Compiled By Science Olympiad Blog scienceolympiadsbd.blogspot.com
Question Papers Category A, B, C
th
7
BANGLADESH
Compiled By Science Olympiad Blog scienceolympiadsbd.blogspot.com
Question Papers Category A
th
Physics Olympiad
2017
Compiled By Science Olympiad Blog scienceolympiadsbd.blogspot.com
Question Papers Category A Class 7-8
th
7
BANGLADESH Physics Olympiad
2017
1. In the figure below there are 3 blocks with masses masses respectively respective ly 3, and . They are connected via a rigid rope on a frictionless surface. If the acceleration of mass is −, what are the accelerations of the other masses? Also explain the reason of your answer with proper calculation.
নেচর েনচ , এবং ভচরর নিন নিন ক খা যাচ। এরা ঘণহী ণহী চর উপর অবন ু । যন ভচরর কিনর রণ এবং এচক অপচরর সাচ অসারণশী নর সাহাচয য ু চশ − হয়, াহচ অ কচার রণ ক? কাক চশ ও কারণসহ ামার উতর বাখা কচরা।
1. In the figure below there are 3 blocks with masses masses respectively respective ly 3, and . They are connected via a rigid rope on a frictionless surface. If the acceleration of mass is −, what are the accelerations of the other masses? Also explain the reason of your answer with proper calculation.
নেচর েনচ , এবং ভচরর নিন নিন ক খা যাচ। এরা ঘণহী ণহী চর উপর অবন ু । যন ভচরর কিনর রণ এবং এচক অপচরর সাচ অসারণশী নর সাহাচয য ু চশ − হয়, াহচ অ কচার রণ ক? কাক চশ ও কারণসহ ামার উতর বাখা কচরা।
2. Consider a cylinder which is divided into two compartments by a movable piston. Initially the volume and pressure of oxygen gas in the first compartment are and respectively. And the volume and pressure of oxygen gas in the second compartment are and respectively. When the system reaches equilibrium, equilibrium, what will be the pressure and volume of the two compartments? Assume that heat can be exchanged through the wall of the cylinder and the piston.
ু িন চকাচ নবভ। নপিন চ পাচর। চ ধচরা একিন নসনার একিন নপ ারা ম চকাচ রাখা অনচ গাচসর অনচ গাচসর োপ ও আয় যাচম এবং ; নীয় চকাচ রাখা অনচ গাচসর অনচ গাচসর োপ ও আয় যাচম এবং । যখ নসচমিন সামাবায় পৌছায়, ু ইিনর োপ ও আয় খ চকা আয় ক হচব? ধচর াও, নসনাচরর নসনাচরর য়া ও নপচর নপচর ভর নচয় াচপর আা-া আা-া হচ পাচর।
3. A plane mirror rotates about a vertical axis in its plane at revolutions per second, and, reflects a narrow beam of light to stationary mirror away. This mirror reflects the light normally so that it is again reflected from the rotating mirror. The light makes an angle of minutes with the path it would travel if both mirrors were
stationary. Calculate the velocity of light. Clarification: minute =
degree.
ু চর। একিন সম পণ ওই চর উপর অবন উ অচর সাচপচ ন সচকচ বার ঘ এিন একিন স আচাকরনচক ূচর অবন একিন নর প চণ নফন কচর। ূণণ ায়মা ওই নর প চণ নফন হচয় আচা সরাসনর উচটা পচ নফচর আচস এবং ঘ প চণ ু রায় নফন ু িন নর াকচ আচা প নফন হয়। পণ আচা য পচ নফন হচা, ার সাচ আচা এখ minutes কাণ উৎপ। আচার উৎপ। আচার বগ নণ য় কচরা।বাখা: minute = degree
Let us consider a situation situation where you want to measure measure some quantity which is a function of some other quantities and . For example if was velocity, you would determine it by measuring quantities = (length) and = (time); = (, ) = . 4.
Let us denote the absolute error of by and similarly for . We can now evaluate the largest and smallest possible values for by calculating ( ± , ± ) and choosing the signs in such a way that we get the largest/smallest possible result. In this way we get and , and the error estimation for is = { , } The efficiency of an electric motor which lifts a mass to an altitude in time is
=
where and are the voltage and the current that the motor uses,
respectively. Let us suppose that, , and are measured in % accuracy accurac y, in % accuracy and only in % accuracy. Compute the error estimation of the efficiency.
ু নম কাচা একিন রানশ পনরমাপ করচ োও যিন এবং এর ফাংশ। উাহরণপ, ধচরা ধচরা হচা বগ। াহচ এিন বর করার ামাচক = ূ (র রূ ) এবং = (সময়) মাপচ হচব। = (, ) =
ু পভাচব এবার আমরা এর absolute error ক ারা নচ শ কনর এবং অ এর absolute error ক ারা নচ শ কনর। াহচ আমরা এর সবেচচয় ব এবং সবেচচয় িছা সাব মা বর করচ পানর ( ± , ± ) নহসাব কচর। এখাচ খয়া কচরা, সবেচচয় ব/চিছা সাব মা বর করার absolute error এর আচগ বা েন যাযভাচব বসাচ হচব। এভাচব আমরা এবং য় করচ পানর। নণ াহচ এর সাব িন, = { , } উঠাচ পাচর। সমচয় ভরচক উায় উঠাচ
ু নক িমার একিন ব াহচ এর কম া, = ; যখাচ এবং হচা যাচম নবভব পা ক এবং নৎ বাহ। ধচরা, , এবং পনরমাচপ িন % , % , পনরমাচপ িন % এবং পনরমাচপ িন %. কম া পনরমাচপ সাব সাব িন নণ য় কচরা।
5. In
this problem, we are going to learn about a technique in Circuit analysis called “Source Transformation”. Two circuits are called ‘equivalent’ if they develop the same voltage and current if connected to the same load. Consider the two circuits below. below.
এই সমসাচ ব ী নবচচণর আমরা উৎস পার ( পার (Source transformation) ামক ু বন যন ারা ু ইিন ব ীচক আমরা সম একিন পদন নশখব। সম ারা একই ‘াড’(Load) এর সাচ ু িচা চখা। ু অবায় এচর নবভব ও নৎ বাহ একই হয়। নেচর ব ী সংয
Circuit-1 Circuit-2 The first one is a voltage source (i.e., a battery) in series with a resistor , and the second one is a current source in parallel with a resistor . (A current-source can supply a constant amount of current. The direction of arrow indicates the direction of flow of current.)
ু আচছ। নীয়িনচ মিনচ একিন নবভব উৎস(অ াৎ বািানর) রাধ এর সাচ নসনরচ সংয ু আচছ।(একিন রাধ একিন বাহ উৎচসর সাচ সমারাচ সংয আচছ।(একিন বাহ উৎস ব ীচ একিন একিন নন ষ মাচর ব নৎ বাহ বায় রাচখ। ীর েন বাচহর নক নচ শ কচর) (a) If a resistance is connected across terminals 1 and 2 of circuit-1, what will be the voltage and current across ? যন
ু করা হয়, াহচ য
রাধ ক ম ব ীর া 1 ও 2 এর সাচ রাচধর বাহ এবং াচয়র নবভব পা ক ক হচব?
(b) If the same resistance is connected across terminals 1 and 2 of circuit-2, what
ু প ঐ একই রাধ নীয় ব ীর অ রাচধর মধ নচয় নৎ বাহ এবং এর াচয়র মচধ
will be the voltage and current across ? যন
ু ই াচ সংয ু করা হয়, চব নবভব পা ক ক হচব?
(c) Find the relation between and , and, and if the two circuits are equivalent. (Hint: The relations need to hold for any value of . Particularly, consider an extreme case like = .) So, if the relations here are followed, then, circuit-1 can be replaced by circuit-2 and vice-versa. This replacing of one type of
ু হচ , পরর সম নপা কচরা।(সাহায: এই সক িন এর যচকাচা এবং, , এর মচধ সক নপা মাচর চযা। নবচশ কচর = এর মচা ানক চ েযাাই কচর খচ পাচরা। যন এই অংচশ অংচশ পাওয়া সক িন খািচ, াহচ ম ব ীর বচ নীয় ব ী ববহার করা যাচব এবং ার উচিটাাও স। এভাচব এক ধরচর উৎসচক অিন নচয় নাপ করাই “উৎস পার”। ব ীয় source by another is called ‘source‘source-transformation’. ব
Science Olympiad Blog
Science Olympiad Blog scienceolympiadsbd.blogspot.com
Question Paper Category B Class 9-10
th
7
BANGLADESH Physics Olympiad
2017
Battle of Marineford A long time ago, in a world different form us, World Government and Whitebeard pirate were engaged in a fierce battle named “Battle of Marineford”. Marineford”. The pirate army launched a massive attack from the sea to breach the protecting wall of Shiganshina district - “Wall Maria”. “Wall Maria” was erect straight up along the sea shore and its height was about 50m from the sea level. The pirates had a cannon which could fire a bomb shell at a speed of 50m/s. [Neglect air resistance and the curvature of the earth. The acceleration due to gravity, g = 10m/s2]
ৃ ভবীন World Government এবং অনক অনক অনক অনক বছর বছর আন আন আমানর আমানর থনক এক ভ এক ভ প
Battle of Marineford A long time ago, in a world different form us, World Government and Whitebeard pirate were engaged in a fierce battle named “Battle of Marineford”. Marineford”. The pirate army launched a massive attack from the sea to breach the protecting wall of Shiganshina district - “Wall Maria”. “Wall Maria” was erect straight up along the sea shore and its height was about 50m from the sea level. The pirates had a cannon which could fire a bomb shell at a speed of 50m/s. [Neglect air resistance and the curvature of the earth. The acceleration due to gravity, g = 10m/s2]
ৃ ভবীন World Government এবং অনক অনক অনক অনক বছর বছর আন আন আমানর আমানর থনক এক ভ এক ভ প ু দ বানয মনয এক য়াক য়াক বানয া া “Battle of Marineford” ানম Whitebeard pirate থর মনয এক পভরিভ। Pirate রা সার থনক সার থনক of Shiganshina district এর ভরা এর ভরা থওয়াল থওয়াল এ এ আম ু ল থে ি ালায়। এই থওয়াল “Wall Maria” ানম পভরিভ। ানম পভরিভ। এভ সার এর সার এর উপক উপক ল থে ন ভর ন ভর করা করা ু প ু ভছল । ৃ থনক ভছল এবং ভছল এবং এর উচা উচা সম সম থনক 50m প ে েউি ভছল । Pirate থর কামাভ একভ কামাভ একভ থবামানক থবামানক ৃ ভবীর বা থক ু ড়ন পারনা। ছ ড়ন পারনা। [ বাানসর বাানসর বাযা ও বাযা ও প বা থক ণ যর। ণ যর। যনর াও াও, g = 50m/s থবন ছ 10m/s2]
a) From these given information what was vertical firing range of the pirate cannon?
ু ায়ী কামানর উপনরর অ অ কামানর উল উল পাা ক ক ? b) If the cannon were fired at 600 angle, what would be the distance from the cannon to the fired location?
ূ ভমনকর সান ু কামা থনক কামা থনক ভ ভ আ আ সান 600 থকান থালা থকান থালা থেথেছ ড়া া হয় াহনল হয় াহনল কামা থনক কামা থনক থালা পনর থালা পনর া এর া এর ূ র রূ ক ? c) Find the maximum horizontal firing range of the cannon.
ু ূ ভমক পাা কামানর সব সব াভযক আ আ ভমক পাা থবর থবর কর। কর। d) What is the maximum distance from the “Wall Maria” that would be enough for the pirate cannon to shoot over the wall and what would be firing angle?
থনক সনব সনব াচ ক াচ ক ূ নর নূ র জাহাজ জাহাজ অবা অবা করনল করনল কামা থনক কামা থনক থেথেছ ড়া থালা ড়া া থালা থয়ানলর অপর পান অপর পান থপছানব থপছানব এবং এবং খ ভনপ থকাণ ক হনব ?
“Wall Maria”
Helium 3 Refrigerator In this problem we shall explore the mechanism of a special kind of refrigerator named ‘Helium‘Helium-3 Refrigerator’. It is a tool that allows to reach temperatures between 0.2 K and and 5 K . A schematic of the device is shown in the figure. Helium-3 is an isotope of Helium-4, its properties are somewhat different from those of the Helium4. Container 1 contains liquid Helium-4 whose liquefaction temperature is about 4.3K at at atmospheric pressure. We can control the amount of liquid Helium-4 and the pressure inside container 1 using a pump. Container 2 contains Helium-3 whose liquidation temperature is about 3.2K at at atmospheric pressure and Container 2 is a closed container. Helium-3 and Helium-4 constitute two separate systems and the parts of container container 2 (indicated in in bold lines) are are made of good conductor conductor e.g. silver. silver. The system is thermally isolated from the environment. এই সমসায় এই সমসায় এ আমরা Helium-3 থরভজানরর ানম একভ ভবন যরনণর থরভজানরনরর কাপযভ পযভ
সনক জাব। জাব। এভ একভ া ারা থনক থকলভনর মনয াপমাা অজ করা সব । িভন ভর একভ কা ক া থখানা হল। Helium-3, Helium-4 এর একভ আইনসানাপ।এর বভষ Helium-4 থনক ভ। 1 ং পান রল Helium-4 আনছ ার রলীকরণ াপমাা াাভবক ু বায় ু ি ানপ । আমরা 1 ং পানর রল Helium-4 এর পভরমাণ ও িাপ একভ পা ববহার কনর ভয়ণ করন পাভর । 2 ং পান Helium3 আনছ ার রলীকরণ ু াপমাা াাভবক বায় ু ি ানপ এবং এভ একভ বদ পা। Helium-3 এবং ু ভ আলাা Helium-4 ভসনম ঠ কনর এবং 2 ং পানর অংগনলা ুপভরবাহী পভরবাহী (থমাাান িভভ ) স পা উাহরণঃ (উাহরণঃ পা ) ারা ভর। ভসনমভ পভরনব থনক ভবভ।
(a) Let’s assume that we have switched on the pump to lower the pressure in container 1 from atmospheric pressure. How will the temperature of liquid Helium4 will change? Explain qualitatively. ু িই অ করা হল। রল মন কর 1 ং পানর িাপ াাভবক বায় ুি াপ থনক কমানার জ পানর স Helium-4 এর
াপমাা ভকানব পভরবভ হনব ? বাখা কর।
(b) If we somehow cool the liquid Helium-4 to 1.5K , what will happen to gaseous Helium-3? If we assume that it will cool down, then, ভ থকানাানব রল Helium-4 এর াপমাা 1.5K কভমনয় কভমনয় আা হয় বায়বীয় াস Helium-3 এর
ভক পভরব হনব ? মন কর এভ ীল হনব , খ (i) (ii) (iii)
In what region of the container 2 will cooling begin? 2 ং পানর থকা অংন ীলীকরণ শ হনব ? What will be final phase of Helium-3 inside container 2? ি ড়া অবা ভক হনব ? 2 ং পানর Helium-3 এর ূ Draw a rough sketch of temperature vs. time curve of Helium-3 assuming that at t=0 Helium-4 is cooled to 1.5K . Helium-3 এর াপমাা বাম সময় এর াফ েআ ক , মন কর t=0 সমনয় Helium-4 এর
াপমাা কনম (iv)
হয়। 1.5K হয়
If we want to sample the temperature of the system, from which place in the system we should sample the temperature? temperature?
ু া সংহ করন িাইনল ভসনমভর ভসনমভর াপমাার ম ভসনমভর থকা জায়া থনক াপমাার ু া সংহ করা উিভ ? ম
The Nernst Bridge Part A: In this problem, we shall examine the performance of capacitors in circuit. At first let’s considers a capacitor formed by two circular plates separated by a vacuum where radius r = 1 m, distance between the plates d = 10 cm, d << r. The capacitor is initially charged to a voltage source U0 = 100V and then separated from this = . . source. The distance d between the plates is now increased increased by
ু ৎ ব ীন যারনকর কা ু ইভ এই ন আমরা ভব কা ম ভনয় ভনয় পরীা ভরীা করব। নম মন কর, ৃ তাকার যাব পা ারা একভ যারক ভর করা হল ানর বাসায r = 1 m এবং ানর মযব ব ী ূ র রূ d = 10 cm, d << r. যারকনয়র মাঝখান রনয়নছ শণাণ। াভমকানব ানর U0 = এরপ র ানর 100V ভবব পা নক িাভজ কনর ভনয় থানজ উৎস হন ভবভ কনর করা হল। এরপর মযব ী ূর রূ = . বাড়ানা হল। (i) How does the voltage at the condenser terminals change? Express the result as a function of Q, U0, and . Condenser terminal
ু ক ু পভরব হনব? উতর Q, U0, এবং . এর এ ভবনবর ক
মাযনম কা কর। Due to the change in distance between the plates, the energy of the capacitor has র ফনল যারনকর ভও পভরব ী হনয়নছ। moderated. থ নয়র মনয ূর পভরবনর (ii) Calculate the change in energy a function of Q, U0, and .
ভর পভরব Q, U0, এবং এর মাযনম কা কর। (iii) Find the numerical value of change in energy.পভরবভ
ভর সাংখমা ক?
Part B:
Let’s get introduced to electrical reactance. In electrical and electronic systems, reactance is the opposition of a circuit element to a change in current in current or voltage, due voltage, due to that element's inductance element's inductance or capacitance. A capacitance. A builtup electric field resists the change of voltage on the element, while a magnetic field resists the change of current. The notion of reactance is similar to electrical resistance, resistance, but it differs in several respects. In AC analysis, reactance is used to compute amplitude and phase changes of sinusoidal alternating current going through a circuit element. An ideal resistor has zero reactance, whereas ideal inductors ideal inductors and capacitors and capacitors have zero resistance – resistance – that that is, respond to current only by reactance. Capacitive reactance is an opposition to the change of voltage across an element. Capacitive reactance is inversely proportional to the
signal frequency and the capacitance. capacitance. We can write, capacitive reactance = / where, = , is the capacitance of the capacitor and = √ − − . For example, in the following circuit we can write current, = / , here is a sinusoidal source.
নম Electrical reactance এর সান পভরিভ হওয়া াক। ব ীর থকা উপাংনর উপাংনর যারকনর যারকনর বা আনবনর ফনল থাননজর পভরব বাযা থবার বণানক Reactance বনল। ভঠক বনল। ভঠক থমা ু ৎন থাননজর পভরব বাযা থয়, আবার িথৌকন ব ু ভক বানহর পভরব নক ভব ু ল। AC analysis এ, sinusoidal ু ভক থরানযর সম বাযা থয়। Reactance এর যরা ব এর পভরব মাপার মাপার জ জ ববহার ববহার করা করা হয়। হয়। current element এর amplitude এবং phase এর পভরব একভ আ থরাযনকর থরাযনকর Reactance এবং আ আনবক আনবক ও যারনকর থরায শ- অ াৎ, এরা ূ এবং ু মা Current এর মাযনম respond কনর। Capacitive reactance হল থকা একভ মাযম শয বরাবর থাননজর পভরব নক বাযা থবার বণা। Capacitive reactance, ভসাল এর ুপাভক। কাঙ ও যারকনর বা পাভক। আমরা ভলখন পাভর, Capacitive reactance = / , থখান = , C হল যারনকর যারক এবং = √ − −. উারহণ প বলা ায়, ভনর ু ৎ বাহ, = /. থখান ব ীর জ, ভব ৃ থাননজর উৎস। হল একভ সাইস Now consider consider the following following circuit. circuit. It is called Nernst Nernst Bridge. Bridge. Here U is a sinusoidal source with peak value 10V.
এখ িভনর ব ীভ থখ। এনক এনক Nernst ৃ Bridge বলা হয় । এখান U একভ সাইস থাননজর উৎস ার সনব াচ মা াচ মা 10V. (i) Using the idea of reactance, express C4 in terms of C1, C2, C3 as a condition for current I to be 0. Show proper calculation.
এর যারা ববহার কনর, C4 থক C1, C2, C3 এর মাযনম কা কর থা I=0 হয়, সকল calculation থখাও। Reactance
(ii) If we replace C1, C2, C 3, C 4 each by a capacitor that we discussed in part A of this problem and replace U by a DC source of 100V, what will be the charge in the capacitors?
ভ আমরা থক Part A থ থপ যারক ভনয় আনিলাা কনরভছ, থসপ িারভ যারক ারা ভাপ কভর, এবং U এর বনল 100V এর একভ DC Source রাভখ, নব ভ যারনক ু ক ু ি াজ জমা ক জমা হনব?
The Brachistochrone Problem I, Johann Johann Bernoulli, address the most most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest, challenging problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I hope to gain the gratitude of the whole scientific community by placing before the finest mathematicians of our time a problem which will will test their methods methods and the strength of of their intellect. If someone someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise. -Johann Bernoulli This prestigious problem is known as the brachistochrone brachistochrone (meaning "shortest time") problem. The The problem statement statement is as follows: follows: “Given two points A and lower point B in a vertical plane , where B is not directly below A , what is the curve on which a point mass slides slides frictionlessly frictionlessly under the influence of a uniform gravitational field to from A point to B point in the shortest time. time.”
এই ভবখা problem ভনক বলা হয় The brachistochrone problem. Problem ভ হলঃ ু A ও B আনছ। B ভব ু A এর সরাসভর ভিন য়। A ও B ভব ু সংনাকারী ু ইভ ভব উ সমনল সংনাকারী ৃ ভবীর অভক জ বল এম একভ বনরখা রনয়নছ ার উপর ভনয় একভ point mass বল বনলর ানব বনলর ানব mass প ু ন থন point mass ভ সব ভ পভরমাণ সময় থবনয় পড়নছ। বনরখাভ পড়নছ। বনরখাভ এমই থ, A থনক B ভব লান। বনরখাভ লান। বনরখাভ থকম হনব? The curved path shown in the picture 1 from from A to B is the solution of the problem, which is also known as brachistochrone curve. In this problem we are going to find the curve which satisfies the shortest time condition.
ু র মনয থ বনরখাভ থখানা হনয়নছ থসাই উপনরা সমসাভর সমাযা। িভন, A ও B ভব এই বনরখাভনক বলা হয় Brachistochrone Brachistochrone curve. ু রণ এই Problem এ আমরা এই বনরখাভর সমীকরণ থবর করব, া সব ভ সমনয়র ভ প কনর।
Part A
a) In the figure 2, a person is standing on the sea shore at point A and trying to reach the point B. The plane above the x axis is dry land and below is water. The person can run on the sea shore at a speed of 2m/s and swim in the water at a speed about 1.3m/s. He first move from point A to point C on the x axis and then move to the point B. You need to find the coordinate C so that the time to travel from point A to B should be minimum. Hint: Use Fermat's principle or the principle of least time, which states that the path taken between two points by a ray of light is the path that can be traversed in the least time.
ু নর A ভব ু ন একজ থলাক াভড়নয় আনছ ও B ভব ু ন াবার িভ 2 থনক থখা ান থ, সম ু । থলাকভ সম ু বরাবর িথষা করনছ। িভন, x অনর উপনর আনছ শকনা জভম ও ভিন আনছ সম ু া কান পানর। থলাকভ নম A ভব 2m/s থবন থৌড়ান পানর এবং পাভন 1.3m/s থবন েস ার ু ন থল, এবং থসখা থনক B ভব ু ন থল। C ভব ু র াাংক থবর কর, ান হন x অ C ভব ু ক ু থনক ু ন াবার সময় ু সব ভ হয়। থনক B ভব A ভব (Hint: Fermat’s Principle ববহার কর। Fermat’s Principle: The The path taken between two points by a ray of light is the path that can be traversed in the least time.)
Part B
b) Now imagine a medium A and medium B for light to propagate. Medium A has a fixed refractive index and the velocity of light in medium B varies proportionally to the square root of its depth. Now from the figure 3 light is propagating through the medium B, then the tangent RS at any point P on the path creates an angle θ with the vertical line. The depth of the point P is d.
এখ মন কর থ, মাযম A ও মাযম B এর ময ভনয় আনলা িিলাল করনব। মাযম B থ ূ নলর সমা ুপাভক। আনলার থব মাযনমর ীরার ীরার ব ম পাভক। এখ িভ ৩ এ থখা ান থ, ু ন অভঙ ক RS আনলাকরভ মাযম B ভনয় ান। আনলাকরভর আনলাকরভর পনর উপর P ভব ূ র ীরা P. উনর সান θ থকাণ উৎপ কনর। P ভব i) Show that,
√
=
থখাও থ, = √ ii) Show that the same velocity-depth relationship also holds for an object that slides frictionlessly following any curve under the influence of a uniform gravitational field.
থখাও থ, একই থব-ীরা সক ভ খ ভ খ একভ ব একভ ব থনকা বনরখা থনকা বনরখা বরাবর ণহীানব ণহীানব অভক জ বনলর ানব বনলর ানব পড়ন পড়ন ানক ানক , থস থনও থস থনও নাজ হনব। হনব।
Part C
c) Now here goes the main solution. The solution of the brachistochrone brachistochrone problem is an inverted cycloid. A cycloid is the curve traced by a point on the rim of a circular wheel as the wheel rolls along a straight line without slippage. An Inverted cycloid is the vertically flipped version of cycloid as shown in figure 4. Now let the tangent at any point P on the cycloid which creates an angle θ with the vertical line. The depth of the point P is d. Prove that,
= √ Also find the value of constant in terms of R , the radius of the circle.
ৃ এই অংন এই অংন আমরা ক আমরা ক সমাযা থবর সমাযা থবর করব। করব। The Brachistochron Problem এর সমাযা সমাযা হলঃ ু র ভপই হল এভ একভ inverted cycloid. ড়ানার সময় একভ িাকার উপর একভ ভব “cycloid”। নব িল অবায় িাকাভ ভপছনল ায় া। একভ inverted cycloid হল একভ সাযারণ cycloid এর flipped version িভ (িভ ৪ এর ায়)। এখ মন কর থ, cycloid এর ু ন P থ অভঙ ক উনর ূ র ীরা উপনর থকা ভব উনর সান θ থকাণ উৎপ কনর। P ভব d. থখাও থ, = √
ৃ নতর বাসায R এর মাযনম কা এছাড়াও, এই সমীকরণভর ডাপা constant ভর মা ব কর।
Science Olympiad Blog
Science Olympiad Blog scienceolympiadsbd.blogspot.com
Question Paper Category C Class 11-12
1
th
7
BANGLADESH Physics Olympiad
2017
M¨ ossbau ossbauer er Spotted: Spotted: Marks Marks 10
The M¨ossbauer ossbauer Effect is a process, discovered by the German physicist Rudolf L. M¨ossbauer ossbauer in 1958, where a nucleus emits or absorbs gamma rays without loss of energy to a nuclear recoil. It has proved to be remarkably useful for basic research in physics and chemistry, for instance, in precise measurement of small energy changes in nuclei, atoms, and crystals induced by electrical, magnetic, or gravitational fields. Consider a “Free” nucleus of mass m with an initial energy E i, which emits a gamma-ray photon and ends up with the final energy E f f . Initia Initially lly the nucleus nucleus is at rest and after the decay let its speed be v . We assume assume the motion of the nu nucleu cleuss to be non-relativis non-relativistic. tic.
1
M¨ ossbau ossbauer er Spotted: Spotted: Marks Marks 10
The M¨ossbauer ossbauer Effect is a process, discovered by the German physicist Rudolf L. M¨ossbauer ossbauer in 1958, where a nucleus emits or absorbs gamma rays without loss of energy to a nuclear recoil. It has proved to be remarkably useful for basic research in physics and chemistry, for instance, in precise measurement of small energy changes in nuclei, atoms, and crystals induced by electrical, magnetic, or gravitational fields. Consider a “Free” nucleus of mass m with an initial energy E i, which emits a gamma-ray photon and ends up with the final energy E f f . Initia Initially lly the nucleus nucleus is at rest and after the decay let its speed be v . We assume assume the motion of the nu nucleu cleuss to be non-relativis non-relativistic. tic. a) Write the energy energy and momen momentum tum conserv conservati ation on laws laws for the decay decay process. process.
[2]
b) After solving the above equations find the energy of the emitted gamma-ray photon is terms of E 0 ≡ E i − E f f and other other quan quanti titi ties es ment mentio ioned ned abov above. [1] [1] c) Does your answer match with the Bohr’s expression for atomic transitions? Write one or two sentences in support of your answer. ( Don’t worry about the quality of your English). [1] Next consider the case where the nucleus is not treated as a “free” object but rather rather “bound “bound insi inside de the the latti lattice” ce”.. We make make a model model of this this by treatin treatingg the the lattice as another block of mass M which is bound to the nucleus with a spring whose constant is k . It should should be apparent apparent that M >> m but nonetheless we are not going to take it to be infinite at the moment. We now allow the nuclear decay to take place as b efore. For the sake of simplicity we assume the motion of the (nucleus + Block + spring) system to take place along the same line as the momentum of the emitted gamma-ray.
d) What would would be the energy and momentum momentum conservation conservation equations equations for the “new” system? [2] e) Proceeding as in the earlier case, and introducing the reduced mass µ ≡ mmM +M and the relative velocity between the masses find the energy of the emitted gamma-ray. [3] f ) What is the difference with the “free”nucleus case? 1
[1]
2
Stim Stimul ulat ated ed by by a LAS LASER ER beam: beam: Mark Markss 8
LASER LASER is an integral integral part of our modern day technolo technology gy.. It employs employs the concept concept of Stimulated radiation, which was introduced by Einstein in his derivation of the Planck Planck formula. Following ollowing Einstein’sargumen Einstein’sargumentt ,let us assume that we have have a single species of atoms immersed in a bath of radiation and to simplify the calculations let us further assume that the system has two energy levels 1 and 2 with energies E 1 and E 2 respectively with E 1 > E 2. Let the number of atoms in levels 1 and 2 be N 1 and N 2 respectively. The radiation consists of photons which are absorbed as well as emitted by the atoms. atoms. Atoms Atoms in level 1 can excite excite to level level 2 by absorbi absorbing ng photons photons while while atoms in level 2 can decay to level 1 either by decaying (spontaneously). . Note that the 1 → 2 transition thus depends on the density of the photons. So the rate at which atoms undergo the1 → 2 transition is given by n1→2 = B ρ(E )N 1
while the spontaneous 2 → 1 decay will be given by n2 →1 = AN 2
a) Assuming thermal equilibrium and the absence of any other process , find the A ratio B at a function of temperature.Assume that the atom themselves satisfy the Boltzmann distribution. ( Hint: You need to use the Boltzmann distribution n = ge g e , where n is the number of particles carrying energy E among a total of g particles). [2] −
E kT
To reproduce the Planck formula Einstein introduced the concept of stimulated radiation where the atom decays from level 2 by emitting a photon II which is an exact copy of the already present photon I ( see figure). b) What What woul would d be the the rate rate at whi which ch the stim stimul ulate ated d deca decay y will will take take place place??
[1] [1]
c) What will be the new equilibrium condition after the introduction of this new pro cess? [2] d) From the above using appropriate appropriate arguments deduce the Planck-Bos Planck-Bosee distribution for Photons. [3] 2
3
Where is is al all th the Ma Matter? : Marks 9
Vera Rubin is credited with the discovery of the galaxy rotation problem, which led to the dark matter matter puzzle. puzzle. We will will retrace retrace the steps steps invo involv lved ed in und underst erstandi anding ng the problem and its possible resolution(s). Let us begin with a disk shaped galaxy -the accompanying figure shows the side view view ( that that is seen from the edge edge towa towards rds the cent center) er) of the galax galaxy y. The galax galaxy y has a bulging bulging center which is surrounded by a disk like structure. Such galaxies galaxies are often seen to be rotating about their individual centers along the plane containing the galaxy. a) Consider a star belonging the disk of the galaxy which is rotating about the center. center. Find Find the equation equation that gives gives its angular angular frequency frequency of the rotation rotation as a function of the distance from the galaxy center and the mass of the galaxy that is contained within the orbit of the star. [1]
b) Assume that the mass of the galaxy is all contained within a sphere of radius R0 . Thus obtain the graph of the angular frequency ω (r) as a function of the orbit radius r. Your plot must cover both r < R0 and r > R0 regions. [2] c) Observation of the rotation rates of the galaxies by Vera Rubin and coworkers produced a curve of the following form for a large number of galaxies.
Figure 1: Angular velocity vs radial distance for an observed galaxy How could one explain this curve?
[2] 3
d) Modified Newtonian Dynamics Dynamics (MOND) provides provides another possibl p ossiblee explanation of this result. One claims that for very small accelerations, compared to a fixed value a0 , the Newton’s law assumes a different form. a0 maµ( ) = F N a x . FN where µ (x) is an interpolating function, which is linear for large values of x is the standard Newtonian gravitational force.
e) Show that this choice choice indeed is required for establishing establishing the standard Newton’s law. [1] f) A standard choice for the interpolating function is µ(x) =
1
1+
1 x2
. How How does does
this this choic hoicee produ produce cess the the obse observ rved ed beha behavior vior of the the rota rotati tion on curv curves es??
4
[3] [3]
Conf Confus used ed Experi Experime men ntali talist st:: Mark Markss 3 a) An experimentalist intends to measure the volume of a box and thus measures the three sides of the box with a meter stick whose smallest division is 1mm. The sides are measured 11.4mm, 23.7mm and 7.3mm. a) How How would would you you write write the measu measureme rement nt resul results ts for these these three three side sides? s?
[1]
b) What would be the result for your volume measurement and the error incorp orated in it? [2]
4
