VIBRACIONES
1.
Un movimiento movimiento armónico armónico tiene tiene una amplitu amplitud d de 5 mm y un un período período T = 0,15 0,15 s. Determinar Determinar la la velocidad velocidad y la aceleración máximas. Resp.: vmax = 20,93 cm/s amax = 876,3 cm/s 2
2.
Un aceleró acelerómet metro ro indica indica que una estructur estructuraa está está vibrando vibrando armónic armónicame amente nte a 82 cps con una aceleraci aceleración ón máxima de 50 g. Determinar la amplitud de vibración. Resp.: a = 0,185 cm
3.
Un movim movimie ient nto o armó armóni nico co tiene tiene una una frec frecue uenc ncia ia de 10 cps y una una velo velocid cidad ad máxima máxima de 450 450 cm/s cm/s.. Determinar la amplitud, el período y la aceleración máxima. Resp.: a = 7,17 cm T = 0,1 s amax = 28.260 cm/s 2
4. Una partícu partícula la está sometida, sometida, simultán simultáneam eament ente, e, a dos movimie movimiento ntoss armóni armónicos cos simples simples de la misma 2 dirección y frecuencia, siendo sus ecuaciones: x 1 = 10 .sen (2t + π / 4 ) ; x = 6. sen (2t + 2 π/3). Encontrar la ecuación del movimiento resultante. Construir el diagrama fasorial. Las amplitudes están en cm. Resp.: x = 12,925 12,925 sen (2t + 1,25) 5.
Una partícu partícula la está sometida sometida,, simultáne simultáneame amente nte,, a dos movimi movimient entos os armónic armónicos os simples simples de la misma dirección pero de distinta frecuencia, descriptos por x 1 = 10 sen 2t y x 2 = 6 sen 3t. Determinar: a) la ecuación ecuación del movimiento movimiento resultante, resultante, b) las amplitudes amplitudes máxima y mínima mínima de oscilación resultante, resultante, c) la frecuencia del batido.Resp.: a) x = 10 sen2t + 6 sen3t b) 16 y 4 cm respectivamente c) 0,159 Hz
6.
Una partíc partícula ula se somete somete a dos movimie movimiento ntoss armóni armónicos cos simples simples de direccio direcciones nes perpend perpendicu icular lares es y de ecuaciones: ecuaciones: y = 4 sen (2t (2t + δ ) , x = 3 sen2t. sen2t. Indicar Indicar los los valores valores que debe asumir el ángulo ángulo de fase fase inicial δ para que la trayectoria trayectoria de de la partícula sea: a) un segmento recto b) una elipse de de ejes paralelos a los ejes x ejes x e y. y. c) Expresar las ecuaciones de las respectivas trayectorias. Resp.: a) cero, y = 4/3 x ó bien π con y = - 4/3x b) ± π/2 x2 /9 + y2 /16 =1
7.
Un b lo loque d e ma masa m está suspendido de tres elásticos con rigidez k 1 y k 2 como se muestra. La frecuencia de vibración del sistema es 5 Hz. Después de retirar el resorte del medio, la frecuencia es de 3.6 Hz. Determine la relación k 2 / k 1 : Resp.:1,858
8.
Una barra barra de masa masa desprec despreciab iable le de 1 metro de longi longitud tud está está articul articulada ada en su extre extremo mo A y tiene en el opuesto una masa de 2Kg.; ésta barra se halla suspendida a 60 cm. de A mediante un resorte de 3 Kgr/cm de rigidez. Determinae la frecuencia de oscilación de est e dispositivo y la nueva frecuencia que se obtiene al permutar las posiciones de la masa y el resorte. Resp.: f = 3,66 Hz.; f”=10,17 Hz.
9.
A la misma misma barra barra del probl problema ema anter anterior ior se le agreg agregaa otro reso resorte rte de rigid rigidez ez k 2 = 2Kgr/cm, pero a 80 cm del extremo A. Determine: a) la frecuencia resultante de este movimiento, b) Idem considerando que la barra es homogénea y de masa 3Kg. Resp.: a) f =5,415 Hz. b) f = 4,42 Hz.
10. Un peso W, atado al extremo de una banda elástica, produce en la misma un alargamiento estático δest = 12,7 cm. Si se levanta el peso hasta que la tensión en la banda resulte nula y luego se lo suelta sin velocidad inicial, ¿qué alargamiento máximo se producirá debido a la repentina aplicación de la carga y con qué frecuencia oscilará el peso suspendido? 2W Resp.: x) max = 25,4 cm f n = 1,4 osc/s =
k
Vibra
VIBRACIONES
11. El soporte de un transformados de 400 Kg f de peso está constituido por una plataforma sostenida por cuatro varillas de hierro de sección redonda de 0,5 cm 2 y de 1 m de largo. Despreciando el peso de la plataforma y las varillas, calcular: a) la frecuencia natural de la estructura. b) la nueva frecuencia si entre cada varilla y el sostén superior se intercalan resortes de constante k = 1000 kgf /cm Resp.: f = 50 c/s; f' = 15,8 c/s 12. Un peso W, atado al extremo inferior de un cable de constante elástica k , desciende verticalmente con una velocidad constante v. Hallar el esfuerzo de tracción máximo al que estará sometido el cable si el movimiento se detiene bruscamente. Si W = 50N, v = 1 m/s y k = 100 N/cm, calcular la relación entre la tensión máxima y la tensión estática. v T max ) = 5,515 Resp.: Esf . Max = W (1 + g .δ e T e 13. Un barco flota con una profundidad media de inmersión (calado) igual a h y el área de la sección sumergida es A. No teniendo en cuenta el rozamiento y la inercia del agua en movimiento, demostrar que si el barco se desplaza ligeramente hacia abajo y luego queda libre, oscilará verticalmente con un movimiento armónico simple. Calcular el período de esa oscilación. Resp.: T = 2π
h g
14. Una varilla delgada de masa m =0,1 Kg y largo l =300mm. se sujeta en posición horizontal mediante un alambre vertical. El alambre es tal que al aplicarle un par de 0,5 Kgrm gira 90°. Determinar: a) el período de oscilación de este sistema b) la velocidad angular máxima y aceleración angular máxima de la varilla si la amplitud es de 5° c) si la longitud del hilo se reduce a la mitad, cuál es el nuevo período de oscilación. Resp.:
a) T = 97,3 ms.
b) ωmax = 5,69 rad./ s;
••
363,05 rad/s2 ;
θ
c) T' = 69 ms.
15. Una tabla homogénea AB de peso P está horizontalmente apoyada sobre dos rodillos idénticos que giran con velocidad angular de igual módulo y de sentidos contrarios. Inicialmente, el centro de gravedad de la tabla equidista de los puntos de apoyo de los rodillos. El coeficiente de rozamiento entre la tabla y los rodillos es µ. Se pìde: a) Demostrar que si el centro de gravedad de la tabla se desplaza una distancia x respecto de su posición inicial, la tabla realizará un movimiento armónico simple. b) Determinar el período de oscilación del tablón sobre los cilindros. c) Indicar si tiene influencia en el período la posición inicial del tablón sobre los cilindros . Datos: m = 20 kg; l = 0,5 m; µ = 0,15 Resp.:
b) T = 3,66 s; c) NO
16. Un anillo delgado de masa 3Kg. y radio 400mm. está suspendido de una varilla como se indica. Determine su período de oscilación para pequeñas amplitudes. Resp.: 1,8 seg. 17. Un resorte ideal de rigidez 2kg f /cm está conectado a la masa B a través de un orificio en la masa C. Los pesos de B y C son 3kg f y 1kgf . respectivamente. Encuentre la mínima amplitud de vibración para la cual C pierde contacto con B. ¿ Varía este resultado si los pesos de B y C se permutan?. Resp.: 2 cm. ; No. 18. Una masa de 0,15 Kg se desliza sobre una barra curva de 0,6 metros de radio con fricción despreciable, dispuesta en un plano vertical, y entre dos resortes de igual rigidez k cada uno. Suponiendo pequeña amplitud, determine el valor de k para que la masa vibre con frecuencias de valor: a) 1,0 Hz y b) cero. Resp.: a) 4,183 N/m ; b) 1,225 N/m. Vibra
VIBRACIONES
19. Un rodillo de masa m y radio r , que puede girar alrededor de su eje, tiene un punto P que dista a del centro, vinculado con un resorte de constante k a un soporte fijo, como muestra la figura. Calcular la pulsación natural del movimiento del rodillo alrededor de su eje para pequeñas oscilaciones. Resp.:
2ka
ω n =
mr 2
20. Una barra homogénea AB de masa m y largo l puede girar en el plano vertical alrededor de una articulación en su extremo A. Un par de resortes de constante k están sujetos a la barra en el punto C, tal como muestra la figura, a una distancia b del extremo A. Calcular la frecuencia de oscilación para pequeñas amplitudes de movimiento. 2
Resp.:
f n
=
1 3 g 6 k b + 2π 2l m l
21. Un cilindro de masa m1 y radio R que puede girar alrededor de su centro O está restringido en su movimiento por un resorte de constante k , cuyo extremo A engancha en el cilindro a una distancia r de su centro, tal como muestra la figura. De una cuerda inextensible y masa despreciable, arrollada a la periferia del cilindro, cuelga un peso de masa m2. Si se gira el cilindro un pequeño ángulo θ, se pide determinar a) la ecuación diferencial del movimiento para pequeñas oscilaciones. b) la pulsación natural del movimiento. Datos: m1 = 4 kg; m2 = 1 kg; k = 850 N/m; r = 30 cm; R = 40 cm. Resp.: T = 0,497 s. 22. Un disco circular de masa m = 2 kg y radio r = 20 cm está conectado por un resorte de módulo k = 25 N/cm, como indica la figura, y libre de rodar sin deslizamiento sobre la superficie horizontal. Se pide calcular: a) la pulsación natural del movimiento para pequeños corrimientos x. b) la fuerza F que el piso ejerce sobre el disco cuando x = 1,4 cm Resp: ω n = 28,87 rad/s F = 11,67 N 23. Calcular las pulsaciones naturales de vibración de los dispositivos mostrados en las figuras 23 a) y 23 b). Se conocen los datos indicados en las figuras. k
k
Resp.:
23 a)
ω n =
3 2
m1
+
4m 2
23 b)
ω n =
m1 2
+
m2
24. Un disco de masa m1 y radio r puede rodar sin deslizamiento sobre una superficie horizontal. Una barra de peso despreciable de longitud l está rígidamente unida al disco. En el extremo de la barra se encuentra una masa m2. Hallar el período para oscilaciones pequeñas del sistema. Resp.:
T = 2π
3m1 r 2
+ 2 m 2 l 2 2 mg ( r + l )
25. Un sistema formado por un resorte de k =5.000 N/m y masa 2 Kg está en reposo en la posición de equilibrio x =0, cuando la fuerza armónica P(t) = P o sen wt se aplica en t =0; donde P o =100 N y ω =25 rad/s. Determinar: a) la expresión del corrimiento x(t) b)el factor de amplificación (x 0 /δest) c) el máximo valor de x(t). Resp.: a) x(t)= 0,02667 (- 0,5 sen 50t + sen 25t ) metros. b) x 0 /δest = 1,333. c) x(t) max = 34,6 mm. 26. Con referencia al problema anterior calcule el valor de ω para que la amplitud de vibración del estado estable sea 50mm. Resp.: 36,8 rad./s
Vibra
VIBRACIONES
27. Un peso de masa m = 1 Kg está suspendido de un marco rígido mediante un resorte de k =2Kg/cm. El marco efectúa un movimiento oscilatorio armónico vertical de amplitud 2,5 cm y frecuencia 10 Hz. Determinar: a) La amplitud de la vibración de estado estable del peso relativo al marco b) ¿cuál es la fase relativa entre el marco y el peso suspendido?. c) ¿cuál es la frecuencia de resonancia?. Resp.: a) 5cm. b) 180° c) 7,05 Hz.
28. En la figura se muestra un bloque de masa m = 0,2 Kg unido a dos resortes ideales y un amortiguador viscoso. Se pide: a) deducir la ecuación de movimiento del bloque asumiendo que x se mide desde la posición de resortes no deformados b) si x =0 y
•
x
valores de ξ = 2,5 ; 1,0 y 0,25. Utilizar k 1 =20N/ m ••
Resp.:
a)
•
m. x + c x+ ( k 1 + k 2 x) = 0
x(t) =4000.e - 15,81 t
(mm).
= 4 m/s cuando t =0, trazar la gráfica de x(t) para k 2 =30N/ m.
b) x(t) = 55,23.[e-3300 t – e-75,75.t ] (mm) x(t) =261,3. e – 3,953 t . sen 15,31 t (mm).
29. Un péndulo de masa 0,5 Kg tiene un período de 2 seg. y amplitud angular 2°, al cabo de 10 oscilaciones completas su amplitud es 1,5°. ¿Cuál es la constante c de amortiguación viscosa?. Resp.: c = 0,01438 N.s/m. 30. Para el sistema amortiguado que se muestra, justificar que la máxima amplitud de estado estable para un factor dado de amortiguamiento ξ ocurre a una razón de frecuencia: ω/ω0 =(1- 2ξ2)1/2 para ξ2 < 0,5. También demuestre que la correspondiente amplitud máxima es: Resp.:
x max
=
P 0 / k 2ξ (1 ξ 2 )1 / 2 −
31. Para el sistema que se muestra, m = 0,2 Kg y k =2.880 N/m. Cuando el sistema es impulsado por la fuerza armónica de amplitud P 0, se observa que la amplitud de estado estable es la misma con ω =96,0 rad/s y con ω =126,4 rad./ seg. Determine el coeficiente c de amortiguamiento Resp.: c = 12,01 N.s/m.
Vibra
