Fernando Rodríguez Duc Diseñar un sistema de modulación digital 8PSK
a- Expresión matemática. b- Ángulos de referencia. c- Tabla de verdad, con ángulos, amplitudes de las señales en cuadratura y código binario adoptado. adoptado. d- Constelación coherente con la tabla de verdad. e- Esquema del transmisor y del receptor, r eceptor, destacando amplitudes y función de cada uno de los bits en el transmisor t ransmisor y en el receptor. f- Ancho de banda del a onda modulada para banda base formada por pulsos ideales sinc y para pulsos con factor de roll off de 50%. g- Eficiencia espectral. Resolución
La expresión matemática de la modulación mPSK: y mPSK
= cos
(2π * f c * t + x(t ) * ∆ϕ / 2)
Desarrollando al expresión y mPSK
=
cos ( x (t ) * ∆ϕ / 2 ) * cos (2π * f c * t ) − sen ( x (t ) * ∆ϕ / 2 ) * sen (2π * f c * t )
y mPSK
=
a X * cos (2π * f c
* t ) + bY * ( − sen (2π * f c * t ))
Se observan las dos etapas, las moduladas en fase a x y en cuadratura b y. Para 8PSK x(t) = ±1; ±3; ±5; ±7. y
∆φ =2π/n
→ n=8
→∆φ =2π/8 = π/4
Finalmente los ángulos y los valores de las expresiones trigonométricas para 8 PSK: x(t)∆φ/2
Sen
Cos
±π/8 ±3π/8 ±5π/8 ±7π/8
±0,38 ±0,92 ±0,92 ±0,38
+0,92 +0,38 -0,38 -0,92
Se observan en juego dos amplitudes 0,38 y 0,92, y cada una de ellas con signo positivo y negativo, cuatro alternativas. Esto para cada una de las dos etapas (fase y cuadratura), en suma nos da 8 variaciones posibles. Por lo tanto en el conversor analógico digital de cada una de las ramas se deberá decidir por alguna de esas esas dos amplitudes, amplitudes, y además el el signo positivas o negativas. Luego ingresa a cada uno de los moduladores balanceados. balanceados. De los tres bit tomados de banda base a, b y c. Se adopta adopta que el bit a modula el signo de cos(2π* f c t) y el b modula el signo de sen(2π* f c t). En el conversor analógico digital el bit c decide las dos amplitudes (0,38 o 0,92) c = 1 → 0,38
c = 0 → 0,92
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Fernando Rodríguez Duc y los bit a o b deciden los signos de esas amplitudes que entraran en el modulador balanceado. Cuando el bit es 1 la salida del conversor es positiva y cuando es 0 negativa. 1→+
0→-
La tabla de ángulos, amplitudes y códigos :
x(t)∆φ/2
π/8 -π/8 3π/8 -3π/8 5π/8 -5π/8 7π/8 -7π/8
Rama en fase de cos(2π* f c t) Cos a c
+0,92 +0,92 +0,38 +0,38 -0,38 -0,38 -0,92 -0,92
1 1 1 1 0 0 0 0
Rama en cuad de sen(2π* f c t) Sen b Not c
0 0 1 1 1 1 0 0
+0,38 -0,38 +0,92 -0,92 +0,92 -0,92 +0,38 -0,38
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 0 1 1
Observando la tabla vemos que la rama que modula al sen(2π f c t) ( sen (∆φ/2)) asume valores distintos de la otra rama en fase (cos (∆φ/2)), y como solamente se pueden adoptar dos valores, cuando una rama adopta uno la otra adopta el otro, por este motivo el bit c se aplica a la rama modulada en cuadratura (bit b)a través de una compuerta NOT. El código según los ángulos: x(t)∆φ/2
a
b
c
π/8 -π/8 3π/8 -3π/8 5π/8 -5π/8 7π/8 -7π/8
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 0 0
La constelación: 001
101
0,38
000
-3π/8
100 -π/8 0,92 π/8
3π/8
010 011 sen (2π f c t)
110
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cos (2π f c t)
Fernando Rodríguez Duc En el gráfico anterior se observa el detalle de los ángulos y codigos adoptados para cada uno de los puntos de la costelación. Observar que se adopta el eje sen(2π f c t) con dirección hacia abajo por el cambio de signo en la identidad trigonométrica, de esta forma coinciden los valores de la tabla con cada uno de los ángulos del gráfico. Finalmente los diagramas del transmisor y del receptor: Transmisor:
D/A
a
b
c
suma
COS (2p* fc t)
Htx(f)
-pi/2
D/A
Receptor:
+/-
1/0
A/D
Hrx(f)
LPF
A/D
COS (2p*fc t)
LPF
a
b
1/0 0,38/0,92
-pi/2
A/D +/-
f) Velocidad de señalización en baudios b= r/3 BW = 2*b/2* (1 + Fr) = r/3 * (1+Fr) Intervienen las dos bandas laterales. Para el pulso ideal sinc, Fr = 0 Para el pulso con Fr = 50%
LPF 1/0
BW = r/3 BW = r/3 * (1+0,5) = 1,5*r/3 = r/2
g) δ = r/BW = r / (2*b/2) = (r * 2) / (2*r/3) = 3
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con Fr = 50% δ= 2
c
