Teorija betonskih konstrukcija 1 vežbe Doc.dr Ivan Ignjatović
Zadatak 24 – SMICANJE Dimenzionisati nosač sistema proste grede, raspona L = 4.5 m, opterećen koncentrisanim povremenim opterećenjem Q = 300 kN koje deluje u trećini raspona. Sopstvenu težinu nosača zanemariti. Poprečni presek je pravougaoni, dimenzija b/h= 30/65 cm.
C25/30 B500B
XC2
C25/30
f cd = 0.85⋅25/1.5= 14.2MPa = 1.42 kN/cm 2
B500 B
f yd = 500/1.15 = 435 Mpa = 43.5 kN/cm 2
Zadatak 24 – SMICANJE 1. Određivanje statičkih uticaja
Zadatak 24 – SMICANJE 2. Dimenzionisanje prema momentima savijanja 1. MEd=1.5·300= 450 kNm 2. pretp. d1 = 7 cm d = h – d1 = 65 – 7 = 58 cm 3. Računa se: k =
As1 = ω 1bd
f cd f yd
= 39.352 ⋅
d M Ed
450 ⋅10
b ⋅ f cd
30 ⋅1.42
30 ⋅ 58 1.42 100
⋅
=
58
43.5
= 22.35cm 2
2
= 1.784 ε c / ε s1 =3.5/3.7‰
Usvojeno: 5Ø25 (24.55 cm2)
Zadatak 24 – SMICANJE 3. Dimenzionisanje prema smičućim silama: DEO C-B 1. VEd=1.5·200= 300 kN 2. Proračun nosivosti betona na smicanje V Rd ,c = CRd ,c ⋅ k ⋅ (100 ρi fck )
1/3
C Rd ,c =
0.18
k = 1 +
200
ρ i =
γ c
d
Asl bw ⋅ d
=
=
0.18 1.5
= 1+ 2 ⋅4.91 30 ⋅ 58
+ k1 ⋅ σ cp ⋅ bw ⋅ d
= 0.12 200 580
= 1.587
= 0.0056 < 0.02
Vidi plan armature!
Zadatak 24 – SMICANJE 30 ⋅ 58 1/3 = 79.86kN V Rd ,c = 0.12 ⋅1.587 ⋅ (100 ⋅ 0.0056 ⋅ 25) ⋅ 10
3. Minimalna nosivost betona na smicanje: 3/ 2 1/ 2 Vmin = vmin + k1 ⋅ σ cp ⋅ b w ⋅ d = 0.0035 ⋅ k ⋅ f ck ⋅ bw ⋅ d
3/ 2 1/2 Vmin = 0.0035 ⋅1.587 ⋅ 25 ⋅ 30 ⋅ 58 = 60.88kN
4. Nosivost betona na smicanje: 79.86 kN 79.86kN < 300 kN = VEd 60.88kN
V Rd ,c = max
1) Potrebno osiguranje poprečnom armaturom! 2) Ukupna sila smicanja VEd poverava se armaturi!
Zadatak 24 – SMICANJE 5. Određivanje potrebne armature za smicanje
V Ed = V Rd , s V Rd , s =
Asw s
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctgθ = VEd V Rd , s =
m ⋅ asw (1) s
1 ≤ ctgθ ≤ 2.5
VEd
21.80 ≤ θ ≤ 450 asw – površina poprečnog preseka jednog profila m – sečnost armature za smicanje
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctgθ = VEd
VEd m=2
m=4
Zadatak 24 – SMICANJE 5. Određivanje potrebne armature za smicanje Usvojeno: θ = 45º, ctgθ = 1, m = 2, Ø8, asw(1) = 0.503 cm2
srač ≤
m ⋅ asw(1) V Ed
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.503 300
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅1.0 = 7.6cm
Usvojeno: θ = 45º, ctgθ = 1, m = 2, Ø10, asw(1) = 0.785 cm2
srač ≤
m ⋅ asw(1) V Ed
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.785 300
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅1.0 = 11.9cm
Zadatak 24 – SMICANJE 6. Kontrola minimalne armature za smicanje ρ w,min = 0.08 ⋅
ρ w =
m ⋅ asw
f ck f yk
= 0.08 ⋅
(1)
25 500
s ρ ,min =
s ⋅ bw
= 0.0008 = 0.08% m ⋅ asw
(1)
ρ w,min ⋅ bw
=
2 ⋅ 0.785 0.0008 ⋅ 30
= 65.4cm
7. Kontrola maksimalne smičuće nosivosti: V Rd ,max =
α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ν 1 ⋅ f cd ctgθ + tgθ
=
1.0 ⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 0.54 ⋅1.42 1+1
ν 1 = 0.6 ⋅ 1 −
= 600.4kN
f ck 25 0.6 1 = ⋅ − = 0.54 250 250
Zadatak 24 – SMICANJE 8. Maksimalno podužno rastojanje armature s max
0.3 ⋅ V Rd ,max = 0.3 ⋅ 600.4 = 180.1kN < VEd < 0.6 ⋅ VRd ,max = 0.6 ⋅ 600.4 = 360.2 kN s
max
= min {0.55d ;30cm} = min {0.55 ⋅ 58 = 31.9;30 cm} = 30 cm
Zadatak 24 – SMICANJE 9. Usvajanje armature za smicanje Usvojeni prečnik: Ø10 Usvojeno rastojanje:
srač 11.9 s = min s ρ ,min = 65.4 = 11.9cm 30.0 s max
Usvojeno: UØ10/10
10. Nosivost usvojene armature za smicanje: V Rd , s =
V Rd , s
2 ⋅ 0.785 10
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅1.0 = 356.5 kN
> 300kN = V Ed = 356.5kN 600.4 kN V < = Rd ,max
Nosivost uzengija veća od proračunske sile smicanja Osigurano od loma prit isnut e betonsk e dijagonale
Zadatak 24a – SMICANJE 11. Dužina osiguranja: cela dužina segmenta B-C jer je: V Rd ,c < V Ed 12. Dodatna zategnuta armatura V Ed ,VEd < V Rd ,c ∆Ftd = = 0.5 ⋅ 300 ⋅1.0 = 150 kN 0.5 ⋅ V Ed ⋅ ctgθ , VEd > VRd ,c ∆ As1 =
∆F td f yd
=
150 43.5
= 3.45cm2 < 2 ⋅ 4.91 = 9.82 cm2
Armatura koju treba obezbediti u donjoj zoni na mestu slobodnog oslonca B
Armatura iz dimenzionisanja prema momentima savijanja – vidi plan armature
Zadatak 24 – SMICANJE 3. Dimenzionisanje prema smičućim silama: DEO A-C 1. VEd=1.5·100= 150 kN 2. Proračun nosivosti betona na smicanje 30 ⋅ 58 1/3 = 79.86kN V Rd ,c = 0.12 ⋅1.587 ⋅ (100 ⋅ 0.0056 ⋅ 25) ⋅ 10
3. Minimalna nosivost betona na smicanje 3/ 2 1/2 Vmin = 0.0035 ⋅ 1.587 ⋅ 25 ⋅ 30 ⋅ 58 = 60.88kN
4.
Nosivost betona na smicanje: V Rd ,c
79.86 kN = max 79.86kN < 150 kN = VEd 60.88kN
Zadatak 24 – SMICANJE 5. Određivanje potrebne armature za smicanje Usvojeno: θ = 45º, ctgθ = 1, m = 2, Ø6, asw(1) = 0.283 cm2
srač ≤
m ⋅ asw(1) V Ed
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.283 150
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅1.0 = 8.6cm
Usvojeno: θ = 45º, ctgθ = 1, m = 2, Ø8, asw(1) = 0.503 cm2
srač ≤
m ⋅ asw V Ed
(1)
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.503 150
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅1.0 = 15.2cm
Zadatak 24 – SMICANJE 6. Kontrola minimalne armature za smicanje ρ w,min = 0.08 ⋅
ρ w =
m ⋅ asw
f ck f yk
= 0.08 ⋅
(1)
25 500
s ρ ,min =
s ⋅ bw
= 0.0008 = 0.08% m ⋅ asw
(1)
ρ w,min ⋅ bw
=
2 ⋅ 0.503 0.0008 ⋅ 30
= 41.9cm
7. Kontrola maksimalne smičuće nosivosti: V Rd ,max =
α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ν 1 ⋅ f cd ctgθ + tgθ
=
1.0 ⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 0.54 ⋅1.42 1+1
ν 1 = 0.6 ⋅ 1 −
= 600.4kN
f ck 25 0.6 1 = ⋅ − = 0.54 250 250
Zadatak 24 – SMICANJE 8. Maksimalno podužno rastojanje armature s max
0.3 ⋅ V Rd ,max = 0.3 ⋅ 600.4 = 180.1kN > 150 kN = VEd s
max
= min {0.75d ;30cm} = min {0.75 ⋅ 58 = 43.5;30 cm} = 30 cm
Zadatak 24 – SMICANJE 9. Usvajanje armature za smicanje Usvojeni prečnik: Ø8 Usvojeno rastojanje:
srač 15.2 s = min s ρ ,min = 41.9 = 15.2cm 30.0 s max
Usvojeno: Ø8/15
10. Nosivost usvojene armature za smicanje: V Rd , s =
V Rd , s
2 ⋅ 0.503 15
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅1.0 = 152.3kN
> 150kN = V Ed = 152.2kN 600.4 kN V < = Rd ,max
Nosivost uzengija veća od proračunske sile smicanja Osigurano od loma prit isnut e betonsk e dijagonale
11. Dužina osiguranja: cela dužina segmenta A-C jer je: V Rd ,c < V Ed
Zadatak 24 – SMICANJE 12. Dodatna zategnuta armatura V Ed ,VEd < V Rd ,c ∆Ftd = = 0.5 ⋅150 ⋅1.0 = 75 kN ⋅ ⋅ > 0.5 θ , V ctg V V Ed Ed Rd , c ∆ As1 =
∆F td f yd
=
75 43.5
= 1.72cm2 < 2 ⋅ 4.91 = 9.82 cm2
Armatura koju treba obezbediti u donjoj zoni na mestu slobodnog oslonca A
Armatura iz dimenzionisanja prema momentima savijanja – vidi plan armature
Zadatak 24 – SMICANJE 13. Plan armature
A
B
Zadatak 24a – SMICANJE Varij antno r ešenje: Umesto usvajanja, nagib pritisnute dijagonale θ računa se iz uslova: V Rd ,max = V Ed V Rd ,max =
α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ν 1 ⋅ f cd ctgθ + tgθ
= V Ed
Deo B-C: θ =
1 2
⋅ arcsin
2 ⋅ V Ed α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ν 1 ⋅ f cd
1
2 ⋅ 300
2
1 ⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 0.54 ⋅1.42
= ⋅ arcsin
= 150 < 21.80
θ = θ min = 21.80 ctgθ = 2.5
tgθ = 0.4
Zadatak 24a – SMICANJE 5. Određivanje potrebne armature za smicanje Usvojeno: θ = 21.80º, ctgθ = 2.5, m = 2, Ø8, asw(1) = 0.503 cm2
srač ≤
m ⋅ asw(1) V Ed
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.503 300
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅ 2.5 = 19cm
6. Kontrola minimalne armature za smicanje s ρ ,min =
m ⋅ asw
(1)
ρ w,min ⋅ bw
=
2 ⋅ 0.503 0.0008 ⋅ 30
= 41.9cm
7. Kontrola maksimalne smičuće nosivosti: V Rd ,max =
1⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 0.54 ⋅1.42 2.5 + 0.4
= 414.1kN > VEd = 300 kN
Zadatak 24a – SMICANJE 8. Maksimalno podužno rastojanje armature s max
V Ed = 300kN > 0.6 ⋅ VRd ,max = 0.6 ⋅ 414.1 = 248.5 kN s
max
= min {0.3d ;30cm} = min {0.3 ⋅ 58 = 17.4;30 cm} = 17.4 cm
Zadatak 24a – SMICANJE 9. Usvajanje armature za smicanje Usvojeni prečnik: Ø8 Usvojeno rastojanje:
srač 19 s = min s ρ ,min = 41.9 = 17.4cm 17.4 s max
Usvojeno: UØ8/15
10. Nosivost usvojene armature za smicanje: V Rd , s =
V Rd , s
2 ⋅ 0.503 15
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅ 2.5 = 380.7 kN
> 300kN = V Ed = 380.7kN 414.7 kN V < = Rd ,max
Nosivost uzengija veća od proračunske sile smicanja Osigurano od loma prit isnut e betonsk e dijagonale
Zadatak 24a – SMICANJE 11. Dužina osiguranja: cela dužina segmenta B-C jer je: V Rd ,c < V Ed 12. Dodatna zategnuta armatura V Ed , VEd < V Rd ,c ∆Ftd = = 0.5 ⋅ 300 ⋅ 2.5 = 375 kN 0.5 ⋅V Ed ⋅ ctgθ , VEd > VRd ,c ∆ As1 =
∆F td f yd
=
375 43.5
= 8.62cm2 < 2 ⋅ 4.91 = 9.82 cm2
Armatura koju treba obezbediti u donjoj zoni na mestu slobodnog oslonca B
Armatura iz dimenzionisanja prema momentima savijanja – vidi plan armature
Zadatak 24a – SMICANJE Deo A-C: θ =
1 2
⋅ arcsin
2 ⋅ V Ed α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ν 1 ⋅ f cd
1
2 ⋅150
2
1 ⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 0.54 ⋅1.42
= ⋅ arcsin
= 7.20 < 21.80
θ = θ min = 21.80 ctgθ = 2.5
tgθ = 0.4
5. Određivanje potrebne armature za smicanje Usvojeno: θ = 21.8º, ctgθ = 2.5, m = 2, Ø8, asw(1) = 0.503 cm2
srač ≤
m ⋅ asw V Ed
(1)
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.503 150
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅ 2.5 = 38cm
Zadatak 24a – SMICANJE 5. Određivanje potrebne armature za smicanje Usvojeno: θ = 21.8º, ctgθ = 2.5, m = 2, Ø6, asw(1) = 0.283 cm2
srač ≤
m ⋅ asw (1) V Ed
⋅ z ⋅ f ywd ⋅ ctg θ =
2 ⋅0.283 150
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅ 2.5 = 21.4cm
6. Kontrola minimalne armature za smicanje s ρ ,min =
m ⋅ asw
(1)
ρ w,min ⋅ bw
=
2 ⋅ 0.283 0.0008 ⋅ 30
= 23.6cm
7. Kontrola maksimalne smičuće nosivosti: V Rd ,max =
1⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 0.54 ⋅1.42 2.5 + 0.4
= 414.1kN > VEd = 300 kN
Zadatak 24a – SMICANJE 8. Maksimalno podužno rastojanje armature s max
V Ed = 300kN > 0.6 ⋅ VRd ,max = 0.6 ⋅ 414.1 = 248.5 kN s
l ,max
= min {0.3d ;30cm} = min {0.3 ⋅ 58 = 17.4;30 cm} = 17.4 cm
Zadatak 24a – SMICANJE 9. Usvajanje armature za smicanje Usvojeni prečnik: Ø6 Usvojeno rastojanje:
srač 21.4 s = min s ρ ,min = 23.6 = 17.4cm 17.4 s max
Usvojeno: UØ6/15
10. Nosivost usvojene armature za smicanje: V Rd , s =
V Rd , s
2 ⋅ 0.283 15
⋅ 0.9 ⋅ 58 ⋅ 43.5 ⋅ 2.5 = 214.2 kN
> 150kN = V Ed = 214.2kN 414.7 kN V < = Rd ,max
Nosivost uzengija veća od proračunske sile smicanja Osigurano od loma prit isnut e betonsk e dijagonale
Zadatak 24a – SMICANJE 11. Dužina osiguranja: cela dužina segmenta B-C jer je: V Rd ,c < V Ed 12. Dodatna zategnuta armatura V Ed , VEd < V Rd ,c ∆Ftd = = 0.5 ⋅150 ⋅ 2.5 = 187.5 kN 0.5 ⋅V Ed ⋅ ctgθ , VEd > VRd ,c ∆ As1 =
∆F td f yd
=
187.5 43.5
= 4.31cm2 < 2 ⋅ 4.91 = 9.82 cm2
Armatura koju treba obezbediti u donjoj zoni na mestu slobodnog oslonca B
Armatura iz dimenzionisanja prema momentima savijanja – vidi plan armature
Zadatak 24a – SMICANJE 13. Plan armature θ = 21.8º ∆ As1 = 4.31cm2
Maksimalno poprečno rastojanje između vertikala
uzengija! st,max=17.4 cm
(V
Ed
> 0.6 ⋅ V Rd ,max )
NE ZADOVOLJAVA! REŠENJA?
