HIDROSTATIKA - ZADACI ρo=1000 kg/m3. U jedan krak ρulja, ako je
1. ZADATAK U cijev prema slici izmjerena razlika visina fluida u krakovima cijevi h=60 mm.
Uradak ρo u krakovima U-cijevi, onda je iz skice vidljivo da je x+h visina stupca ulja. Obujam V ulja je zadan (V = 5 dl = 0,5 l = 0,0005 m3), te slijedi: V = ( x + h) *
d 2π 4
⇒
2 glasi: pa + ρo*g*x - ρ*g*(x+h) = pa iz koje slijedi:
ρ = ρo *
x 0,1946 =1000 * x+h 0,1946 + 0,06
= 764,3 kg / m 3
x=
4 *V 4 * 0,0005 − h= − 0,06 = 0,2546 − 0,06 = 0,1946 m 2 d π 0,05 2 π
2. ZADATAK ∆p=p1-p2 u posudama spojenim cijevima prema skici, a ispunjenim vodom ρv=1000 kg/m3, živom ρžive=13600 kg/m3 i ugljiktetraklorom (CCl4 ρc=1600 kg/m3. Pojedine visine iznose: h1=350 mm, h2=250 mm, h3=400 mm, h4=500 mm, h5=2000 mm.
Uradak
p1+g(h1ρv+ h2ρC+ h3ρv+ h4ρž -h5ρv) = p2 ∆p = p1- p2 = g((h5 – h1-h3)ρv - h2ρC - h4ρž) = 9,81*((2-0,35-0,4)*1000- 0,25*1600 – 0,5*13600) = -58,37 kPa
3. ZADATAK slike su: h1=2,0 m, h2=1,3 m, h3=2,7 m, h4 dijagram hidrostatskog tlaka na stijenke posude.
e sa ρulja=850 kg/m . Nactaj 3
Uradak
pA= ρulja*g*(h3+ h4) = 850*9,81*(2,7+1,2) = 32,52 kPa
pB = pC = pA - ρulja*g*( h2+h3+ h4) = 32520-850*9,81*(1,3+2,7+1,2) = -10,84 kPa pD = pC - ρulja*g*( h1+h2+h3) = -10840-850*9,81*(2+1,3+2,7) = -60,871 kPa Dijagram hi
4. ZADATAK napunjen vodom povrh koje vlada pretlak ∆ -cijevni manometar pokazuje otklon ∆ ρvode=1000 kg/m3 ρžive=13600 kg/m3. Koliko bi iznosio pritisak na otvoru M spremnika pri istim vrijednostima ρm.vode=1025 kg/m3?
Uradak Ravnoteža za ravninu 0-0 iznosi: ∆p = (ρžive*∆h - 8,5*ρvode)*g = (13600*2,5 - 8,5*1000)*9,81 = 250,155 kPa pM = ∆p + 5*ρvode*g = 250155 + 5*1000*9,81 = 299,205 kPa kontrakciju i izlazne gubitke u obzir) iznosi: ∆p 250155 v = 2 gh = 2 g * + 5 = 2 * 9,81 * + 5 = 598,41 = 24,46 m / s * g 9810 ρ v – po Toricelliju; ovisi o visini stupca vode, u m i veliki natpritisak u spremniku) ρm.vode=1025 kg/m3 pritisak na otvoru M spremnika bi iznosio: ∆p = (ρm.vode*∆h - 8,5*ρvode)*g = (1025*2,5 - 8,5*1000)*9,81 = -58,246 kPa (u gornjem dijelu spremnika bi vladao potlak – sisanje, usis!) pM = ∆p + 5*ρvode*g = -58246 + 5*1000*9,81 = -9,196 kPa ∆p ulazila u spremnik, potlak bi je sisao!)
5. ZADATAK
mperatura zraka na visini H=10 km, ako -atmosferom, tj. da je pad temperature dT/dH= -6,5°K/km, uz koeficijent politrope n ≅ 1,235. Na površini Zemlje su izmjereni atmosferski tlak bo=750 mm stupca žive i temperatura to=30°C (ljetni period u godini!). Koeficijent R (individualna plinska konstanta) iznosi R=288 J/kg°K. Uradak Na površini Zemlje tlak u SI jedinicama iznosi: po = bo*ρžive*g = 0,75*13600*9,81 = 100,062 kPa dok je g
ρo =
po 100062 = = 1,146 kg / m 3 R * To 288 * ( 273,15° + 30°)
Na visini od 10 km tlak iznosi: 1
dT H n −1 10 p H = po * 1 + * = 100062 * 1 − 6,5 * 303,15° dH To
4 , 255
= 35,835 kPa
(tlak se smanjio u odnosu na tlak na površini Zemlje!)
1
dT H n −1 10 * = 1,146 * 1 − 6,5 * ρ H = ρ o * 1 + 303,15° dH To
4 , 255
= 0,410 kg / m 3
Temperatura na visini od 10 km: TH = To − 6,5 * H = 303,15° − 6,5 * 10 = 238,15° K = − 35°C (temperatura se smanjila u odnosu na temperaturu na površini Zemlje!)
31 − H 31 − 10 p H = po * = 100062 * = 26,25 kPa 31 + H 31 + 10 2
2
20 − H 20 − 10 3 ρ H = ρo * =1,146 * = 0,1273 kg / m 20 + H 20 + 10 2
2
5.0 (m )
7. ZADATAK Potrebno je odrediti ukupnu hidrostatsku silu na zatva visine h=4,0 m prema sl b=
z
h=4,0 m pa x b=5,0 m
h
lz
h = 4.0 (m)
θ=600 ρv=1000 kg/m3
C Θ = 60 (°)
D Dijagram hidrostatskog tlaka: pa
Fx B
Fz
F
Θ
T FΘ p= 39. 24 (kN Θ mD -2)
1/3 l
z
o
y
B
Iz geometrije sustava proizlazi: lz =
h 4 = = 4,619m sin θ sin 60 0
p D = ρgh = 10 3 * 9,81 * 4,0 = 39,24kN / m 2 Vrijednost ukupne sile tlaka jednaka je: F = ρg ∫ ldA ⇒
F=
A
1 1 h 1 4 p D bl z = p D b = * 39,24 * 5 * = 453,1kN 2 2 sin θ 2 0,866
Vrijednost ukupne sile tlaka se mogla odrediti i na sli tan 60° =
h l x1
⇒
l x1 =
h 4 = = 2,31 m tan 60° tan 60°
FH =
ρ * g * h * h * b 9810 *16 * 5 = = 392,4 KN 2 2
FV =
ρ * g * h * l x1 * b 9810 * 4 * 2,3 * 5 = = 225,63 KN 2 2
F = Fx + Fy ≅ 453 KN 2
2
8. ZADATAK eli no uže BC drži pravokutni zatvara irine b=1,2 m (masa zatvara a se zanemaruje). Visina vode ispred ustave je H=2,3 m. Odredite silu u užetu ako je položaj zatvara a odre en kutom α=450. Nacrtajte dijagram od hidrostatskog tlaka. C C
pa B
pa B H H
α α
A
A
Dijagram ukupnog hidrostatskog tlaka izgleda: S pa
S pa
B
B H/s
H/s
in α
F
in α
F
A A
Uzimamo F = ρgH * yF =
težinu vode sa vrijednosti:
ρg = γ ≅ 10kN / m 3 , pa slijedi:
1 H 2,3 b = 10 * 2,3 * 0,5 * *1,2 = 44,89kN 2 sin α 0,707
1 H ; 3 sin α ΣM A = 0 , slijedi:
F * yF − S * yS = 0 F*
1 H H −S* =0 3 sin α sin α
⇒
1 F =S 3
⇒
S = 14,96 KN
9. ZADATAK Automatska regulacijska zapornica ima horizontalnu osovinu A, oko koje se može okretati. iti. Nacrtajte dijagram hidrostatskog tlaka. Zadano je b=1,70 m.
h A
h b
A b Okomitost zapornice sugerira da vertikalna sila y tlaka ne postoji, dok je dijagram hidrostatskog tlaka
y
h
F1 ρgh
x
x
yF2h
F2
F1
yF1
yF1 ρ ρg gb hρ g h yF2 F2
b
b
ρ gb ρgh težinu vode sa vrijednosti: F1 = ρgh 2 1 y F1 = h 3
ρg = γ ≅ 10kN / m 3 , pa slijedi:
1 = 5h 2 2
1 F2 = ρghb + ρgb 2 = 17 h + 14,45 2
yF 2
ΣM A = 0 , slijedi: F1 * y F 1 − F2 * y F 2 = 0 ⇒
b b 2 ρghb + ρgb * b 2 2 3 = − 14,45h + 16,37 =− 1 17 h + 14,45 ρghb + ρgb 2 2
1 14,45h + 16,37 F1 * h − F2 * =0 3 17h + 14,45
1 14,45h + 16,37 5h 2 * h − (17 h + 14,45) =0 3 17 h + 14,45
⇒
h 3 − 8,67h = 9,826
⇒
h = 3,4 m
10. ZADATAK Potrebno je odrediti ukupnu hidrostatsku silu na zatvara iza i ispred kojega je voda visine prema skici. Nacrtati dijagram hidrostatskog optere enja zatvara a. Zadano je:
h1= 5,0 m h2= 2,0 m b= 4,0 m θ= 600 ρv= 1000 kg/m3
Dijagram hidrostatskog tlaka:
Iz geometrije sustava proizlazi: lz =
h 5 = = 5,774 m sin θ 0,866
l z1 =
h2 2 = = 2,309 m sin θ 0,866
lz2 =
h1 − h2 5 − 2 = = 3,464 m sin θ 0,866
p1D = ρgh1 = 10 3 * 9,81 * 5,0 = 49,05kN / m 2 p 2 D = ρgh2 = 10 3 * 9,81 * 2,0 = 19,62kN / m 2 B p RD = pC = p1D − p 2 D = 49,05 − 19,62 = 29,43 kN / m 2 Vrijednost ukupne sile hidrostatskog tlaka jednaka je: h h 1 1 1 1 F = ρg ∫ ldA ⇒ F = F1 − F2 = p1D bl z − p 2 D bl z1 = p1D b 1 − p 2 D b 2 = 2 2 2 sin θ 2 sin θ A =
1 5 1 2 * 49,05 * 4 * − *19,62 * 4 * = 566,39 − 90,62 = 475,8kN 2 0,866 2 0,866
11. ZADATAK Analiti ki odredite silu hidrostatskog tlaka i nacrtajte dijagrame pritisaka (H i V) za zatvara prema skici iza kojeg je voda. Zadano je: h1=2,0 m, h2=5,0 m, r=1,5 m. pa
h1 h2 r
težinu vode sa vrijednosti: Dijagrami komponenti hidrostatskog tlaka:
ρg = γ ≅ 10kN / m 3 .
FH
xT
yT
FH yT α
FV
Horizontalna komponenta hidrostatske sile iznosi: FH = ρg
h22 52 = 10 * = 125 kN / m' 2 2
Vertikalna komponenta hidrostatske sile iznosi: r 2π 1,5 2 * 3,14 FV = ρg = 10 * = 35,33 kN / m' 2 2 Rezultanta sila (ukupna hidrostatska sila) je stoga jednaka:
α
FR = FH2 + FV2 = 125 2 + 35,332 = 129,89 kN / m'
FH
FR
Položaj rezultante sile: 1 1 yT = h2 = 5 = 1,665 m 3 3
xT =
Smjer rezultante sile iznosi:
tgα =
FV
4r = 0,425 * r = 0,425 *1,5 = 0,637 m 3π FV 35,33 = = 0,2826 FH 125
⇒
α = 15,78 0
12. ZADATAK Potrebno je odrediti ukupnu hidrostatsku silu na zatvara iza kojega su dvije razli ite teku ine visina prema skici. Nacrtati dijagram hidrostatskog optere enja zatvara a i dijagrame komponenti hidrostatskog tlaka. Zadano je: h1= 3,0 m, h2= 2,0 m, ρ1= 850 kg/m3, ρ2= 1000 kg/m3
pa
pa
135° 45° 45°
ρ1
h1
ρ2
h2
135° 45°
ρ1
h1
ρ2
h2
45°
Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgleda: FV1 ρ1 g h1
h1
FH1 FH2
h2
Uzima
ρ2 g h2
FH2
ρ1 g h1 ρ2 g h2
ρ1 g h1
h1
FH1
FV2 ρ2 g h2
h2
ρ1 g h1 ρ2 g h2 3 težine: ρ1 g = γ 1 ≅ 8,5 kN / m ; 3 ρ 2 g = γ 2 ≅ 10,0 kN / m
Vrijednosti horizontalne i vertikalne komponenata sile hidrostatskog tlaka iznose: ρ gh 2 ρ gh 2 FH = FH 1 + FH 2 = 1 1 + ρ1 gh1 h2 + 2 2 2 2
8,5 * 3 2 10 * 2 2 * B = + 8,5 * 3 * 2 + 2 2
*1
= 38,25 + 51 + 20 = 109,25 kN FV = FV 1 − FV 2
ρ1 gh12 ρ 2 gh22 = − 2 2
8,5 * 3 2 10 * 2 2 * B = − 2 2
dok je ukupna sila hidrostatskog tlaka jednaka: F = FH2 + FV2 = 109,25 2 + 18,25 2 = 100,2 kN
*1 = 38,25 − 20 = 18,25 kN
13. ZADATAK Odredite rezultantu tlaka, hvatište i njezin smjer na segmentnu ustavu dimenzija prema slici. Nacrtati dijagrame hidrostatskog tlaka (horizontalnu i vertikalnu komponentu). Zadano je: H= 4 m, R= 6 m, B= 1m (širina ustave), ρ=1000 kg/m3. pa
A C R
H
B
h
Dijagrami hidrostatskog tlaka i položaj rezultantne sile: FV
pa hAH
H
hAH
A
H
FH FU
Iz geometrije sustava slijedi: sin α =
H 4 = R 6
⇒
α = arcsin 0,666 = 41,810
x = CD = cos α * R = 4,472 m
h AH = 2,667 m
' hAV = 0,619 m
Horizontalna komponenta sile hidrostatskog tlaka iznosi: FH = ρg
H2 16 B = 10 * *1 = 80 kN 2 2
Vertikalnu komponentu sile hidrostatskog tlaka dobili smo tako da smo od kružnog isje ∆BCD: R 2πα H FV = ρg − x* 0 2 360
6 2 π * 41,81° 4 * B = 10 * − 4,472 * *1 = 41,91 kN 360° 2
FU = FH2 + FV2 = 80 2 + 41,912 = 90,31 kN F h Ay = R * sin arctg V FH
41,9 = 6 * sin arctg = 2,784 m 80
F h Ax = R * cos arctg V FH
41,9 = 6 * cos arctg = 5,315 m 80
' h Ax = hAx − x = 5,315 − 4,472 = 0,843 m
Vrijednost horizontanog i vertikalnog hvatišta hidrostatske sile možemo odrediti i geometrijski:
h AY FV = R FU
⇒
h AY =
FV * R 41910 * 6 = = 2,784 m FU 90310
h AX ' + x FH = ⇒ R FU
h AX ' =
FH * R − x = 5,315 − 4,472 = 0,843 m FU
14. ZADATAK
m, b=1,0 m
, ρv= 1000 kg/m .
laka. Zadanao je: hB= 4,0 m, hA=1,0m, r=3,0
3
Dijagram horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskih tlakova izgledaju:
p A = ρgh A = 10 3 * 9,81*1,0 = 9,81 kN / m 2 p B = ρghB = 10 3 * 9,81* 4,0 = 39,24 kN / m 2 Vrijednost komponenata i ukupne sile hidrostatskog tlaka jednaka je: Fx =
p A + pB (hB − hA )b = p A + p B rb = 9,81 + 39,24 * 3 *1 = 73,6 kN 2 2 2
2r r 2π r Fz = ρgb + r * + r 2 − 4 3 3
2 * 3 3 2 3 2 * 3,14 = 10 3 * 9,81*1,0 = 68,0 kN + 3 * + 3 − 3 3 4
F = Fx2 + Fz2 = 73,6 2 + 68,0 2 = 100,2 kN
15. ZADATAK Plo asta zapornica težine G drži svojom težinom ravnotežu s vodom visine h iza nje. Odredi ovi Zadano je: α 3 G=10 kN/m, l=4 m, ρ= 1000 kg/m . pa
α l
h
α A
: ρg ≅ 10 KN / m 3
Uzimamo da je h = l * sin α ⇒ 4 * sin α
pa
b = l * cos α ⇒ 4 * cos α
pa
h Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgleda: α
FH
G
FV
A b/2
A b
-2
FH =
ρgh 2 10 * (4 * sin α ) = = 80 * sin 2 α 2 2
FV =
ρgbh 10 *1*16 sin α cos α = = 80 * sin α cos α 2 2
2
G = FV
∑MA ≥ 0 b 1 1 − G * + FV * b + FH h ≥ 0 2 3 3 − 10 *
4 cos α 1* 4 cos α 4 sin α + 80 * sin α cos α * + 80 * sin 2 α * ≥ 0 /* 3 2 3 3
− 60 cos α + 320 * sin α cos 2 α + 320 sin 3 α ≥ 0 /
: 10
− 6 cos α + 32 sin α cos 2 α + 32 sin 3 α ≥ 0 Za α=0 do 2π zadovoljava jednadžba: − 6 cos α + 32 sin α cos 2 α + 32 sin 3 α ≥ 0 α” po jednadžbi: h = l * sin α ⇒ 4 * sin α
16. ZADATAK Nacrtaj dijagrame horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka (H i V). Zadano je: - h1=3,0 m, 3 3 - h2=2,0 m, ρ2=1000 kg/m . ρ1=850 kg/m , pa 45° pa 45°
h1
45°
h1
TEKUCINA 1
h2
TEKUCINA 2
TEKUCINA 1
h2 TEKUCINA 2 sa vrijednostima: ρ1 g ≅ 8,5 kN / m 3 , Uzimamo specif. ulja i vode 45° težine
ρ 2 g ≅ 10 kN / m 3
FH1 pritiska izgledaju: Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog 45°
45°
FH2
45°
FH1
ρ1 g h1+ ρ2 g h2
FH2
45°
ρ1 g h1+ ρ2 g h2
45°
FV1 FV1
45° 45°
+
FV2
45°
45°
+ +
45°
FV2 FV3
45°
45° 45°
45°
+ =
FV1
FV3 45°
45° 45°
45° FV
ρ gh 2 ρ gh h FH = FH 1 + FH 2 = 1 1 + ( 2 2 2 + ρ1 gh1h2 ) *1 = 2 2 =
8,5 * 32 10 * 2 * 2 +( + 8,5 * 3 * 2) = 38,25 + 71 = 109,25 kN 2 2
2*2 3*3 FV = FV 1 + FV 2 − FV 3 ⇒ ( ρ 2 g + ρ1 gh1h2 ) + ρ1 g − ρ1 g * 3 * 2 *1 = 71 + 38,25 − 51 = 58,25 kN 2 2 Ukupna sila hidrostatskog tlaka iznosi: FU = FH2 + FV2 = 109,25 2 + 58,25 2 = 123,81 kN
=
17 ZADATAK (hidrostatskih) sila i nacrtaj dijagrame tlakova (horizontalnu i vertikalnu komponentu hidrostatskih sila) za sustav prema slici. Zadano je: ρvode=1000 kg/m3, ρulja=860 kg/m3, h1=6,0 m, h2=2,0 m, α=450, B=1m (širina). pa ulje h1 pa voda
α
h2
FV1
: ρ v g ≅ 10 kN / m 3 , ρ u g ≅ 8,6 kN / m 3
Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgledaju: FH1 FH2 FV1
ρ gh 2 8,6 * 6 2 *1 = 154,8 kN FH 1 = u 1 * B = 2 2 ρ gh 2 10 * 2 2 *1 = 20 kN FH 2 = v 2 * B = 2 2 h + (h1 − h2 ) FV 1 = ρ u g 1 * 2 * B = 8,6 *10 *1 = 86 kN 2 2 * h2 FV 2 = ρ v g * B = 20 kN 2 FH = 154,8 − 20 = 134,8 kN FV = 86 − 20 = 66 kN FU = FH2 + FV2 = 134,8 2 + 66 2 = 150,09 kN
18. ZADATAK Kvadratni otvor u vertikalnoj stijenki zatvara zaklopka prema slici. zatvara ili otvara otvor. Zadano je: a=1,0 m, α=600, G=4,67 kN, ρvode=1000 kg/m3.
pa a A a/2
a
eG
x
a
60° G
30°
60°
a/2
Iz geometrije sa slike slijedi da je vrijednost x jednaka: a x = 2 0 = 0,866 m tg 30 eG =
x = 0,433 m = eV a 2
F V2
pa a A
h a + 4a 1 5 eG 3 * a + 2aF=H 3 * 3 = 0,555 m
h =a/2 a eH =
a
60° komponente hidrostatskog tlaka izgledaju: Dijagrami horizontalne i vertikalne eG
Uzimamo da je FH = ρg *
G
F V1
: ρ v g ≅ 10 kN / m 3
a + 2a 2 1+ 2 * a = 10 * *1 = 15 kN 2 2
FV = ρg * x * a 2 = 10 * 0,866 *12 = 8,66 kN ΣM A = FH * eH + G * eG − FV *eV = 15 * 0,555 + 4,67 * 0,433 − 8,66 * 0,433 = 6,597 kNm Moment je pozitivan i zatvara zaklopku.
19. ZADATAK sl kg/m3
G=3,8 kN, ρ v g = γ v ≅ 10 kN / m 3 . pa
2h/3 pa
pa
2h/3 pa
H
G h
T
H
0,40
G h
a ρ=1000
T
0,40
Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgledaju: pa
2h/3
pa
2h/3
pa
pa
G h
H
G
h
H
T T
F HF
H
0,20 0,20
γ (H-h) γ (h-0,4) γ (H-h) γ (h-0,4) γ (H-0,4) γ (H-0,4) γh γh γH γH
Iz dijagrama je vidljivo da jeukupna sila hidrostatskog tlaka jednaka: FH = ρg (H − h ) * A
kako je A = 0,4 * 0,6 = 0,24 m 2 slijedi
FH = ρg (H − h ) * 0,24 = 2,4(H − 4) ΣM T = 0 ⇒
2 FH * 0,2 + G * h = 0 ⇒ 3
2 2,4(H − 4 ) * 0,2 + 3,8 * 4 = 0 ⇒ H = 25,1 m 3
20. ZADATAK Potrebno je i koje je voda ( ρ vode = 1000 kg / m 3 ). Nacrtati dijagrame pritiska (horizontalnu i vertikalnu komponentu hidrostatskog tlaka).
pa 3,0m 6,0m
= 4,0 m r
m 3,0
3,0m
Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgleda: pa
pa
pa ρ g3
ρ g6
0m = 3, 4,0m r
ρ g9
+
pa
ρ g6 =
FH FV ρ g 12
ρgh 2 9,81*1*12 2 *1 = FH = = 706,32 kN 2 2 r 2π 3,0 2 * π FV = * ρg + (6 + 3) * 4 * ρg *1 = * 9,81*1 + 9 * 4 * 9,81*1 = 141,3 + 353,16 = 494,46 kN 2 2 FU = FH2 + FV2 = 706,32 2 + 494,46 2 = 862,19 kN
ne po m’.
21. ZADATAK lici. Nacrtati dijagrame pritiska na plohu (horizontalna i vertikalna komponenta hidrostatskog tlaka). Zadano je: h1=5,50 m, h2=2,20 m, r=2,0 m, ρ vode = 1000 kg / m 3 . A pa
5,50
pa r=
B
0 2,0
2,20 C
O
a) horizontalna komponenta rezultante sile hidrostatskog tlaka
5,50
5,50
=
FH
FHD 2,20 FHL
1,83 0,73 O
2,20
Yx , L =
5,50
2,20 = 0,73 m 3
FH , L =
2,20
2,04 O 3,30
Yx , d =
5,50 = 1,83 m 3
2,20 ⋅ 2,20 ⋅ ρg = 24,2 kN / m′ 2
FH , D =
5,50 ⋅ 5,50 ⋅ ρg = 151,25 kN / m′ 2
ΣM 0 = 0 Y=
− FH , L ⋅ Yx , L + FH , D ⋅ Yx ,d − FH , L + FH , D
=
− 24,2 ⋅ 0,73 + 151,25 ⋅1,83 = 2,04 m − 24,2 + 151,25
Fx = FH , D − FH , L = 151,25 − 24,2 = 127,05 kN / m′ b) vertikalna komponenta rezultantne sile hidostatskog tlaka
1,37
1,06
5,50 +
2,20
= FV
FVG O 2,00
1,00
5,50
FVU 2,00
O
O 2,00
X y, p =
X y ,u =
2,0 2 4 2,0 π⋅ ⋅ 4 3 π = 1,37 m 2,0 2 2,20 ⋅ 2,0 − π 4
2,0 ⋅ 2,20 ⋅1,0 −
2,0 2 4 2,0 π⋅ ⋅ 4 3 π = 1,06 m 2 2,0 5,50 ⋅ 2,0 − π 4
2,0 ⋅ 5,50 ⋅1,0 −
2,0 2 FVG = 2,20 ⋅ 2,0 − π ⋅ ρg = 12,58 kN / m′ 4 2,0 2 FVU = 5,50 ⋅ 2,0 − π ⋅ ρg = 78,58 kN / m′ 4 ΣM 0 = 0 X=
FVG ⋅ X y , p − FVU ⋅ X y ,u FVG − FVU
=
12,58 ⋅1,37 − 78,58 ⋅1,06 ≅ 1,0 m 12,58 − 78,58
FV = FVG − FVU = 12,58 − 78,58 = −66,0 kN / m′
( sila djeluje prema gore!!)
c) veli ina rezultantne sile hidrostatskog tlaka FH = 127,05 kN / m′ F=
FH + FV 2
FV = 66,0 kN / m′
2
F = 127,05 2 + 66,0 2 = 20497,7 = 143,17 kN / m′ d) položaj rezultantne sile hidrostatskog tlaka X=1,0 m Y=2,04 m S(1,00 , 2,04 ) e) smjer rezultantne sile tg α =
FV FH
⇒ α = arc tg
f) grafi ki prikaz rezultata
FV 66,0 = arc tg = arc tg 0,51948 = 27 o 27' 04' ' FH 127,05
22. ZADATAK slici. Zanemariti ekscentricitet osi. Nacrtati diagram horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka. Zadano je: ρ vode = 1000 kg / m 3 , q=4,5kN/m’, a=0,5m, b=0,7m, c=2,1m.
pa 2H/3 H
a T G
P
b
O c x
U
Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgledaju:
P
O
U ili
G = q ⋅1,0 = 4,5 ⋅1,0 = 4,5 kN U = 2,1 ⋅ ρg ⋅ H ⋅1,0 = 2,1 ⋅10 ⋅ H = 21 ⋅ H [ kN ] x=
2,1 = 1,05 m 2
P=
10 ⋅ H 2 ρg ⋅ H 2 ⋅1,0 = ⋅1,0 = 5 ⋅ H 2 [ kN ] 2 2
ΣM 0 = 0
⇒
1 P ⋅ ⋅ H + G ⋅ a −U ⋅ x = 0 3
1 5 ⋅ H 2 ⋅ ⋅ H + 4,5 ⋅ 0,5 − 21,0 ⋅ H ⋅1,05 = 0 3 5 ⋅ H 3 + 2,25 − 22,05 ⋅ H = 0 3
5 3 ⋅ H − 22,05 ⋅ H = −2,25 3
⇒
H = 3,585 m
U = 21,0 ⋅ H = 21,0 ⋅ 3,585 = 75,285 kN P=
10 ⋅ H 2 ρg ⋅ H 2 ⋅1,0 = ⋅1,0 = 5 ⋅ H 2 = 5 ⋅ 3,585 2 = 64,261 kN 2 2
KONTROLA: 1 P ⋅ ⋅ H + G ⋅ a −U ⋅ x = 0 3 1 64,261 ⋅ ⋅ 3,585 + 4,5 ⋅ 0,5 − 75,285 ⋅1,05 = 0 3 76,792 + 2,25 − 79,049 = 0 0=0
23. ZADATAK u na zadanu stijenku širine 1,0 m iza koje je slatka i slana voda. Nacrtati diagrame horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka. Zadano je: ρ1g = 9,0 kN/m3, ρ2g = 10,0 kN/m3. pa 2,0 m
ρ1
4,0 m 2,0 m
ρ2
3,0 m
3,0 m
45°
Horizontalna komponenta sile hidrostatskog tlaka: y
2,0 m 2,0 m
G
U H1
V
R
H
α
3,0 m
H2
H3
45° x~1,6 m
ρ1 g 4,0
y~2,31m x
ρ2 g 3,0
H 1 = ρ1 g ⋅ 4,0 ⋅ 4,0 ⋅1,0 ⋅
1 = 9 ⋅ 0,5 ⋅16 = 72 kN 2
H 3 = ρ 2 g ⋅ 3,0 ⋅ 3,0 ⋅1,0 ⋅
1 = 10 ⋅ 9 ⋅ 0,5 = 45 kN 2
H 2 = ρ1 g ⋅ 4,0 ⋅ 3,0 ⋅1,0 = 9 ⋅12 = 108 kN
3
H = ∑ H i = 72 + 108 + 45 = 225 kN 1
1 1 1 H * y = H1 3 + ⋅ 4 + H 2 ⋅ 3 + H 3 ⋅ 3 3 2 3 y=
⇒ y=?
1 (4,333 ⋅ H 1 + 1,5 ⋅ H 2 + H 3 ) = 1 (4,333 ⋅ 72 + 1,5 ⋅108 + 45) ≅ 2,31 m H 225
Vertikalna komponenta sile hidrostatskog tlaka: G 1 = 3,0 ⋅ 4,0 ⋅ ρ1 g ⋅1,0 = 12 ⋅ 9 = 108 kN G 3 = 2,0 ⋅ 2,0 ⋅ ρ1 g ⋅1,0 ⋅ 4
1 = 18 kN 2
G = ∑ Gi = 108 + 36 + 18 + 45 = 207 kN 1
G 2 = 2,0 ⋅ 2,0 ⋅ ρ1 g ⋅1,0 = 4 ⋅ 9 = 36 kN = U 1 G 4 = 3,0 ⋅ 3,0 ⋅ ρ 2 g *1,0 = 9 ⋅10 ⋅ 0,5 = 45 kN 2
3,0 m 2,0 m 2,0 m
G2 G1 G
2,0 m 3,0 m
G3 G4 45°
2,0 m
U 2,0 m
∑M
O
=0
1 1 G ⋅ x = G 1 ⋅ 0,5 ⋅ 3 + G 2 (3 + 1) + G3 3 + ⋅ 2 + G 4 ⋅ 3 ⇒ 3 3 x=
x=?
1 (0,5 ⋅ 3 ⋅ G1 + 4 ⋅ G 2 + 3,667 G3 + G 4 ) = 1 (1,5 ⋅108 + 4 ⋅ 36 + 3,667 ⋅18 + 45 ) ≅ 2,01 m G 207
U = 2,0 ⋅ 2,0 ⋅ ρ1 g ⋅ 1,0 = 4 ⋅ 9 = 36 kN V = G - U = 207 - 36 = 171 kN V ⋅ x V = G ⋅ x − U ⋅ (3 + 1) = 207 ⋅ 2,01 − 36 ⋅ 4 ⇒ UKUPNA SILA R = H 2 + V 2 = 225 2 + 171 2 = 282 ,61 kN
α = arc tg
V 171 = arc tg = 37 ° 23 ' H 225
xV = 1,6 m
24. ZADATAK Potrebno je odrediti ukupnu hidrostatsku silu i njezin smjer na zatvara iza i ispred kojega su dvije teku ine razli ite specifi ne gusto e ρ1 i ρ2 visina prema slici. Nacrtati dijagrame komponenti hidrostatskog tlaka na zatvara Zadano je: h1=4,0 m, h2=5,5 m, b=1,0 m (širina zatvara a), ρ1=850 kg/m3, ρ2=1010 kg/m3. pa 45°
pa h2
ρ1
ρ1
h1
ρ2
h2
45°
Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente hidrostatskog tlaka izgleda:
h2 F H1
ρ1 g h2
FH1
FH3
FH4 h2
ρ1 g h1 ρ2 g h 2
ρ1
FH2
h1
FH2
FH3
FH4
ρ1 g h2
ρ1 g h1 ρ1 g h2
ρ1 g h2
(pogledati gornju sliku) ne možemo ρ2 > ρ1
ρ2
FV
F α FH
Uzimamo da
jednake:
ρ1 g ≅ 8,338 kN / m 3 ρ 2 g ≅ 9,908 kN / m 3
Vrijednost komponenata i ukupne sile tlaka jednaka je: h2 ρ g h2 ρ g h2 ρ g FH = FH 2 + FH 3 + FH 4 − FH 1 = 1 1 + h1h2 ρ1 g + 2 2 − 2 1 * b 2 2 2 4 2 * 8,338 5,5 2 * 9,908 5,5 2 * 8,338 *1 FH = + 4 * 5,5 * 8,338 + − 2 2 2
pa pa
45°
ρ1
FH = 66,704 + 183,44 + 149,85 − 126,112 = 273 ρ1,88 kN ρ2 h2 2 2 2 h ρ g h ρ g h ρ1 g *b FV = (h2 − h1 )h1 ρ1 g + 1 1 + 2 2 − 2 45° 2 2 2
h1
h2 ili
h1 2 ρ1 g h22 ρ1 g h22 ρ 2 g 16 * 8,338 30,25 * 8,338 30,25 * 9,908 FV = + − − h1h2 ρ1 g * b = + − − 8,338 * 4 * 5,5 2 2 2 2 2 2 FH2 FV = 66,704 + 126,112 − 149,85 − 183,44 = − 140,47 kN (djeluje prema gore!!)
FH1,47 2 = 307,8 kN F = FH2 + FV2 = 273,88 2 + 140
FH3
FH4
hidrostatskog tlaka iznosi: ρ1 g h1 ρ1 g h2 ρ1 g h2 tgα =
FV 140,47 = FH 273,88
⇒
α = 27 0 9' 10 ' '
FV
F α FH
ρ1 g h2
25. ZADATAK Na pregradi je postavljen kružni otvor promjera d=1m. Zatvoren je sa poklopcem L-profila, koji ima mogu nost vrtnje oko to ke M. Os rotacije (to ka M) leži s=0,2 m od vrha otvora. Na udaljenosti od L1=0,7 m nalazi se uteg težine G. Potrebno je odrediti težinu utega G za koji e pri razini vode h1=3 m (iznad središta otvora) do i do otvaranja otvora, te za koliko je potrebno pomaknuti uteg težine G kako bi došlo do otvaranja otvora, ako se razina vode ispred pregrade pove a na h2=4 m.
Dijagrami hidrostatskog tlaka i hidrostatska sila iznose:
F = ρgh1 A = ρgh1
d 2π 12 * 3,14 = 1000 * 9,81* 3 * = 23102 N = 23,1 kN 4 4
d ΣM M = GL1 − F s + + e = 0 2
⇒
d F s + + e 2 G= L1
d 4π I d2 12 e= = 64 = = = 0,0208 m ≅ 0,022 m π 2 16h1 16 * 3 h1 A h1 d 4
d F s + + e 2 = 23,1* (0,2 + 0,5 + 0,022 ) = 23,8 kN G= L1 0,7 Koliko je potrebno pomaknuti uteg? d F2 s + + e2 2 −L ∆L = L2 − L1 = 1 G Hidrostatska sila za slucaj 2 : d 2π 12 * 3,14 F2 = ρgh2 A = ρgh2 = 1000 * 9,81* 4 * = 30803 N = 30,8 kN ⇒ 4 4 d F2 s + + e2 2 L2 = G2
⇒
d 4π I d2 12 64 e2 = = = = = 0,0156 m ≅ 0,016 m π h2 A 16h2 16 * 4 h2 d 2 4
Udaljenost na koju treba pomaknuti uteg iznosi : L2 =
30,8(0,2 + 0,5 + 0,016 ) = 0,927 m 23,8
Udaljenost za koju treba pomaknuti uteg : ∆L = L2 − L1 = 0,927 − 0,7 = 0,227 m
26. ZADATAK Odrediti komponente sile hidrostatskog tlaka, rezultantu i njezin položaj na stijene prema slici iza koje je voda. Nacrtati dijagrame tlaka. Zadano je: h1=2,0 m, h2=2,0 m, h3=3,0 m, H=7,0 m, ρ=1000 kg/m3, B=1 m (širina stijene). pa b1
h1
45° h2
H
h3 45° b
: ρg ≅ 10 kN / m 3
Uzimamo da je x
Iz geometrije sustava proizlazi da je:
b = 3,0 m b1 = 2,0 m
yT + Dijagrami horizontalne i vertikalne komponente tlaka izgledaju: 45° hidrostatskog
+ xT
FH
x
x
FV yT
45° 45°
yT
+
+
=
y FH 45° y
y
ρgH 2 10 * 7 2 *1 = 245,0 kN FH = * B = 2 2 h *b 10 * 2 * 2 h *b 10 * 3 * 3 FV = ρg 3 + ρg (h1 + h2 ) * b − ρg 2 1 * B = + 10 * 4 * 3 − *1 = 145 kN 2 2 2 2 R = FH2 + FV2 = 245 2 + 145 2 = 284,69 kN Položaj težišta horizontalne sile hidrostatskog tlaka:
yT =
2 2 H = * 7 = 4,66 m 3 3
položaj težišta vertikalne komponente sile:
xT =
Σxi Ai = Ai
3*3 2 2*2 1 * *3 − * *2 25,66 2 3 2 3 = = 1,769 m 3*3 2 * 2 14,5 4*3 + − 2 2
4 * 3 *1,5 +
yT =
Σyi Ai = Ai
4 *3* 2 +
3*3 1 2*2 1 * ( * 3 + 4) − * ( 2 + 2) 41,66 2 3 2 3 = = 2,839 m 3*3 2 * 2 14,5 4*3 + − 2 2
Smjer rezultantne sile hidrostatskog tlaka: tgα =
FV 145 = = 30,62 0 FH 245
FH α R
FV
27. ZADATAK težištem n u ovisnosti o kutu ϕ
ρulja=850 kg/m3.
Uradak Ukupna hidrostatska sila na tablastu zapornicu iznosi:
F=
ρ ulja * g * h * 1 *
h sin ϕ
2
ρ ulja * g * h 2 = 2 * sin ϕ
s M z = m * g * * cosϕ = 800 * 9,81 * 2 * cosϕ = 15696 cosϕ Nm 2 cos ϕ =
2x s ⇒ x = cos ϕ * s 2
Mo = F * x = sin ϕ =
ρ ulja * g * h 2 *x 2 * sin ϕ
h h ⇒ y= y sin ϕ
x=
Uz uvrštenje:
h −e 2 * sin ϕ
1* s 3 I s 4 e = s = 12 = = = 0,666 m A * y s ( s * s * 1) 6 6 2
(s = h/sinϕ)
2 ρ ulja * g * h 2 ρ ulja * g * h 2 h h ρ ulja * g * h h 1 1 Mo = *x= * * * − − = 2 * sin ϕ 2 * sin ϕ 2 * sin ϕ 2 sin ϕ 3 * sin ϕ 2 * sin ϕ 6 * sin ϕ
Mo =
Mo =
ρ ulja * g * h 2 2 * sin ϕ
*
2 ρ ulja * g * h 3 h h 1 ρ ulja * g * h * 1 − = * = 2 * sin ϕ 3 2 * sin ϕ 3 * sin ϕ 6 * sin 2 ϕ
850 * 9,81 * h 3 h3 1389 , 75 * = 6 * sin 2 ϕ sin 2 ϕ
Iz uvjeta ravnoteže Mo = Mz dobivamo ovisnost visine h o kutu ϕ: 1389,75 *
h3 =
h3 = 15696 * cos ϕ sin 2 ϕ
/*
sin 2 ϕ 1389,75
15696 * cos ϕ * sin 2 ϕ = 11,294 * cos ϕ * sin 2 ϕ 1389,75
h = 3 11,294 * cos ϕ * sin 2 ϕ = 2,243 * 3 cos ϕ * sin 2 ϕ
ϕ
max
do koje
pri dh/dϕ=0. Derivacija daje: dh 3 = 11,294 * cos ϕ * sin 2 ϕ dϕ = 0 dϕ
⇒ ϕ max
Donja granica stabilnosti dana je kutem ϕ kod kojega postoji još ravnoteža, dakle pri visini hmin h = s * sin ϕ : s * sin ϕ = 2,243 * 3 cosϕ * sin 2 ϕ 4 * sin ϕ = 2,243 * 3 cosϕ * sin 2 ϕ
sin ϕ 3
cosϕ * sin 2 ϕ
=
2,243 = 0,56 ⇒ ϕ min . 4
Popne li se ulje iznad hmax.= 4 * sin ϕ max ϕ. Zbog Mo > Mz U protivnom, kada ulje padne ispod hmin.= 4 * sin ϕ min
z
Mz > Mo max.
stalno pada
28. ZADATAK U zatvorenom spremniku prema slici, vlada manometarski tlak pMO. Treba ρulja = 850 kg/m3,
a) pMO = -13000 Pa b) pMO = -18000 Pa c) pMO = -45000 Pa
Uradak konstantnog tlaka pMO h
biti jednaka za sva tr
Fh = ρ ulja * g * H * a 2 = 850 * 9,81* 3,7 * 2 2 =123,409 kN Udaljenost hvatišta sile Fh od težišta C iznosi: a4 24 I ξξ 1,33 ∆y = = 12 2 = 12 2 = = 0,09 m yc * A H * a 3,7 * 2 14,8 MO
= -13000 Pa
Sila Fo = pMO*a2 = 13000*22 = 52000 N Sila: F = ρulja*g*h*a2 = 850*9,81*2,14*22
Rezultantna sila F = Fh – Fo = 123,409 - 52,0 = 71,409 kN
F = 71,409 kN Hvatište sile F:
C): ∆y R = ∆y *
Fh 123,409 = 0,09 * = 0,155 m F 71,409
∆y R
h
MO
a4 24 I ξξ ∆y R = = 12 = 12 = 0,155 m yc * A h * a 2 2,14 * 2 2
> Fo)
= -18000 Pa
Sila Fo = pMO*a2 = 18000*22 = 72000 N Rezultantna sila
Sila:
F = ρulja*g*h*a2
F = Fh – Fo = 123,409 - 72,0 = 51,409 kN
= 850*9,81*1,542*22
Hvatište sile F (preko C):
= 51,409 kN Hvatište sile F:
F 123,409 ∆y R = ∆y * h = 0,09 * = 0,216 m F 51,409 ∆y R
h
> Fo)
a4 24 I ξξ ∆y R = = 12 = 12 = 0,216 m yc * A h * a 2 1,542 * 2 2
MO
= -45000 Pa
Sila Fo = pMO*a2 = 45000*22 = 180000 N
Fiktivna slobodna površina je ispod težišta, te je h < 0 i sila F < 0, tj. gleda od površine
Rezultantna sila Sila: F = ρulja*g*h*a2 = F = Fo - Fh = 180,0 – 123,409 = 56,59 kN = 850*9,81*(-1,69)*22 C): ∆y R = ∆y * ∆y R
= -56,36 kN Fh 123,409 = 0,09 * = − 0,197 m F − 56,59 h
< Fo)
Hvatište sile F: a4 24 I ξξ 12 ∆y R = = 12 2 = = − 0,197 m yc * A h * a (−1,69) * 2 2 S obzirom da je h < 0 i ∆y R je negativno, sila F ima hvatište iznad težišta C!
29. ZADATAK 1000 kg/m3.
(1m), , u položaju prema slici. Zadano je: a=1,2 m, H=0,8 m, h=0,65 m, ρv=
Uradak U ovom primjeru nije pogodno uvoditi fiktivnu slobodnu površinu, jer površina AB nije cijela uronjena u fluid. Na dio površine poklopca koji se nalazi iznad fluida, djeluje samo sila konstantnog tlaka pO O i hidrostatska sila Fh. o (uslijed konstantnog tlaka pO) na klopca AB i silu hidrostatskog tlaka Fh, na dio poklopca ispod stvarne slobodne površine, kao što je prikazano na slici (a).
obzirom da fluid u spremniku miruje, tlak po p a + ρ v * g * h − ρ v * g * H = pO iz koje je manometarski tlak jednak: pMO = paps. – pa = ρv*g*(h-H) = 1000*9,81*(0,65-0,8) = -1471,5 Pa
o:
Fo = pMO*a*1 = -1471,5*1,2*1 = -1765,8 N biti negativna, odnosno usmjerena suprotno od predpostavljenog smjera sa slike (a). Sila Fh je: Fh = ρ v * g *
H 0,8 2 * H * 1 = 1000 * 9,81 * * 1 = 3139,2 N 2 2
a pomak hvatišta sile Fh je: 1* H 3 I ξξ H 0,8 ∆y = = 12 = = = 0,133 m yc * A H 6 6 * H *1 2
a H H 1,2 0,8 0,8 F * a = Fo * + Fh * ( − ) = (−1765,8 * ) + 3139,2 * ( ) = − 222,36 − 2 2 6 2 2 6
F= −
222,36 = − 185,3 N 1,2
U gornjoj se jednadžbi sila Fo uvrštava sa negativnim predzankom, te slijedi sila F= -185,3 N, što
30. ZADATAK ρulja=850 kg/m , pa= 0 Pa.
MO=
-7500 Pa, α=60°,
3
Uradak
površinu da se
MO.
S obzirom da u
visini h, prema slici (a). h=H −
p MO 7500 =H − = H − 0,899 850 * 9,81 ρ ulja * g
(a)
gdje je pMO negat gornja ploha je horizontalna i na nju djeluje sila Fv koja je jednaka: Fv = ρulja*g*h*a*1= 850*9,81*h*1*1 = 8338,5*h
(b)
c
fiktivne slobodne površine, koja je prema slici (a) jednaka:
od
yc =
h a + sin α 2
(c)
a dubina težišta hc je jednaka: hc = yc*sinα = h +
a * sin α = h + 0,5 * sin 60° = h + 0,433 2
(d)
te je sila Fh jednaka: Fh = ρulja*g*hC*a*1 = ρulja*g*( h +
a a * sin α )*a*1 = 8338,5*( h + * sin α ) 2 2
a pomak njena hvatišta od težišta C iznosi:
1* a 3 * sin α I ξξ 12 ∆y = = = yc * A hC * a *1
(e) izraz (f)
a 2 * sin α 1* sin 60° 0,866 = = a 12 * (h + 0,5 * sin 60°) 12 * h + 5,196 12 * h + * sin α 2 ∆y ujedno i krak sile Fh nuli, te iz ravnoteže momenata oko
Fv *
a + Fh * ∆y = 0 2
(g)
uvršatavanjem izraza (b), (e) i (f) u (g) slijedi izraz za visinu h: a a 8338,5 * h * + 8338,5 * (h + * sin 60°) * 2 2
(h +
a 2 * sin 60° =0 a 12 * h + * sin 60° 2
a * sin 60°) u brojniku i nazivniku vrijedi: 2
a a 2 * sin 60° 8338,5 * h * + 8338,5 * =0 2 12 1 12 * sin 60° 8338,5 * h * + 8338,5 * =0 2 12 4169,25 * h + 601,779 = 0
⇒
h=
− 601,779 = −0,144 m 4169,25
Izraz za traženu visinu H je jednak: H =h +
p MO 7500 = − 0,144 + = − 0,144 + 0,899 = 0,755 m 850 * 9,81 ρ ulja * g ja (u
pMO
ulja
ρ *g
g
O
fiktivna slobodna površina
ρulja
Vratimo li se sada u formule (b), (c), (d), (e) i (f) tražene vrijednosti iznose: Fv = 8338,5*h = 8338,5*(-0,144) = -1200,74 N yc =
h a − 0,144 1 + = + = 0,333 m sin α 2 sin 60° 2
hc = h + 0,433 = -0,144 + 0,433 = 0,289 m Fh = 8338,5*( h +
1 a * sin α )*a*1 = 8338,5*( -0,144 + * sin 60° )*1= 2409,93 N 2 2
∆y =
0,866 0,866 = = 0,249 m 12 * h + 5,196 12 * (−,0144) + 5,196
Fv *
a + Fh * ∆y = 0 2
1 − 1200,94 * + 2409,93 * 0,249 = 0 2 ⇒
-600,37+600,37 = 0
0=0
Moment koji stvara vertikalna sila Fv na satu, dok sila Fh i njen krak vrte u smjeru kazaljke na satu (momenti su suprotni!). Ovakav tip zadatka se može rješavati samo ukoliko je tlak pMO unutar spremnika negativan, odnosno ukoliko
a + Fh * ∆y = 0 . Na studentima je da se uvjere u gore navedenu 2 konstataciju, zadavanjem nekog pozitivnog manometarskog tlaka. Fv *
31. ZADATAK
-
xT=55 mm, D=200 mm, L=100 mm, s=40 mm, ρv=1000 kg/m3.
Uradak Na slici hidrostatskog tlaka, koja je razložena na horizontalnu Fx i vertikalnu Fz komponentu, a sile atmosferskog tlaka se poništavaju. Komponenta Fz je jednaka težini fluida od površ
D 2π 0,2 2 * π FZ = ρ v * g *V = ρ v * g * * L = 9810 * * 0,1= 30,819 N 4 4
(a)
Horizontalna i vertikalna komponenta sile tlaka
Hvatište sile uzgona je u težištu volumena valjka te sila Fz ima krak jednak polovini duljine L x djeluje na kružnu
Fx = ρ v * g * h *
D 2π 0,2 2 * π * h = 308,19 * h =1000 * 9,81* 4 4
a pomak njena hvatišta od težišta C kružne površine je:
(b)
D 4 *π I ξξ D2 0,2 2 0,0025 ∆h = = 64 2 = = = h* A h D π 16 * h 16 * h h* 4
(c)
x
i
Fz Fx * (
D L − ∆h) + FZ * ≥ m * g * xT 2 2
(d)
x
momenti sile težine i sile Fz ostaju nepromjenjeni. Uvrštavanjem izraza (a) do (c) u izraz (d) slijedi uvjet za visinu h, oblika: 308,19 * h * (
0,2 0,0025 0,1 ) + 30,819 * ≥ 20 * 9,81* 0,055 − 2 h 2
(e)
30,819 * h − 0,7704 + 1,54095 ≥ 10,791 30,819 * h ≥ 10,02045
/*
1 30,819
h ≥ 0,325 m NAPOMENA: Ukoliko je h uronjen u vodu. Pritom, se dakako, mjenja i horizontalna i vertikalna sila tlaka (u ovisnosti o visini h).
32. ZADATAK ventilom. U prikazanoj situaciji ventil je zatvoren, a spremnik 2 je potpuno ispunjen zrakom pod apsolutnim tlakom po=0,8 bara, a spremnik 1 je ispunjen uljem. Treba odrediti visinu h2 mniku (p*V = const.). Zadano je: H1=3,0 m, H2=1,7 m, D1=1,5 m, D2=2,0 m, pa=1010 mbar, ρulja=850 kg/m3.
Uradak
spremnika 2 uljem smanjuje se obujam zraka, a tl
Slika (a) 2, a u U sprem 2, kao što prikazuje slika (a). Ako fluid (ulje) miruje, vrijedi jednadžba manometra, koja postavljena od 1.
pa + ρulja*g*h1 = p2+ ρulja*g*h2
(a)
Obujam (volumen) ulja u drugom spremniku jednak je smanjenju obujma u prvom spremniku, tj.: h2 *
D22 * π D 2 *π = ( H 1 − h1 ) * 1 4 4
/:
π 4
(b)
⇒
h2 * D22 = ( H 1 − h1 ) * D12
h1 =
D − h2 * D22 + H 1 = H 1 − h2 ( 2 ) 2 2 D1 D1
jednadžbom: poVo = p2 *V2 po *
⇒
sve
D22 * π D 2 *π * H 2 = p 2 * ( H 2 − h2 ) * 2 4 4
(c) /:
D22 * π 4
po * H 2 = p2 * ( H 2 − h2 ) Sustav triju jednadžbi (a), (b) i (c) sadrži tri nepoznanice: h1, h2 i p2. Iz jednadžbe (c) slijedi: p 2 = po *
H2
(d)
H 2 − h2
što uvršteno u (a) daje: pa + ρulja*g*h1 = po *
H2
+ ρulja*g*h2
H 2 − h2
Ako se iz jednadžbe (b) izrazi visina h1 kvadratnu jednadžbu za visinu h2 u obliku: pa + ρulja*g*h1 = po *
H2
2,
te uvrsti u izraz (e) dobivamo
+ ρulja*g*h2
H 2 − h2
101000 + 850*9,81* ( H 1 − h2 (
(e)
D2 2 1,7 ) ) - 80000 * - 850*9,81*h2 = 0 D1 1,7 − h2
136000 2 101000 + 8338,5* (3 − h2 ( ) 2 ) - 8338,5*h2 = 0 1,5 1,7 − h2 101000 + 25015,5 – 14824h2 -
136000 - 8338,5*h2 = 0 1,7 − h2
/ *(1,7 – h2)
101000*(1,7- h2) + 25015,5*(1,7- h2) – 14824h2*(1,7- h2) - 136000- 8338,5h2*(1,7h2)=0 171700 - 101000h2 + 42526,35 – 25015,5h2 - 25200,8h2+14824h22 – 136000 -
14175,45h2 + 8338,5h22 = 0
23162,5h22 – 165391,75h2 + 78226,35 = 0 h1, 2 =
− b ± b 2 − 4 * a * c 165391,75 ± 2,0106 *1010 165391,75 ±141798,31 = = 2a 2 * 23162,5 46325
(h2 )1 =
165391,75 −141798,31 = 0,509 m 46325
(realno, h2 < H2 , usvajamo!!!)
(h2 ) 2 =
165391,75 +141798,31 = 6,63 m 46325
(nerealno, ne usvajamo!!!)
Drugo rješenje je fizikalno nerealno, jer ne može biti h2 > H2, pa je rješenje zadatka h2 = 0,509 m. Iz izraza (d) i (b) slijedi tlak p2 i visina h1: p 2 = po *
H2 H 2 − h2
h1 = H 1 − h2 (
= 80000 *
1,7 = 1,141 bar 1,7 − 0,509
D2 2 2 ) = 3,0 − 0,509 * ( ) 2 = 2,095 m 1,5 D1
