92022-10-836265152588

Modul 10

PENDAHULUAN Ekspresi-ekspresi logika yang sudah dibahas pads bab-bab mempunyai berbagai bentuk, mulai mulai dari yang rumit rumit sampai sampai dent dent yang yang sederh sederhana ana.. Bentuk Bentuk yang rumit rumit adalah adalah bentuk bentuk dengan dengan banyak banyak jenis perangkai, perangkai, variabel proposisional, proposisional, dan tanda kurung, sedangkan sedangkan kan bentuk bentuk yang sederhana sederhana karena karena hanya hanya memiliki memiliki sedikit sedikit jenis jenis perangkai, perangkai, sedikit variabel proposisional, dan tanda kurung ngga mudah dibaca. Bentuk Bentuk ekspres ekspresii logika logika yang yang standar standar disebut disebut bentuk bentuk normal normal sedangkan bentuk normal normal mempunya mempunyaii dua jenis yakni: yakni: (1) Bentuk Bentuk normal konjungtif dan (2) Bentuk normal disjungtif. Jadi sebenarnya tidak ada bentuk normal saja, yang ada adalah bentuk normal konjungtif atau bentuk normal disjungtif.

BENTUK NORMAL Bentuk normal (Normal Form) adala h bentu k stan dar untuk eksp ekspre resi si log logik ika. a. Ben Bentu tuk k stand standar ar yang yang dimaks dimaksud udkan kan di sini sini adala adalah h bahw bahwa a semua semua bentu bentuk k ekspre ekspresi si logik logika a bisa bisa disederhanakan deqan menggunakan perangkai dasar (alamiah), yakni perangkai dan dan v. Oleh Oleh karen karena a itu, itu, dala dalam m suatu suatu fpe atau wff, berbaga berbagaii perangka perangkaii lainnya lainnya dapat dapat disederhanakan disederhanakan dengan menggurq perangkai perangkai dasar, meskipun variabel proporsionalnya proporsionalnya bertambah banyak. Bentuk normal sangat penting dipahami karena kebany;g apli aplika kasi si logi logika ka,, misal misalny nya a merancang rangkaian elektronika sirkuit (dibahas pads Lampiran 1) menggunakan bentuk normal khususny khususnya a bentuk bentuk normal normal disjung disjungtif. tif. Bentuk Bentuk normal normal disebut disebut j bentuk bentuk kanonik kanonikal al (canonical (canonical form).

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

BAMBANG JOKONOWO S.SI LOGIKA MATEMATIKA

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







Setiap ekspresi logika berbentuk fp e atau wf f dap at dial di al menjadi menjadi bentu bentuk k normal normal yang yang hanya hanya meng menggu guna nakan kan peran perangk gkai ai dE atau atau peran perangka gkaii alamia alamiah. h. Untuk Untuk meng mengerj erjak akan an hal hal tersebut, digs kan hukum-hukum logika yang ada pads pads Bab 6, Tabel 6-1 Sebagai contoh, ada dua bush fpe, P dan P dan Q adalah ekuivalen, dan hanya jika, P mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan Q dengan semua kemungkinan nilai kebenaran yang membentuknya dengan tabel kebenaran. Misalkan ada skema seperti berikut: Contoh 10-1 P = (A-->B)->(-,CvA) (A-->B)->(-,CvA) Q = - ((A-->B)A--+,CvA) ((A-->B)A--+,CvA) Jadi jika P =_ Q, maka: (A->B)->(-,CvA) (A->B)->(-,CvA) =- -,((A--->B)A ∧ Jadi dapat dipastikan jika (A ,((A-+B)A

∧ ¬

B)

(

¬

-(

¬

,CvA)

¬ CvA) akan sama nilai kebenarannya dengan ¬

(CvA), dengan semua nilai ke benaran dari A, B, dan C.

Misalkan ada ekuivalensi logis berikut: A<->B,=- (A-+B)A(B-+A (A-+B)A(B-+A)) Dapat dibuktikan ekuivalensinya dengan menggunakan hukum^ukum logika yang ada pads Tabel 6-1. Setiap bentuk ekspresi logika dapat diubah menjadi bentuk -no -normal rmal,, ya yang hany hanya a berisi perangkai

¬

,

∧

, dan v, dengan proposisi ,asar yang dikomposisikan dalam bentuk

rumus atomik (atomic =Drmulae) atau atom-atom (atoms). Atom sama saja dengan denga n







oteral.

Definisi : Literal adalah atom dan atau negasi dari atom.

Jadi: (1). A dan (2).

(2).

¬

A adalah atom-atom atom-atom atau literal, literal, atau

P2 adalah literal

¬

P12 adalah literal

(3). Literal Literal yang berisi berisi satu satu atom atom disebut disebut literal positif (positive positif (positive literal), misal: P2 (4). (4).

Litera Literall yang yang berisi berisi neg negasi asi dari dari satu satu atom atom diseb disebut ut literal negatif (negative literal), misal: IP12

Perhatikan penie(asan bentuk normal konjungtif dan bentuk normal disjungtif pads subbab berikut.

BENTUK NORMAL KONJUNGTIF Bentuk Bentuk Normal Normal Konjungtif Konjungtif (Conjunc (Conjunctive tive Normal Normal Form atau CNF) adal adalah ah bentu bentuk k normal yang memakai perangkai konjungsi dari disjungsi.

Def inisi : Suatu ekspresi logika (wM (wM berbentuk bentuk normal konjungtif

(CNF) bila ia merupa merupakan kan konjungsi konjungsi dari disjungsi disjungsi literal-literal. literal-literal. Bentuknya Bentuknya seperti ber b erik ikut ut:: Al ∧ A 1 & ∧ … . ∧ A i ∧ … ∧ A n Di mana setiap 4 berbentuk: x1v Xi V V ) ~ V V X M Di mana setiap )q berbentuk literal.







Berikut ini contoh-contoh CNF: Contoh 10-2 (1)- (P2 V P5 V

¬

P3) A (

¬

-P2 V PI V P3) A (PIV P2V P3V P7V

¬

IP4)

(2). (—PlV—P3) (2) ( ¬ --IP2V ¬ IPIV P3) (3)• (P2V

¬

IP3V

¬

I

P4V P7) A P2

(4). _p _ p I 0 Bentuk CNF pads nomor (1), (2), (3), dan (4) di atas tetap dapat disebut bentuk normal konjungtif. Untuk nom or (4) diterima seba sebaga gaii default.

BENTUK NORMAL DISJUNGTIF Bentuk Normal Disjungtif (Disjunctive Normal Form atau DNF) adalah adalah bentuk bentuk normal yang memakai perangkai disjungsi dari konjungsi.

bef inisi:

Suatu ekspresi logika (0) berbentuk bentuk normal disjungtif

(DNF) bila ia merupakan disjungsi dari konjungsi literal-literal. literal-literal. Bentuknya seperti berikut A i vAi v…..vAi v.... v An







Di mana setiap A berbentuk: λ 1 ∧ λ 1 ∧......

∧ λ ∧

j

..... ∧ λ m XJ

Di mana setiap Ai Ai berbentuk : j λ 1 ∨ λ 1 ∨ ...... ∨ λ

∨

.... ∨ m

Dimana setiap λ i berbentuk literal Berikut ini contoh-contoh DNF: Contoh 10-3 (1)- (P2v P5A

¬

P3) ∧ (

¬

P2 v P Iv 03)

∧

(P1 v P2 v P3 v P7v

¬

P4)

(2)• ( ¬ -PIv P3) v ( ¬ P2v ¬ P1 v P3) (3)• (P2v (4)• ¬

¬

-P3v

¬

-P4v P7) ∧

v

P2

plo

Bentuk DNF pads nomor (1), (2), (3), clan (4) di atas tetap dapat disebut bentuk normal disjungtif. Untuk nomor (4) diterima sebagai default.

BENTUK NORMAL DAN TABEL KEBENARAN Untuk membuat DNF dari suatu ekspresi logika yang dibuat dengan tabel kebenaran seben sebenarn arnya ya cukup cukup mucla muclah, h, yakni yakni hanya hanya meng mengamb ambil il nilainilai-ni nilai lai T dari dari ekspr ekspres esii logika logika tersebut. Lihat contoh ekspresi logika berikut ini:







C o n t o h

1 0 - 4

-,(A ∧ B) <-> (,

¬

Av

¬

-,C)

Tabel kebenarannya seperti berikut: CILJK;i r%K7LJVI 101 C31 11 IYCI OCYCI l A F B 1 C j Aa F F F F T T T T

F F T T F F T T

F T F T F T F T

F F F F F F T T

1

T T T T T T F F

( A a ) 1, A I -C j, -Av, C T T T T F F F F

Gambar 10-1 Tabel kebenaran dari

T F T F T F T F

¬

-tAAB)++(-AvC)

T T T T T F T F

T T T T F F T

(A ∧ B) <-> (

Dari tabel kebenaran di atas, hanya mengambil nilai dari ¬

I

¬

(A/\B)

Av

¬

C)









<-4 (,

¬

Av-

¬

,C) yang bernilai T, yakni ada 6. Lihat nomor urut di sisi kanan, kemudian

jadikan jadikan DNF seperti seperti berikut berikut sesuai sesuai urutan urutan nomor: nomor: (

¬

A ∧

C)v(A ∧

¬ ¬

B∧ B∧

¬ ¬

C)v(

¬

A ∧ -,B ∧ AC)V(-,A/\ AC)V(-,A/\

¬

B∧

A-,C)V( ¬ ¬ A-,C)V(

A /\ B

∧

C) v(A ∧ B ∧ C)

Bentuk normal diatas tersebut full disjunctive normal form (FDNF). Sedangkan untuk CNF sebenarnya sama saia. mengambil Mai F dari label kebenaran dan membuatnya menjadi full conjuctive normal form (FCNF), dengan catatan nilai variable-variabel proposisionalnya terbalik dari pasangan pada pasangan tabel kebenaran. T menjadi F clan F menjadi T. Lihat pads tabel kebenaran, lihat pads sisi kanan, yakni ada dua, pads baris X clan Y.

Selanjutnya, CNF akan disusun seperti berikut: =- (,

¬

AvBV

¬

,C)A(

¬

,Av-

¬

Bv

C) Teknik Teknik di atas pads DNF, sebena sebenarnya rnya menggunaka menggunakan n yang yang disebut disebut minterm, yang mengg unakan pasan gan vari abel propo sisi onal yang yang berad berada a di tab tabel el kebe kebena naran ran clan clan yang memiliki nilai T.

Def inisi: Minterm adalah konjungsi dari literal-literal dengan variabel yang hanya dinyatakan satu kali.







Misal ada 3 var iabel proposisional A, B, c lan C. Berikut adalah Conto Contoh h minterm: (1). (A ∧ B ∧ C) (2). ( ¬ A ∧

¬

(3). ( ¬ A

B ∧ C)

∧

B∧

¬

C)

Contoh 10-6 Berikut ini bukan minterm: (1). (A ∧ A ∧ C ) (2). ( ¬ A ∧ ¬B

∧

B ∧ B)

(3). ( ¬ A ∧ C ) (4). B

Jadi, suatu disjungsi dari minterm benar jika salah satu pasangan variabel di dalam tabel kebenaran bernilai benar. Jadi, misalnya ( ¬ A ∧ ∧

¬

B ∧ C)V ( ¬A

B ∧ ,C) ,C) berni bernilai lai bena benarr jika jika ( ¬ A/\ A/ \-,B ,BAA-,C ,C), ), ( ¬ A ∧

B∧

∧

¬

C)V ( ¬ A

B∧

¬ C) salah

B∧

C), ( ¬ A ∧

satu satuny nya a harus harus berni bernila laii bena benar, r, dan dan yang yang meny menyimp impan an dari dari ini, ini, akan akan membu membuat at minterm menjadi salah. Pembah Pembahasa asan n tentan tentang g tabel tabel kebena kebenaran ran,, DNF, DNF, dan penger pengertia tian n

minterm sangat

pent penting ing untuk untuk menje menjelas laska kan n aplik aplikasi asi logika logika untuk untuk mer ancang rangkaian elektroni ka







Pada bentuk CNF, seperti pads definisi, dapat diubah menjadi bentuk berikut: C1

∧

C1 ∧ .... ∧ Ci ∧ ....

∧

Cn

di mana setiap C i adalah disjungsi dari literal-literal yang berbentuk: λ 1 ∨ λ 1 ∨ λ J

∨

.....V π m

di mana setiap X j adalah literal. Ci disebut klausa (clause) yang mempunyai definisi:

Definisi: Klausa adalah disjungsi dari literal-literal. Setiap klausa dapat berisi urang=kurangnya satu literal, misalnya A dan -,A, dan setiap literal disebut usa unit (unit clause).

Berikut ini contoh klausa-klausa unit: Contoh 10-7 (1).( P2 ∧ P5 ∧ —P3)







(4). P10 Pembahasan tentang klausa dan CNF memegang pert penti enting ng untu untuk k mel melak akuk ukan an deduksi resolusi (resolution deduct Sebelum membahas masalah resolusi dalam Bab 11, ter l dahulu kits akan akan membahas bagaimana bagaimana mengubah mengubah ekspresi ekspresi Ic ke hentuk CNF

MENGUBAH KE BENTUK NORMAL KONJUNGTIF Untuk mengubah mengubah suatu ekspresi ekspresi logika logika menjadi menjadi berbentuk berbentuk CNF, ada 5 langkah yang cligunakan, cligunakan, tentunya ticlak semua langkah harus dipakai, dipakai, tetapi hanya hanya langkah yang relevan saja, clan jugs ticlak ticlak harus harus urut, urut, karena karena tergantu tergantung ng keadaan. keadaan. Langka Langkah-lan h-langka gkah h tersebut ialah: Langkah 1: Gunakan ekuivalensi A"B =_ (A->B) ∧ (B-.>A) untuk menghilangkan perangkai <-> (ekuivalensi).

Langkah 2: Gunakan ekuivalensi A->B =_ ¬ ,A ∨ B un tuk meng hil angk an pera perang ngka kaii -> (implikasi). Langkah 3:







Langkah 4: Gunakan hukum negasi ganda ¬ ¬ A =_ A untuk u ntuk menghila meng hilangka ngkan n tanda negasi. negasi.

Langkah 5: Innakan

hukum distributif Av(B

∧

C) =_ (AvB)

∧

( Av Av C) C) un u n tu tu k g u b a h n y a

menjadi CNF.

Bentuk logika di atas tentunya masih bisa disederhanakan lac-A tetapi cukup sampai di situ, karena hanya untuk menghilangkaO perangkai <-> dan ->. Pe Jadi untuk mengubah suatu ekspresi logika menjadi DNF, tentunya digunakan cars-cars yang sama, tetapi dengan menggunakan hukum-hukum logika yang tepat dan relevan untuk keperluan tersebut.

BENTUK NORMAL KONJUNGTIF DAN COdHPLEMENTATrOM Sebelum membahas complementation, sebaiknya sebaiknya kits mengenal dahulu konsep dualitas









Logik Logika a Propos Proposisi isiona onal) l) biasan biasanya ya berpas berpasang angan. an. Lihat Lihat Bab 6 tentang tentang Ekuivalen Ekuivalen Logis. Berikut adalah contoh dual dualit itas as:: Contoh 10-11 •

A v ¬ A = T

•

A

∧ ¬ A

F

Excluded Middle Law (Tautology) Law of Contradiction

Perhatikan! Perubahannya sebenarnya hanya tanda perangkai A menjadi v, dan nilai ekspresi T berubah menjadi F.

Dualitas adalah kembaran suatu ekpsresi. Jika memiliki memiliki perangkai v akan diganti A, demikian sebali sebaliknya, knya, dan jika bernila bernilaii T akan akan diganti ganti bernil bernilai ai F, demi de miki kian an seba se balilikn knya ya..

Konsep dualitas berhubungan erat dengan complementation dan dan dengan konsep ini







--,B, maka complement-nya B. Jika berupa ekspresi, perlakuan juga sama. Ands terlebih dahulu hares mengetahui mengetahui dualitas complements complements r sebelum mempelajari mempelajari cara kerja complementation. Lihat con berikut: Contoh 10-12 Negasikan P = (A/\B)v~C dengan complementation. Jawaban:

Langkah 1: Cari dualitas dari P, yakni: ( ¬ AvB) ∧

¬

C.

Hanya mengganti perangkai, tetapi literalnya tidak diubah. Langkah 2: Lakukan complementation dengan mencari complement-n Caranya dengan menghapus semua literal dan diganti deng. complement-nya dan menghasilkan (

¬

Av







¬

P

≡ ¬ -,((AAB)v C) (¬

≡

≡

≡

((

¬

Av

(AAB) ∧

¬

B) ∧

¬ ¬

C) C)

(- ¬ ,Av ¬ --,B)A- ¬ ,C

Ternyata sama. Dengan Dengan kata lain sebenarn sebenarnya ya complementation adala adalah h nega negasin sinya, ya, jika P = A, maka maka complement-nya P = -,A. Jika P = (AAB), maka complement-nya P = -(AA -(AAB) B) atau atau (-,Av--,B) berdasarkan hukum De Morga Morgan' n's. s. Jika Jika ads ads dua dua ekspr ekspres esii logik logika a ekuiv ekuival alen en secara logis, maka complement-nya pasti juga ekuivalen secara logis. Complementa Complementation dapat dapat digunakan digunakan untuk mencari mencari CNF dari suatu suatu ekspres i atau fungsi R. Maka buatlah dahulu DNF dari -R, Jika hasil hasil DNF DNF adal adalah ah P, P, maka maka P = -R dan complement dari complement dari P adalah negasinya yang pasti ekuivalen secara logis dengan R.







Berdasarkan tabel tersebut, -,R adalah bernilai benar atau pads tabel tabel kebenara kebenaran n di atas adalah pads nilai-nilai F yang berada pads baris 2, 5, dan 6 dengan pasangan nilainya seperti berikut: Baris- 2:

A= F

B= F

C= T

Baris- 5:

A= T

B= F

C= F

Baris- 6:

A=T

B=F

C=T

Maka ekspresi DNF yang diperoleh adalah: ( ¬ ,A ∧ ¬ B ∧ C)v(A ∧

¬

B∧

¬

C)V(A ∧

¬

B ∧ C)

tion adalah penegasian suatu ekspresi dengan memakai complement-nya.

92022-10-836265152588

Recommend Documents