Suponga que un cajero bancario bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Solución: =10 clientes/hora = /=7/10=0.7
=7 clientes/hora s=1 (una estación de servicio)
Po=1-0.7=0.3
L
7
( )
1
10 7
2
Lq
W
( )
2.33
10(10 7)
1.63
1
10 7
Wq
3
72
1
7
0.33 3 7
10 (10 7)
0.233
Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos. Problema 2 2. M/M/s
Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito. ¿Qué tanto se mejorará el servicio? De sus conclusiones y recomendaciones para el Banco. Solución: s=2 número de servidores
(0.48148 ) 7 / 10 0.7977 clientes en el sistema
Lq = 0.7977 – 7/10 =0.0977 clientes en cola W=L/=0.7977/7=0.11396 =0.7977/7=0.11396 horas
Wq=Lq/ =0.0977/7=0.01396 horas
Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se tiene un promedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente esperara en promedio solamente 0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El costo de este buen servicio es que los prestadores de éste solamente están ocupados durante el 35% de su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente bueno el banco no deseará incurrir en el gasto de un segundo cajero. Puede tomarse en consideración en las horas pico. Problema 3 3. M/M/s
En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuántos servidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora llegan en promedio 100 clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50 clientes por hora. Un servidor cuesta 5 $/hora y se carga un costo de 20 $ por cada cliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice el costo. Solución: =100 clientes/hora
1 servidor ------- 5 $/hora s servidores ------ 5s
=50 clientes/hora
20 $ por cada cliente que espera en la cola por hora = 20*Wq Costo total = 5s + 20Wq $/hora s=?
100 50 s
2
1
s
=100/ 2(50)=1
1
s > 2
3, 4,....
pero 1
Aunque se realice el cálculo con s=2 los resultados serían colas infinitas. Se deja al estudiante que lo compruebe. Con s=3 =100/3(50)=2/3=0.667
Po B
A
A B
2
(100 / 50) 0
n0
0!
(100 / 50)1 1!
(100 / 50) 2 2!
1 2 2 5
(100 / 50) 1 4 3! 1 0 . 667 3
Po L
1
1
1
0.111 5 4 9 (100 )(50)(100 / 50) 3
3 1!(3(50) 100 )
2
(1 / 9) (100 / 50)
26 9
2.89
Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89 W =L/ = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos Wq = Lq / = 0.89/100=0.0089 horas CT=5(3) + 20(0.0089)=15.18 $/hora Con s=4 Al utilizar s=4 servidores el costo de servidores es 5*4 = 20 y por lo tanto mayor que el costo total con 3 tres servidores. Obviamente ya no es necesario calcular el costo de espera. En conclusión, se deben tener 3 Servidores.
