Algebra Moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Actividad Descargable Lista de ejercicios Actividad 3
a Probar obar que que si G es un grup grupo o y a es un elem elemen ento to de G, ento entonc nces es el conjunto {an| n es un entero} es un subgrupo de G. Tenemos Tenemos que hay un elemento a del grupo grupo G (llamado (llamado "generador" "generador" de
G,
tal que todo elemento de
potencia de
G
puede puede ser e!pr e!presad esado o como como una
a.
n otras palabras, G es c#clico, con generador a, si
G $
{ an | n % Z}
ntonces& l elemento a genera el subgrupo G si& 2
n
3
a . a= a a∗a∗ a= a a∗a∗a∗… .∗a =a
b Probar Probar que que los siguie siguientes ntes conjunt conjuntos os son subgrupo subgrupos s de G, G, donde G es el el grupo de 'unciones que an de la circun'erencia unitaria en el plano en la circun'erencia unitaria. )
l conju conjunto nto de de rotaci rotacione ones s sobre sobre el orige origen, n, es decir decir las las 'uncio 'uncione nes s de la 'orma '(!,y$(! cos(a)y sen(a, ! sen(a*y cos(a donde a es el alor del +ngulo de rotacin. l modelo de la gr+-ca de la 'uncin seno del +ngulo se puede obte obtene nerr
tran transs-ri rien endo do punt puntos os del del
c#r c#rculo culo unit unitar ario io al sist sistem ema a
recta rectangu ngular lar de coord coordena enadas das.. a 'unci 'uncin n seno seno del +ngulo +ngulo utili/ utili/a a la y de los arcos del c#rculo unitario 0 la 'uncin seno del +ngulo ! a partir de la circun'erencia unitaria y se puede representar por la matri/ 1!1 SO ( 2 )=
[
( a ) −sen (a ) sen ( a ) cos ( a ) cos
]
2 si hablamos de puntos en el plano&
Algebra Moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Evaluacin (−1,0 ) ( 0,1 ) f ( x , y ) = ( 0,−1 ) ( 1,0 )
[
]
http&33444.matematicaspr.com3l1dj3blog3gra-cas)'unciones) trigonometricas )
l conjunto de 'unciones que dejan -jo una cantidad -nita de puntos de 5. 6iendo los conjuntos de 'unciones que dejan una cantidad -nita, son
las re7e!iones de un grupo di8drico.
ntonces&
R=
(
cos
sen
( ) ( ) 2 πk
sen
n
2 πk
n
)
( ) ( )
−cos
2 πk
n
2 πk
n
0& R1∗ R2 = R3 ∈ S
R1∗e= R 1∗e , ∈ S R1∗ R
)
−1
∈S
l conjunto de 'unciones que solo intercambian un mismo conjunto -nito de puntos, es decir si {!9, !1, : , !n} son puntos en la circun'erencia, entonces '(!$! si ! no es alguno de los puntos de 5. n
A k ={( x 1 , . . . , x n ) ∈ R : f ( x 1 , . . . , x n )=k }
l alor de ; debe estar en el recorrido de la 'uncin, ya que en otro caso, el conjunto de niel ;, A k , ser+ un conjunto ac#o
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1
Algebra Moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Evaluacin )
l conjunto de 'unciones que dejan -jos todos los puntos de algBn conjunto es decir si 5 es un subconjunto de la circun'erencia entonces '(!$! para cada ! en 5. 5 es un subconjunto no ac#o de Rn se denomina di+metro de 5, denotado CD(5E o Cdiam(5E a& δ ( A )={ ¿ d ( x , y ) : x , y ∈ A
l di+metro de 5 puede ser un nBmero real no negatio o F, dependiendo de que el conjunto&
{d ( x , y ) : x , y ∈ A }⊂ R
esté acotado o no.
6e dice que un subconjunto de
R
n
es acotado si es ac#o o si tiene
di+metro -nito.
)
6i 59, 51,:5n es una particin de la circun'erencia es decir que la circun'erencia es igual a la unin de todos estos conjuntos y adem+s estos tienen interseccin ac#a, entonces las 'unciones tales que '(5;$5; es un subgrupo.
)
6i 59, 51,:5n es una particin de la circun'erencia, entonces las 'unciones que mandan un conjunto de la particin en otro es decir '(5;$5s.
c >ada la siguiente tabla de @aley, identi-ca los subgrupos del grupo, y en una copia de la tabla colorea los subgrupos (colorea cada celda que contenga los elementos del subgrupo. eali/a una copia di'erente por cada subgrupo di'erente. H
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5
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J
G
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