UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE PETROLEO, PETROQUÍMICA y GAS NATURAL.
SEPARATA: INTEGRAL DE KIRCHOFF - PSEUDOPRESIÓN PSEUDOPRESIÓN
Lima Octubre, 2007
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Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Petróleo y Petroquímica.
Pseudopresión de un gas. Fundamento teórico - Matemático. Por ingeniería de Reservorios, sabemos que la forma básica de la ecuación diferencial de la ley de Darcy para el flujo de gas radial viscoso horizontal a través de un medio poroso es: q gr =
11271 . (2π rh) k ) ∂ p 1000 , μ
∂ r
En donde: qgr = tasa de producción de gas al radio r, en barriles res. /día. r = la distancia radial, en pies. h = el espesor de la zona, en pies. µ = la viscosidad de gas, en cp, k = la permeabilidad de la formación, en md, p = la presión, en psi, 1.1271 = Factor de conversión para pasar de las unidades de Darcy a unidades de Campo. Tratándose de gases, lo pasamos a condiciones standard con la ecuación siguiente que se fundamenta en la ecuación general de los gases reales: . qbr = 5615 q gr
pTb Z b p TZ b
Se obtiene la siguiente ecuación: 3.9764 x10− 2 khTb qbr PbTzμ
PdP =
dr r
Integramos ésta ecuación desde las condiciones del wellbore o fondo de pozo hasta un punto“r” determinado en el reservorio, que tendría una presión p y obtendríamos: 3.9764x10− 2 khT p P b ∂ P = ∫ μ Z q P T p b b w
r ∂ r
∫
r w
r
Si tomamos la temperatura base de 520R°, la presión base de 14.7 y el factor de desviación del gas z= 1.0, se obtendrá la siguiente ecuación: 0703 . kh qb T
p
x 2
p
∫ μ z
pw
∂ p = Ln
r r w Pág 2 de 9
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Si expandimos la integral mostrada del siguiente modo: p
2
p
∫ μ z
P
dp = 2
pw
p
∫ μ z
pw
dp − 2
p
∫ μ zdp
p 0
P0
El segundo término, que está resaltada, es decir la integral que va de p 0 a p, es una transformación de la integral de Kirchoff, el cuál es definido como real potencial del gas o simplemente como Pseudopresión del gas. Comúnmente se lo simboliza como m(p) y también con la letra griega ψ. p
m( p) = 2
p
∫ μ zdp
p 0
En donde p0 es una presión de referencia; para consideraciones prácticas se utiliza presión promedia atmosférica de 14.73 Psia. Que es el mismo que se utiliza en los cálculos de Ingeniería de Reservorios de gas. Determinación de la Pseudopresión. Tener en consideración lo siguiente: 1.
El valor de la Pseudopresión solamente es válido para la temperatura indicada, generalmente la temperatura del reservorio, que puede ser cualquier otra que previamente se defina. 2. Asimismo se considera que la composición del gas es constante y homogénea en el reservorio y en los pozos.
4.
P A presiones altas se considera la igualdad: P μ z = i μ z = Cte. , siendo el subíndice i i i relativo a las condiciones iniciales. Se aplica por igual a gases ácidos y no ácidos.
5.
Definimos:
3.
P μ z
=0 P= 0
La Pseudopresión se determina de un modo directo, esto quiere decir que se obtiene una muestra representativa de gas y se determina los valores de viscosidad y el factor de desviación del gas z a diferentes presiones en un laboratorio de PVT, considerando que los incrementos de presiones sean manejables; ni muchos que dificulten los cálculos ni pocos que distorsionen los resultados obtenidos; generalmente recomendamos de 15 a 20 puntos. Con éstos valores determinados, se genera una tabla para integrarlo y obtener de éste modo la Pseudopresión, el mismo que se puede presentar de modo tabulado o en modo gráfico.
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Para usos computacionales, se determina la ecuación que lo determina, mediante regresión matemática obteniendose una ecuación de potencias. El siguiente ejemplo gráfica el modo de determinación de la misma. Ejemplo práctico. Se descubrió el reservorio “Lagunas”, y a lo largo de las operaciones de perforación confirmatoria, se obtuvo una muestra representativa del gas, a condiciones del reservorio, que fue enviado a laboratorio, sometiéndosele a determinación de la viscosidad y valores del factor de desviación del gas (z) desde las condiciones estándar (14.73 Psia) hasta 2,000 psia a intervalos de 50 psi, considerando la temperatura a la del reservorio que es de 640°F; cuyos resultados son los siguientes: N°
Pres
Z
Visc.
N°
Pres
Z
Visc.
N°
Pres
Z
Visc.
1
0
1.0000
0.0107
15
700
0.8000
0.0123
29
1400
0.8832
0.0139
2
50
0.9763
0.0108
16
750
0.7966
0.0124
30
1450
0.9000
0.0140
3
100
0.9541
0.0109
17
800
0.7945
0.0125
31
1500
0.9182
0.0141
4
150
0.9333
0.0111
18
850
0.7940
0.0126
32
1550
0.9379
0.0142
5
200
0.9140
0.0112
19
900
0.7949
0.0128
33
1600
0.9590
0.0143
6
250
0.8961
0.0113
20
950
0.7972
0.0129
34
1650
0.9816
0.0145
7
300
0.8796
0.0114
21
1000
0.8010
0.0130
35
1700
1.0056
0.0146
8
350
0.8646
0.0115
22
1050
0.8062
0.0131
36
1750
1.0311
0.0147
9
400
0.8510
0.0116
23
1100
0.8129
0.0132
37
1800
1.0580
0.0148
10
450
0.8389
0.0117
24
1150
0.8210
0.0133
38
1850
1.0863
0.0149
11
500
0.8282
0.0119
25
1200
0.8305
0.0134
39
1900
1.1161
0.0150
12
550
0.8190
0.0120
26
1250
0.8416
0.0136
40
1950
1.1473
0.0151
13
600
0.8112
0.0121
27
1300
0.8540
0.0137
41
2000
1.1800
0.0153
14
650
0.8049
0.0122
28
1350
0.8679
0.0138
Determinación de la Pseudopresión. Se aplica la integración mediante el método de la regla de Simpson, la misma que da mayor precisión y por ello se la recomienda, pero se puede utilizar también el método de la regla trapezoidal que es mas simple, y se procede del siguiente modo (Tomando como referencia la determinación de la Pseudopresión a 800 Psia): 1. Método de la regla de Simpson. Se procede con el desarrollo de la ecuación siguiente: 1 b
P
∫ zμ
∂ P =
a
h
3
[ f
(a )
+ 4 f (1) + 2 f (2 ) + ......+ 4 f (n − 3 ) + 2 f (n − 2 ) + 4 f (n −1 ) + f (b )
]
Por la técnica que se emplea para la resolución de la ecuación mencionada, el número de puntos se 1
Métodos numéricos y programación Fortran; D.D. McCracken, Limusa, 1977. Pág 4 de 9
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reduce a la mitad, por lo que los 41 puntos darán un total de 20 puntos calculados para la Pseudopresión, los mismos que se muestran en la siguiente tabla: N° Pres. 1 100 2 200 3 300 4 400 5 500 6 600 7 700 8 800 9 900 10 1000 11 1100 12 1200 13 1300 14 1400 15 1500 16 1600 17 1700 18 1800 19 1900 20 2000
Z 0.954 0.914 0.880 0.851 0.828 0.811 0.800 0.795 0.795 0.801 0.813 0.831 0.854 0.883 0.918 0.959 1.006 1.058 1.116 1.180
Visc. 0.0109 0.0112 0.0114 0.0116 0.0119 0.0121 0.0123 0.0125 0.0128 0.0130 0.0132 0.0134 0.0137 0.0139 0.0141 0.0143 0.0146 0.0148 0.0150 0.0153
Pseudp (MM) 0.95 3.86 8.80 15.84 24.99 36.18 49.42 64.60 81.56 100.03 119.90 140.95 162.81 185.35 208.35 231.62 254.83 277.91 300.77 323.25
Si graficamos éstos resultados, se obtendrá el siguiente gráfico:
Metodo de Simpson Integral de Kirchoff 350 ) 300 M M x ( 250 p c / a i s200 P e r u150 s s e r p o100 d u e s P 50
0 0
500
1000
1500
2000
2500
Pressure
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Se ha determinado mediante mínimos cuadrados la ecuación de potencia que sirve para calcular el valor de la Pseudopresión a cualquier presión en el intervalo de presiones: [50-2000] y es la siguiente: m( p ) = 1126 x10 − 4 xP 1.9611 .
2. Método de la regla Piramidal. Los datos del gas, se presentan en la tabla de la página siguiente. Tomando como referencia la línea N° 17 correspondiente a la presión de 800 Psia., se procede del modo siguiente: a. b. c. d. e. f.
Las primeras cuatro columnas corresponde a los datos que se obtienen en el laboratorio mediante determinación directa, la cuarta columna de Producto se determina = 2*P/µz, lo que es igual a 2*800/(0.9686*0.0123) = 133.78 M. La siguiente columna, se determina como el promedio de los valores “Producto”, esto es: (128.55 M +133.78 M)/2 = 131.163 M La columna h es el intervalo h correspondientes a presiones que se está utilizando, y tiene el valor de 50. Luego se determina la columna de Área, multiplicando el promedio por la Altura, lo que es lo mismo: 131.163 M * 50 = 6.558 MM. Finalmente se calcula la Pseudopresión que es realmente el acumulado, es decir 6.558 MM + 49.655 MM = 56.213 MM, que es el valor de la Pseudopresión a 800 Psia. Ver la tabla mencionada. Asimismo se ha determinado mediante mínimos cuadrados la ecuación de potencia que sirve para calcular el valor de la Pseudopresión en el intervalo [50-200] con bastante precisión y es la siguiente: m( p) = 12604 x10 xP . −4
1.95765
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Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Petróleo y Petroquímica. N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
Pres 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000
Z 1.0000 1.0194 1.0446 1.0398 0.9759 1.0107 0.9572 0.9527 0.9193 1.0016 0.9106 0.9826 0.9685 0.8977 0.9592 0.9078 0.9686 0.8990 0.9591 0.9544 0.8766 0.8814 0.8770 0.9175 0.9129 0.9083 0.8505 0.8461 0.8856 0.8985 0.8764 0.8373 0.9016 0.8798 0.8921 0.8704 0.8321 0.8778 0.8730 0.8435 0.8553
Visc. Producto 0.0111 0.0104 0.0105 0.0106 0.0117 0.0108 0.0117 0.0118 0.0120 0.0112 0.0120 0.0119 0.0120 0.0125 0.0122 0.0129 0.0123 0.0128 0.0126 0.0124 0.0135 0.0133 0.0139 0.0130 0.0129 0.0133 0.0141 0.0146 0.0135 0.0135 0.0141 0.0145 0.0144 0.0143 0.0143 0.0144 0.0153 0.0150 0.0146 0.0152 0.0152
0.00 9.46 18.26 27.22 34.98 45.68 53.38 62.53 72.59 80.43 91.52 94.23 103.27 115.99 119.28 128.55 133.78 147.19 149.14 160.01 169.34 178.72 181.09 192.28 204.08 207.43 217.18 218.32 234.57 239.94 242.12 254.55 246.90 261.44 266.20 278.59 282.76 281.59 297.51 304.07 308.29
Prom. 0.00 4.73 13.86 22.74 31.10 40.33 49.53 57.96 67.56 76.51 85.97 92.87 98.75 109.63 117.64 123.91 131.16 140.49 148.17 154.58 164.68 174.03 179.91 186.69 198.18 205.75 212.30 217.75 226.45 237.26 241.03 248.34 250.73 254.17 263.82 272.39 280.67 282.18 289.55 300.79 306.18
h 0 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
Area 0.00 0.24 0.69 1.14 1.55 2.02 2.48 2.90 3.38 3.83 4.30 4.64 4.94 5.48 5.88 6.20 6.56 7.02 7.41 7.73 8.23 8.70 9.00 9.33 9.91 10.29 10.62 10.89 11.32 11.86 12.05 12.42 12.54 12.71 13.19 13.62 14.03 14.11 14.48 15.04 15.31
Pseudopress (MM) 0.00 0.24 0.93 2.07 3.62 5.64 8.12 11.01 14.39 18.22 22.51 27.16 32.10 37.58 43.46 49.65 56.21 63.24 70.65 78.37 86.61 95.31 104.31 113.64 123.55 133.84 144.45 155.34 166.66 178.52 190.58 202.99 215.53 228.24 241.43 255.05 269.08 283.19 297.67 312.71 328.02
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Gráficamente se tendría: Pseudopresion Método Trapezoidal 350
300 . ) p c / 250 2 a i s P M 200 M ( n o i s150 e r p o d u100 e s P
50
0 0
200
400
600
800
1,000 1,200 Presion (Psia)
1,400
1,600
1,800
2,000
Procedimiento para ajuste de curvas - Potencias.
El siguiente es el procedimiento para ajustar los valores de la tabla de pseudopresion a una ecuación de potencia, de la forma:
Ψ = 10a xP b
Procedimiento:
1.
2. 3.
Proceder a completar la tabla calculada de seudo presiones calculando el logaritmo tanto de la presión como de la Pseudopresión (Columnas x e y de la tabla 1), asimismo el cuadrado y producto de ambos. Obtener los valores de las sumatorias indicadas2 para poder aplicar el método de ajuste de curvas por mínimos cuadrados. Determinar las constantes a y b aplicando las ecuaciones 1 y 2 de ajuste de curvas.
2
Ver: Métodos Numéricos y programación Fortran; Daniel D. McCracken y William S. Dorn, editorial Limusa, 1977.:
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Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Petróleo y Petroquímica. Lo g Lo g Pres. Pseup N° Pres. Pseup (MM) x y x2 xy 1 100 2.000 -0.021 4.000 -0.042 0.95 2 200 2.301 0.586 5.295 1.348 3.86 3 300 2.477 0.944 6.136 2.339 8.80 4 400 2.602 1.200 6.771 3.122 15.84 5 500 2.699 1.398 7.284 3.773 24.99 6 600 2.778 1.558 7.718 4.330 36.18 7 700 2.845 1.694 8.095 4.819 49.42 2.903 1.810 8.428 5.255 8 800 64.60 9 900 2.954 1.911 8.728 5.647 81.56 10 1000 3.000 2.000 9.000 6.000 100.03 11 1100 3.041 2.079 9.250 6.323 119.90 12 1200 3.079 2.149 9.481 6.617 140.95 13 1300 3.114 2.212 9.697 6.887 162.81 14 1400 3.146 2.268 9.898 7.135 185.35 15 1500 3.176 2.319 10.088 7.365 208.35 16 1600 3.204 2.365 10.266 7.577 231.62 17 1700 3.230 2.406 10.436 7.773 254.83 18 1800 3.255 2.444 10.597 7.956 277.91 19 1900 3.279 2.478 10.750 8.126 300.77 20 2000 3.301 2.510 10.897 8.284 323.25 Sumatorias 58.386 36.310 172.814 110.634 H:\Uni\Clase-01-Pseudopress\Pseudopresion\Pseudopresion.wb3
y )( ∑ x ) − ( ∑ x )( ∑ xy ) ( ∑ a= n( ∑ x ) − ( ∑ x ) Ecu.1 2
2
b=
2
Ecu. 2
Verifica. 1.0 4.0 8.9 15.6 24.2 34.6 46.8 60.8 76.5 94.1 113.4 134.4 157.2 181.8 208.1 236.1 265.8 297.3 330.5 365.4
Dif. -0.08 -0.17 -0.11 0.19 0.77 1.57 2.62 3.82 5.02 5.95 6.53 6.53 5.58 3.57 0.29 -4.46 -11.00 -19.39 -29.73 -42.16
(∑ xy) − (∑ x)(∑ y) n(∑ x ) − (∑ x )
n
2
2
Realizando los cálculos, se procedería:
a=
36.31 x 172.814 − 58.386x110.634
b=
20 x172.814 − ( 58.386)
2
20.0 x110.634 − 58.386x 36.310 2 20 x172.814 − ( 58.386)
. = − 38995
. = 19576
En consecuencia la ecuación buscada para la tabla con los datos presentada sería:
Ψ = 1.2604 x10− 4 P1.9576 A modo de verificación de la validez de la ecuación obtenida, se ha calculado la columna “Verifica” para comparar con los valores originales y también la diferencia existente entre ambos valores.
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