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Nombre de la asignatura :

Estadística Inferencial CADM

Parcial Parcial de estudi o:

Primero

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Nombre de la asignatura :


Parcial Parcial de estudi o:

Primero

Introducción En este parcial se tratará la estimación así como las pruebas de hipótesis de una muestra y de dos muestras. La estadística inferencial se basa en estimaciones. Una estimación puntual es un número que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido. Una estimación de intervalo es un rango de valores que se utiliza para estimar un parámetro de la población. En este contexto, un estimador es un estadístico de la muestra utilizado para estimar un parámetro de la población y una estimación es un valor específico observado del estadístico. Tanto en la estimación como en las pruebas de hipótesis se realizan inferencias acerca de las características de las poblaciones a partir de las muestras. Las pruebas de hipótesis comienzan con una suposición acerca de los parámetros de la población. No se puede aceptar o rechazar una hipótesis sobre un parámetro de la población solo por intuición. Se necesita aprender cómo decidir objetivamente si se acepta o rechaza una corazonada, con base a la información de la muestra. En muchas situaciones se toman decisiones, las personas necesitan saber si los parámetros de una población son iguales o diferentes a un valor o si los parámetros de dos poblaciones son iguales o diferentes entre sí. De esta manera, se introducen los métodos o procedimientos de pruebas de hipótesis de una muestra y de dos muestras, con los cuales se puede dar respuesta a estas inquietudes.

As A s eso es o r ía di d i d áct ác t i c a 1.1. Para esta actividad, usted va a estudiar el capítulo 7, Estimación, del texto guía. Cuando se busca información acerca de una población, población , pero solo disponemos de datos sobre una muestra, se necesitan algunos medios para utilizar los datos de la muestra y sacar conclusiones acerca de la población. Los conceptos y técnicas que satisfacen esta necesidad constituyen lo que se conoce con el nombre de inferencia estadística. Hay dos tipos de inferencia estadística: la estimación y la verificación de hipótesis. Las estimaciones no pueden realizarse a partir solo de los valores de los estadísticos de las muestras y se hace necesario acompañar los estadísticos de procedimientos que describan la precisión de las aproximaciones, estos procedimientos son los intervalos de confianza. Estudie con mucha atención el capítulo 7 del texto guía Estadística para administración y economía de Levin / Rubin / Balderas / Del Valle / Gómez, revise los ejercicios resueltos, entre las pp. 273-318, que tratan los temas de estimación. Resumen 1.1 I. El error de muestreo es la diferencia diferencia entre el parámetro de la población y el estadístico de la muestra. II. La distribución muestral de las medias de las muestras es una distribución distribución de probabilidad que ilustra todas las medias posibles de las muestras y sus probabilidades de ocurrencia. A.

Para tamaño dado de muestra, la media de todas las medias de las muestras de la población es exactamente igual a la media de la población.

B.

Existe menos variación en la distribución de las medias de las muestras que en la población. 1. La desviación estándar de la distribución de las medias de las muestras se conoce como error estándar de la media.

2

Nombre de la asignatura:


Parcial de estudi o:

Primero

2. Se calcula mediante la fórmula:

C.

El teorema del límite central establece que si se seleccionan muestras de un tamaño lo bastante grande ( ) de una población, la distribución de las medias de las muestras es aproximadamente normal. 1. La aproximación mejora con las muestras mayores. 2. El muestreo de una población normal para cualquier tamaño de muestra lleva directamente a la distribución muestral de las medias de las muestras.

III. Una estimación puntual es un valor único (estadístico) que se usa para estimar un valor de población (parámetro). IV. Una estimación de intervalo de confianza es un rasgo de valores dentro de los cuales se espera que ocurra el parámetro de la población. A.

Los factores que determinan un intervalo de confianza para una media son: 1. El número de observaciones en la muestra n. 2. La variabilidad en la población, que por lo general se determina por la desviación estándar de la muestra s. 3. El nivel de confianza, determina el valor z.

B.

Un intervalo de confianza para la media es:

C.

Los factores que determinan un intervalo de confianza para una proporción son: 1. El número de observaciones de la muestra. 2. El valor de P se calcula dividiendo el número de éxitos en la muestra, X, entre el número de observaciones en la muestra, n. 3. El nivel de confianza determina el valor z.

D.

V.

Un intervalo de confianza para una proporción es:

El tamaño requerido de una muestra puede determinarse tanto por medias como por proporciones. A. Los factores que determinan el tamaño de la muestra son: 1. El nivel deseado de confianza determina z. 2. El error máximo permisible, E. 3. La variación en la población (por lo general se determina por s). B.

La fórmula para el tamaño de muestra de una media es: 3




Primero

C. Los factores que determinan el tamaño de la muestra para una proporción son: 1. El nivel deseado de confianza determina z. 2. El error máximo permisible, E. 3. Una estimación de la proporción de la población. Si no hay una estimación, entonces se utiliza 0.50. D. La fórmula para el tamaño de muestra de una proporción es:

E. El factor de corrección de una población finita se aplica a un intervalo de confianza si es mayor a 0.05. El factor de corrección es:

Ejercicios 1.1 Problema 1 A un inspector sanitario se le asigna como tarea estimar el peso neto medio de paquetes de carne molida que indican en la etiqueta “tres libras”. Obviamente, se percata de que los pesos no pueden ser exactamente de tres libras (lb). Una muestra de 36 paquetes reveló que el peso medio es de 3.01 lb, con una desviación estándar de 0.03 lb. ¿Cuál es la media población estimada? Utilice el grado de confianza de 0.95. ¿Cuáles son los límites de confianza para la media poblacional? n=36 paquetes;

; s=0.03lb; grado de confianza=0.95 z=±1.96

0.475

3.01

Se conoce la media y la desviación estándar de la muestra con las cuales se puede estimar la media y desviación estándar de la población.

Para saber la media poblacional estimada se debe calcular el error estándar de la media para una población infinita.

4




Primero

Para obtener la media población estimada, tomando en cuenta n>30 se debe aplicar la fórmula de la distribución normal: Por lo tanto, la media de la población estimada estará en el rango de 3.0002 a 3.0198. Problema 2 En un estudio de 1200 votantes en Oklahoma, 792 pudieron dar el nombre de sus dos senadores. Desarrolle un intervalo de confianza de 95% para la proporción de votantes en esa área que pudo identificar a los senadores respectivos. n=1200 votantes p=792 éxitos equivale a 66% q=408 fracasos equivale a 34% Intervalo de confianza=95% Se puede estimar la proporción de éxitos de una muestra: Al igual que estimamos la proporción de fracasos de una muestra: Como n/N=792/1200>5%, hay que aplicar el factor de corrección

para

encontrar el error estándar de la proporción aplicamos la fórmula:

0.475

Para un 95% de intervalo de confianza, corresponde un área bajo de la curva normal de 0.475, se ubica ese valor en la tabla de la distribución normal y se encuentra el valor de z. En este caso el valor de z para el área bajo la curva es de ±1,96. Para encontrar el intervalo de confianza para la proporción de votantes se aplica la fórmula: En conclusión, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de votantes que pudieron identificar a sus senadores va en el rango de 0.651 y 0.669. Problema 3 Se calcula que el 60% de las familias de los Estados Unidos pueden tener televisión por cable. A usted le gustaría quizás verificar este enunciado para su posible estudio de medios de comunicación masivos. Si desea que su estimación esté dentro de ± 5 puntos porcentuales con un nivel de confianza del 95%. ¿De qué tamaño ha de ser la muestra? n=? p=60%=0.60; q=40%=0.40; nivel de confianza=95%=0.95 0.475

5




Primero

Para un 95% de nivel de confianza corresponde un área bajo de la curva normal de 0.475, se ubica ese valor en la tabla de la distribución normal y se encuentra el valor de z. En este caso el valor de z para el área bajo la curva es de ±1,96.

Conociendo el valor de z se tendría:

Reemplazando el error estándar de la proporción 

por su fórmula tendría: 

Asesoría didáctica 1.2 Lea con mucha atención el capítulo 8 del texto guía Estadística para administración y economía de Levin / Rubin / Balderas / Del Valle / Gómez, revise los ejercicios resueltos, entre las pp. 319-358, prueba de hipótesis de un a sola muestra. En esta parte se estudia el campo de las pruebas de hipótesis, es decir, el procedimiento que se emplea para aceptar o rechazar una proposición, mediante la teoría de probabilidad y el estudio de las características de la muestra. Recuerde Una hipótesis es una afirmación o suposición y no un hecho establecido. Después de plantear las hipótesis, el siguiente paso es definir el nivel de significación, que es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. En muchas situaciones, la población es aproximadamente normal, pero se desconoce la desviación estándar de la población. En este caso se utiliza la desviación estándar muestral si el tamaño de la muestra es al menos 30. Resumen 1.2 Pruebas de hip ótesis. Muestras grandes I.

El objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la validez de las declaraciones sobre un parámetro de la población.

II.

Los pasos en la prueba de hipótesis son: A. Establecer la hipótesis nula ( ) y la hipótesis alternativa (

).

B. Seleccionar el nivel de significancia. 1. El nivel de significancia es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera. 2. Los niveles de significancia de uso más frecuente son 0.01, 0.05, 0.10, pero es posible usar cualquier valor entre 0 y 1.00. C. Calcular la estadística de prueba. 6




Primero

1. La estadística de prueba es un valor que se determina con base en información de muestra que se emplea para decidir si la hipótesis nula se acepta o se rechaza. 2. La distribución normal estándar, z, se usa como estadística de prueba para grandes muestras. D. Formular la regla de decisión. 1. La regla de decisión indica la condición o condiciones en las que rechaza la hipótesis nula. 2. En una prueba de dos colas, la región de rechazo se divide en dos partes iguales entre la cola superior y la inferior. 3. En una prueba de una cola, la totalidad de la región de rechazo se encuentra en la cola superior o en la inferior. E. Tomar una decisión sobre la hipótesis nula e interpretar el resultado. III. Un valor p es la probabilidad de que la estadística de prueba sea más extrema que la que se obtiene cuando la hipótesis nula es verdadera. IV. Probar una hipótesis sobre la media de la población. A. Si se conoce la desviación estándar de la población, , la estadística de prueba sigue la distribución normal estándar, z, y se determina por:

B. Si no se conoce, pero el tamaño de la muestra es mayor a 30, la desviación estándar de la muestra, s, remplaza a .

V.

Prueba de una hipótesis sobre una proporción. A. Tanto

como

son por lo menos de 5.

B. La estadística de prueba es:

Pruebas de hi pótesis. Muestras pequeñas I.

La distribución t se utiliza como el estadístico de la prueba cuando: A. La población muestreada se aproxima a la distribución normal. B. No se conoce la desviación estándar de la población. C. La muestra contiene menos de 30 observaciones.

II.

Las características de la distribución t son: 7




Primero

A. Es una distribución continua. B. Tiene forma de parábola y es simétrica. C. Es más aplanada, o ancha, que la distribución normal estándar. D. Existe una familia de distribuciones t, dependiendo del número de grados de libertad. III. En una prueba de una muestra, se compara una sola media de muestra con una media de población. A. La fórmula para el estadístico de prueba t es:

donde es la media de la muestra, es la media de la población, s es la desviación estándar de la muestra y n es el número de observaciones en la muestra. B. Los grados de libertad son

.

Ejercicios 1.2 Problema 1 Como gerente de compras para una gran empresa de seguros usted debe decidir si actualizar o no los computadores de la oficina. A usted se le ha dicho que el costo promedio de los computadores es de US$ 2100. Una muestra de 64 minoristas revela un precio promedio de US$ 2251, con una desviación estándar de US$ 812. ¿A un nivel de significancia del 5% parece que su información es correcta? Datos:

Como n>30 debo aplicar las fórmulas para la distribución normal. Es una prueba de dos colas. Con los datos del problema se puede encontrar el Z crítico, ubicando el área bajo la curva en la tabla de la distribución de la normal z crítico= ±1.96.

0.475

2.5%

2.5% Zcrítico Zcalculado 1.96 1.487

Se encuentra Z calculado  Si -1.96



Primero

Problema 2 Seducido por los comerciales, usted ha sido persuadido para comprar un nuevo automóvil. Usted piensa que tendrá que pagar US$ 25000 por el auto que usted desea. Como comprador cuidadoso, averigua el precio de 40 posibles vehículos y encuentra un costo promedio de US$ 27312, con una desviación estándar de US$ 8012. Deseando evitar un error tipo II, usted prueba la hipótesis de que el precio promedio es US$ 25000 con un nivel de significancia del 10%. ¿Cuál es su conclusión? Datos:

Como n>30 debo aplicar las fórmulas para la distribución normal. Es una prueba de dos colas. Con los datos del problema se puede encontrar el Z crítico, ubicando el área bajo la curva en la tabla de la distribución normal.

0.45

5%

5% Z crít 1.64

Zcalc 1.83

Se determina Z calculado  Si -1,64 < Z calculado < 1.64, acepto la hipótesis nula.

La conclusión es que a pesar de que el costo promedio de los autos es diferente de $25,000, acepto comprar mi auto en $25,000. Problema 3 A continuación se presenta una lista de tasas de rendimiento por un año (reportadas en porcentaje) para una muestra de 12 mutualistas clasificadas como fondos de mercado de dinero gravable. Utilizando el nivel de significancia de 0.05, ¿se puede concluir que la tasa de rendimiento es mayor que 4.50%? 4.63 4.70

4.15 5.06

4.76 4.42

4.70 4.51

4.65 4.24

4.52 4.52

Datos n=12 grados de libertad=n-1=11 9




Primero

Determino la media y la desviación estándar de la muestra =

Como n<30 debo aplicar las fórmulas para la distribución. Es una prueba de una cola. Con los grados de libertad, se puede encontrar el t crítico, en la tabla de la distribución t.

0.45

5% 4,5

t crítico t calculado

1.796

1.008

Se determina t calculado  Si t calculado <1.796 en este caso acepto la hipótesis nula.

Problema 4 Se plantean las siguientes hipótesis: Ho: π ≤ 0.70 H1: π > 0.70

Una muestra de 100 observaciones reveló que ¿puede rechazarse la hipótesis nula?

ρ =

0.75. Al nivel de significancia de 0.05,

a) Establezca la regla de decisión. b) Calcule el valor estadístico de prueba. c) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Datos n=100 p=0.75 10




Primero

q=0.25 Como n>30 debo aplicar las fórmulas para la distribución normal. Es una prueba de una cola. Con los datos del problema se puede encontrar el z crítico, ubicando el área bajo la curva en la tabla de la distribución normal.

0.45

0.05 Zcrítico 1.64 Zcalculado 1.25

Se calcula z calcular z  La regla de decisión sería que si

acepto la hipótesis nula.

En este caso se aceptaría la hipótesis nula que indica que

.

Problema 5 El National Sdafety Council informa que 52% de los automovilistas que usan las autopistas estadounidenses son varones. Una muestra de 300 autos que ayer viajaron hacia el este por la autopista de Ohio, reveló que 170 fueron conducidos por hombres. Al nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que una mayor proporción de varones conducían por la autopista de Ohio, que lo que indican las estadísticas nacionales? Datos n=300 170 hombres

Utilizando una regla de 3 simple podemos sacar la proporción de hombres que conducían por Ohio. P=56,67% Como n>30 debo aplicar las fórmulas para la distribución normal. Es una prueba de una cola. Con los datos del problema se puede encontrar el z crítico, ubicando el área bajo la curva en la tabla de la distribución normal z crítico ±2.33.

11




Primero

0.49

Zcalculado1.63

0.01

Zcrít 2.33



Si z cal < 2.33 acepto la hipótesis nula.

Asesoría didáctica 1.3 En el capítulo 9 del texto guía, se analiza cómo se puede aplicar la prueba de hipótesis para comparar dos poblaciones. Muchas preguntas importantes pueden resolverse comparando dos poblaciones. Con frecuencia los datos disponibles para el análisis se obtienen de dos muestras (una de cada población). Además se estudiará la varianza conjunta, prueba de dos muestras para las medias. A menudo se necesita comparar dos proporciones poblacionales. Un investigador puede estar interesado en saber la magnitud de la diferencia entre la proporción de dos procesos A y B. Un estimador puntual de Π1 - Π2 , que es la diferencia entre dos proporciones calculadas a partir de muestras aleatorias independientes tomadas de las dos poblaciones. Estudie del capítulo 9 del texto guía Estadística para administración y economía de Levin / Rubin / Balderas / del Valle / Gómez, pp. 359 hasta 401, revise los ejemplos resueltos. Resumen 1.3 Pruebas de hip ótesis. Muestras grandes I. Probar la hipótesis sobre la diferencia entre dos medias de la población. A.

El objetivo es determinar si existe una diferencia entre dos medias de muestra.

B.

Ambas muestras son por lo menos de 30.

C.

La estadística de prueba es:

II. Prueba de una hipótesis sobre dos proporciones. A.

Los términos

,

,

y

B.

La siguiente fórmula une las dos muestras:

C.

La estadística de prueba es:

son por lo menos de 5.

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Primero

Pruebas de hi pótesis. Muestras pequeñas I. En una prueba con dos muestras, se comparan las medias de ambas muestras para determinar si proviene de poblaciones con medias iguales. A.

Las suposiciones necesarias son: 1. Ambas poblaciones tienen una distribución normal. 2. Las muestras son independientes. 3. Las desviaciones estándar son iguales en ambas poblaciones.

B.

Debido a que se supone que las poblaciones tienen desviaciones estándar iguales, se combinan las desviaciones estándar de muestra. 1. La fórmula para la varianza combinada (la desviación estándar al cuadrado) es

donde y se refieren a los tamaños de cada muestra, y desviaciones estándar de las muestras.

y

a las dos

2. El valor del estadístico de prueba se calcula a partir de:

Donde

y

se refieren a las dos medias independientes de las muestras,

varianza de la muestra combinada, y

y

a la

a los tamaños de las dos muestras.

II. Si las muestras se encuentran ordenadas por pares o son dependientes, el valor de t, el estadístico de prueba, se calcula mediante:

Donde es la media de las diferencias, es la desviación estándar de las diferencias de las muestras y n es el tamaño de las muestras. Ejercicios 1.3 Problema 1 Un funcionario del Departamento de Carreteras en el estado de Iowa, desea comparar el tiempo útil, en meses, de dos marcas de pintura utilizadas para pintar franjas señaladoras en las carreteras. El número medio de meses que duró la Cooper Paint fue 36.2, con una desviación estándar de 1.14 meses. El funcionario revisó 35 trabajos en carretera. Para la pintura King Paint, el número medio de meses fue 37.0, con una desviación estándar de 1.3 meses. El funcionario reexaminó 40 trabajos de pintado. Al nivel de significancia de 0.01, ¿existe alguna diferencia en la duración útil de las dos pinturas? Calcule el valor p. 13




Primero

King Paint(B)

Cooper Paint(A) =36.2

0.495

0.005

0.005 Zcrítico

Zcrítico

-2.57

2.57

Zcalculado -2.84

Es una prueba de dos colas. Como n>30 utilizamos la distribución normal. Para calcular el error estándar estimado, se aplica la fórmula:

Para encontrar el valor de z calculado se aplica la fórmula:

El valor de z calculado está fuera del intervalo de confianza por lo que se rechaza la hipótesis nula.

Para encontrar el valor de p, encontramos el valor del área en la tabla de la distribución normal Problema 2 Se compararon las ventas por día de hamburguesas en dos establecimientos del restaurante Mc Donalds. El número medio vendido durante 10 días seleccionados al azar en el local de Northside fue 83.55, y la desviación estándar 10.50. 14




Primero

Para una muestra aleatoria de 12 días en el establecimiento de Southside, el número medio vendido fue 78.80, y la desviación estándar, 14.25, al nivel de significancia de 0.05. ¿hay alguna diferencia en el número medio de hamburguesas vendido en ambos sitios? Establecimiento 1 =83.55

Establecimiento 2

En este caso el valor de n<30 por lo que se debe aplicar la distribución t. Es una prueba de dos colas. Para calcular t crítico necesitamos conocer los grados de libertad.

Con el dato de los grados de libertad y el nivel de signficancia se va a la tabla de la distribusión t para en contrar el t crítco.

0.025

0.025

t crítico

t crítico

-2.086

2.086 t calculado 0.87

Para obtener una estimación conjunta de

, aplicamos la siguiente fórmula:

15




Primero

El valor de t calculado está dentro del intervalo de confianza por lo que se acepta la hipótesis nula.

Problema 3 La Fuerza Aérea de EUA entrena el personal de computación de dos bases, Cass AFB y Kingston AFB. Se aplicó un examen final común. Como parte de un estudio actual del programa de entrenamiento, ha de realizarse una comparación de los resultados de las pruebas finales. ¿Existe alguna diferencia significativa en los resultados terminales de los dos programas educativos? Utilice el nivel de significancia de 0.04. Determine el valor p. Explique su decisión al comité que estudia el programa. Cass AFB Kingst on AFB Numero muestreado Calificación media Desviación estándar muestral

40 114.6 9.1

50 117.9 10.4

Como n>30 debo aplicar las fórmulas para la distribución normal. Es una prueba de dos colas. Con los datos del problema se puede encontrar el z crítico, ubicando el área bajo la curva en la tabla de la distribución normal.

0.48

0.02

0.02 z crítico

z crítico -2.06

z calculado

2.06

-1.60

16




Primero

Para calcular el error estándar estimado, se aplica la fórmula:

Para encontrar el valor de z calculado se aplica la fórmula:

El valor de z calculado está dentro del intervalo de confianza por lo que se acepta la hipótesis nula.

Para encontrar el valor de p, encontramos el valor del área en la tabla de la distribución normal Problema 4 ¿Existe alguna diferencia en la proporción de hombres universitarios en comparación con la de mujeres universitarias, que fuman al menos una cajetilla de cigarrillos al día en la Northern State University? Una muestra de 400 mujeres reveló que 72 fumaban al menos una cajetilla al día. Una muestra de 500 varones reveló que 70 fumaban al menos una cajetilla de cigarrillos al día. Al nivel de significancia de 0.05, ¿existe alguna diferencia en la proporción de hombres y la proporción de mujeres que fuman al menos una cajetilla de cigarrillos por día, o se puede atribuir a un error de muestreo la diferencia en las proporciones? Muestra 1 n=400 72 fumaban al menos una cajetilla al día Muestra 2 n=500 70 fumaban al menos una cajetilla al día ; ;

; ;

Con los datos del problema se puede encontrar el valor z crítico, ubicando el área bajo la curva en la tabla de la distribución normal porque el tamaño de la muestra es mayor que 30. Es una prueba de dos colas.

17




Primero

0.475

0.025

0.025 z calculado z crítico 1.96 1.29

z crítico -1.96

Ahora se debe calcular la proporción estimada de éxitos en dos poblaciones, mediante la fórmula:

El valor de

se puede calcular a partir de ,

.

Para calcular el valor z, se necesita tener el error estándar estimado de la diferencia entre dos proporciones, mediante la fórmula:

Ahora se calcular z, mediante la fórmula:

El valor de z calculado está dentro del intervalo de confianza por lo que se acepta la hipótesis nula.

Problema 5 La siguiente tabla muestra los puntajes de CI de 10 niños a quienes se les diagnosticó inhabilidad para el aprendizaje antes y después de 9 meses de la iniciación de un programa remedial. ¿A nivel de significación 0,05, proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el programa remedial es efectivo para aumentar los puntajes de CI en este tipo de niños? NIÑO:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

97

103

99

90

96

90

100

105

101

98

DESPUÉS: 103

106

112

101

98

97

98

100

103

100

ANTES:

1

n=10 niños

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Primero

En este caso el valor de n<30 por lo que se debe aplicar la distribución t. Es una prueba de dos colas. Para calcular t crítico necesitamos conocer los grados de libertad: Con el dato de los grados de libertad y el nivel de signficancia se va a la tabla de la distribusión t para encontrar el t crítco.

0.475

0.025 t crítico 1.833

t calculado 2.23

NIÑO ANTES DESPUÉS D 1 97 103 6 2 103 106 3 3 99 112 13 4 90 101 11 5 96 98 2 6 90 97 7 7 100 98 -2 8 105 100 -5 9 101 103 2 10

98

100

2 39

3.9 3.9 3.9 3.9 3.9 3.9 3.9 3.9 3.9

2.1 -0.9 9.1 7.1 -1.9 3.1 -5.9 -8.9 -1.9

4.41 0.81 82.81 50.41 3.61 9.61 34.81 79.21 3.61

3.9

-1.9

3.61 272.9

= 

Para realizar el cálculo de t se aplica:

El valor de t calculado está fuera del intervalo de confianza por lo que se acepta la hipótesis alternativa.

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Primero

Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 1.1. 1. La red Amigos de los Videntes cobra $3 por minuto para conocer los secretos que pueden cambiar su vida. La red solo cobra por minutos completos y redondea hacia arriba para beneficiar a la compañía. Así, una llamada de 2 minutos 10 segundos cuesta $9. Se da una lista de 15 cobros seleccionados al azar: 3

9

15

21

42

30

6

9

6

15

21

24

32

9 12

a. Encuentre la media de la muestra. b. Encuentre una estimación puntual de la varianza de la población. c. ¿Puede esta muestra usarse para estimar la duración promedio de una llamada? Si es así, ¿cuál es la estimación? Si no, ¿qué se puede estimar con esta muestra? 2. Juan Sánchez, un pasante de posgrado muy dedicado, acaba de terminar una primera versión de su tesis de 700 páginas. Juan escribió el trabajo por sí mismo y está interesado en conocer el número promedio de errores tipográficos por página, pero no quiere leer todo el documento. Como sabe algo acerca de estadística para la administración, Juan leyó 40 páginas seleccionadas de manera aleatoria y encontró que el promedio de errores tipográficos por página fue 4.3 y la desviación estándar de la muestra fue 1.2 errores por página. a. Calcule el error estándar estimado de la media. b. Calcule un intervalo de confianza del 90% para el número promedio verdadero de errores por página en su trabajo. 3. Un cine de Cuenca obtuvo una muestra de 55 personas que vieron Star Wars 7 y les preguntaron si planeaba verla de nuevo. Solo 10 de ellos pensaron que valía la pena ver la película por segunda vez. a. Estime el error estándar de la proporción de asistentes al cine que verán la película por segunda vez. b. Construya un intervalo de confianza del 90% para esta proporción.

Planteamientos

4. Las autoridades de la parte norte de una provincia han encontrado, para consternación de las autoridades de la provincia, que la población presenta severos problemas relacionados con placa dentobacteriana. Cada año, el Departamento de Salud Dental local examina una muestra tomada de los habitantes de la provincia y registra la condición de la dentadura de cada paciente en una escala de 1 a 100, donde 1 indica que no hay placa dentobacteriana y 100 que indica que es muy grande. Este año, el Departamento de Salud Dental examinó a 21 pacientes y encontró que tenían un promedio de placa dentobacteriana de 72 con una desviación estándar de 6.2. Construya un intervalo de confianza del 98% para la media del índice de placa dentobacteriana de la parte norte de la provincia. 5. Una asambleísta ha ordenado que se haga una investigación acerca del gran número de accidentes en un bote que han ocurrido en la provincia de Manabí durante los últimos veranos. Siguiendo sus instrucciones, su ayudante, Jorge Méndez, ha seleccionado al azar 9 meses de verano entre los últimos años y ha recabado datos acerca de los accidentes en bote ocurridos en cada uno de esos 20




Primero

meses. El número medio de accidentes que se presentó en los 9 meses fue 31 y la desviación estándar de esta muestra fue 9 accidentes por mes. Se pidió a Jorge que construyera un intervalo de confianza del 90% para el número real de accidentes por mes, pero él mismo sufrió un accidente en un bote recientemente, por lo que usted tendrá que terminar su trabajo. 6. Debe votarse una propuesta importante y un político desea encontrar la proporción de personas que están a favor de la propuesta. Encuentre el tamaño de muestra requerido para estimar la proporción verdadera dentro de con un nivel de confianza del 95%. Suponga que no se tiene idea de cuál es la proporción. ¿Cuál sería el cambio en el tamaño de la muestra si pensara que cerca del 75% de las personas favorece la propuesta? ¿Cuál sería el cambio si solo alrededor del 25% favorece la propuesta? 7. Una tienda local vende bolsas de plástico para basura y ha recibido unas cuantas quejas respecto a su resistencia. Parece que las bolsas que vende son menos resistentes que las de su competidor y, en consecuencia, se rompen más a menudo. El gerente de adquisiciones está interesado en determinar el peso máximo promedio que puede resistir las bolsas para basura sin que se rompan. Si la desviación estándar del peso límite que rompe una bolsa es 1.2 kg, determine el número de bolsas que deben ser probadas con el fin de que el gerente tenga certeza del 95% de que el peso límite promedio está dentro de 0.5 kg del promedio verdadero.



Realizar estimaciones puntuales e intervalos de confianza.



Construir un intervalo de confianza para la media poblacional cuando se conoce o no la desviación estándar poblacional.



Efectuar un intervalo de confianza para una proporción de la población.



Determinar el tamaño de la muestra para el muestreo por atributos y variables.

Objetivos

Recuerde revisar el capítulo del texto guía Estadística para administración \y economía de Levin / Rubin / Balderas / del Valle / Gómez, que se indica en la asesoría didáctica.

Orientaciones didácticas

Criterios de evaluación

En estimaciones puntuales e intervalos de confianza, intervalos de confianza a partir de la media y de la proporción de muestras grandes, intervalos de confianza con la distribución t y la determinación del tamaño de una muestra, la evaluación se realiza en el contenido (SABER) y en la presentación (SABER HACER) con los criterios:  

Resuelve correctamente cada ejercicio. Expresa en forma clara y ordenada todos los procedimientos.

Actividad de aprendizaje 1.2. 1. La comisión promedio que cobran las compañías de corretaje de servicio completo en una venta de valores comunes es $144, con una desviación estándar de $52. Diana Cabrera tomó una muestra aleatoria de 121 transacciones de sus clientes y determinó que habían pagado una comisión promedio de $151. A un nivel de significancia de 0.10, ¿puede concluir Diana que las comisiones de sus clientes son mayores que el promedio de la industria?

21




Primero

2. Antes del embargo petrolero de 1973 y los subsecuentes incrementos en el precio del petróleo crudo, el consumo de gasolina en Estados Unidos había aumentado a una tasa de ajuste estacional del 0.57% mensual, con una desviación estándar del 0.10% mensual. En 15 meses elegidos aleatoriamente entre 1975 y 1985, el consumo de gasolina tiene una tasa promedio de aumento de solo 0.33% al mes. Para un nivel de significancia de 0.01, ¿puede concluir que el aumento en el uso de la gasolina se redujo como resultado del embargo y sus consecuencias? 3. Vea el ejercicio 2, y calcule la potencia de prueba para μ = 0.50, 0.45 y 0.40 % por mes. Planteamientos 4. MacroSwift estimó el año pasado que el 35% de los compradores potenciales de software planeaba esperar hasta que se liberara una actualización de Window Panes para comprar el nuevo sistema operativo. Después de una campaña publicitaria para dar confianza al público, MacroSwift encuestó a 3000 personas y encontró que 950 todavía se mostraban renuentes. Con el 5% de nivel de significancia, ¿puede la compañía concluir que la proporción de personas renuentes ha disminuido? 5. Un proveedor de sistemas operativos para computadoras personales planea la oferta pública inicial de sus acciones a fin de reunir suficiente capital de trabajo para financiar el desarrollo de un sistema integrado de la séptima generación radicalmente nuevo. Con los ingresos actuales de $1.61 por acción, el proveedor y sus aseguradores contemplan un precio de oferta de $21, o cerca de 13 veces los ingresos. Para verificar si este precio es apropiado eligieron al azar siete empresas de software en el mercado de valores y encontraron que su cociente promedio precio/ utilidades era 11.6 y la desviación estándar de la muestra era 1.3.Para α = 0.02, ¿puede el proveedor concluir que las acciones de las empresas de software en el mercado de valores tiene una razón promedio P/U que es significativamente diferente de 13? 6. El Departamento de Procesamiento de datos de una compañía de seguros grande instaló nuevas terminales de video de color para reemplazar las unidades monocromáticas que tenían. Los 95 operadores capacitados para usar las nuevas máquinas promediaron 7.2 horas antes de lograr un desempeño satisfactorio. Su varianza muestral fue 16.2 horas al cuadrado. La larga experiencia de los operadores con las viejas terminales monocromáticas indicaban un promedio de 8.1 horas en las máquinas antes de que su desempeño fuera satisfactorio. Al nivel de significancia de 0.01, ¿debería el supervisor del Departamento concluir que es más fácil aprender a operar las nuevas terminales?

Objetivos




Comprender los conceptos sobre prueba de hipótesis.



Describir el procedimiento de los cinco pasos para realizar prueba de hipótesis.



Realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional con muestras grandes.



Realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional con muestras pequeñas.



Definir los errores tipo I y tipo II.



Calcular la probabilidad de un error tipo II. Recuerde revisar el capítulo del texto guía Estadística para administración \y economía de Levin / Rubin / Balderas / del Valle / Gómez, que se indica en la asesoría didáctica. 22




Primero


En prueba de hipótesis de una sola muestra, cuando se desconoce o conoce la desviación estándar de la población y para proporciones, la evaluación se realiza en el contenido (saber ) y en la presentación (saber hacer ) con los criterios:  


Actividad de aprendizaje 1.3. 1. Dos laboratorios de investigación han producido, de manera independiente, medicamentos que alivian las molestias de la artritis. El primer medicamento fue aprobado en un grupo de 90 personas que sufren la enfermedad y produjo un promedio de 8.5 horas de alivio, con desviación estándar de 1.8 horas. El segundo fue probado en 80 artríticos y produjo una media de 7.9 horas de alivio, con desviación estándar de 2.1 horas. A un nivel de significancia de 0.05, ¿el segundo medicamento proporciona un periodo de alivio significativamente más corto? 2. En septiembre de 1995, la Confederación Automovilística de las Carolinas investigó al azar a 75 gasolineras en Carolina del Norte y Carolina del Sur y determinó que el precio promedio de la gasolina regular sin plomo en las bombas de autoservicio fue $1.059, con una desviación estándar de 3.9 centavos. Tres meses después, en otra investigación aleatoria de 50 gasolineras, se encontró un precio promedio de $1.089, con una desviación estándar de 6.8 centavos. A un nivel α = 0.02, ¿cambio significativamente el precio de la gasolina regular sin plomo en estos dos estados durante estos tres meses?

Planteamientos

3. Una organización de crédito y seguros ha desarrollado un nuevo método de alta tecnología para capacitar al nuevo personal de ventas. La compañía obtuvo una muestra de 16 empleados capacitados de la manera original y encontró ventas diarias promedio de $688 con desviación estándar de la muestra de $32.63. También tomaron una muestra de 11 empleados capacitados con el método nuevo y encontraron un promedio de ventas diarias de $706 con desviación estándar de la muestra de $24.84. Para α = 0.05, ¿puede la compañía concluir que el promedio

diario de ventas aumenta con el nuevo plan?

4. Una muestra de tasas hipotecarias convencionales a 30 años tomadas al azar en 11 bancos de California produjo una tasa media del 7.61% y una desviación estándar del 0.39%. Una muestra parecida tomada aleatoriamente en ocho bancos de Pennsylvania tuvo una tasa media del 7.43%, con desviación estándar del 0.56%. ¿Estas muestras proporcionan evidencia para llegar a la conclusión (a un nivel α = 0.10) de que las tasas de hipotecas convencionales de California y Pennsylvania provienen de poblaciones con medias distintas? 5. Mariana Córdova es supervisora de producción de la línea de ensamble de unidades de disco de una empresa de tecnología. Recientemente, la empresa instaló un sistema de audio para música ambiental en sus instalaciones, con la idea de que la música relajara a sus obreros y condujera a una mayor productividad. Mariana duda de esta hipótesis, teme que la música sea un foco de distracción y produzca una baja en la productividad. Muestreó la producción semanal de los mismos seis trabajadores antes de tener música ambiental y después de instalar el sistema. Sus datos se presentan a continuación. A un nivel α = 0.02, ¿ha cambiado la producción promedio?

Empleado

1

2

3

4

5

6 23




Primero

Semana sin música Semana con música

219

205

226

198

209

216

235

186

204

203

221

205

6. El viernes aumentó el precio (avanzado) de 11 acciones de una muestra aleatoria de 40 tomadas de las 2500 acciones negociadas en la Bolsa de Valores de Nueva York. En una muestra tomada el jueves, de 60 acciones de la misma Bolsa, 24 acciones avanzaron. A un nivel α = 0.10, ¿puede llegar a la conclusión de que una proporción menor de las acciones de la Bolsa de Valores avanzaron el viernes con respecto al jueves? 7. En un taller mecánico se utiliza una sierra de motor para cortar el tubo que se usa en la manufactura de dispositivos de medición de presión. La longitud de los segmentos de tubo está distribuida normalmente con una desviación estándar de 0.06 pulg. Se cortaron 25 piezas de tubo con la sierra calibrada para secciones de 5.00 pulg. Cuando se midieron estas piezas, se encontró que su longitud media era 4.97 pulg. Utilice los valores P para determinar si la máquina debe ser recalibrada debido a que la longitud media es significativamente diferente de 5.00 pulg.



Realizar una prueba de hipótesis acerca de la diferencia entre dos medias poblacionales independientes, cuando ambas muestras tienen 30 o más elementos.



Realizar una prueba de hipótesis acerca de la diferencia entre dos medias poblacionales, cuando por lo menos una de las muestras tiene menos de 30 elementos.

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Realizar una prueba de hipótesis acerca de la diferencia entre dos proporciones poblacionales.

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Realizar una prueba de hipótesis acerca de la diferencia entre observaciones por pares u observaciones dependientes.

Objetivos

Recuerde revisar el capítulo del texto guía Estadística para administración \y economía de Levin / Rubin / Balderas / del Valle / Gómez, que se indica en la asesoría didáctica.


En prueba de hipótesis de dos muestra, para diferencias entre medias de muestras grandes y pequeñas, entre medias con muestras dependientes y entre proporciones de las poblaciones, la evaluación se realiza en el contenido (saber ) y en la presentación (saber hacer ) con los criterios:


 

Formato entrega Enviar a

de


Archivo de Microsoft Office. Envíe las actividades de aprendizaje a través de la plataforma, mediante la sección Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:

24




Primero

Formato: G1.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura Preguntas dudas

o

Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Puntaje por actividad Acti vidad es d e apr endizaj e Actividad de aprendizaje 1.1. Actividad de aprendizaje 1.2. Actividad de aprendizaje 1.3. Suman

Puntaje 7 6 7 20

“ En caso de qu e para el examen sea estrictamente necesaria la consu lta de tablas, fórm ulas, esquemas o gráfico s, estos serán inclu idos como p arte del examen o en un anexo” . El examen será sin co nsult a.

El tutor de la asignatura

25

Actividad_entregable_1.pdf

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