Sustituyendo u=cosθ y du=−sinθ dθ Cambiando los límites de la integral u=cos ( 0 )=1 Superior u=cos
( π4 )= √12
La integral 1
√2 5
−∫ u du 1
Multiplicando por menos 1 1
6
∫ u5 du= u6 1
√2
Evaluando en los límites
0
]
π 4
7 ∫ sinθcos 5 θ dθ= 48 0
La otra función π 4
∫ cosθ sin5 θ dθ=¿ 0
Nuevamente la sustitución u=sinθ y du=cosθ dθ Los nuevos límites de la integral u=sin ( 0 )=0 Y u=sin
( π4 )= √12
La integral queda 1
√2 5
∫ u du= 0
6
u 6
Evaluando 6
u 1 = 6 6
6
1 1 −0= 48 √2
( )
π 4
1 ∫ cosθ sin5 θ dθ= 48 0
Uniendo las integrales
π 4
∫ 4 sinθ [cos 4 θ−sin4 θ]dθ=4 0
[
]
7 1 1 − = 48 48 2
3. Evalué la integral de línea sobre la curva C
∫ F ⋅ dR
a.
c
F( x , y)=(x− y )i+( y + x) j
�: �� ��������������
x 2+ y 2 =4
a partir del punto (2, 0) en el sentido
contrario al giro de las manecillas del reloj. Solución Partimos de r ( t ) =(2 cos t ,2 sin t) Con esto los nuevos límites son
[ ] 0,
3π 2
Por lo cual 3π 2
∫ F dr=∫ ⃗F [ r⃗ ( t ) ] ∙ ⃗r ' ( t ) dt c
0
F [ r⃗ ( t ) ]=( 2cos t−2sin t ,2 sin t+2 cos t ) ⃗r ' ( t )=(−2 sin t , 2cos t ) F [ r⃗ ( t ) ] ∙ ⃗r ' ( t )=−2sin t ( 2 cos t−2 sin t )+ 2cos t ( 2sin t +2 cos t ) ¿−2sin 2 t + 4 sin2 t+ 4 cos 2 t +2 sin2 t=4 ( sin 2 t+cos 2 t ) 3π 2
[
3π 2
3π 2
∫ F dr=4 ∫ sin2 t +cos 2 t dt=4 ∫ sin 2 t dt+∫ cos 2 t dt c
0
Se puede escribir 1 1 2 sin t= − cos ( 2 t ) 2 2 Reemplazando
0
0
]
3π 2
3π 2
3π 2
−1 1 2 cos ( 2 t ) dt + ∫ dt + ∫ cos t dt ∫ 2 0 2 0 0
Integrando u=2 t du=2 dt Los limites u=2 x 0=0 limite
¿
2(3 π ) =3 π 2
3π 2
3π
3π 2
−1 1 cos u du+ ∫ dt+ ∫ cos 2 t dt ∫ 4 0 2 0 0 −sinu −1 −1 = sin 3 π − sin 0=0 4 4 4 3π 2
3π 2
3π 2
1 ∫ dt + ∫ cos 2 t dt = 2t + ∫ cos 2 t dt 2 0 0 0
t 3π 0 3π = − = 2 4 2 4 3π 2
3π + ∫ cos2 t dt 4 0 La función se puede escribir 1 1 cos ( 2 t ) + 2 2 3π 2
3π 1 1 + ∫ cos ( 2t ) + dt 4 0 2 2
3π 2
3π 2
3π 1 1 + ∫ cos ( 2t ) dt + ∫ dt 4 0 2 0 2
Por sustitución u=2 t du=2 dt Los nuevos límites superior e inferior u=0u=3 π 3π 2
3π
3π 1 1 + ∫ cos ( u ) du+ ∫ dt 4 4 0 0 2
La integral del coseno y evaluada sinu 1 = ( sin 3 π−sin0 )=0 4 4 Reescribiendo 3π 2
