Universidad Nacional de Colombia. Suárez, Guzmán, Reyes. Informe práctica 8.
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Informe práctica 8 Respuesta en )recuencia 4Resonancia6. Suárez, ?arley. Guzmán, Sebastian. Reyes, @uan. A!afsuarezbe, 1s"uzmanf, 1freyesm,Bunal.edu.co 1freyesm,Bunal.edu.co
Abstract in t!is paper presents t!e results obtained in laboratory tests at t!e circuit, correspondin" to t!e fre#uency response of R$C circuits% as &ell perform t!is interpretation, analysis analysis and results results related related to t!e issue issue of resonance resonance seen in class. Índice de Términos— 'nc!o de (anda, )actor de Calidad, *otencia *romedio, Resonancia. I. R+S*U+S'S +-RIC'S ' $'S *R+GUN'S $as si"uientes son las respuestas desde un punto de vista terico a las pre"untas #ue se formulan en la "u/a, esto nos permite tener una base importante para la realizacin de la práctica. 1. ¿En qué consiste el fenómeno de resonancia?[1] $a resonancia es un fenmeno #ue se puede presentar en circuitos #ue contienen inductores y capacitores, el cual se describe como la condicin #ue e0iste en todo sistema f/sico cuando una funcin forzada de amplitud fi1a produce una respuesta respuesta de amplitud amplitud má0ima y se manifiesta manifiesta cuando una oscilacin e0cita a un sistema cuya frecuencia propia es i"ual o un m2ltiplo entero de la frecuencia de la oscilacin. +n una red el3ctrica de dos terminales #ue contiene al menos un inductor y un capacitor, la resonancia se define como la condicin #ue e0iste cuando la impedancia de la entrada de la red es puram purament entee resist resistiva iva,, por lo tanto tanto una red está está en resonancia cuando la tensin y la corriente en las terminales de entrada de la red están en fase, lo cual corresponde a una admitancia puramente real. 2.¿ué 2.¿ué es el fact factor or de calid alidad ad!! anc"o nc"o de band bandaa # frecuencia de resonancia resonancia $%o&?
$o puntia"udo de la curva de respuesta de cual#uier circuito resonante está determinado por la cantidad má0ima #ue se puede almacenar en el circuito, en comparacin con la ener"/a #ue se pierde durante un periodo completo de la respuesta, esta relacin se define como el factor de calidad 456.
Q=2
π ∗energiamax energiamax . almacen almacenada ada energ energia iatota totall perdida perdida por ciclo ciclo
7tra 7tra inte interp rpre rettaci acinn 2ti 2til de 5 se obtie btiene ne cuand uandoo se inspeccionan las corrientes en el inductor y en el capacitor a la resonancia en un circuito R$C en paralelo, I C , 0=− I L , 0= j w0 CRI = jQ j Q0 I Se observa #ue cada una es 5 veces la corriente de la fuente en amplitud y #ue cada una está 98: fuera de fase respecto a la otra. ;e tal manera, si se aplican < m' a la frecuencia resonante, con una 5 de =, se tienen < m' en la resistencia y 9 m' tanto en el inductor como en el capacitor. capacitor. *or lo tanto un circuito resonante en paralelo act2a como un amplificador de corriente, donde el factor de amplificacin es i"ual al valor de 5 en resonancia. +l anc!o de la curva de la respuesta en resonancia está delimitado por dos frecuencias de media potencia, &9 y &<, frecuencias a las #ue la ma"nitud de la admitancia de un circuito resonante en paralelo es mayor #ue la ma"nitud de la admitancia en resonancia en un factor de √ 2 % en el caso de una fuente de alimentacin de corriente senoidal, estos valores de frecuencia se encuentran en a#uellos puntos en los #ue la respuesta en tensin es
1
√ 2
o .>> veces su valor
má0imo. +l anc!o de banda de media potencia de un circuito resonante se define como la diferencia de estas dos frecuencias de media potencia. B =W 2 −W 1
%i'ura 1. (a'nitud de de la res)uesta en tensión de un circuito resonante resonante )aralelo [2]
$a frecuencia de resonancia, como se e0plico en el numeral 9., es a#uella frecuencia a la cual la parte ima"inaria de la e0pres e0p resin in matemá matemátic ticaa de la admita admitanci nciaa de entrad entradaa de un circuito R$C paralelo se !ace cero, en este punto la frecuencia
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de $ y C se compensan, dando como resultado una impedancia de entrada puramente resistiva. *. ¿ué sucede con la frecuencia de resonancia! el factor de calidad! # el anc"o de banda al +ariar inde)endientemente , o - o ? $a frecuencia de resonancia es inversamente proporcional a la ra/z cuadrada del producto de $ y C, por lo #ue al aumentar el valor de cual#uiera de estas, el valor de la frecuencia de resonancia disminuye, efecto contrario sucede al disminuir los valores. +n el caso del factor de calidad, para un circuito R$C paralelo, este valor es directamente proporcional a R y a C, e inversamente proporcional a $, por lo #ue al aumentar o disminuir los valores de R y C en el circuito, su factor de calidad aumenta o disminuye de forma proporcional, mientras #ue al aumentar o disminuir el valor de $ el factor de calidad disminuye o aumenta de forma inversamente proporcional. +l anc!o de banda en el caso de un circuito R$C en paralelo, es inversamente proporcional a R y a C y no depende de $, por lo #ue al aumentar o disminuir los valores de R o C en el circuito, el anc!o de banda del circuito disminuye o aumenta de forma inversamente proporcional. /. ¿u0l es el +alor de la corriente - en la )r0ctica? ¿oncuerda con la teor3a? E4)lique +n los circuitos R$C serie la corriente #ue se "enera toda esta relaciona con la resistencia del circuito, por lo tanto la tensin de la bobina y tensin del condensador será proporcional a la corriente por el factor de impedancia del elemento. +stos valores deben coincidir con los de la práctica, aun#ue no se toman en cuenta los valores de resistencia de cables, otros elementos 4bobinas y condensadores6y los instrumentos de medida. 5. ¿ué im)acto tiene el 'enerador de se6ales en la res)uesta del sistema? +l "enerador de seDales tiene "ran impacto en la respuesta del sistema, ya #ue el valor de su resistencia interna afecta de forma directa el valor de la resistencia total del circuito, provocando cambios en los resultados esperados si esta no es tenida en cuenta al momento de realizar los cálculos, un e1emplo del impacto de esta resistencia se presenta en el factor de calidad, pues este valor es proporcional al valor de la resistencia e#uivalente del circuito. 'demás de #ue en esta resistencia interna se presentan ca/das de tensin, las cuales var/an el valor real de la salida del "enerador. II. E7N'@+S, CF$CU$7S SIEU$'CI7N+S +n la primera parte de la practica se desarrollo un circuito R$C serie el cual se llevo a la implementacin pero los
<
resultados obtenidos no fueron los esperados. ;ebido a #ue este inconveniente se presento en varios de los "rupos de laboratorio el profesor encar"ado su"iri realizar un diseDo de un circuito R$C en paralelo, contrario a lo #ue se planteaba en la "u/a de laboratorio, ase"urando #ue en esta confi"uracin era más fácil observar el fenmeno de resonancia. (asados en las indicaciones del profesor se realizo el si"uiente diseDo en el cual se realiza una cone0in $C paralelo con una resistencia en serie a la entrada de la fuente de alimentacin, esto con el fin de #ue la impedancia interna del dispositivo de alimentacin no afectara el valor de la impedancia del circuito, pudi3ndose incluir directamente en el valor de la resistencia de entrada del circuito
)i"ura<. Eonta1e n2mero 9. Circuito R$C paralelo. R9H resistencia de entrada del circuito mas la resistencia de la fuente de alimentacin. R
*ara la implementacin del monta1e n2mero 9 primero fue necesario calcular los valores de los elementos del circuito #ue permitan cumplir con las condiciones establecidas por el profesor en la "u/a de laboratorio. $os cálculos fueron los si"uientesH $os valores de la inductancia y la capacitancia fueron seleccionados de acuerdo a la disponibilidad de elementos #ue se posee en el laboratorio y a la oferta de valores #ue se encuentra en el mercado, esto debido a la poca variedad #ue se encuentran en el mercado de estos elementos. $os valores seleccionados fueronH Inductancia 4$6 H m? Capacitancia 4C6 H J.> u) ' partir de estos valores se calculo la frecuencia de resonancia a la cual debe de operara el circuito. w 0=
f 0=
1
√ LC
w0
4862.16
=
=773.83
2 π
Hz
rad s
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a con el valor de la frecuencia de resonancia, se utilizo la frmula del factor de calidad para calcular el valor de la resistencia del circuito #ue "arantice un factor de calidad i"ual a J.
R=
4
=175.03
W 0 C
ohm
K
' partir del anterior circuito se realizaron las simulaciones necesarias para dar solucion a las pre"untas establecidas en la "uia de laboratorio. $os resultados de las simulaciones se pueden observar en las fi"uras J, = y O 9. 9.para una me1or interpretacion de las "raficas estas se encuentran ad1untas en los ane0tos en forma ampliada para mayor facilidad de su lectura.
+ste valor de resistencia corresponde a la resistencia total #ue se debe colocar en serie con la fuente de alimentacin% ya #ue la resistencia interna del "enerador de seDales es de = o!m, la resistencia #ue realmente se conecto en el circuito fue de 9<= o!m, esto para completar los 9>= o!m necesarios para obtener un factor de calidad i"ual a J. *or 2ltimo se determino el anc!o de banda del circuito R$C del monta1e numero 9. w 1,2=w 0
[√ ( ) 1+
1
2
2 Q0
∓
1 2 Q0
]
rad = 683 Hz s rad =876 Hz w 2=5507.76 s w 1=4292.2
=w 2−w 1=1215.57
)i"uraJ. 'nálisis en frecuencia del circuito R$C del monta1e numero 9. )recuencia del pico más altoM >O ?z
rad s
f =193.46 Hz +l circuito final con los valores seleccionados se observa en la fi"ura K.
$a fi"ura J corresponde al análisis en frecuencia #ue se le realizo al circuito con el fin de verificar #ue el valor de la frecuencia de resonancia corresponda con el obtenido en los cálculos tericos. +n esta se representa en el e1e de las P el valor de frecuencias desde los J ?z !asta los 9< ?z, entre los cuales se observa #ue el pico más alto de la "rafica se encuentra apro0imadamente a los >> ?z, valor #ue corresponde a la frecuencia de resonancia del circuito !allada anteriormente, además de esto tambi3n se observa #ue la ma"nitud de la corriente en el inductor y en el capacitor se encuentra apro0imadamente J veces por encima del valor de la corriente #ue fluye por la resistencia, valor #ue corresponde a un factor de calidad i"ual a J, tal y como se !ab/a previsto en los cálculos matemáticos.
)i"uraK. Circuito R$C paralelo con sus valores correspondientes. Lolta1e pico M =L )recuencia de operacin de la fuente de alimentacinH >> ?z '($' I. Ea"nitudes de tensin y de corriente en los elementos del monta1e n2mero 9.
+lemento Ea"nitud R9 $9 C9
ension 4L6 .JK J.=> J.=>
Corriente 4m'6 <9.
)i"ura =. Comparacin de las ma"nitudes de las corrientes en la resistencia, el capacitor y la inductancia. Lalor de la corriente en la resistencia en el pico mas altoH <9.
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+n la fi"ura = se puede observar las seDales de corriente #ue fluyen a traves de cada uno de los elementos del circuito, en esta "rafica se puede observar #ue el valor de la ma"nitud de la corrienete en el inductor y en el capacitor son casi i"uales, fenomeno caracteristico de un circuito resonante, y #ue la corriente #ue fluye a traves de ellos es J veces mayor #ue la corriente #ue fluye a traves de la resistencia, corroborando los resultados obtenidos en los calculos y los observados en la fi"ura numero J. ambien se puede observar #ue las seDales de corrienete en el inductor y en el capacitor poseen un desfase de 98Q, resultado #ue como se !abia planteado en la solucion de la pre"unta numero <, nos permite interpretar el factor de calidad en un circuito R$C resonante en paralelo, en donde se observa #ue cada una es 5 veces la corriente de la fuente en amplitud y #ue cada una está 98: fuera de fase respecto a la otra.
J
)i"ura >. Eonta1e f/sico numero 9.
+l circuito del monta1e numero 9 se encuentra alimentado por una fuente 'C, con una amplitud de = L y una frecuencia de >>.J ?z% a este se encuentran conectados un potencimetro de = o!m a un valor de resistencia de 9<= o!m, una inductancia de m?, y un capacitor de J,> u) se"2n la confi"uracin descrita en la fi"ura <. $ue"o de realizar el monta1e del circuito con los valores !allados en los cálculos y en las simulaciones, se realizaron las mediciones de las corrientes en el capacitor, en la inductancia y en la resistencia para verificar #ue los valores obtenidos est3n acorde con el fenmeno de resonancia esperado en el circuito% además de esto se observaron las seDales de tensin y de corriente a la salida de la fuente de alimentacin para verificar #ue estas se encontraran en fase, tal y como se e0plico #ue sucede en el fenmeno de resonancia en la pre"unta numero 9.
)i"ura O. 'nálisis del desfase entre las seDales de tensin y de corriente de la fuente de alimentacin.
+n la fi"ura numero O se puede observar la seDal de tensin y de corriente de la fuente de alimentacin. +n esta "rafica la seDal de corriente se encuentra multiplicada con un factor de 9, esto con el ob1etivo de poder visualizar más fácilmente la relacin de fases entre las dos seDales. Como se puede observar en la "rafica, la seDal de tensin y de corriente están prácticamente en fase, fenmeno #ue no es caracter/stico de un circuito R$C debido a la presencia de elementos capaces de almacenar ener"/a en el circuito, pero ya #ue la frecuencia de operacin del circuito corresponde con la frecuencia de resonancia del mismo, la parte ima"inaria de la inductancia y la capacitancia se !ace cero, permitiendo #ue el circuito posea un comportamiento netamente resistivo, en el cual las seDales de tensin y de corriente se encuentran en fase, lo"rando #ue la amplitud de la corriente sea la má0ima entre sus l/neas.
)i"ura 8. Lalores de corriente medidos en la inductancia y en la resistencia. Lalor de la frecuencia de resonancia medido en el "enerador de seDales.
III. R+SU$';7S 7(+NI;7S ' continuacin se presentan los resultados obtenidos de forma e0perimental en el laboratorio de circuitos II. )i"ura . )orma de onda de las seDales de tensin y de corriente en la fuente de alimentacin.
*ara observar la forma de onda de la corriente #ue fluye a trav3s de la fuente de alimentacin, se visualizo la tensin en
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la resistencia R9. ;ebido a #ue la corriente #ue fluye por los dos elementos es la misma, y #ue en una resistencia las seDales de tensin y de corriente están en fase, la seDal observada posee la misma forma de onda #ue la seDal de corriente de la fuente. 'l superponer las dos "raficas en un mismo plano se observo #ue tal como se esperaba las seDales de tensin y de corriente se encuentran en fase, fenmeno #ue sucede en un circuito en resonancia. $ue"o se realizaron las mediciones de corriente en cada uno de los elementos, los resultados obtenidos fueron los si"uientesH )recuencia de operacin M >>.J ?z Corriente en inductor 89.= Corriente en el capacitor 8<.9 Corriente en la resistencia. 9.<< Con los resultados obtenidos se pudo verificar #ue la frecuencia de resonancia del circuito corresponde con los valores obtenidos en los cálculos matemáticos y en las simulaciones, además #ue con los valores utilizados se "arantiza un factor de calidad i"ual a J en el circuito. *or 2ltimo se realizo un barrido en frecuencia del circuito y se tomaron los valores de las corrientes #ue se presentan en cada uno de los elementos a medida #ue el valor de la frecuencia de la fuente de alimentacin cambia, esto con el fin de determinar de forma e0perimental la curva de respuesta en frecuencia del circuito, y comparara el comportamiento con el obtenido por medio de las simulaciones a partir de la curva se determino el anc!o de banda correspondiente del circuito. $os resultados obtenidos fueron consi"nados en las tablas II, III y IL, y posteriormente "raficados para su me1or interpretacin. '($' II. ;atos medidos en la resistencia R9 variando el valor de la frecuencia Elemento Resistencia Frecuencia (Hz) Corriente (mA) 60 146,05 100 146,5 300 144,85 500 139,5 600 1!,85 !00 84,35 !9!,4 19,9 900 111, 1100 138,5 1300 143,1 1500 144,55
=
Corriente en la Resistencia 100 90 80 !0 ) 60 A m 50 ( 40 e t 30 n e i 0 r r 10 o c 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 ! " 0 0 0 0 1 3 5 6 ! 9 9 1 3 5 1 1 1 !
frecuencia (Hz) Corriente en la Resistencia
)i"ura 9. Curva de la respuesta en frecuencia de la corriente en la resistencia '($' III. ;atos medidos en la inductancia $9 variando el valor de la frecuencia Elemento #n$uctancia Frecuencia (Hz) Corriente en (mA) 60 ,854 100 3,166 300 6,598 500 3!,84 600 50,584 !00 !3,4 !9!,4 81,588 900 48,009 1100 0,904 1300 1,9!14 1500 8,416
Corriente en la Inductancia
A m ) ( e t n e i r r o C
90 80 !0 60 50 40 30 0 10 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 ! " 0 0 0 0 1 3 5 6 ! 9 9 1 3 5 1 1 1 !
Frecuencia (Hz) a Corriente en l a #n$uctanci
)i"ura 99. Curva de la respuesta en frecuencia de la corriente en la inductancia.
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'($' IL. ;atos medidos en el capacitor C9 variando el valor de la frecuencia Elemento Ca%acitor Frecuencia (Hz) Corriente (mA) 60 0,148 100 0,136 300 4,01! 500 15,6 600 30,0144 !00 60,1614 !9!,4 !8,904 900 65,3484 1100 4,354 1300 3!,06 1500 30,966
Corriente en el Capacitor
A m ) ( e t n e i r r o C
90 80 !0 60 50 40 30 0 10 0 0 6
0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! " 0 0 0 0 1 3 5 6 ! 9 9 1 3 5 1 1 1 !
Frecuencia (Hz) Corriente en el Ca%acitor
)i"ura 9<. Curva de la respuesta en frecuencia de la corriente en el capacitor.
*or medio de los resultados arro1ados por el barrido en frecuencia del circuito, se puede observar #ue el comportamiento obtenido de forma e0perimental en el laboratorio corresponde con los análisis tericos y con las simulaciones realizadas anteriormente, ya #ue como se esperaba, a medida #ue el valor de la frecuencia fue variando los valores de las corrientes en cada uno de los elementos tambi3n variaban. +n la resistencia la corriente fue disminuyendo de su valor ori"inal !asta el punto de resonancia donde su valor de corriente fue m/nimo, lue"o de pasar este punto la corriente volvi a aumentar a medida #ue la frecuencia se"u/a aumentando% por el contrario en la inductancia y en el capacitor la corriente inicio en su valor m/nimo lle"ando a su má0imo valor en el punto de resonancia. +stas dos 2ltimas corrientes no variaban de la misma forma a medida #ue la frecuencia variaba, en el intervalo desde cero !asta la frecuencia de resonancia la corriente en el inductor siempre fue mayor #ue la corriente en el capacitor, ya #ue esta aumento con mayor velocidad, mientras #ue en el intervalo del punto de resonancia !asta el valor final del barrido la corriente
O
en el capacitor fue mayor #ue la presente en la inductancia, ya #ue esta decreci con menor velocidad. *ara determinar el anc!o de banda del circuito, se observaron los intervalos de frecuencia entre los cuales se encontraban los valores de corriente superiores al >.> del valor má0imo, y a partir de estos valores se determino el valor apro0imado del anc!o de banda del circuito. $os resultados fueron los si"uientes !al.max ¿ 70.7 =56.56 m" '($' L. )recuencias a las cuales se presentan valores de corriente superiores al =O.=O m'. Element Frecuenci Corriente (mA) o a Ca%acitor 600 30,0144 !00 60,1614 !9!,4 !8,904 900 65,3484 #n$uctor 600 50,584 !00 !3,4 !9!,4 81,588 900 48,009
;e acuerdo a los resultados consi"nados en la tabla se puede observar #ue los valores de las frecuencias en las #ue se presentan valores de corriente superiores a los =O.=O m', se encuentran apro0imadamente entre los O= ?z y los ?z, entre"ando un anc!o de banda de <= ?z, valores #ue se apro0iman bastante a los obtenidos en los cálculos matemáticos realizados. IL. C7NC$USI7N+S +l estado de resonancia en un circuito es un fenmeno #ue se cumple "racias a la utilizacin de los valores espec/ficos en cada uno de sus elementos, motivo por el cual este estado se puede perder muy fácilmente a causa de variaciones m/nimas en los valores de sus componentes% incluso al realizar la cone0in de los mult/metros la impedancia de estos elementos ocasionaron cambios en el valor del factor de calidad ori"inal del circuito. 'l momento de realizar el diseDo de circuitos resonantes, es de vital importancia tener presente el valor má0imo de frecuencia a la cual operan de forma efectiva los elementos de medicin, y #ue estos valores no sean superados por la frecuencia de operacin con la cual sea alimentado el circuito. de esta forma se "arantiza #ue los valores medidos sean confiables y correspondan a la realidad. $a condicin de resonancia en un sistema puede ser deseable o indeseable, dependiendo del propsito al #ue va a servir el sistema, ya #ue una respuesta de amplitud má0ima puede ser deseable en un circuito #ue deba de amplificar una seDal, pero indeseable si este factor de amplificacin se ve alterado por
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aumentos inesperados en los valores de resistencia de los elementos debidos a factores t3rmicos o mecánicos, ocasionando sobrecar"as en el sistema #ue pueden ser per1udiciales. L. R+)+R+NCI'S [1] 7illiam 8. 8a#t! 9r! :ac; E. urbin! An0lisis de circuitos en in'enier3a@! ma edición .
[1] 7illiam 8. 8a#t! 9r! :ac; E. urbin! An0lisis de circuitos en in'enier3a@! ma edición ca)itulo 1B. C. B*D. ,
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