EJERCICIOS RESUELTOS HIDRO- ESTATICA- DINAMICA PROBLEMA 1
Determinar la presión en un punto sumergido a 6 m de profundidad en una masa de agua. En el sistema MKS tenemos:
PROBLEMA 2
Determinar la presión ejercida sobre un punto sumergido a 9 mtrs en un aceite de densidad relativa: En el Sistema Técnico tenemos:
PROBLEMA 3
A qué profundid profundidad ad de un aceite aceite de densidad densidad relativa relativa presión de 2.80
. A cual sí el líquido es agua?
En el Sistema Técnico tenemos:
Si fuera agua w = 1000
, se producirá producirá una
PROBLEMA 4
Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad relativa ac 0,750 Trabajando con unidades del Sistema Técnico tenemos: ac Kgr Kgr ac ac w ac 1000 0 , 750 750 w m3 m3 Kgr p
hac
Kgr
= 1000 m3 = m2 Kgr 5000 2 m 6,67 mts de aceite de ac Kgr 750 3 m
w hw
p ac
750
Kgr m
3
PROBLEMA 5
Con referencia a la figura f igura 1, las áreas del pistón A y del cilindro B son respectivamente de 40 cm² y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr. Los depósitos y las conducciones conducciones están están llenos de aceite de densidad relativa ac 0,750 . Cuál es la fuerza F necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? Como los puntos a y b están al mismo nivel (igual profundidad) dentro de un mismo mismo líquido, entonces están a la misma presión
Figura 1
En el Sistema Técnico Técnico de unidades unidades tenemos:
PROBLEMA 6
Determinar la presión manométrica en la tubería de agua A en Kgr/cm2 debida a la columna de mercurio (densidad relativa Hg = 13,6) en el manómetro en U mostrado en la figura 2.
Figura 2 p B
pC por ser puntos que están a un mismo nivel dentro de un mismo líquido en reposo. p A
w hw
Hg h Hg
En el Sistema Técnico tenemos:
Otra forma de resolverlo es empleando las alturas de presión en metros de agua. Como:
y
En este problema se sumaron alturas de un mismo líquido, como debe ser, en éste caso metros de agua.
PROBLEMA 7
Un manómetro (Tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa Hg = 13.6), tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su brazo izquierdo conectado a una tubería que transporta agua a presión. La diferencia de niveles de mercurio en los dos brazos es de 200 mm. Si el nivel del mercurio en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la tubería, encontrar la presión absoluta en la tubería. También encontrar la nueva diferencia de niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2 x 103 N/m2 .
Figura 3 Comenzando por el brazo izquierdo y haciéndolo por alturas de presión tenemos: a)
La presión absoluta correspondiente será:
(22,76 103 + 101,396 103)
p Abs=
124,05 103
N m
2
N m
2
b)
Figura 4 N
Si la presión baja en 2 103 aparecen en la figura 4
m
2
, los niveles del mercurio se modificarán tal como
Reemplazando los valores de P/ρg N 20,76 103 2 m 2,116m m 3 Kgr 9,81 10 m3 seg 2 Por lo tanto 2,116 m = 2,32 m – 26,2 X X
2,32 m 2,116 m 26 ,2
0,204 26 ,2
m 7,786 103 m
= 7,79 m.m
. La nueva diferencia de niveles será: 200 mm - 2X = 200 mm – 15,57 mm = 184,43 mm
Otra manera de resolver la segunda parte de este problema sería:
De la figura 5 se observa que cuando el manómetro no está conectado al sistema, los niveles de mercurio en ambos brazos se igualarían a 300 mm debajo de la línea central de la tubería.
Figura 5 Escribiendo la ecuación manométrica para las nuevas condiciones tenemos
PROBLEMA 8
Determinar la fuerza resultante F debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 m 2 m que se muestra en la figura 6
Figura 6 F hcg A
F 1000
En el Sistema Técnico
Kgr m3
2,2m 2m 1m
F 4.400 Kgr
Ubicación h0
hcg
Ig
2
Ahcg 1
Sen
1 2 3 m 4
h0 2,2m 12 2 Sen2 900 2 1m 2,2m
8
m 12 2,2m 4,4
Por prisma de presiones:
Figura 7
2,35m
Ubicación h0
hcg
Ig
2
Ahcg
Sen
Figura 8 Volumen Rectángulo = 1,2m 2m 1m = 2400 Kgr con aplicación de este empuje en el centro de gravedad del Rectángulo. (3,1 1,2)m 2 1m VolumenTriangulo 2000 Kgr 2 Empuje que estaría aplicado a 2/3 de la altura del triángulo, a partir del vértice del mismo. Tomando sumatoria ( de Momentos con respecto al punto O en el vértice del triángulo 4400 Kgr X(m) = 2400 Kgr 2,2 m + 2000 Kgr (2/3(2)+1,2) m X ( m )
5280 Kgr ( m )
5066 ,66 Kgr ( m )
4.400 Kgr
2,35 m
PROBLEMA 9
Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área triangular CD de 1,2 m 1,8 m mostrada en la figura 9, C es el vértice del triángulo.
Figura 9 F = hcg A 1m Sen450 CF CF
1m Sen450
1,414m
Como es un triángulo, su centro de gravedad estará a 2/3 de C o sea 2/3 1,8 m = 1,2 m de C
X cg = 1,414 m + 1,2m = 2,614 m y el hcg será:
Sen45
hcg
hcg 2,614m
2,614m Sen45 1,848m
F hcg A 1000
Kgr m
3
1,848m
1,2m 1,8m 2
1995,84 Kgr
Ubicación del Empuje 1 X cp
X cg
Ig AX cg
2,614m
1,2m 1,83 m 3
36 1,2m 1,8m 2
2,614m
Xcp = 2,683 m de F
Figura 10
3
Ig = 1/36 bh
1 hcp
hcg
Ig Ah cg
Sen2 450
1,848m
1,2m 1,83 m 3
36 1,2m 1,8m 2
= 1,848 m + 0,0974 Sen² 45 = 1,897 m
Sen2 450 1,848m
EJERCICIOS RESUELTOS HIDRODINAMICA PROBLEMA 1
Por una tubería de 30 cms de diámetro circulan 1800 l/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a 15 cms. Calcular las velocidades medias en ambas secciones de la tubería.
PROBLEMA 2
Si la velocidad en una tubería de 30 cms es de 0,5 m/seg, cuál será la velocidad en el chorro de 7,5 cms de diámetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubería?
PROBLEMA 3
Figura 3.21
Una tubería de 300 mm de diámetro que transporta agua a una velocidad promedio de 4,5 m/seg, se divide en 2 ramales de 150 mm y 200 mm respectivamente. Si la velocidad promedia en la tubería de 150 mm es 5/8 de la velocidad en la tubería principal; determinar la velocidad media en la tubería de 200 mm y el flujo total en el sistema en l/seg. (Ver figura 3.21).
PROBLEMA 4
Figura 3.22 El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 20 cms en A; a 40 Cms en B, Figura 3.22 A está 4,5 mts abajo de B, si la presión relativa en A es de 0,7 Kgr/cm2 y en B de 0,6 Kgr/cm2 cuando hay 105 lts/seg de gasto. Determinar: a) El sentido del flujo b) La pérdida de frotamiento entre los dos puntos. a) El sentido del flujo quedará determinado por la suma de las energías en A y en B; la corriente irá del punto de mayor energía al de menor energía.
Suma de energías en B:
Suma de energías en A:
Como 10,536 > 7,568 m, entonces la circulación del flujo es de B hacia A. b) Tomando la diferencia entre la suma de las cargas, tenemos:
Este resultado indica que por cada kilogramo de agua que pasa de B a A se pierden 2,968 kilográmetros de energía; o lo que es lo mismo las pérdidas de energía entre A y B son de 2,968 kilográmetros por cada kilogramo de agua.
PROBLEMA 5
El diámetro en el tubo de la figura 3.22 cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B; A está 4,5 mts abajo de B. Si la presión en A es 0,7 kgm/cm2, y en B de 0,6 kg/cm2, determínese el gasto en lts/seg despreciando el rozamiento.
Por el Teorema de Bernoulli:
PROBLEMA 6
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B, Figura 3.22. A está 4,5 m abajo de B. Cuál debe ser la diferencia de presiones registradas por 2 manómetros colocados en A y B cuando hay un gasto de 200 lts/seg, despreciando el rozamiento?
Por el Teorema de Bernoulli:
PROBLEMA 7
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B, Figura 3.22. A está 4,5 m abajo de B. Determínese el gasto en lts/seg cuando hay la misma presión en los dos puntos. Depréciese el rozamiento.
A B
0,126 m2
Q V A
m3 seg
A A m
2
Aplicando el Teorema de Bernoulli entre A y B
PROBLEMA 8
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B. Si la presión en A es de 0,20 Kgr/cm 2 mayor que en B, cuál es la diferencia de nivel entre esos dos puntos si fluye un caudal de 200 lts/seg? Despréciense las pérdidas.
Aplicando el Teorema de Bernoulli entre A y B:
PROBLEMA 9
Figura 3.23 En la figura 3.23 se muestra un sifón que descarga agua de un tanque. La diferencia de nivel entre un punto A en la superficie libre y el vértice del sifón es: a = 1,5 mts y la diferencia de nivel entre el vértice y un punto B en la salida es de: b = 6,4 mts; el diámetro de la tubería es de 0,15 mts. Si hay una pérdida por rozamiento de 0,90 mts entre A y el vértice del sifón, y de 1,10 mts entre el vértice y B; ¿Cuál es la presión absoluta en el vértice expresada en Kgr/cm2? Determínese también el gasto en lts/seg. La presión atmosférica del lugar es de 58,6 cm de Hg. Bernoulli entre A y B
p A
= pB
en este caso, presión atmosférica en ambos puntos; También
hB
= 0, sí nuestro nivel de referencia pasa por el punto B.
Como se considera flujo permanente, 7,54 m/seg es la velocidad corriente en todo el sifón. Bernoulli entre A y C
Como la presión en el punto C es superior a cero, entonces si es posible el flujo por el sifón de las condiciones anteriores; ya que se estaba trabajando con presión absoluta:
PROBLEMA 10
Figura 3.24 En la figura 3.24, a = 1,8 mts; b = 6,0 mts; el diámetro en el vértice es de 12,7 cms y en B es de 15,2 cms. Determínese el gasto en lts/seg, así como la presión absoluta en el vértice, despreciando el rozamiento. La presión atmosférica en el lugar es de 58,6 cms de Hg. (También conservando el diámetro de 15,2 cm pero con b = 8,0 mts)
Bernoulli entre A y B:
p A = pB = Presión atmosférica
Como consideramos flujo permanente:
Bernoulli entre C y B:
El flujo no es posible con estás condiciones del sifón, ya que en el punto C se tendría una presión negativa, lo cual no es posible cuando trabajamos con presiones absolutas
Hidrostática 1. La figura muestra un cilindro invertido cerrado herméticamente por un pist ón con una superficie de y un peso de que se desliza sin fricción. El peso y el volumen del cilindro pueden ser despreciados. Inicialmente, el cili ndro y el pistón son sostenidos por la barra en el aire a una presión de y la longitud cuando el pistón está en estado de equilibrio. Luego el cilindro y el pistón s on introducidos en el líquido hasta una posición en la que no hay tracción ni compresión en la barra. En dicha posición . Asumiendo que el gas en el cilindro permanece a una temperatura constante y que su peso es despreciable:
1. Calcular la tensión inicial en la barra en 2. Calcular la presión final en el cilindro en
.
3. Calcular el peso específico del líquido (relativo al agua). 4. Determinar si la posición final es de equilibrio estable, inestable o neutro.
3. Respuesta 1. Si consideramos despreciable el peso del aire, la tensión inicial de la barra es igual al peso del pistón: . Si deseamos tener en cuenta la densidad finita del aire, se puede calcular la masa de aire contenida en el interior del cilindro utilizando la aproximación de gas ideal: . La presión interna debe ser tal que su diferencia con la presión atmosférica multiplicada por el área del pist'on se iguale al peso del mismo:
, de donde: . Calculamos el número de
moles de aire:
y tomando la masa molecular del aire en , llegamos a de aire en el interior del cilindro. A la misma temperatura, pero a presión atmosférica, habría una cierta cantidad de aire ocupando el espacio del cilindro con el pistón:
En gramos: . La tensión de la barra será igual al peso del pistón más el peso del aire en el interior del cilndro, menos el empuje del aire desplazado:
Como se ve, despreciar el peso del aire conduce a un error menor al
.
2. Siguiendo con la aproximación de gas ideal y considerando que la temperatura no cambiará, el producto se mantiene:
(1)
3. 4. donde es la longitud indicada en la figura, en el estado de equilibrio. Además sabemos que en equilibrio, la diferencia de presiones entre las caras del pistón es igual a su peso:
(2)
5. 6. y que las presiones en la cara inferior del pistón y en la cara superior del cilindro pueden calcularse como: (3) (4) 7. 8. y finalmente que en la condición de equilibrio: (5) 9. 10. Estamos en condiciones de calcular, usando las ec uaciones 1 a 5, las 5 incógnitas: ,
,
,
y
. Reemplazando (3) en (2) eliminamos
:
(6) 11.
12. Despejando
de (4), reemplazando en (6) y operando se llega a:
(7)
13. 14. reemplazando
16.
por lo indicado en (5):
15.
17. De la ecuación (1) se puede despejar
:
de (6) y (5):
O sea, un peso específico de
.
18. Dado que el único grado de libertad es la posición vertical del cilindro, analizaremos la estabilidad ante una perturbación en la posición de equilibrio: . Si se sumerge el sistema un poco más allá de la posición de equilibrio, la presión en su interior aumentará, y, aplicando la ecuación de estado del gas en su interior, su volumen decrecerá. Este menor volumen hará que el empuje ejercido por el fluido sobre el sistema cilindro-pistón se haga menor, y el sistema tenderá a bajar aún más por efecto del peso que no cambió. Por lo tanto el equilibrio del sistema es inestable. (También se puede plantear la hipótesis opuesta: una menor profundidad conduce a menor presión en el interior del cilindro, que conduce a mayor volumen y por lo tanto mayor empuje que supera al peso del sistema y tiende a hacer flotar aún más al dispositivo)
4. Un manómetro de tres fluidos como el que se muestra en la figura se utiliza para medir diferencias de presión muy pequeñas. Sabiendo que se utiliza la misma cantidad de líquido en ambos reservorios obtenga: 1. La ecuación que relaciona la diferencia de altura medida en las ramas con la diferencia de presión como función de las densidades de los fluidos utilizados (
,
,
) y las áreas de los
reservorios y las ramas ( y respectivamente). 2. ¿Cómo elegiría estos parámetros para aumentar la sensibilidad del instrumento?
6. Respuesta: 1. Dadas las distancias
marcadas en la figura, la presión
calcular de dos maneras, integrando
Simplificando, se eliminan
en cada una de las ramas:
:
Usando además que, por continuidad:
se puede
se obtiene:
2. La sensibilidad será mayor cuanto menor sea la expresión:
Suponiendo que no se puede cambiar la densidad
del líquido donde queremos
medir la diferencia de presión, se puede hacer mínima la relación de áreas la diferencia de densidades
y
entre los líquidos del manómetro.
7. 8. Considere la compuerta en forma de L que se muestra en la figura. Dicha compuerta tiene un ancho (B-C) y puede rotar libremente (sin fricción) alrededor de un eje (perpendicular a la hoja) que pasa por el punto . Despreciando el peso de la puerta, ¿Cuál es el valor de la altura para el cual la compuerta se abre automáticamente?
10. Respuesta: Planteamos equilibrio de momentos con respecto al punto de giro de la compuerta. Las fuerzas actuantes son las de presión actuando en la parte horizontal de la compuerta (
porque actúa en dirección vertical) y la integral de la presión actuando en
la parte vertical, que llamaremos
. La línea de acción de
parte horizontal de la compuerta, con un brazo de palanca
estará centrada en la , porque en esa sección
la presión es uniforme. Para hallar la línea de acción de podemos integrar el momento producido por las presiones, o podemos recurrir a la fórmula para calcular el ``centro de presiones'':
, donde
el área de la superficie, en nuestro caso
es el ángulo de inclinación, en este caso (suponiendo profundidad unitaria).
presión en el centro geométrico de la superficie, en este caso
momento de inercia de un segmento es
. A es es la . El
. Resultando:
11.
12.
13. El brazo de palanca de será . Las magnitudes de y se calculan como el producto de la presión en los centros geométricos de la s superficies respectivas por sus áreas:
14.
15.
16. Sólo resta tener en cuenta las fuerzas de presión en el exterior de la compuerta, que estará dada por la presión atmosférica (aproximadamente constante):
18.
17.
19. Reemplazando y operando: 20.
21. 22. Observación: Nótese que si bien algunos valores intermedios (por ejemplo la ubicación del centro de presiones) dependen de la presión atmosférica, el resultado final no. Esto es porque sumar una constante a la presión - a ambos lados de la compuerta- no altera el equilibrio de fuerzas. Teniendo esto en cuenta se podría haber considerado para simplificar los cálculos
