PENGUJIAN HIPOTESIS SATU SAMPEL
A. PENGERTIAN PENGUJIAN HIPOTESIS Istilah hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hipo berarti lemah, kurang atau dibawah dan thesis berarti tiori, proposisi, atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Jadi hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifstnya masih sementara. Hipotesis ststistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistic dapat berbentuk suatu variable, seperti binomial, poisson, dan normal atau nilai dari suatu parameter, seperti rata-rata, varians, simpangan baku dan proporsi. Hipotesis statistic akan diterima jika hasil pengujian membenarkan pernyataannya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataannya. Pengujian hipotesis adalah suatu prosedur yang akan menghasilkan suatu keputusan, yaitu keputusan menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam pengujian hipotesis keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas. B. PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS Prosedur pengujian hipotesis adalah langkah-langkah yang dipergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut. Langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut: 1. Menentukan Formulasi Hipotesis Formulasi atau perumusa hipotesis statistic dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut: a. Hipotesis nol atau hipotesis nihil
Hipotesis nol, disimbolkan H0 adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan diuji. Disebutkan hipotesis nol karena hipotesis tersebut tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis sebenarnya. b. Hipotesis alternative atau hipotesis tandingan Hipotesis alternative disimbolkan H 1 atau H a adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol.dalam menyusun hipotesis alternatife, timbul tiga keadaan berikut. 1) H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih besar daripada harga yang dihipotesiskan. Pengujian ini disebut pengujian satu sisi atau satu arah. Yaitu pengujian sisi atau arah kanan. 2) H1 menyatakan bahwa harga harga parameter lebih kecil daripada harga yang dihipotesiskan. Pengujian ini disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kiri. 3) H1 menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang dihipotesiskan. Pengujian ini disebut dengan pengujian dua sisi atau dua arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan dan kiri sekaligus. Secara umum formulir hipotesis dapat dituliskan:
Apabila hipotesis nol diterima (benar) maka hipotesis alternatife ditolak. Demikian sebaliknya, jika hipotesil alternatife diterima (benar) maka hipotesis nol ditolak. 2.
Menentukan Taraf Nyata (Significant Level) Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis
terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dilambangkan dengan
(dibaca alpha).
Semakin tinggi taraf nyata yang digunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang diuji, padahal hipotesis nol benar. Besarnya yang sering digunakan untuk menentukan taraf nyata dinyatakan dalam %, yaitu: 1%(0,01), 5%(0,05), 10%(0,1), sehingga secara umum taraf nyata dituliskan sebagai
,
,
. Besarnya nilai bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dalam hal ini
berapa besarnya kesalahan (yang menyebabkan resiko) yang akan ditolerir. Nilai
yang
dipakai sebagai taraf nyata digunakan untuk menentukan nilai distribusi
yang digunakan pada pengujian, minsalnya distribusi normal (Z), distribusi t, dan distribusi 2.
3. Menentukan Kriteria Pengujian Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (
) dengan cara membandingkan nilai
table
distribusinya (nilai kritis) dengan
nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujian dalam sisi atau arah pengujian.
a. Penerimaan
terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar daripada nilai
positif atau negative dari table. b. Penolakan
terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada nilai
positif atau negatif dari tabel. Dalam bentuk gambar, kriteria pengujian dituliskan seperti:
daerah tolak
terima kritis
daerah tolak
terima kritis
Daerah kritis dan kriteria pengujian 4. Menentukan Nilai Uji Statistik
kritis
daerah tolak
terima kritis
Uji statistic merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi terttentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistic merupakan perhitungan untuk menduga parameter dan sampel yang diambil secara random dari sebuah populasi. Misalkan, akan diuji parameter populasi ( P ), maka yang pertama-tama dihitung adalah statistik sampel (S ). 5. Membuat Kesimpulan Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol ( H 0), sesuai dengan kareteria pengujiannya. Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistik dengan nilai tabel atau nilai kritis. a. Penerimaan H 0 terjadi jika nilai uji statistik berada diluar nilai kritisnya. b. Penolakan H 0 terjadi jika nilai uji statistik berada didalam nilai kritisnya. Kelima langkah pengujian hipotesis tersebut di atas dapat diringkas seperti berikut: 1. Langkah 1: menentukan formulasi hipotesis nol ( H 0) dan hipotesis alternative ( H 1) 2. Langkah 2: pilih tingkat signitifikasi 3. Langkah 3: pilih statistik pengujian 4. Langkah 4: rumuskan aturan keputusan 5. Langkah 5: ambil keputusan
6. Pengujian Rata-rata Populasi Jika Standar Deviasi Populasi Diketahui Pengujian Dua-Ujung Sebuah contoh akan menunjukkan rincian dari prosedur pengujian hipotesis lima langkah. Kita juga akan menggunakan pengujian dua ujung. Yaitu, kita tidak mengkhawatirkan apakah hasil-hasil sampel lebih besar atau lebih kecil dibandingkan rata-rata populasi yang diajukan. Namun, kita ingin mengetahui apakah hasil tersebut berbeda dari nilai yang diajukan untuk rata-rata populasi tersebut. Contoh soal Jamestown steel company membuat dan menarik meja-meja dan peralatan kantor lainnya dibeberapa pabrik dibagian barat New York. Peroduk mingguan meja model A325 di
Fredonia Plant mengikuti distribusi probabilitas normal dengan rata-rata 200 dan standar deviasi 16. Baru-baru ini, karena ekspansi pasar, metode-metode produksi baru telah diperkenalkan dan pekerja-pekerja baru direktur, wakil presiden produsen tersebut ingin menyelidiki apakah telah ada perubahan dalam produksi mingguan dari meja model A325 itu. Apakah jumlah rata-rata meja yang diproduksi Fredonia Plant berbeda dari 200 dengan tingkat signitifikasi 0,01? Jawab…..
Kita menggunakan prosedur pengujian statistik untuk menyelidiki apakah kecepatan produksi telah berubah per minggu
Langkah 1: menetapkan hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Hipotesis nolnya adalah
“rata-rata populasi adalah 200”. Hipotesis alternatif adalah ”rata-rata berbeda dari 200” atau “rata-ratanya bukan 200” kedua hipotesis ini ditulis:
µ0 : µ = 200 µ1 : µ ≠ 200 ini adalah pengujian dua ujung karena hipotesis alternatif tersebut tidak menyebutkan satu arah. Dengan kata lain, hipotesis ini tidak menyebutkan apakah produksi rata-rata lebih besar dari 200 atau kurang dari 200. Wakil presiden hanya ingin mengetahui apakah kecepatan produksi berbeda dari 200. Langkah 2: pilih tingkat signitifikasi. Seperti terlihat, digunakan tingkat signitifikasi
0,01. Ini adalah
,
probabilitas melakukan kesalahan tipe I, dan merupakan probabilitas
penolakan hipotesis nol yang benar. Langkah 3: pilih statistic pengujian. Statistic pengujian untuk sebuah rata-rata ketika
diketahui adalah z. rumusnya adalah Rata-rata sampel
Rata-rata populasi Z=
Standar deviasi populasi
√
Ukuran sampel
Langkah 4: Rumus aturan keputusan, aturan keputusan dirumuskan dengan mencari
nilai-nilai kritis z, oleh karena itu merupakan pengujian dua ujung, setengah dari 0,01, atau
0,005, ditempatkan dimasing-masing ujung. Daerah dimana H 0 tidak ditolak, terletak diantara kedua ujung, sebesar 0,99. Didasarkan pada setengah daerah dibawah kurva, atau 0,5000. Lalu 0,5000-0,0050 sama dengan 0,4950, sehingga 0,4950 adalah daeah antara 0 dan nilai kritis. Nilai terdekat dengan 0,4950 adalah 0,4951. Kemudian lihat nilai kiritis dalam baris dan kolom yang berhubungan dengan 0,4951. Oleh karena itu, aturan keputusannya adalah: tolak hipotesis nol dan terima hipotesis alternatif (yang menyebutkan bahwa rata-rata populasi bukan 200) jika nilai z yang terhitung tidak ada diantara -2,58 + 2,58. Jangan tolak hipoyesis nol jika z beada diantara -2,58 dan +2,58. Langkah 5: buat keputusan dan jelaskan hasilnya, ambil sebuah sampel dari populasi
(poduksi mingguan), hitung z, terapkan aturan keputusannya, dan ambil keputusan untuk menolak H 0 atau tidak menolak H 0. Rata-rata jumlah meja yang diproduksi tahun lalu (50 minggu, kaena pabrik tersebut ditutup 2 minggu karena liburan) adalah 203,5. Standar deviasi populasi adalah 16 meja per minggu. Menghitung nilai z dari rumus z=
√ √
=
= 1,55
karena 1,55 tidak masuk dalam daerah penolakan, H 0 tidak ditolak. Kita menyimpulkan bahwa rata-rata populasi tersebut tidak berbeda dari 200. Jadi kita akan melapor kepada wakil presiden bagian poduksi tersebut bahwa bukti sampel tidak menunjukkan kecepatan produksi di Fredonia Plant telah berubah dari 200 per minggu. Selisih 3,5 unit antara kecepatan produksi mingguan bedasarkan riwayat sebelumnya dan kecepatan tahun lalu secara masuk akal dianggap kesalahan penaikan sampel. Infomasi ini diringkas dalam diagram berikut: nilai z yang dihitung
tolak H 0 tolak H 0 jangan tolak H 0
-2,58
1,55
2,58 skala z
Pengujian Satu-Ujung Dalam contoh sebelumnya, kita hanya melaporkan kepada wakil presiden apakah telah terjadi perubahan dalam rata-rata jumlah meja yang dirakit di Fredonia Plant, kita tidak membahas apakah perubahan tersebut merepresentasikan peningkatan atau penurunan produksi. Untuk menjelaskan sebuah pengujian satu-ujung, mari kita ubah masalahnya. Andaikan wakil presiden itu ingin mengetahui apakah telah terjadi peningkatan dalam jumlah unit yang dirakit. Dapatkah kita menyimpulkan, karena metode-metode produksinya telah diperbaiki, bahwa rata-rata jumlah meja yang dirakit dalam 50 minggu terakhir lebih dari 200? Lihat perbedaan dalam cara masalah tersebut dirumuskan. Dalam kasus pertama kita ingin mengetahui apakah ada perbedaan dalam rata-rata jumlah yang dirakit, tetapi sekarang kita ingin mengetahui apakah ada peningkatan. Oleh karena kita tengah menyelidiki pertanyaan yang berbeda, kita akan menetapkan hipotesis secara berbeda. Perbedaan terbesar terjadi dalam hipotesis alternatif. Sebelumnya kita menyebutkan hipotesis alternatif sebagai “berbeda dari”, sekarang kita ingin menyatakannya sebagai “lebih besar dari”. Dalam symbol:
Pengujian dua-ujung:
pengujian dua-ujung
H 0 : µ = 200
H 0 : µ ≤ 200
H 1 : µ ≠ 200
H 1 : µ 200
Nilai-nilai kritis untuk pengujian satu-ujung berbeda dari pengujian dua-ujung pada tingkat signitifikasi yang sama. Pada contoh sebelumnya, kita membagi dua tingkat signitifikasi dan menempatkan setengahnya di ujung sebelah bawah dan setengah lagi diujung sebelah ataas. Dalam pengujian satu-ujung kita menempatkan semua daerah penolakan di satu-ujung. Untuk pengujian satu-ujung, nilai kritisnya adalah 2,33, diperoleh dari: (1) mengurangi 0,5000 dengan 0,01 dan (2) menemukan nilai z yang berhubungan dengan 0,4900. H 0 : µ = 200
H 0 : µ ≤ 200 H 1 : µ 200
H 1 : µ ≠ 200
Pengujia dua-ujung 0,5000 daerah
penolakan
Pengukian satu-ujung 0,005
H 0 tidak daerah
ditolak
penolakan
H 0 tidak
ditolak
0,01
daerah penolakan
0,99
2,58
0,99
0
Nilai kritis
2,58
skala z
nilai kritis
0
2,33 nilai kritis
C. JENIS-JENIS PENGUJIAN HIPOTESIS Pengujian hipotesis dapat dibedakan atas beberapa jenis berdasarkan kriteria yang menyertainya. 1. Berdasarkan Jenis Parameternya
Berdasarkan atas jenis parameter yang digunakan, pengujian hipotesis dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu: a. Pengujian Hipotesis tentang rata-rata Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Contoh: 1) Pengujian hipotesis satu rata-rata 2) Pengujian hipotesis beda dua rata-rata 3) Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata
b. Pengujian hipotesis tentang proporsi Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi populasi yang didasrkan atas informasi (data) sampelnya. Contoh: 1) Pengujian hipotesis satu proporsi 2) Pengujian hipotesis beda dua proporsi 3) Pengujian hipotesis beda tiga proporsi
c. Pengujian hipotesis tentang varians Pengujian hipotesis tentang varians adalah pengujian hipotesis mengenai varians populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Contoh: 1) Pengujian hipotesis tentang satu varians 2) Pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians
2. Berdasarkan Jumlah Sampelnya
Didasarkan atas ukuran sampelnya, pengujian hipotesis dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut: a. Peengujian hipotesis sampel besar Pengujian hipotesis sampel besar adalah pengujian hipotesis yang menggunakan sampel yang lebih besar dari 30 (n 30) b. Pengujian hipotesis sampel kecil Pengujian hipotesis sampel kecil adalah pengujian hipotesis yang menggunakan sampel lebih kecil atau sama dengan 30 (n ≤ 30).
3. Berdasarkan Jenis Distribusinya Berdasarkan atas jenis distribusi yang digunakan, pengujian hipotesis dibedakan atas empat jenis, yaitu sebagai berikut: a. Pengujian hipotesis dengan distribusi Z Pengujian hipotesis dengan distribusi Z adalah pengujian hipotesis yang mengguakan distribusi Z sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disbut tabel normal standar. Hasil uji statistik ini kemudian dibandingkan dengan nilai dalm tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol ( H 0) yang dikemukakan. Contoh: 1) Pengujian hipotesis satu dan beda dua rata-rata sampel besar 2) Pengujian hipotesis satu dan beda dua proporsi
b. Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student) Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distrbusi t sebagai uji statistik. Tabelnya disebut tabel t-student. Hasil uji stastiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol ( H 0) yang dikemukakan. Contoh: Pengujian hipotesis rata-rata (satu dan beda dua rata-rata) sampel kecil c. Pengujian hipotesis dengan distribusi 2 (kai kuadrat) Pengujian hipotesis dengan distribusi menggunakan distribusi
2
2
(kai kuadrat) adalah pengujian hipotesis yang
sebagai uji statistic. Tabelnya disebut tabel
2
. Hasil uji
statistik kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabelnya untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukakan. Contoh: 1) Pengujian hipotesis beda tiga proporsi 2) Pengujian hipotesis independensi 3) Pengujian hipotesis kompatibilitas d. Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio) Pengujian hipotesis dengan distribusi F adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi F (F-ratio). Tabel pengujiannya disebut tabel F. hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk menerima atau menolak hipotesis nol yang dikemukakan. Contoh: 1) Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata 2) Pengujian hipotesis kesamaan dua varians
4. Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesis Didasarkan atas arah atau bentuk formulasi hipotesisnya, pengujian hipotesis dibedakan atas tiga jenis, yaitu: a. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)
Pengujian hipotesis dua pihak adalah pengujian hipotesis dimana hipotesis nol ( H 0) berbunyi “sama dengan” dan hipotesis alternatifnya (H 1) berbunyi “tidak sama dengan”
( H 0 = dan H 1 ≠)
b. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri Pengujian hipotesis pihak kiri adalah pengujian hipotesis dimana hipotesis nol ( H 0) berbunyi “sama dengan” atau “lebih besar atau sama dengan” dan hipotesis alternatifnya berbunyi “lebih kecil” atau “lebih kecil atau sama dengan” ( H 0 = atau H 0 ≥ dan H 1 atau H 1 ≤). Kalimat “lebih kecil atau sam dengan” symbol dengan kata “paling sedikit paling kecil”.
c. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan Pengujian hipotesis pihak kanan adalah pengujian hipotesis dimana hipotesis nio ( H 0) berbunyi “sama dengan” atau “lebih kecil atau sama dengan” dan hipotesis alternatifnya berbunyi “lebi besar” atau “lebih besar atau sama dengan” ( H 0 = atau H 0 ≤ dan H 1 atau H 1≥). Kalimat “lebih besar atau sama dengan” sinonim dengan kata “paling banyak atau paling besar”.
PENGUJIAN HIPOTESIS DUA SAMPEL A. Uji Dua Sampel Pada Proporsi
Untuk melakukan pengujian ini, kita menganggap masing-masing sampel cukup besar sehingga distribusi normal akan berperan sebagai penaksiran distribusi binomial yang baik. Statistik uji mengikuti distribusi normal standar. Kita menghitung nilai z dengan rumus sebagai berikut: Uji proporsi dua sampel
z=
Keterangan: n1= jumlah pengamatan dalam sampel pertama n2= jumlah pengamatan dalam sampel kedua p1= proporsi dalam sampel pertama yang memiliki sifat tersebut
p2= proporsi dalam sampel kedua yang memiliki sifat tersebut P c= proporsi terkumpul yang memiliki sifat tersebut dalam gabungan sampel-
sampel Proporsi ini disebut dengan estimasi terkumpul dari proporsi populasi tersebut dan dihitung dengan rumus berikut. Proporsi terkumpul P C =
Dengan: X 1 adalah jumlah yang memiliki sifat tersebt dalam sampel pertama X 2 adalah jumlah yang memiliki sifat tersebut dalam sampel kedua
Contoh: manelli parfum company baru-baru ini mengembangkan sebuah paefum baru yang rencananya akan dipasarkan dengan merek heavenly. Sebuah penelitian pasar mengindikasikan bahwa heavenly memiliki potensi pasar yang sangat baik. Departeman penjualan di manelli ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan dalam proporsi perempuan yang lebih muda dan lebih tua akan membeli heavenly jika wewangian tersebut dipasarkan. Ada dua populasi yang saling bebas, satu populasi terdiri dari perempuan yang lebih muda dan satu populasi terdiri dari perempuan yang lebih tua. Masing-masing perempuan yang ditarik sampelnya akan diminta untuk mencoba wewangian heavenly dan memberikan indikasi apakah ia cukup mempunyai wewangian itu untuk membeli satu botol. Solusi kita akan menggunakan prosedur uji hipotesis lima langkah Langkah 1: dalam kasus ini hipotesis nolnya adalah. “tidak ada perbedaan perbedaan
dalam proporsi perempuan muda dan perempuan yang lebih tua yang lebih menyukai heavenly. Kita menetapkan
1 sebagai
proporsi perempuan muda yang akan membeli heavenly dan
2
sebagai proporsi perempuan tua yang akan membeli heavenly. Hipotesis alternatifnya adalah bahwa proporsi tersebut tidak setara . H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 ≠ 2
Langkah 2: kita memilih tingkat signitifikasi 0,05 pada contoh ini. Langkah 3: statistik uji mengikuti distribusi normal standar. Dengan rumus:
z=
Langkah 4: nilai kritis adalah -1,96 dan +1,96. Jika nilai z terhitung jauh didaerah
antara +1,96 dan -1,96, hipotesis nol tidak ditolak. Jika itu terjadi, dianggap bahwa perbedaan apapun antara proporsi dua sampel tersebut diakibatkan oleh variansi kemungkinan. Dan diagramnya: H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 ≠ 2
H 0 H 0 ditolak
Tidak ditolak H 0 ditolak
0,025 0,025 0,95 -1,96
1,96 skala z
Langkah 5: sampel acak 100 perempuan muda mengungkapkan 19 orang cukup
menyukai wewangian heavenly tersebut dan akan membelinya. Demikian juga, sampel 200 perempuan yang lebih tua mengungkapkan 62 orang cukup menyukai wewangian tersebut dan akan membelinya. Kita memisalkan p1 mengacu padaa perempuan muda dan p2 pada perempuan yang lebih tua.
p1= =
= 0,19
p2 =
=
= 0,31
Selanjutnya, kita mengabungkan proporsi sampel dengan rumus pc =
=
=
= 0,27
perhqtikqn bahwa proporsi terkumpul itu lebih kekat dengan 0,31 dibandingkan 0,19 karena lebih banyak perempuan yang lebih tua yang diambil sebagai sampel dibandingkan dengan perempuan yang lebih muda.
= = -2,21
z=
nilai yang terhitung, -2,21, berada didaerah penolakan, yaitu disebelah kiri -1,96. Oleh karena itu, hipotesis nol ditolak pada tingkat signitifikasi 0,05. Dengan kata lain, kita menolak hipotesis nol bahwa proporsi perempuan muda yang akan membeli heavenly setara dengan proporsi perempuan lebih tua yang akan membeli hevenly.
B. Uji Hipotesis Dua Sampel: Sampel Terikat
Untuk uji hipotesis, kita ingin mengethui distribusi selisih dalam taksiran masingmasing perusahaan. Oleh karena itu, hanya ada satu sampel. Dengan kata lain yang lebih formal, kita tengah menyelidiki apakah rata-rata dari distribusi selisih dalam nilai taksiran itu adalah 0. Tetapi rata-rata tersebut perbedaannya adalh 0. Disisi lain, jika salah satu perusahaan tersebut terus menerus melaporkan nilai penaksiran yang lebih besar, maka rata-rata distribusi perbedaannya bukanlah 0. Kita akan menggunakan simbol µd untuk mengindikasikan rata-rata populasi dari distribusi selisih. Kita menganggap distribusi dari selisih populasi tersebut mengikuti distribusi normal. Statistik uji mengikuti distribusi t dan kita mengikuti nilainya dari rumus berikut.
Uji t berpasangan
t=
√
Terdapat n – 1 derajat kebebasan dan d adalah rata-rata selisih antar pengamatan yang berpasangan sd adalah standar deviasi dari selisih antara pengamatan yang berpasangan n adalah jumlah pengamatan yang berpasangan
standar deviasi dari selisih tersebut dihitung dengan rumus yang sudah dikenal untuk standar deviasi, kecuali d diganti dengan X . rumusnya adalah:
sd =
∑
contoh penjelasan pengujian ini: ingat bahwa Nickel Savings and Loan ingin membandingkan dua perusahaan yang mereka gunakan untuk menaksir nilai dari rumah tinggal. Nickel Savings memilih sampel 10 properti pemukiman dan menjadwalkan kedua perusahaan untuk melakukan penaksiran. Hasilnya, dilaporkan dalam ribuan dolar, adalah
Rumah schadek bowyer 1
235
228
2
210
205
3
231
219
4
242
240
5
205
198
6
230
223
7
231
227
8
210
215
9
225
222
10
249
245
Pada tingkat signitifikasi 0,05 dapatkah kita menyimpulkan bahea terdapat selisih dalam rata-rata nilai taksiran rumah-rumah tersebut? Solusi adalah menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya. Dalam kasus ini alternatif dua-ujung tepat karena kita ingin menentukan apakah terdapat selisih dalam nilai-nilai taksir tersebut. Kita tidak tertarik untuk menunjukkan apakah salah satu perusahaan tersebut menaksir proporti pada nilai yang lebih tinggi dibandingkan perusahaan lainnya. Pertanyaannya
adalah apakah perbedaan-perbedaan sampel dalam nilai yang ditaksir mungkin berasal dari populasi dengan rata-rata 0. Jika rata-rata populasi dari selisih tersebut adalah 0, maka kita menyimpulkan bahwa tidak ada selisih dalam nilai-nilai yang ditaksir. Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya adalh: H 0 : µd = 0 H 1 : µd ≠ 0
Ada 10 rumah yang ditaksir nilainya oleh kedua perusahaan, jadi n=10, dan df = n - 1 = 10 – 9 = 9. Kita melakukan uji dua ujung, dan tingkat signitifikasinya adalah 0,05. Untuk menentukan nilai kritis, telusuri baris dengan dersjat kebebasan 9 hingga kolom untuk uji duaujung dan tingkat signitifikasinya 0,05. Nilai pada titik potongnya adalah 2,262. Aturan keputusannya adalah menolak hipotesis nol jika nilai t terhitung kurang dari -2,262 atau lebih besar dibandingkan 2,262, inilah perincian perhitungannya.
Rumah
Schadek
Bowyer
Selisih, d
1
235
228
7
2,4
5,76
2
210
205
5
0,2
0,16
3
231
219
12
7,4
54,76
4
242
240
2
-2,6
6,76
5
205
198
7
2,4
5,76
6
230
223
7
2,4
5,76
7
231
227
4
-0,6
0,36
8
210
215
-5
-9,6
92,16
9
225
222
3
-1,6
2,56
10
249
245
4
-0,6
0,36
46
0
174,40
d = sd =
∑ ∑ =
= 4,60 =
= 4,402
dengan menggunakan rumus t, nilai statistik uji adalah 3,305 diperoleh dari
t =
√ √ =
= 3,305
oleh karena t terhitung jauh di daerah penolakan, hipotesis nol tersebut ditolak. Distribusi perbedaan populasi itu tidak memiliki rata-rata 0. Kita menyimpulkan bahwa terdapat perbedaan dalam rata-rata nilai taksiran rumah-rumah tersebut, perbedaan tersebut sebesar $12.000 adalah untuk rumah 3. Mungkin itu akan menjadi tempat yang tepat untuk memulai peninjauan yang lebih terperinci.
C. MEMBANDINGKAN SAMPEL SAMPEL TERIKAT DAN SALING BEBAS Ada dua jenis sampel terikat: 1. Sampel-sampel yang dikarakterisasikan oleh suatu pengukuran, intervensi, dan kemudian pengukuran lainnya. Contohnya, andaikan kita ingin menunjukkan bahwa, dengan menempatkan pengeras suara ditempat produksi dan memutar music yang menenangkan, kita mampu meningkatkan produksi. Kita mulai dengan memilih sampel pekerja dan mengukur keluaran mereka dibawah kondisi sekarang. Pengeras suara kemudian dipasang ditempat produksi, dan kita mengukur lagi keluaran dari pekerja yang sama. Ada dua pengukuran, sebelum menempatkan pengeras suara ditempat produksi dan sesudahnya. Intervensinya adalah pemasangan pengeras suara ditempat produksi tersebut. 2. Sampel-sampel yang dikarakterisasikan oleh pasangan pengamatan. Contohnya, asumsikan seorang pisikolok industry ingin mempelajari kemiripan intelektual dari pasangan-pasangan yang baru menikah, ia memilih sampel pasangan-pasangan yang baru menikah. Kemudian ia melakukan uji inteligensi standar baik pada laki-laki maupun perempuan untuk menentukan perbedaan angkanya. Perhatikan pencocokan yang terjadi, membandingkan angka berpasangan atau dicocokkan oleh pernikahan.
Mengapa kita lebih menghendaki sampel yang terikat dibandingkan sampel yang saling bebas? Dengan menggunakan sampel terikat, kita dapat mengurangi variansi dalam distribusi penarikan sampel. Untuk menggambarkannya, kita akan menggunakan contoh nickel savings dan loan yang baru kita selesaikan. Andaikan kita menganggap bahwa kita memiliki dua sampel saling bebas dari proporti real estat untuk ditaksir dan melakukan uji hipotesis berikut. Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya adalah: H 0 : µ1 = µ2
H 1 : µ1 ≠ µ2
Sekarang ada dua sampel saling bebas, masing-masing beranggotakan 10. Jadi angka derajat kebesarannya adalah 10 + 10 – 2 = 18. Untuk tingkat signifikasi 0,05, H 0 ditolak jika t kurang dari -2,101, atau lebih besar dari 2,101. Rata-rata nilai taksiran dari 10 proporti tersebut oleh schadek adalah $226.800, dan standar deviasinya adalah $14.500. untuk bowyer real estate rata-rata nilai taksirannya $222.200 dan standar deviasinya $14.290. untuk mempermudah perhitungannya, kita menggunakan ribuan dolar,nilai perkiraan variansi terkumpul dari rumus:
=
) ( =
=206,50
Dari rumus t adalah: t=
=
=
= 0,716
nilai t terhitung (0,716) kurang dari 2,101, jadi hipotesis nol tidak ditaolak, kita tidak dapat menunjukkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai penaksiran. Ini bukan kesimpulan yang sama dengan yang kita dapat sebelumnya! Mengapa itu terjadi? Dalam kasus sampel saling bebas, penyebutan adalah 6,4265. Ada lebih banyak variasi atau ketidak pastian. Ini menjelaskan perbedaan pada nilai-nilai t dan perbedaan pada keputusan-keputusan statistik. Penyebut ini mengukur kesalahan standar statistik. Ketika sampel tidak dipasangkan, ada dua jenis variasi: perbedaan antara dua perusahaan penaksir dan perbedaan dalam nilai real estat. Ada sedikit berita buruk disini, dalam uji pengamatan berpasangan, nilai derajat kebebasannya setengah dari nilai mereka ketika sampel-sampel tersebut tidak berpasangan. Untuk contoh real estat, derajat kebebasan turun dari 18 menjadi 9 apabila pengamatan pengamatan dipasangkan. Akan tetapi, dalam sebagian besar kasus, ini adalah harga murah yang harus dibayar demi sebuah pengujian yang lebih baik.
KATA PENGANTAR
Puji syukur senantiasa penulis persembahkan kehadirat Allah SWT. Atas rahmat taufiq, serta hidayah-Nya, Resume ini dapat diselesaikan sehingga dapat dipersembahkan kepada para pembaca yang budiman sebagaimana wujudnya sekarang. Adapun judul Resume yang kami sajikan dan kami paparkan dalam mata kuliah Statistik II ini adalah Uji Hipotesis” “
Resume ini merupakan hasil kerja maksimal dari penulis, sesuai dengan tenaga dan kemampuan yang ada pada penulis, namun penulis juga menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak terdapat kesalahan maupun kekurangan. Penulis mohon maaf. Penulis juga mengucapkan terima kasih pada pembaca , dosen pembimbing, atas segala motivasi yang diberikan.
Pekanbaru, April 2012
Penulis
