8oAnoG03-Matemática

Capítulo

Ângulos: de construções a propriedades

8

Avidades Avidad es 37 e 38 • Ângulos, construções

• O 3 M O U P S U N R O G C • E A A I C I T M Á O M N E O T C A E M

com régua e compasso

Exercícios de Aplicação 01) Uma pesquisa foi realizada sobre a preferência por candidatos em uma eleição municipal. No total, foram entrevistadas 1.200 pessoas. Veja a tabela que mostra os resultados da pesquisa:

Candidato

Votos

João

700

Pedro

300

José

200

Represente na circunferência um gráfico de setores que indique o resultado da pesquisa.

02) Euclides, o famoso geômetra grego que viveu em torno do século. III a. C., fazia uso de régua e compasso para construir inúmeras figuras geométricas, dentre elas os ângulos. Faça como Euclides e construa, com régua e compasso, um ângulo de: a. 60°

60°

b. 45° Traçar a bissetriz de 90°.

45°

Pedro 90°

210°

60° José

João

Devemos verificar qual é o ângulo central referente a cada um dos setores: 700

João =

7 =

1.200

12

300

1

Pedro =

=

1.200 José =

200

⋅ 36 360° 0° = 21 210° 0°

12 1 ⇒

4 1

=

1.200

7 ⇒

⇒

6

6

P�  ��

⋅ 36 360° 0° = 90 90°°

4 1

03) Veja um gráfico que mostra o resultado de uma pesquisa de opinião sobre a preferência por três marcas de sabão em pó:

⋅ 36 360° 0° = 60 60°°

Marca A

Marca B 10% 30% 60%

Marca C 1 3 4 1 P 8 F E

Matemáca \ Economia e consumo

67 Professor(a), como sugestão, faça essa pesquisa com seus alunos e peça-lhes que construam o gráfico com os dados obtidos nessa pesquisa.

Qual deverá ser a medida do ângulo central de cada um dos setores deste gráfico? Marca A = 30% de 360° = 0,3·360° = 108° Marca B = 60% de 360° = 0,6·360° = 216° Marca C = 10% de 360° = 0,1·360° = 36°

Exercícios Propostos 04) Faça uso de régua e compasso e construa um ângulo de 30°. Traçar a bissetriz de 60°.

Com base nessas informações, indique a porcentagem aproximada de cada um dos itens votados. Terror

70 =

Policial Ficção

7 =

360 36 130 13

=

360 100

=

=

36 5

=

=

=

=

=

≈

=

360 18 60 1 Romance 360 6

30°

0 ,194 19 ,4% 0,36 1

≈

36 ,1 1%

0 ,27 7 27,8% ≈

=

0,1 6 16 ,7% ≈

05) A professora Paula, de literatura, fez uma pesquisa com seus alunos de 8º ano sobre o tipo de literatura preferida. Depois, organizou os dados no seguinte gráfico de setores: P�     Romance Terror Ficção

Policial

Veja na tabela as medidas dos ângulos centrais de cada um dos setores:

1 3 4 1 P 8 F E

Tipo de livro

Ângulo central

Terror

70°

Policial

130°

Ficção

100°

Romance

60°

06) Silvana tentou desenhar um ângulo de 60° dividindo uma circunferência em 6 partes congruentes. Depois, traçou um hexágono regular unindo os pontos obtidos na circunferência e, finalmente, traçou as diagonais do polígono. Vendo que o desenho estava bonito, aproveitou e coloriu. Observe:

Capítulo 8 – Ângulos: de construções a propriedades \ Grupo 3

68 Professor(a), se julgar pertinente, peça aos alunos que façam o desenho em uma folha separada para expor em um mural.

Agora é com você! Inspire-se no desenho anterior e crie o seu desenho, partindo da divisão de um círculo em seis setores iguais. Resposta pessoal

a. 90° R: D d. 144° b. 126° e. 150° c. 135° Cardoso tem 40% dos votos válidos; portanto, no gráfico de setores, teríamos: 40 100

⋅

360°

=

144°

08) O Programa de Aceleração do Crescimento (PAC), lançado em 28 de janeiro de 2007, é um programa do governo federal brasileiro, que engloba um conjunto de políticas econômicas, planejadas para os quatro anos seguintes, e que tem como objetivo acelerar o crescimento econômico do Brasil. Na revista Veja de 26/9/2008, foi comentado sobre o "PAC da Mobilidade Urbana". Nessa reportagem, é destacada a forma como os brasileiros se deslocam em viagens feitas anualmente. Como os brasileiros se deslocam

07) Em uma pequena cidade, havia três candidatos a prefeito: Altamir, Bertoldo e Cardoso. A tabela abaixo mostra a porcentagem de votos válidos que cada um dos candidatos recebeu ao final das eleições.

Os brasileiros fazem a maior parte de seus trajetos a pé ou de bicicleta. A constatação é do Ministério das Cidades, que analisou as formas de deslocamento da população para elaborar o “PAC da Mobilidade Urbana”. Viagens feitas pelos brasileiros anualmente

Candidato Porcentagem dos votos válidos

Altamir

25%

Bertoldo

35%

Cardoso

40%

Se, num gráfico de setores, cada um de seus três setores representa, respectivamente, a porcentagem dos votos válidos dos candidatos Altamir, Bertoldo e Cardoso, a medida do ângulo central correspondente aos votos válidos do candidato Cardoso é:

30% 41%

29%

A pé ou de bicicleta: 21 bilhões de viagens De ônibus ou de metrô: 14,8 bilhões de viagens De carro ou de moto: 14,7 bilhões de viagens

1 3 4 1 P 8 F E


69

Com base nesses dados, responda ao que se pede: No gráfico de setores, a medida do ângulo central do setor que representa a quantidade de viagens anuais de ônibus ou de metrô é: a. 147,6° d. 108° R: D b. 104,4° e. 90° c. 120° 30% de 360° = 0,30·360° = 108°

Avidades 39 e 40 • Tempo e grau, sistema métrico não decimal – Sistema na base 60 Exercícios de Aplicação 01) Considere uma roda-gigante formada por 15 aros. Para a sua construção, é necessário que os ângulos centrais sejam muito bem medidos, para que se possa distribuir as cadeiras uniformemente. Assim, responda ao que se pede. K C O T S K N I H T / K C O T S M O C

a. Qual deve ser a medida de cada um dos ângulos centrais dessa roda-gigante? 360° : 15 = 24° Cada ângulo central mede 24°.

b. Caso a roda gigante tivesse 21 aros, qual deveria ser a medida de cada ângulo central? (Utilize apenas a base 60.) 360° −

21

357° 3°

17°8 '34 " = −

180 ' 168' 12 '

= −

720" 714" 6"

1 3 4 1 P 8 F E


70

02) A figura mostra um esboço de dois ângulos adjacentes e complementares. Considerando-se que o ângulo AÔC mede 65°52'43'', qual deve ser a medida do ângulo AÔB?

Calcule o tempo total que Beto gastou nas três etapas. 1h +1 h

42 min 25 s 32 min

7s

58min 26 s 2 h 132 min

C

68 s

+ 1 min− 60

2 h 133 min

A

+ 2 h−120

4h

O

s 8s

min

13 min

8s

B

AÔB + AÔC = 90° AÔB = 90° – 65°52'43" 89° 5 9' 60 " −

65° 5 2' 43" 24°

7 ' 17 "

AÔB = 24° 7`17``

03) Beto participa de uma prova de rally que tem 3 etapas. Ao término das três etapas, os tempos são adicionados. Veja a tabela que mostra os 3 tempos:

04) Ângela é apaixonada por filmes. Tanto que, em um sábado, ela locou três filmes. Os tempos de duração dos filmes são de: 98 min, 117 min e 108 min. Se, entre o primeiro e o segundo filme, e entre o segundo e o terceiro filme ela der uma pausa de 10 minutos, de quantas horas e de quantos minutos ela vai precisar para assistir aos três filmes? 98 + 117 + 108 + 10 + 10 = 343 min

K C O T S R E T T U H S / M 5 5 3 3

343

60

− 300

5

43

Ela precisará de 5h43.

Etapa

Tempo

1ª

1h42min25s

2ª

1h32min17s

3ª

58min26s

1 3 4 1 P 8 F E

71


Exercícios Propostos 05) Se quisermos inscrever um polígono regular de 23 lados em uma circunferência, qual deverá ser a medida de cada ângulo central? (Utilize a base 60, porém, nos segundos, utilize 3 casas decimais). 15° 39' 7,826"

07) Um policial rodoviário pretende verificar qual é a velocidade de um carro em certo trecho da estrada. Para isso, ele fez duas marcações no asfalto em uma longa descida. As duas marcações estão distantes 200 m entre si. Observando um veículo que passava pelo local, ele verificou que o carro percorreu o trecho de 200 m em 5 segundos. Qual era a velocidade deste veículo em km/h? 200 m

=

5s 40 m

06) Um guepardo é um dos mamíferos mais rápidos. Há notícias de exemplares que já alcançaram 120 km/h! Nesta velocidade, quantos metros aproximadamente um guepardo percorre em 1 segundo? K C O T S R E T T U H S / R E T R O P U T S

120 km

120.000 m =

1h

120.000 m =

60 min

=

3.600 s

33,3… m/s

Percorrerá, aproximadamente, 33 m em 1 segundo.

40 m/s

144.000 m =

1s

144 km =

3.600 s

1h

km/h

O veículo estava a 144 km/h.

08) Um trem que mantém velocidade constante saiu de uma cidade A para uma cidade B com uma velocidade de 150 km/h. Se a distância entre as duas cidades é de 375 km, quantas horas e quantos minutos deve demorar essa viagem? ×2 ,5

150 km   → ×2 ,5

1 h   →

=

375 km 2 ,5 h

2,5 h = 2 h + 0,5 h = = 2 h + 0,5 · 60min = 2h 30. Deve demorar 2h 30.

1 3 4 1 P 8 F E

= 144

72


Avidades 41 e 42 • Ângulos formados por paralelas e uma transversal Exercícios de Aplicação 01) Na montagem de um trilho de trens, é muito importante que os trilhos sejam paralelos para que o trem não descarrile. Entretanto, na montagem do trilho indicado na figura abaixo, o ângulo a = 90o e o b = 88o. Com isso, responda ao que se pede.

02) Considere a figura seguinte, na qual as retas r, s e t são transversais. t r

a

b c

ormente

s

d

e

g f

Oeste

Tomando como base os ângulos destacados, responda ao que se pede. a. Que pares de ângulo são alternos externos? ˆ e ˆf , ˆ a b e ˆg

a. Se não corrigissem o erro, os trilhos se encontrariam no leste ou no oeste? No leste

b. Que par de ângulos é alterno interno? ˆ ˆ ed c

c. Que pares de ângulos são correspondentes? ˆ , ˆ ˆ ˆ ed ˆ , ˆ a bee c e f

b. Na figura, considerando-se que o dormente representa uma reta r e que os trilhos representam as retas s e t, o que a reta r é em relação às retas s e t? Uma transversal

d. Que ângulos estão na região externa?

ˆ , ˆg e ˆf ˆ eb a

e. Dos ângulos assinalados, quais estão na região interna? cˆ, ˆd e ê

1 3 4 1 P 8 F E

73


03) Determine o valor de x em cada figura formada por duas retas concorrentes. a.

b. AÔB é um ângulo raso. 2x + 42°

130°

A

70°

O

B

2x + 42°+ 70° = 180° 2x = 68° x = 34°

3x + 25°

04) Duas retas são concorrentes em um ponto O. Com isso, dois ângulos opostos pelo mesmo vértice (OPV) têm medidas: 45° – 3x e 22° – x. Determine a medida de cada um destes ângulos e o valor de x.

3x + 25° = 130° 3x = 105° x = 35°

Como são OPV, temos: 45° – 3x = 22° – x 45° – 22° = 3x – x 2x = 23° x = 11,5° ou 11° 30' E os ângulos medem 10° 30'.

Exercícios Propostos 05) Observe a figura a seguir:

b. O ângulo â é adjacente e suplementar de quais ângulos?

r a

ˆ ed ˆ b

b d c f

s

e t

g 1 3 4 1 P 8 F E

c. Que pares de ângulos são colaterais internos? ˆ e ˆf , ˆc e ê d

h

Com base nessa figura, responda ao que se pede. a. Que pares de ângulos são opostos pelo vértice? ˆ e ˆc, ˆb e ˆd, ˆf e ˆh, ê e ˆg a

d. Que pares de ângulos são colaterais externos? ˆ e ˆg, ˆb e ˆh a


74

06) A figura mostra três retas concorrentes, duas a duas:

b. r

s

130° b

3z + 1°

y + 62°

x 3

c

40°

t

a

110°

Determine as medidas dos ângulos â, b e c.

3y





ˆ 90° (suplemento de 90°) a ˆ 40° (OPV ) b =

3y = y + 62° 2y = 62° y = 31°

=

cˆ 180° 130° =

−

=

3z + 1° + 110° = 180° 3z = 69° z = 23°

50°

x 3 x

07) Em cada figura, determine o valor de x, y e z: a. s

3 x

+ 3 ⋅ 31° = 180°

+ 93° = 180°

= 87° 3 x = 261°

x r

3 x

+ 3y = 180°

47° y

72° z t

y = 47° x = 180° – y = 180° – 47° = 133° z = 180° – 72° = 108° 1 3 4 1 P 8 F E


75

Avidades 43, 44 e 45 • Propriedades dos ângulos Exercícios de Aplicação 01) Considere três retas num mesmo plano, r, s e t. Se r e s são paralelas e r é perpendicular à reta t, qual deve ser a posição relativa entre as retas t e s?

Escreva a relação existente entre os pares de ângulos de cada item e nomeie-os. a.

a e f 



São congruentes e correspondentes.

t

s

b.

c e f 



São congruentes e alternos internos.

r

c. b e g 

Por meio do paralelismo existente entre as retas s e r, se t é perpendicular à reta r, então será perpendicular a s também. (Ângulos correspondentes congruentes)



São congruentes e alternos externos.

d. g e h 



São adjacentes e suplementares.

e. 02) Considere a figura, na qual as retas r e s são paralelas e t é uma transversal.

aed 



São adjacentes e suplementares.

t b a s c d 1 3 4 1 P 8 F E

03) Na figura, a reta r é paralela à reta s, suporte do segmento que é base do triângulo dado.

e f r//s

a

b

r

h g

d e

c f

s

Professor(a), o bom entendimento deste modelo de exercício poderá proporcionar melhor aproveitamento de conteúdos posteriores, como o de semelhança entre triângulos.


76 Professor(a), se julgar importante, peça aos alunos que façam um esboço da figura.

Que pares de ângulos são correspondentes? Podemos afirmar que os dois ângulos correspondentes são também congruentes? Explique. ˆ e eˆ , ˆ a b e fˆ. Podemos afirmar que ˆ=e ˆ e bˆ = ˆf , pois a r//s.

05) Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, temos a construção de oito ângulos. Com isso, responda ao que se pede. a. Caso um destes ângulos seja agudo, o que podemos afirmar sobre os outros sete ângulos? Podemos afirmar que teremos mais 3 ângulos agudos e mais 4 ângulos obtusos.

04) Duas retas paralelas entre si foram cortadas por uma transversal. Com isso, formaram-se dois ângulos de medidas indicadas pelas expressões: 3x + 76° e x + 100°. Sabendo que esses dois ângulos são alternos internos, determine a medida de cada um e o valor de x.

b. Caso um dos ângulos formados seja reto, o que podemos afirmar sobre os outros sete ângulos? Que serão todos retos.

Como existe o paralelismo e os ângulos são alternos internos, então são congruentes. Assim, temos: 3x + 76° = x + 100° 3x – x = 100° – 76°. 2x = 24° x = 12° Cada ângulo mede: x + 100° = 12° + 100° = 112°

06) Com base nas conclusões obtidas no exercício anterior, determine a medida de cada um dos ângulos obtusos obtidos quando duas retas paralelas foram “cortadas” por uma transversal e um dos ângulos agudos formados mediu 12°. Se o ângulo agudo mede 12°, então o obtuso será de 168° (suplementares). Como todos os obtusos são congruentes entre si, todos medirão 168°.

Incentive seus alunos a substituir o x nas duas expressões, a fim de verificar a igualdade.

1 3 4 1 P 8 F E


77

Exercícios Propostos 07) Considerando as informações das figuras, determine o valor de x. a.

08) Determine o valor de x na figura, na qual a//b.

x r // s

a

30°

x

s 20°

b

120°

x e 120° são alternos externos. Como r//s, são congruentes. Logo, x = 120°.

Devemos traçar uma reta que passa pelo vértice de x e que seja paralela às retas a e b:

30°

a

y z 20°

Temos, então, que x = y + z. Como a//b: z = 20° (correspondentes) y = 30° (correspondentes) Então, x = 20° + 30°= 50°

b. x

r // s

150° s

Como r//s, x é suplemento do ângulo correspondente de 150°. Logo, x = 180°– 150° = 30°. 1 3 4 1 P 8 F E

b


78

09) Considerando que r//s e a//b, determine a medida de x na figura seguinte:

11) Determine a medida dos ângulos assinalados na figura.

a r

x – 10°

r // s

x

70°

3x + 30° s

b

s

Como a//b e r//s, temos que x = 70°.

10) Tomando como base as informações apresentadas na figura, determine a medida de x. r

30°

80°

Professor(a), atentar para o ângulo de 80°. Alguns alunos podem querer dividi-lo ao meio, como se a paralela fosse uma bissetriz.

r // s

x s

160°

Traçando retas paralelas às retas r e s, temos os seguintes ângulos: 30°

r

30° r // s

50° y z

3x + 30° + x – 10° = 180° 4x + 20° = 180° 4x = 160° x = 40° Os ângulos medem: 3x + 30° = 3 · 40° + 30° = 150° e x – 10° = 40° – 10° = 30°

160° 160°

z + 160° = 180° z = 20° y = 50° (alternos internos) x = z + y = 20° + 50° = 70°

12) Dois ângulos são adjacentes e suplementares. Um deles é o quíntuplo do outro mais 40°. Quanto mede cada um dos dois ângulos? Chamando um deles de x, o outro será dado por 5x + 40°. Como são suplementares, teremos: x + 5x + 40° = 180° 6x = 140° x = 23° 20' Assim, os ângulos medem: x = 23° 20' e 5x + 40° = 5 · (23° 20') + 40° = = 115° 100' + 40° = = 116° 40' + 40° = = 156° 40'

s 1 3 4 1 P 8 F E


79

13) A figura mostra o projeto da construção de uma ponte para utilização na travessia de um rio. As margens do rio são representadas pelas retas paralelas r e s, e a reta p representa a ponte que será construída sobre esse rio. Os ângulos marcados no projeto servirão para orientar na construção.

14) Artur mora na Rua Prudente de Morais, paralela à Rua Campos Salles, onde mora Bárbara. Carlos mora na Rua Rodrigues Alves, transversal às ruas onde moram Artur e Bárbara, conforme mostra a figura a seguir.

Rua Prudente de Morais

p

3x – 15°

s

α

Rua Campos Salles

Rua Rodrigues Alves 2x + 5°

r

O valor do ângulo agudo compreendido entre as retas r e p é: a. 20° b. 30° R: C c. 45° d. 60° e. 80° Os ângulos indicados são alternos internos, portanto, congruentes. Assim: 3x – 15° = 2x + 5° x = 20° Desse modo, o ângulo agudo compreendido entre as retas r e p é: 2x + 5 = 2(20°) + 5 = 45°

1 3 4 1 P 8 F E

Se o ângulo obtuso formado pelas ruas Rodrigues Alves e Prudente de Morais mede (180° – 3x) e o ângulo agudo formado pelas ruas Rodrigues Alves e Campos Salles mede (90° – 6x), então podemos afirmar que o ângulo α assinalado na figura mede: R: A a. 150° b. 140° c. 135° d. 120° e. 100° 180° – 3x + 90° – 6x = 180° 90° = 9x 10° = x α = 180° – 3x α = 180° – 3(10°) α = 180° – 30° α = 150°


80

15) Pouco se sabe da vida de Euclides. Viveu em Bizâncio, entre os anos de 485 a. C. e 410 a. C. Euclides foi o primeiro diretor do museu, que possuía a maior biblioteca da época, e, graças a isso, pôde organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores, nascendo, assim, sua obra Os elementos. Os elementos é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e ao desenvolvimento lógico e sistemático da geometria. K C O T S N I T A L / S R E H C R A E S E R O T O H P

r

a 3x + 30°

s

5x – 6°

t

Sabendo que r//s, o valor de a é: R: A a. 84° b. 96° c. 18° d. 54° e. 24° 3x + 30° = 5x – 6° (correspondentes e r//s) 2x = 36° x = 18° a = 3x + 30° (OPV) a = 3 · 18°+ 30° = 54°+ 30° = 84°

Representação artística de Euclides de Alexandria (autor desconhecido)

No primeiro livro, encontramos algumas definições. Dentre elas: "Retas paralelas são aquelas que, estando em um mesmo plano, não se encontram ao ser prolongadas indefinidamente".

1 3 4 1 P 8 F E

Estudando triângulos Avidades 46, 47, 48, 49, 50 e 51 • Triângulos e propriedades Exercícios de Aplicação 01) Existe, como foi visto, uma demonstração que prova o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. No entanto, há outra forma de verificar essa propriedade. Pegue uma folha de papel e desenhe um triângulo ABC qualquer. Depois, recorte o triângulo como mostra a figura:

02) Faça uso das propriedades existentes entre os ângulos formados por paralelas cortadas por transversal e a soma dos ângulos internos de um triângulo e determine o valor de x em cada figura: a. a//b

b

A

130°

Capítulo

9 • O 3 M O U P S U N R O G C • E A A I C I T M Á O M N E O T C A E M

110° x

C

B

Finalmente, una os vértices A, B e C em um único ponto, de modo que os ângulos ˆ , ˆ a b e cˆ sejam adjacentes entre si. Você deverá perceber que a soma dos ângulos destes três vértices é 180°. Construção por parte dos alunos. Espera-se que eles façam a seguinte construção:

Por meio do paralelismo existente, podemos determinar as seguintes medidas na figura: a//b

b

130°

70° x

50° 130°

Então, x + 50° + 70° = 180° x = 180° – 120° x = 60° 2 3 4 1 P 8 F E

110°

Professor(a), mesmo que alguns alunos já tenham visto essa construção na série anterior, é importante mostrar a construção para que eles possam sempre visualizar concretamente certas propriedades.

Capítulo 9 – Estudando triângulos \ Grupo 3

88

b.

04) Determine o valor de cada ângulo na figura: x A

s 2x

40°

r // s

2x

u

x + 5°

C

x s

B

2x + 2x + x + 5°= 180° 5x = 175° x = 35° ˆ = 2x = 2 ⋅ 35° = 70° A ˆ = x + 5° = 35° + 5° = 40° B

40°

r // s

ˆ = 2x = 2 ⋅ 35° = 70° C

u

x + 40° + 90° = 180° x = 50°

03) Na figura, temos que r//s. Com isso, determine os valores de x e de y.

s

05) Como podemos classificar o triângulo do exercício anterior em relação aos seus lados? E em relação aos seus ângulos?

40° x

Como possui dois ângulos congruentes, é um triângulo isósceles. Como possui apenas ângulos agudos, é um triângulo acutângulo.

r t

70° y

Professor(a), este é um bom momento para revisar as classificações dos triângulos em relação aos lados e aos ângulos.

R.: x = 70° (correspondentes). Usando o conceito de OPV, temos no triângulo a seguinte soma: x + y + 40° = 180° 70°+ y + 40° = 180° y = 70°

2 3 4 1 P 8 F E


89

06) Em um determinado triângulo, sendo x a medida de um dos ângulos, temos outro ângulo medindo o dobro de x e um terceiro ângulo medindo o triplo de x. Veja a figura: A

3x

2x

08) Os ângulos internos de um triângulo têm suas medidas representadas pelas expressões x, x + 10° e x – 40°. Quanto mede cada ângulo deste triângulo? x + x + 10° + x – 40° = 180° 3x – 30° = 180° 3x = 180° + 30° 3x = 210° x = 70° x + 10° = 70° + 10° = 80° x – 40° = 70° – 40° = 30° Os ângulos medem 70°, 80° e 30°.

x C

B

Qual deve ser a medida de x? E de cada ângulo? x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30° ˆ A

=

ˆ B

=

ˆ C

=

3x 2x x

=

=

=

3 30° ⋅

2 30° ⋅

=

=

90° 60°

30°

09) Se dois ângulos internos de um triângulo medem 20° e 45°, quanto medirá o ângulo externo não adjacente a eles? Chamando de x o ângulo externo, temos: x = 20° + 45° = 65°

07) Um triângulo acutângulo tem um de seus ângulos internos medindo 32°. Se um segundo ângulo interno mede 73°, qual será a medida do terceiro ângulo interno deste triângulo? Chamando de x a medida do ângulo desconhecido, temos: 73° + 32° + x = 180° x = 75° 2 3 4 1 P 8 F E


90

10) Determine o valor de x em cada figura abaixo: a.

52°

x

No menor triângulo formado na figura, temos um ângulo reto, o ângulo x e o ângulo de 38° (complemento de 52°). Logo: x + 38° + 90° = 180° x = 52°

b. x

60°

50°

20°

Considerando o maior triângulo formado na figura, temos que o ângulo externo x é dado pela soma dos dois não adjacentes a ele (60° e 20°). Logo: x = 60° + 20° = 80°

11) Reflita e justifique. No exercício anterior, item b, é necessário que se tenha o ângulo de 50° indicado na figura para determinar o valor de x?

Professor(a), há outra resolução possível com a utilização dessa informação, usando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo. Dessa forma, dependendo da resolução que o aluno escolheu, ele poderá dar outra resposta a esta questão. Vale a pena trabalhar os dois caminhos com os alunos.

Não é necessário, pois a medida de x não depende dos segmentos que formam o ângulo de 50°. Bastou adicionar os ângulos de 60° e 20°.

Exercícios Propostos 12) Para se desenhar um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos medindo 30°, é necessário que o outro ângulo agudo meça quantos graus?

13) Se as três medidas dos ângulos internos de um triângulo forem números primos, então uma delas certamente é o 2°? Explique e dê um exemplo.

Como o triângulo é retângulo, então um de seus ângulos mede 90°. Logo, sendo x a medida do ângulo desconhecido, temos: 30° + 90° + x = 180° x = 60°

A soma das três medidas deve ser um número par (180°). Logo, caso as três medidas sejam números ímpares, não teremos o resultado par. Assim, para que as três medidas sejam formadas por números primos, uma tem de ser 2 (primo par). Como exemplo, temos: 2°, 71° e 107°.

2 3 4 1 P 8 F E

91


14) Observe atentamente a figura:

15) Determine a medida do ângulo x indicada na figura. x 105°

60°

x

r

Determine a medida do ângulo indicado pela letra x. Usando o conceito de ângulos OPV, temos os ângulos destacados na figura:

r // s s 150°

Na figura, temos os ângulos colaterais externos (150° e 30°). 105°

x 105° x

60°

y

Logo, temos a soma: 60° + 105° + x = 180° x = 15° 30°

r r // s s 150°

Em contrapartida, chamando o ângulo interno do triângulo de y, temos: y = 180° – 30° – 90° = 60° x = 180° – y = 180° – 60° = 120°

2 3 4 1 P 8 F E

Professor(a), questione os alunos sobre o uso, ou não, do ângulo reto presente na figura para determinar o valor de x. Devem perceber que ele não é necessário.

92


 

16) Em um triângulo retângulo, podemos afirmar que o maior lado será oposto ao ângulo reto? Justifique.

 

 

18) Três retas, AB, BC e AC , no mesmo plano se encontram nos pontos A, B e C, como mostra a figura:

Em um triângulo retângulo, o maior ângulo é o ângulo reto, pois a soma dos outros dois deve ser 90° e, portanto, cada qual será agudo (menor que 90°). Assim, como o maior lado é oposto ao maior ângulo, o maior lado será oposto ao ângulo reto.

A

x + 20°

130° 2x + 20°

C

B

O valor do ângulo agudo compreendi 

17) Determine o valor de x e a medida dos ângulos Aˆ e Bˆ . A

B 2x

7x

do entre as retas a. 30° b. 40° R: C c. 50° d. 60° e. 70°

 

AB e AC

é:

130° = x + 20° + 2x +20° 130° = 3x + 40° 130° – 40° = 3x 90° = 3x 30° = x Portanto, o ângulo agudo compreendido en 

 

tre as retas AB e AC é: x + 20° = 30° + 20° = 50° 100°

C

7x = 100° + 2x 5x = 100° x= 20° B = 2x = 2 ⋅ 20° = 40° 

A + 40° + 100° = 180° 

A = 40° 

2 3 4 1 P 8 F E

93


19) A figura abaixo representa uma mesa de bilhar onde uma bola, após ser lançada, descreve a trajetória retilínea EG .  

C

D

20) Há muito tempo, quando os piratas navegavam pelos mares, um barco pirata que percorria uma rota marítima teve problemas devido a uma tempestade e naufragou nas proximidades de uma praia. Como eles transportavam um tesouro muito valioso e não tinham meios de prosseguir viagem, tiveram de esconder o tesouro em uma gruta. Conta a lenda que os piratas elaboraram um mapa delimitando a região onde está enterrado o tesouro com algumas instruções. ... Do seu ponto de parda dê 10 passos,

G

em linha reta, para a frente, vire 120° para a esquerda e dê 10 passos, em linha reta, para a frente. Agora, dê o número mínimo E

de passos que seriam necessários para

F

fechar o triângulo, no ponto de parda. B

A

No triângulo EFG, o maior dos ângulos agudos mede o dobro da medida do menor subtraídos 30°. A medida do maior ângulo agudo é: a. 85° b. 80° R: C c. 50° d. 40° e. 30° Chamando de x o menor dos ângulos agudos, podemos escrever a seguinte igualdade: x + 2x – 30° + 90° = 180° 3x = 120° x = 40° O maior ângulo agudo é dado por 2x – 30°. Logo: 2x – 30° = 2·40° – 30° = 80°– 30° = 50°

2 3 4 1 P 8 F E

O número mínimo de passos que é necessário dar para delimitar a região onde está enterrado o tesouro é: a. 8 d. 21 R: B b. 10 e. 22 c. 20

120° 60° 10 passos

x

10 passos

x

partda

Pela figura, sabemos que o triângulo formado é isósceles (dois lados congruentes = 10 passos). Como o ângulo formado por estes lados mede 60°, os outros dois (da base) também medirão 60°, fazendo com que o triângulo, além de ser isósceles, seja equilátero. Com isso, o terceiro lado (quantidade de passos necessários para voltar ao ponto de partida) deve ser também 10.

Professor(a), sugira aos alunos que façam um rascunho ou, se possível, sigam essas “pistas” em um local mais amplo, como o pátio, para verificar concretamente a solução do problema.


94

21) Em um triângulo ABC, dois ângulos internos dos vértices A e B medem: â = 2x + 60°, ˆ = x + 35°. Se o ângulo externo do vértice b C mede 125°, quanto medem os ângulos â e bˆ ?

2x + 60° + x + 35° = 125° 3x + 95° = 125° 3x = 30° x = 10° â = 2x + 60° = 2·10° + 60° = 20° + 60° = 80° ˆ = x + 35° = 10° + 35° = 45° b

Avidades 52 e 53 – Para criar habilidades, um pouco de técnica – Construção de triângulos Exercícios de Aplicação 01) Construa um triângulo ABC com lados medindo AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 3 cm.

03) Construa um triângulo isósceles cujos ângulos da base meçam 40° cada. Para tanto, considere o segmento AB como base do triângulo.

C

A

B A

Professor(a), verifique se os alunos percebem que podem escolher, inicialmente, uma medida qualquer que será a mesma utilizada em toda a construção.

02) Construa um triângulo equilátero qualquer.

B

40° A

40° B

Resposta pessoal, exemplo:

2 3 4 1 P 8 F E


95

A

04) Construa um triângulo ABC, sendo dados: BC = 5 cm B = 70° 

C = 50° 

70° B

50° C

5 cm

Exercícios Propostos 05) Considere os seguintes segmentos:

06) Considere um triângulo MNP no qual ˆ = 45°. MN = 7 cm, MP = 6 cm e M

a P

b

c

Faça uso de compasso e régua e construa um triângulo cujas medidas sejam a, b e c.

45° M

b

N

c

a

07) Construa um triângulo PQR no qual ˆ = 55°. PR = 6 cm, Pˆ = 35° e M

Certificar-se de que os alunos não mediram os segmentos com régua, mas sim transferiram as medidas com compasso.

2 3 4 1 P 8 F E

Q

35° P

55° R

Professor(a), verificar se os alunos percebem que o segmento PR fica automaticamente determinado na figura. Para isso, é interessante orientá-los a fazer um rascunho antes, a fim de que visualizarem o que devem construir.


96

08) Com três palitos de fósforo, é possível construir um triângulo:

Com cinco palitos de fósforo, construímos dois triângulos:

Seguindo o mesmo raciocínio, para construirmos quatorze triângulos, necessitamos de: a. 26 palitos. d.30 palitos. b. 27 palitos. e. 31 palitos. c. 29 palitos. Número de triângulos Número de palitos

Com 7 palitos de fósforo, construímos três triângulos:

1

3

2

5

3

7

...

...

n

2n + 1

n = 14 2 · 14 + 1 = 29 palitos

Avidade 54 • Com três segmentos quaisquer é sempre possível obter um triângulo? – Existência de um triângulo Exercícios de Aplicação

Professor(a), verifique se os alunos percebem que, para que x assuma o maior valor possível, devemos considerar este lado como o maior lado do triângulo. No próximo exercício, vamos refletir sobre o menor valor inteiro para x.

01) Cláudio trabalha em uma gráfica que faz diversos tipos de panfletos para propaganda. Um de seus clientes enviou um e-mail pedindo que fizessem um panfleto no formato de um triângulo com os lados medindo 12 cm, 11 cm e 25 cm. No entanto, Cláudio respondeu dizendo que não seria possível fazer esse panfleto, pois as medidas não estavam corretas. Explique, geometricamente, o motivo pelo qual não é possível fazer esse panfleto com essas medidas. Como se trata de um triângulo, temos que uma das medidas (25 cm) é maior que a soma das outras duas medidas: 25 > 11 + 12 Com isso, não é possível existir o triângulo pedido pelo cliente.

02) Verifique no triângulo qual é o maior valor inteiro que x pode assumir para que o triângulo exista.

3

4

x

Como a medida de um lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados, temos que x < 4 + 3, ou seja, x < 7. Logo, o maior valor inteiro será 6.

2 3 4 1 P 8 F E


03) Com relação ao exercício anterior, podemos dizer que 1 será a menor medida inteira para x? Explique. Não. Caso 4 seja o maior lado do triângulo, deveremos ter a sentença: 4 < x + 3, donde chegamos em 1 < x. Logo, o menor valor inteiro para x é 2.

97

04) O triângulo isósceles abaixo tem seus lados congruentes medindo 13 unidades cada. Qual deverá ser o maior valor inteiro para y? E o menor valor inteiro?

13

13

y

Considerando y como o maior lado do triângulo, devemos ter: y < 13 + 13 y < 26 Logo, o maior valor inteiro para y é 25. Se 13 for o maior lado do triângulo, devemos ter: 13 < 13 + y 0
Exercícios Propostos 05) Em cada caso são colocadas 3 medidas. Verifique se é possível construir um triângulo com as medidas dadas e justifique sua resposta. a. 12 cm, 15 cm e 16 cm.

c. 61 cm, 40 cm e 19 cm. Não é possível, pois: 61 > 40 + 19

É possível, pois: 16 < 12 + 15

d. 16 m, 23 m e 7 m. b. 41 mm, 53 mm e 60 mm. 2 3 4 1 P 8 F E

É possível, pois: 60 < 41 + 53

Não é possível, pois: 23 = 16 + 7


98 Professor(a), este é um bom momento para verificar a atenção dos alunos em relação às unidades de medidas fornecidas (são diferentes).

06) É possível existir um triângulo que tenha seus lados medindo 2,3 cm, 17 mm e 6,5 cm? Explique. Inicialmente, devemos escrever todas as medidas em uma mesma unidade, por exemplo, milímetro. 2,3 cm = 23 mm 17 mm 6,5 cm = 65 mm Então, temos que: 65 > 23 + 17. Logo, tal triângulo não existe.

S

P

A

A alternativa que pode representar a distância entre as cidades A e S, representada pelo segmento AS, é: a. 15 km b. 30 km c. 60 km R: E d. 140 km e. 270 km ˆ é o maior ângulo, então o lado Se ASP oposto AP é o maior lado. Assim, temos: 407 < x + 259 148 < x ∴ x > 148 km (alternativa E, única possível)

Reforce a ideia de que o termo “pode” não implica necessariamente que seja a única solução do problema.

07) Três cidades — Araras, São José do Rio Preto e Presidente Prudente —, representadas respectivamente pelos pontos A, S e P no mapa do estado de São Paulo, forˆ é o ângulo mam um triângulo em que ASP de maior medida. A cidade A está a 407 km da cidade P e a cidade S está a 259 km da cidade P, distâncias representadas respectivamente pelos segmentos AP e SP.

2 3 4 1 P 8 F E

8oAnoG03-Matemática

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