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Matemática Aplicada
Unidad IV
CONTEO Y Y PR OB ABILID ADES
1.
DEFINICIONES 1.1.
EXPERIMENTO ALEATORIO Un experimento aleatorio o estadístico es cualquier experimento u operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplo: Lanzar un dado. Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos y no defectuosos. Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calles antes de que ocurra u accidente. Observar el tiempo de vida de un componente mecánico. mecánico.
1.2.
ESPACIO MUESTRAL El espacio muestral ligado a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio. Ejemplo: El espacio muestral ligado a los experimentos aleatorios del ejemplo 1 son:
1,2,3,4,5,6 D,N 0,1,2,3,4,.... t ε R / t 0
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1.3.
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EVENTO Se ha definido al espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Podemos definir al espacio muestral como un conjunto universal. Luego podemos definir en él subconjuntos y elementos. Se llama evento a CUALQUIER SUBCONJUNTO del espacio muestral y se denotara por A,B,C,… luego A, B, C... ε Ω . ESPACIO MUESTRAL
B
A
EVENTO
Y X
SUCESO
Figura 1.
1.4.
SUCESO Es todo elemento de un espacio muestral y se designa por x,y….
1.5. VARIABLE ALEATORIA Es toda función definida sobre los elementos de un espacio muestral. Se representa por X. Ejemplo: Sea la variable aleatoria: X = Obtener un número par al tirar un dado. Luego:
1,2,3,4,5,6
X 2,4,6 La probabilidad de ocurrencia de esta variable aleatoria se designaria:
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p( X)
3 1 0,5 6 2
La probabilidad de obtener un número par al tirar un dado es del 50% Figura 2.
2.
CONTEO Supongamos que un consumidor que realiza pruebas de servicio clasifica equipos pesados móviles según sean fáciles, promedio o difíciles de operar; de alto o bajo costo, y de alto, promedio o bajo costo de reparación. ¿De cuántas maneras diferentes podría clasificarse los equipos con esta prueba de servicio? Para el manejo sistemático de este tipo de problema, es útil trazar un diagrama de árbol, donde las tres alternativas de facilidad de operación están denotadas por E1;
PROBABILIDAD ASIGNADA A CADA SUCESO POR FRECUENCIA
DIAGRAMA DE ÁRBOL
P1 E1
P2 P1 E2
P2 P1 E3
P2
c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3
0.07 0.13 0.06 0.05 0.07 0.02 0.07 0.14 0.07 0.08 0.11 0.03 0.02 0.03 0.01 0.01 0.02 0.01
Fig. 3. Clasificaciones de equipos pesados móviles y su asignación de probabilidades.
E 2 ; y E3 ; El precio es están denotadas por
P1 o
P2 , y las tres alternativas de costo de reparación
C1; C 2 ; y C 3 . Siguiendo un curso dado de izquierda a
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derecha, obtenemos una clasificación en particular; cada resultado será un suceso.
3.
NOTACIÓN FACTORIAL
1! 1 2! 2 1 2 3! 3 2 1 6 4! 4 3 2 1 24 En general
n! n(n 1)(n 2).... 3 2 1. 0! 1.
4.
PERMUTACIONES En general, si r objetos son seleccionados de un conjunto de n objetos distintos, cualquier disposición u orden, particular (Interesa el orden) de estos objetos se llama permutación. El número de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos es n Pr
n(n I)(n 2) (n r 1)
O, en notación factorial, n Pr
n! (n r )!
EJEMPLO 1 ¿De cuantos maneras diferentes se puede realizar una primera, segunda, tercera o cuarta selección entre 12 empresas arrendadoras de equipo para construcción?
Solución Para
n 12 y r 4, la primera fórmula da como resultado
12P4
12 11 10 9 11880
Y la segunda fórmula da como resultado
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12 P4
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12! 12! 12 11 10 9 8! 11880 (12 4)! 8! 8!
EJEMPLO 2 Un mecanismo electrónico de control requiere de cinco chips de memoria idénticos. ¿De cuántas maneras puede ensamblarse este mecanismo colocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro del controlador?
Solución Para 5 P5
n 5 y r 5 tenemos: 5 4 3 2 1 120
O también: 5 P5
5.
5! 5! 5! 120 (5 5)! 0!
COMBINACIONES Para determinar el número de combinaciones en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos distintos, denotados por n Cr o
n , dividimos r
n Pr
entre r! . En este caso no interesa el orden de la selección.
n n(n 1)(n 2) (n r 1) C = n r r! r O también:
n n! r r! (n r )!
EJEMPLO 1 ¿De cuántas maneras diferentes pueden seleccionarse 3 de 20 asistentes de laboratorio para colaborar en un experimento?
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Solución Para
n
n 20 y r 3, la primera fórmula de da como resultado r
20 20 19 18 1140 maneras C n r 3 3 !
EJEMPLO 2 Se precisa la realización de un estudio de calibración para comprobar si los registros de 15 máquinas de prueba ofrecen resultados similares. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 3 de las 15 para la investigación inicial?
Solución n Cr
15 15 14 13 455 maneras 3 3 2 1
O también:
15 15! 455 maneras C n r 3 3!12!
EJEMPLO 3 ¿De cuántas maneras diferentes el director de un laboratorio de investigación puede seleccionar a dos químicos entre siete candidatos y a tres físicos entre nueve candidatos?
Solución 7
Los dos químicos pueden seleccionarse de 21 maneras y los tres físicos de 2
9 84 maneras. 3 Por efecto de la regla de la multiplicación, la selección total puede realizarse de 21 84 1764 maneras.
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6.
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MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Si los conjuntos
A1, A 2 ......, A k contienen, respectivamente, n1, n2 ,...., nk
elementos, entonces existen:
P n1 n2 ...... nk Maneras de elegir primero un elemento de
A 1, después un elemento de A 2 ,....,
AK . En nuestro ejemplo teníamos n1 3 , 3 2 3 18 posibilidades.
n2 2
y finalmente un elemento de
y
n3 3 , y por lo tanto
EJEMPLO 1 ¿De cuántas maneras diferentes una sección sindical con 25 miembros puede elegir un presidente y un vicepresidente?
Solución Puesto que el vicepresidente puede ser elegido subsecuentemente, el presidente de 24, existen en total en las que puede tomarse la decisión completa.
de
25
maneras y, 25 24 600 maneras
EJEMPLO 2 Si una prueba se compone de 12 preguntas de Verdadero - Falso, ¿De cuántas maneras diferentes un estudiante puede marcar el papel con una respuesta para cada pregunta?
Solución Dado que cada pregunta puede contestarse de dos maneras, existen en total
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1212 4096 Posibilidades EJEMPLO 3 Un fabricante desea obtener la respuesta de resistencia a altas tensiónes entre tres máquinas localizadas en la planta de producción. Al mismo tiempo, hay
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cuatro posibles técnicos: Tomás, José, Enrique y Carolina quienes operan al menos una de las máquinas.
¿Cuántos mediciones deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador pruebe todas las máquinas? Si se requiere que en cada prueba se realicen a su vez ocho mediciones en cada máquina; ¿Cuántas mediciones se realizaran en total?
Solución
A1 4 operadores y A 2 3 máquinas; por lo tanto, se realizaran 4 x 3 12 pruebas. Son A 3 8 mediciones en cada prueba, luego son 8 x 12 96 mediciones Hay
en total.
7.
PROBABILIDAD Hasta aquí sólo hemos estudiado cuales son los resultados de una situación dada; ahora analizaremos qué es probable y qué es improbable. Históricamente, el método más antiguo para la medición de incertidumbres es el concepto clásico de probabilidad, desarrollo originalmente en relación con los juegos de azar. Se aplica cuando todos los resultados posibles son igualmente probables, en cuyo caso decimos que: Si existen n posibilidades igualmente probables, una de las cuales debe ocurrir y s considerarse como favorables, o como un “éxito”, entonces la probabilidad de un “éxito” está dada por:
s n
.
En la aplicación de esta regla, los términos “favorable” y “éxito” se emplean en sentido más bien amplio; “favorable” puede significar que un televisor no funciona y “éxito” puede significar que alguien se contagie de gripe.
EJEMPLO 1 ¿Qué probabilidad hay de extraer un as de un monte debidamente barajado de 52 naipes?
Solución Hay
s 4 ases entre los n 52 naipes, de los que obtenemos
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s 4 1 n 52 13 EJEMPLO 2 Si 3 de 20 neumáticos almacenados son defectuosos y se seleccionan aleatoriamente para su inspección 4 de ellos (o sea, que cada neumático tiene la misma oportunidad de ser elegido), ¿Cuál es la probabilidad de que en la inspección se encuentre un neumático defectuoso?
Solución 20 4845 maneras igualmente probables de seleccionar 4 de los 20 4 neumáticos, de modo que n 4845 . El número de resultados favorables es el Existen
número de maneras en que pueden seleccionarse uno de los neumáticos defectuosos y tres de los neumáticos no defectuosos, o
3 17 s 3 680 2040. 1 3 De ello se desprende que la probabilidad es de
p
s 2040 8 0,42 n 4845 19
Una de las principales deficiencias del concepto clásico de probabilidad es su limitada aplicabilidad, ya existen muchas situaciones en las que resultan imposible considerar igualmente probables todas las diversas posibilidades. Tal sería el caso, por ejemplo, si analizaramos si lloverá mañana, si el lanzamiento de un proyectil será un éxito, si un motor recientemente diseñado funcionará durante al menos 1000 horas. Entre los diversos conceptos de probabilidad, el más ampliamente apoyado es la interpretación de frecuencias. De acuerdo a ello estimamos la probabilidad de un evento observando en qué fracción de veces eventos similares han ocurrido en el pasado.
8.
AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Dados un espacio muestral finito S y un evento A en S, definimos P(A), la probabilidad de A, con los siguientes axiomas: Axioma 1: 0 P(a) 1 para cada evento A en S. Axioma 2:
P(S) 1
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Axioma 3: Si A y B son cualesquiera eventos mutuamente excluyentes en S, entonces P( A B) P( A ) P(B) Teorema 1: Si A 1, A2, ……. An, son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S entonces:
P( A1 A 2 .... A n ) P( A1 ) P(A 2 ) ....... P( A n ) EJEMPLO 1 Las probabilidades de que un consumidor que prueba el servicio de un nuevo dispositivo anticontaminante para automóviles lo clasifique como muy deficiente, deficiente, suficiente, bueno, muy bueno o excelente son: 0,07; 0,12; 0,17; 0,32; 0,21; 0,11. ¿Cuáles don las probabilidades de que las clasificaciones del dispositivo sean:
Muy deficiente, deficiente, suficiente o bueno. Bueno, muy bueno o excelente.
Solución Puesto que las probabilidades son mutuamente excluyentes, la sustitución directa del teorema da como resultado:
0,07+0,12+0,17+0,32=0,68 0,32+ 0,21+ 0,11=0,64
Teorema 2: Si A es un evento en el espacio muestral finito S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados individuales comprendidos en A.
P(A) P(E1 E2 ....... En ) P(E1 ) P(E2 ) ....... P(En ) EJEMPLO 2 Con referencia al ejemplo de la figura 1. Determine:
P(E1 ) P(P1 )
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P(E1 C1 )
Solución
P(E1 ) = 0,07 + 0,13 + 0,06 + 0,05 + 0,07 + 0,02 = 0,40 P(P1 ) = 0,07 + 0,13 + 0,06 + 0,07 + 0,14 + 0,07 + 0,02 + 0,03 + 0,01 = 0,60
P(E1 C1 ) = 0,07 + 0,05 = 0,12
Teorema 3: Si A y B son cualesquiera eventos en S, entonces:
P( A B) P( A) P(B) P( A B) EJEMPLO 3 Con referencia al ejemplo de la figura 1. Determine la probabilidad de que un máquina sea clasificada como fácil de operar, con un alto promedio de costo de reparación o ambas condiciones es decir: P(E1 C1 )
Solución
P(E1 C1 ) P(E1 ) P(C1 ) P(E1 C1 ) Reemplazando los valores:
P(E1 C1 ) 0,40 0,30 0,12 0,58 EJEMPLO 4 Si las probabilidades de que, en condiciones de garantía, un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisión o ambos son 0,87; 0,36 y 0,29. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparación durante el periodo de garantía?
Solución
P( A B) P( A) P(B) P( A B) Reemplazando los valores:
P( A B) 0,87 0,36 0,29 0,94
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Teorema: Si A es cualquier evento en S, entonces:
P( A) 1 P( A) EJEMPLO 5 Con referencia al ejemplo de la figura 1. Determine:
La probabilidad de que una máquina no sea clasificada como fácil de operar. La probabilidad de que una máquina no sea clasificada ya sea como fácil de operar o con un alto promedio de costo de reparación.
Solución a) P(E1 ) 1 P(E1 ) 1 0,40 0,60 b) Dado que: E1 C1 (E1 C1 ) P(E1 C1 ) P(E1 C1 ) 1 P(E1 C1 ) 1 0,12 0,88
PROBLEMAS PROPUESTOS 9 1.
Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo edificio de departamentos ya sea lunes, martes, miércoles o jueves, a las 8 A.M., la 1 A.M. o las 2 P.M. Trace un diagrama de árbol en el que se muestren las diversas maneras en las que el inspector puede programar la inspección del cableado del nuevo edificio de departamentos. Sol:
2.
Si los cinco finalistas de un torneo internacional de volibol son España, Estados Unidos, Uruguay, Portugal y Japón, elabore un diagrama de árbol en el que se muestren los varios posibles finalistas en primero y segundo lugares. Sol:
3.
Un dispositivo biomecánico para emergencias médicas puede operar 0,1 o 2 veces por noche. Trace un diagrama de árbol para demostrar que existen 10 maneras diferentes en las que puede operar para un total de 6 veces en cuatro noches. Sol:
4.
En un estuche de instrumentos ópticos hay seis lentes cóncavas, cuatro lentes convexas y tres prismas. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar
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una de las lentes cóncavas, una de las lentes convexas y uno de los prismas? Sol: 5.
Una computadora de propósito especial contiene tres conmutadores, cada uno de los cuales puede instalarse detrás maneras diferentes. ¿De cuántas maneras puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? Sol:
6.
En un pequeño grupo de estudiantes de geología, cada uno de los cuatros alumnos debe redactar un informe sobre una de ocho prácticas de campo. ¿De cuántas maneras diferentes puede seleccionar cada uno de ellos una de las prácticas de campo si: Dos estudiantes no pueden seleccionar la misma práctica de campo; No se imponen restricciones a la selección? Sol: 1680 4096
7.
Si en una carrera participan nueve automóviles ¿de cuántas maneras diferentes pueden quedar primero, segundo, y tercer lugares? Sol:
8.
¿De cuántas maneras ordenadas puede programar un director de televisión seis anuncios comerciales diferentes en los seis intermedios p ara comerciales durante la transmisión televisiva del primer tiempo de un partido de futbol? Sol: 720
9.
Determine el número de maneras en las que un fabricante puede seleccionar 2 de 15 ubicaciones para un nuevo almacén. Sol: 105
10. Una caja de 12 batería recargables contiene una defectuosa ¿De cuántas maneras un inspector puede seleccionar tres de las baterías y: Obtener la defectuosa; No obtener la defectuosa? Sol: 55 65
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11. Con referencia al ejercicio anterior supongamos que dos de las baterías son defectuosas. ¿De cuántas maneras el inspector puede seleccionar tres de las baterías y obtener: Ninguna de las baterías defectuosas; Una de las baterías defectuosas Las dos baterías defectuosas Sol:
12. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco diferentes interruptores de arranque. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un experimento referente a una antena de rastreo? Sol: 280 13. Una agencia de renta de automóviles cuenta con 18 autos compactos y 12 autos de tamaño mediano. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro de los automóviles para una inspección de seguridad. ¿Qué probabilidad hay de obtener dos de cada tipo? Sol: 0,368 14. Entre los primeros 842 hornos de convección vendidos a consumidores, 143 requirieron de cierto ajuste durante el período de garantía. Estime la probabilidad de que un horno de convección de compra reciente requiera de cierto ajuste durante el período de garantía. Sol: 15. En un grupo de 160 estudiantes graduados de ingeniería, 92 se inscriben en un curso avanzado de estadística; 63 en un curso de investigación de operaciones; y 40 en ambos. ¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ninguno de los cursos? Sol: 45 16. Entre 150 personas entrevistadas como parte de un estudio de transporte urbano masivo, algunas de ellas viven a mas de 3 kilómetros del centro de la ciudad (A), otras se transportan regularmente a su trabajo en su propio
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automóvil (B) y a otras más les gustaría optar por el transporte público si se hallara disponible (C). Determinar:
A
B 2 8
20 54
16 9 27
14
C Figura 4.
N( A B) N( A B C) N( A B C) N(B ( A C)) Sol:
17. Explique por qué debe haber un error en cada uno de los siguientes enunciados: La probabilidad de que una muestra de minerales contenga plata es de 0.38 y la probabilidad de que no contenga plata es de 0.52 La probabilidad de que una operación de perforación sea un éxito es de 0.34 y la probabilidad de que no lo sea, de -0.66. Un técnico en reparación de aire acondicionado afirma que hay 0.82 de probabilidades de que el compresor se halle en perfectas condiciones, 0.64 de que el motor del ventilador esté en perfectas condiciones y 0.41 de que ambos estén en óptimo estado.
18. Un departamento de policía necesita nuevos neumáticos para sus patrullas y existen 0.17, 0.22, 0.03, 0.29, 0.21 y 0.08 de probabilidades de que adquiera neumáticos de las siguientes marcas: Uniroyal, Goodyear, Michelin, General, Goodrich o Armstrong. Determine las probabilidades de que compre: Neumáticos Goodyear o Goodrich; Neumáticos Uniroyal, General o Goorich; Neumáticos Michelin o Armstrong; Neumáticos Goodyear, General o Armstrong
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Sol: 0,43 0,67 0,11 0,59
19. La probabilidad de que el chip de un circuito integrado tenga un grabado defectuoso es de 0.12, la probabilidad de que tenga un defecto de cuarteadora es de 0.29 y la probabilidad de que ambos defectos es de 0.07. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente tenga ya sea un defecto de grabado o de cuarentena? ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente no tenga ninguno de tales defectos? Sol:
Ref. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIEROS DE MILLER Y FREUND Autor Richard A. Jonson 519 J67
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