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Objetivos desta aula:
Entender conceitos básicos de Sistemas de numeração;
saber representar um número nas bases binária, octal, decimal e hexadecimal; , e hexadecimal.
Números
Acredita-se que a necessidade de criação de números veio com a necessidade de contar. Seja o número de animais, alimentos, objetos, etc;
a evolução nos legou algumas características, como os cinco dedos em cada mão e cinco dedos em cada pé...
na ura , en o, que os pr me ros s s emas e numeraç o tenham usado as bases 10 (decimal) e 20 (vigesimal) como padrão ...
como exemplo, o número 80 em francês(quatre-vingt), ou quatro vezes vinte, é remanescente de um sistema vigesimal.
Base de um Sistema de Numeração
A base de um sistema de numeração define a quantidade de símbolos utilizados para representação de uma quantidade qualquer;
assim, temos que no sistema:
– , , , , , , , , Binária – Base 2: 0 e 1;
Octal – Base 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; Hexadecimal – Base 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F;
Bases de um Sistema de Numeração
Em eletrônica, as bases mais utilizadas para sistemas de numeração são: Binária, Octal e Hexadecimal;
tabela do slide a seguir ...
, a i r l á a n m i i o b c ã s e ç e d a s a t a x n b e e h e e r a p n c e a e c d R i , r t é c m o u n
Binária
Octal
Decimal
Hexadecimal
00000
00
00
00
00001
01
01
01
00010
02
02
02
00011
03
03
03
00100
04
04
04
00101
05
05
05
00110
06
06
06
00111
07
07
07
01000
10
08
08
01001
11
09
09
01010
12
10
0A
01011
13
11
0B
01100
14
12
0C
01101
15
13
0D
01110
16
14
0E
01111
17
15
0F
10000
20
16
10
10001
21
17
11
10010
22
18
12
10011
23
19
13
10100
24
20
14
Base de um Sistema de Numeração
De acordo com a tabela do slide anterior, o número decimal 20 é representado por 2010, isto é, escreve-se o número e um índice indicando a base em que está representado.
Tem-se ortanto, a se uinte e uivalência: 101002 = 248 = 2010 = 1416
Teorema da Representação por Base
Seja k qualquer inteiro maior que 1. Para cada inteiro positivo n, existe uma representação de n, tal que n = a0ks + a1ks-1 + . . . + as onde a0>0 e cada ai é um inteiro não negativo maior que k. Esta representação de n é unica e é chamada de representação de n na base k.
Exemplos: 1210 = 1.101 + 2.100 = 1210 1116 = 1.161 + 1.160 = 1116 11002 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 0.20 = 11002 148 = 1.81 + 4.80 = 148
Operações de Adição e Subtração com números Binários
ADIÇÃO: Para somar números binários, é
importante saber que: 0+0=0 0+1=1 ou 1+0=1 1+1=0 e vai um Tomemos o exemplo da soma 201+198: 11001001(2) + 11000110(2) -------------110001111(2)
Operações de Adição e Subtração com números Binários
SUBTRAÇÃO: Para subtrair números binários, é importante saber que:
0–0=0 0–0=0 – = 0–1=1
Tomemos o exemplo : 1101 - 1100 = 0001 Manter minuendo: 1101
Operações aritméticas com números Binários
Manter minuendo:
Inverter subtraendo:
Soma minuendo e subtraendo:
Soma 1:
RESULTADO:
1101 0011 1 0000 0001 0001
Exercícios em sala de aula Efetue as operações abaixo (todos os operandos estão na base 2):
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1110101 + 1001001 111110 + 1001 100101 + 1001011 + 1101 111 + 100110 + 1+ 1111111 1110101 – 1000100 10101 – 1000
Conversão entre as bases numéricas
Conforme verificação em quadro, na sala de aula. Base 2 Base 10; Base 10 Base 2; Base 2 Base 8; Base 8 Base 2; Base 2 Base 16 Base 16 Base 2; Base 10 Base 8; Base 8 Base 10; Base 10 Base 16; Base 16 Base 10;
Exercícios de fixação Qual o decimal equivalente a 110110112? Qual o octal equivalente a 110110112? Qual o hexadecimal equivalente a 110110112? Qual o binário equivalente à sua idade? Qual seus equivalentes octal, decimal e hexadecimal? Qual o maior binário que pode ser representado por uma série de 16 bits? Quais seus equivalentes octal, decimal e hexadecimal? Efetue: A) 111 + 101 B) 11111 + 1 C) 1210 + 112 D) 2310 + 1112 E) 10011 - 101 F) 1310 - 1012
Conversão de números fracionários
A conversão de números não inteiros (parte decimal é diferente de zero) pode ser realizada usando o método exemplificado logo abaixo:
Exemplo 1: Converter 0,12510 para binário:
Solução: 0,125 x 2 = 0,25
(binário = 0,0)
0,25 x 2 = 0,50
(binário = 0,00)
0,50 x 2 = 1,0
(binário = 0,001)
0,12510 = 0,0012
→
Exemplo 2: Converter 0,37510 para binário:
Solução: 0,375 x 2 = 0,75
(binário = 0,0)
0,75 x 2 = 1,50
(binário = 0,01)
0,50 x 2 = 1,0
(binário = 0,011)
0,37510 = 0,0112
→
Conversão de números decimais
Exemplo 3: Converter 1110,1012 para decimal:
Solução: O número decimal será o somatório do produto de cada algarismo binário pelo valor (peso) da sua respectiva posição:
1 x 23 = 8 1 x 22 = 4 1 x 21 = 2 0
1 x 2-1 = 1 x 0,5 = 0,5 0 x 2-2 = 0 x 0,25 = 0 1 x 2-3 = 1 x 0,125 = 0,125 Logo, o decimal é: 8 + 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 14,62510
Conversão de números decimais
Exemplo 4: Converter 13,6510 para binário:
Solução: A conversão é realizada em duas etapas:
1. 1ª etapa: Converter a parte inteira, da forma já conhecida 1310 = 11012 2. 2ª etapa: Converter a parte fracionária, obtendo com o número de algarismos fracionários desejado, seguindo o método abaixo, exemplificado para 5 agarismos na parte fracionária 0,6510 = 101002
0,65 x 2 = 1,3
0,1
0,3 x 2 = 0,6
0,10
0,6 x 2 = 1,2
0,101
0,2 x 2 = 0,4
0,1010
0,4 x 2 = 0,8
0,10100
Logo, o binário equivalente a 13,65 = 1101,101002
Exercícios de fixação
1. Converter para decimal : 1. 11100,0112 2. 110011,100112
(RESP: 28,37510) (RESP: 51,5937510)
2. Converter para binário : 1. 27,187510 . , 10
(RESP: 11011,0011 2) :
,
2
Referências:
Taub, Herbert – Eletrônica Digital.
Até a próxima!
