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Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias Económicas

COLECCIÓN: EL NÚMERO DE ORO DIRECTOR : Act. Alberto Landro

Álgebra para estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof

Análisis Matemático I para estudiantes estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof

Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof

Los matemáticos que hicieron la historia h istoria Alejandro E. García Venturini

Análisis de Series de Tiempo, univariadas y multivariadas Heriberto Urbisaia – Juana Brufman

Decisión Estadística Bayesiana, a modo de introducción Emma Fernández Loureiro de Pérez

Estadística no Paramétrica, a modo de introducción Emma Fernández Loureiro de Pérez

Teoría de los Conjuntos Borrosos, a modo de introducción Emma Fernández Loureiro de Pérez

Estadística: Herramientas de Inferencia Gabriela Kurincic

Estadística: Probabilidades y Distribuciones Gabriela Kurincic

Los Métodos Cuantitativos en las Ciencias Sociales Alejandro E. García Venturini – Federico Castelli Castelli

Aplicaciones del Análisis Matemático a la Economía Economía Blanca R. Vitale

Modelos para el Análisis de Series de Tiempo Juan Carlos Abril

Análisis Matemático I para estudiantes de Ingeniería Alejandro E. García Venturini – Mónica Scardigli

Cálculo Financiero Juan R. Garnica Hervás - Esteban O. O. Thomasz - Romina P. Garófalo

Elementos de Econometría de los fenómenos dinámicos Alberto H. Landro – Mirta L. González

Acerca de la probabilidad Alberto H. Landro

Alejandro E. García Venturini - Axel Kicillof

Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias Económicas

Ediciones Cooperativas es un emprendimiento cooperativo de docentes de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires para difundir sus trabajos e investigaciones Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de cubierta puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infracción está penada por las leyes 11723 y 25446.

García Venturini, Alejandro Ezequiel Análisis Matemático I: para estudiantes de ciencias económicas / García Venturini, Alejandro Ezequiel y Axel Kicillof. – 6ª. ed.1a. reimp. – Buenos Aires: Ediciones Cooperativas, 2012. 580 p.; 21x14 cm. ISBN 987-98315-4-3 1. Análisis Matemático I. Kicillof, Axel. II Título CDD 515

2000, Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof Derechos exclusivos ©

2000, Ediciones Cooperativas Tucumán 3227, (1189) Buenos Aires Argentina  Tel.: 54 11 15 4 198 5667  [email protected] Colección: El número de oro  www.edicionescoop.gov.ar Director : Act. Alberto Landro ©

1º edición, Agosto 2000 6º edición, Marzo 2012

HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723 E d i t o r i a l a s o c i a d a a : IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINA

Introducción El lenguaje matemático. Producto cartesiano - Relaciones binarias: dominio e imagen. Representación gráfica de las relaciones. Relación inversa. Conjuntos de puntos: entornos e intervalos. Puntos exteriores, interiores, fronteras y de acumulación. Conjunto de números reales: cotas, extremos. Conjuntos acotados. Valor absoluto: propiedades, ejemplos. Los polinomios: regla de Ruffini, factoreo, cálculo de raíces racionales: teorema de Gauss, ecuaciones polinómicas y racionales. Las ecuaciones y las identidades. Los conjuntos numéricos. Principales operaciones y sus propiedades. Binomio de Newton. Notación científica.

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Introducción

En esta unidad haremos un repaso de temas que no son específicos de este curso pero cuyos conocimientos son fundamentales para poder abordar los temas del programa de Análisis, como ser los conceptos de producto cartesiano, relación y función. Propiedades de los conjuntos de puntos, entornos, intervalos y valor absoluto. Resolución de ecuaciones e inecuaciones, cálculo de raíces y factoreo de polinomios; propiedades de las operaciones, etc.

EL LENGUAJE MATEMÁTICO En matemática se utiliza un lenguaje propio que ya habrás, en parte, utilizado en la escuela secundaria o en el C.B.C. Repasamos aquí algunos de esos símbolos. 7 es mayor que 5 7>5 2 es menor que 6 2<6 el 5 está entre 2 y 8 2 < 5 < 8 valor absoluto de x  x x es mayor o igual que 3 x  3 x es menor o igual que 6 x  6 1 es un número racional 13  Q 3 es un número natural 3  Û 3 2 es un número real 9 es múltiplo de 3 y implica está incluido en existe al menos 1 no existe

2  Ü-5 no es natural -5 ∉ Û 9 = 3 el 3 divide a 12 3 12 ∧ ∨ o ⇔  si y sólo si para todo G ~ aproximadamente igual } ≅ no pertenece ∉ Ô

# (se lee cardinal y es el número de elementos de un conjunto) Letras griegas más utilizadas

alpha ß betha Ȗ gamma •

į delta minúscula ǻ delta mayúscula Ȝ lambda

rho Q phi π pi •

epsilon mu ∇ nabla • •

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Alejandro E. García Venturini

PRODUCTO CARTESIANO Una operación muy importante que se define entre dos conjuntos es el producto cartesiano que se denomina como A x B. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B. A x B = {( x; y)/ x  A ∧ y  B} Ejemplo: A={1;3;5}

B={2;5}

A x B={(1;2),(1;5),(3;2),(3;5),(5;2),(5;5)}

Nota: Si # 1A= m y # 2B= n



# 3A x B= m x n

R ELACIONES BINARIAS Se denomina relación de A en B (R: A→B) a todo subconjunto del producto cartesiano A x B. El conjunto A se denomina conjunto de partida y el conjunto B con junto de llegada. Del ejemplo anterior se pueden extraer las siguientes relaciones: R 1 = {(1;2), (3;2), (5;2)} R 2 = {(1;5), (3;2), (3;5), (5;2)} R 3 = {(1;2), (1;5)} Se puede demostrar que si # 4 A x B = m x n A→ B. En este caso 26 = 64.



} 2mxn relaciones de

Dominio de una relación Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Ejemplos: Dom R 1={1;3;5}

Dom R 2={1;3;5}

Dom R 3={1}

13

Introducción

Imagen de una relación Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Im R 1={2}

Ejemplos:

Im R 2={2;5}

Im R 3={2;5}

Imagen y preimagen de un elemento Si el par ( x; y)  R, se dice que y es la imagen de x y que x es la preimagen de y. En los ejemplos vistos podemos decir que en R 1 se verifica que el 2 es imagen del 1, del 3 y del 5. Se dice que f (1)= f (3)= f (5) = 2. También se verifica que el 1, el 3 y el 5 son preimágenes del 2.

Representación gráfica de una relación Las relaciones se pueden representar de diversas formas, una de ellas es a través de diagramas de Venn. A cada flecha le corresponde un par ordenado de la relación y viceversa. Los elementos de los cuales parten flechas en A, forman parte del dominio de la relación. Los elementos a los cuales llegan flechas en B son los elementos que pertenecen al conjunto imagen de la relación. B B

R1

R2

R3

14


Representación cartesiana Otra forma de representar una relación es a través de un sistema de ejes cartesianos. A cada par ordenado le corresponde un punto del plano. Sobre el eje x se representa el conjunto A y sobre el eje y el conjunto B. Veamos las representaciones cartesianas correspondiente a las 3 relaciones vistas.

Relación inversa Si R es una relación binaria entre A y B, se llama relación inversa de R y -1 se designa R a la relación entre B y A formada de la siguiente manera: -1

R = {( y; x) / ( x; y)  R} Ejemplos: veamos las relaciones inversas de las 3 relaciones dadas -1

R 1 = {(2;1), (2;3), (2;5)} -1 R 2 = {(5;1), (2;3), (5;3), (2;5)} -1 R 3 = {(2;1), (5;1)}

Grafo de una relación Para definir una relación se necesitan tres partes: un conjunto de partida A, un conjunto de llegada B y algo que establezca como se relacionan los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B. Ese algo se denomina grafo.

Introducción

15

El grafo puede estar dado por los pares ordenados, como vimos en los primeros ejemplos, por un diagrama de Venn, o de otras formas. Por ejemplo por una ecuación.

Relaciones definidas por ecuaciones Si consideramos los conjuntos A y B ya definidos, podemos establecer R 4 de la siguiente forma: R 4={( x; y) / y = x + 2} En esta relación están aquellos pares cuya 2 1 componente sea igual a la 11 + 2. Vemos que el único par que cumple con dicha condición es el (3;5). R 4= {(3;5)}.

Las Funciones Hasta ahora nos hemos referido a las relaciones. Las funciones son un caso particular de relaciones que verifican las siguientes condiciones: a) Todo elemento del conjunto de partida A tiene imagen en B  Dom = A. b) Esa imagen es única De las 4 relaciones definidas anteriormente solamente la 1 1 cumple con las dos condiciones. Si la función está definida por una ecuación suele expresarse de la siguiente forma: f : A→B / y = f ( x). Donde A y B son el conjunto de partida y de llegada respectivamente.

Relaciones entre conjuntos infinitos Vimos hasta ahora ejemplos donde los conjuntos A y B son finitos y por lo tanto las relaciones se pueden expresar por extensión. Si los conjuntos son infinitos no se puede expresar la relación por extensión. Para indicar qué pares están en la relación recurrimos a la representación cartesiana de la misma.


16

Ejemplo: f :

→

/ f ( x) = x + 3

Vemos que los pares ordenados que están en la relación son aquellos en los cuales y sea igual a x + 3. Por ejemplo: (1;4), (2;5), (–3;0), (–1;2), (0;3), .... Si los representamos gráficamente vemos que están alineados sobre la recta y = x+3. En este caso la relación corres ponde a una función, ya que al sumarle 3 a cualquier número real se obtiene como resultado otro número real, que además es único. Funciones escalares o reales de variable real

Se denomina así a las funciones cuyo dominio son los números reales o un subconjunto de ellos y cuyo conjunto imagen también son los números reales. En general se expresan como: f : → / y = f ( x). La representación gráfica de una función escalar de una variable real es una curva en el plano. Este tema se desarrolla en la Unidad 1.

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Recordemos los conjuntos numéricos ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ Naturales ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (ℵ) ⎪ ⎪ ⎪ ℵ ⎪ ⎨ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Enteros ( Z ) ⎨ 0 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Enteros Negativos ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( Z - ) ⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎪ Racionales (Q ) ⎨ Reales ( ℜ ) ⎨ ⎪ Fraccionarios ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ Irracionales ⎩

Introducción

17

Ahora vamos a estudiar en particular algunas características de los números reales.

CONJUNTOS DE NÚMEROS R EALES Intervalos Intervalo real cerrado [a;b]

Es el conjunto de números reales formado por los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a ; b]= { x ∈ ℜ / a

≤ x ≤ b }

Longitud del intervalo: b – a Intervalo real abierto (a;b)

Es el conjunto de números reales formado por los números mayores que a y menores que b. (a ; b )= { x ∈ ℜ / a < x < b } Intervalos semiabiertos o semicerrados

(a ; b ]= { x ∈ ℜ / a < x ≤ b } [a ; b )= { x ∈ ℜ / a ≤ x < b } Ejemplos:

a) + = (0;+ ∞) b) – = (– ∞ ; 0) c) = (– ∞;+∞) d) { x∈ / x ≥ 3} = [3;+ ∞) e) { x∈ / x < 2} = (– ∞;2)

Cota superior k es una cota superior de un conjunto S de números reales sí y sólo k es un número real que no es superado por ningún elemento del conjunto S .


18

k es cota superior de S ⇔ ∀ x∈S : x ≤ k Un conjunto está acotado superiormente sí y sólo si tiene cota superior.

Ejemplo:

–

está acotado superiormente, tiene infinitas cotas superiores (0, 1, 2, etc.).

Extremo superior o supremo

Es la menor de las cotas superiores.

s es supremo ⇔ s es cota superior y ∀ k que es cota superior: s ≤ k Ejemplo: el 0 para

–

Nota: el extremo superior o supremo es único. Máximo: si el extremo superior o supremo pertenece al conjunto S entonces es el máximo del conjunto.

Ejemplo: el 0 no es máximo para

–

A = { x / x ∈ ℜ ∧ 2 < x < 5 } , no tiene máximo, el 5 es supremo pero no máximo B = { x / x ∈ ℜ ∧ 2 < x ≤ 5 } , 5 es máximo Conjunto mayorante

El conjunto mayorante del conjunto S es el conjunto formado por todas las cotas superiores. Conjunto mayorante =

{ x / x ∈ ℜ ∧ x es cota superior de S }

Introducción

19

Cota inferior h es una cota inferior de un conjunto S de números reales sí y sólo h es un número real que no supera a ningún elemento del conjunto S . h es cota inferior de S ⇔ ∀ x∈S : x ≥ h Ejemplo: el 0, –1, –2, etc. para

+

Un conjunto está acotado inferiormente ⇔ tiene cota inferior. Extremo inferior o ínfimo

Es la mayor de las cotas inferiores. s es ínfimo ⇔ s es cota inferior y ∀h que es cota inferior: s ≥ h Ejemplo: el 0 para

+

Nota: el extremo inferior o ínfimo es único. Mínimo: si el extremo inferior o ínfimo pertenece al conjunto S entonces es el mínimo del conjunto.

Ejemplos.: el 0 no es mínimo para

+

A = { x / x ∈ ℜ ∧ 2 < x < 5 } no tiene mínimo B = { x / x ∈ ℜ ∧ 2 ≤ x < 5 } 2 es mínimo Conjunto minorante

El conjunto minorante del conjunto S es el conjunto formado por todas las cotas inferiores. Conjunto minorante =

{ x / x ∈ ℜ ∧ x es cota inferior de S }


20

Conjunto acotado Un conjunto está acotado sí y sólo sí tiene cota superior e inferior. Ejemplo: A = { x /x ∈ ℜ ∧ 2 ≤ x < 7 }

Conjunto mayorante

=

{ x /x ∈ ℜ ∧ x ≥ 7} , 7 es el supremo, no tiene

máximo. Conjunto minorate

=

{ x /x ∈ ℜ ∧ x ≤ 2} , 2 es el ínfimo, y mínimo.

A es un conjunto acotado.

Axioma de continuidad Caracteriza a los números reales. Si un conjunto no vacío de números reales tiene cota superior entonces tiene extremo superior o supremo. No es así en Q donde la cota superior puede no pertenecer al conjunto. Ejemplo: A = { x /x ∈ Q ∧ x 2 < 2 }

2 ∉Q

VALOR ABSOLUTO -MÓDULO Se llama valor absoluto o módulo de un número real al mismo número si es positivo o cero y a su opuesto si es negativo.

⎧ a si a ≥ 0 a =⎨ ⎩− a si a < 0 Ejemplos: | 3 |= 3

| − 4| = 4

| 0 |= 0

Introducción

21

Propiedades

1) ∀a ∈ ℜ : (a ≠ 0 ⇒ | a | > 0) 2) ∀ a ∈ ℜ : a = − a 3) ∀ a ∈ ℜ : a = k ⇔ a = k ∨ a = − k 4) ∀ a ∈ ℜ : − a ≤ a ≤ a 5) ∀ a ∈ ℜ , ∀ b ∈ ℜ : a . b = a . b 6) ∀ a ∈ ℜ , ∀ b ∈ ℜ : a : b = a

:

b

7) ∀ k > 0, ∀ x ∈ ℜ : ( x ≤ k ⇔ − k ≤ x ≤ k ) 8) ∀ k > 0, ∀ x ∈ ℜ : ( x ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ − k ) 9) ∀ a ∈ ℜ , ∀ b ∈ ℜ : | a + b | ≤ | a | + | b |

(desigualdad triangular)

10) ∀ a ∈ ℜ , ∀ b ∈ ℜ : | a − b | ≥ | a | − | b | 11) ∀ a ∈ ℜ , ∀ b ∈ ℜ : | a | − | b | ≤ | a − b | Ejempl os de aplicación de las propiedades

Resolver las siguientes inecuaciones y determinar el conjunto solución a)  ⎜ x – 2 ⎜≤ 3 –3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇒ – 3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2 ⇒ –1 ≤ x ≤ 5 x ∈ [–1;5]. S = [ −1; 5] -1

5

b)  ⎜ x + 1⎜< 5 –5 < x + 1 < 5 ⇒ –5 – 1 < x < 5 –1 ⇒ – 6 < x < 4, x ∈ (− 6;4) S = ( −6; 4 ) -6

4

c) ⎜ x + 3⎜≥ 2 x +3 ≥ 2 ∨ x + 3 ≤ – 2 ⇒ x ≥ – 1 ∨ x ≤ – 5 x ∈ (− ∞;−5] ∪ [− 1;+∞ ) . S = ( −∞; −5] ∪ [ −1; +∞ ) -5

-1


22

d) ⎜ –2 x + 3 ⎜≥ 4 –2 x + 3 ≥ 4

–2 x + 3 ≤ – 4 ⇒ x ≥

∨

1⎤ ⎡7 ⎛ ⎞ x ∈ ⎜ − ∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ 2⎦ ⎣2 ⎝ ⎠ 1 ⎤ ⎡7 ⎛ ⎞ S = ⎜ −∞ ; − ⎥ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ 2⎦ ⎣2 ⎝ ⎠

7

∨

2

1

x ≤ −

∴

2

-1/2

7/2

e) x < 6 < 5 − x x < 6 ⇔ – 6 < x < 6

5 − x > 6

⇔

5 – x > 6

5 – x < – 6 ⇒ x > 11

∨

∨

x < – 1

El conjunto solución está formando por los números reales que verifican todas las condiciones, es decir (–6; –1). S = ( −6; −1)

-6

1

f) 6 −

>3 ⇔

x

6 x − 1 x

i) x > ii) x >

1

3 1 9

⎛ ⎝

6−

1

x

∧ x >

0

∧ x < 0

1⎞

> 3

x

6 x − 1

>3 ∨

x ∈ ⎜ −∞;

-1

< −3

∨

∨

x <

x <

9

⇒

6−

1/9

1

<–3 ⇒

3 x − 1

>

x

1 3

∧ x < 0

0

∨

9 x − 1

⇒

⎛ ⎝

S = ⎜ −∞ ;

1/3

<

x x >

1

1⎞

0 x < 0

1 9

⎛1 ⎞ ; +∞ ⎟ − {0} ⎝3 ⎠

⎟∪⎜

9⎠

∨

3

⇒ 0< x<

∧ x > 0

⎛1 ⎞ ; +∞ ⎟ − {0} . ⎝3 ⎠

⎟∪⎜

9⎠

1

∨

Introducción

23

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTO DE PUNTOS Entorno de un punto Si a es un número real cualquiera y h un número positivo se llama entorno de centr o a y radio h al conjunto de puntos que están a una distancia de a mayor o igual a 0 y menor que h , es decir al intervalo abierto (a – h ; a + h). E (a ; h )= (a − h ; a + h )= { x / a − h < x < a + h }= { x / 0 ≤ | x − a | < h } Entorno r educido

Es el entorno del cual se excluye al centro, es decir al punto a: * E (a; h )= E (a ; h ) − {a}= { x / 0 < | x − a | < h }

Ejemplos E (2;0,05) = (1,95;2,05)

E * (2;0,05) = (1,95;2,05) – {2}

Punto de acumulación Si S es un conjunto de puntos de la recta real, un punto x es de acumulación de S sí y sólo sí a todo entorno reduciS do de centro x pertenece por lo menos un elemento de S . a b c Si S = (a ; b] , a y b son de acumulación, c no lo es. x es un punto de acumulación de S ⇔

*

∀ E

( x ) / E * ( x ) ∩ S ≠ φ

Conjunto derivado

Dado un conjunto de puntos S , el conjunto formado por todos sus puntos de acumulación se denomina conjunto derivado (S ' ) . En un intervalo real cerrado todos los puntos son de acumulación.


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En un intervalo real abierto o semiabierto todos los puntos son de acumulación, aunque los extremos no pertenezcan al conjunto. Si S = [a; b] , S ' = [a ; b] , S = (a; b ) , S ' = [a ; b] , S = [a ; b ) , S ' = [a; b] En el conjunto de los números naturales no hay puntos de acumulación. Ejemplo: A = { x / x ∈ ℜ ∧ 2 − 4 x ≤ 2 ∨ x = 5} − 2 ≤ 2 − 4 x ≤ 2

⇒

− 4 ≤ −4 x ≤ 0 (recordemos que al dividir por un

número negativo cambia el sentido de la desigualdad) Por lo tanto 0 ≤ x ≤ 1 ∨ x = 5 . Resulta así A = [0;1] ∪ {5} y A' = [0;1] Conj un to denso en sí

Un conjunto es denso en sí si todos sus puntos son de acumulación. Por lo tanto debe estar incluido en el conjunto derivado. S ⊆ S ´. Ejemplos:

, un intervalo cerrado o un intervalo abierto son conjuntos densos en sí porque todos sus puntos son de acumulación.

El conjunto A recién mencionado no es denso en sí. Conju nto cer r ado

Un conjunto es cerrado sí y solo sí contiene a todos sus puntos de acumulación. Ejemplo: un intervalo cerrado es un conjunto cerrado porque contiene a todos sus puntos de acumulación en cambio un intervalo abierto no lo es porque los extremos son de acumulación y el conjunto no los contiene.

Introducción

25

Conj un to compacto

Un conjunto es compacto sí y solo sí es cerrado y acotado. Ejemplo: un intervalo cerrado Conj un to per fecto

Un conjunto es perfecto si es cerrado y denso en sí. Es decir si es igual a su conjunto derivado S = S ´. Ejemplo: y un intervalo cerrado son conjuntos perfectos. perfecto porque es denso en sí pero no es cerrado.

no es

Punto aislado

Un punto x que pertenece a un conjunto S es aislado si y sólo sí existe un entorno reducido x en el cual no hay ningún punto del conjunto S . x es aislado

x ∈ S ∧ ∃ E * ( x ) / E * ( x ) ∩ S = φ

Si S = [a; b ) ∪ {c} , c es aislado.

a

b

c

Ejemplo: cada número natural y cada número entero son puntos aislados. Punto interior

Un punto x perteneciente a un conjunto S es interior al conjunto S si y sólo si existe un entorno de x totalmente incluido en S . Designamos al conjunto de puntos interiores como S i . S x es interior

x ∈ S ∧ ∃ E ( x ) / E ( x ) ⊆ S

Si S = [a; b] , c es interior. Ejemplos: a) Todo número real

a

b) en S = [0;2), x = 1

c

b

26


Conju nto abier to

Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores. Ejemplos: y los intervalos abiertos son conjuntos abiertos; no los son los intervalos semiabiertos o los intervalos cerrados. Punto exterior

Un punto x es exterior a un conjunto S si y sólo si existe un entorno de x al cual no pertenece ningún punto de S . Designamos al conjunto de puntos exteriores como S e . S x es exterior a S

∃ E ( x ) / E ( x ) ∩ S = φ

Si S = [a ; b] , c es exterior.

a

b

c

Ejemplo: en S = [0;2), c = 3 Punto frontera

Un punto x es frontera del conjunto S si y sólo no es interior ni exterior al mismo. En todo entorno de x existe algún punto que pertenece a S y alguno que no pertenece a S . El punto frontera puede o no pertenecer al conjunto. Designamos al conjunto de puntos frontera como S f . Si S = [a; b ) , a y b son frontera. S Ejemplo: el 0 es frontera para

+

o

–

a

b

Teorema de Weierstrass

Si un conjunto infinito está acotado entonces dicho conjunto tiene por lo menos un punto de acumulación.

Introducción

27

EJEMPLOS RESUELTOS

Dados los siguientes conjuntos, determinar los puntos de acumulación, aislados, interiores, exteriores y frontera. a) A = (1;7]

Todos los puntos son de acumulación A' = [1;7 ] , aislados no hay, interiores son Ai = (1;7 ) , exteriores son Ae = (− ∞;−1) ∪ (7;+∞ ) y frontera A f = {1;7} .

{

}

b) B = x / x ∈ ℜ ∧ x 2 < 36 . B = (− 6;6 ) Todos los puntos son de acumulación B' = [− 6;6] , aislados no hay, interiores son todos Bi = (− 6;6) , exteriores son Be = (− ∞;−6) ∪ (6;+∞ ) y frontera B f = {− 6;6} . B es un conjunto abierto. c) C = { x / x ∈ ℜ ∧ − 1 ≤ x < 3 ∨ x = 5} Los puntos de acumulación son C ' = [− 1;3] , punto aislado es x = 5, interiores son C i = (− 1;3) , exteriores son C e = (− ∞;−1) ∪ (3;+∞ ) − {5} y frontera C f = {− 1;3;5} . d) D = { x / x ∈ ℜ ∧ 2 x − 4 < 6 ∨ x − 7 = 1} − 6 < 2 x − 4 < 6

x − 7 = 1

⇒

⇒

− 2 < 2 x < 10

⇒

− 1 < x < 5

x − 7 = 1 ∨ x − 7 = −1 ⇒ x = 8 ∨ x = 6

D = (− 1;5) ∪ {6;8} Los puntos de acumulación son D' = [− 1;5] , puntos aislados son x = 6 y x = 8, interiores son Di = (− 1;5) . Exteriores son C e = (− ∞;−1) ∪ (5;+∞ ) − {6;8} y frontera C f = {− 1;5 ,6;8} .


28

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Determinar el conjunto de todos los números reales tales que su cuadrado sea menor que 16. 2) Hallar todos los entornos con centro en el origen que contengan al intervalo (–1;3). 3) Resolver las siguientes desigualdades 1 − x a) b) 0 < x + 1 < 4 ≤0 x + 2

c) x 2 − x − 2 ≥ 0

4) Hallar cotas y extremos de los conjuntos solución del ejercicio 3. 5) Encuentre el conjunto derivado y el conjunto de puntos aislados de: n +1 ⎧ ⎫ a) A = b) A = ⎨ x / x = ∧ n ∈ℵ⎬ 5n + 3 ⎩ ⎭

{

}

c) B = x / x 2 < 4 ∨ x = 7

6) Dado el conjunto A = { x / x ∈ ℜ ∧ x − 3 < 4 ∨ x = 7} , determinar: a) conjunto mayorante, b) conjunto minorante, c) supremo, d) máximo, e) ínfimo, f) mínimo, g) conjunto derivado, h) puntos interiores, i) puntos exteriores, j) puntos frontera. R ESPUESTAS

1) (–4;4)

2) E (0,3 + ε)

3) a) (– ∞;–2) ∪ [1;+∞) b) (–5;–1) ∪ (–1;3)

c) (– ∞;–1] ∪ [2;+∞)

4) 3a) y 3c) no son conjuntos acotados, 3b) conj. may. = [3;+ ∞) y conj. min. = (– ∞;–5], el supremo es 3, el ínfimo es –5. 5) a) A' =

, conjunto aislado = ∅

⎧1 ⎫ b) A' = ⎨ ⎬ , conjunto aislado = A ⎩5 ⎭ c) B' = [− 2;2] , conjunto aislado A = {7}

6) a) [7;+∞), b) (– ∞;–1], c) el supremo es 7, d) el máximo es 7, e) el ínfimo es –1, f) ∃/ mínimo, g) A' = [− 1;7] , h) Ai = (− 1;7 ) , i) Ae = (− ∞;−1) ∪ (7;+∞ ) , j) A f = {1;7} .

Introducción

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POLINOMIOS - FACTOREO - ECUACIONES POLINÓMICAS Se llama polinomio a una expresión algebraica racional entera de la forma: pn ( x) = an.xn + an-1. xn-1+...+a0

con an ≠ 0

El polinomio es de grado n y an es el coeficiente pri ncipal .

Valor numérico Se llama valor numérico de un polinomio al número que se obtiene de darle a la variable x un determinado valor, por ejemplo x = a. pn (a ) = an . a n + an −1 . a n −1 + . . .+ a0

Ejemplo: p ( x) = 3 x3 + 2 x – 1 p (1) = 3.13 + 2.1 – 1 = 4 p (2) = 3.23 + 2.2 – 1= 27

Ceros o raíces de un polinomio Son los valores de x para los cuales el polinomio tiene valor numérico 0. Se los denomina x1, x2, ... , etc. p ( x) = x3 – 2 x + 1 Ejemplo:

x1 = 1 es raíz o cero porque p (1) = 0.

Propiedad Si x1= a es raíz de p ( x) ⇒ p ( x) es divisible por x – a.

División de polinomios - La regla de Ruffini Esta regla sirve para efectuar la división de polinomios cuando el dividendo es de la forma x + a. Para calcular los coeficientes del polinomio cociente y el resto se adopta la siguiente disposición práctica conocida como Regla de Ruf fini , debida al médico y matemático italiano Paolo Ruff in i (1765-1822).


30

Sea la división

D ( x ) | x + a R

C ( x )

, donde D ( x) es el polinomio dividien-

do, C ( x) es el polinomio cociente y R es el resto de la división. Veamos la regla a partir del siguiente ejemplo 2 x 5 − 5 x 4 − 13 x 3 + 14 x + 9 | x − 3 Disposición de los coeficientes a) En la primera fila se escriben los coeficientes del polinomio dividendo ordenado y completo, (si faltase algún coeficiente se completa con 0). En este caso van 2, –5, –13, 0, 14, 9. El 0 va porque falta el término de 2º grado. b) En la segunda fila a la izquierda se escribe (–a). En este caso a = –3, – a = 3. c) En la tercera fila se escriben los coeficientes que se van obteniendo. | 2 − 5 − 13 0 3|

6 2

14

3 − 30 − 90

1 − 10 − 30

9 228

76 | 237

Obtenci ón de los coeficientes Se baja el primer coeficiente del dividendo (que va a ser el primer coeficiente del cociente). En este caso el 2. Se lo multiplica por (– a), es decir por 3. Se obtiene 6. Este resultado se coloca debajo del 2º coeficiente del dividendo, en este caso debajo del –5. Se suman ahora el –5 y el 6. Se obtiene 1. Este número (el 1) es el 2º coeficiente del cociente. Este resultado se vuelve a multiplicar por (– a), es decir por el 3, se obtiene así el 3 que se coloca debajo del siguiente coeficiente del dividendo (el –13). Se vuelve a sumar y así sucesivamente se re pite el procedimiento hasta llegar al último coeficiente, en este caso el 237, que es el resto de la división.

Introducción

31

Los coeficientes del polinomio cociente son los coeficientes que aparecen en la 3º fila, excepto el último que ya dijimos es el resto. El grado del cociente es un grado menor que el del polinomio dividendo, en este caso es de grado 4. El cociente de esta división por lo tanto es: 4 3 2 C( x) = 2 x + x – 10 x – 30 x + 76

Cálculo de los ceros o raíces Para calcular los ceros de un polinomio se iguala el mismo a 0: p ( x) = 0. Para calcular los ceros debemos por lo tanto resolver la ecuación polinómica asociada al polinomio. Todo polinomio de grado n tiene n raíces reales o complejas. Si el polinomio es de grado 1 es de la forma p ( x)= a1 x + a0 con a1 ≠ 0; la ecuación asociada es una ecuación de 11 grado: a1 x + a0= 0 ⇒ a x1= − 0 . a1 Si el polinomio es de grado 2 es de la forma p ( x) = a2 x2 +a1 x + a0 con a2 ≠ 0; la ecuación asociada es a2 x2 +a1 x + a0 = 0, o como más usualmente se la conoce: ax2 + bx + c = 0; es una ecuación de 2º grado que se resuelve aplicando la fórmula resolvente: x =

− b+ _

2 b − 4 ac 2a

, fórmula

del siglo XII debida al matemático hindú BHASKHARA. Si el polinomio es de grado ≥ 3 ya no es tan fácil encontrar las raíces. A veces es posible obtener alguna raíz por tanteo. Vamos a ver el teorema de Gauss que permite analizar cuales pueden ser las posibles raíces racionales del polinomio restringiendo el tanteo.

Cálculo de las raíces racionales (Teorema de GAUSS) Si p (x ) = 0 tiene coeficientes enteros (si tuviera coeficientes racionales es muy simple transformarla en una ecuación que los tenga) y tie p ne raíces racionales, éstas son de la forma . q

32


p son los divisores del término independiente, q son los divisores del coeficiente principal. Este método no indica cuáles son las raíces, sino que indica cuáles son las posibles raíces. En lugar de probar con cualquier número, probamos con los números que surgen del teorema. Ejemplo: x3 – 2 x2 – x + 2 = 0 p → ± 1 , ± 2 Aplicamos el teorema: q → ±1 de donde surge que las posibles raíces son:

p q

= ± 1 ,

±

2.

Las posibles raíces son: –1, 1, –2 y 2. En lugar de probar con cualquier número probamos con estos. p (1) = 1–2–1+ 2 = 0, p (2) = 8 – 8 – 2 + 2 = 0

p (–1) = –1–2+1+2 = 0, p (–2) = –8–8+2+2 ≠ 0,

las raíces son x1=1, x2= –1, x3=2.

Factoreo de un Polinomio Dado un polinomio pn( x) = an.xn + an-1. xn-1 +...+ a0, éste se puede factorear de la siguiente forma: p ) = a n .(x -x 1).(x -x 2).(x -x 3)....(x -x n), n (x donde x1, x2,..., xn son sus ceros o raíces. Todo polinomio de grado n, y por lo tanto toda ecuación polinómica de grado n , puede ser factoreada en n factores lineales, no contando entre ellos la constante an. La descomposición factorial es única y si el grado del polinomio es n , tiene n raíces. Las raíces pueden ser reales o complejas, simples (aparece una sola vez cada una) o múltiples (puede aparecer una raíz más de una vez). Una ecuación polinómica de grado n no puede tener más de n raíces y el número de raíces diferentes es ≤ n.

Introducción

33

Ejemplo a) Factorear p( x) = 2 x2 + 3 x – 2 Por ser un polinomio de 2º grado podemos buscar sus raíces aplicando la fórmula correspondiente: 2 x2 + 3 x – 2 = 0 ⇒ x1= –2, x2 = 12 . p( x) =2.( x+2) ⎛ ⎜⎝ x −

1 ⎞ ⎟ 2 ⎠

b) Factorear p ( x) = 2 x3 – x2 – 2 x+1 Primero buscamos las raíces, podemos aplicar Gauss. p 1 p → ±1, q → ±1, ±2 ⇒ = ± 1 , ± . Probamos: q 2 p (1) = 2 – 1 – 2 + 1= 0, p (1/2)= 14 − 14 − 1 + 1 = 0, ⇒

x1 =1, x2 = –1, x3 =

p (–1) = –2 –1 + 2 + 1 = 0 p(–1/2)= − 14 − 14 + 1 + 1 ≠ 0

1 2

A partir del conocimiento de las raíces, factoreamos: p( x) = 2( x – 1).( x + 1). ⎛ ⎜⎝ x −

1 ⎞ ⎟ 2 ⎠

c) Factorear p( x) = x3 – x2 – 3 x + 3 Primero buscamos las raíces, podemos aplicar Gauss. p p → ±1, ±3; q → ±1, ⇒ = ± 1 , ± 3 . Probamos: q p (1) = 1 – 1 – 3 + 3 = 0, p (3) = 27– 9 – 9 + 3 ≠ 0,

p (–1) = –1 – 1 + 3 + 3 ≠ 0 p (–3) = –27 – 9 + 9 + 3 ≠ 0

por lo tanto la única raíz racional es x1=1. Las otras dos raíces no son racionales. Para calcularlas aplicamos la propiedad de las raíces de los polinomios. Dividimos p( x) por x – 1. Podemos aplicar la regla de Ruffini.


34

|1 − 1 − 3 3 1|

1

0 − 3 ⇒ x3 – x2 –3 x + 3 = ( x –1).( x2 – 3)

|1 0 − 3

0

Las otras dos raíces se obtienen haciendo ( x2 – 3) = 0 ⇒ x2= 3 y x3 = – 3 , p ( x) = ( x – 1).( x – 3 ).( x + 3 ). Conocida una raíz siempre es posible efectuar la división y bajar así el grado del polinomio.

ECUACIONES - IDENTIDADES Ambas son igualdades, las ecuaciones se verifican para ciertos valores de las variables mientras que las identidades se verifican para cualquier valor de la variable. Por eso es que las ecuaciones se resuelven , es decir hay que encontrar los valores de las variables para los cuales se verifica la igualdad. En , es decir se muestra esa igualdad en cambio una identidad se verifica forma más evidente.

Ejemplos x + 5 = 2 es una ecuación , se verifica para x = –3, la solución de la ecuación es x = –3, el conjunto solución es S = {–3}. x2 – 4 x + 3 = 0 es una ecuación de 2º grado que se resuelve aplicando la fórmula resolvente. Aplicando la fórmula obtenemos x1 = 1, x2 = 3. El conjunto solución es S = {1;3} ( x + 1)2 = x2 + 2 x + 1 vemos que es una identidad porque esta expresión es válida ∀ x.

Identidades trigonométricas Son identidades donde aparecen involucradas funciones trigonométricas.

Introducción

35

Ejemplo tg 2 x + 1 = sec2 x Esta igualdad es una identidad porque se verifica ∀ número real x para los que están definidas las funciones. Vamos a verificar la identidad, es decir mostrar la igualdad en forma más evidente. 2

tg x + 1=

sen 2 x cos 2

+ 1=

sen 2 x + cos 2 x cos 2 x

=

1 cos 2 x

= sec 2 x

Otras identidades trigonométricas se desarrollan en el capítulo de funciones.

INECUACIONES POLINÓMICAS - R ACIONALES Veamos como se resuelven inecuaciones de este tipo. –

2

a) 3 x – 6 x > 0

+

Primero factoreamos extrayendo factor común, con las raíces de cada factor dividimos la recta real en subintervalos y analizamos el signo de cada factor para cada subintervalo. Luego analizamos el signo final aplicando la regla de los signos. 3 x2 – 6 x > 0 ⇒ 3 x.( x – 2) > 0. 3 x (– ∞;0) (0;2) (2;+∞)

x –2 – + +

– – +

>0 <0 >0

El conjunto solución es S = (– ∞;0) ∪ (2;+ ∞), es decir la unión de los intervalos para los cuales el producto de los factores es positivo.


36

b) x3 – x2 – 2 x ≥ 0 Factoreamos extrayendo primero factor común y luego aplicando el factoreo del trinomio de 2º grado: x3 – x2 – 2 x = x( x+1)( x – 2). Formamos los subintervalos +

x (– ∞;–1) (–1;0) (0;2) (2;+ ∞)

– – + +

x+1

x – 2

– + + +

– – – +

<0 >0 <0 >0

El conjunto solución es S = [–1;0] ∪ [2;+∞), es decir la unión de los intervalos para los cuales el producto de los factores es positivo o cero. Ahora se incluyen los extremos de los intervalos porque la desigualdad es de ≥. c)

x 2 − 1 2

x − 2 x

≤0

Factoreamos numerador y denominador: x2 –1 = ( x+1).( x –1), x2 –2 x = x.( x –2). Formamos los subintervalos con las raíces de ambos polinomios.

x+1 (– ∞;–1) (–1;0) (0;1) (1;2) (2;+∞)

– + + + +

-

x –1 x –2 x – – – + +

– – – – +

– – + + +

> < > < >

0 0 0 0 0

+

Introducción

37

El conjunto solución es S = [–1;0) ∪ [1;2), es decir la unión de los intervalos para los cuales el producto de los factores es negativo o cero. Obsérvese que se incluyen los extremos de los intervalos que anulan el numerador, no así el denominador. d)

x 2 + 1 x − 1

≤0

Vemos en este caso que el signo del cociente depende únicamente del signo del denominador ya que el numerador siempre es positivo, por lo tanto para que el cociente sea menor que 0 debe ser x – 1< 0 ⇒ x < 1, entonces S = (– ∞;1). e) – x2 + x + 2 < 0 Factoreamos, queda: – ( x + 1).( x – 2) < 0 ⇒ ( x+1).( x – 2) > 0 Multiplicamos por (–1) y cambiamos el sentido de la desigualdad. Ahora se procede como en los casos anteriores.

ALGUNAS OPERACIONES Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES Ahora veremos una síntesis de las principales operaciones y sus pro piedades.

Propiedades de la Potenciación n

n

a) (a.b ) = a n .b n d) a n . a m = a n + m g) (a

)

m n

= (a

n

)

m

⎛ a ⎞ a n b) ⎜ ⎟ = n ⎝ b ⎠ b e)

a a

n

n = a m

0

−

m

h) a = 1 , ∀a ≠ 0

c) a − n =

1 a

n

, ∀a ≠ 0

f) (a m ) = a m . n n

⎛ a ⎞ i) ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠

−

n

=

b

n

a

n


38

⎛ a ⎞

−1

b j) ⎜ ⎟ = a ⎝ b ⎠

Diferenci a de cuadrados: a 2 − b 2 = (a + b ) . (a − b ) 2

: (a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2 Cuadrado de un binomio Propiedades de la radicación (∀a > 0, ∀b > 0) a) d)

n

n

n

n

a.b = a . b m

a

n

g) a m =

=

n .m

b)

=

b n

n

a

c) n a ± b ≠

b

−1

n

e) a = a

( a) m

n

1

a

n

a

n

f) a

h) n x n = x , ∀n par;

n

n

=

n

a±

n

b

1 n

a

n x = x , ∀n impar

Estas propiedades son válidas siempre y cuando las raíces existan.

Operaciones con fracciones adición sustracción

a b a b

+ −

c d c d

= =

a.d + b.c b.d a b

+

−c

d a

a c a.c multiplicación . = b d b.d

propiedad distr ibuti va a derecha:

b c

división

d

a±b c

=

a c

±

=

a d . b c

b c

Relación de < y > entre fracciones Vamos a determinar, dados dos números racionales positivos, cual es mayor de ellos.

Introducción

39

Para ello también efectuamos las multiplicaciones cruzadas. Si el primer producto es mayor que el segundo, la primera fracción es mayor que la segunda, si el primer producto es menor que el segundo, la primera fracción es menor que la segunda fracción. Veamos los siguientes ejemplos: a)

3 5

y

4 7

hacemos 3 • 7 = 21 y 4 • 5 = 20, como 21 > 20 entonces

b)

8 7

y

3

>

5

4 7

7 6

hacemos 8 • 6 = 48 y 7 • 7 = 49, como 48 < 49 entonces

8 7

<

7 6

Si ahora consideramos números racionales positivos y negativos, para saber cuál es mayor aplicamos los criterios vistos para números enteros.

En sí ntesis Si dos números racionales son positivos, es mayor el de mayor valor absoluto. Si dos números racionales son negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Siempre un número racional positivo es mayor que uno negativo .

Completá: a)

3 7

d) −

...... 5 4

4

b) −

5

...... −

7 6

e)

8 3

3 8

...... −

...... −

2 7

2 7

c)

4 7

f) −

..... − 9 7

6 5

..... −

11 8

40


Desigualdades a) a < b ⇒ a + c < b + c b) a < b ⇒ – a > – b c) a > b ⇒ – a < – b d) a ≤ b ⇒ a < b o a = b e) a ≥ b ⇒ a > b o a = b f) a < b < c ⇒ a + x < b + x < c + x a g) > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) b a h) < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0 ) ∨ (a < 0 ∧ b > 0 ) b

BINOMIO DE NEWTON Se trata de obtener la potencia enésima de un binomio. En cursos anteriores has estudiado el cuadrado y cubo de un binomio. Recordemos sus expresiones:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

De estas expresiones podemos sacar las siguientes conclusiones: todos los términos son de grado n (potencia a la que está elevado el binomio), mientras las potencias del 1º término descienden a partir de n hasta 0, las potencias del 2º término crecen desde 0 hasta n. Siempre hay n +1 términos. Sabiendo esto sólo falta determinar los coeficientes para poder obtener el desarrollo de la potencia de cualquier binomio.

Triángulo de Tar taglia Este triángulo, llamado de Tartaglia o Pascal , permite obtener los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. El triángulo se forma de la siguiente manera: el 1º renglón tiene un sólo término que es un 1. El 2º renglón tiene 2 términos que son 2 unos. Los siguientes renglones comienzan y terminan con unos, y los términos restantes se obtienen sumando 2 términos consecutivos del renglón anterior.

Introducción

41

1 1 1

1 2

1 3 1 1

3

4

5

1

6

10

1 4

10

1 5

1

Y así sucesivamente. Cada renglón corresponde a los coeficientes de una potencia del binomio, empezando por la de grado 0. Si queremos los coeficientes del cuadrado del binomio debemos buscarlos en el 3º renglón, y así sucesivamente. En cuanto a su formación, en el 3º renglón tenemos los coeficientes 1 2 1, la suma del 1 y el 2 dan origen al 3 que se encuentra en el renglón siguiente, y así sucesivamente. Pero si bien este procedimiento permite obtener el desarrollo de la potencia de un binomio, no es práctico para potencias muy grandes o para el caso en que sólo necesitemos algún término del desarrollo y no todos ellos.

Otra expresión de la potencia de un binomio ⎛ n ⎞ n −i i (a + b) = ⎜⎜ ⎟⎟ . a . b i= 0 ⎝ i ⎠ n

n

∑

En esta expresión hemos introducido un contador i que permite ordenar los términos del desarrollo desde 1 a n + 1. Variando i se obtienen los distintos términos que constan de 3 factores: primero el coeficiente, que es un número combinatorio, y luego las potencias de a y de b. Se puede verificar que si se desarrollan los números combinatorios de esta expresión se obtienen los mismos coeficientes que los del triángulo de Tartaglia.

42


Esta expresión permite obtener términos aislados del desarrollo. Veamos los siguientes ejemplos: 5

⎛ 1 ⎞ a) queremos el 4º término de ⎜ x + ⎟ . ⎝ x ⎠ 3

⎛ 5 ⎞ 1 10 ⎛ 1 ⎞ T 4 = ⎜⎜ ⎟⎟ . x5-3 . ⎜ ⎟ = 10 x . 2 3= x x ⎝ x ⎠ ⎝ 3 ⎠

Aclaración : i vale 3 porque arranca de 0, para el 4º término i vale 3. 10

2 ⎞ ⎛ b) el 7º término de ⎜ x 2 − ⎟ x ⎠ ⎝

6

⎛ 10 ⎞ 2 4 ⎛ 2 ⎞ 8 64 2 = T 7 ⎜⎜ ⎟⎟ . ( x ) . ⎜ − ⎟ = 210 x 6 = 13.440 x ⎝ x ⎠ x ⎝ 6 ⎠

NOTACIÓN CIENTÍFICA Una forma de representar números que son muy grandes o muy pequeños en valor absoluto, consiste en expresarlos como el producto entre un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. Si el número a expresar es menor que 1 el exponente es negativo. Ejemplos 50.000 = 5.104 2.000 = 2.103 56.300 = 5,63.104 0,00004= 4.10-5 0,00232 = 2,32.10-3

Capítulo 1 Funciones Definición y clasificación. Dominio, imagen. Ceros. Función inversa. Función compuesta. Paridad. Funciones polinómicas: función lineal, cuadrática y cúbica. Función raíz cuadrada, función homográfica. Función logaritmo y función exponencial. Propiedades de los logaritmos. Funciones trigonométricas e hiperbólicas. Identidades trigonométricas. Función mantisa, función parte entera, función signo. La circunferencia y la elipse. Aplicaciones económicas: las funciones económicas: oferta, demanda, costo, beneficio, ingreso, interés compuesto.

Funciones

45

FUNCIONES La relación f : A → B / y = f ( x ) es una función sí y solo sí verifica las siguientes condiciones de existencia y unicidad. a) Todo elemento del conjunto de partida A tiene imagen en B. Dom f = A. b) Esa imagen es única. Veremos en este capítulo algunas características generales de las funciones y haremos un breve repaso de las distintas funciones que utilizaremos a lo largo del curso. Funciones escalares o reales de variable real

Se denomina así a las funciones cuyo dominio son los números reales o un subconjunto de ellos y cuyo conjunto de llegada también son números reales. En general se expresan como: f : A→ B / y = f ( x)

donde A ⊆ ℜ y B ⊆ ℜ

La representación gráfica de una función escalar de una variable real es una curva en el plano donde se considera un sistema de coordenadas ortogonales y se toma el dominio sobre el eje de abscisas y la imagen sobre el eje de ordenadas. Debido a la definición dada para funciones, para que el gráfico de una relación represente a una función si trazamos paralelas al eje y (en la zona del dominio), éstas deben cortar a la curva y deben hacerlo en un solo punto. Analizaremos los siguientes ejemplos de relaciones definidas de [a;b] → ℜ:


46 y

y

y

Los casos A, B, y F representan funciones. Los casos C y E no lo son porque hay elementos que tienen dos imágenes. El caso D no lo es porque hay elementos que no tienen imagen (la paralela al eje y no corta a la curva). Dominio de una función escalar

El dominio está formado por todos los números reales para los cuales existe imagen real. Dom f = { x ∈ A / ∃y ∈ B ∧ y = f ( x )} . Hay que tener en cuenta tres tipos de restricciones: 1) Denominadores ≠ 0. 2) Argumentos de logaritmos > 0. 3) Radicando de raíces de índice par ≥ 0. Ejemplos

Determinar el conjunto A para que las siguientes relaciones sean funciones de A → ℜ.

Funciones

a) f : A → ℜ / f ( x) =

47

1 x

Vemos que existe imagen para todo x ≠ 0: Dom f = A = { x / x∈ℜ ∧ x ≠ 0} = ℜ – {0} b) f : A → ℜ / f ( x) =

2 4 − x 2

Vemos que existe imagen para todo x ≠ 2 : Dom f = A = { x / x∈ℜ ∧ x ≠ 2 ∧ x ≠ – 2} = ℜ – {2; – 2} c) f : A → ℜ / f ( x)= x − 2 Para que exista imagen el radicando debe ser mayor o igual a cero x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ∴ Dom f = A = { x / x∈ℜ ∧ x ≥ 2} = [2;+∞) Vemos que también se puede expresar como intervalo. d) f : A → ℜ / f ( x) = ln (2 x+3) Para que exista imagen el argumento del logaritmo debe ser positivo. 2 x + 3 > 0 ⇒ x > − 3 ∴ Dom f = A = x / x ∈ ℜ ∧ x > − 3 = − 3 ;+∞ 2 2 2 e) f : A → ℜ / f ( x) =

2 x + 1

debe ser mayor a 0. x + 1 > 0

, para que exista imagen el radicando ⇒

x > –1

Dom f = A = { x / x ∈ℜ ∧ x > –1} = (–1;+∞) Conjunto imagen

Se denomina así al conjunto de valores que toman las imágenes (es decir y). Si f : A→ B / y = f ( x) , Im f ⊆ B.


48

Ejemplos

a) f : ℜ→ℜ / f ( x) = x2 El dominio son todos los números reales, pero el conjunto imagen son los reales no negativos, ya que al elevar un número real al cuadrado no se puede obtener un número negativo, por lo tanto Im f = [0;+∞). b) f : ℜ → ℜ / f ( x) = 1– x2 El dominio son todos los números reales. En este caso las imágenes son números menores o iguales a 1 ya que estamos restando de 1 un número no negativo, por lo tanto Im f = (– ∞;1]. c) f : ℜ→ℜ / f ( x) =2 x El dominio son todos los números reales. Vemos ahora que el conjunto imagen son los números reales positivos, ya que al elevar un número positivo a cualquier exponente real, se obtiene otro número positivo por lo tanto Im f = ℜ+. Nota:

no siempre es fácil obtener el conjunto imagen. Veremos luego, al ver las representaciones gráficas de distintas funciones, que muchas veces es más sencillo obtener el conjunto imagen a partir de los gráficos.

Ceros o raíces de una función - Intersección con el eje x

Se denomina así a los valores de x para los cuales la función se anula, es decir: C0 = { x / x ∈ Dom f ∧ f ( x ) = 0} . Geométricamente representa los puntos donde la curva interseca al eje x. Los denominamos como x 1, x 2, x 3,... x n.

49

Funciones

Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2 Para buscar los ceros hacemos x + 2 = 0 ⇒ x1 = – 2. b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 – 4 x 2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4

⇒

x 1 = 2, x2 = –2, esta función tiene 2 ceros.

c) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = 2 x+1 2 x+1 ≠ 0 ∀ x ∈ℜ Esta función no tiene ceros, es decir que la curva representativa de la misma no interseca al eje x. d) f : (1;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x – 1) Hacemos ln ( x – 1) = 0 ⇒ x – 1 = 1 ∴ x1 = 2 Nota:

si un cero es simple o múltiple de orden impar la curva atra- . viesa al eje x, si es múltiple de orden par rebota

Ejemplos

f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 tiene dos ceros: x1 = x2 = 0 f

g

El 0 es raíz doble, por lo tanto la curva rebota sobre el eje x. g : ℜ→ℜ / g ( x) = x3 tiene tres ceros: x1 = x2 = x 3 = 0. El 0 es raíz triple, por lo tanto la curva atraviesa el eje x.

x

50


Conjunto de positividad y negatividad

Se denomina así al conjunto de valores del dominio para los cuales la función es positiva o negativa respectivamente. C+ = { x / x ∈ Dom f ∧ f ( x ) > 0} C− = { x / x ∈ Dom f ∧ f ( x ) < 0} Ejemplo: f : (1;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x – 1) C 0 : ln ( x – 1) = 0, x – 1 = 1 C + : ln ( x – 1) > 0, x – 1 > 1 C – : ln ( x – 1) < 0, x – 1 < 1

x = 2 ⇒ x > 2 ⇒ 1 < x < 2 ⇒

C 0 = {2} C + = (2;+∞) C – = (1;2)

Dom f = C + ∪ C – ∪ C 0 Intersección con el eje y – la ordenada al origen

El punto donde la curva interseca al eje y se obtiene haciendo x = 0, siempre y cuando 0 ∈ Dom f . Lo denominamos ordenada al origen y se designa como y1. Si la curva representa a una función no puede intersecar al eje y en más de un punto. Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2 Para buscar la intersección con el eje y hacemos x = 0: 0 + 2 = 2 ⇒ y1 = 2. b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 – 4,

hacemos x = 0 ⇒ y1 = – 4

c) f : ℜ→ ℜ / f : ℜ→ ℜ / f ( x) = 2 x+1, hacemos x = 0 ⇒ 21 = 2 ∴ y1 = 2 d) f : (1;∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x – 1) x = 0 ∉ Dom f ⇒ no existe intersección con el eje y.

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Funciones

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES Función inyectiva Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas, o lo que es lo mismo un elemento de B no puede ser imagen de dos elementos distintos de A. f : A → B es inyectiva ⇔ ∀ x1 ∈ A, ∀ x2 ∈ A : x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1) ≠ f ( x2) Ejemplos: a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2

x1 ≠ x2 ⇒ x1+2 ≠ x2+2 ⇒ f ( x1) ≠ f ( x2), f es una función inyectiva. b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 En este caso hay elementos distintos que tienen la misma imagen: 22 = ( – 2)2. Por lo tanto f no es inyectiva de ℜ→ ℜ. Pero si restringimos el dominio tenemos f *: [0;+∞) → ℜ / f ( x) = x2 que sí es inyectiva. f * es un restricción de f . c) f : ( – 2;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x+2) x1 ≠ x2 ⇒ ln ( x1+2) ≠ ln ( x2 + 2) inyectiva.

⇒

f ( x1) ≠ f ( x2), f es una función

Gráficamente se puede distinguir una función inyectiva de la siguiente manera: a) si el gráfico es un diagrama de Venn a un elemento de B no pueden llegar más de una flecha.

R 1

R 2

R 3

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Las relaciones 2 y 3 son funciones inyectivas. La relación 1 no lo es porque los elementos 1 y 3 tienen la misma imagen, el 2. b) si la representación gráfica es un gráfico cartesiano para saber si la función es inyectiva se deben trazar paralelas al eje x y éstas deben cortar a la curva una sola vez. Ninguno de los gráficos de la página 46 representa a una función inyectiva porque las paralelas cortan a la curva más de una vez. Analicemos los siguientes gráficos de las siguientes funciones definidas de [a;b] → [c;d]:

Los casos B, C, E y F representan funciones inyectivas, no así los casos A y D. Función sobreyectiva

Una función f definida de A→ B es sobreyectiva si todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A, es decir que el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada. Im f = B. Todos los elementos de B tienen que tener preimágenes en A.

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Funciones

f : A → B es sobreyectiva ⇔ ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A / ( x; y) ∈ f . Para saber si una función es sobreyectiva debemos calcular el conjunto imagen y compararlo con el conjunto de llegada ( B). A veces hay que considerar una restricción del conjunto A o del con junto B para que la función sea sobreyectiva. Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2 Vemos que las imágenes son números reales, por lo tanto la función es sobreyectiva de ℜ→ ℜ. b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 + 1 Vemos que las imágenes son números reales mayores o iguales a 1. Por lo tanto la función es sobreyectiva de ℜ → [1;+∞). Esta nueva función f *: ℜ → [1;+∞) / f * ( x) = x2 + 1 es una restricción de f . c) f : (–2;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x + 2) Vemos que las imágenes son números reales, por lo tanto la función es sobreyectiva de (–2;+∞) → ℜ. d) f : ℜ → ℜ / f ( x) = x2 + 4 x + 9 2

Buscamos el conjunto imagen. x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2 ) + 5 . Vemos que el conjunto imagen son los números reales mayores o iguales 5. Por lo tanto la función es sobreyectiva de ℜ → [5;+∞). Esta nueva función f *: ℜ → [5;+∞) / f * ( x) = x2 + 4 x + 9 es una restricción de f . Gráficamente podemos distinguir una función sobreyectiva si a todo elemento de B llega una flecha (en el caso del diagrama de Venn) o si trazando paralelas al eje x las mismas cortan a la curva. De los diagramas de Venn de la página 51 no es sobreyectiva la función 2 ya que el elemento 3 no es imagen de ningún elemento de A.


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De los gráficos cartesianos de la página 52 no representa una función sobreyectiva el caso C, ya que hay elementos del [c;d] que no son imagen de ningún elemento del [a;b]. Función biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva Ejemplos de funciones biyectivas son la función 3 de los diagramas de Venn de la página 51 y los casos B, E y F de los gráficos cartesianos de la página 52. Función inversa

Vimos en el capítulo introductorio el concepto de relación inversa. Si ésta es a su vez función recibe el nombre de función inversa y se designa como f –1. Si f : A → B ⇒ f –1 : B → A. El Dom f –1 = Im f y viceversa. Por lo tanto otra forma de calcular la Im f (que a veces no es sencillo) es calculando el Dom f –1.

Par a que una función admi ta función inversa é sta debe ser biyecti va . Si la función no fuese inyectiva la relación inversa no sería función porque algunos elementos de B tendrían dos imágenes en A. Si no fuese sobreyectiva habría elementos de B sin imagen en A. Por lo tanto la función debe ser biyectiva para admitir función inversa de lo contrario admite relación inversa. A veces deben efectuarse restricciones para que la función sea biyectiva y admita función inversa.

Ejemplos de funciones que admiten función inversa f : A → B

⇒

f –1 : B → A

g : [a;b] → [c;d] ⇒ g –1: [c;d] → [a;b]

Funciones

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Cálculo de la función inversa

Primero debemos asegurar la biyectividad. Luego, para calcular la función inversa, debemos expresar x en función de y , es decir despejar la x, tarea que no siempre es sencilla. Como es habitual expresar a la variable independiente como x, tam bién llamamos x a la variable independiente de f –1, por lo tanto f –1 es f –1 ( x). Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 3 Es una función biyectiva, despejamos la x: x = y –3 –1 –1 ( x) = x – 3 ⇒ f : ℜ→ ℜ / f b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = 2 x+1 Es una función biyectiva, despejamos la x: x = f –1: ℜ→ ℜ / f –1 ( x) =

y − 1

⇒

2

x − 1 2

c) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 + 1 Ya vimos que esta función así definida no es sobreyectiva, tampoco es inyectiva. Debemos restringir su dominio y su conjunto de llegada para que cada elemento de B sea imagen de un solo elemento de A. Para saber como efectuar la restricción analizamos la función, hay que seleccionar los x ≥ 0 para que sea inyectiva, y para que sea sobreyectiva vemos que las imágenes son números ≥ 1, porque a un número positivo o cero le sumamos 1. Por lo tanto consideramos la siguiente restricción de f , f *: [0;+∞) → [1;+∞) / f * ( x) = x2 +1, obtenemos así una función biyectiva. Para buscar la inversa despejamos la x: x = y − 1 , entonces: f * –1 : [1;+∞) → [0;+∞) / f * –1 ( x) = x − 1 .

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Nota 1:

Si una función es biyectiva su inversa también lo es. Nota 2: Las gráficas de dos funciones biyectivas son simétricas res pecto de la bisectriz del 1º y 3º cuadrante si se toma la misma escala en los dos ejes. Veamos las gráficas de los casos b) y c). Más adelante veremos como se obtienen estas gráficas.

d) f : A → ℜ / f ( x) = ln ( x+2) Primero buscamos A para que f sea función x + 2 > 0 ⇒ x > – 2. Dom f = (–2;+∞) Esta función es biyectiva, buscamos la inversa para lo cual despejamos x: x + 2 = e y ⇒ x = e y – 2 ⇒ f –1: ℜ → (–2;+∞) / f –1 ( x) = e x –2. e) f : ℜ → ℜ / f ( x) = x2 – 2 x + 5 Esta función no es ni inyectiva ni sobreyectiva. De bemos restringir el dominio y la imagen. Para saber como hacer la restricción completamos cuadrados, f ( x) = ( x –1)2 + 4. Vemos que para que la función sea inyectiva, x ≥ 1 (de esta manera se evita que dos números distintos tengan la misma imagen). Por otro lado vemos que al ser ( x –1)2 ≥ 0, las imágenes son ≥ 4. Consideramos la siguiente restricción de f : f *: [1;+∞) → [4;+∞) / f * ( x) = x2 – 2 x + 5, que es biyectiva.

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