78135_MATERIALDEESTUDIOPARTEIDiap1-76

1

CARACTERIZACION Y CORRELACION ESTADISTICA DE DATOS GEOLOGICOS MSc. Samuel Canchaya Moya Consultor Intercade

2

CONTENIDO GENERAL 

TEORIA: •

Caracterización estadística.

•

Distribuciones log-normales con efecto proporcional

•

Correlación entre dos variables y Análisis de regresión lineal y sus aplicaciones.

•

Tratamiento de valores erráticos.

•

Secciones longitudinales contornadas (SLC) y de cociente metálicos. Su aplicación en vetas y en bancos de cuerpos tridimensionales.



•

Análisis multivariable y sus aplicaciones en exploración.

•

Relaciones Tonelaje-Ley.

•

Clasificación de recursos y reservas.

PARTE PRACTICA: •

Ejemplo 1.- Tratamiento de poblaciones log-normales, con efecto proporcional.

•

Ejemplo 2.- Correlación lineal entre dos variables. variables. Efecto de los valores valores erráticos.

•

Ejemplo 3.- SLC de cocientes metálicos; determinación de flujos mineralizantes.

•

Ejemplo 4.- Análisis multivariable aplicado a data de exploración.

MSc. Samuel Canchaya Canchaya Moya - scanchay scanchaya@ex [email protected] po.interca tercade.or de.org g - Consultor Consultor Intercade Intercade

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2 3

CONTENIDO PARTE I

 Caracterización

estadística.  Distribuciones log-normales con efecto proporcional  Correlación entre dos variables.  Tratamiento

de valores erráticos.


4

CARACTERIZACION ESTADISTICA



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2 3

CONTENIDO PARTE I

 Caracterización

estadística.  Distribuciones log-normales con efecto proporcional  Correlación entre dos variables.  Tratamiento

de valores erráticos.


4

CARACTERIZACION ESTADISTICA



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3 5

CARACTERIZACION ESTADISTICA 



   

Se entiende por CARACTERIZACION ESTADISTICA (CE), la determinación e interpretación de los principales parámetros y tipos de distribución de un determinado conjunto de datos o “data”. Básicamente de cada “data” se calcula: media, valor máximo, valor mínimo, mediana, moda, varianza, desviación estándar, sesgo y kurtosis. Estos datos se pueden entregar en forma de cuadros o gráficamente por medio del denominado “box plot” También se plotea el respectivo histograma y curva de acumulación de frecuencias. La interpretación interpretación de toda esta información constituye constituye la CE Cualquier aplicación geomatemática o geoestadística debe estar siempre precedida de una CE.


6

ESTADISTICOS PRINCIPALES Media

1

.- El intervalo de clase con la mayor frecuencia Mediana.- La mitad de toda la distribución de frecuencias Moda

rado de asimetría de una dis distribuc bución. Sesgo.- Mide el grad Cola más larga a la derecha: sesgo positivo; al revés negativo.

Estadístico

Valor

Media

1.966

Mediana

1.94

Moda

1.92

Desviación estándar

0.192

Varianza

0.03698

Kurtosis

-0.45

Sesgo

0.28

Rango

0.86

Mínimo

1.57

Máximo

2.43

n

124

grado de “espi “espigam gamie ient nto” o” de una dist distri ribu buci ción. ón. Kurtosis.- Es el grado Leptocúrtica si es muy apuntada; Planocúrtica si es muy aplana anada; y Mesocúrtica si se trata de una situación intermedia. Varianza

Mediana

Moda

Mediana x

- mod mod s

Mediana




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4 7

QUARTILES Acum. Frecs. mmt t c P100.0 e v i t 75.0 l u 50.0 m u 25.0 C

0.0 1.50

Q1

1.75

Q2

Q3

2.00 2.25

2.50

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HISTOGRAMAS TIPICOS Y SUS CURVAS DE ACUMULACION DE FRECUENCIAS (CAF)

Histogramas

8

Curvas de acumulac. de frecuencias


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5 9

PRESENTACION SUMARIA DE ESTADISTICOS: “BOX-PLOT” (DIAGRAMA DE CAJA) Boxplot of Swelling clays 3.2

Tercer Quartil

Valor máximo

3.0 2.8 s 2.6 y a l c g 2.4 n i l l e w S 2.2

Mediana

2.0

Primer Quartil

1.8 1.6

Valor mínimo MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade

PRESENTACION SUMARIA DE LA CARACTERIZACIÓN ESTADISTICA

10

Summary for Cu_ppm A nderson-Darling N ormality Test

0

100

200

300

400

500

A -Squared P -V a lue <

41.60 0. 005

M ean StD ev V ariance S k ew ne ss K ur to si s N

44.132 46.065 2122.025 4 .6 14 9 4 2. 60 63 724

M inim um 1st Quartile M edian 3rd Quartile M a xi mu m

600

3. 000 15.200 31. 450 57.625 6 32 .0 00

95% C onfidence Interval for Mean 40.771

47.493

95% C onfidence Interval for Median 29.070

34. 000

95% C onfidence Interval for StDev

95% Confidence Intervals

43.809

48. 569

Mean Median 30

35

40

45

50



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6 11

EJEMPLO DE DISTRIBUCION NORMAL Summary for Cu gpl Ande rson-Darling Normality Test

37

38

39

40

41

42

A-S quared P -V alue

0.29 0.600

Mean StDev Variance Skewness Kurtosis N

39.059 1.003 1.005 0.152379 -0.253495 180

M in im um 1st Quartile M edian 3rd Quartile M axim um

36 .60 0 38.300 39.100 39.700 41 .90 0


39.206


39.200



0.909

1.118

Mean Median 38.8

38.9

39.0

39.1

39.2


12

VERIFICACION DE LA “NORMALIDAD” DE LA DISTRIBUCION p > α  Distribuc. normal Summary for Cu gpl Anderson-D arling Normality Test

37

38

39

40

41

42

A-S quared P -V alue

0.29 0.600

Mean StDev Va riance Skewness Kurtosis N

39.059 1.003 1.005 0.152379 -0.253495 180

M in im um 1st Quartile M edian 3rd Quartil e M axim um

3 6. 60 0 38.300 39.100 39.700 4 1. 90 0


39.206


39.200



0.909

1.118

Mean Median 38.8

38.9

39.0

39.1

39.2



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7 13

TEST DE NORMALIDAD Buen ajuste a recta p > α  Distribuc. normal

Probability Pl ot of Cu gpl Normal 99.9

Mean StDev N AD P-Value

99 95

39.06 1.003 180 0.293 0.600

90

t n e c r e P

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

36

37

38

39

40

41

42

43

Cu gpl


14

DISTRIBUCION NORMAL DE LOS ERRORES: Àrea bajo la curva

99.73% 995.46% 67.45%

Si no existe sesgo, en general los errores siguen una distribución normal como la mostrada en el gráfico P [-2σ < ε < +2σ] = 0.95 donde: e es error y s 2 su varianza Lo cual significa que: el error e caerá dentro del área comprendida entre -2s y + 2s con un intervalo de confianza de 0.95 Dicho de otra manera: el riesgo a equivocarnos será de 5% ε = +/- s

intervalo de confianza de 68%

4

-3

-2

-1

f (x) =

ε = +/- 1.645 s intervalo de confianza de 90% ε = +/- 2s

intervalo de confianza de 95%

e = +/- 3s 99.7%

intervalo de confianza de

Pr(X < c) =

1

1 2

e

2 1 2

x-

3

4

2

f ( x) dx = F (c )

A medida que aumenta la confianza el error aumenta; mientras que el riesgo de equivocarnos disminuye .



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8 15

EL CONCEPTO DE SIX SIGMA σσ σ σσ σ

VARIAS DENOMINACIONES: Six sigma 6s 6 sigma 6s DPMO: Defectos por millón de oportunidades

Es como plantearse un intervalo de confianza de : 99.99966 % Lo cual significa que se aspira a tener un porcentaje de 99.99966 libre de defectos; o sólo 3.4 DPMO.

Si fuéramos menos exigentes; v.gr. sólo 99.9%; esto significaría catástrofes como: • 96 accidentes aéreos por cada 100,000 vuelos. • Por lo menos 20,000 prescripciones médicas erróneas por año. • Corte de servicio de celular por 10 minutos cada semana. Más allá de los dígitos, six sigma es una filosofía de negocios enfocada en la MEJORA CONTINUA, optimizando procesos a partir de las necesidades de los clientes. MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade

16

EXACTITUD Y PRECISION Exactitud sin Precisión

Exactitud y Precisión

Precisión sin Exactitud

Ninguno

Exactitud: Cuando la media es insesgada Precisión: La varianza del error debe ser pequeña



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MUESTRA IDEAL: “EQUIPROBABLE Y DE VARIANZA PEQUEÑA” Sesgado Varianza grande

17

Insesgado Varianza pequeña Media

Media

Insesgado Varianza grande Media

Media

Sesgado Varianza pequeña

Exactitud:

Cuando la media es insesgada Precisión: La varianza del error debe ser pequeña MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade

18

DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES Y EL EFECTO PROPORCIONAL



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10 19

TIPICA DISTRIBUCION LOG-NORMAL DEL AU EN UN YACIMIENTO EPITERMAL DE HS Valores bajos no significativos

Moda

1102

Mediana

882

t n 661 u o C y c n e u 441 q e r F

Altos erráticos

Media

220

0

250.000

600. 000

750.000

250.000

000.000

500.000

750.000

200.000

Au ppb


20

VERIFICACION PRACTICA DE LA LOG-NORMALIDAD Summary Statistics for Cu ppm Anderson-Darling Normality Test A-Squared P -V alu e <

Obviamente se rechaza la hipótesis de normalidad: p-value << a

0

3000

6000

9000

12000

15000 18000

Mean StDev Variance S ke wn es s K ur to sis N Min m i um 1 st Q ua rt ile Med ai n 3rd Quartil e M ax im um

95%ConfidenceIntervals Mean

14.69 0 .0 05 2473.2 3225.6 10404234.4 2 .6 8 18 8 8 .9 59 36 169 1 18 .0 4 40 .0 1 130.0 3562.0 1 9 34 2. 0

95% Confidence Interval for Mean

Median 1000

1500

2000

2500

3000

1983.4

2963.0

Probability Plot of Cu ppm Lognormal - 95% CI

99.9 99

t n e c r e P

95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5

Loc 7.115 S c ale 1 .2 1 9 N 169 AD 1.159 P-Value <0.005

1 0.1 10

100

1000

10000

Los logs de los valores de Cu trazados en un gráfico de acumulación ploteado en un gráfico probabilístico se ajustan a una recta.

100000

Cu ppm



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11 21

COMPROBACION GRAFICA DEL EFECTO PROPORCIONAL 1500

)1250 b p p ( 1000 o r o l 750 e d a 500 i d e m250 y e L 0

0

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500



EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOGNORMALES CON EFECTO PROPORCIONAL: CASO DEL CU

22

Histograma Cu DDH 107

37 y c n e u e r F

28 19 9 0 139 3213

6286

9360

12433

Cuppm MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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12 23

EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOGNORMALES CON EFECTO PROPORCIONAL: CASO DEL CU GRAFICO MEDIA VS DESVIACION ESTANDAR CUT

6000

Histograma Cu DDH 107

5000

r a d n á t s e . v s e D

4000 3000 2000

37 y c n e u q e r F

28 19 9 0

1000

139 3213 6286

9360 12433

Cuppm

0

0

2000

4000 Media

6000


EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES CON EFECTO PROPORCIONAL: CASO DEL MO

24

Histograma Mo ppm DDH 108

44 y c n e u q e r

33 22 11 0 80

224

369 513

657

Mo ppm MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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13 25

EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES CON EFECTO PROPORCIONAL: CASO DEL MO Gráfico Media vs Desv. Estándar Mo

300 250 200 150 100 50 0

Histograma Mo ppm DDH 108 r a d n á t s e . v s e D

44 y c n e u e r F

33 22 11 0 80

224

369 513

657

Mo ppm �

��

��

��

Media


26

COMO SE REFLEJA EL EFECTO PROPORCIONAL EN LOS VARIOGRAMAS γ γ 2500000 A67 2000000

A86 A22

1500000

A129

1000000 500000 0 6

0 2

5 3

0 5

0 6

5 7

0 9

5 0 1

0 2 1

0 3 1

5 4 1

0 6 1

5 7 1

Paso (h)

Tomado de Canchaya (2004)



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14 27

DISCUSION 

En la bibliografía se encuentra recomendaciones controversiales para tratar este tipo de distribuciones. Por ejemplo se recomienda dividir los valores gamma, de cada variograma, por su respectiva media al cuadrado; así se obtiene el llamado

“variograma relativo”. 

Hay que hacer notar que al dividir los gamma por la media al cuadrado, los valores resultantes son adimensionales (no tienen unidades). Para convertirlos en dígitos significativos nuevamente deberán ser multiplicados por el cuadrado de la respectiva media.



David (1977; pág. 173) y otros autores muestran ejemplos donde los variogramas relativos llegan a coincidir, haciendo “desaparecer” el efecto proporcional, lo cual no siempre ocurre; incluso recomiendan reemplazar todos los variogramas por uno promedio para poder modelar todo el depósito.



Además esta forma de trabajo es cuestionable, ya que cuando se trata de comprobar localmente los valores que reproducen el “modelo variográfico relativo”, se encuentra valores erróneos.


VARIOGRAMAS RELATIVOS EN DISTRIBUCIONES CON EFECTO PROPORCIONAL

28

γ γ 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

A67 A86 A22 A129

Paso (h)



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15 29

RECOMENDACIONES  Lo más

recomendable es tratar de sub-dividir el dominio total de datos en sub-dominios de alta, intermedia y baja ley o por percentiles; y tratar cada sub-dominio por separado.

 En

el caso de oro en vetas, donde también es frecuente el efecto proporcional, es recomendable comparar sub-dominios por niveles o subniveles.

 Hay

que estar atento a la ocurrencia del efecto proporcional aún en otros tipos de variables, por ejemplo Cu y Mo en yacimientos porfiríticos.


30

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

Canchaya

S.

(2004)

Log-normalidad

y

efecto

proporcional.

Características frecuentes en los yacimientos de oro.- XII Congr. Peruano Geol.; 4p. 

David, M. (1977) Geostatistical Ore Reserve Estimation.- Elsevier Scientific Publishing Co.; 364 p.



Journel, A. G. & Huijbregths Ch. J. (1978) Mining Geostatistics.Academic Press; 600 p.



Krige, D. G. (1981) Lognormal-de Wijsian Geostatistcs for Ore Evaluation.- South African Inst. Min. Metall; 51.



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16 31

CORRELACION ENTRE DOS VARIABLES Y ANALISIS DE REGRESION LINEAL Y SUS APLICACIONES


32

CORRELACION ENTRE DOS VARIABLES La correlación entre dos variables puede ser definida como la fuerza de asociación entre dos variables; la misma que es cuantificada por el Coeficiente de Correlación “r”: Cov ( x , y ) r = S x * S y

n

S x y S y

Cov ( x, y ) = (1 / n)

∑ ( xi − x)( yi − y ) i =1

Donde: • Cov es la covarianza • Las desviaciones estándar de x y y respectivamente

r ∈[−1, +1] También se usa “r 2” que se relaciona con la varianza total de x y y . Por ejemplo: para r = 0.88; entonces r 2 = 0.77; lo cual significa que el 77 % de la varianza total se puede explicar por una relación lineal. MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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17 33

EJEMPLOS DE NUBES DE CORRELACION r ∈ [−1, + 1]

x

x

r = 0.54

r = 0.94

y

y x

x r = - 0.94 r = 0.09 y

y


34

EJEMPLO DE USO DE LA CORRELACION LINEAL: COMPROBACION GRAFICA DEL EFECTO PROPORCIONAL 1500

)1250 b p p ( 1000 o r o l 750 e d a 500 i d e m250 y e L 0

0

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

Desviación estándar MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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18

EJEMPLO DE NUBES DE CORRELACION ENTRE FILOSILICATOS

35

Scatterplot of kao vs prf 8 7 6

prf = -0.022 + 0.506 kao

5 o a k

r = 0.61

4 3 2 1 0

1

2

3

4

prf


36

RESIDUALES EN LA REGRESION LINEAL Y y=b+mx

residual 6 residual 1

X



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19 37

ANALISIS DE “RESIDUALES” Residual Plots for prf Normal Probability Plot of the Residuals

Residuals Versus the Fitted Values

99.9

t n e c r e P

99

1

90

l a u 0 d i s e R -1

50 10 1 0.1

-2 -2

-1

0

1

1

2

3

4

Residual

Fitted Value

Hist o gram o f t he R esid uals

R esid uals Versu s t he Ord er o f t he D at a

80 1 y 60 c n e u 40 q e r F 20

0


-2 -1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 1 1 1 1 1

Residual

Observation Order


38

FILOSILICATOS EN CHANCADORA TERCIARIA Nube de correlación prf vs mmt

Nubes de correlación con regresión lineal

a t i l i f o r i P

0.00

Nube de correlación kao vs. prf

1.00

y = -0.646x + 2.687 r² = 0.769 r = 0.88

4.00 3.50 3.00

y =

3.32 2.50 2.00 a t i n i l o a C

2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

m

2.00

3.00

4.00

Montmorillonita

x + b

kao = 1.612 (prf) + 0.5

1.50 1.00 0.50

kao = 1.612 (1.75) + 0.5

0.00 0.00 y = 1.612x + 0.5 r² = 0.918 r = 0.96

0.50

1.00

1.50

2.00

Pirofilita

2.50

kao = 3.32

1.75



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20 39

TRATAMIENTO DE VALORES ERRATICOS


40

DEFINICION DE VALORES ALTOS ERRATICOS 

La ocurrencia aislada de valores altos merece atención y un tratamiento especial.



Lo más crítico es definir si se trata de valores altos ERRATICOS.



Estos valores son fácilmente identificables en los histogramas y gráficos de frecuencia acumulada.



Estos casos son especialmente frecuentes en los yacimientos de baja ley y/o de minerales preciosos.



Por lo general representan menos del 5% del total de la población, y por ende del tonelaje; sin embargo, debido a su alto valor, aportan sensiblemente en el valor metálico global, en proporciones entre 20 y 40%.



Por lo tanto, influyen y juegan un rol crucial en la economía del yacimiento.



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21 41 Summary for Cu_ppm Anderson-D arling Normality Test

Con todos los datos

IDENTIFICACION DE VALORES ALTOSERRATICOS 0

100

200

300

400

500

A-Squa red P -V a lu e <

41.60 0 .0 05

M ean S tD ev Variance S k e w ne ss K u rt os is N

44.132 46. 065 2122.025 4 . 61 4 9 4 2 .6 0 63 724

M i ni mu m 1st Quartile M ed ia n 3rd Quartile M a xi mu m

600

3 .0 00 15.200 3 1. 45 0 57.625 6 3 2. 0 00


47.493

95% Confidence Interval for Median 2 9. 07 0

3 4. 00 0



4 3. 80 9

4 8. 56 9

Mean Median 30

35

40

45

50

Summary f or Cu_ppm Ande rson-Darling Normality Test A-S quared

Eliminando los altos erráticos: > 200 ppm Cu

0

30

60

90

120

150

0 .0 05

M ean S tD ev Varia nce Skewness K u rt os is N

41.560 34.6 26 1198.994 1.45774 2 . 12 81 5 718

M i ni mu m 1st Quartile M ed ia n 3rd Quartile Maximum

180

27.43

P -V a lu e <

3 .0 00 15.175 3 1. 20 0 56.825 187.000

EN AMBOS CASOS SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE NORMALIDAD PORQUE: P < @


44.097

95% C onfidence Interval for Median 2 9. 00 0

3 3. 67 5



3 2. 92 3

3 6. 51 7

Mean Median 30.0

32.5

35.0

37.5

40.0

42.5

45.0


DIAGRAMAS DE CAJA PARA VISUALIZAR VALORES ERRATICOS

42

FILOSILICATOS COMPOSITOS DIARIOS CHANCADORA TERCIARIA *9.03

9 8

*7.18 *6.94

7 6

*5.52 *5.23 *5.17

5

a t a D

4

3

*4.15 *4 *3.12 *2.94

2 1 0

*0.12

prf

mmt

kao



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22 43

MONITOREO DE LA DATA PARA DEFINIR VERDADEROS ALTOS ERRATICOS Día

kao

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

Estadísticos de kao: x = 2.88 s = 1.18

9.03 2.77 2.27 2.63 3.43 3.54


44


kao

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

9.03 2.77 2.27 2.63 3.43 3.54


ALTO “ERRATICO” x + 2s = 2.88 + 2.36

Día

kao

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

5.24 2.77 2.27 2.63 3.43 3.54



www.intercade.org

23 45


kao

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

ALTO “ERRATICO” x + 2s = 2.88 + 2.36


9.03 2.77 2.27 2.63 3.43 3.54

Día

kao

116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126

2.58 2.40 3.54 5.17 4.28

Día

kao

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

5.24 2.77 2.27 2.63 3.43 3.54

7.18 5.52 2.80 2.75 1.47 1.79


46


kao

Día

kao

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2.84 3.39 3.54 3.58 2.67

Día

kao

116

2.58

117

2.40

118 119 120 121

3.54 5.17 4.28

122

5.52

123

2.80

124 125 126

2.75 1.47 1.79

9.03

ALTO “ERRATICO” x + 2s = 2.88 + 2.36

2.77 2.27 2.63 3.43 3.54

7.18

Día

kao

116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126

2.58 2.40 3.54 5.17 4.28

7.18


5.24 2.77 2.27 2.63 3.43 3.54

ALTO “NO ERRATICO”

5.52 2.80 2.75 1.47 1.79



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24 47

COMPARACION DE NUBES DE CORRELACION CON Y SIN ALTOS ERRATICOS Scatterplot of kao vs prf 9 8

r = 0.54

7 6

prf = 0.134 + 0.452 kao

o 5 a k

4 3 2 1

Scatterplot of kao vs prf

0

8

0

2

3

4

5

r = 0.61

6

o a k

1

prf

7

5 4

prf = -0.022 + 0.506 kao

3 2 1 0

1

2 prf

3

4


48

COMPARACION DE “RESIDUALES” DE LA DATA CON Y SIN ALTOS ERRATICOS Residual Plots for prf

Residual Plots for prf Normal Probabilit y Plo t of the Resid uals

Normal Probabil it y Plo t of the Resid uals

Residuals Versus the Fitted Valu es

99.9

99.9

t n e c r e P

99

1

90


50 10

t n e c r e P

90

l 1.5 a u d i 0.0 s e R

50 10

-1.5

1

1 0.1

Residuals Versus the Fitted Valu es 3.0

99

-2 -2

-1

0 Residual

1

1

H is to g ra m o f t he Re sid ua ls 80

-3.0

0.1

2 Fitted Value

3

4

-3.0

-1.5

0.0 Residual

1.5

3.0

H is to gr am of t he R es id ua ls

R es id ua ls Ve rs us t he Or de r o f t he Da ta

1

2 3 Fitted Value

4

R es id ua ls Ve rs us t he Or de r o f th e Da ta

100

3.0 l 1.5 a u d i 0.0 s e R

1

y 60 c n e u 40 q e r F 20


y 75 c n e u 50 q e r F

0

-2

0

-1.5

-1.0

-0.5 0.0 Residual

0.5

1.0

-1.5

25

1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 1 1 1 1 1

-3.0 -2

-1

0 1 Residual

Observation Order

2

3

1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 1 1 1 1 1

Observation Order



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25 49

EFECTO DE ALTOS ERRATICOS EN EL COEFICIENTE DE REGRESION LINEAL Nube de correlación prf vs mmt Mayo 3.50 3.00 2.50

f 2.00 r p1.50 y = 0.069x + 1.204 r² = 0.182 r = 0.427

1.00 0.50 0.00 0.00

5.00

10.00

15.00

mmt

20.00


50

EFECTO DE ALTOS ERRATICOS EN EL COEFICIENTE DE REGRESION LINEAL 3.50

Nube de Correlación prf vs mmt Mayo

prf vs mmt Sin Altos Erráticos Mayo 2.50

3.00 2.00

2.50 f r 2.00 p

1.50

1.50

y = 0.069x + 1.204 r² = 0.182 r = 0.427

1.00 0.50 0.00

1.00

y = -0.646x + 2.687 r² = 0.769 r = 0.877

0.50 0.00

0.00

5.00

10.00

mmt

15.00

20.00

0.00

1.00

2.00

mmt

3.00

4.00



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26 51

EFECTO DE ALTOS ERRATICOS EN EL COEFICIENTE DE REGRESION LINEAL Nube de Correlación mmt vs prf Junio 2.50 2.00 f r p

1.50

y = 0.073x + 1.013 r² = 0.716 r = 0.846

1.00 0.50 0.00 0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

mmt


52

EFECTO DE ALTOS ERRATICOS EN EL COEFICIENTE DE REGRESION LINEAL Nube de Correlación mmt vs prf Junio

mmt vs. prf Sin Altos Erráticos Junio

2.50

1.60 1.40

2.00 f r p

1.20 1.00

1.50 1.00

y = 0.073x + 1.013 r² = 0.716 r = 0.846

0.50

f r 0.80 p

y = -0.017x + 1.199 r² = 0.006 r = 0.077

0.60 0.40 0.20

0.00

0.00 0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0.00

mmt

1.00

2.00

3.00

4.00

mmt



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27 53

TRATAMIENTO DE VALORES ALTOS ERRATICOS 

CORTES (“CUTTINGS”) EMPIRICOS.• “Cut off” alto fijo.- V. gr. todos los “outliers” se reducen a 1 oz/t Au. • “Cut off alto variable”: regla del 1/3 – 1/3.- V. gr. 1.5 oz/t Au se reduce a: 0.33 + 0.33*(1.5 - 0.33) = 0.72 oz/t Au


TRATAMIENTO DE VALORES ALTOS ERRATICOS

54

 CORTES (“CUTTINGS”) EMPIRICOS.-

• “Cut off” alto fijo.- V. gr. todos los “outliers” se reducen a 1 oz/t Au. • “Cut off alto variable”: regla del 1/3 – 1/3.- V. gr. 1.5 oz/t Au se reduce a: 0.33 + 0.33*(1.5 - 0.33) = 0.72 oz/t Au 

CORTES ESTADISTICOS.• Utilizando gráficos probabilísticos de frecuencia acumulada, donde los altos erráticos se discriminan fácilmente, para luego ser reducidos a un valor determinado. • Usando “Control charts” (ver diapositivas siguientes).



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28 55

VALORES ERRATICOS EN “CONTROL CHARTS” Caracterizac. estadística kao (%)

Control Chart of kao (%)

Anderson-Darling Normality Test

1

9

A-Squared P -Va u l e<

1

8

1

7 e u 6 l a V l 5 a u d i 4 v i d n I 3

1

1

1

1

1

1

UCL=4.730 1.5

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

_ X=2.876

Min im um 1st Quartil e Med ian 3rd Quartile Ma xim um

2

LCL=1.021

1

95%ConfidenceIntervals Mean

0 1

15

29

43

57 71 85 Observation

99

113

127

Median

141

2.6

2.7

2.8

2.9


3.0

3.1

% kao

5.43 0 .0 05 2.8756 1.1795 1.3913 2.12283 7.40478 144 1 .0 70 0 2.2550 2 .6 50 0 3.2450 9 .0 30 0

95% Co nfidence Interval for Mean 2.6813

3.0699


56

VALORES ERRATICOS EN “CONTROL CHARTS” Típico Alto Errático Caracterizac. estadística kao (%)



1

9

A-Squared P -V alu e <

1

8

1

7 e u 6 l a V l 5 a u d i 4 v i d n I

1

1

1

1

1

1

UCL=4.730 1.5

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

_ X=2.876

3

Min im um 1st Quartile Med a in 3rd Quartile Maximum

2

LCL=1.021

1

95% Confidence Intervals Mean

0 1

15

29

43

57

71

85

99

Observation

113

127

141

Median 2.6

2.7

2.8

% kao

2.9


3.0

3.1

5.43 0 .0 05 2.8756 1.1795 1.3913 2.12283 7.40478 144 1.0700 2.2550 2 .6 50 0 3.2450 9.0300

95% Confidence Interval for Mean 2.6813

3.0699



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29 57

VALORES ERRATICOS EN “CONTROL CHARTS” x

s

x+s

2.876

1.18

4.055

Típico Alto Errático Caracterizac. estadística kao (%)



1

9

A-Squared P -Va lu e <

1

8

5.43 0 .0 05

1



1

1

1

1

1

1

UCL=4.730 1.5

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

_ X=2.876

3

Min im um 1st Quartile Med a in 3rd Quartile Maximum

2

LCL=1.021

1


0 1

15

29

43

57

71

85

99

113

127

Median

141

Observation

2.6

4.055

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

% kao

2.8756 1.1795 1.3913 2.12283 7.40478 144 1 .0 70 0 2.2550 2 .65 00 3.2450 9.0300

95% Con fidence Interval for Mean 2.6813

3.0699


58

VALORES ERRATICOS EN “CONTROL CHARTS” Típico Alto Errático

x

s

x+s

x+2s

2.876

1.18

4.055

5.235

Caracterizac. estadística kao (%) Control Chart of kao (%)


1

9

1

8

1

7 e u 6 l a V l 5 a u d i v 4 i d n I

1

1

1

1

1

1

UCL=4.730 1.5

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

_ X=2.876

3

LCL=1.021


0 1

15

29

43

57

71

85

99

113

Observation

127

141

Median

5.235

2.6

2.7

2.8

% kao

2.9

5.43 0 .0 05

Mean StDev Variance Skewness K ur to sis N

2.8756 1.1795 1.3913 2.12283 7 .4 04 78 144

Mn i im um 1st Quartile Med a in 3rd Quartile M ax im um

2 1


3.0

3.1

1 .0 70 0 2.2550 2 .6 50 0 3.2450 9 .0 30 0


3.0699

4.055



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30 59

VALORES ERRATICOS EN “CONTROL CHARTS” x

s

x+s

x+2s

x+3s

2.876

1.18

4.055

5.235

6.414

Típico Alto Errático Caracterizac. estadística kao (%)



1

9

A-Squared P-Value <

1

8

1

7 e u 6 l a V l 5 a u d i 4 v i d n I 3

1

1

1

1

1

1

UCL=4.730

6.414 1.5

_ X=2.876

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

5.235

LCL=1.021

4.055 95% Confidence Intervals Mean

0 1

15

29

43


99

113

127

Median

141

2.6

2.7

2.8

2.9

2.8756 1.1795 1.3913 2.12283 7.40478 144

Minim um 1st Quartil e Med ai n 3rd Quartil e Maxim um

2 1

Mean StD ev Variance Skewness Kurtosis N

5.43 0.005

3.0

3.1

% kao

1.0700 2.2550 2 .65 00 3.2450 9.0300


3.0699


60

VALORES ERRATICOS EN “CONTROL CHARTS” Típico Alto Errático

x

s

x+s

x+2s

x+3s

2.876

1.18

4.055

5.235

6.414

Caracterizac. estadística kao (%)



1

9


1

8

1


1

1

1

1

1 1

UCL=4.730

6.414 1.5

_ X=2.876

3 2

3.0

4.5

6.0

7.5

9.0

5.235

Minim um 1st Quartile Med ian 3rd Quartile Maximum

4.055 LCL=1.021

1


0 1

15

29

43


99

113

127

141

Median 2.6

2.7

2.8

% kao

2.9


3.0

3.1

5.43 0 .0 05 2.8756 1.1795 1.3913 2.12283 7.40478 144 1.0700 2.2550 2 .6 50 0 3.2450 9.0300


3.0699

ALTERNATIVAS MAS USADAS:  Eliminar el alto errático.  Reemplazarlo por la media más 1s, o 2s o 3s.  Reducción por la regla del tercio menos tercio. MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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31

TRATAMIENTO DE VALORES ALTOS ERRATICOS 

61

CORTES (“CUTTINGS”) EMPIRICOS.• “Cut off” alto fijo.- V. gr. todos los “outliers” se reducen a 1 oz/t Au • “Cut off alto variable”: regla del 1/3 – 1/3.- V. gr. 1.5 oz/t Au se reduce a: 0.33 + 0.33*(1.5 - 0.33) = 0.72 oz/t Au



CORTES

ESTADISTICOS.- Utilizando gráficos probabilísticos de frecuencia acumulada, donde los altos erráticos se discriminan fácilmente, para luego ser reducidos a un valor determinado. Usando “Control charts” (ver diapositivas siguientes)



CORRECCION LOGNORMAL O DE SICHEL (1952).- Se reemplaza el alto errático por el exponencial de la media de los logaritmos de los valores adyacentes multiplicados por un factor de corrección que se obtiene en las tablas de Sichel, el cual es una función del log de la varianza y del número de muestras; ver también DAVID (1982). (Ejemplo en las diapositivas sub-siguientes).


62

EJEMPLO DE CORRECCION LOGNORMAL O DE SICHEL Prof. m

Au g/t

321.29 325.18 327.89 329.90 331.35 333.15 335.12 337.66 339.26 341.18 343.29

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 35.3 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08



Alto errático: 35.3



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32 63


Au g/t

321.29 325.18 327.89 329.90 331.35 333.15 335.12 337.66 339.26 341.18 343.29

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 35.3 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08

  

Alto errático: 35.3 Selección de dos valores contiguos a ambos lados n = 5 Media aritmética = 8.96


64


Au g/t

321.29 325.18 327.89 329.90 331.35 333.15 335.12 337.66 339.26 341.18 343.29

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 35.3 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08

Log Au  

0.00 0.41 3.56 0.99 1.46

 

Alto errático: 35.3 Selección de dos valores contiguos a ambos lados n = 5 Media aritmética = 8.96 Cálculo del log de los valores



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33 65


Au g/t

321.29 325.18 327.89 329.90 331.35 333.15 335.12 337.66 339.26 341.18 343.29

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 35.3 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08

0.00 0.18 1.55 0.43 0.63

media

8.96

0.56

var.

218.4

2.34

log Au

      

Alto errático: 35.3 Selección de dos valores contiguos a ambos lados n = 5 Media aritmética = 8.96 Cálculo del log de los n valores Media de los logs = 0.56 e media logs = 3.63 Log de la varianza = 2.34


TABLA PARA LA ESTIMACION DEL FACTOR DE SICHEL (FCS) V

66

n

2.34

2,124 2,201 2,280

2,177 2,260 2,347

2,214 2,303 2,395

2,243 2,336 2,431

2,265 2,361 2,460

2,360 2,442 2,526 2,612 2,699

2,435 2,526 2,618 2,714 2,812

2,489 2,586 2,686 2,788 2,894

2,530 2,632 2,737 2,846 2,957

2,563 2,669 2,778 2,891 3,008

2,789 2,880 2,973 3,068

2,912 3,015 3,120 3,228

3,003 3,114 3,229 3,347

3,073 3,191 3,314 3,440

3,128 3,253 3,382 3,514

2.727



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34 67


Au g/t

321.29 325.18 327.89 329.90 331.35 333.15 335.12 337.66 339.26 341.18 343.29

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 35.3 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08

media var.

8.96 218.4

Log Au Au g/t

  

0.00 0.18 1.55 0.43 0.63

 

9.899

   

Alto errático: 35.3 Selección de dos valores contiguos a ambos lados n = 5 Media aritmética = 8.96 Cálculo del log de los n valores Media de los logs = 0.56 e media logs = 3.63 Log de la varianza = 2.34 Factor de corrección (fcS) de la tabla de Sichel = 2.727 Media de Sichel = fcS * e media logs = 9.899

0.56 2.34


68


Au g/t

321.29 325.18 327.89 329.90 331.35 333.15 335.12 337.66 339.26 341.18 343.29

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 35.3 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08

Log Au Au g/t

0.00 0.18 1.55 0.43 0.63

media

8.96

0.56

var.

218.4

2.34

1.02 2.40 1.54 1.00 1.50 9.90 2.70 4.30 1.05 1.47 1.08

        

Alto errático: 35.3 Selección de dos valores contiguos a ambos lados n = 5 Media aritmética = 8.96 Cálculo del log de los n valores Media de los logs = 0.56 e media logs = 3.63 Log de la varianza = 2.34 Factor de corrección (fcS) de la tabla de Sichel = 2.727 Media de Sichel = fcS * e media logs = 9.899



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35 69

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

David M. (1977) Geostatistical Ore Reserve Estimation .- Elsevier New



Rendu J. M. (1981) An Introduction to Geostatistical Methods of Mineral



Sichel H. S. (1952) New methods in the statistical evaluation of mine sampling data .- Trans. I. M. M., London; 61: 261-288.



Sichel H. S. (1966) The estimation of means and associated confidence

York; 364 p.

Evaluation .- South Afr. Inst. Min. Metall.; Johannesburg; 84 p.

limits for smalls samples from lognormal populations .- Symposium on Mathematical Statistics and Computer Applications I Ore Valuation: 106122; South Afr. Inst. Min. Metall.; Johannesburg. Citado por Rendu (1981).


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PLANOS DE CURVAS ISOVALORICAS (CI) SECCIONES LONGITUDINALES CONTORNEADAS (SLC) Y DE COCIENTES METALICOS. SU APLICACION EN VETAS Y BANCOS



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36 71

INTRODUCCION: 





El uso de Secciones y Planos de Curvas Isovalóricas de Leyes (SCI) tiene como pioneros a CONOLLY (1936) y McKINSTRY & SVENDSEN (1942). A pesar de un uso muy extendido, sobre todo a mediados del siglo pasado, han perdido un poco de vigencia, debido fundamentalmente a varios desaciertos. El método SCI es una poderosa herramienta, cuando es correctamente aplicado


72

…INTRODUCCION: 

Principales causas de los desaciertos en su uso :  El uso indiscriminado del método, sin la caracterización estadística previa de las variables.  El empleo de variable no aditivas  El uso de técnicas empíricas de interpolación  No considerar la heterogeneidad geológica de la zona de estudio, ni la natural anisotropía de la distribución de las variables.  Falta de soporte geológico y mineralógico lo suficientemente detallado de la zona de estudio.



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DEFINICIONES PRELIMINARES: 

V

Soporte.- Volumen, peso o cantidad de datos

que sustenta el valor de una variable. Ejemplos: La potencia de una veta, la longitud del tramo de un DDH, los m3 de una muestra de morrenas, etc.

dv 

Dominio.- Volumen, área o zona,

seleccionada o independizada de las contiguos, para efectos de estudio. Ejemplos: Zona de mineral primario, zona de endoskarn, zona de alteración argílica avanzada, volumen que engloba las leyes mayores a 5 g/t Au, etc.


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…DEFINICIONES PRELIMINARES: 

Variable aditiva.- Toda variable que tiene un sentido físico intrínseco o que está ponderada con algún soporte físico. Ejemplos: Densidad, potencia de una veta, ley ponderada por la potencia (“acumulación”), o por la longitud del tramo muestreado.



Muestra: Parte o porción representativa de un población o dominio; resultado de un procedimiento de muestreo equiprobable: “cuando todos los componentes tienen la misma probabilidad de ser elegidos”. Cuando el muestreo no cumple la condición de equiprobabilidad sólo se obtiene un especímen.



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