Zadatak 021 (Mira, gimnazija) Dvije kuglice nabijene jednakim pozitivnim nabojem na udaljenosti 1.5 m u vakuum vakuumu u međusobno se odbijaju silom od 0.4 N. Za koliko se broj protona razlikuje od broja elektrona u svakoj od nabijenih kuglica? (k = 9 · 109 Nm2 / C2, e = 1.6 · 10-19 C) Rješenje 021 r = 1.5 m,
k = 9 · 109 Nm2 / C2,
F = 0.4 N,
e = 1.6 · 10-19 C,
N=?
Kuglice su pozitivno nabijene jer je broj protona veći od broja elektrona. Iz Coulombova Coulombova zakona i formule za kvantizaciju naboja dobije se broj protona: 2
2 F ⋅ r Q = k ⇒ Q N = Q = N ⋅e 2 Q F = k ⋅ 2 r
e
⇒ N =
r e
⋅
F k
=
1.5 m −19 C 1.6 ⋅10
Q = r ⋅ ⇒ Q N = e
k ⇒
F
0.4 N
⋅
9 N ⋅m 9 ⋅ 10 2 C
2
=
13 6.25 ⋅10 .
Vježba 021 Dvije kuglice nabijene jednakim pozitivnim nabojem na udaljenosti 3 m u vakuumu međusobno se odbijaju silom od 0.4 N. Za koliko se broj protona razlikuje od broja elektrona u svakoj od nabijenih kuglica? (k = 9 · 109 Nm2 / C2, e = 1.6 · 10-19 C) Rezultat:
14 1.25 ⋅10 .
Zadatak 022 (Mario, elektrotehnička škola) Kuglica mase m = 1 g obješena je na tanku nit duljine l. Period titranja ovog njihala je T1 = 0.6 s. Ako se kuglica naelektrizira količinom naboja Q = 327 nC i postavi u homogeno elektri čno polje, koje na kuglicu djeluje okomito silom sa smjerom prema dolje, onda je vrijeme titranja njihala T2 = 0.3 s. Nađi 2 jakost električnog polja. (g = 9.81 m/s ) Rješenje 022 m = 1 g = 0.001 kg, E=?
T1 = 0.6 s,
Q = 327 nC = 3.27 · 10-7 C,
g = 9.81 m/s2
T2 = 0.3 s,
Kada kuglica nije naelektrizirana period njihala je: l
T = 2π ⋅ 1
g
.
Naelektriziranu kuglicu stavimo u homogeno elektri čno polje. Sila kojom polje djeluje na naboj daje kuglici akceleraciju a. Sada period njihala iznosi: T 2
=
l
2π ⋅
g+a
.
Iz omjera perioda njihala dobije se akceleracija a: T 1 T 2
2π ⋅ =
2π ⋅
l g l g+a
l
⇒
0.6 s 0.3 s
=
g l
g+a
⇒ 2=
g
/
2
⇒ 4=
g+a g
/ ⋅ g ⇒ 4 g
=
g + a ⇒ a = 3 g.
g+a
Pomoću drugog Newtonovog pou čka izračunamo jakost električnog polja:
m ⋅ a = Q ⋅ E ⇒ E =
m⋅a Q
=
m ⋅ 3g Q
0.001 kg ⋅ 3 ⋅ 9.81 =
3.27 ⋅10
1
7
−
C
m 2 s
=
90 000
V m
.
Vježba 022 Kuglica mase m = 1 g obješena je na tanku nit duljine l. Period titranja ovog njihala je T1 = 0.6 s. Ako se kuglica naelektrizira količinom naboja Q = 654 nC i postavi u homogeno elektri čno polje, koje na kuglicu djeluje okomito silom sa smjerom prema dolje, onda je vrijeme titranja njihala T2 = 0.3 s. Nađi jakost električnog polja. (g = 9.81 m/s 2) Rezultat:
45 000
V m
.
Zadatak 023 (Kristina – Kiki, medicinska škola) Dva točkasta naboja udaljena 3 m, međusobno djeluju silom 24 N. Kolikom će silom djelovati kada se budu nalazili na udaljenosti 4 m? Rješenje 023 r1 = 3 m,
F1 = 24 N,
r2 = 4 m,
F2 = ?
Električna sila kojom uzajamno djeluju dva to čkasta naboja upravno je razmjerna s umnoškom naboja Q 1 i Q2, a obrnuto razmjerna s kvadratom njihove me đusobne udaljenosti r: F
=
Q ⋅Q k ⋅ 1 2 . r 2
Budući da naboji ostaju isti, vrijedi: Q ⋅Q F = k ⋅ 1 2 1 2 r 1 Q ⋅Q F = k ⋅ 1 2 2 2 r 2
F podijelimo jednakosti, 2 ⇒ ⇒ F postavimo omjer 1 r ⇒ F2 = 1 r 2
2
=
Q ⋅Q k ⋅ 1 2 2 r F 2 ⇒ 2 Q ⋅Q F 1 k ⋅ 1 2 2 r 1
3m ⋅F ⇒ F = 1 2 4 m
2 r 1 / ⋅ F ⇒ F = 1 2 2 r 2
2 r 1 = ⋅ F ⇒ 2 1 r 2
2 ⋅
24 N
=
13.5 N .
Vježba 023 Dva točkasta naboja udaljena 3 m međusobno djeluju silom 24 N. Kolikom će silom djelovati kada se budu nalazili na udaljenosti 5 m? Rezultat:
8.64 N.
Zadatak 024 (Kristina – Kiki, medicinska škola) S praznim kondenzatorom kapaciteta 5 µF spojimo u paralelu kondenzator kapaciteta 4 prethodno nabijen na napon 450 V. Koliki će biti napon na paralelnom spoju kondenzatora? Rješenje 024 C1 = 5 µF,
C2 = 4 µF,
U = 450 V,
µF,
U1 = ?
Energija nabijenog kondenzatora jednaka je: W
=
1 2
⋅
2 C ⋅ U .
Spojimo li dva kondenzatora u paralelu, ukupan će kapacitet biti C = C1 + C2. Budući da je drugi kondenzator nabijen na napon U, njegova energija iznosi: W
=
1
C ⋅ U 2 . 2 2 ⋅
Zbog sačuvanja energije napon U1 na paralelnom spoju kondenzatora bit će:
1 2 2 2 ⇒ ⋅ ( C1 + C2 ) ⋅U1 1 2 2 W = ⋅ ( C + C ) ⋅ U 1 2 1 2 W
=
1
⋅
C
⋅
2 U
=
1 2
⋅
C
2
2
2 U / ⋅
⋅
2 C + C 1 2
⇒ U12
=
C 2 ⋅U 2 / C + C 1 2
⇒
⇒U
1
C
2 ⋅U 2 ⇒ U = U 1 C +C 1 2
=
C 2 C +C 1 2
⋅
=
450 V
4 µ F
⋅
5 µ F
+
4 µ F
=
300 V .
Vježba 024 S praznim kondenzatorom kapaciteta 5 µF spojimo u paralelu kondenzator kapaciteta 4 prethodno nabijen na napon 300 V. Koliki će biti napon na paralelnom spoju kondenzatora? Rezultat:
µF,
200 V.
Zadatak 025 (Kristina – Kiki, medicinska škola) Koliki je ukupni naboj svih elektrona u litri vode? (M = 0.018 kg/mol, N A = 6.023 e = – 1.6 · 10-19 C) Rješenje 025 V = 1 l => m = 1 kg, Q=?
NA = 6.023 · 1023 mol-1,
M = 0.018 kg/mol,
· 1023 mol-1,
e = – 1.6 · 10 -19 C,
Budući da litra vode ima približno masu 1 kg, možemo izra čunati broj molova u masi 1 kg: n=
m M
1 kg
=
0.018
=
kg
55.56 mol .
mol
U jednom se molu nalazi uvijek isti broj čestica (Avogadrov broj !) pa je njihov ukupan broj jednak: b = n⋅N A
=
55.56 mol ⋅ 6.023 ⋅10 23
1 mol
=
3.35 ⋅10 25.
Te su čestice molekule vode H2O koje sadrže 2 atoma vodika i 1 atom kisika. Vodik ima 1 elektron, a kisik 8 elektrona. Jedna molekula vode, dakle, sadrži 10 elektrona. Broj svih elektrona iznosi B = 10 · b pa je ukupan naboj: Q = B ⋅ e = 10 ⋅ b ⋅ e = 10 ⋅ 3.35 ⋅10 25 ⋅
(
19 1.6 ⋅10 − C
−
)
7 5.36 ⋅10 C.
=−
Vježba 025 Koliki je ukupni naboj svih elektrona u 2 litre vode? (M = 0.018 kg/mol, N A = 6.023 e = – 1.6 · 10-19 C) Rezultat:
· 1023 mol-1,
1.07 ⋅108 C .
−
Zadatak 026 (Mira, gimnazija) Pločasti kondenzator, kapaciteta C u zraku, uranja se vertikalno u vodu. Koliki je ukupni kapacitet 1 kada je kondenzatora uronjena u vodu? ( εvode = 81) 4 Rješenje 026 C,
εvode = 81,
Cu = ?
Kada je kondenzator uronjen u vodu dijeli se na dva kondenzatora koji čine paralelnu kombinaciju. 3 3 Izvan vode su kondenzatora pa je kapacitet tog dijela jednak: C = ⋅ C . 1 4 C1 4 C 1 1 C2 U vodi je kondenzatora i kapacitet tog dijela iznosi: C = 81 ⋅ ⋅ C . 2 4 4 Ukupni kapacitet je: Cu
=
C +C 1 2
==
3 4
⋅
C
+
81 ⋅
1 4
⋅
C
=
3 4
⋅
C
+
81 4
⋅
C
=
84 4
C
⋅
=
21 ⋅C .
Vježba 026 Pločasti kondenzator, kapaciteta C u zraku, uranja se vertikalno u vodu. Koliki je ukupni kapacitet 1 kada je kondenzatora uronjena u vodu? ( ε = 81) 2 Rezultat:
41 · C. 3
Zadatak 027 (Max, gimnazija) Oblak, ploštine površine prema Zemlji S = 0.5 km 2 nalazi se na visini h = 1 km. Pretpostavimo da je donja strana oblaka ravna i usporedna sa Zemljinom površinom. Koliki je napon između oblaka i Zemlje? Naboj oblaka je Q = 50 C. (ε0 = 8.854 · 10-12 C2N-1m-2) Rješenje 027 S = 0.5 km2 = 5 · 105 m2, h = 1 km = 1000 m, Q = 50 C, ε0 = 8.854 · 10-12 C2N-1m-2, U=? Budući da je donja strana oblaka ravna i usporedna sa Zemljinom površinom, možemo to Q shvatiti kao sustav dviju paralelnih plo ča pa je napon između oblaka i Zemlje: U = E · h.
h
Kako odrediti jakost električnog polja E? Donja strana oblaka je ravna plo ča. Jakost električnog polja ravne ploče je E =
σ
2 ⋅ ε 0
,
gdje je σ plošna gustoća naboja: Q σ =
Q S
⇒ E =
S
2⋅ε
⇒ E = 0
Q
.
2 ⋅ S ⋅ ε 0
Računamo napon:
Q ⇒U E = 2 ⋅ S ⋅ ε 0 U
=
E ⋅h
=
Q
2 ⋅ S ⋅ε
h ⇒U
⋅
Q⋅h
=
2 ⋅ S ⋅ ε 0
0
50 C ⋅ 1000 m
=
=
2 C
5 2 12 2 ⋅ 5 ⋅ 10 m ⋅ 8.854 ⋅10−
N ⋅ m
5.65 ⋅109 V .
2
Vježba 027 Oblak, ploštine površine prema Zemlji S = 0.5 km 2 nalazi se na visini h = 2 km. Pretpostavimo da je donja strana oblaka ravna i usporedna sa Zemljinom površinom. Koliki je napon između oblaka i Zemlje? Naboj oblaka je Q = 50 C. (ε0 = 8.854 · 10-12 C2N-1m-2) 10 1.13 ⋅ 10 V .
Rezultat:
Zadatak 028 (Mira, gimnazija) Kuglica mase 0.3 g i naboja postaviti točkasti naboj od
−
17 ⋅ 10
−
6
10−8 C visi na tankoj niti. Na kojoj udaljenosti ispod nje treba
−
9 2 2 C da bi napetost niti postala dva puta manja? (k = 9 · 10 Nm / C ,
2
g = 9.81 m/s )
Rješenje 028 m = 0.3 g = 0.0003 kg, g = 9.81 m/s2,
Q = −10 1
8 C,
−
Q 2
17 ⋅10
= −
−
6
9
2
2
k = 9 · 10 Nm / C ,
C,
r=?
Na kuglicu koja visi na tankoj niti djeluje sila teža G vertikalno prema dolje i odbojna Coulombova sila. Da bi napetost niti postala dva puta manja, elektri čna sila mora biti jednaka polovici sile teže G: F
=
Q ⋅Q G ⇒ k⋅ 1 2 2 2 r
1
⋅
⇒ r=
=
1 2
⋅
m ⋅ g / ⋅ 2 ⋅ r
2⋅ k ⋅Q ⋅Q 1 2 m⋅ g
=
2 ⇒ 2 ⋅ k ⋅Q ⋅Q 1 2
2 9 N⋅m 2 ⋅ 9 ⋅ 10 2 C
(
=
m ⋅ g ⋅r
8 10− C
⋅ −
) (
17 ⋅10
⋅ −
m 0.0003 kg ⋅ 9.81 2 s
4
2 ⇒ r 2 = 2 ⋅ k ⋅ Q1 ⋅ Q2 / m⋅ g −
6
)
C
=
1.02 m.
⇒
Vježba 028 8 10− C visi na tankoj niti. Na kojoj udaljenosti ispod nje treba
Kuglica mase 1.2 g i naboja postaviti točkasti naboj od
6
−
17 ⋅ 10
−
−
C da bi napetost niti postala dva puta manja? (k = 9 · 10 Nm / C , 9
2
2
2
g = 9.81 m/s )
Rezultat:
0.51 m.
Zadatak 029 (Ana, medicinska škola) Tri jednaka kondenzatora prvo spojimo usporedno, a zatim serijski. Koliko je puta kapacitet usporedne kombinacije veći od kapaciteta serijske kombinacije? Rješenje 029 C1 = C2 = C3 = C,
Cu : Cs = ?
Usporedni spoj: Cu
=
C +C 1 2
+
C ⇒ Cu 3
=
3 ⋅ C.
Serijski spoj: 1
=
Cs
1 C 1
+
1 C 2
+
1
⇒
C 3
1 Cs
=
3
⇒ C s
C
=
C
3
.
Računamo omjer Cu i Cs: Cu Cs
=
C 3 ⋅ C ⇒ u C C s 3
=
9 1
⇒ Cu
=
9 ⋅ C s .
Vježba 029 Dva jednaka kondenzatora prvo spojimo usporedno, a zatim serijski. Koliko je puta kapacitet usporedne kombinacije ve ći od kapaciteta serijske kombinacije? Rezultat:
4 puta.
Zadatak 030 (Mira, gimnazija) Osam kapljica vode, od kojih svaka ima polumjer 1 mm i naboj 10 -10 C, slije se u jednu veću kap. 9 2 2 Koliki je potencijal nastale kapi? (k = 9 · 10 Nm / C ) Rješenje 030 n = 8,
k = 9 · 109 Nm2 / C2,
q = 10-10 C,
r = 1 mm = 0.001 m,
φ = ?
Kapljice imaju oblik kugle. Kada se njih osam slije u jednu veću kapljicu dobit će se kugla polumjera R: 4 3
R
⋅
3 ⋅π
=
8⋅
4 3
⋅
r
3 ⋅ π
⇒
4 3
⋅
R
3 ⋅π
=
8⋅
4 3
⋅
r
3 ⋅ π / ⋅ 3 ⇒ R3 4 ⋅ π
=
3 8 ⋅ r 3 /
⇒R
=
2 ⋅ r .
Naboj novonastale kapljice iznosi: Q = n⋅q
⇒ Q = 8 ⋅ q.
n =8
Potencijal nastale kapi je: ϕ
=
k⋅
Q R
⇒
ϕ
=
k⋅
8⋅q 2⋅r
⇒
ϕ =
4⋅k ⋅
q r
=
N ⋅m 4 ⋅ 9 ⋅109 2 C
2 ⋅
10 10− C 0.001 m
=
3600 V
=
3.6 kV .
Vježba 030 Osam kapljica vode, od kojih svaka ima polumjer 1 mm i naboj 2 · 10-10 C, slije se u jednu ve ću kap. Koliki je potencijal nastale kapi? (k = 9 · 109 Nm2 / C2) Rezultat:
7.2 kV.
Zadatak 031 (Kety, kemijska škola) Koliki naboj treba dati kugli mase 1 g da lebdi ispod kugle s nabojem 0.07 (k = 9 · 109 Nm2 / C2, g = 9.81 m/s2)
5
µC na udaljenosti 5 cm?
Rješenje 031 m = 1 g = 0.001 kg, Q = 0.07 µC = 7 · 10-8 C, g = 9.81 m/s2, Q1 = ?
k = 9 · 109 Nm2 / C2,
r = 5 cm = 0.05 m,
Da bi kugla lebdjela, električna sila mora biti jednaka sili teži i suprotnog predznaka:
Fe
=
Fg ⇒ k ⋅
Q⋅Q 1 2 r
=
m ⋅ g / ⋅
r2 k ⋅ Q
⇒ Q1 =
m ⋅ g ⋅ r 2 k ⋅Q
m 2 ⋅ ( 0.05 m ) 2 s 2 N ⋅ m 9 −8 9 ⋅ 10 ⋅ 7 ⋅10 C 2 C
0.001 kg ⋅ 9.81 =
Vježba 031 Koliki naboj treba dati kugli mase 10 g da lebdi ispod kugle s nabojem 0.7 (k = 9 · 109 Nm2 / C2, g = 9.81 m/s2)
=
8 3.89 ⋅10− C .
µC na udaljenosti 5 cm?
8 3.89 ⋅ 10− C .
Rezultat:
Zadatak 032 (Mira, gimnazija) Na vrhovima jednakostraničnog trokuta sa stranicom 0.5 m nalaze se tri jednaka naboja od 0.1 mC. Četvrti naboj od 1 µC nalazi se u središtu jedne stranice trokuta. Kolika je elektrostatska sila na taj naboj? (k = 9 · 109 Nm2 / C2) Rješenje 032 a = 0.5 m, F=?
Q1 = Q2 = Q3 = 0.1 mC = 10 -4 C,
k = 9 · 109 Nm2 / C2,
Sile kojima naboji Q2 i Q3 djeluju na naboj Q4 međusobno su jednakih iznosa, a suprotnih smjerova, pa je njihova rezultanta jednaka nuli. Računamo samo silu između naboja Q1 i Q4:
Q3
Q4
F
r
Q1
Q4 = 1 µC = 10 -6 C,
a
=
Q ⋅Q a⋅ 3 k ⋅ 1 4 ⇒ r = ⇒ F 2 2 r
Q2
Q ⋅Q ⇒ F =k⋅ 1 4 ⇒ F 3 ⋅ a2
=
Q ⋅Q 1 4 ⋅k ⋅ 2 3 a
4
=
4
9 N ⋅ m ⋅ 9 ⋅10 2 3 C
=
k⋅
Q ⋅Q 1 4
a⋅ 3 2
2
⇒
−6 2 10− 4 C ⋅ 10 C ⋅ = 4.8 N . 2 0.5 m ( )
4
Vježba 032 Na vrhovima jednakostraničnog trokuta sa stranicom 0.5 m nalaze se tri jednaka naboja od 0.1 mC. Četvrti naboj od 10 µC nalazi se u središtu jedne stranice trokuta. Kolika je elektrostatska sila na taj naboj? (k = 9 · 109 Nm2 / C2) Rezultat:
48 N.
Zadatak 033 (Vladimir, gimnazija) -31 Pločasti kondenzator nabijen je na 1000 V. Razmak plo ča je 1 cm, masa elektrona je 9.1 · 10 kg, -19 naboj elektrona je 1.6 · 10 C. Koliko je vrijeme potrebno da elektron prijeđe put od negativne do pozitivne ploče, ako mu je početna brzina nula? Rješenje 033 U = 1000 V,
d = 1 cm = 0.01 m,
m = 9.1 · 10
-31
kg,
-19
e = 1.6 · 10
C a = 0.5 m,
t=?
Ako se u homogenom elektri čnom polju jakosti E (polje plo častog kondenzatora čije su ploče međusobno udaljene d, a U je napon izme đu ploča) nalazi naboj e, silu kojom polje djeluje na naboj možemo izra čunati iz izraza: drugi U U ⇒ ⇒ m ⋅a = e ⋅ . F =e⋅E ⇒ F =e⋅ d d Newtonov poučak Budući da je riječ o jednoliko ubrzanom gibanju, put d koji elektron prijeđe od negativne do pozitivne plo če iznosi:
6
d
1
=
2
Iz sustava jednadžbi izračunamo vrijeme t: m⋅a = e⋅
U
/ ⋅ d d
m ⋅ a ⋅d
⇒ 1 2 2⋅d d = ⋅ a ⋅ t / ⋅ 2 2 ⇒
t2
=
2⋅m⋅d2 e ⋅U
2 a ⋅ t .
e ⋅ U 2 m ⋅ d ⇒ ⋅t ⇒ m ⋅ d 2 a ⋅ t = 2 ⋅ d
e ⋅U
2 = a ⋅ t
⇒ t=
/
=
⋅
a=
=
2 ⋅ 9.1 ⋅ 10−31 kg ⋅ ( 0.01 m ) 1.6 ⋅ 10−19 C ⋅1000 V
2⋅m ⋅d2 e ⋅U
e ⋅ U
=
2 ⋅ d / ⋅
2 =
m ⋅ d e ⋅ U
⇒
1.07 ⋅10−9 s.
Vježba 033 Pločasti kondenzator nabijen je na 2000 V. Razmak plo ča je 1 cm, masa elektrona je 9.1 · 10 -31 kg, naboj elektrona je 1.6 · 10-19 C. Koliko je vrijeme potrebno da elektron prijeđe put od negativne do pozitivne ploče, ako mu je početna brzina nula? Rezultat:
2.38 ⋅ 10−10 s.
Zadatak 034 (Anchy, gimnazija) 3 Koliki je potencijal metalne lopte obujma V = 33.5 dm koja ima Q = 0.1 µC naboja. (Lopta se nalazi u zraku, k = 9 · 109 Nm2 /C2.) Rješenje 034 V = 33.5 dm 3 = 3.35 · 10-2 m3,
Q = 0.1 µC = 10-7 C,
k = 9 · 109 Nm2 /C2,
φ = ?
Iz formule za obujam kugle dobije se njezin polumjer r: V
=
4 3
⋅
r 3 ⋅ π ⇒ r 3
=
3 ⋅V 4 ⋅π
3 /
3 ⋅ V
⇒ r =3
4 ⋅ π
.
Potencijal točaka na površini nabijene kugle polumjera r jednak je: 2 4 ⋅π 4 ⋅ π N ⋅m 9 −7 3 ⇒ ϕ =k⋅ ⇒ ϕ = k ⋅ Q ⋅ = 9 ⋅10 ⋅10 = 4500.5 V . ϕ =k⋅ C ⋅3 2 3 ⋅ V r 3 ⋅ 3.35 ⋅ 10−2 m3 C 3 3 ⋅ V 4 ⋅ π Vježba 034 Koliki je potencijal metalne lopte obujma V = 33.5 dm 3 koja ima Q = 0.2 µC naboja. (Lopta se nalazi u zraku, k = 9 · 109 Nm2 /C2.) Q
Rezultat:
Q
9000.9 V.
Zadatak 035 (Anamarija, gimnazija) Dva točkasta naboja nalaze se u zraku me đusobno udaljeni 20 cm. Na koju međusobnu udaljenost treba smjestiti te naboje u ulju, relativne permitivnosti εr = 5, da bismo postigli jednaku uzajamnu silu djelovanja? Rješenje 035 r = 20 cm = 0.20 m,
εr = 5,
x=?
Ponovimo! Uzajamna sila djelovanja (Coulombova sila) izme đu dva naboja Q1 i Q2 na udaljenosti r iznosi: Q ⋅Q 1 1 2 • u zraku: F = ⋅ 2 4 ⋅ π ⋅ ε r 0 Q ⋅Q 1 1 2. • ⋅ u sredstvu relativne permitivnosti ε r : F = 2 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ε r r 0 Da bismo postigli jednaku uzajamnu silu djelovanja u zraku i ulju, moramo izračunati x, udaljenost dva točkasta naboja u ulju:
7
F zrak
=
⇒ ε r ⋅ x 2
1 F ⇒ ulje 4 ⋅π ⋅ε
=
r
2
⇒ x2
=
r
Q ⋅Q 1 2 2 r 0 ⋅
2
=
4 ⋅ π ⋅ ε Q ⋅Q 0 ⇒ 1 1 2 / ⋅ 2 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ε r x 2 Q ⋅Q r 0 1 2 1
r
⇒ x=
/
εr
2
⋅
r
⇒ x=
ε r
=
0.20 m 5
ε r
=
1
=
0.089 m
ε r ⋅ x
=
2
⇒
8.9 ⋅ 10−2 m .
Vježba 035 Dva točkasta naboja nalaze se u zraku me đusobno udaljeni 40 cm. Na koju međusobnu udaljenost treba smjestiti te naboje u ulju, relativne permitivnosti εr = 5, da bismo postigli jednaku uzajamnu silu djelovanja? Rezultat: 1.79 ⋅ 10−1 m. Zadatak 036 (Anamarija, gimnazija) Dvije jednake kuglice, svaka mase 1.5 g, vise u zraku na izoliranim nitima jednakih duljina obješenima u jednoj točki. Kuglice nabijemo negativno jednakim koli činama naboja i one se razmaknu na udaljenost 10 cm, dok je kut što ga zatvaraju niti 36°. Koliki je naboj primila svaka kuglica? (k = 9 · 109 Nm2 /C2, g = 9.81 m/s2) Rješenje 036 m1 = m2 = m = 1.5 g = 0.0015 kg, g = 9.81 m/s2, Q1 = Q2 = Q = ?
2
Q
Q
r G
2
2
k = 9 · 10 Nm /C ,
Iz slike vidimo da na svaku kuglicu djeluju Coulombova sila 2 Q F = k ⋅ C 2 r i sila F (vodoravna komponenta sile teže G)
α
F
9
α = 36°,
r = 10 cm = 0.10 m,
FC
α
tg
2
α
2
=
F G
⇒ F
=
G ⋅ tg
α
2
⇒ F
=
m ⋅ g ⋅ tg
α
2
.
Budući da su kuglice razmaknute i miruju, sila FC po iznosu mora biti jednaka sili F:
2 Q
F = F ⇒ k ⋅ C r 2
=
⇒ Q=r⋅
m ⋅ g ⋅ tg
α
m ⋅ g ⋅t g k
2
/ ⋅
2 r k
⇒ Q2
α
2
r =
2 m g tg α ⋅ ⋅ ⋅ 2 / k
0.0015 kg ⋅ 9.81 =
0.10 m ⋅ 9 9 ⋅ 10
⇒ Q=
m 0 ⋅ tg 18 2 s
N ⋅ m 2
=
r
2 m g tg α ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⇒ k
7.3 ⋅10−8 C.
C 2
Vježba 036 Dvije jednake kuglice, svaka mase 1.5 g, vise u zraku na izoliranim nitima jednakih duljina obješenima u jednoj točki. Kuglice nabijemo negativno jednakim koli činama naboja i one se razmaknu na udaljenost 20 cm, dok je kut što ga zatvaraju niti 36°. Koliki je naboj primila svaka kuglica? (k = 9 · 109 Nm2 /C2, g = 9.81 m/s2) 1.46 ⋅ 10 −7 C . Rezultat: Zadatak 037 (Anamarija, gimnazija) Dva naboja Q1 = 1.5 · 10-8 C i Q2 = 3 · 10-7 C nalaze se u zraku i udaljeni su međusobno za r = 60 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini između njih? (k = 9 · 109 Nm2 /C2) Rješenje 037 Q1 = 1.5 · 10-8 C,
Q2 = 3 · 10-7 C,
r = 60 cm = 0.60 m,
k = 9 · 109 Nm2 /C2,
E=?
Ako je izvor električnog polja točkasta množina naboja Q smještena u praznini, onda je jakost električnog polja u nekoj točki polja na udaljenosti r od naboja dana (prema Coulombovu zakonu) izrazom
8
E
E2
E
Q1
=
k ⋅
Q . 2 r
E1
P
r
r
2
2
Q2
Računamo jakost električnog polja točkastog naboja Q1 u točki P: E = k ⋅ 1
Q 1
r 2
2 −8 N ⋅ m 4 ⋅1.5 ⋅10 C 9 = 9 ⋅10 ⋅ 2 C 2 ( 0.60 m )
Q 4 ⋅Q 1 ⇒ E = k ⋅ 1 ⇒ E = k ⋅ 1 1 2 2 2 r r
=
N 1.5 ⋅103 . C
4
Računamo jakost električnog polja točkastog naboja Q2 u točki P: E 2
=
k⋅
Q 2 ⇒ E 2 2 r
=
k
⋅
2
Q 2 ⇒ E 2 2 r
=
k ⋅
4⋅Q 2 2 r
=
9 N ⋅ m 9 ⋅10 2 C
2 4 3 10−7 ⋅ ⋅ C ⋅ 2 ( 0.60 m )
=
3 ⋅10
4 N . C
4
Jakost električnog polja u sredini iznosi: E
=
E
2
−
E 1
=
3 ⋅10
4 N C
−
3 N 1.5 ⋅10 C
=
2.85 ⋅10
4 N u smjeru prema naboju Q . 1 C
Vježba 037 Dva naboja Q1 = 1.5 · 10 -8 C i Q2 = 1.5 · 10 -8 C nalaze se u zraku i udaljeni su me đusobno za r = 60 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini između njih? (k = 9 · 109 Nm2 /C2) Rezultat:
0.
Zadatak 038 (Anamarija, gimnazija) Koju bi brzinu postigla kuglica mase 5 g i naboja 5 µC kad bi se gibala s mjesta potencijala φ1 = 30000 V na mjesto potencijala φ2 = 3000 V? Po četna brzina kuglice je nula. Rješenje 038 m = 5 g = 0.005 kg,
Q = 5 µC = 5 · 10-6 C,
φ1 = 30000 V,
φ2 = 3000 V,
v=?
Kuglica naboja Q u prolazu poljem obavlja rad protiv sile polja. Taj rad jednak je promjeni kineti čke energije kuglice. Budući da je po četna brzina kuglice jednaka nuli, slijedi: 1 2
⋅
m ⋅v
2
=
2 Q ⋅ ϕ − ϕ / ⋅ ⇒ v2 1 2 m
(
)
=
2 ⋅ 5 ⋅10
−
6
=
(
)
2 ⋅Q ⋅ ϕ −ϕ 1 2 / m
C ⋅ ( 30000 V
0.005 kg
−
3000 V )
(
2 ⋅ Q ⋅ ϕ −ϕ 1 2 m
⇒ v=
=
7.3
m s
)
=
.
Vježba 038 Koju bi brzinu postigla kuglica mase 5 g i naboja 20 µC kad bi se gibala s mjesta potencijala φ1 = 30000 V na mjesto potencijala φ2 = 3000 V? Po četna brzina kuglice je nula. m Rezultat: 14.7 . s Zadatak 039 (Anamarija, gimnazija) Na staklenu ploču debljine 1 mm nalijepljena su s obje strane dva kvadrata od staniola površine 2 50 cm . Koju množinu naboja treba prenijeti na taj kondenzator da bi imao napon 1000 V? Relativna je permitivnost stakla 8. ( ε0 = 8.854 · 10-12 C2 /Nm2) Rješenje 039 d = 1 mm = 0.001 m, S = 50 cm2 = 5 · 10-3 m2, ε0 = 8.854 · 10-12 C2 /Nm2, Q=? 9
U = 1000 V,
εr = 8,
Kapacitet pločastog kondenzatora upravno je razmjeran površini S jedne plo če, a obrnuto razmjeran udaljenosti d između ploča: Q ε 0 ⋅ ε r ⋅ S , C = = U d gdje je U napon između ploča. Množina naboja koji treba prenijeti na taj kondenzator iznosi:
U Q ⇒ ε ⋅ ε r ⋅ S U C = 0 d Q
C =
C 2
8.854 ⋅10 12 −
=
1000 V
ε =
0
r ⋅S
d
⋅
2 N ⋅ m 0.001 m
⋅
⋅ε
ε
/ ⋅U ⇒ Q = U ⋅ 0
⋅ε
r ⋅ S
d
=
8 ⋅ 5 ⋅10 −3 m2 =
354.16 ⋅10 −9 C = 354 nC.
Vježba 039 Na staklenu ploču debljine 1 mm nalijepljena su s obje strane dva kvadrata od staniola površine 2 50 cm . Koju množinu naboja treba prenijeti na taj kondenzator da bi imao napon 2000 V? Relativna je permitivnost stakla 8. (ε0 = 8.854 · 10-12 C2 /Nm2) Rezultat:
708 nC.
Zadatak 040 (Anamarija, gimnazija) Pločasti kondenzator napravljen je od kružnih metalnih ploča međusobno udaljenih 0.1 cm. Izme đu ploča je izolator (εr = 2.2). Kolika je gustoća energije električnog polja unutar kondenzatora, ako je napon između ploča 1000 V? (ε0 = 8.854 · 10-12 C2 /Nm2) Rješenje 040 d = 0.1 cm = 0.001 m,
εr = 2.2,
U = 1000 V,
w=?
1.inačica Iz formule za gustoću energije dobije se: 1
2 1 ⋅ C ⋅ U 2 potencijalna energija = ⋅ C ⋅U E E 1 C ⋅ U 2 2 ⇒ ⇒ w= ⇒ w= ⋅ ⇒ w= 2 V S ⋅d 2 S ⋅d volumen kondenzatora V = S ⋅ d ε
1 0 S ⇒ C = ε ⋅ ε r ⋅ kapacitet kondenzatora ⇒ w = ⋅ 0 2 d
⇒ w=
U ⋅ ε ⋅ ε r ⋅ 2 0 d
1
2 =
1 2
⋅
8.854 ⋅10
12
−
⋅ ε
r ⋅
S
d S ⋅ d
⋅
U 2
⇒ w=
C2
1000 V ⋅ 2.2 ⋅ 0.001 m N ⋅ m 2
2 1 ε 0 ⋅ ε r ⋅ U ⋅ ⇒ 2 d 2
2 =
9.74
J . m3
2.inačica Primjenom izraza za gustoću energije slijedi: w=
1 2
⋅ε
0
⋅ εr
2 ⇒ E ⋅E
=
1 2
=
2
1 U jakost električnog polja ⇒ w = ⋅ ε ⋅ ε r ⋅ 0 2 d d
U
12 ⋅ 8.854 ⋅10 −
C2
1000 V ⋅ 2.2 ⋅ 2 0.001 m N ⋅ m
2 =
9.74
=
J . 3 m
Vježba 040 Pločasti kondenzator napravljen je od kružnih metalnih ploča međusobno udaljenih 0.1 cm. Izme đu ploča je izolator (εr = 2). Kolika je gustoća energije električnog polja unutar kondenzatora, ako je napon između ploča 1000 V? (ε0 = 8.854 · 10-12 C2 /Nm2) Rezultat:
3
8.85 J/m . 10
