Calcule el valor de P(1). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
14. Si P(x)=ax2+b,
A) 27 B) 29 C) 32 D) 30 E) 36
12. Si P(x)=x2 – x+2,
calcule el valor de P(1)+P(2)+P(3)+ ... +P(10) A) 330 B) 320 C) 350 D) 380 E) 310
15. Sea P(x)=ax+bx,
NIVEL AVANZADO
además, P(1)=3; P(2)=7. Determine el valor de P(3).
A) 16 B) 21 C) 14 D) 18 E) 12
13. Sea
además, P(2)=14 4P(1)+P(0)=22 calcule P(3).
P( x; y ) = x + 2 y Calcule el valor de P(4; 3) – P(5; 6)+P(6; 8)
3
Álgebra Polinomios I
5. Determine el grado del siguiente polinomio n
NIVEL BÁSICO
linomios?
2 3 I. S( x ) = 3 x − x + 2
6. Respecto al siguiente polinomio
x −1 + 3x + 2 x +1
II. Q( x ) =
III. L( x ) = x 2 + 1 + x + 1 2
3 y x + 2 xy − 2 3
IV. R( x; y ) =
V. M( x ) = 3 x −1 + 5 x 2 + 2
1
2. Respecto al siguiente polinomio
P(x)=2x3+x2+x4 – 11+3x indique cuántas proposiciones son correctas. I. Su grado es 3. II. Su coeficiente principal es 2. III. El término independiente es 11. IV. El polinomio no es mónico. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
P(x)=3xn – 1+2x2 – xn+1+n+6 es un polinomio cúbico. Calcule el valor de P(2). A) 24 B) 14 C) 18 D) 68 E) 32
determine el equivalente de 5 f( x +1) − 7 f( x ) f( x −1)
A) 12 B) 18 C) 21 D) 24 E) 30
A) 20 B) 15 C) 7 D) 11 E) 12
4. La siguiente expresión
P(x – 3)=2x Q(x+2)=x – 4 Halle P(x)+Q(x). A) 3x B) 3x – 4 C) 3x+1 D) 3x – 1 E) 3x – 3
3. El siguiente polinomio
Q(x+2)=3x+10 indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Su variable es x. II. Su término independiente es 2. III. La suma de coeficientes es 13. A) FFV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
+1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son po
P( x ) = x n−7 + 3 x10− n − 5 x 3
9. Sea P(2x – 3)=6x+5.
Determine la expresión P(x+1). A) 6x+14 B) 3x+14 C) 3x+11 D) 3x – 12 E) 3x+17 4
Álgebra 10. Si se sabe que
NIVEL AVANZADO
5 10 P − 1 = +3 x x
halle P(x).
13. El siguiente polinomio es cuadrático, mónico y
A) 2x+5 B) 4x+3 C) 4x+5 D) 2x+3 E) 2x+1
A) 11 B) 16 C) 14 D) 20 E) 10
11. Si se sabe que
P(2x)=8x+5 Q(x – 1)=3x
halle P Q
(
( x)
14. Si M(x – 2)=x2+x
.
)
A) 6x+9 B) 12x+1 C) 9x – 3 D) 15x E) 12x+17
P(x)=x+3 f(x)=x2+2 determine la expresión Pf +fP
además M(3x)=ax2+(a+b)x+b halle ab. A) 45 B) 48 C) 42 D) 54 E) 64
P(2x – 1)=(4x – 3)n+(2x)n – 128(4x – 1) la suma de coeficientes y el término independiente suman 1. Halle n si este es impar. A) 7 B) 5 C) 9 D) 11 E) 13
15. Sea P(x) un polinomio con término indepen
diente igual a 15, tal que P 1 − P( x ) = aP( x ) − 5
(
)
Halle P(2)+P(x). A) – 20x+10 B) – 20 – 5 C) 20x – 15 D) – 20x – 10 E) 20x+13
Álgebra División algebraica I
5. El polinomio 2x4 – 5x3+ax+b es divisible entre (x – 2)2. Halle b – a.
NIVEL BÁSICO
1. Respecto a la siguiente división x5 − 3 x4 − x + m
A) 15 B) 16 C) 20 D) 23 E) 25
6. El resto de la siguiente división es R(x)=x+9 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + mx + n
2
x + ax + b indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. El cociente es un polinomio cúbico. II. El residuo es de grado 2. III. El grado del residuo puede ser cero. IV. El grado del cociente puede ser 2.
3 x 6 + mx + n
x2 − x
NIVEL INTERMEDIO
3. Determine la diferencia del cociente con el resto de la siguiente división. x2 + 4 x4 + 8
ax 4 − ( 2a + 1) x 3 + ( a − 1) x 2 + 3 x + 1
A) ax+1 B) x – 1 C) x+1 D) x+3 E) x+a
8. La siguiente división tiene como resto
cociente y del resto de la siguiente división. 9 x5 + 6 x2 + 7 x 2
3x + 1 A) x B) 2x C) 3x D) 4x E) 5x
R(x)=x+5.
2 x 5 + 5 x 4 + ax 3 + bx 2 + 5 x + 2
2x − 3x + 1
4. Determine la suma de los términos lineales del
ax 2 − ( a + 1) x − 2
2
A) 2x2 – 6x B) x2+9x C) x2+11x D) x2+x E) x2+6x
7. Halle el resto de la siguiente división.
se obtiene como residuo R(x)=7x+2. Indique el valor de m+n. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9
Halle m+n. A) 6 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15
A) VVFV B) VFVF C) VVVF D) VFVV E) FVVF
2. En la siguiente división
x2 + 2x − 1
2x2 + x − 3 Halle el valor de ab. A) 15 B) 13 C) 11 D) 17 E) 14
9. Luego de efectuar la siguiente división se obtuvo como residuo R(x)=7x+c. 5 x 4 + ax 2 − bx + c
3 x2 + 4 x + 1 Halle a+b. A) 1 B) 11 C) – 12 D) 16 E) – 8
8
Álgebra 10. Luego de efectuar
NIVEL AVANZADO
3 x 4 + 5 x 3 + ( y − 2) x 2 + 18 x + 2 − 4 y 2
2
x + 2x − y la suma de los coeficientes del resto es igual a – 16. Halle la suma de coeficientes del cociente. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
13. Luego de efectuar 6 x 5 + 8 x 4 + ax 3 + bx 2 + bx + a
11. Luego de efectuar x6 − x3 − 2 la suma del cociente y resto es ax6+bx3+c. Halle el valor de abc. A) 64 B) 84 C) 80 D) 81 E) 90
14. Determine el resto de la siguiente división
( x 3 − 2 x 2 )3 + ( x − 3)5
de la siguiente división.
( x − 2) ( x − 1)
A) 32x+15 B) 32x – 15 C) 32x – 65 D) 32x+65 E) 6x – 12
12. Halle la suma de los coeficientes del cociente
15. El resto de la siguiente división es
2 x 20 + 1
se observa que los coeficientes del cociente están en razón geométrica. Halle el resto. A) 60x+2 B) 17x+32 C) 64x+48 D) 34x+19 E) 72x+18
3 x12 − 7 x 6 + 3 x 3 − 4
3 x2 − 2x + 1
x2 − 1
R(x)=2x+1
ax 4 + bx 3 − 35 x 2 + 5 x + 3
A) 24 B) 20 C) 8 D) 10 E) 12
9
1− 5 x2 − 3 x Halle ab. A) 300 B) 500 C) 360 D) 510 E) 560
Álgebra División algebraica II NIVEL BÁSICO
6. Halle el resto al dividir
A) 1025 B) 7 C) 9 D) 14 E) 17
1. Efectúe 4
2
5
6x − 4x + 4x + 3x 2x − 1 e indique la suma de coeficientes del cociente. A) 16 B) 14 C) 12 D) 8 E) 18
2. En la siguiente división
3 x 4 − x 3 + 4 x 2 + px + 1 3x + 2
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el resto de la siguiente división.
(
3. Luego de efectuar la división
8. Calcule el resto de la siguiente división
6 x 20 + x16 − x12 + 9 x 4 + 1
indique la adición de la suma de coeficientes del cociente y del resto.
4. Efectúe
6 x4 + x3 + 2x2 + 8 x + 5 1 x− 2 e indique el término lineal del cociente. A) 2x B) 4x C) 6x D) 5x E) 10x
5. Halle el resto de la siguiente división. 2 x13 + 3 x 6 + 2 x − 1
x2 − 1 A) 6 B) 3x+3 C) 4x+2 D) 2x+4 E) x+5
2 x10 + ax + 3 2x − 2 si la suma de coeficientes del cociente es 15. A) 7 B) 15 C) 10 D) 20 E) – 5
3 x4 − 1
A) 6 B) 12 C) 22 D) 20 E) 10
3 + 1) x 4 − 2 x 3 + x 2 + (2 − 3 ) x − 3 x + 1− 3
A) 0 B) 1 C) – 1 D) 2 E) – 2
el residuo es 5. Indique el valor de p+1. A) 0 B) – 1 C) 1 D) – 2 E) – 3
8( x − 1)17 − (1 − x )20 + 2 x + 1 x−3
9. Halle el resto de la siguiente división.
a2 x 5 + ( ab − a) x 4 − bx 3 + a3 x 2 + ( a − a2 ) x + 5 abx − b A) 3 B) 2a C) 5 D) 6 E) – 1
10. Halle el resto de 3 x9 − x5 + x3 − 1
x2 + x + 1 A) x B) x+2 C) x+4 D) x – 2 E) x – 3 10
Álgebra 11. Si la siguiente división es exacta
A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 3
ax7 + bx + c x −1
determine el valor de
a3 + b3 + c3 abc
14. Halle el término independiente del cociente de la siguiente división.
A) 1 B) 3 C) 6 D) 27 E) 9
12. En la división
x n+1 − ( n + 2) x + n + 1 x −1
15. Halle el resto en x 5 ( x + 1)5 + ( 2 x 2 + 2 x − 3)6 + x 2 − x + 1
NIVEL AVANZADO
x2 + x − 1
13. Halle el valor de n en el polinomio
A) 6 B) – 3 C) 5 D) 7 E) 1
el término independiente del cociente es – 10. Halle el valor de n. A) 5 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
( x − 1)7 + 3 x 2 + 1 x−2
P(x)=x5+3x2+nx+1 si se sabe que al dividirlo entre x – 1 el resto obtenido es igual al que resulta al dividirlo entre x+1.
