8. Rotacija krutog tijela Prethodni su zadaci obuhvaćali isključivo translacijsko gibanje, a dimenzije i oblik tijela bili su zanemareni. U ovom poglavlju pojavljuju se zadaci s rotacijom krutog tijela. Rotacija je gibanje ba nje koje izvode planeti, svrdlo bušilice, propeler zrakoplova, kazaljke na satu, vrtuljak, rotor rotor elektromotora, kotači,... Pod pojmom kruto tijelo podrazumijeva se tijelo koje nije podložno deformaciji, odnosno sve čestice od kojeg je načinjeno tijelo imaju uvijek jednaku udaljenost od osi rotacije. U suprotnom bi račun bio znatno složeniji.
8.1.
Djevojčica se vrti na vrtuljku sjede ći, udaljena 1 m od osi rotacije, a jedan puni okret okret na čini za 3 s. Kolika je kutna brzina, obodna brzina i centripetalno ubrzanje djevoj čice? podsjetnik...
Kutna brzina ω je promjena kuta ∆φ rotacije u jedinici vremena ∆ ∆t t :
=
∆ ; ∆t
=
2 ; T
= 2 f .
T – period ili ophodno vrijeme f – frekvencija kruženja
Mjerna jedinica SI za kutnu brzinu je radijan po sekundi (rad s–1). Radijan: 1rad =
360° 2
= 57, 3°.
Ako tijelo rotira stalnom kutnom brzinom: • za kutnu brzinu ω vrijedi jednadžba:
=
v , r
• za centripetalno ubrzanje acp: acp
= r 2
v – obodna brzina tijela r – udaljenost tijela od osi rotacije.
90
8. krutog tijela rotacija
rješenje... poznato
nepoznato
r = 1 m
ω=?
T = 3 s
v=? acp = ?
Kutna brzina djevoj čice na vrtuljku jest:
=
2 T
=
2 ⋅ 3,14 = 2,1 rads −1. 3s
Obodna brzina djevoj čice na vrtuljku jest: v = ⋅ r = 2,1 rad s − ⋅1 m = 2,1 ms − . 1
1
Centripetalno ubrzanje djevoj čice jest:
8.2.
acp
= r 2
acp
= 1m ⋅ ( 2,1rad s −1 ) = 4, 41 ms −2 .
2
Propeler zrakoplova iz mirovanja postigne kutnu brzinu 100 rad s –1 za 10 sekundi. Koliko je kutno ubrzanje propelera? podsjetnik...
Kutno ubrzanje ω je promjena kutne brzine ∆ω u jedinici vremena ∆t :
∆ = ∆t .
Mjerna jedinica SI za kutno ubrzanje je radijan po sekundi na kvadrat (rad s–2). Pri jednolikom kutnom ubrzanju tijela vrijedi jednadžba za tangencijalno ubrzanje: a = r α a – tangencijalno ubrzanje tijela r – udaljenost tijela od osi rotacije. rješenje... poznato
ω = 100 rad s–1
nepoznato α=?
t = 10 s
Kutno ubrzanje propelera jest:
∆ 100 rads −1 = = 10 rads −2 . = 10 s ∆t
91
8.3.
Kvaka na vratima udaljena je 65 cm od osi rotacije vrata i povla či se srednjom silom 30 N. a) Koliki moment sile nastaje pri otvaranju vrata ako kvaku povla čimo silom koja je okomita prema vratima (slika 8.1)? b) Koliki moment sile nastaje pri otvaranju vrata ako se kvaka po vlači silom koja je pod kutom 30° prema površini vrata (slika 8.2)? podsjetnik...
Moment sile je djelovanje sile okomito na krak poluge. Mo-
ment sile uzrokuje rotaciju tijela. M = F r F – sila
Slika 8.1
r – udaljenost hvatišta sile od osi rotacije
Mjerna jedinica SI za moment sile je njutnmetar (N m). rješenje... poznato
nepoznato
F = 30 N
a) M = ?
r = 0,6 m
b) M = ?
α = 30°
a) Sila koja djeluje okomito na krak stvara moment sile:
Slika 8.2
= F ⋅ r M = 30 N ⋅ 0, 6 m = 18 N m. M
b) Komponenta sile koja djeluje okomito na krak F · sin α
stvara
moment sile:
= F ⋅ r ⋅ sin M = 30 N ⋅ 0, 6 m ⋅ sin 30° = 9 N m. M
8.4.
Molekula kisika sastoji se od dva atoma kisika me đusobno udaljenih 1,2 · 10–10 m, a masa svakog atoma kisika iznosi 2,6 · 10 –26 kg. Atomi se rotiraju oko osi koja prolazi okomito kroz središte spojnice tih dvaju atoma (slika 8.3). Koliki je moment tromosti molekule? podsjetnik...
Moment tromosti je fizička veličina koja kazuje kako masa
i njezin raspored oko osi rotacije utje ču na tromost tijela. I
= ∑ m r 2 = m1r12 + m2 r22 + m3r 32 + ...
m1, m2, m3,... – mase čestica krutog tijela r 1, r 2, r 3, ... – udaljenost čestica krutog tijela od osi rotacije
Mjerna jedinica SI za moment tromosti je kg m 2.
92
Slika 8.3
8. krutog tijela rotacija
rješenje... poznato
nepoznato
d = 1,2 · 10–10 m
I = ?
m = 2,6 · 10–26 kg
Moment tromosti molekule kisika jest: 2
2
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ I = ∑ m ⎜ ⎟ = 2 ⋅ m ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ 1, 2 ⋅10 −10 m ⎞ −26 I = 2 ⋅2 ,6 ⋅10 kg ⋅ ⎜ = 1, 87 ⋅10−46 kg m 2 . ⎟ 2 ⎝ ⎠ 8.5.
Puni valjak mase M = 0,5 kg i polumjera r = 0,05 m može rotirati oko horizontalne osovine. Oko valjka je namotan konopac zanemarive mase, a na slobodnom kraju konopca visi uteg mase m = 0,05 kg (slika 8.4). Koliko je ubrzanje utega pri padu? podsjetnik...
Drugi Newtonov zakon za rotaciju krutih tijela: M = I α.
Slika 8.4
Pod djelovanjem stalnog momenta sile M kruto tijelo momenta tromosti I rotirat će se jednoliko ubrzano stalnim kutnim ubrzanjem α. rješenje... poznato
nepoznato
M = 0,5 kg
a=?
r = 0,05 m m = 0,05 kg
Sile koje djeluju na obod valjaka jesu: težina utega F g = m g i napetost niti T . Jednadžba gibanja utega jest: m a = m g – T .
Na valjak koji se rotira oko nepomi čne osi djeluje moment sile M = I α = T r . Uzevši u obzir da je niti:
a
= r
i da je moment tromosti valjka I
=
1 2
2
M r , iz momenta sile dobije se napetost
I α = T r ,
1 2 T
2
M r
=
a = T r , r
1 M a. 2
93
1
Pomoću jednadžbe gibanja utega m a = m g – T i jednadžbe za napetost niti T = M a dobije se 2 jednadžba za ubrzanje utega: mg M m+ 2
a=
0, 05 kg ⋅ 9, 81 ms −2 0, 5 kg 0, 05 kg + 2
a=
8.6.
= 1, 635 ms −2 .
Mjesec rotira oko svoje osi kutnom brzinom ω = 2,66 · 10–6 rad s–1. Masa Mjeseca je M M = 7,35 · 1022 kg, a srednji polumjer Mjeseca je RM = 1 738 km. Kolika je rotacijska kineti čka energija Mjeseca zbog rotacije oko svoje osi? podsjetnik...
Rad i energija rotacije krutog tijela Rad W krutog tijela pri rotaciji za kut φ oko osi rotacije: .
W = M φ .
Kinetička energija Ek rotacije krutog tijela: E k =
I ⋅ . 2 2
rješenje... poznato
nepoznato
M M = 7,35 · 1022 kg
E k = ?
RM = 1 738 km ω = 2,66 · 10–6 rad s–1
Mjesec je oblika pune kugle pa se moment tromosti Mjeseca određuje iz jednadžbe za moment tromosti kugle: I
=
2 5
2
M M RM
2
= ⋅ ( 7, 35 ⋅1022 kg ) ⋅ (1 738000 m )2 = 8,88 ⋅10 34 kg m 2 . 5
Rotacijska kineti čka energija Mjeseca jest: E k =
8.7.
I
2
2
=
8, 88 ⋅1034 kg m 2 ⋅ ( 2, 66 ⋅10 −6 ) 2
2
= 5,14⋅10 23 J.
Dječak vrti malu kuglicu pri čvršćenu za jedan kraj nerastezljive niti zanemarive mase u horizontalnoj ravnini stalnom kutnom brzinom ω1 = 10 rad s–1. Udaljenost kuglice od osi rotacije je r 1 = 1 m. Kolika je brzina kuglice nakon što dje čak trenutačno privuče kuglicu na udaljenost r 2 = 0,8 m od osi rotacije? podsjetnik...
Kutna količina gibanja (zamah) L krutog tijela momenta tromosti I, koje se rotira kutnom
brzinom ω, jest: L = I ω.
94
8. krutog tijela rotacija
Mjerna jedinica SI za kutnu koli činu gibanja je kg m 2 s–1. Zakon očuvanja kutne količine gibanja kaže da će ukupna kutna koli čina gibanja u
izoliranom sustavu ostati nepromijenjena: L = konst . rješenje... poznato ω1 = 10
nepoznato
rad s–1
ω2 = ?
r 1 = 1 m r 2 = 0,8 m
Primjenom zakona o čuvanja kutne koli čine gibanja dobije se da je: L1 = L2, I 1ω1 = I 2ω2, 2
m r1 2
2
1
= =
2
r 1
2
r 2
2, = m r22
⋅ 1
(1 m )
2
( 0, 8 m )
2
⋅10 rad s −1 = 12, 5 rad s −1.
8.8.
Geodeti često kutove mjere i izražavaju gradima. Četvrtini punoga kruga odgovara 100 gradi. Koliko gradi ima jedan radijan?
8.9.
Za svaki navedeni kut odredite ekvivalent u radijanima: a) 80°; b) 2,5 puna okreta.
8.10.
Skačući sa skakaonice u vodu, skaka č načini trostruki salto unazad. Koliki je njegov kutni pomak (u radijanima i stupnjevima)?
8.11.
Pulsar je zvijezda koja brzo rotira i emitira impulse radio valova svakih 30 ms, odnosno za svaki puni okret. Kolika je srednja kutna brzina pulsara?
8.12.
Plivačica u sinkronom plivanju radi kolutove unaprijed. Za 4,5 okreta potrebno joj je 1,9 s. Kolika je srednja kutna brzina pliva čice?
8.13.
Duljina trajanja glazbe na jednom CD-u je 60 minuta. Kada glazba zapo čne, CD se vrti kutnom brzinom 480 okretaja u minuti. Pri završetku glazbe, vrti se brzinom 210 okreta u minuti. Kolika je srednja kutna akceleracija tog CD-a?
95
8.14.
„Flakserica” je alat za košenje trave i niskog raslinja, koji rabi debelu najlonsku nit („ flaks” ili „krenu”) duljine 25 cm. Najlonska nit rotira oko osi, koja prolazi njezinim krajem, brzinom 600 okr. s –1. a) Koliko će vremena „ flakserica” kositi travu dok nit napravi kut 0,7 rad? b) Koliki je put za to vrijeme prešao vrh najlonske niti ako joj se duljina ne mijenja?
8.15.
Bubanj perilice rublja vrti se pri centrifugiranju stalnom kutnom brzinom 3,5 rad s–1. Bubanj je postigao tu brzinu iz mirovanja, ubrzavajući se kutnim ubrzanjem 4 rad s–2. Koliko je vrijeme ubrzavanja bubnja?
8.16.
Rotor elektromotora rotira se stalnom kutnom brzinom. Tijekom 1,8 s kutna brzina mu se smanjila na 84 rad s–1. Kutno usporenje rotora je 40 rad s –2. Kolika je po četna kutna brzina rotora?
8.17.
Dva paralelna kartonska diska, razmaknuta su d = 1 m i rotiraju na zajedničkoj osovini kutnom brzinom 100 rad s–1. Puščano zrno najprije prolazi kroz lijevi, a potom kroz desni disk (slika 8.5). Kutni pomak između dvije rupe na kartonskim diskovima je 0,3 rad. Kolika je brzina zrna?
Slika 8.5 8.18.
Helikopter je sletio na heliodrom i gasi motore. Početna kutna brzina stražnjeg propelera je 2000 rad s–1,
a zaustavljanje propelera traje 2 minute. Koliki je kutni pomak propelera do zaustavljanja? 8.19.
Konobar vrti pladanj na vrhu prsta. Kutna brzina pladnja se pritom smanjuje s 20 rad s –1 na 15 rad s–1, a pladanj na čini kutni pomak 90 rad. Koliko traje usporavanje pladnja?
8.20.
Zamašnjak konstantno usporava kutnim usporenjem 3 rad s–2, a početna kutna brzina mu je 300 rad s–1.
Koliki je kutni pomak zamašnjaka do zaustavljanja? b) Koliko vrijeme mu je potrebno da se zaustavi? a)
8.21.
Kutna brzina ventilatora u automobilskom motoru poraste sa 150 rad s –1 na 200 rad s–1 nakon 14 punih okretaja. Koliko je kutno ubrzanje ventilatora?
8.22.
Kutna brzina rotora elektromotora poraste s 400 rad s –1 na 1400 rad s–1 tijekom 4 s. a) Koliki je kutni pomak rotora? b) Koliko je kutno ubrzanje rotora?
8.23.
Rulet usporava i nakon 10 s kutna brzina mu se smanjila na 1,9 rad s –1. Za to vrijeme rulet je na činio kutni pomak 45 rad. Koliko je kutno ubrzanje ruleta?
8.24.
Ribič štapom za ribolov povla či ribu stalnom brzinom 0,2 m s –1. Na jednom kraju najlonske niti (krene, flaksa) vezani su udica i olovo, a drugi kraj niti namotan je oko koloture promjera 8 cm. Kolika je kutna brzina koloture?
96
8. krutog tijela rotacija
8.25.
Motocikl vozi po kružnoj stazi stalnom brzinom 160 km h –1. Jedan puni krug po stazi na čini za 20 s. a) Kolika je srednja kutna brzina motocikla? b) Koliki je polumjer staze?
8.26.
Svrdlo na bušilici, polumjera 1 mm, rotira brzinom 9 · 10 4 rad s–1. Kolika je tangencijalna brzina to čke na rubu svrdla?
8.27.
Drveni štap rotira stalnim kutnim ubrzanjem 10 rad s –2 oko okomite osi koja prolazi jednim njegovim krajem. Koliko je od osi rotacije udaljena to čka na štapu koja ima linearno ubrzanje jednako ubrzanju sile teže?
8.28.
Kotač bicikla promjera 1 m okreće se kutnom brzinom 10 rad s –1. Koliki put prije đe kotač za jedan sat ako se tijekom cijelog puta giba stalnom brzinom?
8.29.
Bickl prevali udaljenost od 500 m. Koliko okretaja pritom na čine kotači ako im je promjer 0,8 m?
8.30.
Polumjer automobilskog kotača je 35 cm. Os rotacije kotača giba se linearnom brzinom v = 60 km h–1.
Kolika je kutna brzina kota ča? b) Kolika je linearna brzina to čke udaljene od osi kota ča 18 cm? a)
8.31.
U uputama proizvo đača automobila piše da vijak na kota ču treba zategnuti momentom sile 50 N m. Kolikom silom pritom treba djelovati okomito na kraj klju ča duljine 25 cm?
8.32.
Sila 120 N djeluje okomito na lijevi rub pravokutnika (slika 8.6).
Koliki je moment sile oko osi rotacije koja prolazi to čkom A, okomito na ravninu pravokutnika? b) Koliki je moment sile oko osi rotacije koja prolazi točkom B, okomito na ravninu pravokutnika? a)
Slika 8.6
8.33.
Dva radnika u brodogradilištu zakre ću horizontalnu čeličnu gredu koja visi na užetu dizalice. Radnici guraju gredu svaki sa svoga kraja silom 20 N okomito prema gredi, kao što prikazuje slika 8.7. Pod djelovanjem sila greda se zarotirala za 180°. Kolikim momentom sile svaki radnik okreće gredu ako je duljina grede 6 m?
Slika 8.7
8.34.
Kotač automobila ima polumjer 35 cm. Motor automobila djeluje na kota č zakretnim momentom od 300 N m. Kotač ne klizi po cesti, a sila trenja izme đu kotača i ceste stvara moment suprotnog smjera pa se automobil giba stalnom brzinom. Kolika je sila trenja?
97
8.35.
Glinena vaza nalazi se na kota ču koji rotira. Na nju djeluje moment sile 12 N m, a njezino kutno ubrzanje je 10 rad s–2. Koliki je ukupni moment tromosti vaze na kota ču?
8.36.
Na krajevima šipke duga čke 8 m pri čvršćene su kuglice jednakih masa po 2 kg. Šipka može slobodno rotirati oko osi koja prolazi njezinim središtem okomito prema ravnini rotacije. Na jednu od kuglica djeluje sila od 16 N, kao što je prikazano na slici 8.8. Masa šipke je zanemariva prema masi kuglica. Odredite početno kutno ubrzanje šipke.
Slika 8.8
8.37.
Na kojoj udaljenosti od osi rotacije tijela treba djelovati okomito silom od 15 N da bi moment sile iznosio 3 N m?
8.38.
Automobil se giba brzinom 100 km h–1. Polumjer svakog njegova kota ča je 35 cm, a moment tromosti 0,9 kg m2. Ukupna masa automobila, zajedno s kota čima, jest 1400 kg. a) Kolika je translacijaska kineti čka energija automobila? b) Kolika je rotacijska kineti čka energija njegova četiri kota ča zajedno? c) Kolika je ukupna kineti čka energija automobila?
8.39.
Šuplja kugla tankih stijenki mase 1 kg kotrlja se po podlozi srednjom brzinom 1 m s –1. a) Kolika je rotacijska kineti čka energija kugle? b) Kolika je ukupna kineti čka energija?
8.40.
Teniska loptica se po činje kotrljati niz padinu iz mirovanja, kao što je prikazano na slici 8.9. Na kraju staze uzlije će pod kutom od 45° prema horizontali. Lopticu promatrajte kao šuplju kuglu tankih stijenki. Koliki je domet D loptice? Slika 8.9
8.41.
Zemlja se zarotira oko svoje osi za 23,92 h. Polumjer Zemlje je 6380 km. a) Kolika je obodna brzina to čke na ekvatoru? b) Na kojoj je geografskoj širini iznos obodne brzine jednak četvrtini obodne brzine na ekvatoru?
8.42.
Podaci snimljeni na CD-u o čitavaju se jednakom obodnom brzinom na bilo kojemu dijelu diska. Kutna brzina to čke udaljene 5 cm od središta CD-a je 3,35 okr./s. a) Kolikom se obodnom brzinom o čitavaju podaci? b) Kolika je kutna brzina to čke udaljene 2 cm od središta CD-a?
98
8. krutog tijela rotacija
8.43.
Prilikom izvođenja servisa, tenisa č zamahne reketom srednjim kutnim ubrzanjem 150 rad s –2. Kad se reket nalazi u vertikalnom položaju, odnosno u najvišoj to čki putanje, ima kutnu brzinu 15 rad s –1. Koliko je ukupno ubrzanje u toj to čki ako je ona od ramena igra ča udaljena 1,8 m?
8.44.
U kinoprojektoru vrpca se povla či brzinom 0,4 m s–1. a) Koristeći se podacima sa slike 8.10, odredite kutnu brzinu role. b) Nakon 60 minuta rola je gotovo puna, kao što je prikazano na slici 8.11. Koliko je srednje kutno ubrzanje role?
Slika 8.10
Slika 8.11
8.45.
Lopta polumjera 25 cm kotrlja se po horizontalnoj površini terase. Brzinom 3,8 m s –1 nailazi na rub terase i pada s visine 2,5 m na tlo. Koliko okretaja oko svoje osi na čini lopta kroz zrak?
8.46.
Kutna brzina podloge gramofonske plo če je 33 ⅓ okretaja u minuti. Nakon što je isklju čeno napajanje gramofona, treba joj 60 s do zaustavljanja. Masa podloge je 0,5 kg, a polumjer 10 cm. Koliki je moment sile potreban za zaustavljanje podloge?
8.47.
Kvadrat stranice 50 cm može rotirati oko osi koja prolazi okomito kroz njegovo središte. Na kvadrat djeluje sila 20 N koja leži u ravnini kvadrata. Koliki najve ći moment sile može proizvesti ta sila?
8.48.
Sile F 1 i F 2 djeluju na tanku čvrstu šipku, kao što je prikazano na slici 8.12. Koliki moment sile stvaraju te sile oko osi rotacije ako je os okomita na papir?
Slika 8.12 8.49.
Homogeni čvrsti disk mase 25 kg i polumjera 33 cm rotira oko osovine bez trenja. Na njega djeluju sile od 95 i 130 N, kao što prikazuje slika 8.13. a) Koliki je moment sile oko osi rotacije? b) Kolika je kutno ubrzanje diska?
Slika 8.13
99
8.50.
Kotač bicikla ima polumjer 35 cm, a sastoji se od obru ča mase 1,4 kg i 50 žica od kojih svaka ima masu 0,01 kg. a) Koliki je moment tromosti obru ča? b) Koliki je moment tromosti bilo koje žice, s pretpostavkom da je to tanka duga čka šipka koja može rotirati oko jednog svoga kraja? c) Koliki je ukupni moment tromosti kota ča (uklju čujući obruč i sve žice)?
8.51.
Gramofonska ploča polumjera 16 cm rotira kutnom brzinom 3,5 rad s–1. Gramofon se isključio, a ploča se nakon 16 s zaustavila zbog djelovanja momenta sile od 0,007 N m. Kolika je masa kružne ploče?
8.52.
Zamašnjak momenta tromosti 150 kg m 2 počne rotirati pod djelovanjem momenta sile 50 N m. Nakon koliko vremena zamašnjak postigne kutnu brzinu 20 rad s –1? b) Koliko okretaja na čini zamašnjak dok ne postigne kutnu brzinu 20 rad s –1? a)
8.53.
Kugla i valjak jednakih masa i jednakih polumjera pušteni su niz kosinu da se kotrljaju bez klizanja. Koje će tijelo prije sti ći do dna kosine? Kako se odnose njihove brzine?
8.54.
Jednostavan sustav za podizanje vode iz bunara sastavljen je od horizontalnog valjka oko kojega je namotan konopac i kante koja visi na drugom kraju konopca. Valjak ima masu 15 kg i promjer 30 cm i može rotirati oko osi uz zanemarivo trenje. Kanta ima masu 6 kg i nalazi se na visini 5 m od površine vode u bunaru. Odredite brzinu kojom će kanta udariti o vodu.
8.55.
Valjak mase 5 kg i polumjera 20 cm vezan je za krajeve uzdužne osi pomo ću niti zanemarive mase. Nit je preba čena preko koloture, a na njezinu kraju visi uteg mase 15 kg, kao što prikazu je slika 8.14. Kad se sustav pusti iz mirovanja, uteg počinje padati i vuče valjak po horizontalnoj podlozi. a) Koliko je ubrzanje utega? b) Kolika je kutna brzina valjka nakon što se uteg spustio za 2 m? Slika 8.14
8.56.
Profesor fizike je stavio hla če u perilicu rublja. Kad je uklju čio perilicu, moment sile 13 N m zarotirao je bubanj perilice iz mirovanja do kutne brzine 35 rad s –1 za 7 s. U tom trenutku profesor se sjetio da je u hla čama ostavio voza čku dozvolu. U želji da je spasi, isklju čuje perilicu, a bubanj se zaustavio za 18 s. Koliko se puta okrenuo bubanj prije zaustavljanja?
8.57.
Dječak je pustio šuplju loptu promjera 26 cm i mase 220 g iz mirovanja s vrha brežuljka visokog 8 m. Lopta se bez klizanja kotrlja niz brdo. Kolika je kutna brzina lopte na dnu brda?
8.58.
Klizačica na ledu je na činila piruetu po četnom kutnom brzinom ω0. Klizačica u jednom dijelu piruete skuplja ruke i noge i na taj na čin smanjuje moment tromosti svog tijela za polovinu. Kolika je njezina kona čna kutna brzina? Ho će li se njezina kineti čka energija pove ćati ili smanjiti i za koliko?
8.59.
Klizačica rotira oko vertikalne osi kutnom brzinom 2 rad s –1. U ispruženim rukama drži utege jednakih masa iznosa 2 kg. Udaljenosti utega od osi rotacije jednake su i iznose 0,7 m. U takvu položaju ukupni moment tromosti kliza čice i oba utega je 2,5 kg m 2. Odredite kutnu brzinu kliza čice s rukama privučenim tijelu, tako da su utezi na zanemarivoj udaljenosti od osi rotacije. 100
8. krutog tijela rotacija
8.60.
Na homogeni cilindar mase m i polumjera r namotano je uže. Uže je pričvršćeno tako da cilindar pada vertikalno prema dolje, kao što prikazuje slika 8.15. a) Kolika je napetost užeta? b) Koliko je ubrzanje centra mase cilindra?
Slika 8.15
8.61.
Tri jednaka tijela masa m postavljena su u vrhove jednakostraničnog trokuta duljine stranice l (slika 8.16). a) Odredite koordinate centra mase. b) Koliki je moment tromosti oko osi koja prolazi kroz centar mase, okomito prema ravnini u kojoj leži trokut? c) Koliki je moment tromosti oko osi koja prolazi jednim od tijela, okomito prema ravnini u kojoj leži trokut?
8.62.
Automobil ukupne mase m kreće iz mirovanja i u vremenu t postigne brzinu v. Njegova četiri kota ča ima ju jednak polumjer r i moment tromosti I oko osi rotacije. Kota či rotiraju bez klizanja. a) Koliko je srednje kutno ubrzanje kota ča? b) Koliki srednji moment sile djeluje na svaki kota č? c) Koliki je moment koli čine gibanja svakoga kota ča nakon vremena t ? d) Kolika je ukupna kineti čka energija automobila u trenutku t ?
8.63.
Na slici 8.17 prikazana je vertikalna osovina na kojoj se nalaze dva diska koja rotiraju oko nje uza zanemarivo trenje. Donji disk ima moment tromosti I 1 i rotira oko osovine stalnom kutnom brzinom ω0, a gornji disk ima moment tromosti I 2 i miruje. Kada gornji disk padne na donji, oba diska se rotiraju jednakom kutnom brzinom ω.
Slika 8.16
Slika 8.17
Kolika je zajedni čka kutna brzina diskova ω? b) Za koliko se promijenila ukupna kineti čka energija? a)
Slika 8.18 8.64.
Puni valjak mase m1 = 25 kg i polumjera r = 0,3 m može rotirati oko svoje horizontalne osi uza zanemarivo trenje. Oko valjka namotan je konopac zanemarive mase na čijem kraju visi kanta s vodom mase m2 = 12 kg (slika 8.18). a) Kolikim ubrzanjem pada kanta? b) Koliko je kutno ubrzanje valjka?
8.65.
Dječak mase m stoji na vrhu ljestava duljine l i zanemarive mase nagnutih za kut α prema horizontalnoj podlozi (slika 8.19). Koliki mora biti najmanji faktor trenja između ljestava i podloge da ljestve ne skliznu? Trenje izme đu ljestava i glatkog zida na koji su naslonjene je zanemarivo.
Slika 8.19 101
8.66.
Kugla za kuglanje, mase m, kotrlja se bez klizanja po horizontalnoj površini. Fak tor statičkog trenja između kugle i podloge je μs, faktor dinami čkog trenja μk, a ubrzanje sile teže g. Kolika sila trenja djeluje na kuglu?
8.67.
Kugla mase m = 2 kg kotrlja se bez klizanja niz kosinu kuta α = 30°. Kolika sila trenja djeluje na kuglu?
8.68.
Kugla mase m = 2 kg i polumjera r = 0,1 m kotrlja se bez klizanja niz kosinu kuta α = 30°. Koliki je zakretni moment u to čki dodira kugle s podlogom?
8.69.
Štap duljine l = 1 m, zanemarive mase, postavljen je horizontalno s oba kraja na osloncima. Na udaljenosti a = 0,25 m od lijevog oslonca obješen je uteg mase m = 2 kg, kao što je prikazano na slici 8.21. Kolikom silom desni oslonac djeluje na štap?
Slika 8.20 8.70.
Homogena pravokutna plo ča mase m = 4 kg duga čka je a = 0,5 m i široka b = 0,25 m. Ploča rotira u horizontalnoj ravnini oko vertikalne osi koja prolazi jednim vrhom pravokutnika, kao što je prikazano na slici 8.21. Koliki je moment tromosti oko te osi?
8.71.
Bat zvona sastoji s od tanke šipke mase m1 = 10 kg, duljine l = 1,2 m na čijem kraju se nalazi čvrsta kugla mase m2 = 2m1 polumjera R =
1 l. 2
Slika 8.21
Bat je pušten iz horizontalnog položaja. Odredite:
moment tromosti bata, b) kutnu brzinu centra mase kugle pri prolasku bata kroz vertikalni položaj. a)
8.72.
Kocka duljine brida a = 0,5 m i mase m = 10 kg položena je na horizontalnu podlogu (slika 8.22). Horizontalna sila djeluje na sam vrh kocke i prevr će kocku preko njezina brida. Faktor trenja izme đu kocke i podloge dovoljno je velik da sprije či klizanje kocke.
Slika 8.22
Odredite iznos sile F . b) Koliki mora biti najmanji faktor trenja da kocka ne otkliže? a)
8.73.
Kolotur prikazan na slici 8.23 rotira oko osovine uza zanemarivo trenje. Moment tromosti kolotura je 50 kg m 2, a sile koje djeluju na kolotur iznose: F 1 = 100 N, F 2 = 200 N i F 3 = 250 N. Polumjeri zakrivljenosti iznose: R1 = 60 cm, R2 = 42 cm i R3 = 28 cm. Koliko je kutno ubrznje kolotura? Slika 8.23 102
8. krutog tijela rotacija
8.74.
Disk polumjera 2 m i mase 30 kg rotira oko osi u horizontalnoj rav nini, stalnom kutnom brzinom 4 rad s–1. Komad plastelina mase 250 g padne na ploču i zalijepi se na udaljenosti 1,8 m od središta diska (slika 8.24). Kolika je kutna brzina diska nakon što je na njega pao plastelin? b) Kolika je energija izgubljena u tom neelasti čnom sudaru? a)
Slika 8.24 8.75.
je nekad bila vrlo popularna igra čka. Moment tromosti yoyoa sa slike je I . Jedan kraj niti se pridržava prstima, a drugi kraj niti je namotan oko njegova unutrašnjeg dijela polumjera r (slika 8.25). Koliko je ubrzanje središta mase yoyoa? Yoyo
Slika 8.25 8.76.
8.77.
mase 0,25 kg vrti se oko djevojke koja miruje, kao što je prikazano na slici 8.26. Promjer hula hopa iznosi 1,2 m, a promjer djevojke 0,5 m. Kolika je kineti čka energija hula hopa ako je vrijeme jednog okreta 1 s? Hula hop
Cilindrična limenka mase 0,5 kg i polumjera 5 cm puštena je s vrha kosine visoke 1 m (slika 8.27). Kad limenka do đe na dno kosine, nastavlja se kotrljati stalnom brzinom po balkonu visine 2 m. Limenka padne s ruba balkona na pod 2 m od ruba balkona. Odredite: a) brzinu limenke na dnu kosine, b) moment tromosti limenke. c) Je li limenka puna ili prazna? Objasnite odgovor!
Slika 8.26
Slika 8.27
8.78.
Vrtlar povla či za sobom valjak polumjera 45 cm i mase 70 kg drža čem pričvršćenim za njegovu osovinu (slika 8.28). Sila kojom vrtlar povla či valjak iznosi 600 N, a drža č je pod kutom 45° prema horizontali. Valjak se kotrlja bez klizanja, a faktor trenja izme đu valjka i staze je 0,75. a) Koliko je ubrzanje valjka? b) Kolika sila trenja djeluje na valjak? c) Kolikom silom vrtlar mora povla čiti valjak da valjak kliže po stazi?
Slika 8.28 103
8.79.
8.80.
Dječ ji auti ć mase M = 0,6 kg ima četiri kotača, svaki mase m = 0,1 kg. Kota či imaju oblik diska, a svaki kotač na sebe „preuzima” jednu četvrtinu težine auti ća. Autić je pušten niz kosinu kuta 25° i giba se bez proklizavanja kota ča. a) Koliko je ubrzanje auti ća? b) Koliki bi trebao biti kut kosine pod kojim bi kota či autića klizili ako je faktor trenja izme đu kotača i kosine 0,25? Tanki homogeni drveni štap mase M = 1 kg i duljine l = 1 m može rotirati oko osi koja prolazi jednim njegovim krajem uza zanemarivo trenje. Štap je postavljen verikalno, a zrno mase m = 0,05 kg udara brzinom v = 25 m s–1 horizontalno u drugi kraj štapa, kao što prikazuje slika 8.29. Zrno se zabije u štap i oni se zajedno otklone. Kolika je kutna brzina štapa neposredno nakon sudara? b) Koliki je najve ći kut otklona štapa? a)
Slika 8.29 8.81.
Lopta mase M leži na kosini kuta α, kao što je prikazano na slici 8.30. Između lopte i podloge postoji trenje. Lopta je s gornje strane pri čvršćena horizontalnom niti za kosinu. a) Napišite jednadžbe koje uvjetuju tran slacijsku ravnotežu. b) Napišite jednadžbu koja uvjetuje rotacijsku ravnotežu oko središta lopte.
Slika 8.30
c) Napišite jednadžbu koja uvjetuje rota cijsku ravnotežu oko točke u kojoj je nit pri čvršćena za kosinu. Neka je L duljina niti. 8.82.
Bakreni valjak polumjera 40 cm i visine 10 cm ima kružni izrez polumjera 20 cm, kao što prikazuje slika 8.31. Koliki je moment tromosti valjka oko njegove uzdužne osi?
8.83.
Sustav dvaju tijela čini tijelo mase m koje je povezano s drugim tijelom jednake mase nerastezljivom niti preko kolotura (slika 8.32). Kolotur ima polumjer r , a masa kolotura je jednaka masama tijela. Jedno tijelo se nalazi na horizontalnom dijelu podloge, a drugo tijelo na dijelu ko ji je nagnut pod kutom α prema horizontali. Izme đu oba tijela i podloge postoji faktor trenja μ. a)
Slika 8.31
Napišite jednadžbe koje uvjetuju trans lacijsku ravnotežu za oba tijela u svim koordinatama.
b) Napišite jednadžbu koja uvjetuje rotacijsku ravnotežu. c)
Izračunajte akceleraciju sustava. Slika 8.32
104
8. krutog tijela rotacija
8.84.
Nerastezljiva nit je namotana oko valjka i preba čena preko kolotura, kao što prikazuje slika 8.33. Valjak i kolotur imaju jednak polumjer R = 0,3 m. Moment tromosti valjka je I 1 = 0,25 kg m2, a moment tromosti kolotura je I 2 = 0,2 kg m2. Na drugom kraju niti visi uteg mase m = 2 kg. Odredite ubrzanje utega.
Slika 8.33 8.85.
Kalem (špula) s koncem ima masu m, unutarnji polumjer R1, vanjski polumjer R2 i moment inercije I = mR22 , gdje je ε broj manji od 1. Konac je namotan oko unutarnjeg dijela kalema, a napetost niti je T (slika 8.34). Izračunajte ubrzanje centra mase kalema? Slika 8.34
8.86.
Na slici 8.35 prikazan je sustav dvaju utega koji su povezani nerastezljivom niti preko kolotura 1 i cilindra 2. Uteg A ima masu 10 kg, a uteg B masu 6 kg. Kolotur 1 polumjera 12 cm ima masu 0,55 kg, a cilindar 2 polumjera 8 cm ima masu 0,28 kg. Nit ne klizi po koloturima. Koliko je ubrzanje utega i kutno ubrzanje kolotura? Slika 8.35
105
