TUGAS METODE NUMERIK
NAMA
: ILHAM
NPM
: 2011020117
KELAS
: TI-II/EXT
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA STMIK HANDAYANI MAKASSAR 2012
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “Deret Taylor ”. Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Deret Taylor atau yang lebih khususnya membahas persamaan-persamaan Deret Taylor dan Teorema Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Deret Taylor. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Makassar,
April 2012
Penyusun
i
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ........................................................................................... i Daftar Isi .................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ................................................................................... 1 B. Tujuan ................................................................................................. 1 BAB II PEMBAHASAN 1.
Defenisi ............................................................................................... 2
2.
Persamaan Deret Taylor ..................................................................... 2
3.
Teorema Taylor Dalam Satu Variabel ................................................ 5
4.
Suku Sisa Perluasa Deret Taylor ........................................................ 8
5.
Kesalahan Pemotongan (TructationError) .......................................... 8
BAB III KESIMPULAN DAN SARAN 1.
Kesimpulan ....................................................................................... 10
2.
Saran ................................................................................................ 10
DAFTAR PUSTAKA
ii
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi polinomial yang lebih sederhana. Fungsi polinomial lebih mudah dipahami kelakuannya. Apabila
kita
melakukan
pekerjaan
hitungan
dengan
menggunakan fungsi yang sesungguhnya, maka akan kita dapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati). Tetapi bila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsi hampiran, maka akan kita dapatkan hasil solusi hampiran(solusi pendekatan). Perbedaan antara solusi eksak dan solusi hampiran terletak pada adanya galat pada solusi hampiran. Galat pada solusi numerik harus
dihubungkan
dengan
seberapa
teliti
polinomial
dalam
menghampiri fungsi yang sesungguhnya. Untuk menghampiri fungsi yang sesungguhnya, digunakanlah apa yang disebut dengan deret Taylor.
B. TUJUAN Setelah
mempelajari
persamaan-persamaan
Deret
Taylor,
diharapkan pembaca dapat memahami lebih lanjut persamaan Deret Taylor sehingga nantinya suatu fungsi dapat dihampiri secara polinomial.
1
BAB II PEMBAHASAN
1. Defenisi Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tesebut di satu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polimial Taylor. Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.
2.
Persamaan Deret Taylor
()
Bila suatu pungsi
dari
terhadap
diketahui di titik
dan semua turunan
diketahui pada titik tersebut, maka dengan Deret
Taylor dapat dinyatan nilai
pada titik
1
yang terletak pada jarak
∆ ∆ ∆ ∆ ( 1) () () 1! () 2! ⋯ () ! dari titik
.
dengan:
() ( 1) ,,…, ∆ !
= fungsi di titik = fungsi di titik
1
= turunan pertama, kedua,...,ke dari fungsi = langkah ruang, yaitu jarak antara
dan
+1
= kesalahan pemotongan = operator faktorial, misalkan 2! = 1 x 2; 3! = 1 x 2 x 3
2
Perkiraan suatu fungsi dengan Deret Taylor
Karena suku-suku Deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis Deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai dengan order ke-n dinamakan Deret Taylor terpotong yang dinyatakan:
( ) ( ) () () 1! () 2! () ⋯ ( ) ! ()() ) +() () (( 1)! ,, disebut galat/sisa (residu)
Dengan demikian Deret Taylor yang dipotong sampai suku order ke-n
() () () ( ) () ∑ ! () = )() (+)() () (−(+)! dapat ditulis
dimana
3
() + + ∆ + ∆ + () ( 1)! () ( 2)! ⋯ Kesalahan pemotongan
diberikan oleh bentuk berikut:
Persamaan pertama yang mempunyai suku sebanyak tak berhingga akan memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dengan
penyelsaian
memperhitungkan
semua
eksaknya, suku
dalam
tersebut
dan
praktiknya
sulit
biasanya
hanya
diperhitungkan beberapa suku pertama saja. a. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Bila yang diperhitungkan hanya suku pertama dari ruas kanan, maka dapat ditulis sebagai berikut:
( 1) ≈ ()
Persamaan ini disebut juga sebagai perkiraan order nol, nilai pada titik
1
sama dengan nilai pada
,
perkiraan tersebut
adalah benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstant, jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari Deret Taylor. b. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1) Bentuk Deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua suku pertama, dapat ditulis dalam bentuk:
( 1) ≈ () ′() ∆1! yang merupakan bentuk persamaan linier (garis lurus).
4
c. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2) Deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan dapat ditulis menjadi:
∆ ∆ ( 1) ≈ () () ′′()
1!
2!
Persamaan ini disebut juga perkiraan order dua.
3.
Teorema Taylor Dalam Satu Variabel Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan Teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial
≈ 1 ⋯
2! 3!
di dekat
.
!
Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n terhadap
karena menghapiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial
derajat . Hampiran ini hanya berlaku untuk mendekati nol, dan bila
bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk.
Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa.
() 1 ⋯
2! 3!
!
Lebih umum lagi, Teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang
dapat diturunkan
, dengan hampiran untuk
di dekat titik
, dalam
bentuk:
( ) ( ) () () ≈ () ()( ) ( ) ⋯ ( )
2!
!
5
Suku
sisa
adalah
perbedaan
antara
fungsi
dan
polinomial
hampirannya
( ) ( ) () () () () ()( ) ( ) ⋯ ( )
2!
!
Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, Teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata
lain, untuk cukup dekat terhadap
, suku sisa haruslah cukup kecil.
Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut. Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila
0
≥
adalah bilangan bulat dan adalah fungsi yang terturunkan kontinu
pada selang tertutup
[,]
dan terturunkan
1
kali pada selang
(,) ()() ()() () () () 1! ( ) 2! ( ) ⋯ ! ( ) () ! () () terbuka
Disini
, maka
Melambangkan
faktorial dan
adalah suku sisa,
melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat fungsi asli. Suku sisa
terhadap
tergantung pada , dan kecil bila cukup
dekat terhadap . Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini. a. Bentuk Lagrange
Bentuk lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat
∈
() ( )+ () () (+)!
bilangan antara dan sedemikian sehingga =
6
Ini mengungkapkan Teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan Teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange. b. Bentuk Cauchy Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan
(+)() () ! ( )( ) () [,] (+)() () ! ( ). ()()()
antara dan sehingga
Secara umum, bila
adalah fungsi kontinu pada selang tertutup
, yang diturunkan dengan turunan tidak nol pada
(,)
, maka
ada suatu bilangan antara dan sehingga
Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:
(+)() () ∫ ! ( )
Dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, dalam
[,]
kontinu mutlak
. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan
teorema dasar kalkulus. Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan Deret Taylor-nya, karena mungkin saja Deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun,
()
untuk banyak fungsi
mendekati nol saat
, kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa
mendekati
∞
. Fungsi-fungsi tersebut dapat
7
dinyatakan sebagail Deret Taylor pada persekitaran titik , dan disebut sebagai fungsi analitik.
4.
Suku Sisa Perluasan Deret Taylor
( ) ( ) ()ℎ ℎ ℎ ⋯
2!
3!
untuk mudahnya ambil saja/potong saja sisa itu sehingga menjadi:
≈ ()ℎ Walaupun turunan orde yang lebih rendah biasanya memiliki andil yang lebih besar terhadap sisa dari suku-suku berorde lebih tinggi, hasil ini masih belum pasti, karena diabaikannya suku-suku orde kedua dan orde yang lebih tinggi. Ketidakpastian ini dinyatakan oleh simbol kesamaan aproksimasi
(≈)
yang dipakai pada persamaan di
atas.
5.
Kesalahan Pemotongan (Truncation Error) Adanya kesalahan karena tidak diperhitungkannya suku-suku terakhir dari Deret Taylor. Pada Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam praktiknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasil perkiraan tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Bentuk kesalahan pemotongan (truncation error,
(∆+)
) sebagai berikut:
8
Indeks
menunjukkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah
sampai pada suku ke
1
. Notasi
(∆+))
berarti bahwa deret
yang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke
, sedang
1
menunjukkan bahwa kesalaha n pemotongan mempunyai order
∆+ 1
, atau kesalahan sebanding dengan langkah ruang pangkat
, sehingga kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:
a. Interval
∆
adalah kecil
b. Memperhitungkan lebih banyak suku dari Deret Taylor Pada perkiraan order satu, besarnya kesalahan pemotongan adalah:
∆ ∆ (∆ ) () () ⋯
2!
3!
9
BAB III KESIMPULAN DAN SARAN
1. Kesimpulan Dari pembahasan makalah di atas dapat disimpulkan bahwa Deret Taylor sangat berguna dalam menyelesaikan masalah numerik, karena pada dasarnya Deret Taylor menyediakan sarana untuk memperkirakan nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunannya pada titik lain. Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan, tetapi pada kenyataannya sering dipehitungkan hanya beberapa suku pertama saja sehingga hasilnya tidak tepat seperti perhitungan analitisnya. 2. Saran Bertolak dari persamaan-persamaan dari Deret Taylor di atas, penyusun
menyarankan
kepada
pembaca
untuk
lebih
dalam
mempelajari beberapa persamaan dari Deret Taylor karena Deret Taylor sangat berguna untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.
10
DAFTAR PUSTAKA
Mursita,
Danang.
“Deret
Taylor
dan
Mac
Laurin.”
http://www.stisitelkom.ac.id (diakses tanggal 18 April 2012). Nico. “Deret dan Teorema Taylor.” http://elnicovengeance.wordpress.com (diakses tanggal 18 April 2012). Wikipedia. “Deret Taylor.” http://id.wikipedia.org (diakses tanggal 18 April 2012).
11
