

=

∑ j =0

aj

d j s (t ) dt

j

b) par une fonction de transfert H(p) : C'est une représentation externe du sytéme qui relie la sortie à l'entrée du sytème et qui est définit par : m

∑

bi. pi S(p) H(p) = = i =0 E(p) 1 + n a j p j ∑

(m ≤ n et p est l'opérateur de Laplace)

j =1

D'ailleurs, celle-ci peut être déduite de l'équation différentielle ci-dessus pour des conditions initiales nulles. 5-4- systèmes linéaires invariants Un système est dit linéaire invariant s'il vérifie les deux propriétés : - la linéarité - l'invariance temporelle qui est définit telle que : si s(t) est la sortie du système pour une entrée e(t) alors s(t-θ) est la sortie du même système pour l'entrée e(t-θ) . Donc la variation temporelle de tel système est indépendante de l'origine du temps. a) Exemple : Soit le système H qui à toute entrée x(t) lui correspond une sortie y(t) = x(α t) avec |α|<1. Ce système est linéaire car : ∀ a et b ∈ ℜ , H [a x1(t) + b x2(t) ] = a x1(α t) + b x2(α t) = a y1(t) + b y2(t). Cependant, il n’est pas invariant puisque : H [ x(t-t0) ] = x[α( t-t0)] = x(α t-α t0) ≠ y(t-t0) = x(α t- t0). b- exemples de systèmes linéaires :


- filtres passifs et actifsn amplificateurs, opérateurs: sommateur, soustracteur,... 5-5- systèmes non linéaires Ce sont les systèmes dont la sortie n'est pas linéaire par rapport à l'entrée. Ils ne possèdent pas une représentation mathématique interne (équation différentielle) non plus externe ( fonction de transfert) mais on peut définir la sortie de ces systèmes par intervalles. a) Exemples : • comparateur logique : C'est un montage à amplificateur opérationnel dont la sortie est: y(t) = + Vcc si l'entrée x1(t) ≥ l'entrée x2(t) y(t) = - Vcc si l'entrée x1(t) < x2(t) . s(t) Ro x1(t) x2(t)

R R

+Vcc

s(t)

+ -

0

( Ro>>R )

t

-Vcc

Figure 18 : sortie d'un montage comparateur • relais à hystérisis: C'est un système non linéaire dont la caractéristique est la suivante: Α

−ε

0

ε

Figure 19: caractéristique d'un relais • amplificateur à saturation : C'est un système linéaire dans un intervalle du temps mais il ne l'est pas dans le reste du temps.


y(t) +Vcc

y(t)=A e(t) si |t| <ε −ε

ε

t

y(t)= Vcc sign(t) si |t| >ε

-Vcc

Figure 20 : caractéristique d'un amplificateur à saturation Certains capteurs en instrumentation possèdent de telles caractéristiques, tels que les capteurs de température, de débit, de pression ou de position. Il convient pour cela de limiter le fonctionnement dans la zone linéaire. 5-6-Les systèmes discrets Ce sont des systèmes linéaires ou non linéaires dont la sortie n'est définie qu'à des instants bien déterminés dits instants d’échantillonnage (figure 16) . y(k)

1

2

k

Figure 21 : sortie d'un système discret Un système linéaire discret d'entrée e(k) et de sortie y(k), peut être régi par une équation récurrente de la forme : m

∑

i =0

b i. e(i)

n

=

∑

a j y(j)

j =0

Ce système peut être aussi représenté par une fonction de transfert discrète appelée aussi transmittance échantillonnée.

5-7-Analyse temporelle d’un système linéaire L’analyse temporelle d’un système revient à étudier sa réponse temporelle à une entrée donnée ( impulsion, échelon de position, rampe de vitesse,...) et ses performances statiques et dynamiques, tels que la précision, la rapidité et la stabilité.


La réponse ou la sortie temporelle du système peut être déterminée à partir de la résolution de l’équation différentielle de celui-ci ou en utilisant sa fonction de transfert.

! Analyse par la résolution de l’équation différentielle Prenons le cas du circuit passif de la figure 17 et déterminons l’expression de sa sortie s(t) pour une entrée indicielle : e(t) = A Γ(t) ( échelon de position A ) : R e(t)

C

s(t)

figure 22 La loi des mailles permet d’écrire :

RC s’(t) + s(t) = e(t)= A. Γ(t) ,

La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution générale sans second membre et la solution particulière avec second membre : soit : s(t) = A . K e- t/RC + A. Γ(t) avec K= -Γ(t) si on prend s(0)=0 s(t) = A (1 - e- t/RC ) Γ(t) .

Il vient alors :

! Analyse par la fonction de transfert Le circuit précédent peut être considéré comme un diviseur de tension, alors la fonction de transfert du circuit s’écrit :

H(jω) =

S(jω) 1 = E(jω) 1+ RC jω

où ω est la pulsation . En introduisant l’opérateur de Laplace de Laplace ( p=j ω ) et en remplaçant l’entrée E(p)=A/p , il vient : S( p ) = soit :

A p( 1 + RC p )

s(t) = A ( 1 - e- t/RC ) Γ(t) .

Ce qui donne la représentation graphique suivante : s(t) A


figure 23

t

! Performances statiques et dynamiques a) - précision : Elle définit l’écart entre l’entrée désirée et la sortie

ε(t) = e(t) - s(t) La précision statique est la valeur de l’erreur en régime permanent soit :

ε∞ = lim ε(t) = e∞ - s∞ . t→∞

b) stabilté : un système est mathématiquement stable si à toute entrée bornée lui correspond une sortie bornée. Cela implique que tous les pôles de la fonction de transfert sont à parties réelles négatives. De point de vue physique, la stabilité définit l’aptitude d’un système à revenir à sa position d’équilibre après une perturbation. c) rapidité : c’est l’aptitude du système à réagir rapidement à une entrée quelconque et de vaincre son inertie. Elle est donnée par la valeur de la constante de temps la plus lente du système.

• Exemple : Prenons le système de la figure 17 :

! L'erreur statique est nulle car :

ε∞ = e∞ - s∞ = A -A = 0.

! Le système est stable car le pôle est négatif po = -1/RC . ! Le système possède une constante de temps τ = RC et la rapidité dépend dans ce cas de la valeur de RC. 5-8- Analyse fréquentielle La réponse fréquentielle a pour but de déterminer le comportement et la variation fréquentielle de certains paramètres et performances du système. Pour cela, il suffit d’étudier la variation de la fonction de transfert H, généralement complexe, en fonction de la fréquence. Pour avoir une meilleure représentation et exploitation de H, celle-ci est souvent donnée par le gain (module de H) et le déphasage (argument de H) appelés diagrammes de Bode. a) calcul du gain et du déphasage ( diagrammes de Bode ) Prenons le cas général où : m

H ( p) =

∏(p − z ) i =1 n

∏(p − p ) j =1

où : z i : est le iième zéro de H(p) p k est le kième pôle de H(p).

i

j

(m < n)


Alors, on définit: • le gain par :

G(ω) = 20 log10(| H( jω)| )

Φ(ω) = Arg( H( jω) ) .

• le déphasage par :

.

5-9- systèmes élémentaires 5-9-1- système du premier ordre On se donne la fonction de transfert H(p) d'un système du premier ordre ayant un gain statique k et une constante de temps τ. k H ( p) = 1+τ p Les expressions du gain et du déphasage sont donnés par : - gain :

G(w) = 20 log10(| H( jω)| ) = 20 log k - 10 log(1+τ2ω2)

φ(ω) = - arctg (τω )

- déphasage : * diagrammes de Bode

La courbe du gain G(ω) présente deux asymptotes G1 et G2 respectivement en basses et hautes fréquences données par : quand ω → 0 : G1 = 20 log k quand ω → ∞ : G2 = 20 log k -20 log τω . De même la courbe de phase possède deux asymptotes φ1 et φ2 quand ω → 0 quand ω → ∞

.

: φ1 = 0 : φ2 = - π/2 .

A la pulsation de coupure ( ωc=1/τ ), le gain et la phase sont égales à : Gc = 20 log k - 20 log

G(ω)

2

= 20 log k - 3

et

φc = -π/4 .

φ(ω)

20 log k

ωc=1/τ


ωc

Log w

Figure 24 -π/2

5-9-2- système du second ordre Supposons la fonction de transfert d'un système du second ordre est la suivante : H ( p) =

k ωn 2 p 2 + 2 ξ ωn p + ωn 2

où : k : est le gain statique du système, ξ : est l’amortissement, ωn : est la pulsation propre. L’équation caractéristique du système s’écrit : p2 + 2ξ ωn p + ωn 2 = 0 . Le déterminant de celle-ci est :

∆ = 4 (ξ 2 − 1) ωn 2

• si ∆ = 0 ( ξ=1), alors l’équation caractéristique possède une racine double po , telle que : po = - ξ ωn • si ∆ > 0 ( ξ>1), l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes p1 et p2 : p1 = −ξ ω n + ω n ξ 2 - 1 p 2 = −ξ ω n − ω n ξ 2 - 1 • si ∆ <0 ( ξ<1), l’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées p3 et p4, telles que : p 3 = −ξ ω n + j ω n 1 − ξ 2 p 4 = −ξ ω n − jω n 1 − ξ 2 a) réponse indicielle : S ( p) = H(p) E(p) =

k ωn 2 , p(p 2 + 2 ξ ωn p + ωn 2 )

• si ∆ = 0 ( ξ = 1 ), le régime est dit amorti ou amorti et la réponse s’écrit : s (t ) = k [ 1 − e ω nt (1 + ω n t)

]


• si ∆ > 0 ( ξ > 1 ), le régime est dit hyper-amorti et la réponse s’écrit : s (t ) = k [( 1 −

1 2 ξ -1 2

(p 2 e p1t − p 1 e p2t )

]

• si ∆ < 0 ( ξ < 1 ), alors le régime devient oscillant la réponse s’écrit : 1

s (t ) = k [ 1 −

1−ξ

2

e −ξ ω nt sin(ω o t + ϕ )

]

avec :

ω 0 = ω n 1 − ξ 2 et ϕ = Arc cos ξ .

ξ<1

ξ>1

Figure 25 : réponse indicielle selon les 3 régimes d’un système du second ordre On remarque bien que le système possède trois régimes de fonctionnement qui dépendent de l’amortissement. Cependant, l’apparition du dépassement ne peut être visible que pour la valeur ξ=0.7. Cette valeur physique de l’amortissement sera par la suite remplacée par la valeur mathématique ξ=1, qui limite les trois régimes hyper-amorti, amorti et oscillant. b) réponse impulsionnelle : S ( p ) = H(p) E(p) =

k ωn 2 , p 2 + 2 ξ ωn p + ωn 2

• si ∆ = 0 ( ξ = 1 ), le régime est dit amorti ou amorti et la réponse s’écrit : 2

s (t ) = kω n t e pot • si ∆ > 0 ( ξ > 1 ), le régime est dit apériodique ou amorti et la réponse s’écrit : s (t ) = k

ωn

2

2 ξ -1 2

(e

p1t

−e

p 2t

)


• si ∆ < 0 ( ξ < 1 ), alors le régime devient oscillant la réponse s’écrit : s (t ) = k

ωn 1−ξ

2

]

e −ξ ω nt sin(ω o t)

avec :

ω0 =ωn 1 − ξ 2 . On remarque que, quelque soit le régime de fonctionnement, la réponse impulsionnelle tend asymptotiquement vers zéro, ce qui montre que le système est stable. D’autre part, on sait que le système est d’autant plus rapide qu’il atteigne le plus vite le régime permanent, ce qui correspond selon la figure à un amortissement unitaire.

ξ<1

Figure 26 : réponse impulsionnelle selon les 3 régimes d’un système du second ordre c) Réponse fréquencielle : H ( jω ) = ! gain : ! déphasage :

(ωn 2

k ωn 2 - ω 2 ) + 2 j ξ ω ωn

G(w) = 20 log(kωn2) - 10 log [(ωn2 -ω2 )2 +4ξ2ωn2ω2]

φ(ω) = - arctg [ 2ξωnω / (ωn2 -ω2) ] .

* diagrammes de Bode La courbe du gain G(ω) présente deux asymptotes G1 et G2 respectivement en basses et hautes fréquences données par : quand ω → 0 : G1 = 20 log k quand ω → ∞ : G2 = 20 log k - 40 log (ω/ωn) ,

soit une pente de -40 dB/décade

De même la courbe de phase possède deux asymptotes φ1 et φ2 quand ω → 0 : φ1 = 0 quand ω → ∞ : φ2 = - π .

.


A la pulsation de coupure ( ωc= ωn ), le gain et la phase sont égales à : Gc = 20 log k - 3 et φc = -π/2 .

ξ<1

ξ=

ξ>1

Figure 27 : courbe du gain selon les 3 régimes d’un système du second ordre

ξ>1

Figure 28 : courbe de phase selon les 3 régimes d’un système du second ordre.

5-9-3- système d’ordre supérieur à deux Dans ce cas le système peut se décomposer en systèmes élémentaires de premier et de second ordre. Le gain et le déphasage sont respectivement égaux à la somme des gains et des déphasages des systèmes élémentaires.

• Exemple :


Prenons le système suivant et déterminons sa réponse fréquentielle . H ( p) =

4 ( p + 5) ( p + 2)(p 2 + p + 1)

Ce système peut se décomposer en trois système élémentaires de la façon suivante : H ( p ) = ( p + 5)

4 1 2 p+ 2 p + p+1

H ( p) = 5(1 + 0.2 p ) . 2

1 1 . 2 1 + 0.5 p p + p + 1

H ( p ) = 10 (1 + 0.2 p )

soit encore :

• Gain :

1 1 2 1 + 0.5 p p + p + 1

G(w) = G1(w) + G2(w)+ G3(w) ,

G(w) = 20 log10 + 20 log(1+0.04ω2) - 20 log(1+0.25ω2) - 20 log [(1 -ω2 )2 + ω2] • Déphasage :

φ(ω) = arctg (0.2ω ) - arctg (0.5ω ) - arctg [ ω / (1 -ω2) ]

Le tracé du lieu asymptotique du gain des 3 systèmes est le suivant :

+20 dB/dec 20 log10

1

2

5

log w

-20dB/dec -40 dB/dec

figure 29. Le tableau suivant résume les variations des courbes du gain et de déphasage : w -∞ G1(w) en dB/dec G2(w) G3(w)

1 0 0 0

2 0 0 -40

5 0 -20 -40

+20 -20 -40

+∞


G(w)=G1+G2+G3

0

-40

-60

1

déphasage -∞ φ1(w) en rad φ2(w) φ3(w) φ (w)= φ1+φ2+φ3

-40

2

0 0 0 0

0 0 -π -π

+∞

5 0 -π/2 -π -3π/2

+π/2 -π/2 -π -π

Table 1 Ainsi, le tracé global devient: G(w) 20

-40 dB/dec

1

2

5

log w

-60 dB/dec

-40dB/dec figure 30 De même, on procède pour la courbe de déphasage :

Φ(w)

1

2

-π -3π/2 figure 31.

EXERCICES CORRIGES DU CHAPITRE 1

♦ Enoncé de l'exercice 1

5

log w


a) Calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne d’un signal sinusoïdal redressé en simple alternance. b) Même question pour un signal double alternance.

♦Corrigé de l'exercice 1 1-a) Le signal simple alternance est exprimé sur une période [-To/2 , To/2] par : x(t) =  Uo cos ( 2πfo t)  pour | t | < To/4 , x(t) = 0

.

pour To/4 < | t | < To/2 .

x (t ) 1

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 0

200

400

600

800

1000

1200

t( m s )

figure 27 : signal redressé en double alternance • Sa valeur moyenne est donnée par la relation : 1 Xmoy = T0

To / 2

1 x(t ) dt = ∫ T0 −To / 2

soit :

To / 4

2 U 0 cos(2πFo t ) dt = ∫ T0 −To / 4

To / 4

∫U

0

cos(2πFo t ) dt =

0

U0 π

Xmoy = Uo /π .

• La puissance moyenne est donnée par : Pmoy = donc :

1 T0

To / 2

∫

2

x(t ) dt =

−To / 2

2 T0

To / 4

∫

2

U 0 cos 2 (2πFo t ) dt =

0

2U 0 T0

2 To / 4

∫ 0

1 [ 1 + cos(4πFo t ) ] dt = U 0 2 4

Pmoy = Uo2/ 4 .

• La valeur efficace se déduit de la puissance ainsi : 2

X eff = Pmoy =

b) Le signal simple alternance est exprimé par la relation :

U0 U = 0 . 4 2

2


x(t) =  Uo cos ( 2πfo t)  ∀ t ∈ ℜ • La valeur moyenne est égale à : 1 T0

Xmoy =

To / 2

∫ x(t ) dt =

−To / 2

soit :

4 T0

To / 4

∫

U 0 cos(2πFo t ) dt =

0

2U 0 π

Xmoy = 2Uo /π .

• La puissance moyenne est donnée par : 1 Pmoy = T0 donc :

To / 2

2 x(t ) dt = ∫ T0 −To / 2 2

To / 2

∫U 0

2 0

4U 0 cos (2πFo t ) dt = T0

2 To / 4

2

∫ 0

1 [ 1 + cos(4πFo t ) ] dt = U 0 2 2

2

Pmoy = Uo2/ 2 .

• La valeur efficace se déduit de la puissance ainsi : 2

X eff = Pmoy =

U0 U = 0 . 2 2

♦ Enoncé de l'exercice 2 Le synoptique de la figure 28 représente le principe de réalisation d’un modulateur d’amplitude utilisé dans la transmission des signaux radioélectriques.

x1=A1 cos(2π f1 t) x2=A2 cos(2π f2 t)

x1(t).x2(t) y(t) figure 28

a) Donner l’expression du signal de sortie y(t) . On supposera f2 >> f1 b) En déduire la valeur de la puissance moyenne du signal.

♦ Corrigé de l'exercice 2

alors :

x1(t) = A1 cos (2πf1 t) x2(t) = A2 cos (2πf2 t) y(t) = x1(t) x2(t) + x2(t) ,


y(t)= 0.5A1A2 cos [2π (f1+f2 )t ]+0.5A1A2 cos [2π (f2-f1 )t ]+A2 cos[2πf2 t ]. Donc le signal y(t) est composé de trois signaux dont les composantes fréquentielles sont données par : A2 0.5A1A2

0.5A1A2

f2-f1

f2

f1+f2

f

Figure 29. La puissance moyenne du signal y(t) est égale à : Pmoy = (0.5 A1A2 )2 + A2 2 + (0.5 A1A2 )2 = A12 A2 2 + A2 2 = A2 2 ( 1+ A12)

♦ Enoncé de l'exercice 3 Montrer que si les signaux x(t) et y(t) sont orthogonaux. x(t)

y(t)

1

1 t

t

T

T/2

T -1

Figure 30.

♦Corrigé de l'exercice 3

∫

1

= T

T/2

0

1

dt - T

∫

T

dt .

T/2

= T/2 - T/2 = 0 . Comme le produit scalaire des signaux x(t) et y(t) est nul alors ils sont orthogonaux.

♦ Enoncé de l'exercice 4 a) Calculer et représenter la réponse impulsionnelle d’un système dont la fonction de transfert est donnée par l’expression : H ( p) =

1+ a p , 1+ b p

a et b ∈ ℜ .


b) Calculer et représenter les réponses fréquentielles ( gain et déphasage ) du système. On discutera selon les valeurs a et b. En déduire le type du système.

♦ Corrigé de l'exercice 4 Nous retenons dans ce qui suit les cas où b>0 qui correspondent à un système stable. Les réponses impulsionnelles et indicielles sont données par les figures ci-dessous: reponse impulsionnelle 0 -0.2

Cas : 0
-0.4 -0.6 -0.8 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

7

8

9

10

7

8

9

10

reponse indicielle 2.5

2

1.5

1 0

1

2

3

4

5

6

reponse impulsionnelle 0.25 0.2

Cas 0
0.15 0.1 0.05 0

0

1

2

3

4

5

6

reponse indicielle 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0

1

2

3

4

5

Figure 31. les courbes du gain et de déphasage sont : * cas 0 < b < a ( a=15;b=2)

6

35 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________ gain en dB

1

10

0

10 -2 10

-1

0

10

10

1

10

dé phasage 50 40 30 20 10 0 -2 10

* cas 0 < a < b

-1

0

10

10

1

10

( a=0.1 ;b=2 ) gain en dB

0

10

-1

10

-2

10

-1

10

0

1

10

10

2

10

dé phasage 0 -20 -40 -60 -80 -1 10

0

1

10

10

2

10

Figure 32.

♦ Enoncé de l'exercice 5 Calculer et représenter la réponse fréquentielle ( gain et déphasage ) du système dont la fonction de transfert est donnée par :


H ( p) =

1 − 0.5 p . p(1 + 2p)(1 + p)

♦ Corrigé de l'exercice 5 H(p) = (1−0.5p) . 1 1 . 1 = H1(p).H 2(p).H 3(p).H 4 (p) p 1+ 2 p p +1 w -∞ G1(w) en dB/dec 0 G2(w) -20 G3(w) 0 G4(w) 0 G(w)=G1+G2+G3 -20 +G4

0

déphasage -∞ 0 φ1(w) en rad φ2(w) -π/2 0 φ3(w) 0 φ4(w) φ (w)= φ1+φ2+φ3 -π/2 +φ4

0

0.5 0 -20 0 0 -20

1 0 -20 -20 0 -40

0 -20 -20 -20 -60

0.5 0 -π/2 0 0 -π/2

1 0 -π/2 -π/2 0 -π

+20 -20 -20 -20 -40

0 -π/2 -π/2 -π/2 -3π/2

-π/2 -π/2 -π/2 -π/2 -2π

10

10

10

gain en dB

2

0

-2

-4

10

-2

10

-1

10

0

10

1

dé phasage 0 -100 -200 -300 -400 -2 10

10

-1

10

Figure 33.

Chapitre II

0

+∞

2

Table 2. 10

+∞

2

10

1


ECHANTILLONNAGE ET NUMERISATION DU SIGNAL

1- Principe de la numérisation En télécommunications, la numérisation a pour but de préparer le signal au codage puis à la transmission. Elle comporte généralement trois opérations essentielles à savoir, l’échantillonnage, la quantification et le codage ( figure1 ). La numérisation des signaux offrent beaucoup d’avantages, parmi lesquels nous pouvons citer : • la capacité de stockage, • la facilité de traitement et de transfert, • l’immunité contre les bruits. En effet, l’échantillonnage qui n'est qu'un découpage temporel du signal à des instants réguliers, est suivi par une opération de quantification Celle-ci consiste à remplacer chaque amplitude mesurée par un état ou un nombre facilement codifiable. Cependant, ces opérations ne sont pas facilement réalisables sans problèmes au point de vue mathématique et technique. Plus précisément, la question qui se pose n’est pas uniquement la façon de réaliser ces opérations avec le maximum de précision mais aussi dans quelles conditions en vue de restituer convenablement le signal original et par conséquent conserver l’information. L’outil qui nous permettra de maîtriser ces problèmes est certainement l’analyse spectrale dont un aperçu a été présenté aux chapitres précédents. Les figures 1 et 2 donnent le synoptique et la réalisation pratique d'une chaîne de numérisation.

Echantillonnage

Quantification

Codage

Figure1 : Synoptique du principe de la numémrisation

e(t)

Echantillonneure*(t) Bloqueur

e(k) Conversion A/D

Codeur

Figure 2 : Réalisation pratique d’une opération de numérisation

2- Echantillonnage 2.1. Définition

1 0 1 1 0


L’échantillonnage revient à un prélèvement ponctuel des amplitudes du signal analogique. Ainsi, les valeurs du signal échantillonné résultant, ne sont connues qu’aux instants d’échantillonnage. f(t)

f*(t)

train d'impulsion

X

=

t

T 2T signal horloge

signal analogique

t

t signal échantillonné

figure 3 : principe de l'opération d'échantillonnage

Prenons le cas de la figure 3 où on suppose que l’échantillonnage est idéal, c’est à dire que le découpage temporel se fait instantanément. Alors le signal échantillonné à une période d'échantillonnage T, peut s’écrire : f *(t) =

+∞

∑

n =−∞

f (nT ) .δ(t − nT ) .

Si on désigne par F(p), la transformée de Laplace de f(t), alors celle de f*(t) est donnée par : F*(p) = TL f *(t) =

+∞

∑

f (nT ) e-nTp .

n =−∞

Dans certaines représentations le signal échantillonné est noté f(kT) ou simplement f(k) qui représente la suite des valeurs discrètes. 2.2. Réalisation Un échantillonneur idéal peut être schématisé par un interrupteur électronique (par exemple un transistor FET commandé en tension ) piloté par une horloge de période T égale à la période d’échantillonnage. KK e(t) e(t)

s(t) s(t) Horloge à T

Figure 4 : principe d'un échantillonneur idéal

* Pour maintenir la tension s(t) constante à la sortie de l'échantillonneur, entre deux instants d'horloge successifs, on lui associe en aval une capacité; on parle dans ce cas d'un échantillonneur-bloqueur. 2.3- Echantillonnage réel (non instantané)


Les échantillonneurs réels possèdent généralement un certain temps d’ouverture τ correspondant au temps de commutation des interrupteurs statiques. Le signal résultant fτ*(t) est donné par la figure 5. fτ*(t)

T

τ

2T

t

Figure 5 : échantillonnage réel

Cet échantillonnage non instantané peut être traité comme un échantillonnage idéal à condition de multiplier le signal analogique f(t) par celui de la fonction fenêtre périodique de largeur τ. Si on suppose que τ << T, alors il vient : ∞

∑

fτ *(t ) =

τ f ( nT ) δ(t - nT) = τ f * (t) .

n = −∞

Donc la réalisation physique d'un échantillonneur réel revient à celle de l’échantillonneur idéal au facteur τ près. Cette propriété confirme le fait qu’il est impossible d’accéder physiquement aux amplitudes instantanées du signal. 2.4- Analyse spectrale d’un signal échantillonné L’étude spectrale d’un signal échantillonné permet de visualiser les effets de l'opération d'échantillonnage sur le spectre réel du signal original, ce qui permet de fixer des conditions sur le choix de la période d'échantillonnage pour une reconstitution exacte du signal. Supposons que la transformée de Fourier de f*(t) est donnée par F*(ν), où ν désigne la variable fréquentielle, alors on peut écrire que : X * (f) =

+∞

∫

x * (t) e - j 2 πν t dt ,

-∞

Soit: X * (f) =

+∞

∞

∫ ∑

x(nT) δ(t - nT) e - j 2 πν t dt ,

-∞ n = -∞

d’où : X * (f) =

+∞

∞

∫ ∑

x( nT) δ(t - τ − n T ) sinc (

-∞ n = -∞

πt ) dτ , T

posons : g(t) =

∞

∑ δ(t - nT )

.

n=-∞

Le signal g(t) qui est périodique, peut être décomposé en série de Fourier en utilisant les relations suivantes: +∞

∑

δ(t - nT) =

+∞

∑

Ck e j2kπ t/T


avec : 1 Ck = T

Ce qui donne :

∞

T/2

∫ ∑

δ(t - nT) e

- j 2π

k t T dt

=

-T/2 n = −∞ +∞

1 . T

1 +∞ j2πkt/T ∑ T n= −∞ e

g(t) = ∑ δ (t - nT) = n= −∞

Il vient : X*(ν ) =

+∞

∫

∞

x( t )

-∞

∑

δ(t - nT) e - j 2 πν t dt =

n =-∞

1 T

∞

∑

X(ν −

n =-∞

k ). T

Cette expression, appelée formule de Poisson, montre que le spectre de x*(t) est obtenu à partir de celui de x(t) par une somme de translations multiples de 1 T

∞

∑

X(ν −

n =-∞

k ). T

En conclusion, l'échantillonnage temporel conduit à une périodisation spectrale. 2.5. Théorème de Shannon Nous allons maintenant utiliser les résultats de l'analyse spectrale pour déterminer les conditions d'échantillonnage d'un signal. Pour cela, on a représenté sur la figure 6 le spectre théorique d'un signal analogique, donné par le motif élémentaire compris entre -N et N. X(ν)

-N

N

-1/2T

ν 1/2T

Figure 6 : spectre théorique d'un signal analogique

Selon la valeur de la période d'échantillonnage T et celle de N, deux cas peuvent se présenter ( on appellera Fe la fréquence d’échantillonnage ) : a) N ≤ Fe /2 Dans ce cas, la figure1-10 représente le spectre de x*(t). X*(ν) X(0)/T

-N - -1/2T

N

ν 1/2T

Figure 7 : spectre d'un signal échantillonné


Pour restituer le signal original, il suffit d'effectuer une troncature fréquentielle par une fenêtre rectangulaire ∏Fe(ν) centrée en 0 et de largeur Fe , ce qui revient à un filtrage passe bas idéal . Ainsi la Transformée de Fourier du signal original s'écrit : X(ν) = X*(ν ) . ∏Fe(ν) En appliquant la Transformée de Fourrier inverse, on aura le produit de convolution suivant : x(t) = T

+∞

∫

x * (t - τ )

-∞

πτ 1 sinc( ) dτ. T T

Cette expression représente la formule mathématique d'un interpolateur idéal. Malheureusement, cette reconstitution n'est pas physiquement réalisable du fait que le filtre est non causal (puisqu'il est défini de -∞ à+∞). Cependant la reconstitution mathématique rigoureuse est possible à posteriori, par interpolation :

x(t) =

∞

∑

x( n T) sinc (

n=-∞

t - nT ). T

b) N > Fe /2 Dans ce cas, il n'est plus possible de restituer le spectre initial à l'aide du filtre précédent en raison du recouvrement du spectre qui provoque la distorsion spectrale et la perte de l'information (figure 8). f(ν )

-Fo

-Fo/2

-N

N

Fo/2

Fo

ν

Figure 8 : recouvrement du spectre d'un signal mal échantillonné

• Enoncé du Théorème de Shannon Un signal dont la transformée de Fourier est bornée ( -N ≤ F(ν) ≤ N ) est parfaitement défini par ses valeurs échantillonnées si la fréquence d'échantillonnage Fe satisfait la condition : Fe ≥ 2 N . En conséquence, pour un signal périodique de fréquence Fo, la fréquence d'échantillonnage Fe doit être supérieure à deux fois la fréquence du signal, soit : Fe ≥ 2Fo .

2.6- Choix de la période d’échantillonnage


Le choix d'une fréquence d'échantillonnage supérieure à deux fois la fréquence la plus haute contenue dans le signal n'est pas suffisante en pratique. En effet, l'hypothèse de Shanoon n'est pas toujours satisfaite puisque les signaux traités ne sont pas à spectre limité. Un filtre idéal de type cardinal n’est pas réalisable et même l'utilisation d'un filtre passe-bas approximé, en amont de l’échantillonneur, ne conduit pas aux résultats souhaités. Pour cela, on choisit en pratique, une fréquence d'échantillonnage supérieure à celle de Nyquist et qui peut aller de 10 à 20 fois la fréquence du signal . 2.7- Filtre anti-repliement On sait que toute opération d'acquisition induit un bruit d'acquisition qui s’ajoute à celui que contient le signal, ce qui prolonge le spectre vers les fréquences élevées ( figure 9 ) et supérieures à la fréquence de Nyquist (Fo/2). Pour cela, il convient avant la numérisation du signal, d'affaiblir suffisamment les amplitudes de celui-ci au delà de (Fo/2) par un filtre passe-bas de fréquence de coupure Fo/2, appelé filtre de garde ou filtre antirepliement. ...... signal bruité ___ signal original f(ν ) X(v)

X(v) f(ν )

Fo/2 T/2

ν Signal + bruit avant le filtrage amont

Fo T

ν

effet de l'échantillonnage d'un signal bruité

f(X(v) ν)

Fo/2 T/2

FoT

ν

effet du filtrage amont sur le signal échantillonné

Figure 9 : effet du bruit sur l'échantillonnage

3- QUANTIFICATION La quantification consiste à remplacer chaque valeur échantillonnée e(k) par un multiple entier d'une quantité appelé pas de quantification q. Cette étape est principale pour la conversion analogique numérique. En effet, vue la capacité de résolution limitée des circuits électroniques, un signal échantillonné e(k) ne peut être représenté que par un nombre fini de valeurs discrètes qui dépendent du nombre de bits du CAN.


L'objectif visé par une telle opération est soit la transmission du signal ( quantification + codage + émission ) soit encore le traitement (filtrage, analyse spectrale, stockage ...) et ce de façon à préserver les propriétés statistiques du signal . Prenons le cas du signal échantillonné x(k) de la figure 10, alors l'expression du signal quantifié xq(k) est donné par :

xq ( k ) =

x( k ) − U min

xq(k) = 0 xq(k) = 2N-1

2

N

si

Umin
si si

x(k)Umax

x(t) t

2N-1 0

Figure 10

3.1. Paramètres de la quantification Une loi de quantification est caractérisée par : - les niveaux de saturation +∆max ( 0 et +∆ max pour un CAN unipolaire ) - le nombre de niveaux quantifiés M = 2N ; N : nombre de bits du CAN - le pas de quantification q = ∆ / 2N ( pour un CAN unipolaire ). - le facteur de charge du quantificateur γ = Xmax / σx La quantification varie d'une loi simplement uniforme à des lois plus complexes du type logarithmiques , à compression ou même adaptatives . * Exemple : a) Soit un CAN à 8 bits dont la tension analogique d'entrée maximale convertible ∆ est comprise entre 0 et 5 V ( ∆ = 5 V ) . - calculons la tension quantifiée pour un signal d'entrée x(k) = 3.5 V. a) même question si le CAN à 8 bits est bipolaire [-5, 5V] . * Solution : Le nombre maximal d'échantillons est de 28 = 256 ( soit de 0 à 255) Si on considère (q) le pas de quantification alors : q = _∆_ 256 Cette valeur représente aussi l'erreur de résolution, ainsi toute variation de l'échantillon inférieure à (q) sera automatiquement ignorée par le CAN.


a) cas unipolaire :

q = 5 / 256

xq ( k ) =

3.5 − 0 3.5 = .256 = 178,5 q 5

on prendra la valeur par défaut car la valeur quantifiée ne peut être qu'entière, soit: xq(k)= 178 . b) cas bipolaire :

q = 10/256

xq ( k ) =

3.5 − ( −5 ) 8.5 = .256 = 216,8. q 10

on prendra la valeur par défaut, soit: xq(k)= 216 . Conclusion : Pour diminuer l'erreur, on a intérêt à diminuer le pas de quantification (augmenter le nombre de bits N du CAN) . 3.2. Quantification uniforme C'est la quantification la plus classique sans aucune compression ou post traitement telle qu'a été décrit ci-dessus. Dans ce cas, la quantification peut s'effectuer par arrondi ou par défaut, à savoir: - par arrondi :

(k-0.5) q < e(k) < (k + 0.5) q

- par défaut :

k q < e(k) < (k+1) q Defaut

Erreur

Arrondi

Erreur

Figure 11 : Les deux types classiques de quantification


De plus, le quantificateur induit une erreur additionnelle caractérisant la distorsion ou le bruit de quantification ( Figure 11 ). a-) effet de la quantification uniforme sur la valeur moyenne emoy = (eq )moy + εmoy si on examine la figure 11 ci-dessus, on remarque que : (εmoy)tron = q/2

et

(εmoy)arr = 0 .

Ainsi, la quantification par arrondi ne modifie pas la valeur moyenne du signal, il n'en est pas de même pour la quantification par troncature . b-) effet sur la valeur efficace et la puissance du bruit: T/2

(εeff)arr = (1/T)

T/2

1 ε2 (t) dt = T -T/2

∫

-T/2

q2 ( q .t / T)2 dt = 12

∫

et : T/2

T/2

∫

ε2 (t) dt = T

(εeff)tron = (1/T)

1

∫

( 2q .t / T)2 dt = q2 /3

-T/2

-T/2

Conclusion La quantification superpose au signal uu bruit de valeur moyenne nulle et de puissance dans le cas de l'arrondi, de valeur moyenne q/2 et de puissance q2/3 dans le cas de troncature. Donc, la quantification par arrondi est donc la plus convenable. q2/12

3.3. Quantification avec compression des données Lorsque le nombre de niveaux quantifiés est élevé ( supérieur à 2N ) et lorsque la loi de quantification dépend de la densité de probabilité du signal , alors une loi de compression des amplitudes s'avère utile . Dans ce cas, il s'agit de déterminer une loi : U= f(x) telle que

Umax = Xmax

et

q = 2 . Xmax / 2N

On montre que la loi de compression optimale est donnée par : ξ

Fopt (ξ) =

∫o [Px( ξ) ] 1/3 dξ

_______________________ ξmax

∫o [ Px( ξ) }1/3 dξ


a) Quantification logarithmique En pratique, on préfère assurer un rapport S/B indépendant de la variance ( ou puissance ) du signal dans une gamme aussi large que possible . On choisit une loi de la forme suivante : A. |x | F (x) = _____________ sgn(x) 1 + Ln(A)

x Figure 12

Sachant que M = 2N , on aura un rapport signal / bruit : (S/B) = 6,02 N + 4,77 - 20 log( 1 + Ln(A) ) : (S/B) = 6,02 N + 4,77 - 20 log g+10 log[ A /( 1 + Ln(A) ) ] :

pour les grandes amplitudes pour les faibles amplitudes

La norme européenne utilise en téléphonie une valeur A = 87,56 b) compression selon la loi A et µ

(utilisée en transmission de la parole )


* Conclusion : A l'aide de la loi de compression logarithmique, on a amélioré le facteur (S/B) des faibles signaux de 10 log[A/1+Ln(A)] par rapport à la quantification uniforme (gain de 4 bits pour un CAD de 8 bits)

4- CODAGE Le codage revient à donner une représentation binaire ou autre au signal quantifié. On a vu qu'une combinaison de N éléments binaires pourra être codée par 2N amplitudes quantifiées.Il existe plusieurs types de codage de types statiques ( binaire, Hexa, RZ, NRZ, Manchester,…) ou dynamique ( Huffman,…) . Plus le codage est dynamique plus il s'adapte mieux à la transmission. 4.1. Puissance d'un codeur Soit un signal sinusoïdal d'amplitude crête à crête. Si on utilise le principe de quantification par arrondi, la puissance maximale du codeur est donnée par : 1 q 1 Pmax = 2 V2pp = 2 ( 2N . 2 )2 Pmax = 2 (2N-3) q2

ce qui donne :

4.2. Rapport Signal/Bruit On rappelle que l'acquisition et la quantification induisent un bruit dont la puissance est liée à la dynamique du codage. En effet, celle-ci est donnée par le rapport signal-bruit maximal S (B)max qui n'est que le quotient de la puissance maximale du codeur Pc par rapport à celle du bruit de quantification PB . En fait : S Pc N-1 (B)max = PB = 3. 2 soit encore : S (B)max (en dB) = 10 log ( 3 . 2N-1 ) = 6N + 1,76 Conclusion : Chaque bit supplémentaire améliore le rapport signal / bruit de 6dB. 4.3. Codage non linéaire Généralement, le rapport signal/bruit, diminue avec l'amplitude du signal. Pour cela, le pas de quantification doit être variable au sens inverse de l'amplitude. En fait, un codage non linéaire n'est qu'une compression du signal suivie d'un codage linéaire.


D'autre part, la compression des données permet de gagner en nombre de bits (zone mémoire), dans la mesure où on utilise le codage MICDA (codage différentiel adaptatif). Celle-ci consiste à coder les changements d'états (3 changements sont possibles : maintien de la valeur y, passage à y+q, passe à y- q) au lieu des accroissements de y. Ainsi, on utilise deux éléments binaires pour coder 3 changements d'état. 4.4. Codage dans le domaine temporel a) Codage PCM (Pulse Code Modulation) Il se base sur une numérisation complète de l’information modulée. b) Differencial Pulse Code Modulation DPCM Il est basé sur le codage de la différence entre deux échantillons : ce qui conduit à une dynamique réduite et à une utilisation d'un ensemble d'échantillons pour prédire le prochain échantillon. Donc le codage se fait sur : dn = sn – sn’ avec :

c) Adaptative Differencial Pulse Code Modulation ADPCM Il est de même que DPCM sauf que : "

quantificateur s'adapte aux propriétés du résidu dn

"

modification du mécanisme de prédiction en fonction du signal

selon deux types : "

feedforward adaptation : coefficients de prédiction et reconstruction calculés puis transmis

"

feedbackward adaptation : coefficients recalculés par récepteur

4.5. Codage dans le domaine fréquenciel

a)Codage par sous-bandes

Avantages :


5- RESTITUTION DU SIGNAL ECHANTILLONNE La reconstitution d'un signal est l'opération inverse de l'échantillonnage. Elle consiste à transformer une suite de nombres en une fonction continue. Cette opération est souvent nécessaire en commande numérique lorsqu'on ne peut pas commander un système par des impulsions. La façon la plus simple de restituer un signal est par un élément de maintien ou de blocage qui revient à une interpolation par un polynôme d'ordre zéro. Bien évidement, plus le degré de celui-ci est élevé plus la reconstruction est meilleure. En effet, dans les opérations de conversion numérique-analogique ou de commande numérique , on est obligé de retrouver la forme originale du signal analogique. D'ailleurs, il est évident que plus le nombre d'échantillons/période est élevé plus la reconstitution est plus simple. 5.1. Interpolation ou restitution idéale Supposons un signal e(t) échantillonné suivant la fréquence de Nyquist (Fo>2fm) dont le spectre est donné par la figure suivante : E(f)

-Fo

-Fm

Fm

Fo

Freq

Figure 14 : Spectre du signal à restituer

La reconstitution adéquate de E* peut se faire en ne conservant que le lobe central compris entre (-Fm, Fm). Cela revient à une multiplication fréquentielle de E*(f) par la fonction fenêtre . Cette opération n'est qu'un filtre passe-bas de fréquence de coupure Fm . Ainsi le signal restitué est donné par la formule d'interpolateur idéal : er (t) =

Σ

e(nTo)

sin (π.fo.t -n π) (π.fo.t -n π)

D'autre part, pour réaliser physiquement la fonction interpolateur ci-dessus, on a besoin d'un bloqueur pour maintenir la valeur de l'échantillon constante durant toute la période To . Bien évidement cette opération doit être suivie d'un CNA en vue de retrouver la valeur analogique du signal. 5-2- Extrapolation par un bloqueur d'ordre zéro On suppose que x(nT+ t ) = x(nT) selon le développement de Taylor pour 0 < t

bbo(t) (t) o

0

tt

TTo 2T2To

Figure 15 : réponse d'un échantillonneur bloqueur d'ordre zéro

La fonction de transfert du bloqueur d’ordre zéro est :

B 0(p) =

1 - e -pT 1 e -pT = p p p

D'autre part, l'étude de la réponse fréquentielle du bloqueur d'ordre zéro montre que celui-ci réalise un filtrage passe-bas, mais il atténue le signal de 64% à la fréquence de Nyquist Fo/2 . Remarque : Dans le pratique, on restitue le signal par un filtrage Passe-pas d'ordre supérieur ou égal à deux . 6- Méthodes d'étude des systèmes discrets Nous savons déjà que la Transformation de Laplace permet l’étude, la modélisation et l’analyse des systèmes linéaires continus. Son utilisation pour les systèmes échantillonnés conduit à des formes très complexes puisque la discrétisation fait apparaître dans la fonction de transfert des suites de fonctions polynomiales en p et par conséquent une infinité de pôles. La transformée en z permet justement de contourner ces difficultés tout en offrant les avantages de la transformation de Laplace. 6-1 - la transformée en z La transformée en z, est définie à partir de la transformée de Laplace d'un train d'impulsions pondéré par les valeurs du signal prises aux instants d'échantillonnage, en utilisant la transformation : z = eTp , T désigne la période d'échantillonnage. Si le signal échantillonné f*(t) est causal, alors : f * (t ) =

∞

∑ f (nT ) δ (t − nT )

n =−∞

d’où : F *( p) = TL[ f * (t )] =

∞

∑ f (nT ) e −nTp

n =−∞


En utilisant la transformation z = eTp , on aura l'expression : ∞

∑ f (nT ) z − n .

F ( z) =

n = −∞

En pratique, f(t) est causale donc f(nT)= 0 pour tout entier n négatif. Cette hypothèse sera adoptée dans la suite de ce chapitre. L'expression de F(z) peut être déterminée à partir de f(t). Cependant, on peut aussi la calculer à partir de la transformée de Laplace F(p) en utilisant le théorème des Résidus selon l'expression suivante : F( ξ )

n

F ( z) =

∑ résidu i =1

• Si les pôles pi de F(p) = n

F ( z) =

∑ i =1

N(p) D(p)

1 - e -Tξ z −1

ξ = pi

sont simples alors :

N ( pi ) 1 -Tp D' (pi ) 1 - e i z −1

avec : D' (p)

d D(u) du

u = pi

• Si F(p) comporte des pôles multiples alors le résidu relatif au pôle pi est:

Ri =

1 (n − 1)!

d ni −1 d

ξi −1

( ξ - pi ) ni

F (ξ ) 1 - e -Tξ z −1

u = pi

a) - Relations et correspondance entre les plans p et z En posant : p = σ+jω et z = eTp, alors le demi plan complexe à gauche de l'axe imaginaire se transforme dans le plan z en une surface intérieure en cercle unité (Figure16) . Im z=exp(Tp)

Im

1 0

Re

plan p

Re

plan z

Figure 16: correspondance entre les plans p et z .

b)- Propriétés de la Transformée en z • Linéarité : Z [α f1(t) + β f2(t) ] =α Z [f1(t)] + β Z [f2(t)]

( α et β∈ℜ ).


• Translation temporelle: retard d’un nombre entier de périodes d’échantillonnage :

Z [ f (t - kT) ] = z -k F(z) . On peut montrer qu'un retard temporel de k périodes se traduit par : Z [ f (t − kT )] =

∞

∑ f [ (n − k )T ] z − n =

z −k

n =−∞

∞

∑ f [ (n − k ) T ]

z − ( n − k ) = z − k F(z) .

n =−∞

♦ avance d’un nombre entier de périodes d’échantillonnage : Compte tenu de l'hypothèse f(kT) = 0 pour k < 0, il vient : Z [f(t + kT)] = z k F(z) - z k f(0) - z k-1f(T) - z k-2 f(2T) - ... - z f [(k-1)T] , On peut démontrer cette propriété de manière semblable que l'avance. En effet : Z[ f (t + kT )] =

∞

∑ f [(n + k )T ] z − n

∞

∑ f [ (n + k )T ]

= zk

n =−∞

z − (n + k )

n =−∞

posons t=nT et m=n+k, il vient : Z [ f (t + kT )] = z k

∞

∑

m= k

f(mT) z − m = z k [

∞

∑

f(mT) z − m -

m= 0

k −1

∑ f(mT)

z −m

m= 0

Z [ f (t + kT )] = z k F(z) - z k

k −1

],

∑ f(mT) z −m

,

m= 0

soit encore : Z [f(t + kT)] = z k F(z) - z k f(0) - z k-1f(T) - z k-2 f(2T) - ... - z f [(k-1)T] . • Translation complexe

Z [ f(p + α) ] = Z [ e-αt f(t) ] = F ( z eαT )

∀α∈℘

.

En effet, l'amortissement temporel qui résulte de la multiplication de la fonction par une exponentielle e-αt , conduit à :

[

Ze

−α t

∞

] ∑ f(kT) e

f (t ) =

−αkT

z

−k

k =0

∞

=

∑ f(kT) ze −αkT −m -

k =0

• Changement d'échelle Un étalement de l'échelle temporelle conduit à une compression dans le plan z.

z Z [ an f(nT) ] = F( a ) . On peut montrer cette relation de la même manière :


[

∞

∞

k =0

k =0

] ∑ f(kT) a k z − k = ∑ f(kT) ( az ) − k = F( az ) .

Z a n f (nT ) =

• Multiplication, sommation et différence ♦ sommation : k

z z -1

Z [ ∑ f(nT) ] = n=0

F(z) .

Pour montrer cette relation, posons : k

k −1

n=0

n=0

s(k) = ∑ f(nT) = f(kT) + ∑ f(nT) soit :

s(k) = f(kT) + s(k-1) . En appliquant la Transformée en z, on aura :

Z[ s(k) ] = S(z) = F(z) + z-1 S(z) , soit :

S(z) =

z z -1

F(z) .

♦ différence : En utilisant la même démarche précédente, on peut écrire : k

Z [ ∑ { f(nT) - f(n-1)T } ] = n=0

z -1 z

F(z) .

Pour montrer cette relation, utilisons les deux propriétés du retard et de la sommation : k

k

k

n=0

n=0

n=0

Z [ ∑ { f(nT) - f(n-1)T } ] = Z[ ∑ f(nT)] - Z [ ∑ f(n-1)T ] , k

Z [ ∑ { f(nT) - f(n-1)T } ] = S(z) - z-1 S(z) =(1- z-1) S(z). n=0

♦ multiplication : Z [ n f(nT) ] = - z d F(z)/dz . Cette expression s'obtient en dérivant par rapport à z, l'expression de définition de la transformée en z. • Convolution Z [ +∞ f1(n) f2(k-n) ] = F1(z) F2 (z) . ∑ Donc, la convolution temporelle revient à une multiplication fréquentielle. Z [ +∞ f1(n) f2(k-n) ] = ∑

+∞

∑ [ i =0

+∞

∑

f1(n) f2(i-n) ] z-i ,


d’où : +∞

+∞

+∞

+∞

∑ [ ∑ f (n) z-n ∑ f (i-n) ] z-(i-n) ] ,

Z [ ∑ f1(n) f2(k-n) ] =

i =0

n= 0

1

n= 0

i =0

2

+∞

Z [ ∑ f1(n) f2(k-n) ] = F1(z) F2 (z) . n= 0

• Théorème de la valeur initiale

f(0) = lim f*(t) = lim F(z) . t→ 0

z→ ∞

Cette propriété est une conséquence directe de la définition de la Transformée en z puisque :

F(z) = f(0) + z-1 f(1) + ... + z-i f(i) + ... Il vient : lim F(z) = f(0) . z→ ∞

• Théorème de la valeur finale lim f*(t) = lim (1- z-1) F(z) . t→ ∞

z→ 1

Ce théorème suppose que la valeur finale existe, ce qui implique que tous les pôles de F(z) doivent être stables. Dans ce cas, on peut démontrer ce théorème en posant :

f(nT) = f(0) + [f(T) - f(0)] + [ f(2T) - f(T)] + ... + [ f(nT) - f((n-1T)] . Il vient :

∞

f(nT) = ∑ [ f(kT) - f((k-1)T) ] , k =0

En utilisant la propriété de la différence, on obtient : ∞

lim f*(t) = lim f(nT) , t→ ∞

lim f *(t ) = lim f (nT ) =

t →∞

n →∞

donc :

n→ ∞

∞

∑ [ f(kT) - f(k-1)T) ]

k =0

,

lim f*(t) = lim (1- z-1) F(z) . t→ ∞

z→ 1

c) Exemples de calcul de la Transformée en z En utilisant la définition de la Transformée en z et ses propriétés, nous allons calculer la transformée de quelques fonctions usuelles. En utilisant la définition de la Transformée en z et ses propriétés, nous allons calculer la transformée en z de quelques fonctions usuelles.

♦ Echelon unitaire Γ(t) : Γ * (t) =

∞

∑

k =0

∞

δ (t - nT) soit Γ * (p) = ∑ e − nTp . k =0

Γ*(p) est la somme d'une suite géométrique de raison e-Tp et de premier terme l'unité, ce qui donne :

55 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________ 1 1 - e-Tp

Γ ∗ ( p) =

Γ ( z) =

⇒

1 1 - z -1

.

On peut aussi retrouver ce résultat en utilisant la méthode des résidus, soit : Γ( z ) =

N( 0 ) 1 1 = D' ( 0 ) 1 - z -1 1-z -1

.

D'(0) étant la dérivée par rapport à z de D(z) en 0 . ♦ Système du premier ordre : f(t) = Γ(t) e-at , ce qui donne : F(p) =

1 p+ a

,

En utilisant la définition de la transformée en z, il vient : ∞

F (z) =

∑

n=0

∞

∞

n=0

n=0

f (nT) z − n = ∑ e − naT z − n = ∑ ( e − aT z −1 ) n ,

soit encore : F (z) =

1 aT −1

1 − e− z

=

z

,

z − e − aT

En prenant a = 0, on retrouve la Transformée en z de la réponse impulsionnelle d'un intégrateur. ♦ F(p) = 1/((p+a) En décomposant F(p) en éléments simples, on obtient : 1/a (1/ap) - p+a

F(p) =

,

soit : F (z) =

♦ Rampe

1 1 1 1 . a 1 − z −1 a 1 − e − aT z −1

f (t) = t Γ(t) , soit F(p) =

1 p2

. .

A partir de la définition, on a : F(z ) =

∞

∑

f (nT ) z

−n

=

∞

∑

nT z

−n

= T

∞

∑

nz

−n

,

On peut utiliser la propriété de la dérivation et la multiplication suivante: Z [ n f(nT) ] = - z dF(z)/dz , d’où : F(z) = - T z d/dz [ soit :

1 ] = -Tz 1 − z −1

-z (1

-2 −1 2

)


F(z) = ♦ F(p) = 1/(p+a)(p+b)

T.z . (z − 1) 2

Par décomposition en éléments simples on aura : F(p) =

1 b-a

1/(p+a) -

1 b-a

1/(p+b) ,

1 b-a

−bT

d’où : F(z) =

1 1 − aT −1 b-a 1− e .z

-

1 1− e

. z −1

.

D'ailleurs, on peut retrouver le même résultat par la méthode des résidus. Dans notre cas, F(p) possède deux pôles réels distincts. Il vient :

d) Transformée en z inverse La transformée en z inverse permet de retrouver f*(t) à partir de sa transformée F(z). Plusieurs méthodes sont utilisées parmi les quelles on peut citer : • La décomposition en éléments simples Il faut décomposer en éléments simples l’expression de F(z)/z . Dans ces conditions les termes obtenus pour F(z) figurent dans les tables de transformées en z. Soit le système dont la transmittance échantillonnée est : F(z) =

2z+1 (z-0,5 )(z-01 ,)

Il vient : F (z ) 2z+1 20 10 30 , = = + − z z(z-0,5 )(z-01 , ) z z − 0,5 z − 0,1

d’où : F ( z) = 20 +

10z 30z , − z − 0,5 z − 0,1

D’après les tables des transformées en z, on obtient : f(k) = 20 δ(k) + 10 (0,5)k - 30 (0,1)k , il en résulte : f(0) = 0 , f(T) = 2 , f(2T) = 2,2 , f(3T) = 1,22

etc...

• Méthode des résidus N(z) Si F(z) = D(z) ne possède que des pôles simples, alors l'expression précédente se réduit à: f (nT ) =

∑

poles de F ( z )

 N ( z i ) n −1  zi  .   D' ( z i ) 


Reprenons le même système précédent : F(z) =

N ( z) 2z+1 = D( z) (z-0,5 )(z-01 ,)

,

Comme les pôles sont simples, Il vient : f (nT ) =

or :

N ( z) zn-1 D'

z = 0,1

+

N ( z) z n-1 D'

z = 0,5

,

N (z ) 2z+1 ,. = D'(z ) 2z-0,6

Il en résulte :

f(k) = 20 δ(k) + 10 (0,5)k - 30 (0,1)k ,

soit : f(0) = 0 , f(T) = 2 , f(2T) = 2,2 , f(3T) = 1,22

etc...

• Division euclidienne Elle consiste à effectuer la division N(z) par D(z) suivant les puissances croissantes de z-1. Ainsi, il vient : N(z) F(z) = D(z) = αo+ α1 z-1 + α2 z-2 + α3 z-3 + ... Par définition les αi sont les échantillons f(nT) du signal. Reprenons le même système précédent : F(z) =

N ( z) 2z+1 = D( z) (z-0,5 )(z-01 ,)

,

Effectuons la division euclidienne : z2 -0,6z + 0,05 2z +1 ____________________ 2 z-1 + 2,2 z-2 + 1,22 z-3 + ... D’où : F(z) = 2 z-1 + 2,2 z-2 + 1,22 z-3 + ... , ce qui donne par identification : f(0) = 0 , f(T) = 2 , f(2T) = 2,2 , f(3T) = 1,22

etc ...


6-2- La Transformée de Fourier discrète : DFT La TFD d’un signal discret x(n) est donnée par X(k) :

146 en posant W = e-j2π/N , il vient :

les Wi peuvent être représentés ainsi :


D’autre part :


Fig.16. Calcul de l’algorithme FFT


6-3- La transformée en cosinus discrète DCT


ENONCES DES EXERCICES DU CHAPITRE 5

♦ Exercice 1 Soit la suite suivante : f(k) = 1 - (0,35)k 1) Déterminer sa transformée en z. 2) Donner sa valeur finale. ♦ Exercice 2 a) Calculer la transformée en z de la fonction de transfert suivante : F(p) =

p+3 p(p-1)2(p + 5 )

.

b) Retrouver alors l'original f(nT) . ♦ Exercice 3 : Calculer les transformées en z inverse de : F(z) =

1 (z + 1) (z + 2 )

G(z) =

1 . (z + 1) (z + 2 )

et : 2

♦ Exercice 4 En utilisant successivement la division euclidienne puis la décomposition en éléments simples de X( z) , trouver les originaux xi(n) des expressions suivantes : z

X1(z) =

et : X 3(z) =

z2 z2 − 3z + 2

0,2z z 2 − 1,8z + 0,8

,

,

X 2(z) =

X 4(z) =

z 2

z − 3z + 2

,

z 2 (0,15z − 3) 4(z − 1)(z − 0,9)(z − 0,5)

.

- Comparer les valeurs des premiers échantillons obtenus par les deux méthodes ainsi que les valeurs finales Xi(∞) .


♦ Exercice 5 On donne le système échantillonné de fonction de transfert : H(z) =

S ( z) ( z − 1) , = E ( z) z( z + 1) 2 ( z + 2)

Déterminer la réponse s(k) à un échelon unitaire. ♦ Exercice 6 La sortie d'un système échantillonné est donnée par : H(z) =

4z . ( z − 1)( z − 3)

a) Calculer la valeur finale s∞ en utilisant le théorème de la valeur finale. b) Reprendre la même question en utilisant la Transformée en z inverse . c) Comparer les deux valeurs obtenues et conclure .


CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE 5

♦ Exercice 1 a) f(kT) = 1 - (0,35)k , En utilisant la table de la transformée en z, on trouve : F(z) =

z z . z −1 z − 0,35

F(z) =

0,65z . z 2 − 1,35z + 0,35

soit :

b) f∞ = lim (z -1) F(z) = 1 . z→1

La simulation par MATLAB de f(k) par le programme suivant, a permis de retrouver la courbe ci-dessous : num =[ 0.65 0] ; den =[1 -1.35 0.35] ; s =dimpulse(num,den,15) ; stem(s) ;grid ;

% 15 est le nombre des échantillons

1.1

1.05

1

f(k)

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75 0

5

10 k

15


♦ Exercice 2 F(p) =

p+3 p(p-1)2(p + 5 )

La décomposition en éléments simples de F(p) donne : F ( p) =

0,6 0,67 0,61 0,01 , + − + 2 p (p - 1) p -1 p

d’où : F (z) =

0,6 z 0,67 Te T z 0,61 z 0,01 z + − + z -1 (z - e T ) 2 z - e T z - e -5T

.

b) L'original f(kT) se fait en utilisant la table de la transformée en z : f(kT) = [ 0,6 + 0,67 kT ekT - 0,61 ekT + 0,11 e-5kT ] Γ(k) . ♦ Exercice 3 F(z) =

a)

1 (z + 1) (z + 2 )

.

En décomposant F(z)/z en éléments simples, il vient : f(z) 1 1 0,5 = − + z 2 z+1 z+2

,

et d'après la table de la transformée en z, on obtient : f(k) = 0,5 δ(k) - ( -1 )k + 0,5 ( -2 )k

.

La simulation par MATLAB de f(k) par le programme suivant, a permis de retrouver la courbe ci-dessous : num =[ 1 ] ; den =[1 3 2] ; s =dimpulse(num,den,7) ; stem(s) ; 40

20

f(k)

0

-20

-40

-60

-80 0

1

2

3

4 k

5

6

7


b) G(z) =

1 (z + 1) (z + 2 ) 2

Calculons les résidus des pôles (-1) et (-2) : R−1 =

1 1!

δ  2 n −1  (ξ + 1) .ξ F (ξ ) δξ  ξ =−1

R -1 = (n-1) (-1)n-2 - (-1)n-1 = - n (-1)n-1 .  N R−2 =  ( z) . z n −1   z =−2  D'

.

soit : g(n) = - k (-1)n-1 + (-2 )n-1 . ♦ Exercice 4 En utilisant la division euclidienne, on obtient : a)

X1(z) = 1 + 3 z-1 + 7 z-2 + 15 z-3 + ...

il en résulte :

,

x1(k) = δ(k) +3δ(k-1) +7δ(k-2) +15δ(k-3) + ...

b) X2(z) = z-1 + 3 z-2 + 7 z-3 + ...

,

x2(k) = δ(k-1) +3δ(k-2) +7δ(k-3) + ... c)

X3(z) = 0,2 [ z-1 + 1,8 z-2 + 2,44 z-3 + ... ] , x3(k) = 0,2 [δ(k-1) +1,8 δ(k-2) + 2,44 δ(k-3) + ... ] .

d)

X4(z) = 0,9 z-1 - 1,31 z-2 - 1,48 z-3 + ... ] , x4(k) = 0,9δ(k-1) -1,31δ(k-2) - 1,48 δ(k-3) + ... ] .

En utilisant la décomposition en éléments simples, on aura : a)

X1(z) 1 2 =− + , z z −1 z − 2

soit d'après la table des transformées en z : x1(k) = [ -1 + ( 2 )k+1 ] Γ(k) . b)

X 2 (z) 1 1 =− + , z z −1 z − 2


soit d'après la table des transformées en z : x2(k) = [ -1 + ( 2 )k ] Γ(k) . X 3(z) 1 1 = − , z z − 1 z − 0,8

c) soit :

x3(k) = [ 1 - ( 0,8 )k ] Γ(k) . X 4 (z) 1 2 1 =− + , z z − 1 z − 0,5 z − 0,9

d)

soit d'après la table des transformées en z : x4(k) = [ -1 + 2 ( 0,5 )k - ( 0,9 )k ] Γ(k) . La simulation par MATLAB a donné les courbes suivantes : 140

0.9

120

0.8

0.7

100

0.6

x2(k)

x1(k)

80 0.5

60 0.4 40 0.3 20

0.2

0 0

1

2

3 k

4

5

0.1 0

6

1

2

3

4 k

5

6

0.5

0

-0.5

x4(k)

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-3.5 0

0.5

1

1.5

2 k

2.5

3

3.5

4

♦ Exercice 5 H(z) =

a)

S ( z) ( z − 1) , = E ( z) z( z + 1) 2 ( z + 2)

La réponse à un échelon unitaire est : S(z) =

d'après l'exercice 3-b , on aura :

1 2

( z + 1) ( z + 2)

,

7

8


s(k) = [ - k + (2 )k-1 ] (-1)k-1

.

La simulation par MATLAB a donné la courbe suivante : 60 40 20 0

s(k)

-20 -40 -60 -80 -100 -120 1

2

3

4

5 k

6

7

8

9

♦ Exercice 6 a) En utilisant le théorème de la valeur finale, on a : s∞ = lim (z -1) S(z) = - 2 z→1

b)

En utilisant la Transformée en z inverse, on décompose en éléments simples S(z)/z :

on obtient :

S(z) 2 6 , =− + z z −1 z − 3

s(k) = [ -2 + 6 (3)k ] Γ(k) , ce qui donne une valeur finale :

S∞ = ∞ .

Les deux valeurs sont différentes car le théorème de la valeur finale ne s'applique que si les pôles de [ (z-1) S(z) ] sont à l'intérieur du cercle unité, chose qui n'est pas vérifiée dans ce cas. Donc, il faut utiliser la deuxième méthode qui donne :

c)

S∞ = ∞ .


Chapitre III

ANALYSE ET SYNTHESE DES FILTRES NUMERIQUES

1- Introduction L'opération de filtrage est une étape indispensable lors du traitement des données. Le filtrage suit l'acquisition qui induit généralement des bruits d'origines divers, de plus il est nécessaire lors de la reconstitution du signal. Comme la réalisation de filtres analogiques d'ordre élevé est assez compliquée alors il est recommandé que les opérations de prétraitement ou post-traitement se fassent par des filtres numériques simplement programmables par des équations récurrentes. La figure 1 représente le synoptique d'un système d'acquisition et de filtrage d'un signal stochastique .

Filtre

E/B

Antirepliement

Traitement numérique

Filtre de lissage

Figure 1 : Acquisition et filtrage d'un signal

2- définition d'un F.L.I En général, un filtre numérique est un convolueur temporel qui réalise une convolution discrète entre sa séquence de Réponse Impulsionnelle et sa séquence d'entrée . Il es appelé filtre linéaire invariant (FLI) s'il vérifie de plus la propriété de l'invariance temporelle ( indépendant de l'origine du temps) , dans ce cas ses coefficients sont constants. Filtre : H(z) e(k)

s(k)=e(k)*h(k) Figure 2

Ainsi, l'expression de la sortie du filtre supposé d'ordre M sera: M-1

s(n) =

Σ

k=0

h(k) e(n-k)


D'autre part, les filtres numériques sont de deux types, à savoir les filtres récursifs et les filtres non récursifs. Pour l'analyse et la synthèse, ils peuvent être approchés par les filtres analogiques équivalents. 3- Les filtres non récursifs R.I.F 3.1. définition Un filtre non récursif ou à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) est un filtre dont la sortie s(k) est indépendante de l'état antérieur s(k-1). La sortie s'exprime sous la forme recurrente : M-1

s(n) =

Σ

a(k) . e(n-k)

k=0

Les coefficients (ak) de pondération du filtre d'ordre M constituent sa mémoire. Celleci est donc limitée puisque le filtre n'utilise que les (n) entrées présentes pour calculer sa sortie actuelle s(n).D'ailleurs, ces coefficients (ak) ne sont que les valeurs de la réponse Impulsionnelle du filtre, d'où l'appellation du RIF. 3.2. Structure d'un filtre RIF Chaque sortie d'un filtre RIF d'ordre M nécessite (M) mémoires de données et (M) mémoires de coefficients (ak). De plus elle utilise (M-1) cellules de retards R, M multiplications et (M-1) additions. La structure de réalisation est donnée par la figure suivante: E(n)

ao

R X

R a1

X

R X

a2

+

am-2

+

X +

Figure 3 : Structure d'un filtre RIF

3.3. Réponse impulsionnelle h(k) = 0 si k < 0 h(0) = ao.1 + a1.0+ a2.0+ ... = ao h(1) = ao.0 + a1.1 + a2.0 + ... = a1 ………………………………….. h(M-1) = ao.0+ a1.0 + ... + an-M+1 = an-M+1 h(k) = 0 si k > M-1 et comme

M-1

s(n) =

Σ

k=0

a(k) . e(n-k)

am-1

X +

S(n)


on aura alors : M-1

Σ

s(n) =

h(k) . e(n-k)

k=0

Donc, Les coefficients d'un filtre RIF ne sont que les échantillons que sa réponse impulsionnelles. Etant donné que ces coefficients sont en nombre limité, la réponse impulsionnelle s'annule au bout des M valeurs. On dit alors qu'on a un filtre à réponse impulsionnelle finie.

h(n)

. 1

n

M

5

Figure 4: Réponse Impulsionnelle d'un RIF

3.4. Réponse indicielle La valeur finale de la réponse indicelle d'un RIF est égale à la somme des coefficients du filtre. En effet :

γ(k) = 0 γ(0) = ao γ(1) = ao + a1

si k < 0

......

...........

γ(k) = ao + a1 + ... + ak γ(k) = γ(M-1)

si k < M-1 si k > M-1

Γ

1

M

figure 4 : Réponse indicielle d'un RIF

n


3.5. Réponse harmonique : Un filtre RIF ne possède pas de pôles puisque sa fonction de Transfert échantillonnée est de la forme : M-1

H(z) =

Σ

a(k) . z-k

k=0

Donc, un filtre RIF est toujours stable. H(jω) = |H(ω)|. Exp[ j φ(ω) ]

To : période d'échantillonnage

φ(w) = Arg( H(jw) ) = - (M-1).To .π. f

w= 2.π.f

Ainsi, le déphasage introduit par le filtre est proportionnel à la fréquence f . On dit qu'il s'agit d'un filtre à phase linéaire. 4- Synthèse d'un filtre non récursif Il s'agit de calculer les coefficients du filtre pour que sa réponse fréquentielle HN(jw) coïncide avec une fonction Ha(jw) donnée, et ce dans un domaine ( -fo/2 , fo/2 ) : (M-1)/2

HN(jf) =

Σ

To ha(nTo) . exp[(j2ππf n)To]

k= - (M-1)/2

Les méthodes de synthèse sont les suivantes : 4.1. Technique de la Réponse Impulsionnelle : Si on connait l'expression analytique du support analogique équivalent HA(jw), alors on peut déterminer les coefficients (ai) du filtre par la transformée de Fourier inverse puis par un échantillonnage temporel. HA(jw) →

hA(t)

→

h*A(t) → ai

fo/2

soit encore

hA(t) =

∫

HA( j f). exp(j2 π f ). df

→

hN(n) = h*A(t) = To . hA(nTo)

- f o/2

D'après l'expression précédente, la Réponse Impulsionnelle est infinie et non causale, ce qui est en contradiction avec la définition d'un filtre RIF. Pour celà, il faut effectuer une troncature de la RI échantillonnée par une fenêtre FM(t) de largeur M.To telle que : hNM(t) = FM(t) . hN(t) = FM(t) .[ hA(t). To . ⊥

To(t)

]

Cette opération se traduit dans le domaine fréquentiel par le produit de convolution :


HNM(f) = FM(f) * HN(f) Cette convolution fait apparaitre des ondulations en bande passante et limite la fréquence de coupure du filtre. Pour cela, on utilise des fenêtres speciales du type de Bartlett, Hamming, Hann, Blackman etc ... Pour rendre la Réponse impulsionnelle causale, il faut la retarder de To (M-1)/2 , soit une rotation fréquentielle de To (M-1)π πf . En défintif les coefficients (an) s'expriment de la manière suivante :

* pour 0 < n < M-1

sin(2π π.fc To( n_ M-1 ) ) --------------------------2-------π ( n_ M-1 )

an = FM(t) .To . hA( n _ M-1) .To) ) = 2

2

4.2. Technique d'échantillonnage fréquentiel : Lorsqu'on ne connait pas l'expression de HA(w), la méthode de la RI n'est plus applicable. On utilise alors la Transformée de Fourier Discrète TFD inverse. Soit une séquence fréquentielle HA(k) de M valeurs par période ( valeurs retenues par mesures ou essais ) : TFD-1

HA(k)

→

M-1

hA(i) =

Σ

HA(k) . exp( j2k i /M)

k=0

avec -(M-1)/2 < k < (M-1)/2 décalage

soit

hA(i)

→

ai = hA(i)/M = (1/M) ha [To (i _ M-1) ] 2

5. Les filtres récursifs R.I.I Un filtre récursif RII ou à Réponse Impulsionnelle Infinie est décrit par la relation de recurrence : p

s(n) =

Σ

q

ai e(n-i) -

i=o

Σ

bj s(n-j)

j=1

soit une fonction de transfert de la forme : p

Σ bi

z-i H(z) = _______ _____________ q

1 + Σ ai z- j 1


L'équation caractéristique de H(z) possède q pôles ; le filtre est dit d'ordre q ; pour cela il faut s'assurer des conditions de stabilité du RII, c.à.d que les pôles se trouvent à l'intérieur du cercle unité. •

structure canonique

Fig.5. Structure d’un RII 6. Synthèse des filtres R.I.I On désire déterminer la F.T d'un filtre RII dont la réponse temporelle ou fréquentielle est donnée par un gabarit précis. Comme d'habitude le filtre d'appui sera l'équivalent analogique. 6.1- Synthèse par l'invariance impulsionnelle Le filtre RII doit avoir une réponse impulsionnelle donnée. Le principe est le suivant : Ech

→

h(t) •

T. Z

h*(t)

→

H(z)

Exemple : Soit un filtre passe bas du 1er ordre donné par sa FT

H(p) = 1/ 1 + τ. p

⇒

h(t)= 1/τ exp(-t/τ)

⇒ h(n)=(1/τ) exp(-nTo/τ)

⇒

1- exp(-To/τ) H(z) = _______________ 1 - exp(-To/τ) . z-1

6.2. Synthèse par l'invariance indicielle : Le filtre RII doit avoir une réponse indicielle γ(t)

⇒

γ∗(t)

⇒ γ(z)

γ(t)

donnée :

⇒ H(z)= γ(z)/U(z)

avec: U(z) = z / z-1


6.3. Synthèse par la méthode d'Euler : On simule chaque bloc analogique ( derivateur ) par une Transformée en Z. Ainsi, par approximation du dérivateur s(t) = d e(t) /dt ; on aura :

e(nTo) - e( (n-1)To) s(n) = _____________________ To

TZ

⇒

E(z) (1- z-1) S(z) = ____________ To

On retrouve la Fonction de Transfert H(z) du filtre recherché en posant p=(1-z-1) / To , dans la FT du filtre analogique . 6.4. Synthèse par la méthode de trapèze : On approche la fonction intégrateur par l'expression : s(n) = s(n-1) + To [ e(nTo) - e( (n-1)To) ] On 2 retrouve la FT du filtre recherché en posant p = 2 (1- z-1) / To(1+ z-1) , dans la fonction de Transfert du filtre .

7- Les Filtres à décimation

* Structure canonique

* sortie du filtre

Fig.6. Filtre à décimation


7-2- Filtre élévateur de fréquence

Fig.7. Filtre élévateur de fréquence

7-3- Filtre élévateur-décimateur de fréquence

Fig.8. Filtre élévateur-décimateu.


EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6

• Exercice 1 On désire déterminer la réponse d'un filtre récursif RII du second ordre dont la fonction de transfert est donnée par : H(z) =

1 + z-1 + z-2 1 -0.5 z-1 + 0.5 z-2

La fréquence d'échantillonnage est fo = 1000 Hz. a) Observer les Réponses impulsionnelle et harmonique du RII2 - conclure sur sa stabilité et son type ( P.Bas , P.Haut , P.Bande ou C.Bande ) . b) Déterminer la ou les fréquences de coupure du filtre RII . c) Comparer le filtre numérique précédent avec son équivalent analogique. • Exercice 2 On désire approcher la réponse fréquencielle d'un filtre analogique pass-bas de fréquence de coupure fc et de gain unité à celle d'un filtre numérique non récursif RIF d'ordre No, dans le domaine [0 , Fo/2] ; Fo étant la fréquence d'échantillonnage. on donne : - Ordre No= 5 - Fréquence d'échantillonnage Fe= 1000 Hz. - Fréquence de coupure relative Fc/Fe = 0.2 a) Observer la réponse impulsionnelle du RIF. En déduire ses coefficients. b) Vérifier ce résultat par la réponse indicielle du RIF5 . c) Comparer la réponse harmonique du RIF choisi avec celle de son équivalent analogique


• Exercice 3 a) Concevoir un filtre numérique numérique d'ordre 3 et échantillonné à fo = 1 kHz, de type pass-bas de fréquence de coupure fc = 100 Hz, ayant une atténuation < 35 dB à f = 40 Hz . b) Observer les réponses impulsionnelles et harmonique du RII c) Comparer le RII trouvé avec son équivalent du support . d) même question pour la conception d'un filtre de Butterworth d'ordre 3 . On rappelle que le filtre de Butterworth possède une fonction de transfert H(f)=1 / [1+ (f/fo)2n].


CORRIGE DES EXERCICES DU CHAPITRE 6 Corrigé de l’exercice 1 : Réponse impulsionnelle 1.5

r é p o n s e im p u ls io n n e lle

1

0.5

0

-0 . 5

-1 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

tem ps

Réponse fréquencielle du filtre : 10

gain

10

10

10

2

0

-2

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

dé phas age

1 0 -1 -2 -3 -3 10

10

-2

-1

10 puls ation

10

0

10

1


Le filtre est du type passe-bas de fréquence de coupure Fc= wc/2π = 1/π ( car wc=2) Les poles du filtre sont : Z1 = 0.2500 + 0.6614 i Z2 = 0.2500 - 0.6614 i dont les modules sont égaux à 0,707. Donc le filtre est stable.



Chapitre IV

TECHNIQUES DE TRANSMISSION DU SIGNAL

1-Constitution d'un systéme de transmission En général, un système de transmission a pour but de transmettre et/ou recevoir de l'information du type texte, image ou parole. Il est constitué d'un émetteur, un récepteur, un support de transmission ( figure 1).

générateur d'information ( texte,image,son)

codage

modulation

démodulation ligne

décodage

récepteur d'information

Figure 1: synoptique d'un système de transmission

Dans le cas d'un système de transmission purement analogique ( emission radio, Hertzien TV ) , l'information transmise ( parole ou/et image ) est analogique sera modulée sans codage. Alors que dans les systèmes numériques ( réseau téléinformatique, TV satellitaire), l'information est tout d'abord numérisée, traitée puis codé et modulée . 2- Techniques de transmission analogiques Dans un système de transmission analogique, l'élément essentiel est la partie modulation et démodulation. L'émetteur génère l'information ( image tournée par caméra analogique par exemple ) , l'amplifie à travers une étage FI intermédiaire puis lui associe la parole et enfin la module en HF que ce soit en amplitude ou en fréquence. Nous allons examiner dans la suite les différentes méthodes de modulation. 3-Modulation d'amplitude L'objectif d'une émission est de transmettre un message ou une information. Celle-ci, rarement transmise sous sa forme initiale, est "imprimée" dans un paramètre ( amplitude, fréquence ou phase ) d'un signal de haute fréquence, appelé porteuse. L'information de basse fréquence est appelée modulatrice ou référence. La porteuse transporte donc l'information et


on dit alors qu'on module la porteuse. A la réception, on procède par une opération inverse, en supprimant la porteuse pour restituer l'information initiale. 3-1- Principe de la modulation d'amplitude AM L'information à transmettre est contenue dans les variations de l'amplitude de la porteuse ( fig 2 ). 1 0 .8

s ig n a l m o d u lé e n A M

0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Fig 2 : Représntation temporelle d'un signal modulé en AM

Dans ce cas l'amplitude de la porteuse e(t) est modulée par l'information f(t) autour de sa valeur moyenne Eo . Sachant que

e(t) = Eo cos ωo t f(t) = Fo cos Ω t

: porteuse : information

alors le signal modulé est donné par : S(t) = [ Eo + f(t) ] . cos ( ωo.t ) Soit encore

S(t) = Eo ( 1 + m cos Ω t ) . cos ωot

avec

m : le taux ou indice de modulation = Fo/ Eo a) Discussion suivant m :

• •

si m > 1 : alors cela conduit à une surmodulation , et par conséquent à une distorsion du message f(t) lors de sa restitution . si m < 1 : bonne modulation ( cas à utiliser ).


3-2- Analyse spectrale : L'expression du signal modulé S(t) en AM, peut se mettre sous la forme : S(t) = Eo cos ωot + 0.5 m Eo cos (ω ωo + Ωo)t + 0.5 m Eo cos (ω ωo - Ω)t Ce qui donne un spectre d'amplitude de la forme de la figure 3. Ce spectre en fréquence de S(t) est représenté par la porteuse et deux bandes latérales centrées autour de ωο D'autre part, le message à transmettre est contenu dans les 02 bandes latérales uniquement . S(f) Eo mEo/2

Fo-fm

mEo/2

Fo

f

Fo+fm

Fig 3: Spectre d'amplitude d'un signal modulé en AM

Ainsi, la modulation AM possède l'avantage d'être facilement réalisable et restituable. Cependant, elle demande une quantité importante d'energie lors de la propagasion de la porteuse , alors que celle-ci ne contient pas l'information Ainsi, la transmission du signal avec ces 3 raies conduit à un gaspillage de la puissance émise. En pratique, on ne transmet que les deux bandes latérales ( DSB ) et même à bande latérale unique ( SSB ). En téléphonie par exemple, on transmet par bande latérale unique (BLU) alors qu'en radio ou en TV on émet la porteuse et l'une de ses bandes latérales. 3-3 Modulation à Bande Latérale Unique BLU ( ou SSB ) Pour gagner au niveau de la puissance d'emission, il est suffisant de conserver l'une des bandes latérales puisque celles-ci reflètent le contenu informatif du message f(t) . Cependant, la difficulté réside du côté de l'extraction de la bande considérée et sa restitution . Pratiquement, on module tout d'abord sans porteuse puis on selectionne la bande latérale par des filtres ou de fenetres fréquentielles . 3-4- Demodulation AM Elle consiste à restituer à partir du signal s(t) modulé, l'information à recevoir f(t) . Une fois reçu par l'antenne, le signal s(t) est amplifié puis redressé par diode HF ( AA 119 ), le signal HF sera ensuite éliminé par un filtre détecteur de crête.

D S(t)

R

C

S2(t)

Fig 4 : principe du détecteur de crête


Le signal S2 (t) peut se mettre de la façon suivante : Ωt+ϕ) S2 (t) = A . Fo cos (Ω soit encore :

αEo2

S2(t) =

β Eo2 sin Ω t + γ Eo2 sin 2Ω Ωt

+

comp.continue

comp.alternative BF

α, β et γ sont des constantes. - Pour qu'il n'y a pas de distorsion de la tension détectée il faut que le taux de modulation : m < ____1_____ √1+τ2 Ω 4- Modulation de fréquence 4-1- Principe de la modulation FM : Elle consiste à imprimer le signal information BF dans la variation de la fréquence de la porteuse HF. Contrairement à la modulation AM, l'amplitude est constante ainsi que la puissance, par contre la largeur du canal doit être élargie. 1

s ig n a l m o d u lé

en FM

0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Figure 5: signal modulé en FM

m(t) = Uo cos Ω t p(t) = Vo cos wo t Le signal modulé est donné par : Soient

S(t) =

: information : porteuse

Vo. cos [ wo t

+

2 k π m(t) ]

Uo cos Ω t ] * posons ∆w = 2 k π Uo

et

α = ∆w/Ω : indice de modulation

= Vo. cos [ wo t + 2 k π


⇒ S(t) = Vo . cos ( wo t + ∆w cos Ω t ) = Vo cos [ w(t) ] Comme w(t) = d θ (t) / dt ⇒

θ (t) = wo t + (∆w/Ω) sin Ω t

⇒

S(t) = Vo . cos ( wo t + α sin Ω t )

⇔ S(t) = Vo . [cos wo t . cos ( α sin Ω t ) - sin wo t . sin ( α sin Ω t ) ] a) cas d'une faible modulation NBFM ( Narrow Band FM ) * α <<1 : le spectre est à bande étroite, alors l'expression de S(t) peut être simplifiée : S(t) = Vo . [cos wo t - a sin wo t sin Ω t ] = Vo.cos wo t + 0.5 α Vo cos (wo+Ω) t - 0.5 α Vo cos (wo-Ω) t . Ce signal peut être représenté dans le domaine spectral par la figure 6. S(w)

Vo

αVo/2 ωo-Ω ωo

ωo+Ω

Figure 6 : spectre d'un signal faiblement modulé en NBFM

b) cas d'une modulation à large bande WBFM ( Wide Band FM ) * α > 0,3 : le spectre est calculé par les coefficients de Bessel selon l'approximation : sin ( α sin Ω t ) = 2

Σ J2n-1(α)

sin (2n-1)Ω t

et cos ( α sin Ω t ) = Jo(α) + 2

Σ J2n(α)

cos (2n)Ω t


La figure 7 représente le spectral du signal FM qui est riche en harmoniques ωo+Ω, ωo-Ω, ωo+2Ω, ωo-2Ω, ωo+3Ω, ωo-3Ω,………….…, ωo+nΩ, ωo-nΩ. S(f)

ωo

ωo+Ω

ωo+nΩ

Figure 7 : spectre d'un signal à bande WBFM

4-2- Avantages et inconvénients de la FM: La modulation FM offre les avantages suivants : - élimination des perturbations d'amplitude - meilleur rendement des étages de puissance - meilleur rendement du rapport signal-bruit par rapport à la modulation AM. Cependant, ses inconvénients sont : - la bande passante élevée - les bruits importants aux hautes fréquences - la complexité de conception ( circuits non linéaires ). 4-3- Règle de CARSON ( choix de la BP en FM ) : La bande passante BP en FM est choisie telle que : BP = 2 Fm . ( 1 + α ) = ( 1 + α ) . Ω / π Fm étant la fréquence de l'information BF α est l'indice de modulation en FM. 5- Modulation de phase 5-1- Principe de la modulation FM :


Elle consiste à imprimer le signal information BF dans la variation de la phase de la porteuse HF. Contrairement à la modulation AM, l'amplitude est constante ainsi que la puissance, par contre elle du type angulaire et de même catégorie que la modulation FM.

Figure 8: signal modulé en PM

m(t) = Uo cos Ω t : information p(t) = Vo cos ωo t : porteuse Le signal modulé PM est donné par :

Soient

S(t) =

Vo. cos [ ωo t

+

kp m(t) ]

= Vo. cos [ ωo t + kp Uo

cos Ω t ] * posons mp = kp Uo : indice de modulation ⇒ S(t) = Vo . cos ( ωo t + mp cos Ω t ) a) cas d'une faible modulation NBPM ( Narrow Band PM ) * mp <<1 : le spectre est à bande étroite, alors l'expression de S(t) peut être simplifiée : S(t) = ( Vo . cos ωo t ) - [ Vo . sin ωo t . mp cos Ω t ] ⇒ S(t) = Vo.cos ωot + 0.5 mp Vo cos [(ω ωo+Ω Ω)t +π π/2] - 0.5 mp Vo cos [(ω ωo-Ω Ω)t+π π/2] Ce signal peut être représenté dans le domaine spectral par la figure 9. S(w)

ωo-Ω ωo

ωo+Ω


Figure 9 : spectre d'un signal faiblement modulé en NBPM

b) cas d'une modulation à large bande WBPM ( Wide Band PM ) * mp élevé : le spectre est calculé par les coefficients de Bessel et conduit à un spectre riche en harmoniques. Le calcul se fait de la même façon que la modulation WBFM. S(w)

ωo ωo+Ω

ωo+nΩ

Figure 10 : spectre d'un signal à bande WBPM

5-2- choix de l'indice de modulation PM : On choisit mp telque : mp = kp Uo ≤ π Uo : étant l'amplitude de l'information BF

6-Modulation numérique PCM 6-1- Principe La modulation par impulsions codées (ou Pulse code modulation) est une des techniques de modulation numérique qui utilise les propriétés de la numérisation des signaux. Cette opération comprend trois étages élémentaires, à savoir : + L’échantillonnage + La quantification + Le codage. Le synoptique d’une chaîne de numérisation complète est donnée par la figure 11.


e(t)

Echantillonnagee*(t)

quantification e(k) ( CAN)

N bits codage

Figure 11

6-2 - Réalisation pratique de la modulation PCM a) Modulateur PAM : La première étage de la figure 12 se réalise par un modulateur PAM (modulateur de l’amplitude des impulsions) qui n’est qu’un échantillonneur non instantanée (FET commande ayant un temps d’ouverture τ ).

τ

H K e(t)

s

C

To

Figure 12

La fréquence de l’horloge FH (dite fréquence d’échantillonnage) doit obéir au théorème de Shanoon ( FH > 2 Fs ) . où

FS : fréquence du signal d’entrée. FH : fréquence d’échantillonnage.

b- Analyse spectrale d’un signal modulé en PAM

Figure 13

S pa m(t) = As

∞ τ τ sin c (π f s τ) + ∑ A s Ts Ts n=1

sinc ( π.τ (nfH + fS ) . cos

2 π (nfH + fS )t


Le spectre d’amplitude est donné par :

C n = As

τ sinc π.τ (nfH + fS ) Ts

c) Principe du Multiplexage : Le spectre des harmoniques est translaté en fréquence ce qui permet un multiplexage temporel élevé si la durée des impulsions τ est d’autant plus petite - Cette propriété est très utilisée dans les transmissions numériques et analogiques.

Figure 14 : principe du multiplexage temporel des canaux

d) Modulateur PCM : Les étages 2 et 3 (quantificateur et codage) de la figure 15 constituent le modulateur PCM (pulse code Modulator). Celui-ci est constitué d’un CAN (convertisseur analogique numérique) à N bits suivi d’un codeur linéaire binaire.



Annexe

PRESENTATION DE MATLAB

1) PRESENTATION DU LOGICIEL MATLAB Le logiciel MATLAB ( MATrix LABoratory ) est outil de simulation mathématique puissant, utilisé en Automatique et en Traitement du signal pour le traitement des donnés, l'analyse spectral, l'identification et la commande des systèmes linéaires continus et discrets. Il utilise les mêmes outils mathématiques développés dans le cours ainsi que des logiciels numérique pour le calcul, le traitement et la résolution des équations régissant le système (Algorithme de Newton, Runge-Katta, RLS, MCO,...). Le logiciel comporte plusieurs thèmes d'étude appelées TOOLBOX dont les plus utilisés sont les suivants : - Traitement de signal - télécommunications - Identification - Commande. - Optimisation etc… La souplesse du logiciel réside par le fait qu'il s'adapte aux différentes représentations possibles des systèmes (rep. par Equation d'Etat, par Fonction de Transfert., par Equation différentielle...) et aux différentes méthodes d'identification. Les résultats (valeurs et courbes) peuvent être stockés sur un fichier extérieur dont l'extension doit être du type (nom fichier. mat). 2) INITIATION AUX COMMANDES ESSENTIELLES DE MATLAB 1- Représentation par la fonction de transfert (F.T.)


Soit la F.T. d'un Système linéaire: N(p) bo+b1 p+...+bq .p q H(p) = = D(p) n ao+a1 p+...+a n p La représentation polynomiale du numérateur et du dénominateur est donnée par les vecteurs : NUM = [ bq bq-1 ... b1

bo ]

DEN = [ an

ao ]

an-1...

a1

a) Calcul des pôles de H(p) : Cela revient à calculer les racines de D(p). La commande est la suivante : roots (DEN) b) Passage de la F.T. à la représentation ZERO-POLE Si on veut connaître le gain statique K, les zéros Zi et les pôles Pi de la F.T. H(p), on peut exécuter la commande suivante : [ Z, p, K] = tf2ZP (NUM, DEN) 2- Représentation temporelle a) Réponse impulsionnelle

h(t) = TL-1 [ H(p) ]

La commande est la suivante : IMPPULSE ( NUM, DEN , t ) où NUM ET DEN représentent les vecteurs relatifs ou numérateur et au dénominateur de la F.T. t : étant la variable temporelle et dont la plage de variation doit être spécifié précédemment. Soit par exemple ; t = 0 : pas : tmax b) Réponse indicielle C'est la réponse à un échelon unitaire la commande est la suivante : Y = STEP (NUM, DEN,t) c) Réponse à une entrée arbitraire Si l'entrée U du système linéaire continu est quelconque, celle-ci doit être définie comme fonction ou comme suite de valeurs. La commande est la suivante : Y = LSIM (NUM, DEN, U, t) 3°) Représentation fréquentielle


a) Diagramme de Nyquist [ Re , Im] = NYQUIST (NUM, DEN, w) w : étant la pulsation et dont la plage de variation doit être spécifié à l'avance. par exemple : w=logspace(-2,1,1000) ⇒ 1000 valeurs de W variant entre 10-2 et 10+1 b)

Diagrammes de BODE [Mag, Phas] = BODE (NUM, DEN, w)

En décibels on peut écrire : Mag db = 20* Log 10 (Mag) . La représentation dans le plan de Black peut être déduite par la commande suivante : SEMILOGx (phas, mag)

3- IDENTIFICATION ET SIMULATION 3-1. Simulation d’un système linéarie : On considère le système suivant A(q).y(t) = B(a) u(t-d)+C(q) e(t) avec u : entrée e : bruit ; La commande sera :

;

d : retard y : sortie TH = mktheta (A,B,C) ; Y = Idsim ([u e],TH) ;

3-2. Estimation des paramètres du modèle A l’aide des séries de mesures entrées/sorties effectuées sur le système à identifier on désire déterminer les paramètres du modèle selon : Z = [y,u] ; n = [nA, nB , nC d] ; TH = ARMAX (Z,n) ; TH = IVA (Z,n) ; (Z0, P0,K0) = ZP (Th) ; [A,B,C] = polyform (th) ;

% modèle du type ARMAX % erreur de modélisation % pôles et zéros du modèle % forme polynomiale du modèle

3-3. recherche du modèle continu On considère un modèle TH déjà recherché selon une méthode numérique. Les numérateur et dénominateur sont donnés par :


[Num,Den] = CONT(TH) ;

3-4. Simulation à une entrée arbitraire * en continu :

y = LSIM (A,B,C,D,u,t) ou

* en discret :

y = LSIM (Num,Den,u,t) y = DLSIM (Num,Den,u)

3-5. Opérations matricielles * Diagonalisation * Triangularisation

B = diag (A) C = Triu (A)

4- ANALYSE SPECTRALE 4-1. FFT d’un vecteur : Les échantillons ( points ) sont au nombre = 2No où No = nombre de bits du CAN. Les commandes sont : Y = FFT (X,No) ; PXX = X.* conj(X)/No ; PXY = Y.* conj(X)/No ; TYX = PXY/PXX ; FXX = IFFT(PXX) ; CX = Cov(X) ; RX = CORR(X) ;

% ou encore FFT(X) % densité spectrale de x % densité interspectrale % fonction de transfert % fonction d’autocorrelation = FFT-1 (PXX) % matrice de covariance de X % matrice de correlation de X

4-2. Génération d’un bruit RAND (‘ normal’) ; RAND(‘ uniform’) ; e1 = rand (100,1) ; e2 = rand (100,1) ; plot (e1,e2) ;

% loi normale % loi uniforme % vecteurs bruit à 100 points avec amplitude = 1 % représentation graphique des bruits

4-3. Statistiques : On considère toujours un vecteur X MEDIAN (X) ; STD (X) ; MAX (X) ; MIN (X) ;

% valeur moyenne % écart type % valeur maximale de X % valeur minimale de X


4-4. Fenêtres de troncature HAMMING (M) ; HANNING (M) ; BOXCAR (M) ; BARTELETT (M) ; BLACKMAN (M) ;

% M est la largeur de fenêtre % fenêtre rectangulaire % fenêtre triangulaire % fenêtre exponentielle

4-5. Analyse à partir d’un modèle de représentation Soit un modèle déterminé par un alogarithme d’identification et les mesures E/S Z = [Y U] ; n = [nA nB nc d] ; TH = ARMAX (Z,n) ; % modèle identifié [G,Fi] = SPA (Z,M,w,No,To) ; % To est la période d’échantillon ou encore = TRF (TH) ;

5- PROCEDURES GRAPHIQUES ET GESTION DE FICHIERS 5-1. représentation d’une fonction : y = sin(t) t = 0 : 0.1 : 20 ; y = sin (t) ; plot (t,y) ; pause ; title (‘ Fonction sinus’) ; xlabel (‘ temps ‘) ; ylabel (‘ y en sec’) ; PRINT

% dessin et maintien su écran % titre % axe des abscisses % impression de l’écran

5-2. sauvegarde des fichiers SAVE Adnen Y1 , Y2 % sauvegarde des vecteurs y1, y2 dans le fichier Adnen LOAD Adnen Y1

% restitution du vecteur y1

6- FILTRAGE NUMERIQUE On désire filtrer une suite d’entrée X par un filtre dont la FT est donnée par : B(z) H(z) = A(z) La commande est : 6-1. Conception des filtres RIF numériques

Y = FILTER (B,A,X)


a. Méthode directe par gabarit : [B,A] = YULEWALK (n,freq,Mag) ;

B(z) % H = A(z)

f : étant la fréquence normalisée = fx/fo/2 = 2fx/fo M : Gabarit du filtre désiré sous forme vecteur n : ordre du filtre. Il s’agit de concevoir un filtre RII d’ordre N dont le gabarit de la reponse frequentielle est donnée par Freq et Mag. Les coefficients du filtre sont donnés par B and A. Ou encore : B = FIR2(N,Freq,Mag) concoit un RIF d’ordre N . Exemple : M=[001100]; f = [ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1] ; pi=3.14 ; [B,A] = yulewalk (4, f, M) ; [H,W] = freqz (B, A, 128) ; plot (f, M, w/pi, abs (H)] ) ; b. Méthode à fenêtres B = FIR1 (n , wo, Hanning) ; avec

%

wo : fréquence de coupure n : ordre du filtre

B = b(0) + b(1) z-1 +... b(n) z-n c. au sens de Butterworth [B,A] = BUTTER (n, wp) Y = FILTER (B, A,[1 zéros(1,50)] ) plot (Y) ; pause ;

% n : ordre du filtre % wp : sa bande passante % rép. impulsinuelle du filtre

Exemple : [B,A] = BUTTER(N,wn,'high') desige un filtre passe haut. [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') : concoit un filtre passe Bande de bande passante : Wn = [W1 W2]. Wn est en valeur relative ( entre 0 et 1 ) par rapport à frequence de Nyquist ( Fech/2) d.- au sens de Tchebycheff [N, Wn] = CHEB2ORD(Wp, Ws, Rp, Rs) : concoit un filtre RII d’ordre N ayant : Rp : attenuation max en bande passante Rs atténuation à la pulsation Ws. % Lowpass: Wp = .1, Ws = .2


% % %

Highpass: Wp = .2, Ws = .1 Bandpass: Wp = [.1 .8], Ws = [.2 .7] Bandstop: Wp = [.2 .7], Ws = [.1 .8]

e- elliptique [B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wn,'high') désigne un filtre elliptique passe haut d’ordre N. [B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wn,'stop') : passe bande avec : Wn = [W1 W2]. 6-3 - réponse fréquentielle [h,w] = freqs(b,a) ou H = FREQS(B,A,W) réponse fréquentielle H du filtre analogique de numérateur et dénominateur B et A: [H,F] = FREQZ(B,A,N,Fech) réponse fréquentielle H du filtre numérique de numérateur et dénominateur B et A 7- Représentation temps-fréquence B = SPECGRAM(A,NFFT,Fs,WINDOW) Ou B=SPECGRAM(A).


BIBLIOGRAPHIE

.

Théorie du signal et Transmission de l'information

J.Dupaz

1

Collection EYROLLES

Symboles, signaux et bruits Pierce

MASSON

Van Der Enden

MASSON

J.M Lacoume

MASSON

Wade J.G

MASSON

Patric DUVAT

DUNOD

M KUNT

HERMES

Yves SEVELY

DUNOD

9

B PICINBONO

DUNOD

Codage et traitement du signal 10 11 Traitement du signal 12 Automatique des Systèmes linéaires

WADE J.G COULON F Ph. Larminat

2 Traitement numérique du signal 3 4 5

Méthodes et techniques de traitement du signal Codage et Traitement du signal Traitement du signal

6 Traitement numérique des signaux 7 Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés 8 Eléments de théorie du signal

MASSON PPR FLAMARION

adnen-cours_TNS

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