Universidad Tecnológica Metropolitana Departamento de Matemática. Ecuaciones Diferenciales - Guía N o1 - I – 2006 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
1. Escriba su respuesta como solución de una ecuación diferencial, es decir, la función y la ecuación diferencial de la cual es solución: (*) a. Una función cuya 1ª derivada sea la misma función. b. Una función cuya derivada sea un múltiplo de la misma función. c. Una función cuya 2ª derivada sea igual a la función misma. d. Una función cuya 2ª derivada sea la negativa de la función misma. 2. Suponga que la función biparamétrica y x C 1 y1 x C 2 y2 x es solución de una ecuación diferencial de segundo orden en un intervalo I . Si x = 0 esta en I , determine una solución particular de la familia, que satisfaga las condiciones y 0 0 .Indique las hipótesis requeridas. 2 y y 0 3. Indique cómo se resuelven los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales y ejemplifique: a. dy
f x
b. dx2
d y
f x f x dx2 3 4. Encuentre una ecuación diferencial lineal de 2º orden F x, y, y , y’’) 0 para la cual y C 1 x C 2 x sea una familia biparamétricas biparamétr icas de soluciones. Asegúrese que en su ecuación no estén los parámetros arbitrarios arbitrari os C 1 y C 2 .
5. Verificar que la función indicada es solución de la Ecuación Diferencial dada: a. 2 y
y
b. dy
20 y
dt dy y c. x dx d. 2 xydx x 2
y
24
y
2 y dy
y
2
20t
2
c
yx
e ( y xy y; f. y 2 y | |; g dX 2 X 1 X ;
y
x >0 , x
2
c
(*)
1
x
y x
x X 2 ln X 1 x
dt
2 xy
x
0;
3
h. y
x e 2 6 6e 5 5
y
0;
e x
y
1;
2
t (*)
2
e t dt ce x
2
0
i. y j. y
y
12 y
y;
k. y
ae
y 2
y
l. x 2 y
y
0; 0;
y
3 x
be
cosh x ln| x
senh x
c1 |
c2
xy 3
m. x 3 d y3 dx
n. xy
y xcos ln x , 2y 0; 2 dy 2 d y y 12 x 2 x y 2 x 2 dx dx
2 y
y xy
y
2
;
x
x c1
x x 2 , x
y
0;
x o.
4 x
2 t ;
2
y
0 c 2 xln x + 4 x 2 ,
x
0
0
x ≥ 0 , x t 2
6. Compruebe que la familia uniparamétrica de soluciones de y
7.
es
y
cx
1
x
1
1
c2 . Demuestre que que x2
y2
xy
1
y
2
1 define una solución singular de la ecuación diferencial en el intervalo
Determine, si el teorema de existencia y unicidad implica que el problema con valor inicial dado tiene una solución única. a) dy = x 3 − y 3 , y(0) = 6 dx b) dx x y ( 2) = π + 4t = 0, dt c) y dy = x, y(1) = 0 dx
