A 05

Igor Gukov

Granič Granična stanja nosivosti betonskih konstrukcija

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ 1

FIZIKALNO-MEHANIČ FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA SVOJSTVA MATERIJALA.......................................... MATERIJALA.......................................... 2 1.1 Beton................................................... Beton .......................................................................................................... ........................................................... .... 2 1.1.1 Rač Računska čvrstoć vrstoća betona ..................................................... ..................................................................... ................ 6 1.1.2 Višeosno stanje stanje naprezanja.................................................................... naprezanja.................................................................... 6 1.1.3 Razred okoliša ........................................................ ........................................................................................ ................................ 7 1.2 Čelik za armiranje .......................................................... .......................................................................................... ................................ 8 2 OSNOVE PRORAČ PRORAČUNA KONSTRUKCIJA KONSTRUKCIJA.................................................. ........................................................ ...... 11 3

DIMENZIONIRANJE DIMENZIONIRANJE PREMA GRANIČ GRANIČNOM STANJU NOSIVOSTI.................. 13 3.1 Elementi naprezani na savijanje savijanje ................................................ .................................................................. .................. 13 3.1.1 Jednostruko armirani pravokutni presjek............................................. 13 3.1.2 Dvostruko armirani pravokutni presjek ................................................. 15 3.1.3 Dimenzioniranje Dimenzioniranje T-presjeka na moment moment savijanja................................ 16 3.1.4 Minimalna Minimalna armatura ..................................................... .............................................................................. ......................... 18 3.1.5 Maksimalna Maksimalna armatura .................................................. ........................................................................... ......................... 19 3.2 Elementi naprezani uzdužnom silom ......................................................... ........................................................... .. 19 3.2.1 Centrič Centri čno tlač tlačno naprezani elementi .................................................... 19 3.2.2 Centrič Centri čno vlač vlačno naprezani naprezani elementi ................................................... 22 3.3 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka pomo ću dijagrama dijagrama interakcije......... interakcije......... 22 3.4 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentri čni tlak.............. tlak................... ........... ...... 23 3.5 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentri čni vlak ............ .................. ............ ...... 24 3.5.1 Vlač Vlačna sila djeluje izmeđ izme đu armatura (mali ekscentricitet) ekscentricitet) .................... 24 3.5.2 Vlač Vlačna sila djeluje djeluje izvan presjeka presjeka (veliki (veliki ekscentricitet) ekscentricitet) ....................... 24 3.6 Lokalna tlač tlačna naprezanja naprezanja ...................................................... ........................................................................... ..................... 25 3.7 Popreč Poprečna armatura armatura u gredama.................................................................... 27 3.8 Dimenzioniranje Dimenzioniranje presjeka presjeka na moment torzije............................................... 32 3.9 Prorač Proračun ploč ploča na na proboj............................................................................. proboj............................................................................. 35 3.10 Vitki elementi naprezani ekscentrič ekscentri čnom tlač tlačnom silom silom ........... ................ ........... ........... ....... 40 3.10.1 Približan prorač prora čun prema EC2.............................................................. EC2.............................................................. 41 4 LITERATURA.................................................... LITERATURA ..................................................................................................... ................................................. 43

Zagreb, 2011.

1

Igor Gukov


1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Svojstva materijala koriste se za određ odre đivanje otpornosti (nosivosti) elemenata i konstrukcija. Određ Određuju se ispitivanjem u skladu s EC2, odnosno ENV 206 (Europäische Vornorm). 1.1 Beton

Beton je građ građevinski materijal izrađ izrađen miješanjem veziva (cement), vode i agregata (pijesak, šljunak drobljenac). drobljenac). Osim tih obaveznih obaveznih komponenti u sastav betona mogu ulaziti i dodaci (aditivi) koji mu daju posebna svojstva (zaptiva či, aeranti, plastifikatori, regulatori vezivanja, sredstva protiv mraza...) U skladu sa ENV 206, beton koji se predvi đa za sustave od betona, armiranog i prednapetog betona, treba biti nač na činjen od agregata, cementa, vode i dodataka u omjeru koji će osigurati dobru obradivost i svojstva koja ne smiju biti ispod vrijednosti danih tim propisima. Za gustoć gustoću nearmiranog betona uzima se ρ = 2400 kg/m3, a armiranog ρ = 2500 kg/m3. 26.50

26.00

25.50

25.00

) 3 m / N k ( B A a n i ž e t a s n i m e r p a Z

24.50 Armatura (kg/m3) 24.00 100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

č ine Slika 1.1 Utjecaj koli č ine armature na zapreminsku težinu armiranog betona.

Zapreminska težina armiranog betona ovisi o koli čini armature. Neki elementi mogu imati veliki postotak armiranja uzdužnom i popre čnom armaturom, a time i već ve ću zapreminsku težinu. Ako pretpostavimo zapreminsku težinu nearmiranog betona 24.0 kN/m 3 može se koristiti slijedeć slijedeći izraz za izrač izračun zapreminske težine armiranog betona: Zapreminska težina AB=24+A s,uk*0.007 U gornji izraz potrebno je upisati A s,uk u kg/m3 da bi dobili zapreminsku težinu u kN/m 3. Npr. za 143 kg/m 3 proizlazi zapreminska težina AB od 25.0 kN/m 3. Npr. za 286 kg/m 3 proizlazi zapreminska težina AB od 26.0 kN/m 3. Glavne mehanič mehani čke karakteristike betona jesu njegove čvrstoć vrstoće (tlač (tlačna, vlač vlačna i posmič posmična) i deformabilnost. Deformabilnost materijala je njegovo svojstvo da se elasti čno i plastič plastično deformira do trenutka razaranja. Na ova mehanič mehani čka svojstva betona utječ utje če veliki broj čimbenika, od kojih su najvažniji: najvažniji: kakvoć kakvoća cementa, kakvoć kakvoća i granulometrijski sastav ispune,

2

Igor Gukov


vodocementni vodocementni faktor, konstrukcija smjese betona, prirodne primjese u ispuni i vodi, te t e posebni betonskoj smjesi da bi se postigla posebna svojstva, nač način pripreme i ugradnje betona u konstrukciju i njega betona.

dodaci

cementu ceme ntu

ili

Karakteristič Karakteristična tlač tlačna čvrstoć vrstoća (klasa betona) određ odre đuje se na osnovi rač ra čuna vjerojatnosti i statistike korištenjem rezultata ispitivanja probnih uzoraka u obliku valjka dimenzija 150/300 mm, starih 28 dana. Zahtijeva se da najmanje 95% svih rezultata pokaže čvrstoć vrstoću već veću ili jednaku propisanoj klasi betona, odnosno da najviše 5% rezultata može biti manje čvrstoć vrstoće od određ odre đene klase betona (5% fraktil). Pretpostavka je da će statistič statistička raspodjela rezultata ispitivanja tlač tla čne čvrstoć vrstoće slijediti lognormalnu (Gaussovu) krivulju (Slika 1.2). t s o l a t s e c p=5% U

f ck

σ 1.64 σ

σ f cm

Cvrstoca f c

Slika 1.2 Gaussova (lognormalna) krivulja raspodjele rezultata ispitivanja tlač ne ne č vrsto vrstoć e betona.

Sva pravila i formule za konstruiranje i dimenzioniranje, prema Eurokodu 2, osnivaju se na karakteristič karakterističnoj čvrstoć vrstoći dobivenoj preko valjaka f ck,cyl ili skrać skraćeno f ck. Međ Međutim, kako neke zemlje određ određuju karakteristič karakteristi čnu čvrstoć vrstoću betona preko rezultata dobivenih ispitivanjem kocki stranice 200 mm f ck,cube , to se daje tablica za pretvorbu ovih čvrstoć vrstoća. Ako je potrebno poznavati srednju tlač tla čnu čvrstoć vrstoću betona, ona se može približno odrediti po izrazu: f cm = f ck + 8 (N/mm2) (1.1) Razredi betona 2 f ck ck (N/mm ) f ck,cube ck,cube f cm cm

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

12 15 20

16 20 24

20 25 28

25 30 33

30 37 38

35 45 43

40 50 48

45 55 53

50 60 58

Tablica 1.1 Razredi betona.

Čvrstoć vrstoća betona starosti do 1000 dana u odnosu na kona čnu f c∞ može se približno odrediti korištenjem dijagrama.

3

Igor Gukov


Slika 1.3 Promjena č vrsto vrstoć e betona starenjem.

Idealizirani radni dijagram naprezanje −deformacija za beton, predložen Eurokodom 2 za analizu armiranobetonskih i prednapetih sustava po nelinearnoj teoriji, teoriji plasti čnosti ili za prorač proračun po teoriji drugog reda za kratkotrajno optereć optere ćenje prikazan je na slici 1.4.

σc f c 0.4f c

α1=arctgEcm εc1 εcu

εc

Slika 1.4 Idealizirani dijagram σ - ε za beton.

Funkcija dijagrama dijagrama na slici 1.4. u intervalu 0 ≥ εc ≥ εcu dana je u obliku: f c (k − η − η 2 ) σ c = (1.2) 1 + ( k − 2)η f c - tlač tlačna čvrstoć vrstoća betona za koju se uzima da je jednaka rač ra čunskoj čvrstoć vrstoći (f c = f cd = f ck/γc) η = εc/εc1 - odnos deformacije betona prema εc1 odgovaraju ća deformacija maksimalnoj vrijednosti naprezanja f c, εc1 - odgovarajuć obič obično se uzima εc1 = 0.0022 ( εc < 0 ako je naprezanje tlač tla čno) k = 1.1 Ec ⋅ εc1 /f c (1.3) Ecm - sekantni ili statič stati čki modul elastič elastičnosti betona 1

Ecm

= 9500 ⋅ ( f ck + 8 ) 3

(1.4)

Na slici 1.5 vrijednost f ck karakteristi čnu tlač tlačnu čvrstoć vrstoću betona dobivenu ck predstavlja karakteristič ispitivanjem valjka, a f cd ra čunsku čvrstoć vrstoću betona. Koeficijentom α=0.85 cd=f ck ck/γc predstavlja rač uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog optere ćenja te drugih nepovoljnih čimbenika na čvrstoć vrstoću betona.

4

Igor Gukov

Granična stanja nosivosti betonskih konstrukcija

Eurocode 2 predlaže dva računska dijagrama betona. Prvi je oblika pravokutnik plus parabola i drugi oblika pravokutnika. Oba dijagrama imaju grani čnu deformaciju εcu=3.5‰. Kod centričkog tlaka granična deformacija ne smije prelaziti -2.0‰.

σc Radni dijagram

Racunski dijagram

f ck

σc

α=0,85

Racunski dijagram

fcd =f ck /γc

σc α f cd

α f cd

0.4f ck

α=0,95∗0,85

α 1 =arctgEcm εc1

εcu ε c

-2

εc

-3,5

εc

-3,5

-0,7

Slika 1.5 Radni i rač unski dijagrami betona.

Vlačna čvrstoća betona definirana je prema obliku uzorka i metodi ispitivanja na vlak. Tako se razlikuje: f ct,ax - vlačna čvrstoća dobivena ispitivanjem uzorka na središnji vlak f ct,sp - vlačna čvrstoća dobivena cijepanjem f ct,fl - vlačna čvrstoća dobivena savijanjem uzorka. Kako se za proračun koristi f ct,ax, to su izrazi za pretvorbu: f ct,ax = 0.9 f ct,sp f ct,ax = 0.5 f ct,fl. Budući da vlačna čvrstoća u pravilu jako varira za neku klasu betona, a može biti značajna u analizi sigurnosti i trajnosti, uvodi se srednja vrijednost za vla čnu čvrstoću između donje granice za karakterističnu vlačnu čvrstoću f ctk,0.05 i gornje granice f ctk,0.95, odnosno one s 5%-tnim i druge s 95%-tnim fraktilom. Ovisno o klasi betona, vla čne čvrstoće su dane u tablici 1.2 u N/mm 2. Klasa betona f ct,m f ctk, 0,05 f ctk, 0,95

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

1.6 1.1 2.0

1.9 1.3 2.5

2.2 1.5 2.9

2.6 1.8 3.3

2.9 2.0 3.8

3.2 2.2 4.2

3.5 2.5 4.6

3.8 2.7 4.9

4.1 2.9 5.3

Tablica 1.2 Vlač ne č vrstoć e betona.

Također daju se približni izrazi za procjenu srednje vla čne čvrstoće te karakterističnih: f ct,m = 0.30 f ck2/3 (1.5) f ctk, 0.05 = 0.70 f ct,m (1.6) f ctk, 0.95 = 1.3 f ct,m (1.7) Donja granična vrijednost za vlačnu čvrstoću f ctk,0.05 predstavlja veličinu koju će imati ili čak premašiti 95% rezultata ispitivanja, a samo će 5% biti ispod nje. Gornja granična vrijednost za vlačnu čvrstoću f ctk,0.95, predstavlja veličinu koju će premašiti samo 5% rezultata, a 95% će dati vrijednost jednaku ili manju od nje.

5

Igor Gukov


Kada se određuje deformacija betona pod opterećenjem, koristi se sekantni modul elastičnosti između naprezanja σc = 0 i σc = 0.4 f ck, a označuje se za beton normalne gustoće kao Ecm. Ako nema točnijeg podatka za sekantni modul elasti čnosti betona, dopušta se približni izraz za njegovo prognoziranje: 2 (1.8) Ecm = 9500 3 f ck + 8 (N/mm ). Vrijednosti dobivene pomoću izraza zaokružene su i svrstane u tablicu. C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 Razred betona Ecm(N/mm2) 2600 2750 2900 3050 3200 3350 3500 3600 3700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tablica 1.3 Moduli elasti č nosti betona.

Koeficijent poprečne deformacije bira se između 0 i 0.2. Kada je utjecaj poprečne deformacije znatan, uzima se μc = 0.2. Za naponsko stanje II. (pojava pukotina u vla čnoj zoni) može se uzeti μc = 0. Za temperaturni koeficijent predlaže se vrijednost αT,c = 10-5 K-1.

1.1.1 Računska čvrstoća betona Za dimenzioniranje prema graničnim stanjima nosivosti potrebno je poznavati ra čunsku čvrstoću betona. Prema Eurocodeu 2 računska čvrstoća se dobije tako da se tlačna čvrstoća dobivena ispitivanjem valjaka podijeli s koeficijentom sigurnosti za materijale γM=γc=1.5, koja se još reducira koeficijentom α = 0.85 ili α = 0.80 zbog nepovoljnih učinaka dugotrajnog opterećenja i dinamičkog djelovanja te zbog razlike između čvrstoće betona u konstrukciji i one probnih tijela. Ra čunska tlačna čvrstoća betona iznosi: α⋅f cd=α⋅f ck/γc=0.85⋅f ck/1.5 (1.9)

Parabola:

Slika 1.6 Rač unski dijagram betona oblika parabola + pravokutnik. α ⋅ f cd σc = ( 4 − ε c ) ε c za 0 ≤ ε c ≤ 2 ‰

Pravac:

σc

4

= α ⋅ f cd

za 2 ≤ ε c ≤ 3.5 ‰

1.1.2 Višeosno stanje naprezanja Deformacije i čvrstoće betona razlikuju se ovisno o tome je li to jednoosno ili višeosno stanje naprezanja. Prema rezultatima ispitivanja u stanju troosnog tla čnog naprezanja prema radovima Richarta, Balmera, Brandtzaega i Browna dolazi do velikog porasta čvrstoće i deformacije betona. Za isti razred betona deformacija je porasla za 20 puta na 60‰, a tlačna čvrstoća je i 6 puta veća. Kod višeosnog stanja naprezanja pojavljuju se velike plastične deformacije pred slom betona, koje rastu i bez prirasta opterećenja.

6

Igor Gukov


Slika 1.7 Radni dijagrami betona kod višeosnog tla č nog naprezanja prema Richartu.

Beton je materijal s izrazito nehomogenom strukturom, a osim toga protkan je porama s mjestimičnim nalazištima krupnijih šupljina. U očvrslome cementnom tijestu, a naročito na spoju s agregatom, ima mikropukotina i prije nego je beton optere ćen. Zbog tih razloga uobičajene teorije čvrstoća mogu se na beton primjenjivati samo s izvjesnom aproksimacijom. Richard, Brandtzaeg i Brown na osnovi eksperimenata postavljaju izraz za tlačnu čvrstoću betona: f cc=f ck+4.1⋅f l gdje su: f cc - tlačna čvrstoća betona pri troosnom tlaku f ck - tlačna čvrstoća betona pri jednoosnom tlaku (razred betona) f l - bočni tlak. Taj efekt povećane nosivosti u smjeru glavnog naprezanja pri troosnom tlaku primjenjuje se kod ovijenih stupova.

1.1.3 Razred okoliša Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati razred betona. Razred

Opis okoliša

Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

Najmanji razred tlačne čvrstoće betona

Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)

C 20/25

15

C 20/25

20

C 30/37

35

C 30/37

35

1. Nema rizika od oštećenja Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi) 2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, XC1 Suho ili trajno vlažno kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu XC2 Vlažno, rijetko suho Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. XC3 Umjerena vlažnost Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. X0

Bez rizika djelovanja

7

Igor Gukov


Javne kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje,…) Cikličko vlažno I suho Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u područ ju XC4 vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke,… 3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1 Suho ili trajno vlažno Područ ja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi XD2 Vlažno, rijetko suho industrijskim vodama koji sadrže kloride Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se XD3 Cikličko vlažno i suho nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja 4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora Izloženi soli iz zraka, ali ne u direktnom XS1 Vanjski elementi u blizini obale dodiru s morskom vodom XS2 Uronjeno Stalno uronjeni elementi u lukama U zonama plime i XS3 Zidovi lukobrana i molova prskanja vode Umjereno zasićeno XF1 vodom bez sredstava Vanjski elementi za odleđivanje Umjereno zasićeno Područ ja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za vodom sa sredstvom odleđivanje (ali drukčije od onog kod XF4); područ je prskanja morskom XF2 za odleđivanje ili vodom morska voda Jako zasićeno vodom Otvoreni spremnici za vodu; elementi u podru č ju kvašenja vodom XF3 bez sredstava za (slatkovodna jezera i/ili rijeke) odleđivanje Prometne površine tretirane sredstvima za odle đivanje; pretežno Jako zasićeno vodom vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja sa sredstvom za se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog XF4 odleđivanje ili morska sloja); elementi u područ ju morske plime; mjesta na kojima može doći voda do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije Slabo kemijski Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici XA1 agresivan okoliš tekućih umjetnih gnojiva Umjereno kem. agresivan okoliš; Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom XA2 konstrukcije u tlu marinama Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; Jako kemijski XA3 spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni agresivan okoliš tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s XM1 Umjereno habanje pneumatskim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s XM2 Znatno habanje pneumatskim ili tvrdim gumama na kota čima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u XM3 Ekstremno habanje vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara

C 30/37

40

C 30/37

55

C 30/37

55

C 35/45

55

C 30/37

55

C 35/45

55

C 35/45

55

C 30/37

-

C 25/30

-

C 30/37

-

C 30/37

-

C 30/37

-

C 35/45

-

C 35/45

-

C 30/37

25

C 30/37

45

C 35/45

50

Tablica 1.4 Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti razreda betona i zaštitnih slojeva.

1.2 Č elik za armiranje

Za armiranje betonskih konstrukcija rabe se čelici pod nazivom betonski čelik ili čelik za armiranje. Betonski čelik dijeli se prema: profilu, na žice φ ≤ 12 mm i šipke φ > 12 mm; mehaničkim karakteristikama (granica popuštanja, vla čna čvrstoća i rastezljivost pri slomu probnog uzorka na dijelu njegove dužine 10 φ), na visoko i normalno duktilne čelike; zavarljivosti, na nezavarljiv, zavarljiv pod odre đenim uvjetima i zavarljiv; površinskoj obradi pri izvlačenju, na glatki i rebrasti, uključujući i zavarene mreže; vrsti obrade, na toplo valjan, toplo valjan i hladno obra đen i termički poboljšan čelik. Proizvođač čelika za armiranje garantira ove mehani čke karakteristike: karakterističnu čvrstoću pri kidanju (vlačna čvrstoća) (f tk); 8

Igor Gukov


karakterističnu granicu popuštanja (f yk); rastezljivost poslije kidanja na dužini od 10 φ (δ); sposobnost savijanja i povratnog savijanja šipke oko trna odre đenog promjera s određenim kutom savijanja bez pukotina šipke u vla čnom i tlačnom pojasu; karakterističnu dinamičku čvrstoću (granicu zamora). Dokaz svih nabrojenih mehaničkih svojstava armature obavlja se prema standardima ispitivanja čelika za armiranje. Jedan od glavnih uvjeta armiranobetonskih konstrukcija je potpuno sprezanje izme đu betona i čelika, što znači da ne smije nastupiti klizanje armature u betonu. Pri malim posmičnim naprezanjima između armature i betona zadovoljava glatki okrugli presjek. S izradom kvalitetnijeg čelika rasla je sila u armaturi, pa je sve više prijetila opasnost da se čelik odijeli od betona. Sprečavanje klizanja postiže se upotrebom rebrastih ili sukanih profila te sukano rebrastih profila. Rebrasti čelici imaju znatno bolju prionljivost od glatkih čelika pa dopuštaju upotrebu većih naprezanja s tim da se mogu očekivati pravilno raspoređene pukotine u betonu manjih širina. Od čelika za armiranje zahtijeva se i velika rastezljivost, tj. veliko relativno produljenje prije sloma. Ona je potrebna u prvom redu radi izravnavanja naprezanja u pojedinim šipkama armature na mjestu pukotina. Svojstvo velike rastezljivosti poželjno je i za nekontrolirano preopterećenje konstrukcije, kad velika rastezanja armature izazivaju u betonu široke pukotine i upućuju na opasnost od sloma. S druge strane, potrebna je velika rastezljivost pri hladnoj izradi kuka i ogiba. Čelične šipke male rastezljivosti moraju se savijati u užarenom stanju, što znatno otežava rad, a kod nekih vrsta čelika time se kvare ili mijenjaju njegova svojstva (hladno obra đeni čelik). Čelik koji se rabi za armaturu dobavlja se u šipkama, kolutovima i mrežama raznih oblika i presjeka, raznih duljina, a i raznih kvaliteta. Na slici 1.8 prikazano je nekoliko oblika armatura koje se upotrebljavaju u armiranom betonu: Glatka armatura je od prirodnog čelika B240, B220 (GA 240/360). Rebrasta armatura je od visokovrijednoga prirodno tvrdog čelika dobivenoga prikladnim legiranjem B400, B500 (RA 400/500, RA 500/550). Sukani profili su hladno obrađeni čelici. Mrežasta armatura je također od hladno obrađenih glatkih i rebrastih žica koje se zavaruju točkasto elektrootporom u krutu mrežu MAG 500/560 i MAR 500/560. Bi-armatura sastoji se od dvije hladno obra đene žice međusobno spojene poprečnim šipkama od prirodnog čelika i zavarene. Nije dopuštena za dinami čko opterećene konstrukcije i konstrukcije koje moraju biti nepropusne za vodu B680 (BiA- 680/800).

9

Igor Gukov


Slika 1.8 Oblici armature.

Kod nas se je do sada upotrebljavala GA 240/360, rebrasta RA 400/500 i RA 500/550 te mrežasta armatura MAG 500/560. Rebrasta armatura isporu čuje se u snopovima ravnih šipaka duljine od 12 do iznimno 14m, a po narudžbi kupaca profili od 8, 10, 12 i 14 mm u kolutovima duljine do 50 m. Radni dijagram naprezanje-deformacija za meki čelik (sl.1.9), vrijednost f tk znači karakterističnu vlačnu čvrstoću čelika, a f yk karakterističnu granicu popuštanja koja odgovara naprezanju za koje je nepovratna deformacija 0.2%. Radni dijagram

σs

σs

Racunski dijagram

f tk f td f yk f yd

f t f y

α =arctgEs εy

Racunski dijagram

σs f yd

α =arctgEs εu

εs

εyd εyk

α =arctgEs εuk =10,0%

εs

εyd

20,0%

εs

Slika 1.9 Radni i rač unski dijagrami armature.

Eurokodom 2, odnosno EN 10080, zahtijeva se: - za čelik visoke duktilnosti da je εuk ≥ 5%, (f t/f y)k ≥ 1.08, - za čelik normalne duktilnosti da bude εuk ≥ 2.5%, (f t/f y)k ≥ 1.05. Za modul elastičnosti predlaže se stalna veličina Es = 200000 N/mm2, a za temperaturni koeficijent αT,s = 10-5 K-1 kod temperatura od - 20 o do 200oC.

10

Igor Gukov


Normama za čelik predviđaju se dvije vrste betonskog čelika različitih prema duktilnosti: B500H - čelik kome je granica popuštanja 500 N/mm 2 i koji ima visok duktilitet ((f t/f y)k = 1.08, εuk > 5.0%), B500N - čelik kome je granica popuštanja 500 N/mm 2 i koji ima normalan duktilitet ((f t/f y)k = 1.05, εuk > 2.5%). Vrsta kombinacije Osnovne kombinacije Izvanredne kombinacije (osim potresa)

Beton γc

Armatura čelik

i

prednapeti

γs

1.5

1.15

1.3

1.0

Tablica 1.5 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva.

2 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA Konstrukcija mora biti planirana, projektirana i izvedena na na čin da tijekom predviđenog vijeka trajanja uz zadovoljavajući stupanj pouzdanosti i na ekonomičan način: • ostane uporabiva za predviđenu namjenu • bude u stanju podnijeti sva predvidiva djelovanja i u činke tijekom izvedbe i uporabe Proračun i izvedba konstrukcije moraju biti takvi da se ona ne može oštetiti zbog požara, eksplozije, udara ili ljudske greške nerazmjerno uzroku (mora se ostvarivati razmjernost uzroka i posljedice). Proračunske situacije opisuju okolnosti u kojima konstrukcija ispunjava svoju ulogu a moraju biti dovoljno zahtjevne i tako varirane da obuhvate sve uvjete koji se mogu očekivati tijekom izvedbe i uporabe konstrukcije. Prora čunske situacije dijele se na: • Stalne situacije – svi uvjeti uobičajene uporabe • Prolazne situacije – povremeni uvjeti, npr. tijekom izvedbe ili popravka • Izvanredne situacije – iznimni uvjeti ili požar, eksplozija, udar • Seizmičke situacije – potres Sigurnost neke nosive konstrukcije protiv otkazivanja nosivosti op ćenito je uvjetovana time da njena otpornost R bude veća od ekstremnog djelovanja S, koje će na nju djelovati u vijeku njenog trajanja. Kriterij za odre đivanje sigurnosti nosive konstrukcije može se iskazati na sljedeći način: R>S (2.1) Zona sigurnosti ili veličina stanja nosivosti definirana je kao razlika izme đu otpornosti i djelovanja na konstrukciju: Z=R-S (2.2) U pristupima sigurnosti građevina razlikujemo dva osnovna pristupa: deterministi čko i probabilističko poimanje sigurnosti.

11

Igor Gukov


Determinističko poimanje sigurnosti koristilo se u prvim metodama prora čuna (metoda dopuštenih napona). Pretpostavlja sigurnu konstrukciju, kada su naprezanja od vanjskog opterećenja manja od propisanih dopuštenih naprezanja. Dopuštena naprezanja vezana su s faktorom sigurnosti uz određene granične veličine (npr. granica popuštanja, čvrstoća). Probabilističko poimanje sigurnosti temelji se na pretpostavci da ne postoji potpuno sigurna konstrukcija. Svaka konstrukcija odnosno element konstrukcije ima neku vjerojatnost otkazivanja nosivosti. Za proračun je potrebno sve varijable statistički obraditi i koristiti ih u obliku funkcija određene raspodijele vjerojatnosti. Granična stanja su stanja izvan kojih konstrukcija više ne zadovoljava projektom predviđene zahtjeve. Razlikuju se: • granična stanja nosivosti – GSN (eng. ULS) i • granična stanja uporabljivosti – GSU (eng. SLS). Metoda dopuštenih naprezanja: S

≤

R

(2.3)

γ

Gdje je S-vanjski utjecaj, a R- otpornost. Dosadašnja metoda grani čnih stanja prebacila je koeficijent sigurnosti na drugu stranu ove nejednadžbe. (2.4) γ ⋅ S ≤ R Globalni koeficijent sigurnosti u novom propisu rastavlja se na parcijalne koeficijente sigurnosti za djelovanja γS i parcijalne koeficijente sigurnosti za otpornost γR: (2.5) γ R ⋅ γ S ⋅ S ≤ R Konstrukcija je sigurna ako vrijedi: γ S ⋅ S

≤

R

γ R

(2.6)

Osnove novog postupka proračuna konstrukcija sadržane su u europskoj normi EN 1990, glavnom eurokodu u sklopu usklađene grupe europskih normi za projektiranje konstrukcija -Structural Eurocodes. Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se po zakonima vjerojatnosti određuju reprezentativne vrijednosti za djelovanje i karakteristi čne vrijednosti za otpornost materijala. Tim se vrijednostima pridružuju parcijalni koeficijenti sigurnosti pa se dobivaju računske vrijednosti. Metoda je slična determinističkoj metodi s tom razlikom da se pojedine veličine određuju probabilističkim postupcima. Koeficijenti sigurnosti služe da pokriju sve neto čne pretpostavke koje smo uveli u proračun, kao što su: Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja, Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala, Netočnost usvojenog statičkog sustava u odnosu na stvarno ponašanje konstrukcije, Odstupanje računskih radnih dijagrama σ−ε od stvarnih za pojedine materijale, Tolerantne greške proračuna, Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije, 12

Igor Gukov


Utjecaj puzanja i skupljanja betona na kona čnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike temperature, Netočnosti izvedbe (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, neto čnost dimenzija presjeka, itd.), Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na projektiranu statičku visinu presjeka, Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti, Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja naprezanja na čvrstoće.

GSN (ULS) – granična stanja nosivosti – stanja koja mogu izazvati rušenje konstrukcije (stanja netom prije rušenja konstrukcije) ili dovode konstrukciju u stanje mehanizma. Tu spadaju:  gubitak ravnoteže konstrukcije ili njezina elementa promatranih kao kruto tijelo  granično stanje sloma ili prekomjerne deformacije kriti čnog presjeka  gubitak ravnoteže zbog velikog deformiranja(teorija II. reda)  granično stanje sloma uzrokovano zamorom  transformacija konstrukcije u mehanizam Metoda graničnih stanja temelji se na šest pretpostavki: 1. vrijedi Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka, 2. beton u vlačnoj zoni uopće ne sudjeluje u nošenju, 3. ostvarena je dobra prionljivost između armature i betona do sloma, 4. vrijedi računski dijagram betona σ - ε , 5. vrijedi računski dijagram armature σ - ε , 6. unutarnje sile proračunavaju se po teoriji elastičnosti za naponsko stanje I (bez pukotina) c

c

s

s

Granično stanje sloma: Sd ≤ R d Sd - proračunska vrijednost djelovanja Rd - proračunska vrijednost nosivosti (svojstva materijala) Granično stanje statičke ravnoteže ili velikih pomaka konstrukcije: Ed,dst ≤ Ed,stb Ed,dst - proračunska vrijednost destabilizirajućeg djelovanja Ed,stb - proračunska vrijednost stabilizirajućeg djelovanja

(2.7)

(2.8)

3 DIMENZIONIRANJE PREMA GRANIČNOM STANJU NOSIVOSTI 3.1

Elementi naprezani na savijanje

3.1.1 Jednostruko armirani pravokutni presjek Izrazi za dimenzioniranje dobiju se iz uvjeta ravnoteže koji za savijanje glasi: Msd = MRd gdje je: Msd = Σ(γg,i ⋅ Mg,i + γq ⋅ Mq,1 )+ γp ⋅ Mp - računski moment savijanja

(3.1)

13

Igor Gukov


MRd = Fc ⋅ z = 0.85 ⋅ αv ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd ⋅ z = μRd ⋅ b ⋅ d2 ⋅ f cd - računski moment nosivosti presjeka αv - koeficijent punoće x = ξ ⋅ d - udaljenost neutralne osi od tla čnog ruba z = ζ ⋅ d - krak unutrašnjih sila μRd - bezdimenzijska vrijednost za moment nosivosti. Uvrštavanjem izraza za računske momente u jednadžbu (3.1) dolazi se do formule za bezdimenzijsku vrijednost momenta savijanja: Msd (3.2) μsd = = μrd = 0.85 ⋅ αv ⋅ ξ ⋅ ζ b ⋅ d2 ⋅ fcd gdje je ξ =

ε c2 ε s1 + ε c2

- koeficijent udaljenosti neutralne osi od tla čnog ruba

εc

0.85f cd x

n.os

Fc

d

h

z

As1 b

(3.3)

εs1

1 d

Fs1

Slika 3.1 Dimenzioniranje na moment savijanja.

εc – deformacija betona na tlačnom rubu εs1 – deformacija armature u težištu vlačnih šipki Fs1 – sila u vlačnoj armaturi Fc – sila u betonu

Izraz za potrebnu vlačnu armaturu dobije se iz uvjeta ravnoteže: M Sd = Fs1 ⋅ z = f yd ⋅ A s1 ⋅ z M M Sd As1 = Sd = z ⋅ f yd (ζ ⋅ d)f yd

(3.4) (3.5)

Pet osnovnih mogućnosti naprezanja ovisit će o deformacijama betona i čelika: -3,5% d 2

As2

2

3

εc2

2

h

d d d

As1 1

d

4

1

b

εs1

5

20%

3%

0 -2%

εc1

Slika 3.2 Dijagrami deformacija.

1. Ekscentrični vlak s malim ekscentritetom, čelik je potpuno iskorišten.

14

Igor Gukov


2. Savijanje ili savijanje s uzdužnom vlačnom silom, čelik je potpuno iskorišten, beton dostiže granične deformacije. 3. Savijanje ili savijanje s uzdužnom tlačnom silom, beton i čelik su potpuno iskorišteni. 4. Ekscentrični tlak, beton je potpuno iskorišten, čelik dostiže graničnu deformaciju 5. Ekscentrični tlak s malim ekscentricitetom, cijeli presjek je u tlaku, deformacije u betonu ograničuju se od -3,5 ÷ -2,0 o/oo.

ζ, ξ

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

ζ

ξ μ Sd 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Slika 3.3 Funkcija ovisnosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila o μ Sd .

Vrijednosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila odre đene su za različite vrijednosti deformacija na gornjem i donjem rubu presjeka ( εs1i εc2) prema slici 3.2, i dane u tabličnom obliku. Funkcionalna ovisnost koeficijenata ζ i ξ prikazana je na slici 3.3 i može se dobro interpolirati polinomom drugog stupnja. Maksimalno odstupanje za ζ funkciju iznosi 1%. 2 (3.6) ζ = 0.992 - 0.475 ⋅ μ Sd - 0.938 ⋅ μ Sd 2 ξ = 0.029 + 1.045 ⋅ μ Sd + 2.492 ⋅ μ Sd (3.7) Izrazi 3.6 i 3.7 mogu se upotrijebiti u probabilisti čkom proračunu potrebne armature kad je potrebno napisati izraze u zatvorenom obliku. Da bi se osigurala sposobnost rotacije presjeka (duktilnost), Eurokodom 2 propisuje se dodatni uvjet da odnos x/d ne prekorači limitiranu vrijednost: ξ lim =0.45=(x/d)lim za razrede betona do C35/45 za razrede betona od C40/50 i više ξ lim =0.35=(x/d)lim kod primjene teorije plastičnosti za proračun unutarnjih sila u ξ lim =0.25=(x/d)lim pločama. Razred betona C

μlim

ζlim

ξlim

ε c2 (‰)

ε s1 (‰)

≤C35/45

0.252

0.813

0.45

-3.5

4.278

≥C40/50

0.206

0.854

0.35

-3.5

6.5

Tablica 3.1 Limitirane vrijednosti ovise o razredu betona.

Ukoliko je proračunski moment savijanja veći od limitiranog MSd>MRd,lim potrebno je povećati visinu presjeka. Ako to nije moguće presjek se može dvostruko armirati.

3.1.2 Dvostruko armirani pravokutni presjek Ukoliko je M Sd>MRd,lim ili ( μ Sd > μ lim ) presjek se mora dvostruko armirati. Presjek je potrebno armirati i u tlačnoj zoni.

15

Igor Gukov


s1

εs1

1

d

Fs

x1

x1 2

h

d d d

z

N. OS

As2

2

d

bw

x

εc

Fc 0.85f cd

Slika 3.4. Dvostruko armirani presjek za negativni moment savijanja.

Najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:

M Rd,lim = μ lim b w d 2f cd

(3.8)

Tlačna armatura povećava duktilnost, ali ukupna armatura mora biti manja od 4% presjeka betona. Koeficijent armiranja cjelokupnog presjeka:

ρ max =

A s1,max + A s 2,max ≤ 0,04 b w ⋅ h

Ukupna vlačna armatura sastoji se od dva dijela:

As1=As1,lim+As2

(3.9)

Vlačna i tlačna armatura dane su izrazima:

A s1 =

M Rd,lim M − M Rd,lim + Sd (ζ lim ⋅ d)f yd (d − d 2 )f yd

-vlačna armatura

(3.10)

A s2 =

M Sd − M Rd,lim (d − d 2 )f yd

- tlačna armatura

(3.11)

Kako bi osigurali tlačnu armaturu od izvijanja, u dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlačne armature na njegovu nosivost može se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw≤15φ (φ - promjer šipke tlačne armature) i ako je zadovoljen uvjet x ≥ 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka, d 2 -udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka). Povećanjem armature smanjujemo duktilnost presjeka. Eurokod 8 daje slijedeće klase duktilnosti:

f ρ Visoka “H” → ρ s1, max = 0,35 cd ⋅ s 2 + 0,0015

(3.12)

f ρ Srednja “N” → ρ s1, max = 0,65 cd ⋅ s 2 + 0,0015

(3.13)

Niska “L” → ρs1, max = 0,75ρ max = 0,03

(3.14)

f yd ρs1

f yd ρ s1

3.1.3 Dimenzioniranje T-presjeka na moment savijanja Kod ploča s rebrima proračunska širina ploče ovisi o dimenzijama ploče i rebra, o vrsti opterećenja, rasponu, uvjetima na ležajevima i poprečnoj armaturi. Za proračun unutarnjih sila, kada se ne zahtijeva velika točnost (npr. kontinuirani nosači u zgradama), može se pretpostaviti stalna širina duž čitavog raspona.

16

Igor Gukov


Slika 3.5 Sudjeluju ća širina grede T-presjeka.

L0 10 Proračunska širina ploče, beff , za unutarnju gredu T-presjeka uzima se iz dva uvjeta: ⎧ b1 + bw + b2 ⎪ beff ≤ ⎨ L0 L 0 L0 + + = + bw b w ⎪⎩ 10 10 5 gdje su: b1 i b2 - polovica svijetlog razmaka rebara lijevo, odnosno desno od rebra. L0 - razmak nul-točaka mom. dijagrama (za prvo polje L 0=0.85⋅L, za srednje L 0 =0.7⋅L, a za prostu gredu L0 =L, za konzolu L 0 =2L). Proračunska širina ploče, beff , za rubnu gredu uzima se iz dva uvjeta: ⎧ b1 + b w ⎪ beff ≤ ⎨ L0 ⎪⎩ 10 + b w M polje Sd Za pozitivni moment b=b eff : μ sd = ; Uz uvjet da neutralna os prolazi kroz ploču beff ⋅ d2 ⋅ fcd (x≤hf ) ležaj M Sd Za negativni moment b=b w: μ sd = ; bw ⋅ d2 ⋅ fcd M Sd Potrebna armatura: A s1 = (ζ ⋅ d) ⋅ f yd Kod pozitivnog momenta savijanja, kad neutralna os prolazi kroz plo ču ili njezinim donjim rubom, presjek se računa kao greda dimenzija b eff /h. Poprečna armatura računa se za širinu rebra b w. m i ≤ bi ; mi ≤

Slika 3.6 Dimenzioniranje T-presjeka na pozitivan moment savijanja..

17

Igor Gukov


Slika 3.7 Dimenzioniranje T-presjeka na negativan moment savijanja.

Ukoliko kod dimenzioniranja na pozitivan moment savijanja neutralna os prolazi kroz rebro (x>hf ) tada postoje dva slučaja: 1. Za beff ≥ 5bw -može se zanemariti dio rebra ispod ploče, te tada cijelu tlačnu silu preuzima ploča, tj.pojasnica T-presjeka. M polje Sd Potrebna armatura: A s1 = h (d − f )f yd 2 Tlačna naprezanja ne smiju premašiti ra čunsku čvrstoću betona proračunska: M polje Sd ≤ 0.85⋅ f cd σ cd = h f (d − ) ⋅ ( b eff ⋅ h f ) 2 2. Za beff <5bw - takav T-presjek treba računati tako da se tlačni dio presjeka zamijeni pravokutnikom širine b i kojem neutralna os prolazi donjim rubom. b i = λb·beff Koeficijent λb pronalazi se u tablici ovisno o: h f /d i beff /bw , te ξ=x/d koji se uzima za εc2=- 0.0035 i εs1= 0.01. Nakon toga provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek bi/h. Minimalna površina armature za T-presjek ra čuna se prema izrazu: Polje: A s1,min = 0.6 ⋅ b w ⋅ d /f yk ≥ 0.0015 ⋅ b w ⋅ d Ležaj: A s1,min = 0.0015 ⋅ b eff ⋅ d Maksimalna površina armature za T-presjek u polju ra čuna se prema izrazu: f A s1,max = 0.85 ⋅ cd ⋅ b eff ⋅ h f f yd

3.1.4 Minimalna armatura Slom slabo armiranih presjeka nastaje trenuta čno. Da se takav slom ne dogodi potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom. Količina armature u vlačnoj zoni mora biti tolika da primi silu vlaka koju prije pojave prve pukotine preuzima vla čna zona betona. Minimalna armatura je armatura momenta prve pukotine. Wc ⋅ f ct,m M A s1,min = cr = (3.15) z ⋅ f yk (0.9 ⋅ d) ⋅ f yk A s1,min ⋅ f yk ⋅ (0.9 ⋅ d) = Wc ⋅ f ct,m (3.16) Wc - moment otpora betonskog presjeka f ct,m - srednja vlačna čvrstoća betona. 18

Igor Gukov


Za pravokutni presjek: z=0.9*d- krak unutarnjih sila 2 b ⋅ h 2 b⋅ ( 1.1⋅ d) (3.17) Wc = = = 0.2 ⋅ b ⋅ d 2 6 6 (3.18) f ct,m ≈ 0.1 ⋅ fck A s1,min ⋅ f yk ⋅ 0.9 ⋅ d = 0.1 ⋅ f ck ⋅ 0.2 ⋅ b ⋅ d 2 (3.19) f A s1,min = 0.022 ⋅ ck ⋅ b ⋅ d (3.20) f yk Prema HRN ENV 1992-1-1 minimalna armatura odre đuje se po izrazu: A s1,min = 0.6 ⋅ b t ⋅ d / f yk ≥ 0.0015 ⋅ b t ⋅ d (f yk u N/mm2) (3.21) gdje je bt srednja širina vlačne zone. Iz uvjeta duktilnosti, kako ne bi došlo do krtog loma, odabrana armatura mora biti ve ća od minimalne i manja od maksimalne.

3.1.5 Maksimalna armatura Prema HRN ENV 1992-1-1 maksimalna armatura odre đuje se po izrazu: A s1,max = 0.04 ⋅ b ⋅ d (3.22) Prema kriteriju za položaj neutralne osi, maksimalna armatura za jednostruko armirani presjek: f za C ≤ 35/45 (x/d ≤ 0.45) A s1,max = 0.238 ⋅ ck ⋅ b ⋅ d (npr. za C25 i B500 ⇒As1max=1.19%bd) f y f za C ≥ 40/50 (x/d ≤ 0.35) A s1,max = 0.185 ⋅ ck ⋅ b ⋅ d (npr. za C40 i B500 ⇒As1max=1.48% bd) f y Maksimalna armatura za dvostruko armirani presjek odre đuje se iz dva kriterija: 1. Vlačna armatura mora biti manja od 2% betonskog presjeka: A s1,max = 0.02 ⋅ b ⋅ d 2. Maksimalni moment mora biti manji od 1.5⋅ M Rd,lim : f za C ≤ 35/45 (x/d ≤ 0.45) A s1,max = 0.356 ⋅ ck ⋅ b ⋅ d (npr. za C25 i B500 f y ⇒As1max=1.78%bd) f za C ≥ 40/50 (x/d ≤ 0.35) A s1,max = 0.277 ⋅ ck ⋅ b ⋅ d (npr. za C40 i B500 ⇒As1max=2.00% bd) f y 3.2

Elementi naprezani uzdužnom silom

3.2.1 Centrično tlačno naprezani elementi Kratki elementi, odnosno elementi kojima je vitkost λ ≤ 25, te odnos stranica h ≤ 4b, proračunavaju se ne uzimajući u obzir imperfekcije: ⎧h;b ⎪ emin ≥ ⎨ 30 30 imperfekcije od netočnosti izvedbe. ⎪⎩20mm

19

Igor Gukov


Slika 3.8. Popreč ni presjek naprezan centri č nom tlač nom silom.

Uz pretpostavku zajedničke nosivosti betona i čelika izraz za centrično opterećen element glasi: NSd ≤ NRd (3.23) NSd = Ac ⋅ σ c + As ⋅ σ s Za punu iskorištenost betona ε c = -2.0 ‰ i čelika proizlazi: NSd = Ac ⋅ 0.85⋅ fcd + As ⋅ fyd (3.24) Potrebna uzdužna armatura prema EC2 ra čuna se po izrazu: N − Ac ⋅ 0.85⋅ fcd A s = Sd (3.25) f yd Izraz definiran prema EC2 nije na strani sigurnosti jer ne oduzima površinu armature od površine betona. Točniji izraz glasi: (3.26) NSd = (Ac − As )⋅ σ c + As ⋅ σ s = (Ac − As )⋅ 0.85⋅ fcd + As ⋅ fyd Potrebna armatura za presjek opterećen centričnom tlačnom silom iznosi: N − Ac ⋅ 0.85⋅ fcd A s = Sd f yd − 0.85 ⋅ fcd

(3.27)

Minimalne dimenzije tlačnih elemenata jesu: 20 cm - za stup izveden na licu mjesta 14 cm - za predgotovljeni tlačni element. Minimalna površina uzdužne armature prora čuna se po izrazu: As,min = 0.15 ⋅ Nsd/f yd ≥ 0.003 Ac

(3.28)

a za najmanji profil treba uzeti φ 12 mm. Maksimalna količina armature na mjestu nastavaka može biti: As,max = 0.08 Ac

(3.29)

Najmanji profil spona je φ 6 mm, ali ne manji od 1/4 φ (uzdužne armature). Razmak spona treba biti: e ≤ b ≤ 12 φ ≤ 300 mm gdje je: b - manja stranica presjeka φ - promjer najtanje uzdužne šipke. Razmak spona treba reducirati faktorom 0.6: - iznad grede ili ploče oslonjene na stup i ispod nje na dužini ve će dimenzije stupa - na mjestu nastavaka uzdužnih šipki profila ve ćih od 14 mm.

20

Igor Gukov


Svaku šipku ili grupu šipki u kutu presjeka valja sponama pridržati od izvijanja. Do 5 šipki u kutu ili blizu njega može se osigurati od izvijanja jednom sponom. U stupovima poligonalnog presjeka mora se, u svakom njegovu kutu, predvidjeti barem jedna uzdužna šipka, a u onima kružnog presjeka barem 6 uzdužnih šipki jednoliko raspoređenih po opsegu spona.

Slika 3.9. Razmak popreč ne armature stupa.

Naprezanje u betonu i armaturi kod centri čno tlačno opterećenog presjeka: NSd = Fc + Fs ε c = ε s σc

Ecm

=

σ s

Es E σ s = s ⋅σ c = αe ⋅ σ c Ecm NSd = (Ac − As )⋅ σ c + As ⋅ σ s NSd = (Ac − As )⋅ σ c + As ⋅ α e ⋅ σ c Naprezanje u betonu u trenutku optere ćenja t=0. N N N Sd Sd σ c = = = Sd (A c − As ) + A s ⋅ α e A c + A s ⋅ (α e − 1) A id Idealna površina poprečnog presjeka: A id = A c + As ⋅ (α e − 1) = A c + ρ ⋅ (α e − 1) A ρ = s Ac

(3.30) (3.31) (3.32) (3.33) (3.34) (3.35) (3.36) (3.37) (3.38)

21

Igor Gukov


Vremenom, zbog puzanja i skupljanja, beton se skra ćuje, naprezanje u betonu se smanjuje a naprezanje u armaturi raste. Utjecaj puzanja betona može se približno uzeti preko efektivnog modula elastičnosti: E cm (3.39) Ec,eff = 1.0 + ϕ (t ∞ , t0 ) Odnos modula elastičnosti čelika i betona: (3.40) α e = Es / Ecm za t=0 (3.41) α e = Es / Ec,eff za t=∝

3.2.2 Centrično vlačno naprezani elementi

Slika 3.10. Popreč ni presjek naprezan centri č nom vlač nom silom.

Sve sile vlaka preuzima armatura. Potrebna uzdužna armatura ra čuna se po izrazu: NSd ≤ NRd (3.42) NSd = As ⋅ σ s = As ⋅ fyd (3.43) N As = Sd (3.44) f yd 3.3

Dimenzioniranje pravokutnih presjeka pomoć u dijagrama interakcije

Armiranobetonske presjeke naprezane ekscentri čnom tlačnom ili vlačnom silom vrlo je jednostavno dimenzionirati upotrebom dijagrama interakcije. Ovi dijagrami konstruirani su za pravokutne i okrugle presjeke naprezane oko jedne glavne osi i oko dvije glavne osi sa i bez uzdužne sile.

Slika 3.11. Popreč ni presjek, dijagrami deformacija i naprezanja.

Dijagrami interakcije konstruirani su upotrebom jednadžbi ravnoteže: Nsd = NRd 22

Igor Gukov


Msd = MRd Uvrštavanjem vrijednosti za računske nosivosti dolazi se do formula za bezdimenzijske vrijednosti: (3.45) ν Sd = N Sd b⋅ d ⋅ f cd MSd (3.46) μ Sd = b ⋅ d2 ⋅ fcd Iz dijagrama interakcije očita se mehanički koeficijent armiranja ω. f yd - mehanički koeficijent armiranja vlačne armature. ω1 = ρ 1 ⋅ f cd f yd - mehanički koeficijent armiranja tlačne armature. ω2 = ρ 2 ⋅ f cd Dijagrami interakcije su napravljeni za ekscentri čni tlak i vlak, za različite čvrstoće armature, za različite omjere d1/h (d2/h) te za različite odnose tlačne i vlačne armature β=As2/As1. Za simetričnu armaturu koeficijent β=1. Potrebna armatura računa se po izrazu: f A s1 = ω ⋅ cd ⋅ b ⋅ h f yd As2 = β ⋅ As1 3.4

(3.47) (3.48)

Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentri čn i tlak

Proračun se može provoditi prema postupku Wuczkowskog upotrebom tablica za dimenzioniranje pravokutnih presjeka naprezanih na savijanje.

Slika 3.12. Presjek optereć en na ekscentri č ni tlak.

MSds = M Sd + N Sd ⋅ z s1 MSds μ Sd = b ⋅ d2 ⋅ fcd M N A s1 = Sds − Sd z ⋅ f yd f yd

(3.49) (3.50) (3.51)

Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( μ Sd > μ lim ) presjek se mora dvostruko armirati.

23

Igor Gukov

3.5


A s1 =

M Rds,lim M − M Rds,lim N Sd + Sds − (ζ lim ⋅ d)f yd (d − d 2 )f yd f yd

(3.52)

A s2 =

M Sds − M Rds,lim (d − d 2 )f yd

(3.53)

Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentri čn i vlak

3.5.1 Vlačna sila djeluje između armatura (mali ekscentricitet) Cijeli je presjek opterećen na vlak (mali ekscentricitet). Ra čunska vlačna sila se u odnosu udaljenosti dijeli na sile u armaturi.

Slika 3.13. Element optereć en ekscentri č nom vlač nom silom.

Potrebna armatura: N e1 As1 = sd gornja armatura (prema slici) f yd e1 + e 2 N e2 A s1 = sd donja armatura (prema slici) f yd e1 + e 2

(3.54) (3.55)

3.5.2 Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscentricitet) Proračun se može provoditi prema postupku Wuczkowskog upotrebom tablica za dimenzioniranje pravokutnih presjeka naprezanih na savijanje.

Slika 3.14. Presjek optereć en na ekscentri č ni vlak.

Moment savijanja s obzirom na težište vla čne armature bit će: MSds = M Sd − N Sd ⋅ z s1 MSds μ Sd = b ⋅ d2 ⋅ fcd

(3.56) (3.57)

24

Igor Gukov

As1 =


MSds NSd + z ⋅ f yd f yd

(3.58)

Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( μ Sd > μ lim ) presjek se mora dvostruko armirati.

3.6

A s1 =

M Rds,lim M − M Rds,lim N Sd + Sds + (ζ lim ⋅ d)f yd (d − d 2 )f yd f yd

(3.59)

A s2 =

M Sds − M Rds,lim (d − d 2 )f yd

(3.60)

Lokalna tlač na naprezanja

Lokalna tlačna naprezanja pojavljuju se u područ ju elementa gdje se predaje vanjska sila u element preko smanjene površine.

Lokalni tlačni naponi pojavljuju se u područ ju elementa gdje se predaje vanjska sila u element preko smanjene površine. Na primjer na mjestu uvo đenja sile prednapinjanja, ili kod ležajeva na mostu. Lokalni tlačna naprezanja rasprostiru se u dubinu elementa, pa je na dubini z ≈ d njihova raspodjela približno konstantna po cijeloj širini elementa. Tlak se rasprostire u oba pravca.

Slika 3.15 Rasprostiranje tlač nih naprezanja

Za veće dimenzije presjeka elementa na koje djeluje lokalno naprezanje koje može biti i nesimetrično ili za djelovanje više lokalnih naprezanja, površina rasprostiranja može biti i manja od površine presjeka elementa, pa ju je za svaki konkretan slu čaj djelovanja potrebno odrediti. Nagib rasprostiranja uzima se približno 1:2, s tim da bude b 1 ≤ 3b0 i d1 ≤ 3d0 Zbog otklona trajektorija tlaka σz dolazi do pojave vlačnih naprezanja σx okomito na trajektorije tlaka. Do dubine z ≈ 0.1⋅d1 od površine naprezanja σx su tlačna, a za dubine z > 0.1 ⋅d1 ona su vlačna. Najveća su vlačna naprezanja na dubini z = 0.6 ⋅d1. Ona se mogu dobiti prema empirijskom izrazu: F ( d − d ) (3.61) σ x 0.508 ⋅ 0 1 2 0 b1 ⋅ d 1 Ukupna vlačna sila cijepanja u elementu na visini elementa z izra čunava se iz odnosa: 25

Igor Gukov

F q :


d d d = ⎛⎜ 1 − 0 ⎞⎟ : 1 2 ⎝4 4⎠ 2

F0

Iz čega je:

(3.62)

Slika 3.16 Dijagram naprezanja.

⎛ d ⎞ (3.63) = 0.25 ⋅ F 0 ⎜1 − 0 ⎟ d 1 ⎝ ⎠ Tako dobivena sila cijepanja nešto je manja od izra čunane po empirijskoj formuli koja se preporučuje za upotrebu: ⎛ d ⎞ (3.64) Fq = 0.3 ⋅ F 0 ⎜ 1 − 0 ⎟ ⎝ d 1 ⎠ Računska sila cijepanja bit će: Fqd =1.35FqG+1.5FqQ. a poprečna armatura u obliku spona: Fq

Asw

=

F qd f yd

(3.65)

Za drugi smjer proračun je analogan.

26

Igor Gukov


Slika 3.17 Površine rasprostiranja nesimetri č nih tlač nih naprezanja.

3.7

Popreč na armatura u gredama

Proračun elemenata na poprečne sile provodi se prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji s rešetkom. Prema toj metodi pretpostavlja se da jedan dio popre čne sile preuzima beton i uzdužna armatura, a preostali se dio prihvaća sponama ili kosom armaturom (Standardna metoda). Prema drugoj metodi (Metoda slobodnog odabira nagiba tla čnih štapova), nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°. Time se dobiva manja poprečna armatura ali se povećava uzdužna armatura ili dolazi do većeg pomaka dijagrama vlačnih sila.

Slika 3.18 Mörschova rešetka - nosivi mehanizam s vertikalnim sponama.

Slika 3.19 Mörschova rešetka - nosivi mehanizam s kosim sponama.

Uvjet nosivosti na poprečne sile:

27

Igor Gukov


VSd ≤ VRd

(3.66)

VSd – računska poprečna sila VSd = ( VG ⋅ γ G + VQ ⋅ γ Q ) VRd – računska nosivost na poprečne sile Računska poprečna sila proračunava se na udaljenosti “a” od osi ležaja:

VSd′ = VSd − a ⋅ (γ G ⋅ g + γ Q ⋅ q ) = VSd − a ⋅ q sd

(3.67)

b a = lez +d 2 i može se nalaziti u slijedećim granicama: KONSTRUKTIVNA POPR. ARMATURA

PRORAČUN POPR. ARMATURE

VRd1 VSd Vwd

0

NEDOPUŠTENO PODRUČJE

VSd

VRd2

popreč nih sila. Slika 3.20 Podru č ja

Proračunska nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne armature dana je izrazom:

VRd1 = ⎡⎣τ Rd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρ1 ) + 0.15 ⋅ σ cp ⎤⎦ ⋅ b w ⋅ d

(3.68)

gdje je:

τRd - računska posmična čvrstoća betona C Rd

12/16

16/20

20/25

25/30

30/37

35/45

40/50

45/55

50/60

0,18

0,22

0,26

0,30

0,34

0,37

0,41

0,44

0,48

Tablica 3.2 Rač unska posmi č na č vrstoć a betona

k =1.6−d ≥ 1.0 korekcijski faktor kojim se povećava nosivost na poprečne sile (d je u metrima) Asl ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature sidrene za najmanje (d+l b,net) ρ 1 = b w ⋅ d iza promatranog presjeka. σ cp =(1.35 N G +1.5 N Q )/ A c - središnje tlačno naprezanje Proračunska nosivost tlačnih štapova je: VRd2 = 0.5 ⋅ν ⋅ f cd ⋅ bw ⋅ z

(3.69)

gdje je: ν - koeficijent redukcije tlačne čvrstoće betonskih tlačnih štapova f ν=0.7− ck , f ck i 200 dani su u N/mm2, 0.5≤ν<0.7 200

28

Igor Gukov


b w - najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni z=0.9⋅d - krak unutarnjih sila Kad je element naprezan uzdužnom tla čnom silom VRd2 se umanjuje prema izrazu: VRd2 =1.67 ⋅ VRd2 ⋅ (1 − σ cp,eff / f cd ) ≤ VRd2 (3.70) σ cp,eff

= ( NSd − fyk ⋅ As2 /γ s ) / Ac

(3.71)

Kako se pukotine javljaju u smjeru tlaka, a da ne bi došlo do drobljenja betona mora vrijediti: VSd
Slika 3.21 Reducirani dijagram popreč nih sila na primjeru grede s jednim prepustom.

Na slici su prikazana područ ja poprečnih sila. U područ ju 1, gdje je poprečna sila VSd
29

Igor Gukov


Standardna metoda pretpostavlja nagib tla čnih štapova u betonu od 45°. Obuhvaća kontrolu nosivosti tlačnih štapova (VSd≤VRd2) i proračun poprečne armature korištenjem uvjeta ravnoteže: VSd = VRd = Vcd + Vwd Asw ⋅ fyw,d ⋅ z Vwd = - dio poprečne sile koji preuzimaju vertikalne spone sw Vwd = V 'Sd - Vcd = V 'Sd - VRd1 Asw ⋅ fyw,d ⋅ z A ⋅ fyw,d ⋅ z ' = V Sd - VRd1 ⇒ sw = sw' VSd − VRd1 sw Potreban razmak vertikalnih spona: A ⋅ m ⋅ f yw,d ⋅ 0.9 ⋅ d (3.74) s w = sw,1 VSd′ − VRd1 Potreban razmak kosih spona: A ⋅ m ⋅ f yw,d ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ sin α (3.75) s w = sw,1 (1 + ctgα ) VSd′ − VRd1 gdje je α kut nagiba spona u odnosu na uzdužnu os. b) Metoda slobodnog izbora nagiba tlač nih štapova

Uzima doprinos betona nosivosti na poprečne sile preko nagiba tlačnih dijagonala koji je redovito blaži od 45 o. Obično se koristi kada istodobno djeluje popre čna sila i moment torzije. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi grede bira se u granicama: 0.4 ≤ ctgΘ ≤ 2.5 - kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja 0.5 ≤ ctgΘ ≤ 2.0 - kada se glavna uzdužna armatura postepeno prekida u polju. Za armiranobetonske elemente predlaže se θ=39° koji se umanjuje ako djeluje još i tlačna sila uzduž elementa i/ili sila prednapinjanja. Potreban razmak vertikalnih spona: Asw,1 ⋅ m ⋅ fyw,d ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ ctgθ sw = VSd Potreban razmak kosih spona: Asw,1 ⋅ m ⋅ fyw,d ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ sin α sw = ( ctgθ + ctgα ) VSd gdje je α kut nagiba spona u odnosu na uzdužnu os.

(3.76)

(3.77)

Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom granična nosivost na poprečne sile iznosi: ctgθ + ctgα VRd2 = ν ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ z ⋅ (3.78) 1 + ctg2θ Uz uvjet: Asw ⋅ f yw ,d 0.5 ⋅ν ⋅ f cd ⋅ sin α (3.79) ≤ bw ⋅ sw 1− cosα

30

Igor Gukov


Slika 3.22 Kutevi nagiba tlač nih i vlač nih dijagonala zamišljene rešetke.

Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu, odnosno sila u armaturi iznosi: M FSd = Sd + 0.5 ⋅ VSd ⋅ (ctgθ − ctgα ) z Što znači da je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu. Minimalna poprečna armatura Asw,min (=maksimalni razmak odabranih spona): Minimalna armatura se mora postaviti čak i onda kad proračun pokaže da ona nije potrebna. Postoje dva uvjeta za odabir minimalne armature. Potrebno je prora čunati najveći razmak po oba kriterija i odabrati manji.

1. uvjet:Asw,min = ρmin⋅sw⋅bw⋅sinα, gdje je ρw,min – minimalni koeficijent armiranja poprečne armature ovisno o kakvoći betona i čelika Klasa betona C 12/15 i C 20/25 C 25/30 i C 35/45 C 40/50 i C 50/60

B 220

Vrsta čelika B 400

B 500

0.0016 0.0024 0.0030

0.0009 0.0013 0.0016

0.0007 0.0011 0.0013

Tablica 3.3 Minimalni koeficijent armiranja ρ min greda popreč nom armaturom, prema Eurokodu 2.

sw,max =

Asw,min ρ min ⋅ b w

(3.80)

2. uvjet:

Najveći razmaci spona u smjeru glavne armature, ovisno o veli čini računske poprečne sile Maksimalni razmak Broj Računska poprečna sila Vsd spona u smjeru glavne vlačne armature s w max 1 0.8⋅d ≤ 30 cm Vsd ≤ 0.2⋅VRd2 2 0.2⋅VRd2 < Vsd ≤ 0.67⋅VRd2 0.6⋅d ≤ 30 cm 3 0.3⋅d ≤ 20 cm 0.67⋅VRd2 < Vsd ≤ VRd2 Tablica 3.4 Najveć i razmaci spona u smjeru glavne armature, ovisno o veli č ini rač unske popreč ne sile.

31

Igor Gukov


Slika 3.23 Popreč na vertikalna armatura grede.

Slika 3.24 Širine pukotina u rebru ovisno o na č inu armiranja.

3.8

Dimenzioniranje presjeka na moment torzije

Naprezanje elemenata samo momentima torzije vrlo je rijetko u konstrukcijama. Torzijske momente obično prate momenti savijanja s normalnim silama i bez njih, te popre čne sile. U skladu s tim provjera nosivosti elemenata provodi se za: naprezanje momentom torzije; naprezanje momentom torzije i momentom savijanja; naprezanje momentom torzije i poprečnom silom; naprezanje momentom torzije, momentom savijanja i popre čnom silom. S obzirom na značenje, a potom i daljnje tretiranje, razlikuju se: kompatibilna (sekundama) i ravnotežna (primarna) torzija. Kompatibilna je torzija ona torzija u armiranobetonskim konstrukcijama koja nastaje zbog monolitnog spoja između elemenata, a nije prijeko potrebna za ravnotežu, pa se za granično stanje nosivosti može zanemariti. Zbog naprezanja torzijom u elementima nastaju dugotrajne plastične deformacije, te raspucavanje, što znatno smanjuje torzijsku krutost. Posljedica je toga znatno smanjenje momenta torzije ili njegovo potpuno iščezavanje i odgovarajući porast momenata savijanja shodno uvjetima ravnoteže. Torzija u elementima A-C i B-D

Torzija u elementu A-B

32

Igor Gukov


Slika 3.25 Primjeri kompatibilne torzije.

Ravnotežna se torzija u konstrukciji pojavljuje da bi uvjeti ravnoteže bili zadovoljeni. Ta torzija djeluje istim intenzitetom za naponsko stanje I (bez pukotina) i za naponsko stanje II (pojava pukotina), a za konstantno optere ćenje, tj. ne smanjuje se opadanjem torzijske krutosti. Ako je u pitanju ravnotežna torzija, proračun na torziju mora uvijek biti proveden. Torzija u elementu A-B

Torzija u gredi T-presjeka

Slika 3.26 Primjeri ravnotežne torzije.

Lom grede opterećene torzijskim momentom nastupa preko vitoperne plohe. Torzija izaziva posmična naprezanja koja čine glavna vlačna i glavna tlačna naprezanja. Za preuzimanje momenta torzije potrebno je osigurati i uzdužnu i popre čnu armaturu. Spone za preuzimanje torzije moraju se preklapati preko jedne stranice te u uglovima obavezno imati uzdužnu armaturu. Razmak uzdužnih šipki ne bi smio biti ve ći od 20cm.

Slika 3.27 Dijagrami posmi č nih naprezanja od momenta torzije za neke popreč ne presjeke.

Prilikom proračuna elemenata naprezanih torzijom potrebno je zadovoljiti sljedeće uvjete: TSd ≤ TRd1 TSd ≤ TRd2 TSd ≤ TRd3 TRd1 – nosivost tlačnih štapova 33

Igor Gukov


TRd2 – nosivost poprečne armature TRd3 – nosivost uzdužne armature

Slika 3.28 Površina Ak

2ν '⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t ctgΘ + tgΘ f ⎞ ⎛ ν ' = 0,7 ⋅ν = 0,7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ ≥ 0,35 200 ⎠ ⎝ TRd 2 = 2 ⋅ A1swt ⋅ A k ⋅ f ywd ⋅ ctgΘ / s wt TRd3 = 2 ⋅ A1slt ⋅ A k ⋅ f yld ⋅ tgΘ / u k TRd1 =

(3.81) (3.82) (3.83) (3.84)

Srednji dio punog presjeka ne pridonosi nosivosti na torziju pa se zanemaruje u proračunu. t = A/u ≥ 2c - debljina stijenke zamišljenog ili stvarnog šupljeg presjeka. Ak - površina unutar srednje konture presjeka uključujući i šupljinu kod cjevastih presjeka.

uk - opseg jezgre površine A k. Izjednačavanjem djelovanja i nosivosti dobit će se razmak spona za preuzimanje torzije, te potrebna površina uzdužne armature. TSd = TRd2

Razmak spona za preuzimanje momenta torzije: 2A1swt ⋅ A k ⋅ f ywd ⋅ ctgΘ u k ≤ s wT = TSd 8 TSd = TRd3

(3.85)

Potrebna uzdužna armatura za preuzimanje momenta torzije: TSd ⋅ u k A slT = 2A k ⋅ f yld ⋅ tgΘ

(3.87)

(3.86)

Kada na gredu istovremeno djeluju i popre čne sile i moment torzije, posebno se računaju razmaci od poprečnih sila (sw,V), posebno od torzije (sw,T), te se konačni razmak spona nalazi koristeći sljedeći izraz: VSd→sw,V

– razmak spona za poprečnu silu

TSd→sw,T – razmak spona za moment torzije

34

Igor Gukov

sw =


s w ,V ⋅ s w,T ( s w,V + s w,T )

(3.88)

Slika 3.29 Dijagram torzije oblikom odgovara dijagramu popreč nih sila.

Torzijska armatura sastoji se od zatvorenih i za kra ću stranicu preklopljenih spona te uzdužnih sipki jednoliko raspoređenih po opsegu spone.

Slika 3.30 Uzdužna i popreč na armatura za preuzimanje momenta torzije.

3.9

Prorač un ploč a na proboj

Proboj ploča može nastati od koncentriranog opterećenja ili ležajne reakcije koja djeluje na razmjerno maloj površini, kao npr. kod ravnih ploča koje su direktno oslonjene na stupove. EC2 daje dva uvjeta kada je nužan proračun na proboj: 1. D ≤ 3,5d (za kružni stup) 2. u ≤ 11d (za pravokutni stup) D – promjer stupa u – opseg stupa

d – statička visina ploče iznad stupa Kod proračuna probojne sile za međukatu ploču u obzir se uzima samo reakcija dotičnog kata. Probojna sila je razlika sila u stupovima: VSd=VSd1-VSd2

35

Igor Gukov


Slika 3.31 Probojna sila je razlika sila u stupovima.

Za proračun proboja nema potpune i pouzdane teorije, stoga se prora čuni baziraju na podacima eksperimentalnih istraživanja. Kada je: vSd ≤ vRd1

(3.89)

nije potreban proračun ploče na proboj, jer je vRd1 granično posmično naprezanje po jedinici duljine kad još nije potrebna armatura za preuzimanje posmičnih naprezanja. vRd1 se odnosi na pojavu prve pukotine u betonu. vRd1=

Rd·k(1,2+40

1)d

(3.90)

k = 1,6-d > 1,0 ρ1

=

(3.91)

ρ1x ⋅ ρ1y

(3.92)

Koeficijenti armiranja u dva međusobno okomita smjera ρ 1x Rd

=

A As1x , ρ 1y = s1y b x d x b yd y

(3.93)

je posmično naprezanje koje može preuzeti beton C Rd

12/16

16/20

20/25

25/30

30/37

35/45

40/50

45/55

50/60

0,18

0,22

0,26

0,30

0,34

0,37

0,41

0,44

0,48

Tablica 3.5 Posmi č no naprezanje koje može preuzeti beton“

2

Rd ”(N/mm )

vSd = (VSd/ucr ).βp naprezanje na kritičnom presjeku (kN/m), gdje je VSd = proračunska sila probijanja u stupu; V Sd = 1,35 Vg + 1,50 Vq ucr = kritični opseg; za pravokutni stup a/b: ucr = 2(a+b)+2.(1,5.d).π β = korekcijski faktor koji uzima u obzir ekscentri čno djelovanje sile proboja u odnosu na kritični presjek.

β = 1,0 za simetrično djelovanje sile u odnosu na kritični presjek β = 1,15 za srednje stupove i nesimetrično djelovanje β = 1,40 za rubne stupove β = 1,50 za kutne stupove

36

Igor Gukov


Slika 3.32 Korekcijski faktor β .

Slika 3.33 Kriti č ni opseg. d 5 . 1 a

a + d 3 d 5 . 1

1.5d

b

1.5d

3d+b

Slika 3.34 Kriti č ni opseg pravokutnog stupa.

Kritični opseg unutarnjeg pravokutnog stupa a/b sastoji se od opsega stupa i opsega kruga radijusa 1.5d, te se može izračunati prema izrazu: u cr = 2 ⋅ ( a + b) + 3 ⋅ d ⋅ π slobodni rubovi

1,5 d

1,5 d

Slika 3.35 Kriti č ni opseg.

37

Igor Gukov


Slika 3.36 Kriti č ni opseg.

Vrijednosti a1 i b1, potrebne za proračun kritičnog opsega, moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:

⎧a ⎪ a1 ≤ ⎨2b ⎪5,6d − b 1 ⎩

i

⎧ b ⎪ b1 ≤ ⎨ ⎪2,8d ⎩ k r i t i č n a p l o š t in a

β

p lo č a

d

β

1,5d

β

k r i t ič n i o p s e g

1,5d

h

kritič n i p r e s j e k

= arctg (2/3) = 33,7°

1 , 5 d f

1 , 5 d f

kritič n i p r e s j e k

p lo č a t e m e l ja β

β

d f h f

z a a > h f t e m e l j treba promatrati kao plo ču

a < 2 h f

Slika 3.37 Probojna ploha.

Kada je vRd1≤ vSd ≤ vRd2

(3.94)

potrebna armatura dobiva se iz:

vSd = v Rd1 + ∑

Asw ⋅ f yd ,w ⋅ sin α u cr Ukupna površina poprečne armature: v Rd1 ⋅ u cr ∑ Asw = fvyd,wSd −⋅ sin α Minimalna površina poprečne armature: ∑ Asw,min = 0.6 ⋅ ρ w,min Acritsin− α Aload

(3.95)

(3.96)

(3.97)

Acrit -površina ploče unutar kritičnog opsega Aload –površina djelovanja opterećenja (npr. površina stupa) ρ w,min - minimalni koeficijent armiranja poprečnom armaturom grednih elemenata tablica 3.3.

Ukoliko je vSd>vRd2, gdje je vRd2=1,6vRd1 granično posmično naprezanje po jedinici duljine koje se bazira na tlačnom naprezanju betona, dolazi do drobljenja betona i zato kako bi se v Sd smanjio ili vRd povećao potrebno je : • povećati razred betona • povećati statičku visinu presjeka d • povećati uzdužnu armaturu. 38

Igor Gukov


Slika 3.38 Sustav popreč ne armature protiv proboja.

Slika 3.39 Vertikalna popreč na armatura protiv proboja.

Slika 3.40 Kosa popreč na armatura protiv proboja.

39

Igor Gukov


3.10 Vitki elementi naprezani ekscentri č nom tlač nom silom

Vitki elementi opterećeni centričnom ili ekscentričnom tlačnom silom već u početku opterećenja nisu ravni, kako je projektom predvi đeno, već su iskrivljeni. Početne krivine mogu biti geometrijskog ili statičkog porijekla. Geometrijske krivine (imperfekcije) koje su posljedica netočne izvedbe ili nekoga drugog uzroka uzima se da prate oblik izvijanja centrički naprezanih elemenata. Statičke krivine, koje su posljedica djelovanja momenta savijanja uzduž osi elementa, ovise o promjeni stati čkih veličina po dužini elementa, o načinu priključenja elementa (rubni uvjeti), prisutnosti popre čnog opterećenja i vitkosti elementa. Progibi koji su posljedica tih djelovanja mogu biti znatni i ne smiju se zanemarivati. Stabilnost konstrukcije i elementa mora se promatrati na deformiranom sustavu (teorija II. reda). Pod dugotrajnim opterećenjem nastaju viskozne plastične deformacije (puzanje) u betonu koje utječu na povećanje progiba elementa pa tako i na porast momenata. Dimenzioniranje po metodi graničnih stanja mora biti takvo da deformirani sustav pod računskim opterećenjem bude u stabilnom stanju i da računske vrijednosti reznih sila ne premaše odgovarajuće računske vrijednosti nosivosti.

Slika 3.41 Dijagram interakcije za razne vitkosti λ .

Proračun reznih sila po teoriji II. reda sastoji se u pronalaženju tih veli čina na deformiranom sustavu. Progibna krivulja elementa dobiva se integracijom deformacija popre čnih presjeka na diferencijalnim razmacima po dužini elementa. Utjecaj vitkosti elementa potrebno je uzeti u obzir ako je λ =

L0 imin

≤ λ lim .

Granična vitkost računa se prema: ⎧⎪25 λ lim ≤ ⎨ ⎪⎩15 ν sd νSd = Nsd/(f cd⋅Ac) - bezdimenzijska vrijednost uzdužne sile NSd > 0.7 NSd,m - računska uzdužna sila u promatranom stupu NSd,m - srednja računska uzdužna sila u jednom stupu promatranoga kata Ac - površina presjeka stupa f cd - računska čvrstoća betona. Eurocodeom 2 dopuštaju se pojednostavnjene metode prora čuna pomičnih okvira po teoriji II. reda ako se radi o pravilnim okvirima, a to su oni kojih su stupovi i grede približno jednake krutosti i da im srednja vitkost stupova bude manja od 50 ili 20 ν sd . 40

Igor Gukov


3.10.1 Približan proračun prema EC2

Slika 3.42 Mogu ć i primjeri djelovanja ekscentri č ne tlač ne sile.

Ukupni ekscentricitet bit će: etot=e0+ea+e2 ea = ν1⋅L0/2 - ekscentricitet zbog imperfekcija L0 =β⋅Lcol - dužina izvijanja promatranog elementa ( β se dobije pomoću nomograma ili približnih izraza) e0 = MSd/NSd - ekscentricitet po teoriji I. reda e2 - dodatni ekscentricitet zbog deformiranja elementa ν 1 = 1/(100 htot ) ≥ ν min htot - ukupna visina građevine od temelja ili podrumskog zida νmin=1/400 - za pridržane sustave νmin=1/200 - za nepridržane sustave. Za stupove s promjenjivim ekscentricitetom e 0 (sl. 3.42), a konstantnog presjeka i armature po dužini, koristi se zamjenjujuća vrijednost za ekscentricitet, od kojih se bira veća: e0 = 0.6e02 + 0.4e01; |e02| > |e01| ili e0 = 0.4e02 Dodatni ekscentricitet zbog deformiranja elemenata pravokutnih i okruglih presjeka može se izračunati upotrebom metode "Stup-model". Nosivi sustav dan je na slici 3.43.

41

Igor Gukov


Slika 3.43 Stup-model

Pod djelovanjem uzdužne sile i momenta savijanja sustav se deformira. Maksimalni moment savijanja na deformiranom stupu bit će na dnu stupa. Prema ovome modelu dodatni ekscentricitet dobiva se po izrazu: 2 e2 = K1 ⋅ 0.1 ⋅ L0 ⋅ (1/ r ) K1 - korekcijski faktor za postupni prijelaz od grani čnog stanja nosivosti ( λ < 25) na problem izvijanja ( λ > 25) l/r - zakrivljenost dobivena iterativnom metodom ili približnim postupkom. Korekcijski faktor se izračuna po izrazu: K1 = λ/20 - 0.75 za 15 < λ < 35, K1 = 1.0 za λ > 35. Približni izraz za određivanje zakrivljenosti glasi: l/r = 2K2 ⋅εyd/(0.9d) gdje je: εyd = f yd/Es - računska deformacija u čeliku d - statička visina presjeka K2 = (Nud - Nsd)/(Nud - NbaI) < 1 - faktor dobiven upotrebom pojednostavnjenog dijagrama interakcije Nud =0.85⋅f cd⋅Ac +f yd⋅ (As1 + As1) - nosivost na središnji tlak Nbal =0.4⋅f cd⋅Ac Približno se može uzeti K 2 = 1, što je na strani sigurnosti. Puzanje betona utječe na povećanje ekscentriciteta, osobito pomičnih sustava i može se približno uzeti preko dodatnog momenta savijanja: Δ M ϕ I = 0.1 ⋅ γ ⋅F M IG gdje je MIG moment od stalnog opterećenja dobiven po teoriji I. reda, a γ F= 1.1 za hiperstatičke sustave i γ F = l.2 za statički određene sisteme. Računske rezne sile na deformiranom sustavu bit će: N II Sd = N Sd M II Sd = NSd ⋅ etot + Δ MI ϕ

42

A 05

Recommend Documents