Act3_Fase2_299006A_12

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas tecnología e ingeniería Control Digital – 299006_288– 2016 Fase 2 - Teórica –

ACTIVIDAD 3

Luis Alberto Sánchez Correa - Cód.: 16.786.134 Jaime Antonio Aguirre González – Cód.: 6387283 Dayan Stiven Solarte – Cód.: 1061733680 Paulita Flor – Cód.: 1061773123

Director: Freddy Valderrama

Grupo Colaborativo: 299006A - 12

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. Programa: Ingeniería Electrónica Cead: Palmira- Valle- Colombia Abril- -2016


INTRODUCCION

En este trabajo colaborativo los integrantes del curso de CONTROL DIGITAL se darán soluciones a los tres ejercicios planteados en el anexo dos de la guía de actividades. Después de haber leído los conceptos de la unidad dos del curso, hemos adquirido los conocimientos que nos servirán para dar desarrollo a los ejercicios utilizando las herramientas matemáticas adecuadas. Al resolver estos ejercicios nos daremos cuenta de la importancia de los conceptos de matriz de transición de estado, el vector de realimentación K, la forma canónica controlable en variables de estado y la aplicación de la transformada Z en sistemas discretos. Este curso es muy importante para nuestra formación profesional porque nos da conocimientos y herramientas matemáticas que podemos utilizar a futuro en nuestras vidas profesionales, para el diseño e implementación de sistemas que utilicen el control digital que hoy en día son muchos y tienen muchas aplicaciones en diversos campos de la electrónica.


OBJETIVOS

Generales



Resolver los ejercicios del Anexo 2

Específicos



Presentar propuestas de solución de los ejercicios.



Realizar debate con el instructor y miembros del equipo para ajustar las respuestas apropiadamente.


Desarrollo 1. Determine la forma canónica controlable en variables de estado para el siguiente sistema G(z): 0.004528 Z +0.9048 G ( z )= 2 z −1.7235 z+ 0.74075976 R/

1 z2 0.004528 Z+ 0.9048 G ( z )=( ) 2 1 z −1.7235 z +0.74075976 z2 Y ( z) 0.004528 Z−1+ 0.9048 Z−2 ( ) G z= = u ( z ) 1−1.7235 Z−1 +0.74075976 Z−2 Y ( z ) (1−1.7235 Z−1+ 0.74075976 Z−2)=u ( z ) (0.004528 Z−1 +0.9048 Z−2 )

Se encuentra los coeficientes de G y H así: a2 = -0.74075976 a1= 1.7235 b0 = 0 b1= 0.004528

b2= 0.9048

La ecuación matricial en espacio de estado del sistema es: X 1 ( K +1 ) 0 1 X 1 (k) 0 = + U ( k) X 2 ( K +1 ) −a 2 −a 1 X 2 ( k ) 1

( (

)(

)(

)()

)(

)(

)()

X 1 ( K +1 ) 0 1 X 1(k ) 0 = + U (k ) X 2 ( K +1 ) −0.74075976 1.7235 X 2 ( k ) 1

Ahora se calcula las matrices C y D b 2−a2 b 0=0.9048−0.74075976∗0=0.9048

b 1−a1 b 0=0.004528−1.7235∗0=0.004528

y ( k )=( 0.9048 0.004528 )

(

X 1( k ) X 2( k )

)

Realizando el análisis para obtener los coeficientes de las matrices para expresar el estado canónico observable para la matriz se obtiene:


(

)(

)(

)()

X 1 ( K +1 ) 0 1 X 1(k ) 0 = + U (k ) X 2 ( K +1 ) −0.74075976 1.7235 X 2 ( k ) 1

y ( k )=( 0.9048 0.004528 )

(

X 1( k ) +b o U (k ) X 2( k )

)

y ( k )=( 0.9048 0.004528 )

(

X 1( k ) +0 U (k ) X 2( k )

)

Las ecuaciones anteriores forman una representación en espacio de estados del sistema descrito por la función de transferencia que se denomina forma canónica controlable. Prueba Matlab

Comando num =[0.004528 0.9048]; den =[1 -1.7235 0.74075976]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) co=ctrb (A,B) ob=obsv (A,C) Controllability=rank(co) Observability=rank(ob)

Resultados A=

1.7235 -0.7408 1.0000 0

B=

1 0

C = 0.0045 D=

0.9048

0

co = 1.00 1.7235 0 1.0000 ob = 0.0045 0.9048 0.9126 -0.0034 Controllability = 2 Observability = 2


2. Mediante el uso de la matriz de transición de estado obtenga la respuesta al escalón y[n] del sistema digital descrito por las siguientes matrices de estado y condición inicial: G=

[

] []

[ ]

0 1 1 1 , H= , c= [ 1 0 ] , x ( 0 )= −0.7 −0.8 1 −1

R/ Se parte de la función de transferencia discreta del sistema que se obtiene mediante el uso de la siguiente ecuación; Se debe calcular Ψ ( k )=G k =Z−1 {( zI−G )−1 z }

(( )( (( ) (

1 |zI −G| = Z 1 0 − 0 0 1 −0.7 −0.8 −1

1 |zI −G| = z 0 − 0 0 z −0.7 −0.8 −1

−1

))

−1

))

|zI −G|=z ( z +0.8 ) +0.7=z 2 +0.8 z+ 0.7 |zI −G|=( z −0.4−0.734847 j)(z−0.4+ 0.734847 j ) −1

((

|zI −G| = −1

(

|zI −G| =

z 0.7

−1

))

−1 z+ 0.8

1 z +0.8 1 z + 0.8 z +0.7 −0.7 z

(

(

2

z +0.8 |zI −G| = z +0.8 z +0.7 −0.7 2 z +0.8 z +0.7 −1

2

))

1 z + 0.8 z +0.7 z 2 z + 0.8 z +0.7 2

Multiplicamos la última ecuación por z

)


[

z 2 +0.8 z −1 z 2 +0.8 z +0.7 ( zI −G ) z = −0.7 z 2 z +0.8 z +0.7

−1

( zI −G ) z =

z z +0.8 z +0.7 z2 z 2+0.8 z +0.7 2

z z+ 0.8 1 z +0.8 z+ 0.7 −0.7 z

(

2

]

)

Resolviendo completamente la ecuación de estado y la de la salida para una señal de entrada dada por:

[ ]

( k ) =1 k=0,1,2, ⋯ x ( 0 )= 1 −1

Teniendo en cuenta la transformada Z de la entrada (escalón unitario) y que se sabe que: X ( z )=1 ( zI −G )−1 [ zx ( 0 ) + HU ( z ) ]

La función escalón unitario se define como, Se calcula:

[ ][ ] 2

z z z−1 z z−1 zx ( 0 )+ HU ( z )= + = 2 −z z −z +2 z z−1 z−1

[ ]

( )

z ( z z + z−1 ) = 1 [ z X ( 0 )+ Hu ( z ) ]=(−z ) z z−1 (2 z−z )=¿ ( z−1 )

[ z X ( 0 )+ Hu ( z ) ]=

Multiplicando las dos partes obtenemos.

2

2

z z z−1 2−z

( )


z z+ 0.8 1 z z z +0.8 z+ .7 −0.7 z z−1 2−z

(

2

) ( )

=

z z z+ 0.8 1 z (¿¿ 2+0.8 z+ 0.7) (z −1) −0.7 z 2−z z ¿

(

)( )

z

(

2

z z +0.8 z+ 2−z (¿¿ 2+0.8 z+ 0.7) (z −1) −0.7 z+ 2 z−z 2 z ¿ z (¿¿ 2+0.8 z+ 0.7)

(

z (¿ ¿ 3+0.8 z 2+ 0.7 z−z 2−0.8 z−0.7 )

(

z 2−0.2 z +2 1.3 z−z 2

z2 ¿ z (¿ ¿ 3−0.2 z 2−0.1 z−0.7 )

(

z 2−0.2 z +2 1.3 z−z 2

)

2

z ¿

z (¿ ¿3−0.2 z −0.1 z−0.7 ) z ¿ 4 3 2 z −0.2 z +2 z 1.3 z 3−z 4 ¿ (¿ ¿ 3−0.2 z 2−0.1 z−0.7 ) X ( z )=¿ 2

2

z z −0.2 z+2 ( z −1) 1.3 z−z 2 z ¿

)

)

)


z3 z3

Divide

(

z−0.2+2 z−1 −1 −2 −3 X ( z )= (1−0.2 z −0.1 z −0.7 z ) 1.3−z −1 (1−0.2 z −0.1 z −2−0.7 z −3 )

)

Finalmente, la ecuación de salida seria:

y ( k )=C X ( k )= [ 1 0 ] X (k ) z−0.2+2 z−1 ( ) ( ) y k =C X k = (1−0.2 z −1−0.1 z−2−0.7 z−3)

El valor final de y(k) se puede obtener aplicando el teorema del valor final −.2 =−.2 ( 0−0.2 )( 1 1 )

( x=∞ )=lim ( z=¿> 0 )=

Realizando la división se obtiene: z−0.2+2 z−1 −z +0.2+0.1 z−1+ 0.7 z−2 2.1 z −1 +0.7 z−2 2.1 z −1 +0.7 z−2 −2.1 z−1+ 0.42 z−2 +0.21 z −3 +1.47 z−4 1.12 z −2 +0.21 z−3 +1.47 z−4 1.12 z −2 +0.21 z−3 +1.47 z−4 −1.12 z−2+ 0.22 z−3 +0.112 z−4 +078 z−5 0.434 z−3+ 1.58 z −4 + 0.78 z −5 0.434 z−3+ 1.58 z −4 + 0.78 z −5 −0.434 z−3 +0.0868 z−4 +0.043 z−5 +0.304 z−6 1.669 z −5 +0.8234 z −6 +0.304 z−7 1.669 z −4 + 0.82435 z −5 +0.304 z −6 −1.669 z−4 +0.3337 z−5 +0.16694 z−6 +1.1681 z−7 1.15716 z−6 +0.47607 z −7 +1.1681 z −8 1.15716 z−6 +0.47607 z −7 +1.1681 z −8 −1.15716 z−6 +0.2314 z−7 +0.1157 z−8 +0.8099 Z −9 0.7021 z −7 +1.2838 z−8+ 0.8099 Z−9 0.7021 z −7 +1.2838 z−8+ 0.8099 Z−9 −0.7021 z−7 +0.1404 z−8+ 0.072 Z−9 +0.05047 z−10

1−0.2 z−1−0.1 z−2−0.7 z−3

z+ 2.1 z−1+ 1.12 z−2 +0.434 z−3+ 1.669 z−4 +1.157


1.424 z−8+ 0.8819 Z−9 +0.05047 z−10 El resultado de la descomposición por fracciones parciales es: y ( k )=C X ( k )=

z−0.2+2 z−1 (1−0.2 z −1−0.1 z−2−0.7 z−3)

y ( k )=( z −.2+ 2 z−1 )−0.2 z−1−0.1 z−2 −0.7 z−3 y ( k )=−.2+ z+ 1.8 z −1−0.1 z−2−0.7 z−3 Usando mathlab se obtiene: G = [0 1;-.7 -.8]; H = [1;1]; C = [1 0]; D = [0]; XI= [1;-1]; sysB = ss(G,H,C,D,1); initial(sysB,XI)


>> [yb,tb,xb] = initial(sysB,XI) yb 1.0000 -1.0000 0.1000 0.6200 -0.5660 0.0188 0.3812 -0.3181 -0.0123 0.2325 -0.1774 -0.0209 0.1409 -0.0981 -0.0201 0.0848 -0.0537 -0.0164 0.0507 -0.0291 -0.0122 0.0301 -0.0156 -0.0086 0.0178 -0.0082 -0.0059 0.0105 -0.0042 -0.0039 0.0061 -0.0021 -0.0026 0.0036

tb 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

xb 1.0000 -1.0000 0.1000 0.6200 -0.5660 0.0188 0.3812 -0.3181 -0.0123 0.2325 -0.1774 -0.0209 0.1409 -0.0981 -0.0201 0.0848 -0.0537 -0.0164 0.0507 -0.0291 -0.0122 0.0301 -0.0156 -0.0086 0.0178 -0.0082 -0.0059 0.0105 -0.0042 -0.0039 0.0061 -0.0021 -0.0026 0.0036

-1.0000 0.1000 0.6200 -0.5660 0.0188 0.3812 -0.3181 -0.0123 0.2325 -0.1774 -0.0209 0.1409 -0.0981 -0.0201 0.0848 -0.0537 -0.0164 0.0507 -0.0291 -0.0122 0.0301 -0.0156 -0.0086 0.0178 -0.0082 -0.0059 0.0105 -0.0042 -0.0039 0.0061 -0.0021 -0.0026 0.0036 -0.0010


3. Siguiendo todos los pasos del ejemplo 1.5 de www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf , determine el vector de realimentación K tal que los polos en lazo cerrado se encuentren ubicados en

z=0.5 ∓0.75 j

G=

para el siguiente sistema:

0 1 , H= 0 (−0.7 (1 ) −1 )

Nota: Debe hacer el cálculo del vector de realimentación usando todos los métodos del ejemplo. R/ Primero se determina la controlabilidad del Sistema

(1 −11 )

[ H|GH ¿= 0

Rango=2, determinante diferente de zero,se calcula K con la ecuacion [ZI −G+ HK ]=( z−0.5−0.75 J ) ( z −0.5+0.75 J ) [ZI −G+ HK ]=( z 2−0.5 z−0.75 Jz ) −0.5 z +0.25−0.5∗0.75 J

−0.75 JZ +0.5∗0.75 J −( 0.75 )2 J 2

[ H|GH ¿=( z2−0.5 z −0.5 z+0.25+ 0.5625(1)) [ZI −G+ HK ]=( z 2−z +0.8125 ) ∝1=−1 , ∝2=0.8125

La ecuación característica de la bucla es:

[( ) (

[ ZI −G+ HK ] = z 1 0 − 0 1

)] (

0 1 = z −0.7 −1 0.7

−1 z+ 1

)

a 1=1, a 2=0.7

Método 1: K= [ ∝ 2−a 2∨∝ 1−a 1 ] = [ 08125−0.7∨−1−1 ] =[ 0.1125|−2 ¿


Método 2: Ackerman −1

K= [ 0 1 ] [ H ∨GH ] θG 2

θG=z −z +0.8125 I 2

( ) ( ) ( ) 1 0 1 − 0 1 +0.8125 1 0 θG=( 0 ( 0 1) −0.7 −1)(−0.7 −1) (−0.7 −1) 1 + O.8125 0 θG=(−0.7 −1 )−( 0 ) ( 0.7 0.3 −0.7 −1 0 0.8125) 1 + O.8125 0 θG=(−0.7 −1 )−( 0 0.7 0.3 −0.7 −1 ) ( 0 0.8125) 0 θG=(−0.7 −2 )+( O.8125 1.4 1.3 0 0.8125) −2 θG=( 0.1125 1.4 2.1125 ) 1 − 0 1 +0.8125 1 0 θG= 0 −0.7 −1 −0.7 −1 0 1

Usando la ecuación inicial se obtiene: −1

K= [ 0 1 ] [ H ∨GH ] θG −1

[( )] (

K= [ 0 1 ] 0 1 1 −1

( )( K= [ 1 0 ] (0.1125 1.4

0.1125 −2 1.4 2.1125

−2 K= [ 0 1 ] 1 1 0.1125 1 0 1.4 2.1125

K=( 0.1125 −2 ) Método 3 K=[ZI −G+ HK ]

−2 2.1125

)

)

)


[( ) (

)] ( ) [ ZI −G+ HK ] =( z −1 )+( 0 0 ) 0.7 z +1 k 1 k 2 −1 [ ZI −G+ HK ] =( z 0.7+k 1 z +1+k 2 ) [ ZI −G+ HK ] = z 1 0 − 0 1

0 1 + 0 ( k 1 k 2) −0.7 −1 1

[ ZI −G+ HK ] =[z ( z +1+k 2 ) + ( 0.7+ K 1 ) ]

[ ZI −G+ HK ] =[z ( z +1+k 2 ) + ( 0.7+ K 1 ) ] [ ZI −G+ HK ] =[ z 2+ Z ( 1+ K 2 ) + ( 0.7+ K 1 ) ]=0 1+k 2=−1



0.7+ k 1=0.8125



k 1=0.8125−0.7

Comando G= [0 1;-0.7 -1]; H =[0;1]; C= [0 1]; D= 0; [Num3,Den3] =ss2tf (G,H,C,D); q3 = tf(Num3,Den3)



k 2=−1−1

k 2=−2



k 1=0.1125

Resultado Transfer function: s - 1.11e-016 ------------s^2 + s + 0.7

step (q3)

stepinfo (q3)

RiseTime: 1.7764e-015

SettlingTime: 8.4873

SettlingMin: -0.0573

SettlingMax: 0.0055

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas tecnología e ingeniería Control Digital – 299006_288– 2016 Fase 2 - Teórica – Overshoot: 3.6158e+016

Undershoot: 3.7551e+017

Peak: 0.5956

p=[-0.5+0.75i -0.50.75i]; k = place (G,H,p)

k=

0.1125

PeakTime: 1.4835

0


CONCLUSIONES 

La actividad planteada fase 2 identificó temáticas generales importantes en la comprensión de los sistemas de control digital necesarios a lo largo del curso.



La ciencia y el software en la ingeniería permite encontrar y explicar la realidad mediante leyes de modelos matemáticos, los cuales posibilitan además predicciones y aplicaciones prácticas.



La catedra Control digital ha surgido como un proceso evolutivo y requerimiento básico en la ingeniería electrónica, lo que permite ser una herramienta técnica de alto grado que ayuda a encontrar las soluciones a los diversos problemas de control y de digitalización de señales de campo.



El Control digital permite desarrollar pensamiento crítico y analítico

frente a

conocimientos previos o que se adquieren en vida cotidiana y profesional. 

El conocimiento científico en este caso de la medición y transformación a señales digitales es un conocimiento objetivo que se estructura en sistemas verificables, obtenidos metódicamente y comunicados en un lenguaje construido con reglas precisas y explícitas donde se evita la ambigüedad y los sin sentidos de las expresiones.



Se concluye también que la temática inicial tiene material académico significativo e importante en este trabajo para asimilar y tratar temas de las unidades siguientes.



Se comparte la experiencia y el debate sobre la idea del conocimiento que nos aporta esta catedra de señales digitales buscando hacer la actividad académicas más armónica y comparable con la vida real.

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