Investigación de Operaciones II (SIS-386; IND-226) Ing. Viktoria Belianskaya
1. PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA 2. TÉCNICAS PERT/CPM DE REVISIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS 3. MODELOS DE COLAS 4. MODELOS DE INVENTARIOS 5. ANÁLISIS DE DECISIÓN
Bibi!"#$%&$
'$()* L.'i)+,!). I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. Ai$i!)*+ ( A"!#i,!+. T!+!). C$#,$ *0ii) 2665. 7$0( A. T$$. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. U)$ i),#!0i). P#*),i* 7$ 1885 9i),$ E0ii). 7$0( A. T$$. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. U)$ i),#!0i). P#*),i* 7$ 188: S*;,$ E0ii). 7i*# <#*0*#i= S. Li*b*#$) G*#$0 >. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. MGRA'?7ILL S@,i$ E0ii) 2662 2662 M@;i!. M$,# . S!! D. I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. E A#,* 0* $ T!$ 0* D*i+i!)*+ P#*),i* 7$ M@;i!188. E*) G.D. G!0 <.>. Si0, C.P. M!!#* >*%%#*( 7. '*$,*#%!#0 L$##( R. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+ *) $ i*)i$ $0i)i+,#$,i-$ 5?$ E0ii) P*$#+!) P#*),i* $ M@;i! 2666. R*)0*# B$##( 7*i*# >$( P#i)ii!+ 0* A0i)i+,#$i) A0i)i+, #$i) 0* O*#$i!)*+ P#*),i* 7$ 1885. P#$0$ >$). M@,!0!+ ( !0*!+ 0* I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. V! I. M!0*!+ 0*,*#i)&+,i!+ Li+$ M@;i! 1888. P#$0$ >$). M@,!0!+ ( !0*!+ 0* I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. V! II. M!0*!+ *+,!F+,i!+ Li+$ M@;i! 1888
Bibi!"#$%&$
'$()* L.'i)+,!). I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. Ai$i!)*+ ( A"!#i,!+. T!+!). C$#,$ *0ii) 2665. 7$0( A. T$$. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. U)$ i),#!0i). P#*),i* 7$ 1885 9i),$ E0ii). 7$0( A. T$$. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. U)$ i),#!0i). P#*),i* 7$ 188: S*;,$ E0ii). 7i*# <#*0*#i= S. Li*b*#$) G*#$0 >. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. MGRA'?7ILL S@,i$ E0ii) 2662 2662 M@;i!. M$,# . S!! D. I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. E A#,* 0* $ T!$ 0* D*i+i!)*+ P#*),i* 7$ M@;i!188. E*) G.D. G!0 <.>. Si0, C.P. M!!#* >*%%#*( 7. '*$,*#%!#0 L$##( R. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+ *) $ i*)i$ $0i)i+,#$,i-$ 5?$ E0ii) P*$#+!) P#*),i* $ M@;i! 2666. R*)0*# B$##( 7*i*# >$( P#i)ii!+ 0* A0i)i+,#$i) A0i)i+, #$i) 0* O*#$i!)*+ P#*),i* 7$ 1885. P#$0$ >$). M@,!0!+ ( !0*!+ 0* I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. V! I. M!0*!+ 0*,*#i)&+,i!+ Li+$ M@;i! 1888. P#$0$ >$). M@,!0!+ ( !0*!+ 0* I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. V! II. M!0*!+ *+,!F+,i!+ Li+$ M@;i! 1888
Bibi!"#$%&$ !**),$#i$H
M!+=!i, 7. '#i", G!#0!) P. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. P#*),i* 7$ 182 P#i*#$ E0ii). N$$=%!#!!+. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+. I),*##*,$i) 0* !0*!+ ( $+!+. Li+$ 1884 T*#*#$ E0ii). R$%%! L*$ E. I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. V!1. S!i!)$#i! 0* 7.T$$. R$%%!?L*$ E0i,!#*+ P*#J 188:. R$%%! L*$ E. I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+. V!2. R$%%!?L*$ E0i,!#*+ P*#J 188:. R$%%! L*$ E. T!$ 0* 0*i+i!)*+ !# *0i! 0* I)-*+,i"$i) 0* O*#$i!)*+ P#!b*$+H R$%%!?L*$ E0i,!#*+ P*#J. G!0 <.>. E*) G.D. Si0, C.P. I)-*+,i"$i) 0* !*#$i!)*+ *) $ i*)i$ $0i)i+,#$,i-$. P#*),i* 7$ 1882 T*#*#$ E0ii).
E-$$i)
Trabajos Prácticos
- 35%
Pruebas Parciales (2)
- 35%
!a"en #inal
- 3
%$
TOT&
- '$
%$ Investigación de Operaciones II (SIS-386; IND-226) Ing. Viktoria Belianskaya
Programación ineal !ntera "P!).
Programación ineal !ntera "P!). ObK*,i-! A#*)0*# $ U,ii$# $,#!)*+ 0* !)+,#i) 0* !0*!+ 0* PLE !) * +! 0* $+ -$#i$b*+ bi)$#i$+ $#$ %!#$i$i) 0* $+ !)0ii!)*+ 0* !+ #!b*$+ *+*&%i!+ S!i!)$# #!b*$+ 0* PLE !) * +! 0* !+ @,!0!+ 0* #$i%i$i) ( $!,$i*),! ( 0* $)! !#,$),* ( U,ii$# * S!%,$#* *+*&%i! $#$ +!i!)$# !+ #!b*$+ 0* PLE !) $ I),*##*,$i) 0* $ +!i) !b,*)i0$. C!),*)i0!
M!0*!+ PLE E) !+ #!b*$+ #*$*+ $+ -$#i$b*+ 0* 0*i+i) +!! ,i*)*) ) +*),i0! +i + -$!# *+ *),*#!. N! +* *0* -*)0*# 0* ,#$,!# #!0i0!
N! +* $+i")$ 0* *#+!)$ $#$ #*$i$# ) ,#$b$K!
N! +* ,ii$ 0* ) ,#$)+!#,* $#$ ,#$)+!#,$#
S!+ii!)*+ 0* PL
M!0*! 0* PL 0*b* i# !) $+ !)0ii!)*+ 0* P#!!#i!)$i0$0 A0i,i-i0$0 C*#,i0b#* Di-i+ibii0$0
M!0*! "*)*#$ 0* PLE 1. Función Objetivo:
Z =
n
∑
c j · X j → Max( Min)
j =1
2. Restricciones:
≤ a X i = 1..m ∑ ij j = bi , j =1 ≥
3. Variables:
n
X , X ,..., X − enteros 2
n
X 1 , X 2 ,..., X n ≥ 0
.
M!0*! PLE
1
Q M!0*! PL
C!)0ii!)*+ 0* *),*#i0$0 $#$ $+ -$#i$b*+
0*i+i!)*+ +& ! )! 1, +i $ 0*i+i) K *+ +& x j = 0, +i $ 0*i+i) K *+ )!.
Ei-$*),* $
X j − variables binarias o variables 0 - 1
X j
0 ≥
X j
1 ≤
X j
− en tero
P#!i*0$0*+ 0* !+ -$!#*+ bi)$#i!+ A6Q6 A +* *ii)$H A1QA A +* #*-*$H 6166116Q3 !),$# !+ )!+H 1, +i $ 0*i+i) K *+ +& C!)+i0*#$)0! x j = 0, +i $ 0*i+i) K *+ )!. l
P$#$ !),$# !+ 1
X j ∑
= K
j = 1
P$#$ !),$# !+ 6
l
(1 − X j ) = K ∑ j = 1
C!)+,#i) 0* !+ !0*!+ 0* PLE !) * +! 0* $+ -$#i$b*+ bi)$#i$+.
E+ ( i!#,$),* $ i),#!0i# $+ -$#i$b*+ bi)$#i$+ !)#*,i$# $ $,#ibi) 0* !+ -$!#*+
1, +i $ 0*i+i) K *+ +& x j = 0, +i $ 0*i+i) K *+ )!. O $+ bi*)
0, +i $ 0*i+i) K *+ +& x j = 1, +i $ 0*i+i) K *+ )!.
E+,! i)%(* $ $ %!#$ 0* i),#!0i) 0* $+ -$#i$b*+ bi)$#i$+ *) $+ *;#*+i!)*+ 0* !0*! ( %$ii,$ $ i),*##*,$i) 0* $ +!i) ,i$ !b,*)i0$.
EK*! 1 U)$ !$&$ *+,F !)+i0*#$)0! + $) 0* *;$)+i) *0i$),* $ !)+,#i) 0* )$ )*-$ %Fb#i$ *) $ Ci0$0 1 ! *) $ Ci0$0 2 ! ,$ -* *) $b$+ i0$0*+. T$bi@) *+,F *)+$)0! *) !)+,#i# $ ! F+ ) )*-! $$@) *#! + !$i$i) *+,F #*+,#i)"i0$ $ $ i0$0 0!)0* +* !)+,#(* $ %Fb#i$. C$i,$ ,!,$ 0i+!)ib* $#$ $ *;$)+i) *+ 0* W16 ). D$0!+ !+ +i"i*),*+ *+,i$i!)*+ $#$ #!(*,!+ *) *+,i) *)!),#$# $ !bi)$i) 0* !+ i+!+ * $;ii* * -$!# #*+*),* )*,! ,!,$
' 2 3
Proyecto en consideración
Valor presente Neto
Capital Re!erido
Constr!ir la "#brica en Ci!dad1 Constr!ir la "#brica en Ci!dad2 Constr!ir el al$ac%n en la Ci!dad1 Constr!ir el al$ac%n en la Ci!dad2
&' $illones & $illones & $illones &* $illones
& $illones &+ $illones & $illones &2 $illones
Plantea"iento del "odelo '* V$#i$b*+
1, Xj = 0, j = 1..*
+i * #!(*,! K +* !)+i0*#$ +i * #!(*,! K )! +* !)+i0*#$
<)i) !bK*,i-! M$;ii$# * -$!# #*+*),* )*,! ,!,$
Z = ' X 1 + X 2 + X + + * X * → $a R*+,#ii!)*+ 1H C$i,$ 0i+!)ib* )! +* *0* *;*0*# !+ W16 )H
X 1 + + X 2 + X + + 2 X * ≤ 10 2H S* !)+,#(* $ ! F+ ) $$@) )! F+ * )!H
X + + X * ≤ 1
A,*#)$,i-$+ ,$*),* *;(*),*+
Plantea"iento del "odelo '* R*+,#ii!)*+ 3H L$ bi$i) 0* $$@) 0**)0* 0* $ !)+,#i) 0* %Fb#i$ +* !)+,#(* $$@) *) $ Ci0$01 3H +i +* !)+,#(* $ %Fb#i$ *) $ Ci0$01'H +* !)+,#(* $$@) *) $ Ci0$02 H +i +* !)+,#(* $ %Fb#i$ *) $ Ci0$02 2H UNA DECISIÓN CONDICIONA A OTRA DECISIÓN UNA VARIABLE CONDICIONA LA OTRA VARIABLE R*+,#ii!)*+ !),i)"*),*+
X1 6 6 1 1
X3 6 1 6 1
X 1 ≥ X +
Por analog+a* ,elación 2 . /
X 2 ≥ X *
#or"ulación 0inal del "odelo '
Z = ' X 1 + X 2 + X + + * X + → $a s!eta a X 1 + + X 2 + X + + 2 X * ≤ 10 X + + X * ≤ 1 X 1 − X + ≥ 0 X 2 − X * ≥ 0 Xj − binarias
EK*! 2 #*+,#ii!)*+ )$ !,#$H L$ 0i-i+i) 0* i)-*+,i"$i) ( 0*+$##!! 0* )$ !$&$ $)%$,#*#$ $ 0*+$##!$0! ,#*+ )*-!+ #!0,!+ !+ib*+. Si) *b$#"! $#$ *-i,$# )$ 0i-*#+i%i$i) *;*+i-$ 0* $ &)*$ 0* )*-!+ #!0,!+ 0* $ !$&$ $ $0i)i+,#$i) $ i*+,! $ +i"i*),* #*+,#ii) R**#ii*),! 1 0* !+ ,#*+ )*-!+ #!0,!+ !+ib*+ 0*b*) *+!"*#+* $ ! F+ 0!+ $#$ #!0i). S* 0i+!)* 0* 0!+ $),$+ * *0*) #!0i# !+ #!0,!+ **"i0!+. P!# #$!)*+ $0i)i+,#$,i-$+ +* i!)* )$ +*")0$ #*+,#ii) $ *+,* #*+*,! R**#ii*),! 2 +! )$ 0* $+ 0!+ $),$+ 0*b* $+i")$#+* $#$ $ #!0i) 0* !+ )*-!+ #!0,!+. E !+,! )i,$#i! 0* #!0i) 0* $0$ #!0,! +*#i$ *+*)i$*),* * i+! *) $+ 0!+ $),$+. P*#! !# 0i%*#*)i$+ *) $+ i)+,$$i!)*+ 0* #!0i) * )*#! 0* !#$+ 0* #!0i) !# )i0$0 0* $0$ #!0,! *0* 0i%*#i# *),#* *$+. E+,!+ 0$,!+ +* 0$) *) $ ,$b$ K),! !) * )J*#! ,!,$ 0* !#$+ 0* #!0i) 0i+!)ib*+ $ $ +*$)$ *) $0$ $),$ $ "$)$)i$ )i,$#i$ $#$ $0$ #!0,! ( $+ *+,i$i!)*+ 0* 0*$#,$*),! 0* *#$0!,*)i$ 0* )*#! 0* )i0$0*+ 0* $0$ #!0,! * +* *0*) -*)0*# $ $ +*$)$ +i +* #!0*). E !bK*,i-! *+ **"i# !+ #!0,!+ $ $),$ ( $+ ,$+$+ 0* #!0i) 0* !+ #!0,!+ **"i0!+ 0* $)*#$ * +* $;ii* $ "$)$)i$ ,!,$ . Prod!cto 1
2
+
Planta 1 Planta 2
+ *
*
2 2
anancia !nitaria ( $iles de &) Ventas potenciales( !nid se$ana)
+ '
/oras disponibles por se$ana
+0 *0
Plantea"iento del "odelo 2*
V$#i$b*+
Pj − j = 1..+
1, Yi = 0, i = 1,2 1, Xj = 0,
L$ ,$+$ 0* #!0i) 0* #!0,! K *) )i0$0*+H +i +* *i"* $ %Fb#i$ i +i )! +* *i"* $ %Fb#i$ i
+i * #!0,! K +* *i"* $#$ $ #!0i) +i * #!0,! K )! +* *i"* $#$ $ #!0i)
Pj ≥ 03 Yi, Xj − binarias
Plantea"iento del "odelo 2* R*+,#ii!)*+ 1H S!! *0* +$#+* )$ 0* $+ $),$+
Y 1 + Y 2 = 1
E;+i) ,$ *+,#i,$
2H C$$i0$0 0* $ #!0i) 0* $+ $),$+ + P 1 + * P 2 + 2 P + ≤ +0 + M (1 − Y 1) * P 1 + P 2 + 2 P + ≤ *0 + M (1 − Y 2)
Si Y1Q6 *),!)*+ Y2Q1 )! +* *i"* $ $),$ 1 +i)! 2H
+ P 1 + * P 2 + 2 P + ≤ +0 + M * P 1 + P 2 + 2 P + ≤ *0
S* 0*+$$ S* !)+i0*#$
Si Y2Q6 *),!)*+ Y1Q1 )! +* *i"* $ $),$ 2 +i)! 1H
+ P 1 + * P 2 + 2 P + ≤ +0 * P 1 + P 2 + 2 P + ≤ *0 + M
S* !)+i0*#$ S* 0*+$$
Plantea"iento del "odelo 2*
R*+,#ii!)*+
3H S!! *0*) **"i#+* 0!+ 0* !+ ,#*+ #!0,!+
X 1 + X 2 + X + ≤ 2 4H Si * #!0,! )! *+ **"i0! *),!)*+ + $),i0$0 0*b* +*# 6
P 1 ≤ X 1
Si X1Q6
P 1 ≤ 0
P 2 ≤ X 2
Si X1Q1
P 1 ≤ 2
P + ≤ ' X +
<)i) !bK*,i-!
M$;ii$# $ "$)$)i$ ,!,$
P 1 + P 2 + +P + → $a
#or"ulación 0inal del "odelo 2 Z = P 1 + P 2 + +P + → $a s!eto a 51 + 52 ≤ 1 +P1 + *P2 + 2P+ + 651 ≤ +0 + 6 *P1 + P2 + 2P+ + 652 ≤ *0 + 6 41 + 42 + 4+ ≤ 2 P1 - 41 ≤ 0 P2 − 42 ≤ 0 P+ − '4+ ≤ 0 51, 52, 41, 42, 4+ - binarias P1, P2, P+ ≥ 0
#or"ulación 0inal del "odelo 2 (alternativa2) Z = P 1 + P 2 + +P + → $a
Pj −
s!eto a
j = 1..+
L$ ,$+$ 0* #!0i) 0* #!0,! K *) )i0$0*+H
+P1 + *P2 + 2P+ − 65 ≤ +0 *P1 + P2 + 2P+ + 65 ≤ *0 + 6 41 + 42 + 4+ ≤ 2 P1 - 41 ≤ 0 P2 − 42 ≤ 0 P+ − '4+ ≤ 0 5, 41, 42, 4+ - binarias P1, P2, P+ ≥ 0
0, +i +* *i"* $ %Fb#i$ 1 )! 2 Y = 1, +i +* *i"* $ %Fb#i$ 2 )! 1 #!0,! K +* *i"* 1, +i *$#$ $ #!0i) Xj = +i * #!0,! K )! +* *i"* 0 , $#$ $ #!0i)
P#!b*$ 0* !+,! %iK! S* i)##* *) ) $#"! 0* #*$#$i) ! !+,! %iK! $)0! +* *#*)0* )$ $,i-i0$0.
E !+,! ,!,$ 0* )$ $,i-i0$0 *+ $ +$ 0* ) !+,! -$#i$b* #*$i!)$0! !) * )i-* 0* $ $,i-i0$0 ( * !+,! %iK! *) * * +* i)##* $#$ i)ii$# $ $,i-i0$0.
kj ? !+,! %iK! cj - !+,! 0* $0$ )i0$0
P$#$ i)ii$# * C!+,! ,!,$ 0* ,!0$+ $+ $,i-i0$0*+
k j + c j x j f j ( x j ) = 0
+i xj 6 +i xj Q 6
z = f 1 ( x1 ) + f 2 ( x2 ) + + f n ( xn ) → $ in
I)!#!#$i) 0* f j *) $ z #*i*#* i),#!0i) 0* )$ -$#i$b* bi)$#i$
P#!b*$ 0* !+,! %iK! 1,
C!)+i0*#$# ! $)$#
+i xj 6
y j = 0, +i xj Q 6.
f j ( x j )
f j ( x j ) y j = ( k j + c j x j ) y j P*#! NO ES LINEAL Y NO SE PUEDE UTILIZAR ESTA EXPRESIÓN EN UN MODELO PLE
S!i)
condicionar el valor de x con el valor de
x j ≤ My j n
z = ∑( c j x j + k j y j ) j =1
EK*! 3 #!b*$ 0* !+,! %iK!H U)$ *#*+$ ,*;,i %$b#i$ 3 ,i!+ 0* #!$ $i+$+ $),$!)*+ ( +!#,+. L$+ Fi)$+ )**+$#i$+ $#$ $ !)%*i) 0*b*) +*# $i$0$+ $ !+ +i"i*),*+ !+,!+ 266W !# +*$)$ $ Fi)$ 0* $i+$+ 156W !# +*$)$ $ Fi)$ 0* +!#,+ 166W !# +*$)$ $ Fi)$ 0* $),$!)*+ S* 0i+!)* 0* 156 !#$+ !b#* ( 16 0* ,*$. L!+ #**#ii*),!+ !+,!+ ( #*i! 0* -*),$ 0* $0$ ,i! 0* #!$ +!) !+ +i"i*),*+ 7!#$+ 7!b#* C$i+$+ 3 S!#,+ 2 P$),$!)*+
0* ,*$ 2 1 3.5
C!+,! 12 15
P#*i! 0* V*),$ 1 14 1
Plantea"iento del "odelo 3*
V$#i$b*+ 1, Yi = 0, i = 1,+
Xi − i = 1,+
+i +* #!0* $ #*)0$ i +i )! +* #!0* $ #*)0$ i
L$ $),i0$0 0* #*)0$ K $#$ #!0i# *) )i0$0*+H
Xi ≥ 0, enteras 3 Yi − binarias
Plantea"iento del "odelo 3*
R*+,#ii!)*+
3H Di+!)ibii0$0 0* !+ #*#+!+
+ X 1 + 2 X 2 + X + ≤ 10 2 X 1 + 1 X 2 + +. X + ≤ 10
disponibil idad horas − hombre disponibil idad tela
4H Si * #!0,! )! *+ **"i0! *),!)*+ + $),i0$0 0*b* +*# 6
X 1 ≤ MY 1 X 2 ≤ MY 2 X + ≤ MY +
Si Y1Q6 X 1 ≤ 0 Si Y1Q1 X 1 ≤ M
<)i) !bK*,i-! M$;ii$# $ "$)$)i$ ,!,$
Z = (1 − 12) X 1 + (1* − 7) X 2 + (17 − 1) X + − 200Y 1 − 10Y 2 − 100Y + → $a !anancia " #ostos unitarios # $ostos fijos
Plantea"iento del "odelo 3* E+,i$i) 0* M 0* $+ #*+,#ii!)*+ %)i!)$*+ +* *+,i$) !+ -$!#*+ F;i!+ * *0*) !b,*)*# $+ -$#i$b*+ $una variable tendr% &aor valor 'osible si otras variables ten(an valor )*
+ X 1 + 2 X 2 + X + ≤ 10
2 X 1 + 1 X 2 + +. X + ≤ 10
X1
X2
X3
5
!5
25
"
1#
$5%!
+e observa el valor &%xi&o $1,)* au&entando al(o de ol(ura 'ara (arantizar el des'laza&iento fuera del es'acio de soluciones factibles se asu&e 2)) 'or eje&'lo.
#or"ulación 0inal del "odelo 3 Z = (1 − 12) X 1 + (1* − 7) X 2 + (17 − 1) X + −
− 200Y 1 − 10Y 2 − 100Y + → $a + X 1 + 2 X 2 + X + ≤ 10 2 X 1 + 1 X 2 + +. X + ≤ 10 X 1 ≤ 200Y 1 X 2 ≤ 200Y 2 X + ≤ 200Y + Y1%Y2%Y3 & binarias X1% X2% X3 ≥ % enteras
1, Yi = 0, i = 1,+
+i +* #!0* $ #*)0$ i
Xi −
L$ $),i0$0 0* #*)0$ K $#$ #!0i# *) )i0$0*+H
i = 1,+
+i )! +* #!0* $ #*)0$ i
je"plo * 1iolación de la proporcionalidad U)$ !#!#$i) *+,F 0*+$##!$)0! ++ $)*+ 0* !*#i$i$i) $#$ !+ )*-!+ #!0,!+ 0* $! #;i! .E+,$ !)+i0*#$)0! $ !#$ 0* ) ,!,$ 0* i)! !*#i$*+ 0* ,**-i+i) *) $+ #*0*+ )$i!)$*+ $#$ ,#*+ 0* *+,!+ #!0,!+ !) ) F;i! 0* ,#*+ ( ) &)i! 0* *#!H $#$ $0$ #!0,!. L$ ,$b$ *+,#$ * i$,! *+,i$0! 0* $+i")$# 612 ! 3 !*#i$*+ $ $0$ #!0,! . E+,* i$,! +* i0* *) ,@#i)!+ 0* $ "$)$)i$ *) i!)*+ 0* 0$#*+ H 0* $+ -*),$+ $0ii!)$*+ * #*+,$#$) 0* !+ !*#i$*+. E !bK*,i-! *+ $+i")$# i)! !*#i$*+ $ !+ #!0,!+ 0* $)*#$ * +* $;ii* $ "$)$)i$ ,!,$.
Número de
Ganancia
comerciales Producto
1 0 1 2 +
2
+
0 0 0 1 0 -1 + 2 2 + + *
L!+ 0$,!+ 0* $+ "$)$)i$+ )! +!) #!!#i!)$*+
#or"ulación 0inal del "odelo 1, )i xi +j yij = 0, de otra manera%
#o&binaciones factibles: 'ara ∀i yi1 + % yi1 + 1% yi1 + % yi1 +
yi2 + % yi2 + % yi2 + 1% yi2 +
yi3 + % yi3 + % yi3 + % yi3 + 1
xi+ xi + 1 xi+ 2 xi+ 3
xi = 1 yi1 + 2 yi 2 + + yi + − enfo('e 8 ap'ntador $a z = y11 + + y12 + + y1+ + 2 y22 + + y2+ − y+1 + 2 y+2 + * y++ , y11 + y12 + y1+ ≤ 1 y21 + y22 + y2+ ≤ 1 y+1 + y+2 + y++ ≤ 1 y11 + 2 y12 + + y1+ + y21 + 2 y22 + + y2+ + y+1 + 2 y+2 + + y++ = , yij − binarias
#or"ulación 0inal del "odelo (alternativa 2) #o&binaciones factibles: 'ara ∀i y + % y + % y + % x + 1, )i xi -j y + 1% y + % y + % x + 1 yij = otra y + 1% y + 1% y + % x + 2 0, de manera% y + 1 y + 1 y + 1 x + 3 xi = yi1 + yi 2 + yi + − enfo('e ac'm'lati,o i1
i2
i3
i
i1
i2
i3
i
i1
i2
i3
i
i1
i2
i3
i
$a z = y11 + 2 y12 + 0 y1+ + 2 y 22 + 1 y 2+ − y+1 + + y+2 + 2 y++ , y11 ≥ y12 3 y12 ≥ y1+ y 21 ≥ y 22 3 y 22 ≥ y 2+ y+1 ≥ y+2 3 y+2 ≥ y++ y11 + y12 + y1+ + y 21 + y 22 + y 2+ + y+1 + y+2 + y++ = , binarias
je"plo 5* obertura de todas las caracter+sticas U)$ &)*$ $@#*$ )**+i,$ $+i")$# ++ ,#i$i!)*+ $#$ b#i# ,!0!+ ++ -*!+ #!"#$$0!+ . +* *+,0i$#F * #!b*$ 0* $+i")$# ,#*+ ,#i$i!)*+ !) b$+* *) S$) <#$)i+! Senver 9an :rancisco a 9eattle ;os enver C?ica=o a 9eattle >enver a 9an :rancisco >enver a C?ica=o 9eattle a 9an :rancisco 9eattle a ;os
1
2
+
* 1
1
1
2
+
+
*
* 2
2 +
1
2
2
2
1 1 +
2 *
7 1
2 +
+
*
2 *
7
'
10 1
1 + *
11 1
2
+
+ 2
12
1 + *
2
*
*
2
'
'
7
'
M!0*! *K*! 5 z = 2 x1
+ + x2 + * x+ + ) x* + x( + 7 x7 + ' x' + ' x10 + 7 x11 + ' x12 → $in x1 + x* + x + x10 ≥ 1 x 2 + x( + x7 + x11 ≥ 1 x + + x) + x' + x12 ≥ 1 $ +**)i$ K $ 1 Si +*)$$+i")$ x * + x + x' + x10 + x12 ≥ 1 ,#i$i) x j = x1 + x) + x10 + x11 ≥ 1 0 D* !,#$ $)*#$ . x* + x( + x' ≥ 1 K Q 1 2 . . . 12. x + x7 + x10 + x11 + x12 ≥ 1 x 2 + x* + x( + x' ≥ 1 x ( + x7 + x11 ≥ 1 x + + x + x7 + x12 ≥ 1 x ) + x' + x10 + x11 + x12 ≥ 1 12
∑ x
j
j =1
=+
EK*! D*+$$i*),! 0* $+ #*+,#ii!)*+ !) * +i")! [
D!#i$) A,! #!(*,$ %$b#i$# ,#*+ ,i!+ 0* $,!-i*+ !$,!+ *0i$)!+ ( "#$)0*+. E #*#+! * #*i*#* $0$ ,i! 0* $,!-i ( $+ ,ii0$0*+ * "*)*#$ +* #!!#i!)$) *) $ ,$b$. A!#$ +* 0i+!)* 0* 666 ,!)*$0$+ 0* $*#! ( 6666 !#$+ 0* $)! 0* !b#$. P$#$ * $ #!0i) 0* ) ,i! 0* $,!-i +*$ %$,ib* 0*+0* * ),! 0* -i+,$ *!)i! +* ,i*)*) * #!0i# !# ! *)!+ 1666 $,!-i*+ 0* *+* ,i!. P$),** )$ PE $#$ $;ii$# $+ ,ii0$0*+ 0* D!#i$).
R*#+! A*#!,!)/)i0H M$)! 0* !b#$!#$+/)i0$0H U,ii0$0*+ W/)i0$0H
Ti! 0* $,!-i C!$,! M*0i$)! G#$)0* 1.5 3 5 36 25 46 2666
3666
4666
P$),*$i*),! !0*! V$#i$b*+ Xi $),i0$0 0* $,! i $ #!0i# 1?! 2?*0 3?"#$)H Xi[6 *),*#$+ R*+,#ii!)*+ 1.5X13X25X3\666?&i,* 0* $*#! 36X125X246X3\6666?&i,* 0* $)! 0* !b#$
Si )! +* #!0* * $,!-i + Xi Q 6 Si +* #!0* $,!-i + Xi [1666 ]C!! %!#$#^
P$),*$i*),! !0*! Necesidad de las variables binarias a!iliares
0, si no se prod!ce el a!to i 5i = 1, si se prod!ce el a!to i )i Yi = 0, Xi = 0 )i Yi = 1, Xi ≥ 0 y
adem.s Xi ≥ 1000
Xi ≤ MYi − despla@ar arriba Xi ≥ 1000 − M (1 − Yi ) − despla@ar abao para no provocar el caso de no eistencia de espacio de sol!ciones "actibles.
M!0*! %i)$ 4ariables Xi & cantidad de a'tom/,il i para prod'cir
% si no se prod'ce el a'to i Yi = 1% si se prod'ce el a'to i Xi ≥ 0, enteras 3 Yi − binarias Re striccione s 1. X 1 + + X 2 + X + ≤ 000 +0 X 1 + 2 X 2 + *0 X + ≤ 0000 X 1 ≤ MY 1 X 1 + M (1 − Y 1 ) ≥ 1000 X 2 ≤ MY 2 X 2 + M (1 − Y 2 ) ≥ 1000 X + ≤ MY + X + + M (1 − Y + ) ≥ 1000 'nci/n bjeti,o (0tilidad total m.xima en miles de d/lares) Z = 2 X 1 + + X 2 + * X + → $a
]E+,i$i) M^ P#$,i$#___
je"plo * P con 0unciones lineales por seg"entos E)i)" G$+ *$b!#$ 0!+ ,i!+ 0* "$+!i)$ "1 ( "2H$ $#,i# 0* 0!+ ,i!+ 0* *,#*! 1 ( 2H. C$0$ "$) 0* "$+!i)$ 1 0*b* !),*)*# !# ! *)!+ 56` 0* *,#*! 1 ( $0$ "$) 0* "$+!i)$ 2 0*b* !),*)*# !# ! *)!+ 6` 0* *,#*! 1. C$0$ "$) 0* "$+!i)$ 1 +* *0* -*)0*# *) 12 *),$-!+ ( $0$ "$) 0* "$+!i)$ 2 +* -*)0* $ 14 *),$-!+. Di+!)* $!#$ 0* 566 "$!)*+ 0* *,#*! 1 ( 0* 1666 "$!)*+ 0* *,#*! 2. S* *0*) !#$# $+,$ 1566 "$!)*+ F+ 0* *,#*! 1 $ !+ #*i!+ +i"i*),*+ #i*#!+ 566 "$!)*+ 25 *),$-!+ !# "$) +i"i*),*+ 566 "$!)*+ 26 *),$-!+ !# "$) +i"i*),*+ 566 "$!)*+ 15 *),$-!+ !# "$). P$),** ) !0*! 0* PE !) * * $;ii*) $+ ,ii0$0*+ 0* E)i)" I)"#*+!+? C!+,!+H.
P con 0unciones lineales por seg"entos 2ostos de petróleo 466 356 366 t s o 2
256 266 156 166 56 6 6
566
1666
1566
S*#i*2
6
125
225
366
S*#i*3
6
125
256
3:5
4alones
/a función de costos no es lineal en todo ran(o de cantidad de (alones 'ero es lineal 'or se(&entos: no se 'uede solucionar solo con 0/ 'ero se soluciona con el uso de las variables binarias.
M!0*! : 4ariables Xij − cantidad de petr/leo i para 5asolina j (en 5alones) i = 1,2
j = 1,23
X − cantidad de petr/leo 1 para comprar (en 5alones) Xij , X ≥ 0
8estricciones X 11 + X 12 − X ≤ 00, l7mite de petr/leo 1 X 21 + X 22 ≤ 1000 , l7mite de petr/leo 2 X 11 X 11 + X 21 X 12 X 12 + X 22
≥ 0., contenido de petr1 en as 1 por lo menos 56 ≥ 0., contenido de petr1 en as 2 por lo menos #6
P con 0unciones lineales por seg"entos 0tilidades = :nresos − 9ostos Z = 12( X 11 + X 21 ) + 1*( X 12 + X 22 ) − c ( X ) , si 0 ≤ X ≤ 00 2 X c ( X ) = 20( X − 00) + 1200 , si 00 ≤ X ≤ 1000 1( X − 1000 ) + 2200 , si 1000 ≤ X ≤ 100
6 Z6 Y1 4ariables
566
1666
Z1
Z2 Y2
1566 Z3 Y3
a'xiliares
0, si ,alor de X no pertenece al se5mento i Y i = 1, si ,alor de X pertenece al se5mento i Z i −1 − ponderaci/n del extremo iz('ierdo del se5mento i Z i − ponderaci/n del extremo derecho del se5mento i Y − binarias3 Z ≥ 03 Z ≤ 1
P con 0unciones lineales por seg"entos 4ariables
a'xiliares
0, si ,alor de X no pertenece al semento i
Y i =
1, si ,alor de X pertenece al semento i Z i −1 − ponderaci/n del extremo iz('ierdo del semento i Z i − ponderaci/n del extremo derecho del semento i Y i − binarias3 Z i ≥ 03 Z i ≤ 1
Restriccio nes adicionale s 51 + 52 + 5+ = 1 valor de 4 debe pertenecer a !no de los + se=$entos3 A 0 + A1 + A 2 + A+ = 1 A 0 ≤ 51 , extremo
dos ponderacio nes de etre$os en s!$a = 13 A 0 pertenece solo al primer semento − se ?abilita
c!ando valor de 4 pertenece al pri$er se=$ento. A1 ≤ 51 + 52 , extremo
A1 pertenece a los sementos 1 y 2
A 2 ≤ 52 + 5+ , extremo
A 2 pertenece a los sementos 2 y +
A+ ≤ 5+ , extremo
A+ pertenece solo al semento +
Representa do 4 X = 0 A 0 + 00 A1 + 1000 A 2 + 100 A + c ( X ) = c(0) A 0 + c (00) A1 + c (1000 ) A 2 + c (100 ) A+
M!0*! %i)$ : 4ariables Xij − cantidad de petr/leo i para 5asolina j (en 5alones) i = 1,2
j = 1,23
X − cantidad de petr/leo 1 para comprar (en 5alones)
0, si ,alor de X no pertenece al se5mento i Y i = 1, si ,alor de X pertenece al se5mento i Z i −1 − ponderaci/n del extremo iz('ierdo del se5mento i
Restriccio nes 411 + 412 − X ≤ 00, 4 21 + 4 22 ≤ 1000,
lC$ite de petróleo 1
lC$ite de petróleo 2
0.4 11 − 0. X 21 ≥ 0,
contenido de petr1 en =as 1 por lo $enos 0B
Y i − binarias3 Z i ≥ 03 Z i ≤ 1
0.*4 12 − 0. X 22 ≥ 0,
contenido de petr1 en =as 2 por lo $enos 0B
Xij, X ≥ 0
51 + 52 + 5+ = 1 valor de 4 debe pertenecer a !no de los + se=$entos3
Z i − ponderaci/n del extremo derecho del se5mento i
A0 + A1 + A2 + A+ = 1 A0 − 51 ≤ 0,
extremo
dos ponderacio nes de etre$os en s!$a = 13 A0 pertenece solo al primer se5mento
A1 - 51 − 52 ≤ 0,
extremo
A1 pertenece a los se5mentos 1 y 2
A2 - 52 − 5+ ≤ 0,
extremo
A2 pertenece a los se5mentos 2 y +
A+ − 5+ ≤ 0,
extremo
A+ pertenece solo al se5mento +
X − 00A1 − 1000 A 2 − 100 A+ = 0
:!nción
Dbetivo ($ai$i@ar !tilidades )
Z = 12 X 11 + 12 X 21 + 1* X 12 + 1* X 22 − 1200 Z 1 − 2200 Z 2 − +0000 Z + → $a
]A @ $+* 0* !+ !0*!+ 0* PL +* *0* $,#ibi# * #!b*$^
T#*+ *#*+$+ ,**%)i$+ i0i*#!) * * ++#ibi*#$ $ + +*#-ii! 0* $#"$ 0i+,$)i$ 0*),#! 0* $&+. M$B* !b#$ W1 %iK!+ !# *+ F+ W6.25 !# i),!. P$B* !b#$ W25 !# *+ *#! * !+,! !# i),! +* #*0* $ W6.21. Y !) B$b(B* $ ,$#i%$ %iK$ *+ 0* W1 *)+$ ( !# i),! !b#$) W6.22. S*! $*# ) #!*0i! 0* 266 i),!+ 0* $$0$+ 0* $#"$ 0i+,$)i$ $ *+. S!)i*)0! * )! $"* $#"! %iK! +i )! $"! $$0$+ ( * *0! #*$#,i# i+ $$0$+ *),#* ,#*+ *#*+$+ ]! 0*b! #*$#,i# $+ $$0$+ *),#* $+ ,#*+ *#*+$+ $#$ i)ii$# i #*ib! ,**%)i! *)+$^
P#!b*$ 0* C!+,!
