73960390-Ejemplos-de-Diseno-ACI-318-02.pdf

NOTAS SOBRE

ACI 318-02 REQUISITOS PARA HORMIGÓN ESTRUCTURAL con Ejemplos de Diseño

PCA PORTLAND CEMENT ASSOCIATION

2

Contenido 1 Requisitos generales ..................................................................................... 1-1 1.1

CAMPO DE VALIDEZ ..................................................................................................... 1-1 1.1.6 Losas a nivel del plano de fundación.......................................................................... 1-6 1.1.8 Requisitos especiales para la resistencia a las solicitaciones sísmicas .................... 1-6 1.2 DOCUMENTACIÓN TÉCNICA ............................................................................................ 1-11 1.2.1 Información que debe incluir la documentación técnica ............................................. 1-11 1.3 INSPECCIÓN................................................................................................................... 1-11 1.3.4 Registros de inspección.............................................................................................. 1-12 1.3.5 Inspecciones especiales............................................................................................. 1-12 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 1-14

2 Materiales. Calidad del hormigón ................................................................. 2-1 CAPÍTULO 3 – MATERIALES ................................................................................................... 2-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 2-1 3.1 ENSAYO DE LOS MATERIALES .................................................................................... 2-1 3.2 CEMENTOS .................................................................................................................... 2-1 3.3 AGREGADOS ................................................................................................................. 2-2 3.4 AGUA .............................................................................................................................. 2-2 3.5 ARMADURAS .................................................................................................................. 2-3 3.5.2 Soldadura de las armaduras....................................................................................... 2-3 3.5.3 Armadura conformada ................................................................................................ 2-3 3.6 ADITIVOS ....................................................................................................................... 2-7 3.6.1 Vapor de sílice ............................................................................................................. 2-7 CAPÍTULO 4 – REQUISITOS DE DURABILIDAD..................................................................... 2-7 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 2-7 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 2-8 4.1 RELACIÓN AGUA-MATERIAL CEMENTICIO ................................................................ 2-8 4.2 EXPOSICIÓN A TEMPERATURAS DE CONGELAMIENTO Y DESHIELO ................... 2-9 4.2.3 Hormigón expuesto a productos químicos anticongelantes ........................................ 2-10 4.3 EXPOSICIÓN A LOS SULFATOS ................................................................................... 2-10 4.4 PROTECCIÓN CONTRA LA CORROSIÓN DE LAS ARMADURAS .............................. 2-11 CAPÍTULO 5 - CALIDAD, MEZCLADO Y COLOCACIÓN DEL HORMIGÓN ........................... 2-13 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 2-13 5.1.1 Dosificación del hormigón por resistencia .................................................................. 2-13 5.1.3 Edad del hormigón para el ensayo de resistencia...................................................... 2-13 5.2 DOSIFICACIÓN DEL HORMIGÓN.................................................................................. 2-14 5.3 DOSIFICACIÓN EN BASE A LA EXPERIENCIA EN OBRA Y/O PASTONES DE PRUEBA................................................................................................ 2-14 5.3.1 Desviación estándar ................................................................................................... 2-14 5.3.2 Resistencia promedio requerida ................................................................................. 2-17 5.3.3 Documentación de la resistencia promedio................................................................ 2-18 5.4 DOSIFICACIÓN SIN EXPERIENCIA EN OBRA NI PASTONES DE PRUEBA .................................................................................................................... 2-19 5.6 EVALUACIÓN Y CONFORMIDAD DEL HORMIGÓN..................................................... 2-19 5.6.1 Técnicos que realizan los trabajos en laboratorio y en obra ...................................... 2-19 5.6.2 Frecuencia de los ensayos .......................................................................................... 2-20 5.6.5 Investigación a realizar cuando los resultados de los ensayos indican que la resistencia es baja............................................................................... 2-21 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 2-24 Ejemplo 2.1 - Selección de la relación agua-material cementicio por resistencia y durabilidad...................................................................................... 2-25 Ejemplo 2.2 - Informe de los ensayos de resistencia ................................................................ 2-27 Ejemplo 2.3 - Dosificación del hormigón en base a pastones de prueba.................................. 2-30

iii

Ejemplo 2.4 - Frecuencia de los ensayos de resistencia........................................................... 2-32 Ejemplo 2.5 - Frecuencia de los ensayos de resistencia........................................................... 2-33 Ejemplo 2.6 - Conformidad del hormigón................................................................................... 2-34 Ejemplo 2.7 - Conformidad del hormigón................................................................................... 2-35

3 Detalles de armado ........................................................................................ 3-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002.............................................................................. 3-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 3-1 7.1 GANCHOS NORMALES.................................................................................................. 3-2 7.2 DIÁMETROS MÍNIMOS DE DOBLADO .......................................................................... 3-2 7.3 DOBLADO DE LA ARMADURA ..................................................................................... 3-3 7.3.2 Doblado de la armadura en obra ................................................................................. 3-3 7.5 COLOCACIÓN DE LA ARMADURA................................................................................ 3-4 7.5.1 Soportes para la armadura .......................................................................................... 3-4 7.5.2 Tolerancias para la colocación de la armadura ........................................................... 3-5 7.5.4 Soldaduras de punto .................................................................................................... 3-7 7.6 LÍMITES PARA LA SEPARACIÓN DE LA ARMADURA ................................................. 3-8 7.6.6 Paquetes de barras...................................................................................................... 3-8 7.6.7 Cables y vainas de pretensado.................................................................................... 3-9 7.7 RECUBRIMIENTO DE HORMIGÓN................................................................................ 3-10 7.8 DETALLES ESPECIALES DE ARMADO PARA COLUMNAS ........................................ 3-10 7.9 NUDOS ........................................................................................................................... 3-11 7.10 ARMADURA TRANSVERSAL PARA LOS ELEMENTOS SOLICITADOS A COMPRESIÓN ............................................................................................................. 3-11 7.10.4 Zunchos ..................................................................................................................... 3-11 7.10.5 Estribos cerrados para columnas .............................................................................. 3-12 7.11 ARMADURA TRANSVERSAL PARA LOS ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN . 3-13 7.11.3 Estribos cerrados ....................................................................................................... 3-14 7.12 ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA................................................... 3-15 7.13 REQUISITOS PARA LA INTEGRIDAD ESTRUCTURAL................................................ 3-16 7.13.1 Integridad de la estructura en su conjunto................................................................. 3-16 7.13.2 Losas nervuradas hormigonadas en obra ................................................................. 3-17 7.13.3 Construcciones de hormigón prefabricado ................................................................ 3-18 7.13.4 Construcción de losas izadas .................................................................................... 3-18 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 3-19 Ejemplo 3.1 - Tolerancia para la colocación de la armadura..................................................... 3-20

4 Longitud de anclaje y empalme de la armadura.......................................... 4-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002.............................................................................. 4-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 4-1 12.1 ANCLAJE DE LA ARMADURA – REQUISITOS GENERALES ...................................... 4-1 12.2 ANCLAJE DE LAS BARRAS Y ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADOS A TRACCIÓN ......................................................................................... 4-2 12.2.5 Armadura en exceso .................................................................................................. 4-5 12.3 ANCLAJE DE LAS BARRAS Y ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADOS A COMPRESIÓN ................................................................................... 4-6 12.4 ANCLAJE DE LOS PAQUETES DE BARRAS ................................................................ 4-6 12.5 ANCLAJE DE LAS BARRAS O ALAMBRES TERMINADOS EN GANCHO SOLICITADOS A TRACCIÓN................................................................... 4-7 12.5.2 Longitud de anclaje ℓdh ............................................................................................... 4-7 12.5.3 Factores de modificación ........................................................................................... 4-8 12.5.4 Ganchos normales en los extremos discontinuos de un elemento ........................... 4-9 12.6 ANCLAJE MECÁNICO..................................................................................................... 4-9 12.7 ANCLAJE DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADAS A TRACCIÓN ....................................... 4-9

iv

12.8 ANCLAJE DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOLICITADAS A TRACCIÓN.................................................... 4-10 12.9 ANCLAJE DE LOS CORDONES DE PRETENSADO..................................................... 4-12 12.10 ANCLAJE DE LA ARMADURA DE FLEXIÓN REQUISITOS GENERALES............................................................................................ 4-14 12.11 ANCLAJE DE LA ARMADURA PARA MOMENTO POSITIVO....................................... 4-17 12.12 ANCLAJE DE LA ARMADURA PARA MOMENTO NEGATIVO ..................................... 4-19 12.13 ANCLAJE DE LA ARMADURA DEL ALMA..................................................................... 4-19 12.13.4 Anclaje de las barras longitudinales dobladas......................................................... 4-22 12.13.5 Estribos cerrados ..................................................................................................... 4-22 12.14 EMPALMES DE LA ARMADURA - REQUISITOS GENERALES ................................... 4-24 12.14.2 Empalmes por yuxtaposición ................................................................................... 4-24 12.14.3 Empalmes mecánicos y soldados............................................................................ 4-25 12.15 EMPALMES DE LAS BARRAS Y ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADOS A TRACCIÓN........................................................... 4-26 12.16 EMPALMES DE LAS BARRAS CONFORMADAS SOLICITADAS A COMPRESIÓN .................................................................................... 4-27 12.16.1 Empalmes por yuxtaposición de las barras comprimidas........................................ 4-27 12.16.4 Empalmes por contacto a tope ................................................................................ 4-28 12.17 REQUISITOS ESPECIALES PARA LOS EMPALMES EN LAS COLUMNAS....................................................................................................... 4-28 12.17.2 Empalmes por yuxtaposición en las columnas........................................................ 4-28 12.17.3 Empalmes mecánicos o soldados en las columnas ................................................ 4-30 12.17.4 Empalmes por contacto a tope en las columnas ..................................................... 4-31 12.18 EMPALMES DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADAS A TRACCIÓN ....................................... 4-31 12.19 EMPALMES DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOLICITADAS A TRACCIÓN.......................................................... 4-32 COMENTARIOS FINALES ........................................................................................................ 4-32 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 4-33 Ejemplo 4.1 - Anclaje de barras traccionadas ........................................................................... 4-34 Ejemplo 4.2 - Anclaje de barras traccionadas ........................................................................... 4-37 Ejemplo 4.3 - Anclaje de barras traccionadas ........................................................................... 4-39 Ejemplo 4.4 - Anclaje de la armadura solicitada a flexión ......................................................... 4-42 Ejemplo 4.5 - Empalmes por yuxtaposición solicitados a tracción ............................................ 4-51 Ejemplo 4.6 - Empalmes por yuxtaposición solicitados a compresión ...................................... 4-55 Ejemplo 4.7 - Empalmes por yuxtaposición en una columna .................................................... 4-57

5 Métodos de diseño y requisitos de resistencia .......................................... 5-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................ 5-1 8.1 MÉTODOS DE DISEÑO ................................................................................................. 5-2 8.1.1 Método de Diseño por Resistencia ............................................................................. 5-3 8.1.2 Requisitos de Diseño Unificado .................................................................................. 5-4 9.1 RESISTENCIA Y COMPORTAMIENTO EN SERVICIO REQUISITOS GENERALES .......................................................................................... 5-4 9.1.1 Requisitos de Resistencia ........................................................................................... 5-4 9.1.2 Requisitos de Comportamiento en Servicio ................................................................ 5-7 9.1.3 Apéndice C ................................................................................................................. 5-7 9.2 RESISTENCIA REQUERIDA........................................................................................... 5-7 9.3 RESISTENCIA DE DISEÑO ........................................................................................... 5-10 9.3.1 Resistencia Nominal vs. Resistencia de Diseño.......................................................... 5-10 9.3.2 Factores de reducción de la resistencia ...................................................................... 5-10 9.3.3 Longitudes de desarrollo de la armadura .................................................................... 5-11 9.3.4 Hormigón estructural simple ........................................................................................ 5-11 9.4 RESISTENCIA DE DISEÑO DE LA ARMADURA ........................................................... 5-11 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 5-12

v

6 Principios generales del Diseño por Resistencia........................................ 6-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 6-1 CONSIDERACIONES GENERALES ......................................................................................... 6-1 INTRODUCCIÓN A LOS REQUISITOS DE DISEÑO UNIFICADO........................................... 6-1 10.2 HIPÓTESIS DE DISEÑO ................................................................................................. 6-2 10.2.1 Equilibrio de las fuerzas y compatibilidad de las deformaciones............................... 6-2 10.2.2 Hipótesis de diseño #1 .............................................................................................. 6-4 10.2.3 Hipótesis de diseño #2 .............................................................................................. 6-5 10.2.4 Hipótesis de diseño #3 .............................................................................................. 6-6 10.2.5 Hipótesis de diseño #4 .............................................................................................. 6-6 10.2.6 Hipótesis de diseño #5 .............................................................................................. 6-7 10.2.7 Hipótesis de diseño #6 .............................................................................................. 6-10 10.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES................................................................... 6-12 10.3.1 Resistencia nominal a la flexión................................................................................. 6-12 10.3.2 Condición de deformación balanceada...................................................................... 6-15 10.3.3 Secciones controladas por compresión ..................................................................... 6-16 10.3.4 Secciones controladas por tracción y secciones de transición.................................. 6-16 10.3.5 Armadura máxima en elementos solicitados a flexión............................................... 6-17 10.3.6 Máxima resistencia a la carga axial ........................................................................... 6-19 10.3.7 Resistencia nominal para combinaciones de flexión y carga axial............................ 6-20 10.5 ARMADURA MÍNIMA EN ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN............................ 6-23 10.15 TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE LAS COLUMNAS A TRAVÉS DE LOS ENTREPISOS.................................................................................................... 6-24 10.17 RESISTENCIA AL APLASTAMIENTO DEL HORMIGÓN ............................................... 6-24 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 6-26 Ejemplo 6.1 - Resistencia al momento usando la distribución rectangular de tensiones equivalente.............................................................. 6-27 Ejemplo 6.2 - Diseño de una viga con armadura de compresión........................................... 6-29 Ejemplo 6.3 - Máxima resistencia a la carga axial vs. Excentricidad mínima ........................ 6-32 Ejemplo 6.4 - Resistencia a la combinación de carga y momento, Pn y Mn, para condiciones de deformación dadas.......................................................... 6-33

7 Diseño para flexión y carga axial ................................................................. 7-1 CONSIDERACIONES GENERALES - FLEXIÓN ...................................................................... 7-1 DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES QUE SÓLO TIENEN ARMADURA DE TRACCIÓN....................................................................................... 7-1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES QUE SÓLO TIENEN ARMADURA DE TRACCIÓN....................................................................................... 7-5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES CON MÚLTIPLES CAPAS DE ARMADURA............................................................................................................ 7-6 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA DE COMPRESIÓN .................................................... 7-7 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES CON ALAS CON ARMADURA DE TRACCIÓN ........................................................................ 7-8 CONSIDERACIONES GENERALES - FLEXIÓN Y CARGA AXIAL.......................................... 7-10 CONSIDERACIONES GENERALES - CARGA BIAXIAL .......................................................... 7-11 RESISTENCIA CON INTERACCIÓN BIAXIAL.......................................................................... 7-11 SUPERFICIES DE FALLA ......................................................................................................... 7-12 A. Método de las Cargas Recíprocas de Bresler ................................................................. 7-13 B. Método del Contorno de las Cargas de Bresler............................................................... 7-14 C. Método del Contorno de las Cargas de la PCA............................................................... 7-15 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO MANUAL ................................................................................ 7-21 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 7-22 Ejemplo 7.1 - Diseño de una viga rectangular sólo con armadura de tracción ......................... 7-23 Ejemplo 7.2 - Diseño de una losa maciza armada en una dirección ......................................... 7-26

vi

Ejemplo 7.3 - Diseño de una viga rectangular con armadura de compresión ........................... 7-28 Ejemplo 7.4 - Diseño de una sección con alas sólo con armadura de tracción ........................ 7-32 Ejemplo 7.5 - Diseño de una sección con alas sólo con armadura de tracción ........................ 7-34 Ejemplo 7.6 - Diseño de un sistema nervurado armado en una dirección ................................ 7-37 Ejemplo 7.7 - Diseño de vigas continuas ................................................................................... 7-41 Ejemplo 7.8 - Diseño de una columna cuadrada con carga biaxial........................................... 7-44

8 Redistribución de los momentos.................................................................. 8-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 8-1 8.4 REDISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS NEGATIVOS EN ELEMENTOS CONTINUOS SOLICITADOS A FLEXIÓN......................................... 8-1 REFERENCIA ........................................................................................................................... 8-4 Ejemplo 8.1—Redistribución de los momentos ......................................................................... 8-5 Ejemplo 8.2—Redistribución de los momentos ......................................................................... 8-8

9 Distribución de la armadura de flexión ........................................................ 9-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 9-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 9-1 EFECTO DE LOS NUEVOS FACTORES DE CARGA.............................................................. 9-2 10.6 VIGAS Y LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN....................................................... 9-2 10.6.4 Distribución de la armadura de tracción .................................................................... 9-2 10.6.5 Ambientes corrosivos................................................................................................. 9-4 10.6.6 Distribución de la armadura de tracción en las alas de las vigas T........................... 9-5 10.6.7 Armadura para controlar la fisuración en elementos de gran altura solicitados a flexión....................................................................................... 9-5 13.4 LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES ................................................................. 9-6 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 9-6 Apéndice 9 A - Distribución de la armadura de tracción de acuerdo con el Código 1995 ....... 9-7 REFERENCIA ........................................................................................................................... 9-9 Ejemplo 9.1 - Distribución de la armadura para un control efectivo de la fisuración................. 9-10 Ejemplo 9.2 - Distribución de la armadura en una sección Te de gran altura solicitada a flexión...................................................................................................... 9-11

10

Flechas ..................................................................................................... 10-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................ 10-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 10-1 9.5 CONTROL DE LAS FLECHAS ........................................................................................ 10-1 Método de ACI 318 .................................................................................................................... 10-6 Método alternativo...................................................................................................................... 10-7 9.5.3 Elementos armados en dos direcciones (no pretensados).......................................... 10-11 9.5.4 Elementos de hormigón pretensado ............................................................................ 10-16 9.5.5 Elementos compuestos o construidos en etapas ........................................................ 10-18 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 10-21 Ejemplo 10.1 - Viga de sección rectangular no pretensada de un solo tramo .......................... 10-22 Ejemplo 10.2 - Viga Te continua no pretensada........................................................................ 10-26 Ejemplo 10.3 - Losa sin vigas de borde (Placa plana)............................................................... 10-32 Ejemplo 10.4 - Losa armada en dos direcciones apoyada en vigas ......................................... 10-41 Ejemplo 10.5 - Viga Te pretensada de un solo tramo................................................................ 10-43 Ejemplo 10.6 - Viga compuesta no pretensada sin apuntalar ................................................... 10-49 Ejemplo 10.7 - Viga compuesta no pretensada apuntalada ...................................................... 10-53

11

Efectos de la esbeltez............................................................................... 11-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 11-1 CONSIDERACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ...................................................... 11-3 10.10 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS ................................ 11-3

vii

10.10.1 Análisis de segundo orden....................................................................................... 11-3 10.11 EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ ......................... 11-4 10.11.1 Propiedades de la sección para el análisis del pórtico ............................................ 11-4 10.11.2 Radio de giro............................................................................................................ 11-4 10.11.3, 10.12.1 Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos............................................................................................................... 11-5 10.11.4 Pórticos indesplazables y Pórticos desplazables .................................................... 11-9 10.11.6 Factor de amplificación de momentos δ para flexión biaxial ................................... 11-10 10.12.2, 10.13.2 Consideración de los efectos de la esbeltez ............................................. 11-10 10.12.3 Momentos amplificados - Pórticos indesplazables .................................................. 11-10 10.13.3 Momentos amplificados - Pórticos desplazables ..................................................... 11-13 10.13.4 Determinación de δsMs ............................................................................................. 11-13 10.13.5 Ubicación del máximo momento .............................................................................. 11-14 10.13.6 Estabilidad estructural bajo cargas gravitatorias ..................................................... 11-14 10.13.7 Amplificación de momentos para elementos solicitados a flexión........................... 11-15 RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE DISEÑO...................................................................... 11-16 REFERENCIA ........................................................................................................................... 11-20 Ejemplo 11.1 - Efectos de la esbeltez para columnas en un pórtico indesplazable .................. 11-21 Ejemplo 11.2 - Efectos de la esbeltez en un pórtico desplazable.............................................. 11-29

12

Corte ....................................................................................................... 12-1

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002.............................................................................. 12-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 12-1 11.1 RESISTENCIA AL CORTE .............................................................................................. 12-2 11.1.2 Límite para

f 'c ....................................................................................................... 12-2

11.1.3 Cálculo del máximo esfuerzo de corte mayorado...................................................... 12-3 11.2 HORMIGÓN LIVIANO .............................................................................................. 12-4 11.3 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGÓN EN LOS ELEMENTOS NO PRETENSADOS............................................. 12-5 11.5 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR LA ARMADURA DE CORTE ..... 12-7 11.5.1 Tipos de armadura de corte ....................................................................................... 12-7 11.5.3 Detalles de anclaje de la armadura de corte ............................................................. 12-7 11.5.4 Límites de separación de la armadura de corte......................................................... 12-7 11.5.5 Armadura mínima de corte......................................................................................... 12-7 11.5.6 Determinación de la armadura de corte..................................................................... 12-8 Procedimiento de diseño para la armadura de corte ................................................................. 12-9 CAPÍTULO 17 - ELEMENTOS DE HORMIGÓN CONSTRUIDOS EN ETAPAS (ELEMENTOS COMPUESTOS) SOLICITADOS A FLEXIÓN ........................ 12-11 17.4 RESISTENCIA AL CORTE VERTICAL ........................................................................... 12-11 17.5 RESISTENCIA AL CORTE HORIZONTAL...................................................................... 12-11 17.6 ESTRIBOS PARA CORTE HORIZONTAL ...................................................................... 12-12 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 12-13 Ejemplo 12.1 - Diseño al corte - Elementos solicitados exclusivamente a corte y flexión......... 12-14 Ejemplo 12.2 - Diseño al corte - Elementos con tracción axial.................................................. 12-17 Ejemplo 12.3 - Diseño al corte - Elementos con compresión axial............................................ 12-19 Ejemplo 12.4 - Diseño al corte - Entrepiso nervurado de hormigón .......................................... 12-21 Ejemplo 12.5 - Diseño al corte - Resistencia al corte en las aberturas en el alma de un elemento ................................................................................ 12-23 Ejemplo 12.6 - Diseño para corte horizontal .............................................................................. 12-27

13

Torsión........................................................................................................ 13-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002.............................................................................. 13-1 ANTECEDENTES ..................................................................................................................... 13-1 11.6.1 Torsión crítica............................................................................................................. 13-4 11.6.2 Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, Tu ...................................... 13-6

viii

11.6.3 Resistencia al momento torsor .................................................................................. 13-6 11.6.4 Detalles de la armadura de torsión ............................................................................ 13-8 11.6.5 Armadura mínima de torsión...................................................................................... 13-8 11.6.6 Separación de la armadura de torsión....................................................................... 13-9 REFERENCIAS.......................................................................................................................... 13-9 Ejemplo 13.1 - Diseño de una viga de borde prefabricada solicitada a corte y torsión............. 13-10

14

Corte por fricción....................................................................................... 14-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 14-1 11.7 CORTE POR FRICCIÓN ................................................................................................. 14-1 11.7.1 Aplicaciones ............................................................................................................... 14-1 11.7.3 Métodos de diseño para transferencia del esfuerzo de corte.................................... 14-3 11.7.4 Método de diseño para corte por fricción .................................................................. 14-3 11.7.5 Máxima resistencia al corte ....................................................................................... 14-5 11.7.7 Fuerzas normales ...................................................................................................... 14-5 11.7.8 - 11.7.10 Requisitos adicionales ................................................................................ 14-6 EJEMPLOS DE DISEÑO ........................................................................................................... 14-6 Ejemplo 14.1 - Diseño para corte por fricción............................................................................ 14-7 Ejemplo 14.2 - Diseño para corte por fricción (Plano de corte inclinado) ................................. 14-9

15

Ménsulas y entalladuras horizontales en vigas ..................................... 15-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 15-1 11.9 LÍMITES DE APLICACIÓN DE LOS REQUISITOS PARA MÉNSULAS......................... 15-1 11.9.1-11.9.5 Requisitos de diseño ...................................................................................... 15-2 ENTALLADURAS HORIZONTALES EN VIGAS ....................................................................... 15-4 11.9.6 Desarrollo y anclaje de la armadura .......................................................................... 15-8 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 15-9 Ejemplo 15.1 - Diseño de una ménsula corta ............................................................................ 15-10 Ejemplo 15.2 - Diseño de una ménsula corta, usando hormigón liviano y el Método de Corte por Fricción Modificado ......................................... 15-13 Ejemplo 15.3 - Diseño de una entalladura horizontal en una viga ............................................ 15-17

16

Corte en losas ........................................................................................... 16-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 16-1 11.12 REQUISITOS ESPECIALES PARA LOSAS Y ZAPATAS .............................................. 16-1 11.12.1 Sección crítica para el corte..................................................................................... 16-1 11.12.2 Resistencia al corte requerida para comportamiento en dos direcciones ............... 16-2 11.12.3 Resistencia al corte proporcionada por barras, alambres o estribos de una o múltiples ramas......................................................................................... 16-6 11.12.4 Resistencia al corte proporcionada por los conectores de corte............................. 16-6 Otros tipos de armadura de corte .............................................................................................. 16-9 11.12.5 de las aberturas en las losas sobre su resistencia al corte ..................................... 16-10 11.12.6 Transferencia de momento en las uniones losa-columna ....................................... 16-10 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 16-17 Ejemplo 16.1 - Resistencia al corte de una losa en un apoyo sobre una columna ................... 16-18 Ejemplo 16.2 - Resistencia al corte para apoyo no rectangular ................................................ 16-20 Ejemplo 16.3 - Resistencia al corte de una losa con armadura de corte .................................. 16-22 Ejemplo 16.4 - Resistencia al corte de una losa con transferencia de momento...................... 16-31

17

Modelos de Bielas y Tirantes.................................................................... 17-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 17-1 REQUISITOS GENERALES ..................................................................................................... 17-1 A.1 DEFINICIONES .............................................................................................................. 17-1 A.2 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA UN MODELO DE BIELAS Y TIRANTES.......... 17-5 A.3 RESISTENCIA DE LAS BIELAS...................................................................................... 17-6

ix

A.4 RESISTENCIA DE LOS TIRANTES ................................................................................ 17-7 A.5 RESISTENCIA DE LAS ZONAS NODALES.................................................................... 17-8 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 17-9 Ejemplo 17.1 - Diseño de un elemento de gran altura solicitado a flexión mediante el Modelo de Bielas y Tirantes ........................................... 17-10 Ejemplo 17.2 - Diseño de una ménsula en una columna .......................................................... 17-16

18

Sistemas de losas que trabajan en dos direcciones .............................. 18-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002.............................................................................. 18-1 13.1 CAMPO DE VALIDEZ ..................................................................................................... 18-1 13.1.4 Control de las flechas – Altura mínima de una losa .................................................. 18-3 13.2 DEFINICIONES ............................................................................................................... 18-4 13.2.1 Franja de diseño ........................................................................................................ 18-4 13.2.4 Sección efectiva de una viga ..................................................................................... 18-5 13.3 ARMADURA DE LAS LOSAS.......................................................................................... 18-6 13.4 ABERTURAS EN LOS SISTEMAS DE LOSAS .............................................................. 18-6 13.5 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO ................................................................................... 18-7 13.5.4 Corte en los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones.............................. 18-9 13.5.3 Transferencia de momento en las uniones losa-columna ......................................... 18-10 NOTA….. .................................................................................................................................... 18-12

19

Losas en dos direcciones - Método de Diseño Directo .......................... 19-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 19-1 DISEÑO PRELIMINAR............................................................................................................... 19-1 13.6.1 Limitaciones ................................................................................................................... 19-2 13.6.2 Momento estático mayorado total para un tramo ........................................................... 19-2 13.6.3 Momentos mayorados negativos y positivos .................................................................. 19-5 13.6.4 Momentos mayorados en las franjas de columna .......................................................... 19-6 13.6.5 Momentos mayorados en las vigas................................................................................. 19-10 13.6.6 Momentos mayorados en las franjas intermedias .......................................................... 19-10 13.6.9 Momentos mayorados en columnas y tabiques.............................................................. 19-11 COEFICIENTES DE MOMENTO PARA EL MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO ....................... 19-11 Ejemplo 19.1 - Aplicación del Método de Diseño Directo a una losa en dos direcciones sin vigas............................................................................. 19-15 Ejemplo 19.2 - Aplicación del Método de Diseño Directo a una losa en dos direcciones con vigas ........................................................................... 19-22

20

Losas en dos direcciones - Método del Pórtico Equivalente ................ 20-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 20-1 DISEÑO PRELIMINAR .............................................................................................................. 20-1 13.7. Pórtico Equivalente ........................................................................................................... 20-1 13.7.3 Vigas placa................................................................................................................. 20-2 13.7.4 Columnas .................................................................................................................. 20-5 13.7.5 Elementos torsionales................................................................................................ 20-5 Columnas equivalentes (R13.7.4) ........................................................................................ 20-8 13.7.6 Ubicación de la sobrecarga........................................................................................ 20-9 13.7.7 Momentos mayorados................................................................................................ 20-10 APÉNDICE 20A - AYUDAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES DE DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS.............................................................. 20-13 Ejemplo 20.1 - Aplicación del Método del Pórtico Equivalente a una losa en dos direcciones sin vigas ............................................................................ 20-22 Ejemplo 20.2 - Aplicación del Método del Pórtico Equivalente a una losa en dos direcciones con vigas ........................................................................... 20-33

x

21

Tabiques ..................................................................................................... 21-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 21-1 14.1 CAMPO DE VALIDEZ ..................................................................................................... 21-1 14.2 REQUISITOS GENERALES............................................................................................ 21-1 14.3 ARMADURA MÍNIMA ...................................................................................................... 21-2 14.4 TABIQUES DISEÑADOS COMO ELEMENTOS COMPRIMIDOS.................................. 21-2 14.5 MÉTODO DE DISEÑO EMPÍRICO.................................................................................. 21-4 14.8 DISEÑO ALTERNATIVO PARA TABIQUES ESBELTOS............................................... 21-6 11.10 REQUISITOS ESPECIALES PARA EL CORTE EN TABIQUES .................................... 21-9 RESUMEN DEL DISEÑO ......................................................................................................... 21-9 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 21-12 Ejemplo 21.1 - Diseño de un tabique izado aplicando el Capítulo 10 ...................................... 21-13 Ejemplo 21.2 - Diseño de un muro portante mediante el Método de Diseño Empírico ............ 21-18 Ejemplo 21.3 - Diseño de un tabique prefabricado mediante el Método de Diseño Alternativo ......................................................................................................... 21-20 Ejemplo 21.4 - Diseño al corte de un tabique ............................................................................ 21-27

22

Zapatas y cabezales de pilotes................................................................. 22-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 22-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 22-1 15.2 CARGAS Y REACCIONES.............................................................................................. 22-1 15.4 MOMENTOS EN LAS ZAPATAS..................................................................................... 22-2 15.5 ESFUERZO DE CORTE EN LAS ZAPATAS .................................................................. 22-3 15.8 TRANSMISIÓN DE ESFUERZOS EN LA BASE DE COLUMNAS, TABIQUES O PEDESTALES ARMADOS ............................................... 22-6 ZAPATAS Y PEDESTALES DE HORMIGÓN SIMPLE ............................................................. 22-7 REFERENCIA ........................................................................................................................... 22-7 Ejemplo 22.1 - Determinación del área de la base de una zapata ............................................ 22-8 Ejemplo 22.2 - Determinación de la altura de una zapata ......................................................... 22-9 Ejemplo 22.3 - Determinación de la armadura de una zapata .................................................. 22-11 Ejemplo 22.4 - Diseño para transmisión de esfuerzos en la base de una columna.................. 22-14 Ejemplo 22.5 - Diseño para la transmisión de esfuerzos mediante armadura .......................... 22-17 Ejemplo 22.6 - Diseño para la transmisión de esfuerzos horizontales en la base de una columna ............................................................................... 22-19 Ejemplo 22.7 - Determinación de la altura de un cabezal de pilotes......................................... 22-22

23

Hormigón prefabricado ............................................................................. 23-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 23-1 16.2 REQUISITOS GENERALES ........................................................................................... 23-1 16.3 DISTRIBUCIÓN DE LOS ESFUERZOS ENTRE LOS ELEMENTOS ............................. 23-2 16.4 DISEÑO DE LOS ELEMENTOS...................................................................................... 23-2 16.5 INTEGRIDAD ESTRUCTURAL ....................................................................................... 23-4 16.6 DISEÑO DE LAS UNIONES Y DE LOS APOYOS .......................................................... 23-4 16.7 ELEMENTOS INCORPORADOS AL HORMIGÓN LUEGO DE SU COLOCACIÓN ...... 23-4 16.8 MARCAS DE IDENTIFICACIÓN...................................................................................... 23-4 16.9 MANIPULACIÓN ............................................................................................................. 23-5 16.10 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA DE LAS ESTRUCTURAS PREFABRICADAS.... 23-5 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 23-5 Ejemplo 23.1 - Distribución de las cargas en dobles T.............................................................. 23-6

24

Hormigón pretensado - Flexión ............................................................... 24-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 24-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 24-1 MATERIALES DE PRETENSADO............................................................................................. 24-2 SIMBOLOGÍA ............................................................................................................................ 24-2

xi

18.2 REQUISITOS GENERALES ........................................................................................... 24-4 18.3 HIPÓTESIS DE DISEÑO ................................................................................................. 24-4 18.4 REQUISITOS DE COMPORTAMIENTO EN SERVICIO ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN...................................................................... 24-5 18.5 TENSIONES ADMISIBLES EN EL ACERO DE PRETENSADO .................................... 24-6 18.6 PÉRDIDAS DE PRETENSADO....................................................................................... 24-7 ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE PRETENSADO............................................................ 24-7 CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS ................................................................................................. 24-8 Acortamiento elástico del hormigón (ES).............................................................................. 24-8 Fluencia lenta del hormigón (CR) ........................................................................................ 24-8 Contracción del hormigón (SH) ............................................................................................ 24-8 Relajación de los cables (RE) .............................................................................................. 24-9 Fricción.................................................................................................................................. 24-10 SIMBOLOGÍA ............................................................................................................................. 24-10 18.7 RESISTENCIA A FLEXIÓN ............................................................................................. 24-11 18.8 LÍMITES PARA LA ARMADURA DE LOS ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN .. 24-13 18.9 ARMADURA ADHERENTE MÍNIMA ............................................................................... 24-17 18.10.4 Redistribución de los momentos .............................................................................. 24-18 18.11 ELEMENTOS COMPRIMIDOS - COMBINACIÓN DE CARGAS AXIALES Y DE FLEXIÓN ................................................................................................ 24-18 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 24-18 Ejemplo 24.1 - Estimación de las pérdidas de pretensado........................................................ 24-19 Ejemplo 24.2 - Investigación de las tensiones en el momento de la transferencia del pretensado y bajo cargas de servicio ................................... 24-22 Ejemplo 24.3 - Resistencia a flexión de un elemento pretensado empleando un valor aproximado para fps ......................................................... 24-25 Ejemplo 24.4 - Resistencia a flexión de un elemento pretensado en base a la compatibilidad de las deformaciones ............................................... 24-27 Ejemplo 24.5 - Límite correspondiente a sección controlada por tracción para un elemento pretensado solicitado a flexión ......................................................................... 24-29 Ejemplo 24.6 - Momento de fisuración y límite de armadura mínima para un elemento pretensado no compuesto ........................................................... 24-31 Ejemplo 24.7 - Momento de fisuración y límite de armadura mínima para elemento pretensado compuesto ..................................................................... 24-33 Ejemplo 24.8 - Elemento pretensado solicitado a compresión................................................. 24-35 Ejemplo 24.9 - Diseño de una sección fisurada cuando la tracción es mayor que 12

25

fc' .... 24-37

Hormigón pretensado - Corte ................................................................. 25-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002.............................................................................. 25-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 25-1 Corte en el alma ......................................................................................................................... 25-2 Corte por flexión en los elementos de hormigón pretensado .................................................... 25-3 11.0 SIMBOLOGÍA .................................................................................................................. 25-5 11.1 RESISTENCIA AL CORTE DE LOS ELEMENTOS PRETENSADOS ............................ 25-5 11.1.2 Resistencia del hormigón........................................................................................... 25-6 11.1.3 Ubicación para calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado .............................. 25-6 11.2 HORMIGÓN LIVIANO...................................................................................................... 25-6 11.4 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGÓN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS .............................................................................. 25-6 11.4.1 Método simplificado ................................................................................................... 25-7 11.4.2 Método detallado........................................................................................................ 25-8 11.4.3, 11.4.4 Consideraciones especiales para elementos pretensados ........................... 25-9 11.5 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR LA ARMADURA DE CORTE EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS........................................................... 25-10 REFERENCIA ........................................................................................................................... 25-10

xii

Ejemplo 25.1 - Diseño al corte (11.4.1) ................................................................................... 25-11 Ejemplo 25.2 - Diseño al corte usando la Figura 25-4............................................................... 25-16 Ejemplo 25.3 - Diseño al corte aplicando el artículo 11.4.2....................................................... 25-19

26

Sistemas de losas pretensadas ............................................................... 26-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 26-1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 26-1 11.12.2 Resistencia al corte.................................................................................................. 26-2 11.12.6 Resistencia al corte con transferencia de momentos .............................................. 26-2 18.4.2 Tensiones de compresión admisibles........................................................................ 26-3 18.7.2 fps para cables no adherentes .................................................................................... 26-3 18.12 SISTEMAS DE LOSAS.................................................................................................... 26-3 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 26-4 Ejemplo 26.1 - Sistema de losa pretensada armada en dos direcciones.................................. 26-5

27

Cáscaras y placas plegadas .................................................................... 27-1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 27-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 27-1 19.2 ANÁLISIS Y DISEÑO....................................................................................................... 27-2 19.2.6 Cáscaras pretensadas ............................................................................................... 27-2 19.2.7 Método de diseño....................................................................................................... 27-2 19.4 ARMADURA DE LA CÁSCARA....................................................................................... 27-2 19.4.6 Armadura según las direcciones principales de tracción .......................................... 27-2 19.4.8 Concentración de armadura ...................................................................................... 27-3 19.4.10 Separación de la armadura...................................................................................... 27-3

28 Evaluación de la resistencia de estructuras existentes ........................... 28-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 28-1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 28-1 20.1 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA - REQUISITOS GENERALES............................. 28-2 20.2 DETERMINACIÓN DE LAS DIMENSIONES REQUERIDAS Y DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ....................................................... 28-2 20.3 PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR EL ENSAYO DE CARGA.................................... 28-3 20.4 CRITERIOS DE CARGA.................................................................................................. 28-3 20.5 CRITERIOS DE ACEPTACIÓN ....................................................................................... 28-4 20.6 APROBACIÓN DE LA ESTRUCTURA PARA CARGAS DISMINUIDAS ........................ 28-6 20.7 SEGURIDAD ................................................................................................................... 28-6 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 28-6

29

Requisitos especiales para el diseño sismorresistente......................... 29-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 29-1 ANTECEDENTES ..................................................................................................................... 29-2 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 29-3 21.2 REQUISITOS GENERALES............................................................................................ 29-5 21.2.1 Campo de validez ...................................................................................................... 29-5 21.2.2 Análisis y dimensionamiento de los elementos estructurales ................................... 29-5 21.2.3 Factores de reducción de la resistencia .................................................................... 29-5 21.2.4, 21.2.5 Materiales....................................................................................................... 29-6 21.2.6 Empalmes mecánicos................................................................................................ 29-7 21.2.7 Empalmes soldados................................................................................................... 29-7 21.2.8 Anclaje en el hormigón .............................................................................................. 29-7 21.3 ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN EN PÓRTICOS DE MOMENTO ................. SISMORRESISTENTES.................................................................................................. 29-7 21.3.1 Campo de validez ..................................................................................................... 29-7 21.3.2 Armadura de flexión................................................................................................... 29-10

xiii

21.3.3 Armadura transversal................................................................................................. 29-11 21.3.4 Resistencia al corte.................................................................................................... 29-11 21.4 ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN Y CARGA AXIAL EN PÓRTICOS DE MOMENTO SISMORRESISTENTES .............................................. 29-13 21.4.1 Campo de validez ..................................................................................................... 29-13 21.4.2 Mínima resistencia a flexión de las columnas............................................................ 29-13 21.4.3 Armadura longitudinal ................................................................................................ 29-17 21.4.4 Armadura transversal................................................................................................. 29-18 21.4.5 Resistencia al corte.................................................................................................... 29-20 21.5 NUDOS DE LOS PÓRTICOS DE MOMENTO SISMORRESISTENTES........................ 29-21 21.5.2 Armadura transversal................................................................................................. 29-21 21.5.3 Resistencia al corte.................................................................................................... 29-23 21.5.4 Longitud de anclaje de las barras traccionadas......................................................... 29-25 21.6 PÓRTICOS DE MOMENTO SISMORRESISTENTES DE HORMIGÓN PREFABRICADO ....................................................................................... 29-25 21.6.1 Pórticos de momento sismorresistentes con conexiones dúctiles............................. 29-26 21.6.2 Pórticos de momento sismorresistentes con conexiones resistentes ....................... 29-26 21.6.3 Pórticos de momento sismorresistentes que no satisfacen 21.6.1 ni 21.6.2............. 29-29 21.7 TABIQUES SISMORRESISTENTES Y VIGAS DE ACOPLAMIENTO DE HORMIGÓN ARMADO .............................................................................................. 29-31 21.7.2 Armadura ................................................................................................................... 29-31 21.7.3 Esfuerzos de diseño................................................................................................... 29-34 21.7.4 Resistencia al corte.................................................................................................... 29-34 21.7.5 Tabiques estructurales solicitados a flexión y cargas axiales ................................... 29-34 21.7.6 Elementos de borde de los tabiques sismorresistentes ............................................ 29-35 21.7.7 Vigas de acoplamiento............................................................................................... 29-38 21.8 TABIQUES SISMORRESISTENTES DE HORMIGÓN PREFABRICADO...................... 29-38 21.9 DIAFRAGMAS ESTRUCTURALES................................................................................. 29-39 21.9.5 Armadura.................................................................................................................... 29-39 21.9.7 Resistencia al corte.................................................................................................... 29-40 21.9.8 Elementos de borde de los diafragmas estructurales................................................ 29-40 21.10 FUNDACIONES .............................................................................................................. 29-40 21.10.2 Zapatas, carpetas de fundación y cabezales de pilotes .......................................... 29-41 21.10.3 Vigas y losas a nivel del plano de fundación ........................................................... 29-41 21.10.4 Pilotes, pozos romanos y cilindros........................................................................... 29-42 21.11 ELEMENTOS DE PÓRTICOS NO DIMENSIONADOS PARA RESISTIR LOS ESFUERZOS INDUCIDOS POR LOS MOVIMIENTOS SÍSMICOS ....................... 29-42 21.12 REQUISITOS PARA LOS PÓRTICOS DE MOMENTO INTERMEDIOS........................ 29-43 21.13 TABIQUES DE HORMIGÓN PRETENSADO INTERMEDIOS........................................ 29-44 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 29-46 Ejemplo 29.1 - Diseño de una estructura de 12 pisos compuesta por pórticos y tabiques ..... hormigonados en obra y sus componentes...................................................... 29-47 Ejemplo 29.2 - Dimensionamiento y detalles de armado de los elementos de la estructura del Ejemplo 29.1 solicitados a flexión..................................... 29-50 Ejemplo 29.3 - Dimensionamiento y detalles de armado de las columnas de la estructura del Ejemplo 29.1 ..................................................................... 29-59 Ejemplo 29.4 - Dimensionamiento y detalles de armado de un nudo viga-columna exterior de la estructura del Ejemplo 29.1 ................................. 29-67 Ejemplo 29.5 - Dimensionamiento y detalles de armado de un nudo viga-columna interior de la estructura del Ejemplo 29.1 ................................. 29-70 Ejemplo 29.6 - Dimensionamiento y detalles de un tabique estructural de la estructura del Ejemplo 29.1 ..................................................................... 29-74 Ejemplo 29.7 - Diseño de un edificio de elementos prefabricados de 12 pisos con conexiones resistentes................................................................ 29-81

30

Hormigón estructural simple ................................................................... 30-1 xiv

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 30-1 ANTECEDENTES ..................................................................................................................... 30-1 22.1, 22.2 CAMPO DE VALIDEZ Y LIMITACIONES ................................................................. 30-2 22.3 JUNTAS .......................................................................................................................... 30-2 22.4 MÉTODO DE DISEÑO .................................................................................................... 30-2 22.5 DISEÑO POR RESISTENCIA ......................................................................................... 30-3 22.6 TABIQUES ....................................................................................................................... 30-5 22.6.5 Método de diseño empírico........................................................................................ 30-5 22.6.3 Combinación de flexión y carga axial ........................................................................ 30-5 Comparación de los dos métodos ........................................................................................ 30-12 22.7 ZAPATAS......................................................................................................................... 30-13 22.8 PEDESTALES.................................................................................................................. 30-17 22.10 ELEMENTOS DE HORMIGÓN SIMPLE EN LAS ESTRUCTURAS SISMORRESISTENTES.................................................................................................. 30-18 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 30-19 APÉNDICE 30A ........................................................................................................................ 30-20 Ejemplo 30.1 - Diseño de una zapata y un pedestal de hormigón simple................................. 30-29 Ejemplo 30.2 - Diseño de un tabique exterior de un subsuelo de hormigón simple.................. 30-33

31

Método de diseño alternativo (Diseño por Tensiones Admisibles) ............................................................... 31-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 31-1 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 31-1 COMPARACIÓN DEL DISEÑO POR TENSIONES DE TRABAJO CON EL DISEÑO POR RESISTENCIA ..................................................................................... 31-2 CAMPO DE VALIDEZ (A.1 DEL CÓDIGO '99).......................................................................... 31-4 REQUISITOS GENERALES (A.2 DEL CÓDIGO '99)................................................................ 31-5 TENSIONES ADMISIBLES BAJO CARGAS DE SERVICIO (A.3 DEL CÓDIGO '99) .............. 31-5 FLEXIÓN (A.5 DEL CÓDIGO '99).............................................................................................. 31-5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA FLEXIÓN..................................................................... 31-5 A.7 CORTE Y TORSIÓN ........................................................................................................... 31-6 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 31-7 Ejemplo 31.1 - Diseño de una viga rectangular que solamente tiene armadura de tracción........................................................................................ 31-8

32

Requisitos alternativos para el diseño de elementos de hormigón armado y pretensado solicitados a flexión y a compresión .................. 32-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 32-1 B.1 CAMPO DE VALIDEZ ..................................................................................................... 32-1 B.8.4 REDISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS NEGATIVOS EN LOS ELEMENTOS CONTINUOS NO PRETENSADOS SOLICITADOS A FLEXIÓN ................. 32-2 B.10.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES - ELEMENTOS NO PRETENSADOS..... 32-4 B.18.1 HORMIGÓN PRETENSADO - CAMPO DE VALIDEZ ................................................... 32-5 B.18.8 LÍMITES PARA LA ARMADURA EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS SOLICITADOS A FLEXIÓN...................................................................... 32-5 B.18.10.4 REDISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS NEGATIVOS EN LOS ELEMENTOS CONTINUOS PRETENSADOS SOLICITADOS A FLEXIÓN........................ 32-6

33

Factores de carga y factores de reducción de la resistencia alternativos ................................................................................................ 33-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 33-1 C.1 REQUISITOS GENERALES ........................................................................................... 33-1 C.2 RESISTENCIA REQUERIDA........................................................................................... 33-1 C.3 RESISTENCIA DE DISEÑO ............................................................................................ 33-3

xv

34

Anclaje en Hormigón ................................................................................. 34-1 ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 ............................................................................. 34-1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 34-1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS MÉTODOS DE DISEÑO ........................................ 34-2 CONSIDERACIONES GENERALES ........................................................................................ 34-2 DISCUSIÓN DE LOS REQUISITOS DE DISEÑO ..................................................................... 34-3 D.0 SIMBOLOGÍA Y D.1 DEFINICIONES.............................................................................. 34-3 D.2 CAMPO DE VALIDEZ ..................................................................................................... 34-5 D.3 REQUISITOS GENERALES ............................................................................................ 34-6 D.4 REQUISITOS GENERALES PARA LA RESISTENCIA DE LOS ANCLAJES ................ 34-6 D.5 REQUISITOS DE DISEÑO PARA CARGAS DE TRACCIÓN ......................................... 34-7 D.5.1 Resistencia a la tracción del acero de los anclajes .................................................... 34-8 D.5.2 Resistencia al desprendimiento del hormigón de los anclajes traccionados ............. 34-9 D.5.3 Resistencia al arrancamiento de los anclajes por tracción......................................... 34-10 D.5.4 Descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de los anclajes traccionados....................................................................................... 34-11 D.6 REQUISITOS DE DISEÑO PARA CARGAS DE CORTE ............................................... 34-11 D.6.1 Resistencia al corte del acero de los anclajes............................................................ 34-11 D.6.2 Resistencia al desprendimiento del hormigón de los anclajes por corte.................... 34-12 D.6.3 Resistencia al arrancamiento del hormigón de los anclajes por corte ....................... 34-13 D.7 INTERACCIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y CORTE ................................ 34-13 D.8 DISTANCIAS A LOS BORDES, SEPARACIONES Y ESPESORES REQUERIDOS PARA IMPEDIR LA FALLA POR HENDIMIENTO ................................. 34-13 D.9 INSTALACIÓN DE LOS ANCLAJES ............................................................................... 34-14 TABLAS DE DISEÑO PARA ANCLAJES INDIVIDUALES HORMIGONADOS IN SITU........... 34-14 NOTAS PARA LAS TABLAS 34-5A, B y C ................................................................................ 34-15 NOTAS PARA LAS TABLAS 34-6A, B y C ................................................................................ 34-16 REFERENCIAS ......................................................................................................................... 34-29 Ejemplo 34.1 - Bulón individual con cabeza, alejado de los bordes, solicitado a tracción....... 34-30 Ejemplo 34.2 - Grupo de pernos con cabeza próximos a un borde solicitados a tracción....... 34-35 Ejemplo 34.3 - Grupo de pernos con cabeza próximos a un borde solicitados a tracción excéntrica ........................................................................................................ 34-40 Ejemplo 34.4 - Bulón individual con cabeza próximo a un borde............................................. 34-44 Ejemplo 34.5 - Bulón individual con cabeza próximo a un borde solicitado a tracción ............ 34-50 Ejemplo 34.6 - Grupo de bulones en L próximos a dos bordes solicitados a tracción y corte . 34-56 Ejemplo 34.7 - Grupo de bulones con cabeza próximos a un borde, solicitados a momento y corte, ubicados en una región de peligrosidad sísmica moderada o elevada ......................................................................................... 34-64 Ejemplo 34.8 - Anclaje individual instalado en hormigón endurecido, alejado de los bordes, solicitado a tracción y corte ................................................................. 34-74

xvi

1 Requisitos Generales

En la edición 1995 del Código ACI 318 se introdujeron numerosos cambios de nomenclatura, empezando por el título del documento en el cual el término "Hormigón Armado" se reemplazó por "Hormigón Estructural," en reconocimiento del nuevo Capítulo 22 – Hormigón Estructural Simple. Antes del Código 1995, los requisitos de diseño y construcción para los elementos de hormigón simple estaban en un documento independiente, complementario de ACI 318, denominado ACI 318.1. Ahora los requisitos del Código ACI 318.1 han sido incorporados al Capítulo 22 de ACI 318.

1.1*

CAMPO DE VALIDEZ

Como su nombre lo indica, la intención del Código de Construcción para el Hormigón Estructural (ACI 318-02) es que sea adoptado por referencia en los códigos generales de construcción, a fin de reglamentar el diseño y la construcción de las estructuras de hormigón. El artículo 1.1.1 enfatiza la intención y el formato del documento ACI 318, y su carácter de componente de un código de construcción general con vigencia legal. El Código ACI 318 no tiene ningún valor legal a menos que sea adoptado por una jurisdicción estatal o local con autoridad para reglamentar el diseño y la construcción de las estructuras de hormigón. También se reconoce que cuando el Código ACI pasa a formar parte de un código de construcción adoptado legalmente, dicho código general de construcción puede modificar algunos de los requisitos de ACI 318 para reflejar las condiciones y requerimientos locales. En las regiones para las cuales no existe ningún código de construcción general tampoco existe ninguna ley que transforme al ACI 318 en "el código." Para estos casos el código ACI define estándares mínimos aceptables para las prácticas de diseño y construcción, aunque las mismas no tengan valor legal. En el artículo 1.1.1 de ACI 318-02 se ha agregado un nuevo requisito que especifica que la mínima resistencia a la compresión especificada del hormigón debe ser mayor o igual que 2500 psi. Este requisito también se ha incluido en 5.1.1. Aunque el comentario no explica porqué se incluyó este requisito, es probable que haya sido porque desde hace varias ediciones el NBC (BOCA National Building Code) y el SBC (Standard Building Code) contienen requisitos idénticos. Además, el IBC 2000 (International Building Code 2000) también especifica esta limitación. También en el artículo 1.1.1 se agregó una frase que dice que "No habrá una resistencia a la compresión especificada (del hormigón) máxima aplicable, a menos que esté restringida por algún requisito específico del código." Esta frase se incluyó porque en muchas jurisdicciones, especialmente en el sur de California, se estaban imponiendo límites de hecho, no formales, para la resistencia del hormigón utilizado en las estructuras ubicadas en las regiones de peligrosidad sísmica elevada (Zonas Sísmicas 3 ó 4, según el UBC). El Comité 318 creyó que era aconsejable explicitar esta frase para hacerles saber a los encargados de reglamentar el diseño y la construcción que, cuando se introduce un nuevo código, siempre se consideran las limitaciones referidas a la resistencia del hormigón y que, a menos que la resistencia del hormigón esté específicamente *

Los números de las secciones y artículos corresponden a los de ACI 318-02.

limitada por otros requisitos de ACI 318, no es necesario establecer un límite superior máximo generalizado. El Comité revisa y ajusta la norma de forma permanente, considerando debidamente las propiedades del hormigón de alta resistencia. A fin de reglamentar el diseño y la construcción, la mayoría de las jurisdicciones norteamericanas han adoptado uno de los tres códigos de construcción modelo siguientes. El NBC (BOCA National Building Code), publicado por la Building Officials Code Administrators International1.1, es utilizado fundamentalmente en los estados del noreste; el SBC (Standard Building Code), publicado por la Southern Building Code Congress International1.2, es utilizado fundamentalmente en los estados del sudeste, y el UBC (Uniform Building Code), publicado por la International Conference of Building Officials1.3, es utilizado principalmente en las regiones centro y oeste de los Estados Unidos. Estos tres códigos modelo utilizan la norma ACI 318 para reglamentar el diseño y la construcción de los elementos estructurales de hormigón que forman parte de edificios u otras estructuras. El NBC y el SBC adoptan ACI 318 fundamentalmente por referencia, incorporando sólo los requisitos de construcción (Capítulos 4 a 7) de ACI 318 en forma directa dentro del Capítulo 19 de sus documentos. El UBC contiene la totalidad del ACI 318 en su Capítulo 19. Es fundamental que los diseñadores de estructuras de hormigón que trabajan en las jurisdicciones reglamentadas por el UBC consulten el Capítulo 19, ya que en este capítulo se modifican algunos requisitos de ACI 318 y se añaden algunos requisitos que reflejan, en la mayoría de los casos, requisitos más severos para el diseño sismorresistente. Para diferenciar claramente los requisitos del UBC que difieren de ACI 318, los párrafos del Capítulo 19 del UBC que difieren de ACI 318 están imprseos en cursiva. Muchos estados y jurisdicciones que formalmente han adoptado una edición anterior de alguno de los tres códigos modelo han adoptado o anunciado su intención de adoptar el IBC (International Building Code), desasrrollado por el International Code Council1.4. La edición 2000 (primera edición) del IBC adopta ACI 318-99 por referencia, aunque algunas partes de los Capítulos 3 – 7 de ACI 318 se han incluido en las Secciones 1903 – 1907 del IBC. Algunos de los requisitos de ACI 318 han sido modificados; estos requisitos modificados se distinguen porque el texto está impreso en cursiva. La Sección 1908 del IBC modifica algunos requisitos de otros capítulos de ACI 318. La mayoría de estas modificaciones surgieron de la necesidad de coordinar los requisitos de diseño sismorresistente de ACI 318 (Capítulo 21) con los requisitos de diseño sismorresistente del IBC, o bien del deseo de agregar sistemas estructurales de hormigón prefabricado para su uso en estructuras ubicadas en regiones de elevada peligrosidad sísmica o para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado (Categorías de diseño sísmico D, E o F del IBC), las cuales no son cubiertas por ACI 318. En el momento en que este trabajo está siendo enviado a la imprenta, se está completando el trabajo sobre un quinto código de construcción modelo. Este código está siendo desarrollado por la National Fire Protection Association (NFPA), y la publicación de su primera edición está programada para el verano del 2002. Aunque aún no ha finalizado su proceso de desarrollo, se anticipa que el código de la NFPA adoptará el ACI 318-02 por referencia, a fin de reglamentar el diseño y la construcción de estructuras de hormigón. Al igual que en el caso del IBC, este código incluirá algunas modificaciones a los requisitos de ACI 318 para poder coordinar los requisitos de diseño sismorresistente de ACI 318 (Capítulo 21) con los requisitos de diseño sismorresistente de ASCE 7, documento que el código de la NFPA adoptará por referencia para establecer sus requisitos sobre cargas estructurales. Cualquiera sea el código modelo que determine el diseño, el ingeniero siempre debe verificar si hay alguna modificación o adición respecto de los requisitos para hormigón estructural del Código ACI 318. Diseño sismorresistente – Los requisitos de diseño sismorresistente contenidos en los cuatro códigos modelo estadounidenses se basan en la edición 1991 del documento NEHRP (National Earthquake Hazards Reduction Program) Recommended Provisions for the Development of Seismic Regulations for New Buildings.1.5 El NBC y el SBC han incorporado los requisitos recomendados por NEHRP en sus códigos, con relativamente pocas modificaciones. El UBC, publicado por la International Conference of Building Officials – organismo que tradicionalmente sigue los pasos de la Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SEAOC), basa sus requisitos sismorresistentes en el documento Recommended Lateral Force Requirements and Commentary1.6 (el "Libro Azul" de la SEAOC), publicado por el Comité de Sismología de la SEAOC). La última edición de las recomendaciones de la SEAOC ha adoptado muchas de las características de los requisitos del NEHRP. Los diseñadores deben ser concientes de que existen importantes diferencias entre las metodologías de diseño del UBC y las del NBC y el SBC en cuanto al diseño sismorresistente. Aún con las diferentes metodologías de diseño, es importante destacar que tanto las estructuras diseñadas de acuerdo con los criterios de diseño sismorresistente del NBC o del SBC como aquellas diseñadas de acuerdo con el UBC tendrán un nivel de seguridad similar, y que los dos conjuntos de requisitos (NBC y SBC, o bien UBC) son esencialmente equivalentes.1.7 1-2

Los requisitos para el diseño sismorresistente de la edición 2000 del IBC se basan en la edición 1997 del documento NEHRP Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and Other Structures.1.8 Las principales diferencias entre los requisitos sismorresistentes del IBC y aquellos del NBC y el SBC, los cuales se basan en la edición 1991 del mismo documento NEHRP,1.5 incluyen: 1.

Los mapas de movimiento sísmico del suelo de la edición 1991 fueron reemplazados por mapas de espectros de aceleración de respuesta para períodos de 0,2 segundos y 1,0 segundo.

2.

Los mapas de 1991 contenían parámetros del movimiento del suelo determinados en base a una probabilidad del 10% de ser superados en un período de 50 años (es decir, para un periodo de recurrencia de aproximadamente 475 años). Los mapas de 1997 se basan en un sismo máximo considerado (MCE, Maximum Considered Earthquake), y para la mayoría de las regiones el movimiento correspondiente al máximo sismo considerado se define con una probabilidad de excedencia de 2% en 50 años (período de recurrencia de 2500 años).

3.

Se revisaron los requisitos para los detalles de armado, que en la edición 1991 eran definidos en función del destino y las funciones de la estructura y del movimiento estimado de la roca; estos requisitos ahora incluyen los efectos de amplificación que producen los suelos blandos. Por este motivo, algunas estructuras construidas sobre suelos blandos que tradicionalmente eran consideradas de peligrosidad sísmica baja o moderada, ahora se deben armar para peligrosidad sísmica moderada o elevada, respectivamente.

4.

En la edición 1991, al calcular el corte en la base de diseño para una estructura de período corto se ignoraban los efectos de amplificación que producen los suelos blandos. Ahora estos efectos se toman en cuenta, lo cual aumenta significativamente el corte en la base en el caso de las estructuras de período corto construidas en suelos blandos en áreas de baja peligrosidad sísmica.

5.

Se introdujo un factor de confiabilidad / redundancia para las estructuras ubicadas en regiones de elevada peligrosidad sísmica. Esto se hizo para obligar a los diseñadores a hacer que el sistema resistente a los esfuerzos laterales de la estructura tenga un mayor grado de redundancia. El no hacerlo es penalizado por la obligación de utilizar un corte en la base más elevado.

6.

Ahora todas las estructuras se deben diseñar para un corte mínimo en la base igual al 1% de la carga gravitatoria permanente total, y las demás cargas que se deben considerar parte de W a los fines de calcular el corte en la base. Tradicionalmente los códigos de construcción no requerían un diseño sismorresistente para las estructuras ubicadas en regiones en las cuales la peligrosidad sísmica es despreciable o muy baja (por ejemplo en la Zona Sísmica 0, SPCA). Este nuevo requisito significa que en las regiones en las cuales tradicionalmente el diseño sismorresistente no era aplicable (por ejemplo, sur de Florida y sur de Texas) los diseñadores deberán verificar que este requisito no controle el diseño del sistema resistente a los esfuerzos laterales. Es posible que el diseño del sistema resistente a los esfuerzos laterales de las estructuras de hormigón de grandes dimensiones, tales como los edificios para estacionamiento, o de las estructuras largas y angostas, tales como los hoteles y moteles, sea controlado por las solicitaciones sísmicas antes que por las solicitaciones provocadas por el viento.

La Referencia 1.9 presenta una comparación exhaustiva de las principales diferencias entre los requisitos de diseño sismorresistente del IBC 2000 y aquellos de los códigos NBC, SBC y UBC. Diferencias entre las metodologías de diseño – El nivel de fuerza sísmica de diseño del UBC depende de la zona sísmica, del sistema estructural y del destino y funciones (ocupación) de la estructura. Estas consideraciones de diseño se utilizan para determinar un corte en la base de diseño. El corte en la base de diseño aumenta a medida que aumenta el nivel del movimiento sísmico anticipado del terreno. De manera similar, el corte en la base de diseño también aumenta a medida que aumenta el grado de funcionalidad requerido para una estructura durante una situación posterior a un desastre. Al igual que en el caso del UBC, los requisitos del IBC, el NBC y el SBC aumentan el corte en la base de diseño a medida que aumenta el nivel del movimiento sísmico del terreno. En el NBC y el SBC esto no se hace aplicando un factor de zona sísmica Z, sino a través de un coeficiente Av que representa la aceleración relacionada con la velocidad máxima o un coeficiente Aa que representa la aceleración máxima efectiva (las definiciones de estos términos se encuentran en el Comentario de los Requisitos NEHRP1.5). Estos dos valores se presentan en mapas independientes que reemplazan al mapa 1-3

de zonificación sísmica del UBC. El NBC y el SBC utilizan una "categoría de comportamiento sismorresistente" (SPC, Seismic Performance Category) que toma en cuenta el nivel de sismicidad y el destino y funciones de la estructura. En vez de los mapas de Aa y Av, el IBC tiene mapas de espectros de aceleración de respuesta para períodos de 0,2 segundos y 1,0 segundo. El IBC reemplaza la "categoría de comportamiento sismorresistente" del NBC y el SBC por una "categoría de diseño sismorresistente" (SDC, Seismic Design Category). Este cambio representa más que un cambio de terminología ya que, además de considerar el destino y funciones de la estructura y el movimiento estimado de la roca, también considera la modificación del movimiento del terreno debida a los efectos de amplificación de los suelos blandos. Muchos requisitos se especifican en base a la categoría de comportamiento o diseño sismorresistente de una estructura, como por ejemplo los límites para el desplazamiento lateral y los detalles de armado. Al igual que el UBC, los códigos IBC, NBC y SBC consideran en el diseño los efectos de la geología y las características del suelo del sitio de emplazamiento, junto con el tipo y la configuración del sistema estructural. Otra diferencia importante entre los requisitos de la edición 1994 del UBC y los de los códigos IBC, NBC y SBC radica en la magnitud del corte en la base de diseño. Se debe destacar que las fuerzas de diseño sísmicas del IBC, el NBC y el SBC no se pueden comparar directamente con aquellas de la edición 1994 del UBC, ya que un conjunto de valores se basa en el diseño por resistencia y el otro se basa en el diseño por tensiones de trabajo o tensiones admisibles. Las fuerzas sísmicas de diseño del IBC, el NBC y el SBC corresponden al nivel de resistencia, mientras que las fuerzas sísmicas indicadas en los UBC anteriores a 1997 corresponden a niveles de carga de servicio. La diferencia se evidencia en la magnitud del coeficiente de modificación de la respuesta, habitualmente denominado factor "R". En los requisitos del IBC, el NBC y el SBC el término es R; en los UBC anteriores a 1997 es Rw, término en el cual el subíndice "w" designa fuerzas de diseño correspondientes a cargas "de trabajo" o de nivel de servicio. La diferencia también se evidencia en los factores de carga que se deben aplicar a las solicitaciones sísmicas (E). En el IBC, el NBC y SBC el factor de carga para las solicitaciones sísmicas es igual a 1,0. En los UBC anteriores a 1997, para el diseño de los elementos de hormigón armado, a las solicitaciones sísmicas se les aplica un factor de carga igual a 1,4. Por lo tanto, para el hormigón armado, para poder comparar el corte en la base calculado de acuerdo con un UBC anterior a 1997 con el corte en la base calculado de acuerdo con el IBC 2000, o de acuerdo con el NBC 1993, 1996 ó 1999, o de acuerdo con el SBC 1999, el diseñador deberá multiplicar el corte en la base según el UBC por 1,4. La fuerza de diseño sísmico del UBC 1997 corresponde al nivel de resistencia y no al nivel de servicio. Esta modificación se logró reemplazando los anteriores factores de modificación de la respuesta, Rw, por factores R similares a los del NBC y el SBC. Como las combinaciones de cargas de la Sección 9.2 de ACI 318-95, reproducidas en la Sección 1909.2 del UBC 1997, se deben emplear junto con cargas correspondientes a nivel de servicio, el UBC tuvo que adoptar combinaciones de cargas basadas en la resistencia que se deben utilizar con esfuerzos sísmicos de nivel de resistencia. Por lo tanto, el UBC 1997 exige que, cuando un elemento de hormigón se diseña para esfuerzos sísmicos o sus solicitaciones, se utilicen las combinaciones de cargas basadas en la resistencia de la Sección 1612.2.1 del UBC. Estas combinaciones de cargas se basan en las combinaciones de cargas de ASCE 7-95.1.10 El UBC 1997 también requiere que, cuando un elemento de hormigón se diseña para esfuerzos sísmicos o sus solicitaciones usando las combinaciones de cargas del UBC, se multiplique por un factor igual a 1,1 para mayorar las resistencias requeridas. En su momento se pensó que este factor era necesario por la presumible incompatibilidad entre los factores de reducción de la resistencia de la Sección 9.3 de ACI 318 y las combinaciones de cargas de diseño de ASCI 7-95, las cuales fueron incorporadas al UBC 1997. Una vez que se realizaron algunos diseños sismorresistentes usando los requisitos del UBC 1997 se descubrió que el uso del factor 1,1 producía diseños extremadamente conservadores en comparación con el UBC 1994. En base a un estudio realizado para determinar si el uso de este factor era adecuado, el Comité de Sismología del SEAOC ha recomendado oficialmente no utilizarlo. Para mayor información sobre este tema consultar la Referencia 1.11. La distribución en altura del corte en la base de un edificio también difiere entre el UBC y los códigos IBC, NBC y SBC, y no ha variado en el UBC entre 1994 y 1997. Para los edificios más bajos (período fundamental de vibración menor o igual que 0,7 segundos), el UBC indica que el corte en la base del edificio se debe distribuir en la totalidad de la altura, a nivel de cada entrepiso, de forma proporcional a los pesos y alturas de los niveles ubicados por encima de la base de la estructura (considerando el primer modo de vibración del edificio). En el caso de los edificios más altos (período fundamental de vibración mayor que 0,7 segundos), el corte en la base del edificio se divide en dos partes. La primera parte se aplica como una fuerza concentrada en la parte superior del edificio (para considerar los modos de vibración más elevados), siendo su magnitud proporcional al período fundamental de vibración del edificio, pero no es necesario que esta fuerza sea mayor que el 25% del corte en la base. El resto del corte en la base se distribuye de la misma manera especificada para los edificios más bajos. En el IBC, el NBC y el SBC, en cada nivel se aplica una fracción del corte en la base, fracción que es proporcional al producto entre el peso y la altura (respecto de la base) del nivel considerado elevado a la potencia k, siendo k un coeficiente 1-4

que depende del período del edificio. El IBC especifica k = 1 (distribución lineal de V) para T < 0,5 sec. Especifica k = 2 (distribución parabólica de V) para T > 2,5 sec. Cuando 0,5 sec. < T < 2,5 sec. hay dos opciones: interpolar entre una distribución lineal y una parabólica, hallando un valor de k comprendido entre 1 y 2 dependiendo del período, o bien utilizar una distribución parabólica (k = 2) que siempre será la opción más conservadora. Por último, los detalles de armado o requisitos de ductilidad y tenacidad, los cuales se aplican a las estructuras ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica elevada o a las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado, son similares en los tres códigos modelo. Estos requisitos son fundamentales para lograr estructuras que posean la capacidad de deformarse más allá del límite elástico y que puedan soportar numerosos ciclos de inversiones de cargas. Afortunadamente, para las estructuras de hormigón armado los cuatro códigos modelo adoptan la norma ACI 318, incluyendo el Capítulo 21 – Requisitos Especiales para el Diseño Sismorresistente. Sin embargo, los diseñadores deben consultar el código modelo vigente en su jurisdicción para determinar si contienen alguna modificación respecto de los requisitos de ACI 318. Las secciones o artículos del Capítulo 19 del UBC que difieren considerablemente del Código ACI están impresos en cursiva. El NBC y el SBC también incluyen algunas modificaciones, particularmente en relación con los requisitos para las estructuras de hormigón pretensado asignadas a las Categorías D o E. De manera similar, el IBC también incluye algunas modificaciones respecto de ACI 318 en su Sección 1908, la mayoría de las cuales se introdujeron para reconocer sistemas de hormigón prefabricado no cubiertos por el Capítulo 21 de ACI 318 y que se pueden utilizar en estructuras de Categorías D, E o F. Sistema métrico – Una ley federal de 1988 establece al sistema métrico como el sistema de preferencia para los Estados Unidos. En julio de 1990, por orden del poder ejecutivo, se exigió que todas las agencias federales desarrollaran cronogramas específicos para su conversión al sistema métrico. Algunas agencias federales relacionadas con la construcción acordaron instituir el uso del sistema métrico antes de enero de 1994. Las ediciones actuales de los cuatro códigos modelo utilizan tanto el sistema pulgada-pie como el Sistema Internacional. Los cuatro códigos presentan los valores métricos equivalentes (sistema de conversión llamado "soft metric"*), generalmente entre paréntesis a continuación de las unidades inglesas. Vale la pena mencionar que cuando se propuso la conversión al sistema métrico por primera vez, allá por los años 70, algunas de las organizaciones de normalización comenzaron a preparar ediciones de sus documentos más importantes pensando en nuevos productos adaptados al sistema métrico. El American Concrete Institute publicó una edición métrica de ACI 318, el Código ACI 318M-83. Actualmente el Código ACI 318 se puede adquirir como ACI 318-02 (productos correspondientes a unidades norteamericanas) o como ACI 318M-02 (productos correspondientes a unidades del SI). Durante este mismo período, la ASTM publicó versiones en sistema métrico de muchas de sus normas. Por ejemplo, se desarrollaron las Especificaciones A 615M y A 706M para las barras de acero utilizadas como armadura del hormigón, siendo estos documentos los equivalentes métricos de las normas A 615 y A 706. Las ediciones más antiguas de estas normas métricas contenían valores métricos redondeados (conversión "hard metric"). Debido al elevado costo que implica mantener dos inventarios, uno de barras correspondiente al sistema de unidades pulgada-pie y otro de barras correspondientes al sistema métrico, los fabricantes de barras convencieron a los encargados de las normas de que era necesario deshacerse de las normas "hard mteric" y desarrollar normas métricas en base a la conversión de las dimensiones de las barras de las normas ASTM ("soft metric"). Las ediciones más recientes de las normas métricas de ASTM para barras de armadura reflejan esta filosofía. Debido a que todos los proyectos ejecutados con fondos federales se deben diseñar y construir usando el sistema métrico, en 1997 los fabricantes de barras decidieron que en vez de producir las mismas barras con dos sistemas de nomenclatura diferente para sus dimensiones y resistencia (pulgada-libra y métrico), comenzarían a producir barras con un único sistema de identificación, y que este sistema sería el sistema prescripto para las barras convertidas al sistema métrico. Es por este motivo que en la actualidad se utilizan barras de armadura con sus dimensiones y resistencia expresadas en sistema métrico en aplicaciones en las cuales fueron especificadas en unidades pulgada-libra. Es importante recordar que en este caso las barras son idénticas a las barras especificadas en el sistema pulgada-libra, excepto por la identificación de su tamaño y resistencia.

*

El sistema de conversión "soft metric" consiste simplemente en asignarle a los productos las dimensiones métricas equivalentes, sin realizar ningún cambio físico en las dimensiones de los productos. El sistema de conversión "hard metric" implica redimensionar los productos para fabricarlos en nuevos tamaños, métricos y racionales.

1-5

La octava edición de las "Notas" se preparó en las unidades tradicionalmente utilizadas en los Estados Unidos. Debido en gran parte a la gran extensión de este documento, a diferencia de la mayoría de las publicaciones de la PCA, no se ha incluido ninguna conversión métrica.

1.1.6

Losas a nivel del plano de fundación

Las ediciones del Código anteriores a 1995 no explicitaban si las losas a nivel del plano de fundación, construidas directamente sobre el terreno, estaban cubiertas por el Código o no. En la edición 1995 de ACI 318 se las excluyó explícitamente "… a menos que la losa transmita cargas verticales de otras partes de la estructura al suelo." La edición de 1999 amplió el campo de validez, e incluyó aquellas que "… transmiten cargas verticales o esfuerzos horizontales de otras partes de la estructura al suelo." Las carpetas de fundación y otras losas construidas directamente sobre el terreno que ayudan a soportar las cargas verticales y/o transferir los esfuerzos horizontales de la estructura soportada al suelo se deben diseñar conforme a los requisitos aplicables del Código, específicamente los del Capítulo 15 – Zapatas y cabezales de pilotes. La metodología de diseño para una típica losa a nivel del plano de fundación difiere de la utilizada para otros elementos de hormigón, y se describe detalladamente en las Referencias 1.12 y 1.13. La Referencia 1.12 describe el diseño y la construcción de los pisos de hormigón construidos directamente sobre el terreno para edificios industriales, comerciales, y depósitos livianos y para construcciones industriales pesadas. La Referencia 1.13 contiene lineamientos para determinar el espesor de losa requerido para los pisos de hormigón construidos sobre el terreno utilizados en fábricas y depósitos pesados. En 1999, además de las modificaciones incluidas en el artículo 1.1.6, en el Capítulo 21 – Requisitos Especiales para el Diseño Sismorresistente se introdujo una nueva Sección 21.8 – Fundaciones. Como en la edición 2002 del Capítulo 21 del Código se introdujeron nuevas secciones, ahora estos requisitos se encuentran en la Sección 21.10. El artículo 21.10.3.4 indica que "las losas a nivel del plano de fundación que resisten esfuerzos sísmicos provenientes de tabiques o columnas que forman parte del sistema resistente a los esfuerzos horizontales se deben diseñar como diafragmas estructurales de acuerdo con 21.9." Ahora que se encuentran en esta parte del Capítulo 21 estos requisitos se aplican solamente en las regiones de peligrosidad sísmica elevada o para las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado. En las regiones de peligrosidad sísmica baja o moderada, o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente bajo o intermedio, en virtud del nuevo requisito incluido en el artículo 1.1.6, a las losas a nivel del plano de fundación se aplican los requisitos de los Capítulos 18 o del Capítulo 22 (ver Tabla 1-3).

1.1.8

Requisitos especiales para la resistencia a las solicitaciones sísmicas

A partir de la edición 1989, los requisitos especiales para el diseño sismorresistente están ubicados en el cuerpo principal del Código para asegurar que cuando una jurisdicción adopte el Código ACI como parte de su código de construcción general adopte también estos requisitos especiales para el diseño sismorresistente. Gracias al creciente interés a nivel nacional por lograr mejores diseños y comportamientos sismorresistentes, esta edición del Código continúa enfatizando el diseño sismorresistente. El Capítulo 21 representa los últimos conocimientos disponibles en cuanto a los detalles de diseño y armado para lograr un comportamiento adecuado ante eventuales solicitaciones sísmicas. Si desea estudiar en profundidad el diseño de los edificios de hormigón armado sujetos a solicitaciones sísmicas, el diseñador puede consultar la Referencia 1.14. Este texto analiza el correcto diseño y armado de los edificios de hormigón armado sujetos a solicitaciones sísmicas de acuerdo con la edición 1994 del UBC. Incluye una comparación del diseño de los muros de cortante usando los procedimientos de diseño del UBC 1991 y los requisitos revisados del UBC 1994. Debido a que entre las ediciones de 1994 y 1997 del UBC se introdujeron importantes cambios como los descriptos en párrafos precedentes, se desarrolló una publicación nueva, la Referencia 1.15. Este texto discute las principales diferencias entre los requisitos del UBC 1994 y el UBC 1997. Presenta el diseño y los detalles de armado para tres tipos diferentes de sistemas estructurales de hormigón, para solicitaciones sísmicas representativas de las regiones de peligrosidad sísmica elevada (Zonas Sísmicas 3 y 4). Aunque todos los ejemplos de diseño corresponden a regiones de peligrosidad sísmica elevada, uno de los capítulos discute los detalles de armado para las estructuras ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica baja, moderada y elevada. También se ilustra el diseño de sistemas estructurales básicos resistentes a las cargas de viento. Al igual que en estas "Notas," este texto enfatiza "cómo aplicar" los diferentes requisitos del UBC más reciente. La Referencia 1.16, publicada por la PCA, es un documento que complementa el texto descripto en el párrafo anterior; sin embargo, éste se centra en el diseño de los edificios de hormigón de acuerdo con las ediciones 1996 y 1997 del NBC y el 1-6

SBC, respectivamente. Como se mencionó anteriormente, los requisitos de diseño sismorresistente de las ediciones más recientes del NBC y el SBC son prácticamente idénticos, y se basan en la edición 1991 de las Recomendaciones NEHRP.1.5 Con las dos excepciones especificadas a continuación, este texto también es aplicable a las ediciones 1993 y 1999 del NBC, y a las ediciones 1994 y 1999 del SBC. La única diferencia entre los requisitos de carga del NBC de 1993 y los requisitos del NBC de 1996 y 1999 es que las combinaciones de cargas a utilizar para el diseño sísmico de acuerdo con la edición 1993 son idénticas a las que se deben utilizar de acuerdo con las tres ediciones del SBC. Pero las ediciones 1996 y 1999 del NBC adoptan por referencia las combinaciones de cargas de diseño por resistencia de ASCE 7-95.1.9 La segunda excepción es que, como se indica a continuación, las diferentes ediciones de los códigos adoptan diferentes ediciones de ACI 18. Código Modelo NBC

SBC IBC IBC NFPA 5000 *

Edición 1993 1996 1999 1994 1997 1999 2000 2003* 2002*

Edición de ACI 318 adoptada por el Código Modelo 1989, Revisada en 1992 1995 1995 1989 1995 1995 1999 2002 2002

Estos documentos no estaban completos en el momento de la publicación. Sin embargo, en base a la última información disponible, se anticipa que estos códigos harán referencia a ACI 318-02.

Como el diseño sismorresistente en las regiones en las cuales tradicionalmente se utilizaban el NBC o el SBC es una práctica relativamente nueva, la Referencia 1.16 será una importante fuente donde el ingeniero encontrará la información y los antecedentes necesarios. Debido a que la enorme mayoría de los edificios construidos en este país son de baja altura, el texto hace hincapié en este tipo de construcciones. A los fines de esta publicación, un edificio de baja altura se define como aquél que tiene menos de 65 pies de altura o que tiene un período fundamental de vibración menor que 0,7 segundos. Aunque no fue específicamente desarrollado para este propósito, la Referencia 1.16 también servirá como una valiosa fuente de información para los ingenieros que realizan sus diseños conforme a los requisitos del IBC. Para ayudar a los diseñadores a comprender y utilizar mejor los requisitos especiales del Capítulo 21 del Código, la PCA ha desarrollado una publicación titulada Seismic Detailing of Concrete Buildings.1.17 Este texto contiene numerosas tablas y figuras que ilustran los requisitos para las construcciones ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica moderada o elevada – Categorías C, D, E y F del IBC. Aunque está basado en la edición 1999 del Código, a la cual hace referencia el IBC 2000, la mayoría de los requisitos también son aplicables a ACI 318-02. 1.1.8.1 Estructuras para las cuales el riesgo sísmico es bajo – Para las estructuras de hormigón ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica baja, o para aquellas para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente bajo (riesgo de daños bajo o inexistente), no hay requisitos de diseño ni detalles de armado especiales; por lo tanto se deben aplicar los requisitos generales del Código, excepto los del Capítulo 21. Se considera que las estructuras de hormigón dimensionadas en base a los requisitos generales del Código tienen un nivel de tenacidad adecuado para movimientos sísmicos de baja intensidad. El diseñador siempre debe tener en cuenta que los requisitos generales del Código incluyen algunos requisitos que específicamente pretenden mejorar la tenacidad, con el objetivo de aumentar la resistencia de las estructuras de hormigón solicitadas por cargas sísmicas u otras cargas catastróficas o extraordinarias. Por ejemplo, cuando una viga forma parte del sistema resistente a los esfuerzos laterales de una estructura, una parte de la armadura para momento positivo se debe anclar en los apoyos de manera tal que desarrolle su tensión de fluencia (ver 12.11.2). De manera similar, en ciertos tipos de nudos viga-columna se debe proveer armadura transversal (ver 11.11.2). Otros requisitos de diseño introducidos después de la publicación del Código de 1971, tales como los requisitos de armadura mínima de corte (ver 11.5.5) y los detalles para el anclaje y empalme de las armaduras (Capítulo 12), también aumentan la tenacidad y la capacidad de una estructura de hormigón para soportar las cargas reversibles provocadas por los movimientos sísmicos. A partir de la edición 1989 del Código se agregaron requisitos sobre la armadura especial requerida para lograr integridad estructural (ver 7.13), cuyo 1-7

objetivo es mejorar la integridad global de una estructura de hormigón en caso que se produzcan daños en un elemento estructural principal o que la estructura sea solicitada por cargas estraordinarias. 1.1.8.2 Estructuras para las cuales el riesgo sísmico es moderado o elevado – Para las estructuras de hormigón ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica moderada, o para aquellas para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio (riesgo de daños moderado), la Sección 21.12 incluye ciertos detalles de armado que se suman a los indicados en los Capítulos 1 a 18 y que son aplicables a los pórticos de momento de hormigón armado (sistemas aporticados) que deben resistir solicitaciones sísmicas. Para reflejar la terminología que se utiliza en los códigos modelo desde hace al menos diez años, los pórticos detallados de acuerdo con la Sección 21.12 ahora se denominan Pórticos de Momento Intermedios. Estos detalles de armado "intermedios" servirán para lograr un nivel de comportamiento inelástico adecuado si el pórtico es solicitado por un sismo de una magnitud tal que exija su comportamiento inelástico. No hay otros requisitos de diseño ni detalles de armado aparte de los indicados en los Capítulos 1 a 18 para otros componentes estructurales de las estructuras para las cuales el riesgo sísmico es moderado (incluyendo los tabiques estructurales o muros de cortante), ya sea que se consideren parte del sistema resistente a las solicitaciones sísmicas o no. Se considera que los tabiques estructurales dimensionados en base a los requisitos generales del Código tienen un nivel de tenacidad suficiente para los desplazamientos laterales que se anticipan en las regiones de sismicidad moderada. El tipo de sistema estructural resistente a las cargas sísmicas provisto en una estructura para la cual el riesgo sísmico es moderado determinará si es necesario incorporar algún tipo de detalle de armado especial. Si el sistema resistente a las cargas laterales está compuesto por pórticos de momento, se deben utilizar los requisitos de la Sección 21.12 correspondientes a Pórticos de Momento Intermedios y también los del artículo 21.2.2.3. Observar que aún cuando una combinación de cargas que incluye los efectos del viento (ver 9.2.1), y no una que incluye los efectos sísmicos, determina el diseño, igualmente se deben respetar los detalles de armado intermedios para asegurar que los pórticos resistentes al momento tengan un cierto nivel de tenacidad. Ya sea que los esfuerzos sísmicos especificados determinen el diseño o no, los pórticos constituyen la única defensa contra los efectos provocados por un movimiento sísmico. Para el caso de un sistema estructural en el cual se combinan pórticos y tabiques estructurales, la inclusión de los detalles intermedios dependerá de cómo las cargas sísmicas se "asignan" a los tabiques y pórticos. Si la totalidad de los esfuerzos sísmicos se asignan a los tabiques estructurales, para los pórticos no se requieren los detalles de armado indicados en 21.12. Si en el análisis se considera la interacción pórtico-tabique, es decir si parte de los esfuerzos sísmicos han de ser resistidos por los pórticos, entonces los detalles indicados en 21.12 son necesarios para rigidizar los pórticos del sistema dual. Tradicionalmente los códigos modelo han considerado que un sistema es dual cuando los pórticos de momento pueden resistir como mínimo el 25% de los esfuerzos laterales de diseño. Si los tabiques estructurales resisten la totalidad de los efectos de las cargas gravitatorias y laterales no es necesario considerar los detalles intermedios; se deben aplicar los requisitos generales del Código. En las estructuras de hormigón ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica elevada, o en aquellas para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado (riesgo de daños elevado), todos los elementos estructurales deben satisfacer los requisitos de dimensionamiento y detalles especiales indicados en el Capítulo 21 (excepto la Sección 21.12). Aunque para los fines del diseño algunos de los elementos del pórtico no se consideran parte del sistema resistente a los esfuerzos laterales, igualmente se deben respetar ciertas consideraciones especiales para el dimensionamiento y los detalles de estos elementos (ver 21.11). La intención de los requisitos especiales para el diseño sismorresistente del Capítulo 21 es lograr estructuras de hormigón armado monolíticas que tengan una tenacidad adecuada para responder de manera inelástica frente a movimientos sísmicos severos. A diferencia de las ediciones anteriores del Código, la edición 2002 trata específicamente los sistemas de hormigón prefabricado que se utilizarán en regiones de peligrosidad sísmica moderada o elevada, o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio o elevado. Los pórticos de momento especiales pueden ser hormigonados en obra o construidos de elementos prefabricados. Los pórticos de momento especiales de elementos de hormigón prefabricado deben satisfacer todos los requisitos para los pórticos hormigonados en obra (21.2 a 21.5) más los requisitos los indicados en 21.6. Además, deben satisfacer los requisitos para pórticos de momento ordinarios (Capítulos 1 a 18). Como no hay ningún requisito específico para los pórticos de momento intermedios construidos de elementos prefabricados, los pórticos que forman parte de una estructura ubicada en una región de peligrosidad sísmica moderada o para la cual se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio deben ser pórticos de momento especiales o bien deben ser evaluados conforme a los requisitos de comportamiento del artículo 21.2.1.5. En el 1-8

Código 2002 se revisó la definición correspondiente a "pórtico de momento ordinario" para aclarar que estos pórticos pueden ser hormigonados en obra o construidos de elementos prefabricados, y que en cualquiera de estos casos deben satisfacer los requisitos de los Capítulos 1 a 18. Se han agregado dos nuevos tipos de tabiques estructurales prefabricados: los tabiques estructurales prefabricados intermedios y los tabiques estructurales prefabricados especiales. Los tabiques estructurales prefabricados intermedios deben satisfacer los requisitos de los Capítulos 1 a 18, además de los requisitos de la Sección 21.13. La Sección 21.13 no se ocupa del tabique en sí, sino de las uniones entre los paneles individuales y de las uniones entre los paneles y la fundación. Si se utilizan paneles de tabique prefabricados para resistir esfuerzos sísmicos horizontales en regiones de peligrosidad sísmica moderada o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio, éstos deben satisfacer ya sea los requisitos para tabiques estructurales prefabricados intermedios o bien los requisitos para tabiques estructurales prefabricados especiales. Un tabique formado por elementos prefabricados diseñado de acuerdo con los requisitos de los Capítulos 1 a 18 pero que no satisface ninguno de estos conjuntos de requisitos solamente se puede utilizar en estructuras ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica baja o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente bajo. Los tabiques estructurales prefabricados especiales deben satisfacer los requisitos de los Capítulos 1 a 18, además de los de las Secciones 21.2, 21.7, 21.13.2 y 21.13.3. Si se utilizan paneles de tabique prefabricados para resistir esfuerzos sísmicos horizontales en regiones de peligrosidad sísmica elevada o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado, éstos deben satisfacer los requisitos para tabiques estructurales prefabricados especiales. En la Tabla 1-1 se resumen los requisitos de dimensionamiento y los detalles de armado especificados en ACI 318 para los sistemas estructurales de hormigón armado que resisten esfuerzos laterales. Tabla 1-1 – Secciones del Código que se deben satisfacer

Componente que resiste esfuerzos sísmicos, a menos que se especifique lo contrario

Nivel de peligrosidad sísmica o Categoría de comportamiento o diseño sísmico, según lo definido en la sección del Código indicada Bajo 21.2.1.2

Intermedio 21.2.1.3

Elevado 21.2.1.4

Hormigonado en obra

Cap. 1-18

Cap. 1-18, 21.2.2.3, 21.12

Cap. 1-18, 21.2-21.5

Prefabricado

Cap. 1-18

Nota 1

Cap. 1-18, 21.2-21.6

Hormigonado en obra

Cap. 1-18, o Cap. 22

Cap. 1-18

Cap. 1-18, 21.2-21.7

Prefabricado

Cap. 1-18, o Cap. 22

Cap. 1-18, 21.13

Cap. 1-18, 21.2, 21.7, 21.8

Diafragmas estructurales

Cap. 1-18

Cap. 1-18

Cap. 1-18, 21.2, 21.9

Fundaciones

Cap. 1-18, o Cap. 22

Cap. 1-18

Cap. 1-18, 21.2, 21.10

Elementos que forman parte de un pórtico pero que se asume que no resisten esfuerzos sísmicos

Cap. 1-18

Cap. 1-18

Cap. 1-18, 21.11

Elementos que forman parte de un pórtico

Tabiques estructurales y vigas de acoplamiento

Nota 1: No hay requisitos específicos para la construcción de pórticos de momento intermedios con elementos prefabricados. Ver 21.2.1.5.

1-9

1.1.8.3 Nivel de Peligrosidad Sísmica especificado en el Código de Construcción General – Tradicionalmente este código ha diferenciado entre peligrosidad sísmica "baja," "moderada" o "elevada." La definición exacta de los niveles de peligrosidad sísmica está bajo la jurisdicción del código de construcción general y se asignan por zonas (que dependen de la intensidad del movimiento del terreno). Los códigos modelo especifican cuáles secciones del Capítulo 21 se deben satisfacer en función del nivel de peligrosidad sísmica. A modo de guía, en ausencia de requisitos específicos en el código de construcción general, los niveles de peligrosidad sísmica se correlacionan con las zonas sísmicas de la siguiente manera: Nivel de Peligrosidad Sísmica Bajo Moderado Elevado

Zona Sísmica 0y1 2 3y4

Esta correlación de los niveles de peligrosidad sísmica y las zonas sísmicas se refiere al UBC.1.3 Sin embargo, a partir de la adopción de los Requisitos NEHRP 1991 en el NBC y el SBC, el diseñador tendrá que consultar el código modelo vigente para determinar el nivel de peligrosidad sísmica y los correspondientes requisitos especiales para el diseño sismorresistente. El NBC, el SBC y los Requisitos NEHRP 1991, sobre los cuales se basan los requisitos de diseño sismorresistente de ambos códigos modelo, asignan una estructura a una Categoría de Comportamiento Sísmico determinada. La Categoría de Comportamiento Sísmico expresa el riesgo en términos de la naturaleza y el destino del edificio, y del movimiento estimado de la roca en el sitio de emplazamiento. Para determinar la Categoría de Comportamiento Sísmico de una estructura primero es necesario determinar su Grupo de Riesgo Sísmico. Las instalaciones esenciales se asignan al Grupo III, los edificios utilizados para reuniones públicas y otras estructuras en las cuales habrá muchos ocupantes se asignan al Grupo II. Los edificios y demás estructuras no asignadas a los Grupos II o III se consideran parte del Grupo I (para una definición más precisa de estos Grupos de Riesgo Sísmico, ver el código vigente). El siguiente paso consiste en determinar el coeficiente de aceleración máxima relacionado con la velocidad, AV, que se obtiene de un mapa que forma parte del NBC y el SBC. Una vez que se tienen estos dos elementos se puede determinar la Categoría de Comportamiento Sísmico con ayuda de una tabla incluida en el código vigente que es similar a la Tabla 1-2, la cual se ha tomado de los Requisitos NEHRP. Tabla 1-2 – Categorías de Comportamiento Sísmico1.5 Valor de A v

I

Grupo de Riesgo Sísmico II III

A v < 0,05

A

A

A

0,05 ≤ A v < 0,10

B

B

C

0,10 ≤ A v < 0,15

C

C

C

0,15 ≤ A v < 0,20

C

D

D

0,20 ≤ A v

D

D

E

La edición 2000 del IBC,1.4 cuyos requisitos de diseño sismorresistente se basan en los Requisitos NEHRP 1997,1.8 expresan la peligrosidad sísmica de manera similar al NBC y al SBC, pero con una diferencia significativa. Para determinar el riesgo sísmico el IBC también considera los efectos de amplificación de los suelos blandos. El parámetro utilizado en el IBC para asignar el riesgo sísmico, para determinar los detalles de armado y otros requisitos es la Categoría de Diseño Sísmico. La Categoría de Diseño Sísmico de un edificio se determina de manera similar a la Categoría de Comportamiento Sísmico del NBC y el SBC. Primero el edificio se asigna a un Grupo de Uso Sísmico, que es igual al Grupo de Riesgo Sísmico del NBC y el SBC. A partir de este punto el procedimiento del IBC es más complejo. En vez de determinar un valor anticipado para el movimiento del terreno en base a una tabla, se determinan dos valores del espectro de aceleración de respuesta, uno para un período corto (0,2 segundos) y el otro para un período de 1 segundo. Luego estos factores se ajustan para considerar los efectos del tipo de suelo y se multiplican por dos tercios para obtener los valores de la aceleración de diseño. Conociendo el

1 - 10

Grupo de Uso Sísmico y la aceleración de diseño, para determinar la Categoría de Diseño Sísmico en base a cada uno de los valores de diseño se ingresa a dos tablas diferentes. Si las Categorías de Diseño Sísmico obtenidas son diferentes, la determinante es la mayor. A modo de guía, a los fines de determinar el campo de aplicación de los requisitos de diseño y los detalles de armado especiales, la Tabla 1-3 muestra la correlación entre las zonas sísmicas del UBC; las Categorías de Comportamiento Sísmico del NBC, el SBC y los Requisitos NEHRP 1991; y las Categorías de Diseño Sísmico del IBC 2000 y los Requisitos NEHRP 1997. Tabla 1-3 – Comparación de los Niveles de Peligrosidad Sísmica de ACI 318 con los de otros códigos y normas

Código, norma o documento fuente y año de edición NBC 1993, 1996,1999 SBC 1994, 1997, 1999 UBC 1991, 1994, 1997 IBC 2000, 2003 ASCE3 7-93, 7-95 NEHRP4 1991, 1994 ASCE3 7-98, 7-02 NEHRP5 1997

Nivel de peligrosidad sísmica o Categoría de comportamiento o diseño sísmico, según lo definido en la sección del Código indicada Bajo Moderado / Intermedio Elevado (21.2.1.2) (21.2.1.3) (21.2.1.4) SPC1 A, B SPC C SPC D,E SPC A, B SPC C SPC D,E Zona Sísmica 0, 1 Zona Sísmica 2 Zona Sísmica 3, 4 SDC2 A, B SDC C SDC D, E, F SPC1 A, B SPC C SPC D, E SPC1 A, B SPC C SPC D, E SDC2 A, B SDC C SDC D, E, F SDC2 A, B SDC C SDC D, E, F

1. 2. 3. 4.

SPC = Categoría de Comportamiento Sísmico según lo definido por el código, la norma o el documento fuente. SDC = Categoría de Diseño Sísmico según lo definido por el código, la norma o el documento fuente. Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures. NEHRP (National Earthquake Hazards Reduction Program) Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings. 5. NEHRP (National Earthquake Hazards Reduction Program) Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and Other Structures.

1.2

DOCUMENTACIÓN TÉCNICA

Para que el diseño ideado por el ingeniero se pueda materializar adecuadamente es necesario que la documentación técnica contenga toda la información necesaria. Hace ya muchas ediciones que el Código incluye un listado de los ítems que deben figurar en la documentación técnica.

1.2.1

Información que debe incluir la documentación técnica

La información que debe incluir la documentación técnica prácticamente no ha variado con respecto al Código de 1999. Sin embargo, se ha agregado un ítem "e" que exige que los anclajes estén indicados en los planos de obra. Estos planos deben incluir toda la información de los anclajes necesaria para permitir su instalación con la profundidad de empotramiento y las distancias a los bordes que el ingeniero supuso para el diseño. Además, si en el diseño se utilizó "armadura suplementaria" (ver la definición correspondiente en la Sección D.1), se debe indicar la ubicación de dicha armadura con respecto a los anclajes.

1.3

INSPECCIÓN

El Código ACI requiere que las construcciones de hormigón sean inspeccionadas de acuerdo con lo exigido por el código de construcción general legalmente vigente. Si el código de construcción general vigente no contiene requisitos de inspección, o en regiones en las cuales no se ha adoptado ningún código de construcción, los requisitos de la Sección 1.3 pueden servir 1 - 11

de guía para lograr un nivel de inspección aceptable. Si el código de construcción vigente no contiene requisitos de inspección o si no se ha adoptado ningún código, las construcciones de hormigón, como mínimo, deben ser inspeccionadas por un profesional matriculado, por una persona bajo la supervisión de un profesional matriculado, o por un inspector calificado. Si una persona dice estar calificado para realizar estas inspecciones, se le debería exigir que demuestre su competencia obteniendo una certificación apropiada. Diferentes organizaciones han establecido programas de certificación voluntarios para los inspectores de las construcciones de hormigón, entre ellas ACI, BOCA, ICBO y SBCCI. Es posible que existan otros programas de certificación similares. Los cuatro códigos modelo adoptados en Estados Unidos para reglamentar el diseño y la construcción exigen diferentes grados de inspección. Sin embargo, estos requisitos de tipo administrativo generalmente son modificados o enmendados cuando la jurisdicción local decide adoptar el código. El ingeniero debe consultar los requisitos de inspección específicos indicados en el código de construcción general legalmente vigente en la jurisdicción donde se encuentra la obra. Además de las inspecciones periódicas arriba mencionadas, es posible que se requieran inspecciones por parte de inspectores especiales (ver la discusión sobre el artículo 1.3.5). El ingeniero debe consultar al código de construcción local o bien a las autoridades locales para investigar si dentro de la jurisdicción donde se construirá la obra existen requisitos de inspección especiales. El grado de inspección y la responsabilidad por la inspección deben ser explicitados en la documentación técnica. Sin embargo, se debe observar que la mayoría de los códigos que exigen inspecciones especiales no permiten que el contratista de la obra contrate al inspector especial. Habitualmente especifican que el inspector especial debe ser contratado por el propietario. Por este motivo, si la frecuencia y el tipo de inspecciones se especifica en la documentación contractual del proyecto, se debe aclarar que los costos que ocasionarán estos servicios no están incluidos en la oferta del contratista general.

1.3.4

Registros de inspección

Los inspectores y las agencias de inspección deben estar familiarizados con el artículo 1.3.4. Los registros de inspección se deben conservar hasta dos años después de finalizado un proyecto, o un tiempo más prolongado si así lo exige el código de construcción legalmente adoptado. El objetivo de conservar los registros de inspección hasta dos años después de finalizado un proyecto es asegurar que los registros estarán disponibles si surgen disputas o diferencias referidas a la calidad del trabajo o a cualquier violación de la documentación técnica posteriores a la aceptación por parte del propietario o a la emisión de un certificado de finalización de obra.

1.3.5

Inspecciones especiales

Se requieren inspecciones continuas durante la colocación de toda la armadura y el hormigón de los pórticos de momento especiales (sistemas de vigas y columnas) que resistirán esfuerzos de origen sísmico ubicados en una región de peligrosidad sísmica elevada o en aquellos asignados a una categoría de comportamiento o diseño sismorresistente elevada. Los pórticos de momento especiales hormigonados en obra deben satisfacer los requisitos de las Secciones 21.2 a 21.5. Los pórticos de momento especiales construidos con elementos de hormigón prefabricado deben satisfacer, además, los requisitos adicionales especificados en la Sección 21.6. La Tabla 1-3 muestra cómo los códigos modelo usados en Estados Unidos asignan la peligrosidad o el riesgo sísmico. El Código estipula que las inspecciones deben ser realizadas por un inspector calificado bajo la supervisión del ingeniero responsable por el diseño estructural o bajo la supervisión de un ingeniero que posee una capacidad comprobada en la inspección de pórticos de momento especiales resistentes a esfuerzos sísmicos ubicados en zonas de peligrosidad sísmica elevada o en estructuras asignadas a categorías de comportamiento o diseño sísmico elevadas. El artículo R.1.3.5* indica que la calificación de los inspectores debe ser aceptable para la jurisdicción que ha adoptado el código general de construcción. Este requisito se basa en requisitos similares contenidos en el NBC, el IBC, el SBC y el UBC; en estos documentos estas inspecciones se denominan como "inspecciones especiales." El inspector especialmente calificado debe "demostrar su competencia para realizar la inspección del tipo particular de construcción que motiva la inspección especial." La Sección 1.3 contiene información sobre programas de certificación voluntarios para los inspectores especiales. El inspector especial tiene los siguientes deberes y responsabilidades:

*

Los números correspondientes a las secciones y artículos del Comentario son precedidos por una "R" (por ejemplo, R1.3.5 se refiere a la Sección R1.3.5 del Comentario)

1 - 12

1.

Observar el trabajo para verificar que cumpla con la documentación técnica aprobada.

2.

Entregar informes de inspección a la autoridad competente, al ingeniero o arquitecto responsable, y a las demás personas designadas.

3.

Presentar un informe de inspección final indicando si el trabajo cumple con la documentación técnica aprobada y si los métodos constructivos empleados son aceptables.

Hace tiempo que el requisito que exige la realización de inspecciones especiales por parte de un inspector especialmente calificado existe en el UBC; sin embargo, en el NBC y el SBC es un requisito relativamente nuevo. Con la adopción por parte del IBC, el NBC y el SBC de los requisitos sismorresistentes de NEHRP, estas inspecciones especiales cobran particular importancia. Una parte integral de los requisitos de NEHRP es la exigencia de contar con inspecciones especiales para los sistemas resistentes a los esfuerzos sísmicos de los edificios asignados a categorías de comportamiento o diseño sísmico elevadas. Por definición, una inspección especial por parte de un inspector especial implica una inspección continua de la construcción. Para las construcciones de hormigón se requiere una inspección especial durante la colocación de todas las armaduras, durante la toma de muestras del hormigón usado para fabricar las probetas para los ensayos de resistencia, y durante las operaciones de colocación del hormigón. No es necesario que el inspector especial presencie todo el proceso de colocación de las armaduras, siempre que antes de colocar el hormigón realice una inspección de la armadura ya colocada. Generalmente no se exigen inspecciones especiales en ciertas obras, cuando las autoridades determinan que la construcción es de naturaleza menor y que no existe ningún riesgo para la seguridad pública. Tampoco se requieren inspecciones especiales para los elementos de hormigón prefabricado producidos bajo condiciones de control en planta, siempre que la planta haya sido autorizada previamente por la autoridad competente para realizar estos trabajos sin inspecciones especiales. Otro requisito de "inspección" del IBC y el UBC que no forma parte del NBC ni del SBC es el relacionado con el concepto de "observación de la estructura." De acuerdo con el UBC, se requiere la observación de la estructura para los edificios ubicados en regiones de peligrosidad sísmica elevada (Zona Sísmica 3 o 4). De acuerdo con el UBC, también se requiere para las estructuras de mayor importancia asignadas a las categorías de diseño sísmico D, E o F, o ubicadas en una región en la cual la velocidad básica del viento es mayor que 110 millas por hora (velocidad de ráfagas de 3 segundos). De acuerdo con el UBC, el propietario debe contratar al ingeniero o arquitecto responsable por los trabajos de diseño estructural, o a otro ingeniero o arquitecto designado por el ingeniero o arquitecto responsable por el diseño estructural, para que realice una observación visual del sistema estructural en ciertas etapas significativas del proceso constructivo y después de su finalización, para verificar la conformidad general con los planos y especificaciones técnicas aprobados. De acuerdo con el IBC, se puede contratar a cualquier profesional del diseño matriculado calificado para que realice las observaciones de la estructura. Una vez completado el proyecto, y antes de emitir el certificado de finalización de obra, el ingeniero o arquitecto debe presentar a la autoridad competente una declaración por escrito indicando que se han realizado visitas a la obra, y describiendo cualquier deficiencia que no hubiera sido corregida. En vista del creciente interés por inspeccionar las nuevas construcciones en Estados Unidos, particularmente aquellas ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica elevada, se aconseja al diseñador que revise los requisitos de inspección especificados por el código general de construcción vigente, y que determine con exactitud cuál es la función del ingeniero en las inspecciones a realizarse durante la etapa constructiva.

1 - 13

REFERENCIAS 1.1

The BOCA National Building Code, Building Officials and Code Administrators International, Country Club Hills, IL, 1999.

1.2

Standard Building Code, Southern Building Code Congress International, Birmingham, AL, 1999.

1.3

Uniform Building Code, International Conference of Building Officials, Whittier, CA, 1997.

1.4

International Building Code, Edición 2000, International Code Council, Inc., Falls Church, VA, 2000.

1.5

NEHRP (National Earthquake Hazards Reduction Program) Recommended Provisions for the Development of Seismic Regulations for New Buildings, Part I – Provisions, Part 2 – Commentary, Building Seismic Safety Council, Washington, D.C., 1991.

1.6

Recommended Lateral Force Requirements and Commentary, Structural Engineers Association of California, San Francisco, CA, 1999.

1.7

Report and Findings – Uniform Building Code Provisions Compared With the NEHRP Provisions, preparado para el National Institute of Standards and Technology, International Conference of Building Officials, Whittier, CA, Julio 1992.

1.8

NEHRP (National Earthquake Hazards Reduction Program) Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and Other Structures, Part 1 – Provisions, Part 2 – Commentary, Building Seismic Safety Council, Washington, D.C., 1997.

1.9

Ghosh, S.K., Impact of the Seismic Design Provisions of the International Building Code, Structures and Code Institute, Northbrook, IL, 2001 (PCA Publication LT254).

1.10

American Society of Civil Engineers (1995), Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures, ASCE7-95 Standard, ASCE, New York, NY.

1.11

Ghosh, S. K. (1998), “Design of Reinforced Concrete Buildings Under the 1997 UBC,” Building Standards, Mayo/Junio 1998, pp. 20-24.

1.12

Concrete Floors on Ground, Publication EB075.03D, Portland Cement Association, Skokie, IL, Revisado 1997.

1.13

Slab Thickness Design for Industrial Concrete Floors on Grade, Publication IS195.01D, Portland Cement Association, Skokie, IL, Revised 1996.

1.14

Ghosh, S. K. Domel, A. W. Jr., y Fanella, D. A., Design of Concrete Buildings for Earthquake and Wind Forces, Publication EB113.02D, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1995.

1.15

Fanella, D. A., y Munshi, J. A., Design of Concrete Buildings for Earthquake and Wind Forces According to the 1997 Uniform Building Code, Publication EB17.02D, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1998.

1.16

Fanella, D. A. y Munshi, J. A., Design of Low-Rise Concrete Buildings for Earthquake Forces, Publication EB004:02D, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1998.

1.17

Fanella, D.A., Seismic Detailing of Concrete Buildings, Publication SP382, Portland Cement Association, Skokie, IL, 2000.

1 - 14

2 Materiales. Calidad del Hormigón

CAPÍTULO 3 –MATERIALES ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 1.

En la edición 2002 del Código se reconoce por primera vez la norma ASTM C 1157 (Performance Specification for Blended Hydraulic Cement), la cual enfatiza el comportamiento de los diferentes tipos de cemento y no su composición química.

2.

La norma ASTM A 996 (Specification for Rail-Steel and Axle Steel Deformed Bars for Concrete Reinforcement) reemplaza a las normas ASTM A 616 y ASTM A 617 correspondientes al acero de riel y de eje, respectivamente.

3.1

ENSAYO DE LOS MATERIALES

Los requisitos del artículo 3.1.3 (y también del 1.3.4) exigen que el ingeniero o arquitecto responsable de la inspección mantenga registros completos de los resultados de los ensayos realizados disponibles durante la etapa constructiva. Los requisitos de 3.1.3 también exigen que el inspector conserve los registros de los ensayos de los materiales y el hormigón durante un período mínimo de dos años después de finalizado un proyecto, o durante un período aún más prolongado si así lo establece el código de construcción legalmente adoptado. El objetivo de conservar los registros de los ensayos realizados hasta dos años después de finalizado un proyecto es asegurar que los registros estarán disponibles si surge alguna disputa o diferencia referidas a la calidad del hormigón o de los materiales utilizados, o relacionadas con cualquier violación de los planos y la documentación técnica aprobada o del código de construcción, luego de la aceptación de la obra por parte del propietario o de la emisión de un certificado de finalización de obra. Este requisito existe porque los ingenieros y arquitectos habitualmente no inspeccionan hormigón, ya que para este propósito habitualmente se contrata un inspector. El término "inspector" se define en el artículo 1.3.1. En gran parte de Estados Unidos el término "inspector" coincide con el término "inspector especial," según la definición dada en los códigos de construcción legalmente vigentes. Si no se contrata un inspector especial será necesario tomar otras medidas para asegurar la disponibilidad y conservación de los registros de los ensayos. 3.2

CEMENTOS

El cemento utilizado en obra debe corresponder con aquél que se utilizó para determinar la dosificación del hormigón y su resistencia y demás propiedades. Esto simplemente puede significar el uso del mismo tipo de cemento, o bien puede significar el uso de un cemento de la misma procedencia. Si en una planta se determina la desviación estándar en base a ensayos realizados sobre cementos de diferentes procedencias, alcanza con utilizar el mismo tipo de cemento; si la

desviación estándar de los ensayos de resistencia usados para establecer la resistencia requerida se basan en un tipo particular de cemento con una procedencia determinada, será necesario usar un cemento de la misma procedencia. ACI 318-02 reconoce por primera vez la norma ASTM C 1157 (Performance Specification for Blended Hydraulic Cement). La norma ASTM C 1157 no establece la composición química de los diferentes tipos de cementos como lo hacen las normas ASTM C 150 y ASTM C 595. Sin embargo, los componentes individuales usados para fabricar los cementos ASTM C 1157 deben satisfacer los requisitos especificados en dicha norma. La norma también contiene varios requisitos opcionales, incluyendo uno para los cementos resistentes a la reacción álcali-agregado. El hormigón de contracción compensada, elaborado con cemento expansivo, minimiza el potencial de formación de fisuras de contracción por secado. El cemento expansivo se expande ligeramente al comienzo de la etapa de endurecimiento, después del fraguado inicial. Si esta expansión es restringida por la presencia de armaduras, el hormigón de cemento expansivo también se puede utilizar para (1) compensar la disminución de volumen que provoca la contracción por secado, (2) inducir tensiones de tracción en las armaduras (postesado), y (3) estabilizar las dimensiones a largo plazo de las estructuras postesadas. La mayor ventaja de utilizar cemento expansivo radica en el control y la reducción de las fisuras de contracción por secado. La dosificación de una mezcla de hormigón cobra particular importancia cuando se utiliza cemento expansivo en combinación con otros aditivos. Los beneficios que representa el uso de un cemento expansivo pueden ser anulados o contrarrestados cuando se utilizan ciertos aditivos o ingredientes. La Sección 3.6.8 advierte sobre esta situación. Se deberían preparar mezclas con el cemento expansivo, los aditivos y otros ingredientes seleccionados para observar cómo estos últimos afectan las propiedades del hormigón fresco y endurecido. Además, cuando se especifica un hormigón de cemento expansivo, el profesional debe considerar ciertos aspectos del diseño que se podrían ver afectados. Las secciones del Código que tratan estas consideraciones de diseño incluyen: •

Sección 8.2.4 – Además de todos los demás efectos listados, se deben considerar los efectos de los esfuerzos debidos a la expansión del hormigón de contracción compensada.

•

Sección 9.2.7 – Los efectos estructurales debidos a la expansión del hormigón de contracción compensada se deben incluir en el valor de T incluido en las combinaciones de cargas de la Ecuación (9-2).

3.3

AGREGADOS

El tamaño máximo nominal del agregado se limita a (i) un quinto de la menor dimensión lineal entre los lados de los encofrados, (ii) un tercio del espesor de una losa, y (iii) tres cuartos de la separación libre mínima entre las barras de armadura o entre los tendones o vainas de pretensado. Estos límites impuestos al tamaño máximo nominal del agregado se pueden obviar si la trabajabilidad y los métodos de compactación del hormigón permiten colocar el hormigón sin que se formen oquedades o vacíos. El ingeniero deberá decidir si puede obviar o no estas limitaciones. 3.4

AGUA

El agua usada para preparar hormigón armado (pretensado o no pretensado), hormigón en el cual se han empotrar elementos de aluminio y hormigón que se ha de colocar en encofrados perdidos de metal galvanizado no deben contener cantidades perjudiciales de cloruros. El principal problema que se presenta cuando el agua de mezclado tiene un elevado contenido de cloruros es su posible efecto sobre la corrosión de la armadura o los tendones de pretensado. La Tabla 4.4.1 del Capítulo 4 del Código indica los contenidos máximos de cloruros que pueden aportar los ingredientes, incluyendo el agua, los agregados, el cemento y los aditivos. La Referencia 2.1 presenta una discusión detallada de este y otros temas cubiertos por los Capítulos 3 a 5 del Código. En general, el agua que contiene menos de 2000 partes por millón (ppm) de sólidos disueltos totales se considera satisfactoria para la elaboración de hormigón. El agua que contiene más de 2000 ppm de sólidos disueltos se debe someter a ensayos para determinar su efecto sobre la resistencia y el tiempo de fraguado del hormigón que con ella se elabora. El agua

2-2

de mar no es adecuada para elaborar hormigones armados con elementos de acero, ya que aumenta el riesgo de corrosión de las armaduras. Esta corrosión se acelera si el elemento está ubicado en un ambiente cálido y húmedo. 3.5

ARMADURAS

3.5.2

Soldadura de las armaduras

ACI 318-02 hace referencia a la última edición de la norma ANSI/AWS D1.4-2000 (Structural Welding Code for Reinforcing Steel). Todas las soldaduras de las barras de armadura deben satisfacer estrictamente los requisitos de D1.4. Vale la pena destacar algunas revisiones recientes introducidas en D1.4. Por ejemplo, se deben considerar los requisitos de precalentamiento de las barras de acero de palanquilla (A 615) si no se conoce la composición química de las barras. Ver la discusión sobre el artículo 12.14.3 en el Capítulo 4 de este documento. El ingeniero debe prestar particular atención a las limitaciones indicadas en el artículo 21.2.7 para las soldaduras de las armaduras de los elementos estructurales resistentes a esfuerzos sísmicos que forman parte de una estructura ubicada en una región de peligrosidad sísmica elevada. Debido a que bajo los efectos de un movimiento sísmico severo estos elementos estructurales pueden resistir más allá del rango de respuesta elástica, la soldadura de las armaduras, particularmente los empalmes soldados, se deben realizar siguiendo estrictamente los procedimientos establecidos en ANSI/AWS D1.4. Estos procedimientos incluyen inspecciones adecuadas. La Sección R3.5.2 contiene lineamientos para la soldadura a barras existentes (para las cuales no existen informes de los ensayos realizados en planta) y para la soldadura en obra del alambre estirado en frío y las mallas de alambre soldadas. El alambre estirado en frío se utiliza como armadura en espiral; algunas veces puede ser necesario soldar en obra alambres o mallas de alambre soldadas. Hay que ser sumamente cuidadoso al soldar alambres estirados en frío para evitar la pérdida de tensión de fluencia y ductilidad. La soldadura eléctrica, de acuerdo con las normas ASTM A 185 y A 497, es un procedimiento de soldadura aceptable utilizado en la fabricación de las mallas de alambres de acero soldadas. Si en lugar de los empalmes por yuxtaposición requeridos se utilizan empalmes soldados, se debe especificar la realización de ensayos de tracción sobre muestras representativas u otros métodos para determinar que el nivel de resistencia provisto sea adecuado. No está permitido utilizar soldaduras como método de fijación de las barras de armadura que se entrecruzan durante el proceso de armado de la estructura, a menos que el ingeniero lo autorice expresamente (ver 7.5.4). El último párrafo de R3.5.2 indica que la norma ANSI/AWS D1.4 no es aplicable a la soldadura de alambres. En la actualidad el campo de validez de esta norma abarca la soldadura de todos los tipos de armadura de acero, pero adolece de cierta información crítica referida a los alambres y mallas de alambre soldadas (por ejemplo, no discute el precalentamiento ni la selección de los electrodos). Sin embargo, se recomienda que todas las soldaduras de alambres y mallas de alambre soldadas realizadas en obra se ajusten a los requisitos aplicables de ANSI/AWS D1.4, entre ellos los referidos a la certificación de los soldadores, procedimientos de inspección y demás procedimientos de soldadura aplicables. 3.5.3

Armadura conformada

Como armadura no pretensada solamente se permite utilizar armadura conformada según la definición dada en el Capítulo 2, excepto que para las armaduras en espiral se pueden utilizar barras o alambres lisos. La definición de armadura conformada especificada en el Código abarca las mallas soldadas de alambres lisos. El tipo de armadura más utilizado en la construcción son las barras laminadas conforme a las especificaciones de ASTM A 615 (acero de palanquilla). En la edición 2002 de ACI 318 la norma ASTM A 996 (Specification for Rail-Steel and Axle-Steel Deformed Bars for Concrete Reinforcement) ha reemplazado a las normas para acero de riel y de eje (ASTM A 616 y ASTM A 617, respectivamente). Las barras de acero de acuerdo con ASTM A 996 se denominan barras de acero Tipo R, y deben satisfacer requisitos más estrictos en los ensayos de doblado que los requeridos por ASTM A 616 y ASTM A 617. Las armaduras conformadas que satisfacen los requisitos de la norma ASTM A 996 están marcadas con la letra R. El acero de riel (ASTM A 996) no se consigue fácilmente, salvo en determinadas regiones del país. La norma ASTM A 706 corresponde a las barras conformadas de acero de baja aleación (solamente Grado 60) para aplicaciones especiales en las cuales la soldadura o el doblado son factores importantes. Se deben especificar barras ASTM A 706 siempre que se requiera una gran cantidad de soldaduras o que las soldaduras resulten críticas, y también para las estructuras de hormigón armado ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica elevada para las cuales se requieren una 2-3

ductilidad controlada y un mejor comportamiento en doblado. Los requisitos especiales para el diseño sismorresistente del Capítulo 21 establecen que las armaduras que deben resistir esfuerzos axiales y de flexión inducidos por acciones sísmicas usadas en elementos de pórticos y tabiques de borde que forman parte de una estructura ubicada en una región de peligrosidad sísmica elevada deben satisfacer la norma ASTM A 706 (ver 21.2.5). Para estos elementos también se permite utilizar barras ASTM A 615 Grados 40 y 60 siempre y cuando (a) la relación entre la resistencia última a la tracción real y la tensión de fluencia real no sea menor que 1,25 y (b) la tensión de fluencia real determinada en base a ensayos en planta no supere la tensión de fluencia especificada en más de 18.000 psi (en la repetición de los ensayos no se permite que supere la tensión de fluencia especificada en más de 3000 psi). Antes de especificar el uso de armadura A 706 el diseñador debe investigar su disponibilidad. La mayoría de los fabricantes de armaduras pueden producir barras A 706, pero generalmente no estarán dispuestos a fabricar una cantidad menor que la correspondiente a una hornada de acero para cada tamaño de barra solicitado. Dependiendo del fabricante, una hornada de acero puede variar entre 50 y 200 toneladas. Puede que no sea posible conseguir inmediatamente, de un solo fabricante, cantidades menores de barras A 706 de un único tamaño. Sorprendentemente, cada día es más habitual que los ingenieros especifiquen barras A 706 para las estructuras de hormigón armado ubicadas en las regiones de elevada peligrosidad sísmica (ver Tabla 1-1, Capítulo 1 de este documento). Los ingenieros no sólo las están especificando para los elementos de los edificios sismorresistentes, sino también para las estructuras de los puentes de hormigón armado. Además, hace mucho tiempo que las barras A 706 son las preferidas por los productores de elementos de hormigón prefabricado, ya que son más sencillas de soldar y más eficientes desde el punto de vista de los costos, especialmente en vista de los complicados detalles de armado que requieren los elementos prefabricados. Seguramente su uso creciente tendrá un impacto favorable sobre la disponibilidad de estas barras. La Sección 9.4 indica que la tensión de fluencia máxima de la armadura a utilizar en el diseño debe ser menor o igual que 80.000 psi. Actualmente no existe ninguna especificación ASTM para la armadura de Grado 80. Sin embargo, la especificación ASTM A 615 incluye las barras conformadas No. 11, No. 14 y No. 18 con una tensión de fluencia de 75.000 psi (Grado 75). Los requisitos de la especificación A 615 para las barras Grado 75 son compatibles con los requisitos del Código ACI, incluyendo el requisito que establece que la tensión de fluencia debe corresponder a una deformación del 0,35 por ciento (ver 3.5.3.2). El diseñador puede simplemente especificar barras Grado 75 que satisfagan A 615 sin ningún requisito especial, o bien puede especificar excepciones. Si se utilizan barras Grado 75 se deben solicitar al fabricante informes de ensayos realizados en planta. Antes de especificar el uso de barras Grado 75 se debería investigar su disponibilidad local. La intención de la mayor tensión de fluencia de las barras No. 11, No. 14 y No. 18 es fundamentalmente que estas barras se utilicen como armadura de las columnas. Se utilizan en combinación con un hormigón de mayor resistencia para reducir las dimensiones de las columnas de los edificios en altura y en otras aplicaciones que requieren columnas de alta capacidad. El alambre usado para fabricar mallas soldadas de alambres lisos o conformados pueden tener una tensión de fluencia superior a 60.000 psi. Se permite aprovechar la ventaja de la mayor tensión de fluencia siempre que la tensión de fluencia especificada, fy, usada en el diseño sea la tensión correspondiente a una deformación del 0,35 por ciento. Durante los primeros meses de 1997 algunos fabricantes de barras anunciaron que comenzarían la producción de barras designadas con sus dimensiones métricas equivalentes (conversión "soft metric"*). En general su intención era convertir sus fábricas completamente a la producción de barras métricas, y algunos productores anticipaban completar esta conversión a mediados de 1997. Una vez que se complete esta conversión se anticipa que se dejarán de producir barras designadas en el sistema pulgada-libra. Las dimensiones físicas (es decir, el diámetro, la altura y la separación de las conformaciones) de las barras métricas ("softmetric") no difieren de las de las barras pulgada-libra que se han fabricado durante muchos años. La única diferencia será que la marca que se imprimirá a las barras se basará en unidades del sistema métrico (SI). Las dimensiones de las barras en sistema métrico se obtienen de convertir el diámetro de las barras en pulgada-libra a milímetros, y redondear al milímetro más próximo. Por ejemplo, una barra No. 4 o de 1/2 in. de diámetro se convierte en una barra No. 13, ya que su diámetro es igual a 12,7 mm. La Tabla 2-1 contiene un listado completo de todos los tamaños de barras cubiertos por las especificaciones ASTM. *

El sistema de conversión "soft metric" consiste simplemente en asignarle a los productos las dimensiones métricas equivalentes, sin realizar ningún cambio físico en las dimensiones de los productos. El sistema de conversión "hard metric" implica redimensionar los productos para fabricarlos en nuevos tamaños, métricos y racionales.

2-4

Las especificaciones ASTM A 615, A 706 y A 996 contienen requisitos para barras tanto en unidades pulgada-pie como en unidades métricas (SI). Es por ello que estas especificaciones tienen denominaciones dobles (por ejemplo, ASTM A 706/A 706M). Cada una de las especificaciones contiene criterios para uno o más grados de acero, los cuales se resumen en la Tabla 2-2. Tabla 2-1 – Tamaños de las barras en unidades pulgada-pie y convertidas al sistema métrico Pulgada-libra

Métrico

No.

Diámetro (in.)

No.

Diámetro (mm)

3

0,375

10

9,5

4

0,500

13

12,7

5

0,625

16

15,9

6

0,750

19

19,1

7

0,875

22

22,2

8

1,000

25

25,4

9

1,128

29

28,7

10

1,270

32

32,3

11

1,410

36

35,8

14

1,693

43

43,0

18

2,257

57

57,3

Tabla 2-2 – Especificaciones ASTM – Grado y tensión mínima de fluencia Grado / Tensión mínima de fluencia Especificación ASTM

A 615 y A 615M

A 616 y A 616M A 617 y A 617M A 706 / A 706M

Pulgada-libra (psi)

Métrico (MPa)

40/40.000

300/300

60/60.000

420/420

75/75.000

520/520

50/50.000

350/350

60/60.000

420/420

40/40.000

300/300

60/60.000

420/420

60/60.000

520/520

La tensión de fluencia mínima requerida para el acero usado para fabricar las barras varía ligeramente en las especificaciones ASTM correspondientes a las barras especificadas en el sistema métrico. Por ejemplo, las últimas ediciones de las especificaciones ASTM indican tensiones de fluencia mínimas correspondientes al acero de Grado 420, o 420 megapascales (MPa), lo que corresponde a aproximadamente 60.900 psi (1000 psi = 6895 MPa). La típica conversión "soft" aplicada a la tensión de fluencia del acero Grado 60 (60.000 psi) daría por resultado una tensión de fluencia métrica de 413,8 MPa. Actualmente la industria del acero está intentando "rebajar" la tensión de fluencia mínima a 415 MPa, o aproximadamente 60.200 psi para lograr una mejor concordancia con la resistencia utilizada en el sistema pulgada-libra, la cual es igual a 60.000 psi. Si el diseño y la construcción se realizan de acuerdo con el Código ACI 318 usando las unidades tradicionales del sistema pulgada-libra, el uso de barras designadas con el sistema métrico tendrá muy poca influencia sobre la resistencia de diseño o

2-5

la capacidad de carga admisible de los elementos. Por ejemplo, cuando la resistencia de diseño de un elemento depende de la tensión de fluencia especificada del acero, fy, el uso de las barras métricas aumenta la resistencia aproximadamente un 1,5% [(420 – 413,7) / 413,7]. 3.5.3.5 - 3.5.3.6 – Mallas de alambre soldadas – Algunos han cuestionado la práctica de utilizar mallas de alambre soldadas como armadura estructural de los elementos de hormigón armado, particularmente cuando se especifica a modo de alternativa al uso de barras de armadura tradicionales. Un caso habitual se presenta durante la etapa constructiva, cuando se ordena reemplazar las barras inicialmente especificadas en los planos de obra por mallas de alambre soldadas. Es probable que estos cuestionamientos hayan surgido debido a la terminología que la industria utiliza para las mallas de alambre soldadas utilizadas como armadura "no estructural," es decir para limitar los anchos de fisura en las losas construidas a nivel del plano de fundación. Este tipo de mallas de alambre soldadas habitualmente se conocen como "mallas no estructurales." Los tamaños de los alambres usados para fabricar mallas soldadas varían entre W1.4 y W4. El alambre liso se designa con la letra "W" seguida de un número que indica el área de su sección transversal expresada en centésimas de una pulgada cuadrada. Los tipos de mallas utilizadas para limitar el ancho de las fisuras en las losas a nivel del plano de fundación en edificios residenciales e industriales livianos son 6 × 6 W1.4 × W1.4, 6 × 6 W2 × W2, 6 × 6 W2.9 × W2.9, y 6 × 6 W4 × W4. Estas mallas de alambre soldadas pesan 0,21 lb; 0,30 lb; 0,42 lb y 0,55 lb por pie cuadrado, respectivamente, y por lo general se fabrican en rollos. Habitualmente estas "mallas no estructurales" fabricadas con alambres de menor diámetro no se utilizan como una alternativa a las barras convencionales. La malla de alambre soldada que se utiliza como armadura estructural típicamente se fabrica de alambres de tamaño mayor que los W4, y se conoce como "malla estructural." Es posible que por motivos económicos sea necesario reemplazar las barras de armadura por mallas de alambre soldadas. Cualquiera sea la razón que origina el reemplazo, ambos tipos de armadura (mallas de alambre soldadas o barras) son igualmente reconocidos y permitidos por el código para su uso estructural. La definición de armadura conformada del Código abarca tanto las mallas soldadas de alambres conformados como las de alambres lisos. Las mallas soldadas de alambres conformados utilizan tanto la deformación de los alambres como las intersecciones soldadas para la adherencia y el anclaje. (Los alambres conformados se designan con la letra "D" seguida de un número que indica el área de su sección transversal expresada en centésimas de una pulgada cuadrada.) Las mallas soldadas de alambres lisos se adhieren al hormigón por medio de un anclaje mecánico en los puntos donde se intersecan los alambres. Esta diferencia en la adherencia y el anclaje de las mallas de alambres lisos y las mallas de alambres conformados se refleja en los requisitos sobre longitud de anclaje de los empalmes por yuxtaposición del Capítulo 12. 3.5.3.7 – Armaduras revestidas – El Código incluye referencias a las especificaciones ASTM correspondientes a armaduras revestidas, A 765 (galvanizadas) y A 775 (con revestimiento epoxi), y esto refleja el uso creciente de las barras revestidas. Se consiguen mallas de alambres soldadas con revestimiento epoxi (ASTM A 884), con los alambres galvanizados antes de su soldadura (ASTM A 641) y con los alambres galvanizados una vez soldados (ASTM A 123). Las barras y mallas revestidas más utilizadas son aquellas con revestimiento de resina epoxi, usado para proteger las armaduras contra la corrosión. Las armaduras con revestimiento epoxi constituyen un sistema viable de protección contra la corrosión. En los últimos años el uso de armaduras con revestimiento epoxi se ha extendido a diferentes tipos de construcciones de hormigón, como por ejemplo a las losas expuestas a las sales anticongelantes, las plantas de tratamiento de aguas residuales, las estructuras marítimas y otras instalaciones ubicadas próximas a zonas costeras donde el riesgo de corrosión es mayor debido a la exposición al agua salada, en especial cuando el clima es cálido y húmedo. Los diseñadores que especifican el uso de barras con revestimiento epoxi deben explicitar claramente en las especificaciones técnicas los accesorios y métodos de manipulación especiales requeridos para minimizar los daños sufridos por el revestimiento durante las operaciones de manipuleo, transporte y colocación de las barras o durante la colocación del hormigón.2.3,2.4 Los accesorios y métodos de manipuleo especiales incluyen: 1.

Se deben utilizar cuerdas de izamiento de nylon o sogas acolchadas.

2.

Se deben utilizar barras separadoras para izar los paquetes de barras, o izar los paquetes tomándolos por los puntos correspondientes a un tercio de su longitud utilizando sogas acolchadas. Las bandas utilizadas para unir los paquetes de barras deben ser de nylon o estar acolchadas.

3.

Las barras revestidas se deben almacenar sobre superficies acolchadas o de madera.

2-6

4.

Las barras revestidas no se deben arrastrar sobre el suelo ni sobre otras barras.

5.

Se debe minimizar el tránsito sobre las barras revestidas, y no dejar caer sobre ellas herramientas u otros materiales de construcción durante o después de su colocación.

6.

Se deben utilizar apoyos de materiales orgánicos o apoyos recubiertos con materiales orgánicos como resina epoxi o vinilo compatibles con el hormigón.

7.

Las barras revestidas se deben atar usando alambres con revestimiento epoxi o plástico para minimizar los daños al revestimiento.

8.

Los equipos de transporte y colocación del hormigón se deben operar cuidadosamente para evitar dañar el revestimiento de las barras.

Las especificaciones técnicas también deberían tratar el tema del retoque del revestimiento epoxi una vez que las barras han sido colocadas. La norma ASTM A 775 y la Referencia 2.3 indican el nivel de daño admisible para los revestimientos de las barras. La Referencia 2.4 sugiere requisitos a incluir en las especificaciones técnicas relacionados con las barras de armadura con revestimiento epoxi. Los diseñadores deben tener en cuenta que las armaduras revestidas con epoxi requieren mayores longitudes de anclaje y empalme en tracción (ver 12.2.4.3). 3.6

ADITIVOS

3.6.1

Vapor de sílice

El vapor de sílice (ASTM A 1240) se denomina así porque se extrae de los vapores de los hornos eléctricos usados para producir metal ferrosilíceo o sílice. Estos vapores se recogen y preparan en forma de microsílice sólida finamente dividida, la cual se utiliza como aditivo para el hormigón. Usando vapor de sílice juntamente con aditivos reductores del agua de alto rango se pueden producir hormigones con resistencias a la compresión de 20.000 psi (138 MPa) o superiores. También se usa para producir una matriz de pasta celular muy densa que reduce la permeabilidad del hormigón. Se logra así una mejor protección contra la corrosión de las armaduras, especialmente cuando el hormigón ha de estar expuesto a la aplicación directa o indirecta a productos químicos anticongelantes, como en el caso de los tableros de puentes o las losas de los edificios para estacionamiento de vehículos. La dosificación de las mezclas, los métodos de elaboración (mezclado y manipuleo) y los procedimientos de colocación y curado del hormigón con vapor de sílice exigen un mayor grado de control de calidad que los hormigones convencionales. Cuando se especifican hormigones con vapor de sílice es de fundamental importancia que el ingeniero, el proveedor de hormigón y el contratista trabajen de manera conjunta para asegurar un nivel de calidad consistente. Observar que, dependiendo de la proporción de vapor de sílice, estos hormigones pueden ser casi negros, gris oscuro, o mantener el color del cemento. El cambio de color más importante se produce en los hormigones fabricados con cementos de color claro. La dosificación de la mezcla también puede afectar el color del hormigón. Si la diferencia de color constituye un problema (caso del hormigón arquitectónico) se debería utilizar el cemento más oscuro disponible, y durante el proceso de diseño de la mezcla se deberían preparar varias mezclas de prueba. CAPÍTULO 4 – REQUISITOS DE DURABILIDAD ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Se ha agregado una nota al pie en las Tablas 4.2.2 y 4.3.1 referida a la durabilidad de las estructuras expuestas a sulfatos o sometidas a otras condiciones de exposición especiales. En estas situaciones se debe utilizar la menor de las relaciones aguamaterial cementicio aplicables, y la mayor de las f'c mínimas aplicables. La Tabla 4.2.2 se ocupa de los requisitos para

2-7

condiciones de exposición especiales; la Tabla 4.3.1 cubre los requisitos para hormigones expuestos a soluciones que contienen sulfatos. CONSIDERACIONES GENERALES Las condiciones de exposición especiales cubiertas por el Código se encuentran en el Capítulo 4 – Requisitos de Durabilidad; allí se enfatiza la importancia de la influencia de las condiciones de exposición sobre la durabilidad del hormigón. Los requisitos para la dosificación del hormigón y la evaluación de su resistencia se encuentran en el Capítulo 5 – Calidad, Mezclado y Colocación del Hormigón. Como se establece en el artículo 5.1.1, la dosificación del hormigón se debe establecer de manera de (a) proveer la resistencia a las exposiciones especiales según lo requerido por el Capítulo 4, y (b) satisfacer los requisitos de resistencia del Capítulo 5. La resistencia a las exposiciones especiales se trata en las Secciones 4.2 – Exposición a temperaturas de congelamiento y deshielo, 4.3 – Exposición a sulfatos, y 4.4 – Protección contra la corrosión de las armaduras. Los requisitos de resistencia se tratan en la Sección 5.6 – Evaluación y conformidad del hormigón. Dependiendo de los requisitos de diseño y de las condiciones de exposición, se deberá especificar la menor de las relaciones agua-material cementicio requeridas ya sea por los requisitos de diseño estructural o bien por las condiciones de exposición de la estructura (ver Ejemplo 2.1). La observación de deterioros inaceptables en algunas estructuras de hormigón ubicadas en regiones expuestas a temperaturas de congelamiento y deshielo, a sales anticongelantes utilizadas para retirar la nieve y el hielo, a los sulfatos presentes en el agua y el suelo o a los cloruros, han resaltado la necesidad de contar con requisitos especiales para estos tipos de exposición. El Capítulo 4 señala la necesidad de considerar la durabilidad del hormigón, y no sólo su resistencia. Dentro del contexto del Código, el término durabilidad se refiere a la capacidad del hormigón para resistir los deterioros provocados por el medio ambiente o por las condiciones de servicio para las cuales se lo utiliza. El hormigón correctamente diseñado y construido debe ser capaz de satisfacer la función para la cual fue pensado sin sufrir deterioros importantes durante su vida útil. Sin embargo, el Código no contiene requisitos específicos para condiciones de exposición particularmente severas, como por ejemplo el caso de los hormigones expuestos a ácidos o a temperaturas extremadamente elevadas, y tampoco se ocupa de consideraciones estéticas tales como los acabados superficiales. Estos aspectos, que no están comprendidos dentro del alcance del Código, se deben tratar específicamente en la especificaciones técnicas del proyecto. Los ingredientes y la dosificación del hormigón se deben seleccionar de manera tal de satisfacer los requisitos mínimos establecidos en el Código y los requisitos adicionales indicados en la documentación técnica. Además de una correcta selección del cemento, una adecuada incorporación de aire, una relación agua-material cementicio adecuada y la limitación del contenido máximo de cloruros de los materiales, otros requisitos fundamentales para la durabilidad de un hormigón expuesto a condiciones ambientales adversas incluyen: usar hormigones de bajo asentamiento, compactar el hormigón adecuadamente, lograr materiales uniformes, usar recubrimiento adecuados de hormigón sobre las armaduras, y aplicar un procedimiento de curado húmedo que permita desarrollar las propiedades del hormigón. 4.1

RELACIÓN AGUA-MATERIAL CEMENTICIO

A partir de la edición 1989 del Código, el parámetro que anteriormente se denominaba "relación agua-cemento" ha pasado a llamarse "relación agua-material cementicio." Esto se debe al reconocimiento de los demás materiales cementicios permitidos por el código para satisfacer las limitaciones de w/c relacionadas con la durabilidad del hormigón. Habitualmente la notación "w/c" se utiliza para indicar la "relación agua-material cementicio." La definición de "material cementicio" (ver Capítulo 2) permite utilizar materiales cementicios diferentes al cemento pórtland y los cementos hidráulicos para satisfacer los límites de w/c codificados. De acuerdo con el Código, para calcular las relaciones w/c el "material cementicio" puede incluir: •

Cemento pórtland (ASTM C 150)

•

Cemento hidráulico mezclado (ASTM C 595 y ASTM C 1157)

•

Cemento hidráulico expansivo (ASTM C 845)

2-8

ya sea utilizados solos o combinados con: •

Ceniza fina o volante (ASTM C 618)

•

Puzolanas naturales crudas o calcinadas (ASTM C 618)

•

Escoria granulada de alto horno (ASTM C 989)

•

Vapor de sílice (ASTM C 1240)

4.2

EXPOSICIÓN A TEMPERATURAS DE CONGELAMIENTO Y DESHIELO

El hormigón de las estructuras que estarán expuestas a temperaturas de congelamiento y deshielo o a sales anticongelantes debe contener un volumen mínimo de aire intencionalmente incorporado, el cual varía según la exposición sea severa o moderada como se indica en la Tabla 4.2.1. Las especificaciones técnicas del proyecto deberían exigir que el contenido de aire del hormigón entregado en obra no difiera de los valores meta indicados en la Tabla 4.2.1 en ±1,5 puntos porcentuales. Son condiciones de exposición severas aquellas en las cuales el hormigón puede estar permanentemente expuesto a temperaturas de congelamiento y deshielo o aquellas en las cuales se utilizan sales anticongelantes. Los ejemplos incluyen los pavimentos, los tableros de puentes, las aceras y las losas de los edificios para estacionamiento de vehículos. Cuando las condiciones de exposición son severas el Código también impone un límite máximo para la relación w/c y f'c mínima (ver 4.4.2). Son condiciones de exposición moderadas aquellas correspondientes a un clima frío donde el hormigón puede estar expuesto a temperaturas de congelamiento, pero sólo ocasionalmente estará expuesto a condiciones de humedad antes de congelarse, y donde no se utilizan sales anticongelantes. Los ejemplos incluyen ciertos tabiques, vigas y losas exteriores que no están en contacto directo con el suelo. Incorporando intencionalmente aire al hormigón se mejora significativamente la resistencia al congelamiento del hormigón endurecido expuesto al agua o a las sales anticongelantes. Un hormigón seco o que contiene apenas una pequeña cantidad de humedad no se ve afectado aunque el número de ciclos de congelamiento y deshielo sea elevado. La incorporación de aire también mejora la resistencia a los sulfatos. La incorporación de aire se puede lograr agregando un aditivo incorporador de aire a la mezcla, usando cemento incorporador de aire, o combinando ambos métodos. Los aditivos incorporadores de aire, los cuales se agregan en la mezcladora, deben satisfacer los requisitos de ASTM C 260 (3.6.4); los cementos incorporadores de aire deben satisfacer la especificaciones de ASTM C 150 y C 595 (3.2.1). Los cementos incorporadores de aire pueden ser difíciles de conseguir mientras que, por el contrario, la popularidad de los aditivos incorporadores de aire viene en aumento. La norma ASTM C 94 (Standard Specifications for Ready Mixed Concrete), la cual el Código ACI incorpora por referencia (5.8.2) exige la realización de ensayos para determinar el contenido de aire del hormigón. La frecuencia de estos ensayos es la misma requerida para la evaluación de la resistencia. Las muestras de hormigón se deben obtener según los requisitos de ASTM C 172, y se deben ensayar de acuerdo con ASTM C 173 o C 231. Otra propiedad que mejora significativamente la resistencia del hormigón a los ciclos de congelamiento y deshielo es el uso de una baja relación agua-material cementicio. Los hormigones de peso normal que estarán expuestos a condiciones de congelamiento y deshielo en estado húmedo y a las sales anticongelantes se deben dosificar de manera de satisfacer tanto la máxima relación w/c como la mínima resistencia indicadas en la Tabla 4.2.2. Esto sirve para asegurar que realmente se logre en obra la relación w/c requerida por motivos de durabilidad. El comentario introductorio incluido en el Capítulo 4 del Código dice … "La selección de una f'c consistente con la relación agua-material cementicio seleccionada por motivos de durabilidad ayudará a asegurar que en obra realmente se obtenga la relación agua-material cementicio requerida." Como mencionamos anteriormente, resulta difícil determinar con precisión la relación w/c del hormigón durante su elaboración y más difícil aún hacerlo como un control en obra. Las resistencias mínimas requeridas por durabilidad trasladan el control de calidad; en vez de limitar la relación w/c se limita la resistencia a la compresión especificada, la cual se puede controlar fácilmente. Para los hormigones de agregados livianos solamente se especifica una resistencia mínima, ya que las características variables de absorción de los agregados livianos no permiten calcular las relaciones w/c. Los hormigones usados en estructuras de contención de agua o expuestos a condiciones de exposición severas deben ser virtualmente impermeables al agua. La baja permeabilidad no sólo mejora la resistencia a los ciclos de congelamiento y 2-9

deshielo, especialmente en presencia de sales anticongelantes, sino que también mejora la resistencia del hormigón a la penetración de cloruros. Los hormigones de baja permeabilidad se deben dosificar de manera que la relación w/c especificada sea menor o igual que 0,50. Si el hormigón estará expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo en estado húmedo, la relación w/c debe ser menor o igual que 0,45. Además, para proteger contra la corrosión a las armaduras de los hormigones expuestos a sales anticongelantes (condiciones de congelamiento y deshielo en estado húmedo) y los hormigones expuestos al agua de mar, estos hormigones se deben dosificar con una relación w/c menor o igual que 0,40. Para las condiciones de exposición mencionadas también se deben satisfacer las resistencias mínimas del hormigón indicadas en la Tabla 4.2.2. El Ejemplo 2.1 ilustra la dosificación de una mezcla que satisface tanto la relación w/c como la resistencia requerida para lograr la durabilidad del hormigón. 4.2.3

Hormigón expuesto a productos químicos anticongelantes

La Tabla 4.2.3 limita el tipo y la cantidad de cemento pórtland que se permite reemplazar en los hormigones expuestos a las sales anticongelantes. La cantidad de ceniza volante u otra puzolana, o ambas, se limita al 25 por ciento del peso total del material cementicio. La escoria y el vapor de sílice se limitan al 50 por ciento y al 10 por ciento, respectivamente, del peso total. Si para reemplazar parcialmente al cemento se utiliza ceniza volante (u otra puzolana) junto con escoria y vapor de sílice, el peso total de estos materiales debe ser menor o igual que el 50 por ciento del peso total del material cementicio, y el porcentaje máximo de cada uno de los materiales de reemplazo utilizados no debe superar los límites establecidos para cada material en forma individual. Si la combinación de materiales utilizada para reemplazar parte del cemento no incluye escoria, el peso total de estos materiales debe ser menor o igual que 35 por ciento, y tampoco se deberán superar los límites establecidos para cada material en forma individual. Por ejemplo: Si un elemento de hormigón armado ha de estar expuesto a sales anticongelantes, la Tabla 4.2.2 establece que la relación w/c debe ser menor o igual que 0,40. Si el diseño de la mezcla requiere 280 lb de agua para producir una mezcla de hormigón con incorporación de aire que tenga un asentamiento determinado, el peso total del material cementicio no puede ser menor que 280/0,40 = 700 lb. Las 700 lb de "material cementicio" pueden estar compuestas exclusivamente por cemento pórtland o por una combinación de cemento pórtland y ceniza volante, puzolana, escoria o vapor de sílice. Si se utiliza ceniza volante para reemplazar parte del cemento pórtland, la máxima cantidad de ceniza volante está limitada a 0,25(700) = 175 lb, manteniendo la misma w/c = 280/(525 + 175) = 0,40. Si como reemplazo solamente se utiliza escoria, el contenido de escoria se limita a 0,50 (700) = 350 lb, con w/c = 280/ (350 + 350) = 0,40. Si para reemplazar parte del cemento se utiliza una combinación de ceniza volante y escoria, el contenido máximo de esta combinación está limitado a 0,50 (700) = 350 lb; la fracción de ceniza volante está limitada a 0,25 (700) = 175 lb de la combinación total, con w/c = 280/(350 + 175 + 175) = 0,40. Si como reemplazo se utiliza una combinación de ceniza volante y vapor de sílice (práctica habitual en los hormigones de alta calidad), la máxima cantidad de la combinación está limitada a 0,35 (700) = 245 lb; la fracción de vapor de sílice está limitada a 0,10 (700) = 70 lb, con w/c = 280/(385 + 245 + 70) = 0,40. Es evidente que se pueden reemplazar diferentes porcentajes del cemento, siempre y cuando no se superen los porcentajes individuales y combinados indicados en la Tabla 4.2.3. Se debe observar que las limitaciones sobre el reemplazo del cemento pórtland se aplican solamente a los hormigones expuestos a los potenciales efectos perjudiciales de los productos químicos anticongelantes. Investigaciones realizadas indican que la ceniza volante, la escoria y el vapor de sílice pueden reducir la permeabilidad del hormigón e impedir el ingreso de cloruros, ya que las pastas cementicias que se producen con estos materiales son más densas e impermeables. En cuanto al uso de ceniza volante y otras puzolanas, especialmente el vapor de sílice, vale la pena destacar que estos ingredientes son muy utilizados en los hormigones de alta calidad (HPC, según sus siglas en inglés) para disminuir su permeabilidad y aumentar su resistencia. 4.3

EXPOSICIÓN A LOS SULFATOS

2 - 10

Los sulfatos pueden atacar al hormigón que está contacto con el suelo, expuesto al agua de mar o expuesto a aguas subterráneas con un elevado contenido de sulfatos. Las medidas utilizadas para reducir el ataque de los sulfatos incluyen el uso de cemento resistente a los sulfatos. La susceptibilidad al ataque de los sulfatos es mayor en el caso de los hormigones expuestos a la humedad, como ocurre en las fundaciones y en las losas construidas directamente sobre el terreno, y en las estructuras expuestas directamente al agua de mar. Para los hormigones que estarán sujetos al ataque de los sulfatos contenidos en el suelo o el agua se debe especificar el uso de cementos resistentes a los sulfatos. La Tabla 4.3.1 lista los tipos adecuados de cementos resistentes a los sulfatos y las máximas relaciones agua-material cementicio, junto con las correspondientes resistencias mínimas del hormigón para diferentes condiciones de exposición. El grado de exposición se determina en base a la concentración de sulfatos solubles en agua presentes en el suelo o bien en base a la concentración de sulfatos presentes en el agua. Observar que en la Tabla 4.3.1 el agua de mar figura como una "exposición moderada," aún cuando el agua de mar generalmente contiene una concentración de sulfatos superior a 1500 ppm. Esto se debe a que la presencia de cloruros en el agua de mar inhibe la reacción expansiva que caracteriza los ataques por sulfatos.2.1 Para seleccionar el tipo de cemento adecuado para lograr resistencia a los sulfatos, la principal consideración a tener en cuenta es el contenido de aluminato tricálcico (C3A). Los cementos que contienen bajos porcentajes de C3A son particularmente resistentes a los suelos y aguas que contienen sulfatos. Cuando la protección contra un grado moderado de ataque de los sulfatos es una consideración importante, como en el caso de las estructuras de drenaje en áreas donde la concentración de sulfatos en el agua subterránea es mayor que lo habitual, pero el grado de ataque no es necesariamente severo (0,10 - 0,20 por ciento), se debería especificar el uso de cemento pórtland Tipo II (contenido máximo de C3A igual a ocho por ciento, de acuerdo con ASTM C 150). Se debería especificar cemento pórtland Tipo V para los hormigones expuestos a un grado de ataque de sulfatos severo, especialmente cuando el suelo o el agua subterránea tienen un elevado contenido de sulfatos. La elevada resistencia a los sulfatos del cemento Tipo V se atribuye a su bajo contenido de aluminato tricálcico (contenido máximo de C3A igual a cinco por ciento). Ciertos cementos mezclados (C 595) también proporcionan resistencia a los sulfatos. Cuando el grado de exposición a los sulfatos es de moderado a severo también se pueden utilizar otros tipos de cementos producidos con bajos contenidos de C3A. La resistencia a los sulfatos también aumenta cuando se incorpora aire y cuando los contenidos de cemento son elevados (relaciones agua-material cementicio bajas). Antes de especificar un cemento resistente a los sulfatos el ingeniero debe verificar su disponibilidad. Generalmente el cemento Tipo II se consigue sin dificultad; el cemento Tipo V sólo se consigue en ciertas áreas en las cuales es necesario diseñar para ambientes donde el grado de ataque de los sulfatos es severo o muy severo. Los cementos mezclados pueden ser difíciles de conseguir. 4.4

PROTECCIÓN CONTRA LA CORROSIÓN DE LAS ARMADURAS

Los cloruros pueden ingresar al hormigón a través de sus ingredientes: el agua de mezclado, los agregados, el cemento y los aditivos, o bien cuando el hormigón está expuesto a las sales anticongelantes, el agua de mar o el aire cargado de sal que caracteriza los ambientes costeros. Los valores máximos del contenido de cloruros indicados en la Tabla 4.4.1 se aplican a los cloruros aportados por los ingredientes del hormigón, no a los provenientes del ambiente que rodea a la estructura. Limitar el contenido de cloruros es responsabilidad del fabricante del hormigón, que se debe asegurar que los ingredientes utilizados para elaborar el hormigón (cemento, agua, agregados y aditivos) produzcan un hormigón en el cual el contenido de cloruros esté dentro de los límites especificados para las diferentes condiciones de exposición. De acuerdo con 4.4.1, para determinar el contenido de cloruros de los ingredientes individuales o de muestras de hormigón endurecido se deben utilizar los procedimientos de ensayo especificados en ASTM C 1218. Además de un elevado contenido de cloruros, para inducir el proceso de corrosión es necesaria la presencia de oxígeno y humedad. La disponibilidad de oxígeno y humedad cerca de las armaduras varía según las condiciones de exposición que existan durante la vida de servicio de la estructura, y estas condiciones difieren de una estructura a otra e incluso entre diferentes elementos de una misma estructura. Si se anticipa que los materiales a utilizar para preparar el hormigón aportarán cantidades significativas de cloruros, se deben ensayar los ingredientes individuales del hormigón, incluyendo el agua, los agregados, el cemento y los aditivos, para verificar que la concentración total de cloruros aportada por los ingredientes no supere los límites indicados en la Tabla 4.4.1. Estos límites han sido establecidos para lograr un umbral mínimo de protección contra la corrosión de las armaduras 2 - 11

previo a las condiciones de exposición de servicio. Los contenidos máximos de cloruros para la protección contra la corrosión también dependen del tipo de construcción y del ambiente al cual estará expuesto el hormigón durante su vida de servicio, tal como se indica en la Tabla 4.4.1. Todos los ingredientes usados para elaborar el hormigón contienen cantidades variables de cloruros. Existen cloruros solubles en agua y cloruros insolubles en agua, pero sólo los cloruros solubles en agua inducen la corrosión. Hay ensayos que permiten determinar tanto el contenido de cloruros solubles en agua como el contenido total de cloruros (solubles e insolubles). El ensayo para determinar el contenido de cloruros solubles es más lento y difícil de controlar, y por lo tanto es más costoso que el ensayo para determinar el contenido total de cloruros. Se puede obtener una estimación inicial del contenido de cloruros ensayando los diferentes ingredientes del hormigón para determinar su contenido total de cloruros (solubles e insolubles). Si el contenido total de cloruros es menor que el valor permitido por la Tabla 4.4.1 no será necesario determinar el contenido de cloruros solubles en agua. Pero si el contenido total de cloruros es mayor que el valor permitido será necesario ensayar muestras del hormigón endurecido para determinar su contenido de cloruros solubles en agua y comparar los resultados obtenidos con los valores de la Tabla 4.4.1. Algunos de los cloruros solubles de los ingredientes reaccionarán con el cemento durante el proceso de hidratación y se volverán insolubles, reduciendo así el contenido de cloruros solubles, o sea la causa de la corrosión. Del contenido total de cloruros del hormigón endurecido solamente del 50 al 85 por ciento es soluble en agua; el resto es insoluble. Observar que el hormigón endurecido debe tener como mínimo una edad de 28 días antes de tomar las muestras para los ensayos. Los cloruros son uno de los materiales más abundantes que existen en la tierra; todos los ingredientes usados para elaborar hormigón contienen cantidades variables de cloruros. Los materiales y condiciones que potencialmente podrían aportar elevados contenidos de cloruros incluyen: el uso de agua de mar como agua de mezclado o como agua para lavar los agregados, ya que el agua de mar contiene cantidades significativas de sulfatos y cloruros; el uso de agregados de origen marino, ya que estos agregados a menudo contienen sal proveniente del agua de mar; el uso de agregados que han sido contaminados por el aire cargado de sal de las áreas costeras; el uso de aditivos que contienen cloruros, como por ejemplo cloruro de calcio; y el uso de sales anticongelantes como en el caso de las losas de los edificios para estacionamiento de vehículos. El ingeniero debe tener en cuenta el potencial riesgo que representan los cloruros para el hormigón en los ambientes marítimos o en otros casos donde hay exposición a las sales solubles. Investigaciones realizadas indican que el valor límite del contenido de cloruros solubles en agua necesario para proteger a las armaduras contra la corrosión puede ser muy bajo, tan bajo como 0,15 por ciento en peso del cemento. Si el contenido de cloruros es mayor que este valor límite y hay oxígeno y humedad disponibles, es muy probable que se produzca corrosión. Si el contenido de cloruros es menor que este valor límite, el riesgo de corrosión es bajo. Dependiendo del tipo de construcción y del ambiente al cual la construcción estará expuesta durante su vida de servicio, y dependiendo también de la protección provista para limitar el ingreso de cloruros, el nivel de cloruros del hormigón puede aumentar con la edad y la exposición. La protección del hormigón contra el ingreso de cloruros se trata en la Sección 4.4.2 y la Tabla 4.2.2. Para proteger contra la corrosión "a las armaduras del hormigón expuesto al ingreso de cloruros provenientes de productos químicos anticongelantes, aguas salobres, agua de mar o atmósferas afectadas por estas fuentes," se debe especificar una relación w/c máxima igual a 0,40 y una resistencia mínima de 5000 psi. La resistencia a la corrosión de las armaduras también mejora cuando se utilizan recubrimientos de hormigón de mayor espesor. Si el hormigón estará expuesto a fuentes externas que podrían provocar el ingreso de cloruros, la Sección R7.7.5 recomienda utilizar un recubrimiento mínimo de hormigón de 2 in. para los tabiques y losas hormigonados en obra y de 2-1/2 in. para los demás elementos. Para los elementos prefabricados producidos en una planta los recubrimientos mínimos de hormigón recomendados son de 1-1/2 in. y 2 in., respectivamente. Otros métodos para reducir la corrosión provocada por el medioambiente incluyen el uso de armaduras con revestimiento epoxi, aditivos inhibidores de la corrosión, tratamientos superficiales y protección catódica. Revestir las armaduras con resina epoxi impide que los cloruros lleguen al acero de las armaduras. Los aditivos inhibidores de la corrosión intentan detener químicamente la reacción de corrosión. Los tratamientos superficiales intentan detener o reducir la penetración de cloruros en las superficies expuestas de hormigón. Los métodos de protección catódica invierten el flujo de la corriente de corrosión a través del hormigón y las armaduras. Se debe observar que, dependiendo de la potencial severidad de la exposición a los cloruros y del tipo e importancia de la construcción, se pueden combinar dos o más de los métodos mencionados a fin de lograr una protección "aditiva." Por ejemplo, para las losas pretensadas usadas para estacionamiento de vehículos en climas fríos en los cuales se utilizan sales anticongelantes para retirar la nieve y el hielo, toda la armadura convencional y los cables de postesado pueden tener revestimiento epoxi, y todo el sistema de cables incluyendo los anclajes se pueden encapsular en un sistema impermeable al agua especialmente diseñado para ambientes agresivos. Junto con estas 2 - 12

medidas se puede utilizar hormigón de alta calidad (impermeable), cubriendo toda la superficie de la losa con un tratamiento superficial con múltiples capas de membrana. En algunos casos se pueden justificar estas medidas de protección extremas. Para asegurar la resistencia contra la corrosión también se pueden realizar ensayos para determinar la permeabilidad a los cloruros. La norma ASTM C 1202, la cual se introdujo a partir de la edición 2002 del Código, proporciona un método de ensayo para obtener una indicación eléctrica de la capacidad del hormigón de resistir la penetración de los cloruros. Esta norma se basa en la AASHTO T 277-83, documento anteriormente referenciado por el Código. CAPÍTULO 5 – CALIDAD, MEZCLADO Y COLOCACIÓN DEL HORMIGÓN ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 1.

Se agregó una oración al final del artículo 5.1.1 que estable que la resistencia a la compresión especificada del hormigón, f'c, debe ser mayor o igual que 2500 psi.

2.

Se introdujeron varias revisiones significativas con respecto a las sobrerresistencias de diseño y los criterios de conformidad de los hormigones que tienen una resistencia a la compresión especificada, f'c, mayor que 5000 psi. Estas revisiones incluyen una modificación del cálculo de la resistencia a la compresión promedio requerida, f'cr, indicado en la nueva Tabla 5.3.2.1 (cuando hay datos de ensayos disponibles que permiten determinar la desviación estándar) y en la Tabla 5.3.2.2 existente (cuando no hay datos de ensayos disponibles). También se introdujeron los cambios correspondientes en los artículos 5.6.3.3(b), 5.6.5.1 y 5.6.5.2. Los criterios de conformidad actuales para los hormigones de todas las resistencias requieren realizar una investigación cuando los resultados de los ensayos de resistencia están más de 500 psi por debajo de f'c. El nuevo criterio de conformidad para los hormigones de más de 5000 psi exige realizar una investigación cuando los resultados de los ensayos de resistencia están más de un 10 por ciento por debajo de f'c. Este nuevo criterio permitirá que la variación de los resultados de los ensayos de resistencia sea mayor que 500 psi (por ejemplo, 600 psi para f'c = 6000 psi; 700 psi para f'c = 7000 psi; 800 psi para f'c = 8000 psi). Esto se fundamenta en el análisis exhaustivo de los resultados de ensayos de hormigones de alta resistencia que se han realizado durante los últimos veinte años. Estas revisiones fueron recomendadas por el Comité ACI 363 (Hormigón de Alta Resistencia), el Comité ACI 214 (Evaluación de los Datos obtenidos de Ensayos de Resistencia) y el Comité ACIC 211 (Dosificación del Hormigón), y su objetivo es proporcionar criterios más razonables y realistas para los hormigones de alta resistencia.

3.

También se revisaron los métodos de preparación y almacenamiento de los testigos luego de su extracción y los límites de tiempo especificados para su ensayo (ver 5.6.5.3).

5.1.1

Dosificación del hormigón por resistencia

La dosificación por resistencia de las mezclas de hormigón se basa en conceptos probabilísticos cuya intención es garantizar que el hormigón desarrolle una resistencia adecuada. El artículo 5.1.1 enfatiza que la resistencia promedio del hormigón producido debe ser mayor que la f'c especificada en base a los requisitos de diseño estructural o mayor que la mínima resistencia requerida por las condiciones especiales de exposición descriptas en el Capítulo 4, cualquiera sea el valor que resulte mayor. Es posible que los resultados de los ensayos de resistencia de un hormigón dosificado de acuerdo con el enfoque probabilístico del Código sean menores que la resistencia a la compresión especificada, f'c. La Sección 5.1.1 introduce este concepto observando que la intención del Código es "minimizar la frecuencia de las resistencias por debajo de f'c." Si el resultado de un ensayo de resistencia es menor que f'c, la aceptabilidad de esta menor resistencia se determina en base a los requisitos de la Sección 5.6.2.3. En la edición 2002 del Código se agregó una limitación que establece que la resistencia mínima a la compresión especificada, f'c, debe ser mayor o igual que 2500 psi. De este modo el Código es ahora consistente con los requisitos mínimos establecidos en algunos de los códigos modelo utilizados a nivel nacional, incluyendo el IBC. 5.1.3

Edad del hormigón para el ensayo de resistencia

La Sección 5.1.3 permite basar f'c en ensayos realizados a edades diferentes a la edad habitual de 28 días. Si los ensayos se realizan a una edad diferente a los 28 días, esta edad debe estar indicada en los planos o especificaciones técnicas. En los edificios en altura muchas veces se utilizan hormigones con resistencias a la compresión superiores a 6000 psi, y hasta se han llegado a utilizar hormigones con resistencias de 20.000 psi. En estos casos se justifica realizar los ensayos de 2 - 13

resistencia a edades superiores a los 28 días. El proceso constructivo de los edificios en altura que requieren hormigón de alta resistencia es tal que las columnas de los pisos inferiores no están totalmente cargadas hasta que ha transcurrido un año o más desde el inicio de su construcción. Por este motivo habitualmente se especifican resistencias a la compresión, f'c, obtenidas de ensayos realizados a edades de 56 ó 90 días. 5.2

DOSIFICACIÓN DEL HORMIGÓN

La Referencia 2.1 contiene recomendaciones para la dosificación de las mezclas de hormigón. Las normas ACI 211.5 y ACI 211.1 (Referencias 2.5 y 2.6) también contienen recomendaciones para seleccionar la dosificación de diferentes tipos de hormigón. El uso de la experiencia recabada en obra o de pastones de prueba preparados en laboratorio (ver 5.3) es el método de preferencia para seleccionar la dosificación de una mezcla de hormigón. Si no hay datos de experiencias previas ni ensayos en laboratorio disponibles, el profesional matriculado puede obtener autorización para basar la dosificación del hormigón en "otras experiencias o información," según lo especificado en la Sección 5.4. 5.3

DOSIFICACIÓN EN BASE A LA EXPERIENCIA EN OBRA Y/O PASTONES DE PRUEBA

5.3.1

Desviación estándar

Para establecer la dosificación de una mezcla de hormigón se recomienda utilizar pastones de prueba preparados en laboratorio o experiencia recabada en obra como la base sobre la cual seleccionar la relación agua-material cementicio requerida. El Código enfatiza el uso de un enfoque estadístico para establecer la resistencia meta, f'cr, requerida a fin de asegurar que se logre la resistencia a la compresión especificada, f'c. Si se conoce una desviación estándar aplicable, s, para los ensayos de resistencia del hormigón se puede establecer el nivel de resistencia meta para el cual se debe dosificar el hormigón. Si no se conoce la desviación estándar la dosificación se debe seleccionar de manera de producir una resistencia meta conservadora suficiente para permitir un elevado grado de variabilidad entre los resultados de los ensayos de resistencia. Si desea obtener información sobre los conceptos estadísticos utilizados y cómo se relacionan con el hormigón, el lector puede consultar las Referencias 2.7 y 2.8. El hormigón utilizado en los ensayos previos realizados para determinar la desviación estándar se considera "similar" al especificado si fue elaborado con los mismos tipos generales de ingredientes, bajo condiciones de control de calidad y con métodos de producción no más restrictivos que los especificados para las obras propuestas, y si su resistencia especificada no se desvía del valor de f'c especificado en más de 1000 psi. La modificación del tipo de hormigón o el aumento significativo del nivel de resistencia puede provocar un aumento de la desviación estándar. Esta situación podría ocurrir si se modifica el tipo de agregados (por ejemplo, si se cambian agregados naturales por agregados livianos o viceversa) o si se modifican las características del hormigón (por ejemplo, si se cambia hormigón con incorporación de aire por hormigón sin incorporación de aire). La desviación estándar también puede aumentar si se incrementa significativamente el nivel de resistencia promedio, aunque en este caso el aumento de la desviación estándar debería ser menor que el valor directamente proporcional al aumento de resistencia. Si existe una duda razonable en cuanto a su confiabilidad, cualquier desviación estándar estimada utilizada para calcular la resistencia promedio requerida siempre debería ser conservadora (elevada). Normalmente las desviaciones estándares se establecen usando como mínimo 30 ensayos consecutivos sobre materiales representativos. Si la cantidad de ensayos disponibles es menor que 30 pero mayor o igual que 15, la Sección 5.3.1.2 especifica un aumento proporcional de la desviación estándar calculada a medida que el número de ensayos consecutivos disminuye de 29 a 15. Los métodos estadísticos constituyen una valiosa herramienta para evaluar los resultados de los ensayos de resistencia. Es importante que los técnicos del hormigón comprendan el lenguaje básico de la estadística y que sean capaces de emplear esta herramienta de forma efectiva para evaluar los resultados de ensayos.

2 - 14

La Figura 2-1 ilustra algunos conceptos estadísticos fundamentales. Los puntos representan los resultados* de seis (6) ensayos de resistencia consecutivos realizados sobre una clase dada de hormigón. La recta horizontal representa el promedio de los ensayos, que se designa como X . El promedio se calcula sumando todos los valores obtenidos de los ensayos y dividiendo por el número de valores sumados. Por ejemplo, en la Figura 2-1:

Resistencia (psi)

6000 X5

5000 4000

X1

X4 X

3000 2000

X3 X6

X2

1000 0 Ensayo No.

Figura 2-1 – Interpretación de los términos estadísticos X = ( 400 + 2500 + 3000 + 4000 + 5000 + 2500 ) / 6 = 3500 psi

El promedio X proporciona una medida del nivel de resistencia global del hormigón ensayado. También sería útil tener un valor único que representara la variabilidad de los datos con respecto al promedio. En la Figura 2-1 las desviaciones por encima y por debajo del promedio (3500 psi) se representan mediante líneas verticales. Si acumuláramos la longitud total de estas líneas verticales sin fijarnos si están por encima o por debajo del promedio, y si dividiéramos la longitud total por el número de ensayos, el resultado que obtendríamos sería la longitud promedio, o la distancia promedio a partir de la resistencia promedio:

( 500 + 1000 + 500 + 500 + 1500 + 1000 ) / 6 = 833 psi Esta es una medida de la variabilidad. Si los resultados de los ensayos fueran muy variables estas líneas verticales serían largas. Por el contrario, si todos los resultados fueran similares las líneas serían cortas. Para resaltar el impacto de unos pocos valores de ensayo muy altos o muy bajos, los expertos en estadística recomiendan utilizar el cuadrado de las longitudes de las líneas verticales. La raíz cuadrada de la sumatoria del cuadrado de las longitudes dividida por el número de ensayos menos uno (algunos textos utilizan directamente el número de ensayos) se conoce como la desviación estándar. Esta medida de la variabilidad habitualmente se representa mediante la letra s. Matemáticamente s se expresa como:

s=

∑ (X − X)

2

n −1

donde: s = desviación estándar, psi

*

El resultado de un ensayo de resistencia es igual al promedio de las resistencias de dos probetas cilíndricas preparadas del mismo pastón de hormigón y ensayadas a la misma edad.

2 - 15

∑ indica la sumatoria X = resultado de un ensayo de resistencia individual, psi X = resistencia promedio, psi

n = número de ensayos Por ejemplo, para los datos graficados en la Figura 2-1, la desviación estándar sería:

( X1 − X ) + ( X 2 − X ) + ( X3 − X ) + ( X 4 − X ) + ( X5 − X ) + ( X6 − X ) 2

s=

2

2

2

2

2

6 −1

valor que se calcula de la siguiente manera: Desviación ( X − X )

(X − X)

2

(longitud de las líneas verticales) (longitud al cuadrado) 4000 – 3500 = +500 +250.000 2500 – 3500 = –1000 +1.000.000 3000 – 3500 = –500 +250.000 4000 – 3500 = +500 +250.000 5000 – 3500 = +1500 +2.250.000 +1.000.000 2500 – 3500 = –1000 Total +5.000.000 s=

5.000.000 = 1000 psi (valor muy elevado) 5

Para resistencias del hormigón comprendidas entre 3000 y 4000 psi, la desviación estándar anticipada, representativa de diferentes niveles de control de calidad, variará de la siguiente manera: Desviación estándar

Representa

300 a 400 psi 400 a 500 psi 500 a 600 psi > 600 psi

Excelente control de calidad Buen control de calidad Regular control de calidad Pobre control de calidad

Para los hormigones de muy alta resistencia, también conocidos como hormigones de alta calidad, que tienen resistencias superiores a los 10.000 psi, la desviación estándar anticipada variará de la siguiente manera: 300 a 500 psi 500 a 700 psi > 700 psi

Excelente control de calidad Buen control de calidad Pobre control de calidad

Resulta obvio que calcular s de la manera antes descripta sería un proceso muy laborioso y lento. La mayoría de las calculadoras científicas pueden calcular la desviación estándar de forma directa. Las calculadoras vienen con las ecuaciones matemáticas programadas, y para obtener la desviación estándar de un conjunto de datos el usuario simplemente debe ingresar los datos estadísticos (valores de ensayo) y luego presionar la tecla de función adecuada. El Ejemplo 2.2 ilustra cómo se realiza una evaluación estadística típica de los resultados obtenidos de los ensayos de resistencia. El coeficiente de variación es simplemente la desviación estándar expresada como porcentaje del valor promedio. La expresión matemática es la siguiente:

2 - 16

V=

s × 100% X

Para los resultados de ensayo graficados en la Figura 2-1:

V=

1000 × 100 = 29% 3500

La desviación estándar se puede calcular ya sea a partir de un único grupo de ensayos sucesivos de una clase dada de hormigón, o bien a partir de dos grupos de ensayos. En el este último caso se debe utilizar un valor promedio estadístico de la desviación estándar, que se calcula aplicando los métodos estadísticos habituales de la siguiente manera:

( n1 − 1)( s1 )2 + ( n 2 − 1)( s2 )2

s3 =

n total − 2

donde: n1 = número de ensayos en el grupo 1 n 2 = número de ensayos en el grupo 2 n total = n1 + n 2

s1 o s2 se calculan de la siguiente manera:

( X1 − X ) + ( X 2 − X ) 2

s=

2

+ ... + ( X n − X )

2

n −1

Para simplificar los cálculos, s=

o

s=

X12 + X 22 + X32 + ... + X 2n − nX 2 n −1

(

)

X12 + X 22 + X32 + ... + X n2 −

( X1 + X 2 + X3 + ... + X n )2

n −1

n

donde X1, X2, X3, … Xn son los resultados de los ensayos de resistencia individuales y n es el número total de ensayos de resistencia realizados. 5.3.2

Resistencia promedio requerida

Si las instalaciones donde se elabora el hormigón llevan un registro en base a un mínimo de 30 ensayos de resistencia consecutivos representativos de materiales y condiciones similares a las anticipadas (o un registro en base a un número de ensayos consecutivos comprendido entre 15 y 29 con la desviación estándar calculada modificada por el factor aplicable de la Tabla 5.3.1.2), la resistencia utilizada como base para seleccionar la dosificación del hormigón para una resistencia a la compresión especificada, f'c, mayor o igual que 5000 psi debe ser el mayor de los siguientes valores: f cr' = f c' + 1,34 s

Tabla 5.3.2.1, (5-1)

2 - 17

f cr' = 0,90 f c' + 2,33 s − 500

y

Tabla 5.3.2.1, (5-2)

Para resistencias a la compresión especificadas, f'c, superiores a 5000 psi, la resistencia usada como base para seleccionar la dosificación del hormigón debe ser el mayor de los siguientes valores:

y

f cr' = f c' + 1,34 s

Tabla 5.3.2.1, (5-1)

f cr' = 0,90 f c' + 2,33 s

Tabla 5.3.2.1, (5-3)

Si no se conoce la desviación estándar, la resistencia promedio requerida, f'cr, usada como base para seleccionar la dosificación del hormigón se debe determinar de la Tabla 5.3.2.2: Para f c'

menor que 3000 psi

f cr' = f c' + 1000 psi

comprendida entre 3000 y 5000 psi

f cr' = f c' + 1200 psi

mayor que 5000 psi

f cr' = f c' + 1,10 f c' + 700 psi

Las fórmulas para calcular las resistencias meta requeridas se basan en los siguientes criterios: 1. 2. 3.

Una probabilidad de 1 en 100 de que el promedio de 3 ensayos de resistencia consecutivos estará por debajo de la resistencia especificada, f c' : f cr' = f c' + 1,34 s , y Una probabilidad de 1 en 100 de que el resultado de un ensayo de resistencia individual estará más de 500 psi por debajo de la resistencia especificada f c' : f cr' = f c' + 2,33 s − 500 (para resistencias menores o iguales que 5000 psi), y Una probabilidad de 1 en 100 de que el resultado de un ensayo de resistencia individual estará más de 0,9f c' por debajo de la resistencia especificada f c' (para resistencias mayores que 5000 psi): f cr' = 0,90 f c' + 2,33 s .

Con el Criterio (1) se obtendrán resistencias meta mayores que con el Criterio (2) cuando las desviaciones estándares son bajas o moderadas, de hasta 500 psi. Sin embargo, para desviaciones estándares más elevadas el criterio determinante será en Criterio (2). La intención de los requisitos de resistencia promedio de la Sección 5.3.2 es proporcionar un nivel de seguridad aceptable de que las resistencias del hormigón son aceptables desde los siguientes puntos de vista: (1) el promedio de los ensayos de resistencia a lo largo de un período de tiempo apreciable (tres ensayos consecutivos) es mayor o igual que la resistencia a la compresión especificada, f'c; o (2) el resultado de un ensayo de resistencia individual no está más de 500 psi por debajo de f'c (para resistencias menores o iguales que 5000 psi); o (3) el resultado de un ensayo de resistencia individual no está más de 0,90f'c por debajo de f'c (para resistencias superiores a los 5000 psi). 5.3.3

Documentación de la resistencia promedio

Los procedimientos de aprobación de la mezcla son necesarios para asegurar que el hormigón entregado realmente satisfaga los requisitos de resistencia. Los pasos a seguir para la aprobación de una mezcla se pueden resumir de la siguiente manera: 1. Determinar la desviación estándar anticipada a partir de las experiencias previas. a. Esto se hace examinando un registro de 30 ensayos consecutivos realizados sobre una mezcla similar. b. Si resulta difícil hallar una mezcla similar para la cual se hayan realizado 30 ensayos consecutivos, la desviación estándar se puede calcular en base a dos mezclas, siempre y cuando el número total de ensayos sea mayor o igual que 30. En este caso las desviaciones estándar se calculan por separado y luego se promedian usando el método estadístico descripto en párrafos precedentes.

2 - 18

2. Usar la desviación estándar para seleccionar la resistencia meta apropiada, el mayor de los valores de las Tablas 5.3.2.1 (5-1), (5-2) y (5-3). a. Por ejemplo, si la desviación estándar es igual a 450 psi, la sobrerresistencia debe ser el mayor de los siguientes valores: 1,34 ( 450 ) = 603 psi 2,33 ( 450 ) − 500 = 549 psi

Por lo tanto, para una resistencia de 3000 psi, la resistencia promedio usada como base para seleccionar la dosificación de la mezcla de hormigón debe ser de 3600 psi. b. Observar que si no hay registros de ensayos aceptables disponibles la resistencia promedio debe ser 1200 psi mayor que f'c (es decir, una resistencia promedio de 4200 psi para un hormigón con una resistencia especificada de 3000 psi), ver Tabla 5.3.2.2. 3. Proveer documentación que establezca que la mezcla propuesta proporcionará la resistencia promedio requerida. Esta documentación pueden consistir en: a. Un registro de 30 ensayos del hormigón en obra. Este generalmente será el mismo registro usado para documentar la desviación estándar, pero puede corresponder a un conjunto de 30 resultados diferentes; o bien b. Datos de ensayos realizados en laboratorio, obtenidos de una serie de pastones de prueba. Si la documentación de la resistencia promedio para resistencias superiores a 5000 psi se basan en pastones de prueba preparados en laboratorio está permitido aumentar el valor de f'c calculado en la Tabla 5.3.2.2 para tomar en cuenta la posibilidad que la resistencia obtenida en las pruebas en laboratorios sea menor que la resistencia correspondiente a la producción real. El artículo 5.3.3.2(c) establece tolerancias para el asentamiento y el contenido de aire de las mezclas dosificadas en base a pastones de prueba preparados en laboratorio. Los límites de tolerancia se establecen como valores máximos permitidos, ya que la mayoría de las especificaciones, independientemente de su forma, permiten establecer un valor máximo para el asentamiento o el contenido de aire. Estas tolerancias para el asentamiento y el contenido de aire solamente son aplicables en caso que se utilicen pastones de prueba, y no en el caso que se utilicen registros de ensayos realizados sobre el hormigón en obra. El Ejemplo 2.3 ilustra la selección de la dosificación de un hormigón en base a pastones de prueba. 5.4

DOSIFICACIÓN SIN EXPERIENCIA EN OBRA NI PASTONES DE PRUEBA

Si no hay información recabada de la experiencia en obra ni de pastones de prueba, para seleccionar la relación aguamaterial cementicio se pueden usar "otras experiencias o información." Sin embargo, esta opción solamente se permite con la aprobación del ingeniero/arquitecto responsable por el proyecto. Observar que necesariamente esta opción debe ser conservadora, y requiere una sobrerresistencia meta bastante elevada (1200 psi). Si, por ejemplo, la resistencia especificada es de 3000 psi, la resistencia usada como base para seleccionar la dosificación de la mezcla de hormigón (relación agua-material cementicio) debe ser de 4200 psi. Por motivos de economía, esta opción se debería usar exclusivamente en aquellos casos en que no se justifica el costo adicional que implicaría obtener datos sobre pastones de prueba. Observar también que esta alternativa se aplica solamente para resistencias a la compresión especificadas de hasta 5000 psi; para resistencias más elevadas se exige que la dosificación se base en la experiencia en obra o en pastones de prueba. La edición 1999 del Código limitaba la máxima resistencia dosificada sin experiencia en obra ni pastones de prueba a 4000 psi. 5.6

EVALUACIÓN Y CONFORMIDAD DEL HORMIGÓN

5.6.1

Técnicos que realizan los trabajos en laboratorio y en obra

2 - 19

Los procedimientos de ensayo para el hormigón indicados en el Código demandan personal con conocimientos y habilidades específicas. La experiencia ha demostrado que solamente los técnicos en obra correctamente capacitados y el personal de laboratorio certificado bajo programas reconocidos a nivel nacional pueden asegurar el nivel necesario para obtener resultados de ensayo significativos. En el Código 2002 se agregaron requisitos en la Sección 5.6.1 que exigen que los ensayos en obra sobre hormigón fresco y los procedimientos requeridos para preparar las probetas de hormigón para los ensayos de resistencia deben ser ejecutados por "un técnico en ensayos en obra calificado." Los procedimientos habitualmente realizados en obra y que deberán ser ejecutados por técnicos calificados incluyen el muestreo del hormigón fresco; el ensayo de asentamiento, contenido de aire y temperatura; y la preparación y curado de las probetas para ensayo. Los técnicos a cargo de estas tareas en obra pueden ser Técnicos en Ensayos de Hormigón en Obra certificados a través del Programa de Certificación Grado I de ACI. La Sección 5.6.1 también requiere que todos los ensayos de laboratorio requeridos sean realizados por "técnicos de laboratorio calificados." Los técnicos de laboratorio que realizan ensayos del hormigón pueden ser Técnicos en Ensayos de Hormigón en Laboratorio o Técnicos en Ensayos de Resistencia del Hormigón certificados por ACI, o bien técnicos certificados en los requisitos de ASTM C 1007. La siguiente discusión del Capítulo 5 del Código se ocupa de la dosificación de las mezclas de hormigón por resistencia, en base a conceptos probabilísticos. 5.6.2

Frecuencia de los ensayos

La dosificación de un hormigón de acuerdo con el enfoque probabilístico del Código requiere un número estadísticamente aceptable de ensayos de resistencia. Exigiendo la realización de ensayos de resistencia siguiendo una frecuencia mínima especificada se obtiene una base estadística. A continuación resumimos el criterio de frecuencia mínima indicado en el Código para la toma de muestras para los ensayos de resistencia**, en base a un criterio diario y a un criterio por proyecto (el más estricto de los cuales será el determinante***) para cada clase de hormigón. 5.6.2.1

• • •

Un ensayo por día, ni menor que Un ensayo cada 150 yardas cúbicas de hormigón colocado, ni menor que Un ensayo cada 500 pies cuadrados de área superficial de losas o tabiques colocados.

5.6.2.2

•

Mínimo número de ensayos de resistencia por día – Este número no debe ser menor que:

Mínimo número de ensayos de resistencia por proyecto – Este número no debe ser menor que:

Cinco ensayos de resistencia de cinco (5) pastones seleccionados aleatoriamente o de cada pastón si el número de pastones es menor que cinco.

Si la cantidad total de hormigón colocado en un proyecto es menor que 50 yardas cúbicas, el artículo 5.6.2.3 permite obviar los ensayos de resistencia si la autoridad fiscalizadora así lo permite. De acuerdo con la norma ASTM para la elaboración de probetas de hormigón en obra (ASTM C 31), las probetas de ensayo deben ser cilíndricas, 6 × 12 in., a menos que las especificaciones técnicas establezcan otras dimensiones. Ahora que se ha popularizado el uso de hormigones de alta resistencia (resistencias superiores a 10.000 psi), las probetas cilíndricas normalizadas requieren equipos de ensayo de muy elevada capacidad, y no todos los laboratorios tienen estos equipos. En consecuencia, la mayoría de los proyectos en los cuales se usará hormigón de muy alta resistencia específicamente permiten utilizar probetas cilíndricas 4 × 8 in. Las probetas 4 × 8 in. requieren aproximadamente la mitad de la capacidad de ensayo que requieren las probetas 6 × 12 in. Además, para su control de calidad interno la mayoría de los productores de hormigón prefabricado utilizan probetas cilíndricas 4 × 8 in. ** ***

Ensayo de resistencia = Promedio de las resistencias de dos probetas cilíndricas (ver 5.6.1.4) Para un proyecto dado, si el volumen total de hormigón es tal que con la frecuencia de los ensayos requerida por 5.6.1.1 para una clase determinada de hormigón habrá menos de cinco ensayos, el criterio determinante será el criterio por proyecto.

2 - 20

Se debe observar que el número total de probetas cilíndricas preparadas para un proyecto normalmente será mayor que el número mínimo indicado en el Código necesario para determinar la conformidad de la resistencia del hormigón (dos probetas por cada ensayo de resistencia). Para un determinado proyecto sería prudente incluir probetas para realizar ensayos a 7 días o para curarlas en obra y verificar el desarrollo de resistencia temprana para el desencofrado, más una o dos probetas de reserva, en caso que alguna probeta se rompa o que sea necesario repetir un ensayo. El Ejemplo 2.4 ilustra los criterios de frecuencia descriptos en los párrafos precedentes para un proyecto de gran envergadura (5.6.2.1 es determinante). El Ejemplo 2.5 ilustra el caso de un proyecto menor (5.6.2.2 es determinante). 5.6.3.3 Conformidad del hormigón – El nivel de resistencia de una clase individual de hormigón se considera satisfactorio si se satisfacen los dos criterios siguientes:

1.

Ningún resultado de un ensayo de resistencia individual (el promedio de las resistencias de un mínimo de dos probetas de un pastón) debe estar más de 500 psi por debajo de la resistencia a la compresión especificada cuando f'c es menor o igual que 5000 psi (por ejemplo, menor que 2500 psi para una resistencia a la compresión especificada del hormigón igual a 3000 psi); ni más de 10 por ciento por debajo de f'c cuando f'c es mayor que 5000 psi.

2.

El promedio de los resultados de tres ensayos de resistencia consecutivos cualesquiera debe ser mayor o igual que la resistencia a la compresión especificada, f'c.

Los Ejemplos 2.6 y 2.7 ilustran resultados de ensayos de resistencia "aceptables" (o conformes) y "no aceptables" (o no conformes o de baja resistencia). 5.6.5

Investigación a realizar cuando los resultados de los ensayos indican que la resistencia es baja

Si el promedio de los resultados de tres ensayos consecutivos es menor que la resistencia especificada se deben tomar medidas para aumentar el nivel de resistencia del hormigón (ver 5.6.3.4). Si el resultado de un ensayo de resistencia individual está más de 500 psi por debajo de la resistencia especificada cuando f'c es menor o igual que 5000 psi, o está más de 10 por ciento por debajo de f'c cuando f'c es mayor que 5000 psi, es posible que haya problemas aún más serios. Es por ello que se debe realizar una investigación de acuerdo con los procedimientos indicados en la Sección 5.6.5. Observar que, para determinar la conformidad del hormigón, el resultado de un ensayo de resistencia individual (un "ensayo") siempre es la resistencia promedio de dos probetas ensayadas a la edad especificada, que normalmente es de 28 días. Debido a las numerosas variables potenciales que se presentan en la elaboración y el manipuleo del hormigón, la conformidad del hormigón nunca se basa en el ensayo de una única probeta. Dos causas habituales que provocan bajos resultados de ensayo2.9 son: (1) el incorrecto manipuleo y ensayo del hormigón, detectado como factor contribuyente en la mayoría de los casos investigados; y (2) la reducción de la resistencia del hormigón debida a un error en la producción, o la adición de demasiada agua en obra. Esto último generalmente ocurre cuando la colocación del hormigón se demora o cuando se requieren hormigones de asentamiento elevado. Un elevado contenido de aire provocado por la sobredosificación de un aditivo incorporador de aire en la planta elaboradora también puede ser la causa de las bajas resistencias. Si se informa una resistencia insuficiente, es fundamental realizar una investigación siguiendo una secuencia lógica de posibles causas y efectos. Antes de tomar ninguna medida se deben revisar todos los informes de ensayos y analizar todos los resultados. Se debe investigar si los resultados de los ensayos se ajustan a algún patrón que permita inferir la causa. Hay algo que indique que se han violado las especificaciones? Es necesario observar el asentamiento, el contenido de aire, la temperatura del hormigón, la temperatura ambiente, el número de días que las probetas permanecieron en obra y en qué condiciones de curado, y cualquier defecto de las probetas que se haya informado. Si la deficiencia justifica una investigación, en primer término se debe verificar la precisión de los ensayos, y luego comparar los requisitos estructurales con la resistencia medida. En las primeras etapas de la investigación se debe prestar particular atención al manipuleo y ensayo de las probetas. Probablemente si hay discrepancias menores en el curado de los cilindros en climas moderados, esto no afectará mucho la resistencia, pero si las discrepancias son significativas puede haber una reducción importante de la resistencia. Casi todas las deficiencias relacionadas con el manipuleo y el ensayo de las probetas disminuirá su resistencia. Si la reducción es significativa puede que haya sido originada por varias violaciones 2 - 21

simultáneas. Los ejemplos de este tipo de violaciones incluyen: probetas que permanecen en obra demasiados días; probetas curadas a una temperatura superior a 80ºF; probetas congeladas; probetas que han sufrido impactos durante su transporte; demora del curado húmedo en el laboratorio; y falta de cuidado al aplicar la carga a las probetas. Para investigar el hormigón colocado en obra es fundamental conocer en qué parte de la estructura se encuentra el "hormigón ensayado" y de cuál pastón (camión) se tomó el hormigón. Esta información debe formar parte de los datos registrados en el momento en que se moldean las probetas. Si se encuentra que los resultados de los ensayos son deficientes, puede ser necesario realizar ensayos de resistencia sobre testigos tomados del hormigón colocado y endurecido para verificar la conformidad con el Código y con la documentación técnica. Si la resistencia es mayor que la requerida no tiene sentido investigar la resistencia del hormigón colocado y endurecido. Sin embargo, si los procedimientos de ensayo se ajustan a las normas y los resultados de los ensayos indican que la resistencia del hormigón es menor que la requerida para el elemento en cuestión, es posible que sea necesario investigar el hormigón colocado y endurecido (ver 5.6.5). Los laboratorios deben ser responsables por las deficiencias de sus procedimientos. El uso de personal calificado es de importancia fundamental. El personal a cargo de la toma de muestras de hormigón, la preparación de las probetas cilíndricas, y de la operación de los equipos de laboratorio debe estar certificado bajo el programa de certificación de ACI o su equivalente (ver 5.6.1). Si fuera necesario ensayar testigos de hormigón, la extracción de los testigos del área cuestionada se debe realizar de acuerdo con los procedimientos descriptos en ASTM C 42. El ensayo de los testigos de hormigón se debe realizar con sumo cuidado, tanto en la operación del propio ensayo como en la interpretación de los resultados. ASTM C 42 presenta procedimientos detallados. Los siguientes lineamientos ayudan a garantizar que los procedimientos de extracción y ensayo de los testigos sean adecuados: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Esperar 14 días (mínimo) antes de extraer los testigos. Extraer tres testigos del área cuestionada. Extraer los testigos usando brocas de diamante. Extraer testigos de un diámetro de 2-1/2 in. (mínimo) o dos veces el tamaño máximo del agregado. Evitar que en los testigos haya cualquier tipo de armadura. La longitud del testigo debe ser como mínimo igual a 1 × diámetro del testigo, pero preferentemente debe ser igual a 2 × diámetro del testigo. Si fuera posible, tomar un testigo de la totalidad del espesor del elemento. Dejar una longitud adicional de 2 in. en el extremo del testigo, la cual luego se quebrará. Usar cuñas de madera para retirar las porciones de los extremos que han de ser quebradas. Aserrar los extremos quebrados para lograr superficies planas. Si bajo condiciones de servicio el hormigón está seco, secar al aire los testigos durante 7 días (60 a 70ºF, humedad relativa ambiente 60%). Ensayar los testigos secos. Si bajo condiciones de servicio el hormigón está húmedo, sumergir los testigos en agua (73,4 ± 3ºF) durante 40 horas. Ensayar los testigos húmedos. Enrasar los extremos de los testigos con una capa de material de 1/8 in. de espesor (o menos). Centrar correctamente el testigo en el aparato de ensayo. Si la relación entre la longitud y el diámetro del testigo es menor que 2, corregir la resistencia como se indica a continuación (interpolar linealmente entre los valores listados): Relación longitud-diámetro 1,94 – 2,10 1,75 1,50 1,25 1,00

Factor de corrección de la resistencia 1,00 0,98 0,96 0,93 0,87

2 - 22

Además de los procedimientos indicados en ASTM C 42, se agregó un nuevo párrafo en el Comentario de la Sección 5.6.5 del Código 2002 que advierte que, cuando para obtener los testigos se utiliza una broca enfriada con agua, el proceso provoca un gradiente de humedad entre el exterior y el interior de los testigos, el cual afectará adversamente su resistencia a la compresión. Por lo tanto, se impone una restricción al inicio de los ensayos sobre los testigos a fin de permitir un tiempo suficiente para que este gradiente de humedad se disipe. En la edición 2002 del Código hay varios cambios significativos que afectan el almacenamiento y ensayo de los testigos de hormigón. Los requisitos de 5.6.5.3 fueron totalmente revisados, y ahora exigen que se retire el agua superficial de los testigos usando un trapo seco inmediatamente después de su extracción y que se coloquen en bolsas o recipientes impermeables antes de su transporte y almacenamiento. Los testigos se deben ensayar no menos de 48 horas antes ni más de 7 días después de su extracción, a menos que el profesional de diseño apruebe una edad diferente. En las ediciones anteriores del Código las condiciones de almacenamiento y restricciones referidas al momento de ensayar los testigos eran diferentes si el hormigón se iba a utilizar en estructuras que bajo condiciones de servicio estarían "secas" o en estructuras que tendrían "humedad superficial." A la hora de evaluar los resultados de los ensayos realizados sobre los testigos, el hecho de que las resistencias de los testigos pueden no ser iguales a la resistencia especificada para las probetas moldeadas no debe ser motivo de preocupación. Las resistencias especificadas para las probetas moldeadas incluyen un amplio margen para considerar las incógnitas referidas a la colocación y condiciones de curado en obra además de la variabilidad normal. En los testigos que se extraen de la estructura real las incógnitas ya han ejercido su influencia, y por lo tanto se puede reducir el margen de la resistencia medida por encima de la resistencia requerida. La Sección 5.6.5.4 establece que un hormigón se considera estructuralmente adecuado si la resistencia promedio de tres testigos es como mínimo igual al 85 por ciento de f'c, y ninguna de las resistencias individuales es menor que el 75 por ciento de la resistencia a la compresión especificada. Un hormigón se puede considerar aceptable desde el punto de vista de la resistencia si los resultados de los ensayos realizados en testigos para una ubicación dada satisfacen estos requisitos. El ingeniero estructural debería examinar aquellos casos en los cuales la resistencia de los testigos no satisface estos criterios, a fin de determinar si hay algún motivo de preocupación desde el punto de vista del comportamiento estructural. Si los resultados obtenidos a partir de ensayos correctamente realizados son tan bajos que ponen en duda la integridad estructural es posible que sea necesario implementar otras acciones. Como último recurso, en caso que existan dudas importantes, para determinar si un elementos estructural es adecuado se pueden especificar ensayos de carga. Generalmente estos ensayos solamente son adecuados para los elementos solicitados a flexión – losas, vigas y similares – pero algunas veces se pueden aplicar a otros elementos. En cualquier caso los ensayos de carga son ensayos altamente especializados que solamente deben ser realizados e interpretados por un ingeniero plenamente capacitado en las técnicas correspondientes. Los procedimientos para los ensayos de carga y los criterios para su interpretación se especifican en el Capítulo 20 del Código. En el caso poco frecuente que un elemento estructural no pase el ensayo de carga, o si el análisis estructural de un elemento inestable indica que éste no es adecuado, se deben implementar medidas correctivas adecuadas. Dependiendo de las circunstancias particulares de cada caso, las alternativas son: •

Reducir la carga aplicada para que tenga un nivel consistente con la resistencia del hormigón.

•

Mejorar la construcción para llevar su capacidad de carga a los valores anticipados. Esto puede implicar agregar nuevos elementos estructurales o aumentar las dimensiones de los elementos existentes.

•

Reemplazar el hormigón no aceptable (o no conforme).

2 - 23

REFERENCIAS

2.1

Design and Control of Concrete Mixtures, 13º Edición, Publicación EB001T, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1988.

2.2

ASTM D 3963-99, “Standard Specification for Fabrication and Jobsite Handling of Epoxy-Coated Reinforcing Steel Bars”, American Society for Testing and Materials, West Conshohocken, Pennsylvania, 1999.

2.3

ASTM A 775-01, “Standard Specification for Epoxy-Coated Steel Reinforcing Bars”, American Society for Testing and Materials, West Conshohocken, Pennsylvania, 2001.

2.4

ASTM A 934-01, “Standard Specification for Epoxy-Coated Prefabricated Steel Reinforcing Bars,” American Society for Testing and Materials, West Conshohocken, Pennsylvania, 2001.

2.5

ACI Committee 211.1, “Standard Practice for Selecting Proportions for Normal, Heavyweight and Mass Concrete (ACI 211.1-9 (Reaprobada en 1997), Revisada en 1985),” American Concrete Institute, Farmington Hills, 1997.

2.6

ACI Committee 211.2, “Standard Practice for Selecting Proportions for Structural Lightweight Concrete (ACI 211.298),” American Concrete Institute, Farmington Hills, 1998.

2.7

ACI Committee 214, “Recommended Practice for Evaluation of Compression Test Results of Concrete (ACI 214-77, Reaprobada en 1997),” American Concrete Institute, Farmington Hills, 1997.

2.8

“Guideline Manual to Quality Assurance / Quality Control” NRMCA Publication 190, National Ready Mixed Concrete Association, Silver Springs, MD 1999.

2.9

“What, Why & How? Low Concrete Cylinder Strength,” Concrete in Practice, CIP-9, National Ready Mixed Concrete Association, Silver Spring, MD, 2000.

2 - 24

Ejemplo 2.1 – Selección de la relación agua-material cementicio por resistencia y durabilidad Se pide dosificar el hormigón para una losa de un muelle de carga que estará expuesto a condiciones húmedas en un clima con temperaturas de congelamiento y deshielo, aunque no estará expuesto a sales anticongelantes. Para el diseño estructural se ha especificado una resistencia a la compresión f'c de 3000 psi. Se especifica cemento Tipo I y agregado de peso normal con un tamaño máximo de 3/4 in.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Determinar la resistencia mínima requerida y la máxima relación w/c para el trabajo propuesto a fin de satisfacer tanto los requisitos de resistencia como los requisitos correspondientes a las condiciones de exposición.

5.2.1

Para los hormigones expuestos a temperaturas de congelamiento y deshielo en estado húmedo la Tabla 4.2.2 requiere que la relación agua-material cementicio sea menor o igual que 0,45 y que la resistencia mínima f'c sea de 4500 psi.

4.2.2

Como la resistencia requerida para las condiciones de exposición es mayor que la resistencia requerida por el diseño estructural (f'c = 300 psi), la resistencia requerida por las condiciones de exposición será determinante (f'c = 4500 psi). 2. Seleccionar una relación w/c para satisfacer la resistencia requerida determinante, f'c = 4500 psi. Los hormigones expuestos a temperaturas de congelamiento y deshielo deben tener aire incorporado; el contenido de aire requerido se indica en la Tabla 4.2.1. Para los hormigones en regiones frías y expuestos a condiciones de congelamiento y deshielo se requiere un contenido de aire meta de 6% para un tamaño máximo de agregado de 3/4 in.

4.2.1

La selección de la relación agua-material cementicio para la resistencia requerida se debe basar en pastones de prueba o en datos obtenidos en obra a partir de los materiales que se utilizarán en la construcción, para determinar la relación entre la relación w/c y la resistencia.

5.3

Asumir que los datos de resistencia del Ejemplo 2.2, para los cuales se ha establecido una desviación estándar de 353 psi, son representativos de materiales y condiciones similares a las que se anticipan para el trabajo propuesto:

5.3.1.1

a. hormigón de peso normal con incorporación de aire b. la resistencia especificada (4000 psi) difiere en menos de 1000 psi de la requerida para el trabajo propuesto (4500 psi) c. hay 30 resultados de ensayos de resistencia disponibles. Para una desviación estándar de 353 psi la resistencia a la compresión promedio requerida, f'c, a utilizar como base para dosificar el hormigón debe ser igual al mayor de los siguientes valores:

5.3.2

f cr' = f c' + 1,34 s = 4500 + 1,34 ( 353) = 5000 psi

Ec. (5-1)

f cr' = f c' + 233 s − 500 = 4500 + 2,33 ( 353 − 500 ) = 4800 psi

Ec. (5-2)

Por lo tanto f cr' = 5000 psi . 2 - 25

Nota: La resistencia promedio requerida para el diseño de la mezcla debe ser igual a la resistencia especificada más una tolerancia para considerar la variabilidad de los materiales, la variabilidad de los métodos de mezclado, transporte y colocación del hormigón, y la variabilidad de la preparación, curado y ensayo de las probetas. Para este ejemplo, con una desviación estándar de 353 psi, la tolerancia considerada para todas estas variables es de 500 psi. La Referencia 2.1 presenta curvas de resistencia típicas obtenidas en base a ensayos realizados sobre pastones de prueba. Usando la curva de resistencia de la Figura 7-1 de la Referencia 2.1, reproducida en la Figura 2-2, la relación agua-material cementicio (w/c) requerida para una f'c de 5000 psi es aproximadamente igual a 0,38. (La curva ilustrada en la Figura 2-2 se utiliza exclusivamente a título ilustrativo; en una situación de diseño real se debe utilizar una curva w/c - resistencia requerida que sea representativa de los materiales y las condiciones locales). Como la relación w/c requerida (0,38) para la resistencia especificada f'c = 4500 es menor que el valor 0,45 requerido por la Tabla 4.2.2, para establecer la dosificación de la mezcla debemos usar el valor 0,38. Observar que la resistencia especificada, f'c = 4500, es la resistencia que se anticipa será igualada o superada por el promedio de cualquier conjunto de tres ensayos de resistencia consecutivos. También se anticipa que ninguno de los resultados de los ensayos individuales estará más de 500 psi por debajo de la resistencia de 4500 psi especificada.

5.6.3.3

Continuando con este ejemplo, el fabricante del hormigón probablemente podrían utilizar los registros de ensayo del Ejemplo 2.2 para demostrar que la mezcla de hormigón en base a la cual se desarrollaron los registros producirá la resistencia promedio requerida, f'cr, para este proyecto. Para documentar la potencial resistencia promedio de la mezcla de hormigón, el fabricante sólo debe seleccionar 10 ensayos consecutivos del total de 30 ensayos que representen un promedio mayor que el promedio requerido de 5000 psi. En realidad, el promedio de los 30 resultados de ensayo (4835 psi) se acerca lo suficiente para calificar como la misma mezcla de hormigón que se utilizará en la obra.

5.3.3

Resistencia a la compresión, psi

6000

5000 Hormigón sin incorporación de aire

4000

3000

Hormigón con incorporación de aire

2000

1000 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Relación agua-material cementicio

Figura 2-2 – Curvas de resistencia típicas en base a pastones de prueba o datos obtenidos en obra

2 - 26

Ejemplo 2.2 – Informe de los ensayos de resistencia Calcular el promedio y la desviación estándar para los resultados de 30 ensayos de resistencia indicados a continuación, usando la expresión para la desviación estándar indicada en R5.3.1. Las especificaciones técnicas requieren que el hormigón, que se usará para construir las columnas de una estructura, sea de peso normal con incorporación de aire y que tenga una resistencia especificada de 4000 psi. Ensayo No.

Fecha del ensayo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

05-Marzo-99 06-Marzo-99 10-Marzo-99 12-Marzo-99 13-Marzo-99 17-Marzo-99 19-Marzo-99 21-Marzo-99 25-Marzo-99 28-Marzo-99 30-Marzo-99 02-Abril-99 05-Abril-99 08-Abril-99 09-Abril-99 15-Abril-99 16-Abril-99 19-Abril-99 20-Abril-99 22-Abril-99 24-Abril-99 28-Abril-99 01-Mayo-99 03-Mayo-99 07-Mayo-99 10-Mayo-99 11-Mayo-99 15-Mayo-99 16-Mayo-99 18-Mayo-99

Probeta #1 a los 28 días 4640 4910 4570 4800 5000 4380 4630 4800 5020 4740 4300 4280 4740 4870 4590 4420 4980 4900 5690 5310 5080 4640 5090 5430 5290 4700 4880 5000 4810 4250

Probeta #2 a los 28 días 4770 5100 4760 5000 4900 4570 4820 4670 4940 4900 4110 3620 4880 5040 4670 4690 5070 4860 5570 5310 4970 4440 5080 5510 5360 4770 5040 4890 4670 4400

Promedio a los 28 días 4705 5005 4665 4665 4950 4475 4725 4735 4980 4820 4205 3950 4810 4955 4630 4555 5025 4880 5630 5310 5025 4540 5085 5470 5325 4735 4960 4945 4740 4325

Promedio a los 28 días (3 ensayos consecutivos)

4792 4775 4717 4645 4813 4845 4668 4325 4322 4592 4798 4713 4737 4820 5178 5273 5322 4958 4883 5032 5293 5177 5007 4880 4882 4670

Referencia del Código

Cálculos y discusión

El cálculo de la resistencia promedio y la desviación estándar se presenta en la siguiente tabla. La desviación estándar obtenida (353 psi) representa un excelente control de calidad para el hormigón de 4000 psi especificado. Observar que el hormigón entregado para este trabajo satisface los requisitos de conformidad del artículo 5.6.3.3; ninguno de los ensayos de resistencia individuales (promedio a los 28 días) de dos probetas está más de 500 psi por debajo de la resistencia especificada (ninguno de los promedios a los 28 días es menor que 4000 – 500 psi = 3500 psi)., y que el promedio de tres ensayos consecutivos cualesquiera es mayor que la resistencia especificada (4000 psi).

2 - 27

Ensayo No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ∑

Resistencia a los 28 días, X, psi 4705 5005 4665 4900 4950 4475 4725 4735 4980 4820 4205 3950 4810 4955 4630 4555 5025 4880 5630 5310 5025 4540 5085 5470 5325 4735 4960 4945 4740 4325 145.060

Número de ensayos

X − X, psi

( X − X)

-130 170 -170 65 115 -360 -110 -100 145 -15 -630 -885 -25 100 -205 -280 190 45 795 475 190 -295 250 635 490 -100 125 110 -95 -510

16.900 28.900 28.900 4225 13.225 129.600 12.100 10.000 21.025 255 396.900 783.255 625 10.000 42.025 78.400 36.100 2025 632.025 255.625 36.100 87.025 62.500 403.225 240.100 10.000 15.625 12.100 9025 260.100 3.607.850

2

= 30

Resistencia máxima

= 5630 psi

Resistencia mínima

= 3950 psi

Resistencia promedio

=

Desviación estándar

=

145.060 30

= 4835 psi

3.607.850 29

= 353 psi

La única resistencia menor que la resistencia especificada (3950 psi) es un resultado individual muy bajo obtenido para la probeta #2 (3620 psi). La gran diferencia entre la probeta #2 (3620 psi) y la probeta #1 (4280 psi), ambas moldeadas del mismo pastón, parecería indicar un posible problema en los procedimientos de manipuleo y ensayo de la probeta #2. Es interesante observar que los datos estadísticos obtenidos a partir de los 30 resultados de ensayos indicados se pueden utilizar para establecer una mezcla de diseño para otros proyectos posteriores, siempre que el hormigón requerido en el nuevo proyecto sea de peso normal, con incorporación de aire, y que tenga una 2 - 28

resistencia especificada comprendida entre 3000 y 5000 psi (4000 psi ± 1000 psi). En este caso la resistencia meta para dosificar la nueva mezcla se calcularía usando la desviación estándar de 353 psi en las Ecuaciones (5-1) y (5-2) del código. Esta desviación estándar, la cual es baja, debería permitirle al fabricante de hormigón elaborado producir mezclas económicas para proyectos donde se utilizarán hormigones similares. Los datos obtenidos de los ensayos de resistencia de este ejemplo se usan para demostrar que la mezcla de hormigón usada para este proyecto califica para el trabajo propuesto en el Ejemplo 2.1.

2 - 29

Ejemplo 2.3 – Dosificación del hormigón en base a pastones de prueba Establecer una relación agua-material cementicio para una mezcla de hormigón en base a la resistencia a su compresión especificada de manera de satisfacer los requisitos de diseño estructural. Especificaciones técnicas: f c' = 3000 psi (hormigón de peso normal) a los 28 días

Tamaño máximo de los agregados = 3/4 in. Contenido total de aire = 5% Máximo asentamiento = 4 in. Arena Kona y grava Cemento pórtland Tipo I

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Como no hay resultados de ensayos de resistencia disponibles, usar la Tabla 5.3.2.2 para establecer la resistencia meta, f'cr.

5.3.2.2

Para f c' = 3000 psi, f cr' = f c' + 1200 = 3000 + 1200 = 4200 psi

2. Procedimiento en base a pastones de prueba

5.3.3.2

Los pastones de prueba se deben preparar con los mismos materiales propuestos para la obra. Se deben producir tres (3) mezclas de hormigón diferentes con tres (3) relaciones agua-material cementicio (w/c) diferentes para obtener un rango de resistencias que comprenda a la resistencia meta, f'cr. Los pastones de prueba deben tener un asentamiento que no difiera en más de ± 0,75 in. del máximo valor especificado (3,25 a 4,75 in.) y el contenido de aire no debe diferir en ± 0,50% del máximo permitido por las especificaciones técnicas. Se deben preparar tres (3) probetas cilíndricas por cada pastón de prueba, y estas probetas se deben ensayar a la edad de 28 días. Luego los resultados de los ensayos se grafican para obtener la curva de resistencia en función de la relación agua-material cementicio a utilizar para establecer una relación w/c adecuada para la resistencia meta f'cr. Para ilustrar el procedimiento en base a pastones de prueba, supondremos que los pastones de prueba y los datos obtenidos de los ensayos son los indicados en la Tabla 2-3. En base a los resultados de los ensayos de resistencia graficados en la Figura 2-3 para los tres pastones de prueba, la máxima relación w/c a utilizar como base para dosificar la mezcla de hormigón es igual a 0,49. Este valor se obtuvo por interpolación. Al usar una relación agua-material cementicio de 0,49 para producir un hormigón con una resistencia especificada de 3000 psi se obtiene un grado de sobrerresistencia considerable. Con referencia a la Figura 2-2 del Ejemplo 2.1, para una relación w/c igual a 0,49 se puede anticipar un nivel de resistencia de aproximadamente 3800 psi si el hormigón tiene aire incorporado. Es evidente que cuando no hay datos suficientes para establecer una desviación estándar el grado de sobrerresistencia requerido para la mezcla es elevado. A medida que la construcción avance habrá más resultados de ensayos de resistencia disponibles, y se podrá reducir la sobrerresistencia de f'cr con respecto al valor de f'c especificado (1200 psi) usando una desviación estándar calculada a partir de los datos obtenidos en la propia obra. De este modo se logrará una mezcla más económica. 2 - 30

Tabla 2-3 – Datos de los pastones de prueba Pastones de prueba

Pastón No.1

Pastón No.2

Pastón No.3

0,45 3,75 4,4

0,55 4,25 5,3

0,65 4,50 4,8

4650 4350 4520 4510

3900 3750 3650 3770

2750 2900 2850 2830

Relación w/c seleccionada Asentamiento medido, in. Contenido de aire medido, % Resultados de los ensayos, psi: Probeta #1 Probeta #2 Probeta #3 Promedio

Resistencia a la compresión, psi

5000

Probeta #1

4000

Probeta #2 Probeta #3 Promedio

3000

2000 0,45

0,55 0,65 Relación agua-material cementicio

Figura 2-3 – Curva de resistencia en base a los pastones de prueba

2 - 31

Ejemplo 2.4 – Frecuencia de los ensayos de resistencia Determinar el mínimo número de probetas que se deben moldear para satisfacer los requisitos de frecuencia mínima para la toma de muestras para ensayos de resistencia. La cantidad de hormigón colocado es de 200 yardas cúbicas por día durante 7 días, y este hormigón es transportado en camiones mezcladores de 10 yardas cúbicas. Se trata de un proyecto de gran envergadura donde el número mínimo de probetas de ensayo requeridas por día de colocación de hormigón (ver 5.6.2.1) es mayor que el número de probetas requeridas para la totalidad del proyecto (ver 5.6.2.2).

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Volumen total de hormigón del proyecto = 200 (7) = 1400 yd3 2. Número total de camiones (pastones) requeridos ≈ 1400 /10 ≈ 140 3. Número de camiones (pastones) que se deben muestrear por día = 200/150 = 1,3

5.6.2.1

4. Se deben tomar muestras de dos camiones por día 5. Número de camiones que se deben muestrear durante la ejecución del proyecto

= 2 (7) = 14

6. Número de probetas que se deben moldear durante la ejecución del proyecto

= 14 × (2 probetas por ensayo) = 28 (mínimo)

Se debe observar que la cantidad total de probetas que se deben moldear para este proyecto solamente representa un número mínimo requerido por el código para determinar la conformidad del hormigón. Se deberían moldear probetas adicionales para realizar ensayos a los 7 días, para contar con probetas curadas en obra que permitan verificar el desarrollo de la resistencia temprana para decidir el desencofrado, o para determinar cuándo postesar los tendones de pretensado. Además, se deberían preparar una o dos probetas de reserva, en caso que alguna de las probetas se rompa o que sea necesario repetir un ensayo.

2 - 32

5.6.2.4

Ejemplo 2.5 – Frecuencia de los ensayos de resistencia Determinar el mínimo número de probetas que se deben moldear para satisfacer los requisitos de frecuencia mínima para la toma de muestras para ensayos de resistencia. El hormigón se usará para colar una losa de 100 ft × 75 ft × 7-1/2 in., y se transportará en camiones mezcladores de 10 yardas cúbicas. Se trata de un proyecto menor en el cual el número mínimo de probetas requerido se basa en el criterio de frecuencia indicado en el artículo 5.6.2.2.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Superficie del hormigón a colocar = 100 × 75 = 7500 ft2 2. Volumen total de hormigón usado en el proyecto = 7500 × 7,5 ×

1 ft / 27 = 174 yd3 12 in.

3. Total de camiones (pastones) requeridos ≈ 174 /10 ≈ 18 4. Número de camiones (pastones) que se deben muestrear por día

= 174/150 = 1,2 = 75000/5000 = 1,5

5. Pero el número mínimo de camiones (pastones) que se deben muestrear durante la ejecución del proyecto es 5. 6. Número total de probetas que se deben moldear para el proyecto

= 5 × (2 probetas por ensayo) = 10 (mínimo)

Nuevamente enfatizamos que este número corresponde a un mínimo establecido en el código para determinar la conformidad o aceptación del hormigón. Sería más prudente contar con probetas adicionales.

2 - 33

5.6.2.1 5.6.2.2 5.6.2.4

Ejemplo 2.6 – Conformidad del hormigón La siguiente tabla muestra los resultados de los ensayos de resistencia correspondientes a cinco camiones (pastones) de hormigón entregados en obra. Por cada pastón se moldearon dos probetas cilíndricas, las cuales se ensayaron a los 28 días. La resistencia especificada del hormigón es f'c = 4000 psi. Determinar si el hormigón es aceptable en base a los criterios de resistencia del artículo 5.6.3.3. Ensayo No.

Probeta #1

Probeta #2

Promedio del ensayo

1 2 3 4 5

4110 3840 4420 3670 4620

4260 4080 4450 3820 4570

4185 3960 4435 3745 4595

Promedio de 3 ensayos consecutivos ----4193 4047 4258

Referencia del Código

Cálculos y discusión

El promedio de los resultados correspondientes a dos probetas representa el resultado de un único ensayo. A pesar de que la menor de las cinco resistencias obtenidas en los ensayos (3745 psi) es menor que la resistencia especificada (4000 psi) el hormigón se considera aceptable, ya que no es más de 500 psi menor que el valor especificado (3745 psi > 4000 – 500 psi = 3500 psi) – hormigón para el cual f'c es menor o igual que 5000 psi. Los resultados listados también satisfacen el segundo criterio de aceptación, basado en el promedio de tres (3) ensayos consecutivos, El procedimiento para evaluar la aceptación en base a los resultados de tres ensayos de resistencia consecutivos se ilustra en la columna de la derecha. El valor 4193 psi es el promedio de los tres primeros ensayos consecutivos: (4185 + 3960 + 4435) / 3 = 4193. El promedio de los tres ensayos consecutivos siguientes se calcula como (3960 + 4435+ 3745) / 3 = 4047 psi, dejando de lado el primero de los valores considerado en el promedio anterior (4185). El promedio de los tres ensayos consecutivos siguientes se calcula dejando de lado el valor 3960 psi. Cualquiera sea el número de ensayos de resistencia realizados, los promedios de tres ensayos consecutivos se calculan del mismo modo. Por lo tanto, en base a los criterios de conformidad especificados en el Código para la resistencia del hormigón, los resultados de los cinco ensayos son aceptables, tanto desde el punto de vista de los resultados individuales como desde el punto de vista de los promedios de tres ensayos consecutivos.

2 - 34

Ejemplo 2.7 – Conformidad del hormigón La siguiente tabla muestra los resultados de los ensayos de resistencia correspondientes a cinco camiones (pastones) de hormigón entregados en obra. Por cada pastón se moldearon dos probetas cilíndricas, las cuales se ensayaron a los 28 días. La resistencia especificada del hormigón es f'c = 4000 psi. Determinar si el hormigón es aceptable en base a los criterios de resistencia del artículo 5.6.3.3. Ensayo No.

Probeta #1

Probeta #2

Promedio del ensayo

1 2 3 4 5

3620 3970 4080 4860 3390

3550 4060 4000 4700 3110

3585 4015 4040 4780 3250**

Promedio de 3 ensayos consecutivos ----3880* 4278 4023

* Este promedio de tres ensayos consecutivos no es aceptable. ** Hay un ensayo que está más de 500 psi por debajo del valor especificado.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

La investigación que se debe realizar cuando los resultados de los ensayos de resistencia no son aceptables se describe en la Sección 5.6.5. Si el promedio de tres ensayos consecutivos es menor que la resistencia especificada se deben tomar medidas para aumentar la resistencia del hormigón. Si el resultado de un ensayo individual está más de 500 psi por debajo de la resistencia especificada de un hormigón con una f'c menor o igual que 5000 psi, es posible que existan problemas graves que requieren una investigación para asegurar la integridad estructural. También en este caso se deben tomar medidas para aumentar el nivel de resistencia. Para poder investigar las causas de esta menor resistencia es fundamental conocer en qué parte de la estructura está ubicado el hormigón cuestionado; sólo así el ingeniero podrá evaluar los efectos de la falta de resistencia sobre la capacidad estructural del elemento. En base a la experiencia,2.9 se ha determinado que las dos causas más habituales que provocan que los resultados de los ensayos sean bajos son: (1) el incorrecto manipuleo y ensayo del hormigón, y (2) la reducción de la calidad del hormigón debido a un error en la producción o a la adición de un exceso de agua en obra, lo cual ocurre cuando la colocación del hormigón se demora o cuando se requieren hormigones de asentamiento elevado. Un elevado contenido de aire también puede ser la causa de las bajas resistencias. Los resultados de los ensayos realizados para el hormigón del Camión 5 son menores que el valor especificado (particularmente el valor correspondiente a la probeta #2), para el cual se determinó una resistencia promedio de apenas 3250 psi. (Observar que ninguna de las decisiones de aceptación se basan en la probeta individual para la cual se obtuvo un valor de resistencia muy bajo (3110 psi)). Debido a las numerosas variables que afectan la producción, el muestreo y los procedimientos de ensayo del hormigón, la aceptación (o el rechazo) del hormigón siempre se debe basar en el promedio de al menos dos probetas.)

2 - 35

5.6.5

3 Detalles de armado ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 1.

Se modificó el artículo 7.5.2.2 para aclarar las tolerancias para la colocación de la armadura requerida en los extremos discontinuos de los elementos y resolver los conflictos que existían entre el Código y la norma ACI 317, Standard Tolerances for Concrete Construction and Materials.

2.

El artículo 7.7.3.1 se trasladó a la Sección 7.7.2, y se le asignó el título "Hormigón colocado en obra (Pretensado)." Además, la Sección 7.7.2 se renumeró como 7.7.3 y se le asignó el título "Hormigón prefabricado (Elaborado bajo condiciones de control en planta)," y se modificó para que los requisitos de recubrimiento de hormigón también se apliquen a los cables de pretensado y al alambre usado para las armaduras. Estas modificaciones aclaran los requisitos de recubrimiento para los elementos de hormigón colocado en obra y los elementos prefabricados producidos en planta.

3.

Se agregó el artículo 7.7.5.1, el cual requiere que el recubrimiento de hormigón se incremente un 50% en el caso de los elementos de hormigón pretensado clasificados como Clase C expuestos a ambientes corrosivos, si se verifica que la zona de tracción precomprimida del elemento no resulta traccionada bajo la acción de las cargas sostenidas o de larga duración.

4.

Se agregó el artículo 7.10.5.6, el cual contiene requisitos para el confinamiento de los bulones de anclaje que se colocan en la parte superior de columnas y pedestales para la fijación de otros elementos estructurales.

5.

Se modificó la Sección 7.13.2 para permitir el uso de empalmes mecánicos y soldados en la armadura continua usada para proporcionar integridad a las vigas y para mejorar la efectividad de los detalles de la armadura transversal en las vigas perimetrales.

CONSIDERACIONES GENERALES Detallar correctamente las armaduras es fundamental para que las estructuras de hormigón armado se comporten satisfactoriamente. Los detalles de armado actuales son el resultado de una evolución gradual. El Comité ACI 318 continuamente recibe informes de investigaciones y aplicaciones prácticas relacionadas con el hormigón estructural, sugiere nuevas investigaciones que considera necesarias y traduce los resultados obtenidos en requisitos codificados. El Manual de Armado de ACI3.1 recomienda métodos y estándares para preparar los planos de diseño, detalles típicos y planos de fabricación y colocación de las armaduras que se utilizan en las estructuras de hormigón armado. El manual tiene diferentes secciones en las cuales define las responsabilidades tanto del ingeniero como del armador de las barras. El Manual de Práctica CRSI3.2 describe prácticas recomendadas. A modo de ayuda para los diseñadores, la Referencia 3.2 incluye prácticas recomendadas para estimar, detallar, fabricar e instalar las armaduras; el diseñador puede hacer referencia a esta publicación en los planos y especificaciones técnicas. El Manual para el Detallado de las Mallas de Alambre Soldado3.3 contiene información referida a los sistema de armado que utilizan mallas de alambre soldadas.

7.1

GANCHOS NORMALES

Las Tablas 3-1 y 3-2 ilustran los requisitos para los ganchos normales usados para anclar las barras de armadura, junto con los diámetros internos de doblado (diámetro del mandril de doblado) correspondientes. Los detalles para los ganchos normales usados para anclar estribos y estribos cerrados solamente son aplicables para barras No. 8 y menores. Tabla 3-1 – Ganchos normales para la armadura principal

Tamaño de la barra, No.

Diámetro del mandril de doblado, D (a)

No. 3 a No. 8

6db

Nos. 9, No. 10, No. 11

8db

No. 14 y No. 18

10db

db

12db

D

(a) Medido del lado interno de la barra.

4db > 2 12 in.

Tabla 3-2 – Ganchos normales para los estribos y estribos cerrados db Tamaño de la barra, No.

Diámetro del mandril de doblado, D

No. 3 a No. 5

4db

No. 6 a No. 8

6db

135°

(b)

D

D b 6d

6d b (Barras No. 3 a No. 5) 12db (Barras No. 6 a No. 8)

(b) Medido del lado interno de la barra.

Los pórticos resistentes a momentos diseñados para resistir esfuerzos sísmicos horizontales que forman parte de una estructura ubicada en una región de elevada peligrosidad sísmica o de una estructura asignada a una categoría de comportamiento o diseño sísmico elevado (ver Tabla 1-1) se deben diseñar como pórticos de momento especiales según lo definido en la Sección 21.1. En los pórticos de momento especiales los detalles de armado de las armaduras transversales de las vigas y columnas deben satisfacer los requisitos establecidos en 21.3.3 y 21.4.4, respectivamente. Excepto para los estribos circulares para los cuales se requiere que tengan ganchos con un ángulo de doblado de 90 grados en sus extremos libres, los extremos de los estribos rectangulares y los estribos transversales suplementarios (caballetes) deben terminar en ganchos con un ángulo de doblado de 135 grados. Estos ganchos son necesarios para anclar los extremos libres dentro de la zona del núcleo confinado, para poder así lograr un comportamiento adecuado en las regiones de los elementos en las cuales se anticipa que puede haber comportamiento inelástico. El Capítulo 29 de esta publicación discute e ilustra este requisito. 7.2

DIÁMETROS MÍNIMOS DE DOBLADO

El diámetro mínimo del mandril de doblado, también llamado simplemente diámetro mínimo de doblado, se define como "el diámetro de doblado medido del lado interno de la barra." Los diámetros mínimos de doblado, los cuales se expresan como múltiplos del diámetro de las barras, dependen del tamaño de las barras: para las barras No. 3 a No. 8 el diámetro mínimo de doblado es igual a seis veces el diámetro de la barra; para las barras No. 9 a No. 11 el diámetro mínimo de doblado es igual a 3-2

8 veces el diámetro de la barra; y para las barras No. 14 y No. 18 el diámetro mínimo de doblado es igual a 10 veces el diámetro de la barra. Este requisito tiene las siguientes excepciones: 1.

Para los estribos y estribos cerrados cuyo tamaño corresponde a barras No. 5 o menores, el diámetro mínimo de doblado es igual a 4 veces el diámetro de la barra. Para los estribos y estribos cerrados No. 6 a No 8 el diámetro mínimo de doblado es igual a 6 veces el diámetro de la barra.

2.

Para las mallas de alambre soldadas usadas como estribos o estribos cerrados, el diámetro del mandril de doblado debe ser mayor o igual que cuatro veces el diámetro de los alambres si se trata de mallas de alambres conformados mayores que el alambre D6, o mayor o igual que dos veces el diámetro de los alambres para los demás tipos de alambre. La distancia entre una soldadura de barras que se cruzan y un gancho con un diámetro de doblado menor que ocho veces el diámetro del alambre debe ser como mínimo igual a cuatro veces el diámetro de los alambres.

7.3

DOBLADO DE LA ARMADURA

Toda la armadura debe ser doblada en frío, a menos que el ingeniero autorice otros procedimientos. Para los doblados poco habituales es posible que sea necesario utilizar procesos de fabricación especiales que incluyan el calentamiento de las barras; en este caso el ingeniero deberá aprobar todas las técnicas empleadas. 7.3.2

Doblado de la armadura en obra

Es frecuente que las barras de armadura parcialmente embebidas en hormigón sean dobladas y enderezadas en obra. Muchas veces es necesario doblar la parte de la armadura que queda expuesta para hacer lugar para las operaciones constructivas. También puede ser necesario corregir errores de fabricación o deformaciones accidentales, para lo cual habrá que doblar o enderezar la armadura en obra. De acuerdo con el artículo 7.3.2, las barras parcialmente embebidas en hormigón no se pueden doblar en obra sin la autorización del ingeniero, excepto cuando los planos del proyecto así lo especifiquen. Ensayos recientes3.4 han permitido desarrollar lineamientos para el doblado en obra de las barras parcialmente embebidas en hormigón, y para el uso de calor si fuera necesario. Para ayudarle al ingeniero a conocer los procedimientos correctos, a continuación presentamos las recomendaciones de la Referencia 3.4. En los trabajos experimentales que constituyen la base sobre la cual se desarrollaron estas recomendaciones se utilizaron barras conformadas de acero ASTM A 615, Grado 60. 1.

No se deben doblar ni enderezar en obra barras de tamaño mayor que una barra No. 11. Para doblar o enderezar barras No. 6 a No. 11 se debería aplicar calor, y también se debería aplicar calor para doblar o enderezar barras No. 5 y menores si estas barras ya han sido dobladas anteriormente. Las barras No. 5 y menores que no han sido dobladas anteriormente se pueden doblar o enderezar sin aplicar calor.

2.

Se debe utilizar una herramienta de doblado cuyo diámetro de doblado sea como se indica en la Tabla 3-3(a). Ningún doblado en obra debe ser de más de 90 grados.

3.

Cuando para doblar o enderezar las barras en obra se aplica calor, la temperatura del acero al final de la operación de calentamiento debe ser mayor o igual que la temperatura especificada en la Tabla 3-3(b); la temperatura del acero nunca debe ser mayor que la temperatura máxima indicada.

4.

Cuando para doblar o enderezar las barras en obra se aplica calor, se debe calentar toda la parte de la barra que se ha de doblar (o toda la parte de la barra que se ha de enderezar), más 2 in. adicionales en cada extremo. Para las barras de tamaño mayor al de una barra No. 9 el calor se debe aplicar simultáneamente desde dos lados opuestos de la barra para asegurar que la temperatura sea uniforme en todo el espesor de la barra.

5.

Antes de doblar o enderezar una barra de armadura en obra se debe evaluar la importancia de la posible reducción de las propiedades mecánicas de las barras de acuerdo con lo especificado en la Tabla 3-3(c).

3-3

Tabla 3-3 – Doblado de la armadura en obra3.4 (a) Relación entre el diámetro de doblado y el diámetro de la barra Tamaño de la barra, No.

Diámetro de doblado interno / Diámetro de la barra Con aplicación de calor

Sin aplicación de calor

No. 3, No. 4, No. 5

8

8

No. 6, No. 7, No. 8, No. 9

No se permite

8

No. 10, No. 11

No se permite

10

(b) Temperaturas máximas y mínimas para el calentamiento de las barras Tamaño de la barra, No.

Temperatura mínima (°F)

Temperatura máxima (°F)

No. 3, No. 4

1200

1250

No. 5, No. 6

1350

1400

No. 7, No. 8, No. 9

1400

1450

No. 10, No. 11

1450

1500

(c) Reducción porcentual de las propiedades mecánicas de las barras dobladas y enderezadas Doblado

Tamaño de la barra, No.

Reducción de la tensión de fluencia, %

Reducción de la resistencia a tracción, %

Reducción del alargamiento, %

En frío

No. 3, No. 4

---

---

20

En frío

No. 5

5

---

30

En caliente

Todos los tamaños

10

10

20

7.5

COLOCACIÓN DE LA ARMADURA

7.5.1

Soportes para la armadura

Los soportes para la armadura, incluyendo los soportes para los cables y vainas de postesado, son necesarios para asegurar que la armadura no se moverá durante la colocación del hormigón. La Referencia 3.2 contiene una discusión detallada de los tipos y las dimensiones de los soportes típicamente utilizados. En la Tabla 3-4 se ilustran los tipos y las dimensiones típicas de los soportes de alambre. Además de los soportes de alambre también se consiguen soportes de hormigón prefabricado, de materiales cementicios reforzados con fibras y de todo tipo de plásticos. Si durante la vida de servicio de la estructura la superficie de hormigón estará expuesta se deberá considerar la importancia del aspecto de la superficie de hormigón y el ambiente al cual estará expuesta. Por ejemplo, si la superficie de hormigón estará expuesta directamente a los agentes climáticos o a un ambiente húmedo, es probable que eventualmente aparezcan manchas de herrumbre si se utilizan soportes de acero sin ningún tratamiento. Tal como se describe en el Manual CRSI, se pueden conseguir soportes para barras con tres clases de protección diferentes, dependiendo del tipo de condiciones de exposición anticipadas y de la cantidad de protección contra la corrosión requerida. En base a las prácticas habituales de la industria, las clases de protección disponibles son las siguientes: Clase 1

Máxima protección Soportes protegidos con revestimientos plásticos; se utilizan en aplicaciones en las cuales las condiciones de exposición son de moderadas a severas y/o en aquellas en las cuales la superficie de hormigón se ha de someter a un pulido ligero o a un tratamiento con chorro de arena (sandblasting).

Clase 1A

Máxima protección (Para barras con revestimiento de resina epoxi) Soportes de alambre revestidos con resina epoxi, vinilo o plástico; se utilizan en aplicaciones en las cuales las condiciones de exposición son de moderadas a muy severas en las cuales la superficie de hormigón no se pulirá

3-4

ni se tratará con chorro de arena. Generalmente este tipo de protección se utiliza cuando se requieren barras de armadura con revestimiento epoxi. Clase 2

Protección moderada Soportes de alambre de acero protegidos con acero inoxidable; se utilizan en aplicaciones en las cuales las condiciones de exposición son moderadas y/o en aquellas en las cuales la superficie de hormigón se ha de someter a un pulido ligero o a un tratamiento con chorro de arena (sandblasting). La parte inferior de cada una de las patas se protege con una pieza o tapón de acero inoxidable.

Clase 3

Sin protección Soportes de alambre sin ningún tipo de protección contra la corrosión. Este tipo de soporte se utiliza en aplicaciones en las cuales la aparición de manchas superficiales no constituye un problema, o cuando los soportes no están en contacto con una superficie de hormigón que estará expuesta.

El ingeniero debe especificar el tipo de protección requerida en las especificaciones técnicas del proyecto. Se debe observar que el sistema de soportes usado para las armaduras generalmente se detalla en el plano de armaduras preparado por el fabricante de las armaduras. El ingeniero debe revisar el sistema de soportes, incluyendo el tipo de protección especificado, ya que las dimensiones de estos soportes también afectan los requisitos de recubrimiento de hormigón sobre las armaduras. Cuando se especifican barras con revestimiento epoxi, los soportes de las barras deberán estar fabricados de materiales dieléctricos, o bien los soportes se deberán recubrir con un material dieléctrico tal como la resina epoxi o el vinilo, los cuales son compatibles con el hormigón. Ver la discusión sobre el artículo 3.5.3.7 en el Capítulo 2 de este documento, donde se especifican accesorios y métodos de manipuleo especiales específicamente desarrollados para minimizar los daños del revestimiento epoxi durante el transporte, manipuleo y colocación de las barras revestidas. El artículo R7.5.1 del Comentario enfatiza la importancia de fijar rígidamente los estribos de las vigas a los encofrados, y no solamente a la armadura principal. Si los estribos no se fijan a los encofrados es posible que el tránsito de los operarios durante la colocación del hormigón pueda hundir la armadura y disminuir el recubrimiento de hormigón con el consecuente aumento del potencial de corrosión. Se debe observar que el Manual CRSI,3.2 documento frecuentemente referenciado en la documentación técnica correspondiente a la colocación de la armadura, no se ocupa específicamente de este tema. Los planos de armado, habitualmente preparados por el fabricante de las barras, debe ilustrar secciones típicas o detalles para aclarar este requisito y asegurar que los operarios lo tengan en cuenta. Ahora unas palabras de advertencia referidas a el desplazamiento de las armaduras durante las operaciones de colocación del hormigón. Si el hormigón es bombeado, es fundamental que las tuberías y el sistema de apoyo de las tuberías estén firmemente asegurados a elementos independientes de la armadura. Esto se puede lograr usando silletas u otros medios. No debe haber ningún tipo de contacto directo o indirecto con la armadura colocada en sus soportes, ya que si lo hay las ondas provocadas por las tuberías podrían correr las armaduras y provocar que no queden correctamente ubicadas. Este problema potencial es particularmente grave en los elementos relativamente delgados como las losas, en especial si contienen cables de pretensado, ya que en estos elementos la ubicación vertical de la armadura es especialmente crítica. Las especificaciones técnicas deberían tratar este tema de forma específica. 7.5.2

Tolerancias para la colocación de la armadura

Las tolerancias especificadas en el Código se aplican simultáneamente al recubrimiento de hormigón y a la profundidad efectiva del elemento, d. Como la dimensión "d" es la más importante desde el punto de vista estructural, cualquier desviación de esta dimensión (especialmente en los elementos de menor profundidad) puede afectar la resistencia de la estructura terminada. La variación permitida respecto de la profundidad efectiva, d, toma en cuenta esta reducción de la resistencia, especificando tolerancias más bajas para los elementos de menor profundidad. También se establecen tolerancias admisibles para reflejar las técnicas y prácticas constructivas habituales. Las tolerancias críticas para la ubicación de la armadura longitudinal son las ilustradas en la Tabla 3-5, para las cuales hay dos excepciones: 1.

La tolerancia para la distancia libre al intradós de un encofrado no debe ser menor que -1/4 in.

2.

Las tolerancias para el recubrimiento de hormigón no deben ser mayores que -1/3 del mínimo recubrimiento libre de hormigón requerido en los planos y especificaciones técnicas. Ver el Ejemplo 3.1. 3-5

Tabla 3-4 – Tipos y dimensiones de los soportes para las armaduras3.2 SÍMBOLO

SOPORTES PARA LAS BARRAS

SOPORTES CON BAÑO O TAPAS DE PLÁSTICO

TIPO DE SOPORTE

DIMENSIONES TÍPICAS

Soporte para losas

Altura: 0,75; 1; 1,5 y 2 in. Longitud: 5 y 10 ft.

Soporte superior para losas

Igual que los SB

Soporte para vigas

Altura: 1; 1,5; 2 a 5 in. en incrementos de 0,25 in. Longitud : 5 ft

BBU*

Soporte superior para vigas

Igual que los BB

BC

Silleta para una barra individual

Altura: 0,75; 1; 1,5 y 1,75 in.

Silleta para nudos

Ancho: 4, 5 y 6 in. Altura: 0,75; 1 y 1,5 in.

Silleta alta individual

Altura: 2 a 15 in. en incrementos de 0,25 in.

SB TAPONES DE PLÁSTICO

SBU*

BB TAPONES DE PLÁSTICO

BAÑO DE PLÁSTICO

JC BAÑO DE PLÁSTICO

HC

TAPONES DE PLÁSTICO

HCM*

Silleta alta para tableros Altura: 2 a 15 in. en incrementos metálicos de 0,25 in.

CHC

Silleta alta continua

Igual que los HC en longitudes de 5 y 10 ft

CHCU*

Silleta alta continua Superior

Igual que los CHC

CHCM*

Silleta alta continua para tableros metálicos

Altura: Hasta 5 in. en incrementos de 0,25 in.

Silleta superior para nudos

Luz: 14 in. Altura: de -1 a +3,5 in. en incrementos de 0,25 in.

Soporte continuo

1-1/2 a 12 in. en incrementos de 1/4 in. Longitud: 6 a 8 ft

Centrador para una barra individual (Fricción)

Diámetro: 6 a 24 in.

TAPONES DE PLÁSTICO

JCU**

Cara superior de la losa

Cara superior de la losa Altura

Altura

BAÑO DE PLÁSTICO

CS

SBC

* Generalmente sólo están disponibles en Clase 3, excepto si se fabrican a pedido. ** Generalmente sólo están disponibles en Clase 3, con ramas o apoyos hacia arriba.

1 in. = 25,4 mm 1 ft = 304,8 mm

Para los extremos de las barras y la ubicación longitudinal de los ganchos la tolerancia es de ± 2 in., excepto en los extremos discontinuos de las ménsulas y cartelas donde la tolerancia es de ± 1/2 in. En los extremos discontinuos de otros elementos se permite una tolerancia de + 1 in. También se aplica la tolerancia para el recubrimiento mínimo de hormigón especificada en el artículo 7.5.2.1. Estas tolerancias se ilustran en la Figura 3-1.

3-6

Tabla 3-5 – Tolerancias críticas para la colocación de la armadura Profundidad efectiva, d

Tolerancia para d

Tolerancia para el recubrimiento mínimo

d ≤ 8 in.

± 3/8 in.

- 3/8 in.

d > 8 in.

± 1/2 in.

- 1/2 in.

Profundidad efectiva, d (+)

Recubrimiento libre (-)

Observar que una tolerancia de signo positivo (+) aumenta la dimensión, mientras que una tolerancia de signo negativo (–) la reduce. Cuando solamente se especifica una tolerancia de signo negativo es porque no hay ninguna limitación en el sentido positivo. El control de calidad durante la etapa constructiva debe considerar la más estricta de las tolerancias aplicables. Además de las tolerancias para la colocación de la armadura especificadas en el Código, el ingeniero se debería familiarizar con la norma ACI 117.3.5 La norma ACI 117 incluye tolerancias para todas las dimensiones, cantidades y propiedades del hormigón que se utilizan en la construcción. La intención es que el documento ACI 117 se adopte por referencia directa en las especificaciones técnicas del proyecto, y por este motivo tiene el formato de una especificación. El diseñador debe especificar e identificar claramente las tolerancias para el recubrimiento de hormigón de acuerdo con las necesidades del proyecto. Por ejemplo, si el hormigón estará expuesto a un ambiente muy agresivo, como por ejemplo el que provocan las sales anticongelantes, donde el espesor del recubrimiento de hormigón sobre las armaduras puede representar una consideración crítica desde el punto de vista de la durabilidad, el ingeniero puede especificar para este recubrimiento tolerancias menores que las permitidas por el Código o bien, por el contrario, especificar un mayor espesor para el recubrimiento para reconocer la variabilidad que se anticipa en la colocación de la armadura. 7.5.4

Soldaduras de punto

Observar que el Código prohíbe la utilización de soldaduras como método de fijación de las barras de armadura que se cruzan, excepto cuando el ingeniero las autorice específicamente. Por definición, una soldadura de punto es una pequeña soldadura usada para facilitar la fabricación o la instalación de la armadura, y no una soldadura estructural. Las soldaduras de puntos pueden fragilizar localmente el acero, y nunca se debe utilizar este tipo de soldadura en la armadura requerida por el diseño. Como se observa en la sección 3.5.2, todas las soldaduras de las armaduras se deben realizar conforme a los procedimientos de soldadura controlada especificados en AWS D1.4, incluyendo un correcto precalentamiento (si fuera necesario) y el uso de electrodos que satisfagan los requisitos especificados para las soldaduras terminadas. Fin de la armadura + 2 in.

Fin de la armadura en un extremo discontinuo, + 1 in. Fin de la armadura + 2 in. Ubicación del doblado + 2 in.

Fin de la armadura + 2 in.

Figura 3-1 – Tolerancias para el doblado de barras y la ubicación de sus extremos

3-7

7.6

LÍMITES PARA LA SEPARACIÓN DE LA ARMADURA

La separación (distancia libre) entre las barras debe satisfacer los siguientes requisitos: Separación mínima En los elementos que tienen una sola capa de armadura, la separación libre mínima entre barras paralelas ubicadas debe ser como mínimo igual a un diámetro de barra, pero siempre mayor o igual que 1 in. En los elementos que tienen dos o más capas de de armadura, las barras de la capa superior se deben colocar directamente encima de las barras de la capa inferior; la separación libre vertical mínima entre las diferentes capas debe ser como mínimo igual a 1 in. En los elementos solicitados a compresión armados con estribos cerrados o zunchos, la distancia libre entre las barras longitudinales debe como mínimo mayor o igual que 1,5 diámetros de las barras, pero siempre mayor o igual que 1,5 in. Estas separaciones mínimas también se aplican a la separación libre entre un empalme por yuxtaposición de una barra o paquete de barras y las barras o empalmes adyacentes. También pueden ser aplicables los requisitos de la Sección 3.3.2, los cuales se basan en el tamaño máximo de los agregados. La Tabla 3-6 resume las separaciones libres mínimas entre las barras de armadura. Separación máxima En las losas y tabiques, exceptuando las losas nervuradas, la separación de la armadura principal de flexión debe ser menor o igual que tres veces el espesor del tabique o de la losa y menor o igual que 18 in. Tabla 3-6 – Separación mínima entre barras, atados de barras o cables de pretensado Segunda capa

1" libre

1" libre

Distancia libre Tipo de armadura

Barras conformadas

Cables de pretensado

7.6.6

Tipo de elemento

Distancia libre

Elementos solicitados a flexión

db ≥ 1 in.

Elementos solicitados a compresión, con estribos cerrados o zunchos

db ≥ 1 in.

Alambres

4db

Cordones

3db

Paquetes de barras

Cuando se requiere una gran concentración de armadura el uso de paquetes de barras de tamaños estándares puede ahorrar espacio y reducir la congestión, con lo cual se simplifica la colocación y compactación del hormigón. Para las columnas, la práctica de formar paquetes de barras es una manera de optimizar la ubicación y orientación de la armadura y aumentar su capacidad. Otra ventaja que representa el uso de paquetes de barras es la reducción del número de estribos requeridos. Los paquetes de barras (barras de armadura paralelas en contacto entre sí, el conjunto de las cuales se supone que actúa como una unidad) están permitidos, siempre y cuando estos paquetes estén contenidos por estribos o estribos cerrados que los envuelvan. El uso de paquetes de barras está sujeto a las siguientes limitaciones:

3-8

1.

En las vigas no se permite agrupar en paquetes a las barras No. 14 o No. 18.

2.

Cada una de las barras de un paquete que se interrumpe dentro de un tramo de una viga se debe interrumpir en una sección diferente, y estas secciones deben estar escalonadas como mínimo 40 veces el diámetro de las barras.

3.

Un paquete de barras puede tener como máximo dos barras en un mismo plano (es decir, tres o cuatro barras adyacentes ubicadas en un mismo plano no constituyen un paquete de barras).

4.

Para establecer la separación y el recubrimiento de hormigón requerido, un paquete de barras se debe considerar como una única barra que tiene un diámetro equivalente obtenido a partir del área total de las barras del paquete. La Tabla 3-7 lista los diámetros equivalentes para diferentes paquetes de barras.

5.

Un paquete de barras puede estar compuesto por un máximo de cuatro barras (ver Figura 3-2).

6.

Los paquetes de barras deben estar contenidos por estribos o por estribos cerrados que los envuelvan. Tabla 3-7 – Diámetros equivalentes para diferentes paquetes de barras Tamaño de las barras, No.

Diámetro de las barras

Paquete de 2 barras

Paquete de 3 barras

Paquete de 4 barras

6

0,750

1,06

1,30

1,50

7

0,875

1,24

1,51

1,75

8

1,000

1,42

1,74

2,01

9

1,128

1,60

1,95

2,26

10

1,270

1,80

2,20

2,54

11

1,410

1,99

2,44

2,82

14

1,693

2,39

2,93

3,39

Figura 3-2 – Configuraciones posibles de los paquetes de barras 7.6.7

Cables y vainas de pretensado

Antes del código 1999, las distancias entre los cables de pretensado se especificaban en términos de distancias libres mínimas. El Código 1999 especifica las distancias entre los cables de pretensado en términos de la separación mínima entre los centros de las barras o alambres, y requiere 4db para los cordones y 5db para los alambres. Si la resistencia a la compresión del hormigón en el momento de la transferencia del pretensado, f'ci, es mayor o igual que 4000 psi, la separación mínima entre los centros de los cables de pretensado se puede reducir a 1,25 in. si se trata de alambres de diámetro nominal menor o igual que 0,5 in., o a 2 in. si se trata de cordones de diámetro nominal de 0,6 in. Estos cambios fueron el resultado de investigaciones patrocinadas por la Federal Highway Administration. El motivo por el cual actualmente se especifican separaciones entre los centros de los cables es que así fue como se tomaron las mediciones en estas investigaciones. Además, convertir estas separaciones entre centros en separaciones libres es complejo e innecesario, ya que las plantillas usadas por los fabricantes de elementos prefabricados siempre se han confeccionado en base a dimensiones "entre centro y centro." En la zona central del tramo se permite adoptar para los cables una separación vertical menor, o disponerlos en paquetes, siempre y cuando el diseño y la fabricación se realicen cuidadosamente. Las vainas de postesado se pueden agrupar en paquetes siempre que se demuestre que el hormigón se puede colocar satisfactoriamente y que se adopten las medidas necesarias para evitar que las vainas se rompan al tesar los cables.

3-9

7.7

RECUBRIMIENTO DE HORMIGÓN

Esta sección especifica requisitos mínimos de protección o recubrimiento de hormigón para los elementos hormigonados a nivel del plano de fundación, para los elementos en contacto con el suelo o expuestos al aire libre, y para los elementos interiores no expuestos a la acción del clima. En el Código 2002 se reorganizaron los requisitos sobre recubrimiento mínimo para hormigón colocado en obra (pretensado). Ahora los requisitos para hormigón colocado en obra (pretensado) están ubicados inmediatamente a continuación de los requisitos para hormigón colocado en obra (no pretensado). Luego siguen los requisitos para hormigón prefabricado, elaborado en condiciones de control en planta. En algunos casos para el hormigón colocado en obra (pretensado) y para el hormigón prefabricado elaborado en condiciones de control en planta se permite una ligera reducción de la protección o recubrimiento con respecto a la permitida para el hormigón colocado en obra (no pretensado). La expresión "elaborado en condiciones de control en planta" no significa necesariamente que los elementos prefabricados deben ser fabricados en una planta. Un elemento estructural pretensado en obra (por ejemplo, los tabiques izados) también calificarán para el recubrimiento reducido si el control de las dimensiones de los encofrados, la colocación de la armadura, la calidad del hormigón y el procedimiento de curado son equivalentes a los utilizados habitualmente en una planta. Las barras de gran diámetro, los paquetes de barras y los cables de pretensado requieren un recubrimiento ligeramente mayor. También se pueden requerir recubrimientos de mayor espesor en los ambientes corrosivos y para proveer protección contra el fuego. La Sección 18.3.3, introducida por primera vez en el Código 2002, exige que los elementos pretensados solicitados a flexión se clasifiquen como Clase U (no fisurado), Clase C (fisurado) o Clase T (transición entre no fisurado y fisurado). La Sección 7.7.5.1, también incorporada por primera vez en el código 2002, establece que los valores de recubrimiento indicados en 7.7.2 se deben incrementar un 50% para los elementos pretensados de las Clases C o T si los elementos están expuestos a ambientes corrosivos u otras condiciones de exposición severas. Esta exigencia de incrementar el recubrimiento un 50% se puede obviar si se verifica que la zona de tracción precomprimida del elemento no resulta traccionada bajo la acción de las cargas sostenidas o de larga duración. El diseñador debe prestar particular atención a las recomendaciones del comentario (R7.7.5) que sugieren aumentar el recubrimiento si durante su vida de servicio el hormigón va a estar expuesto a fuentes externas de cloruros, tales como el agua de mar o las aguas salobres. Como se observa en R7.7, se pueden utilizar otros métodos alternativos para proteger las armaduras contra las acciones del clima, siempre que estos métodos proporcionen una protección equivalente al recubrimiento adicional de hormigón requerido en 7.7.1(b), 7.7.2(b) y 7.7.3.1(a) con respecto a 7.7.1(c), 7.7.2(c) y 7.7.3.1(b), respectivamente. 7.8

DETALLES ESPECIALES DE ARMADO PARA COLUMNAS

La Sección 7.8 se ocupa de los detalles especiales de armado requeridos para las barras longitudinales dobladas y los núcleos de acero de las columnas compuestas. Las barras longitudinales que se doblan a causa de un cambio en la sección de una columna deben satisfacer las siguientes limitaciones: 1.

La pendiente de la parte inclinada de la barra, con respecto al eje de la columna, no debe ser mayor que 1:6 (ver Figura 3-3).

2.

Los tramos de las barras que estén por encima y por debajo de la zona doblada deben ser paralelos al eje de la columna.

3.

Las barras que se doblan a causa de un cambio en la sección de una columna deben tener un apoyo horizontal adecuado. Este apoyo puede ser proporcionado por estribos cerrados horizontales, zunchos en espiral o parte del entrepiso. Si se utilizan estribos cerrados o zunchos en espiral, estos se deben ubicar a una distancia menor o igual que 6 in. de los puntos de doblado (ver Figura 3-3). Este apoyo horizontal se debe diseñar para resistir 1,5 veces la componente horizontal de la fuerza calculada en la zona inclinada de la barra.

4.

Las barras que se deben doblar antes de ser colocadas en los encofrados.

5.

Las barras longitudinales no se deben doblar cuando al cambiar de sección la columna sus caras resultan desalineadas más de 3 in. En este caso se deben agregar barras adicionales, empalmadas por yuxtaposición con las barras longitudinales, adyacentes a las caras desalineadas (ver Figura 3-3). En algunos casos, algunas de las caras pueden estar desalineadas más de 3 in. y otras menos de 3 in., con lo cual en una misma columna podría haber algunas barras longitudinales dobladas y algunas barras adicionales empalmadas por yuxtaposición. 3 - 10

La capacidad de transferencia de carga por apoyo directo del núcleo de acero de una columna compuesta puede ser como máximo igual al 50 por ciento de la carga de compresión que actúa sobre el núcleo. El resto de la carga debe ser transferida mediante soldaduras, barras empalmadas, placas de empalme, etc. Este requisito debería asegurar una capacidad mínima de tracción similar a la de una columna de hormigón armado convencional.

Desplazamiento < 3 in.

Desplazamiento ≥3

6" max

Pendiente máx. 1:6 6" max

Barras dobladas

Barras adicionales

Figura 3-3 – Detalles especiales de armado para columnas 7.9

NUDOS

En los nudos viga-columna de los pórticos se deben confinar las zonas de los empalmes de las armaduras continuas y de los anclajes de las barras que terminan en dichos nudos. Este confinamiento lo puede proporcionar el hormigón externo, o bien se puede materializar mediante estribos, estribos cerrados o zunchos internos. 7.10

ARMADURA TRANSVERSAL PARA LOS ELEMENTOS SOLICITADOS A COMPRESIÓN

7.10.4

Zunchos

El diámetro mínimo de los zunchos usados en las construcciones hormigonadas en obra es de 3/8 in., y la separación libre debe estar comprendida entre 1 in. y 3 in. Este requisito no impide usar barras de diámetro más pequeño en los elementos prefabricados. A partir de la publicación del Código 1999 se comenzaron a permitir los empalmes mecánicos que satisfacen los requisitos de 12.14.3. Anteriormente sólo estaba permitido utilizar empalmes por yuxtaposición y soldaduras completas. Las ediciones del Código anteriores a 1999 exigían que los empalmes por yuxtaposición debían tener una longitud igual a 48 diámetros de barra, sin importar si las barras o alambres eran lisos o conformados o si tenían revestimiento epoxi o no lo tenían. El código 1999 se revisó para exigir que los empalmes por yuxtaposición de las barras o alambres lisos con o sin revestimiento epoxi tuvieran una longitud igual a 72 diámetros de barra. Se permite reducir la longitud de los empalmes por yuxtaposición de las barras o alambres lisos con y sin revestimiento epoxi a 48 diámetros de barra cuando los extremos de las barras o alambres empalmados terminan en un gancho normal de 90 grados como los requeridos para los estribos y los estribos cerrados (7.1.3). La longitud de los empalmes por yuxtaposición de las barras o alambres conformados se mantuvo igual a 48 diámetros de barra; también se mantuvo el requisito que establece que la longitud mínima de los empalmes por yuxtaposición debe ser mayor o igual que 12 in. La armadura en forma de zunchos (espiral) se debe anclar agregando una vuelta y media adicional en cada extremo del zuncho. Los zunchos se deben prolongar, desde la parte superior de la fundación o de la losa de cualquier nivel, hasta la altura de la armadura transversal más baja de la losa, ábaco o viga soportado. Cuando no hay vigas o ménsulas en todos los lados de la columna, se deben colocar estribos cerrados por encima de la terminación del zuncho, hasta la parte inferior de la losa o 3 - 11

ábaco (ver Figura 3-4). En las columnas con capitel el zuncho se debe prolongar hasta un nivel en el cual el diámetro o el ancho del capitel sea igual a dos veces el de la columna. Los zunchos se deben mantener firmemente colocados en su posición, y su paso y alineación deben ser correctos para impedir su desplazamiento durante la colocación del hormigón. Antes de ACI 318-89, el código específicamente requería el uso de separadores para la instalación de los zunchos. Ahora el artículo 7.10.4.9 simplemente dice que "los zunchos se deben mantener firmemente colocados en su posición y su paso y alineación deben ser correctos." Este requisito, basado en el comportamiento, permite usar métodos alternativos para mantener la jaula de armadura en la posición especificada durante la construcción del elemento; la práctica actual consiste en atar las jaulas. Los requisitos originales que exigían separadores se mantuvieron, pero se trasladaron al comentario. Observar que las especificaciones técnicas deben establecer los requisitos para los separadores (si corresponde) o para el atado de los zunchos. Nivel donde termina el zuncho de la columna superior

Aº de la viga Nivel donde termina el zuncho de la columna inferior

Vigas en todas las caras de la columna

Estribos horizontales

Vigas en algunas caras de la columna

Figura 3-4 – Terminación de los zunchos 7.10.5

Estribos cerrados para columnas

En las columnas de hormigón armado, la distancia vertical entre el estribo cerrado del extremo inferior de la columna y la parte superior de la fundación o de la losa de entrepiso, y la distancia entre el estribo cerrado del extremo superior de la columna y la armadura horizontal más baja de la losa o el ábaco superior, deben ser menores que la mitad del valor de la separación entre estribos. Cuando a una columna concurren vigas o ménsulas desde las cuatro direcciones, el último estribo de la columna se debe colocar como máximo 3 in. por debajo de la armadura más baja de la viga o ménsula menos profunda (ver Figura 3-5). El diámetro mínimo de los estribos usados en las columnas de hormigón armado depende del diámetro de las barras longitudinales. Los diámetros mínimos son los siguientes: No. 3 para las barras longitudinales no pretensadas No. 10 y menores; y No. 4 para las barras longitudinales No. 11 y mayores y para los paquetes de barras. También se aplican las siguientes limitaciones: La separación de los estribos debe ser menor o igual que 16 veces el diámetro de las barras longitudinales, menor o igual que 48 veces el diámetro de los estribos, y menor o igual que la menor dimensión de la columna; los estribos se deben ubicar de forma tal que cada barra longitudinal de esquina y cada barra alternada tengan un apoyo transversal proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior menor o igual que 135 grados. La separación libre máxima entre una barra longitudinal sin apoyo transversal y la barra arriostrada más próxima debe ser menor o igual que 6 in. (ver Figura 3-6). Observar que la distancia libre de 6 in. se mide a lo largo del estribo. Las barras o alambres continuos de forma helicoidal se pueden utilizar como estribos cerrados, siempre que su área sea equivalente a la de los estribos cerrados individuales. Cuando las barras longitudinales están ubicadas alrededor del perímetro de un círculo está permitido utilizar estribos circulares cerrados con las separaciones especificadas. Este requisito también permite usar estribos circulares con separaciones mayores que las especificadas cuando se utilizan zunchos circulares continuos. El anclaje de los zunchos constituidos por barras o alambres continuos se debe realizar mediante un gancho normal o agragando una vuelta más a la barra o alambre.

3 - 12

Armadura del fondo de la losa

s s/2

s

s/2

Armadura de la viga 3"

Vigas en todas las caras de la columna

Vigas en algunas caras de la columna

Figura 3-5 – Terminación de los estribos cerrados

6 in. máx.

135° El apoyo lateral de las barras de la columna se provee mediante estribos cerrados con un ángulo de doblado máximo de 135º. Menor o igual que 6 in.

6 in. máx. 135° máx.

Figura 3-6 – Esquemas de distribución de las barras longitudinales en las columnas A fin de proveer continuidad para la transferencia de cargas en las conexiones, los bulones de anclaje que se colocan en la parte superior de las columnas o pedestales para fijarlos a otros elementos estructurales deben estar confinados por armadura horizontal que contenga también, como mínimo, cuatro barras verticales de la columna o pedestal. Esta armadura horizontal debe estar constituida como mínimo por dos barras No. 4 o tres barras No. 3, y debe estar distribuida en una altura de 5 in. a partir de la parte superior de la columna o pedestal. 7.11

ARMADURA TRANSVERSAL PARA LOS ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

Cuando se utiliza armadura de compresión para aumentar la resistencia a flexión de un elemento (10.3.5.1) o para controlar las flechas a largo plazo [Ecuación (9.11)], el artículo 7.11.1 exige que esta armadura debe estar arriostrada por estribos o estribos cerrados que la encierren. Los requisitos sobre las dimensiones y separación de estos estribos o estribos cerrados son los mismos que se aplican a los estribos de las columnas. Está permitido usar malla de alambre soldada siempre que su área sea equivalente. Los estribos o estribos cerrados se deben prolongar en toda la distancia en la cual la armadura comprimida es requerida por motivos de resistencia o para limitar las flechas. El artículo 7.11.1 no se aplica a la armadura que se coloca en una zona comprimida para facilitar el armado de la jaula de armadura o para mantener la armadura en su lugar durante la colocación del hormigón.

3 - 13

Este requisito del artículo 7.11.1 se ilustra en la Figura 3-7. La parte inferior continua del estribo en U de la figura satisface la intención del artículo 7.11.1, es decir arriostra las dos barras inferiores. En general no es necesario colocar estribos totalmente cerrados, salvo en los casos en los cuales hay momentos reversibles elevados y las condiciones exigen que tanto la armadura longitudinal inferior como la armadura longitudinal superior se diseñen como armadura comprimida. Si se requiere armadura de torsión, ésta puede estar constituida por estribos completamente cerrados, estribos cerrados, zunchos o jaulas de malla de alambre soldada de acuerdo con 11.6.4.

Armadura de compresión

Figura 3-7 – Armadura de compresión correctamente arriostrada 7.11.3

Estribos cerrados

De acuerdo con el artículo 7.11.3, los estribos cerrados deben estar compuestos por un solo tramo de barra continua con ganchos de 90 ó 135 grados yuxtapuestos en sus extremos, o bien por uno o dos tramos de barra continua con empalmes Clase B, tal como se ilustra en la Figura 3-8. Los estribos cerrados constituidos por un solo tramo de barra continua con ganchos yuxtapuestos en sus extremos no son prácticos de colocar. Ninguno de los estribos cerrados ilustrados en la Figura 3-8 se considera efectivo para un elemento solicitado por esfuerzos de torsión elevados. Ensayos realizados han demostrado que cuando hay esfuerzos de torsión elevados y el confinamiento proporcionado por el hormigón externo es limitado, este tipo de detalles de armado resultarán en la pérdida del recubrimiento de hormigón y la consiguiente pérdida del anclaje. Ver Figura 3-9. El Manual ACI3.1 recomienda que los estribos cerrados usados para resistir torsión se detallen como se ilustra en la Figura 3-10. Gancho de 135° alternativo Gancho normal de 90º

Empalme Clase B

Figura 3-8 – Definición de estribo cerrado 3 - 14

No hay confinamiento

Figura 3-9 – Estribos cerrados no recomendados para los elementos solicitados por torsiones elevadas Confinamiento

Confinamiento en un lado (losa con viga de borde)

Confinamiento en ambos lados (vigas interiores)

Sin confinamiento (viga aislada)

Se requieren barras longitudinales en todas las esquinas. Empalme Clase B

Confinamiento

Alternativa para vigas interiores de gran altura

Figura 3-10 – Estribos cerrados de dos piezas. Detalles recomendados para los elementos solicitados a torsiones elevadas3.1 7.12

ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA

En las losas estructurales donde la armadura principal de flexión está dispuesta en una sola dirección se debe colocar armadura en dirección perpendicular a la misma para resistir los esfuerzos debido a la contracción y a la temperatura, pero este requisito no es aplicable a las losas a nivel del plano de fundación en contacto con el suelo. En base a la sección bruta de hormigón, las cuantías mínimas de la armadura de contracción y temperatura son las siguientes: 1. Para barras conformadas de acero Grado 40 y Grado 50: 0,0020

3 - 15

2. Para barras conformadas o mallas de alambre soldadas de acero Grado 60: 0,0018 3. Para las armaduras cuya tensión de fluencia es mayor que 60.000 psi: 0, 0018 × 60.000 / f y ; pero mayor o igual que 0,0014. La separación de la armadura de contracción y temperatura debe ser menor o igual que 5 veces el espesor de la losa y menor o igual que 18 in. Los empalmes y anclajes de esta armadura se deben diseñar para la totalidad de la tensión de fluencia especificada. Las cuantías mínimas indicadas no se aplican cuando se utilizan cables de pretensado. Como armadura de contracción y temperatura se pueden usar cables de pretensado adherentes o no adherentes (7.12.3). Los tendones deben proporcionar una tensión media de compresión mínima de 100 psi sobre el área bruta de hormigón, considerando las tensiones de pretensado efectivas luego de las pérdidas de pretensado. La separación de los cables debe ser menor o igual que 6 ft. Si la separación de los cables es mayor que 54 in. se debe proveer armadura adherente adicional en los bordes de la losa. 7.13

REQUISITOS PARA LA INTEGRIDAD ESTRUCTURAL

Aunque una estructura sea capaz de soportar de manera segura todas las solicitaciones de diseño convencionales, es posible que sufra daños localizados provocados por cargas localizadas excepcionalmente elevadas como las provocadas por las explosiones de gases o líquidos industriales, el impacto de un vehículo, el impacto de objetos extraños, y los efectos de vientos de velocidades muy elevadas como los que se producen durante un tornado. En general estas cargas o eventos excepcionales no constituyen consideraciones de diseño. La integridad global de una estructura de hormigón armado ante estas cargas excepcionales se puede mejorar considerablemente introduciendo algunos cambios relativamente menores en los detalles de armado. La intención de la Sección 7.13 es mejorar la redundancia y la ductilidad de las estructuras. Esto se logra colocando, como mínimo, alguna armadura continua u otros métodos para vincular entre sí los elementos de la estructura. Si se producen daños en un elemento estructural principal, o en situaciones de cargas excepcionales, la armadura para integridad estructural ayuda a restringir los daños resultantes a un área relativamente pequeña de la estructura, con lo cual mejora su estabilidad global. La Sección 7.13 no pretende que las estructuras se diseñen para resistir un colapso generalizado provocado por usos indebidos ni para resistir cargas excepcionalmente elevadas que actúan directamente sobre una gran parte de la estructura. El colapso generalizado de una estructura, tal como el que podría provocar un evento como un bombardeo o un alud, están fuera del alcance de todos los métodos de diseño generales. 7.13.1

Integridad de la estructura en su conjunto

Debido a que el mal uso y los accidentes son eventos impredecibles, éstos no pueden ser definidos con precisión. De manera similar, el proveer a una estructura de integridad estructural es un requisito que no se puede expresar en términos sencillos. El requisito de comportamiento …"A fin de asegurar la integridad de la estructura en su conjunto los elementos de una estructura se deben vincular eficazmente entre sí" requiere que el ingeniero aplique su criterio profesional, y seguramente diferentes ingenieros tendrán diferentes opiniones acerca de cómo vincular efectivamente los elementos de un sistema particular. Es evidente que es imposible codificar todas las condiciones y situaciones que se podrían presentar en el diseño estructural. Sin embargo, el Código sí presenta ejemplos específicos de determinados detalles de armado para las losas nervuradas hormigonadas en obra. Si un apoyo resulta dañado, si no está confinada por estribos la armadura superior que es continua sobre el apoyo tenderá a desprenderse del hormigón, y no podrá colaborar en la transferencia de carga por flexión sobre el apoyo dañado. Especificando una cantidad de armadura inferior continua sobre los apoyos se puede lograr una cierta capacidad de soportar momentos positivos en los apoyos. Especificando para las vigas de borde o perimetrales una determinada cantidad de armadura superior e inferior continua se genera una vinculación de la estructura; además, esta continuidad provista para las vigas perimetrales de la estructura rigidizará la parte exterior de la misma, lo cual resultará útil en caso que se dañe una columna exterior. Se podrían mencionar otros ejemplos de detalles de armado que se pueden aplicar para obtener integridad estructural y lograr que un sistema estructural continúe resistiendo cargas aún cuando algún elemento resulte gravemente dañado. El ingeniero deberá evaluar esta consideración de diseño, y diseñar sistemas específicos para tratar este problema. El concepto del diseño para integridad estructural se discute en profundidad en el Comentario de ASCE 7, Minimum Design 3 - 16

Loads for Buildings and Other Structures.3.6 El lector que desee profundizar en estos conceptos puede consultar esta publicación. 7.13.2

Losas nervuradas hormigonadas en obra

Desde 1989 el Código exige que en las vigas perimetrales se coloque armadura continua para integridad estructural. La cantidad de armadura requerida es como mínimo igual a un sexto de la armadura de tracción requerida para el momento negativo en el apoyo, y un cuarto de la armadura de tracción requerida para el momento positivo en el centro del tramo. El Código 2002 exige un mínimo de dos barras en todos los casos. Otro requisito incorporado por primera vez en el Código 2002 es el que permite explícitamente el uso de empalmes mecánicos y soldados para la armadura continua de las losas nervuradas hormigonadas en obra. Las Figuras 3-11 a 3-13 ilustran los detalles de armado requeridos para el caso general de una losa nervurada.

Vigas transversales donde apoyan las nervaduras

Barra simple con gancho normal o anclaje para desarrollar f y

+As

Barra simple continua, empalme Clase A, o empalme mecánico o soldado

+As

Figura 3-11 – Armadura continua para los elementos nervurados

-As1 Nota 2

-As1

1/4 (+A s1) Gancho normal o anclaje para desarrollar f y

+As1

Nota 1

+As1

TRAMO INTERMEDIO Estribos cerrados de una pieza o estribos en U con ganchos de 135º necesarios por corte TRAMO EXTREMO

Notas: (1) La mayor armadura entre 1/4(+As1) o 1/4(+As2), pero no menos de dos barras continuas o empalmadas con empalmes Clase A o empalmes mecánicos o soldados. (2) La mayor armadura entre 1/6(-As1) o 1/6(-As2), pero no menos de dos barras continuas o empalmadas con empalmes Clase A o empalmes mecánicos o soldados.

Figura 3-12 – Armadura continua para las vigas perimetrales

3 - 17

+A s1

Nota 1

1/4 (+A s1) gancho normal o anclaje para desarrollar f y TRAMO EXTREMO

+A s2

TRAMO INTERMEDIO

Nota: (1) La mayor armadura entre 1/4(+As1) o 1/4(+As2), continua o empalmada con empalmes Clase A o empalmes mecánicos o soldados.

Figura 3-13 – Armadura continua para vigas no perimetrales sin estribos cerrados 7.13.3

Construcciones de hormigón prefabricado

Los requisitos para la integridad estructural de las construcciones hormigonadas en obra anteriores al Código 1989 eran prescriptivos. En 1989 se introdujeron requisitos para las construcciones de hormigón prefabricado que solamente especifican ciertos niveles de comportamiento. Este enfoque es el único posible, ya que las estructuras de hormigón prefabricado pueden ser de incontables tipos diferentes. El código exige que en las estructuras de hormigón prefabricado se coloquen armaduras especiales de tracción, cualquiera sea la altura de la construcción. No se permiten las conexiones que dependen exclusivamente de la fricción originada por las cargas gravitatorias. El requisito general para la integridad estructural, establecido en el artículo 7.13.1, indica que "los elementos de una estructura se deben vincular eficazmente entre sí." El comentario incluido en 1989 advertía que para las construcciones de hormigón prefabricado los detalles de las conexiones se debían diseñar de manera de minimizar la potencial fisuración debida a la restricción de los movimientos originados por fluencia lenta, contracción y variaciones de temperatura. La Referencia 3.7 contiene información sobre las prácticas utilizadas por la industria para las conexiones y los detalles de armado. La Referencia 3.8 contiene requisitos prescriptivos recomendados por la PCI para los tabiques portantes de hormigón prefabricado. El Capítulo 16 de ACI 318-95 introdujo por primera vez requisitos prescriptivos para la integridad estructural de las estructuras de hormigón prefabricado (ver la discusión en el Capítulo 23 de esta publicación). 7.13.4

Construcción de losas izadas

Para la construcción de losas izadas el artículo 7.13.4 dirige al usuario a los artículos 13.3.8.6 y 18.12.6.

3 - 18

REFERENCIAS 3.1

ACI Detailing Manual - 1994, Publication SP-66(94), American Concrete Institute, Detroit, MI, 1994.

3.2

Manual of Standard Practice, 27º Edición, Concrete Reinforcing Steel Institute, Schaumburg, IL, 2001.

3.3

Structural Welded Wire Fabric Detailing Manual, WWR-600, Wire Reinforcement Institute, McLean, VA, 1994.

3.4

Babaei, K. y Hawkins, N.M., "Field Bending and Straightening of Reinforcing Steel,” Concrete International: Design and Construction, Vol. 14, No. 1, Enero 1992.

3.5

Standard Specification for Tolerances for Concrete Construction and Materials and Commentary, ACI 117/117-90, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1990.

3.6

Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures, (ASCE 7-98), American Society of Civil Engineers, Reston, VA, 1998.

3.7

Design and Typical Details of Connections for Precast and Prestressed Concrete, Publication MNL-123-88, Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, IL, 1988.

3.8

PCI Building Code Committee, "Proposed Design Requirements for Precast Concrete,” PCI Journal, Vol. 31, No. 6, Nov.-Dic. 1986, pp. 32-47.

3 - 19

Ejemplo 3.1 – Tolerancia para la colocación de la armadura Dada la sección de tabique ilustrada y el recubrimiento libre de hormigón indicado, determinar el mínimo recubrimiento de hormigón permitido en la construcción, incluyendo las tolerancias especificadas por el Código para dicho recubrimiento.

Cara externa del tabique

1-1/2"

3/4"

Cara interna del tabique

Referencia del Código

Cálculos y discusión

La tolerancia para el recubrimiento de hormigón es de menos 1/2 in., pero en ningún caso esta tolerancia puede ser mayor que 1/3 del recubrimiento de hormigón especificado. 1. Para la cara externa se permite un recubrimiento medido de 1 in. (1-1/2 in. – 1/2 in.). Las barras se pueden colocar a una distancia real de 1 in. de los encofrados. 2. Para la cara interna se permite un recubrimiento medido de 1/2 in. (3/4 in. – 1/4 in.). Para el recubrimiento de 3/4 in. especificado la tolerancia límite es (1/3) ( 3/4) = 1/4 in. < 1/2 in. Como se observa en ACI 117,3.5 las tolerancias son una manera de establecer una variación admisible para las dimensiones o las ubicaciones de los elementos que le permiten tanto al diseñador como al contratista contar con parámetros dentro de los cuales realizar la construcción. A través de las tolerancias el diseñador le transmite al contratista sus expectativas.

3 - 20

7.5.2.1

4 Longitud de anclaje y empalme de la armadura

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 La mayoría de los cambios introducidos en el Capítulo 12 han sido para aclarar requisitos existentes. Se modificaron las ecuaciones dadas en la Sección 12.2 para la longitud de anclaje ℓd de las barras y alambres conformados solicitados a tracción: ahora el diámetro nominal db aparece del lado derecho de la ecuación. Ahora el título de la Sección 12.3 también incluye a los alambres conformados. Se eliminó la definición de la longitud básica de anclaje ℓdb; por motivos de claridad se introdujo la longitud de anclaje ℓdc para barras y alambres conformados solicitados a compresión. De manera similar, se modificó la Sección 12.5 para explicar los requisitos de anclaje para las barras y alambres con gancho solicitados a tracción. La expresión para calcular la longitud de anclaje ℓd de los cordones de pretensado se trasladó del comentario a la Ecuación (12-2) de la Sección 12.9 La Ecuación (12-2) reemplaza la versión no numerada anterior. El nuevo artículo 12.9.1.1 especifica que en ciertos casos se permite usar una longitud embebida menor que la longitud de anclaje. El artículo 12.9.2 especifica que el análisis se puede limitar a las secciones transversales en las cuales se anclará la totalidad de la resistencia de diseño, pero ahora aclara que esta práctica puede no ser conservadora. El comentario de esta sección contiene lineamientos para determinar la capacidad de secciones en las cuales los cordones no están totalmente anclados. Por motivos de claridad también se modificó la Sección 12.5.4, la cual trata los empalmes mecánicos y soldados que no satisfacen los requisitos de los artículos 12.14.3.2 ó 12.14.3.4. CONSIDERACIONES GENERALES El concepto de la longitud de anclaje de las barras conformadas y los alambres conformados solicitados a tracción se basa en la tensión de adherencia promedio que se logra en la longitud embebida de las barras o alambres. Este concepto exige que las armaduras tengan longitudes mínimas especificadas o que se prolonguen las distancias mínimas especificadas más allá de las secciones en las cuales la armadura está solicitada a las tensiones máximas. En los elementos solicitados a flexión estas tensiones máximas generalmente ocurren en las secciones donde las tensión es máxima y en aquellas donde la armadura adyacente termina o cambia de dirección. En el Capítulo 12 del Código no se utiliza el factor de reducción de la resistencia, φ, ya que las longitudes de anclaje especificadas ya incluyen una tolerancia que considera la reducción de la resistencia.

12.1

ANCLAJE DE LA ARMADURA – REQUISITOS GENERALES

Las armaduras necesitan, a partir de la sección donde se produce la tensión máxima, una cierta longitud o algún dispositivo a través del cual transmitir al hormigón los esfuerzos a los que están solicitadas. Esta longitud o dispositivo de anclaje son necesarios a ambos lados de las secciones donde se producen las máximas tensiones. Por ejemplo, en los elementos continuos, típicamente la armadura se prolonga una distancia considerable a un lado de una sección crítica, de modo que generalmente sólo es necesario realizar los cálculos correspondientes al lado en el cual termina la armadura. Hasta que haya más información disponible y con el objeto de asegurar la ductilidad y la seguridad de las estructuras de hormigón de alta resistencia, a partir del Código 1989 el término

f c' se limita a un máximo de 100 psi. Todas las

ecuaciones de diseño existentes para el anclaje de barras rectas solicitadas a tracción y compresión y para el anclaje de las barras que terminan en gancho solicitadas a tracción dependen de

f c' . Estas ecuaciones fueron desarrolladas a partir de

resultados de ensayos realizados en armaduras de acero embebidas en hormigones con resistencias a la compresión comprendidas entre 3000 y 6000 psi. De forma conservadora, el Comité ACI 318 limita el valor de

f c' a 100 psi hasta que

se realicen ensayos que permitan verificar la aplicabilidad de las expresiones de diseño actuales a las barras embebidas en hormigones de alta resistencia. 12.2

ANCLAJE DE LAS BARRAS Y ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADOS A TRACCIÓN

Los requisitos de la Sección 12.2 se basan en los trabajos de Orangun, Jirsa y Breen4.1 y de Sozen y Moehle.4.2 El artículo 12.2.3 da la expresión para calcular la longitud de anclaje de una barra o alambre recto conformado solicitado a tracción en función del diámetro de la barra o alambre:

d

     3 fy  α β γ λ  d =    40 '   c + K   b f tr c       db   

Ec. (12-1)

donde: ℓd = longitud de anclaje, in. db = diámetro nominal de la barra o alambre, in. fy = tensión de fluencia especificada de una barra o alambre no pretensado, psi f'c = resistencia a la compresión especificada del hormigón, psi α = factor relativo a la ubicación de la armadura = 1,3 para la armadura horizontal ubicada de manera tal que haya, como mínimo, 12 in. de hormigón debajo de la barra o alambre anclado o empalmado = 1,0 para otras armaduras β = factor relativo al revestimiento = 1,5 para las barras o alambres revestidos con epoxi, con recubrimientos menores que 3db o una separación libre menor que 6db = 1,2 para las demás barras o alambres con revestimiento epoxi = 1,0 para las armaduras sin revestimiento

4-2

No es necesario adoptar para el producto de α por β un valor mayor que 1,7. γ = factor relativo al diámetro de la armadura = 0,8 para las barras y alambres conformados No. 6 y menores = 1,0 para las barras No. 7 y mayores λ = factor aplicable al hormigón de agregados livianos = 1,3 cuando se utilice hormigón de agregados livianos, o bien =

6, 7 f c' / f ct ; pero nunca menor que 1,0 cuando se especifica f ct

= 1,0 cuando se utilice hormigón de peso normal. c = separación o recubrimiento, in. = (1) la distancia entre el centro de la barra o alambre anclado y la superficie de hormigón más próxima, o (2) la mitad de la separación entre los centros de las barras o alambres que se anclan, cualquiera sea el valor que resulte menor. Ktr = índice de la armadura transversal A tr f yt = 1500 s n donde: A tr = área total de toda la armadura transversal que está ubicada dentro de la distancia s y que atraviesa el plano potencial de hendimiento a través de la armadura que está siendo anclada, in.2 f yt = tensión de fluencia especificada de la armadura transversal, psi

s

= separación máxima de la armadura transversal ubicada en la longitud ℓd, medida entre sus centros, in.

n = número de barras o alambres que se anclan a lo largo del plano de hendimiento  c + K tr  Observar que para evitar las fallas por arrancamiento se establece un valor límite de 2,5 para el término   (12.2.3).  db  En el Código 1989 y sus ediciones anteriores, para evitar las fallas por arrancamiento se especificaba la expresión

0, 03d b f y / f c' .

Para simplificar el diseño, de forma conservadora se puede asumir K tr = 0 aún cuando haya armadura transversal. Si hay un recubrimiento libre de 2d b y la separación libre entre las barras que se anclan es de 4d b , la variable "c" sería igual a 2,5d b .  c + K tr  Para estas condiciones, aún con K tr = 0 , el término   sería igual a 2,5.  db   c + K tr  El término   del denominador de la Ecuación (12-1) toma en cuenta los efectos de la falta de recubrimiento, la falta  db  de separación y el confinamiento proporcionado por la armadura transversal. Para simplificar aún más el cálculo de ℓd, a  c + K tr  partir del Código 1995 se preseleccionaron valores para el término   . En consecuencia, la Ecuación (12-1) puede  db 

adoptar las formas simplificadas especificadas en el artículo 12.2.2 y reproducidas en la Tabla 4-1 siguiente. Exclusivamente a los fines de la discusión, las cuatro ecuaciones de esta tabla se han identificado con las letras A, B, C y D. Observar que

4-3

 c + K tr  esta designación no aparece en el Código. En las Ecuaciones A y B, el término   = 1,5 , mientras que en las  db   c + K tr  Ecuaciones C y D el término   = 1, 0 . Las Ecuaciones A y C incluyen un factor relativo al diámetro de la armadura  db  γ = 0,8 . Esta reducción del 20 por ciento se basa en comparaciones con requisitos anteriores y en numerosos resultados de ensayos.

Tabla 4-1 – Longitudes de desarrollo ℓd especificadas en el artículo 12.2.2 Barras o alambres conformados No. 6 y menores

Barras No. 7 y mayores

(Ec. A)

(Ec. B)

f αβλ  y d  25 f '  b c  

f αβλ  y d  20 f '  b c  

(Ec. C)

(Ec. D)

3 f α β λ  y d  50 f '  b c  

3 f α β λ  y d  40 f '  b c  

La separación libre entre las barras o alambres que se anclan o empalman es mayor o igual que db, el recubrimiento libre es mayor o igual que db y la cantidad de estribos o estribos cerrados a lo largo de ℓd es mayor que el mínimo indicado en el Código o bien La separación libre entre las barras o alambres que se anclan o empalman es mayor o igual que 2db y el recubrimiento libre es mayor o igual que db

Otros casos

Las Ecuaciones A y B solamente se pueden aplicar si se satisface uno de los dos conjuntos de condiciones siguientes: Conjunto #1 Se deben satisfacer simultáneamente las tres condiciones siguientes: 1. 2. 3.

La separación libre de la armadura que se ancla o empalma no debe ser menor que su diámetro db, El recubrimiento libre de hormigón sobre la armadura que se ancla no debe ser menor que db, y La cantidad mínima de estribos o estribos cerrados en la longitud ℓd no debe ser menor que los valores mínimos especificados en el artículo 11.5.5.3 para las vigas o en el artículo 7.10.5 para las columnas

Conjunto #2: Se deben satisfacer simultáneamente las dos condiciones siguientes: 1. 2.

La separación libre mínima de la armadura que se ancla o empalma no debe ser menor que 2db, y El recubrimiento libre no debe ser menor que db.

Si no se pueden satisfacer simultáneamente todas las condiciones del Conjunto #1 ni todas las condiciones del Conjunto #2  c + K tr  se deben utilizar las Ecuaciones C o D. Observar que la Ecuación D es idéntica a la Ecuación (12-1) con   = 1,0 y el  db  factor relativo al diámetro de la armadura γ = 1,0.

4-4

 c + K tr  Aunque las Ecuaciones A, B, C y D son más sencillas de utilizar que la Ecuación (12-1), el término   solamente  db  puede tomar el valor 1,0 (Ecuaciones C y D) o el valor 1,5 (Ecuaciones A y B). Por el contrario, la Ecuación (12-1) puede  c + K tr  requerir de un esfuerzo adicional, pero permite asignarle al término   un valor de hasta 2,5. Por lo tanto, las  db 

longitudes de anclaje ℓd calculadas con la Ecuación (12-1) pueden ser considerablemente menores que las calculadas con las ecuaciones simplificadas del artículo 12.2.2. Las longitudes de anclaje de la Tabla 4-1 se pueden simplificar aún más para determinadas condiciones particulares. Por ejemplo, para armaduras de acero Grado 60 (fy = 60.000 psi) y diferentes resistencias a la compresión del hormigón, asumiendo hormigón de peso normal (λ = 1,0) y barras o alambres inferiores (α = 1,0) sin revestimiento (β = 1,0) los valores de ℓd en función de db se pueden determinar como se indica en la Tabla 4-2. Al igual que en las ediciones anteriores del Código, la longitud de anclaje de las barras o alambres conformados, incluyendo todos los factores de modificación, debe ser mayor o igual que 12 in. Tabla 4-2 – Longitud de anclaje ℓd para barras o alambres inferiores de acero Grado 60, sin revestimiento, colocadas en hormigón de peso normal

psi

Barras o alambres conformados No. 6 y menores

Barras No. 7 y mayores

3000

44db

55db

4000

38db

47db

5000

34db

42db

6000

31db

39db

8000

27db

34db

10.000

24db

30db

3000

66db

82db

4000

57db

71db

5000

51db

64db

6000

46db

58db

8000

40db

50db

10.000

36db

45db

fc' La separación libre entre las barras o alambres que se anclan o empalman es mayor o igual que db, el recubrimiento libre es mayor o igual que db y la cantidad de estribos o estribos cerrados a lo largo de ℓd es mayor que el mínimo indicado en el Código o bien La separación libre entre las barras o alambres que se anclan o empalman es mayor o igual que 2db y el recubrimiento libre es mayor o igual que db

Otros casos

12.2.5

Armadura en exceso

Cuando en un elemento solicitado a tracción la armadura provista es mayor que la armadura requerida, la longitud de anclaje se puede reducir aplicando la relación [(As requerida) / (As provista)]. Observar que esta reducción no se puede aplicar en los siguientes casos: (a) cuando se requiere el anclaje para la totalidad de la tensión fy, como se indica para los empalmes de tracción por yuxtaposición en las Secciones 7.13, 12.15.1 y 13.3.8.5: (b) para el anclaje de la armadura para momento positivo en los apoyos, de acuerdo con 12.11.2; y (c) para el anclaje de la armadura de contracción y temperatura de acuerdo con el artículo 7.12.2.3. Observar también que no se permite reducir la longitud de anclaje de las armaduras de las estructuras ubicadas en regiones de elevada peligrosidad sísmica o para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado (ver 21.2.1.4).

4-5

La longitud de anclaje ℓd calculada luego de aplicar la reducción por armadura en exceso especificada en el artículo 12.2.5 debe ser mayor o igual que 12 in. 12.3

ANCLAJE DE LAS BARRAS Y ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADOS A COMPRESIÓN

La longitud de anclaje requerida para la armadura solicitada a compresión es menor que la longitud de anclaje requerida para la armadura solicitada a tracción, ya que en las barras comprimidas no se presenta el efecto debilitante que provocan las fisuras originadas por la tracción por flexión. La longitud de anclaje para las barras conformadas o los alambres conformados solicitados a compresión es

dc

= 0, 02 d b f y / f c' , pero este valor no puede ser menor que 0, 0003 d b f y ni

menor que 8 in. En el Código 1999 esto se definía como la longitud básica de anclaje en compresión, ℓdb. Observar que ℓdc se puede reducir si hay armadura en exceso de la requerida (12.3.3(a) y si hay estribos cerrados o zunchos que "confinen" la armadura (12.3.3(b)). Observar también que los requisitos que deben satisfacer los estribos cerrados o zunchos para poder reducir la longitud de anclaje un 25 por ciento son algo más estrictos que los correspondientes a los estribos de columna "regulares" especificados en 7.10.5, pero menos estrictos que los correspondientes a los zunchos especificados en 7.10.4. A modo de referencia, la Tabla 4-3 lista las longitudes de anclaje en compresión para las barras de acero Grado 60. Tabla 4-3 – Longitud de desarrollo en compresión ℓdc para barras de acero Grado 60 (in.) Tamaño de la barra No.

fc' (Hormigón de peso normal), psi 3000

4000

≥ 4444*

3

8,2

7,1**

6,8**

4

11,0

9,5

9,0

5

13,7

11,9

11,3

6

16,4

14,2

13,5

7

19,2

16,6

15,8

8

21,9

19,0

18,0

9

24,7

21,4

20,3

10

27,8

24,1

22,9

11

30,9

26,8

25,4

14

37,1

32,1

30,5

18

49,4

42,8

40,6

*

Para f'c ≥ 4444 psi la mínima longitud básica de anclaje resulta determinante (0,0003dbfy). Para las barras de acero Grado 60 ℓdc = 18db. ** La longitud de anclaje ℓdc (incluyendo todos los factores de reducción aplicables) no debe ser menor que 8 in.

12.4

ANCLAJE DE LOS PAQUETES DE BARRAS

Cuando se utilizan paquetes de tres o cuatro barras es necesario aumentar la longitud de anclaje de las barras individuales. Esta longitud adicional es necesaria porque el agrupamiento hace más difícil movilizar resistencia al "deslizamiento" entre las barras, en el núcleo del paquete. Para un paquete de tres barras el factor de modificación aplicable es 1,2; para un paquete de cuatro barras el factor de modificación aplicable es 1,33. Otros requisitos aplicables incluyen los especificados en 7.6.6.4 referidos a la terminación de las barras individuales dentro de un paquete, y los de 12.14.2.2 referidos al empalme por yuxtaposición de los paquetes de barras.

4-6

Para determinar los factores de 12.2 que dependen del diámetro de las barras, db, un paquete de barras se puede considerar como una sola barra cuyo diámetro se obtiene en base al área total equivalente. Ver la Tabla 3-7 del Capítulo 3 de este documento. 12.5

ANCLAJE DE LAS BARRAS O ALAMBRES TERMINADOS EN GANCHO SOLICITADOS A TRACCIÓN

Los requisitos actuales para el anclaje de las armaduras terminadas en gancho fueron introducidos por primera vez en el Código 1983. Estos requisitos representaron un cambio importante con respecto a los requisitos de los códigos anteriores, ya que diferenciaban entre el anclaje de las armaduras terminadas en gancho y el anclaje de las barras rectas, y daban la longitud de anclaje para las barras terminadas en gancho directamente. Los requisitos actuales no sólo simplifican el cálculo de las longitudes de anclaje de las barras terminadas en gancho sino que además con ellos se obtienen longitudes embebidas considerablemente menores que las requeridas por las ediciones anteriores del Código, particularmente para el caso de las barras de mayor diámetro. La Sección 12.5 contiene requisitos para determinar la longitud de anclaje de las barras conformadas que terminan en un gancho normal. Los ganchos sólo se pueden usar para anclar barras traccionadas; estos ganchos no se pueden considerar efectivos para el anclaje de las armaduras en compresión (ver 12.1.1 y 12.5.5). Esta sección solamente considera los ganchos "normales" (ver 7.1); los requisitos de la Sección 12.5 no permiten calcular la capacidad de anclaje de los ganchos con diámetros de mayor tamaño. Para poder aplicar los requisitos de anclaje de las barras o alambres con ganchos el primer paso consiste en calcular la longitud de anclaje de la barra o alambre, ℓdh, de acuerdo con el artículo 12.5.2. Luego esta longitud se multiplica por el factor o los factores de modificación aplicables indicados en el artículo 12.5.3. Observar que en el Código 1999 se determinaba una longitud básica de anclaje diferente, ℓhb, la cual luego se podía modificar aplicando los factores de 12.5.3. La longitud de anclaje ℓdh se mide entre la sección crítica y el extremo exterior del gancho normal, es decir, corresponde a la longitud recta embebida desde la sección crítica hasta el inicio del gancho, más el radio de doblado del gancho, más un diámetro de la barra o alambre. A modo de referencia, la Figura 4-1 ilustra ℓdh y los detalles de los ganchos normales (ver 7.1) para todos los tamaños de barras y alambres habituales. Para los ganchos normales doblados a 180 grados perpendiculares a una superficie expuesta, la longitud de anclaje debe proveer una distancia mínima de 2 in. más allá de la cola del gancho. db

12db

Sección crítica db

4db o 2,5" mín.

4d b No. 3 a No. 8 5db No. 9, No. 10 y No.11 6db No. 14 y No. 18

dh

Figura 4-1 – Longitud de anclaje ℓdh para los ganchos normales 12.5.2

Longitud de anclaje ℓdh

De acuerdo con 12.5.2, la longitud de anclaje, ℓdh, para las barras o alambres con gancho solicitadas a tracción es:

4-7

dh

 0, 02βλf y = '  fc 

  db  

donde β = 1,2 si la armadura tiene revestimiento epoxi4.3 y λ = 1,3 si se trata de hormigón de agregados livianos. Para los demás casos β = λ = 1,0. La Tabla 4-4 indica la longitud de anclaje para las barras con gancho embebidas en hormigón de peso normal, para diferentes resistencias a la compresión especificada y armadura de acero de grado 60. Tabla 4-4 – Longitud de anclaje ℓdh de las barras con ganchos normales* (Barras de acero Grado 60 sin revestimiento) (in.) Tamaño de la barra No.

3000

4000

5000

6000

8000

10.000

3

82

7,1

6,4

5,8

5,0

4,5

4

11,0

9,5

8,5

7,7

6,7

6,0

5

13,7

11,9

10,6

9,7

8,4

7,5

6

16,4

14,2

12,7

11,6

10,1

9,0

7

19,2

16,6

14,8

13,6

11,7

10,5

8

21,9

19,0

17,0

15,5

13,4

12,0

9

24,7

21,4

19,1

17,5

15,1

13,5

10

27,8

24,1

21,6

19,7

17,0

15,2

11

30,9

26,8

23,9

21,8

18,9

16,9

14

37,1

32,1

28,7

26,2

22,7

20,3

fc' (Hormigón de peso normal), psi

18 49,5 42,8 38,3 35,0 30,3 27,1 * La longitud de anclaje ℓdh (incluyendo todos los factores de modificación aplicables) no debe ser menor que 8db ni menor que 6 in.

12.5.3

Factores de modificación

Los factores de modificación para la longitud ℓdh listados en el artículo 12.5.3 toman en cuenta los siguientes factores: • • •

Las condiciones favorables de confinamiento que proporciona un mayor recubrimiento de hormigón (12.5.3(a)) Las condiciones favorables de confinamiento que proporcionan los estribos y los estribos cerrados para resistir el hendimiento del hormigón (12.5.3(b) y (c)) La presencia de armadura en exceso de la requerida por cálculo (12.5.3(d))

En la Figura 4-2 se ilustran el recubrimiento lateral (perpendicular al plano del gancho) y el recubrimiento sobre la prolongación de la barra más allá de un gancho con un ángulo de 90 grados mencionados en 12.5.3(a). Observar que el Código 2002 diferencia los requisitos para los ganchos con un ángulo de 90 grados y para aquellos con un ángulo de 180 grados. Las Figuras R12.5.3(a) y R12.5.3(b) ilustran casos en los cuales se puede utilizar el factor de modificación especificado en 12.5.3(b). La longitud de anclaje, ℓdh, obtenida luego de multiplicar la longitud de anclaje por todos los factores de modificación aplicables no debe ser menor que 8db ni menor que 6 in.

4-8

Recubrimiento sobre la prolongación de la barra más allá del gancho de 90º

Recubrimiento lateral (perpendicular al plano del gancho normal)

Figura 4-2 – Recubrimientos de hormigón mencionados en 12.5.3(a) 12.5.4

Ganchos normales en los extremos discontinuos de un elemento

El artículo 12.5.4 contiene un requisito específico para las barras que se anclan mediante un gancho normal en los extremos discontinuos de un elemento, como por ejemplo en los extremos de una viga simplemente apoyada, en el extremo libre de un voladizo o en los extremos de los elementos que concurren a un nudo y que no se prolongan más allá de dicho nudo. Si es necesario anclar toda la resistencia de una barra mediante un gancho, y si tanto el recubrimiento a ambos lados del gancho como el recubrimiento en la parte superior (o inferior) del gancho es menor que 2,5 in., el artículo 12.5.4 exige que el gancho esté encerrado por estribos o por estribos cerrados en la totalidad de la longitud de anclaje ℓdh. La separación de estos estribos o estribos cerrados no debe ser mayor que 3db, siendo db el diámetro de la barra. Además, el factor de modificación de 0,8 que se aplica cuando hay confinamiento provisto por estribos o estribos cerrados (12.5.3(b) y (c)) no se aplica al caso especial cubierto por el artículo 12.5.4. En los extremos discontinuos de las losas de hormigón en las cuales el confinamiento es proporcionado por la continuidad de la losa a ambos lados del gancho no se aplican los requisitos del artículo 12.5.4. 12.6

ANCLAJE MECÁNICO

La Sección 12.6 permite anclar las armaduras mediante anclajes mecánicos, siempre y cuando su capacidad para transmitir la tensión de la armadura sin dañar el hormigón haya sido verificada mediante ensayos. El artículo 12.6.3 refleja el concepto de que la armadura se puede anclar mediante una combinación de un anclaje mecánico más una longitud embebida adicional de la armadura. Por ejemplo, si el dispositivo mecánico seleccionado no puede desarrollar la resistencia de diseño de una barra, es necesario proveer una longitud embebida adicional entre el dispositivo mecánico y la sección crítica. 12.7

ANCLAJE DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADAS A TRACCIÓN

La longitud de anclaje de las mallas de acero soldadas de alambres conformados se mide entre la sección crítica y el extremo del alambre. De acuerdo con el artículo 12.7.1, la longitud de anclaje de una malla de acero soldada de alambres conformados se calcula como el producto entre el valor de ℓd obtenido de acuerdo con los artículos 12.2.2 ó 12.2.3 por un factor aplicable a las mallas de acero soldadas de alambres conformados obtenido de acuerdo con los artículos 12.7.2 ó 12.7.3. Si la armadura provista es mayor que la armadura requerida por cálculo, la longitud de anclaje se puede reducir de acuerdo con lo especificado en el artículo 12.2.5. Al aplicar los requisitos de 12.2.2 ó 12.2.3 a las mallas soldadas de alambres conformados revestidas con epoxi se permite utilizar un factor de revestimiento β = 1,0. La longitud de anclaje resultante ℓd debe ser mayor o igual que 8 in., excepto para el cálculo de las longitudes de los empalmes por yuxtaposición (ver 12.18) y el anclaje de la armadura del alma (ver 12.13). La Figura 4-3 ilustra la longitud de anclaje requerida para las mallas de acero soldadas de alambres conformados.

4-9

El artículo 12.7.2 se aplica cuando hay como mínimo un alambre transversal ubicado dentro de la longitud de anclaje, a una distancia mayor o igual que 2 in. de la sección crítica. El factor para malla de acero soldada especificado en 12.7.2 es igual al mayor valor que se obtenga de [(fy – 35.000)/fy] ó [5db/sw], pero siempre menor o igual que 1,0. Si no hay ningún alambre transversal ubicado dentro de la longitud de anclaje, o si el alambre transversal está ubicado a una distancia menor que 2 in. de la sección crítica, la longitud de anclaje de la malla soldada de alambres conformados se debe calcular de acuerdo con los artículos 12.2.2 ó 12.2.3. Para esta condición el factor para dicha malla soldada se debe tomar igual a 1,0 (ver 12.7.3). De acuerdo con la norma ASTM A 497, las mallas de acero soldadas de alambres conformados pueden estar compuestas exclusivamente por alambres conformados (ASTM A 496) o por una combinación de alambres conformados en una dirección (ASTM A 496) y alambres lisos en la dirección ortogonal (ASTM A 82). En este último caso la malla se debe anclar de acuerdo con la Sección 12.8 (mallas de acero soldadas de alambres lisos solicitadas a tracción). d

Sección crítica 2 in. mín

Alambre transversal ℓd ≥ 8 in.

Figura 4-3 – Anclaje de las mallas de acero soldadas de alambres conformados 12.8

ANCLAJE DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOLICITADAS A TRACCIÓN

La longitud de anclaje de las mallas de acero soldadas de alambres lisos se mide entre la sección crítica y el alambre transversal más alejado. El anclaje pleno de las mallas de alambres lisos (Awfy) se logra embebiendo como mínimo dos alambres transversales más allá de la sección crítica, ubicando el alambre transversal más próximo a una distancia mayor o igual que 2 in. de la sección crítica. La Sección 12.8 requiere además que la longitud embebida medida entre la sección crítica y el alambre más alejado sea mayor o igual que

d

(

= 0, 27 A w f y λ / s w f c'

) y mayor o igual que 6 in. Si la armadura

provista es mayor que la armadura requerida por cálculo, la longitud de anclaje ℓd se puede reducir multiplicando por la relación (As requerida) / (As provista). La longitud de anclaje mínima de 6 in. no se aplica al cálculo de las longitudes de los anclajes por yuxtaposición (ver 12.19). La Figura 4.4 ilustra la longitud de anclaje requerida para las mallas de acero soldadas de alambres lisos. Para las mallas fabricadas con alambres de menor diámetro, para alcanzar a desarrollar la totalidad de la tensión de fluencia de los alambres anclados generalmente alcanza con disponer un anclaje constituido como mínimo por dos alambres transversales con el alambre más próximo a una distancia de 2 in. o más de la sección crítica. Sin embargo, para las mallas fabricadas con alambres de mayor diámetro (en las cuales la separación libre es pequeña) los alambres necesitarán una mayor longitud embebida ℓd.

4 - 10

d

Sección crítica 2 in. mín.

Alambres transversales ℓd ≥ (separación entre alambres transversales + 2 in.) ≥ 6 in.

Figura 4-4 – Anclaje de las mallas de acero soldadas de alambres lisos

Por ejemplo, verifiquemos una malla 6 × 6-W4 × W4 con f'c = 3000 psi y fy = 60.000 psi utilizada en un hormigón de peso normal (λ = 1,0): d

(

)

= 0, 27 × ( A w / s w ) × f y / f c' × λ

(

)

= 0, 27 × ( 0, 04 / 6 ) × 60.000 / 3000 × 1, 0 = 1,97 in. < 6 in.

< (1 separación + 2 in.)

Valor determinante

Embeber dos alambres transversales más 2 in. es satisfactorio (ver Figura 4-5). d = 8"

6"

Sección crítica 6 x 6 -W4 x W4

2"

Figura 4-5 – Anclaje de una malla 6 × 6-W4 × W4

Verifiquemos una malla 6 × 6-W20 × W20: 4 - 11

d

(

)

= 0, 27 × ( 0, 20 / 6 ) × 60.000 / 3000 × 1, 0 = 9,9 in. > 6 in.

> (1 separación + 2 in.) Como se ilustra en la Figura 4-6, para anclar una malla de alambres W20, además de embeber 2 alambres y de las 2 in. requeridas, se deben embeber 2 in. adicionales. Si la separación longitudinal se reduce a 4 in. (malla 4 × 6-W20 × W20), para desarrollar la tensión de fluencia se requerirá como mínimo ℓd = 15 in., es decir, 3 alambres transversales más una longitud de 3 in. Las Referencias 4.4 y 4.5 contienen ayudas de diseño para las mallas de acero soldadas, incluyendo tablas para determinar la longitud de anclaje tanto para mallas de alambres lisos como para mallas de alambres conformados. d

= 10"

6"

Sección crítica 6 x 6 -W20 x W20

4"

Nota: Si el ancho del apoyo no es suficiente para permitir el anclaje de los alambres rectos, la longitud de anclaje ℓd se puede doblar hacia abajo (en forma de gancho) dentro del apoyo.

Figura 4-6 – Anclaje de una malla 6 × 6-W20 × W20 12.9

ANCLAJE DE LOS CORDONES DE PRETENSADO

Los elementos de hormigón pueden ser pretensados o postesados. En las aplicaciones postesadas el anclaje de los cables se logra mediante anclajes mecánicos. Los cables de tesado pueden consistir en cordones, alambres o barras de alta resistencia. En los elementos pretensados los cables típicamente consisten en cordones de siete alambres. El artículo 12.9.1 especifica que la longitud de anclaje ℓd (en pulgadas) de los cordones de pretensado se debe calcular usando la Ecuación (12-2), la cual anteriormente estaba en R12.9:

d

f =  se  3

  d b + f ps − fse d b 

(

)

Ec. (12-2)

donde: f ps = tensión en la armadura tesa cuando la solicitación alcanza el valor de la resistencia nominal, ksi f se = tensión efectiva en la armadura tesa después que han ocurrido todas las pérdidas de pretensado, ksi d b = diámetro nominal del cordón de pretensado, in.

4 - 12

Las expresiones que aparecen entre paréntesis se deben utilizar como valores adimensionales. f  El término  se  d b representa la longitud de transferencia del cordón (ℓt), es decir la longitud de cordón que se debe adherir  3 

(

)

al hormigón para desarrollar en el cordón una tensión igual a f se . El segundo término, f ps − fse d b , representa la longitud de adherencia para flexión, es decir la longitud adicional de cordón que se debe adherir de manera que cuando la solicitación alcance el valor de la resistencia nominal del elemento se pueda desarrollar en el cordón una tensión igual a f ps . Si la adherencia de uno o más cordones no se prolonga hasta el extremo del elemento, las secciones críticas pueden no coincidir con las secciones en las cuales se desarrollará la totalidad de la resistencia de diseño (ver 12.9.2). En estos casos puede ser necesario realizar un análisis más detallado. De manera similar, si hay cargas concentradas importantes actuando sobre la longitud de anclaje de los cordones, las secciones críticas pueden no coincidir con la sección en la cual se desarrollará la totalidad de la resistencia de diseño. Observar que, si la adherencia del cordón no se prolonga hasta el extremo del elemento (cordones "desadheridos") el artículo 12.9.3 exige duplicar la longitud de anclaje especificada en el artículo 12.9.1 cuando en las consideraciones de diseño se incluyan tensiones de tracción para el estado de carga de servicio en la zona traccionada precomprimida. Es posible que en algunas aplicaciones pretensadas la longitud total del elemento sea menor que dos veces la longitud de anclaje requerida. Esto suele ser el caso de los elementos de hormigón pretensado de muy corta longitud. En estos casos los cordones no serán capaces de desarrollar fps. La máxima tensión utilizable en los cordones cuya longitud embebida es menor que la longitud de anclaje se puede calcular como se ilustra en la Figura 4-7. Para la condición ℓt < ℓx < ℓd la máxima tensión en el cordón, fmax, a una distancia ℓx del extremo de una viga se puede determinar de la siguiente manera:

fps x

(fps - f se)

f max

∆f

fse Tensión en el acero de pretensado

Extremo del elemento

fse db 3

(fps - f se) d b d

Distancia desde el extremo libre del cordón

Figura 4-7 – Relación entre la tensión en el acero de pretensado y la distancia desde el extremo libre del cordón

4 - 13

f max = fse + ∆f = fse +

= fse +

( fps − fse )  ( fps − fse ) d b  x

db

−

x

−

fse  db  3 

fse 3

Por lo tanto, f max =

12.10

2 + fse db 3 x

ANCLAJE DE LA ARMADURA DE FLEXIÓN – REQUISITOS GENERALES

La Sección 12.10 contiene requisitos básicos para determinar el anclaje de la armadura a partir de las secciones de tensión máxima o crítica. Las Figuras 4-8(a) y (b) ilustran las secciones críticas típicas y los requisitos de anclaje y terminación de la armadura de flexión especificados por el Código. Las secciones críticas para el anclaje de la armadura de los elementos

(

)

solicitados a flexión son las secciones donde los momentos positivos y negativos son máximos M u+ y M u− ; para estas secciones se debe proveer una longitud de anclaje ℓd adecuada. También son secciones críticas las secciones donde se interrumpe o se dobla la armadura del elemento; la armadura continua debe tener una longitud de anclaje ℓd adecuada más allá de la sección a partir de la cual las barras dobladas o interrumpidas teóricamente ya no son necesarias para soportar flexión (ver 12.10.4). Observar también que las barras se deben prolongar más allá de la sección en la cual ya no son necesarias para resistir flexión de acuerdo con 12.10.3. El requisito de prolongar la armadura se incluye como una precaución en caso que se produzcan desplazamientos de los momentos máximos de los diagramas de momento debidos a la variación de las cargas, asentamiento de los apoyos y otros cambios imprevistos que puedan afectar los diagramas de momentos. Las longitudes de anclaje ℓd se determinan de acuerdo con la Sección 12.2. Las Secciones 12.10.1 y 12.10.5 se refieren al anclaje de la armadura traccionada en una zona solicitada a compresión. Investigaciones realizadas han confirmado la necesidad de limitar la interrupción de la armadura en las zonas solicitadas a tracción, ya que cuando la armadura termina en las zonas traccionadas las fisuras por flexión tienden a abrirse en forma anticipada. Si tanto la tensión de corte en la zona donde se interrumpe la armadura como la tensión de tracción en las barras restantes se aproximan a sus respectivos valores límites, tienden a desarrollarse fisuras diagonales de tracción a partir de las fisuras de flexión. Para limitar las fisuras diagonales de tracción se debe satisfacer alguna de las tres alternativas indicadas en la Sección 12.10.5. El artículo 12.10.5.2 indica que se debe disponer un área de estribos cerrados mayor que el área requerida para corte y torsión. Los requisitos de la Sección 12.10.5 no se aplican a los empalmes de tracción. La Sección 12.10.6 se aplica al anclaje de los extremos de la armadura traccionada de ciertos elementos especiales solicitados a flexión, como por ejemplo las ménsulas, los elementos de altura variable y otros elementos en los cuales la tensión en la armadura, fs, no es directamente proporcional al momento. Para la ménsula ilustrada en la Figura 4-9, la longitud de anclaje ℓd en el interior del apoyo es probablemente menos crítica que la longitud de anclaje requerida. En estos casos la seguridad depende fundamentalmente del anclaje en el extremo cargado. Una barra transversal soldada, de igual diámetro, debería proporcionar un anclaje efectivo en el extremo. La disposición de un gancho extremo en el plano vertical puede no ser una solución efectiva, ya que el hormigón en la proximidad de las cartas aplicadas puede ser esencialmente hormigón simple y esto podría provocar una falla localizada. Si la ménsula es ancha y las cargas no se aplican cerca de las esquinas, las barras en forma de U en un plano horizontal proporcionan ganchos extremos efectivos, resolviendo satisfactoriamente el anclaje en el extremo libre.

4 - 14

Momento resistente de las barras C, D y E

Nota: Ver los requisitos sobre la interrupción de la armadura de flexión en una zona traccionada (12.10.5)

-M u

Sección crítica para las barras C (12.10.2)

d,12db (12.10.3) Momento resistente de las barras D y E

Sección crítica para las barras D (12.10.2) d,12d b (12.10.3) Momento resistente de las barras E

Sección crítica para las barras E (12.10.2)

d,12d b ,

n

/16 (12.12.3) Punto de inflexión P.I.

≥

d

barras C

(12.12.2)

≥

d

≥

barras D

(12.10.4)

Barras C

d

barras E

(12.10.4)

Barras D

Barras E

Nota (a) Ver Fig. 4-8(b) para el anclaje de la armadura para momento positivo.

Nota (b)

Nota (a) Una parte de la armadura para momento negativo ( A s- ) debe ser continua (o estar empalmada mediante un empalme Clase A o un anclaje mecánico o soldado que satisfaga los requisitos de 12.14.3) en toda la longitud de las vigas perimetrales (7.13.2.2). (a) Armadura para momento negativo

Figura 4-8 – Anclaje de la armadura de flexión

4 - 15

Nota: Ver los requisitos sobre la interrupción de la armadura de flexión en una zona traccionada (12.10.5)

Punto de inflexión P.I.

Sección crítica para las barras A (12.10.2)

d,12db (12.10.3) Momento resistente de las barras B

Sección crítica para las barras B (12.10.2)

Momento resistente de las barras A y B

Longitud embebida de las barras B (12.10.4)

+M u Ver Fig 4.8(a) para el anclaje de la armadura para momento negativo.

Nota (b)

≥

d barras A

(12.1)

P.I.

Barras B

Barras A

Nota (b) Una parte de la armadura para momento positivo ( A s+ ) debe ser continua (o estar empalmada mediante un empalme Clase A o un anclaje mecánico o soldado que satisfaga los requisitos de 12.14.3) en toda la longitud de las vigas perimetrales y de las vigas que no tienen estribos cerrados (7.13.2.2). Ver también el artículo 7.13.2.4. (b) Armadura para momento positivo

Figura 4-8 – Anclaje de la armadura de flexión

4 - 16

dh

P Gancho normal doblado a 90º o 180º

d

La mayor parte de d debe estar cerca del borde, o bien se debe anclar el extremo

Figura 4-9 – Elementos especiales que dependen fundamentalmente del anclaje 12.11

ANCLAJE DE LA ARMADURA PARA MOMENTO POSITIVO

Como una precaución adicional para en caso que por alguna causa se desplacen los momentos máximos de los diagramas de momento, el artículo 12.11.1 requiere que una cantidad específica de la armadura total para momento positivo se prolongue a lo largo del elemento hasta el apoyo, y además especifica que en las vigas esta parte de la armadura total se debe prolongar dentro del apoyo una distancia mayor o igual que 6 in. La fracción de la armadura total para momento positivo que se debe prolongar es de un tercio en el caso de los elementos simplemente apoyados y de un cuarto en el caso de los elementos continuos. Por ejemplo, en la Figura 4-8(b) el área de las barras "B" debería ser como mínimo igual a un cuarto de la armadura requerida en la sección de máximo momento positivo M u+ . La intención del artículo 12.11.2 es asegurar una respuesta dúctil de la estructura en caso que se presenten solicitaciones no previstas como las provocadas por vientos extraordinariamente fuertes o por un sismo. En los elementos que forman parte del sistema que resiste las cargas laterales, prolongando una parte de la armadura y anclándola adecuadamente en el apoyo se protege a la estructura en caso que estas cargas extraordinarias provoquen la inversión de los momentos. La armadura para momento positivo se debe anclar de manera tal que en la cara interna del apoyo se desarrolle la totalidad de la tensión de fluencia. Este requisito exige que en los elementos que forman parte del sistema que resiste las cargas laterales las barras inferiores estén yuxtapuestas en los apoyos interiores o que tengan ganchos en los apoyos exteriores. El requisito de desarrollar la totalidad de la tensión de fluencia no se aplica al exceso de armadura provisto en los apoyos. El artículo 12.11.3 limita el diámetro de las barras usadas como armadura para momento positivo en los extremos simplemente apoyados y en las secciones de momento nulo (puntos de inflexión). De este modo se limita la tensión de adherencia en las áreas donde el momento es pequeño y el corte es elevado. Esta condición podría existir en una viga corta fuertemente cargada, en la cual habría que anclar barras de gran diámetro en una distancia relativamente corta. Las barras se deben limitar a un diámetro tal que la longitud de anclaje ℓd calculada para fy de acuerdo con la Sección 12.2 sea menor o igual que (Mn/Vu) + ℓa (12.11.3). No es necesario verificar esta expresión cuando la armadura termina más allá del eje de un apoyo simple, mediante un gancho normal o mediante un anclaje mecánico. Los anclajes mecánicos deben ser equivalentes a los ganchos normales. La longitud (Mn/Vu) corresponde a la longitud de anclaje de la armadura de mayor diámetro obtenida mediante la expresión indicada en el párrafo anterior. La longitud (Mn/Vu) se puede incrementar un 30 por ciento si los extremos de la armadura están confinados por una reacción de compresión, como cuando hay una columna ubicada debajo del elemento, pero no cuando una viga concurre a otra viga.

4 - 17

Para la viga simplemente apoyada ilustrada en la Figura 4-10, la máxima ℓd admisible para las barras "a" es igual a (1,3Mn/Vu + ℓa). Esto limita el diámetro de la armadura para satisfacer el requisito de adherencia por flexión. Aún cuando la longitud de anclaje total a partir de la sección crítica para las barras "a" es mayor que (1,3Mn/Vu + ℓa), es necesario limitar el diámetro de las barras "a" de manera que se verifique ℓd ≤ 1,3Mn/Vu + ℓa. Observar que Mn es el momento resistente nominal de la sección transversal (sin el factor φ). Como se mencionó anteriormente, se pueden utilizar barras de mayor diámetro si se utilizan ganchos normales o anclajes mecánicos en el extremo de la barra dentro del apoyo. En los puntos de inflexión (ver Figura 4-11) la armadura para momento positivo debe tener una longitud de anclaje ℓd determinada de acuerdo con la Sección 12.2, la cual no debe ser mayor que (Mn/Vu + ℓa), siendo ℓa menor o igual que d ó 12db, cualquiera sea el valor que resulte mayor.

a

1,3 M n/Vu Barras "b" Barras "a"

Sección crítica para las barras "a" en la sección donde teóricamente terminan las barras "b"

eje d máx.

Longitud de anclaje total

Figura 4-10 – Longitud de anclaje requerida en un extremo simplemente apoyado (barras rectas) P.I.

a = d ó 12 db

M n / Vu

Barras "a" Max.

d

Sección crítica para las barras "a"

Figura 4-11 – Criterio para determinar el tamaño máximo de las barras "a" en el punto de inflexión (12.11.3)

Los artículos 12.11.4 y 12.12.4 se refieren al anclaje de la armadura para momento positivo y negativo en los elementos de gran altura solicitados a flexión. Los requisitos establecen que, en los extremos simplemente apoyados de las vigas de gran altura solicitadas a flexión, la armadura para momento positivo traccionada se debe anclar de manera tal que en la cara del apoyo se desarrolle la tensión de fluencia especificada, fy. Sin embargo, si la viga se diseña utilizando el método de las bielas y tirantes del Apéndice A, esta armadura se debe anclar de acuerdo con el artículo A.4.3. En los apoyos interiores de las vigas de gran altura solicitadas a flexión, tanto la armadura para momento positivo como la armadura para momento negativo se deben continuar o empalmar con la de los tramos adyacentes.

4 - 18

12.12

ANCLAJE DE LA ARMADURA PARA MOMENTO NEGATIVO

Los requisitos del artículo 12.12.3 tienen en cuenta los posibles corrimientos o desplazamientos del diagrama de momentos en los puntos de inflexión. Como mínimo un tercio de la armadura para momento negativo provista en un apoyo se debe prolongar más allá del punto de inflexión, a lo largo del elemento, hasta el apoyo. La longitud embebida debe igual a la profundidad efectiva del elemento d, 12db, ó 1/16 de la luz libre del tramo, como se ilustra en las Figuras 4-8 y 4-12. El área de las barras "E" de la Figura 4-8(a) debe ser mayor o igual que un tercio del área de la armadura provista para –Mu en la cara del apoyo. El anclaje de la armadura superior traccionada más allá de los apoyos interiores de un elemento continuo generalmente se utiliza como parte de la armadura superior del tramo adyacente, tal como se ilustra en la Figura 4-12.

Punto de máxima tensión

d, 12db o ℓn/16, cualquiera sea el valor que resulte mayor, para al menos 1/3As

P.I.

d

Para el tramo de la derecha

(Generalmente estos anclajes forman parte de la armadura de la viga adyacente)

Figura 4-12 – Anclaje en una viga adyacente

Los ganchos normales constituyen una manera efectiva de anclar las barras superiores traccionadas en los apoyos interiores, como se ilustra en la Figura 4-13. Los requisitos para el anclaje de los ganchos normales ya fueron discutidos en la Sección 12.5. 12.13

ANCLAJE DE LA ARMADURA DEL ALMA

Los estribos se deben anclar correctamente de manera que la totalidad de la resistencia a la tracción del estribo se pueda desarrollar en el plano medio del elemento o cerca del plano medio del elemento. Para que puedan funcionar correctamente, los estribos se deben disponer tan cerca de las caras de compresión y tracción del elemento como lo permitan las exigencias de recubrimiento y la proximidad de otras armaduras (12.13.1). También es importante anclar los estribos tan cerca de la cara comprimida del elemento como sea posible, ya que en la cara traccionada se inician fisuras de tracción por flexión que se extienden hacia la zona comprimida del elemento a medida que el elemento se aproxima a su carga última. Los detalles de anclaje de los estribos del Código ACI son el resultado de una evolución gradual, y se basan fundamentalmente en experiencias anteriores y ensayos realizados en laboratorio. Las barras No. 5 y menores se deben anclar mediante un gancho normal (doblado a 90 grados más una prolongación de 6db en el extremo libre de la barra)* alrededor de una barra longitudinal (12.13.2.1). El mismo detalle de anclaje se permite para las barras No. 6, No. 7 y No. 8, siempre que se trate de acero Grado 40. Observar que cuando las barras tienen mayores diámetros los ganchos doblados a 90 grados requieren una prolongación de 12db en el extremo libre de las barras (7.1.3(b)). La Figura 4-14 ilustra los requisitos de anclaje para los estribos en U fabricados de barras o alambres conformados. *

En la estructuras ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica elevada, los estribos cerrados se deben anclar mediante un gancho doblado a 135 grados más una prolongación de 6db (pero nunca menor que 3 in.). Ver la definición de gancho sismorresistente en la Sección 21.1.

4 - 19

dh

Sección crítica para el anclaje de las barras en la cara del apoyo Gancho normal doblado a 90º o 180º

Figura 4-13 – Anclaje en un apoyo exterior mediante un gancho normal

Para las barras de mayor diámetro (No. 6, No. 7 o No. 8) de acero Grado 60, además del gancho normal es necesario disponer una longitud embebida de 0, 014 d b f y / f c' entre la altura media del elemento y el extremo exterior del gancho. Se debe verificar la longitud embebida disponible, designada ℓℓ, para asegurar que el anclaje sea adecuado (ver 12.13.2.2). La longitud embebida se ilustra en la Figura 4-14, y sus valores se dan en la Tabla 4-5. La Tabla 4-6 indica la altura mínima de un elemento requerida para utilizar estribos No. 6, No. 7 o No. 8 fabricados de acero Grado 60. En las vigas de dimensiones habituales en las cuales la magnitud de las cargas requiere utilizar para la armadura de corte barras No. 6, No. 7 o No. 8, generalmente es fácil satisfacer la longitud embebida requerida y, para asegurar el correcto anclaje de los extremos, el diseñador sólo se debe preocupar de colocar un gancho normal de estribo alrededor de una barra longitudinal. Borde exterior del gancho

Gancho normal de estribo (7.1.3(a)) alrededor de una barra longitudinal

h/2 h

Barras No. 5 y menores

Gancho normal de estribo (7.1.3(b)) alrededor de una barra longitudinal

Barras No. 6, No. 7 y No. 8

Figura 4-14 – Detalles de anclaje para los estribos en U (barras y alambres conformados)

Los requisitos del artículo 12.13.2.3 referidos al uso de mallas de acero soldadas de alambres lisos como estribos en U se ilustran en la Figura 4-15. Los requisitos para el anclaje de los estribos de una rama realizados con una malla de acero 4 - 20

soldada de alambre liso o conformado se ilustran en la Figura 4-16. El anclaje es proporcionado fundamentalmente por los alambres longitudinales. En la actualidad el uso de mallas de alambre soldadas como armadura de corte se ha popularizado en la industria del hormigón prefabricado pretensado. Tabla 4-5 – Longitud embebida ℓℓ para los estribos de acero Grado 60, in. Tamaño de las barras No.

Resistencia a la compresión del hormigón, fc' , psi 3000

4000

5000

6000

8000

10.000

6

11,5

10,0

8,9

8,1

7,0

6,3

7

13,4

11,6

10,4

9,5

8,2

7,4

8

15,3

13,3

11,9

10,8

9,4

8,4

Tabla 4-6 – Altura mínima de un elemento requerida para utilizar estribos No. 6, No. 7 o No. 8 fabricados de acero Grado 60, in. Recubrimiento libre hasta el estribo (in.) 1-1/2

2

Resistencia a la compresión del hormigón, fc' , psi

Tamaño de las barras No.

3000

4000

5000

6000

8000

10.000

6

26

23

21

20

17

16

7

30

27

24

22

20

18

8

34

30

27

25

22

20

6

27

24

22

21

18

17

7

31

28

25

23

21

19

8

35

31

28

26

23

21

Sección 12.13.1

2" min.

2" min.

2" min.

2" min.

d/4 max.

d/4 max.

d/4 max.

diám. de doblado = 8 x diám. del alambre (mínimo)

(a)

(b)

Figura 4-15 – Detalles de anclaje para estribos en U realizados con mallas de acero soldadas de alambres lisos (12.13.2.3)

4 - 21

Dos alambres horizontales superior e inferior

*

2 in. min.

El mayor valor entre d/4 ó 2 in.

d/2

El mayor valor entre d/4 ó 2 in.

2 in. min.

* Armadura principal * Ver 12.13.1

El alambre más externo no debe estar por encima de la armadura principal más baja

Figura 4-16 – Detalles de anclaje para los estribos de una rama realizados con malla de acero soldada (12.13.2.4)

Observar que el artículo 12.13.3 especifica que cada ángulo de doblado de la parte continua de los estribos en U debe contener una barra o alambre longitudinal. Este requisito habitualmente se satisface para los estribos en U simples, pero requiere atención especial si se utilizan estribos en U múltiples. Las modificaciones introducidas en el Código 1988 eliminaron la posibilidad de anclar la armadura del alma sin anclar los estribos a una barra longitudinal mediante ganchos. Se sabe que algunos diseñadores habitualmente utilizan barras pequeñas en las losas nervuradas, sin que estas barras tengan un gancho alrededor de una barra longitudinal, en particular un tipo de estribo doblado de una rama llamado estribo W, estribo acordeón o víbora. En reconocimiento de esta práctica, a partir del Código 1995 se introdujo el artículo 12.13.2.5. 12.13.4

Anclaje de las barras longitudinales dobladas

El artículo 12.13.4 contiene requisitos de anclaje para las barras longitudinales (armadura de flexión) dobladas para que trabajen como armadura de corte. Si las barras dobladas se prolongan dentro de una zona de tracción, las barras dobladas deben ser continuas con la armadura longitudinal. Si las barras dobladas se prolongan dentro de una zona de compresión, la longitud de anclaje más allá de la mitad de la altura del elemento (d/2) se debe basar en el valor de fy necesario para satisfacer la Ecuación (11-17). Por ejemplo, si fy = 60.000 psi y el análisis indica que para satisfacer la Ecuación (11-17) se requieren 30.000 psi, la longitud de anclaje requerida ℓ'd = (30.000/60.000)ℓd, donde ℓd es la longitud de anclaje en tracción para el valor total de fy de acuerdo con la Sección 12.2. La Figura 4.17 ilustra la longitud de anclaje requerida, ℓ'd. 12.13.5

Estribos cerrados

El artículo 12.13.5 contiene requisitos para el empalme de los pares de estribos en U ubicados formando una unidad cerrada (sin ganchos). Las ramas se consideran empalmadas adecuadamente siempre que la longitud de empalme sea mayor o igual que 1,3ℓd, como se ilustra en la Figura 4-18. El valor de ℓd se determina de acuerdo con la Sección 12.2.

4 - 22

'

d

d/2

Figura 4-17– Anclaje de las barras longitudinales dobladas

1,3 d (12" min.)

Figura 4-18 – Empalme de dos estribos en U para formar una unidad cerrada

Alternativamente, si la altura de un elemento no permite un empalme por yuxtaposición de 1,3ℓd de longitud, siempre que la profundidad del elemento sea mayor o igual que 18 in., se pueden usar estribos en U dobles si se satisfacen las siguientes condiciones: (a) cada una de las ramas se extiende en la totalidad de la altura disponible del elemento y (b) la fuerza en cada rama no es mayor que 9000 lb (Abfy ≤ 9000 lb; ver Figura 4-19).

No. 3: 0,11 (40.000) = 4400 lb No. 4: 0,20 (40.000) = 8000 lb No. 5: 0,31 (40.000) = 12.400 lb Empalmar toda la profundidad del elemento

18" min.

No. 3: 0,11 (60.000) = 6600 lb No. 4: 0,20 (60.000) = 12.000 lb

Si los estribos se diseñan para la totalidad de la tensión de fluencia, fy, solamente los estribos No. 3 y No. 4 de acero Grado 40 y los estribos No. 3 de Grado 60 satisfacen la limitación de las 90000 lb.

Figura 4-19 – Alternativa para el empalme de dos estribos en U

4 - 23

12.14

EMPALMES DE LA ARMADURA – REQUISITOS GENERALES

El Código especifica que los empalmes de la armadura sólo se pueden realizar cuando en la documentación de la obra están detallados clara y exhaustivamente. Los planos de obra, planillas de armadura y especificaciones técnicas deben mostrar o describir todas las ubicaciones de los empalmes, los tipos de empalmes permitidos o requeridos y, para el caso de los empalmes por yuxtaposición, la longitud de empalme requerida. El ingeniero no puede simplemente especificar que todos los empalmes deben satisfacer los requisitos del Código ACI 318. Esto se debe a que existe una gran cantidad de factores que afectan los empalmes de las armaduras. Algunos de los factores que afectan los empalmes yuxtapuestos de barras conformadas solicitados a tracción son: • • • • • • • • •

el tamaño de las barras la tensión de fluencia de las barras la resistencia a la compresión del hormigón la ubicación de las barras (barras superiores u otras barras) el uso de hormigón de peso normal u hormigón de agregados livianos la separación y el recubrimiento de las barras empalmadas la presencia de armadura transversal de confinamiento el uso de revestimiento epoxi el número de barras empalmada en una sección.

Es virtualmente imposible que la persona a cargo de fabricar las armaduras sepa qué tipo de empalme se requiere en una ubicación determinada, a menos que el ingeniero ilustre o defina explícitamente los requisitos del anclaje. El artículo 12.14.1 dice: "Los empalmes de la armadura sólo se pueden realizar según lo requerido o permitido en los planos de diseño, o en las especificaciones técnicas, o cuando el ingeniero los autorice en forma expresa." Como material de referencia para el correcto empalme de la armadura se sugieren dos publicaciones muy utilizadas por la industria. La Referencia 4.4 contiene información útil cuando se utilizan mallas de acero soldadas, incluyendo tablas que listan las longitudes de anclaje y empalme tanto para mallas de alambres lisos como para mallas de alambres conformados. La Referencia 4.5 presenta las prácticas aceptadas para empalmar la armadura, describe el uso de empalmes por yuxtaposición, mecánicos y soldados, e incluye datos para una determinación simplificada de las longitudes de los empalmes por yuxtaposición. 12.4.2

Empalmes por yuxtaposición

No se permite utilizar empalmes por yuxtaposición para barras mayores que la No. 11 solicitadas a tracción o compresión, salvo que: • •

Las barras No. 14 y No. 18 solicitadas a compresión solamente se pueden empalmar por yuxtaposición con barras No. 11 o menores (12.16.2), y Las barras No. 14 y No. 18 solicitadas a compresión solamente se pueden empalmar por yuxtaposición con barras en espera de menor diámetro en zapatas o cabezales (15.8.2.3).

El artículo 12.14.2.2 especifica los requisitos para empalmar por yuxtaposición las barras que forman un paquete de barras (solicitado a tracción o compresión). Las longitudes de empalme por yuxtaposición requeridas para las barras individuales que componen un paquete se deben incrementar un 20 por ciento y un 33 por ciento, respectivamente, para los atados de tres y cuatro barras. No se permite empalmar en una misma sección las barras individuales que forman un paquete de barras. No se permite empalmar por yuxtaposición dos paquetes de barras como si se tratara de dos barras individuales. Las barras de los elementos solicitados a flexión se pueden empalmar mediante empalmes por yuxtaposición en los cuales las barras no están en contacto entre sí. Cuando en un empalme las barras están demasiado separadas entre sí se origina en ese espacio una sección no armada; por este motivo el artículo 12.14.2.3 limita la máxima distancia entre las barras a un quinto de la longitud de empalme requerida o 6 in., cualquiera sea el valor que resulte menor. Se prefieren los empalmes en los cuales las barras están en contacto entre sí, ya que en este caso las barras son más fáciles de asegurar para evitar que se desplacen durante la colocación del hormigón.

4 - 24

12.14.3

Empalmes mecánicos y soldados

La Sección 12.4.3 permite el uso de empalmes mecánicos o empalmes soldados. Los empalmes totalmente mecánicos deben anclar, en tracción o compresión, como mínimo 125 por ciento de la tensión de fluencia especificada de la barra (12.14.3.2). Los empalmes totalmente soldados deben anclar en tracción como mínimo 125 por ciento de la tensión de fluencia especificada de la barra (12.14.3.4). La norma ANSI/AWS D1.4 permite soldaduras indirectas cuando las barras no están a tope. Observar que ANSI/AWS D1.4 indica que, siempre que sea posible, para las barras No. 7 y mayores se prefieren los empalmes a tope directos. Los anclajes mecánicos o soldados que anclan menos de 125 por ciento de la tensión de fluencia especificada de la barra se limita a las barras No. 5 y menores (12.14.3.5) ubicadas en regiones en las cuales las tensiones calculadas son bajas. Los anclajes mecánicos y soldados que no satisfacen los requisitos de los artículos 12.14.3.2 y 12.14.3.4 se limita a las barras No. 5 y menores debido a la naturaleza potencialmente frágil de estas soldaduras. El artículo 12.14.3.3 especifica que todas las soldaduras de la armadura deben satisfacer los requisitos de ANSI/AWS D1.4 (Structural Welding Code - Reinforcing Steel). La Sección 3.5.2 exige que la armadura a soldar debe estar especificada en los planos, y que también se debe especificar el procedimiento de soldadura. Para poder satisfacer estos requisitos del Código correctamente, se recomienda que el ingeniero esté familiarizado con los requisitos de ANSI/AWS D1.4 y con los requisitos de las especificaciones ASTM para barras de armadura. Las especificaciones ASTM A 615 y A 617 no se ocupan de la soldabilidad del acero. Estas especificaciones no establecen límites para los elementos químicos que pueden afectar la soldabilidad del acero. Un parámetro fundamental de ANSI/AWS D1.4 es el carbono equivalente. Las temperaturas mínimas de precalentamiento especificadas en ANSI/AWS D1.4 se basan en el carbono equivalente y en el tamaño de las barras. Por este motivo, de acuerdo con lo especificado en 3.5.2 y R3.5.2, cuando es necesario soldar la armadura las especificaciones ASTM A 615, A 616 y A 617 se deben suplementar exigiendo un informe de la composición química de las barras, para poder asegurar que el procedimiento de soldadura especificado sea compatible con las mismas. Las barras de acero ASTM A 706 son aptas para las soldaduras. La especificación ASTM A 706 contiene límites para los diferentes componentes químicos, incluyendo el carbono, y limita el carbono equivalente a 0,55 por ciento. La composición química y el carbono equivalente deben ser informados. Al limitar el carbono equivalente a 0,55 por ciento, ANSI/AWS D1.4 requiere un nivel de precalentamiento bajo o nulo. Por lo tanto, no será necesario que el ingeniero suplemente la especificación ASTM A 706 cuando se han de soldar las barras. Sin embargo, antes de especificar barras de acero ASTM A 706 se debería investigar su disponibilidad en el mercado local. La Referencia 4.5 presenta una discusión detallada de los empalmes soldados. También discute otros requisitos importantes, tales como la inspección en obra, la supervisión de los procedimientos de soldadura y el control de calidad de los empalmes soldados. ANSI/AWS D1.4 solamente se ocupa de la soldadura de las barras. Las soldaduras entre alambres, o las soldaduras entre un alambre o una malla soldada de alambres y una barra de armadura u otro elemento de acero estructural, deben satisfacer los requisitos aplicables de ANSI/AWS D1.4 y los requisitos suplementarios especificados por el ingeniero. Además, el ingeniero debe saber que existe la posibilidad de que un alambre de bajo contenido de carbono estirado en frío pierda tensión de fluencia y ductilidad si el alambre se suelda aplicando un procedimiento diferente a la soldadura de resistencia controlada utilizado para fabricar las mallas de acero soldadas. En la discusión de la Sección 7.5 incluida en el Capítulo 3 de este documento se observó que se prohíbe utilizar soldaduras como método de fijación de las barras de armadura que se cruzan (soldaduras de punto) a menos que el ingeniero lo autorice específicamente. Un ejemplo de soldaduras de punto sería el de una jaula de armadura para una columna en la cual los estribos se fijan a las barras longitudinales mediante pequeñas soldaduras eléctricas. Este tipo de soldadura puede provocar un defecto en las barras longitudinales, y consecuentemente afectar la resistencia de las barras. Las soldaduras de punto parecen ser particularmente perjudiciales para la ductilidad (resistencia al impacto) y para la resistencia a la fatiga. La Referencia 4.5 recomienda: "Nunca permitir soldar las barras transversales en obra (soldaduras de punto, etc.). Siempre es mejor atar las barras con alambre, ya que esto no producirá daños."

4 - 25

12.15

EMPALMES DE LAS BARRAS Y ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADOS A TRACCIÓN

Los empalmes por yuxtaposición de las barras y alambres conformados solicitados a tracción se clasifican como Clase A o Clase B, y su longitud del empalme por yuxtaposición es un múltiplo de la longitud de anclaje en tracción, ℓd. La intención de la clasificación de los empalmes en dos categorías (Clases A y B) es alentar a los diseñadores a empalmar las barras en los puntos donde la tensión es mínima y a no empalmar varias barras en una misma sección, para así mejorar el comportamiento de los detalles críticos. La longitud de anclaje ℓd (12.2) utilizada para calcular la longitud de empalme debe ser la correspondiente a la totalidad de fy, ya que las clasificaciones de los empalmes ya reflejan cualquier exceso de armadura en la sección donde se realiza el empalme (no se debe aplicar el factor por exceso de armadura especificado en el artículo 12.2.5). La mínima longitud de empalme permitida es de 12 in. Para los empalmes por yuxtaposición de la armadura de losas y tabiques, la separación libre efectiva entre las barras que se empalman en una misma sección se toma como la separación libre entre las barras empalmadas (R12.15.1). Este criterio para determinar la separación libre se ilustra en la Figura 4-20(a). La separación para los empalmes por yuxtaposición sin contacto entre las barras (separación entre las barras yuxtapuestas menor o igual que (1/5) de la longitud yuxtapuesta ó 6 in.) se debe considerar igual que para los empalmes por yuxtaposición con contacto entre las barras. Para los empalmes por yuxtaposición de las barras de una columna o viga, la separación libre efectiva entre las barras que se empalman dependerá de la orientación de las barras empalmadas; ver las Figuras 4-20(b) y (c), respectivamente. longitud de empalme

s

(a) Armadura de tabiques y losas Barras empalmadas

Barras empalmadas

s

s

s

s (b) Empalme de las barras de una columna

(c) Empalme de las barras de una viga

Figura 4-20 – Separación libre efectiva de las barras empalmadas

El diseñador debe especificar la clase de empalme de tracción a utilizar. La clase de empalme depende de la magnitud de la tensión de tracción en la armadura y del porcentaje de la armadura total que se ha de empalmar por yuxtaposición en una determinada longitud de empalme, tal como se indica en la Tabla 4-7. Si el área de la armadura de tracción provista en la ubicación del empalme es mayor que dos veces el área requerida por resistencia (baja tensión de tracción) y si está empalmada la mitad o menos de la armadura total dentro de la longitud de empalme requerida, se permite utilizar un empalme Clase A. Observar que estas dos condiciones se deben satisfacer simultáneamente; si no se satisfacen se deberán 4 - 26

especificar empalmes Clase B. En otras palabras, si el área de la armadura provista en la ubicación del empalme es menor que dos veces el área requerida por resistencia (elevada tensión de tracción) y/o si está empalmada más de la mitad de la armadura total dentro de la longitud de empalme requerida, obligatoriamente se deben utilizar empalmes Clase B. Tabla 4-7 – Condiciones en un empalme de tracción (en la ubicación del empalme) CLASE A… 1,0

CLASE B… 1,3

d

(As provista) ≥ 2 (As requerida) y porcentaje de As empalmada ≤ 50

d

Todas las demás condiciones

En lugar de empalmes de tracción por yuxtaposición se pueden utilizar empalmes mecánicos o soldados que satisfagan los requisitos especificados en 12.14.3. El artículo R12.15.3 aclara que no es necesario que estos empalmes estén escalonados, aunque es aconsejable disponer un escalonamiento si el área de la armadura provista es menor que el doble de la requerida por cálculo. La Sección 12.15.4 enfatiza que el uso de empalmes mecánicos o soldados que no satisfagan los requisitos establecidos en los artículos 12.14.3.2 y 12.14.3.4, respectivamente, se limita a las barras No. 5 y menores, y solamente cuando se satisfagan ciertas condiciones (ver 12.15.4.1 y 12.15.4.2). Los empalmes en los elementos predominantemente traccionados (tensores) se deben realizar mediante conexiones totalmente mecánicas o uniones completamente soldadas, y los empalmes en las barras adyacentes deben estar escalonados como mínimo una distancia igual a 30 in. Ver la definición de "elemento predominantemente traccionado" en el artículo R12.15.5). 12.16

EMPALMES DE LAS BARRAS CONFORMADAS SOLICITADAS A COMPRESIÓN

Como el comportamiento por adherencia de las barras comprimidas no se ve afectado por el problema de la fisuración originada por la tracción transversal, los empalmes de las armaduras comprimidas no requieren de disposiciones tan estrictas como las establecidas para los empalmes de las armaduras traccionadas. Ensayos realizados han demostrado que la resistencia de los empalmes de las barras comprimidas depende fundamentalmente de la resistencia proporcionada por el apoyo en el extremo de la barra; por lo tanto la resistencia de estos empalmes no aumenta de forma proporcional aunque se duplique la longitud del empalme. Es por esto que el Código exige longitudes de empalme significativamente mayores para las barras que poseen una tensión de fluencia superior a 60.000 psi. 12.16.1

Empalmes por yuxtaposición de las barras comprimidas

A partir del Código 1989 se simplificó el cálculo de los empalmes por yuxtaposición de las barras comprimidas, ya que se eliminaron los cálculos que se requerían para determinar la longitud de anclaje en compresión. Para los empalmes por yuxtaposición de las barras comprimidas, el artículo 12.16.1 simplemente especifica que, para fy ≤ 60.000 psi, la longitud de empalme debe ser mayor o igual que 0,0005dbfy, pero nunca menor que 12 in. Para las barras con una tensión de fluencia superior a 60.000 psi la longitud de empalme debe ser mayor o igual que (0,0009fy – 214)db, pero nunca menor que 12 in. Las longitudes de los empalmes por yuxtaposición se deben incrementar en un tercio cuando se utiliza hormigón con una resistencia a la compresión especificada menor que 3000 psi. Como se observó en la discusión de la Sección 12.14.2, las barras No. 14 y No. 18 se pueden empalmar por yuxtaposición solamente cuando trabajan a compresión, y solamente se pueden empalmar con barras No. 11 o menores o con las barras de menor diámetro en espera de zapatas o cabezales. El artículo 12.16.2 requiere que, cuando se empalmen por yuxtaposición barras comprimidas de diferente diámetro, la longitud del empalme debe ser mayor que la longitud de anclaje en compresión de la barra de mayor diámetro o que la longitud de empalme en compresión de la barra de menor diámetro, cualquiera sea el valor que resulte mayor.

4 - 27

12.16.4

Empalmes por contacto a tope

La Sección 12.16.4 especifica los requisitos para los empalmes por contacto a tope. Los empalmes por contacto a tope solamente están permitidos en los elementos que tienen estribos cerrados o zunchos (12.16.4.3). El artículo R12.16.4.1 advierte al ingeniero sobre el uso de empalmes por contacto a tope en barras inclinadas respecto de la vertical. Los empalmes por contacto a tope se utilizan casi exclusivamente en las barras de las columnas y se pretende limitar su uso a barras verticales o casi verticales, ya que resulta difícil lograr un buen contacto a tope cuando las barras están en posición horizontal o tienen una inclinación significativa respecto de la vertical. Las barras comprimidas también se pueden empalmar utilizando empalmes mecánicos o soldados, siempre que estos empalmes mecánicos o soldados satisfagan los requisitos establecidos en 12.14.3.2 ó 12.14.3.4, respectivamente. 12.17

REQUISITOS ESPECIALES PARA LOS EMPALMES EN LAS COLUMNAS

Los requisitos especiales para los empalmes en las columnas se simplificaron considerablemente en la revisión efectuada antes de la publicación del Código 1989. Los requisitos para los empalmes en las columnas simplifican los cálculos requeridos en comparación con los requisitos planteados en las ediciones del código anteriores a 1989, ya que asumen que un empalme por yuxtaposición comprimido (12.17.2.1) tiene una capacidad a la tracción como mínimo igual a un cuarto de fy (R12.17). Los requisitos para los empalmes en las columnas se basan en el concepto de proveer algo de resistencia a la tracción en todas las secciones en las cuales hay empalmes, aún cuando el análisis indique que solamente habrá compresión. Básicamente la Sección 12.7 establece la resistencia a la tracción requerida para las barras longitudinales empalmadas en una columna. Está permitido utilizar empalmes por yuxtaposición, empalmes soldados, empalmes mecánicos o empalmes por contacto a tope. 12.17.2

Empalmes por yuxtaposición en las columnas

Se permite utilizar empalmes por yuxtaposición en las barras de las columnas solicitadas ya sea a compresión o a tracción. El tipo de empalme a utilizar dependerá de si las tensiones en las barras debidas a todas las combinaciones de cargas mayoradas consideradas en el diseño de la columna son de compresión o de tracción y, si son de tracción, también dependerá de la magnitud de dicha tracción. El tipo de empalme a utilizar será determinado por la combinación de cargas que produzca la mayor tracción en las barras empalmadas. Los requisitos de diseño para los empalmes por yuxtaposición de las barras de las columnas se pueden ilustrar por medio de un típico diagrama de interacción resistencia a la carga axialresistencia al momento como el de la Figura 4-21. La tensión en las barras en diferentes puntos de la curva de interacción de resistencias define segmentos de la curva de resistencia en los cuales se pueden utilizar diferentes tipos de empalmes por yuxtaposición. Para las combinaciones de cargas mayoradas que caen sobre la curva de resistencia, la tensión en las barras se puede calcular fácilmente y así determinar el tipo de empalme requerido. Sin embargo, las combinaciones de cargas que no caen exactamente sobre la curva de resistencia (es decir para aquellas que están por debajo de la curva de resistencia) representan un dilema, y para estas condiciones no existe un método exacto sencillo que permita calcular la tensión en las barras. Un enfoque aparentemente racional consiste en considerar que las combinaciones de cargas mayoradas ubicadas por debajo de la curva de resistencia producen en las barras una tensión del mismo tipo, compresión o tracción, y de aproximadamente la misma magnitud que la que se produce sobre el segmento de la curva de resistencia intersecada por una línea radial (líneas de igual excentricidad) que atraviesa el punto correspondiente a la combinación de cargas considerada. La exactitud de esta hipótesis aumenta a medida que las combinaciones de cargas mayoradas investigadas se aproximan a la curva de interacción real de la columna. Usando este enfoque, se pueden establecer diferentes "zonas de tensión," tal como se ilustra en la Figura 4-21. Para las combinaciones de cargas mayoradas que corresponden a la Zona 1 de la Figura 4-21, se considera que todas las barras de la columna están comprimidas. Para las combinaciones que corresponden a la Zona 2 de la figura, se considera que la tensión en las barras del lado traccionado de la columna varía entre cero y una tracción de 0,5fy. Para las combinaciones de cargas correspondientes a la Zona 3, se considera que la tensión en las barras del lado traccionado de la columna es de tracción, y que esta tracción es mayor que 0,5fy. Esto significa que el tipo de empalme a utilizar dependerá de en cuál zona o 4 - 28

zonas están ubicadas todas las combinaciones de cargas mayoradas consideradas en el diseño de la columna. Para determinar el tipo de empalme requerido todo lo que el ingeniero debe hacer es ubicar las combinaciones de cargas mayoradas en el diagrama de interacción de las resistencias correspondiente a la columna y establecer qué tipo de barras utilizará. El uso de este tipo de diagramas simplifica enormemente el diseño de los empalmes de las barras de las columnas. Por ejemplo, si el diseño de la columna es determinado por la combinación correspondiente a las cargas gravitatorias mayoradas – digamos el Punto A de la Figura 4-21– para la cual las tensiones en todas las barras son de compresión, pero hay una combinación de cargas que incluye el viento – digamos el Punto B de la Figura 4-21 – que provoca algo de tracción en las barras, el empalme se debe diseñar para las condiciones correspondientes a la Zona 2 (la tensión en las barras es de tracción, pero esta tracción es menor que 0,5fy). La Tabla 4-8 resume los requisitos de diseño para los empalmes por yuxtaposición en las columnas. Observar que el empalme por yuxtaposición permitido cuando todas las barras están comprimidas (ver 12.17.2.1) considera que la longitud del empalme es adecuada para satisfacer los requisitos de armadura mínima de tracción. El Ejemplo 4.8 ilustra la aplicación de los requisitos para los empalmes por yuxtaposición en las columnas. Los artículos 12.17.2.4 y 12.17.2.5 especifican factores de reducción que se pueden utilizar para los empalmes por yuxtaposición comprimidos cuando toda la longitud del empalme está confinada mediante estribos (factor de reducción = 0,83) o mediante zunchos (factor de reducción = 0,75). Los zunchos deben satisfacer los requisitos especificados en 7.10.4 y 10.9.3. Si se utilizan estribos para reducir la longitud de un empalme por yuxtaposición, estos estribos deben tener un área efectiva mínima de 0,0015hs. Para poder aplicar el factor de reducción de 0,83 el requisito de que el área efectiva sea siempre mayor o igual que 0,0015hs se debe verificar en ambas direcciones, calculando por separado el área efectiva de las ramas de los estribos en ambas direcciones. Ver la Figura 4-22. Aunque se apliquen estas reducciones, la longitud de empalme resultante debe ser mayor o igual que 12 in.

Todas las barras están comprimidas

0 ≤ fs ≤ 0,5 fy del lado traccionado

A fs = 0

Carga axial

Zona 1

B

fs = 0,5fy (tracción)

Zona 2

fs = f y

fs ≥ 0,5 fy del lado traccionado

Zona 3

Momento

Figura 4-21 – Requisitos especiales para los empalmes en las columnas

4 - 29

Tabla 4-8 – Empalmes por yuxtaposición en las columnas 12.7.2.1 – La tensión en las barras es de compresión (Zona 1)*

Usar empalmes por yuxtaposición (12.16) modificado por el factor 0,83 para considerar la presencia de estribos en toda la longitud del empalme (12.17.2.4) ó 0,75 si hay armadura en forma de zuncho (12.17.2.5).

12.17.2.2 – La tensión en las barras es de tracción, pero esta tracción es ≤ 0,5fy (Zona 2)*

Usar empalmes de tracción Clase B (12.15) si más de la mitad de las barras de la columna se empalman en una misma sección, o Usar empalmes de tracción Clase A (12.15) si en una misma sección no se empalman más de la mitad de las barras de la columna. Escalonar los empalmes una longitud igual a ℓd.

Usar empalmes de tracción Clase B (12.15). 12.17.2.3 – La tensión en las barras es de tracción, y esta tracción es > 0,5fy (Zona 3)* * La definición de las Zonas 1, 2 y 3 se ilustra en la Figura 4-21.

h2

h1 Perpendicular a la dimensión h1: Área de los 4 estribos ≥ 0,0015 h1s Perpendicular a la dimensión h2: Área de los 2 estribos ≥ 0,0015 h2s

Figura 4-22 – Aplicación del artículo 12.17.2.4

Como la longitud "básica" de empalme de los empalmes por yuxtaposición comprimidos depende del diámetro de las barras db y de su tensión de fluencia fy, y considerando los tres factores de modificación que se aplican cuando se usan estribos cerrados o zunchos y hormigón de baja resistencia, es conveniente establecer la longitud de estos empalmes simplemente como un múltiplo del diámetro de las barras. Para barras de acero Grado 60...................................................................... confinadas por estribos cerrados ............................................................. confinadas por zunchos .......................................................................... Para barras de acero Grado 75...................................................................... confinadas por estribos cerrados ............................................................. confinadas por zunchos ..........................................................................

30 db 25 db 22,5 db 43,5 db 36 db 33 db

Pero la longitud de empalme de los empalmes comprimidos nunca puede ser menor que 12 in. Para resistencias f'c menores que 3000 psi, los valores anteriores se deben multiplicar por 1,33. En base a estos valores se pueden desarrollar tablas de longitudes de empalme para los tamaños de barra más habituales. 12.17.3

Empalmes mecánicos o soldados en las columnas

Se permite empalmar las barras de las columnas mediante empalmes mecánicos o solados, independientemente de que para todas las combinaciones de cargas mayoradas la tensión en las barras sea de compresión o tracción (Zonas 1, 2 y 3 de la 4 - 30

Figura 4-21). Se deben usar empalmes "totalmente" mecánicos o uniones "completamente" soldadas, es decir, el empalme mecánico o soldado debe desarrollar como mínimo 125 por ciento de la tensión de fluencia de las barras (1,25Abfy). Se permite usar empalmes mecánicos o soldados de menor resistencia para empalmar barras No. 5 y menores solicitadas a tracción, de acuerdo con la Sección 12.15.4. 12.17.4

Empalmes por contacto a tope en las columnas

Para las barras de las columnas que bajo todas las combinaciones de cargas mayoradas aplicables estarán siempre comprimidas (Zona 1, Figura 4-21) se permite utilizar empalmes por contacto a tope. Aunque según los cálculos se determine que no habrá tracción, cuando se utilizan empalmes por contacto a tope se debe mantener una resistencia mínima a la tracción con barras continuas (no empalmadas). A cada lado de la columna debe haber barras continuas que proporcionen una resistencia a la tracción igual a Asfy/4, siendo As el área total de las barras en dicho lado de la columna. Por lo tanto, en una sección no se pueden empalmar más de 3/4 de las barras de uno de los lados. Los empalmes a tope deben estar escalonados, o bien se deben agregar barras adicionales si es que se desean empalmar más de 3/4 de las barras. 12.18

EMPALMES DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES CONFORMADOS SOLICITADAS A TRACCIÓN

La longitud mínima de empalme por yuxtaposición de las mallas de acero soldadas de alambres conformados es igual a 1,3ℓd y se especifica que este valor debe ser mayor o igual que 8 in. La longitud de empalme se mide entre los extremos de cada panel de mall. La longitud de anclaje ℓd es el valor calculado de acuerdo con los requisitos de la Sección 12.7. El código también establece que la yuxtaposición, medida entre los alambres transversales más alejados de cada malla, debe ser mayor o igual que 2 in. La Figura 4-23 ilustra los requisitos para los empalmes por yuxtaposición de las mallas de acero soldadas de alambres conformados. Si no hay ningún alambre transversal dentro de la longitud del empalme, la longitud de empalme se debe determinar de acuerdo con los requisitos correspondientes a alambres conformados establecidos en la Sección 12.15. El artículo 12.18.3 especifica requisitos para el empalme de las mallas de acero soldadas en las cuales hay uno o más alambres lisos, incluyendo aquellas en las cuales los alambres en una dirección son conformados y los alambres en la dirección ortogonal son lisos.

Longitud empalmada 1,3ℓd ≥ 8 in.

2 in. mín Figura 4-23 – Longitud de un empalme por yuxtaposición para mallas de acero de alambres conformados

4 - 31

12.19

EMPALMES DE LAS MALLAS DE ACERO SOLDADAS DE ALAMBRES LISOS SOLICITADAS A TRACCIÓN

La longitud mínima de empalme por yuxtaposición para las mallas de acero soldadas de alambres lisos solicitadas a tracción depende de la relación entre el área de armadura provista y el área de armadura requerida por cálculo. La longitud de empalme se mide entre los alambres transversales más alejados de cada panel de malla. Las longitudes requeridas para los anclajes por yuxtaposición se ilustran en la Figura 4-24.

Longitud empalmada (s + 2 in.) ≥ 1,5 ℓd ≥ 6 in.

s 2 in. mín. (a) Empalme por yuxtaposición para (As provista) < 2 (As requerida)

1,5 ℓd ≥ 2 in. (b) Empalme por yuxtaposición para (As provista) ≥ 2 (As requerida)

Figura 4-24 – Longitud de un empalme por yuxtaposición para mallas de acero de alambres lisos COMENTARIOS FINALES

Agregamos un comentario adicional referido a los empalmes de la armadura de temperatura y contracción en las superficies expuestas de tabiques o losas: se debe asumir que la armadura de temperatura y contracción está solicitada a la totalidad de la tensión de fluencia especificada fy. El propósito de esta armadura es impedir que ocurra una fisuración excesiva. En algún punto del elemento es probable que se produzca fisuración, con lo cual la armadura de temperatura y contracción tomarán toda la tensión. Es por esta causa que se debe asumir que todos los empalmes de la armadura de temperatura y contracción deben ser los requeridos para desarrollar la tensión de fluencia. Para esta armadura siempre se deben utilizar empalmes de tracción Clase B.

4 - 32

REFERENCIAS

4.1

Orangun, C.O., Jirsa, J. O. y Breen, J.E., "A Reevaluation of Test Data on Development Length and Splices," ACI Journal, Proceedings, Vol. 74, Marzo 1977, pp. 114-122.

4.2

Sozen, M.A., y Moehle, J.P., "Selection of Development and Lap-Splice Lengths of Deformed Reinforcing Bars in Concrete Subjected to Static Loads," Report to PCA and CRSI, PCA R&D, No. de Serie 1868, Marzo 1990.

4.3

Hamad, B.S., Jirsa, J.O. y D'Abreu, N.I., "Effect of Epoxy Coating on Bond and Anchorage of Reinforcement in Concrete Structures, " Research Report No. 1181-1F., Center for Transportation Research, University of Texas at Austin, Diciembre 1990, p. 242.

4.4

Manual of Standard Practice, Structural Welded Wire Reinforcement, WWR-500, 5º Ed., Wire Reinforcement Institute, Findlay, OH, 1999, p. 27.

4.5

Reinforcement Anchorages and Splices, 4º Ed., Concrete Reinforcing Steel Institute, Schaumburg, IL, 1997.

4 - 33

Ejemplo 4.1 – Anclaje de barras traccionadas En una viga perimetral de una estructura hay 7 barras superiores No. 9 sobre el apoyo. Los requisitos para integridad estructural requieren que al menos un sexto de la armadura de tracción sea continua, pero la armadura continua no puede consistir en menos de 2 barras (7.13.2.2). Las barras se van a empalmar con empalmes Clase A en la mitad de la luz. Determinar la longitud requerida para el empalme Clase A para los dos casos siguientes: Caso A – Longitud de anclaje determinada de acuerdo con 12.2.2 Caso B – Longitud de anclaje determinada de acuerdo con 12.2.3 2,5" recubrimiento

1" libre 7 No. 9

No. 4 a d/2

Empalme Clase A A

A

5 No. 9 30"

Datos para el diseño: Hormigón liviano Recubrimiento libre para los estribos = 2,5 in. Barras con revestimiento epoxi f c' = 4000 psi f y = 60.000 psi

b = 30 in. La armadura se distribuye como se ilustra en la figura.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

Se asume que se satisface la longitud de anclaje especificada para la armadura para momento negativo y que por lo tanto las barras superiores se interrumpen en una sección alejada del centro de la luz.

12.12.3

El número mínimo de barras superiores que se deben hacer continuas por motivos de integridad estructural es igual a 1/6 de las barras provistas, es decir 7/6 de las barras, o un mínimo de 2 barras. Empalmaremos dos barras de esquina en el centro de la luz.

7.13.2.2

Los empalmes por yuxtaposición Clase A requieren una longitud mínima de 1,0ℓd.

12.15.1

Diámetro nominal de una barra No. 9 = 1,128 in.

4 - 34

Caso A – Sección 12.2.2

Ver Tabla 4-1. Para las barras No. 7 y mayores, se aplican las Ecuaciones B o D. Para determinar cuál de las ecuaciones es determinante debemos calcular el recubrimiento libre y la separación libre para las barras que se están empalmando. 2,5" recubrimiento

Separación libre entre las barras empalmadas (barras de esquina) = [30 – 2 (recubrimiento) – 2 (estribo No. 4) – 2 (barra No. 9)] = [30 – 2 (2,5) – 2 (0,5) – 2 (1,128)] = 21,7 in. = 19,3 db Recubrimiento libre hasta la barra empalmada = 2,5 + 0,5 = 3,0 in. = 2,7db

s

No. 4

30"

Como se verifica que (separación libre) > 2db y (recubrimiento libre) > db debemos aplicar la Ecuación B.

d

 f αβλ  y d =  20 f '  b c  

12.2.2

α = 1,3 (barras superiores)

12.2.4

β = 1,5 (barras revestidas con epoxi con un revestimiento menor que 3db)

12.2.4

αβ = 1,3 × 1,5 = 1,95 .

Sin embargo, el producto entre α y β debe ser menor o igual que 1,7.

λ = 1,3 (hormigón de agregados livianos)

d

=

60.000 (1, 7 )(1,3) 20 4000

12.2.4 12.2.4

(1,128)

= 118,3 in.

Empalme Clase A = 1, 0

d

= 118,3 in.

Caso B – Sección 12.2.3

Para aplicar la Ecuación (12-1) debemos realizar algunos cálculos adicionales, pero es posible que las longitudes de anclaje obtenidas con esta expresión sean más cortas.

d

  3 f y  αβγλ =    40 '   c + K fc  tr    d b  

  d b    

Ec. (12-1)

El parámetro "c" es el menor de los valores que se obtienen de: (1) la distancia entre el centro de la barra o alambre anclado y la superficie de hormigón más próxima, o (2) la mitad de la separación entre los centros de  c + K tr  las barras o alambres que se anclan. Observar que el término   debe ser menor o igual que 2,5.  db  Distancia entre el centro de la barra o alambre anclado y la superficie de hormigón más próxima 4 - 35

= recubrimiento libre hasta la barra empalmada + 1/2 diámetro de la barra = 2, 7d b + 0,5d b = 3, 2d b

Separación entre los centros de las barras = separación libre + 1, 0d b = 19,3d b + 1, 0d b = 20,3d b Como "c" es el menor de los valores calculados como 3, 2d b ó 0,5 ( 20,3d b ) → c = 3, 2d b

Como c / d b es mayor que 2,5 no es necesario calcular K tr γ = 1,0 (barras No. 7 y mayores)

d

=

3 ( 60.000 )(1, 7 )(1, 0 )(1,3) 20 4000

(1,128)

= 71,0 in. Empalme Clase A = 1, 0

d

= 71, 0 in.

Los cálculos adicionales requeridos para satisfacer la Ecuación general (12-1) especificada en la Sección 12.2.3 pueden llevar a una reducción considerable de las longitudes de empalme con respecto a los valores calculados mediante el procedimiento simplificado especificado en la Sección 12.2.2.

4 - 36

Ejemplo 4.2 – Anclaje de barras traccionadas Calcular la longitud de anclaje en tracción requerida para las barras No. 8 (barras cortas alternadas) de la losa armada en una dirección de hormigón de "agregados livianos y arena" ilustrada a continuación. Datos para el diseño: f c' = 4000 psi

8"

f y = 60.000 psi

8"

Barras sin revestimiento epoxi

8" 8"

8" A

B

C 3/4" recubrimiento 16"

Una capa

d

Armadura de temperatura

Referencia del Código

Cálculos y discusión En este ejemplo realizaremos los cálculos de acuerdo con las Secciones 12.2.2 y 12.2.3.

Suponer que las barras cortas están ancladas en una longitud AB, mientras que las barras largas están ancladas en la longitud BC. Diámetro nominal de una barra No. 8 = 1,00 in. A. Longitud de anclaje de acuerdo con 12.2.2

Separación entre los centros de las barras ancladas = 8 in. = 8d b Recubrimiento libre = 0,75 in. = 0, 75d b Como el recubrimiento libre es menor que d b y la barra es mayor que una barra No. 7, debemos aplicar la Ecuación D de la Tabla 4-1.

d

3f αβλ y d =  40 f '  b c  

12.2.2

α = 1,3 (barras superiores) β = 1,5 (barras sin revestimiento epoxi)

λ = 1,3 (hormigón liviano)

4 - 37

d

=

3 ( 60.000 )(1,3)(1, 0 )(1,3) 40 4000

(1, 0 ) = 120,3 in.

B. Longitud de anclaje de acuerdo con 12.2.3

d

  3 f y  αβγλ =    40 '   c + K fc  tr    d b  

  d b    

Ec. (12-1)

α = 1,3 (barras superiores) β = 1, 0 (barras sin revestimiento epoxi) γ = 1, 0 (barras No. 7 y mayores)

λ = 1,3 (hormigón liviano) Separación entre los centros de las barras ancladas = 8 in. = 8d b Separación libre entre las barras ancladas = 8 – 1 = 7 in. = 7d b Recubrimiento libre = 0,75 in. = 0, 75d b Distancia "c" entre el centro de la barra y la superficie de hormigón = 0,75 + 0,5 = 1,25 in. = 1, 25d b (valor determinante) = 8d b / 2 = 4d b (separación entre centros / 2) c = 1, 25d b

(valor calculado anteriormente)

K tr = 0

(no hay armadura transversal)

d

=

3 ( 60.000 )(1,3)(1, 0 )(1, 0 )(1,3) 40 4000 (1, 25 )

(1, 0 ) = 96, 2 in.

4 - 38

Ejemplo 4.3 – Anclaje de barras traccionadas Calcular la longitud de anclaje requerida para las 2 barras No. 8 interiores de la viga ilustrada a continuación. Las 2 barras No. 8 exteriores se harán continuas en toda la longitud de la viga. Los estribos provistos satisfacen los requisitos de armadura de corte mínima para vigas especificados en el Código. Datos para el diseño: f c' = 4000 psi

(hormigón de peso normal)

f y = 60.000 psi

Barras sin revestimiento epoxi

d

1,5" recubrimiento (Sección 7.7.1)

(2 barras No. 8)

s Una capa

4 No. 8 Estribos en la longitud d

No. 4 a 10"

12"

Referencia del Código

Cálculos y discusión En este ejemplo realizaremos los cálculos de acuerdo con las Secciones 12.2.2 y 12.2.3. Diámetro nominal de una barra No. 8 = 1,00 in. A. Longitud de anclaje de acuerdo con 12.2.2

Separación libre = [12 – 2 (recubrimiento) – 2 (estribo No. 4) – 4 (barra No. 8)] / 3 = [12 – 2 (1,5) – 2 (0,5) – 4 (1,00)] / 3 = 1,33 in. = 1,33 db Recubrimiento libre = 1,5 + 0,5 = 2,0 in. = 2db Ver la Tabla 4-1. La separación libre entre las barras ancladas es mayor que db, el recubrimiento libre es mayor que db y la cantidad de estribos es mayor que el mínimo indicado en el Código; por lo tanto se aplica la Ecuación B de la Tabla 4-1.

d

 f αβλ  y d =  20 f '  b c  

12.2.2

α = 1,3 (barras superiores) β = 1, 0 (barras sin revestimiento epoxi)

4 - 39

λ = 1, 0 (hormigón de peso normal)

d

=

( 60.000 )(1,3)(1, 0 )(1, 0 ) 20 4000

(1, 0 ) = 61, 7 in.

B. Longitud de anclaje de acuerdo con 12.2.3

d

  3 f y  αβγλ =    40 '   c + K fc  tr    d b  

  d b    

Ec. (12-1)

α = 1,3 (barras superiores) β = 1, 0 (barras sin revestimiento epoxi) γ = 1, 0 (barras No. 7 y mayores)

λ = 1, 0 (hormigón de peso normal) Separación libre = 1,33d b Separación entre los centros de barras ancladas = 1,33 + 1,00 = 2,33 in. = 2,33d b Recubrimiento libre = 1,50 + 0,50 = 2,0 in. = 2, 0d b Distancia entre el centro de la barra y la superficie de hormigón = 1,5 + 0,5 + 0,5 = 2,5 in. = 2,5d b c = el menor de los valores que se obtienen de: (1) la distancia entre el centro de la barra o alambre anclado y la superficie de hormigón más próxima ( 2,5d b ); o (2) la mitad de la separación entre los centros de las barras o alambres que se anclan ( 2,33d b / 2 = 1,17d b ). c = 1,17d b

K tr =

A tr f yt 1500 s n

A tr ( 2-No.4 ) = 2 × 0, 2 = 0, 4 in.2 s = 10 in. (separación de los estribos) n = 2 (se están empalmando 2 barras)

K tr =

0, 4 ( 60.000 )

1500 (10 )( 2 )

= 0,80 in. = 0,80d b

4 - 40

 c + K tr  1,17 + 0,80 = 1,97 < 2,5  = 1, 0  db 

d

=

3 ( 60.000 )(1,3)(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 ) 40 4000 (1,97 )

VERIFICA

(1, 0 ) = 47, 0

12.2.3

in.

4 - 41

Ejemplo 4.4 – Anclaje de la armadura solicitada a flexión Determinar la longitud de las barras superiores e inferiores para el tramo exterior de la viga continua ilustrada a continuación. La carga mayorada uniformemente distribuida que actúa sobre la viga es w u = 6,0 kips/ft (incluyendo el peso de la viga). Datos para el diseño: f c' = 4000 psi

(hormigón de peso normal)

f y = 60.000 psi (Grado 60)

b = 16 in. h = 22 in. Recubrimiento de hormigón = 1,5 in. Columna exterior

Columna interior

wu

n = 25'

Más de 2 tramos

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Diseño preliminar para la armadura de flexión y corte a. Usar el método de análisis aproximado para flexión y corte Ubicación

8.3.3 Momentos y cortes mayorados

Cara interior de un apoyo exterior

−Mu = w u

2 n

Tramo exterior, positivo

+Mu = w u

2 n

Cara exterior del primer apoyo interior

−Mu = w u

2 n

Cara exterior del primer apoyo interior

Vu = 1,15w u

4 - 42

( ) /14 = 6 ( 25 ) /14 = 267,9 ft-kips /10 = 6 ( 25 ) /10 = −375,0 ft-kips

/16 = 6 252 /16 = −234,4 ft-kips 2

2

2 n

/ 2 = 1,15 ( 6 )( 25 ) / 2 = 86,3 ft-kips

b. Determinar la armadura requerida usando los procedimientos descriptos en el Capítulo 7 de este documento. Con un recubrimiento de 1,5 in., estribos No. 4 y barras longitudinales No. 9 ó No. 10, d ≈ 19, 4 in. Mu -234,4 ft-kips +267,9 ft-kips

As requerida 2,93 in2 3,40 in2

-375,0 ft-kips

5,01 in2

Barras 4 No. 8 2 No. 8 2 No. 9 4 No. 10

A 4-No.8

As provista 3,16 in2 3,58 in2 5,08 in2

B 2-No.9

4-No.10

2-No.8 A

16"

B

1,5"

4-No.8

22"

4-No.10

No.4 a 9"

No.4 a 9"

2-No.8

2-No.8

2-No.9

2-No.9

Corte A-A

Corte B-B

c. Determinar la armadura de corte requerida Vu a una distancia "d" de la cara del apoyo:

11.1.3.1

Vu = 86,3 − 6 (19, 4 /12 ) = 76, 6 kips

)

(

φVc = φ 2 f c' b w d = 0, 75 × 2 4000 × 16 × 19, 4 /1000 = 29,5 kips

Intentamos con estribos en U No. 4 con una separación de 7 in. < s max =

φVs =

φA v f y d s

= 0, 75 ( 0, 40 )( 60 )(19, 4 ) / 7 = 49,9 kips

φVn = φVc + φVs = 29,5 + 49,9 = 79, 4 > 76, 6 kips

VERIFICA

4 - 43

11.1.3.1 d = 9, 7 in. 2

11.5.4.1

11.5.6.2

Distancia a partir del apoyo donde ya no se requieren estribos: Vu <

φVc 29, 2 = = 14,8 kips 2 2

11.5.5.1

Vu = 86,3 − 6x = 14,8 kips x = 11,9 ft ≈ 1/ 2 de la luz

Usar estribos en U No. 4 con una separación de 7 in. (en toda la luz) 2. Longitudes de las barras de la armadura inferior. a. Número de barras que se deben prolongar hacia los apoyos.

12.11.1

Un cuarto de (+ As ) se debe prolongar dentro del apoyo una distancia mayor o igual que 6 in. Como el artículo 12.13.3 especifica que cada ángulo de doblado de los estribos debe contener una barra o alambre longitudinal, al menos 2 barras se deben prolongar en la totalidad de la longitud del elemento. Prolongar las 2 barras No. 8 en toda la luz (más la prolongación de 6 in. dentro del apoyo), e interrumpir las 2 barras No. 9 dentro del tramo. b. Determinar la sección donde se interrumpirán las 2 barras No. 9 y verificar los demás requisitos de anclaje. A continuación ilustramos los diagramas de corte y momento para el estado de carga que provoca el máximo momento positivo mayorado. w u= 6 klf 234,4 lk

168,8 lk

25' 77,6 k

56,6 k

267,9 lk

72,4 k

51,4 k

3,5'

2,6'

9,45'

9,45' 168,8 lk

234,4 lk

4 - 44

La siguiente figura es una ilustración a mayor escala de la parte del diagrama de momentos donde el momento M u es positivo, incluyendo los momentos resistentes de diseño φM n para la armadura total para momento positivo As (2 barras No. 8 y 2 barras No. 9) y para 2 barras No. 8 en forma separada. Para 2 barras No. 8 y 2 barras No. 9: φM n = 280,7 ft-kips. Para 2 barras No. 8: φM n = 131,8 ft-kips. lk

φMn para 2 No. 8 y 2 No. 9 = 280,7

1,6'

1,6' M u = 267,9 lk

1

lk

φMn para 2 No. 8 = 131,87

2

3,5'

2,6'

6,6' 3

5,7' 4 8,45'

8,55'

2-No. 9 2-No. 8 6"

6"

17' 4,5'

3,5' 25'

Como se puede observar, las 2 barras No. 8 se extienden en la totalidad de la luz, más 6 in. que se prolongan dentro de los apoyos. Las 2 barras No. 9 terminan tentativamente a 4,5 y 3,5 ft de los apoyos exterior e interior, respectivamente. Estas ubicaciones tentativas de las secciones donde se interrumpen las barras No. 9 se determinan de la siguiente manera: Las dimensiones (1) y (2) deben ser d ó 12db, cualquiera sea el valor que resulte mayor.

12.10.3

d = 19, 4 in. = 1, 6 ft (valor determinante) 12d b = 12 (1,128 ) = 13,5 in.

Las dimensiones (3) y (4) deben ser mayores o iguales que

d

.

Dentro de la longitud de anclaje d solamente se están anclando las 2 barras No. 8 (las 2 barras No. 9 ya se anclaron en la longitud de 8,45 ft). 4 - 45

12.10.4

Anclaje para las barras No. 8 ubicadas en las esquinas, ver Tabla 4-2. d

= 47d b = 47 (1, 0 ) = 47 in. = 3,9 ft

Dimensión (3): 6,6 ft > 3,9 ft Dimensión (4): 5,7 ft > 3,9 ft

VERIFICA VERIFICA

Verificar la longitud de anclaje d requerida para las 2 barras No. 9. Observar que las 2 barras No. 8 ya están ancladas en la longitud de 4 ft a partir del extremo de las barras. Separación libre entre las 2 barras No. 9. 16 − 2 (1,5 ) − 2 ( 0,5 ) − 2 (1, 0 ) − 2 (1,128 )  / 3 = 2,58 in. = 2, 29d b > 2d b

Para una barra No. 9:

d

= 47d b

Tabla 4-2

= 47 (1,128 ) = 53 in. = 4, 4 ft < 8, 45 ft

VERIFICA

Para las barras No. 8 verificar los requisitos de anclaje en los puntos de inflexión (P.I.). d

≤

Mn + Vu

12.11.3 Ec. (12-3)

a

Para 2 barras No. 8, M n = 131,8 / 0,9 = 146, 4 ft-kips A la izquierda del P.I.: Vu = 77, 6 − 6 ( 3,5 ) = 56, 6 kips a

= mayor valor entre 12d b = 12 (1, 0 ) = 12 in. ó d = 19, 4 in.

d

≤

(valor determinante)

146, 4 × 12 + 19, 4 = 50,5 in. 56, 6

Para las barras No. 8:

d

= 47 in. < 50,5 in.

VERIFICA

A la derecha del P.I.: Vu = 56,8 kips ; una simple inspección permite determinar que los requisitos de anclaje para las barras No. 8 se VERIFICAN. Como ambos puntos tentativos de interrupción de la armadura se encuentran en una zona traccionada por flexión se debe satisfacer una de las tres condiciones especificadas en la Sección 12.10.5. En el punto de interrupción de la izquierda (a 4,5 ft del apoyo): Vu = 77, 7 − ( 4, 5 × 6 ) = 50, 6 kips

φVn = 79, 4 kips (estribos en U No. 4 con una separación de 7 in.) 2 / 3 ( 79, 4 ) = 52,9 kips > 50, 6 kips

VERIFICA

4 - 46

12.10.5.1

A título ilustrativo, determinar si también se satisface la condición especificada en 12.10.5.3: M u = 54,1 ft-kips a 4,5 ft del apoyo As requerida = 0, 63 in.2

Para 2 barras N. 8, As provista = 1,58 in.2 1,58 in.2 > 2 ( 0, 63) = 1, 26 in.2

VERIFICA

12.10.5.3

3 / 4 ( 79, 4 ) = 59, 6 kips > 50, 6 kips VERIFICA

12.10.5.3

Por lo tanto, en la sección donde se interrumpen las barras también se satisface la condición de 12.10.5.3. En el punto de interrupción de la derecha (a 3,5 ft del apoyo): Vu = 72, 4 − ( 3,5 × 6 ) = 51, 4 kips 2 / 3 ( φVn ) = 52,9 kips > 51, 4 kips VERIFICA

12.10.5.1

Resumen: Las secciones tentativas elegidas para interrumpir la armadura inferior satisfacen todos los requisitos de anclaje exigidos por el Código. Las 2 barras No. 9 × 17 ft se tendrían que colocar de forma asimétrica dentro del tramo. Para asegurar la correcta colocación de las barras No. 9 sería prudente especificar para ambas una longitud de 18 ft; de este modo las barras se colocarían de forma simétrica (a 3,5 ft de cada apoyo). En este caso los extremos de estas barras estarían en los puntos de inflexión o próximos a los mismos, con lo cual ya no sería necesario satisfacer las condiciones especificadas en 12.10.5 para el caso de barras que terminan en una zona traccionada. Al final de este ejemplo ilustramos la disposición de armadura recomendada. 3. Longitudes de las barras de la armadura superior. A continuación ilustramos los diagramas de corte y momento para el estado de carga que provoca los máximos momentos negativos mayorados. También se ilustran a mayor escala las partes del diagrama de momentos donde el momento M u es negativo, incluyendo los momentos resistentes de diseño φM n para la armadura total para momento negativo As en cada apoyo (4 barras No. 8 en el apoyo exterior y 4 barras No. 10 en el apoyo intermedio) y para 2 barras No. 10 en el apoyo intermedio. Para 4 barras No. 8: φM n = 251,1 ft-kips. Para 4 barras No. 10: φM n = 379,5 ft-kips. Para 2 barras No. 10: φM n = 194,3 ft-kips.

4 - 47

w u = 6 klf 234,4

lk

375,0 lk 25' 69,4 k

169,9 lk

80,6 lk

4,1'

6,0'

7,45'

234,4 lk

7,45' 375,0 lk

6,0'

4,1'

1,6'

lk

1,6'

lk

φMn para 2 No. 10 = 194,3

φMn para 4 No. 8 = 251,1

234.4 lk 5,75'

lk

375 lk

5 7,6' 6

4-No. 8

4-No. 10

25'

4 - 48

φMn para 4 No. 10 = 379,5

4. Requisitos de anclaje para las 4 barras No. 8 en el apoyo exterior. a. Número de barras que se deben prolongar. Como mínimo un tercio de ( −As ) provista en un apoyo se debe prolongar más allá del punto de inflexión una distancia igual al mayor valor entre d, 12d b ó n /16 . d = 19, 4 in. = 1, 6 ft

12.12.3

(valor determinante)

12d b = 12 (1, 0 ) = 12, 0 in. n

/16 = 25 × 12 /16 = 18, 75 in.

Como el punto de inflexión está ubicado a apenas 4,1 ft del apoyo, la longitud total de las barras No. 8 será relativamente corta aún con la prolongación de 1,6 ft requerida más allá del punto de inflexión. Verificar la longitud de anclaje requerida d para una sección ubicada a 5,75 ft de la cara del apoyo. La dimensión (5) debe ser mayor o igual que Para las barras No. 8,

d

d

.

12.12.2

= 47d b = 47 (1, 0 ) = 47 in.

Tabla 4-2

Con 4 barras No. 8 ancladas en la misma sección (cara del apoyo): Incluyendo el efecto de las barras superiores, Para las barras No. 8 superiores,

d

d

= 1,3 ( 47 ) = 61,1 in.

= 61,1 in. = 5,1 ft < 5, 75 ft

VERIFICA

b. Anclaje en la columna exterior. Las barras No. 8 se pueden anclar en la columna mediante ganchos normales. De la Tabla 4-4, dh = 19, 0 in. La longitud dh requerida para el gancho se podría reducir si consideramos el exceso de armadura:

( As requerida ) 2,93 = = 0,93 ( As provista ) 3,16 dh

= 19 × 0,93 = 17, 7 in.

La profundidad total requerida para la columna sería de 17,7 + 2 = 19,7 in. 5. Requisitos de anclaje para las 4 barras No. 10 en la columna interior. a. Prolongación requerida para un tercio de ( −As ).

12.12.3 4-No.10

d = 19, 4 in. = 1, 6 ft (valor determinante)

s

12d b = 12 (1, 27 ) = 15, 24 in. n

No.4 1,5"

/16 = 18, 75 in.

16"

4 - 49

Separación libre para las barras No. 10

= [16 – 2 (1,5) – 2 (0,5) – 4 (1,27)] / 3 = 2,31 in. = 1,82 d b > d b = 2,82 d b

Separación entre centros

Recubrimiento = 1,5 + 0,5 = 2, 0 in. = 1,57d b > d b Distancia entre el centro de una barra y la superficie de hormigón = 1,57d b + 0,5d b = 2, 07d b Con la armadura mínima de corte provista e incluyendo el efecto de las barras superiores: d

= 1,3 ( 47d b )

Tabla 4-2

= 1,3 ( 47 )(1, 27 ) = 77, 6 in.

Dimensión (6) = 6, 0 ft + 1, 6ft = 7, 6 ft >

d

= 77, 6 in. = 6,5 ft

VERIFICA

6. Resumen: La siguiente figura ilustra las longitudes seleccionadas para las barras de la armadura superior e inferior. 1'-8" mín.

5'-9"

7'-8" 4-No.10

4-No.8

2-No.9 x 18'-0"

6" *

2-No.8 x 26'-0"

6"*

No. 4 a 7" 25'-0" * Ver 12.11.1

7. Requisitos suplementarios Si esta viga fuera parte del sistema principal que resiste las cargas laterales, las 2 barras inferiores No. 8 que se prolongan dentro de los apoyos se deberían anclar de manera que pudieran desarrollar la tensión de fluencia de las barras en la cara de los apoyos. En la columna exterior el anclaje se puede materializar mediante un gancho normal. El ancho de apoyo mínimo (profundidad total de la columna) requerida para anclar una barra No. 8 terminada en un gancho normal depende de la longitud de anclaje dh indicada en la Tabla 4-4, y de los factores de modificación aplicables (12.5.3). En la columna interior, las 2 barras No. 8 se podrían prolongar una distancia d más allá de la cara del apoyo hacia el tramo adyacente, o se las podría empalmar por yuxtaposición con la prolongación de las barras del tramo adyacente. Considerar un anclaje por yuxtaposición Clase A adecuado para satisfacer la intención de 12.11.2.

4 - 50

12.11.2

Ejemplo 4.5 – Empalmes por yuxtaposición solicitados a tracción Diseñar los empalmes por yuxtaposición solicitados a tracción para la viga a nivel del plano de fundación ilustrada. Empalme Columna

Columna

A

B

Empalme

Datos para el diseño: f c' = 4000 psi f y = 60.000 psi , barras sin revestimiento epoxi

b = 16 in. h = 30 in.

Recubrimiento de las barras = 3,0 in. 4 barras No. 9 superiores e inferiores (continuas) Estribos No. 4 con una separación de 14 in. (toda la luz) + M u en B = 340 ft-kips −M u en A = 120 ft-kips

Preferentemente los empalmes se deben ubicar lejos de las zonas fuertemente traccionadas. En una típica viga a nivel del plano de fundación, las barras superiores se deberían empalmar debajo de las columnas, mientras que las barras inferiores se deberían empalmar aproximadamente a la mitad de la distancia entre columnas. Aunque en este ejemplo el empalme en A no se encuentra en la posición recomendada, el momento en A es relativamente pequeño. Para los fines de este ejemplo asumir que los empalmes deben estar en las ubicaciones indicadas en la figura.

Referencia del Código

Cálculos y discusión En este ejemplo realizaremos los cálculos de acuerdo con la Sección 12.2.3. Diámetro nominal de una barra No. 9 = 1,128 in.

s

No. 4

Suponiendo que todas las barras se empalman en la misma sección, Separación libre

= [16 – 2 (recubrimiento) – 2 (estribos No. 4) – 4 (barras No. 9)] / 3 = 16 − 2 ( 3, 0 ) − 2 ( 0,50 ) − 4 (1,128 )  / 3 = 1,50 in. = 1,33d b

4 - 51

3" 16"

Separación entre los centros de las barras ancladas = 1,50 + 1,128 = 2,63 in. = 2,33d b Recubrimiento libre = 3, 0 + 0,5 = 3,5 in. = 3,1d b Distancia entre el centro de una barra y la superficie de hormigón = 3,0 + 0,5 + (1,128/2) = 4,1 in. = 3, 6d b c = el menor de los valores que se obtienen de: (1) la distancia entre el centro de la barra o alambre anclado y la superficie de hormigón más próxima; o (2) la mitad de la separación entre los centros de las barras o alambres que se anclan. c = 3, 6d b = 2,33d b / 2 = 1,17d b

(valor determinante)

Empalme por yuxtaposición de la armadura inferior en la Sección B

d

  3 f y  αβγλ =    40 '   c + K fc  tr    d b  

  d b    

Ec. (12-1)

α = 1, 0 (barras inferiores) β = 1, 0 (barras sin revestimiento epoxi) γ = 1, 0 (barras No. 7 y mayores)

λ = 1, 0 (hormigón de peso normal) c = 1,17d b (calculado en el punto anterior)

K tr =

A tr f yt 1500 s n

A tr = área de 2 estribos No. 4 = 2 ( 0, 2 ) = 0, 4 in.2 s = 14 in. (separación) n = 4 (se están anclando 4 barras)

K tr =

0, 4 ( 60.000 )

1500 (14 )( 4 )

= 0, 29 in. = 0, 26d b

 c + K tr    = 1,17 + 0, 26 = 1, 43 < 2,5  db 

VERIFICA

12.2.3

4 - 52

d

=

3 ( 60.000 )(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 ) 40 4000 (1, 43)

(1,128 ) = 56,1

in.

As requerida ( + M u en B = 340 ft-kips ) = 3,11 in.2 As provista ( 4 barras No. 9 ) = 4, 00 in.2 As provista 4, 00 = = 1, 29 < 2 As requerida 3,11

Empalme Clase B requerido =1,3

12.15.1 12.15.2

d

Nota: Aunque los empalmes estuvieran escalonados (As empalmada = 50%), cuando (As provista /As requerida) < 2 se deben usar empalmes Clase B. Empalme Clase B = 1,3

d

= 1,3 ( 56,1) = 72,9 in. = 6,1 ft

Es mejor que los empalmes estén escalonados. De este modo la separación libre entre las barras empalmadas aumentará, y habrá una potencial reducción de la longitud de anclaje. Separación libre = 2 (1,50 ) + 1,128 = 4,13in. = 3, 66 d b Separación entre los centros de las barras que se empalman = 3, 66 d b + d b = 4, 66 d b Distancia entre el centro de una barra y la superficie de hormigón = 3, 6 d b Por lo tanto, c =

K tr =

4, 66 d b = 2,33 d b 2

2 ( 0, 2 ) ( 60.000 )

(1500 ) (14 ) ( 2 )

 c + K tr Por lo tanto,   db

d

=

= 0,57 in. = 0,51 d b

  = 2,33 + 0,51 = 2,84 > 2,5 

3 ( 60.000 )(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 ) 40 4000 ( 2,5 )

(1,128 ) = 32,1

Usar 2,5

in.

Empalme Clase B = 1,3 ( 32,1) = 41, 7 in. = 3,5 ft Usar un empalme por yuxtaposición de 3 ft-6 in. en B, y alternar los demás empalmes. Empalme por yuxtaposición de la armadura superior en la Sección A

Como la armadura superior y la armadura inferior son del mismo tamaño, las longitudes de anclaje y empalme de las barras superiores serán iguales a las de las barras inferiores, multiplicadas por el factor 1,3 que se aplica cuando se trata de barras superiores. Además, como los momentos mayorados positivos y negativos son

4 - 53

12.2.3

diferentes, es posible que la relación entre la armadura provista y la armadura requerida afecte el tipo de empalme, tal como se demuestra a continuación. As requerida ( + M u en A = 120 ft-kips ) = 1, 05 in.2 As provista / A s requerida = 4, 00 /1, 05 = 3,81 > 2

Si los empalmes se escalonan como mínimo una longitud de empalme de manera que se verifique As empalmada = 50%: Se puede usar un empalme Clase A = 1, 0

12.15.2

d

Si todas las barras se empalman en la misma ubicación (dentro de la longitud de empalme requerida): Se debe usar un empalme Clase B = 1,3

d

Suponiendo que los empalmes están empalmados en secciones alternadas, el multiplicador para las barras superiores será igual a 1,3. Empalme Clase A = 1,3 (1, 0 )( 32,1) = 41, 7 in. = 3,5 ft Usar un empalme por yuxtaposición de 3 ft-6 in. en la sección A, y alternar los demás empalmes. 3'-6"

3'-6"

Disposición alternada o escalonada de los empalmes (Nota: Las barras se superponen verticalmente)

4 - 54

Ejemplo 4.6 – Empalmes por yuxtaposición solicitados a compresión El siguiente ejemplo ilustra los cálculos típicos requeridos para los empalmes por yuxtaposición de las barras de las columnas con estribos cerrados y zunchos.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Diseñar un empalme por yuxtaposición comprimido para la columna con estribos cerrados ilustrada a continuación. Asumir que todas las barras están siempre comprimidas para las combinaciones de cargas mayoradas consideradas en el diseño (Zona 1 de la Figura 4-21). Ver también la Tabla 4-8. b = 16 in. h = 16 in. f c' = 4000 psi

f y = 60.000 psi

8 barras No. 9 a. Determinar la longitud de empalme por yuxtaposición:

12.16.1

Para f y = 60.000 psi : Longitud de empalme = 0, 0005 f y d b ; pero nunca menor que 12 in. = 0,0005 (60.000) 1,128 = 34 in. b. Determinar los estribos cerrados requeridos para que esté permitido reducir la longitud de empalme multiplicando por 0,83. Estribos cerrados requeridos: Estribos No. 3 con una separación de 16 in. entre sus centros. Separación de los estribos No. 3 requerida para reducir la longitud de empalme: Área efectiva de los estribos ≥ 0,0015 h s

( 2 × 0,11) ≥ 0, 0015 × 16 s s = 9, 2 in.

Debemos reducir la separación entre los centros de los estribos a 9 in. en toda la longitud de empalme, para permitir una longitud de empalme igual a 0,83 (34 in.) = 28 in. 2. Determinar la longitud de empalme por yuxtaposición para la columna zunchada ilustrada a continuación. f c' = 4000 psi

f y = 60.000 psi

8 barras No. 9 Zunchos No. 3 4 - 55

12.17.2.4 7.10.5.2

a. Determinar la longitud de empalme por yuxtaposición: Para las barras confinadas por zunchos, la longitud de empalme "básica" se puede multiplicar por el factor 0,75.

12.16.1 12.17.2.5

Para f y = 60.000 psi : Longitud de empalme = 0, 75 ( 34 ) = 26 in. Nota: También se podrían utilizar empalmes por contacto a tope, empalmes soldados o conexiones mecánicas.

4 - 56

12.16.3 12.16.4

Ejemplo 4.7 – Empalmes por yuxtaposición en una columna Diseñar un empalme por yuxtaposición para la columna zunchada detallada a continuación. • •

Barras que continúan de la columna superior: 4 barras No. 8 Barras dobladas en espera de la columna inferior: 4 barras No. 8

16"

16"

f c' = 4000 psi

f y = 60.000 psi

b = h = 16 in. 4 barras No. 8 (por encima y por debajo de la losa) Estribos No. 3 separados 16 in. Recubrimiento = 1,5 in.

16"

El empalme por yuxtaposición se debe diseñar para las siguientes combinaciones de cargas:

8"

1. Pu = 465 kips M u = 20 ft-kips

Empalme por yuxtaposición

16"

2. Pu = 360 kips M u = 120 ft-kips 2. Pu = 220 kips M u = 100 ft-kips

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar el tipo de empalme requerido.

12.17.2

El tipo de empalme a utilizar depende de la tensión que provocan en las barras en la ubicación del empalme todas las combinaciones de cargas mayoradas consideradas en el diseño de la columna. Para los fines del diseño, el tipo de empalme se determinará considerando en cuál zona o zonas del diagrama de interacción de resistencias están ubicadas todas las combinaciones de cargas mayoradas aplicables. Ver la discusión anterior del punto 12.17.2 y la Figura 4-21. A continuación ilustramos el diagrama de interacción de resistencias para la columna de 16 × 16 in. con 4 barras No. 8, en el cual hemos graficado las tres combinaciones de cargas mayoradas consideradas para el diseño de la columna. Observar que la combinación (2) fue la que determinó el diseño de la columna (selección de 4 barras No. 8). Tabla 4-8 Cuando actúa la combinación (1) todas las barras están comprimidas (Zona 1) y se podría utilizar un empalme de compresión. Cuando actúa la combinación (2) la tracción en las barras no es mayor que 0,5fy (Zona 2), por lo cual se requiere un empalme de tracción Clase B, aunque también se podría utilizar un empalme Clase A si los empalmes están escalonados. Para la combinación (3) la tensión en las barras es mayor que 0,5fy (Zona 3), y esto significa que se debe utilizar un empalme Clase B.

4 - 57

800

700

600

Carga axial, kips

fs = 0 500 1 400 2

fs = f y /2

300 3

200

100

0

50

100

150

200

Momento, ft-kips

Diagrama de interacción para la columna de 16 × 16 in.

Los empalmes por yuxtaposición requeridos para las 4 barras No. 8 se deben determinar en base a la combinación de cargas que produce la mayor tracción en las barras. Para este ejemplo, será la combinación (3) la que determine el tipo de empalme a utilizar. Empalme Clase B requerido =

d

= 1,3

12.15.1

db

2. Determinar la longitud de empalme por yuxtaposición. Determinar la longitud de anclaje en tracción de acuerdo con 12.2.3.

s

Estribo No. 3

1,5" (recubrimiento) 16"

Diámetro nominal de una barra No. 8 = 1,00 in. La separación libre entre las barras a anclar es grande, y por lo tanto no determinará el diseño. Recubrimiento libre = 1,5 + 0,375 = 1,875 in. = 1,875 d b Distancia desde el centro de una barra hasta la superficie de hormigón = 1,875 + 0,5 = 2,375 in = 2,375 d b

4 - 58

c = el menor de los valores que se obtienen de: (1) la distancia entre el centro de la barra anclada y la superficie de hormigón más próxima; o (2) la mitad de la separación entre los centros de las barras o alambres que se anclan. c = 2,375 d b

d

  3 f y  αβγλ =    40 '   c + K fc  tr    d b  

  d b    

Ec. (12-1)

α = 1, 0 (barras verticales)

12.2.4

β = 1, 0 (barras no revestidas) γ = 1, 0 (barras No. 7 y mayores)

λ = 1, 0 (hormigón de peso normal) c = 2,375 d b K tr =

A tr f yt 1500 s n

A tr = área de 2 estribos No. 3 s = 16 in. (separación)

n = 2 (en una cara de la columna se anclan 2 barras) K tr =

2 ( 0,11)( 60.000 ) 1500 (16 )( 2 )

= 0, 275 in. = 0, 275 d b

 c + K tr    = 2,375 + 0, 275 = 2, 65 > 2,5  db 

d

=

3 ( 60.000 )(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )(1, 0 ) 40 4000 ( 2,5 )

12.2.3

Usar 2,5

(1, 00 ) = 28,5

in.

Empalme Clase B = 1, 3 ( 28, 5 ) = 37 in. En el nivel de piso indicado usar empalmes por yuxtaposición de 37 in. en las 4 barras No. 8.

4 - 59

5 Métodos de Diseño y Requisitos de Resistencia

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El Código 2002 contiene importantes revisiones en los Capítulos 8, 9 y 10. Los requisitos de los Apéndices B y C del código 1999 han sido trasladados al cuerpo principal del código 2002, y los requisitos desplazados por este traslado ahora se encuentran en los nuevos Apéndices B y C del código 2002. Se modificaron los requisitos sobre redistribución de momentos del Capítulo 8. Se modificaron los factores de mayoración de las cargas y los factores de reducción de la resistencia del Capítulo 9. Se modificaron los métodos de diseño para elementos solicitados a flexión y compresión del Capítulo 10. También se modificaron algunos requisitos del Capítulo 18, Hormigón Pretensado. Se revisaron los factores de carga del Capítulo 9 para que coincidan con los de ASCE 7. Estos son los mismos factores de carga que se usan en el IBC 2000 para el diseño por resistencia de otros materiales. En general, esos factores de carga son menores que los indicados en ediciones anteriores del Código ACI. Anteriormente, los factores de reducción de la resistencia f a utilizar con estos factores de carga estaban en el Apéndice C de los códigos 1995 y 1991. Ahora estos factores de reducción de la resistencia se trasladaron al Capítulo 9. En general, la combinación de los menores factores de carga y los menores factores de reducción de resistencia del nuevo Capítulo 9 produce aproximadamente el mismo resultado que se obtenía en los diseños realizados en base a los códigos anteriores. Sin embargo, en el código 2002 hay una importante diferencia relacionada con el diseño de los elementos solicitados a flexión: para los elementos flexionados controlados por tracción (definidos más adelante), el factor φ permanece sin modificaciones, igual a 0,9. En combinación con los menores factores de carga, para muchos elementos solicitados a flexión esto produce una reducción del requisito de resistencia de aproximadamente 10 por ciento. El nuevo Apéndice C del código 2002 contiene los factores de carga y los factores φ anteriormente incluidos en el Capítulo 9. Está permitido usar estos factores de carga y factores φ anteriores dentro del contexto del Apéndice C.

Se revisaron los Capítulos 8, 9 y 10 a fin de incluir los requisitos del Apéndice B, Requisitos de Diseño Unificado, de los códigos 1995 y 1999. Estos requisitos fueron desarrollados para unificar el diseño de los elementos solicitados a flexión y a compresión, y para unificar el diseño por resistencia de los elementos no pretensados y pretensados. Las secciones se clasifican en base a la deformación específica neta de tracción en el acero traccionado extremo para la resistencia nominal. Las secciones controladas por tracción se definen como aquellas con una deformación específica neta de tracción en el acero mayor o igual que 0,005. Estas secciones se diseñan con un factor de reducción de la resistencia φ igual a 0,9. Las secciones controladas por compresión se definen como aquellas con una deformación específica neta de tracción en el acero menor o igual que 0,002. Estas secciones se diseñan usando un factor φ igual a 0,65 ó 0,7 para los elementos solicitados a compresión. Para las secciones con deformaciones específicas netas de tracción comprendidas entre estos límites, se indica una ecuación de transición para el factor φ. Para las secciones pretensadas, la deformación específica neta de tracción no incluye la deformación específica por pretensado. Se modificaron los requisitos sobre redistribución de momentos del Capítulo 8, de manera que ahora son aplicables tanto al hormigón no pretensado como al hormigón pretensado. Los nuevos requisitos sobre redistribución de momentos se describen en la Parte 9 de esta publicación.

8.1

MÉTODOS DE DISEÑO

Hay dos filosofías para el diseño del hormigón armado que han sido prevalentes por mucho tiempo. El Diseño por Tensiones de Trabajo (WSD / Working Stress Design) fue el método más usado desde principios de siglo hasta principios de los años 60. A partir de la publicación de la edición 1963 del Código ACI, se ha dado una rápida transición hacia el Diseño por Resistencia Última, en gran parte por su enfoque más racional. El diseño por resistencia última, que en el código se denomina Método de Diseño por Resistencia (SDM / Strength Design Method) aborda la seguridad estructural con un enfoque conceptualmente más realista. El Código ACI 1956 (ACI 318-56) fue la primera edición del código que reconoció y permitió oficialmente el método de diseño por resistencia última. Esta edición incluía, en un apéndice, recomendaciones para el diseño de estructuras de hormigón en base a teorías de resistencia última. El Código ACI 1963 (ACI 318-63) trataba a los métodos de las tensiones de trabajo y de la resistencia última sobre una base igualitaria. Sin embargo, se modificó gran parte del método de las tensiones de trabajo a fin de reflejar el comportamiento en resistencia última. Los requisitos para tensiones de trabajo del Código 1963 relacionados con la adherencia, el corte y la tracción diagonal, y la combinación de compresión axial y flexión, se basaban en la resistencia última. El Código ACI 1971 (ACI 318-710) se basaba completamente en el enfoque de la resistencia para el dimensionamiento de los elementos de hormigón, a excepción de una pequeña sección (8.10) dedicada a lo que se denominaba el Método de Diseño Alternativo (ADM / Alternate Design Method). El método de diseño alternativo no era aplicable al diseño de elementos de hormigón pretensado. Aún en esa sección, las capacidades de carga de servicio (excepto para flexión) se daban como diferentes porcentajes de las capacidades de resistencia últimas indicadas en otras partes del código. En el código 1971 la transición hacia las teorías basadas en la resistencia última era casi completa, y se establecía claramente que se prefería el diseño por resistencia última. En el Código ACI 1977 (ACI 318-77) el método de diseño alternativo se relegó al Apéndice B. Ubicar este método entre los apéndices sirvió para diferenciar los dos métodos de diseño, y el cuerpo principal del código se dedicó exclusivamente al método de diseño por resistencia. El método de diseño alternativo permaneció en todas las ediciones del código publicadas entre 1977 y 1999, fecha en que se lo ubicó en el Apéndice A. En el Código 2002 se ha eliminado el método de diseño alternativo. Aún se hace referencia al mismo en el Comentario de la Sección R1.1 del Código 2002. Los requisitos generales de comportamiento en servicio contenidos en el cuerpo principal del código, tales como los requisitos sobre flechas y limitación de la fisuración, se deben satisfacer siempre. Debido a que las fuerzas sísmicas calculadas de acuerdo con las últimas ediciones de los códigos de construcción modelo vigentes en los Estados Unidos son cargas de nivel de resistencia, dichos códigos prohíben usar el método de diseño alternativo de ACI 318 para las combinaciones de cargas que incluyen fuerzas sísmicas o sus efectos. Ver 8.1.2 a continuación. En la edición 1995 del código se añadió una modificación al método de diseño por resistencia, a la cual se le llamó Requisitos de Diseño Unificado. Manteniendo la tradición, el método se agregó bajo la forma de un Apéndice B. Estos 5-2

requisitos se aplican al diseño de elementos no pretensados y pretensados solicitados a flexión y cargas axiales. En el Código 2002 estos Requisitos de Diseño Unificado fueron incorporados al cuerpo principal. Ver 8.1.2 a continuación.

8.1.1 Método de Diseño por Resistencia El Método de Diseño por Resistencia requiere que en cualquier sección la resistencia de diseño de un elemento sea mayor o igual que la resistencia requerida calculada mediante las combinaciones de cargas mayoradas especificadas en el código. De forma generalizada, Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida (U) donde Resistencia de Diseño = Factor de Reducción de la Resistencia (φ) × Resistencia Nominal φ = Factor de reducción de la resistencia que toma en cuenta (1) la probabilidad de que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a las variaciones en las resistencias de los materiales y sus dimensiones, (2) las imprecisiones de las ecuaciones de diseño, (3) el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida del elemento cargado, y (4) la importancia del elemento dentro de la estructura (ver 9.3.2). Resistencia Nominal = Resistencia de un elemento o sección transversal calculada usando las hipótesis y ecuaciones de resistencia del Método de Diseño por Resistencia, antes de aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia. Resistencia Requerida (U) = Factores de carga × Solicitaciones por cargas de servicio. La resistencia requerida se calcula de acuerdo con las combinaciones de cargas indicadas en 9.2. Factor de Carga = Factor que incrementa la carga para considerar la probable variación de las cargas de servicio. Carga de Servicio = Carga especificada por el código de construcción (no mayorada) Simbología: Resistencia requerida: Mu = Pu = Vu = Tu =

momento flector mayorado (resistencia a la flexión requerida) carga axial mayorada (resistencia a la carga axial requerida) para una excentricidad dada fuerza de corte mayorada (resistencia al corte requerida) momento torsor mayorado (resistencia a la torsión requerida)

Resistencia nominal: Mn = Mb = Pn = Po = Pb = Vn = Vc = Vs = Tn =

resistencia nominal al momento flector resistencia nominal al momento flector en condiciones de deformación balanceada resistencia nominal a la carga axial para una excentricidad dada resistencia nominal a la carga axial para excentricidad nula resistencia nominal a la carga axial en condiciones de deformación balanceada resistencia nominal al corte resistencia nominal al corte provista por el hormigón resistencia nominal al corte provista por el acero de la armadura resistencia nominal a la torsión

Resistencia de diseño: φMn = resistencia al momento flector de diseño 5-3

φPn = resistencia a la carga axial de diseño para una excentricidad dada φVn = resistencia al corte de diseño = φ (Vc + Vs) φTn = resistencia a la torsión de diseño La Sección R2.1 discute detalladamente muchos de los conceptos involucrados en el Método de Diseño por Resistencia.

8.1.2

Requisitos de Diseño Unificado

En el Apéndice B de la edición 1995 del código se modificó el Método de Diseño por Resistencia para elementos de hormigón armado y pretensado solicitados a flexión y a compresión. Este Apéndice introdujo importantes cambios relacionados con el diseño para flexión y cargas axiales. Se modificaron los límites de armadura, los factores de reducción de la resistencia φ, y la redistribución de momentos. El Método de Diseño Unificado es similar al Método de Diseño por Resistencia en que para dimensionar los elementos emplea cargas mayoradas y factores de reducción de la resistencia. La principal diferencia es que en los Requisitos de Diseño Unificado una sección de hormigón se define ya sea como controlada por compresión o como controlada por tracción, dependiendo de la magnitud de la deformación específica neta de tracción en la armadura más próxima a la cara traccionada de un elemento. Luego el factor φ se determina según las condiciones de restricción en una sección para la resistencia nominal. Antes de estos requisitos, los factores φ se especificaban para casos de carga axial o flexión, o ambos, en términos del tipo de carga. Es importante observar que los Requisitos de Diseño Unificado no modifican el cálculo de las resistencias nominales. Las principales diferencias se relacionan con la verificación de los límites de armadura para los elementos solicitados a flexión, la determinación del factor φ para columnas, y el cálculo de la redistribución de momentos. La mayoría de los demás requisitos aplicables del cuerpo principal del código 1999 se aplican al diseño en base al código 2002. Las secciones del código que fueron reemplazadas por los Requisitos de Diseño Unificado ahora se encuentran en el Apéndice B. Aún está permitido utilizar estos requisitos anteriores. En general, los Requisitos de Diseño Unificado constituyen un método racional para diseñar elementos de hormigón armado y pretensado solicitados a flexión y compresión, y con ellos se obtienen resultados similares a los obtenidos usando el Método de Diseño por Resistencia. Los ejemplos incluidos en la Parte 10 y en la Referencia 5.1 ilustran el uso de este nuevo método de diseño.

9.1

RESISTENCIA Y COMPORTAMIENTO EN SERVICIO – REQUISITOS GENERALES

9.1.1

Requisitos de Resistencia

El criterio básico para el diseño por resistencia según se indica en 9.1.1 es el siguiente: Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida Factor de Reducción de la Resistencia (φ) × Resistencia Nominal ≤ Factor de carga × Solicitación de Servicio Todos los elementos y secciones de una estructura se deben dimensionar de manera que satisfagan este criterio bajo la combinación de cargas más crítica para todas las acciones posibles (flexión, carga axial, corte, etc.): φ Pn ≥ Pu φ Mn ≥ Mu φ V n ≥ Vu

5-4

φ Tn ≥ Tu Este criterio provee un margen de seguridad estructural de dos maneras diferentes: 1.

Disminuye la resistencia multiplicando la resistencia nominal por el factor de reducción de la resistencia φ adecuado, que siempre es menor que la unidad. La resistencia nominal se calcula mediante los procedimientos del código asumiendo que el elemento o la sección tendrá exactamente las dimensiones y propiedades de los materiales supuestas en los cálculos. Por ejemplo, la resistencia nominal al momento flector para la sección ilustrada en la Fig. 5-1 es: Mn = As fy (d – a/2)

y la resistencia al momento flector de diseño es: φ Mn = φ [As fy (d – a/2)] 0,85f´c

a

C

d (d-a/2)

As T = As fy bw

Figura 5-1 – Sección con armadura de tracción 2.

Aumenta la resistencia requerida usando cargas mayoradas o los momentos y fuerzas internas mayoradas. Las cargas mayoradas se definen en 2.1 como las cargas de servicio multiplicadas por los factores de carga apropiados. Las cargas a utilizar se describen en 8.2. Por lo tanto, la resistencia a la flexión requerida de la sección ilustrada en la Fig. 5-1 para carga permanente y sobrecargas es: Mu = 1,2 Md + 1,6 Mℓ ≥ 1,4 Md

Ec. (9-1) y (9-2)

siendo Md y Mℓ los momentos debidos a la carga permanente de servicio y sobrecarga de servicio, respectivamente. De este modo, para esta sección el requisito para diseño por resistencia se transforma en: [As fy (d – a/2)] ≥ 1,2 Md + 1,6 Mℓ ≥ 1,4 Md De manera similar, si hay corte actuando en la sección, el criterio para el diseño por resistencia se puede expresar como: φ Vn = φ (Vc + Vs) ≥ Vu Avfyd   φ  2 f c' b w d +  ≥ 1, 2Vd + 1, 6VA ≥ 1, 4Vd s  

5-5

A continuación presentamos los motivos por los cuales en el diseño por resistencia se requieren factores de reducción de la resistencia y factores de carga:5.2 1.

Las razones para utilizar factores de reducción de la resistencia son las siguientes: a. Las resistencias de los materiales pueden diferir de las supuestas en el diseño por las siguientes razones: • • • •

b.

Variabilidad de las resistencias de los materiales – Tanto la resistencia a la compresión del hormigón como la resistencia a la fluencia y la resistencia última a la tracción de la armadura son variables. Efecto de la velocidad de ensayo – Tanto las resistencias del hormigón como las del acero se ven afectadas por la velocidad de aplicación de las cargas. Resistencia in situ vs. resistencia de una probeta – La resistencia del hormigón colocado en una estructura no es exactamente igual a la resistencia del mismo hormigón en una probeta de control. Efecto de la variabilidad de las tensiones de contracción o las tensiones residuales – La variabilidad de las tensiones residuales debidas a la contracción puede afectar la carga de fisuración de un elemento, y es significativa si la fisuración constituye el estado límite crítico. De manera similar, en las columnas, la transferencia de carga de compresión del hormigón al acero provocada por la fluencia lenta y contracción puede llevar a la fluencia prematura de la armadura y, en las columnas esbeltas con bajas cuantías de armadura, la posibilidad de fallas por inestabilidad.

Las dimensiones de los elementos pueden diferir de las supuestas, ya sea por errores constructivos o de fabricación. Los siguientes factores son significativos: • •

Las tolerancias de fabricación y laminación de las barras de armadura. Los errores geométricos en la sección transversal y los errores en la colocación de las armaduras.

c.

Las hipótesis y simplificaciones usadas en las ecuaciones de diseño – tales como el uso del bloque rectangular de tensiones y una máxima deformación utilizable del hormigón igual a 0,003 – introducen tanto errores sistemáticos como errores accidentales.

d.

El uso de tamaños de barra discretos produce variaciones en la capacidad real de los elementos.

2. Los factores de carga se requieren para considerar los posibles excesos de carga ya que: a.

Las magnitudes de las cargas pueden diferir de las supuestas. Las cargas permanentes pueden variar por: • • •

Las variaciones del tamaño de los elementos. Las variaciones de la densidad de los materiales. Las modificaciones estructurales y no estructurales.

Las sobrecargas varían considerablemente en función del tiempo y del edificio del cual se trate. b.

Existen incertidumbres en el cálculo de las solicitaciones – Las suposiciones de las rigideces, longitudes de tramo, etc., y las incertidumbres involucradas en el modelado de las estructuras tridimensionales hacen que haya diferencias entre las tensiones que realmente ocurren en una construcción y aquellas estimadas en el análisis del diseñador.

3. También se requiere reducir la resistencia y mayorar las cargas para reflejar el hecho de que las consecuencias de una falla pueden ser graves. Se deberían considerar diferentes factores: a. b. c. d.

El tipo de falla, la presencia de señales que permitan anticipar la ocurrencia de una falla, y la existencia de recorridos de carga alternativos. Las potenciales pérdidas de vidas humanas. Los costos sociales, en términos de tiempo, lucro cesante, o pérdidas materiales o de vidas humanas indirectas, provocadas por la falla. La importancia del elemento estructural dentro de la estructura.

5-6

e.

El costo de reemplazo de la estructura.

Como antecedente de los valores numéricos de los factores de carga y factores de reducción de la resistencia especificados en el código, vale la pena reproducir el siguiente párrafo de la Ref. 5-2: "Los requisitos de diseño … de ACI … se basan en la hipótesis de que si la probabilidad de que haya elementos de menor resistencia que la supuesta es de aproximadamente 1 en 100, y la probabilidad de que haya exceso de carga es de aproximadamente 1 en 1000, la probabilidad de que haya elementos con menor resistencia que la supuesta sujetos a exceso de carga es de aproximadamente 1 en 100.000. Los factores de carga fueron desarrollados para lograr esta probabilidad. Se calcularon las resistencias de varias secciones típicas en base a valores de resistencia del hormigón y del acero correspondientes a una probabilidad de menor resistencia de 1 en 100. La relación entre la resistencia basada en estos valores y la resistencia basada en las resistencias nominales de varias secciones típicas se ajustó arbitrariamente de manera de considerar las consecuencias de la falla y del modo de falla, y del modo de falla de un tipo particular de elemento, y para otras fuentes que pueden hacer variar la resistencia." Un Apéndice de la Ref. 5.2 recorre la historia del desarrollo de los actuales factores de carga y reducción de la resistencia de ACI.

9.1.2

Requisitos de Comportamiento en Servicio

Los requisitos que permiten lograr una resistencia adecuada no necesariamente garantizan el comportamiento aceptable del elemento bajo niveles de carga de servicio. No siempre es posible separar claramente los requisitos de resistencia de los requisitos de comportamiento en servicio. Para acciones diferentes de la flexión, la intención de los requisitos de detallado juntamente con los requisitos de resistencia es asegurar un comportamiento adecuado bajo cargas de servicio. Para las solicitaciones de flexión, hay requisitos especiales de comportamiento en servicio relacionados con las flechas, distribución de la armadura, y tensiones admisibles en el caso del hormigón pretensado. Es particularmente importante considerar las fechas bajo cargas de servicio, en vista del uso generalizado de los materiales de alta resistencia y métodos de diseño menos conservadores que permiten obtener elementos de hormigón armado cada vez más esbeltos.

9.1.3

Apéndice C

Los factores de carga y factores de reducción de la resistencia usados en el código de 1999 y anteriores ahora se han colocado en el Apéndice C. De acuerdo con 9.1.3, el uso del Apéndice C está permitido. Sin embargo, no está permitido combinar los factores de carga del Capítulo 9 con los factores de reducción de la resistencia del Apéndice C.

9.2

RESISTENCIA REQUERIDA

Como ya se mencionó anteriormente, la resistencia requerida U se expresa en términos de cargas mayoradas, o de los momentos y fuerzas internas correspondientes. Las cargas mayoradas son las cargas de nivel de servicio especificadas en el código general de construcción, multiplicadas por los factores de carga apropiados indicados en 9.2. Es importante reconocer que las fuerzas sísmicas calculadas de acuerdo con las últimas ediciones de los códigos de construcción modelo vigentes en Estados Unidos son fuerzas de nivel de resistencia. Específicamente, las fuerzas sísmicas calculadas según las ediciones de 1993 y posteriores del BOCA National Building Code, las ediciones de 1994 y posteriores del Standard Building Code, y la edición 1997 del Uniform Building Code, son fuerzas de nivel de resistencia. Además, el International Building Code (IBC 2000) desarrollado por el International Code Council contiene requisitos sísmicos que corresponden a fuerzas de nivel de resistencia. Este desarrollo ha aumentado la confusión existente dentro del ámbito de la ingeniería estructural, ya que al diseñar el hormigón se deben usar algunas combinaciones de cargas de ACI 318 y otras del código de construcción vigente. Para ayudarle al calculista a comprender las diferentes combinaciones de cargas y su correcta aplicación al diseño de elementos estructurales de hormigón gobernados por uno de estos códigos, la PCA recientemente publicó un nuevo documento. Este documento, Strength Design Load Combinations for Concrete Elements,5.3 contiene antecedentes sobre el uso de las

5-7

combinaciones de cargas mayoradas de ACI 318. Además, cita las combinaciones de cargas de la mayoría de los códigos modelo vigentes, incluyendo el IBC, que se deben usar para el diseño sísmico. La Sección 9.2 prescribe factores de carga para combinaciones de cargas específicas. A continuación se listan estas combinaciones. El valor numérico del factor de carga asignado a cada tipo de carga depende del grado de precisión con la cual normalmente se pueden evaluar las cargas, la variabilidad de las cargas anticipada durante la vida de servicio de la estructura, y la probabilidad de ocurrencia simultánea de los diferentes tipos de cargas. Por lo tanto, debido a que generalmente se puede determinar con mayor precisión y tiende a ser menos variable, a la carga permanente se le asigna un factor de carga menor (1,2) que el asignado a la sobrecarga (1,6). También al peso y la presión de fluidos de densidades bien definidas y alturas máximas controlables se les asigna un factor de carga reducido igual a 1,2 ya que en este caso la probabilidad de exceso de carga es menor. Para las presiones laterales del suelo y las presiones del agua subterránea se requiere un factor de carga mayor (1,6), ya que su magnitud y recurrencia están sujetas a un elevado grado de incertidumbre. Observar que, aunque se incluyen la mayoría de las combinaciones de cargas más habituales, no se debe asumir que esta lista abarca todos los casos posibles. La Sección 9.2 contiene las siguientes combinaciones de cargas: U = 1, 4(D + F)

Ec. (9-1)

U = 1, 2 (D + F + T) + 1, 6 ( L + H ) + 0,5 ( L R ó S ó R )

Ec. (9-2)

U = 1, 2D + 1, 6 ( L r ó Só R ) + (1, 0L ó 0,8W )

Ec. (9-3)

U = 1, 2D + 1, 6W + 1, 0L + 0,5L ( L r ó S ó R )

Ec. (9-4)

U = 1, 2D + 1, 0E + 1, 0L + 0, 2S

Ec. (9-5)

U = 0,9D + 1, 6W + 1, 6H

Ec. (9-6)

U = 0,9D + 1, 0E + 1, 6H

Ec. (9-7)

donde: D = E = F =

cargas permanentes, o las solicitaciones correspondientes efectos de carga de las fuerzas sísmicas, o las solicitaciones correspondientes cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas máximas controlables, o las solicitaciones correspondientes H = cargas debidas al peso y presión lateral del suelo, del agua en el suelo, u otros materiales, o las solicitaciones correspondientes L = sobrecargas, o las solicitaciones correspondientes Lr = sobrecargas en las cubiertas, o las solicitaciones correspondientes R = cargas provenientes de la lluvia, o las solicitaciones correspondientes S = carga de nieve, o las solicitaciones correspondientes T = efectos acumulativos de la contracción o expansión resultante de las variaciones de temperatura, la fluencia lenta, la contracción y el hormigón de contracción compensada U = resistencia requerida para resistir las cargas mayoradas o las solicitaciones correspondientes W = carga de viento, o las solicitaciones correspondientes

Observar que en las Ecuaciones (9-1) a (9-7) también se debe investigar el efecto de una o más cargas actuando simultáneamente. Las excepciones a las combinaciones de cargas son las siguientes: 1. El factor de carga para L en las Ec. (9-3), (9-4) y (9-5) se podrá reducir a 0,5 excepto en el caso de garajes, zonas ocupadas por áreas destinadas a actividades públicas y todas aquellas áreas donde la sobrecarga L sea mayor que 100 lb/ft2. 5-8

2. Cuando la carga de viento W no ha sido reducida por un factor de direccionalidad, se permite utilizar 1,3W en lugar de 1,6W en las Ecuaciones (9-4) y (9-6). Observar que la ecuación para carga de viento en ASCE 7-98 e IBC 2000 incluyen un factor de direccionalidad del viento que para los edificios es igual a 0,85. El factor de carga para viento en las ecuaciones de las combinaciones de cargas fue aumentado de manera consecuente (1,3/0,85 = 1,53 redondeado a 1,6). El código permite usar el factor de carga anterior de 1,3 si la carga de viento de diseño se obtiene de otras fuentes que no incluyen el factor de direccionalidad del viento. 3. Cuando la carga sísmica E se basa en fuerzas sísmicas de nivel de servicio, en las Ecuaciones (9-5) y (9-7) se deberá usar 1,4E en lugar de 1,0E. 4. En las Ecuaciones (9-6) y (9-7) el factor de carga para H se debe fijar igual a cero si la acción estructural debida a H contrarresta la acción debida a W o a E. Cuando la presión lateral del suelo contribuye a resistir las acciones estructurales debidas a otras fuerzas, no es necesario incluirla en H pero sí es necesario incluirla en la resistencia de diseño. Otras consideraciones referidas a las combinaciones de carga: 1. Si en el diseño se considera la resistencia a los efectos de impacto, éstos se deberán incluir con la sobrecarga (9.2.2). 2. Las estimaciones de los asentamientos diferenciales, la fluencia lenta, la contracción, la expansión del hormigón de contracción compensada, y los cambios por temperatura se deberán basar en una evaluación realista de la ocurrencia de estos efectos mientras la estructura está en servicio (9.2.3). 3. Para las estructuras ubicadas en zonas inundables, se deberán usar la carga de inundación y las combinaciones de cargas de ASCE 7 (9.2.4). 4. Para el diseño de la zona de anclaje de los elementos postesados se deberá aplicar un factor de carga igual a 1,2 a la máxima fuerza del gato usado para tesar el acero (9.2.5). Como se puede ver, las combinaciones de cargas son ahora más complejas que en las ediciones anteriores del código ACI. Para muchos elementos, las cargas a considerar son el preso propio, las sobrecargas, las cargas de viento y las cargas sísmicas. Una simplificación conservadora consiste en incluir la sobrecarga en las cubiertas Lr junto con la sobrecarga L, y aplicar en las ecuaciones el factor de carga más elevado correspondiente a L ó Lr. Cuando no se consideran las cargas F, H, R, S y T, las siete ecuaciones se simplifican, obteniéndose las ecuaciones indicadas a continuación en la Tabla 5-1. 5-1 – Resistencia requerida para las combinaciones de cargas simplificadas Cargas Carga permanente (D) y sobrecarga (L) Carga permanente, Sobrecarga y Viento (W)

Carga permanente, Sobrecarga y Carga sísmica (E)

Resistencia requerida 1,4D 1,2D + 1,6L 1,2D + 1,6L + 0,8W 1,2D + 1,0L + 1,6W 0,9D + 1,6W 1,2D + 1,0L + 1,0E 0,9D + 1,0E

Ec. No. 9-1 9-2 9-3 9-4 9-6 9-5 9-7

Si se consideran cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas), un diseñador que utiliza los coeficientes de momento del código (coeficientes iguales para carga permanente y sobrecarga – 8.3.3) tiene tres opciones: (1) multiplicar las cargas por los factores de carga correspondientes, sumarlas para obtener la carga total mayorada y luego calcular las fuerzas y momentos debidos a la carga total, (2) calcular los efectos de la carga permanente mayorada y la sobrecarga mayorada de forma separada y luego superponer ambos efectos, o bien (3) calcular los efectos de la carga permanente no mayorada y la sobrecarga no mayorada de forma separada, multiplicar los efectos por los factores de carga correspondientes y finalmente superponerlos. De acuerdo con el principio de superposición, con todos estos procedimientos se obtendrá el mismo resultado. Los diseñadores que realizan un análisis más detallado usando coeficientes diferentes para las cargas permanentes y para las sobrecargas no tienen la opción (1). Si se consideran tanto cargas gravitatorias como cargas laterales, es obvio que las solicitaciones (debidas a cargas mayoradas o no mayoradas) se deberán calcular por separado antes de poder realizar cualquier superposición. Al determinar la resistencia requerida para las diferentes combinaciones de cargas se deben considerar adecuadamente los signos (positivo o negativo), ya que un determinado tipo de carga puede producir efectos que se suman o contrarrestan los

5-9

efectos de otro tipo de carga diferente. Aún cuando las Ec. (9-6) y (9-7) tienen un signo positivo delante de las cargas de viento (W) o la carga sísmica (E), estas combinaciones se deben usar cuando las fuerzas o efectos de las cargas sísmicas o de viento se oponen a las cargas permanentes. Cuando los efectos de las cargas gravitatorias y las cargas de viento (W) o sísmicas (E) son aditivas se deben usar las Ec. (9-4), (9-5) y (9-6). Para determinar la combinación de diseño más crítica se deben considerar adecuadamente las diferentes combinaciones de cargas. Esto es particularmente importante cuando la resistencia depende de más de un efecto de carga, como en el caso de la resistencia a flexión y carga axial combinadas o la resistencia al corte de elementos que soportan carga axial.

9.3

RESISTENCIA DE DISEÑO

9.3.1

Resistencia Nominal vs. Resistencia de Diseño

La resistencia de diseño proporcionada por un elemento estructural, sus uniones con otros elementos y su sección transversal, en términos de flexión, carga axial, corte y torsión, es igual a la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos e hipótesis estipulados en el código, multiplicada por un factor de reducción de la resistencia φ, que es menor que la unidad. Las reglas para el cálculo de la resistencia nominal generalmente se basan en los estados límites elegidos de forma conservadora para tensión, deformación, fisuración o aplastamiento, y concuerdan con datos experimentales para cada tipo de acción estructural. Sólo revisando los antecedentes de los requisitos del código es posible comprender cabalmente todos los aspectos de las resistencias calculadas para las diferentes acciones.

9.3.2

Factores de reducción de la resistencia

En la Tabla 5-2 se listan los factores φ prescriptos en 9.3.2 para el hormigón estructural. Las razones para utilizar factores de reducción de la resistencia ya han sido discutidas en secciones anteriores. Observar que paras las secciones controladas por compresión se utiliza un factor φ menor que el utilizado para las secciones controladas por tracción. Esto se debe a que por lo general las columnas poseen menos ductilidad y son más sensibles a las variaciones de la resistencia del hormigón. Además, las consecuencias de la falla de una columna habitualmente son más severas que las de la falla de una viga. Por último, a las columnas zunchadas se les asigna un factor f mayor que a las columnas con estribos ya que las primeras tienen mayor tenacidad y ductilidad. Tabla 5-2 – Factores de reducción de la resistencia φ para el Método de Diseño por Resistencia Secciones controladas por tracción Secciones controladas por compresión Elementos con armadura en espiral que satisface lo especificado en 10.9.3 Otros elementos armados Corte y torsión Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje de postesado) Zonas de anclaje de postesado Modelos de bielas (Apéndice A)

0,90 0,70 0,65 0,75 0,65 0,85 0,75

Las definiciones correspondientes a secciones controladas por compresión y secciones controladas por tracción se indican en 10.3.3. Ver la Parte 7 para una discusión más detallada. El código permite que el valor de φ se incremente linealmente desde el valor dado para las secciones controladas por tracción hasta el valor dado para las secciones controladas por compresión. Para aquellas secciones en las cuales la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado, para la resistencia nominal, está comprendida entre los límites establecidos para secciones controladas por compresión y por tracción, se permite incrementar φ linealmente desde el valor correspondiente a secciones controladas por compresión hasta 0,90 a medida que la deformación neta de tracción en el

5 - 10

acero más traccionado, para la resistencia nominal, se incrementa desde el límite para secciones controladas por compresión hasta 0,005. Esto se ilustra en la Figura 5-2. φ = 0,57 + 67εt 0,90

φ

0,70 0,65

Espiral

φ = 0,48 + 83εt Otra Controlada por compresión

Transición

Controlada por tracción

ε t = 0, 002

ε t = 0, 005

c = 0, 600 dt

c = 0,375 dt

Interpolación en función de c/dt: Espiral: φ = 0,37 + 0,20 / (c/dt) Otras armaduras: φ = 0,23 + 0,25 / (c/dt) Figura 5-2 – Variación de φ en función de la deformación neta por tracción, εt, y de la relación c/dt para armaduras de acero Grado 60 y para acero de pretensado

Para los elementos solicitados a flexión y carga axial, las resistencias de diseño se determinan multiplicando tanto Pn como Mn por el único valor de φ apropiado.

9.3.3

Longitudes de desarrollo de la armadura

Las longitudes de desarrollo de la armadura, según se especifica en el Capítulo 12, no requieren la aplicación de un factor de reducción de la resistencia. De manera similar, no se requieren factores φ para las longitudes de empalme, ya que éstas se expresan como múltiplos de las longitudes de desarrollo.

9.3.4

Hormigón estructural simple

Esta sección se introdujo en el código de 1995, y especifica que para la flexión, compresión, corte y aplastamiento del hormigón simple se debe utilizar el factor de reducción de la resistencia φ = 0,65. Esto se debe a que tanto la resistencia a la tracción por flexión como la resistencia al corte del hormigón simple dependen de las características de resistencia a la tracción del hormigón que, en ausencia de armaduras, no posee reservas de resistencia ni de ductilidad.

9.4

RESISTENCIA DE DISEÑO DE LA ARMADURA

Para la tensión de fluencia del acero de la armadura se establece un límite superior de 80.000 psi, excepto para el acero de los tendones de pretensado. No se recomienda utilizar aceros de más de 80.000 psi, ya que la deformación específica de fluencia del acero de 80.000 psi es aproximadamente igual a la máxima deformación utilizable del hormigón en compresión. Actualmente no existe ninguna especificación ASTM para la armadura Grado 80. Sin embargo, la norma ASTM A615 incluye las barras conformadas No. 11, No. 14 y No. 18 con una tensión de fluencia de 75.000 psi (Grado 75). De acuerdo con 3.5.3.2, el uso de barras de armadura con una tensión de fluencia especificada fy mayor que 60.000 psi requiere que fy sea la tensión correspondiente a una deformación específica de 0,35 por ciento. La norma ASTM A615 para barras de acero Grado 75 incluye el mismo requisito. El requisito de la deformación específica del 0,35 por ciento también se aplica a las mallas soldadas de alambres de una tensión de fluencia especificada mayor que 60.000 psi. También existen

5 - 11

alambres de mayor tensión de fluencia, y en el diseño se puede usar un valor de fy mayor que 60.000 psi siempre que se certifique que se satisface la deformación específica del 0,35 por ciento. Otras secciones del código también contienen limitaciones sobre la tensión de fluencia de la armadura: 1. Secciones 11.5.2, 11.6.3.4 y 11.7.6: La máxima fy que se puede usar en el diseño para corte, combinación de corte y torsión, y corte por fricción es 60.000 psi, excepto que se puede usar fy de hasta 80.000 psi sólo para armadura de corte consistente en malla de alambre conformado soldada que satisface los requisitos de ASTM A497. 2. Secciones 19.3.2 y 21.2.5: La máxima fy especificada para cáscaras, placas plegadas y estructuras gobernadas por los requisitos sísmicos especiales del Capítulo 21 es de 60.000 psi. Además, los requisitos sobre flechas de 9.5 y las limitaciones para la distribución de la armadura de flexión de 10.6 se volverán cada vez más críticos a medida que aumenta fy.

REFERENCIAS 5.1

Mast, R. F., "Unified Design Provisions for Reinforced and Prestressed Concrete Flexural and Compression Members," ACI Structural Journal, Vol. 89, No. 2, Marzo-Abril 1992, pp. 185-199.

5.2

MacGregor, J. G., "Safety and Limit States Design for Reinforced Concrete," Canadian Journal of Civil Engineering, Vol. 3, No. 4, Diciembre 1976, pp. 484-513.

5.3

Strength Design Load Combinations for Concrete Elements, Publicación IS521, Portland Cement Association, Skokie, Illinois, 1998.

5 - 12

6 Principios Generales del Diseño por Resistencia

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Los Requisitos de Diseño Unificado, anteriormente incluidos en el Apéndice B, ahora se han incorporado al cuerpo principal del código. Estos requisitos utilizan la máxima deformación específica de tracción como una medida del comportamiento de la sección transversal de un elemento. Anteriormente como medida del comportamiento se usaba el porcentaje de armadura balanceada ρb.

CONSIDERACIONES GENERALES Históricamente, el método de la resistencia última fue el primer método usado para el diseño, debido a que la carga última se podía medir directamente mediante ensayos sin conocer la magnitud ni la distribución de las tensiones internas. A partir de principios de siglo se realizaron ensayos e investigaciones analíticas con el objetivo de desarrollar teorías de diseño basadas en la resistencia última con las cuales se pudiera predecir la carga última medida en los ensayos. En la Figura 6-1 se ilustran algunas de las primeras teorías que surgieron como resultado de estos ensayos e investigaciones. Tanto el hormigón estructural como el acero de las armaduras se comportan inelásticamente a medida que se acercan a la resistencia última. En las teorías que tratan la resistencia última del hormigón armado, se debe considerar el comportamiento elástico de ambos materiales y se los debe expresar en términos matemáticos. Para los aceros que tienen un punto de fluencia bien definido, el comportamiento inelástico se puede expresar como una relación tensión-deformación bilineal (Fig. 6-2). Para el hormigón es más difícil medir experimentalmente la distribución inelástica de las tensiones y de expresarla en términos matemáticos. Los estudios realizados para determinar la distribución de tensiones en el hormigón dieron por resultado diferentes distribuciones de tensiones propuestas, como se ilustra en la Figura 6-1. El desarrollo de los actuales procedimientos de diseño por resistencia tiene su base en estos primeros estudios experimentales y analíticos. La resistencia última del hormigón armado que se utiliza en las especificaciones de diseño estadounidenses se basa fundamentalmente en las teorías de 1912 y 1932 (Fig. 6-1).

INTRODUCCIÓN A LOS REQUISITOS DE DISEÑO UNIFICADO Los Requisitos de Diseño Unificado, que ahora se encuentran en el cuerpo principal del código, no modifican las resistencias nominales. La resistencia nominal de una sección sigue siendo igual a la que se usaba en los cálculos anteriores. Sin embargo,

los Requisitos de Diseño Unificado alteran el cálculo de las resistencias de diseño, las cuales se obtienen reduciendo las resistencias nominales mediante la aplicación del factor de reducción φ. Las siguientes definiciones se relacionan con los Requisitos de Diseño Unificado, y fueron tomadas del Capítulo 2 del código. En esta sección se da una breve explicación de estas definiciones; las secciones relevantes del código contienen una discusión más detallada. 1.

Deformación específica neta de tracción: Deformación específica de tracción cuando la solicitación alcanza la resistencia nominal, excluyendo las deformaciones específicas debidas al pretensado efectivo, la fluencia lenta, la contracción y la temperatura. La frase "cuando la solicitación alcanza la resistencia nominal" significa en el momento que el hormigón llega al límite de deformación específica supuesto de 0,003 (10.2.3). La "deformación específica neta de tracción" es la deformación provocada por los momentos flectores y las cargas axiales, excluyendo la deformación provocada por el pretensado y los cambios volumétricos. La deformación específica neta de tracción es la que normalmente se calcula en los cálculos de la resistencia nominal.

2.

Acero más traccionado: Armadura (pretensada o no pretensada) más alejada de la fibra comprimida extrema. El símbolo dt se usa para representar la profundidad entre la fibra comprimida extrema y el acero más traccionado. La deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado es simplemente la máxima deformación específica de tracción debida a las cargas externas.

3.

Valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión: Deformación específica neta de tracción bajo condiciones de deformación específica balanceada; ver 10.3.2. La definición de condiciones de deformación balanceada de 10.3.2 no ha cambiado respecto de ediciones anteriores del código. Sin embargo, 10.3.3 permite tomar el valor límite de deformación específica para secciones controladas por compresión para la armadura Grado 60 y para la armadura pretensada igual a 0,002.

4.

Sección controlada por compresión: Sección transversal en la cual la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado para la resistencia nominal es menor o igual que el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión. Para las secciones controladas por compresión, el artículo 9.3.2.2 establece un factor de reducción de la resistencia φ igual a 0,65 ó 0,7.

5.

Sección controlada por tracción: Sección transversal en la cual la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado para la resistencia nominal es mayor o igual que 0,005. Para las secciones controladas por tracción, el artículo 9.3.2.1 establece un factor de reducción de la resistencia φ igual a 0,9. Sin embargo, ediciones anteriores del código permitían usar un φ igual a 0,9 para los elementos solicitados a flexión con cuantías iguales a 0,75 por la cuantía de armadura balanceada ρb. Para las secciones rectangulares, la correspondiente deformación específica neta de tracción εt es igual a 0,00376. Usando los nuevos factores de carga reducidos, sólo se permite usar un φ de 0,9 para secciones menos armadas en las cuales εt ≥ 0,005.

El uso de estas definiciones se describe en los artículos 8.4, 9.2, 10.3 y 18.8.

10.2

HIPÓTESIS DE DISEÑO

10.2.1

Equilibrio de las fuerzas y compatibilidad de las deformaciones

El cálculo de la resistencia de un elemento o de una sección transversal mediante el Método de Diseño por Resistencia exige que se satisfagan dos condiciones básicas: (1) equilibrio estático y (2) compatibilidad de las deformaciones. La primera condición exige que las fuerzas de compresión y tracción que actúan en la sección transversal para la resistencia "última" estén en equilibrio, mientras que la segunda condición exige que también se satisfaga la compatibilidad entre las deformaciones del hormigón y de la armadura bajo condiciones "últimas" dentro de las hipótesis de diseño permitidas por el código (ver 10.2). El término "último" es muy utilizado en relación con el Método de Diseño por Resistencia. Pero es necesario tener en cuenta que la resistencia "nominal" calculada de acuerdo con los requisitos del código puede no necesariamente ser el valor último

6-2

real. Dentro de las hipótesis de diseño permitidas, se desprecian algunas de las propiedades de los materiales y se establecen otros límites conservadores para utilizar en el diseño práctico. Esto contribuye a la posibilidad de que la "resistencia última" sea menor que la obtenida mediante ensayos. La resistencia nominal calculada se debería considerar exclusivamente como una resistencia definida por el código. En consecuencia, al definir la resistencia calculada de un elemento no se utiliza el término "último," sino que se usa el término "nominal." f''c

fc

f c /E c

cbf c

c

c

cbf'c

(1899) f'c

f''c =0,8f'cπ

5 8

Elipse

d

Falla por tracción

(1914) f'cu

As f s

A sf s

εs = fs/Es

As f y

f'cr Falla por tracción

(1933)

Falla por compresión

εu

f''c c

f''c

d

d

d

c

f'c ab

A sf s

(1933)

εu

f'c

1 2dbf'cu 2 3d

d Hipérbola

(1932) ASCE-ACI

a

1 2cbf'cu

d

c d

d-k 2 c

f'cu

f'cu 3 4d

εu k2c

c

f''c = k3 f'c

εs = fs/Es

4   1 − d 3π  

(1922)

c

εu

π dbf 'cu 4

A s fs Falla por compresión

As fy

A sf s Falla por compresión

A sf y

f''c =0,8f'cu

cbf 'cu

c

4

d

d

d

(1912) ASCE-ACE

Parábola 2 3 dbf'c

cbf'c

d- 35 c

Falla por tracción

As f s

(1904)

c

2 3

d-a/2

f s As

f s /E s

A sf s

f'c

d

d

d

Parábola fs= 2nf'c (d-c)/c

abf''c

a

2 3

d

f'c

Parabola Asf s

εs = fs/Es

A sf s

Asf s

εs = fs/Es

f'ct

f''c = 0,85f'cu dbf'c

cbf''c

εo

Parábola Cúbica A sf s

A sf s Falla por compresión

(1936)

3 4

(1938)

0,94f''c

d

d

d c 3

5 6d

d Falla por tracción

εu

f''c c

5 6

c

d 2

2 3c

f''c = 0,85f'cu

A sf y

(1936)

(1935) PCA

c

(1934)

f''c

Parábola cúbica Onda sinusoidal

A sf s

εs = fs/Es

(1949)

Figura 6-1 – Desarrollo de teorías de resistencia última para flexión 6-3

Tensión, fs

despreciar en el diseño

fy

curva tensión-deformación de diseño

Es 1

εy

Deformación, εy

Figura 6-2 – Relación tensión-deformación para la armadura Además, al discutir el método de diseño por resistencia para las estructuras de hormigón armado, se debe prestar atención a la diferencia entre las cargas sobre la estructura considerada en su totalidad y las solicitaciones en las secciones transversales de los elementos individuales. Primero se usan métodos de análisis elásticos para calcular las solicitaciones de servicio en los elementos individuales debidas a la acción de las cargas de servicio sobre la totalidad de la estructura. Sólo después de este paso se aplican los factores de carga a las solicitaciones de servicio que actúan en las secciones transversales individuales. No se consideran los métodos inelásticos (o límites) de análisis estructural, en los cuales las solicitaciones de diseño sobre los elementos individuales se determinan directamente a partir de las cargas de ensayo últimas que actúan en la totalidad de la estructura. Sin embargo, la Sección 8.4 sí permite una redistribución limitada de los momentos negativos en los elementos continuos. Los requisitos de 8.4 reconocen el comportamiento inelástico de las estructuras de hormigón y constituyen un paso hacia el "diseño en estado límite." Este tema se presenta en la Parte 8. La "resistencia nominal" calculada de un elemento debe satisfacer las hipótesis de diseño dadas en 10.2.

10.2.2

Hipótesis de diseño #1

Las deformaciones específicas en la armadura y en el hormigón se deben suponer directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. En otras palabras, se asume que las secciones planas normales al eje de flexión permanecen planas luego de la flexión. Numerosos ensayos han confirmado que las deformaciones específicas de una sección transversal de hormigón armado responden a una distribución esencialmente lineal en altura, aún cerca de su resistencia última. Para la armadura, esta hipótesis ha sido verificada mediante numerosos ensayos de elementos comprimidos con carga excéntrica y elementos solicitados exclusivamente a flexión. En la Figura 6-3 se ilustran las condiciones de deformación específica supuestas para la resistencia última de una sección rectangular y una sección circular. Tanto la deformación en la armadura como la deformación en el hormigón son directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. Este hipótesis es válida para todo el rango de cargas, desde carga nula hasta la carga última. Como se ilustra en la Figura 6-3, esta hipótesis es de fundamental importancia en el diseño para poder determinar la deformación específica en la armadura (y la correspondiente tensión).

6-4

Cara comprimida

εu

b

ε's

d´ c

A´s

c-d´ eje neutro

d d-c As

εs

Cara traccionada

Deformación ε 's c − d' ε s c − d ; = = c c εu εu

(a) Flexión

εu ε's1 ε's2

A´s

eje neutro

εs2

As

εs1 Deformación (b) Flexión y carga axial

Figura 6-3 – Variación supuesta de la deformación específica

10.2.3

Hipótesis de diseño #2

La máxima deformación utilizable en la fibra comprimida extrema del hormigón se asumirá igual a εu = 0,003. La máxima deformación específica de compresión del hormigón para el aplastamiento del hormigón se ha medido en numerosos ensayos tanto en elementos de hormigón simple como de hormigón armado. Los resultados de ensayos realizados en una serie de modelos de vigas y columnas de hormigón armado, ilustrados en la Figura 6-4, indican que la máxima deformación específica del hormigón varía entre 0,003 y valores de hasta 0,008. Sin embargo, para los casos prácticos la máxima deformación específica es de 0,003 a 0,004; ver las curvas tensión-deformación de la Figura 6-5. Aunque la máxima deformación disminuye a medida que aumenta la resistencia a la compresión del hormigón, el valor 0,003 permitido para el diseño es razonablemente conservador. En algunos países los códigos especifican para el diseño un valor de 0,0035, lo cual representa una diferencia muy pequeña en cuanto a la resistencia calculada de un elemento.

6-5

Deformación última de compresión , εu (in/in)

0,006

0,004

0,002

máximo para el diseño, εcu = 0,003

columnas vigas 0 0

2000

4000

6000

8000

Resistencia a la compresión, f´c (psi)

Figura 6-4 – Máxima deformación específica de compresión del hormigón, εu, obtenida en ensayos de elementos de hormigón armado

10.2.4

Hipótesis de diseño #3

La tensión en la armadura fs por debajo de la tensión de fluencia fy se tomará como Es por la deformación específica del acero εs. Para deformaciones específicas mayores que fy/Es, la tensión en la armadura se considerará independiente de la deformación e igual a fy. En las armaduras conformadas es razonable suponer que, para tensiones por debajo de la tensión de fluencia, la tensión es proporcional a la deformación específica. Para el diseño práctico, en los cálculos de resistencia se desprecia el aumento de la resistencia debido al efecto de endurecimiento por deformación de la armadura; ver la relación tensión-deformación real del acero en la Figura 6-2. La fuerza desarrollada en la armadura de tracción o de compresión es función de la deformación específica en la armadura εs, y se puede calcular de la siguiente manera: cuando

εs ≤ εy (deformación de fluencia): fs = Es εs As fy = As Es εs

cuando

εs ≥ εy: fs = Es εy = fy A s f y = As f y

siendo εs el valor del diagrama de deformación correspondiente a la ubicación de la armadura; ver Figura 6-3. Para el diseño, el módulo de elasticidad del acero de la armadura, Es, se toma como 29.000.000 psi (ver 8.5.2).

10.2.5

Hipótesis de diseño #4

En el diseño de los elementos de hormigón armado solicitados a flexión se deberá despreciar la resistencia a la tracción del hormigón.

6-6

La resistencia a la tracción del hormigón solicitado a flexión, conocida como módulo de rotura, es una propiedad más variable que la resistencia a la compresión, y su valor es de aproximadamente 8% a 12% de la resistencia a la compresión. El valor de diseño generalmente aceptado para el hormigón de peso normal es 7,5 f c' . Esta resistencia a la tracción del hormigón solicitado a flexión se desprecia en el diseño por resistencia. Para los elementos con los porcentajes de armadura habituales, las resistencias calculadas concuerdan con los resultados de ensayo. Para porcentajes de armadura muy pequeños, despreciar la resistencia a la tracción del hormigón resulta una práctica conservadora. Sin embargo, se debe tener en cuenta que la resistencia del hormigón solicitado a tracción es importante desde el punto de vista de la fisuración y las flechas (comportamiento en servicio).

10.2.6

Hipótesis de diseño #5

La relación entre la tensión de compresión en el hormigón y la deformación específica del hormigón se deberá suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que de origen a una predicción de la resistencia que concuerde en forma sustancial con los resultados de ensayos. Esta hipótesis reconoce la distribución inelástica de las tensiones en el hormigón cuando está sujeto a tensiones elevadas. A medida que se va acercando a la tensión máxima, la relación tensión-deformación del hormigón deja de ser lineal (la tensión ya no es proporcional a la deformación). En la Figura 6-5 se ilustra la relación tensión-deformación del hormigón. La forma de las curvas es básicamente función de la resistencia del hormigón, y consiste en una curva que crece desde cero hasta un máximo correspondiente a una deformación específica de compresión de entre 0,0015 y 0,002 seguida de una curva descendente hasta una deformación específica última (que corresponde al aplastamiento del hormigón) que varía entre 0,003 y hasta 0,008. Como ya se mencionó al hablar de la Hipótesis de Diseño #2, el código fija la máxima deformación utilizable del hormigón igual a 0,003 para el diseño. Las curvas muestran que la relación tensión-deformación para el hormigón se vuelve considerablemente no lineal para niveles de tensión mayores que 0,5 f´c.

Tensión de compresión, fc (ksi)

6 5 f´c

=

00 60

i ps

0 500

4000

4

3000

3

2000

2

1000 1 0 0,001

0,002

0,003

0,004

Deformación específica, εc (in/in)

Figura 6-5 – Curvas tensión-deformación típicas para el hormigón En la práctica, la distribución real de las tensiones de compresión en el hormigón es compleja y por lo general desconocida. Sin embargo, investigaciones han demostrado que las propiedades más importantes del hormigón relacionadas con la distribución de las tensiones se pueden aproximar adecuadamente usando una de las diferentes distribuciones de tensiones propuestas (ver Fig. 6-1). Las tres distribuciones de tensiones más comunes son la parabólica, la trapezoidal y la rectangular, y con cualquiera de ellas se obtienen resultados razonables. Para la resistencia última teórica de un elemento solicitado a flexión, la distribución de las tensiones de compresión se debería ajustar en buena medida a la variación real de las tensiones, como se ilustra en la Figura 6-6. En esta figura la tensión máxima se indica como k3f'c, la tensión media como k1k3f'c, y la profundidad desde el baricentro de la distribución parabólica aproximada hasta la fibra comprimida extrema como k2c, siendo c la profundidad del eje neutro.

6-7

k 3f´c

εu

b

k2c C = k1k 3 f´c bc

c d eje neutro

As

T = As fsu

εsu Deformación

Tensión

Figura 6-6 – Condiciones reales de tensión-deformación para resistencia nominal en elementos solicitados a flexión Para las condiciones de tensión en estado último, la resistencia nominal al momento, Mn, se pede calcular aplicando la condición de equilibrio de fuerzas y momentos de la siguiente manera: De la condición de equilibrio de fuerzas (Fig. 6-6): C=T o,

k1 k3 f'c b c = As fsu

de modo que c =

As fsu k1k 3f c' b

De la condición de equilibrio de momentos:  k As fsu  M n = ( C ó T )( d − k 2 c ) = As fsu  d − 2   k1k 3 f c' b  

(1)

Se asume que se llega a la máxima resistencia cuando la deformación específica en la fibra comprimida extrema es igual a la deformación específica de aplastamiento del hormigón, εu. Cuando se produce el aplastamiento, εsu puede ser mayor o menor que la deformación específica de fluencia, εy = fy/Es, dependiendo de la proporción relativa entre la armadura y el hormigón. Si la cantidad de armadura es lo suficientemente baja, la fluencia del acero ocurrirá antes que el aplastamiento del hormigón (condición de falla dúctil). Si hay grandes cantidades de armadura, primero ocurrirá el aplastamiento del hormigón, permitiendo que el acero permanezca elástico (condición de falla frágil). El código contiene requisitos cuya intención es asegurar un modo de falla dúctil, limitando la cantidad de armadura de tracción. Para la condición de falla dúctil, fsu es igual a fy, y la Ecuación (1) se transforma en:  k As f y  M n = As f y  d − 2   k1k 3 f c' b  

(2)

Si se conoce el valor k2/(k1k3), la resistencia al momento se puede calcular directamente con la Ecuación (2). No es necesario conocer los valores k1, k2 y k3 de forma individual. En la Figura 6-7 se indican los valores para los términos combinados, como así también los valores individuales de k1 y k2, establecidos en base a ensayos. Como se observa en la figura, k2/(k1k3) varía entre alrededor de 0,55 y alrededor de 0,63. El cálculo de la resistencia a la flexión en base a la distribución parabólica aproximada de las tensiones de la Figura 6-6 se puede realizar usando la Ecuación (2) con los valores de k2/(k1k3) dados. Sin embargo, para los propósitos del diseño práctico, se recomienda utilizar un método basado en el equilibrio estático.

6-8

Coeficientes de resistencia

1,0

k1

0,5

k2 / k1 k 3 k2

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Resistencia a la compresión, f´c (psi)

Figura 6-7 – Parámetros del bloque de tensiones Para muchos de sus trabajos experimentales y proyectos de investigación, la Asociación del Cemento Pórtland (PCA) adoptó la distribución parabólica ilustrada en la Figura 6-8. Las distribuciones de tensiones "más exactas" como esta se aplican mejor con auxilio de computadoras, y no se recomiendan si los cálculos se han de realizar de forma manual. La mayoría de las publicaciones y software de la PCA relacionados con el diseño del hormigón estructural se basan totalmente en el bloque rectangular de tensiones o bien le permiten al diseñador optar entre el bloque rectangular y el bloque parabólico. εu = 0,003 0,85 f'c

εo =

(

2 0,85 fc'

)

εo

Ec

Ec = 57.000

c

fc'

Ec eje neutro

parabólica

A sfs

εs Deformación 0 < εc < εo

Hormigón   ε : fc = 0,85 fc' 2  c   εo 

1

Variación de la tensión supuesta   εc  −    εo

2

    

Acero εs ≤ ε y : fs = ε s Es

εs > ε y : fs = fy Es = 20.000.000 psi

εc ≥ εo : fc = 0,85 fc'

Figura 6-8 – Relación tensión-deformación adoptada por la PCA

6-9

10.2.7

Hipótesis de diseño #6

Los requisitos de 10.2.6 se pueden considerar satisfechos con una distribución rectangular de tensiones equivalente en el hormigón definida de la siguiente manera: Se asumirá una tensión en el hormigón de 0,85f'c uniformemente distribuida en una zona de compresión equivalente limitada por los bordes de la sección transversal y una recta paralela al eje neutro ubicada a una distancia a = β1c a partir de la fibra con máxima deformación específica de compresión. La distancia c entre la fibra con máxima deformación específica de compresión y el eje neutro se deberá medir en dirección perpendicular a dicho eje. El factor β1 se deberá tomar igual a 0,85 para resistencias f'c de hasta 4000 psi y se deberá disminuir de forma progresiva en 0,05 por cada 1000 psi de resistencia en exceso de 4000 psi, pero β1 no se deberá tomar menor que 0,65. El código permite usar una distribución o bloque rectangular de tensiones de compresión en reemplazo de las otras distribuciones de tensiones más exactas indicadas en la Figura 6-6 (o en la Figura 6-8). El bloque rectangular de tensiones equivalente, ilustrado en la Figura 6-9, supone una tensión uniforme de 0,85f'c en una profundidad a = β1c, determinada de manera que a/2 = k2c. La constante β1 es igual a 0,85 para el hormigón con f'c ≤ 4000 y se reduce en 0,05 por cada 1000 psi de f'c en exceso de 4000 psi. Para los hormigones de alta resistencia, con resistencias superiores a 8000 psi, se fija un límite inferior de β1 = 0,65. En la Figura 6-10 se ilustra la variación de β1 en función de la resistencia del hormigón, f'c. El factor β1 es necesario para reflejar la variación de la geometría de la curva tensión-deformación para diferentes resistencias del hormigón, como se ilustra en la Figura 6-5. Para resistencias del hormigón de hasta 4000 psi, la geometría y el baricentro del diagrama real de tensiones en el hormigón se puede aproximar de forma razonable mediante un bloque rectangular de tensiones que tenga una tensión uniforme de 0,85f'c y una profundidad igual a 0,85 por la profundidad al eje neutro. Es decir, con β1 = 0,85. Los hormigones de resistencia más elevada presentan una geometría más lineal, con menos comportamiento inelástico. Para lograr una buena aproximación del bloque de tensiones para hormigones con resistencias superiores a 4000 psi, se debe reducir la relación β1 entre la profundidad del bloque rectangular de tensiones y la profundidad del eje neutro. Por este motivo el código de 1963 establecía que "β1 se deberá reducir continuamente en 0,05 por cada 1000 psi de resistencia en exceso de 4000 psi." Con el tiempo, y a medida que se comenzaron a utilizar hormigones con resistencias más elevadas, se hizo evidente que esta reducción de β1 no podía continuar de forma indefinida. Por ejemplo, para un hormigón de 17.000 psi, β1 sería igual a cero. Para los hormigones de resistencia muy elevada el bloque de tensiones se aproxima a una forma triangular. La mejor aproximación de este diagrama de tensiones casi triangular se logra con β1 = 0,65. Por lo tanto, en el código de 1977 y en todas las ediciones posteriores se fijó β1 = 0,65 para resistencias del hormigón mayores o iguales que 8000 psi. Usando la distribución rectangular de tensiones equivalente (Fig. 6-9) y asumiendo que la armadura entra en fluencia antes del aplastamiento del hormigón (εs > εy), la resistencia nominal al momento Mn se puede calcular en base a la condición de equilibrio de fuerzas y momentos. De la condición de equilibrio de fuerzas: C=T o,

0,85f'cba = Asfy

de modo que a =

As f y 0,85f c' b

De la condición de equilibrio de momentos: a a   M n = ( C ó T )  d −  = As f y  d −  2 2  

Reemplazando a de la condición de equilibrio de fuerzas, 6 - 10

 As f y  M n = As f y  d − 0,59   f 'c b  

(3)

εU = 0,003

b

0,85 f'c

a/2

d

C = 0,85 f'cba

a = β1c

c

eje neutro

As

T = Asfy εs > εy Bloque rectangular de tensiones equivalente

Deformación

Figura 6-9 – Distribución rectangular equivalente de las tensiones en el hormigón (ACI)

0,85

β1

0,65

a = β1c

c

T

0

4000

8000

Resistencia a la compresión, f'c (psi)

Figura 6-10 – Factor de resistencia β1

6 - 11

12000

Observar que el valor 0,59 corresponde a k2/(k1k3) de la Ecuación (2). Reemplazando As = ρbd, la Ecuación (3) se puede escribir de la siguiente manera adimensional: Si ω = ρ

Mn bd 2 f c´

fy f c´

fy  fy  1 − 0,59 ρ ´  ´   fc  f c  = ω (1 − 0,59 ω )

=ρ

(4)

Como se ilustra en la Figura 6-11, la Ecuación (4) "concuerda sustancialmente con los resultados de ensayos exhaustivos." Sin embargo, se debe tener en cuenta que el bloque rectangular de tensiones no representa la distribución real de las tensiones en la zona de compresión en condiciones últimas, sino que permite obtener esencialmente los mismos resultados que los obtenidos en ensayos. En el Ejemplo 6.1 se ilustra el cálculo de la resistencia al momento usando la distribución rectangular de tensiones y la condición de equilibrio estático. 0,35 0,30

fy Mn =ρ bd2 f 'c f 'c

fy   1 − 0,59ρ f 'c 

  

0,25

Mn bd2 fc'

0,20 0,15 0,10 0,05 0 0,05

0,10

0,15

0,20

ρ

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

fy fc'

Figura 6-11 – Ensayos de 364 vigas controladas por tracción (εs > εy),

10.3

PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES

10.3.1

Resistencia nominal a la flexión

La resistencia nominal de un elemento o una sección transversal solicitados a flexión (o a una combinación de flexión y carga axial) se debe basar en las condiciones de equilibrio y compatibilidad de las deformaciones usando las hipótesis de diseño de 10.2. La resistencia nominal de una sección transversal, cualquiera sea su geometría y la cantidad de armadura que contiene, se calcula aplicando las condiciones de equilibrio y compatibilidad de las deformaciones de manera similar a la usada para desarrollar la resistencia nominal al momento para la sección rectangular que sólo tiene armadura de tracción, como se ilustra en la Figura 6-9. Usando la distribución rectangular de tensiones equivalente, a continuación se resumen las expresiones para la resistencia nominal al momento de secciones rectangulares y con alas (secciones típicas muy utilizadas en las construcciones de hormigón): 6 - 12

a. Sección rectangular que sólo tiene armadura de tracción (ver Fig. 6-9): Las expresiones ya fueron presentadas en la sección correspondiente a la Hipótesis de Diseño #6 (10.2.7). b. Secciones con alas que sólo tienen armadura de tracción: Cuando el espesor del ala comprimida es mayor o igual que la profundidad del bloque de tensiones rectangular equivalente, a, la resistencia al momento Mn se calcula usando la Ecuación (3), como para una sección rectangular cuyo ancho es igual al ancho de ala. Si el espesor del ala comprimida hf es menor que a, la resistencia nominal al momento Mn es (ver Fig. 6-12):

εcu

b hf

0,85 f'c hf/2 C2 C1

a

c d

= As T =Asf y

εs bw

b-b w 2

0,85 f'c

b-b w 2

0,85 f'c C2

C1

+ d-a 2

f d-h 2

A sf

(As- A sf) T1 =(A s - A sf)f y

T2 =Asf f y

bw

Figura 6-12 – Deformación específica y distribución de tensiones equivalentes para una sección con alas

h  a   M n = ( As − Asf ) f y  d −  + Asf f y  d − f  2 2   

(5)

donde Asf = área de armadura requerida para equilibrar la resistencia a la compresión de las alas que sobresalen = 0,85 f'c (b – bw) hf / fy a = (As – Asf) fy / 0,85 f'c bw

6 - 13

b = ancho de ala efectivo (ver 8.10) bw = ancho del alma hf = espesor del ala c. Sección rectangular con armadura de compresión: Para una sección con armadura de tracción y de compresión A's hay dos situaciones posibles (ver Fig. 6-13): i. La armadura de compresión A's llega a la fluencia: f's = fy a=

(A

s

)

− A 's f y

(6)

0,85 f 'c b

εu

b

0,85 f'c

0,85 f'c

ε's

d' A's

c

C's = A'sf's

C's= A'sf's Cc

a = β1c

d

d-a 2

=

Cc

d-a 2

+

d-d´

As T = Asf y

εs

T1 = (A s - A's ) f y

T2 =A'sf y

Figura 6-13 – Deformación específica y distribución de tensiones equivalente para una sección rectangular con armadura de tracción y compresión La resistencia nominal al momento es:

(

)

a  M n = As − A 's f y  d −  + A 's f y ( d − d ' ) 2 

(7)

Observar que A's llega a la fluencia cuando se satisface (para armadura Grado 60 con εy = 0,00207): d´/ c ≤ 0, 31

siendo c =

a β1

ii. La armadura de compresión no llega a la fluencia:  c − d´  fs' = E s εs' = E s ε u   < fy  c 

(8)

La profundidad del eje neutro c se puede determinar usando la siguiente ecuación cuadrática:

6 - 14

c2 −

(A

s

)

f y − 87 A 's c

0,85 β1 f 'c b

−

87 A 's d ' 0,85 β1 f 'c b

=0

en la cual f'c y fy se expresan en kips. La resistencia nominal al momento es: a  M n = 0,85 f 'c a b  d −  + A 's f 's ( d − d´) 2 

(9)

donde a = β1 c

Alternativamente, se puede despreciar la contribución de la armadura de compresión y calcular la resistencia al momento usando la Ecuación (3), como para el caso de una sección rectangular que sólo tiene armadura de tracción. d.

Para otras secciones transversales diferentes, la resistencia nominal al momento Mn se calcula mediante un análisis general basado en las condiciones de equilibrio y compatibilidad de las deformaciones usando las hipótesis de dsieño indicadas en 10.2.

e.

La resistencia nominal a la flexión Mn de la sección transversal de un elemento compuesto formado por hormigón colado in situ y hormigón prefabricado se calcula de forma similar al caso de una sección de hormigón armado regular. Ya que la resistencia "última" no se relaciona con la secuencia de aplicación de las cargas, en los cálculos de resistencia no se diferencia entre elementos apuntalados y elementos no apuntalados.

10.3.2

Condición de deformación balanceada

En una sección transversal existe un condición de deformación balanceada cuando la máxima deformación específica en la fibra comprimida extrema llega a εu = 0,003 en el mismo instante en que se produce la primera deformación de fluencia εs = εy = fy/Es en la armadura de tracción. Esta condición de deformación balanceada se ilustra en la Figura 6-14. b

εu = 0,003 ab = β1cb

0,85 f'c

ab/2 Cb = 0,85 f'c bab

cb

dt

Asb = ρbbd

Tb= A sb fy εs = εy = fy / Es

Figura 6-14 – Condición de deformación balanceada en flexión

La relación entre la profundidad del eje neutro cb y la profundidad extrema dt para producir una condición de deformación balanceada en una sección que sólo tiene armadura de tracción se puede obtener aplicando las condiciones de compatibilidad de las deformaciones. De acuerdo con la Figura 6-14, para la condición de linealidad de las deformaciones:

6 - 15

εu cb = d εu + ε y =

0, 003 0, 003 = 0, 003 + f y / 29.000.000 0, 003 + ε y

Observar que, para el acero Grado 60, 10.3.3 permite redondear la deformación específica del acero εy a un valor de 0,002. Reemplazando en la ecuación anterior, la relación cb / dt = 0,6. Este valor se aplica a todas las secciones armadas con acero Grado 60, no sólo a las secciones rectangulares.

10.3.3

Secciones controladas por compresión

Las secciones son controladas por compresión cuando la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado es menor o igual que el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión justo en el momento que el hormigón solicitado a compresión llega a su valor límite supuesto de 0,003. El valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión es la deformación específica neta por tracción correspondientes a condiciones de deformación balanceada. Para la armadura Grado 60 y para cualquier armadura pretensada, estará permitido fijar el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión igual a 0,002. Observar que cuando se utiliza armadura de diferente grado, el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión no es igual a 0,002. Esto modifica el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión, y por lo tanto varía las ecuaciones "de transición" para el factor de reducción de la resistencia dadas en la Figura 9.2 de la Parte 5.

10.3.4

Secciones controladas por tracción y secciones de transición

Las secciones son controladas por tracción cuando la deformación específica neta de tracción en el acero más traccionado es mayor o igual que 0,005 justo en el momento en que el hormigón comprimido llega al valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión supuesto de 0,003. Las secciones en las cuales la deformación específica neta por tracción en el acero más traccionado está comprendida entre el valor límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión y 0,005 constituyen una región de transición entre las secciones controladas por compresión y aquellas controladas por tracción. La Figura 6-15 ilustra las condiciones de tensión y deformación en el límite correspondiente a secciones controladas por compresión. Este límite es importante ya que es el límite de aplicación de φ = 0,9 (9.3.2.1). Los parámetros críticos en este límite se indican con el subíndice t. En base a la Figura 6-15, por similitud de triángulos: 0,85 f'c

εu = 0,003

b

C t = 0,85 f'c bat

at = β1ct ct = 0,375 dt

dt

T = Ct = As f y εt = 0,005

Figura 6-15 – Deformaciones específicas en el límite para secciones controladas por tracción

6 - 16

c t = 0,375 d t a t = β1 c t = 0,375 β1 d t C t = 0,38 f 'c b a t = 0,319 β1 f 'c b d t T = As f y = Ct

As = 0,319 β1 f 'c b d t / f y ρt = As / ( b d t ) = 0,319 β1 f 'c / f y ωt =

ρt f y

(10)

= 0,319 β1

f 'c

(11)

M nt = ωt (1 − 0,59 ωt ) f 'c b d 2t

R nt =

M nt b d 2t

de la Ec. (4)

= ωt (1 − 0,59 ωt ) f 'c

(12)

En la Tabla 6-1 se indican los valores para ρt, ωt y Rnt. Tabla 6-1 – Parámetros de diseño en el límite de 0,005 correspondiente a secciones controladas por tracción

f'c = 4000

f'c = 5000

f'c = 6000

f'c = 8000

f'c = 10.000

β1 = 0,85

β1 = 0,85

β1 = 0,80

β1 = 0,75

β1 = 0,65

β1 = 0,65

Rnt

683

911

1084

1233

1455

1819

φRnt

615

820

975

1109

1310

1637

ωt

0,2709

0,2709

0,2550

0,2391

0,2072

0,2072

40

0,02032

0,02709

0,03187

0,03586

0,04144

0,05180

60

0,01355

0,01806

0,02125

0,02391

0,02762

0,03453

75

0,01084

0,01445

0,01700

0,01912

0,02210

0,02762

Grado

ρt

f'c = 3000

10.3.5 Armadura máxima en elementos solicitados a flexión El Código 2002 define los límites de armadura en términos de la deformación específica neta de tracción, εt, no en términos de la relación balanceada ρ/ρb como ocurría anteriormente. Para secciones rectangulares que contienen una capa de acero Grado 60, existe una relación sencilla entre εt y ρ/ρb (ver Fig. 6-16): c=

0, 003 d ε t + 0, 003

a = β1 c =

0, 003 β1 d ε t + 0, 003

6 - 17

En condición balanceada: ab =

0, 003 β1 d

( 60 / 29.000 ) + 0, 003

= 0,592 β1 d

ρ a 0, 00507 = = ρb a b ε t + 0, 003

o bien εt =

0, 00507 − 0, 003 ρ / ρb

Esta relación se ilustra en la Figura 6-17.

0,003

a = β1c

C

c

d

T

εt Tensión

Deformación

Figura 6-16 – Relación entre la deformación y la tensión

Max. para redistribución = 0,5ρb

0,5

Min. εt = 0,0075 para

ACI 318-99 0,6

redistribución de momentos

0,7

ACI 318-02

Max. = 0,75ρb

Min. εt = 0,005 para

0,8

controlada por tracción

Cuantía balanceada, ρ/ρb

0,9

Min. εt = 0,004

1,0

0,4

0,3 0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

Deformación específica neta de tracción, εt

Figura 6-17 – Relación entre la cuantía balanceada y la deformación específica neta de tracción

6 - 18

El Código 2002 limita la armadura máxima en un elemento solicitado a flexión (con carga axial menor que 0,1 f'cAg) a aquella con la cual la deformación específica neta de tracción εt, para la resistencia nominal, no resultaría menor que 0,004. Esto es comparable al límite que establecía el código anterior (0,75 ρb) con el cual se obtenía un εt = 0,00376. Además, en el límite de deformación específica para secciones controladas por tracción de 0,004 el factor φ se reduce a 0,812. Para los elementos fuertemente armados, el factor de seguridad global (factor de carga / φ) es aproximadamente igual al de ACI318-99, aún con los factores de carga reducidos. Ver Figura 6-18. Es evidente que las resistencia de las secciones controladas por tracción dependen fundamentalmente de la resistencia del acero, la cual es menos variable que la resistencia del hormigón. Para los elementos solicitados a flexión controlados por tracción, el Código 2002 permite usar un φ igual a 0,9, a pesar de los factores de carga reducidos. Como se ilustra en la Figura 6-18, para las secciones controladas por tracción el nuevo código reduce los requisitos de resistencia en aproximadamente 10 por ciento. Como se discutió en la Parte 7 de esta publicación, casi siempre resulta ventajoso limitar la deformación específica neta de tracción en los elementos solicitados a flexión a un mínimo de 0,005, aún cuando el código permite porcentajes de armadura más elevados que producen menores deformaciones netas de tracción. Si las dimensiones del elemento están limitadas pero se requiere resistencia adicional, la mejor solución consiste en usar armadura de compresión para limitar la deformación neta de tracción de modo que la sección sea controlada por tracción.

Factor de seguridad global = Factor de carga/φ

2,00

318-02 Para máxima armadura de flexión, εt = 0,004 318-99

1,75

1,50

318-02 Para secciones controladas por tracción, εt = 0,005 1,25

1,00 0,75 0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

Relación Sobrecarga/Carga permanente

Figura 6-18 – Factor de seguridad global para elementos solicitados a flexión

10.3.6

Máxima resistencia a la carga axial

La resistencia de un elemento solicitado a compresión pura (excentricidad nula) se calcula como: Po = 0,85 f 'c A g + f y Ast

donde Ast es el área total de armadura y Ag es el área bruta de la sección de hormigón. Se puede refinar el área de hormigón a considerar restando el área de hormigón desplazada por el acero:

(

)

Po = 0,85 f 'c A g − A st + f y A st

(13)

La resistencia a la compresión pura Po representa una condición de carga hipotética. Antes del Código ACI 1977, se exigía que todos los elementos solicitados a compresión debían ser diseñados para una excentricidad mínima de 0,05h para el caso de elementos zunchados ó 0,10h para el caso de elementos con estribos cerrados (h = espesor total del elemento). La intención original de las excentricidades mínimas especificadas era reducir la resistencia a la carga axial de diseño de las secciones solicitadas a compresión pura, y se incluyeron a fin de (1) tomar en cuenta las excentricidades accidentales, no consideradas en

6 - 19

el análisis, que pueden existir en los elementos solicitados a compresión, y (2) reconocer que la resistencia del hormigón es menor que f'c para cargas elevadas sostenidas. Debido a que el objetivo principal del requisito que establecía la excentricidad mínima era limitar la resistencia a la carga axial para el diseño de elementos solicitados a compresión con momentos nulos o muy pequeños en sus extremos, el código 1977 fue revisado para lograr este objetivo de forma directa, limitando la resistencia a la carga axial a 85% y 80% de la resistencia a la carga axial correspondiente a excentricidad nula (Po) para columnas zunchadas y columnas con estribos cerrados, respectivamente. Para los elementos zunchados,

(

)

(14)

(

)

(15)

Pn ( max ) = 0,85 Po = 0,85  0,85 f 'c A g − A st + f y A st   

Para los elementos con estribos cerrados, Pn ( max ) = 0,80 Po = 0,80 0,85f 'c A g − A st + f y A st   

La máxima resistencia a la carga axial, Pn(max) se ilustra en la Figura 6-19. Básicamente, no está permitido diseñar dentro de la porción sombreada del diagrama de interacción carga-momento. Los valores de 85% y 80% aproximan las resistencias a la carga axial para las relaciones e/h de 0,05 y 0,10 especificadas en el Código 1977 para elementos zunchados y elementos con estribos cerrados, respectivamente (ver Ejemplo 6.3). El diseñador debería observar que R10.3.5 establece que "Las ayudas de diseño y programas de computación basados en el requisito de mínima excentricidad de los Códigos de Construcción ACI 1963 y 1971 se pueden considerar igualmente aplicables." Los actuales requisitos sobre máxima resistencia a la carga axial también eliminan las preocupaciones que expresaban los ingenieros respecto de los momentos mínimos de diseño extremadamente elevados requeridos para las secciones de columnas de grandes dimensiones, y la pregunta acerca de si los momentos mínimos se debían transmitir a los otros elementos interconectados (vigas, zapatas, etc.). Observar que en 10.12.3.2 se da un momento mínimo (requisito de excentricidad mínima) para elementos esbeltos solicitados a compresión que forman parte de un pórtico indesplazable. Si los momentos de columna mayorados son nulos o muy pequeños, el diseño de estas columnas se debe basar en el momento mínimo Pu (0,6 + 0,03h).

Po Pn(max)

e/h = 0,05; 0,10

Mn

Figura 6-19 – Máxima resistencia a la carga axial (10.3.6)

10.3.7 Resistencia nominal para combinaciones de flexión y carga axial La resistencia de un elemento o de una sección transversal solicitados a una combinación de flexión y carga axial, Mn y Pn, debe satisfacer las mismas dos condiciones requeridas para los elementos solicitados exclusivamente a flexión, (1) equilibrio estático y (2) compatibilidad de las deformaciones. El equilibrio entre las fuerzas de compresión y tracción incluye la carga

6 - 20

axial Pn que actúa en la sección transversal. En la Figura 6-20 se ilustra la condición general de la tensión y la deformación en el hormigón y el acero a la resistencia nominal de un elemento solicitado a flexión y compresión axial. La fuerza de tracción o compresión que se desarrolla en la armadura se determina a partir de la condición de deformación en la ubicación de la armadura. Pn Pn εu = 0,003

b d' A's

h/2

e

0,85f'c

ε's

c

Cs Cc

a = β1c

d h

As εs

T

εs < εy (controla la compresión) εs = εy (condición balanceada) εs > εy (controla la tracción)

Figura 6-20 – Deformación específica y distribución de tensiones equivalente para una sección solicitada a una combinación de flexión y carga axial

En base a la Figura 6-20:

o bien

T = A s f s = A s ( E s εs )

cuando εs < εy

T = As f y

cuando εs ≥ εy

(

Cs = A 's f 's = A 's E s ε 's

o bien

Cs = A 's f y

)

cuando ε's < εy

cuando ε's ≥ εy

Cc = 0,85 f 'c b a

La resistencia a la combinación de carga axial y momento (Pn y Mn) se puede calcular aplicando la condición de equilibrio de fuerzas y momentos. De la condición de equilibrio de fuerzas: Pn = Cc + Cs − T

(16)

De la condición de equilibrio de momentos respecto de la semiprofundidad de la sección:

6 - 21

h a M n = Pn e = Cc  −  + Cs  2 2

h h    − d´  + T  d −  2 2   

(17)

Si se conoce la condición de deformación específica, la correspondiente resistencia a la carga axial y momento, Pn y Mn, se puede calcular de forma directa. Asumamos que la deformación específica en el acero más traccionado, As, está en la primera fluencia (εs = εy). Esta condición de deformación con una deformación simultánea de 0,003 en la fibra comprimida extrema define la resistencia "balanceada" a la carga axial y momento, Pb y Mb, para la sección transversal. Para la condición de deformación lineal: εu cb 0, 003 87.000 = = = d ε u + ε y 0, 003 + f y / 29.000.000 87.000 + f y  87.000 de modo que a b = β1 c b =   87.000 + f y 

Además

  β1 d  

cb ε = u' cb − d´ εs

 d´  87.000 + f y  d´  de modo que εs' = 0, 003  1 −  = 0, 003 1 −   d  87.000  cb 

y

 d´  87.000 + f y fsb' = E s εs' = 87.000 1 −   d  87.000

   

   pero no mayor que fy  

De la condición de equilibrio de fuerzas: Pb = 0,85 f c' b a b + A s' fsb' − A s f y

(18)

De la condición de equilibrio de momentos: h a h  d  M b = Pb e b = 0,85 f c' b a b  −  + A s' fsb'  − d´  + A s f y  − h   2 2 2  2 

(19)

La resistencia "balanceada" a la carga y momento define apenas una de las combinaciones de carga y momento posibles en el rango de la relación de interacción carga-momento de una sección transversal solicitada a una combinación de flexión y carga axial. En la Figura 6-21 se ilustra la forma general de un diagrama de interacción de las resistencias. La combinación de carga y momento puede ser tal que la mayor parte de la sección o incluso toda la sección esté comprimida, de modo que la deformación específica de compresión en el hormigón llega a 0,003 antes de la fluencia del acero de la armadura (εs < εy) (segmento controlado por compresión); la combinación también puede ser tal que una gran parte de la sección esté traccionada, de modo que la deformación específica en el acero es mayor que la deformación de fluencia (εs > εy) cuando la deformación de compresión del hormigón llega al valor 0,003 (segmento controlado por tracción). La condición de deformación "balanceada" (εs = εy) divide estos dos segmentos de la curva de resistencia. En la Figura 6-21 se ilustra la variación de la deformación para todo el rango de interacción carga-momento. Bajo compresión pura, la deformación es uniforme en toda la sección transversal y su valor es 0,003. A medida que aumenta la excentricidad de la carga (momento), la deformación de compresión en la "cara traccionada" gradualmente disminuye hasta llegar a cero, luego se transforma en tracción, llegando a la deformación de fluencia (εs = εy) en la condición de deformación balanceada. Para este rango de variación de la deformación, la resistencia de la sección es controlada por la compresión (εs = –0,003 a εy). Más allá de la condición de deformación balanceada la deformación del acero aumenta gradualmente hasta el

6 - 22

Resistencia a la carga axial, Pn

estado de flexión pura correspondiente a una excentricidad infinitamente grande (e = ∞). Para este rango de variación de la deformación la resistencia es controlada por la tracción (εs > εy). A medida que aumenta la excentricidad, cada vez existe más tracción en la sección transversal. Cada una de las numerosas condiciones de deformación posibles ilustradas en la Figura 6-22 describe un punto, Pn y Mn, de la curva carga-momento (Fig. 6-21). En el Ejemplo 6.4 se presenta el cálculo de Pn y Mn para cuatro condiciones de deformación diferentes. e=0 Resistencia controlada por el aplastamiento del hormigón

Po

e=

M

n/

n

P

Pb

e=

a) ead anc l a d. b con e b(

Resistencia controlada por la fluencia de la armadura e=∞

Mn Mb Resistencia al momento, M n

Figura 6-21 – Diagrama de interacción carga axial-momento e

e

e=0

Pn

Pn

Deformación por compresión

Pn

εc = 0,003

εs > εy

Compresión pura

Resistencia controlada por el aplastamiento del hormigón

Resistencia controlada por la fluencia de la armadura

Deformación por tracción

εs = εy

εs < εy

Figura 6-22 – Variación de las deformaciones para todo el rango de interacción carga-momento

10.5

ARMADURA MÍNIMA EN ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

Los elementos cuyas secciones transversales son mayores que la requerida por consideraciones de resistencia podrían fallar repentinamente si los porcentajes de armadura son pequeños. La resistencia al momento de estas secciones, calculada suponiendo que se comportan como hormigón armado y usando un análisis de sección fisurada, es menor que la de una sección de hormigón simple calculada en base a su módulo de rotura. Para impedir este tipo de falla, el artículo 10.5 exige una cantidad mínima de armadura de tracción. La cuantía mínima de armadura ρmin = 200/fy originalmente fue desarrollada para proveer el mismo porcentaje mínimo de 0,5% (para acero dulce) que requerían las versiones anteriores del código. Esta armadura mínima es adecuada para hormigones con

6 - 23

resistencias de alrededor de 4000 psi o menores. La versión de 1995 del código reconoce que es posible que ρmin = 200/fy no sea suficiente cuando f'c es mayor que aproximadamente 5000 psi. En consecuencia, se revisaron los artículos 10.5.1 y 10.5.2 para especificar las siguientes cantidades mínimas de armadura: En todas las secciones de los elementos solicitados a flexión en las cuales se requiere armadura de tracción, A s,min =

3 f c' fy

bw d ≥

200 bw d fy

Ec. (10-3)

Observar que, cuando f'c es igual a 4444 psi, 3 f c' es igual a 200. Por lo tanto, cuando f'c > 4444 psi, el valor 3 f c' bwd/fy es determinante, caso contrario es determinante 200 bwd/fy. La Ecuación (10-4) del Código 1999 se eliminó, y fue reemplazada por el siguiente texto, que establece lo mismo que establecía previamente la Ecuación (10-4): 10.5.2 Para los elementos estáticamente determinados que tienen un ala traccionada, el área As,min deberá ser mayor o igual que el valor dado por la Ecuación (10-3), reemplazando bw por 2bw o por el ancho del ala, cualquiera sea el valor que resulte menor. Las ecuaciones del Capítulo 10 ubicadas después de la Ecuación (10-3) fueron renumeradas. Observar que no es necesario aplicar los requisitos de 10.5.1 y 10.5.2 si en todas las secciones la armadura de tracción provista supera en un tercio, como mínimo, a la requerida por el análisis (ver 10.5.3).

10.15

TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE LAS COLUMNAS A TRAVÉS DE LOS ENTREPISOS

En el código 2002 se modificó la sección 10.5.3. Ahora esta sección dice: Para las columnas apoyadas lateralmente en sus cuatro lados, ya sea por vigas de aproximadamente igual altura o profundidad o por losas, estará permitido basar la resistencia de la columna en una resistencia supuesta del hormigón en la unión de la columna, tomada igual al 75 por ciento de la resistencia del hormigón de la columna más el 35 por ciento de la resistencia del hormigón del entrepiso. En la aplicación del artículo 10.15.3, la relación entre la resistencia del hormigón de la columna y la resistencia del hormigón de la losa no se deberá tomar mayor que 2,5 para el diseño. La última frase es nueva. De este modo se limita efectivamente la resistencia supuesta de la columna a un máximo de 2,225 veces la resistencia del hormigón del entrepiso.

10.17

RESISTENCIA AL APLASTAMIENTO DEL HORMIGÓN

La resistencia al aplastamiento del hormigón (Pnb) definida en el código se expresa en términos de una tensión de aplastamiento promedio de 0,85f'c sobre un área de aplastamiento (área cargada) A1. Si todos los lados de la superficie de apoyo son más anchos que el área cargada, el hormigón circundante confinará el área cargada, lo cual aumentará la resistencia al aplastamiento del hormigón en que apoya. Cuando hay hormigón que provee efecto de confinamiento, la resistencia al aplastamiento se puede aumentar aplicando el factor A 2 / A1 , pero nunca mayor que 2, siendo A 2 / A1 una medida del efecto de confinamiento del hormigón circundante. En la Figura 6-23 se ilustra el factor de aumento de la resistencia,

6 - 24

A 2 / A1 .

Para el caso habitual en que la superficie de hormigón en que se apoya un elemento es considerablemente mayor que el área cargada ( A 2 / A1 > 2), la tensión de aplastamiento admisible es igual a 2 (0,85 f'c). En relación con la Figura 6-24, a. Para la superficie soportada (columna): Pnb = 0,85 f c' A1

siendo f'c la resistencia especificada del hormigón de la columna. b. Para la superficie en que se apoya el elemento (zapata): Pnb =

(

)

A2 0,85 f c' A1 , A1

A2 ≤ 2, 0 A1

siendo f'c la resistencia especificada del hormigón de la zapata. La resistencia al aplastamiento de diseño es φPnb, siendo para el aplastamiento del hormigón φ = 0,65. Si se excede la resistencia al aplastamiento se deberá proveer armadura para transferir el exceso de carga.

A2

A 1= A 2 A1

A1

A2 =1 A1

A2

1<

1

A2

A1

A2 <2 A1

A2 = 2 (max.) A1

2

2

1

A2

A2 = 4A1

Figura 6-23 – Medida del grado de confinamiento

A 2 / A1 ≤ 2 que provee el hormigón circundante

6 - 25

2w (max.) w A1 = superficie cargada A 2 = medida del efecto de confimaniento del hormigón circundante

A1

A2

Pnb Resistencia al aplastamiento para la superficie soportada = 0,85 f'cA1 Resistencia al aplastamiento para la superficie en que se apoya en el elemento 2

=

1

A2

A2 0,85 fc' A1 , A1

(

)

A2 ≤2 A1

Figura 6-24 – Resistencia nominal al aplastamiento del hormigón (10.15)

REFERENCIAS 6.1

Hognestad, E., Hanson, N. W. y McHenry, D., "Concrete Stress Distribution in Ultimate Strength Design," ACI Journal, Proceedings Vol. 52, Diciembre 1955, pp. 455-479; también PCA Devolopment Department Bulletin D6.

6.2

Hognestad, E., "Ultimate Strength of Reinforced Concrete in American Design Practice," Actas de un Simposio sobre la Resistencia de las Estructuras de Hormigón, Londres, Inglaterra, Mayo 1955; también PCA Devolopment Department Bulletin D12.

6.3

Hognestad, E., "Confirmation of Inelastic Stress Distribution in Concrete," Journal of the Structural Division, Proceedings ASCE, Vol. 83, No. ST2, Marzo 1957, pp. 1189-1 – 1189-17; también PCA Devolopment Department Bulletin D15.

6.4

Mattock, A.H., Kriz, L. B. y Hognestad, E., "Rectangular Stress Distribution in Ultimate Strength Design," ACI Journal, Proceedings Vol. 57, Febrero 1961, pp. 875-928; también PCA Devolopment Department Bulletin D49.

6.5

Wang, C. K. y Salmon, C. G., Reinforced Concrete Design, Cuarta Edición, Harper & Row Publishers, New York, N.Y., 1985.

6 - 26

Ejemplo 6.1 – Resistencia al momento usando la distribución rectangular de tensiones equivalente Dada la viga ilustrada, calcular la resistencia al momento en base a la condición de equilibrio estático usando la distribución rectangular de tensiones equivalente ilustrada en la Figura 6-9. Asumir f'c = 4000 psi y fy = 60.00 psi. Por motivos de simplicidad, despreciar las barras suspensoras. b = 10"

0,85f'c = 3,4 ksi

εu = 0,003

c = 4,92"

Estribo U No.4

a/2 = 2,09"

a = β1c = 4,18"

C = 0,85 f'c ba = 142,2 kips

Eje neutro dt = 13,50"

h = 16"

3 - No. 8 2,50" 1,5" recubrimiento

T = A s fy = 142,2 kips

εs = 0,00523

Deformación

Tensión

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Definir la distribución rectangular de tensiones del hormigón. d = dt = 16 – 2,5 = 13,50 in.

10.2.7 10.0

As = 3 × 0,79 = 2,37 in.2 Suponiendo εs > εy, T = As fy = 2,37 × 60 = 142,2 kips a=

As f y 0,85

f c'

b

=

10.2.4

142, 2 = 4,18 in. 0,85 × 4 × 10

2. Determinar la deformación específica neta de tracción εs y φ c=

a 4,18 = = 4,92 in. β1 0,85

 13,50 − 4,92   d −c  εs =  t  0, 003 = 0,00523 > 0,005  0, 003 =  4,92  c   

Por lo tanto, la sección es controlada por tracción.

10.3.4

φ = 0,9

9.3.2.1

6 - 27

εs = 0,00523 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión

10.3.5

Esto también confirma que εs > εy a la resistencia nominal. 3. Determinar la resistencia nominal al momento, Mn, y la resistencia al momento de diseño, φMn. a  M n = A s f y  d −  = 142, 2 (13,50 − 2, 09) = 1622,3 in. - kips = 135,2 ft - kips 2 

φ Mn = 0,9 (135,2) = 121,7 ft - kips

9.3.2.1

4. Armadura mínima. A s,min =

3 f c' fy

bw d ≥

200 b w d fy

Ec. (10-3)

Como f'c < 4444 psi, el valor determinante es 200bwd/fy: 200 b w d 200 × 10 × 13,50 = = 0,45 in.2 fy 60.000 As (provista) = 2,37 in.2 > As,min = 0,45 in.2 → VERIFICA

6 - 28

Ejemplo 6.2 – Diseño de una viga con armadura de compresión La sección transversal de una viga está limitada a las dimensiones ilustradas. Determinar el área de armadura requerida para un momento mayorado Mu = 516 ft - kips. f'c = 4000 psi; fy = 60.00 psi. b = 14" εu = 0,003 ε's = 0,00202

d´ = 2,5"

A´s

c = 0,375 dt = 7,69"

d t = 20,5"

As εs = 0,005 > εy = 0,00207

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Verificar si se requiere armadura de compresión, usando φ = 0,9 Mn = Mu / φ = 516 / 0,9 = 573 ft - kips Rn =

Mn bd

2

=

573 × 12 × 1000 14 × 20,52

= 1169

Esto supera el máximo Rnt de 911 para secciones controladas por tracción de hormigón de 4000 psi (ver Tabla 6-1). Además, es probable que sea necesario usar dos capas de armadura de tracción. Sin embargo, por motivos de simplicidad, asumir dt = d. 2. Hallar el momento Mnt resistido por la sección de hormigón sin armadura de compresión, y el M'n a ser resistido por la armadura de compresión. Mnt = Rn bd2 = 911 × 14 × 20,52 / (1000 × 12) = 447 ft - kips M'n = Mn – Mnt = 573 – 447 = 126 ft - kips 3. Determinar la armadura de compresión requerida. La deformación en el acero comprimido a la resistencia nominal está apenas por debajo de la deformación de fluencia, como se puede ver en el anterior diagrama de deformaciones.

6 - 29

A s' =

M 'n fs'

(d − d ')

=

126 × 12 = 1,43 in.2 58, 7 (20,5 − 2,5)

4. Determinar la armadura de tracción requerida. As = ρt (bd) + A's (f´s/fy) De la Tabla 6-1, ρt = 0,01806; de manera que: As = 0,01806 (14) (20,5) + 1,43 (58,7/60) = 5,18 + 1,40 = 6,58 in.2 5. Solución alternativa. Resistencia nominal requerida Mn =

M u 516 = = 573 ft - kips φ 0,9

a. Determinar el máximo momento sin armadura de compresión Mnt, usando φ = 0,9: c = 0,375 dt = 0,375 × 20,5 = 7,69 in. a = β1 c = 0,85 × 7,69 = 6,54 in. C = T = 3,4 × 6,54 × 14 = 311,3 kips a 6,54    M nt = T  d t −  = 311,3  20,5 − = 5363,7 kip-in. = 447,0 kip -ft 2 2    

b. Área de acero de tracción requerida para desarrollar Mnt: As,nt =

311,3 = 5,19 in.2 60

c. El momento adicional (573 – 447 = 126 ft-kips) se debe desarrollar mediante un par T - C entre la armadura traccionada y la armadura comprimida. 126 × 12 = 1,40 in.2 (20,5 − 2,5) × 60

Armadura de tracción adicional requerida:

∆As =

Total de armadura de tracción requerida:

As = 5,19 + 1,40 = 6,59 in.2

Armadura de compresión requerida:

A's =

126 × 12 = 1,43 in.2 (20,5 − 2,5) × 58, 7

6. Comparación con el Ejemplo 6.2 de las Notas sobre ACI 318-99, diseñado de acuerdo con ACI 318-99: El Ejemplo 6.2 de las Notas sobre ACI 318-99 fue diseñado de acuerdo con el Código 1999, para un Mu de 580 ft-kips. De acuerdo con el Código 2002, suponiendo que para esta viga la relación entre la sobrecarga y la carga permanente es igual a

6 - 30

0,5, la viga se podría diseñar como una sección controlada por tracción para un Mu de 516 ft-kips. Los resultados correspondientes a las armaduras requeridas son: según ACI 318-99

según ACI 318-02

Armadura de compresión A's

1,49 in.2

1,43 in.2

Armadura de tracción As

7,63 in.2

6,58 in.2

La reducción de la armadura de tracción es el resultado de los menores factores de carga que contiene el Código 2002. Sin embargo, la armadura de compresión requerida es aproximadamente la misma. Esto se debe a la necesidad de que haya ductilidad para poder usar el factor φ = 0,90 para flexión.

6 - 31

Ejemplo 6.3 – Máxima resistencia a la carga axial vs. Excentricidad mínima Dada la columna de hormigón con estribos cerrados ilustrada a continuación, comparar la resistencia nominal a la carga axial para Pn igual a 0,80Po con el caso de Pn actuando con una excentricidad igual a 0,1h. f'c = 5000 psi; fy = 60.00 psi. 20"

4 - No.9 A s = 4,0 in.2

20"

Referencia del Código

Cálculos y discusión

Antes de ACI 318-77, se requería diseñar las columnas para una excentricidad mínima de 0,1h (columnas con estribos cerrados) ó 0,05h (columnas zunchadas). Esto exigía una gran cantidad de cálculos para poder hallar la resistencia a la carga axial para estas excentricidades mínimas. En el Código ACI 1977 este requisito fue reemplazado por una resistencia máxima a la carga axial: 0,80Po (columnas con estribos cerrados) ó 0,85Po (columnas zunchadas). Los valores de 80% y 85% fueron elegidos de manera de aproximar las resistencias a la carga axial para relaciones e/h de 0,1 y 0,05 respectivamente. 1.

De acuerdo con el criterio de excentricidad mínima: Para e/h = 0,10: Pn = 1543 kips (solución por software)

2.

De acuerdo con el criterio de resistencia máxima a la carga axial: Pn(max)= 0,80 Po = 0,80 [0,85 f'c (Ag – Ast) + fy Ast]

10.3.5.2 Ec. (10-2)

= 0,80 [0,85 × 5 (400 – 4,0) + (60 × 4,0)] = 1538 kips Dependiendo de las resistencias de los materiales, las dimensiones y la cantidad de armadura, ambos valores pueden diferir ligeramente. Ambas soluciones se consideran igualmente aceptables.

6 - 32

Ejemplo 6.4 – Resistencia a la combinación de carga y momento, Pn y Mn, para condiciones de deformación dadas Dada la sección de columna ilustrada, calcular la resistencia a la combinación de carga axial y momento, Pn y Mn, para cuatro condiciones de deformación específica diferentes: 1. 2. 3. 4.

La tensión en la barra cerca de la cara traccionada del elemento es igual a cero (fs = 0) La tensión en la barra cerca de la cara traccionada del elemento es igual a 0,5fy (fs = 0,5fy) En el límite para secciones controladas por compresión (εt = 0,002) En el límite para secciones controladas por tracción (εt = 0,005).

Usar f'c = 4000 psi y fy = 60.00 psi. b = 16"

h/2 h = 16"

Estribos No. 3 d

4 Barras No. 8

1,5" recubrimiento

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1.

Resistencia a la combinación de carga y momento, Pn y Mn, para la condición de deformación 1: b = 16" d´ h/2

Estribos No. 3 dt

0,85f´c = 3,4 ksi

εu = 0,003 ε's Pn e

c

Cs Cc

a = β1c

h = 16" 4 Barras No. 8 T=0

εs = 0,0 1,5" recubrimiento 2

As = A's = 2 (0,79) = 1,58 in.

a.

Condición de deformación - 1

Tensión

Definir la distribución de tensiones y determinar los valores de las fuerzas d' = Recubrimiento + diámetro estribo No. 3 +

10.2.7

db = 1,5 + 0,375 + 0,5 = 2,38 in. 2

dt = 16 – 2,38 = 13,62 in. Como εs = 0: c = dt = 13,62 in.

10.2.7.2

a = β1 c = 0,85 (13,62) = 11,58 in.

10.2.7.1

6 - 33

siendo β1 = 0,85 para f'c = 4000 psi

10.2.7.3

Cc = 0,85 f'cba = 0,85 × 4 × 16 × 11,58 = 630,0 kips εy =

fy Es

=

10.2.7

60 = 0,00207 29.000

10.2.4

De la condición de compatibilidad de las deformaciones:  13, 62 × 2,38   c−d' ε 's = ε u   = 0, 003  13, 62  = 0, 00248 > εy = 0,00207 c    

10.2.2

El acero comprimido ha entrado en fluencia. Cs = A's fy = 1,58 (60) = 94,8 kips b.

Determinar Pn y Mn a partir de la condición de equilibrio estático. Pn = Cc + Cs = 630,0 + 94,8 = 724,8 kips

Ec. (16)

h a h  Mn = Pn e = Cc  −  + Cs  − d '   2 2 2 

Ec. (17)

= 630 (8,0 – 5,79) + 94,8 (8,0 – 2,38) = 1925,1 in.-kips = 160,4 ft-kips e=

M n 1925,1 = = 2,66 in. Pn 724,8

Por lo tanto, para la condición εs = 0: Resistencia a la carga axial de diseño: φ Pn = 0,65 (724,8) = 471,1 kips

9.3.2.2

Resistencia al momento de diseño: φ Mn = 0,65 (160,4) = 104,3 ft-kip 2.

Resistencia a la combinación de carga y momento, Pn y Mn, para la condición de deformación 2: b = 16" d´ h/2

Estribos No. 3

εu = 0,003 ε's a = β1c

c

Cs Cc

dt

h = 16" 4 Barras No. 8

εs = 0,00207

1,5" recubrimiento Condición de deformación - 3

6 - 34

T = A s fy

a.

Definir la distribución de tensiones y determinar los valores de las fuerzas

10.2.7

d' = 2,38 in.; dt = 13,62 in. De la condición de compatibilidad de las deformaciones: d −c c = t 0, 003 0,5 ε y c=

0, 003 d t 0, 003 × 13, 62 = = 10,13 in. 0,5ε y + 0, 003 0, 00104 + 0, 003

Deformación específica en la armadura comprimida:  10,13 × 2,38   c−d' εs' = ε u  = 0, 003   = 0, 00230 > εy = 0,00207   c   10,13  El acero comprimido ha entrado en fluencia. a = β1 c = 0,85 (10,13) = 8,61 in.

10.2.7.1

Cc = 0,85 f'cba = 0,85 × 4 × 16 × 8,61 = 468,4 kips

10.2.7

Cs = A's fy = 1,58 (60) = 94,8 kips T = As fs = As (0,5 fy) = 1,58 (30) = 47,4 kips b.

Determinar Pn y Mn a partir de la condición de equilibrio estático. Pn = Cc + Cs – T = 468,4 + 94,8 – 47,4 = 515,8 kips

Ec. (16)

h h a h   Mn = Pn e = Cc  −  + Cs  + d '  + T  d −  2  2 2 2  

Ec. (17)

= 468,4 (8,0 – 4,31) + 94,8 (8,0 – 2,38) + 47,4 (13,62 – 8,0) = 2527,6 in.-kips = 210,6 ft-kips e=

M n 2527, 6 = = 4,90 in. Pn 515,8

Por lo tanto, para la condición εs = 0,5εy: Resistencia a la carga axial de diseño: φ Pn = 0,65 (515,8) = 335,3 kips Resistencia al momento de diseño: φ Mn = 0,65 (210,6) = 136,9 ft-kip

6 - 35

9.3.2.2

3.

Resistencia a la combinación de carga y momento, Pn y Mn, para la condición de deformación 3: b = 16" d´ h/2

εu = 0,003 ε's

c

Estribos No. 3

a = β1c

Cc

Cs

dt

h = 16" 4 Barras No. 8

εt = 0,005

T = A s fy

1,5" recubrimiento Condición de deformación - 4

a.

Definir la distribución de tensiones y determinar los valores de las fuerzas

10.2.7

d' = 2,38 in.; dt = 13,62 in. De la condición de compatibilidad de las deformaciones: d −c c = t εy 0, 003

c=

0, 003 d t 0, 003 × 13, 62 = = 8, 06 in. ε y + 0, 003 0, 00207 + 0, 003

Nota: El código permite usar el valor 0,002 como el límite de la deformación específica para secciones controladas por compresión con acero Grado 60. Una práctica más conservadora, a la vez que más consistente, es utilizar la deformación de fluencia 0,00207. Deformación específica en la armadura comprimida:  8, 06 × 2,38   c−d'  εs' = ε u   = 0, 003  8, 06  = 0, 00211 > εy = 0,00207 c    

El acero comprimido ha entrado en fluencia. a = β1 c = 0,85 (8,06) = 6,85 in.

10.2.7.1

Cc = 0,85 f'cba = 0,85 × 4 × 16 × 6,85 = 372,7 kips

10.2.7

Cs = A's fy = 1,58 (60) = 94,8 kips T = As fs = As fy = 1,58 (60) = 94,8 kips b.

Determinar Pn y Mn a partir de la condición de equilibrio estático. Pn = Cc + Cs – T = 372,7 + 94,8 – 94,8 = 372,7 kips

6 - 36

Ec. (16)

h h a h   Mn = Pn e = Cc  −  + Cs  + d '  + T  d −  2  2 2 2  

Ec. (17)

= 372,7 (8,0 – 3,43) + 94,8 (8,0 – 2,38) + 94,8 (13,62 – 8,0) = 2770,5 in.-kips = 230,9 ft-kips e=

M n 2770,5 = = 7,43 in. Pn 372, 7

Por lo tanto, para la condición εs = εy: Resistencia a la carga axial de diseño: φ Pn = 0,65 (372,7) = 242,3 kips

9.3.2.2

Resistencia al momento de diseño: φ Mn = 0,65 (230,9) = 150,1 ft-kip c.

Determinar Pn y Mn a partir de la condición de equilibrio estático. Pn = Cc + Cs – T = 236,2 + 73,5 – 94,8 = 214,9 kips

Ec. (16)

h h a h   Mn = Pn e = Cc  −  + Cs  + d '  + T  d −  2 2 2 2     

Ec. (17)

= 236,2 (8,0 – 2,32) + 73,5 (8,0 – 2,38) + 94,8 (13,62 – 8,0) = 2287,4 in.-kips = 190,6 ft-kips e=

M n 2287, 4 = = 10,64 in. Pn 214,9

Por lo tanto, para la condición εs = 0,005: Resistencia a la carga axial de diseño: φ Pn = 0,9 (214,9) =193,4 kips Resistencia al momento de diseño: φ Mn = 0,9 (190,6) = 171,5 ft-kip En la figura 6-25 se ilustra un diagrama de interacción completo para esta columna.

6 - 37

9.3.2.2

1000 Mn

Carga axial, kips

800

600

φMn

400

fs= 0,0 fs= 0,5fy

lím. para sección controlada por compresión

200 lím. para sección controlada por tracción

0 0

50

100

150

200

Momento flector, ft-kips

Figura 6-25 – Diagrama de interacción

6 - 38

250

7 Diseño para Flexión y Carga Axial

CONSIDERACIONES GENERALES – FLEXIÓN Para el diseño o la investigación de los elementos solicitados a flexión (vigas y losas), la resistencia nominal de la sección transversal (Mn) se debe reducir aplicando el factor de resistencia φ a fin de obtener la resistencia de diseño (φMn) de la sección. La resistencia de diseño (φMn) debe ser mayor o igual que la resistencia requerida (Mu). También se deben satisfacer los requisitos de comportamiento en servicio para limitar las flechas (9.5) y distribución de la armadura para limitar la fisuración (10.6). Los Ejemplos 7.1 a 7.7 ilustran la correcta aplicación de los diversos requisitos del código que gobiernan el diseño de los elementos solicitados a flexión. Antes de los ejemplos de diseño se describen procedimientos paso a paso para el diseño de secciones rectangulares que sólo tienen armadura de tracción, secciones rectangulares con múltiples capas de armadura, secciones rectangulares con armadura de compresión, y secciones con alas que sólo tienen armadura de tracción.

DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES QUE SÓLO TIENEN ARMADURA DE TRACCIÓN7.1 En el diseño de secciones rectangulares que sólo tienen armadura de tracción (Fig. 7-1), las condiciones de equilibrio son las siguientes: 1.

Equilibrio de fuerzas: C=T

(1)

0,85 f'c ba = Asfy = ρbdfy a=

2.

As f y 0,85f c' b

=

Equilibrio de momentos:

ρdf y 0,85f c'

a  M n = (C ó T)  d −  2   0,5ρd f y  M n = ρbdf y  d −   0,85 f c'  

(2)

εc

b

C

a = β1c

c d

0,85f´c

eje neutro d-a2

As

T

εs

Deformación

Tensión equivalente

Figura 7-1 – Deformación específica y distribución equivalente de tensiones en una sección rectangular Dividiendo ambos lados de la Ec. (2) por bd2 se obtiene un coeficiente de resistencia nominal Rn: Rn =

 0,5ρf y = ρ f  1 − y ' bd 2  0,85f c Mn

  

(3)

Si b y d están prefijados, ρ se obtiene resolviendo la ecuación cuadrática para Rn: ρ=

0,85f c' fy

 2R n  1 − 1 −   0,85f c'  

(4)

En la Figura 7-2 se ilustra la relación entre ρ y Rn para armadura Grado 60 y diferentes valores de f'c. La Ecuación (3) se puede usar para determinar la cuantía de acero ρ conociendo Mu o viceversa si se conocen las propiedades de la sección b y d. Reemplazando Mn = Mu/φ en la Ecuación (3), y dividiendo ambos lados de la ecuación por f'c: Mu φf c' bd 2

Se define ω =

=

ρf y  0,5ρf y 1 − f c'  0,85f c'

  

ρf y f c'

Reemplazando ω en la ecuación anterior: 7-2

Mu φf c' bd 2

= ω (1 − 0,59 ω)

(5)

La Tabla 7-1, la cual se basa en la Ecuación (5), fue desarrollada para servir a modo de ayuda de diseño para el diseño o la investigación de secciones que solamente tienen armadura de tracción y para las cuales se conocen los valores b y d. Tabla 7-1 – Resistencia a la flexión Mu/φf'cbd2 ó Mn/φf'cbd2 de secciones rectangulares sólo con armadura de tracción ω

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,00

0,0

0,0010

0,0020

0,0030

0,0040

0,0050

0,0060

0,0070

0,0080

0,0090

0,01

0,0099

0,0109

0,0119

0,0129

0,0139

0,0149

0,0159

0,0168

0,0178

0,0188

0,02

0,0197

0,0207

0,0217

0,0226

0,0236

0,0246

0,0256

0,0266

0,0275

0,0285

0,03

0,0295

0,0304

0,0314

0,0324

0,0333

0,0343

0,0352

0,0362

0,0372

0,0381

0,04

0,0391

0,0400

0,0410

0,0420

0,0429

0,0438

0,0448

0,0457

0,0467

0,0476

0,05

0,0485

0,0495

0,0504

0,0513

0,0523

0,0532

0,0541

0,0551

0,0560

0,0569

0,06

0,0579

0,0588

0,0597

0,0607

0,0616

0,0626

0,0634

0,0643

0,0653

0,0662

0,07

0,0671

0,0680

0,0689

0,0699

0,0708

0,0717

0,0726

0,0735

0,0744

0,0753

0,08

0,0762

0,0771

0,0780

0,0789

0,0798

0,0807

0,0816

0,0825

0,0834

0,0843

0,09

0,0852

0,0861

0,0870

0,0879

0,0888

0,0897

0,0906

0,0915

0,0923

0,0932

0,10

0,0941

0,0950

0,0959

0,0967

0,0976

0,0985

0,0994

0,1002

0,1001

0,1020

0,11

0,1029

0,1037

0,1046

0,1055

0,1063

0,1072

0,1081

0,1089

0,1098

0,1106

0,12

0,1115

0,1124

0,1133

0,1141

0,1149

0,1158

0,1166

0,1175

0,1183

0,1192

0,13

0,1200

0,1209

0,1217

0,1226

0,1234

0,1243

0,1251

0,1259

0,1268

0,1276

0,14

0,1284

0,1293

0,1301

0,1309

0,1318

0,1326

0,1334

0,1342

0,1351

0,1359

0,15

0,1367

0,1375

0,1384

0,1392

0,1400

0,1408

0,1416

0,1425

0,1433

0,1441

0,16

0,1449

0,1457

0,1465

0,1473

0,1481

0,1489

0,1497

0,1506

0,1514

0,1522

0,17

0,1529

0,1537

0,1545

0,1553

0,1561

0,1569

0,1577

0,1585

0,1593

0,1601

0,18

0,1609

0,1617

0,1624

0,1632

0,1640

0,1648

0,1656

0,1664

0,1671

0,1679

0,19

0,1687

0,1695

0,1703

0,1710

0,1718

0,1726

0,1733

0,1741

0,1749

0,1756

0,20

0,1764

0,1772

0,1779

0,1787

0,1794

0,1802

0,1810

0,1817

0,1825

0,1832

0,21

0,1840

0,1847

0,1855

0,1862

0,1870

0,1877

0,1885

0,1892

0,1900

0,1907

0,22

0,1914

0,1922

0,1929

0,1937

0,1944

0,1951

0,1959

0,1966

0,1973

0,1981

0,23

0,1988

0,1995

0,2002

0,2010

0,2017

0,2024

0,2031

0,2039

0,2046

0,2053

0,24

0,2060

0,2067

0,2075

0,2082

0,2089

0,2096

0,2103

0,2110

0,2117

0,2124

0,25

0,2131

0,2138

0,2145

0,2152

0,2159

0,2166

0,2173

0,2180

0,2187

0,2194

0,26

0,2201

0,2208

0,2215

0,2222

0,2229

0,2236

0,2243

0,2249

0,2256

0,2263

0,27

0,2270

0,2277

0,2284

0,2290

0,2297

0,2304

0,2311

0,2317

0,2324

0,2331

0,28

0,2337

0,2344

0,2351

0,2357

0,2364

0,2371

0,2377

0,2384

0,2391

0,2397

0,29

0,2404

0,2410

0,2417

0,2423

0,2430

0,2437

0,2443

0,2450

0,2456

0,2463

0,30

0,2469

0,2475

0,2482

0,2488

0,2495

0,2501

0,2508

0,2514

0,2520

0,2527

2 Mn / f'c bd = ω (1 – 0,59 ω), siendo ω = ρ fy / f'c 2 Para el diseño: Usando el momento mayorado Mu, ingresar a la tabla con Mu / φ f'c bd ; hallar ω y calcular el porcentaje de acero ρ = ω f'c/fy. 2 Para la investigación: Ingresar a la tabla con ω = ρ fy / f'c; hallar el valor de Mn / f'c bd y resolver para la resistencia nominal, Mn.

7-3

1600 f´c = 6000 psi

Coeficiente de resistencia Rn (psi)

1400 1200

f´c = 5000 psi

1000

f´c = 4000 psi 800 f´c = 3000 psi

600

Secciones rectangulares sólo con armadura de tracción. Límite superior en la deformación específica neta de tracción de 0,004.

400 200 0 0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Cuantía de armadura, ρ

Figura 7-2 – Curvas de resistencia (Rn vs. ρ) para armadura de Grado 60

La Figura 7-3 muestra el efecto del factor de reducción de la resistencia φ. En particular, muestra lo que ocurre cuando se sobrepasa el límite para secciones controladas por tracción con un φ igual a 0,9. Como se puede ver en la Figura 7-3, no se logra ningún beneficio diseñando un elemento solicitado a flexión por debajo del límite de deformación específica para secciones controladas por tracción de 0,005. Cualquier ganancia de resistencia que se pudiera obtener usando mayores cuantías de armadura es anulada por la reducción del factor de reducción de resistencia φ que se debe aplicar para cuantías más elevadas. Por lo tanto, los elementos solicitados a flexión se deberían diseñar como secciones controladas por tracción. Uno se podría preguntar "porqué se permiten cuantías más elevadas y menores deformaciones específicas netas de tracción si éstas no representan ningún beneficio?" En muchos casos el acero provisto está por encima del valor óptimo en el límite correspondiente a secciones controladas por tracción. La porción "horizontal" de la curva de la Figura 7-3 le permite al diseñador proveer armadura en exceso de la requerida (considerando tamaños de barra discretos) sin ser penalizados por "superar un límite codificado." Aunque los elementos solicitados a flexión casi siempre se deberían diseñar como secciones controladas por tracción con εt ≥ 0,005, a menudo ocurre que las columnas con carga axial pequeña y grandes momentos flectores se encuentran en la "región de transición" con εt comprendida entre 0,002 y 0,005, y φ está comprendido entre el valor correspondiente a secciones controladas por compresión y el valor correspondiente a secciones controladas por tracción. Generalmente las columnas se diseñan usando gráficas de interacción o tablas. En los diagramas de interacción el "punto límite" para el cual εt = 0,005 y φ = 0,9 puede estar por encima o por debajo de la línea de carga axial nula.

7-4

1200 f´c = 6000 psi

Coeficiente de resistencia φRn (psi)

1000 f´c = 5000 psi 800 f´c = 4000 psi 600 f´c = 3000 psi 400 200

0 0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Cuantía de armadura, ρ

Figura 7-3 Curvas de resistencia de diseño (φRn vs. ρ) para armadura Grado 60

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES QUE SÓLO TIENEN ARMADURA DE TRACCIÓN Paso 1:

Seleccionar un valor aproximado para la cuantía de tracción ρ menor o igual que ρt pero mayor que el mínimo (10.5.1), siendo la cuantía ρt igual a: ρt =

0,319 β1 f c' fy

donde β1 = 0,85 para f'c ≤ 4000 psi  f ' − 4000  para 4000 psi < f'c < 8000 psi = 0,85 − 0, 005  c  1000   

= 0,65 para f'c ≥ 8000 psi Los valores de ρt se dan en la Tabla 6-1. Paso 2:

Con el ρ prefijado (ρmin ≤ ρ ≤ ρt) calcular bd2 requerida: bd2 (requerida) =

Mu φ Rn

 0,5 ρ f y donde R n = ρ f y  1 −  0,85 f c'  la flexión requerida):

  , φ = 0,90 para flexión con ρ ≤ ρt, y Mu = momento aplicado mayorado (resistencia a 

7-5

Paso 3:

Dimensionar el elemento de manera que el valor de bd2 provista sea mayor o igual que el valor de bd2 requerida.

Paso 4:

En base a bd2 provista, calcular un nuevo valor revisado de ρ aplicando uno de los métodos siguientes: 1. Usando la Ecuación (4) con Rn = Mu/φbd2 (método exacto) 2. Usando curvas de resistencia como las ilustradas en las Figuras 7-2 y 7-3. Los valores de ρ para armadura Grado 60 se dan en términos de Rn = Mu/φbd2. 3. Usando tablas de resistencia al momento tales como la Tabla 7-1. Los valores de ω = ρfy/f'c se dan en términos de la resistencia al momento Mu /φ f'c bd2. 4. Por proporciones aproximadas ρ ≈ (ρ original)

(R n revisada) (R n original)

Observar en la Figura 7-2 que la relación entre Rn y ρ es aproximadamente lineal. Paso 5:

Calcular As requerida: As = (ρ revisada) (bd provista) Si los valores de b y d están prefijados, As requerida se puede calcular directamente como: As = ρ (bd provista) para lo cual ρ se calcula usando uno de los métodos indicados en el Paso 4.

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES CON MÚLTIPLES CAPAS DE ARMADURA La manera sencilla y conservadora de diseñar una viga con dos capas de armadura de tracción consiste en tomar dt = d, la profundidad al baricentro de toda la armadura de tracción. Sin embargo, el código le permite al diseñador aprovechar el hecho de que dt, medida hasta el centro de la capa más alejada de la cara comprimida, es mayor que d. Esto sólo sería necesario cuando se diseña en el límite de deformación específica de 0,005 correspondiente a las secciones controladas por tracción, o muy cerca de este límite. La Figura 7-4 ilustran los diagramas de tensión y deformación para una sección con múltiples capas de acero en la cual la capa de acero exterior está en el límite de deformación específica para secciones controladas por tracción (0,005). Para esta sección ρ2 representa la máxima ρ (basada en d). ρ2 =

C f y bd

ρt =

C f y bd t

Sin embargo,

Por lo tanto,

7-6

ρ2 d t = ρt d d  ρ2 = ρ t  t   d 

(6)

El diagrama de deformaciones de la Figura 7-4 contiene información adicional. La deformación específica de fluencia de la armadura Grado 60 es igual a 0,00207. Por similitud de triángulos, cualquier acero Grado 60 que esté a una distancia menor o igual que 0,366dt de la capa inferior estará en fluencia. Esto casi siempre es así, a menos que se distribuya acero en las caras laterales. Además, el acero comprimido estará en fluencia si se encuentra a una distancia menor o igual que 0,116dt (ó 0,31c) de la cara comprimida. 0,116d t

εy

0,003 C

c = 0,375d t

d

dt

εy

0,366d t T 0,005

Figura 7-4 – Múltiples capas de armadura

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA DE COMPRESIÓN (ver Parte 6) Se resumen los pasos para el diseño de vigas rectangulares (con b y d prefijados) que requieren armadura de compresión (ver Ejemplo 7-3) Paso 1:

Verificar si es necesario colocar armadura de compresión. Calcular

Rn =

Mn bd 2

Comparar este valor con la máxima Rn para secciones controladas por tracción indicada en la Tabla 6-1. Si Rn es mayor que el valor tabulado, usar armadura de compresión. Si se requiere armadura de compresión, es probable que sea necesario colocar dos capas de armadura de tracción. Estimar la relación dt/d. Paso 2:

Hallar la resistencia al momento nominal resistida por una sección sin armadura de compresión, y la resistencia al momento adicional M'n a ser resistida por la armadura de compresión y por la armadura de tracción agregada. De la Tabla 6-1, hallar ρt. Luego, usando la Ecuación (6): 7-7

d  ρ = ρt  t   d  ω=ρ

fy f c'

Determinar Mnt de la Tabla 7-1. Calcular la resistencia al momento a ser resistida por la armadura de compresión: M'n = Mn – Mnt Paso 3:

Verificar la fluencia de la armadura de compresión Si d'/c < 0,31 la armadura de compresión ha entrado en fluencia y f's = fy Ver la Parte 6 para la determinación de f's para el caso en que la armadura de compresión no entra en fluencia.

Paso 4:

Determinar la armadura total requerida, A's y As As' =

As =

Paso 5:

M 'n (d − d ') fs' M 'n + ρ bd (d − d ') f y

Verificar la capacidad de momento   a  φ M n = φ  A − A s' f y  d −  + A s' f y ( d − d ' )  ≥ M u 2   

(

)

donde

(A a=

s

)

− As' f y

0,85 f c'

b

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES CON ALAS CON ARMADURA DE TRACCIÓN (ver Parte 6) Se resumen los pasos para el diseño de secciones con alas que sólo tienen armadura de tracción (ver Ejemplos 7.4 y 7.5). Paso 1:

Determinar el ancho de ala efectivo b de acuerdo con 8.10. Usando la Tabla 7-1, determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, suponiendo comportamiento de sección rectangular con b igual al ancho de ala (es decir, a ≤ hf): a=

As f y 0,85 f c'

b

=

ρ d fy 0,85 f c'

= 1,18ωd

7-8

para lo cual ω se obtiene de la Tabla 7-1 para Mu/φf'cbd2. Asumir que se trata de una sección controlada por tracción con φ = 0,9. Paso 2:

Si a ≤ hf, determinar la armadura como si se tratara de una sección rectangular que sólo tiene armadura de tracción. Si a > hf, ir al paso 3.

Paso 3:

Si a > hf, calcular la armadura Asf requerida y la resistencia al momento φMnf correspondiente al ala saliente de la viga en compresión: Asf =

' Cf 0,85 f c ( b − b w ) h f = fy fy

 h  φM nf = φ  Asf f y  d − f 2  

Paso 4:

  

Calcular la resistencia al momento requerida a ser soportada por el alma de la viga: Muw = Mu – φMnf

Paso 5:

Usando la Tabla 7-1, calcular la armadura Asw requerida para desarrollar la resistencia al momento a ser soportada por el alma: Asw =

0,85f c' b w a w fy

siendo aw = 1,18ωwd; ωw se obtiene de la Tabla 7-1 para Muw/φf'cbwd2. Alternativamente, Asw se puede obtener de la siguiente manera: Asw =

Paso 6:

ωw f c' b w d fy

Determinar la armadura total requerida: As = Asf + Asw

Paso 7:

Verificar si la sección es controlada por tracción, con φ = 0,9: c = aw / β1 Si c/dt ≤ 0,375 la sección es controlada por tracción Si c/dt > 0,375 se debe agregar armadura de compresión

Paso 8:

Verificar la capacidad de momento:  a  h    φ M n = φ ( As − Asf ) f y  d − w  + Asf f y  d − f   ≥ M u 2  2    

siendo Asf =

0,85 f c' ( b − b w ) h f fy

7-9

aw =

( As − Asf ) f y 0,85 f c' b w

CONSIDERACIONES GENERALES – FLEXIÓN Y CARGA AXIAL El diseño o investigación de un elemento comprimido corto se basa fundamentalmente en la resistencia de su sección transversal. La resistencia de una sección transversal solicitada a una combinación de flexión y carga axial debe satisfacer tanto la condición de equilibrio de fuerzas como la condición de compatibilidad de las deformaciones (ver Parte 6). Luego la resistencia a la combinación de carga axial y momento (Pn, Mn) se multiplica por el factor de reducción de la resistencia φ que corresponda para determinar la resistencia de diseño (φPn, φMn) de la sección. La resistencia de diseño debe ser mayor o igual que la resistencia requerida: (φPn, φMn) ≥ (Pu, Mu) Todos los elementos solicitados a una combinación de flexión y carga axial se deben diseñar para satisfacer este requisito básico. Observar que la resistencia requerida (Pu, Mu) representa los efectos estructurales de las diferentes combinaciones de cargas y fuerzas que pueden solicitar una estructura. En la Parte 5 se discute la Sección 9.2. Se puede generar un "diagrama de interacción de las resistencias" graficando la resistencia a la carga axial de diseño φPn en función de la correspondiente resistencia al momento de diseño φMn; este diagrama define la resistencia "utilizable" de una sección para diferentes excentricidades de la carga. En la Figura 7-5 se ilustra un típico diagrama de interacción de las resistencias a la carga axial y al momento de diseño, que muestra los diferentes segmentos de la curva de resistencia que se permiten para el diseño. El segmento "plano" de la curva de resistencia de diseño define la resistencia a la carga axial de diseño limitante Pn(max). La Parte 5 contiene una discusión sobre 10.3.6. Como se ilustra en la figura, a medida que disminuye la resistencia a la carga axial de diseño φPn, se produce una transición entre el límite correspondiente a secciones controladas por compresión y el límite correspondiente a secciones controladas por tracción. El Ejemplo 6.4 ilustra la construcción de un diagrama de interacción. Po

Resistencai a la carga axial, Pn

Resistencia nominal (φ = 1,0)

φPo

0,80φPo

Resistencia de diseño

Lím. para sección controlada por compresión Lím. para sección controlada por tracción

φMn Mn Resistencia al momento, M n

Figura 7-5 – Diagrama de interacción de las resistencias (columna con estribos cerrados)

7 - 10

CONSIDERACIONES GENERALES – CARGA BIAXIAL Una columna está solicitada a flexión biaxial cuando la carga provoca flexión simultánea respecto de ambos ejes principales. El caso más habitual de este tipo de carga ocurre en las columnas de esquina. El diseño para flexión biaxial y carga axial se menciona en R10.3.6 y R10.3.7. La Sección 10.11.6 trata los factores de amplificación de momento por consideraciones de esbeltez para los elementos comprimidos solicitados a carga biaxial. La sección R10.3.6 establece que "las columnas de esquina y otras que estén expuestas a momentos conocidos respecto de ambos ejes que ocurren en forma simultánea se deben diseñar para flexión biaxial y carga axial." Se recomiendan dos métodos para el diseño combinado a flexión biaxial y carga axial: el Método de las Cargas Recíprocas y el Método del Contorno de las Cargas. A continuación se presentan ambos métodos, junto con una extensión del Método del Contorno de las Cargas (Método del Contorno de las Cargas de la PCA).

RESISTENCIA CON INTERACCIÓN BIAXIAL Un diagrama de interacción uniaxial define la resistencia a la combinación de carga y momento en un único plano de una sección solicitada por una carga axial P y un momento uniaxial M. La resistencia a la flexión biaxial de una columna cargada axialmente se puede representar esquemáticamente como una superficie formada por una serie de curvas de interacción uniaxial trazadas en forma radial a partir del eje P (ver Figura 7-6). Los datos para estas curvas intermedias se obtienen variando el ángulo del eje neutro (para configuraciones de deformación específica supuestas) con respecto a los ejes principales (ver Figura 7-7). La dificultad asociada con la determinación de la resistencia de las columnas armadas solicitadas a combinaciones de carga axial y flexión biaxial es fundamentalmente de naturaleza aritmética. La resistencia a la flexión de una columna cargada axialmente respecto de un eje oblicuo particular se determina mediante iteraciones que involucran cálculos sencillos pero laboriosos. Estos cálculos se vuelven aún más laboriosos si se desea optimizar la armadura o la sección transversal. Para la flexión uniaxial es habitual utilizar ayudas de diseño en forma de curvas o tablas de interacción. Sin embargo, debido a la naturaleza voluminosa de los datos y a lo difícil que resulta realizar múltiples interpolaciones, no resulta práctico desarrollar curvas o tablas de interacción para diferentes relaciones entre los momentos flectores respecto de cada eje. Por este motivo se han desarrollado varios enfoques (todos ellos basados en aproximaciones aceptables) que relacionan la respuesta de una columna en flexión biaxial con su resistencia uniaxial respecto de cada uno de sus ejes principales.

P Po

Mnx

Mn

θ

M ny

Mb , Pb Mx

My

Figura 7-6 – Superficie de interacción biaxial

7 - 11

y

Pu

ex

1

2

ey

Baricentro plástico

h

x

θ θ

Eje Neutro

c=

c

s1

3

4

0,0 03 a=

b Sección

0,8 5f´ c

s2

Pu

1c

s3 s4

De form aci ón

fs4

fs2

fs3

f s1 S1 S2 Cc

Ten sio nes S3 Fue S res rzas 4 ulta nte s

Figura 7-7 – Eje neutro que forma un ángulo respecto de los ejes principales

SUPERFICIES DE FALLA La resistencia nominal de una sección solicitada a flexión biaxial y compresión es una función de tres variables, Pn, Mnx y Mny, las cuales se pueden expresar en términos de una carga axial actuando con excentricidades ex = Mny/Pn y ey = Mnx/Pn, como se ilustra en la Figura 7-8. Una superficie de falla se puede describir como una superficie generada graficando la carga de falla Pn en función de sus excentricidades ex y ey, o de sus momentos flectores asociados Mny y Mnx. Se han definido tres tipos de superficies de falla.7.4, 7.5, 7.6 La superficie básica S1 se define mediante una función que depende de las variables Pn, ex y ey; esta superficie se ilustra en la Figura 7-9(a). A partir de S1 se puede derivar una superficie recíproca; para generar la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) se utiliza la recíproca o inversa de la carga axial nominal Pn como se ilustra en la Figura 7-9(b). El tercer tipo de superficie de falla, ilustrado en la Figura 7-9(c), se obtiene relacionando la carga axial nominal Pn con los momentos Mnx y Mny para producir la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny). La superficie de falla S3 es la extensión tridimensional del diagrama de interacción uniaxial que mencionamos anteriormente. Varios investigadores han desarrollado aproximaciones tanto para la superficie de falla S2 como para la S3 que se pueden usar para el diseño y el análisis.7.6 - 7.10 A continuación presentamos una explicación de estos métodos utilizados en la práctica actual, junto con algunos ejemplos de diseño. y

ex Pn

x

y

ey

x

Mnx = Pney Mny = Pnex

No se ilustran las barras de armadura

Figura 7-8 – Simbología utilizada para carga biaxial

7 - 12

P Curvas de interacción Pn - Mn

1/P

P Superficie de falla S1 (Pn, ex, ey)

Superficie de falla S3 (Pn, Mnx, Mny)

Superficie de falla S2 (1/Pn, ex, ey)

ex

ex

Mx

ey

ey (a) Superficie de falla S1

My (c) Superficie de falla S3

(b) Superficie de falla recíproca S2

Figura 7-9 – Superficies de falla

A.

Método de las Cargas Recíprocas de Bresler

Este método aproxima la ordenada 1/Pn en la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) mediante una ordenada correspondiente 1/P'n en el plano S'2 (1/P'n, ex, ey), el cual se define por los puntos característicos A, B y C como se indica en la Figura 7-10. Para cualquier sección transversal en particular, el valor Po (correspondiente al punto C) es la resistencia a la carga bajo compresión axial pura; Pox (correspondiente al punto B) y Poy (correspondiente al punto A) son las resistencias a la carga bajo excentricidades uniaxiales ey y ex, respectivamente. Cada punto de la superficie verdadera se aproxima mediante un plano diferente; por lo tanto, la totalidad de la superficie se aproxima usando un número infinito de planos. La expresión general para la resistencia a la carga axial p ara cualquier valor de ex y ey es la siguiente:7.6 1 1 1 1 1 ≈ = + − Pn P 'n Pox Poy Po 1/P

S2 S´2 A B

1/Py

1/Px

C 1/Po

1/P 1/Pu

y

Figura 7-10 – Método de las cargas recíprocas

7 - 13

x

Reordenando las variables se obtiene: Pn =

1 1 1 1 + − Pox Poy Po

(7)

donde: Pox = Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mnx = Pn ey Poy = Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mny = Pn ex Po = Máxima resistencia a la carga axial sin momentos aplicados Esta ecuación tiene una forma sencilla y las variables se pueden determinar fácilmente. Las resistencias a la carga axial Po, Pox y Poy se determinan usando cualquiera de los métodos presentados anteriormente para flexión uniaxial con carga axial. Resultados experimentales han demostrado que esta ecuación será razonablemente exacta si la flexión no gobierna el diseño. La ecuación sólo se debe usar si: Pn ≥ 0,1 f'c Ag

B.

(8)

Método del Contorno de las Cargas de Bresler

En este método se aproxima la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny) mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de Pn. Como se ilustra en la Figura 7-11, estas curvas se pueden considerar como "contornos de las cargas." La expresión general para estas curvas se puede aproximar7.6 por medio de una ecuación de interacción adimensional de la forma α

 M nx   M ny   +  M nox   M noy

β

  = 1, 0  

(9)

P Curvas de interacción Pn-Mn Superficie de falla S3 Plano de Pn constante

Mnox Mnoy

Mnx

Mn

Contorno de carga

Mny

Pn, Mn

Pn Mx

My Figura 7-11 – Contornos de las cargas de Bresler para Pn constante en la superficie de falla S3 7 - 14

donde Mnx y Mny son las resistencias nominales al momento biaxial en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente. Observar que estos momentos son el equivalente vectorial del momento uniaxial Mn. El momento Mnox es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto del eje x, y el momento Mnoy es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto del eje y. Los valores de los exponentes α y β son función de la cantidad, distribución y ubicación de la armadura, las dimensiones de la columna, y la resistencia y las propiedades elásticas del acero y el hormigón. Bresler7.6 indica que es razonable suponer α = β; por lo tanto, la Ecuación (9) se convierte en α

 M nx   M ny   +  M nox   M noy

α

  = 1, 0  

(10)

lo cual se representa gráficamente en la Figura 7-12. Para utilizar la Ecuación (10) o la Figura 7-12 aún es necesario determinar el valor α para la sección transversal considerada. Bresler indicó que, típicamente, α variaba entre 1,15 y 1,55 y que un valor de 1,5 era razonablemente exacto para la mayoría de las secciones cuadradas y rectangulares con armadura uniformemente distribuida. Fijando α igual a la unidad, la ecuación de interacción se vuelve lineal: M ny M nx + = 1, 0 M nox M noy

(11)

Como se ilustra en la Figura 7-12, con la Ecuación (11) siempre se obtendrán valores conservadores, ya que subestima la capacidad de la columna especialmente para el caso de cargas axiales elevadas o bajos porcentajes de armadura. Sólo se debería usar cuando Pn < 0,1 f'c Ag

(12) 1,0

=

4

a

=

0,6

1,4

3

2

a=

a=

M ny Mnoy

0,8

a

a=

1

0,4

0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

M nx Mnox

Figura 7-12 – Curvas de interacción para el Método del Contorno de las Cargas de Bresler [Ecuación (9)]

C.

Método del Contorno de las Cargas de la PCA

El enfoque de la PCA descrito a continuación fue desarrollado como una extensión o ampliación del Método del Contorno de las Cargas de Bresler. Se eligió la ecuación de interacción de Bresler [Ecuación (10)] como el método más viable en términos de exactitud, practicidad y potencial de simplificación. 7 - 15

En la Figura 7-13(a) se ilustra un contorno de carga típico según Bresler para una cierta Pn. En el método de la PCA,7.11 el punto B se define de manera tal que las resistencias nominales al momento biaxial Mnx y Mny tienen la misma relación que las resistencias al momento uniaxial Mnox y Mnoy. Por lo tanto, en el punto B M nx M nox = M ny M noy

(13)

Cuando el contorno de carga de la Figura 7-13(a) se hace adimensional toma la forma indicada en la Figura 7-13(b), y el punto B tendrá las coordenadas x e y iguales a β. Si se grafica la resistencia a la flexión en términos de los parámetros adimensionales Pn/Po, Mnx/Mnox, Mny/Mnoy (estos dos últimos llamados momentos relativos), la superficie de falla generada S4 (Pn/Po, Mnx/Mnox, Mny/Mnoy) adopta la forma típica ilustrada en la Figura 7-13(c). La ventaja de expresar el comportamiento en términos relativos es que los contornos de la superficie (Fig. 7-13(b)) – es decir, la intersección formada por los planos de Pn/Po constante y la superficie – para los propósitos del diseño se pueden considerar simétricos respecto del plano vertical que bisecta los dos planos coordenados. Aún para las secciones que son rectangulares o en las cuales la armadura no está uniformemente distribuida, esta aproximación permite obtener valores con precisión suficiente para el diseño. La relación entre α de la Ecuación (10) y β se obtiene reemplazando las coordenadas del punto B de la Figura 7-13(a) en la Ecuación (10), y resolviendo para α en función de β. Así se obtiene: α=

log 0,5 log β

My βMnox

M noy

Contorno de carga

C B

M nox

βMnoy

M noy A

Mx

M nox

Figura 7-13(a) – Contorno de cargas de la superficie de falla S3 sobre un plano de Pn constante

1,0

C

β

B Contorno de carga

M ny M noy β

45°

M nx M nox

A 1,0

Figura 7-13(b) – Contorno de cargas adimensional para Pn constante 7 - 16

Pn Po 1,0

β

β

1,0

0

Mnx Mnox

45° 1,0

Mny Mnoy

P M Mny Figura 7-13(c) – Superficie de falla S4  n , nx ,  Po Mnox Mnoy  En consecuencia la Ecuación (10) se puede escribir como:  log 0,5    log β 

 M nx     M nox 

 M ny +  M noy 

 log 0,5    log β 

   

   

= 1, 0

(14)

Para simplificar el diseño, en la Figura 7-14 se grafican las curvas generadas por la Ecuación (14) para nueve valores de β. Observar que cuando β = 0,5 (su límite inferior), la Ecuación (14) es una recta que une los puntos en los cuales los momentos relativos son iguales a 1,0 a lo largo de los planos coordenados. Cuando β = 1,0 (su límite superior), la Ecuación (14) toma la forma de dos rectas, cada una de ellas paralela a uno de los planos coordenados. 1,0

=

0,9 0,8 0,7 0,6 M ny M noy 0,5

=

50

55

50

65

70

75

80

90

85

0,4 0,3 0,2 0,1 0

Resistencia al momento uniaxial respecto del eje x = Mnox respecto del eje y = Mnoy Resistencia al momento biaxial respecto del eje x = Mnx respecto del eje y = Mny 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,7

0,8

0,9 1,00

M nx M nox

Figura 7-14 – Relación de resistencia al momento biaxial 7 - 17

Los valores de β se calcularon en base a 10.2, usando un bloque de tensiones rectangular y los principios básicos de equilibrio. Se halló que los parámetros γ, b/h y f'c no afectaban demasiado los valores de β. La máxima diferencia en β fue de alrededor de 5% para valores de Pn/Po comprendidos entre 0,1 y 0,9. La mayoría de los valores de β, especialmente en el rango de Pn/Po más utilizado, no presentaron diferencias mayores al 3%. En vista de estas pequeñas diferencias, sólo se desarrollaron envolventes de los valores de β más bajos para dos valores de fy y diferentes disposiciones de las barras, como se ilustra en las Figuras 7-15 y 7-16. Como se puede observar en las Figuras 7-15 y 7-16, β depende fundamentalmente de Pn/Po y en menor medida, aunque todavía significativamente, de la distribución de las barras, del índice de armadura ω y de la resistencia de la armadura. La Figura 7-14, junto con las Figuras 7-15 y 7-16, constituyen una manera conveniente y directa de determinar la resistencia al momento biaxial de una sección transversal dada sujeta a una carga axial, ya que los valores de Po, Mnox y Mnoy se pueden obtener fácilmente mediante los métodos antes descritos. Aunque se ha simplificado la investigación de una sección dada, sólo se puede determinar una sección que satisfaga los requisitos de resistencia impuestos por una carga excéntrica respecto de ambos ejes realizando análisis sucesivos de secciones supuestas. Se puede lograr una convergencia rápida y sencilla que permite obtener una sección satisfactoria aproximando las curvas de la Figura 7-14 por medio de dos rectas que se intersecan en la línea de 45 grados, como se ilustra en la Figura 7-7.

Disposición con 4 barras

1,0

Pn

h

x ey

0,9

y

γb

b

x

y e x 0,6 ≤ γ ≤ 1,0 3000≤f'c≤ 6000 1,0 ≤ h/b ≤ 4,0 ω = ρ fy / f'c ρ = Ast / hb

0,8

0,7

ω=0,1

ω=0,1

β 0,3

0,6

0,3

0,5

0,5

0,9

0,9

fy = 40,000 psi

1,3

0,5 0

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9 0

fy = 60,000 psi

1,3

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

Figura 7-15 (a) – Constantes para el diseño biaxial – Disposición con 4 barras

7 - 18

Disposición con 8 barras

1,0 h

Pn x ey

0,9

y

x

γb

b

y ex

0,6 ≤ γ ≤ 1,0 3000 ≤ f'c ≤ 6000 1,0 ≤ h/b ≤ 4,0 ω = ρ fy / f'c ρ = Ast / hb

0,8

β

ω=0,1 ω=1,3

0,7

ω=0,1

ω=0,1

0,3 0,5

0,3

0,9

0,6 1,3

0,5 0,9

0,5 0

1,3

fy = 40,000 psi 0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

0

fy = 60,000 psi

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

Figura 7-15 (b) – Constantes para el diseño biaxial – Disposición con 8 barras

Disposición con 12 (o más) barras - uniformemente espaciadas

1,0 h

0,9

γb

b

Pn

y ex

x ey y

x

0,6 ≤ γ ≤ 1,0 3000 ≤f'c ≤ 6000 1,0 ≤ h/b ≤ 4,0 ω = ρ fy / f'c ρ = Ast / hb

0,8

β

ω=0,1

ω=1,3

0,7

ω=0,1

ω=0,1

0,3 0,5 0,9

0,6

0,3 0,5

1,3

0,9

0,5 0

fy = 40,000 psi 0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

fy = 60,000 psi

1,3

0

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

Figura 7-16 (a) – Constantes para el diseño biaxial – Disposiciones con 12 o más barras

7 - 19

Disposiciones con 6, 8 y 10 barras

1,0

Pn

h

0,9

y

b

y

ex

x ey x

γb

0,6 ≤ γ ≤ 1,0 3000 ≤f'c ≤ 6000 1,0 ≤ h/b ≤ 4,0 ω = ρ fy / f'c ρ = Ast / hb

0,8

β

w = 1,3

0,7

w = 0,1

w = 0,1

w = 0,1

0,3

0,3

0,6

0,9

0,5

0,5

0,9

1,3

0,5 0

1,3

fy = 40,000 psi 0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

0

fy = 60,000 psi

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5 Pn / Po

0,6 0,7

0,8 0,9

Figura 7-16 (b) – Constantes para el diseño biaxial – Disposición con 6, 8 y 10 barras

Por simples consideraciones geométricas se puede demostrar que la ecuación de las rectas superiores es: M ny M noy M nx  1 − β  M ny = 1 para >  + M nox  β  M noy M nx M nox

(15)

que por conveniencia se puede escribir como:  M noy M nx   M nox

 1− β    β  + M ny = M noy  

(16)

 Mnx   1 − β  Mny =1   +  Mnox   β  Mnoy

1,0

Mnx  Mny + Mnox  Mnoy

β

Mny /Mnoy

β

  1− β  =1    β  

45°

0

Mnx /Mnox

1,0

Figura 7-17 – Aproximación bilineal de un contorno de carga adimensionalizado [Fig. 7-13(b)]

7 - 20

Para las secciones rectangulares con armadura igualmente distribuida en todas sus caras, la Ecuación (16) se puede aproximar como: M nx

b  1− β    + M ny ≈ M noy h β 

(17)

La ecuación de la recta inferior de la Figura 7-17 es:

ó

M ny  1 − β  M ny M noy M nx + <   = 1 para M nox M noy  β  M nx M nox

(18)

M M nx + M ny  nox  M noy 

(19)

 1− β  = M nox    β  

Para las secciones rectangulares con armadura igualmente distribuida en todas sus caras, M nx + M ny

h  1− β    = M nox b β 

(20)

En las ecuaciones de diseño (17) y (20), se debe seleccionar la relación b/h ó h/b y se debe suponer el valor de β. Para las columnas poco cargadas β generalmente variará entre 0,55 y alrededor de 0,70. Por lo tanto, en general una buena opción para iniciar un análisis de flexión biaxial consiste en tomar un valor de β igual a 0,65.

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO MANUAL Para ayudarle al diseñador en el diseño de columnas solicitadas a flexión biaxial, a continuación se describe un procedimiento para diseño manual: 1.

Elegir el valor de β ya sea igual a 0,65 o bien estimando un valor en base a las Figuras 7-15 y 7-16.

2.

Si Mny/Mnx es mayor que b/h, usar la Ecuación (17) para calcular una resistencia al momento uniaxial equivalente aproximada Mnoy. Si Mny/Mnx es menor que b/h, usar la Ecuación (20) para calcular una resistencia al momento uniaxial equivalente aproximada Mnox.

3.

Diseñar la sección usando cualquiera de los métodos presentados anteriormente para flexión uniaxial con carga axial para obtener una resistencia a la carga axial Pn y una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnoy o Mnox.

4.

Verificar la sección elegida mediante cualquiera de los tres métodos siguientes: a.

Método de las Cargas Recíprocas de Bresler: Pn ≤

b.

1 1 1 1 + − Pox Poy Po

(7)

Método de los Contornos de las Cargas de Bresler: M ny M nx + ≤ 1, 0 M nox M noy

c.

(11)

Método de los Contornos de las Cargas de la PCA: Usar la Ecuación (14) o bien 7 - 21

M ny M noy M nx  1 − β  M ny ≤ 1, 0 para >  + M nox  β  M noy M nx M nox

(15)

M ny  1 − β  M ny M noy M nx + <   ≤ 1, 0 para M nox M noy  β  M nx M nox

(18)

REFERENCIAS 7.1

Wang, C. K. y Salmon, C. G., "Reinforced Concrete Design," Cuarta Edición, Harper & Row Publishers, New Cork, N.Y., 1985.

7.2

Mast, R. F. (1992), "Unified Design-Provisions for Reinforced and Prestressed Concrete Flexural and Compression Members," ACI Structural Journal, V. 89, pp. 185-199.

7.3

Munshi, J. A., (1998), "Design of Reinforced Concrete Flexural Sections by Unified Design Approach," ACI Structural Journal, V. 95, pp. 618-625.

7.4

Panell, F. N., "The Design of Biaxially Loaded Columns by Ultimate Load Methods," Magazine of Concrete Research, Londres, Julio 1960, pp. 103-104.

7.5

Panell, F. N., "Failure Surfaces for Members in Compression and Biaxial Bending," ACI Journal, Proceedings, Vol. 60, Enero 1963, pp. 129-149.

7.6

Bresler, Boris, "Design Criteria for Reinforced Columns under Axial Load and Biaxial Bending," ACI Journal, Proceedings, Vol. 57, Noviembre 1960, pp. 481-490, discussion pp. 1621-1638.

7.7

Furlong, Richard W., "Ultimate Strength of Square Columns under Biaxially Eccentric Loads." ACI Journal, Proceedings, Vol. 58, Marzo 1961, pp. 1129-1140.

7.8

Meek, J. L., "Ultimate Strength of Columns with Biaxially Eccentric Loads," ACI Journal, Proceedings, Vol. 60, Agosto 1963, pp. 1053-1064.

7.9

Aas-Jakosen, A., "Biaxial Eccentricities in Ultimate Load Design," ACI Journal, Proceedings, Vol. 61, Marzo 1964, pp. 293-315.

7.10

Ramamurthy, L. N., "Investigation of the Ultimate Strength of Square and Rectangular Columns under Biaxially Eccentric Loads," Symposium on Reinforced Concrete Columns, American Concrete Institute, Detroit, 1966, pp. 263-298.

7.11

Capacity of Reinforced Rectangular Columns Subject to Biaxial Bending, Publication EB011D, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1966.

7.12

Biaxial and Uniaxial Capacity of Rectangular Columns, Publication EB031D, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1967.

7 - 22

Ejemplo 7.1 – Diseño de una viga rectangular sólo con armadura de tracción Seleccionar un tamaño de viga y la armadura requerida As para soportar momentos bajo carga de servicio MD = 56 ft-kips y ML = 35 ft-kips. Seleccionar la armadura para limitar la fisuración por flexión. f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1.

Para ilustrar un procedimiento de diseño completo para secciones rectangulares sólo con armadura de tracción, se calculará una altura mínima de viga usando la máxima armadura permitida para elementos flexionados controlados por tracción, ρt. El procedimiento de diseño seguirá el método descrito en las páginas anteriores. Paso 1.

10.3.4

Determinar la máxima cuantía de armadura para sección controlada por tracción para las resistencias de los materiales f'c = 4000 psi y fy = 60.00 psi ρt = 0,01806 de la Tabla 6-1

Paso 2.

Calcular el área bd2 requerida. Resistencia al momento requerida: Mu = (1,2 × 56) + (1,6 × 35) = 123,2 ft-kips  0,5 ρ f y R n = ρ f y 1 −  0,85 f c' 

Ec. (9-2)

  

 0,5 × 0, 01806 × 60.000  = ( 0, 01806 × 60.000 ) 1 −  = 911 psi 0,85 × 4000  

bd2 (requerida) = Paso 3.

M u 123, 2 × 12 × 1000 = = 1803 in.3 φR n 0,90 × 911

Dimensionar el elemento de manera que bd2 provista sea ≥ que bd2 requerida. Fijar b = 10 in. (ancho de las columnas) d=

1803 = 13, 4 in. 10

Altura mínima de la viga ≈ 13,4 + 2,5 = 15,9 in. Para la resistencia al momento, una viga de 10 × 16 in. es adecuada. Sin embargo, la flecha es una consideración fundamental en el diseño de las vigas por el Método de Diseño por Resistencia. La limitación de la fisuración se discute en la Parte 10. Paso 4.

Usando la altura de viga de 16 in., calcular un valor revisado de ρ. A título ilustrativo, se calculará ρ aplicando los cuatro métodos antes descritos.

7 - 23

d = 16 – 2,5 = 13,5 in. 1. Usando la Ecuación (4) (método exacto): Rn =

ρ=

Mu

(

2

φ bd provista

123, 2 × 12 × 1000

(

0,90 10 × 13,52

)

= 901 psi

 2R n  1 − 1 −   0,85f c'  

0,85f c' fy =

)

=

0,85 × 4  2 × 901 1 − 1 − 60  0,85 × 4000

  = 0, 0178 

2. Usando curvas de resistencia como las ilustradas en la Figura 7-2: para Rn = 901 psi, ρ ≈ 0,0178 3. Usando tablas de resistencia al momento tales como la Tabla 7-1: Mu φ

f c'

bd

2

=

123, 2 × 12 × 1000 0,90 × 4000 × 10 × 13,52

= 0, 2253

ω ≈ 0,2676 ρ=

ωf c' 4 = 0, 2676 × = 0, 0178 fy 60

4. Por proporciones aproximadas: ρ ≈ ( ρ original )

ρ = 0, 01806 ×

Paso 5.

( R n revisada ) ( R n original )

901 = 0, 0179 911

Calcular As requerida. As = (ρ revisada) (bd provista) = 0,0178 × 10 × 13,5 = 2,40 in.2

Comparar los resultados con los obtenidos en el Ejemplo 10.1 del documento Notes on ACI 318-99, diseñado según el código de 1999.

Mu φ Dimensiones de la viga (b × d) As requerida

Según 318-99 138 ft-k 0,9 10 × 16 in. 2,78 in.2

7 - 24

Según 318-02 123 ft-k 0,9 10 × 16 in. 2,40 in.2

La reducción de As es una consecuencia directa del hecho que, con factores de carga más bajos, no es necesario reducir φ a menos de 0,9 para flexión en los elementos controlados por tracción. 2. Se puede revisar que los cálculos sean correctos aplicando consideraciones estáticas. T = As fy = 2,40 × 60 = 144,0 kips a=

As f y 0,85 f c' b

=

144, 0 = 4, 24 in. 0,85 × 4 × 10

Resistencia al momento de diseño:   a  4, 24     φM n = φ  As f y  d −   = 0,9 144, 0 13,5 −  2  2      

= 1475 in.-kips = 122,9 ft-kips ≈ Mu requerido = 123,2 ft-kips

VERIFICA

3. Seleccionar la armadura de manera de satisfacer los requisitos de distribución de la armadura de flexión indicados en 10.6.

10.6

As requerida = 2,40 in.2 A modo de ejemplo, seleccionamos 1 barra No. 9 y 2 barras No. 8 (As = 2,40 in.2). En la práctica se prefiere utilizar un solo tamaño de barra.

Estribo No. 4

No.8 No.9 No.8

10"

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

1,5"

Máxima separación permitida, s=

540 − 2,5cc fs

Ec. (10-4)

Usar fs = 36 ksi s=

540 − (2,5 × 2, 0) = 10 in. 36

o ver Tabla 9-1: para fs = 36 y cc = 2 :: s = 10 in. Separación provista =

1 1, 0    10 − 2  1,5 + 0,5 +  2 2   

= 2,50 in. < 10 in.

VERIFICA

7 - 25

Ejemplo 7.2 – Diseño de una losa maciza armada en una dirección Determinar el espesor y la armadura requerida para una losa continua de dos o más tramos iguales armada en una sola dirección. Luz libre ℓ = 18 ft. f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi Cargas de servicio: wd = 75 psf (asumir una losa de 6 in.); wℓ = 50 psf

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Calcular las resistencias al momento requeridas usando el análisis aproximado de momentos permitido por 8.3.3. El diseño se basará en el tramo final. Carga mayorada wu = (1,2 × 75) + (1,6 × 50) = 170 psf

Ec. (9-2)

Momento positivo en el extremo discontinuo integral con el apoyo: +Mu = wu ℓn2/14 = 0,170 × 182 / 14 = 3,93 ft-kips/ft

8.3.3

Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior: –Mu = wu ℓn2/10 = 0,170 × 182 / 10 = 5,51 ft-kips/ft

8.3.3

2. Determinar el espesor de losa requerido.

10.3.3

Seleccionar un porcentaje de armadura ρ aproximadamente igual a 0,5ρt, o un medio del máximo permitido para secciones controladas por tracción, de manera de limitar la flecha a valores razonables. De la Tabla 6-1, para f'c = 4000 psi y fy = 60.000 psi: ρt = 0,01806 Fijar ρ = 0,5 (0,01806) = 0,00903 El procedimiento de diseño seguirá el método descrito anteriormente:  0,5ρf y R n = ρf y  1 −  0,85f ' c 

  

 0,5 × 0, 00903 × 60.000  = ( 0, 00903 × 60.000 )  1 −  = 499 psi 0,85× 4000  

d requerida: d =

Mu = φR n b

5,51× 12.000 = 3,50 in. 0,90 × 499 × 12

Suponiendo barras No. 5, h requerida es h = 3,50 + 0,31/2 + 0,75 = 4,41 in. Estos cálculos indican que un espesor de losa de 4,5 in. es adecuado. Sin embargo, la Tabla 9-5(a) indica un espesor mínimo de ℓ/24 ≥ 9 in., a menos que se calculen las flechas. También se debe observar que la Tabla 95(a) sólo es aplicable a "elementos que no soportan ni están unidos a tabiques u otros elementos no estructurales que pueden sufrir daños por grandes flechas." Si no se satisface esta condición es necesario calcular las flechas. 7 - 26

A título ilustrativo se calculará la armadura requerida para h = 4,5 in., d = 3,59 in. 3. Calcular la armadura de momento negativo requerida. Rn =

Mu φbd

2

=

5,51× 12 × 1000 = 475 0,9 × 12 × 3,592

 475  ρ ≈ 0, 00903   = 0, 00860  499 

–As (requerida) = ρbd = 0,00860 × 12 × 3,59 = 0,37 in.2/ft Usar barras No. 5 con una separación de 10 in. (As = 0,37 in.2/ft) 4. Para la armadura de momento positivo usar la Tabla 7-1: Mu φ

f c'

bd

2

=

3,93 × 12.000 0,90 × 4000 × 12 × 3,592

= 0, 0847

De la Tabla 7-1, ω = 0,090 ρ=

ωf c' 4 = 0, 090 × = 0, 006 fy 60

+As (requerida) = ρbd = 0,006 × 12 × 3,59 = 0,258 in.2/ft Usar barras No. 4 con una separación de 9 in. (As = 0,27 in.2/ft) o barras No. 5 con una separación de 12 in. (As = 0,31 in.2/ft)

7 - 27

Ejemplo 7.3 – Diseño de una viga rectangular con armadura de compresión Las dimensiones de la sección transversal de una viga se limitan a los valores ilustrados. Determinar el área de armadura requerida para momentos bajo carga de servicio MD = 430 ft-kips y ML = 175 ft-kips. Verificar los requisitos para limitación de la fisuración del artículo 10.6. d´=2,5"

b = 12"

A´s

f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi

d t = 30" d = 28,8"

As

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar la armadura requerida. Paso 1.

Determinar si se requiere armadura de compresión. Mu = 1,2 MD + 1,6 ML = 796 ft-kips

Ec. (9-2)

Mn = Mu / φ = 796 / 0,9 = 884 ft-kips Rn =

Mn bd

2

=

884 × 12 × 1000 = 982 12 × 302

Este valor es mayor que el máximo Rn de 911 para secciones controladas por tracción construidas de hormigón de 4000 psi, sin armadura de compresión (ver Tabla 6-1). Además, parece que será necesario usar dos capas de armadura. Estimar d = dt – 1,2 in. = 28,8 in. Paso 2.

Hallar el momento de resistencia nominal resistido por el hormigón de la sección, sin armadura de compresión. ρt = 0,01806 de la Tabla 6-1  30  d  ρ = ρ t  t  = 0, 01806   = 0, 01881  d   28,8 

ω=ρ

fy f 'c

= 0, 01881×

(6)

60 = 0, 282 4

7 - 28

M nt f 'c bd 2

= 0, 2351 de la Tabla 7-1

Mnt = 0,2351 × 4 × 12 × 28,82 = 9360 in.-kips = 780 ft-kips resistidos por el hormigón Resistencia al momento requerida a ser resistida por la armadura de compresión: M'n = 884 - 780 = 104 ft-kips Paso 3.

Determinar la tensión en el acero de compresión f's. Verificar la fluencia de la armadura de compresión. Como la sección se diseñó para el límite de deformación específica neta de tracción correspondiente a sección controlada por tracción εt = 0,005, c/dt = 0,375 c = 0,375 dt = 0,375 × 30 = 11,25 in. d'c/c = 2,5 / 11,25 = 0,22 < 0,31 La armadura de compresión entra en fluencia al alcanzar la resistencia nominal (f's = fy)

Paso 4.

Determinar la armadura total requerida: A 's = =

M 'n f y ( d − d ') 104 × 12 × 1000 = 0, 79 in.2 60.000 ( 28,8 − 2,5 )

As = 0,79 + ρbd = 0,79 + (0,01881 × 12 × 28,8) = 7,29 in.2 Paso 5.

Verificar la capacidad de momento. Cuando la armadura de compresión entra en fluencia: a=

( As − A 's ) f y 0,85 f 'c b

=

6,50 × 60 = 9,56 in. 0,85 × 4 × 12

  a  φ M n = φ ( A s − A 's ) f y  d −  + A 's f y ( d − d ' )  2      9,56   = 0,9 6,50 × 60  28,8 − + ( 0, 79 × 60 )( 28,8 − 2,5 )  /12  2    

= 796 ft-kips = Mu = 796 ft-kips

VERIFICA

2. Seleccionar la armadura para satisfacer los criterios de fisuración por flexión de 10.6. Armadura de compresión: Seleccionar 2 barras No. 6 (A's = 0,88 in.2 > 0,79 in.2)

7 - 29

Armadura de tracción: Seleccionar 6 barras No. 10 en dos capas (As = 7,62 in.2 > 7,29 in.2)

Estribo No. 4

6 No. 10 1" libre dcg= 3,77"

1,5" b = 12"

Máxima separación permitida, s=

540 − 2,5 cc fs

Ec. (10-4)

Cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in. Usar fs = 36 ksi s=

540 − (2,5 × 2) = 10 in. 36

Separación provista =

1 1, 27    12 − 2 1,5 + 0,5 +  2 2   

= 4,68 in. < 10 in.

VERIFICA

4. Se requieren zunchos o estribos cerrados en toda la distancia en la cual por motivos de resistencia se requiere armadura de compresión. Máxima separación = 16 × diámetro de las barras longitudinales = 16 × 0,75 = 12 in. (determinante) = 48 × diámetro de las barras de los estribos = 48 × 0,5 = 24 in. = menor dimensión del elemento = 12 in. Usar smax = 12 in. para estribos No. 4

7 - 30

7.11.1 7.10.5.2

Comparar la armadura requerida con la del Ejemplo 10.3 del documento Notes on ACI 318-99.

Mu φ A's requerida As requerida Armadura total

Según 318-99 900 ft-k 0,9 0,47 in.2 8,17 in.2 8,67 in.2

Según 318-02 796 ft-k 0,9 0,79 in.2 7,29 in.2 8,08 in.2

Según 318-02 suponiendo dt = d 796 ft-k 0,9 0,97 7,21 8,18

Se requiere algo más de acero de compresión, pero usando ACI 318-02 se obtiene una reducción significativa del acero de tracción. También se indican los resultados de un cálculo (no incluido) realizado usando la hipótesis simplificadora d = dt. El acero adicional es de apenas 1,2 por ciento.

7 - 31

Ejemplo 7.4 – Diseño de una sección con alas sólo con armadura de tracción Seleccionar la armadura para la sección ilustrada, de manera que soporte los siguientes momentos por carga permanente y sobrecarga de servicio: MD = 72 ft-kips y ML = 88 ft-kips.

be= 30"

f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi

a

2,5" d t = 19" As 10"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar la resistencia a la flexión requerida. Mu = (1,2 × 72) + (1,6 × 88) = 227 ft-kips

Ec. (9-2)

2. Usando la Tabla 7-1, determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, como para una sección rectangular. Asumir φ = 0,9. Mu φ f 'c bd 2

=

227 × 12 = 0, 0699 0,9 × 4 × 30 × 192

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,073 a=

As f y 0,85 f 'c b

=

ρdf y 0,85 f 'c

= 1,18ωd = 1,18 × 0, 073 × 19 = 1, 64 in. < 2,5in.

Como a < hf, determinar As como para una sección rectangular (para el caso que a > hf ver el Ejemplo 7.5). Verificar φ: c = a / β1 = 1,64 / 0,85 = 1,93 in. c / dt = 1,93 / 19 = 0,102 < 0,375 La sección es controlada por la tracción, y φ = 0,9. 3. Calcular As requerida. As fy = 0,85 f'c ba

7 - 32

As =

0,85 × 4 × 30 × 1, 64 = 2, 78 in.2 60

Alternativamente, As = ρbd = ω

= 0, 073 ×

f 'c bd fy

4 × 30 × 19 = 2, 77 in.2 60

Intentar con 3 barras No. 9 (As = 3,0 in.2) 4. Verificar armadura mínima requerida.

10.5

Para f'c < 4444 psi, ρmin =

Ec. (10-3)

200 200 = = 0, 0033 fy 60.000

As 3, 0 = = 0, 0053 > 0, 0033 b w d 30 × 19

VERIFICA

5. Verificar distribución de la armadura.

10.6

Máxima separación permitida, s=

540 − 2,5cc fs

Ec. (10-4) Estribo No. 4

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in. Usar fs = 36 ksi s=

3 No. 9

540 − ( 2,5 × 2, 0 ) = 10 in. 36 1,5"

Separación provista =

1 1,128    10 − 2  1,5 + 0,5 +  2 2   

= 2,44 in. < 10 in.

10"

VERIFICA

7 - 33

2,56"

Ejemplo 7.5 – Diseño de una sección con alas sólo con armadura de tracción Seleccionar la armadura para la sección en Te ilustrada, para soportar un momento mayorado Mu = 400 ft-kips. be = 30"

f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi

2,5"

a

19"

As 10"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar la armadura requerida. Paso 1.

Usando la Tabla 7-1, determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, como para una sección rectangular. Asumir que la sección es controlada por tracción, φ = 0,9. Mn = Mu / φ = 400 / 0,9 = 444 ft-kips Asumir a < 2,5 in. Mn f 'c bd

2

=

444 × 12 = 0,123 4 × 30 × 192

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,134 a=

As f y 0,85 f 'c b

= 1,18ω d

= 1,18 × 0,134 × 19 = 3,0 in. > 2,5 in. Paso 2.

Como el valor de a calculado como para sección rectangular es mayor que el espesor del ala, el bloque de tensiones equivalente se extiende hacia el alma, y el diseño se debe basar en un comportamiento como sección Te. Para el caso en que a es menor que el espesor del ala, ver el Ejemplo 7.4.

Paso 3.

Calcular la armadura requerida Asf y la resistencia nominal al momento requerida Mnf correspondientes al ala que sobresale de la viga solicitada a compresión (ver Parte 6). Resistencia a la compresión del ala Cf = 0,85 f'c (b – bw) hf 7 - 34

= 0,85 × 4 (30 – 10) 2,5 = 170 kips Asf requerida para equilibrar Cf: Cf 170 = = 2,83 in.2 fy 60

Asf =

Resistencia nominal al momento del ala:  h   M nf =  A sf f y  d − f   2   

= [2,83 × 60 (19 – 1,25)] / 12 = 251 ft-kips Paso 4.

Resistencia nominal al momento requerida a ser soportada por el alma de la viga: Mnw = Mn – Mnf = 444 – 251 = 193 ft-kips

Paso 5.

Usando la Tabla 7-1, calcular la armadura Asw requerida para desarrollar la resistencia al momento a ser soportada por el alma. M nw f 'c bd 2

=

193 × 12 = 0,1604 4 × 10 × 192

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,179 ρw = 0,179 ×

Paso 6.

4 = 0, 01193 60

Verificar si la sección es controlada por tracción, con φ = 0,9: ρt = 0,01806 de la Tabla 6-1 Por lo tanto, ρw < ρt y la sección es controlada por tracción (φ = 0,9) Asw = ρw bd = 0,01193 × 10 × 19 = 2,27 in.2

Paso 7.

Armadura total requerida para soportar el momento mayorado Mu = 400 ft-kips: As = Asf + Asw = 2,83 + 2,27 = 5,10 in.2

Paso 8.

Verificar la capacidad de momento.  a  φ M n = φ  A − Asf f y  d − w 2  

(

aw =

(A

s

)

hf    + Asf f y  d − 2  

  

)

− A sf f y

0,85 f 'c b w

7 - 35

=

( 5,10 − 2,83) × 60 0,85 × 4 × 10

= 4, 01 in.

 4, 01  2,5     φM n = 0,9 ( 5,10 − 2,83) 60 19 − + ( 2,83 × 60 )  19 −  / 12  2  2     

= 400 ft-kips = Mu = 400 ft-kips

VERIFICA

2. Seleccionar la armadura para satisfacer los criterios de limitación de la fisuración.

10.6

Intentar con 5 barras No. 9 dispuestas en dos capas (As = 5,00 in.2) (2% menos de lo requerido, se supone suficiente) Máxima separación permitida, s=

540 − 2,5cc fs

Ec. (10-4)

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in. Usar fs = 36 ksi s=

540 − (2,5 × 2, 0) = 10 in. 36

Separación provista =

1 1,128    10 − 2  1,5 + 0,5 +  2 2   

= 2,44 in. < 10 in.

VERIFICA

Estribo No. 4 5 No. 9 1" libre dcg=3,41" 1,5" 10"

Nota: Se requieren dos capas de armadura, lo cual puede no haber sido reconocido al suponer d igual a 19 in. Además, la armadura provista es ligeramente menor que la requerida. Por lo tanto, la altura total debería ser algo mayor que d + dcg = 22,41 in., o bien se debería aumentar la cantidad de armadura.

7 - 36

Ejemplo 7.6 – Diseño de un sistema nervurado armado en una dirección Determinar la altura y armadura requerida para el sistema nervurado ilustrado a continuación. Los nervios tienen 6 in. de ancho y la separación entre centros es de 36 in. La altura de la losa es de 3,5 in. f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi DL de servicio LL de servicio

= 130 psf (se asume como total correspondiente a los nervios y las vigas más las cargas permanentes impuestas) = 60 psf

Ancho de las vigas perimetrales Ancho de las vigas interiores Columnas:

= 20 in. = 36 in.

interiores = 18 × 18 in. exteriores = 16 × 16 in.

Altura de piso (típica)

= 13 ft

3 cada 30'-0" = 90'-0"

5 cada 30'-0" = 150'-0"

A

A

Nervios

30'-0" 8" 1'-0"

N

ℓn = 27,5'

30'-0" ℓn = 27,0'

3'-0"

15'-0" 3'-0"

ℓn = 27,0'

Sim. respecto del eje

Corte A-A

7 - 37

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Calcular los momentnos mayorados en las caras de los apoyos y determinar la altura de los nervios. wu = [(1,2 × 0,13) + (1,6 × 0,06)] × 3 = 0,756 kips/ft

Ec. (9-2)

Usando los coeficientes aproximados, los momentos mayorados en el tramo son los siguientes: Ubicación Tramo exterior Ext. neg. Pos. Int. neg. Tramo interior Pos. Neg.

Mu (ft-kips) wuℓn2 / 24 = 0,756 × 27,52 / 24 = 23,8 wuℓn2 / 14 = 0,756 × 27,52 / 14 = 40,8 wuℓn2 / 10 = 0,756 × 27,52 / 10 = 56,1 wuℓn2 / 16 = 0,756 × 272 / 16 = 34,4 wuℓn2 / 11 = 0,756 × 272 / 11 = 50,1

Para una limitación razonable de las flechas, seleccionar una cuantía ρ igual a aproximadamente 0,5ρt. De la Tabla 6-1, ρt = 0,01806. Fijar ρ = 0,5 × 0,01806 = 0,00903 Determinar la altura requerida de los nervios en base a Mu = 56,1 ft-kips: ω=

ρ fy f 'c

=

0, 00903 × 60 = 0,1355 4

De la Tabla 7-1, Mu / φ f'c bd2 = 0,1247 d=

Mu = φf 'c b w ( 0,1247 )

56,1× 12 = 15,8 in. 0,9 × 4 × 6 × 0,1247

h ≈ 15,8 + 1,25 = 17,1 in. De la Tabla 9-5(a), la mínima altura requerida para los nervios es: h min =

A 30 × 12 = = 19,5 in. 18,5 18,5

Usar nervios de 19,5 in. de altura (16 + 3,5). 2. Calcular la armadura requerida. a. Tramo exterior, momento exterior negativo Mu φ f 'c bd

2

=

23,8 × 12 = 0, 0397 0,9 × 4 × 6 × 18, 252

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,041 7 - 38

8.3.3

As =

ωbdf 'c 0, 041× 6 × 18, 25 × 4 = = 0,30 in.2 fy 60

Para f'c < 4444 psi, usar 200b w d 200 × 6 × 18, 25 = = 0,37in.2 > A s fy 60.000

As,min =

Ec. (10-3)

Distribuir las barras uniformemente en la losa superior: As =

0,37 = 0,123 in.2 / ft 3

Usar barras No. 3 con una separación de 10 in. (As = 0,13 in.2 / ft) b. Tramo exterior, momento positivo Mu φ f 'c bd

2

=

40,8 × 12 = 0, 0113 0,9 × 4 × 36 × 18, 252

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,012 As =

ωbdf 'c 0, 012 × 36 × 18, 25 × 4 = = 0,53 in.2 fy 60

Verificar comportamiento de sección rectangular: a=

As f y ' c

0,85 f b

=

0,53 × 60 = 0, 26 in. < 3,5 in. 0,85 × 4 × 36

VERIFICA

Usar 2 barras No. 5 (As = 0,62 in.2) c. Tramo exterior, momento interior negativo Mu φ f 'c bd

2

=

56,1× 12 = 0, 0936 0,9 × 4 × 6 × 18, 252

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,100 As =

ωbdf 'c 0,100 × 6 × 18, 25 × 4 = = 0, 73 in.2 fy 60

Distribuir la armadura uniformemente en la losa: As =

0, 73 = 0, 24 in.2 / ft 3

Usar barras No. 5 con una separación de 12 in. por consideraciones de limitación de la fisuración (ver Tabla 9-1).

7 - 39

d. La armadura para las demás secciones se obtiene de manera similar. La siguiente tabla resume los resultados. Observar que en todas las secciones se satisfacen los requisitos de 10.6 sobre limitación de la fisuración. Ubicación Tramo exterior Ext. neg. Pos. Int. neg. Tramo interior Pos. Neg.

Mu (ft-kips)

As (in.2)

Armadura

23.8 40.8 56.1

0.37 0.53 0.73

Barras No. 3 separadas 10 in. 2 barras No. 5 Barras No. 5 separadas 12 in.*

34.4 50.1

0.42 0.65

2 barras No. 5 Barras No. 5 separadas 12 in.

* Separación máxima de 12 in. requerida para limitar la fisuración en la losa.

e. A menudo la armadura de la losa normal a los nervios se coloca a la mitad de la altura de la losa de manera que resista tanto momento positivo como momento negativo. Usar M u =

w u A 2n 0,185 × 2,52 = = 0, 096 ft − kips 12 12

donde wu = 1,2 (44 + 30) + 1,6 (60) = 185 psf = 0,185 kips-ft2 Mu φf 'c bd

2

=

0, 096 × 12 = 0, 0087 0,9 × 4 × 12 × 1, 752

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,0087 As =

ωbdf 'c 0, 0087 × 12 × 1, 75 × 4 = = 0, 01 in.2 / ft fy 60

Para las losas, la armadura mínima está determinada por los requisitos dados en 7.12.2.1: As,min = 0,0018 × 12 × 3,5 = 0,08 in.2/ft smax= 5h = 5 × 3,5 = 17,5 in. (valor determinante)

7.12.2.2

= 18 in. Usar barras No. 3 con una separación de 16 in. (As = 0,08 in.2/ft) 3. Se debe verificar el corte en los apoyos. Dado que los nervios satisfacen los requisitos de 8.11, se permite que la contribución del hormigón a la resistencia al corte Vc sea 10% mayor que la especificada en el Capítulo 11.

7 - 40

8.11.8

Ejemplo 7.7 – Diseño de vigas continuas Determinar la altura y armadura requerida para las vigas de apoyo ubicadas a lo largo de la línea de columnas interiores del Ejemplo 7.6. El ancho de las vigas es de 36 in. f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi DL de servicio LL de servicio Columnas:

= 130 psf (se asume como total correspondiente a los nervios y las vigas más las cargas permanentes impuestas) = 60 psf

interiores = 18 × 18 in. exteriores = 16 × 16 in.

Altura de piso (típica)

= 13 ft

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Calcular los momentos mayorados en las caras de los apoyos y determinar la altura de la viga. wu = [(1,2 × 0,13) + (1,6 × 0,06)] × 30 = 7,56 kips/ft

Ec. (9-2)

Usando los coeficientes aproximados, los momentos mayorados en los tramos son los siguientes: Ubicación Tramo exterior Ext. neg. Pos. Int. neg. Tramo interior Pos.

Mu (ft-kips) wuℓn2 / 16 = 7,56 × 28,582 / 16 = 385,9 wuℓn2 / 14 = 7,56 × 28,582 / 14 = 441,1 wuℓn2 / 10 = 7,56 × 28,542 / 10 = 615,8 wuℓn2 / 16 = 7,56 × 28,502 / 16 = 383,8

Por motivos de economía global, seleccionar la altura de la viga igual a la altura de los nervios determinada en el Ejemplo 7.6. Verificar la altura de 19,5 in. para Mu = 615,8 ft-kips: De la Tabla 6-2: φR nt = 820 =

M ut bd 2

M ut = 820 × 36 × 17 2 /1000 = 8531 in.-kips = 711 ft-kips

M u < M ut

La sección será controlada por tracción sin armadura de compresión. Verificar la altura de la viga en base a los criterios para limitación de las flechas de la Tabla 9.5(a):

7 - 41

8.3.3.3

A 30 × 12 = = 19,5 in. 18,5 18,5

h min =

VERIFICA

Usar una viga de 36 × 19,5 in. 2. Calcular la armadura requerida: a. Tramo exterior, momento exterior negativo Mu φ f 'c bd

2

=

385,9 × 12 = 0,1236 0,9 × 4 × 36 × 17 2

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,134 As =

ωbdf 'c 0,134 × 36 × 17 × 4 = = 5, 47 in.2 fy 60

Para f'c < 4444 psi, usar As,min =

200b w d 200 × 36 × 17 = = 2, 04in.2 fy 60.000

Ec. (10-3)

Usar 7 barras No. 8 (As = 5,53 in.2) Verificar los requisitos sobre distribución de la armadura de flexión de 10.6. Máxima separación permitida, s=

540 − 2,5cc fs

Ec. (10-4)

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in. Usar fs = 0,6 fy = 36 ksi s=

540 − ( 2,5 × 2, 0 ) = 10 in. 36

Separación provista =

1 1, 0    36 − 2 1,5 + 0,5 +  6 2   

= 5,17 in. < 10 in.

VERIFICA

b. Tramo exterior, momento positivo Mu φ f 'c bd 2

=

441,1× 12 = 0,1413 0,9 × 4 × 36 × 17 2

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,156

7 - 42

As =

ωbdf 'c 0,156 × 36 × 17 × 4 = = 6,37 in.2 fy 60

Usar 11 barras No. 7 (As = 6,60 in.2) Observar que esta armadura satisface los requisitos de fisuración de 10.6.4 y cabe adecuadamente dentro del ancho de la viga. También se la puede usar de forma conservadora en la sección correspondiente a la mitad del tramo interior. c. Tramo exterior, momento interior negativo Mu φ f 'c bd 2

=

615,8 × 12 = 0,1973 0,9 × 4 × 36 × 17 2

De la Tabla 7-1, ω ≈ 0,228 As =

ωbdf 'c 0, 228 × 36 × 17 × 4 = = 9,30 in.2 fy 60

Usar 10 barras No. 9 (As = 10,0 in.2) Esta armadura también satisface los requisitos de fisuración y separación.

7 - 43

Ejemplo 7.8 – Diseño de una columna cuadrada con carga biaxial Determinar las dimensiones y la armadura requerida para una columna con estribos cerrados para las siguientes cargas y momentos mayorados. Suponer que la armadura está igualmente distribuida en todas las caras. Pu = 1200 kips; Mux = 300 ft-kips;

Muy = 125 ft-kips

f'c = 5000 psi; fy = 60.00 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar las resistencias nominales requeridas, asumiendo comportamiento controlado por compresión. Pn =

Pu 1200 = = 1846 kips φ 0, 65

M nx =

M ny =

M ux 300 = = 461,5 ft-kips φ 0, 65 M uy φ

=

125 = 192,3 ft-kips 0, 65

2. Asumir β = 0,65 3. Determinar una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnox o Mnoy. M ny M nx

=

192,3 b = 0, 42 es menor que = 1, 0 (columna cuadrada) 465,1 h

Por lo tanto, usando la Ecuación (19) M nox ≈ M nx + M ny

h  1− β    b β 

  1 − 0, 65   = 461,5 + 192,3 × (1, 0 )    = 565,1 ft-kips  0, 65   

4. Suponiendo una columna cuadrada de 24 × 24 in., determinar la armadura requerida para proveer una resistencia a la carga axial Pn = 1846 kips y una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnox = 565,1 ft-kips. La siguiente figura es un diagrama de interacción para esta columna con 4 barras No. 11. La sección con esta armadura es adecuada para (Pn, Mnox).

7 - 44

9.3.2.2(b)

3000

Carga axial, kips

2500

2000

1500

1000

500

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Momento Flector, ft-kips

5. Ahora verificamos la sección elegida para la resistencia biaxial usando cada uno de los tres métodos presentados en la discusión. a. Método de las Cargas Recíprocas de Bresler Verificar Pn ≥ 0,1 f'c Ag 1714 kips > 0,1 (5) (576) = 288 kips

(8) VERIFICA

Para usar este método es necesario determinar Po, Pox y Poy.

(

)

Po = 0,85f 'c A g − A st + A st f y

= 0,85 ( 5 )( 576 − 6, 24 ) + 6, 24 ( 60 ) = 2796 kips

Pox es la resistencia a la carga uniaxial cuando sobre la columna sólo actúa Mnx. Del diagrama de interacción, Pox = 2225 kips cuando Mnx = 461,5 ft-kips. De manera similar, Poy = 2575 kips cuando Mny = 192,3 ft-kips. Observar que tanto Pox como Poy son mayores que la fuerza axial balanceada, de modo que la sección es controlada por compresión. Usando estos valores se puede evaluar la Ecuación (7): Pn = 1846 kips ≤

1 1 1 1 + − Pox Poy Po

7 - 45

<

1 = 2083 kips 1 1 1 + − 2225 2575 2796

VERIFICA

b. Método del Contorno de las Cargas de Bresler Como no hay datos disponibles, se elige un valor conservador α = 1,0. Aunque Pu > 0,1 f'c Ag, se incluirán los cálculos necesarios a título ilustrativo. Dado que la sección es simétrica, Mnox es igual a Mnoy. Del diagrama de interacción, Mnox = 680 ft-kips para Pn = 1846 kips. Usando el valor anterior se puede evaluar la Ecuación (11): M ny M nx 461,5 192,3 + = + = 0, 68 + 0, 28 = 0,96 < 1, 0 M nox M noy 680 680

VERIFICA

c. Método del Contorno de las Cargas de la PCA Antes de aplicar este método es necesario hallar Po, Mnox, Mnoy y el valor real de β.

(

)

Po = 0,85f 'c A g − A st + Ast f y = 0,85 ( 5 )( 576 − 6, 24 ) + 6, 24 ( 60 ) = 2796 kips

Dado que la sección es simétrica, Mnox es igual a Mnoy. Del diagrama de interacción, Mnox = 680 ft-kips para Pn = 1846 kips. Una vez que se conoce Po y usando ρg (real), el valor real de β se determina de la siguiente manera: Pn 1846 = = 0, 66 Po 2796

ω=

ρg f y f 'c

( 6, 24 / 24 ) = 0,13 = 2

5

De la Figura 7-15(a), β = 0,66 Usando los valores hallados se puede evaluar la Ecuación (13):  log 0,5    M nx  log β 

    M nox 

 M ny +  M noy 

 log 0,5    log β 

   

≤ 1, 0

log 0,5 = –0,3 log β = log 0,66 = – 0,181 log 0,5 = 1, 66 log β 1,66

 461,5   680   

1,66

 192,3  +   680 

= 0,53 + 0,12 = 0, 65 < 1, 0

VERIFICA

7 - 46

Esta sección también se puede verificar usando la aproximación bilineal. Como

M ny M nx

<

M noy M nox

se debería usar la Ecuación (17).

M ny  1 − β  461,5 192,3  1 − 0, 66  M nx + +  =   M nox M noy  β  680 680  0, 66 

= 0,68 + 0,15 = 0,83 < 1,0

VERIFICA

7 - 47

8 Redistribución de los Momentos

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 En el Código 2002, los requisitos de diseño unificado para redistribución de momentos ahora se encuentran en la Sección 8.4, y los requisitos anteriores fueron trasladados a B.8.4 aunque aún está permitido usarlos. Estos nuevos requisitos se aplican tanto al hormigón no pretensado como al hormigón pretensado. La Figura R8.4 del nuevo comentario muestra cómo se relacionan los nuevos requisitos con los requisitos anteriores, y con la capacidad disponible calculada para secciones no pretensadas. La Referencia 8.1 contiene una figura similar para secciones pretensadas.

8.4

REDISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS NEGATIVOS EN ELEMENTOS CONTINUOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

La sección 8.4 permite una redistribución de los momentos negativos en los elementos continuos solicitados a flexión cuando la deformación específica neta de tracción es mayor que una cierto valor. Este requisito reconoce el comportamiento inelástico de las estructuras de hormigón y constituye un paso hacia el "diseño en estado límite." En el Código ACI 1963 se permitió por primera vez ajustar los momentos negativos en 10 por ciento. La experiencia con la aplicación de este requisito, aunque satisfactoria, era conservadora. El Código de 1971 aumentó el máximo porcentaje de redistribución admisible. Este aumento se fundamentaba en el estado del conocimiento sobre el comportamiento bajo cargas últimas y de servicio logrado a partir de ensayos y estudios analíticos. La aplicación de 8.4 permitirá, en muchos casos, una importante reducción de la armadura requerida sin una reducción de la seguridad, y reducirá la congestión de la armadura en las regiones de momento negativo. De acuerdo con 8.9, los elementos continuos se deben diseñar para resistir más de una configuración de sobrecargas. Se realiza un análisis elástico para cada una de las configuraciones, y se obtiene un momento envolvente para diseñar cada sección. De este modo, para cualquiera de las condiciones de carga consideradas, ciertas secciones en un tramo dado alcanzarán el momento último mientras otras aún tendrán capacidad de reserva. Ensayos realizados han demostrado que una estructura puede continuar

soportando cargas adicionales si las secciones que han alcanzado sus capacidades de momento continúan rotando como rótulas plásticas y redistribuyen los momentos a las demás secciones hasta que se forma un mecanismo de colapso. Reconocer esta capacidad de carga adicional, superior a la del diseño original, sugiere la posibilidad de un rediseño que permita ahorrar materiales. La Sección 8.4 permite un rediseño disminuyendo o aumentando los momentos elásticos negativos para cada condición de carga (con las correspondientes modificaciones de los momentos positivos que exige la estática). Estas variaciones de los momentos pueden ser tales que reduzcan tanto el momento máximo positivo como el momento máximo negativo de la envolvente final de los momentos. A fin de asegurar una adecuada capacidad de rotación, la deformación específica neta de tracción en las secciones en los apoyos deben satisfacer 8.4. El Ejemplo 8.1 ilustra este requisito. En ciertos casos, el beneficio más importante que se obtendrá de la Sección 8.4 será simplemente una reducción del momento negativo en los apoyos, que servirá para evitar la congestión de armaduras o para reducir las dimensiones del hormigón. Los límites de aplicación de la Sección 8.4 se pueden resumir de la siguiente manera: 1.

Los requisitos se aplican a elementos continuos no pretensados y pretensados solicitados a flexión.

2.

Los requisitos no se aplican a elementos diseñados usando los momentos aproximados de 8.3.3, ni a sistemas de losas diseñadas por el Método de Diseño Directo (13.6.1.7).

3.

Los momentos flectores se deben determinar mediante métodos analíticos, tales como distribución de momentos, etc. No está permitido redistribuir momentos calculados mediante métodos aproximados.

4.

Sólo se permite redistribuir los momentos cuando la deformación específica neta de tracción no es menor que 0,0075 (8.4.3).

5.

El máximo porcentaje de disminución o aumento admisible para el momento negativo es igual a 1000 εt, pero nunca puede ser mayor que 20 por ciento (8.4.1).

6.

El ajuste de los momentos negativos se realiza para cada configuración de cargas considerada. Luego los elementos se dimensionan para los máximos momentos ajustados obtenidos de todas las condiciones de carga.

7.

El ajuste de los momentos negativos en los apoyos de cualquier tramo requiere ajustar los momentos positivos de dicho tramo (8.4.2). Para mantener el equilibrio, una disminución de un momento negativo en un apoyo requiere un aumento del momento positivo del tramo.

8.

Se debe mantener el equilibrio estático en todas las uniones, antes y después de la redistribución de los momentos.

9.

En el caso de momentos negativos desiguales actuando a ambos lados de un apoyo fijo (es decir, cuando los tramos adyacentes son desiguales), la diferencia entre estos dos momentos se toma hacia el apoyo. Si se ajustan uno o ambos momentos negativos, la diferencia resultante entre los momentos ajustados se toma hacia el apoyo.

10. Se pueden realizar ciclos adicionales de redistribución de momentos. Luego de cada ciclo de redistribución se calcula un nuevo incremento o disminución porcentual admisible para el momento negativo. En general un solo ciclo es suficiente. En la nueva Sección 8.4 el porcentaje de redistribución admisible se define en términos de la deformación específica neta de tracción εt. Existe una relación entre la deformación específica en el acero εt a una profundidad d y el coeficiente adimensional de resistencia Rn / f'c ó Mn / (f'c bd2). Por lo tanto, si se conoce la resistencia nominal al momento Mn requerida, la deformación específica en el acero εt se puede hallar de forma directa. A continuación se presenta la derivación correspondiente (ver Fig. 81):

8-2

0,003 a

c

C

d

d-a 2

T

εt Figura 8-1 – Deformaciones y tensiones Sea r =

0, 003 ε t + 0, 003

Por similitud de triángulos: c = rd; a = β1c = β1rd C = 0,85 f 'c ba

β rd  a   βr  M n = C  d −  = 0,85 f 'c b β1rd  d − 1  = f 'c bd 2 × 0,85β1r  1 − 1  2 2 2        βr = 0,85 β1r  1 − 1  2  f 'c bd  Mn

Ec. (1)

2

Observar que la Ecuación (1) no depende de la resistencia del acero. La Ecuación (1) es válida para todos los tipos de acero, incluyendo el acero de pretensado. La Figura 8-2 ilustra la relación entre la redistribución admisible, la deformación específica neta de tracción y el coeficiente de resistencia. Para determinar la redistribución de momentos admisible se puede utilizar el siguiente procedimiento. 1.

Determinar los momentos flectores mayorados en los apoyos mediante algún método analítico. Calcular el coeficiente de resistencia Mn / f'cbd2 ó Mu / (φf'cbd2) en los apoyos.

2.

Ingresar a la Figura 8-2 con el valor de Mu / (φf'cbd2). Subir hasta la curva que corresponda, y leer la ordenada para hallar el porcentaje de redistribución admisible.

3.

Ajustar los momentos en los apoyos, y ajustar los momentos positivos correspondientes de manera de satisfacer la condición de equilibrio.

Habitualmente ocurre que la cantidad de acero provisto usando tamaños de barra discretos es algo superior a la requerida. Esto reduce ligeramente εt y el porcentaje de redistribución admisible. Sin embargo, el exceso de acero aumenta la resistencia mucho más que lo que varía el porcentaje de redistribución. Por ejemplo, en base a la Figura 8-2, la curva para hormigón de 4000 psi indica un coeficiente de resistencia de 0,112 cuando εt = 0,015 y un porcentaje de redistribución de 15 por ciento. Si se colocara acero en exceso suficiente para hacer que εt se redujera a 0,010, con una redistribución admisible de 10 por ciento, el coeficiente de resistencia aumentaría de 0,112 a 0,150. Por lo tanto, una reducción del 5 por ciento de la redistribución admisible es acompañada por un aumento de la resistencia del 34 por ciento. En consecuencia, no es necesario calcular la ligera reducción de la redistribución admisible ya que es contrarrestada por un aumento de resistencia mucho más significativo.

8-3

0,0200 f´c ≤ 4000 psi

0,0175

17,5 f´c = 6000 psi

15,0

0,0150 f´c ≥ 8000 psi

12,5

0,0125

10,0

0,0100

7,5 0,050

0,075

0,100

0,125

0,150

0,175

Deformación neta de tracción, εt

Redistribución admisible, porcentaje

20,0

0,0075 0,200

R Mn Coeficiente de resistencia n = f 'c f 'c bd2

Figura 8-2 – Redistribución de los momentos admisible

REFERENCIA 8.1

Mast, R. F., (1992), "Unified Design Provisions for Reinforced and Prestressed Concrete Flexural and Compression Members," ACI Structural Journal, V. 89, pp. 185-199.

8-4

Ejemplo 8.1 – Redistribución de los momentos

12,5"

2,5"

Determinar la armadura requerida para el sistema nervurado en una dirección ilustrado, aplicando redistribución de los momentos a fin de reducir la armadura total.

viga de 16" de ancho

24´ - 0"

tabique de hormigón

24´ - 0"

Losa nervurada: 10 + 2,5 × 5 + 25 (encofrado de 10 in. de altura + losa de 2,5 in. de altura, encofrado de 5 in. de ancho separados 25 in. entre centros) f'c = fy = DL = LL =

4000 psi 60.00 psi 80 lb/ft2 100 lb/ft2

Por motivos de simplicidad no se considera la continuidad en los tabiques de hormigón.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar las cargas mayoradas. U = 1,2D + 1,6 L

Ec. (9-2)

w d = 1, 2 × 0, 08 × 25 /12 = 0, 200 kips / ft w A = 1, 6 × 0,10 × 25 /12 = 0,333 kips / ft

wu = 0,533 kips/ft por nervio 2. Obtener los diagramas de momento mediante un análisis elástico. Considerar tres casos de carga posibles: Caso I: Caso II: Caso III:

DL y LL mayoradas en ambos tramos. DL y LL mayoradas en un tramo y en el otro tramo sólo DL mayorada. Inversión del Patrón II.

En la siguiente figura se ilustran los diagramas de momento para estos casos de carga (los momentos se expresan en ft-kips).

8-5

38.4 35,1

21,6

Momentos antes de la redistribución Momentos después de la redistribución

L

*Cálculo del momento positivo ajustado de 22,8

D

'k

22,8*

0,533 k/ft

Figura (a) Caso de Carga I 32,6 26,4

35,1'k

x 4,93 k

7,86 k 24´- 0"

25,4 L

V = 0 actuando a x = 9,25 ft D

26,3

M actuando a x = 9,25 ft = ( 4,93 × 9,25 ) − 0,533 ×

Figura (b) Casos de Carga II y III (Inversa de II)

= 22,8'k 33,2 29,9 I 8" a la cara de la viga

III

25,4

II

Figura (c) Envolvente de los momentos mayorados

3. Redistribución de los momentos negativos. a. Caso de Carga I: El objetivo es disminuir el momento negativo en el apoyo para obtener una nueva envolvente de momentos. Del caso de carga I: Mu = – 33,2 ft-kips en la cara de la viga. Para b = 5 in. y d = 11,5 in.: Mu φf 'c bd 2

= 0,167 ; ingresar a la Figura 8-2 para obtener una reducción admisible = 8,5 por ciento

Disminuyendo el momento negativo Mu = – 38,4 ft-kips en la Figura (a) en 8,5% se obtienen los diagramas de momento redistribuido indicados en la Figura (a) con líneas de trazos. El máximo momento de tramo aumenta correspondientemente, para mantener el equilibrio, hasta 22,8 ft-kips (ver el cálculo en la figura). b. Caso de Carga II:

8-6

9,252 2

Se compara el diagrama de momentos elásticos correspondiente al Caso de Carga II con el diagrama de momentos redistribuidos del Caso de Carga I. Para lograr ahorros en la armadura de momento positivo del tramo, es deseable reducir el momento positivo del tramo de 26,3 ft-kips. Esto se debe lograr redistribuyendo el momento negativo en el apoyo aumentándolo en 8,5% hasta 26,4 × 1,085 = 28,6 ft-kips. El resultado es que el momento positivo se reduce de 26,3 a 25,4 ft-kips. 4. Momentos mayorados de diseño. En base a la envolvente de los momentos redistribuidos, los momentos mayorados y la armadura requerida se determinan como se indica en la siguiente tabla. Tabla 8-1 – Resumen del diseño final Caso de Carga

Sección Momento en el apoyo* (ft-kips) Momento en el centro del tramo (ft-kips)

Acero requerido

Acero provisto

I

II

As (in. )

ρ

As (in. )

ρ**

Porcentaje de redistribución

– 29,9

–

0,64

0,0116

1 barra No. 6 1 barra No. 5

0,013 (b = 5 in.)

– 8,5

–

25,4

0,50

0,0017

1 barra No. 4 1 barra No. 5

0,0018*** (b = 25 in.)

+ 8,5 en el apoyo

2

2

* Calculado en la cara del apoyo. 3 f 'c ** Verificar ρmin = = 0,0032 fy ρmin =

*** ρ =

200 = 0,0033 (determinante) 60.000

As 0,51 = = 0,0089 > ρmin b w d 5 ×11,5

Nota final: La redistribución de los momentos permitió reducir el momento negativo en 8,5%. De manera similar, el momento positivo del tramo se redujo gracias a la redistribución del momento negativo en el apoyo. Por lo tanto, se logró un ahorro en la cantidad total de acero sin reducir la seguridad.

8-7

Ejemplo 8.2 – Redistribución de los momentos Determinar la armadura requerida para la viga perimetral en un piso intermedio como se indica en la figura, aplicando redistribución de los momentos a fin de reducir la armadura total requerida. columnas 16" x 16" (típ.) Viga perimetral 12" x 16" (típ.)

A

B

25´- 0"

C

15´- 0"

D

20´- 0"

Columnas = 16 × 16 in. Altura de piso = 10 ft Viga perimetral = 12 × 16 in. f'c = 4000 psi fy = 60.00 psi DL = 1167 lb/ft LL = 450 lb/ft

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar las cargas mayoradas. U = 1,2D + 1,6 L

Ec. (9-2)

w d = 1, 2 × 1167 = 1, 4 kips / ft w A = 1, 6 × 0, 45 = 0, 72 kips / ft

wu = 2,12 kips/ft 2. Determinar los diagramas de momento flector elástico para los cinco casos de carga ilustrados en las Figuras (a ) a (e) y los valores máximos de la envolvente de los momentos para todos los casos de carga. (Los máximos momentos negativos en los apoyos y positivos en el centro de los tramos fueron determinados mediante un análisis por software para cada una de las cinco configuraciones de carga.)

8-8

8.9.2

D

64,7 59,6

Momento ajustado

A

D

B

D

C 25,0

A

16,8

B

D

C

42,2

36,7 47,8

48,8

99.3

103,2 109,5

Figura (a) Caso de Carga I (momentos en ft-kips)

65,0 60,0

L

L

D

A

B

D

C

44,2 38,7

Momento ajustado A

8,3

B

D

C

27,2 34,9 65,2

58,5 69,4

103,7

98,1 108,2

Figura (b) Caso de Carga II (momentos en ft-kips) L

D A

B

C

D 43,8 38,2

38,8

17,3

A

B

D

C

42,5

42,0 59,9

64,5 71,0

67,7 73,2

Figura (c) Caso de Carga III (momentos en ft-kips)

8-9

L A

38,8

B

D D

C

24,9 18,2

A

B

D

C

38,9 43,9

42,1

48,1

67,7 73,3

Figura (d) Caso de Carga IV (momentos en ft-kips) L

D 64,7 59,7

A

B

D

C

43,8 38,8

Momento ajustado 16,0

A

B

D

C

39,8 47,2

64,4 59,7

103.2

70,8

99,1 109,5

Figura (e) Caso de Carga V (momentos en ft-kips) 65,0 60,0

Momento ajustado

44,2 38,7

17,3

A

B

D

C

42,0 48,8

65,2

59,9 71,0

103,7

99,3 109,5

Figura (f) Envolvente de los máximos momentos para los diferentes casos de carga (momentos en ft-kips)

8 - 10

3. Determinar el máximo porcentaje admisible de aumento o disminución para los momentos negativos: usar d = 13,5 in.; recubrimiento = 2 in. Calcular

Mu φf 'c bd 2

7.7.1

y hallar el porcentaje de redistribución de la Figura 8-2. Tabla 8-2(a) – Ajuste de los momentos en los apoyos Apoyo

A B C D

Mu

Momento mayorado Mu (ft-kips)

–103,7 – 109,5 – 71,0 – 65,2

φf 'c bd2

Porcentaje de ajuste admisible

0,158 0,167 0,108 0,099

9,3 8,5 15,7 17,4

4. Ajuste de los momentos. Nota: Ajustar los momentos negativos, ya sea aumentarlos o disminuirlos, es una decisión que debe tomar el ingeniero. En este ejemplo se decidió reducir los momentos negativos en los apoyos B y C y aceptar el correspondiente aumento de los momentos positivos, y no modificar los momentos negativos en los apoyos exteriores A y D. Con referencia a las Figuras (a) a (e), los momentos se ajustaron de la siguiente manera: Caso de Carga I – Figura (a) (ajuste = 9,3%) MB = – 109,5 ft-kips Reducción de MB = – 109,5 × 0,093 = – 10,2 ft-kips MB ajustado = – 109,5 – (–10,2) = – 99,3 ft-kips Aumento del momento positivo en el tramo A-B: MA = – 103,2 ft-kips MB ajustado = – 99,3 ft-kips Ordenada en el centro tramo sobre la línea entre MA y MB =

−103, 2 + ( −99,3) 2

= −101,3 ft-kips

Momento debido a la carga uniforme = wu ℓ2 / 8 = 2,12 × 252/8 = 166,0 ft-kips Momento positivo ajustado en el centro del tramo = 166,0 + (–101,3) = + 64,7 ft-kips El momento ajustado es aproximadamente igual al máximo momento positivo. Para determinar los momentos ajustados en los apoyos y en el centro del tramo CD se realizan cálculos similares. También se deben ajustar los momentos en los tramos AB y CD para los demás casos de carga. En la siguiente tabla se resumen los momentos ajustados obtenidos como resultado de los cálculos adicionales.

8 - 11

Tabla 8-2(b) – Momentos máximos para un ciclo de redistribución (los momentos se indican en ft-kips)

Caso de Carga I

Caso de Carga II

Caso de Carga III

Caso de Carga V

Ubicación

Mu

Majustado

Mu

Majustado

Mu

Majustado

Mu

Majustado

A

– 103,2

–

– 103,7*

–

– 67,7

–

– 103,2

–

Centro del tramo A-B

+ 59,6

+ 64,7

+ 60,0

+ 65,0*

+ 38,8

–

+ 59,7

+ 64,7

B

– 109,5

– 99,3*

– 108,2

– 98,1

– 73,2

–

– 109,3

– 99,1

Centro del tramo B-C

+ 16,8

–

+ 8,3

–

+ 17,3*

–

+ 16,0

–

C

– 47,8

–

– 69,4

– 58,5

– 71,0

– 59,9*

– 70,8

– 59,7

Centro del tramo C-D

+ 25,0

–

+ 38,7

+ 44,2*

+ 38,2

+ 43,8

+ 38,8

+ 43,8*

D

– 42,2

–

– 65,2*

–

– 64,5

–

– 64,4

* Momento de diseño final luego de la redistribución.

No se modifican los momentos elásticos de los apoyos obtenidos del caso de carga IV. Los momentos negativos de los apoyos son menores que los máximos momentos ajustados de los demás casos de carga y, por lo tanto, no determinarán la envolvente de los momentos ajustados máximos. 5. Una vez que los momentos ajustados se determinan analíticamente, se pueden determinar los diagramas de momento flector ajustados para cada uno de los casos de carga. Las curvas de momento ajustadas se determinan gráficamente, y se indican con líneas de trazos en las Figuras (a) a (e). 6. Ahora se puede obtener una envolvente de los momentos máximos ajustados a partir de las curvas de momento ajustadas, como se indica en la Figura (f) mediante línea de trazos. 7. Se pueden obtener las cuantías de armadura finales ρ en base a los momentos ajustados. A partir de las envolventes de los momentos redistribuidos de la Figura (f), los momentos de diseño mayorados y la armadura requerida se obtienen como se indica en la Tabla 8-2(c). 8. Segundo ciclo de redistribución de momentos. Si el ingeniero decide que es necesario ajustar aún más los momentos, puede realizar otros ciclos de redistribución. El procedimiento a seguir es similar al utilizado en el primer ciclo, excepto que ahora el coeficiente de resistencia del segundo ciclo se calcula en base al momento del primer ciclo. Tabla 8-2(c) – Resumen del diseño final

Ubicación

Momento (ft-kips)

Caso de Carga

+ 65,0

II

1,14

0,0070

– 99,3

I

1,81

0,0112

– 59,9

III

1,05

0,0065

+ 44,2

II

0,76

0,0047

Requerida ρ As (in.2)

Centro del tramo A-B Apoyo B* Apoyo C* Centro del tramo C-D *

Momentos en el eje. Se pueden usar los momentos en la cara del apoyo.

8 - 12

Provista As (in.2) ρ** 1 No. 5 2 No. 6 0,0073 3 No 7 2 No. 5 1 No. 6 1 No.4 2 No. 5

0,0111 0,0065 0,0051

** Verificar ρmin =

ρmin =

3 f 'c fy

=

3 4000 = 0,0032 60.000

200 200 = = 0,0033 (determinante) fy 60.000

Para este ejemplo los momentos de diseño no se redujeron a la cara de la columna, ya que la intención era ilustrar exclusivamente la redistribución de momentos. En el Ejemplo 8.1, para el diseño se utilizaron tanto redistribución de momentos como momentos en la cara de los apoyos.

8 - 13

9 Distribución de la armadura de flexión

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 En la edición 1999 del Código se introdujo un cambio significativo en 10.6.4 que afectó la distribución de la armadura de flexión para limitar la fisuración. El nuevo método apunta directamente a limitar la separación de la armadura más próxima a la cara traccionada. Anteriormente, se asumía que se limitaba la fisuración limitando los factores z, los cuales indirectamente limitaban la separación de la armadura (ver Apéndice 9A). El nuevo método reemplaza la Ecuación (10-5) con que se calculaba el factor z por una ecuación con la cual se obtiene la separación máxima de la armadura, s. Esta separación máxima de la armadura depende solamente de la tensión en el acero fs bajo cargas de servicio, y del recubrimiento libre cc de la armadura de flexión a partir de la superficie traccionada más próxima.

CONSIDERACIONES GENERALES Los requisitos de 10.6 exigen una correcta distribución de la armadura de tracción en vigas y losas armadas en una dirección a fin de controlar la fisuración por flexión. Las estructuras construidas en el pasado, usando métodos de Diseño por Tensiones de Trabajo y armadura con tensión de fluencia menor o igual que 40.000 psi, tenían bajas tensiones de tracción en las armaduras bajo cargas de servicio. Por lo tanto, en presencia de bajas tensiones de tracción en la armadura bajo cargas de servicio, estas estructuras no evidenciaban mayores problemas de fisuración por flexión. Con la aparición de aceros de alta resistencia con tensiones de fluencia mayores o iguales que 60.000 psi, y con el uso de métodos de Diseño por Resistencia que permiten mayores tensiones en la armadura, el control de la fisuración por flexión ha cobrado mayor importancia. Por ejemplo, si una viga se diseñara usando el Método de Diseño por Tensiones de Trabajo y una tensión de fluencia de 40.000 psi, la tensión en la armadura bajo cargas de servicio sería de alrededor de 20.000 psi. Usando el Método de Diseño por Resistencia y una tensión de fluencia de 60.000 psi, la tensión bajo cargas de servicio podría ser de hasta 36.000 psi. Si de hecho la fisuración por flexión es proporcional a la tensión de tracción en el acero, es evidente que el proceso de diseño debe incluir criterios para controlar la fisuración. Las primeras investigaciones del ancho de las fisuras en vigas y elementos solicitados a tracción axial indicaron que el ancho de las fisuras era proporcional a la tensión en el acero y al diámetro de las barras, pero inversamente proporcional a la cuantía de armadura. Investigaciones más recientes, realizadas usando barras conformadas, han confirmado que el ancho de las fisuras es

proporcional a la tensión en el acero. Sin embargo, se ha comprobado que hay otras variables importantes tales como la calidad del hormigón y el recubrimiento sobre las barras. Se debe recordar que el ancho de las fisuras es muy variable, aún en trabajos realizados en laboratorio bajo condiciones estrictamente controladas. Por este motivo, en el código sólo se presenta una expresión sencilla para controlar la fisuración, diseñada para obtener detalles de armado razonables que concuerden con estudios experimentales y experiencias anteriores.

EFECTO DE LOS NUEVOS FACTORES DE CARGA El factor más importante en la determinación del ancho de las fisuras es la tensión en el acero bajo cargas de servicio. Como resultado de los nuevos factores de carga especificados en 9.2.1, el requisito de resistencia para los elementos controlados por tracción solicitados a flexión se reduce en aproximadamente 10 por ciento, como se ilustra en la Figura 6-16. Esto aumenta la tensión en el acero bajo cargas de servicio. Para un elemento con una sobrecarga igual a un medio de la carga permanente, el factor de seguridad global utilizando ACI 318-99 es de 1,67; esto implica una tensión en el acero de 1/1,67 = 0,6 fy bajo cargas de servicio. En base a estas consideraciones es que se permite adoptar fs bajo cargas de servicio igual al 60 por ciento de fy (10.6.4). Usando el nuevo código, para la misma relación entre sobrecarga y carga permanente, el factor de seguridad global es 1,48, lo cual implica una tensión en el acero bajo cargas de servicio de 1/1,48 = 0,67 fy. Sin embargo, la sección 10.6.4 aún permite utilizar fs = 0,6fy para controlar la fisuración. El resultado es que, usando el nuevo código, el ancho de las fisuras puede ser entre 12 y 13 por ciento mayor para los elementos controlados por tracción. El ancho de las fisuras no se puede predecir con un margen de precisión de 12 a 13 por ciento, y el código 2002 permite ignorar este aumento. Es importante observar que usando el nuevo código (en promedio) las fisuras serán entre 12 y 13 por ciento más anchas. Es posible que el diseñador desee limitar el ancho de las fisuras a los valores obtenidos usando el código anterior. Esto se puede lograr usando un valor "por defecto" para la tensión del acero de 0,67fy ó 40 ksi, en lugar de 0,6fy. Esta es una decisión personal del diseñador; no constituye un requisito del código.

10.6

VIGAS Y LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN

10.6.4

Distribución de la armadura de tracción

Desde el inicio se identificaron tres motivos por los cuales es necesario limitar el ancho de las fisuras en el hormigón. Estos son la apariencia (estética), la corrosión y la impermeabilidad. Rara vez los tres motivos son relevantes para una misma estructura. La apariencia es importante en el caso del hormigón a la vista, tal como los paneles de los tabiques. La corrosión es importante en el caso del hormigón expuesto a ambientes agresivos. La impermeabilidad puede ser necesaria para las estructuras marítimas o sanitarias. La apariencia exige limitar el ancho de las fisuras en la superficie. Esto se puede asegurar ubicando la armadura tan cerca de la superficie como sea posible (usando poco recubrimiento) para impedir que las fisuras se ensanchen. Por el contrario, el control de la corrosión se obtiene usando hormigón de mejor calidad y aumentando el espesor del recubrimiento de hormigón. La impermeabilidad requiere una severa limitación del ancho de las fisuras, aplicable solamente a estructuras especializadas. Por lo tanto, se debería reconocer que es posible que un único requisito, tal como la Ecuación (10-4) de este código, puede no ser suficiente para cubrir los tres motivos mencionados, es decir, apariencia, corrosión e impermeabilidad. Existe una fuerte correlación entre el ancho de las fisuras superficiales y el recubrimiento de hormigón, dc, como se ilustra en la Figura 9-1. Para una determinada deformación específica del acero, cuanto mayor sea el recubrimiento mayor será el ancho de las fisuras y mayor será la influencia sobre la apariencia. Entre 1971 y 1995, el código especificaba factores z limitantes en base al concepto de que era necesario limitar el ancho de las fisuras superficiales. Los valores especificados de z = 175 y 145 kips/in., para exposiciones interiores y exteriores, respectivamente, correspondían a fisuras de 0,016 y 0,013 in. de ancho (ver Apéndice 9A). Se asumía que limitando el ancho de las fisuras a estos valores se lograría protección contra la corrosión. Pero, para poder satisfacer los valores límites de z especificados, el método básicamente alentaba la reducción del recubrimiento de hormigón, lo cual potencialmente podía perjudicar la protección contra la corrosión. Lo que es más, el método penalizaba fuertemente las estructuras con recubrimientos de más de 2 in. ya sea reduciendo la separación o las tensiones bajo cargas de servicio de la armadura.

9-2

w2 > w1

w1

d c2 d c1 d b /2

d b /2

db

db

Figura 9-1 – Ancho de las fisuras para recubrimientos de diferentes espesores La influencia de la fisuración en el proceso de corrosión de las armaduras es un tema controvertido. Las investigaciones [9.1 y 9.2] muestran que la corrosión no tiene una correlación clara con el ancho de las fisuras superficiales en el rango de tensiones que normalmente aparecen en la armadura bajo cargas de servicio. De hecho, está ligeramente relacionada con los límites para el ancho de las fisuras superficiales de 0,013 a 0,016 in. de los códigos anteriores. Además, se ha descubierto que el ancho real de las fisuras en las estructuras es altamente variable. Se ha observado una dispersión del orden de ±50%. Esto llevó a investigar alternativas para reemplazar los factores z límites para exposición exterior e interior, como figuraban en la edición anterior del código (ver Apéndice 9A). Intentando salvar algunas de las limitaciones del enfoque anterior, a partir del Código 1999 se ha adoptado una ecuación sencilla y más práctica, la cual limita la máxima separación de las armaduras de forma directa. El nuevo método intenta controlar la fisuración superficial a un ancho que, en forma general, sea aceptable en la práctica, pero que puede variar ampliamente dentro de una estructura dada. Por este motivo, el nuevo método no pretende predecir el ancho que tendrán las fisuras en la obra. De acuerdo con el nuevo método, la separación de la armadura más cercana a una superficie en tracción no deberá ser mayor que el valor dado por s = ( 540 / fs ) − 2,5cc

Ec. (10-4)

pero no mayor que 12 ( 36 / fs ) donde

s = separación entre los centros de las barras de la armadura traccionada por flexión más cercana a la cara más traccionada, in. (si hay una única barra o alambre más cercano a la cara más traccionada, s es el ancho de la cara más traccionada). fs = tensión en la armadura calculada para las cargas de servicio (ksi), determinada como el momento no mayorado dividido por el producto del área de acero por el brazo de palanca interno. Se permite adoptar fs igual a 60 por ciento de la tensión de fluencia especificada de la armadura no pretensada. cc =

espesor del recubrimiento libre, medido desde la superficie traccionada más cercana hasta la superficie de la armadura traccionada por flexión, in.

9-3

La Figura 9-2 compara la máxima separación de la armadura según la edición 1999 del Código con la de la edición de 1995 para losas con una sola capa de armadura. Observar que los requisitos de la edición 1999 relajan considerablemente el requisito de separación para el caso de grandes recubrimientos, de entre 2 in. y 4 in. Observar también que, al contrario del requisito de 1995, esta separación es independiente de las condiciones de exposición. 16 Barra No. 5, 1999 Barra No. 6, 1999 Barra No. 7, 1999 Barra No. 8, 1999 Barra No. 9, 1999 Barra No. 10, 1999 z = 175 kips/in., 1995 z = 145 kips/in., 1995

Separación de la armadura (in)

14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

4

3

5

6

7

Recubrimiento dc (in)

Figura 9-2 – Comparación de la máxima separación de la armadura para losas de acuerdo con ACI 10.6.4 1995 y 1999 Para el caso habitual de vigas con armadura Grado 60 y un recubrimiento libre de 2 in. hasta la cara traccionada, y suponiendo fs = 0,6 × 60 = 36 ksi, la máxima separación de las barras es de 10 in. Usando el límite superior de la Ecuación (10-4), la máxima separación admisible, independientemente del recubrimiento, es de 12 in. para fs = 36 ksi. El límite de la separación no depende del tamaño de barra utilizado. Por lo tanto, para una determinada cantidad de armadura de flexión requerida, este enfoque alentará el uso de barras más pequeñas a fin de satisfacer el criterio de la Ecuación (10-4). Aunque la Ecuación (10-4) se puede resolver de manera sencilla, igualmente resulta conveniente tener una tabla que ilustre la máxima separación de la armadura para diferentes espesores de recubrimiento libre (ver Tabla 9-1 a continuación). Tabla 9-1 – Máxima separación de la armadura

Tensión en el acero fs = 36 ksi fs = 40 ksi

10.6.5

3/4 12 10,8

1 12 10,8

Recubrimiento libre (in.) 1-1/4 1-1/2 1-3/4 2 11,88 11,25 10,38 10 10,38 9,75 9,18 8,5

2-1/2 8,75 7,25

3 7,5 6

Ambientes corrosivos

Como se mencionó en 10.6.4, no hay datos disponibles sobre el ancho de fisura a partir del cual existe peligro de corrosión. Los ensayos de exposición indican que la calidad del hormigón, una adecuada compactación y un buen recubrimiento de hormigón pueden ser más importantes para la protección contra la corrosión que el ancho de las fisuras en la superficie del hormigón. Los requisitos de 10.6.4 no se aplican a las estructuras sujetas a condiciones de exposición muy agresivas ni a aquellas diseñadas para ser impermeables. En estos casos se deben adoptar medidas o precauciones especiales. 9-4

10.6.6

Distribución de la armadura de tracción en las alas de las vigas T

Para controlar la fisuración por flexión en las alas de las vigas T, la armadura de tracción por flexión se debe distribuir sobre un ancho de ala no mayor que el ancho efectivo del ala (8.10) ó 1/10 de la luz, cualquiera sea el valor que resulte menor. Si el ancho efectivo del ala es mayor que 1/10 de la luz, se debe disponer alguna armadura longitudinal adicional en las zonas externas del ala, como se ilustra en la Figura 9-3 (ver Ejemplo 9.2). be

ℓ/10

As Adicional

As

As Adicional

Figura 9-3 – Armadura de momento negativo para vigas con alas

10.6.7

Armadura para controlar la fisuración en elementos de gran altura solicitados a flexión

En el pasado se han observado varios casos en los cuales se han desarrollado fisuras anchas en las caras laterales de las vigas de gran altura, entre la armadura principal y el eje neutro [Figura 9-4(a)]. Estas fisuras se atribuyen a la ausencia de armadura superficial, en consecuencia de lo cual las fisuras se abren más en el alma que al nivel de la armadura de tracción por flexión [Figura 9-4(a)]. Para los elementos de gran altura solicitados a flexión en los cuales la profundidad efectiva, d, es mayor que 36 in., a lo largo de ambas caras laterales, en la totalidad de la zona traccionada por flexión, se debe distribuir una armadura longitudinal adicional para limitar la fisuración [ver Figura 9-4(b)].

Compresión

Eje neutro d > 36" W2 > W1

Ask

As

W1 Tracción

d/2

s sk

Armadura principal

(a)

s sk <

d/6 12 in. 1000 Ab /(d-30)

(b)

Figura 9-4 – (a) Fisuración de las caras laterales y (b) Armadura "superficial" para controlar la fisuración en vigas de gran altura

9-5

La armadura superficial requerida [ver Figura 9-4(b)] se debe distribuir uniformemente en ambas caras laterales del elemento dentro de la zona traccionada por flexión, que se considera que se extiende en una distancia d/2 a partir de la armadura principal de tracción por flexión. La separación no debe ser mayor que el menor valor entre d/6, 12 in. y 1000 Ab/(d–30). El requisito de 1000 Ab/(d–30), siendo Ab el área de una barra o alambre individual, se agregó en el Código 2002, en reemplazo de una fórmula anterior que se usaba para determinar la armadura superficial. La Tabla 9-2 indica la separación máxima y el área mínima de una barra individual para dicha separación. Tabla 9-2 – Separación y tamaño de las barras para la armadura superficial Altura, d in. 36 42 48 60 72 84

Separación máxima, ssk in. 6 7 8 10 12 12

Área mínima de una barra Ab para la separación máxima, in.2 0,036 0,084 0,144 0,300 0,504 0,648

El área total de armadura superficial provista en ambas caras no necesita ser mayor que la mitad del área total de la armadura principal de tracción. Observar que los requisitos de 10.6 no se pueden aplicar directamente a los elementos de hormigón pretensado, ya que el comportamiento de los elementos pretensados difiere considerablemente del de los elementos no pretensados. El Capítulo 18 del Código y la Parte 24 de esta publicación contienen requisitos para la correcta distribución de la armadura en los elementos pretensados.

13.4

LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

El control de la fisuración en las losas armadas en dos direcciones, incluyendo las placas planas y las losas planas reforzadas, habitualmente no constituye un problema, y por lo tanto el Código no lo trata específicamente. Sin embargo, la sección 13.3.2 restringe la separación de la armadura de las losas en las secciones de momento crítico a dos veces el espesor de la losa, y en los sistemas de losa armados en dos direcciones el área de armadura en cada dirección no debe ser menor que la requerida por contracción y temperatura (7.12). Además, los requisitos sobre espesor mínimo de los elementos armados en dos direcciones para limitar las flechas sirven de forma indirecta como una manera de limitar la fisuración excesiva.

REFERENCIAS 9.1

Darwin, David et al, "Debate: Crack Width, Cover and Corrosion," Concrete International, Vol. 7, No. 5, Mayo 1985, American Concrete Institute, Detroit, MI, pp. 20-35.

9.2

Oesterle, R. G., "The Role of Concrete Cover in Crack Control Criteria and Corrosion Protection," RD Serial No. 2054, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1997.

9-6

Apéndice 9A Distribución de la armadura de tracción de acuerdo con el Código 1995 La edición 1995 del Código exigía que, cuando la tensión de fluencia de la armadura era mayor que 40.000 psi, la armadura de tracción por flexión se debía detallar de manera de satisfacer la siguiente ecuación: z = fs 3 d c A ≤ 175 kip/in. para exposiciones interiores

Ec. (10-5)

≤ 145 kip/in. para exposiciones exteriores siendo

fs =

tensión en la armadura calculada para cargas de servicio (ksi). De acuerdo con 10.6.4, se puede tomar como 0,6fy

dc =

espesor del recubrimiento de hormigón, medido desde la fibra traccionada extrema hasta el centro de la barra o alambre más próximo a la misma (in.)

A = área traccionada efectiva de hormigón alrededor de la armadura de tracción por flexión que tiene el mismo baricentro que dicha armadura, dividida por el número de barras o alambres (in.2) En la Figura 9A-1 se grafica z en función de dcA. Si la armadura de flexión consiste en barras o alambres de diferentes tamaños, el número de barras o alambres se calcula como el área total de armadura dividida por el área de la barra o alambre de mayor tamaño utilizado (Figura 9A-2). Esta definición es satisfactoria para todos los detalles de las armaduras, a excepción de los paquetes de barras. La Referencia 9A.1 contiene lineamientos para determinar el número de barras equivalente a utilizar para calcular A en el caso de paquetes de barras. 230

210

z = fs 3 dc A 190

z (kips/in.)

Exposición interior 170

150

Exposición exterior

130

fy = 60 ksi fs = 0,6 f y

110

90 20

40

60

80

100

dc A

120

140

160

180

200

(in.3)

Figura 9A-1 · Curva de diseño para z, para la distribución de la armadura de flexión

9-7

4

1" libre

Ejemplos para determinar A

2

3

dc

1

1,5"

dcg

2dcg

5

b

2 1. Las barras 1, 2 y 3 son No. 10 (área = 1,27 in. ) Las barras 4 y 5 son No. 9 (área = 1,00 in.2) No. equivalente de barras No. 10 = (3 × 1,27 + 2 × 1,00) / 1,27 = 4,57 A = 2dcg × b/4,57 dcg = centro de gravedad del acero

2. Las barras 1, 3, 4 y 5 son No. 8 (área = 0,79 in.2) 2 La barra 2 es No. 9 (área = 1,00 in. ) No. equivalente de barras No. 9 = (4 × 0,79 + 1,00) / 1,00 = 4,16 A = 2dcg × b/4,16 dcg = centro de gravedad del acero

Figura 9A-2 – Área efectiva traccionada, A, cuando se utilizan barras de diferentes tamaños La Ecuación (10-5) está escrita de una forma que enfatiza los detalles de armado, antes que el propio ancho de fisura. Con esta ecuación se obtendrá una distribución de la armadura de flexión que debería asegurar un control razonable de la fisuración por flexión – una gran cantidad de barras de pequeño diámetro poco separadas. La Ecuación (10-5) se derivó a partir de la expresión de Gergely-Lutz, w/0,076β = fs 3 d c A , donde w es el ancho de fisura en unidades de 0,001 in., y β es la relación entre las distancias al eje neutro a partir de la fibra traccionada extrema y del baricentro de la armadura. Para simplificar en la práctica el diseño de las vigas, en la Ecuación (10-5) se utilizó un valor aproximado de β = 1,2. Las limitaciones numéricas de z = 175 y 145 kips/in. para exposición interior y exterior, respectivamente, corresponden a anchos de fisura de 0,016 y 0,013. Desde el desarrollo de la ecuación original se han realizado ensayos adicionales que indican que la expresión para el ancho de fisura también es aplicable a losas armadas en una dirección, con un valor de β de aproximadamente 1,35. En consecuencia, R10.6.4 sugiere que el máximo valor de z para losas armadas en una dirección se reduzca aplicando la relación 1,2/1,35; con esto se obtiene z = 156 kips/in. para exposiciones interiores y 129 kips/in. para exposiciones exteriores. Es posible que en otros casos donde el valor de β es mayor que 1,2 también se requieran ajustes similares.

dc

2dc

fs = 0,6fy

s

A = 2dc s

Figura 9A-3 – Criterios usados para desarrollar las Tablas 9A-1 y 9A-2 para una sola capa de armadura Para una sola capa de armadura, la separación máxima requerida para controlar la fisuración se determina de la siguiente manera (ver Figura 9A-3): z = fs 3 d c A = fs 3 d c ( 2d c s )

9-8

s=

o bien

z3 2 fs3 d c2

donde dc = recubrimiento libre + 1/2 (diámetro de barra). La ecuación anterior se utilizó para generar los valores para la máxima separación de las barras indicados en las Tablas 9A-1 y 9A-2 para armadura Grado 60. Las tablas se basan en una tensión bajo cargas de servicio fs = 0,6fy, según lo permitido por 10.6.4. Los cálculos para fs darían por resultado alrededor de 0,56fy para una relación entre sobrecarga y carga permanente igual a 0,5, y 0,60fy para una relación entre sobrecarga y carga permanente igual a 2. Tabla 9A-1 – Máxima separación de las barras para controlar la fisuración en vigas * (Armadura Grado 60)

Tamaño de las barras No. 4 No. 5 No. 6 No. 7 No. 8 No. 9 No. 10 No. 11

Exposición exterior z = 145 kips/in. Recubrimiento libre (in.) 1,5 2* 3 10,7 6,5 3,1 9,9 6,1 3,0 9,3 5,8 2,9 8,7 5,5 2,8 8,2 5,2 2,7 7,7 5,0 2,6 7,2 4,7 2,5** 6,7 4,5 2,4**

Exposición interior z = 175 kips/in. Recubrimiento libre (in.) 1,5 2 3 18,8 11,3 5,4 17,5 10,7 5,2 16,3 10,2 5,0 15,3 9,7 4,9 14,4 9,2 4,7 13,5 8,7 4,5 12,6 8,3 4,3 11,8 7,8 4,2

* Valores expresados en pulgadas, fs = 0,6fy = 36 ksi, una sola capa de armadura. ** Separación menor que la permitida por 7.6.1

Tabla 9A-2 – Máxima separación de las barras para controlar la fisuración en losas armadas en una sola dirección * (Armadura Grado 60)

Tamaño de las barras No. 4 No. 5 No. 6 No. 7 No. 8 No. 9 No. 10 No. 11

0,75 – – – 16,3 14,7 13,3 12,0 10,9

Exposición exterior z = 129 kips/in. Recubrimiento libre (in.) 1 1,5 14,7 7,5 13,4 7,0 12,2 6,5 11,1 6,1 10,2 5,8 9,4 5,4 8,6 5,0 7,9 4,7

2 4,5 4,3 4,1 3,9 3,7 3,5 3,3 3,1

0,75 – – – – – – – –

Exposición interior z = 156 kips/in. Recubrimiento libre (in.) 1 1,5 – 13,3 – 12,4 – 11,6 – 10,8 – 10,2 16,6 9,6 15,2 8,9 14,0 8,4

2 8,0 7,6 7,2 6,8 6,5 6,2 5,9 5,6

* Valores expresados en pulgadas, fs = 0,6fy = 36 ksi, una sola capa de armadura. La separación no debe ser mayor que tres veces el espesor de la losa ni 18 in. (7.6.5). Ningún valor indica una separación mayor que 18 in.

REFERENCIA 9A.1 Lutz, L. A., "Crack Control Factor for Bundled Bars and for Bars of Different Sizes," ACI Journal, Proceedings Vol. 71, Enero 1974, pp. 9-10.

9-9

Ejemplo 9.1 – Distribución de la armadura para un control efectivo de la fisuración Suponer una viga de 16 in. de ancho con As (requerida) = 3,00 in.2 y fy = 60.000 psi. Seleccionar diferentes disposiciones de barras para satisfacer la Ecuación (10-5) para controlar la fisuración por flexión.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Para 2 barras No 11 (As = 3,12 in.2) cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in. (estribo No. 4) usar fs = 0,6 fy = 36 ksi Máxima separación permitida, 540 − ( 2,5 × 2, 0 ) = 10 in. 36

1,5"

s=

Estribo No. 4

Ec. (10-4)

2-No. 11 16"

 36  12   = 12 in. > 10 in.  fs  1, 41   separación provista = 16 − 2  1,5 + 0,5 + 2  

= 10,6 in. > 10 in.

NO VERIFICA

2. Para 4 barras No. 8 (As = 3,16 in.2) cc = 2,0 in. (estribo No. 4) Máxima separación permitida, s = 10 in

4-No.8

Ec. (10-4)

separación provista =

1 1, 0    16 − 2  1,5 + 0,5 +  3 2   

= 3,7 in. < 10 in.

VERIFICA

9 - 10

Ejemplo 9.2 – Distribución de la armadura en una sección Te de gran altura solicitada a flexión Seleccionar la armadura para la sección Te ilustrada a continuación. Tramo:

Continuo de 50 ft

f'c = 4000 psi fy = 60.000 psi

Momentos bajo carga de servicio: Momento negativo Md = – 280 ft-kips Mℓ = – 750 ft-kips

4'-0"

6"

Momento positivo Md = + 265 ft-kips Mℓ = + 680 ft-kips

1'-0"

10'-0"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Distribución de la armadura de momento positivo: a. Mu = 1,2 (265) + 1,6 (680) = 1406 ft-kips

Ec. (9-2)

Suponiendo 2 capas de barras No. 11 con un recubrimiento libre de 1,5 in. y estribos No. 4, d cg =

( 3 ×1,56 )( 2, 71) + ( 2 × 1,56 )( 5,12 ) = 3, 67 in. ( 5 ×1,56 )

d = 48 – 3,67 = 44,3 in. Ancho efectivo = 108 in.

8.10.2

As requerida = 7,18 in.2 Intentar con 5 barras No. 11 (As = 7,80 in.2)

9 - 11

Estribo No. 4

dcg = 3,67"

1,5"

5 - No. 11

12"

b. Recubrimiento libre hasta la armadura de tracción: cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

10.0

Tensión en la armadura bajo cargas de servicio: fs =

10.6.4

( 265 + 680 )12 +M = = 37, 7 in. jdAs 0,87 × 44,3 × 7,80

 540  s=  − 2,5 cc  fs 

=

Ec. (10-4)

540 − ( 2,5 × 2 ) = 9,3 in. 37, 7

 36   36  12   = 12    37, 7   fs 

= 11,5 in. > 9,3 in. separación provista =

VERIFICA

1 1, 41    12 − 2  1,5 + 0,5 +  2 2   

= 3,3 in. < 9,3 in.

VERIFICA

2. Distribución de la armadura de momento negativo a. Mu = 1,2 (280) + 1,6 (750) = 1536 ft-kips As requerida = 8,76 in.2 Ancho efectivo para la armadura de tracción = 1/10 × 50 × 12 = 60 in. < 108 in. Intentar con 9 barras No. 9 con una separación ≈ 10 in. (As = 9,0 in.2)

9 - 12

10.6.6

10"

6"

2"

2,56"

Armadura de la losa - No. 4

No. 9

b. cc = 2,0 in. En lugar de calcular usando fs correspondiente a cargas de servicio, usar fs = 0,6 fy según lo permitido por 10.6.4 Máxima separación permitida, s=

540 − ( 2,5 × 2, 0 ) = 10 in. 36

VERIFICA

Ec. (10-4)

c. Armadura longitudinal en la losa fuera del ancho de 60 in.: Para controlar la fisuración fuera del ancho de 60 in., usar armadura de contracción y temperatura según 7.12. Para armadura Grado 60:

10.6.6 7.12

As = 0,0018 × 12 × 6 = 0,130 in.2/ft

Usar barras No. 4 con una separación de 18 in. (As = 0,133 in.2/ft) 3. Armadura para control de la fisuración en las caras laterales (d > 36 in.): s max =

d 44,3 = = 7, 4 in. 6 6

(valor determinante)

= 12 in. = 1000 Ab/(d – 30) = 1000 × 0,11 / (44,3 – 30) = 7,7 in. Usar barras No. 3 con una separación de 6 in. Usar barras No. 4 separadas uniformemente a lo largo de cada cara de la viga, que se extiendan una distancia mayor que d/2 a partir del baricentro de la armadura de tracción. El área total de armadura superficial es 8 barras No. 3 8 × 0,11 = 0,88 in.2 < As/2 = 3,9 in.2

VERIFICA

Proveer armadura similar (barras No. 3 con una separación de 6 in.) en la mitad superior de la altura en la región de momento negativo. 4. En la siguiente figura se ilustran los detalles de armado.

9 - 13

10.6.7

10'-0" entre centros de las vigas Barras No. 4 separadas 18" 6"

9-No.9

Estribo No. 4 4'-0"

1,5"

5-No. 11

1'-0"

9 - 14

Barras No. 3 separadas 6"

10 Flechas

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 La edición 2002 de ACI 318 amplía la sección 9.5.4 para las flechas de los elementos de hormigón pretensado. Específicamente, las secciones 9.5.4.2 y 9.5.4.3 existentes se renumeraron como 9.5.4.3 y 9.5.4.4 para permitir la introducción de una nueva sección 9.5.4.2. La nueva sección trata el cálculo de las flechas de los elementos de hormigón pretensado fisurados y en la región de transición (Clase C y Clase T), según lo definido en 18.3.3. El cálculo se puede basar ya sea en una relación momento-curvatura bilineal o bien en el tradicional momento de inercia efectivo.

CONSIDERACIONES GENERALES Los requisitos del Código ACI para control de las flechas se ocupan exclusivamente de las flechas que ocurren bajo niveles de carga de servicio en condiciones estáticas, y pueden no ser aplicables a las cargas que presentan fuertes características dinámicas tales como aquellas provocadas por movimientos sísmicos, vientos transitorios y la vibración de maquinarias. Debido a la variabilidad de las deformaciones estructurales del hormigón, los diseñadores no deben confiar indebidamente en las estimaciones de las flechas obtenidas mediante cálculo. En la mayoría de los casos se justifica el uso de procedimientos relativamente simples para estimar las flechas. En las Referencias 10.1 y 10.2 se discute en profundidad el tema del control de las flechas, incluyendo métodos más refinados para calcular las deformaciones.

9.5

CONTROL DE LAS FLECHAS

El código presenta dos métodos para controlar las flechas en los elementos armados en una y dos direcciones solicitados a flexión. Las flechas se pueden controlar de forma directa limitando las flechas calculadas [ver Tabla 9.5(b)], o de manera indirecta por medio de alturas o espesores mínimos [Tabla 9.5(a) para sistemas armados en una dirección, y Tabla 9.5(c) y Ecuaciones (9-12) y (9-13) para sistemas armados en dos direcciones]. 9.5.2.1 Altura o espesor mínimo para vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas) – Las flechas de las vigas y losas armadas en una dirección que soportan las cargas habituales en las construcciones generalmente serán satisfactorias cuando se satisfagan las alturas o espesores mínimos indicados en la Tabla 9.5(a) (reproducidos en la Tabla 10-1). El diseñador debe observar que este requisito sólo se aplica a elementos que no soportan, ni están unidos a, tabiques divisorios u otros elementos susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas. Para todos los demás elementos es necesario calcular las flechas.

9.5.2.2 Flechas instantáneas de vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas) – Las flechas iniciales o instantáneas de las vigas y losas armadas en una dirección ocurren inmediatamente después que se aplica carga a un elemento estructural. Los principales factores que afectan la flecha instantánea de un elemento son (ver Referencia 10.3): a. b. c. d. e.

la magnitud y la distribución de la carga, la luz y las condiciones de vínculo, las propiedades de la sección y la cuantía de acero, las propiedades de los materiales, y la cantidad y extensión de la fisuración por flexión. Tabla 10-1 – Altura o espesor mínimo para vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas) (Armadura Grado 60, hormigón de peso normal) Altura o espesor mínimo, h Simplemente Con un extremo Con ambos apoyados continuo extremos continuos

Elementos

En voladizo

Losas armadas en una dirección

ℓ/20

ℓ/24

ℓ/28

ℓ/10

Vigas

ℓ/16

ℓ/18,5

ℓ/21

ℓ/8

(1) Para fy ≠ 60.000 psi, los valores tabulados se deben multiplicar por (0,4 + fy/100.000). Por ejemplo, para armadura grado 40, los valores se deben multiplicar por 0,80. (2) Para hormigón liviano estructural, los valores de la tabla se deben multiplicar por (1,65 – 0,005wc), valor que no debe ser menor que 1,09; wc es el peso unitario en libras por pie cúbico.

Las siguientes propiedades del hormigón afectan significativamente el comportamiento de los elementos armados solicitados a flexión bajo cargas de corta duración: resistencia a la compresión (f'c), módulo de elasticidad (Ec) y módulo de rotura (fr). El módulo de elasticidad en particular evidencia más variación en función de la calidad del hormigón, la edad del hormigón, el nivel de tensión, y la velocidad de aplicación o la duración de las cargas. En la Figura 10-1 se ilustra la flecha instantánea idealizada de una típica viga de hormigón armado. Hay dos fases de comportamiento claramente identificables: (i) comportamiento no fisurado, cuando el momento aplicado (Ma) es menor que el momento de fisuración (Mcr); y (ii) comportamiento fisurado, cuando el momento aplicado (Ma) es mayor que el momento de fisuración (Mcr). Por lo tanto, para calcular las flechas se deberían utilizar dos valores diferentes del momento de inercia: el momento de inercia de la sección bruta de hormigón (Ig) para la sección no fisurada, y el momento de inercia reducido para la sección fisurada (Icr). M

l cr

Momento

M cr lg le

e

cr

Flecha

Figura 10-1 – Relación bilineal Momento-Curvatura10.4 10 - 2

b

kd eje neutro

d

h

n=

As

Es Ec

n As Tracción

Figura 10-2 – Sección fisurada transformada de una viga con armadura de tracción Para la viga rectangular no fisurada ilustrada en la Figura 10-2, se utiliza el momento de inercia de la sección bruta de hormigón (Ig = bh3/12). El momento de inercia de una viga fisurada con armadura de tracción (Icr) se calcula de la siguiente manera: Tomando el momento de las áreas respecto del eje neutro, b × kd ×

usar

B=

kd = nAs ( d − kd ) 2

b nAs 2Bd + 1 − 1 B

kd =

Momento de inercia de la sección fisurada respecto del eje neutro, Icr =

b ( kd ) 3

3

+ nAs ( d − kd )

2

Las expresiones para calcular el momento de inercia de la sección fisurada para secciones que tienen armadura de compresión y para secciones tipo Te son similares. Estas expresiones se indican en la Tabla 10-2. 9.5.2.3, 9.5.2.4 Momento de inercia efectivo para vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas) – La rigidez flexional EI de una viga puede no ser constante en toda su longitud, ya que en diferentes secciones puede haber diferentes cantidades de acero y fisuración. Por este y otros factores relacionados con los materiales que constituyen fuentes de variabilidad, es muy difícil predecir con exactitud las flechas que ocurrirán en la práctica. El momento de inercia efectivo de voladizos, vigas simples y vigas continuas entre puntos de inflexión está dado por: 3   M 3   M cr  cr Ie =   Ig + 1 −    Icr ≤ Ig   Ma    Ma   

donde

M cr =

Ec. (9-8)

f r Ig

Ec. (9-9)

yt 10 - 3

Tabla 10-2 – Momento de inercia de la sección bruta y de la sección fisurada para secciones rectangulares y con alas Sección bruta

Sección fisurada transformada b

n=

B=


b

Es Ec

b

(nA s )

eje neutro

d

h

Momento de inercia de la sección bruta y de la sección fisurada

As

bh3 12

Ig =

nA s

Sin armadura de compresión:

Sin armadura de compresión

kd =

(

)

2dB + 1 − 1 / B

Icr = b ( kd) / 3 + nA s ( d − kd) 3

A's

Con armadura de compresión:

r = ( n − 1) A 's / ( nA s )

d

eje neutro

h

nAs

As

2   kd =  2dB + (1 + rd'/ d ) + (1 + r ) − (1 + r )  / B  

Icr = b ( kd) / 3 + nA s ( d − kd) + ( n − 1) A 's ( kd − d' ) 3

Con armadura de compresión

b

b

n=

2

Es Ec

f = hf ( b − b w ) / ( nA s )

y t = h − 1/ 2 ( b − b w ) h2f + b w h2  / ( b − b w ) hf + b w h    

eje neutro

d

h

2

C = b w / ( nA s )


hf

2

b


b

d'

(n-1)A's

nA s

Ig = ( b − b w ) h3f /12 + b w h3 /12 + ( b − b w ) hf ( h − hf / 2 − y t ) + 2

+b w h ( y t − h / 2 )

bw

2

Sin armadura de compresión: 2   kd =  C ( 2d + hf f ) + (1 + f ) − (1 + f )  / C  

Icr = ( b − b w ) h3f /12 + b w ( kd) / 3 + ( b − b w ) hf ( kd − hf / 2 ) + 3

(n-1)A's

b hf

A's

d

yt

2

Con armadura de compresión:

d'

kd

2   kd =  C ( 2d + hf f + 2rd' ) + ( f + r + 1) − ( f + r + 1)  / C  

eje neutro

h As

+ nA s ( d − kd)

b

2

nA s

Icr = ( b − b w ) h3f /12 + b w ( kd) / 3 + ( b − b w ) hf ( kd − hf / 2 ) + 3

+ nA s ( d − kd) + ( n − 1) A 's ( kd − d' ) 2

bw

10 - 4

2

2

Ma = momento máximo bajo carga de servicio (no mayorado) para la etapa en que se calculan las flechas f r = 7,5 f 'c para hormigón de peso normal

Ec. (9-10)

Para hormigón liviano fr se debe modificar de acuerdo con 9.5.2.3. El momento de inercia efectivo Ie proporciona una transición entre los límites superiores e inferiores de Ig e Icr en función del nivel de fisuración representado por Ma/Mcr. La ecuación considera empíricamente el efecto de la rigidización por tracción – la contribución del hormigón no fisurado entre las fisuras ubicadas en las regiones donde las tensiones de tracción son bajas. Para cada combinación de cargas considerada, como por ejemplo carga permanente o carga permanente más sobrecarga, las flechas se deberían calcular usando un momento de inercia efectivo [Ecuación (9-8)] calculado con el momento bajo cargas de servicio que corresponda, Ma. Luego la flecha adicional provocada por la adición de una carga, como por ejemplo la sobrecarga, se calcula como la diferencia entre las flechas determinadas para dos combinaciones de cargas cualesquiera. Para los elementos de sección prismática (incluyendo las vigas Te con diferentes secciones fisuradas en las regiones de momento positivo y negativo), Ie se puede determinar en la sección de apoyo para los voladizos y en la sección correspondiente al centro del tramo para los tramos simples y continuos. Para elementos prismáticos continuos, la utilización de las propiedades correspondientes a la sección del centro del tramo se considera satisfactoria para los cálculos aproximados, fundamentalmente porque la rigidez en el centro del tramo tiene un efecto determinante sobre las flechas. Alternativamente, para los elementos continuos prismáticos y no prismáticos, 9.5.2.4 sugiere utilizar el Ie promedio en las secciones críticas de momentos positivo y negativo. El comentario de la sección 9.5.2.4 de la edición de 1983 sugería que era posible obtener resultados mejorados aplicando el siguiente enfoque: Vigas con un extremo continuo: Ie promedio = 0,85 Im + 0,15 (Iextremo cont.)

(1)

Vigas con ambos extremos continuos: Ie promedio = 0,70 Im + 0,15 (Ie1 + Ie2) donde

(2)

Im se refiere a la sección correspondiente al centro del tramo Ie1 e Ie2 se refieren al Ie en los respectivos extremos de la viga.

Las envolventes de los momentos basados en los coeficientes de momento aproximado de 8.3.3 son lo suficientemente precisas como para utilizarlas para calcular valores de Ie tanto positivos como negativos (ver Ejemplo 10.2). Para el caso de una única carga concentrada muy elevada, sólo se debería utilizar el valor de Ie correspondiente al centro del tramo. La flecha inicial o instantánea (∆i) para voladizos y vigas simples y continuas se puede calcular usando la siguiente ecuación elástica dada en el comentario de la sección 9.5.2.4 de 1983. Para las vigas continuas, generalmente la flecha en el centro del tramo se puede usar como una aproximación de la flecha máxima. ∆ i = K ( 5 / 48 ) M a A 2 / E c Ie

donde

(3)

Ma es el momento en el apoyo para voladizos y el momento en el centro del tramo (cuando K así se define) para vigas simples y continuas. ℓ es la luz según se define en 8.7.

En la Tabla 10-3 se indican los valores teóricos del coeficiente K para calcular las flecha para cargas uniformemente distribuidas w.

10 - 5

Debido a que, para un determinado tramo continuo, las flechas lógicamente se calculan en base al mismo caso de carga que para máximo momento positivo, se cree que la Ecuación (3) tiene la forma más conveniente que puede tener una ecuación para cálculo de las flechas. Tabla 10-3 – Coeficiente K para determinar las flechas K 2,40

1. Voladizos (no incluye la flecha debida a la rotación en los apoyos) 2. Vigas simples 1,0 3. Vigas continuas 1,2-0,2Mo/Ma 4. Vigas con un extremo fijo y otro articulado (flecha en el 0,80 centro del tramo) 5. Vigas con un extremo fijo y otro articulado (máxima flecha 0,74 usando el máximo momento) 6. Vigas con ambos extremos fijos 0,60 La Referencia 8.2 contiene valores de K correspondientes a otros tipos de cargas.  wA 2 Mo = Momento en el centro de un tramo simple   8 

  

Ma = Momento neto en el centro del tramo

9.5.2.5 Flechas a largo plazo de vigas y losas armadas en una dirección (no pretensadas) – Las vigas y losas armadas en una dirección sujetas a cargas de larga duración sufren flechas a largo plazo. Estas flechas pueden ser dos o tres veces mayores que la flecha elástica instantánea que ocurre al aplicar la carga. La flecha a largo plazo es provocada por los efectos de la contracción y la fluencia lenta, la formación de nuevas fisuras, y el ensanchamiento de las fisuras existentes. Los principales factores que afectan las flechas a largo plazo son (ver Referencia 10.3):

a. b. c. d. e. f. g. h.

las tensiones en el hormigón la cantidad de armadura de tracción y de compresión las dimensiones del elemento las condiciones de curado la temperatura la humedad relativa la edad del hormigón en el momento de aplicación de la carga la duración de la carga

Los efectos de la contracción y la fluencia lenta se deben estimar, ya que la distribución de las deformaciones y tensiones es variable en la altura y la longitud de la viga. Las propiedades de la sección (resistencia, módulo de elasticidad, contracción y fluencia lenta) también varían según la composición de la mezcla, las condiciones de curado y la edad. A continuación se presentan dos métodos aproximados para estimar la flecha a largo plazo.

Método de ACI 318 De acuerdo con la sección 9.5.2.5, la flecha adicional a largo plazo debida a los efectos combinados de la contracción y la fluencia lenta provocada por las cargas de larga duración, ∆(cp+sh), se puede estimar multiplicando la flecha instantánea provocada por la carga sostenida o de larga duración, (∆i)sos por el factor λ, es decir: 1 1

El subíndice cp se refiere a fluencia lenta; el subíndice sh se refiere a contracción.

10 - 6

∆ (cp + sh) = λ (∆ i )sos

donde

λ=

(4)

ξ 1 + 50ρ '

Ec. (9-11)

En la Tabla 10-4 se dan valores de ξ para diferentes duraciones de la carga. La Figura R9.5.2.5 del comentario del código muestra la variación de ξ para períodos de hasta cinco años. La cuantía de armadura comprimida ρ' = A's / bd se calcula en la sección del apoyo para los voladizos y en el centro de la luz para los tramos simples y continuos. Observar que las cargas a largo plazo incluyen las cargas permanentes y la parte de la sobrecarga que es sostenida o de larga duración. Ver R9.5.1. Tabla 10-4 – Factor ξ en función del tiempo (9.5.2.5)

Duración de la carga sostenida 5 años o más 12 meses 6 meses 3 meses

ξ 2,0 1,4 1,2 1,0

Método alternativo Alternativamente, las flechas por fluencia lenta y contracción se pueden calcular independientemente usando las siguientes expresiones tomadas de las Referencias 10.2, 10.5 y 10.6. El procedimiento se resume en la Sección 2.6.2 de la Referencia 10.4. ∆ cp = λ cp ( ∆i )sos

(5)

∆ sh = K sh φsh A 2

(6)

donde λ cp = k r c t ; k r = 0,85 / (1 + 50ρ ')

Ct = coeficiente de fluencia lenta dependiente del tiempo (Tabla 2.1 o Ecuación 2.7 de la Referencia 10.4) K sh = constante para determinar la flecha por contracción (Tabla 10-5) φsh = Ash ( εsh ) t / h Ash = multiplicador para la flecha por contracción (Figura 10-3 o Ecuación 6.1 siguiente)

( εsh )t

= deformación específica por contracción dependiente del tiempo (Tabla 2.1 o Ecuaciones 2.8 y 2.9 de la Referencia 10.4)

ℓ = longitud de tramo de la viga h = altura de la viga

10 - 7

El valor último del coeficiente de fluencia lenta Ct, denominado Cu, depende de los factores listados anteriormente (a-h). De manera similar, el valor último de la deformación específica por contracción dependiente del tiempo depende de las condiciones variables, y se denomina (εsh)u. En la Sección 2.3.4 de ACI 435 (Ref. 10.4) se discuten los valores típicos de estas dos propiedades. De acuerdo con la Referencia 10.4, el valor último del coeficiente de fluencia lenta depende de seis factores: a. b. c. d. e. f.

la humedad relativa la edad del hormigón en el momento de aplicación de la carga la mínima dimensión del elemento la consistencia del hormigón el contenido de agregado fino el contenido de aire

Para estas seis variables las condiciones normales son humedad relativa de 40%, 3 días (curado al vapor) o 7 días (curado húmedo), mínima dimensión igual a 6 in., 3 in. de asentamiento, 50% de agregado fino y 6% de contenido de aire. Para el caso de condiciones normales, Cu es igual a 2,35. La Figura 2.1 de la Referencia 10.4 presenta factores de corrección que se pueden utilizar para ajustar el valor de Cu para condiciones que difieren de las que se consideran normales. En las construcciones habituales es probable que dos de las condiciones difieran de las normales, es decir, que la humedad relativa sea de 70% y que las cargas se apliquen a una edad de 20 días. El factor de corrección para la humedad relativa está dado por: K ch = 1, 27 − 0, 0067 H

donde H es la humedad relativa expresada como porcentaje. Para el caso de una humedad relativa de 70%, K ch = 1, 27 − 0, 0067 (70) = 0,80

El factor de corrección que considera la edad del hormigón en el momento de aplicación de la carga está dado por las dos expresiones siguientes, para condiciones de curado al vapor y curado húmedo, respectivamente:

(

)

(Curado al vapor)

(

)

(Curado húmedo)

K to c = 1,13 t −0,095 K to c = 1, 25 t −0,118

donde t es la edad del hormigón en el momento de la aplicación de la carga, en días. Para t = 20 días las dos ecuaciones dan por resultado 0,85 y 0,88 respectivamente. El promedio es 0,865. Si se asume que todas las demás condiciones permanecen constantes, de acuerdo con la metodología indicada, el valor último del coeficiente de fluencia lenta para una humedad relativa de 70% y cargas aplicadas a los 20 días se convierte en: C u = ( 0,80 )( 0,865 )( 2,35 ) = 1, 63

A título de comparación, el valor de Cu sugerido en la edición 1978 de ACI 435, en base a una humedad relativa de 70%, aplicación de la carga a los 20 días y dimensión mínima de 6 in. (caso normal) era Cu = 1,60. También se puede evaluar el valor último de la deformación específica por fluencia lenta. La Referencia 10.4 sostiene que (εsh)u depende de un conjunto de factores similares a los que afectan el valor último del coeficiente de fluencia lenta. En particular, las cinco condiciones y sus valores normales son los siguientes: a. humedad relativa – 40% b. mínima dimensión del elemento – 6 in. c. contenido de agregado fino – 50%

10 - 8

d. contenido de cemento – 1200 kg/m3 e. contenido de aire – 6% Para las condiciones normales, la deformación específica por contracción última es 780 × 10-6. Manteniendo todas las demás condiciones aplicables iguales a las usadas para evaluar la fluencia lenta última y usando un factor de cemento de 6 bolsas por yarda cúbica (335 kg/m3), calculando los factores de corrección adecuados se obtiene: K h s = 1, 4 − 0, 01H = 1, 4 − ( 0, 01)( 70 ) = 0, 70

(humedad relativa)

K bs = 0, 75 + 0, 000214 B = 0, 75 + ( 0, 000214 )( 335 ) = 0,82

(contenido de cemento)

Aplicando el producto de los dos factores de corrección al valor normal se obtiene:

( εsh )u = ( 0, 70 )( 0,82 ) ( 780 × 10−6 ) = 448 ×10−6 Este valor es comparable con el valor de 400 × 10-6 sugerido en la edición 1978 de ACI 435. En resumen, se puede obtener una estimación de los valores de Cu y (εsh)u para elementos no pretensados solicitados a flexión utilizando la metodología presentada en la Sección 2.3.4 de la Referencia 10.4. Una vez determinados los valores últimos para fluencia lenta y contracción, se pueden estimar las relaciones entres estos valores últimos y los valores a edades más tempranas usando las Ecuaciones 2.7, 2.8 y 2.9 de ACI 435R10.4. A continuación se reproducen estas expresiones:  t 0,6 Ct =   10 + t 0,6 

  Cu 

Ec. (2.7) de ACI 435R

donde t representa el tiempo, en días, luego de la aplicación de la carga. Para hormigón curado en húmedo, la relación de la contracción es:

( εsh )t = 

t   ( εsh )u  35 + t 

Ec. (2.8) de ACI 435R

(t se expresa en días menos 7 luego de la colocación) y para hormigón curado al vapor:

( εsh )t = 

t   ( εsh )u  55 + t 

Ec. (2.9) de ACI 435R

(t se expresa en días menos 3 luego de la colocación) Comparando los valores de los coeficientes de fluencia lenta y las deformaciones por contracción dependientes del tiempo dados en la Tabla 2.1 de ACI 435R con los valores obtenidos con las Ecuaciones 2.7, 2.8 y 2.9 se puede ver que los valores obtenidos mediante ambos métodos son ligeramente diferentes, en particular para los valores de tiempo, t, menos elevados. Debido a que el cálculo de las flechas de las estructuras de hormigón implica un grado de aproximación considerable, es aceptable utilizar tanto los valores dependientes del tiempo obtenidos de la tabla como los obtenidos de las ecuaciones. Ash se puede tomar directamente de la Figura 10-3, o bien se puede calcular usando el siguiente conjunto de ecuaciones tomadas de la Sección 2.6.2 de ACI 435:

10 - 9

Ash = 0, 7 ⋅ ( ρ − ρ ' )

=

1 3

1

 ρ − ρ' 2 ⋅   ρ 

para ρ – ρ' ≤ 3,0

1 0, 7 ⋅ρ 3

para ρ' = 0

= 1,0

(6.1)

para ρ – ρ' ≥ 3,0

En las ecuaciones anteriores, tanto ρ como ρ' se expresan en porcentaje, no en forma de fracción decimal como es habitual. Para determinar Ash usando la Figura 10-3, las cuantías también se deben expresar en porcentaje. En la Tabla 10-5 se dan valores del coeficiente para determinar las flechas por contracción Ksh, suponiendo curvaturas de contracción positiva y negativa iguales y un punto de inflexión en el punto correspondiente a un cuarto de la longitud de los tramos continuos, lo cual generalmente es satisfactorio para el cálculo de las flechas. 1,00 0,90 0,80

Ash

0,70

p'

bd 's / A 00 ,00 0 =1

,%

5 0,2 50 0, 5 0,7 00 1, 5 1,2 50 1, 75 1, ,00 2 ,25 2 ,50 2 75 0, ,00 3

0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

ρ = 100 As/bd, porcentaje

Figura 10-3 – Valores de Ash para calcular las flechas por contracción Tabla 10-5 – Coeficiente para calcular las flechas por contracción, Ksh

Voladizos Tramos simples Tramos con un extremo continuo – Vigas de múltiples tramos Tramos con un extremo continuo – Vigas de dos tramos Tramos con ambos extremos continuos

Ksh 0,50 0,13 0,09 0,08 0,07

Las cuantías de armadura ρ y ρ' usadas para determinar Ash usando la Figura 10-3 se refieren a la sección del apoyo de los voladizos y a la sección del centro del tramo de las vigas simples y continuas. Para las vigas Te, usar ρ = 100 (ρ + ρw)/2 y un cálculo similar para cualquier armadura de compresión ρ' al determinar Ash, siendo ρw = As/bwd. Ver el Ejemplo 10.2.

10 - 10

En cuanto a optar por calcular las flechas por fluencia lenta y contracción usando la Ecuación (9-11) o calcularlas independientemente usando las Ecuaciones (5) y (6), el cálculo combinado de ACI es más simple pero a la vez proporciona apenas una aproximación gruesa, ya que las flechas sólo se relacionan indirectamente con las cargas (fundamentalmente por medio del contenido de acero). Un caso en el cual puede ser preferible calcular las flechas por fluencia lenta y contracción de forma separada es cuando parte de la sobrecarga se considera como carga de larga duración. Todos los procedimientos y propiedades para calcular las flechas por fluencia lenta y contracción se aplican tanto al hormigón de peso normal como al hormigón liviano. 9.5.2.6 Flechas máximas admisibles – Las flechas calculadas usando los métodos antes descritos se comparan con los límites dados en la Tabla 9.5(b). El comentario contiene información sobre la correcta aplicación de estos límites, incluyendo la consideración de las flechas que ocurren antes de instalar los tabiques divisorios.

9.5.3

Elementos armados en dos direcciones (no pretensados)

No es necesario calcular las flechas de los sistemas de losas armadas en dos direcciones con y sin vigas interiores, ábacos y capiteles de columnas si se satisfacen los requisitos de espesor mínimo de 9.5.3. Los requisitos de espesor mínimo incluyen los efectos de la ubicación de los paneles de losa (interiores o exteriores), la geometría de los paneles, la relación de luces, la presencia de vigas en los bordes de los paneles, columnas, capiteles y ábacos, y la tensión de fluencia del acero de la armadura. Tabla 10-6 – Espesor mínimo de losas sin vigas interiores [Tabla 9.5(c)]

Sin ábacos† Tensión de fluencia, fy psi*

* † ††

Paneles exteriores Sin vigas de borde

Con vigas de borde††

40.000

An 33

An 36

60.000

An 30

75.000

An 28

Sin ábacos† Paneles interiores

Paneles exteriores

Paneles interiores

Sin vigas de borde

Con vigas de borde††

An 36

An 36

An 40

An 40

An 33

An 33

An 33

An 36

An 36

An 31

An 31

An 31

An 34

An 34

Para valores de tensión de fluencia de la armadura comprendidos entre los valores indicados en la tabla, el espesor mínimo se deberá determinar por interpolación lineal. La definición de ábaco se da en 13.3.7.1 y 13.3.7.2. Se refiere a losas con vigas entre las columnas a lo largo de los bordes exteriores. El valor de α para la viga de borde no deberá ser menor que 0,8.

La Sección 9.5.3.2 provee requisitos de espesor mínimo para losas armadas en dos direcciones sin vigas entre las columnas interiores (placas planas y losas planas). El espesor mínimo se determina directamente en función de la longitud de tramo usando la Tabla 9.5(c). Esta sección también provee valores mínimos para losas con y sin ábacos. Los valores indicados en la Tabla 9.5(c) representan el límite superior para los espesores de losa dados por las Ecuaciones (9-12) y (9-13). En la Figura 10-4 se ilustran los requisitos de espesor mínimo de 9.5.3.2. La Sección 9.5.3.3 provee requisitos de espesor mínimo para losas armadas en dos direcciones apoyadas en vigas en todos sus lados. Se debe notar que estos requisitos se aplican exclusivamente a los sistemas armados en dos direcciones, es decir, a los sistemas en los cuales la relación entre el lado mayor y el lado menor no es mayor que 2. Para los paneles de losa que no satisfacen esta limitación las Ecuaciones (9-12) y (9-13) pueden conducir a resultados poco razonables. Para estos paneles se deberían utilizar los requisitos de la sección 9.5.2.

10 - 11

Vigas de borde

Vigas de borde

ℓ/33

ℓ/33

ℓ/33

ℓ/30

ℓ/30

ℓ/30

(a) Placas planas (sin ábacos)

ℓ/36

ℓ/36

ℓ/36

ℓ/33

ℓ/33

ℓ/33

(b) Losas planas (con ábacos)

Figura 10-4 – Espesor mínimo de losas sin vigas interiores entre apoyos (Armadura Grado 60)

La Figura 10-5 se puede utilizar para simplificar el cálculo de los espesores mínimos para losas armadas en dos direcciones. En la Figura 10-5 se puede observar que la diferencia entre el espesor mínimo determinante para los paneles cuadrados y para los paneles rectangulares en los cuales la relación de lados es de 2 en 1 no es demasiado grande.  36 + 5β ( αm − 0,2 )  f =   0,8 + fy / 200.000    36 + 9β f =   0,8 + fy / 200.000 

Ec. (9 − 11) Ec. (9 − 12)

60

Espesor mínimo A n / f (Armadura Grado 60) 55

Ec. (9-12)

Ec. (9-13)

50

f

49,1

Ec. (9-13)

45

β = 2,0 40,9

Ec. (9-12)

40

β = 1,0 35 32,7 30 0,2

0,5

1,0

αm

1,5

2,0

2,5

Figura 10-5 – Espesor mínimo para losas armadas en dos direcciones apoyadas en vigas en todos sus lados

10 - 12

9.5.3.4

Flechas de losas armadas en dos direcciones no pretensadas

Flecha inicial o instantánea: Hay un procedimiento aproximado10.2, 10.7 compatible con los Métodos de Diseño Directo y del Pórtico Equivalente del Capítulo 13 del Código que se puede usar para calcular la flecha inicial o instantánea de los sistemas armados en dos direcciones. El procedimiento es esencialmente igual que el usado para placas planas, losas planas y losas armadas en dos direcciones apoyadas en vigas en todos sus lados, luego de calcular las rigideces apropiadas. La flecha en el centro del panel se calcula como la sumatoria de la flecha en la mitad de la luz de la franja de columna o línea de columnas en una dirección, ∆cx o ∆cy, más la flecha en la mitad de la luz de la franja intermedia en la dirección ortogonal, ∆mx o ∆my (ver Fig. 10-6). La franja de columna es una franja que tiene un ancho, a cada lado del eje de la columna, igual a 1/4 de la menor dimensión del panel. La franja intermedia corresponde a la franja central del panel, limitada por dos franjas de columna.2 Para los paneles cuadrados, ∆ = ∆ cx + ∆ my = ∆ cy + ∆ mx

(7)

Para los paneles rectangulares, o para aquellos paneles que tienen propiedades diferentes en ambas direcciones, se utiliza el promedio de la ∆ en ambas direcciones: y Línea de apoyo supuesta

∆cx ∆mx

Lx

Línea de apoyo supuesta

∆cx

Ly y Línea de apoyo supuesta

x

(a) Flexión en la dirección x

∆cy

∆my

Línea de apoyo supuesta

∆cy Ly

Lx y

x (b) Flexión en la dirección y

∆cx ∆cy

∆cx

∆cy

(c) Flexión combinada

∆cx+ ∆my = ∆cy+ ∆mx

x

Figura 10-6 – Base del Método del Pórtico Equivalente para el análisis de las flechas de losas armadas en dos direcciones, con o sin vigas 2

El subíndice c se refiere a las franjas de columna; el subíndice m se refiere a las franjas intermedias

10 - 13

(

) (

)

∆ =  ∆ cx + ∆ my + ∆ cy + ∆ mx  / 2  

(8)

En un pórtico equivalente, la flecha en el centro de la luz de la franja de columna o de la franja intermedia se calcula como la sumatoria de tres componentes: la flecha del panel supuesto fijo en ambos extremos, más la flecha del panel debida a la rotación en las dos líneas de apoyo. En la dirección x, las flechas se calcularían usando las siguientes expresiones: ∆ cx = ∆ cx (extremos fijos) + ( ∆θ1 )cx + ( ∆θ2 )cx

para las franjas de columna

∆ mx = ∆ mx (extremos fijos) + ( ∆θ1 )mx + ( ∆θ2 )mx

para las franjas intermedias

(9)

Aunque estas ecuaciones y la discusión que sigue tratan solamente el cálculo de las flechas en la dirección x, sería necesario realizar cálculos similares para determinar ∆cy y ∆my y calcular las flechas en la dirección y. El primer paso del proceso para calcular ∆cx y ∆mx correspondientes a extremos fijos consiste en calcular la flecha en el centro del tramo del pórtico equivalente con el ancho total bajo carga uniforme, la cual está dada por: ∆ pórtico (extremos fijos) =

donde

wA 4 384 E c I pórtico

(10)

w = carga uniformemente distribuida × ancho total

El efecto de las diferentes rigideces en las regiones de momento positivo y momento negativo [fundamentalmente cuando se utilizan ábacos y/o Ie en la Ecuación (9-8)] se puede incluir utilizando un momento de inercia promedio según las Ecuaciones (1) y (2). Luego se calcula la flecha en el centro del tramo con extremos fijos de las franjas de columna e intermedias, multiplicando ∆pórtico (extremos fijos) [Ecuación (10)] por la relación M/EI de las franjas (de columna o intermedia) para el pórtico de todo el ancho. ∆ c,m (extremos fijos) = ( LDF )c,m ∆ pórtico (extremos fijos)

donde

( LDF )c,im =

M c,m M pórtico

( EI )pórtico ( EI )c,m

para franjas de columna o intermedias

(11)

= factor de distribución lateral

La distribución del momento estático mayorado total, Mo, a las franjas de columna e intermedias se establece en 13.6.4. En particular, 13.6.4.1, 13.6.4.2 y 13.6.4.4 contienen tablas para asignar fracciones de Mo a las regiones de momento negativo interior y exterior, respectivamente, para las franjas de columna. El porcentaje del total no asignado a las franjas de columna se asigna a las franjas intermedias. Por ejemplo, si el 75 por ciento de Mo se asigna para el momento negativo interior de una franja de columna, el correspondiente momento en la franja intermedia deberá ser 25 por ciento de Mo. La siguiente expresión permite interpolar linealmente entre los valores indicados en las tablas de 13.6.4.1, 13.6.4.2 y 13.6.4.4. Observar que todas las expresiones indican porcentajes de Mo: − M ext = 100 − 10βt + 12β t ( α1A 2 / A1 )(1 − A 2 / A1 )

(Momento negativo exterior, porcentaje de Mo)

− Mint = 75 + 30 ( α1A 2 / A1 )(1 − A 2 / A1 )

(Momento negativo interior, porcentaje de Mo)

M + = 60 + 30 ( α1A 2 / A1 )(1,5 − A 2 / A1 )

(Momento positivo, porcentaje de Mo)

10 - 14

Al aplicar estas expresiones, si el valor real de α1A 2 / A1 es mayor que 1,0 se debe utilizar el valor 1,0. De manera similar, si βt es mayor o igual que 2,5 se debe utilizar el valor 2,5. Para calcular los factores de distribución lateral (LDF), se deberían considerar tres casos: a. franjas para los paneles interiores b. franjas en los paneles de borde paralelas al borde c. franjas en los paneles de borde perpendiculares al borde Observar que en los paneles de esquina se utiliza el Caso c para cualquiera de ambas direcciones, ya que hay un momento negativo exterior en cada borde exterior del panel. En todos los casos, el momento de la franja, usado para determinar los factores de distribución lateral, se toma como el promedio entre el momento positivo y el momento negativo. En consecuencia, para los tres casos se obtienen las siguientes fórmulas: Caso a: Caso b: Caso c:

( LDF = 1 2 ( M

− LDF = 1 2 M int + M+ − int

+M

(

+

) )

)

− − + M ext + M+  LDF = 1 2 1 2 M int  

Estos factores de distribución lateral se aplican a las franjas de columna, y se expresan como porcentajes del momento total del panel, Mo. En general, los factores correspondientes a las franjas intermedias se determinan de la siguiente manera: LDFintermed = 100 − LFDcol

Ahora se deben calcular el resto de los términos de la Ecuación (9), la flecha en el centro de la luz de una franja de columna o de una franja intermedia provocada por las rotaciones en los extremos, ( ∆θ1 )cx , ( ∆θ1 )mx , etc. Si los extremos superior e inferior de la columna se asumen fijos (lo cual es habitual en los análisis por pórticos equivalentes) o idealmente articulados, la rotación de la columna en el piso considerado es igual al momento neto aplicado dividido por la rigidez de la columna equivalente. θpórtico = θc = θm = donde

( M neto )pórtico

(12)

K ec

Kec = rigidez de la columna equivalente (ver 13.7.4)

La flecha en el centro de la luz de una franja de columna sujeta a una rotación de θ1 radianes en un extremo, mientras el extremo opuesto se mantiene fijo es:

( ∆θ1 )c =

θ1A 8

(13)

Los términos adicionales de las flechas de las franjas de columna e intermedias se calculan de manera similar. Debido a que en la Ecuación (12) θ se basa en las propiedades de la sección bruta, mientras que el cálculo de las flechas se basa en Ie, para mayor consistencia, en lugar de utilizar la Ecuación (13) se puede utilizar la Ecuación (14): A   Ig     8   Ie  pórtico

( ∆θ1 )c = θ1 

(14)

Método de Diseño Directo: El procedimiento para calcular las flechas antes descrito se ha expresado en términos del método del pórtico equivalente. Sin embargo, también se puede utilizar con el método de diseño directo, en el cual se utilizan coeficientes

10 - 15

para calcular momentos en secciones críticas en vez de utilizar un análisis de pórtico elástico, como en el caso del método del pórtico equivalente. En el método de diseño directo, los momentos de diseño se calculan usando luces libres. Al determinar las flechas debidas a las rotaciones en los extremos de un elemento, teóricamente estos momentos se deberían corregir para obtener los momentos en el centro de las columnas. Sin embargo, dado que generalmente es pequeña, se puede despreciar esta diferencia. En el caso de las placas planas y las losas planas, se cree que para calcular las flechas es más apropiado utilizar la luz medida entre los centros de las columnas que la luz libre. Si todos los tramos son iguales y están igualmente cargados, con el método de diseño directo no se obtendrán momentos no balanceados ni rotaciones excepto en las columnas exteriores. Por lo tanto, en estos casos sólo es necesario considerar las rotaciones en las columnas exteriores. Cuando la sobrecarga es grande en relación con la carga permanente (caso poco habitual), las rotaciones en los extremos se pueden calcular mediante un procedimiento sencillo de momentos y áreas en el cual se puede incluir el efecto del patrón de carga. Momento de inercia efectivo: Se recomienda usar el momento de inercia efectivo dado por la Ecuación (9-8) para calcular las flechas de los elementos armados en dos direcciones parcialmente fisurados. También se puede usar un Ie promedio de las regiones de momentos positivos y negativos de acuerdo con las Ecuaciones (1) y (2).

Para las ubicaciones de fisuración típicas que se han hallado en la práctica, en la mayoría de los casos los siguientes valores del momento de inercia han demostrado ser satisfactorios: Caso

Momento de Inercia

a. Losas sin vigas (placas planas, losas planas) (i) Flechas por carga permanente – – (ii) Flechas por carga permanente más sobrecarga: Para las franjas de columna, en ambas direcciones –– Para las franjas intermedias en ambas direcciones –– b. Losas con vigas (losas armadas en dos direcciones apoyadas en vigas en todos sus lados) (i) Flechas por carga permanente – – (i) Flechas por carga permanente más sobrecarga Para las franjas de columna, en ambas direcciones –– Para las franjas intermedias en ambas direcciones ––

Ig Ie Ig

Ig Ig Ie

El Ie del pórtico equivalente en cada dirección se toma como la sumatoria de los valores de Ie correspondientes a las franjas de columna e intermedias. Flecha a largo plazo: Debido a que los datos disponibles sobre las flechas a largo plazo de los elementos armados en dos direcciones son demasiado escasos para justificar procedimientos más elaborados, se recomienda utilizar los mismos procedimientos utilizados para elementos armados en una dirección. Para cargas sostenidas de cinco años o más de duración se puede usar la Ecuación (9-11), con ξ = 2,5.

9.5.4

Elementos de hormigón pretensado

La publicación PCI Design Handbook10.8 (Manual PCI) contiene las típicas relaciones longitud-profundidad habitualmente utilizadas en el diseño de elementos pretensados; la Referencia 10.2 resume valores típicos tomadas de diferentes fuentes. A partir de la edición 2002 de ACI 318, en su sección 18.3.3, el Código de Construcción clasifica los elementos de hormigón pretensado solicitados a flexión como Clase U (no fisurados), Clase T (transición) y Clase C (fisurados). Para los elementos solicitados a flexión Clase U, las flechas se deben calcular en base al momento de inercia de la sección bruta, Ig. Para los elementos Clase T y Clase C, las flechas se deben calcular en base a un análisis de sección transformada fisurada o en base a una relación momentocurvatura bilineal. La Referencia 10.9 presenta un procedimiento para calcular las flechas de elementos de hormigón pretensado fisurados.

10 - 16

Flecha de elementos pretensados no compuestos – Las contraflechas y flechas últimas (en el tiempo) de los elementos pretensados se pueden calcular en base a un procedimiento descrito en la Referencia 10.2. Este procedimiento incluye el uso de Ie para los elementos parcialmente pretensados (Referencia 10.8) como un método sugerido para satisfacer 18.4.2(d) para analizar las flechas cuando la tensión de tracción calculada es mayor que el módulo de rotura pero no es mayor que 12 f 'c . Para mayor

información sobre las flechas de las vigas de hormigón pretensado fisurado y sobre la flecha de las vigas pretensadas compuestas, ver las Referencias 10.2 y 10.9. La flecha última de los elementos pretensados no compuestos se obtiene como (Referencias 10.2 y 10.10): (1)

(2)

(3)

(4)

 ∆P  ∆P ∆ u = −∆ po + ∆ o −  − u + ( k r Cu )  1 − u 2Po  Po 

(6)

(7)

(5)

   ∆ po + ( k r Cu ) ∆ o + ∆ s  

(8)

( )A

+ ( βs k r Cu ) ∆ s + ∆ A + ∆ cp

(15)

El Término (1) es la contraflecha inicial debida al momento de pretensado inicial luego de las pérdida elásticas, Poe. Por ejemplo, ∆po = Poeℓ2/8EciIg para un tendón recto. El Término (2) es la flecha inicial debida al peso propio de la viga. ∆o = 5Moℓ2/48EciIg para una viga simple, siendo Mo el momento por peso propio en el centro de la luz. El Término (3) es la contraflecha adicional de la viga a largo plazo (dependiente del tiempo) debida al momento de pretensado. Este término incluye los efectos de la fluencia lenta y la pérdida de pretensado; es decir, el efecto de la fluencia lenta bajo tensión variable. Los valores medios de la relación de pérdida de pretensado luego de la transferencia (excluyendo las pérdidas elásticas), (Po – Pe)/Pe son de alrededor de 0,18; 0,21 y 0,23 para hormigón de peso normal, hormigón de agregados livianos y arena y hormigón liviano, respectivamente. Un valor medio de Cu = 2,0 podría ser razonable para el factor de fluencia lenta debida a la fuerza última de pretensado y el peso propio. El factor kr toma en cuenta el efecto de cualquier acero no pretensado, que reduce la contraflecha dependiente del tiempo, usando la Ecuación (16). También se lo utiliza en la publicación PCI Design Handbook10.8, aunque de una manera ligeramente diferente.

(

)

k r = 1/ 1 + As / A ps  para As / A ps < 2  

(16)

Cuando kr = 1 los Términos (1) + (3) se pueden combinar de la siguiente manera:   ∆ po + ∆ pe −∆ po −  −∆ po + ∆ pe + C u  2  

  ∆ po + ∆ pe   = −∆ pe − Cu  2   

  

El Término (4) es la flecha adicional a largo plazo debida al peso propio de la viga. Usar el mismo valor de Cu utilizado en el Término (3). Debido a que la fluencia lenta debida al pretensado y al peso propio ocurre bajo las tensiones combinadas que ellos provocan, el efecto de cualquier acero no pretensado traccionado de reducir la flecha por fluencia lenta se incluye tanto en el Término de la contraflecha (3) como en el Término de la flecha (4). El Término (5) es la flecha inicial de la viga bajo una carga permanente impuesta. ∆s = 5Msℓ2/48EcIg para una viga simple, siendo Ms el momento en el centro de la luz debido a la carga permanente impuesta (uniformemente distribuida). El Término (6) es la flecha adicional a largo plazo de la viga provocada por una carga permanente impuesta. kr es igual que en los Términos (3) y (4), y se incluye en este término por el mismo motivo que se incluye en el Término (4). Se recomienda un valor medio de Cu = 1,6 como en la Ecuación (7) para elementos no pretensados, asumiendo que la carga se aplica 20 días después de la colocación del hormigón. βs es un factor de corrección que considera la edad del hormigón de la viga en el momento de aplicación de la carga permanente impuesta; si esta edad no es de 20 días (los mismos valores se aplican tanto para hormigón de peso normal

10 - 17

como para hormigón liviano): βs = 1,0 para una edad de 3 semanas; βs = 0,96 para 1 mes; βs = 0,89 para 2 meses; βs = 0,85 para 3 meses; y βs = 0,83 para 4 meses. El Término (7) es la flecha inicial de la viga provocada por la sobrecarga. ∆ℓ = 5Mℓℓ2/48EcIg para una viga simple con sobrecarga uniformemente distribuida, siendo Mℓ el momento por sobrecarga en el centro de la luz. Para los elementos no fisurados Ie = Ig. Para los elementos no compuestos y compuestos parcialmente fisurados ver las Referencias 10.2 y 10.3. También ver el Ejemplo 8.5, que presenta el caso de un elemento parcialmente fisurado. El Término (8) es la flecha adicional a largo plazo de la viga provocada por la sobrecarga. Esta flecha adicional se puede calcular

( )A = ( Ms / MA ) Cu ∆A , siendo Ms

como ∆ cp

la porción de larga duración del momento por sobrecarga y Cu = 1,6 para carga

aplicada a una edad de 20 días, o bien multiplicada por el factor βs correspondiente, como en el Término (6). Un método alternativo para calcular las contraflechas y flechas a largo plazo es el llamado Método de los Multiplicadores del PCI, el cual se presenta en las Referencias 10.4 y 10.8. En este procedimiento las diversas componentes instantáneas de las contraflechas o flechas simplemente se multiplican por los coeficientes tabulados a fin de obtener sus contribuciones adicionales a largo plazo. Estos coeficientes se dan en la Tabla 3.4 de la Referencia 10.4, y en la Tabla 4.8.2 de la Referencia 10.8.

9.5.5

Elementos compuestos o construidos en etapas

La flecha última (en el tiempo) de los elementos construidos en etapas solicitados a flexión, apuntalados o sin apuntalar, se puede calcular aplicando los métodos discutidos en las Referencias 10.2 y 10.10. Estos métodos se reproducen en los párrafos siguientes, tanto para elementos apuntalados como para elementos sin apuntalar. Los subíndices 1 y 2 se refieren a la losa (o al efecto de la losa, tal como bajo la carga permanente de la losa) y a la viga prefabricada, respectivamente. Los Ejemplos 10.6 y 10.7 demuestran los beneficios que se logran con el apuntalamiento, es decir, cómo se reducen las flechas. 9.5.5.1 Elementos apuntalados – Para los elementos construidos en etapas apuntalados, en los cuales la carga permanente y la sobrecarga es resistida por la sección compuesta total, se aplican los espesores mínimos de la Tabla 9.5(a) como en el caso de los elementos estructurales monolíticos.

El cálculo de las flechas de las vigas compuestas apuntaladas es básicamente igual que para las vigas monolíticas, excepto por la flecha debida al alabeo por contracción de la viga prefabricada, el cual es resistido por la sección compuesta una vez que la losa se ha endurecido, y la flecha debida a la contracción diferencial y a la fluencia lenta de la viga compuesta. Estos efectos se representan en los Términos (3) y (4) de la Ecuación (17). (1)

(2)

(3)

∆ u = ( ∆i )1+ 2 + 1,80 k r ( ∆i )1+ 2 + ∆sh

(4)

(5)

(6)

I2 + ∆ ds + ( ∆ i )A + ∆ cp Ic

( )A

(17)

Cuando kr = 0,85 (despreciando el efecto de cualquier armadura de compresión de la losa) y ∆ ds se asume igual a ( ∆ i )1+ 2 , la Ecuación (17) se reduce a la Ecuación (18). (1+2+4)

(3)

∆ u = 3,53 ( ∆ i )1+ 2 + ∆ sh

(5)

(6)

I2 + ( ∆i )A + ∆ cp Ic

( )A

(18)

El Término (1) es la flecha inicial o instantánea de la viga compuesta debida a la carga permanente de la losa más la viga prefabricada (más los tabiques, cielorrasos, etc.), usando la Ecuación (3), con Ma = M1 + M2 = momento en el centro de la luz debido a la carga permanente de la losa más la viga prefabricada. Para calcular (Ie)1+2 de la Ecuación (1), Ma se refiere al momento M1 + M2, y Mcr, Ig e Icr a la sección de la viga compuesta en el centro de la luz.

10 - 18

El Término (2) es la flecha adicional a largo plazo de la viga compuesta debida a la carga permanente en el Término (1), usando la Ecuación (5). El valor de Cu a utilizar debe ser una combinación del correspondiente a la losa y el correspondiente a la viga. En el caso de la losa, se puede usar un valor ajustado Cu = 1,74, suponiendo que los puntales se retiran a una edad de 10 días para una losa curada en húmedo. La viga puede tener más de 20 días de edad (la condición normal) en el momento de aplicar las cargas, sin embargo, de forma conservadora se puede utilizar Cu = 1,60. A modo de aproximación se puede usar un promedio de los dos valores. Para cargas aplicadas a edades diferentes, los ajustes se pueden hacer de forma similar, usando el factor de corrección βs presentado anteriormente cuando se discutió el Término (6) de la Ecuación (15). ρ' se refiere a cualquier armadura de compresión en la losa, en el centro de la luz, al calcular kr. El Término (3) es la flecha por contracción de la viga compuesta una vez que se retiran los puntales, provocada por la contracción del hormigón de la viga prefabricada, pero no incluye el efecto de la contracción diferencial y la fluencia lenta que está dado por el Término (4). La Ecuación (6) se puede usar para calcular ∆sh. Supongamos que la losa se cuela cuando el hormigón de la viga prefabricada (curada al vapor) tiene dos meses de edad y que los puntales se retiran 10 días después. En ese momento la contracción en la viga es aproximadamente 36% del valor último, de acuerdo con la Tabla 2.1 de ACI 435. La deformación específica por contracción posterior a dicho momento será (εsh)rem = (1 – 0,36) (εsh)u. Ese valor se debería utilizar en la Ecuación (6) para calcular la componente de la flecha de este término. El Término (4) es la flecha debida a la contracción diferencial y la fluencia lenta. A modo de aproximación se puede utilizar ∆ ds = ( ∆ i )1+ 2 . El Término (5) es la flecha inicial o instantánea de la viga compuesta provocada por la sobrecarga, usando la Ecuación (3). El cálculo de la flecha adicional por sobrecarga se realiza de manera similar al caso de las vigas monolíticas. Esto es igual que en el método descrito en relación con el Término (9) de la Ecuación (19) discutida en párrafos subsiguientes. El Término (6) es la flecha adicional a largo plazo debida a cualquier parte de la sobrecarga que sea de larga duración, usando la Ecuación (5). Al calcular esta componente de la flecha, usar un coeficiente de fluencia lenta última Cu = 1,6 es conservador. El coeficiente de fluencia lenta se puede reducir aplicando el factor βs definido en el Término (6) de la Ecuación (15). Estos procedimientos sugieren utilizar sólo los valores correspondientes al centro del tramo, lo cual normalmente puede ser satisfactorio tanto para vigas simples como para vigas compuestas y también para aquellas que tienen una losa continua. La Referencia 10.10 presenta un ejemplo de una losa continua en una construcción por etapas. 9.5.5.2 Elementos sin apuntalar – Para los elementos construidos en etapas sin apuntalar, si el espesor de un elemento no pretensado prefabricado satisface los requisitos de espesor mínimo, no es necesario calcular las flechas. La Sección 9.5.5.2 también establece que, si el espesor de un elemento construido en etapas no pretensado sin apuntalar satisface los requisitos de espesor mínimo, no es necesario calcular las flechas que ocurren una vez que el elemento se comporta como compuesto, pero se debe investigar la flecha a largo plazo del elemento prefabricado en función de la magnitud y duración de la carga antes del inicio efectivo de su comportamiento como elemento compuesto.

(1)

(2)

(4)

(3)

∆ u = ( ∆i )2 + 0, 77 k r ( ∆i )2 + 0,83 k r ( ∆i )2

(6)

(7)

+ ( ∆i )1 + 1, 22 k r ( ∆ i )1

(8)

(9)

(5)

I2 I + 0,36∆ sh + 0, 64∆ sh 2 Ic Ic

(10)

I2 + ∆ ds + ( ∆ i )A + ∆ cp Ic

( )A

(19)

Con kr = 0,85 (sin armadura de compresión en la viga prefabricada) y suponiendo ∆ ds igual a 0,50 ( ∆ i )1 , la Ecuación (19) se reduce a la Ecuación (20).

10 - 19

(1+2+3)

(4+5)

  I  I  ∆ u = 1, 65 + 0, 71 2  ( ∆i )2 +  0,36 + 0, 64 2  ∆ sh Ic  Ic   

(6+7+8)

(9)

(10)

 I  + 1,50 + 1, 04 2  ( ∆ i )1 + ( ∆ i )A + ∆ cp Ic  

( )A

(20)

En las Ecuaciones (19) y (20), las partes de la fluencia lenta y contracción total que ocurren antes de y después de colar la losa se basan en la hipótesis que la viga prefabricada tiene una edad de 20 días en el momento de aplicar la carga permanente y 2 meses en el momento de colar la losa compuesta. El Término (1) es la flecha inicial o instantánea debida a la carga permanente de la viga prefabricada, usando la Ecuación (3), con Ma = M2 = momento en el centro de la luz de la viga prefabricada debido a la carga permanente. Para calcular (Ie)2 en la Ecuación (9-9), Ma se refiere a la carga permanente de la viga prefabricada, y Mcr, Ig e Icr a la sección de la viga prefabricada en el centro de la luz. El Término (2) es la flecha adicional a largo plazo por carga permanente de la viga prefabricada hasta el momento de colar la losa, usando la Ecuación (5), con Ct = 0,48 × 1,60 = 0,77 (para edad de 20 días a 2 meses; Tabla 2.1 de ACI 435; para losas coladas a una edad diferente de 60 días, se deberían utilizar los valores correspondientes de la Tabla 2.1), y ρ' se refiere a cualquier armadura de compresión en la viga prefabricada, en el centro de la luz, al calcular kr. El Término (3) es la flecha adicional a largo plazo de la viga compuesta luego de colar la losa, debida a la carga permanente de la viga prefabricada, usando la Ecuación (5), siendo la fluencia lenta a largo plazo el valor restante una vez que se ha colado la losa, Ct = 1,60 – 0,77 = 0,83. Como se indica en el Término (3), si la losa se cuela a una edad diferente de 2 meses, Ct se deberá determinar a partir de la Tabla 2.1 de ACI 435, y el valor de Ct a utilizar para este término será la diferencia entre 1,60 y el valor usado para el Término (2). ρ' tiene el mismo significado que en el Término (2). La relación I2/Ic modifica la tensión (deformación específica) inicial y toma en cuenta el efecto de la sección resistiendo la curvatura (deformación especifica) adicional por fluencia lenta como un elemento compuesto, después del inicio efectivo de su comportamiento como elemento compuesto. A modo de aproximación se puede utilizar I2/Ic = [(I2/Ic)g + (I2/Ic)cr]/2. El Término (4) es la flecha debida al alabeo por contracción de la viga prefabricada hasta el momento de colar la losa, usando la Ecuación (6), con (εsh)t = 0,36(εsh)u a la edad de 2 meses para hormigón curado al vapor (lo cual se asume es habitual para las vigas prefabricadas). El multiplicador 0,36 se obtiene de la Tabla 2.1 de la Referencia 10.4. Al igual que en los dos términos anteriores, si la losa se cuela a una edad diferente de 2 meses después de la fabricación de la viga, el porcentaje de la deformación específica última de contracción se debe ajustar para reflejar el valor adecuado de la Tabla 2.1 de ACI 435. (εsh)u = 400 × 10-6 in./in. El Término (5) es la flecha por contracción de la viga compuesta luego del colado de la losa, debida a la contracción del hormigón de la viga prefabricada, usando la Ecuación (6), con εsh = 0,64 (εsh)u. Este término no incluye el efecto de la contracción diferencial ni la fluencia lenta, el cual está dado por el Término (8). I2/Ic es igual que en el Término (3). El Término (6) es la flecha inicial o instantánea de la viga prefabricada debida a la carga permanente de la losa, usando la Ecuación (3), con la flecha adicional calculada de la siguiente manera: (∆i)1 = (∆i)1+2 – (∆i)2, donde (∆i)2 es igual que en el Término (1). Para calcular (Ie)1+2 y (∆i)1+2 en las Ecuaciones (9-8) y (3), Ma = M1 + M2 debido a la carga permanente de la viga prefabricada más la losa en el centro de la luz, y Mcr, Ig e Icr se refieren a la sección de la viga prefabricada en el centro de la luz. Si se colocan tabiques, cielorrasos, etc., simultáneamente con la losa, o muy poco tiempo después, su carga permanente se debería incluir en M1 y Ma. El Término (7) es la flecha adicional a largo plazo de la viga compuesta debida a la carga permanente de la losa, usando la Ecuación (5), con Cu = βs × 1,60. Para carga aplicada a los 2 meses de edad, βs = 0,89 es el factor de corrección apropiado, como se observó al tratar el Término (6) de la Ecuación (15). Si la carga se aplica a una edad diferente, se debería utilizar el valor de βs correspondiente. En este término, las deformaciones específicas, curvaturas y flechas iniciales debidas a la carga permanente de la losa se basan sólo en la sección prefabricada. Por lo tanto, las curvaturas y flechas a largo plazo se refieren al hormigón de la viga

10 - 20

prefabricada, aún cuando la sección compuesta está restringiendo las curvaturas y flechas como se mencionó al hablar del Término (3). kr es igual que en el Término (2), e I2/Ic es igual que en el Término (3). El Término (8) es la flecha debida a la contracción diferencia y la fluencia lenta. A modo de aproximación, se puede usar ∆ds = 0,50 (∆i)1. El Término (9) es la flecha inicial o instantánea debida a la sobrecarga (y otras cargas aplicadas a la viga compuesta y no incluidas en el Término (6)) de la viga compuesta, usando la Ecuación (4), con la flecha adicional estimada de la siguiente manera: ( ∆i )A = ( ∆i )d + A − ( ∆i )d , en base a la sección compuesta. Se cree que esta aproximación es conservadora, ya que ( ∆i )d calculada es un valor menor que el real y por lo tanto ( ∆ i )A calculada es un valor mayor que el real, aún cuando en realidad los incrementos

de carga son resistidos por diferentes secciones (elementos). Este método es igual que para el Término (5) de la Ecuación (17), e igual que el usado para las vigas monolíticas. Alternativamente, a modo de aproximación gruesa, se puede usar la Ecuación (3) con Ma = M1 e Ie = (Ic)cr. El primer método se ilustra en el Ejemplo 8.7, y el método alternativo en el Ejemplo 8.6. El Término (10) es la flecha adicional a largo plazo debida a cualquier sobrecarga de larga duración aplicada a la viga compuesta, usando la Ecuación (5), con Cu = βs × 1,60. Como en los demás casos, βs se da para diferentes momentos de aplicación de la carga, tal como se explicó al tratar el Término (6) de la Ecuación (15). ρ' se refiere a cualquier armadura de compresión en la losa, en el centro de la luz, al calcular kr. Este término corresponde al Término (6) de las Ecuaciones (17) y (18).

REFERENCIAS 10.1

Deflections of Concrete Structures, Special Publication SP 43, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1974.

10.2

Branson, D. E., Deformation of Concrete Structures, McGraw-Hill Book Co., New York, NY, 1977.

10.3

Branson, D. E., "Deflections of Reinforced Concrete Flexural Members," ACI 435.2R-66 (Reaprobada en 1984).

10.4

Control of Deflection in Concrete Structures, ACI 435R-95, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1995.

10.5

Designing for Creep and Shrinkage in Concrete Structures, Special Publication SP 76, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1982.

10.6

Designing for Effects of Creep, Shrinkage, and Temperature in Concrete Structures, Special Publication SP 27, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1971.

10.7

Nilson, A. H., y Walters, D. B., "Deflection for Two-Way Floor Systems by the Equivalent Frame Method," ACI Journal, Proceedings, Vol. 72, No. 5, Mayo 1975, pp. 210-218.

10.8

PCI Design Handbook – Precast and Prestressed Concrete, 4º Ed., Prestressed Concrete Institute, Chicago, IL, 1992.

10.9

Mast, R. F., "Analysis of Cracked Prestressed Concrete Sections: A Practical Approach," PCI Journal, Vol., 43, No. 4, Julio-Agosto 1998, pp. 80-91.

10.10 Branson, D. E., "Reinforced Concrete Composite Flexural Members," Capítulo 4, pp. 97-174, y "Prestressed Concrete Composite Flexural Members," Capítulo 5, pp. 148-210, Handbook of Composite Construction Engineering, G. M. Sabanis, Editor, Van Nostrand Reinhold Co., New York, NY, 1979.

10 - 21

Ejemplo 10.1 – Viga de sección rectangular no pretensada de un solo tramo Se pide: Analizar las flechas instantáneas y las flechas a largo plazo a las edades de 3 meses y 5 años (valor último) Datos: 3000 psi (hormigón de peso normal) 40.000 psi 3 barras No. 7 = 1,80 in.2 29.000.000 psi As/bd = 0,0077 3 barras No. 4 = 0,60 in.2 A's/bd = 0,0026

d' = 2,5"

(No se requiere A's por resistencia) Carga permanente impuesta (excluyendo el peso de la viga) = 120 lb/ft Sobrecarga = 300 lb/ft (50% sostenida o de larga duración) Luz = 25 ft

d = 19,5"

A's

h = 22"

f'c = fy = As = Es = ρ = A's = ρ' =

b = 12"

As

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Espesor mínimo de la viga, para elementos que no soportan, ni están unidos a, tabiques divisorios u otros elementos susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas.  A  h min =    16 

Tabla 9.5(a)

multiplicar por 0,8 para acero con fy = 40.000 psi

h min =

25 × 12 × 0,8 = 15 in. < 22 in. 16

VERIFICA

2. Momentos: w d = 0,120 + (12 )( 22 )( 0,150 ) /144 = 0,395 kips / ft

Md =

w d A 2 ( 0,395 )( 25 ) = = 30,9 ft-kips 8 8

MA =

w A A 2 ( 0,300 )( 25 ) = = 23, 4 ft-kips 8 8

2

2

M d + A = 54,3 ft-kips M sos = M d + 0,50M A = 30,9 + ( 0,50 )( 23, 4 ) = 42, 6 ft-kips

10 - 22

3. Módulo de rotura, módulo de elasticidad, relación de módulos: f r = 7,5 f 'c = 7,5 3000 = 411 psi

Ec. (9-10)

6 E c = w1,5 c 33 f 'c = (150 ) 33 3000 = 3,32 × 10 psi 1,5

8.5.1

Es 29 × 106 = = 8, 7 E c 3,32 × 106

ns =

4. Momentos de inercia de la sección bruta y de la sección fisurada, usando la Tabla 8-2: Ig =

bh 3 (12 )( 22 ) = = 10.650 in.4 12 12

B=

b 12 = = 0, 766 in. ( nAs ) (8, 7 )(1,80 )

r=

( n − 1) A 's ( 7, 7 )( 0, 60 ) = = 0, 295 (8, 7 )(1,80 ) ( nAs )

3

2   kd =  2dB (1 + rd '/ d ) + (1 + r ) − (1 + r )  / B  

 =  Icr =

=



( 2 )(19,5)( 0, 766 ) 1 + 

 0, 295 × 2,5  2  + (1, 295 ) − 1, 295 / 0, 766 = 5, 77 in. 19,5  

bk 3d3 2 2 + nAs ( d − kd ) + ( n − 1) A 's ( kd − d ') 3

(12 )( 5, 77 )3 3

+ ( 8, 7 )(1,80 )(19,5 − 5, 77 ) + ( 7, 7 )( 0, 60 )( 5, 77 − 2,5 ) 2

2

= 3770 in.4 Ig Icr

= 2,8

5. Momentos efectivos de inercia, usando la Ecuación (9-7): M cr =

f r Ig yt

=

( 411)(10.650 )(11) = 33, 2 (12.000 )

ft-kips

Ec. (9-9)

a. Sólo con carga permanente M cr 33, 2 = > 1 . Por lo tanto ( Ie )d = Ig = 10.650 in.4 M d 30,9

10 - 23

b. Con carga de larga duración 3

3

 M cr   33, 2    =  = 0, 473  M sos   42, 6 

( Ie )sos = ( Mcr / Ma )3 Ig + 1 − ( Mcr / Ma )3  Icr ≤ Ig

Ec. (9-8)

= (0,473) (10.650) + (1 – 0,473) (3770) = 7025 in.4 c. Con carga permanente más sobrecarga 3

3

 M cr   33, 2    =  = 0, 229  M d + A   54,3 

( Ie )d + A = ( 0, 229 )(10.650 ) + (1 − 0, 229 )( 3770 ) = 5345 in.4 d. Flechas iniciales o instantáneas, usando la Ecuación (3)

( ∆ i )d =

K ( 5 / 48 ) M d A 2 E c ( I e )d

=

(1)( 5 / 48)( 30,9 )( 25)2 (12 )3 ( 3320 )(10.650 )

9.5.2.2 9.5.2.3 = 0, 098 in.

K = 1 para tramos simples (ver Tabla 8-3)

( ∆i )sos =

( ∆ i )d + A =

K ( 5 / 48 ) M sos A 2 E c ( Ie )sos

(1)( 5 / 48)( 42, 6 )( 25)2 (12 )3 = ( 3320 )( 7025)

K ( 5 / 48 ) M d + A A 2 E c ( Ie )d + A

(1)( 5 / 48)( 54,3)( 25)2 (12 )3 = ( 3320 )( 5345)

= 0, 205 in.

= 0,344 in.

( ∆i )A = ( ∆i )d + A − ( ∆i )d = 0,344 − 0, 098 = 0, 246 in. Flechas admisibles, Tabla 9.5(b): Cubiertas planas que no soportan, ni están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas:

( ∆ i )A ≤

A 300 = = 1, 67 in. > 0, 246 in. 180 180

VERIFICA

Entrepisos que no soportan, ni están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas:

10 - 24

( ∆ i )A ≤

A 300 = = 0,83 in. > 0, 246 in. 360 360

VERIFICA

7. Flechas adicionales a largo plazo para 3 meses y 5 años de edad (valor último): Flechas combinadas por fluencia lenta y contracción, usando las Ecuaciones (9-10) y (4):

Duración

λ=

ξ

ξ 1 + 50ρ '

(∆i)sos in.

(∆i)ℓ in.

∆cp + ∆sh = λ(∆i)sos in.

∆cp + ∆sh + (∆i)ℓ in.

5 años

2,0

1,77

0,205

0,246

0,363

0,61

3 meses

1,0

0,89

0,205

0,246

0,182

0,43

Flechas por fluencia lenta y contracción por separado, usando las Ecuaciones (5) y (6): Para ρ = 0,0077; ρ' = 0,0026 Para ρ = 100ρ = 0,77 y ρ' = 100ρ' = 0,26 leer Ash = 0,455 (Fig. 8-3) y Ksh = 0,125 para tramos simples (Tabla 8-5).

Duración 5 años

Ct

λcp

1,6 (última)

0,85Ct = 1 + 50ρ '

1,20

∆ cp = λcp ( ∆i )sos

in.

εsh in./in.

0,246

400 × 10-6

φsh =

A shεsh h

∆ sh = K shφshA 2

1/in. 0,455 × 400 × 10 22

−6

∆ cp + ∆ sh + ( ∆i )A

in.

in.

1 2 × 8,27 × 10 −6 × ( 25 × 12 ) 8

0,246 + 0,093 + 0,246 = 0,59

= 0,0093

= 8,27 × 10-6 3 ,eses

0,56 × 1,6 = 0,9

0,68

0,14

0,6 × 400 × 10-6 = 240 × 10-6

4,96 × 10-6

= 0,0558

0,14 + 0,056 + 0,246 = 0,44

Flechas admisibles, Tabla 9.5(b): Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas (limitación muy severa). ∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A ≤

A 300 = = 0, 63 in. 480 480

VERIFICA según ambos métodos

Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales que no son susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas. ∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A ≤

A 300 = = 1, 25 in. 240 240

VERIFICA según ambos métodos

10 - 25

Ejemplo 10.2 – Viga Te continua no pretensada Se pide: Analizar las flechas instantáneas y las flechas a largo plazo del tramo final de la viga de múltiples tramos ilustrada a continuación.

3 - No. 8 (As= 2,37 in.2 )

2 - No. 8 (A's = 1,58 in.2 )

h = 25"

5 - No. 8 (A s = 3,95 in.2 )

No usada en el ejemplo

Separación de las vigas = 10'; b ≤ 360/4 = 90" ó 120" ó 16(5) + 12 = 92". Usar 90".

Sección bruta b = 90"

kd = 3,28" Elást.

d = 22,5"

Sección fisurada - Centro de la luz b = 90"

h = 25"

h f = 5"

30 ft. = 360 in.

nAs

bw = 12"

bw = 12" nAs ρ ρw ρ'

Datos:

= (11,3) (2,37) = 26,8 in.2 = 2,37 / (90) (22,5) = 0,00117 = 2,37 / (12) (22,5) = 0,00878 =0

f'c = 4000 psi (hormigón de agregados livianos y arena) fy = 50.000 psi wc = 120 lb/ft3 Separación de las vigas = 10 ft Carga permanente impuesta (excluyendo el peso de la viga) = 20 lb/ft2 Sobrecarga = 100 lb/ft2 (30% sostenida o de larga duración) (No se requiere A's por resistencia) Para determinar hmin de la Tabla 9.5(a), Ie Promedio en la Ecuación (1), y Ksh en la Ecuación (6), la viga se supondrá continua solamente en uno de sus extremos, ya que el extremo exterior es soportado por una viga perimetral.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Espesor mínimo, para elementos que no soportan, ni están unidos a, tabiques divisorios u otros elementos susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas:  A  h min =    18,5 

Tabla 9.5(a)

10 - 26

= 1,09 para wc = 120 lb/ft3 [nota (a) de la Tabla 9.5(a)]

Factores de modificación

= 0,9 para fy = 50.000 psi [nota (b) de la Tabla 9.5(a)]  360  h min =   ( 0,90 )(1, 09 ) = 19,1 in. < h = 25 in.  18,5 

VERIFICA

2. Cargas y momentos: w d = ( 20 × 10 ) + (120 )(12 × 20 + 120 × 5 ) /144 = 900 lb / ft w A = (100 × 10 ) = 1000 lb / ft

En lugar de realizar un análisis de momentos, se pueden usar los coeficientes de momento aproximados de ACI de la siguiente manera: M pos. = wℓ2/14 para Ie positivo y flecha máxima, M neg. = wℓ2/10 para Ie negativo.

8.3.3

a. Momentos positivos w A 2 ( 0,900 )( 30 ) M d pos. = d n = = 57,9 ft-kips 14 14 2

M A pos. =

(1000 )( 30 )2 14

= 64,3 ft-kips

M d + A pos. = 57,9 + 64,3 = 122, 2 ft-kips Msos pos. = M d + 0,30M A = 57,9 + ( 0,30 )( 64,3) = 77, 2 ft-kips

b. Momentos negativos w d A n 2 ( 0,900 )( 30 ) = = 81, 0 ft-kips 10 14 2

M d neg. =

M A neg. =

(1000 )( 30 )2 10

= 90, 0 ft-kips

M d + A neg. = 81, 0 + 90, 0 = 171, 0 ft-kips M sos neg. = M d + 0,30M A = 81, 0 + ( 0,30 )( 90, 0 ) = 108, 0 ft-kips

3. Módulo de rotura, módulo de elasticidad, relación de módulos: f r = ( 0,85 )( 7,5 ) f 'c = 6,38 4000 = 404 psi

(0,85 para hormigón de agregados livianos y arena)

Ec. (9-10) 9.5.2.3(b)

Ec =

w1,5 c 33

f 'c = (120 )

1,5

6

33 4000 = 2, 74 × 10 psi

8.5.1

10 - 27

n=

Es 29 × 106 = = 10, 6 E c 2, 74 × 106

4. Momentos de inercia de la sección bruta y de la sección fisurada: a. Sección de momento positivo y t = h − (1/ 2 ) ( b − b w ) h f2 + b w h 2  / ( b − b w ) h f + b w h   

= 25 – (1/2) [(78) (5)2 + (12) (25)2] / [(78) (5) + (12) (25)] = 18,15 in. Ig = ( b − b w ) h 3f /12 + b w h 3 /12 + ( b − b w ) h f ( h − h f / 2 − y t ) + b w h ( y t − h / 2 ) 2

2

= (78) (5)3/12 + (12) (25)3/12 + (78) (5) (25 – 2,5 – 18,15)2 + (12) (25) (18,15 – 12,5)2 = 33.390 in.4 b 90 B= = = 3,58 / in. (Tabla 10-2) nA s (10, 6 )( 2,37 )

kd =

2dB + 1 − 1 = B

( 2 )( 22,5)( 3,58) + 1 − 1 3,58

= 3,28 in. < hf = 5 in. Por lo tanto, se debe tratar como un área comprimida rectangular. Icr = bk 3d3 / 3 + nAs ( d − kd ) = ( 90 )( 3, 28 ) / 3 + (10, 6 )( 2,37 )( 22,5 − 3, 28 ) 2

3

2

= 10.340 in.4 b. Sección de momento negativo Ig =

12 × 253 = 15.625 in.4 12

Icr = 11.161 in.4 (similar al Ejemplo 8.1, para b = 12 in.; d = 22,5 in.; d' = 2,5 in.; As = 3,95 in.2; A's = 1,58 in.2)

5. Momentos efectivos de inercia, usando las Ecuaciones (9-8) y (1): a. Sección de momento positivo M cr = f r Ig / y t = ( 404 )( 33.390 ) / (18,15 )  /12.000 = 61,9 ft-kips M cr / M d = 61,9 / 57,9 > 1

Por lo tanto ( Ie )d = Ig = 33.390 in.4

( Mcr / Msos )3 = ( 61,9 / 77, 2 )3 = 0,515

10 - 28

Ec. (9-9)

( Ie )sos = ( Mcr / Ma )3 Ig + 1 − ( M cr / M a )3  Icr ≤ Ig

Ec. (9-8)

= (0,515) (33.390) + (1 – 0,515) (10.340) = 22.211 in.4

( Mcr / Md + A )3 = ( 61,9 /122, 2 )3 = 0,130

( Ie )d +A = ( 0,130 )( 33.390 ) + (1 − 0,130 )(10.340 ) = 13.336 in.4 b. Sección de momento negativo: M cr = [(404) (15.625) / (12,5)] / 12.000 = 42,1 ft-kips

Ec. (9-9)

( Mcr / Md )3 = ( 42,1/ 81, 0 )3 = 0,14

( Ie )d = ( 0,14 )(15.625 ) + (1 − 0,14 )(11.161) = 11.786 in.4

Ec. (9-8)

( M cr / Msos )3 = ( 42,1/108, 0 )3 = 0, 06

( Ie )sos = ( 0, 06 )(15.625 ) + (1 − 0, 06 )(11.161) = 11.429 in.4

Ec. (9-8)

( M cr / Md +A )3 = ( 42,1/171, 0 )3 = 0, 015

( Ie )d +A = ( 0, 015)(15.625) + (1 − 0, 015)(11.161) = 11.228 in.4

Ec. (9-8)

c. Valores promedios del momento de inercia:

( Ie ) promedio = 0,85 Im + 0,15 ( Iextremo cont. )

Ec. (1)

( Ie )d promedio = ( 0,85)( 33.390 ) + ( 0,15)(11.786 ) = 30.149 in.4 ( Ie )sos promedio = ( 0,85)( 22.211) + ( 0,15)(11.429 ) = 20.594 in.4

( Ie )d +A promedio = ( 0,85)(13.336 ) + ( 0,15)(11.228) = 13.020 in.4 6. Flechas iniciales o instantáneas, con Ie correspondiente al centro de la luz y con Ie promedio: 5  Ma A2   48  E c Ie

( ∆i ) = K 

Ec. (3)

(

)(

)

K = 1, 20 − 0, 20 M o / M a = 1, 20 − ( 0, 20 ) wA 2n / 8 / wA 2n /14 = 0,850

( ∆ i )d =

K ( 5 / 48 ) M d A 2 E c ( I e )d

9.5.2.4

=

( 0,85)( 5 / 48)( 57,9 )( 30 )2 (12 )3 ( 2740 )( 33.390 )

= 0, 087 in.

10 - 29

Tabla (10-3)

= 0,096 in., usando Ie promedio = 30.149 in.4

( ∆i )sos =

K ( 5 / 48 ) Msos A 2 E c ( Ie )sos

=

( 0,85)( 5 / 48)( 77, 2 )( 30 )2 (12 )3 ( 2740 )( 22.211)

= 0,175 in.

= 0,188 in., usando Ie promedio = 20.594 in.4

( ∆ i )d + A =

K ( 5 / 48 ) M d + A A 2 E c ( I e )d + A

( 0,85)( 5 / 48)(122, 2 )( 30 )2 (12 )3 = ( 2740 )(13.336 )

= 0, 460 in.

= 0,472 in., usando Ie promedio = 13.020 in.4

( ∆i )A = ( ∆i )d + A − ( ∆i )d = 0, 460 − 0, 087 = 0,373 in. = 0,472 – 0,096 = 0,376 in., usando Ie promedio de la Ecuación (1) Flechas admisibles, Tabla 9.5(b): Para cubiertas planas que no soportan, ni están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños VERIFICA por efecto de las flechas – ( ∆ i )A ≤ A /180 = 2,00 in. > 0,376 in. Para entrepisos que no soportan, ni están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas – ( ∆ i )A ≤ A / 360 = 360/360 = 1,00 in. VERIFICA 7. Flechas últimas a largo plazo: Usando el Método ACI con los efectos combinados de la fluencia lenta y la contracción: λ=

2, 0 ( valor último ) ξ = = 2, 0 1 + 50ρ ' 1+ 0

Ec. (9-11)

∆ (cp + sh) = λ (∆i )sos = ( 2, 0 )( 0,175 ) = 0,350 in.

Ec. (4)

∆ (cp + sh) + (∆ i )A = 0,350 + 0,373 = 0, 723 in.

= [2 (0,188) + 0,376] = 0,752 usando Ie promedio de la Ecuación (1) Usando el Método Alternativo considerando las flechas por fluencia lenta y contracción por separado: λ cp =

0,85 Cu ( 0,85 )(1, 60 ) = = 1,36 1 + 50ρ ' 1+ 0

∆ cp = λ cp (∆ i )sos = (1,36 )( 0,175 ) = 0, 238 in.

Ec. (5)

= 1,36 (0,188) = 0,256 usando Ie promedio de la Ecuación (1)

10 - 30

 2,37 2,37   ρ + ρw  ρ = 100  = 100  +  /2   2   90 × 22,5 12 × 22,5  = 100 (0,00117 + 0,00878) / 2 = 0,498% Ash (de la Fig. 10-3) = 0,555 φsh = Ash

( εsh )u h

=

( 0,555) ( 400 ×10−6 ) 25

(

= 8,88 × 10−6 / in.

)

∆ sh = K sh φsh A 2 = ( 0, 090 ) 8,88 × 10−6 ( 30 ) (12 ) = 0,104 in. 2

2

∆ cp +∆ sh + (∆ i )A = 0, 238 + 0,104 + 0,373 = 0, 715 in.

= 0,256 + 0,104 + 0,376 = 0,736 usando Ie promedio de la Ecuación (1) Flechas admisibles, Tabla 9.5(b): Para entrepisos o cubiertas que soportan, o están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas (limitación muy severa) – ∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A ≤

A 360 = = 0, 75 in. 480 480

Todos los resultados VERIFICAN. Para cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales que no son susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas. ∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A ≤

A 360 = = 1,50 in. 240 240

Todos los resultados VERIFICAN.

10 - 31

Ec. (6)

Ejemplo 10.3 – Losa sin vigas de borde (Placa plana) Se pide: Analizar las flechas instantáneas y las flechas a largo plazo de un panel de esquina. Datos: Placa plana sin vigas de borde, diseñada por el Método de Diseño Directo Losa: f'c = 3000 psi, Columna f'c = 5000 psi (hormigón de peso normal) fy = 40.000 psi Paneles cuadrados: 15 × 15 ft entre los centros de las columnas Columnas cuadradas: 14 × 14 in., Luz libre, ℓn = 15 – 1,17 = 13,83 ft Altura de piso = 10 ft, Altura o espesor de la losa, h = 6 in. La armadura en las regiones de momento negativo de la franja de columna consiste en barras No. 5 con una separación de 7.5 in. Por lo tanto, el área total de acero en una franja de 90 in. (la mitad de la longitud del panel) es igual a: As = (90/7,5) ( 0,31) = 3,72 in.2 La distancia entre la cara comprimida de la losa y el centro de la armadura es: d = 4,62 in. La armadura de la franja intermedia y los valores d no son necesarios para el cálculo de las flechas, ya que la losa permanece no fisurada en las franjas intermedias. Carga permanente impuesta = 10 lb/ft2 Sobrecarga = 50 lb/ft2 Verificar considerando que 0% y 40% de la sobrecarga es sostenida o de larga duración.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Espesor mínimo:

9.5.3.2

De la Tabla 8-6, con acero de Grado 60: Panel interior:

h min =

An = (13,83 × 12 ) / 36 = 4, 61 in. 36

Panel exterior:

h min =

An = (13,83 × 12 ) / 33 = 5, 03 in. 33

Debido a que el espesor real de la losa es de 6 in., no es necesario calcular las flechas. Sin embargo, a título ilustrativo, verificaremos las flechas para un panel de esquina a fin de verificar que se satisfagan todas las flechas admisibles de acuerdo con la Tabla 9.5(b). 2. Comentario sobre el diseño de prueba con respecto a las flechas: Considerando la relación entre las limitaciones de espesor mínimo y el espesor real de la losa, parece probable que las flechas calculadas satisfarán todas o la mayor parte de las flechas admisibles establecidas en el código. Finalmente veremos que se satisfacen todas las limitaciones. 3. Módulo de rotura, módulo de elasticidad, relación de módulos: f r = 7,5 f 'c = 7,5 3000 = 411 psi

Ec. (9-10)

10 - 32

6 E cs = w1,5 c 33 f 'c = (150 ) 33 3000 = 3,32 × 10 psi 1,5

8.5.1

E cc = (150 ) 33 5000 = 4, 29 × 106 psi 1,5

ns =

Es 29 = = 8, 73 E cs 3,32

4. Momentos bajo cargas de servicio y momento de fisuración: w d = 10 + (150 )( 6, 0 ) /12 = 85, 0 lb / ft 2

( M o )d = w d A 2 A 2n / 8 = (85, 0 )(15)(13,83)2 / 8000 = 30, 48 ft-kips ( M o )d + A = w d A 2 A 2n / 8 = (85, 0 + 50, 0 )(15)(13,83)2 / 8000 = 48, 41 ft-kips ( Mo )sos = (85, 0 + 0, 4 × 50 )(15)(13,83)2 / 8000 = 37, 65

ft-kips

Los momentos se distribuyen a los extremos y a los centros de la columna y a las franjas de columna e intermedia de acuerdo con los coeficientes dados en las tablas de las Secciones 13.6.3.3, 13.6.4.1, 13.6.4.2 y 13.6.4.4. En este caso, la relación de luces, ℓ2 /ℓ1, es igual a 1,0. En la siguiente tabla se indican los multiplicadores del momento del panel, Mo, que se utilizan para hacer la distribución en un tramo extremo o final:

Total del panel Franja de columna Franja intermedia

Ext. negativo 0,26 (1,0) (0,26) (1,0-1,0) (0,26)

Positivo 0,52 (0,60) (0,52) (1,0-0,60) (0,52)

Int. negativo 0,70 (0,75) (0,70) (1-0-0,75) (0,70)

Los momentos resultantes aplicados a los extremos externo e interno y al centro de la luz de las franjas de columna e intermedia se indican en las siguientes tablas: Momentos debidos a la carga permanente, ft-kips

Total del panel Franja de columna Franja intermedia

Ext. negativo 7,93 7,93 0

Positivo 15,85 9,51 6,34

Int. negativo 21,34 16,00 5,34

Momentos debidos a la carga permanente + la sobrecarga, ft-kips

Total del panel Franja de columna Franja intermedia

Ext. negativo 12,59 12,59 0

Positivo 25,18 15,10 10,07

10 - 33

Int. negativo 33,89 25,41 8,47

Momentos debidos a la carga sostenida, ft-kips (Carga permanente + 40% de la sobrecarga)

Ext. negativo 9,79 9,79 0

Total del panel Franja de columna Franja intermedia

Positivo 19,58 11,75 7,83

Int. negativo 26,36 19,77 6,59

El momento de inercia de la sección bruta de un panel, denominado momento de inercia del pórtico equivalente, es: I pórtico = A s h 3 /12 = (15 × 12 )( 6 ) /12 = 3.240 in.4 3

Para este caso, el momento de inercia de una franja de columna o de una franja intermedia es igual a la mitad del momento de inercia de la totalidad del pórtico equivalente: Ig =

3240 = 1620 in.4 2

El momento de fisuración ya sea de una franja de columna o de una franja intermedia se obtiene a partir de las fórmulas habituales usadas para flexión, en base a la sección no fisurada, de la siguiente manera:

( M cr )c / 2 = ( Mcr )m / 2 = f r Ig / y t = ( 411)(15 × 12 )( 6, 0 )3 / ( 4 )(12 )( 3, 0 )(12.000 ) = 9,25 ft-kips 5. Momentos efectivos de inercia: Comparando los momentos aplicados de las tablas con el momento de fisuración se puede ver que el momento asignado en todas las ubicaciones, excepto en el apoyo interior de las franjas de columna para los casos de carga permanente y carga sostenida, es menor que el momento de fisuración bajo las cargas impuestas. Por lo tanto, el momento de inercia de la sección fisurada sólo se requiere para las franjas de columna en las zonas de momento negativo. Las fórmulas para calcular el momento de inercia de la sección fisurada se obtienen de la Tabla 10-2: 1 (15 ×12 ) b  1  B= = 2 = 2, 77   nAs 8, 73 × 3, 72  in.  kd =

Icr =

2Bd + 1 − 1 = B b ( kd ) 3

3

2 × 4, 62 × 2, 77 + 1 − 1 = 1,50 in. 2, 77

+ nAs ( d − kd ) = 2

90 × 1,503 2 + 8, 73 × 3, 72 ( 4, 62 − 1,50 ) = 417 in.4 3

Para obtener un momento de inercia equivalente para la ubicación fisurada, se debe aplicar la modificación de Branson a los momentos de inercia para secciones fisuradas y no fisuradas. El momento de inercia aproximado en las secciones fisuradas está dado por la fórmula general de la Ecuación (9-8) de ACI 318. A partir de las tablas desarrolladas en la Sección 4 anterior, las relaciones entre el momento debido a la carga permanente más la sobrecarga, y el momento debido a la carga sostenida, y el momento de fisuración se determinan de la siguiente manera: Para carga permanente más sobrecarga:

10 - 34

M cr 18,50 = = 0, 728 Ma 25, 41 3

 M cr    = 0,386  Ma 

y para el caso de la carga sostenida (carga permanente más 40% de la sobrecarga): M cr 18,50 = = 0,936 M a 19, 77 3

 M cr    = 0,819  Ma 

Ahora el momento de inercia equivalente para los dos casos se calcula ahora usando la Ecuación (9-8) de ACI 318): Para carga permanente más sobrecarga: Ie = (0,386) 1620 + (1 – 0,386) (417) = 881 in.4 Para la carga sostenida (carga permanente más 40% de la sobrecarga): Ie = (0,819) 1620 + (1 – 0,819) (417) = 1402 in.4 Finalmente, el momento de inercia equivalente para las secciones no fisuradas es simplemente el momento de inercia de la sección bruta, Ig. Luego, para obtener un momento de inercia promedio para calcular las flechas, los valores correspondientes a los "extremos" y al "centro de la luz" se combinan de acuerdo con la Ecuación (1) Para carga permanente más sobrecarga: Ie promedio = 0,85 (1620 ) + 0,15 ( 881) = 1509 in.4

Para la carga sostenida (carga permanente más 40% de la sobrecarga): Ie promedio = 0,85 (1620 ) + 0,15 (1402 ) = 1587 in.4

Para obtener el momento de inercia equivalente para el "pórtico equivalente," el cual está formado por una franja de columna y una franja intermedia, se deben sumar los momentos de inercia promedio de las respectivas franjas. Para las franjas intermedias, el momento de inercia es el correspondiente a la sección bruta, Ig, y para las franjas de columna se utilizan los valores promedio calculados: Para carga permanente solamente:

( Ie )pórtico = 1620 + 1620 = 3240 in.4 Para carga permanente más sobrecarga:

( Ie )pórtico = 1620 + 1509 = 3129 in.4 10 - 35

Para carga permanente más 40% de la sobrecarga:

( Ie )pórtico = 1620 + 1587 = 3207 in.4 Nota: En este caso, en el cual estamos considerando un panel de esquina, sólo hay la mitad de una franja de columna a lo largo de los dos bordes exteriores. Sin embargo, las propiedades de la sección para la mitad de una franja son iguales a la mitad de aquellas para una franja entera; además, los momentos aplicados a una franja de borde son la mitad de los aplicados a una franja interior. En consecuencia, las flechas calculadas para la mitad de una franja son iguales a las calculadas para una franja entera. Estrictamente, estas relaciones sólo son aplicables porque todos los paneles tiene las mismas dimensiones en ambas direcciones. Si los paneles no fueran cuadrados, o si algunos paneles adyacentes tuvieran diferentes dimensiones, sería necesario efectuar cálculos adicionales. 6. Rigidez flexional (Kec) de una columna exterior equivalente: Kb = 0

(no hay vigas)

R13.7.4

La rigidez de la columna exterior equivalente se determina combinando la rigidez de las columnas superior e inferior en el borde exterior del entrepiso con la rigidez torsional de una franja de la losa de entrepiso, paralela al borde normal a la dirección del pórtico equivalente y que se extiende en toda la longitud del panel entre las columnas. En el caso de una columna de esquina, obviamente la longitud es solamente la mitad de la longitud del panel. El ancho de la franja es igual a la dimensión de la columna normal a la dirección del pórtico equivalente (ACI 318, R13.7.5). La rigidez de la columna se calcula en base a la rotación resultante de la aplicación de un momento al extremo simplemente apoyado de un voladizo apuntalado, M = 4EI/L. En este caso el resultado es: 4 K c = 4 E cc Ic / A c = 4 E cc (14 ) / (12 )  / (10 ) / (12 )  = 106, 7 E cc  

Debido a que las columnas por encima y por debajo de la losa tienen las mismas dimensiones, la rigidez total de las columnas es el doble de la rigidez de una sola columna:

∑ K c = 2K c = ( 2 ) (106, 7 Ecc ) = 213, 4 Ecc La rigidez torsional de la franja de losa se calcula de acuerdo con la metodología indicada en R13.7.5 de ACI 318, K t = ∑ 9E cs / L 2 (1 − c 2 / L 2 ) . La constante torsional de la sección transversal, C, se define en la Sección 13.0 de 3

ACI 318.

(

)

(

)

C = (1 − 0, 63 x / y ) x 3 y / 3 = (1 − 0, 636 × 6, 0 /14 ) 6, 03 × 14 / 3 = 735,8 in.4 Kt =

∑ 9Ecs C

A s (1 − c 2 / A 2 )

3

=

( 2 )( 9 ) Ecs ( 735,8) 14  (15)(12 ) 1 −   15 × 12 

= 93,9 E cs

Para un Pórtico Exterior, K t = 93,9 E cs / 2 = 47 E cs , E cc = ( 4, 29 / 3,32 ) E cs = 1, 292 E cs La rigidez de la columna equivalente se obtiene tratando la rigidez de la columna y la rigidez de los elementos torsionales como si fueran resortes en serie:

10 - 36

K ec =

E cs 1 = = 70 E cs = 19.370 ft-kips/rad 1 1 1 1     + + ∑ K c K t  213, 4 ×1, 292   93,9 

Para un Pórtico Exterior, K ec =

E cs = 40,1 E cs = 11.090 ft-kips/rad  1   1   213, 4 × 1, 292  +  47, 0     

7. Flechas, usando las Ecuaciones (7) a (14): ∆ pórtico (extremos fijos) =

wA 2 A 4 384 E cs I pórtico

Ec. (10)

2 3 85, 0 ó 135, 0 ó 105, 0 15 ) (12 ) ( ∆ pórtico (extremos fijos) )d,d +A = 384( 3,32 ×106 3240 ó)(3129 ó 3207

)(

(

)(

)

= 0,027 in.; 0,044 in.; 0,034 in.

(

)(

∆ c,m (extremos fijos) = ( LDF )c,m ∆ pórtico extremos fijos I pórtico / Ic,m

)

Estas flechas se distribuyen a las franjas de columna e intermedias en función a la relación entre el momento total aplicado y la rigidez (M/EI) de las respectivas franjas y la del pórtico completo. Como se puede ver en el Paso 4 anterior, la fracción de momento flector asignada a las franjas de columna o intermedias varía entre los extremos y el centro del tramo. Por lo tanto, al aproximar las flechas mediante este método, se utiliza la fracción de distribución de momentos promedio (Factor de Distribución Lateral - LDF). Además, debido a que el momento de inercia equivalente varía cada vez que se supera el momento de fisuración, se utiliza un momento de inercia promedio. Este momento de inercia promedio se calcula en base a la Ecuación (9-8) de ACI 318 y la Ecuación (1) de este capítulo. Finalmente, como el módulo de elasticidad es constante en toda la losa, el término E aparece tanto en el numerador como en el denominador y por lo tanto se cancela. Los factores de distribución lateral se calculan de la siguiente manera: Para la franja de columna:

(

)

− − + M ext + M +  = 1/ 2 1/ 2 ( 0, 75 + 1, 00 ) + 0, 60  = 0, 738 LDFc = 1/ 2 1/ 2 M int  

Para la franja intermedia: LDFm = 1 − LDFc = 0, 262

( ∆ c (extremos fijos) )d = ( 0, 738)( 0, 027 )( 2 ) = 0, 040 in. ( ∆ c (extremos fijos) )d + A = ( 0, 738)( 0, 044 )( 3129 /1509 ) = 0, 067 in. ( ∆ c (extremos fijos) )A = 0, 67 − 0, 040 = 0, 027 in. ( ∆ c (extremos fijos) )sos = ( 0, 738)( 0, 034 )( 3207 /1587 ) = 0, 051 in.

10 - 37

Ec. (11)

( ∆ m (extremos fijos) )d = ( 0, 262 )( 0, 027 )( 2 ) = 0, 014 in. ( ∆ m (extremos fijos) )d + A = ( 0, 262 )( 0, 044 )( 3129 /1620 ) = 0, 022 in. ( ∆ m (extremos fijos) )A = 0, 022 − 0, 014 = 0, 008 in. ( ∆ m (extremos fijos) )sos = ( 0, 262 )( 0, 034 )( 3207 /1587 ) = 0, 018 in. Además de los desplazamientos de los extremos fijos hallados, es necesario sumar un incremento o flecha adicional a cada uno debido a la rotación real que ocurre en los apoyos. La magnitud del incremento es igual a qL/8. Las rotaciones, q, se determinan como los momentos netos en las ubicaciones de las columnas divididos por las rigideces efectivas de las columnas. En este caso, el momento de la franja de columna en la columna de la esquina del entrepiso es igual a la mitad del 100% de 0,26 × Mo (ACI 318, Secciones13.6.3.3 y 13.6.4.2). Debido a que la franja de columna en el borde del entrepiso tiene sólo la mitad del ancho de las franjas de columna interiores, sólo actúa la mitad del momento asignado. Los momentos netos en las otras columnas son muy pequeños o nulos, y por lo tanto se desprecian. Los momentos netos en una columna de esquina para los tres casos de carga son:

( M neto )d = 1/ 2 × 0, 26 × 1, 00 × ( M o )d = 1/ 2 ( 0, 26 )(1, 00 ) ( 30, 48) = 3,96

ft-kips

( M neto )d +A = 1/ 2 × 0, 26 ×1, 00 × ( Mo )d +A = 1/ 2 ( 0, 26 )(1, 00 ) ( 48, 41) = 6, 29 ( M neto )sos = 1/ 2 × 0, 26 × 1, 00 × ( M o )sos = 1/ 2 ( 0, 26 )(1, 00 ) ( 37, 65) = 4,89

ft-kips

ft-kips

Tanto para la franja de columna como para la franja intermedia, θd extremo = ( M neto )d / K ec prom. = 3,96 /11.090 = 0, 000357 rad

Ec. (12)

θd + A extremo = 6, 29 /11.090 = 0, 000567 rad θsos extremo = 4,89 /11.090 = 0, 000441 rad

(

∆θ = ( θ extremo )( A / 8 ) Ig / Ie

)pórtico

Ec. (14)

( ∆θ )d = ( 0, 000357 )(15)(12 )(1) / 8 = 0, 008 in. ( ∆θ )d + A = ( 0, 000567 )(15)(12 )(1620 /1509 ) / 8 = 0, 014 in. ( ∆θ )A = 0, 0014 − 0, 008 = 0, 006 in. ( ∆θ )sos = ( 0, 000441)(15)(12 ) / 8 = 0, 010 in. Estas flechas debidas a las rotaciones que hemos calculado corresponden a las franjas de columna. Las flechas debidas a las rotaciones de los extremos para las franjas intermedias se supondrán iguales a las de las franjas de columna. Por lo tanto, las flechas de las franjas se calculan mediante la relación general: ∆ c,m = ∆ c,m (extremos fijos) + ( ∆θ )

Ec. (9)

10 - 38

( ∆ c )d = 0, 040 + 0, 008 = 0, 048 in. ( ∆ m )d = 0, 014 + 0, 008 = 0, 022 in.

( ∆ c )A = 0, 027 + 0, 006 = 0, 033 in. ( ∆ m )A = 0, 008 + 0, 006 = 0, 014 in.

( ∆ c )sos = 0, 051 + 0, 010 = 0, 061 in. ( ∆ m )sos = 0, 018 + 0, 010 = 0, 028 in. ∆ = ∆ cx + ∆ my = flecha en el centro de un panel de esquina

Ec. (7)

( ∆i )d = 0, 048 + 0, 022 = 0, 070 in. ( ∆i )A = 0, 033 + 0, 014 = 0, 047 in. ( ∆i )sos = 0, 061 + 0, 028 = 0, 089 in. La flecha a largo plazo se puede calcular usando la Ecuación (9-11) de ACI 318 (Nota: ρ' = 0): Sólo para carga permanente:

( ∆cp+sh )d = 2, 0 × ( ∆i )d = ( 2 )( 0, 070 ) = 0,140 in. Para carga sostenida (carga permanente + 40% de la sobrecarga):

( ∆cp+sh )sos = 2, 0 × ( ∆i )sos = ( 2 )( 0,109 ) = 0, 218 in. La flecha a largo plazo debida a la carga sostenida más la sobrecarga se calcula como:

( ∆cp+sh )sos + ( ∆i )A = 0, 218 + 0, 047 = 0, 265 in. Estas flechas calculadas se comparan con las flechas admisibles de la Tabla 9.5(b) del código de la siguiente manera: Cubiertas planas que no soportan, ni están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas:

( ∆i )A ≤ ( A n ó A ) /180 = (13,83 ó 15)(12 ) /180 = 0,92 in. ó 1, 00 in.

> 0, 047 in.

VERIFICA

Entrepisos que no soportan, ni están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas:

( ∆i )A ≤ ( A n ó A ) / 360 = 0, 46 in. ó 0,50 in.

> 0, 047 in.

VERIFICA

10 - 39

Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas: ∆ (cp + sh) + ( ∆i )A ≤ ( A n ó A ) / 480 = 0,35 in. ó 0,38 in. > 0, 265 in.

VERIFICA

Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales que no son susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas: ∆ (cp + sh) + ( ∆i )A ≤ ( A n ó A ) / 240 = 0, 69 in. ó 0, 75 in. > 0, 265 in.

Todas las flechas calculadas son satisfactorias en los cuatro casos.

10 - 40

VERIFICA

Ejemplo 10.4 – Losa armada en dos direcciones apoyada en vigas Se pide: Altura o espesor mínimo para control de las flechas. Datos: b

b hf = 6,5" h = 24"

h = 24"

hf = 6,5" h - hf < 4h f

h - hf < 4h f

b w = 12"

b w = 12"

Viga interior

Viga de borde

fy = 60.000 psi; espesor de la losa hf = 6,5 in. Paneles cuadrados: 22 × 22 ft entre los centros de las columnas h = 24 in. ℓn = 22 – 1 = 21 ft Todas las vigas: bw = 12 in. Observar que en este análisis no se requieren f'c ni las cargas.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Ancho efectivo b y propiedades de la sección, usando la Tabla 8-2: a. Viga interior: Is = ( 22 )(12 )( 6,5 ) /12 = 6040 in.4 3

h – hf = 24 – 6,5 = 17,5 in. ≤ 4hf = (4) (6,5) = 26 in.

VERIFICA

Por lo tanto, b = 12 + (2) (17,5) = 47 in. y t = h − (1/ 2 ) ( b − b w ) h f2 + b w h 2  / ( b − b w ) h f + b w h   

= 24 – (1/2) [(35) (6,5)2 + (12) (24)2] / [(35) (6,5) + (12) (24)] = 15,86 in. I b = ( b − b w ) h 3f /12 + b w h 3 /12 + ( b − b w ) h f ( h − h f / 2 − y t ) + b w h ( y t − h / 2 ) 2

2

= (35) (6,5)3 /12 + (12) (24)3 /12 + (35) (6,5) (24 – 3,25 – 15,86)2 + (12) (24) (15,86 – 12)2 = 24.360 in.4 α = E cb I b / E cs Is = I b / Is = 24.360 / 6040 = 4, 03

10 - 41

b. Viga de borde: Is = (11)(12 )( 6,5 ) /12 = 3020 in.4 3

b = 12 + (24 – 6,5) = 29,5 in. y t = 24 – (1/2) [(17,5) (6,5)2 + (12) (24)2] / [(17,5) (6,5) + (12) (24)] = 14,48 in. Ib = (17,5) (6,5)3 /12 + (12) (24)3 /12 + (17,5) (6,5) (24 – 3,25 – 14,48)2 + (12) (24) (14,48 – 12)2

= 20.470 in.4 α = I b / Is = 20.470 / 3020 = 6, 78

Valores de αm y β: αm (valor promedio de α para vigas en todos los bordes de un panel): Panel interior:

αm = 4,03

Panel lateral:

αm = [(3) (4,03) + 6,78] / 4 = 4,72

Panel de esquina:

αm = [(2) (4,03) + (2) (6,78)] / 4 = 5,41

Para paneles cuadrados, β = relación de las luces libres en las dos direcciones = 1 2. Espesor mínimo:

9.5.3.3

Como para todos los paneles αm > 2,0 se puede aplicar la Ecuación (9-12).

h min

fy   A n  0,8 +  200.000   = 36 + 9 β

=

( 21×12 )  0,8 +

60.000   200.000   = 6,16 in. 36 + 9 (1)

Ec. (9-13)

(todos los paneles)

Por lo tanto, el espesor de la losa igual a 6,5 in. > 6,16 in. es satisfactorio para todos los paneles, y no es necesario verificar las flechas.

10 - 42

Ejemplo 10.5 – Viga Te pretensada de un solo tramo Se pide: Analizar las contraflechas y flechas instantáneas y las flechas a largo plazo. Datos: 8ST36 (Detalles de diseño de acuerdo con el Manual PCI, 3º Edición, 1985) Luz = 80 ft, la viga está parcialmente fisurada f'c = 5000 psi (hormigón de peso normal) f'ci = 3500 psi fpu = 270.000 psi Ep = 27.000.000 psi Cables deprimidos (1 Pt.) de 14-1/2 in. de diámetro Cables no pretensados de 4-1/2 in. de diámetro (Suponer el mismo baricentro al calcular Icr) Pi = (0,7) (14) (0,153) (270) = 404,8 kips Po = (0,90) (404,8) = 364 kips Pe = (0,78) (404,8) = 316 kips ee = 11,15 in. ec = 22,51 in. Ag = 570 in.2 Ig = 68.920 in.4 yt = 26,01 in. Peso propio, wo = 594 lb/ft Carga impuesta DL, ws = (8) (10 lb/ft2) = 80 lb/ft. Esta carga se aplica a una edad de dos meses (βs = 0,76 en el Término (6) de la Ecuación (15)). Sobrecarga, wℓ = (8) (51 lb/ft2) = 408 lb/ft La capacidad es determinada por la resistencia a la flexión. 8'-0'

36"

1,5"

8"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Relaciones longitud-profundidad (usando el Manual PCI):

Las relaciones típicas longitud-profundidad para las vigas Te simples son entre 25 y 35 para los entrepisos y entre 35 y 40 para las cubiertas, que comparando con (80) (12) / 36 = 27 indica que se trata de una viga relativamente alta. Resulta que se satisfacen todas las flechas admisibles de la Tabla 9.5(b). 2. Momentos para calcular las flechas: w o A 2 ( 0,594 )( 80 ) = = 475 ft-kips 8 8 2

Mo =

(× 0,96 = 456 ft-kips a 0,4ℓ para calcular las tensiones e Ie – tendones deprimidos en un punto) 10 - 43

Ms =

w s A 2 ( 0, 080 )( 80 ) = = 64 ft-kips (61 ft-kips a 0,4ℓ) 8 8

MA =

w A A 2 ( 0, 408 )( 80 ) = = 326 ft-kips (313 ft-kips a 0,4ℓ) 8 8

2

2

3. Módulo de rotura, módulo de elasticidad, momento de inercia: f r = 7,5 f 'c = 7,5 5000 = 530 psi

Ec. (9-10)

6 E c = w1,5 c 33 f 'ci = (150 ) 33 3500 = 3,59 × 10 psi 1,5

8.5.1

6 E c = w1,5 c 33 f 'c = (150 ) 33 5000 = 4, 29 × 10 psi 1,5

ns =

Ep Ec

=

27 × 106 4, 29 × 106

= 6,3

El momento de inercia de la sección fisurada a 0,4ℓ se puede obtener mediante la fórmula aproximada dada en la Ecuación 4.8.2 del Manual PCI:

(

)

(

Icr = nAst d 2 1 − 1, 6 nρ = ( 6,3)(18 × 0,153)( 30, 23) 1 − 1, 6 6,3 × 0, 000949 2

)

= 13.890 in.4 (a 0,4ℓ) Se puede demostrar que el momento de inercia de la sección fisurada calculado mediante las fórmulas dadas en la Tabla 10.2 es muy similar al valor obtenido mediante el método aproximado utilizado. Los resultados difieren en aproximadamente 1%; por lo tanto, cualquiera de ambos métodos es adecuado para este caso. 4. Determinación de la clasificación de la viga: A fin de clasficar la viga de acuerdo con los requisitos de la Sección 18.3.3 de ACI, se calcula la máxima tracción por flexión y se la compara con el módulo de rotura. Las clasficaciones se definen de la siguiente manera: Clase U:

f t ≤ 7,5 f´c

Clase T:

7,5 f´c < f t ≤ 12 f´c

Clase C:

f t > 12 f´c

Las tres clases de la clasificación se refieren a comportamiento de sección no fisurada (U), transición (T) y fisurada (C). La máxima tensión de tracción debida a las cargas de servicio y las fuerzas de pretensado se calculan usando las fórmulas habituales para vigas solicitadas a momentos flectores y cargas axiales. Se puede demostrar que en una viga pretensada las máximas tensiones por flexión ocurren a aproximadamente 0,4ℓ. La excentricidad de la fuerza de pretensado a 0,4ℓ (e = 20,24 in.) se obtiene interpolando linealmente entre la excentricidad en el extremo (ee = 11,15 in.) y la excentricidad en el centro (ec = 22,51 in.). El cálculo se realiza de la siguiente manera: M tot = M d + M A

10 - 44

ft =

M tot y t Pe e ⋅ y t Pe − − Ig Ig Ag

= [(456 + 61 + 313) (12) – (316) (20,24)] [(26,01) / 68.929] – 316 / 570 f t = 791 psi

Verificar la relación entre la tensión de tracción claculada y la raíz cuadrada de f'c: ft f´c

=

791 5000

= 11, 2

La relación está comprendida entre 7,5 y 12 por lo tanto, de acuerdo con las definiciones de la Sección 18.3.3 de ACI 318, la clasficación de la viga es Clase T, región de transición. La Tabla R18.3.3 exige que las flechas para esta clasificación se basen en las propiedades de la sección fisurada, asumiendo una relación momento-curvatura bilineal; la Sección 9.5.4.2 del código permite realizar los cálculos en función de una relación momento-curvatura bilineal o de un momento de inercia equivalente determinado de acuerdo con la Ecuación (9-8). 5. Determinar el momento por sobrecarga que provoca la primera fisuración: Verificar la tensión de tracción debida exclusivamente a la carga permanente y las fuerzas de pretensado. Como se mencionó anteriormente, las máximas tensiones de tracción ocurren a aproximadamente 0,4ℓ: f t = [(456 + 61) (12) – (316) (20,4)] [(26,01) / 68.920] – 316 / 570 = – 627 psi

El signo negativo indica que se trata de una tensión de compresión. Por lo tanto, la sección es no fisurada bajo la carga permanente más las fuerzas de pretensado, y las flechas por carga permanente se pueden basar en el momento de inercia de la sección bruta de hormigón. En párrafos anteriores se demostró que la máxima tensión de tracción debida a la combinación de carga permanente más sobrecarga es igual a 791 psi, valor mayor que el módulo de rotura, fr = 530 psi. Esto indica que las flechas debidas a la sobrecarga se deben calcular en base a un análisis de sección fisurada, ya que el comportamiento es inelástico luego de agregar la totalidad de la sobrecarga. En particular, la Tabla R18.3.3 de ACI 318 exige utilizar la relación bilineal para determinar las flechas en estos casos. Sin embargo, la Sección 9.5.4.2 permite calcular las flechas ya sea en base a la relación bilineal o en base a un momento de inercia efectivo. Para calcular la flecha suponiendo una relación momento-curvatura bilineal, primero es necesario determinar la fracción de la sobrecarga total que provoca la primera fisuración. Esto significa hallar la fracción de sobrecarga que producirá una máxima tensión de tracción igual a fr. El valor deseado del momento por sobrecarga se puede obtener reacomodando la ecuación utilizada anteriormente para determinar la tensión de tracción total (cuando se determinó la clasficación), y fijando la tensión de tracción igual a fr. El valor del momento se obtiene de la siguiente manera (Nota: Los valores se calculan a 0,4ℓ): Momento de fisuración por sobrecarga =

f r Ig yt

+ Pe e +

Pe Ig Ag y t

− Md

= (530) (68.920) / (12.000) (26,01) + 316 (20,24 / 12) + [(316 / 570) (68.920 / 26,01)] / 12 – 517 = 117 + 533 + 122 – 517 = 255 ft-kips

10 - 45

La relación entre el momento de fisuración por sobrecarga y el momento total por sobrecarga es: 255 / 313 = 0,815 6. Contraflecha y flecha, usando la Ecuación (15): Término (1) –– ∆ po =

=

Po ( ec − ee ) A 2 12E ci Ig

+

Po ee A 2 8E ci Ig

(del Manual PCI para cables deprimidos en un solo punto)

( 364 )( 22,51 − 11,15)(80 )2 (12 )2 ( 364 )(11,15)(80 )2 (12 )2 + (12 )( 3590 )( 68.920 ) (8 )( 3590 )( 68.920 )

= 3,17 in.

( 5)( 475)(80 ) (12 ) 5M o A 2 = = 2, 21 in. 48E ci Ig ( 48 )( 3590 )( 68.590 ) 2

Término (2) –– ∆ o =

(

3

)

Término (3) –– k r = 1/ 1 + As / A ps  = 1/ 1 + ( 4 /14 )  = 0, 78    ∆Pu  ∆P + ( k r Cu ) 1 − u − P 2Po o  

   ∆Po  

El aumento en la fuerza de pretensado es: ∆Pu = Po − Pe = 364 − 316 = 48 kips

En consecuencia: ∆Pu / Po = 48 / 364 = 0,13

Por lo tanto, la flecha es: = [–0,13 + (0,78 × 2,0) (1 – 0,065)] (3,17) = 4,21 in. Término (4) –– ( k r Cu ) ∆ o = ( 0, 78 )( 2, 0 )( 2, 21) = 3, 45 in.

( 5)( 64 )(80 ) (12 ) 5M s A 2 = = 0, 25 in. Término (5) –– ∆ s = 48E c Ig ( 48 )( 4290 )( 68.920 ) 2

3

Término (6) –– ( βs k r Cu ) ∆s = ( 0, 76 )( 0, 78 )(1, 6 )( 0, 25 ) = 0, 24 in. Término (7) –– Flecha inicial debida a la sobrecarga La relación entre el momento de fisuración por sobrecarga y el momento total por sobrecarga ya se determinó previamente. Para calcular la flecha de acuerdo con la relación momento-curvatura bilineal, la flecha debida a la fracción de la sobrecarga por debajo del valor de fisuración se basa en el momento de inercia de la sección bruta; la flecha debida al resto de la sobrecarga se basa en el momento de inercia de la sección fisurada. Además, las flechas

10 - 46

se basan en momentos en el centro del tramo, aún cuando el momento que provoca la primera fisuración se evaluó a 0,4ℓ. La fórmula usada para la flecha es la expresión habitual: ∆=

5 ML2 48 EI

Para la porción de la sobrecarga aplicada por debajo de la carga que provoca el momento de fisuración, el valor de M es el valor calculado anteriormente, 255 ft-kips, y el momento de inercia es el correspondiente a la sección bruta: ∆ A1 = 5 ( 255 )( 80 ) (12 ) / 48 ( 3590 )( 68.590 ) = 1,19 in. 2

3

La flecha debida al resto de la sobrecarga se calcula de manera similar, con un momento de 313 - 255 = 58 ft-kips y el momento de inercia de la sección fisurada, 13.890 in.4. ∆ A 2 = 5 ( 58 )( 80 ) (12 ) / 48 ( 3590 )(13.890 ) = 1,34 in. 2

3

La flecha total debida a la sobrecarga es la sumatoria de las dos componentes calculadas: ∆ A = 1,19 + 1,34 = 2,53 in.

Mediante otros cálculos se puede verificar que la flecha calculada en base al momento debido a la totalidad de la sobrecarga y el momento de inercia efectivo, calculado conforme a la Ecuación 9-8 de ACI 318, es ligeramente menor que el calculado en este ejemplo en base a una relación momento-curvatura bilineal. Resultados combinados y comparación con los límites establecidos en el código: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

∆ u = – 317 + 2,21 – 4,21 + 3,45 + 0,25 + 0,24 + 2,53 = 1,30 in. ↓

Contraflecha inicial =

Ec. (15)

∆ po − ∆ o = 3,17 − 2, 21 = 0,96 in. ↑ comparada con 1,6 in. durante el montaje en el Manual PCI.

Contraflecha residual = ∆ A − ∆ u = 2,53 − 0,87 = 1, 66 in.

↑ comparada con 1,1 in.

Flecha dependiente del tiempo más flecha por carga permanente impuesta y sobrecarga: = – 4,21 + 3,45 + 0,25 + 0,24 + 2,53 = 2,26 in.

(

o

)

= ∆ u − ∆ o − ∆ po = 0,87 − ( −0,96 ) = 2, 26 in. ↓

Estas flechas calculadas se comparan con las flechas admisibles indicadas en la Tabla 9.5(b) de la siguiente manera: A /180 = ( 80 )(12 ) /180 = 5,33 contra ∆ A = 2,53 in.

VERIFICA

A / 360 = ( 80 )(12 ) / 360 = 2, 67 contra ∆ A = 2,53 in.

VERIFICA

A / 480 = ( 80 )(12 ) / 480 = 2, 00 contra la flecha dependiente del tiempo, etc. = 2,26 in.

10 - 47

VERIFICA

Observar que la flecha a largo plazo que ocurre luego de unir los elementos no estructurales (2,26 in.) supera el límite de L/480. En realidad satisface L/425. Como el límite de L/480 sólo se aplica en el caso de elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas, para poder juzgar si las flechas calculadas son aceptables sería necesario considerar el uso particular que tendrá la viga. Ver las notas al pie de la Tabla 9.5(b) de ACI 318.

10 - 48

Ejemplo 10.6 – Viga compuesta no pretensada sin apuntalar Se pide: Analizar las flechas a corto plazo y las flechas últimas a largo plazo. b = be /nc = 76/1,15 = 66,1"

As

2,5"

20"

Hormigón de peso normal Losa: f'c = 3000 psi Viga prefabricada = f'c = 4000 psi fy = 40.000 psi As = 3 barras No. 9 = 3,00 in.2 Es = 29.000.000 psi Carga permanente impuesta (excluyendo el peso de la viga y la losa) = 10 lb/ft2 Sobrecarga = 75 lb/ft2 (20% sostenida o de larga duración) Tramo simple = 26 ft = 312 in. Separación 8 ft = 96 in. o separación = 96,0 in. ó 16(4) + 12 = 76,0 in. be = 312/4 = 78,0 in.

24"

4"

Datos:

12"

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Espesor mínimo para elementos que no soportan, ni están unidos a, tabiques divisorios u otros elementos susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas:  A   312  h min =   0,80 para f y =   ( 0,80 ) = 15, 6 in. < h = 20 in. ó 24 in.  16   16 

(

)

Tabla 9.5(a)

2. Cargas y momentos: w1 = (10 lb/ft2) (8) + (150 lb/ft3) (96) (4) / 144 = 480 lb/ft w 2 = (150 lb/ft3) (12) (20) / 144 = 250 lb/ft w A = (150 lb/ft3) (12) (20) / 144 = 600 lb/ft M1 = w1A 2 / 8 = ( 0, 480 )( 26 ) / 8 = 40, 6 ft-kips 2

M 2 = w 2 A 2 / 8 = ( 0, 250 )( 26 ) / 8 = 21,1 ft-kips 2

M A = w A A 2 / 8 = ( 0, 600 )( 26 ) / 8 = 50, 7 ft-kips 2

3. Módulo de rotura, modulo de elasticidad, relación de módulos:

( E c )1 = w1,5 c 33 ( f r )2 = 7,5

f 'c = (150 ) 33 3000 = 3,32 × 106 psi 1,5

8.5.1

f 'c = 7,5 4000 = 474 psi

( E c )2 = (150 )1,5 33

Ec. (9-10)

4000 = 3,83 × 106 psi

8.5.1

10 - 49

( E c )2 ( Ec )1

nc =

n=

3,83 = 1,15 3,32

=

Es 29 = = 7,56 ( E c )2 3,83

4. Momentos de inercia de la sección bruta y de la sección fisurada, usando la Tabla 10-2: Sección prefabricada: Ig = (12 )( 20 ) /12 = 8000 in.4 3

B = b / ( nA s ) = 12 / ( 7,56 )( 3, 00 ) = 0,529 / in.

)

(

( 2 )(17,5)( 0,529 ) + 1 − 1) / 0,529 = 6, 46 in.

kd =

(

Icr =

bk 3d3 2 3 2 + nAs ( d − kd ) = (12 )( 6, 46 ) / 3 + ( 7,56 )( 3, 00 )(17,5 − 6, 46 ) = 3840 in.4 3

2dB + 1 − 1 / B =

Sección compuesta: y t = h − (1/ 2 ) ( b − b w ) h f2 + b w h 2  / ( b − b w ) h f + b w h   

= 24 – (1/2) [(54,1) (4)2 + (12) (24)2] / [(54,1) (4) + (12) (24)] = 16,29 in. Ig = ( b − b w ) h 3f /12 + b w h 3 /12 + ( b − b w ) h f ( h − h f / 2 − y t ) + b w h ( y t − h / 2 ) 2

2

= (54,1) (4)3/12 + (12) (24)3/12 + (54,1) (4) (24 – 2 – 16,29)2 + (12) (24) (16,29 – 12)2 = 26.470 in.4 B=

d=

b 66,1 = = 2,914 nAs ( 7,56 )( 3, 00 ) 2dB + 1 − 1 = B

( 2 )( 21,5)( 2,914 ) + 1 − 1

= 3,51 in. < hf = 4 in.

2,914

Por lo tanto, se debe tratar como un área comprimida rectangular.

Icr = bk 3d 3 / 3 + nAs ( d − kd ) = ( 66,1)( 3,51) / 3 + ( 7,56 )( 3, 00 )( 21,5 − 3,51) 2

3

2

= 8295 in.4 I 2 / Ic = ( I 2 / Ic )g + ( I 2 / Ic )cr  / 2 = ( 8000 / 26.470 ) + ( 3840 / 8295 )  / 2 = 0,383  

5. Momentos de inercia efectivos, usando la Ecuación (9-8):

10 - 50

Para el Término (1), Ecuación (19) –– Sección prefabricada: M cr = f r Ig / y t = ( 474 )( 8000 ) / (10 )(12.000 ) = 31, 6 ft-kips

Ec. (9-9)

Por lo tanto ( Ie )2 = Ig = 8000 in.4

M cr / M 2 = 31, 6 / 21,1 > 1

Para el Término (6), Ecuación (19) –– Sección prefabricada: 3

3

 M cr / ( M1 + M 2 )  = 31, 6 / ( 40, 6 + 21,1)  = 0,134

( Ie )1+ 2 = ( M cr / M a )3 Ig + 1 − ( M cr / M a )3  Icr ≤ Ig

Ec. (9-8)

= (0,134) (8000) + (1 – 0,134) (3840) = 4400 in.4 6. Flecha, usando la Ecuación (19): K ( 5 / 48 ) M 2 A 2

Término (1) –– ( ∆ i )2 =

( E c )2 ( Ie )2

Término (2) –– k r = 0,85

(1)( 5 / 48)( 21,1)( 26 )2 (12 )3 = ( 3830 )(8000 )

= 0, 084 in.

(no hay armadura comprimida en la viga prefabricada)

0, 77 k r ( ∆i )2 = ( 0, 77 )( 0,85 )( 0, 084 ) = 0, 055 in.

Término (3) –– 0,83k r ( ∆i )2

I2 = ( 0,83)( 0,85 )( 0, 083)( 0,383) = 0, 023 in. Ic

Sección prefabricada: ρ = (100 )( 3, 00 ) / (12 )(17,5 ) = 1, 43%

Término (4) –– k sh = 1/ 8 . De la Figura 8-3, Ash = 0, 789

(

)

φsh = Ash ( εsh )u / h = ( 0, 789 ) 400 × 10−6 / 20 = 15, 78 × 10−6 / in.

(

∆sh = K sh φsh A 2 = (1/ 8 ) 15, 78 × 10−6

) ( 26)

2

(12 )2 = 0,192 in.

La relación entre la deformación por contracción a los 2 meses y la última es 0,36 (Tabla 2.1, Referencia 10.4). Por lo tanto, la flecha por contracción de la viga prefabricada a los 2 meses es: 0,36∆ sh = ( 0,36 )( 0,192 ) = 0, 069 in.

Término (5) –– 0, 64∆ sh

Término (6) –– ( ∆ i )1 =

I2 = ( 0, 64 )( 0,192 )( 0,383) = 0, 047 in. Ic K ( 5 / 48 )( M1 + M 2 ) A 2

( Ec )2 ( Ie )1+ 2

− ( ∆ i )2

10 - 51

=

(1)( 5 / 48)( 40, 6 + 21,1)( 26 )2 (12 )3 − 0, 088 = 0,358 in. ( 3830 )( 4400 )

Término (7) –– Flecha adicional a largo plazo de la viga compuesta debida a la carga permanente de la losa. La losa se cuela a los 2 meses. Por lo tanto, la fracción del coeficiente de fluencia lenta, Cu, se obtiene multiplicando el valor correspondiente a condiciones normales (1,60) por un valor bs = 0,89. (Ver la explicación del Término (6) de la Ecuación (15)). La fluencia lenta total de la viga se reduce por la relación entre el momento de inercia de la viga y el momento de inercia de la sección compuesta. Al igual que antes, kr se toma igual a 0,85:

( 0,89 )(1, 60 ) k r ( ∆i )1

I2 = ( 0,89 )(1, 60 )( 0,85 )( 0,358 )( 0,383) = 0,166 in. Ic

Término (8) –– Debido a que la viga y la losa se colaron en momentos diferentes, habrá alguna contribución a la flecha total por la tendencia de las dos partes de sufrir fluencia lenta y contracción a tasas diferentes. En la Tabla 2.1 de ACI 435R-95 (Referencia 10.4) se observa que la fluencia lenta y la contracción a los dos meses es casi la mitad del valor total. En consecuencia, el comportamiento de la sección compuesta será afectado por esta diferencia de edades. Calcular correctamente la flecha resultante es muy complejo. En este ejemplo, la flecha debida a las diferentes edades del hormigón se aproxima como la mitad de la flecha por carga permanente de la viga debida a la carga permanente de la losa. Se advierte al lector que este procedimiento sólo permite obtener una estimación aproximada. La mitad de la flecha por carga permanente es ∆ ds = 0,50 ( ∆ i )1 = ( 0,50 )( 0,358 ) = 0,179 in.

(estimación aproximada)

Término (9) –– Usando el método alternativo,

( ∆ i )A =

K ( 5 / 48 ) M A A 2

( Ec )2 ( Ic )cr

(1)( 5 / 48)( 50, 7 )( 26 )2 (12 )3 = ( 3830 )(8295)

= 0,194 in.

Término (10) –– k r = 0,85 (despreciando el efecto de cualquier armadura comprimida en la losa)

( ∆cp )A = k r Cu 0, 20 ( ∆i )A  = (0,85) (1,60) (0,20 × 0,194) = 0,053 in. En la Ecuación (19): ∆ u = 0,084 + 0,055 + 0,023 + 0,069 + 0,047 + 0,358 + 0,166 + 0,179 + 0,194 + 0,053 = 1,23 in. Verificando con la Ecuación (20) (igual solución),    I  I  I  ∆ u =  1, 65 + 0, 71 2  ( ∆i )2 +  0,36 + 0, 64 2  ∆ sh +  1, 05 + 1, 21 2  ( ∆ i )1 + ( ∆ i )A + ∆ cp A Ic  Ic  Ic     = (1,65 + 0,71 × 0,383) (0,084) + (0,36 + 0,64 × 0,383) (0,192) + (1,50 + 1,21 × 0,383) (0,358) + 0,194 + 0,053

( )

= 1,23 in. (igual al valor anterior) Suponiendo que los elementos no estructurales se instalan después que la losa compuesta ha endurecido, ∆ cp + ∆ sh + ( ∆i )A = Términos (3) + (5) + (7) + (8) + (9) + (10)

= 0,023 + 0,047 + 0,166 + 0,179 + 0,194 + 0,053 = 0,66 in. Al final del Ejemplo 8.7 se compara con las flechas admisibles de la Tabla 9.5(b). 10 - 52

Ejemplo 10.7 – Viga compuesta no pretensada apuntalada Se pide: Analizar las flechas a corto plazo y las flechas últimas a largo plazo, para demostrar los beneficios de los puntales en términos de reducción de las flechas. Datos: Igual que para el Ejemplo 8.6, excepto que la construcción será apuntalada.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Momentos de inercia efectivos para la sección compuesta, usando la Ecuación (9-8): M cr = f r Ig / y t = ( 474 )( 26.470 ) / (16, 29 )(12.000 ) = 64, 2 ft-kips

Ec. (9-9)

M cr / ( M1 + M 2 ) =  64, 2 / ( 40, 6 + 21,1)  = 1, 04 > 1

Por lo tanto ( Ie )1+ 2 = Ig = 26.470 in.4 En el Término (5), Ecuación (17) –– Sección compuesta, 3

3

 M cr / ( M1 + M 2 + M A )  =  64, 2 / ( 40, 6 + 21,1 + 50, 7 )  = 0,186

( Ie )d + A = ( M cr / M a )3 Ig + 1 − ( M cr / M a )3  Icr ≤ Ig

Ec. (9-8)

= (0,186) (26.470) + (1 – 0,186) (8295) = 11.675 in.4 a diferencia del método alternativo del Ejemplo 8.6 donde se utilizó Ie = ( Ic )cr = 8295 in.4 con el momento debido a la sobrecarga directamente. 2. Flechas, usando las Ecuaciones (17) y (18): Término (1) –– ( ∆ i )1+ 2 =

K ( 5 / 48 )( M1 + M 2 ) A 2

( Ec )2 ( Ie )1+ 2

(1)( 5 / 48)( 40, 6 + 21,1)( 26 )2 (12 )3 = ( 3830 )( 26.470 )

= 0, 074 in.

Término (2) –– Flecha adicional a largo plazo debida al peso permanente total de la viga y la losa. El valor de Cu para la viga se toma igual a 1,60. Para la losa considerar un valor de Cu levemente mayor. Para puntales que se retiran a los 10 días, se puede demostrar por comparación de los factores de corrección, K cto para aplicación de las cargas a 10 y 20 días (Secciones 2.3.4, ACI 435, Referencia 10.4) que el coeficiente último de fluencia lenta para la losa es aproximadamente igual a 1,74. De forma conservadora se supone que kr tiene un valor de 0,85. El coeficiente de fluencia lenta promedio para la sección compuesta es: Cu promedio = 1/ 2 (1, 60 + 1, 74 ) = 1, 67

10 - 53

1, 67k r ( ∆i )1+ 2 = (1, 67 )( 0,85 )( 0, 074 ) = 0,105 in.

Término (3) –– Flecha por contracción de la viga prefabricada una vez retirados los puntales. Como se indicó en el Término (4) del Ejemplo 8.6, la fracción de la deformación por contracción de la viga prefabricada a los 2 meses es 0,36. Se asume que los puntales se retiran alrededor de 10 días después de cumplidos los 2 meses. Por lo tanto, considerar que la fracción restante de contracción es 1 – 0,36 = 0,64. Recordar que la contracción última es (εsh)u = 400 × 10-6. Usar el resultado hallado para ∆sh en el Término (4) del Ejemplo 10.6: (εsh) restante = (0,64) (400 × 10-6) = 256 × 10-6 ∆ sh

I2 = ( 256 / 400 )( 0,192 )( 0,383) = 0, 047 in. Ic

Término (4) –– Flecha debida a que la fluencia lenta y la contracción difieren en la viga y la losa. Este es un tema muy complejo. Para este ejemplo, asumimos que la magnitud de esta componente se puede aproximar como la flecha inicial por carga permanente de la sección compuesta. ∆ ds = ( ∆ i )1+ 2 = 0, 074 in.

Término (5) –– ( ∆ i )A =

(estimación aproximada)

K ( 5 / 48 )( M1 + M 2 + M A ) A 2

( E c ) 2 ( I e )d + A

− ( ∆i )1+ 2

(1)( 5 / 48)( 40, 6 + 21,1 + 50, 7 )( 26 )2 (12 )3 = − 0, 074 in. = 0, 232 in. ( 3830 )(11.675 ) Término (6) –– k r = 0,85

(despreciando el efecto de cualquier armadura comprimida en la losa),

( ∆cp )A = k r Cu 0, 20 ( ∆i )A  = ( 0,85)(1, 60 )( 0, 20 × 0, 232 ) = 0, 063 in. En la Ecuación (17): ∆ u = 0,074 + 0,105 + 0,047 + 0,074 + 0,232 + 0,063 = 0,60 in. comparado con 1,23 in. para el caso de construcción sin apuntalar. Esto demuestra los beneficios que se logran usando puntales, en términos de reducción de las flechas totales. Verificando con la Ecuación (18) (igual solución), ∆ u = 3, 42 ( ∆ i )1+ 2 + ∆ sh

I2 + ( ∆ i )A + ∆ cp Ic

( )A

= (3,42) (0,074) + 0,046 + 0,232 + 0,063 = 0,60 in. (igual al valor anterior) Suponiendo que los elementos no estructurales se instalan después de retirar los puntales: ∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A = ∆ u − ( ∆ i )1+ 2 = 0, 60 − 0, 07 = 0,53 in.

10 - 54

Comparación de los resultados de los Ejemplos 8.6 y 8.7 Las flechas calculadas

( ∆i )A = 0,19 in.

del Ejemplo 10.6 y

( ∆i )A = 0, 23 in.

del Ejemplo 10.7; y

∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A = 0, 66 in. del Ejemplo 10.6 y ∆ cp + ∆ sh + ( ∆ i )A = 0,53 in. del Ejemplo 10.7, se comparan con

las flechas admisibles de la Tabla 9.5(b) de la siguiente manera: Cubiertas planas que no soportan, ni están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas ––

( ∆i )A ≤ A /180 = 312 /180 = 1, 73 in.

VERIFICA

Entrepisos que no soportan, ni están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas ––

( ∆i )A ≤ A / 360 = 312 / 360 = 0,87 in.

VERIFICA

Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas (limitación muy severa) –– ∆ cp + ∆sh + ( ∆i )A ≤ A / 480 = 312 / 480 = 0, 65 in.

Observar que la flecha a largo plazo que ocurre luego de colocar los elementos no estructurales (0,66 in.) supera el límite de L/480. En realidad satisface L/473. Como el límite de L/480 sólo se aplica en el caso de elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas, para poder juzgar si las flechas calculadas son aceptables sería necesario considerar el uso particular que tendrá la viga. Ver las notas al pie de la Tabla 9.5(b) de ACI 318. Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales que no son susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas –– ∆ cp + ∆sh + ( ∆i )A ≤ A / 240 = 312 / 240 = 1,30 in.

VERIFICA

10 - 55

11 Efectos de la esbeltez

CONSIDERACIONES GENERALES El diseño de las columnas consiste básicamente en seleccionar una sección transversal adecuada para la misma, con armadura para soportar las combinaciones requeridas de cargas axiales mayoradas Pu y momentos (de primer orden) mayorados Mu, incluyendo la consideración de los efectos de la esbeltez de la columna (momentos de segundo orden). La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación de esbeltez kℓu/r, donde k es un factor de longitud efectiva (que depende de las condiciones de vínculo de los extremos de la columna), ℓu es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en relación con su longitud. A los fines del diseño, el término "columna corta" se usa para designar una columna que tiene una resistencia igual a la calculada para su sección transversal, usando las fuerzas y los momentos obtenidos de un análisis para combinación de flexión y carga axial. Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo orden (momentos de segundo orden). Según estas definiciones, una columna con una determinada relación de esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones. Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con métodos de análisis y diseño más precisos, es posible diseñar secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos más esbeltos. En consecuencia, la necesidad de contar con procedimientos de diseño confiables y racionales para las columnas esbeltas se convierte así en una consideración importante en el diseño de columnas. Una columna corta puede fallar a causa de una combinación de momento y carga axial que supere la resistencia de la sección transversal. Este tipo de falla se conoce como "falla del material." A modo de ejemplo, consideremos la columna ilustrada en la Figura 11-1. Debido a la carga, la columna tiene una deformación ∆ que provocará un momento adicional (de segundo orden) en la columna. En el diagrama de cuerpo libre se puede ver que el momento máximo en la columna ocurre en la sección A-A, y es igual al momento aplicado más el momento debido a la deformación del elemento, que es M = P (e + ∆). La falla de una columna corta puede ocurrir en cualquier punto a lo largo de la curva de interacción de resistencias, dependiendo de la combinación del momento y la carga axial aplicada. Como se mencionó anteriormente, se producirá alguna deformación y habrá una "falla del material" cuando una combinación particular de carga P y momento M = P (e + ∆) interseque la curva de interacción de resistencias.

Si la columna es muy esbelta, podría llegar a una deformación debida a carga axial P y momento Pe tal que la deformación aumente indefinidamente sin que aumente la carga P. Este tipo de falla se conoce como "falla de estabilidad," como se indica en la curva de interacción de resistencias. P

P M = Pe

M = Pe

P Pe

A

P∆

A

∆

columna corta falla del material

M = P (e+∆) P

falla de estabilidad

M M

P

Figura 11-1 – Interacción de las resistencias en columnas esbeltas El concepto básico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concéntrica fue desarrollado originalmente por Euler, hace ya más de 200 años. El concepto establece que un elemento fallará por pandeo bajo la carga crítica Pc = π2EI/(ℓe)2, siendo EI la rigidez flexional de la sección transversal del elemento y ℓe la longitud efectiva, que es igual a kℓu. Para las columnas cortas "robustas," el valor de la carga de pandeo será mayor que la resistencia al aplastamiento por compresión directa (correspondiente a la falla del material). En los elementos que son más esbeltos (es decir, elementos para los cuales el valor de kℓu/r es más elevado), la falla puede ocurrir por pandeo (falla de estabilidad), con la carga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez (ver Figura 11-2). P

Pc =

com presión

π2EI

( k A u )2

pandeo

kℓu/r

Figura 11-2 – Carga de falla en función de la esbeltez de una columna Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una típica curva de interacción de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la Figura 11-3. El diagrama de interacción de resistencias para kℓu/r = 0 corresponde a las combinaciones de momento y carga axial donde la resistencia no se ve afectada por la esbeltez del elemento (resistencia de columna corta). P kℓu/r = 0

30

60

130

10 0

M

Figura 11-3 – Diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas 11 - 2

CONSIDERACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ Se establecen límites para la esbeltez tanto de pórticos indesplazables como para pórticos desplazables, incluyendo métodos de diseño permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen límites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales los momentos de segundo orden se pueden despreciar y sólo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden para seleccionar la sección transversal y la armadura de las columnas (diseño de columnas cortas). Se debe observar que, para las vigas y columnas de dimensiones habituales y las alturas de piso típicas de los sistemas de hormigón, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar en más del 90 por ciento de las columnas de los pórticos indesplazables y en alrededor del 40 por ciento de las columnas de los pórticos desplazables. Cuando las relaciones de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de los efectos de la esbeltez que se basa en un factor de amplificación de los momentos (ver 10.12 y 10.13). Cuando la relación de esbeltez de la columna es elevada se requiere un análisis de segundo orden más exacto (ver 10.11.5), que considere el comportamiento no lineal del material y la fisuración, así como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta, y la interacción con las fundaciones. No se especifican límites superiores para la esbeltez de las columnas. En la Figura 11-4 se resumen los límites de la relación de esbeltez indicados en 10.12.2 para pórticos indesplazables y en 10.13.2 para pórticos desplazables, junto con los métodos permitidos para considera la esbeltez de las columnas.

Pórtico desplazable

kℓu/r < 22

22≤ kℓu/r ≤ 100

kℓu/r > 100

Pórtico indesplazable

Despreciar la esbeltez

kℓu/r ≤ 34–12(M1/M2)*

Métodos aproximados

100≥ kℓu/r > 34–12(M1/M2)*

Análisis P - ∆**

*

34–12(M1/M2) ≤ 40

**

Permitido para cualquier relación de esbeltez.

kℓu/r > 100

Figura 11-4 – Consideración de la esbeltez de las columnas

10.10

EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS

10.10.1

Análisis de segundo orden

El código alienta el uso de análisis de segundo orden o análisis P-∆ para considerar los efectos de la esbeltez en los elementos comprimidos. En general, los resultados de un análisis de segundo orden permiten obtener valores más realistas para los momentos que los que se obtienen usando un análisis aproximado de acuerdo con las secciones 10.12 ó 10.13. En el caso de los pórticos desplazables, utilizando análisis de segundo orden generalmente se obtendrán diseños más económicos. En las Referencias 10.24 10.29 se presentan procedimientos para realizar un análisis de segundo orden. En R10.10.1 el lector encontrará una discusión sobre las limitaciones para la utilización de un análisis de segundo orden de acuerdo con 10.10.1. 11 - 3

Si por algún motivo no resulta práctico realizar un análisis más exacto, la sección 10.10.2 permite considerar los efectos de la esbeltez mediante un método aproximado de amplificación de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos los elementos comprimidos en los cuales la relación de esbeltez (kℓu/r) es mayor que 100 (ver Figura 11-4), para considerar los efectos de la esbeltez se debe utilizar un análisis más exacto según lo definido en 10.10.1.

10.11

EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ

Se usa el factor de amplificación de momentos δ para amplificar los momentos de primer orden y así tomar en cuenta el aumento de los momentos provocado por la curvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El factor de amplificación de momentos δ depende de la relación entre la carga axial aplicada y la carga crítica o de pandeo de la columna, de la relación entre los momentos aplicados en los extremos de la columna, y de la geometría deformada de la columna.

10.11.1

Propiedades de la sección para el análisis del pórtico

De acuerdo con 10.11.1, las cargas axiales mayoradas (Pu), los momentos mayorados en los extremos de la columna (M1 y M2) y las deformaciones laterales de piso, ∆o, se deberán calcular usando un análisis elástico de primer orden del pórtico, considerando la presencia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Es evidente que realizar estos cálculos no es factible desde el punto de vista económico, aún para estructuras pequeñas. Por lo tanto, para considerar la fisuración en el análisis se pueden usar las propiedades de la sección dadas en 10.11.1 y resumidas en la Tabla 11-1. Los valores de E, I y A han sido seleccionados a partir de los resultados obtenidos en ensayos y análisis de pórticos de acuerdo con la Referencia 10.28. Es importante observar que para analizar la estructura a nivel de la carga de servicio resulta satisfactorio multiplicar los momentos de inercia especificados en la Tabla 11-1 por 1/0,70 = 1,43 (R10.11.1). Además, los momentos de inercia se deben dividir por (1 + βd) en el caso que sobre la estructura actúen cargas horizontales de larga duración (por ejemplo, las cargas horizontales provocadas por las presiones del suelo) o para verificación de la estabilidad frente a cargas gravitatorias realizadas de acuerdo con 10.13.6. Tabla 11-1 – Propiedades de las secciones para el análisis de pórticos Módulo de elasticidad Vigas Columnas Tabiques no fisurados Tabiques fisurados Placas planas y losas planas †

Ec de 8.5.1

Momento de inercia† 0,35 lg 0,70 Ig 0,70 lg 0,35 lg 0,25 lg

Área

1,0 Ag

Dividir por (1 + βd) cuando actúen cargas de larga duración, o para las verificaciones de estabilidad realizadas de acuerdo con 10.13.6. Para los análisis a nivel de la carga de servicio multiplicar por 1/0,70 = 1,43.

10.11.2

Radio de giro

En general el radio de giro, r, es

Ig / A g . En particular, para los elementos de sección rectangular r se puede tomar igual a 0,30

por la dimensión en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de sección circular se puede tomar igual a 0,25 por el diámetro de la sección, como se ilustra en la Figura 11-5.

11 - 4

h

r = 0,3h

b

D r = 0,25 D

r = 0,3b

r=

Ig Ag

Figura 11-5 – Radio de giro, r

10.11.3, 10.12.1

Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos

La longitud sin apoyo lateral (o longitud no soportada) ℓu de una columna, definida en 10.11.3, es la distancia libre entre apoyos laterales, como se ilustra en la Figura 11-6. Observar que la longitud ℓu puede ser diferente para el pandeo respecto de cada uno de los ejes principales de la sección transversal de la columna. La ecuación básica de Euler para la carga crítica de pandeo se puede expresar como Pc = π2EI/(ℓe)2, siendo ℓe la longitud efectiva kℓu. Las ecuaciones básicas para el diseño de columnas esbeltas fueron desarrolladas para extremos articulados y, por lo tanto, se las debe modificar para considerar los efectos de las condiciones de vínculo. La longitud efectiva de la columna, kℓu, y no la longitud real sin apoyo lateral ℓu, es la que se utiliza para estimar las resistencias de las columnas esbeltas. Esta longitud efectiva considera tanto las condiciones de vínculo como la condición de sistema indesplazable o desplazable.

ℓu

ℓu

ℓu

Dirección analizada

Figura 11-6 – Longitud sin apoyo lateral, ℓu Cuando se produce la carga crítica definida por la ecuación de Euler, un elemento originalmente recto pandea con una forma de semionda sinusoidal, como se ilustra en la Figura 11-7(a). Con esta configuración, en cada sección actúa un momento adicional P∆, siendo ∆ el desplazamiento lateral en el punto específico considerado a lo largo de la columna. Este desplazamiento lateral continúa aumentando hasta que la tensión por flexión provocada por el momento (P-∆), más la tensión de compresión original provocada por las cargas aplicadas, excede la resistencia a la compresión del hormigón y la columna falla. La longitud efectiva ℓe (= kℓu) es la longitud entre los apoyos articulados, entre puntos de momento nulo o entre puntos de inflexión. Para la condición de ambos extremos articulados ilustrada en la Figura 11-7(a), la longitud efectiva es igual a la longitud sin apoyo lateral o no soportada, ℓu. Si el elemento está empotrado en ambos extremos (restringido contra la rotación), el pandeo se producirá en la forma ilustrada en la Figura 11-7(b); habrá puntos de inflexión en los puntos indicados, y la longitud efectiva ℓe será igual a la mitad de la longitud sin apoyo lateral, ℓu. La carga crítica de pandeo Pc para la condición de extremos empotrados es cuatro veces mayor que para la condición de extremos articulados. En las estructuras reales rara vez las columnas son perfectamente articuladas o empotradas, sino que sus extremos están parcialmente restringidos contra la rotación por los elementos solidarios a la columna. En consecuencia, la longitud efectiva está comprendida entre ℓu/2 y ℓu, como se indica en la Figura 11-7(c), siempre que esté impedido el desplazamiento lateral de un extremo de la columna respecto del otro. El valor real de la longitud efectiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a los extremos superior e inferior de la columna.

11 - 5

Pc

Pc

Pc ℓu/4

pi

pi

∆

ℓu/2 = ℓe

ℓe = ℓu pi

Pc

ℓu>ℓe>ℓu/2 ℓu

Pc

(a)

ℓu pi

Pc

(b)

pi = punto de inflexión

(c)

Figura 11-7 – Longitud efectiva, ℓe (condición indesplazable) Una columna que está empotrada en un extremo y totalmente libre en el otro (en voladizo) pandeará como se ilustra en la Figura 11-8(a). El extremo superior tendrá un desplazamiento lateral relativo con respecto al extremo inferior. La geometría deformada de estos elementos es similar a la mitad de la deformada sinusoidal del elemento articulado en ambos extremos ilustrado en la Figura 11-7(a). En consecuencia, la longitud efectiva es igual a dos veces la longitud real. Si la columna está impedida contra la rotación en ambos extremos pero uno de los extremos se puede desplazar lateralmente respecto del otro, la columna pandeará como se ilustra en la Figura 11-8(b). La longitud efectiva ℓe será igual a la longitud real ℓu, con un punto de inflexión (pi) ubicado como se indica. La carga de pandeo de la columna de la Figura 11-8(b), en la cual el desplazamiento lateral no está impedido, es un cuarto de la de la columna de la Figura 11-7(b), en la cual el desplazamiento lateral sí está impedido. Como se indicó anteriormente, los extremos de las columnas rara vez son totalmente articulados o totalmente empotrados, sino que están parcialmente restringidos contra la rotación por los elementos solidarios a la columna. Por lo tanto, la longitud efectiva variará entre ℓu e infinito, como se indica en la Figura 11-8(c). Si los elementos que restringen el movimiento (vigas o losas) son muy rígidos en relación con la columna, el pandeo se aproximará al esquema ilustrado en la Figura 11-8(b). En cambio, si los elementos que restringen el movimiento son bastante flexibles, la columna se aproximará a una condición articulada en ambos extremos y la columna (o las columnas), y posiblemente la estructura, se aproximarán a la instabilidad. En las estructuras habituales de hormigón armado el diseñador rara vez se ocupa de elementos individuales, sino que analiza sistemas aporticados rígidos compuestos por conjuntos de viga-columna y losa-columna. El comportamiento de pandeo de un pórtico que no está arriostrado contra el desplazamiento lateral (desplazable) se puede ilustrar mediante el pórtico sencillo de la Figura 11-9. Como no tiene restricción lateral en el extremo superior, la totalidad del pórtico (no arriostrado) es libre de moverse lateralmente. El extremo inferior puede ser articulado o estar parcialmente restringido contra la rotación. En general, la longitud efectiva ℓe depende del grado de restricción contra la rotación de los extremos de la columna y ℓu < ℓe < ∞. Pc

Pc

Pc

pi

ℓu

pi

ℓu ℓe = 2ℓu

ℓu < ℓe < ∞

ℓe = ℓu

Pc (a)

ℓu

Pc (b)

Pc (c)

pi

pi = punto de inflexión

Figura 11-8 – Longitud efectiva, ℓe (condición desplazable) 11 - 6

Pc

Pc

ℓu

ℓe > ℓu

Pc

Pc

Figura 11-9 – Pórtico rígido (condición desplazable) Resumiendo, se pueden hacer los siguientes comentarios. 1. Para los elementos solicitados a compresión en pórticos indesplazables, la longitud efectiva ℓe está comprendida entre ℓu/2 y ℓu, siendo ℓu la longitud real sin apoyo lateral de la columna. 2. Para los elementos solicitados a compresión en pórticos desplazables, la longitud efectiva ℓe siempre es mayor que la longitud real de la columna ℓu, y puede ser igual a 2ℓu o mayor. En este caso un valor de k inferior a 1,2 no sería realista. 3. El uso de los nomogramas de las Figuras 11-10 y 11-11 (también en la Figura R10.12.1) permiten determinar gráficamente los factores de longitud efectiva para los elementos solicitados a compresión de pórticos indesplazables y desplazables, respectivamente. Si ambos extremos de una columna de un pórtico indesplazable tienen mínima rigidez rotacional, o se aproximan a ψ = ∞, y entonces k = 1,0. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, ψ = 0, y k = 0,5. Si ambos extremos de una columna de un pórtico desplazable tienen mínima rigidez rotacional, o se aproximan a ψ = ∞, entonces k = ∞. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfecto, ψ = 0, entonces k = 1,0. R10.12.1 presenta un método alternativo para calcular los factores de longitud efectiva para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables y desplazables. Para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables, se puede tomar como límite superior para el factor de longitud efectiva el menor de los valores dados por las siguientes expresiones, tomadas del documento 1992 British Standard Code of Practice (Referencias ACI 10.33 y 10.34): k = 0, 7 + 0, 05 ( ψ A + ψ B ) ≤ 1, 0

k = 0,85 + 0, 05ψ min ≤ 1, 0

donde ψA y ψB son los valores de ψ en los extremos de la columna y ψ min es el menor de los dos valores. Para los elementos comprimidos restringidos en ambos extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como (Referencia ACI 10.32): Para ψ m < 2, k =

20 − ψ m 1 + ψm 20

Para ψ m ≥ 2, k = 0,9 1 + ψ m

donde ψ m es el promedio de los valores de ψ en ambos extremos de la columna.

11 - 7

P A

ψA

P A

ψA

MA

MA

ψ= ∑

MB

MB

ψB

B

∑

EI Ac EI A

cols. vigas

ψB

B

∞

50,0 10,0 5,0 4,0 3,0

∞

1,0

50,0 10,0 5,0

0,9

3,0 2,0

2,0 0,8 1,0

1,0

0,8 0,7 0,6 0,5

0,8 0,7 0,6 0,5

ψA

k

0,7

ψB

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,6

0,1

0

0,2 0,1

0,5

0

Figura 11-10 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos indesplazables Para los elementos comprimidos articulados en uno de sus extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como (Referencias ACI 10.33 y 10.34): k = 2, 0 + 0,3ψ

donde ψ es la relación entre las rigideces de la columna y la viga en el extremo restringido. Al determinar el factor de longitud efectiva, k, usando las Figuras 11-10 y 11-11, o usando las ecuaciones del Comentario, las rigideces (EI) de las vigas (o de las losas) y de las columnas se deben calcular en base a los valores dados en 10.11.1.

11 - 8

P

∆

ψA

A

∑

M

A

ψ= M

B

ψBA

∑

B

EI Ac EI A

cols. vigas

8

8 30,0 20,0

5,0

10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0

3,0

4,0

8

20,0 10,0

100,0 50,0

100,0 50,0 30,0 20,0

4,0

ψA

ψB 2,0

10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0

3,0

3,0

2,0

2,0 1,5

1,0

0

1,0

1,0

0

Figura 11-11 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos desplazables

10.11.4

Pórticos indesplazables y Pórticos desplazables

En las estructuras reales rara vez existen condiciones totalmente indesplazables o desplazables. Esto no se puede determinar fácilmente mediante inspección; las secciones 10.11.4.1 y 10.11.4.2 presentan dos manera posibles para determinar si un pórtico es indesplazable o desplazable. De acuerdo con 10.11.4.1, una columna de una estructura se puede considerar indesplazable si los momentos de segundo orden en los extremos de la columna no son superiores a 5 por ciento de los momentos de primer orden en dichos extremos. De acuerdo con 10.11.4.2, también se permite asumir que un entrepiso de una estructura es indesplazable si: Q=

∑ Pu ∆o ≤ 0, 05

Ec. (10-6)

Vu A c

donde Q = índice de estabilidad de un entrepiso ∑Pu = carga vertical total mayorada en el entrepiso correspondiente al caso de carga horizontal para el cual ∑Pu es máximo (R10.11.4) Vu = corte total en el entrepiso 11 - 9

∆o = desplazamiento relativo de primer orden entre la parte superior y la parte inferior del entrepiso debido a Vu ℓc = longitud de la columna, medida entre los ejes de los nudos del pórtico Observar que la Ecuación (10-6) no es aplicable cuando Vu = 0.

10.11.6

Factor de amplificación de momentos δ para flexión biaxial

Cuando en una columna hay flexión biaxial, se deben amplificar los momentos calculados para cada eje principal. Los factores de amplificación de momentos, δ, se calculan considerando la carga de pandeo, Pc, respecto de cada eje en forma separada, en base a las longitudes efectivas correspondientes y a la rigidez relativa de la columna y las vigas en cada dirección. En consecuencia, si las capacidades de pandeo respecto de los dos ejes son diferentes, los factores de amplificación de momentos en ambas direcciones también serán diferentes. Los momentos respecto de los dos ejes se amplifican de forma separada, y luego la sección transversal se dimensiona para una carga axial Pu y los momentos biaxiales amplificados.

10.12.2, 10.13.2

Consideración de los efectos de la esbeltez

Para los elementos comprimidos en pórticos indesplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando kℓu/r es menor o igual que [34 - 12 (M1/M2)], siendo M2 el mayor de los momentos en ambos extremos y M1 el menor de estos momentos. La relación M1/M2 es positiva si la columna se deforma con curvatura simple, y negativa si el elemento se deforma con curvatura doble. Observar que M1 y M2 son los momentos mayorados en los extremos obtenidos a partir de un análisis de pórtico elástico, y que el término [34 - 12 (M1/M2)] no se debe tomar mayor que 40. Para los elementos comprimidos en pórticos desplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando kℓu/r es menor que 22 (10.13.2). El método del factor de amplificación de momentos se puede usar para columnas en las cuales la relación de esbeltez es mayor que estos límites inferiores. El límite superior de la esbeltez de las columnas para que sea aplicable el método del factor de amplificación de momentos es kℓu/r igual a 100 (10.11.5). Si kℓu/r es mayor que 100 se deberá realizar un análisis de acuerdo con lo definido en 10.10.1, tomando en cuanta la influencia de las cargas axiales y los momentos de inercia variables sobre la rigidez del elemento y los momentos de los extremos empotrados, el efecto de las deformaciones sobre los momentos y las fuerzas, y los efectos de la duración de las cargas (efecto de las cargas sostenidas o de larga duración). En la Figura 11-4 se resumen los criterios para la consideración de la esbeltez de las columnas. Los límites inferiores de la esbeltez permitirán despreciar los efectos de la esbeltez para una gran cantidad de columnas. Considerando la esbeltez kℓu/r en términos de ℓu/h para columnas rectangulares, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando ℓu/h es menor que 10 para elementos comprimidos en pórticos indesplazables y con restricción nula en ambos extremos. Este límite aumenta a 18 para el caso de columnas con doble curvatura con momentos iguales en sus extremos y una relación entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas igual a 1,0 en ambos extremos. Para las columnas con poca o ninguna restricción en sus extremos, se debería utilizar un valor k = 1,0. Para las columnas robustas restringidas mediante losas planas, k está comprendido entre alrededor de 0,95 y 1,0 por lo cual se puede estimar conservadoramente igual a 1,0. Para las columnas de los pórticos formados por vigas y columnas, k varía entre alrededor de 0,75 y 0,90 por lo cual se puede estimar conservadoramente igual a 0,90. Si el cálculo inicial de la esbeltez en base a los valores k estimados indica que es necesario considerar los efectos de la esbeltez en el diseño, se debería calcular un valor de k más exacto y evaluar nuevamente la esbeltez. Para los elementos comprimidos en pórticos desplazables donde la relación entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas es igual a 1,0 en ambos extremos, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando ℓu/h es menor que 5. Este valor se reduce a 3 si la rigidez de las vigas se reduce a un quinto de la rigidez de la columna en cada extremo de la misma. En consecuencia, las rigideces en la parte superior e inferior de las columnas de los edificios en altura en los cuales el desplazamiento lateral no está restringido mediante muros estructurales u otros elementos afectarán significativamente el grado de esbeltez de la columna. El límite superior de la esbeltez indicado, kℓu/r = 100, corresponde a ℓu/h = 30 para un elemento comprimido en un pórtico indesplazable con restricción nula en ambos extremos. Este límite de ℓu/h aumenta a 39 cuando la relación entre la rigidez de la columna y la rigidez de las vigas en ambos extremos es igual a 1,0.

10.12.3 Momentos amplificados – Pórticos indesplazables Las ecuaciones para el diseño aproximado de columnas esbeltas indicadas en 10.12.3 para pórticos indesplazables se basan en el concepto de un factor de amplificación de momentos, δns, que se aplica al mayor de los momentos mayorados, M2, de ambos 11 - 10

extremos del elemento comprimido. Luego la columna se diseña para la carga axial mayorada Pu y el momento amplificado Mc, siendo Mc: M c = δns M 2

Ec. (10-8)

donde δns =

Pc =

Cm ≥ 1, 0 Pu 1− 0, 75Pc

Ec. (10-9)

π2 EI

Ec. (10-10)

( kA u )2

La carga crítica Pc se calcula para condición indesplazable usando un factor de longitud efectiva, k, menor o igual que 1,0. Cuando k se determina usando los nomogramas o las ecuaciones de R10.12, en los cálculos se deben usar los valores de E e I de 10.11.1. Observar que el factor 0,75 de la Ecuación (10-9) es un factor de reducción de la rigidez (ver R10.12.3). Para definir la carga crítica de una columna, la principal dificultad radica en elegir un parámetro de rigidez EI que aproxime razonablemente las variaciones de la rigidez debidas a la fisuración, la fluencia lenta y la no linealidad de de la curva tensióndeformación del hormigón. Si no se realiza un análisis más exacto, EI se deberá tomar como: EI =

( 0, 2Ec Ig + Es Ise )

Ec. (10-11)

1 + βd

o bien EI =

0, 4E c Ig

Ec. (10-12)

1 + βd

La segunda ecuación es una aproximación simplificada de la primera. Ambas ecuaciones aproximan los límites inferiores de EI para las secciones habituales y, por lo tanto, son conservadoras. La Figura 11-12 ilustra la naturaleza aproximada de las ecuaciones para determinar EI, comparándolas con valores obtenidos de diagramas momento-curvatura para el caso que no hay carga sostenida (βd = 0). Ec. (10-12)

ρ = 1%

2 ρ = 8%

1

0,6

0,7

0,8

EI Teórico EI Ec. (10-12)

EI Teórico EI Ec.(10-11)

Ec. (10-11)

0,9

ρ = 8%

5 4 3 2

ρ = 1%

1 0,6

Pu /Po

0,7

0,8

0,9

Pu /Po

Figura 11-12 – Comparación de EI obtenido mediante las ecuaciones con valores de EI obtenidos de diagramas momento-curvatura

11 - 11

La Ecuación (10-11) representa el límite inferior del rango práctico de los valores de rigidez. Esto es particularmente válido para las columnas fuertemente armadas. Como se observó anteriormente, la Ecuación (10-12) es más fácil de usar pero subestima en gran medida el efecto de la armadura en las columnas fuertemente armadas (ver Figura 11-12). Ambas ecuaciones para determinar EI fueron desarrolladas para valores de e/h pequeños y valores de Pu/Po elevados, caso en el cual el efecto de la carga axial es más pronunciado. El término Po es la resistencia nominal a la carga axial para excentricidad nula. En las columnas de hormigón armado solicitadas por cargas de larga duración, la fluencia lenta transfiere parte de la carga del hormigón a la armadura, aumentando así las tensiones en el acero. En las columnas poco armadas esta transferencia de carga puede provocar que el acero llegue a fluencia de forma prematura, provocando una pérdida en el valor efectivo de EI. Esto se toma en cuenta dividiendo EI por (1 + βd). Para los pórticos indesplazables βd se define de la siguiente manera (ver 10.0): βd =

Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de cargas

En las columnas compuestas en las cuales un perfil de acero representa un gran porcentaje de la sección transversal total de la columna, la transferencia de carga debida a la fluencia lenta no es significativa. En consecuencia, sólo la parte de EI correspondiente al hormigón se debería reducir aplicando (1 + βd) para tomar en cuenta los efectos de la carga de larga duración. El término Cm es un factor de corrección para momentos equivalentes. Para elementos sin cargas transversales entre sus apoyos, el término Cm es (10.12.3.1): M  Cm = 0, 6 + 0, 4  1  ≥ 0, 4  M2 

Ec. (10-13)

En los elementos con cargas transversales entre sus apoyos, es posible que el momento máximo ocurra en una sección alejada de los extremos del elemento. En este caso, el mayor momento calculado que ocurre en cualquier sección de la longitud del elemento se debería amplificar aplicando δns, y Cm se debe tomar igual a 1,0. La Figura 11-13 muestra algunos de los valores del coeficiente Cm, en función de la deformada de la columna y las condiciones de vínculo de los extremos. Si en la Ecuación (10-8) el momento M2 calculado es pequeño o nulo, el diseño de una columna indesplazable se debe basar en el momento mínimo M2,min (10.12.3.2): M 2,min = Pu ( 0, 6 + 0, 03h )

Ec. (10-14)

Para los elementos en los cuales se verifique M2,min > M2, el valor de Cm se debe tomar igual a 1,0 o bien se debe calcular mediante la Ecuación (10-13) considerando el cociente de los momentos reales calculados para los extremos, M1 y M2.

Cm = 1,0

Cm = 0,6

Cm = 0,4

C m= 0,6 + 0,4 (M 1 /M 2 ) Figura 11-13 – Valores del coeficiente Cm

11 - 12

10.13.3

Momentos amplificados – Pórticos desplazables

El diseño de los pórticos desplazables considerando los efectos de la esbeltez consiste esencialmente en tres pasos: 1. Se calculan los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δmMs, de una de las tres manera siguientes: a. Un análisis elástico de segundo orden del pórtico (10.13.4.1) b. Un análisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2) c. Un método aproximado en base a un factor de amplificación de los códigos ACI anteriores (10.13.4.3) 2. Los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δmMs, se suman a los momentos Mns, no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral, en cada extremo de la columna (10.13.3): M1 = M1ns + δs M1s

Ec. (10-15)

M 2 = M 2ns + δs M 2s

Ec. (10-16)

Los momentos que no consideran el desplazamiento lateral, M1ns y M2ns, se calculan usando un análisis elástico de primer orden. 3. Si la columna es esbelta y las cargas axiales que actúan sobre la misma son elevadas, se debe verificar si los momentos en los puntos entre los extremos de la columna son mayores que los momentos en dichos extremos. De acuerdo con 10.13.5, esta verificación se realiza usando el factor de amplificación δns para pórticos indesplazables, calculando Pc en base a k = 1,0 o menor.

10.13.4

Determinación de δsMs

Como se indicó anteriormente, existen tres maneras para calcular los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δsMs. Si para calcular δsMs se utiliza un análisis elástico de segundo orden, las deformaciones deben ser representativas del estado inmediatamente anterior a la carga última. Por este motivo en los análisis de segundo orden se deben usar los valores de EI dados en 10.11.1. Observar que I se debe dividir por (1 + βd), donde para pórticos desplazables βd se define de la siguiente manera (ver 10.0): βd =

Máximo corte de larga duración mayorado en un entrepiso Máximo corte mayorado en el entrepiso

Para cargas sísmicas βd = 0. Un ejemplo de un valor de βd diferente de cero puede ocurrir cuando los elementos están solicitados por presiones del suelo. La sección 10.13.4.2 permite utilizar un análisis de segundo orden aproximado para determinar δsMs. En este caso, la solución de la serie infinita que representa el análisis iterativo P-∆ para los momentos de segundo orden es: δs M s =

Ms ≥ Ms I−Q

Ec. (10-17)

donde Q = índice de estabilidad de un entrepiso =

∑ Pu ∆o

Ec. (10-7)

Vu A c

11 - 13

Observar que la Ecuación (10-7) predice en forma precisa los momentos de segundo orden en los pórticos desplazables para valores de δs menores que 1,5. Cuando se verifica δs > 1,5: δmMs se debe calcular usando 10.13.4.1 ó 10.13.4.3. El código también permite determinar δsMs usando el procedimiento de amplificación de momentos incluido en los códigos ACI anteriores (10.13.4.3): Ms

δs M s = 1−

∑ Pu 0, 75∑ Pc

≥ Ms

Ec. (10-18)

donde ∑Pu

= sumatoria de todas las cargas verticales en un piso

∑Pc

= sumatoria de las cargas críticas para todas las columnas que resisten el desplazamiento lateral de un piso

Es importante observar que, en las construcciones con desplazamientos torsionales significativos, el procedimiento de amplificación de momentos puede subestimar la amplificación de los momentos de las columnas más alejadas del centro de rotación. En estos casos se debería considerar un análisis de segundo orden tridimensional.

10.13.5

Ubicación del máximo momento

Al sumar los momentos no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral en los extremos de la columna con los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, uno de los momentos totales resultantes obtenidos generalmente es el máximo momento de la columna. Sin embargo, en las columnas esbeltas con elevadas cargas axiales, el máximo momento puede ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En 10.13.5 se indica una manera sencilla de determinar si esto ocurre: si en un elemento individual comprimido Au > r

35

Ec. (10-19)

Pu f 'c A g

el máximo momento ocurrirá en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En este caso, M2, definido en la Ecuación (10-16) se debe amplificar aplicando el factor de amplificación de momentos para pórticos indesplazables dado en la Ecuación (109). Luego la columna se diseña para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc, donde Mc se calcula de la siguiente manera: M c = δns M 2   Cm = Pu   1 − 0, 75P c 

Ec. (10-8)    ( M 2ns + δs M 2s )   

Observar que k se determina de acuerdo con 10.12.1 y δns ≥ 1,0.

10.13.6

Estabilidad estructural bajo cargas gravitatorias

En los pórticos desplazables se debe investigar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral de la estructura en su conjunto. Esto se verifica de tres maneras diferentes, dependiendo del método usado para determinar δmMs: 1. Cuando δsMs se determina mediante un análisis de segundo orden (10.13.4.1) se debe satisfacer la siguiente expresión:

11 - 14

deformaciones laterales de segundo orden ≤ 2,5 deformaciones laterales de primer orden

Observar que estas deformaciones se basan en una carga aplicada de 1,4PD y 1,7PL más la carga horizontal aplicada. El pórtico se debería analizar dos veces para este conjunto de cargas: el primer análisis debería ser un análisis de primer orden, y el segundo un análisis de segundo orden. La carga horizontal se puede tomar como las cargas horizontales reales usadas en el diseño, o bien puede ser una carga horizontal única aplicada en la parte superior del pórtico. En cualquier caso, la carga horizontal debe ser lo suficientemente grande para producir deformaciones con valores de tal magnitud que puedan ser comparadas con precisión. 2. Cuando δsMs se determina mediante un análisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2): Q=

∑ Pu ∆o ≤ 0, 60 Vu A c

donde el valor de Q se evalúa usando 1,4PD y 1,7PL. Observar que la expresión anterior equivale a δs = 2,5. Los valores de Vu y ∆o se pueden determinar usando el conjunto real de las cargas horizontales o bien un conjunto arbitrario de cargas horizontales. Esta verificación de la estabilidad se considera satisfecha si el valor de Q calculado en 10.11.4.2 es menor o igual que 0,2. 3. Cuando δsMs se determina usando las expresiones de los códigos ACI anteriores (10.13.4.3), la verificación de la estabilidad se considera satisfecha cuando 0 < δs ≤ 2,5

En este caso ∑Pu y ∑Po corresponden a las cargas permanentes y sobrecargas mayoradas. Es importante observar que en cada uno de los tres casos presentados βd se deberá tomar como: βd =

10.13.7

Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada

Amplificación de momentos para elementos solicitados a flexión

La resistencia de un pórtico desplazable depende de la estabilidad de las columnas y del grado de restricción proporcionado por las vigas del pórtico. Si en las vigas que proveen restricción se forman rótulas plásticas, el comportamiento de la estructura se aproxima al de un mecanismo, y su capacidad de resistir cargas axiales se reduce en forma drástica. La sección 10.13.7 especifica que los elementos solicitados a flexión (vigas o losas) que proveen restricción deben tener capacidad para resistir los momentos amplificados de las columnas. El método del factor de amplificación de momentos permite obtener una buena aproximación de los momentos amplificados reales que actúan en los extremos de los elementos de los pórticos no arriostrados; esto es un avance significativo con respecto al método de los factores de reducción para columnas largas que se especificaba en códigos anteriores de ACI para tomar en cuenta la esbeltez de los elementos en el diseño.

11 - 15

RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE DISEÑO Creemos que el siguiente resumen de ecuaciones para el diseño de columnas esbeltas bajo cargas permanentes, sobrecargas y cargas de viento, tanto en pórticos indesplazables como en pórticos desplazables, puede ser de utilidad para el diseñador. Los Ejemplos 11.1 y 11.2 ilustran la aplicación de estas ecuaciones para el diseño de columnas en pórticos indesplazables y pórticos desplazables, respectivamente. •

Pórticos indesplazables

1. Determinar las combinaciones de cargas mayoradas de acuerdo con 9.2. En los ejemplos que siguen se asume que el factor de carga para sobrecarga es 0,5 (es decir, se aplica la condición 9.2.1(a)) y que la carga de viento ha sido reducida aplicando el factor de direccionalidad (9.2.1(b)). Observar que los momentos mayorados Mu,sup y Mu,inf en los extremos superior e inferior de la columna, respectivamente, se han de determinar usando un análisis de pórtico de primer orden, en base a las propiedades de la sección fisurada del elemento. 2. Determinar Mc para cada combinación de cargas, siendo Mc el mayor momento mayorado que actúa en un extremo de la columna, incluyendo los efectos de la esbeltez (si fuera necesario). Observar que Mc se puede determinar mediante uno de los siguientes métodos: a. Análisis de segundo orden (P-∆) (10.10.1) b. Método del factor de amplificación de momentos (sólo si kℓu/r ≤ 100; ver 10.12 y el paso (3) siguiente) Determinar la armadura requerida en la columna para la combinación de cargas crítica determinada en el paso (1) anterior. Cada combinación de cargas consiste en Pu y Mu. 3. Método del factor de amplificación de momentos (10.12): Los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando: M  kA u ≤ 34 − 12  1  r  M2 

Ec. (10-7)

donde [34 − 12M1 / M 2 ] ≤ 40 . El término M1 / M 2 es positivo si la columna se deforma con curvatura simple, y negativo si el elemento se deforma con curvatura doble. Si es necesario considerar los efectos de la esbeltez, determinar Mc para cada combinación de cargas: M c = δns M 2

Ec. (10-8)

donde M2 = valor mayor entre Mu,inf y Mu,sup ≥ Pu ( 0, 6 + 0, 03h )

δns =

10.12.3.2

Cm ≥ 1, 0 Pu 1− 0, 75Pc

Ec. (10-9)

11 - 16

Pc =

EI =

π2 EI

Ec. (10-10)

( kA u )2

( 0, 2Ec Ig + Es Ise )

Ec. (10-11)

1 + βd

o bien EI =

βd =

0, 4E c Ig

Ec. (10-12)

1 + βd Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de cargas

M Cm = 0, 6 + 0, 4  1  M2

= 1,0

  ≥ 0, 4 

(sin cargas transversales)

10.0

Ec. (10-13)

(con cargas transversales)

El factor de longitud efectiva se deberá tomar igual a 1,0 o bien se deberá determinar mediante análisis (por ejemplo, usando el nomograma o las ecuaciones dadas en R10.12). En este último caso, k se deberá basar en los valores de E e I usados en 10.11.1 (ver 10.12.1). •

Pórticos desplazables

1. Determinar las combinaciones de cargas mayoradas. a. Cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas) Todos los momentos (Mu,inf)ns y (Mu,sup)ns en la parte inferior y superior de la columna, respectivamente, se deben determinar usando un análisis de pórtico elástico de primer orden, en base a las propiedades de la sección fisurada de los elementos. Los momentos M1 y M2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos (Mu,inf)ns y (Mu,sup)ns, respectivamente. Los momentos M1ns y M2ns son los momentos mayorados en los extremos correspondientes a los extremos en los cuales actúan M1 y M2, respectivamente. b. Cargas gravitatorias (permanentes y sobrecargas) más cargas de viento Los momentos totales en la parte superior e inferior de la columna son Mu,sup = (Mu,sup)ns + (Mu,sup)s y Mu,inf = (Mu,inf)ns + (Mu,inf)s, respectivamente. Los momentos M1 y M2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos Mu,sup y Mu,inf, respectivamente. Observar que en esta etapa M1 y M2 no incluyen los efectos de la esbeltez. Los momentos M1ns y M1s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respectivamente, que actúan en el extremo de la columna donde actúa M1, mientras que M2ns y M2s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respectivamente, que actúan en el extremo de la columna donde actúa M2. c. Cargas gravitatorias (permanentes) más cargas de viento Para esta combinación de cargas los momentos se definen como se especifica en el punto 1(b). d. En las combinaciones de cargas especificadas en los puntos 1(b) y 1(c) anteriores se deben considerar los efectos que se producen cuando las cargas de viento actúan en la dirección de análisis inicial y en la opuesta.

11 - 17

2. Determinar la armadura requerida en la columna para la combinación de cargas crítica determinada en el punto (1) anterior. Cada combinación de cargas está compuesta por Pu, M1 y M2, donde ahora M1 y M2 son los momentos mayorados totales que actúan en los extremos, incluyendo los efectos de la esbeltez. Observar que si la carga crítica Pc se calcula usando EI de la Ecuación (10-11), también es necesario estimar primero la armadura de la columna. Los momentos M1 y M2 se determinan mediante uno de los métodos siguientes: a. Análisis de segundo orden (P - ∆) (10.10.1) b. Método del factor de amplificación de momentos (sólo si kℓu/r ≤ 100; ver 10.13 y el paso (3) a continuación) 3. Método del factor de amplificación de momentos (ver 10.13): Los efectos de la esbeltez se pueden despreciar cuando kA u < 22 r

10.13.2

Si es necesario considerar los efectos de la esbeltez: M1 = M1ns + δs M1s

Ec. (10-15)

M 2 = M 2ns + δs M 2s

Ec. (10-16)

Los momentos δsM1s y δsM2s se deben calcular usando uno de los métodos siguientes (ver 10.13.4): a. Análisis de segundo orden (P - ∆) (ver 10.13.4.1) b. Análisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2) δs M s =

Ms ≥ M s , 1, 0 ≤ δs ≤ 1,5 1− Q

Ec. (10-17)

donde Q=

∑ Pu ∆o

Ec. (10-6)

Vu A c

c. Método aproximado dado en códigos ACI anteriores (ver 10.13.4.3): δs M s =

Ms

∑ Pu 1− 0, 75∑ Pc

≥ Ms

Ec. (10-18)

donde Pc =

EI =

π2 EI

Ec. (10-10)

( kA u )2

( 0, 2Ec Ig + Es Ise )

Ec. (10-11)

1 + βd

11 - 18

o bien 0, 4E c Ig

EI =

Ec. (10-12)

1 + βd

El factor de longitud efectiva, k, debe ser mayor que 1,0 y se debe basar en los valores de E e I indicados en 10.11.1. (ver 10.13.1). 4. Determinar si el máximo momento ocurre en los extremos de la columna o en un punto ubicado entre los extremos (10.13.5). Si Au > r

35

Ec. (10-19)

Pu f 'c A g

la columna se debe diseñar para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc, siendo M c = δns M 2

  Cm = Pu   1 − 0, 75P c 

   ( M 2ns + δs M 2s )   

En este caso, k se determina de acuerdo con los requisitos de 10.12.1 y δns ≥ 1,0. 5. Verificar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral bajo cargas gravitatorias (10.13.6): a. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.1: Deformaciones laterales de segundo orden ≤ 2,5 Deformaciones laterales de primer orden

en base a una carga de 1,4PD y 1,7PL más la carga horizontal. b. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.2: Q=

∑ Pu ∆o ≤ 0, 60 Vu A c

en base a una carga de 1,4PD y 1,7PL más la carga horizontal. c. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.3: 0 < δs ≤ 2,5

donde δs se calcula usando ∑Pu y ∑Pc correspondientes a una carga de 1,4PD y 1,7PL. En los tres casos βd se deberá tomar como:

11 - 19

βd =

Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada

La referencia 11.1 contiene el desarrollo de las ecuaciones de diseño para los requisitos de esbeltez presentados en esta sección.

REFERENCIA 11.1

MacGregor, J. G., "Design of Slender Concrete Columns – Revisited," ACI Structural Journal, V. 90, No. 3, Mayo-Junio 1993, pp. 302-309.

11 - 20

Ejemplo 11.1 – Efectos de la esbeltez para columnas en un pórtico indesplazable Diseñar las columnas A3 y C3 para el primer piso del edificio de oficinas de 10 pisos ilustrado. La luz libre del primer piso es de 21 ft-4 in., y en todos los demás pisos es de 11 ft-4 in. Suponer que las cargas horizontales que actúan en el edificio son provocadas por el viento, y que las cargas permanentes son las únicas cargas de larga duración. Los demás datos necesarios son los siguientes: Propiedades de los materiales: Hormigón: Entrepisos: f'c = 4000 psi, wc = 150 lb/ft3 Columnas y tabiques: f'c = 6000 psi, wc = 150 lb/ft3 Armadura: fy = 60 ksi 1

20 × 20 in. 24 × 24 in. 12 in.

2

28'-0"

3

28'-0"

4

28'-0"

5

28'-0"

6

28'-0"

28'-0"

A Nervios (típ)

28'-0"

B

C 28'-0"

N

28'-0"

D

28'-0"

E

F

R 10

9 a 13´-0" = 117´-0"

Peso de los nervios de las losas = 86 lb/ft2 Carga permanente impuesta = 32 lb/ft2 Sobrecarga en la cubierta = 30 lb/ft2 Sobrecarga en los entrepisos = 50 lb/ft2 Las cargas de viento se calculan de acuerdo con ASCE 7.

9 8 7 6 5 4 3

23'-0"

Vigas: 24 × 20 in. Columnas exteriores: Columnas interiores: Muros de cortante:

2 G

5 a 28´-0" = 140´-0"

11 - 21

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Cargas axiales y momentos flectores mayorados para las columnas A3 y C3 en el primer piso. Columna A3 Carga axial (kips)

Caso de Carga Permanente (D) Sobrecarga (L)* Sobrecarga en la cubierta (Lr) Viento (W) Ec. No. Combinación de Cargas 9-1 1 1,4D 9-2 2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 9-3 4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 9-4 7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 8 0,9D + 1,6W 9-6 9 0,9D - 1,6W

718,0 80,0 12,0 ±8,0 1005,2 995,6 920,8 887,2 874,4 920,4 894,8 659,0 633,4

Momento flector (ft-kips) Superior Inferior 79,0 40,0 30,3 15,3 0,0 0,0 ±1,1 ±4,3 110.6 143,3 110,0 95,7 93,9 111,7 108,2 72,9 69,3

56.0 72,5 55,7 51,4 44,6 62,5 48,8 42,9 29,1

* Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7

Columna C3 Carga axial (kips)

Caso de Carga Permanente (D) Sobrecarga (L)* Sobrecarga en la cubierta (Lr) Viento (W) Ec. 9-1 9-2 9-3

9-4 9-6

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1269,0 147.0 24.0 ±3,0

Combinación de Cargas 1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

* Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7

11 - 22

1776,6 1770,0 1634,7 1563,6 1558,8 1613,1 1603,5 1146,9 1137,3

Momento flector (ft-kips) Superior Inferior 1.0 0.7 32.4 16.3 0.0 0.0 ±2,5 ±7,7 1,4 53,0 17,4 3,2 -0,8 21,4 13,4 4,9 -3,1

1,0 26,9 7,0 9,0 -5,3 21,3 -3,3 13,0 -11,7

Observar que las columnas A3 y C3 se deforman con curvatura doble. 2. Determinar si el pórtico en el primer piso es indesplazable o desplazable. Los resultados de un análisis elástico de primer orden en base a las propiedades seccionales indicadas en 10.11.1 son los siguientes: ∑Pu = carga vertical total en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el cual ∑Pu es máximo Las cargas totales del edificio son: D = 37.371 kips, L = 3609 kips, y Lr = 602 kips. ∑Pu máxima se determina en base a la Ecuación (9-4):

∑ Pu = (1, 2 × 37.371) + ( 0,5 × 3609 ) + ( 0,5 × 602 ) + 0 = 46.951 kips Vu = corte de piso mayorado en el primer piso correspondiente a las cargas de viento = 1,6 × 324,3 = 518,9 kips

Ec. (9-4), (9-6)

∆o = deformación relativa de primer orden entre la parte superior e inferior del primer piso debida a Vu = 1,6 × ( 0, 03 − 0 ) = 0, 05in. Índice de estabilidad Q =

∑ Pu ∆o Vu A c

=

46.951× 0, 05 = 0, 02 < 0, 05 518,9 × ( 23 × 12 ) − ( 20 / 2 ) 

Como Q < 0,05 el pórtico a nivel del primer piso se considera indesplazable.

Ec. (10-6) 10.11.4.2

3. Diseño de la columna C3. a. Determinar si es necesario considerar los efectos de la esbeltez. Usando un factor de longitud efectiva k = 1,0:

10.12.1

kA u 1, 0 × 21,33 × 12 = = 35, 6 r 0,3 × 24 M  Como la columna se deforma con curvatura doble, el menor valor de 34 − 12  1  se obtiene de la  M2  combinación de cargas No. 5:  − ( −0,8 )  M  34 − 12  1  = 34 − 12   = 35,8 < 40 M  2  −5,3 

Para la columna C3 no es necesario considerar los efectos de la esbeltez, ya que kℓu/r < 34 – 12 (M1–M2). Observar que en este caso no es necesario calcular un valor de k más exacto ya que la columna no es esbelta para k = 1,0. b. Determinar la armadura requerida. Para la columna de 24 × 24 in., intentar con 16 barras No. 7.

11 - 23

10.12.2

Determinar la máxima fuerza de compresión axial admisible, φPn,max:

(

)

φPn,max = 0,80φ  0,85f 'c A g − Ast + f y Ast   

(

Ec. (10-2)

)

= ( 0,80 × 0, 65 ) ( 0,85 × 6 ) 242 − 9, 6 + ( 60 × 9, 6 )    = 1801, 6 kips > Pu máx. = 1776, 6 kips

VERIFICA

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de un análisis de compatibilidad de las deformaciones; las deformaciones de compresión se consideran positivas (ver Partes 6 y 7).

21,69"

16,84"

12,00"

24" 7,16"

2,31"

24" Recubrimiento libre 1,5" para los estribos No. 3

No.

Pu (kips)

Mu (ft-kips)

c (in.)

εt

φ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1776,6 1770,0 1634,7 1563,6 1558,8 1613,1 1603,5 1146,9 1137,3

1,4 53,0 17,4 7,0 5,3 21,4 13,4 13,0 11,7

25,92 25,83 23,86 22,85 22,78 23,55 23,41 17,25 17,13

0,00049 0,00048 0,00027 0,00015 0,00014 0,00024 0,00022 -0,00077 -0,00080

0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65

φPn (kips) 1776,6 1770,0 1634,7 1563,6 1558,8 1613,1 1603,5 1146,9 1137,3

φMn (ft-kips) 367,2 371,0 447,0 480,9 483,2 457,8 462,5 609,9 611,7

Por lo tanto, como φMn > Mu para cualquier φPn = Pu, usar una columna cuadrada de 24 × 24 in. con 16 barras No. 7 (ρg = 1,7%). 4. Diseño de la columna A3. a. Determinar si es necesario considerar los efectos de la esbeltez.

11 - 24

Determinar k usando el nomograma de la Figura 11-10 o la Figura R10.12.1:  204 Icol = 0, 7   12 E c = 57.000

 4  = 9333in. 

10.11.1(b)

6000 = 4415 ksi 1000

8.5.1

Para la columna debajo del nivel 2:

 Ec I  4415 × 9333 = 155 × 103 in.-kips  = A × − 23 12 20 / 2   ( ) ( )  c    Para la columna encima del nivel 2:  E c I  4415 × 9333 = 264 × 103 in.-kips  = 13 × 12 A  c   24 × 203  4 I viga = 0,35   = 5600 in. 12  

10.11.1(b)

EI 57 4000 × 5600 = = 60 × 103 in.-kips 28 × 12 A ΨA =

∑ Ec I / A c ∑ Ec I / A

Asumir Ψ B = 1, 0

=

155 + 264 = 7, 0 60

(columna esencialmente empotrada en la base)

De la Figura R10.12.1(a), k = 0,86. M  Por lo tanto, para la columna A3, deformada con doble curvatura, el menor valor de 34 − 12  1  se obtiene  M2  de la combinación de cargas No. 9:

 −29,1  34 − 12   = 39, 0  69,3  kA u 0,86 × 21,33 × 12 = = 36, 7 < 39, 0 r 0,3 × 20 M  Para la columna A3, deformada con curvatura simple, el menor valor de 34 − 12  1  se obtiene de la  M2  combinación de cargas No. 8: kA u  42,9  == 36, 7 > 34 − 12   = 26,9 r  72,9 

11 - 25

Esto significa que no es necesario considerar la esbeltez para la columna A3 si ésta se deforma con curvatura doble. Sin embargo, para ilustrar el procedimiento de diseño, incluyendo la consideración de los efectos de la esbeltez para columnas indesplazables, asumir que se deforma con curvatura simple. b. Determinar el momento total Mc (incluyendo los efectos de la esbeltez) para cada combinación de cargas. M c = δ ns M 2

Ec. (10-8)

donde δns =

Cm ≥ 1, 0 Pu 1− 0, 75Pc

Ec. (10-9)

La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna A3 para todas las combinaciones de cargas, y a continuación se presenta el cálculo detallado para la combinación No. 6 incluido para ilustrar el procedimiento. No.

Pu (kips)

M2 (ft-kips)

βd

El x 106 (kip-in.2)

Pc

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1005,2 995,6 920,8 887,2 874,4 920,4 894,8 659,0 633,4

110,6 143,3 110,0 95,7 93,9 111,7 108,2 72,9 69,3

1,00 0,87 0,94 0,97 0,99 0,94 0,96 0,98 1,02

9,88 10,60 10,21 10,03 9,96 10,21 10,07 9,98 9,78

2013 2158 2080 2042 2028 2079 2051 2033 1993

Cm

δns

M2,min (ft-kips)

Mc (ft-kips)

0,80 0,80 0,80 0,82 0,79 0,82 0,78 0,84 0,77

2,40 2,08 1,96 1,94 1,86 2,01 1,87 1,47 1,33

100,5 99,6 92,1 88,7 87,4 92,0 89,5 65,9 63,3

265,6 298,6 215,3 185,3 174,5 224,6 201,8 107,2 92,4

Combinación de cargas No. 6: U = 1, 2D + 0,5L + 0,5L r + 1, 6W M  C m = 0, 6 + 0, 4  1  ≥ 0, 4  M2 

Ec. (10-13)

 62,5  = 0, 6 + 0, 4   = 0,82  111, 7  Pc =

EI =

π2 EI

Ec. (10-10)

( kA u )2

( 0, 2Ec Ig + Es Ise )

Ec. (10-11)

1 + βd

E c = 57.000

6000 = 4415 ksi 1000

8.5.1

11 - 26

Ig =

204 = 13.333in.4 12

Es = 29.000 ksi

8.5.2

Suponiendo 8 barras No. 8 con 1,5 in. de recubrimiento para estribos No. 3:  1, 00   20 Ise = 2 ( 3 × 0, 79 )  − 1,5 − 0,375 −  2   2 

2

4

 = 276 in. 

Como la carga permanente es la única carga de larga duración, βd =

1, 2PD 1, 2PD + 0,5PL + 0,5PLr + 1, 6Pw 1, 2 × 718 = 0,94 (1, 2 × 718 ) + ( 0,5 × 80 ) + ( 0,5 × 12 ) + (1, 6 × 8 )

=

EI =

10.0

( 0, 2 × 4415 ×13.333) + ( 29.000 × 276 ) 1 + 0,94

= 10, 21× 106 kip-in.2

De la Ecuación (10-12): 0, 4E c Ig

EI =

=

1 + βd

0, 4 × 4415 × 13.333 = 12,14 × 106 kip-in.2 1 + 0,94

Usando EI de la Ecuación (10-11), la carga crítica Pc es: Pc =

π2 × 10, 21× 106

( 0,86 × 21,33 × 12 )2

= 2079 kips

Por lo tanto, el factor de amplificación δns es: δns =

0,82 = 2, 01 920, 4 1− 0, 75 × 2079

Verificar requisito de momento mínimo: M 2,min = Pu ( 0, 6 + 0, 03h )

Ec. (10-14)

= 920, 4  0, 6 ( 0, 03 × 20 )  /12

= 92,0 ft-kips < M 2 = 111,7 ft-kips Por lo tanto, 11 - 27

M c = 2, 01× 111, 7 = 224, 6 ft-kips

c. Determinar la armadura requerida. Para la columna de 20 × 20 in., intentar con 8 barras No. 8. Determinar la máxima fuerza de compresión axial admisible, φPn,max:

(

)

φPn,max = 0,80φ  0,85f´c A g − Ast + f y Ast   

(

Ec. (10-2)

)

= ( 0,80 × 0, 65 ) ( 0,85 × 6 ) 202 − 6,32 + ( 60 × 6,32 )    = 1242 kips > Pu máx. = 1005, 2 kips

VERIFICA

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de un análisis de compatibilidad de las deformaciones; las deformaciones de compresión se consideran positivas (ver Partes 6 y 7). 17,625"

10,0"

20"

2,375" 20"

No.

Pu (kips)

Mu (ft-kips)

c (in.)

εt

φ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1005,2 995,6 920,8 887,2 874,4 920,4 894,8 659,0 633,4

265.6 298.6 215.3 185.3 174.5 224.6 201.8 107.2 92.4

17.81 17.64 16.42 15.88 15.67 16.41 16.00 12.36 12.00

0.00003 0.00000 -0.00022 -0.00033 -0.00037 -0.00022 -0.00030 -0.00128 -0.00141

0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65

φPn (kips) 1005,2 995,6 920,8 887,2 874,4 920,4 894,8 659,0 633,4

φMn (ft-kips) 298,0 301,1 321,4 329,3 332,1 321,6 327,6 364,8 367,2

Por lo tanto, como φMn > Mu para cualquier φPn = Pu, usar una columna cuadrada de 20 × 20 in. con 8 barras No. 8 (ρg = 1,6%).

11 - 28

Ejemplo 11.2 – Efectos de la esbeltez en un pórtico desplazable Diseñar las columnas C1 y C2 para el primer piso del edificio de oficinas de 12 pisos ilustrado. La luz libre del primer piso es de 13 ft-4 in., y en todos los demás pisos es de 10 ft-4 in. Suponer que las cargas horizontales que actúan en el edificio son provocadas por el viento, y que las cargas permanentes son las únicas cargas de larga duración. Los demás datos necesarios son los siguientes: Propiedades de los materiales: Hormigón: Armadura:

= 6000 psi para las columnas en los dos pisos inferiores (wc = 150 lb/ft3) = 4000 psi para el resto de los elementos (wc = 150 lb/ft3) fy = 60 ksi

Vigas: 24 × 20 in. Columnas exteriores: Columnas interiores:

22 × 22 in. 24 × 24 in.

Carga permanente impuesta = 30 lb/ft2 Sobrecarga en la cubierta = 30 lb/ft2 Sobrecarga en los entrepisos = 50 lb/ft2 Las cargas de viento se calculan de 1 acuerdo con ASCE 7.

A

B

D

C 24´-0"

24´-0"

24´-0"

24´-0"

E 24´-0"

F 24´-0"

Losa de 7"

2 24´-0"

N

24´-0"

3

4

R 12

11 a 12'-0" = 132'-0"

11 10 9 8 7 6 5 4

15´-0"

3 2

G

5 a 24´-0" = 120´-0"

11 - 29

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Cargas axiales y momentos flectores mayorados para las columnas C1 y C2 en el primer piso.

Como se trata de un pórtico simétrico, las cargas gravitatorias no provocarán una deformación lateral apreciable. Columna C1 Caso de Carga

Carga axial (kips)

Momento flector (ft-kips) Superior Inferior 34,8 17,6 15,4 7,7 0,0 0,0 17,1 138,8 -17,1 -138,8

Permanente (D) 622,4 Sobrecarga (L)* 73,9 Sobrecarga en la cubierta (Lr) 8,6 Viento (W) (N-S) -48,3 Viento (W) (S-N) 48,3 No. Combinación de cargas 9-1 1 1,4D 871,4 9-2 2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 869,4 3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 797,6 9-3 4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 722,0 5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 799,3 6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 710,9 9-4 7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 865,4 8 0,9D + 1,6W 482,9 9-6 9 0,9D - 1,6W 637,4 * Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7

48,7 66,4 49,5 55,4 28,1 76,8 22,1 58,7 4,0

24,6 33,4 25,0 131,5 -89,3 245,8 -195,8 236,6 -205,0

M1 24,6 33,4 25,0 55,4 28,1 76,8 22,1 58,7 4,0

M2 48,7 66,4 49,5 131,5 -89,3 245,8 -195,8 236,6 -205,5

M1ns 24,6 33,4 25,0 41,8 41,8 49,5 49,5 31,3 31,3

M2ns 48,7 66,4 49,5 21,1 21,1 25,0 25,0 15,8 15,8

M1s ------13,7 -13,7 27,4 -27,4 27,4 -27,4

M2s ------110,4 -110,4 220,8 -220,8 220,8 -220,8

M1

M2

M1ns

M2ns

M1s

M2s

-1,4 -13,7 -5,1 32,4 -37,2 59,4 -79,8 67,8 -71,4

-2,8 -27,4 -10,2 162,8 -165,2 322,9 -333,1 327,1 -328,9

-1,4 -13,7 -5,1 -2,4 -2,4 -10,2 -10,2 -1,8 -1,8

-2,8 -27,4 -10,2 -1,2 -1,2 -5,1 -5,1 -0,9 -0,9

------34,8 -34,8 69,6 -69,6 69,6 -69,6

----0,0 164,0 -164,0 328,0 -328,0 328,0 -328,0

Columna C2 Caso de Carga Permanente (D) Sobrecarga (L)* Sobrecarga en la cubierta (Lr) Viento (W) (N-S) Viento (W) (S-N)

Carga axial (kips) 1087,5 134,5 17,3 -0,3 0,3

Momento flector (ft-kips) Superior Inferior -2,0 -1,0 -15,6 -7,8 0.0 0.0 43,5 205,0 -43,5 -205,0

No. Combinación de cargas 1 1,4D 1522,6 2 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1529,0 3 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1400,1 9-3 4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1332,6 5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1333,0 6 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 1380,5 9-4 7 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 1381,5 8 0,9D + 1,6W 978,4 9-6 9 0,9D - 1,6W 979,3 * Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7 9-1 9-2

-2,8 -27,4 -10,2 32,4 -37,2 59,4 -79,8 67,8 -71,4

-1,4 -13,7 -5,1 162,8 -165,2 322,9 -333,1 327,1 -328,9

2. Determinar si el pórtico en el primer piso es indesplazable o desplazable. Los resultados de un análisis elástico de primer orden en base a las propiedades seccionales indicadas en 10.11.1 son los siguientes:

11 - 30

∑Pu = carga vertical total en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el cual ∑Pu es máximo Las cargas totales del edificio son: D = 17.895 kips, L = 1991 kips, Lr = 270 kips. ∑Pu máxima se determina en base a la Ecuación (9-4):

∑ Pu = (12 ×17.895) + ( 0,5 ×1991) + ( 0,5 × 270 ) + 0 = 22.605 kips Vu = corte de piso mayorado en el primer piso correspondiente a las cargas de viento = 1,6 × 302,6 = 484,2

Ec. (9-4), (9-6)

∆o = deformación relativa de primer orden entre la parte superior e inferior del primer piso debida a Vu = 1,6 × ( 0, 28 − 0 ) = 0, 45in. Índice de estabilidad Q =

∑ Pu ∆o Vu A c

=

22.605 × 0, 45 = 0,12 > 0, 05 484, 2 × (15 × 12 ) − ( 20 / 2 ) 

Como Q > 0,05 el pórtico a nivel del primer piso se considera desplazable.

Ec. (10-6) 10.11.4.2

3. Diseño de la columna C1. a. Determinar si es necesario considerar los efectos de la esbeltez. Determinar k usando el nomograma de R10.12.1.  224 Icol = 0, 7   12  E c = 57.00

 4  = 13.665 in. 

10.11.1

6000 = 4415 ksi 1000

8.5.1

Para la columna debajo del nivel 2:  E c I  4415 × 13.665 = 355 × 103 in.-kips  =  A c  (15 × 12 ) − 10 

Para la columna encima del nivel 2:  E c I  4415 × 13.665 = 419 × 103 in.-kips  = A 12 × 12  c   24 × 203  4 I viga = 0,35   = 5600 in. 12  

Para la viga:

10.11.1

E c I 57 4000 × 5600 = = 70 × 103 in.-kips Ac 24 × 12

11 - 31

ΨA =

∑ Ec I / A c ∑ Ec I / A

=

355 + 419 = 11,1 70

Asumir Ψ B = 1, 0

(columna esencialmente empotrada en la base)

Del nomograma (Figura R10.12.1(b)), k = 1,9. kA u 1,9 × 13,33 × 12 = = 46 > 22 r 0,3 × 22

10.13.2

Por lo tanto es necesario considerar los efectos de la esbeltez. b. Determinar el momento total M2 (incluyendo los efectos de la esbeltez) y las combinaciones de cargas de diseño, usando el análisis aproximado de 10.13.4.2. La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna C1 para todas las combinaciones de cargas, y a continuación se presenta el cálculo detallado para las combinaciones No. 4 y 5, incluido para ilustrar el procedimiento. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Combinación de Cargas 1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

∑Pu (kips) 25.053 24.795 22.902 21.906 21.906 22.605 22.605 16.106 16.106

∆o (in.) ------0,22 0,22 0,45 0,45 0,45 0,45

Vu (kips) ------242,1 242,1 484,2 484,2 484,2 484,2

M 2 = M 2ns + M 2s δs M 2s =

Q ------0,12 0,12 0,12 0,12 0,09 0,09

δs ------1,14 1,14 1,14 1,14 1,10 1,10

M2ns (ft-kips) 48,7 66,4 49,5 21,1 21,1 25,0 25,0 15,8 15,8

M2s (ft-kips) ------110,4 -110,4 220,8 -220,8 220,8 -220,8

M2 (ft-kips) 48,7 66,4 49,5 147,0 -104,8 276,7 -226,8 257,9 -226,2

Ec. (10-16)

M 2s ≥ M 2s 1− Q

Ec. (10-17)

Para las combinaciones de cargas No. 4 y 5: U = 1, 2D + 1, 6L r ± 0,8W

∑ Pu = (1, 2 ×17.895) + (1, 6 × 270 ) ± 0 = 21.906 kips ∆ o = 0,8 × ( 0, 28 − 0 ) = 0, 22 in. Vu = 0,8 × 302, 6 = 240,1 kips A c = (15 × 12 ) − ( 20 / 2 ) = 170 in.

11 - 32

∑ Pu ∆o

Q=

δ=

•

Vu A c

=

21.906 × 0, 22 = 0,12 240,1× 170

1 1 = = 1,14 1 − Q 1 − 0,12

Para deformación lateral de norte a sur (combinación de cargas No. 4): δs M 2s = 1,14 × 110, 4 = 125,9 ft-kips M 2 = M 2ns + δs M 2s = 21,1 + 125,9 = 147, 0 ft-kips Pu = 722, 0 kips

•

Para deformación lateral de sur a norte (combinación de cargas No. 5): δs M 2s = 1,14 × ( −110, 4 ) = −125,9 ft-kips M 2 = 21,1 − 125,9 = −104,8 ft-kips Pu = 799,3 kips

c. A fin de poder realizar una comparación, calcular nuevamente δs M 2s usando el método del factor de amplificación de momentos descrito en 10.13.4.3. δs M 2s = 1−

M 2s ∑ Pu

≥ M 2s

Ec. (10-18)

0, 75∑ Pc

La carga crítica Pc se calcula con la Ecuación (10-10) usando k de 10.13.1 y EI de las Ecuaciones (10-11) o (10-12). Como aún no se conoce cuál será la armadura, para determinar EI usar la Ecuación (10-12). Para cada una de las 12 columnas exteriores a lo largo de las líneas de columnas 1 y 4 (es decir, las columnas en las cuales en la dirección de análisis concurre una viga), en el punto 3(a) anterior se determinó que k es igual a 1,9. EI =

Pc =

0, 4E c I 0, 4 × 4415 × 224 = = 34,5 × 106 in.2-kips 1 + βd 12 (1 + 0 ) π2 EI

=

π2 × 34,5 × 106

( kA u )2 (1,9 ×13,33 × 12 )2

Ec. (10-12)

= 3686 kips

Ec. (10-10)

Para cada una de las columnas exteriores A2, A3, F2 y F3 (es decir, las columnas en las cuales en la dirección de análisis concurren dos vigas): ΨA =

355 + 419 = 5,5 2 × 70

Ψ B = 1,0

11 - 33

Del nomograma, k = 1,75 Pc =

π2 × 34,5 × 106

(1, 75 × 13,33 ×12 )2

= 4345 kips

Ec. (10-10)

Para cada una de las 8 columnas interiores:  244 Icol = 0, 7   12 

 4  = 19.354 in. 

10.11.1

Para la columna debajo del nivel 2: E c I 4415 × 19.354 = = 503 × 103 in.-kips Ac (15 ×12 ) − 10

Para la columna encima del nivel 2: E c I 4415 × 19.354 = = 593 × 103 in.-kips Ac 12 × 12

ΨA =

503 + 593 = 7,8 20 × 70

Ψ B = 1, 0

Del nomograma, k = 1,82. 242 = 48,8 × 106 in.-kips 12

EI = 0, 4 × 4415 ×

Pc =

π2 EI

=

π2 × 48,8 × 106

( kA u )2 (1,82 × 13,33 × 12 )2

Ec. (10-12)

= 5683 kips

Ec. (10-10)

Por lo tanto,

∑ Pc = 12 ( 3686 ) + 4 ( 4345) + 5 ( 5683) = 107.076 kips La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna C1 usando 10.13.4.3 para todas las combinaciones de cargas, y a continuación se presenta el cálculo detallado para las combinaciones No. 4 y 5, incluido para ilustrar el procedimiento. No. 1 2 3 4

Combinación de Cargas 1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W

∑Pu (kips) 25.053 24.795 22.903 21.908

11 - 34

δs ------1,38

M2ns (ft-kips) 48,7 66,4 49,5 21,1

M2s (ft-kips) ------110,4

M2 (ft-kips) 48,7 66,4 49,5 173,5

No.

Combinación de Cargas

5 6 7 8 9

1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr +1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr -1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

∑Pu (kips) 21.908 22.605 22.605 16.106 16.106

δs 1,38 1,39 1,39 1,25 1,25

M2ns (ft-kips) 21,1 25,0 25,0 15,8 15,8

M2s (ft-kips) -110,4 220,8 -220,8 220,8 -220,8

M2 (ft-kips) -131,3 331,9 -281,9 292,0 -260,3

Para las combinaciones de cargas No. 4 y 5: U = 1, 2D + 1, 6L r ± 0,8W 1

δs = 1−

•

∑ Pu

0, 75∑ Pc

=

1 = 1,38 21.908 1− 0, 75 × 107.076

Para deformación lateral de norte a sur (combinación de cargas No. 4): δs M 2s = 1,38 × 110, 4 = 152, 4 ft-kips M 2 = 21,1 + 152, 4 = 173,5 ft-kips Pu = 722, 0 kips

•

Para deformación lateral de sur a norte (combinación de cargas No. 5): δs M 2s = 1,38 × ( −110, 4 ) = −152, 4 ft-kips

M 2 = 21,1 − 152, 4 = −131,3 ft-kips Pu = 799,3 kips

En la siguiente tabla se presenta un resumen de los momentos amplificados para la columna C1 para todas las combinaciones de cargas. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Combinación de cargas

Pu (kips)

1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr +1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr -1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

871,4 869,4 797,6 722,0 799,3 710,9 865,4 482,9 637,4

11 - 35

10.13.4.2 δs M2 (ft-kips) --48,7 --66,4 --49,5 1,14 147,0 1,14 -104,8 1,14 276,7 1,14 -226,8 1,10 257,9 1,10 -226,2

10.13.4.3 δs M2 (ft-kips) --48,7 --66,4 --49,5 1,38 173,5 1,38 -131,3 1,39 331,9 1,39 -281,9 1,25 292,0 1,25 -260,3

d. Determinar la armadura requerida. Para la columna de 22 × 22 in. intentar con 8 barras No. 8. Determinar la máxima fuerza de compresión axial admisible, φPn,max:

(

)

φPn,max = 0,80φ  0,85f 'c A g − Ast + f y Ast   

(

Ec. (10-2)

)

= ( 0,80 × 0, 65 ) ( 0,85 × 6 ) 222 − 6,32 + ( 60 × 6,32 )    = 1464, 0 kips > Pu máx. = 871, 4 kips

VERIFICA

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de un análisis de compatibilidad de las deformaciones; las deformaciones de compresión se consideran positivas (ver Partes 6 y 7). Usar Mu = M2 del método P - ∆ aproximado de 10.13.4.2. 19,625"

11"

22"

2,375" 22"

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pu (kips) 871,4 869,4 797,6 722,0 799,3 710,9 865,4 482,9 637,4

Mu (ft-kips) 48,7 66,4 49,5 147,0 -104,8 276,7 -226,8 257,9 -226,2

c (in.) 14,85 14,82 13,75 12,75 13,78 12,61 14,76 7,36 11,68

εt

φ

-0,00096 -0,00097 -0,00128 -0,00162 -0,00127 -0,00167 -0,00099 -0,00500 -0,00204

0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,90 0,65

φPn (kips) 871,4 869,4 797,6 722,0 799,3 710,9 865,4 482,9 637,4

φMn (ft-kips) 459,4 459,7 468,2 474,1 468,0 474,8 460,2 557,2 478,8

Por lo tanto, como φMn > Mu para cualquier φPn = Pu, usar una columna de 22 × 22 in. con 8 barras No. 8 (ρg = 1,3%). Esta misma armadura es adecuada para las combinaciones de cargas del método del factor de amplificación de momentos de 10.13.4.3. 4. Diseño de la columna C2 a. Determinar si es necesario considerar los efectos de la esbeltez. En el punto 3(c) se determinó que k es igual a 1,82 para las columnas interiores. Por lo tanto, 11 - 36

kA u 1,82 × 13,33 × 12 = = 40, 4 > 22 r 0,3 × 24

10.13.2

Es necesario considerar los efectos de la esbeltez. b. Determinar el momento total M2 (incluyendo los efectos de la esbeltez) y las combinaciones de cargas de diseño, usando el análisis aproximado de 10.13.4.2. La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna C2 para todas las combinaciones de cargas, y a continuación se presenta el cálculo detallado para las combinaciones No. 4 y 5, incluido para ilustrar el procedimiento. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Combinación de Cargas 1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

∑Pu (kips) 25.053 24.795 22.902 21.906 21.906 22.605 22.605 16.106 16.106

∆o (in.) ------0,22 0,22 0,45 0,45 0,45 0,45

Vu (kips) ------242,1 242,1 484,2 484,2 484,2 484,2

Q

δs

------0,12 0,12 0,12 0,12 0,09 0,09

------1,14 1,14 1,14 1,14 1,10 1,10

M 2 = M 2ns + M 2s δs M 2s =

M 2s ≥ M 2s 1− Q

M2 (ft-kips) -2,8 -27,4 -10,2 185,8 -188,2 368,8 -379,6 358,6 360,4

Ec. (10-17)

U = 1, 2D + 1, 6L r ± 0,8W

En el punto 3(b) se determinó que δs es igual a 1,14. Para deformación lateral de norte a sur (combinación de cargas No. 4): δs M 2s = 1,14 × 164 = 187, 0 ft-kips M 2 = M 2ns + δs M 2s = −1, 2 + 187, 0 = 185,8 ft-kips Pu = 1332, 6 kips

•

M2s (ft-kips) ------164,0 -164,0 328,0 -328,0 328,0 -328,0

Ec. (10-16)

Para las combinaciones de cargas No. 4 y 5:

•

M2ns (ft-kips) -2,8 -27,4 -10,2 -1,2 -1,2 -5,1 -5,1 -0,9 -0,9

Para deformación lateral de sur a norte (combinación de cargas No. 5): δs M 2s = 1,14 × ( −164 ) = −187, 0 ft-kips M 2 = −1, 2 − 187, 0 = −188, 2 ft-kips Pu = 1333, 0 kips

11 - 37

c. A fin de poder realizar una comparación, calcular nuevamente δs M 2s usando el método del factor de amplificación de momentos descrito en 10.13.4.3. Usar los valores de ∑Pu, ∑Pc y δs calculados en el punto 3(c). No.

Combinación de cargas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

∑Pu (kips) 25.053 24.795 22.903 21.908 21.908 22.605 22.605 16.106 16.106

δs ------1,38 1,38 1,39 1,39 1,25 1,25

M2ns (ft-kips) -2,8 -27,4 -10,2 -1,2 -1,2 -5,1 -5,1 -0,9 -0,9

M2s (ft-kips) ------164,0 -164,0 328,0 -328,0 328,0 -328,0

M2 (ft-kips) -2,8 -27,4 -10,2 225,1 -227,5 451,4 -461,6 409,4 -411,2

U = 1, 2D + 1, 6L r ± 0,8W δs = 1,38 (del punto 3(c))

•

Para deformación lateral de norte a sur (combinación de cargas No. 4): δs M 2s = 1,38 × 164, 0 = 226,3 ft-kips M 2 = −1, 2 + 226,3 = 225,1 ft-kips Pu = 1332, 6 kips

•

Para deformación lateral de sur a norte (combinación de cargas No. 5): δs M 2s = 1,38 × ( −164, 0 ) = −226,3 ft-kips M 2 = −1, 2 − 226,3 = −227,5 ft-kips Pu = 1333, 0 kips

En la siguiente tabla se presenta un resumen de los momentos amplificados para la columna C2 para todas las combinaciones de cargas.

11 - 38

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Combinación de Cargas 1,4D 1,2D + 1,6L + 0,5Lr 1,2D + 0,5L + 1,6Lr 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr + 1,6W 1,2D + 0,5L + 0,5Lr - 1,6W 0,9D + 1,6W 0,9D - 1,6W

Pu (kips) 1522,6 1529,0 1400,1 1332,6 1333,0 1380,5 1381,5 978,4 979,3

10.13.4.2 M2 (ft-kips) ---2,8 ---27,4 ---10,2 1,14 185,8 1,14 -188,2 1,14 368,8 1,14 -379,6 1,10 358,6 1,10 -360,4

δs

10.13.4.3 M2 δs (ft-kips) ---2,8 ---27,4 ---10,2 1,38 225,1 1,38 -227,5 1,39 451,4 1,39 -461,6 1,25 409,4 1,25 -411,2

4. Determinar la armadura requerida. Para la columna de 24 × 24 in., intentar con 8 barras No. 8. Determinar la máxima fuerza de compresión axial admisible, φPn,max:

(

)

φPn,max = 0,80φ  0,85f 'c A g − Ast + f y Ast   

(

Ec. (10-2)

)

= ( 0,80 × 0, 65 ) ( 0,85 × 6 ) 242 − 6,32 + ( 60 × 6,32 )    = 1708 kips > Pu máx. = 1529, 0 kips

VERIFICA

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de un análisis de compatibilidad de las deformaciones; las deformaciones de compresión se consideran positivas (ver Partes 6 y 7). Usar Mu = M2 del método P - ∆ aproximado de 10.13.4.2. 21,625"

12"

24"

2,375" 24"

11 - 39

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pu (kips) 1522,6 1529,0 1400,1 1332,6 1333,0 1380,5 1381,5 978,4 979,3

Mu (ft-kips) -2,8 -27,4 -10,2 185,8 -188,2 368,8 -379,0 358,6 -360,4

c (in.) 23,30 23,39 21,49 20,50 20,51 21,20 21,22 15,52 15,46

εt

φ

0,00022 0,00023 -0,00002 -0,00016 -0,00016 -0,00006 -0,00005 -0,00118 -0,00120

0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65

φPn (kips) 1.522,6 1.529,0 1.400,1 1.332,6 1.333,0 1.380,5 1.381,5 978,4 979,3

φMn (ft-kips) 438,1 435,3 489,7 513,3 513,1 496,9 496,4 587,1 587,5

Por lo tanto, como φMn > Mu para cualquier φPn = Pu, usar una columna cuadrada de 24 × 24 in. con 8 barras No. 8 (ρg = 1,1%). Esta misma armadura es adecuada para las combinaciones de cargas del método del factor de amplificación de momentos de 10.13.4.3. 5. Determinar si el máximo momento ocurre en los extremos de la columna o en un punto ubicado entre los extremos (10.13.5). Para la columna C1: A u 13,33 × 12 = = 24, 2 < r 0,3 × 22

35 871, 4 6 × 222

= 63,9

Ec. (10-19)

Para la columna C2: A u 13,33 × 12 = = 22, 2 < r 0,3 × 24

35 1529, 0 6 × 242

= 52, 6

Por lo tanto, para las columnas C1 y C2, el máximo ocurre en uno de los extremos, y no es necesario amplificar el momento M2 aplicando δns. 6. Verificar la inestabilidad por desplazamiento lateral de la estructura. a. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.2, el valor de Q evaluado usando las cargas gravitatorias mayoradas no debe ser mayor que 0,60. Observar que para verificar la estabilidad todos los momentos de inercia se deben dividir por (1 + βd) (ver 10.11.1), siendo para este piso: βd =

=

Máxima carga axial de larga duración mayorada Máxima carga axial mayorada

1, 4 × 17.895 ∑1, 4PD = = 0,87 ∑ Pu (1, 4 ×17.895) + (1, 7 × 2261)

1 + βd = 1,87

Dividir todos los momentos de inercia por (1 + βd) equivale a aumentar las deformaciones laterales, y por lo tanto Q, en (1 + βd). En consecuencia, al nivel del segundo piso: 11 - 40

10.13.6

Q = 1,87 × 0,12 = 0, 22 < 0, 60

Por lo tanto, la estructura es estable en este nivel. De hecho, si se calcula Q modificado en cada nivel de piso se puede ver que toda la estructura es estable. b. Si δsMs se calcula en base a 10.13.4.3, el valor de δs calculado usando ∑Pu y ∑Pc correspondientes a las cargas permanentes y sobrecargas mayoradas debe ser positivo y no mayor que 2,5. Para verificar la estabilidad, EI se debe dividir por (1 + βd). En consecuencia, los valores de Pc se deben volver a calcular considerando los efectos de βd. 107.076

∑ Pc = 1 + 0,87 = 57.260 kips y

δs = 1−

1 = 3,1 > 2,5 1, 4 × 17.895 ( ) + (1, 7 × 2261) 0, 75 × 57.260

La estructura es inestable cuando se utiliza el método del factor de amplificación de momentos de 10.13.4.3.

11 - 41

12 Corte

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Los cambios introducidos en la edición 2002 del código incluyen los siguientes: 1. En el artículo 11.11.1 se hace referencia al Apéndice A, Modelos de Bielas y Tirantes. Esto permite el uso de los nuevos requisitos del Apéndice para el diseño al corte de las regiones perturbadas. 2. Se revisaron los requisitos de armadura mínima de corte para elementos de hormigón cuya resistencia a la compresión es mayor que 10.000 psi. El artículo 11.1.2.1 refiere a los artículos revisados 11.5.5.3 y 11.5.5.4 para las áreas mínimas de armadura de corte. 3. Se revisó el área de armadura mínima de corte, tanto para elementos pretensados como para elementos no pretensados, la cual ahora es función de la resistencia a la compresión del hormigón.

CONSIDERACIONES GENERALES La naturaleza relativamente abrupta de las fallas "por corte," en comparación con las fallas dúctiles por flexión, hacen que sea deseable diseñar los elementos de manera que la resistencia bajo solicitaciones de corte sea igual o mayor que la resistencia bajo solicitaciones de flexión. Para asegurar una falla frágil por flexión, el código (1) establece requisitos mínimos y máximos para la cantidad de armadura longitudinal y (2) requiere un mínimo de armadura de corte en todos los elementos solicitados a flexión cuando el esfuerzo de corte mayorado, Vu, es mayor que un medio de la resistencia al corte proporcionada por el hormigón (Vu > 0,5φVc), excepto para ciertos tipos de construcciones (11.5.5.1). La determinación de la cantidad de armadura de corte se basa en una forma modificada de la analogía del reticulado. La analogía del reticulado asume que la armadura de corte resiste la totalidad del corte transversal. Se han realizado numerosas investigaciones sobre este tema, las cuales indican que se puede suponer que la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, Vc, es igual al corte que provoca fisuración inclinada; por este motivo la armadura se debe diseñar para soportar solamente el exceso de corte. En la Parte 12 se considera el diseño al corte de elementos no pretensados en los cuales la relación entre la luz libre y la altura total es mayor que 4. También se incluye el diseño para corte horizontal de elementos de hormigón compuestos solicitados a flexión, que se trata separadamente en la segunda mitad de la Parte 12. En la Parte 17 se presenta el diseño al corte de los elementos de gran altura solicitados a flexión. En la Parte 25 se discute el diseño al corte de los elementos pretensados. En la Parte 32 se discute el método alternativo de diseño al corte del Apéndice A, Modelos de Bielas y Tirantes.

11.1

RESISTENCIA AL CORTE

Los requisitos para el diseño al corte se presentan en términos de las fuerzas de corte (no de las tensiones de corte), de modo de ser compatibles con las demás condiciones de diseño del método de diseño por resistencia, las cuales se expresan en términos de cargas, momentos y fuerzas. En consecuencia, el corte se expresa en términos del esfuerzo de corte mayorado, Vu, usando el requisito básico de resistencia al corte: Resistencia al corte de diseño ≥ Resistencia al corte requerida φVn ≥ Vu

Ec. (11-1)

La resistencia nominal al corte, Vn, se calcula como: Vn = Vc + Vs

Ec. (11-2)

donde Vc es la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón y Vs es la resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte. Se puede sustituir la Ecuación (11-2) en la Ecuación (11-1), luego de lo cual se obtiene: φVc + φVs ≥ Vu

La resistencia al corte requerida en una sección se calcula usando las Ecuaciones (11-1) y (11-2), para las cuales Vu se obtiene aplicando los factores de mayoración de las cargas especificados en el artículo 9.2. El factor de reducción de la resistencia (φ = 0,75) se especifica en el artículo 9.3.2.3.

11.1.1.1

Aberturas en el alma de un elemento

A menudo es necesario modificar los elementos estructurales para acomodar los sistemas mecánicos y eléctricos. Hacer que los servicios pasen a través de aberturas en las almas de las vigas de entrepiso dentro del paquete entrepiso-cielorraso elimina una importante cantidad de espacio muerto y permite obtener un diseño más económico. Sin embargo, se debe considerar el efecto de las aberturas sobre la resistencia al corte de las vigas de entrepiso, especialmente si estas aberturas están ubicadas en las regiones de corte elevado próximas a los apoyos. El artículo 11.1.1.1 del código requiere que el diseñador considere el efecto de las aberturas sobre la resistencia al corte de los elementos. Debido a la gran cantidad de variables involucradas, tales como la geometría, el tamaño y la ubicación relativa de las aberturas, no se establecen requisitos de diseño específicos. Sin embargo, en R11.1.1.1 se presenta bibliografía que contiene lineamientos para el diseño. En general, es aconsejable colocar estribos verticales adicionales adyacentes a ambos lados de las aberturas, excepto si se trata de aberturas pequeñas y aisladas. La armadura de corte adicional se puede dimensionar para que soporte el esfuerzo de corte total en la sección donde está ubicada la abertura. El Ejemplo 12.5 ilustra la aplicación de un método de diseño recomendado en la Referencia 12.1.

11.1.2

Límite para

f 'c

Las ecuaciones para la resistencia al corte del hormigón presentadas en el Capítulo 11 del Código dependen de

f 'c , y han

sido verificadas experimentalmente para elementos de hormigón con resistencias de hasta 10.000 psi. Debido a la falta de datos disponibles sobre elementos con f'c > 10.000 psi, el artículo 11.1.2 limita el valor de f 'c a 100 psi, excepto en el caso indicado en el artículo 11.1.2.1. El artículo 11.1.2 no prohíbe el uso de hormigones con f'c > 10.000 psi; simplemente le advierte al diseñador que no debe considerar ninguna resistencia mayor que 10.000 psi al calcular Vc, a menos que provea la mínima armadura de corte de acuerdo con 11.1.2.1.

12 - 2

Se debe tener en cuenta que antes del Código 2002 el área mínima de armadura transversal era independiente de la resistencia del hormigón. Sin embargo, ensayos recientes han demostrado que en los elementos de hormigón de alta resistencia es necesario aumentar la armadura transversal mínima, con el objeto de impedir fallas bruscas por corte cuando se produce fisuración inclinada. Por lo tanto, para considerar esta situación, los requisitos de armadura transversal mínima ahora dependen de f 'c .

Código 2002 Código 1999 160 140 120

Vs (psi) bw d

100 80 60 40 20 0

0

5000

10.000

15.000

20.000

f´c (psi) Figura 12-1 – Requisito de armadura mínima de corte de acuerdo con la Ecuación (11-3) La Figura 12-1 ilustra el requisito de armadura mínima de corte de acuerdo con el artículo 11.5.5.3 y la Ecuación (11-13) según los Códigos de 1999 y 2002. Como se puede ver en esta figura, la Ecuación (11-13) del Código 2002 considera un aumento gradual del área mínima de armadura de corte, manteniendo el mismo valor mínimo del Código 1999.

11.1.3

Cálculo del máximo esfuerzo de corte mayorado

El artículo 11.1.3 describe tres condiciones que se deben satisfacer para poder calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado, Vu, de acuerdo con 11.1.3.1 para elementos no pretensados: 1. La reacción en el apoyo, en la dirección del esfuerzo de corte aplicado, introduce compresión en las regiones de los extremos del elemento. 2. Las cargas se aplican en la parte superior del elemento o cerca de la parte superior del elemento. 3. No hay cargas concentradas entre el borde del apoyo y la ubicación de la sección crítica, la cual está a una distancia d medida a partir del borde del apoyo (11.1.3.1). Cuando se satisfacen las condiciones del artículo 11.1.3, está permitido diseñar las secciones del elemento ubicadas a una distancia menor que d medida a partir del borde del apoyo para el esfuerzo de corte Vu calculada a esta distancia d medida a partir del borde del apoyo. En las Figuras 12-2(a), (b) y (c) se ilustran ejemplos de condiciones de apoyo típicas para las cuales el artículo 11.1.3 sería aplicable. Las condiciones en las cuales no se puede aplicar el artículo 11.1.3 incluyen: (1) elementos aporticados por un elemento en tracción (ver Figura 12-2(d)); (2) elementos cargados cerca de la parte inferior (ver Figura 12-2(e)); y (3) elementos cargados de forma tal que el corte en la cara del apoyo difiere sustancialmente del corte a una distancia d del borde del apoyo (Figura 122(f)). En todos estos casos la sección de corte crítico se debe tomar en la cara del apoyo. Además, en el caso de la Figura 122(d), se debe investigar el corte dentro del nudo y se debería proveer armadura especial en las esquinas. Hay otra condición de apoyo que vale la pena mencionar. Para las ménsulas y cartelas, se debe considerar el corte en la cara del apoyo, Vu, como se ilustra en la Figura 12-3. Sin embargo, es mejor diseñar estos elementos al corte usando los requisitos de corte por fricción de 11.7. Ver la Parte 15 para el diseño de ménsulas y cartelas.

12 - 3

Vu

Vu

Vu

d

d

(a)

Vu

d

(b)

(c)

d

vu Vu Vu

d

(d)

(e)

(f)

Figura 12-2 – Condiciones de apoyo típicas, con la ubicación del esfuerzo de corte mayorado, Vu

Plano de corte Vu

Figura 12-3 – Plano de corte crítico para ménsulas y cartelas

11.2

HORMIGÓN LIVIANO

Debido a que la resistencia al corte del hormigón liviano puede ser menor que la del hormigón de peso normal de igual resistencia a la compresión, es necesario ajustar el valor de Vc calculado para hormigón de peso normal. Con excepción de los artículos 11.5.4.3, 11.5.6.9, 11.6.3.1. 11.12.3.2 y 11.12.4.8, cuando se especifica la resistencia promedio a la tracción por compresión diametral, fct, en todas las Ecuaciones del Capítulo 11 f 'c se debe reemplazar por fct/6,7. Sin embargo, el valor fct/6,7 no se puede tomar mayor que

f 'c . Cuando no se especifica fct, todos los valores de

f 'c se deben

multiplicar por 0,75 para hormigón de agregados livianos, o por 0,85 para hormigón de agregados livianos y arena de densidad normal. Cuando hay reemplazo parcial con arena se permite interpolar linealmente entre estos valores.

12 - 4

11.3

RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGÓN EN LOS ELEMENTOS NO PRETENSADOS

Cuando se calcula la resistencia al corte proporcionada por el hormigón en elementos solicitados exclusivamente a corte y flexión, el diseñador puede optar por usar la ecuación simplificada, Vc = 2 f 'c b w d (Ecuación 11-3), o bien la expresión más elaborada dada en la Ecuación (11-15). Si se calcula Vu mediante la Ecuación (11-5), se debe observar que Vu y Mu son los valores que ocurren simultáneamente en la sección considerada. Se prescribe un valor máximo de 1,0 para la relación Vud/Mu para limitar Vc cerca de los puntos de inflexión donde Mu es muy pequeño o nulo. Para los elementos solicitados a corte y flexión con compresión axial, el artículo 11.3.1.2 contiene una expresión simplificada para calcular Vc, y en 11.3.2.2 hay una expresión opcional más elaborada. Para los elementos solicitados a corte, flexión y tracción axial significativa, el artículo 11.3.1.3 requiere proveer armadura de corte para resistir la totalidad del corte a menos que se realice el análisis más detallado indicado en 13.3.2.3. Observar que en la Ecuación (11-8) Nu representa una fuerza de tracción, y por lo tanto se debe considerar negativa. El Código no incluye una definición precisa del término "tracción axial significativa." Si existe alguna duda respecto de la magnitud de la tracción axial, puede ser aconsejable tomar todo el corte aplicado mediante armadura de corte. La Figura 12-4 ilustra la variación de la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, Vc, en función de

f 'c , Vu d / M u

y la cuantía de armadura ρw. ρw = 2%

2,50

Vc (max) f 'c b w d

2,40

= 3,5

ρw = 1%

2,30 Vc f 'c b w d

2,20 ρw = 0,5%

2,10

Ec. (11-3)

2,00 f´c = 3000 psi f´c = 5000 psi

1,90 0

Figura 12-4 – Variación de

0,25

0,50

0,75

1,00

Vud / Mu

Vc f 'c b w d

en función de f 'c , ρw y

Vu d usando la Ecuación (11-5) Mu

La Figura 12-5 muestra el rango aproximado de los valores de Vc para secciones bajo compresión axial, obtenidos de acuerdo con las Ecuaciones (11-5) y (11-6). Los valores corresponden a una viga de 6 × 12 in. con una profundidad o altura efectiva de 10,8 in. También se indican las curvas correspondientes a las expresiones alternativas para Vc dadas por las Ecuaciones (11-4) y (11-7), así como las correspondientes a la Ecuación (11-8).

12 - 5

* En base a vigas de 6" x 12" con d = 1,08" Ec. (11-8)

6 fc´ =

Rango de valores* obtenidos con Ecs. (11-6) y (11-7)

5

25 00 ρw =0 ,03 a/d =2

Vc f'c bwd

4 3

Ec. (11-9)

2

Ec. (11-4) f´c = 5000, ρw = 0,005, a/d = 5

1

COMPRESIÓN 1000

750

500

TRACCIÓN

250

0

-250

-500

Figura 12-5 – Comparación de las ecuaciones de diseño para un elemento solicitado a corte y carga axial La Figura 12-6 ilustra la variación de Vc en función de Nu/Ag y f'c para secciones solicitadas a compresión axial, en base a la Ecuación (11-4). Para el rango de valores de Nu/Ag indicado, Vc varía entre aproximadamente 49% y 57% del valor de Vc definido por la Ecuación (11-7). 8

10.000

8000

4

6000

Nu (ksi) Ag

5000 4000

2

f´c = 3000

0

Figura 12-6– Variación de

200

400 600 Vc (psi) bwd

800

Vc N en función de f 'c y u usando la Ecuación (11-4) Ag bw d

12 - 6

11.5

RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR LA ARMADURA DE CORTE

11.5.1

Tipos de armadura de corte

En la Figura 12-7 se ilustran diferentes tipos y disposiciones de armadura de corte permitidos por los artículos 11.5.1.1 y 11.5.1.2. A partir del Código 1999, los zunchos, estribos circulares o estribos cerrados se reconocen explícitamente como tipos de armadura de corte. Los estribos inclinados y las barras longitudinales dobladas no se usan mucho debido a que requieren cuidados especiales durante su colocación en obra.

Estribos 45º

α = 45º min.

Estribos inclinados

Malla de alambre soldada d/2

α = 30º min.

toda línea de este tipo se debe intersectar con un estribo

Barras longitudinales dobladas

Zunchos

Combinación

Figura 12-7 – Tipos y disposiciones de armadura de corte

11.5.3

Detalles de anclaje de la armadura de corte

Para que sea totalmente efectiva, la armadura de corte se debe extender en una distancia tan próxima a la profundidad total del elemento como lo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximidad de otras armaduras (12.13.1), y se debe anclar en ambos extremos para desarrollar la tensión de fluencia de diseño de la armadura de corte. Se asume que los detalles de anclaje especificados en el artículo 12.13 satisfacen este requisito de desarrollo.

11.5.4

Límites de separación de la armadura de corte

La separación de los estribos y alambres (individuales o que forman parte de una malla de alambre soldada) usados como armadura de corte, ubicados en forma perpendicular al eje del elemento, no debe ser mayor que un medio de la profundidad efectiva del elemento (d/2) ni mayor que 24 in. Cuando se verifique que φVs = ( Vu − φVc ) es mayor que φ4 f 'c b w d , la separación se debe reducir a la mitad, es decir, (d/4) ó 12 in. Observar también que el valor de ( φVs ) no debe ser mayor que φ8 f 'c b w d (11.5.6.9). Para situaciones en las cuales la resistencia al corte requerida es mayor que este límite, se pueden

aumentar las dimensiones del elemento o la resistencia del hormigón para que aumente la resistencia al corte proporcionada por el hormigón.

11.5.5

Armadura mínima de corte

Cuando el esfuerzo de corte mayorado es mayor que la mitad de la resistencia al corte proporcionada por el hormigón (Vu > φVc/2), se debe colocar un área mínima de armadura de corte en los elementos solicitados a flexión, excepto en el caso de las

12 - 7

losas y zapatas, las losas nervuradas definidas en 8.11, y las vigas de gran ancho y poca altura (11.5.5.1). Cuando se requiera, la armadura mínima de corte para los elementos no pretensados será:

A v = 0, 75 f 'c

pero nunca menor que A v =

bw s fy

Ec. (11-13)

50b w s fy

En el Código 2002, la armadura mínima de corte depende ahora de la resistencia a la compresión del hormigón. Con la Ecuación (11-13) se obtiene un aumento gradual de la Av mínima requerida, pero se mantiene el valor mínimo anterior igual a 50bws/fy. Observar que la separación de la armadura mínima de corte no debe ser mayor que d/2 ni mayor que 24 in.

11.5.6

Determinación de la armadura de corte

Cuando el esfuerzo de corte mayorado, Vu, es mayor que la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, φVc, se debe colocar armadura de corte para soportar el exceso de corte. El Código contiene una expresión que define la resistencia al corte requerida proporcionada por la armadura Vs en términos del área Av, la tensión de fluencia fy y la separación s de la armadura de corte [Ecuación (11-15)]. La expresión se basa en un reticulado en el cual las diagonales comprimidas están inclinadas un ángulo de 45 grados. Para asegurar la correcta aplicación del factor de reducción de la resistencia, φ, a continuación se desarrollan expresiones para calcular directamente la armadura de corte requerida, Av. En el caso de armadura de corte dispuesta perpendicular al eje del elemento, para determinar el área de armadura de corte requerida, Av, para una separación s, se puede usar el siguiente método: φVn ≥ Vu

Ec. (11-1)

donde

Vn = Vc + Vs

Ec. (11-2)

y

Vs =

Avfyd

Ec. (11-15)

s

Reemplazando Vs en la Ecuación (11-2) y Vn en la Ecuación (11-1) se obtiene la siguiente ecuación: φVc +

φA v f y d s

≥ Vu

Resolviendo para A v , Av =

( Vu − φVc ) s φf y d

De manera similar, cuando se usan estribos inclinados, Av =

( Vu − φVc ) s φf y ( sin α + cos α ) d

donde α es el ángulo comprendido entre el estribo inclinado y el eje longitudinal del elemento (ver Figura 12-7).

12 - 8

Cuando la armadura de corte consiste en una barra individual o en un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo, Av =

( Vu − φVc ) f y sin α

donde α es el ángulo formado por el tramo doblado y el eje longitudinal del elemento, pero no es menor que 30 grados (ver Figura 12-7). En este caso, el valor ( Vu − φVc ) no debe ser mayor que φ3 f 'c b w d .

Procedimiento de diseño para la armadura de corte Para diseñar al corte una viga de hormigón no pretensado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Determinar el máximo esfuerzo de corte mayorado, Vu, en las secciones críticas del elemento de acuerdo con el articulo 11.1.3 (ver Figura 12-2). 2. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, φVc, usando la Ecuación (11-3): φVc = φ2 f 'c b w d , donde φ = 0,75 (9.3.2.3). 3. Calcular ( Vu − φVc ) en la sección crítica. Si Vu − φVc > φ8 f 'c b w d , aumentar las dimensiones de la sección transversal o la resistencia a la compresión del hormigón. 4. Calcular la distancia a partir del apoyo más allá de la cual se requiere armadura mínima de corte (es decir donde Vu = φVc ) y la distancia a partir del apoyo más allá de la cual el hormigón puede resistir la totalidad del esfuerzo de corte (es decir donde Vu = φVc / 2 ). 5. Usar la Tabla 12-1 para determinar el área de estribos verticales requerida Av o la separación s en algunas secciones determinantes a lo largo la longitud del elemento, incluyendo las secciones críticas. Si es necesario utilizar estribos, en general resulta más práctico seleccionar un tipo y tamaño de barra (por ejemplo, estribos No. 3 en U (de 2 ramas)) y determinar la separación requerida. Habitualmente colocar estribos de mayor tamaño más separados es más eficiente desde el punto de vista de los costos que colocar estribos más pequeños y menos separados, ya que en este último caso los costos de fabricación y colocación son desproporcionadamente elevados. Otra manera de ahorrar es variar la separación entre estribos tan pocas veces como sea posible en la longitud del elemento. Si fuera posible, se deberían especificar no más de tres separaciones diferentes, ubicando el primer estribo a 2 in. de la cara del apoyo. Tabla 12-1 – Requisitos para el diseño al corte Vu ≤ φVc / 2 Área de estribos requerida

Ninguna

Requerida

----

φVc ≥ Vu > φVc / 2

0,75 f 'c

b w s 50b w s ≥ fy fy

A v fy 0,75 f 'c b w

≤

Vu > φVc

( Vu − φVc ) s φfy d

A v fy

φA v fy d

50b w

Vu − φVc

d / 2 ≤ 24 in. para

Separación de los estribos, s Máxima

----

d / 2 ≤ 24 in.

( Vu − φVc ) ≤ φ4

d / 4 ≤ 12 in. para

( Vu − φVc ) > φ4 En la Figura 12-8 se ilustran los requisitos de resistencia al corte.

12 - 9

f 'c b w d f 'c b w d

Cara del apoyo d

Corte resistido por los estribos, φVs (Vu – φVc)

Vu

Corte resistido por el hormigón, φVc φVc φVc/2

Se requiere armadura de corte

Armadura de corte mínima

No se requiere armadura de corte

Figura 12-8 – Requisitos de resistencia al corte

A la expresión para la resistencia al corte proporcionada por la armadura φVs se le puede asignar un valor de esfuerzo de corte específico para un tamaño de estribo y resistencia de la armadura determinados. La selección de la separación de los estribos se simplifica si la separación se expresa en función de la profundidad efectiva d, y no como valores numéricos. En general los límites prácticos para la separación de los estribos varían entre s = d/2 y s = d/4, ya que las separaciones menores que d/4 no resultan económicas. Suponiendo una separación intermedia de s = d/3, se puede obtener un valor específico de φVs para cada tamaño de estribo y separación: Para estribos verticales: φVs =

φA v f y d

Ec. (11-7)

s

Reemplazando s por d/n, para n = 2, 3 y 4 φVs = φA v f y n

Por lo tanto, para estribos No. 3 en U con una separación s = d/2, fy = 60 ksi y φ = 0,75: φVs = 0, 75 ( 2 × 0,11) 60 × 2 = 19,8 kips , digamos 19 kips

Los valores de φVs indicados en la Tabla 12-2 se pueden usar para seleccionar la armadura de corte. Observar que los valores de φVs son independientes de las dimensiones del elemento y de la resistencia del hormigón. La selección y la separación de los estribos usando los valores de diseño para φVs = ( Vu − φVc ) se puede resolver fácilmente mediante cálculos numéricos o en forma gráfica. Ver el Ejemplo 12.1.

12 - 10

Tabla 12-2 – Resistencia al corte φVs en función del tamaño de barra y la separación Resistencia al corte, φVs (kips) Estribos en U No. 3* Estribos en U No. 4* Estribos en U No. 5* Grado 40 Grado 60 Grado 40 Grado 60 Grado 40 Grado 60 13 19 24 36 37 55 19 29 36 54 55 83 26 39 48 72 74 111

Separación d/2 d/3 d/4

* Estribos de dos ramas (duplicar los valores para 4 ramas, etc.)

CAPÍTULO 17 – ELEMENTOS DE HORMIGÓN CONSTRUIDOS EN ETAPAS (ELEMENTOS COMPUESTOS) SOLICITADOS A FLEXIÓN 17.4

RESISTENCIA AL CORTE VERTICAL

El artículo 17.4.1 del Código permite usar la totalidad del elemento compuesto solicitado a flexión para resistir el corte vertical como si se tratara de un elemento hormigonado de forma monolítica. Por lo tanto, se aplican los requisitos del Capítulo 11 del Código. El artículo 17.4.3 permite utilizar la armadura de corte vertical como estribos para la armadura de corte horizontal, siempre que la armadura de corte vertical se prolongue y se ancle de acuerdo con los requisitos aplicables.

17.5

RESISTENCIA AL CORTE HORIZONTAL

En los elementos compuestos o construidos en etapas solicitados a flexión, los esfuerzos de corte horizontales son provocados por el gradiente de momentos resultante del esfuerzo de corte vertical. Estos esfuerzos de corte horizontales actúan sobre la interfase de los elementos vinculados que forman el elemento compuesto. El artículo 17.5.1 requiere la transmisión completa de los esfuerzos de corte horizontales por medio de fricción en las superficies de contacto, por medio de estribos anclados adecuadamente o por medio de una combinación de ambos métodos. A menos que se calcule de acuerdo con 17.5.3, el esfuerzo de corte horizontal aplicado mayorado Vu ≤ φVnh, siendo φVnh la resistencia al corte horizontal (17.5.2). La resistencia al corte horizontal es φVnh = 0,80bvd para el caso de superficies de contacto que se hayan hecho intencionalmente rugosas cuando no se usan estribos (sólo fricción), y para el caso de superficies que no se hayan hecho intencionalmente rugosas cuando se colocan los estribos mínimos de acuerdo con el artículo 17.6 (17.5.2.1 y 17.5.2.2). Cuando se colocan estribos de acuerdo con el artículo 17.6 y la superficie de contacto se hace intencionalmente rugosa hasta una amplitud total de aproximadamente 1/4 in., la resistencia al corte horizontal es:

(

)

φVnh = 260 + 0, 6ρ v f y λb v d ≤ 500b v d

17.5.2.3

La expresión para Vnh dada en el artículo 17.5.2.3 toma en cuenta el efecto de la cantidad de armadura que atraviesa la interfase incluyendo ρv, que es la relación entre el área de estribos y el área de la superficie de contacto, o bien ρv = Av/bvs. Además, incorpora el factor de corrección λ para incluir el hormigón liviano de acuerdo con lo establecido en el artículo 11.7.4.3. También se debe observar que para un hormigón con una resistencia a la compresión f'c ≤ 4444 psi, el área mínima de estribos de acuerdo con la Ecuación (11-3) es ρvfy = 50 psi; reemplazando este valor en la ecuación anterior, Vnh = 290λbvd. El límite superior de 500bvd corresponde a ρvfy = 400 psi para el caso de hormigón de peso normal (es decir, λ = 1). Al calcular la resistencia al corte horizontal de un elemento compuesto o construido en etapas solicitado a flexión se deben tomar en cuenta las siguientes consideraciones: 12 - 11

1. Cuando Vu > φ(500bvd) se debe utilizar el método de corte por fricción del artículo 11.7.4 (17.5.2.4). En la Parte 14 se dan más detalles sobre la aplicación del artículo 11.7.4. 2. No se hace distinción entre elementos apuntalados y elementos no apuntalados durante su construcción (17.2.4). Ensayos realizados indican que la resistencia de un elemento compuesto o construido en etapas es la misma, ya sea que el primer elemento hormigonado se mantenga apuntalado o no durante la colocación del segundo. 3. Los elementos compuestos o construidos en etapas deben satisfacer los requisitos sobre control de las flechas según lo especificado en el artículo 9.5.6. 4. Las superficies de contacto deben estar limpias y libres de lechada de cemento. Las superficies se pueden hacer intencionalmente rugosas estriando las superficies con un rastrillo de alambres rígidos. Rastrillar o ranurar intensamente las superficies puede ser suficiente para lograr la "amplitud total de aproximadamente 4 in." 5. La profundidad efectiva, d, se define como la distancia desde la fibra comprimida extrema hasta el baricentro de la armadura de tracción de la totalidad de la sección compuesta (17.5.2.5). Para los elementos pretensados, la profundidad efectiva será el mayor valor entre d ó 0,8 veces la profundidad de la totalidad de la sección compuesta. Esto hace que la definición de d para secciones compuestas sea consistente con el diseño al corte especificado en otras secciones del Código. Este artículo es importante para el diseño de los elementos pretensados, donde con frecuencia la profundidad efectiva varía a lo largo del elemento. El Código también presenta un método alternativo para el diseño para corte horizontal en su artículo 17.5.3. El esfuerzo de corte horizontal que se debe transferir a través de la interfase entre las partes que componen un elemento compuesto o construido en etapas se toma como la variación del esfuerzo interno de compresión o tracción, paralelo a la interfase, de cualquier segmento del elemento. Cuando se utiliza este método se aplican los límites de los artículos 17.5.2.1 a 17.5.2.4, reemplazando el área de la superficie de contacto Ac por el valor bvd en las ecuaciones. El artículo 17.5.3.1 también requiere que la armadura se distribuya de manera de reflejar aproximadamente la variación del esfuerzo de corte a lo largo del elemento. Este requisito enfatiza la diferencia entre el diseño de los elementos construidos en etapas sobre hormigón y sobre acero. El deslizamiento entre la viga de acero y la losa compuesta de hormigón en correspondencia con la máxima resistencia es grande, lo cual permite la redistribución del esfuerzo de corte a lo largo del elemento. En los elementos de hormigón con losa compuesta, el deslizamiento en correspondencia con la máxima resistencia es pequeño y la redistribución de la resistencia al corte a lo largo del elemento es limitada. Por lo tanto, en los elementos de hormigón construidos en etapas solicitados a flexión, la distribución de la armadura de corte horizontal se debe basar en la distribución del corte horizontal mayorado que actúa en el elemento.

17.6

ESTRIBOS PARA CORTE HORIZONTAL

Según el artículo 17.6.3, los estribos se deben anclar "en forma total" dentro de los elementos vinculados "de acuerdo con el artículo 12.3." La Figura 12-9 ilustra algunos detalles de estribos que se han usado exitosamente tanto en ensayos de laboratorio como en la práctica profesional. La Figura 12-9(a) muestra un estribo prolongado usado en los ensayos descritos en la Referencia 12.3. El uso de estribos embebidos tipo "horquilla," como el ilustrado en la Figura 12-9(b), constituye una práctica habitual en la industria del hormigón prefabricado pretensado. Muchos productos se fabrican de forma tal que resulta difícil ubicar los estribos para corte horizontal antes de colocar el hormigón. Por este motivo los estribos se embeben en el hormigón plástico como se permite en el artículo 16.7.1. Para resistir el corte horizontal se puede usar armadura de corte (estribos) prolongada a partir del hormigón colocado previamente y anclada adecuadamente en la porción compuesta del elemento (Figura 12-9(c)) (17.4.3). Por lo tanto, esta armadura se puede usar para satisfacer los requisitos tanto de armadura de corte vertical como de armadura de corte horizontal. El Ejemplo 12.6 ilustra el diseño para corte horizontal.

12 - 12

distancia posible en función del recubrimiento y las * Menor demás armaduras. Una práctica habitual consiste en una prolongación de 3 in. hacia el interior del segmento hormigonado en primer término

*

h/2

h

Gancho normal

embebido en hormigón plástico (artículo 6.7.1)

a) Estribos en U simples prolongados

b) Estribos tipo horquilla embebidos

Empalme solapado (artículo 12.13.5)

c) Estribos en U de dos piezas prolongados

Figura 12-9 – Estribos para corte horizontal

REFERENCIAS 12.1

Barney, G.B.; Corley, W.G.; Hanson J.M. y Parmelee, R.A., "Behavior and Design of Prestressed Concrete Beams with Large Web Openings," PCI Journal, V. 22, No. 6, Noviembre-Diciembre 1977, pp. 32-61. También, Research and Development Bulletin RD054D, Portland Cement Association, Skokie, IL.

12.2

Hanson N.W., Precast-Prestressed Concrete Bridges 2, Horizontal Shear Connections, Development Department Bulletin D35, Portland Cement Association, Skokie, IL.

12.3

Roller, J.J. y Russell. H.G., "Shear Strength of High Strength Concrete Beams with Web Reinforcement," ACI Structural Journal, Vol. 87, No. 2, Marzo-Abril 1990, pp. 191-198.

12 - 13

Ejemplo 12.1 – Diseño al corte - Elementos solicitados exclusivamente a corte y flexión Determinar el tamaño y la separación requerida de los estribos en U verticales para una viga simplemente apoyada de 30 ft de luz. b w = 13 in. d = 20in. f´c = 3000 psi f y = 40.000 psi w u = 4,5 kips / ft

Referencia del Código

Cálculos y discusión

Para los propósitos de este ejemplo se supondrá que la sobrecarga actúa en la totalidad del tramo, de manera que el corte de diseño en el centro de la luz es nulo. (Si se considera que la sobrecarga actúa sólo en una parte del tramo, en el centro de la luz se obtiene un corte de diseño mayor que cero.) Usando el procedimiento de diseño para la armadura de corte descrito en este capítulo: 1. Determinar los esfuerzos de corte mayorados En el apoyo: Vu = 4,5 (15 ) = 67,5 kips A una distancia d medida a partir del apoyo: Vu = 67,5 − 4,5 ( 20 /12 ) = 60 kips

11.1.3.1

2. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón φVc = φ2 f 'c b w d

Ec. (11-3)

φ = 0, 75

9.3.2.3

φVc = 0, 75 ( 2 ) 3000 × 13 × 20 /1000 = 21, 4 kips Vu = 60 kips > φVc = 21, 4 kips

Por lo tanto se requiere armadura de corte.

11.1.1

3. Calcular Vu − φVc en la sección crítica. Vu − φVc = 60 − 21, 4 = 38, 6 kips < φ8 f 'c b w d = 85, 4 kips

VERIFICA

4. Determinar la distancia xc a partir del apoyo más allá de la cual se requiere armadura mínima de corte ( Vu = φVc ) : xc =

Vu en el apoyo − φVc 67,5 − 21, 4 = = 10, 2 ft wu 4,5

12 - 14

11.5.6.9

Determinar la distancia xm a partir del apoyo más allá de la cual el hormigón puede resistir la totalidad del esfuerzo de corte ( Vu = φVc / 2 ) : xm =

Vu en el apoyo − ( φVc / 2 ) wu

=

67,5 − ( 21, 4 / 2 ) 4,5

= 12, 6 ft.

5. Usar la Tabla 12-1 para determinar la separación requerida para los estribos en U verticales. Vu = 60 kips > φVc = 21, 4 kips

En la sección crítica:

s ( requerida ) =

φA v f y d

Ec. (11-15)

Vu − φVc

Suponiendo estribos en U No. 4 (Av = 0,40 in.2), s ( requerida ) =

0, 75 × 0, 40 × 40 × 20 = 62 in. 38, 6

Verificar la máxima separación admisible de los estribos: s (max) ≤ d / 2 = 20 / 2 = 10 in.

(Valor determinante)

11.5.4.1

≤ 24 in. porque Vu − φVc = 38, 6 kips < φ4 f 'c b w d = 42, 7 kips

Máxima separación de los estribos en base a la armadura mínima de corte: s (max) ≤

≤

Avfy 0, 75 f 'c b w

Avfy 50b w

=

=

0, 4 × 40.000 0, 75 3000 (13)

= 30 in.

11.5.5.3

0, 4 × 40.000 = 24, 6 in. 50 × 13

Determinar la distancia x a partir del apoyo más allá de la cual se puede usar una separación de 10 in. para los estribos: 10 =

0, 75 × 0, 4 × 40.000 × 20 Vu − 21, 4

Vu − 21, 4 = 24 kips ó Vu = 24 + 21, 4 = 45, 4 kips x=

67,5 − 45, 4 = 4,9 ft 4,5

Separación de los estribos usando estribos en U No. 4:

12 - 15

Centro de la luz

No. 4 a 6"

2"

No. 4 a 10"

6. Como un procedimiento alternativo, usar el método simplificado presentado en la Tabla 12-2 para determinar el tamaño de los estribos y su separación. En la sección crítica, φVs = Vu − φVc = 60 − 21, 4 = 38, 6 kips

De la Tabla 12-2 para estribos de acero Grado 40: Para estribos en U No. 4 separados d/4 se obtiene φVs = 48 kips Para estribos en U No. 4 separados d/3 se obtiene φVs = 36 kips Interpolando, para estribos en U No. 4 separados d/3,22 se obtiene 38,6 kips Separación de los estribos = d/3,22 = 20/3,22 = 6,2 in. La separación de los estribos a lo largo de la longitud de la viga se determina como se ilustró anteriormente. xm = 12,6' xc = 10,2' wu = 4,5 k/ft Vu= 67,5 k

60k

φVc = 21,4k

φVc/2 = 10,7k

Prolongar la armadura hasta un punto donde Vu ≤ φVc/2

centro de la luz

d 15'

12 - 16

Ejemplo 12.2 – Diseño al corte - Elementos con tracción axial Determinar la separación requerida de los estribos en U verticales para una viga con tracción axial. f´c = 3600 psi (hormigón de agregados liviano y arena, no se especifica fct) f y = 40.000 psi M d = 43,5 ft-kips M A = 32, 0 ft-kips Vd = 12,8 kips VA = 9,0 kips N d = −2,0 kips (tracción) N A = −15,2 kips (tracción)

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar las cargas mayoradas.

9.2.1

M u = 1, 2 ( 43,5 ) + 1, 6 ( 32, 0 ) = 103, 4 ft-kips

Ec. (9-2)

Vu = 1, 2 (12,8 ) + 1, 6 ( 9, 0 ) = 29,8 kips N u = 1, 2 ( −2, 0 ) + 1, 6 ( −15, 2 ) = −26, 7 kips

(tracción)

2. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón. Como no se especifica la resistencia promedio a la tracción por compresión diametral fct,

f 'c se reduce

11.2.1.2

aplicando un factor igual a 0,85 (hormigón de agregados livianos y arena)  Nu  φVc = φ2 1 +  0,85 f´c b w d  500A g 

Ec. (11-8)

φ = 0, 75

9.3.2.3

 ( −26.700 )  φVc = ( 0, 75 ) 2 1 +  0,85 3600 (10,5 )16 /1000 = 9, 2 kips  500 (18 × 10,5 ) 

3. Verificar si la sección transversal es adecuada.

( Vu − φVc ) ≤ φ8 ( 0,85)

11.5.6.9

f 'c b w d

Nota: 0,85 es un factor para hormigón liviano según lo especificado en 11.2.1.2.

( Vu − φVc ) = 29,8 − 9, 2 = 20, 6 kips φ8 ( 0,85 ) f´c b w d = 0, 75 × 8 × 0,85 3600 × 10,5 × 16 /1000 = 51, 4 kips > 20, 6 kips

12 - 17

VERIFICA

4. Determinar la separación requerida para los estribos en U. Suponiendo estribos en U No. 3 (Av = 0,22 in.2) s ( requerida ) =

φA v f y d

( Vu − φVc )

=

0, 75 × 0, 22 × 40 × 16 = 5,1 in. 20, 6

5. Determinar la máxima separación admisible de los estribos. Vu − φVc = 20, 6 kips φ4 ( 0,85 ) f 'c b w d = 25, 4 kips > 20, 6 kips

11.2.1.2 y 11.5.4.3

Por lo tanto se aplican los requisitos del artículo 11.5.4.1. s (max) de los estribos verticales o bien

≤ d/2 = 8 in. ≤ 24 in.

(valor determinante)

11.5.4.1

s (max) de los estribos en U No. 3 correspondiente a los requisitos de armadura mínima: s ( max ) =

s ( max ) =

Avfy 0, 75 ( 0,85 ) f 'c b w Avfy 50b w

s (max) = 8 in.

=

=

0, 22 ( 40.000 ) 50 (10,5 )

0, 22 × 40.000 0, 75 × 0,85 × 3600 × 10,5

= 21,9 in.

= 16,8 in.

(valor determinante)

En resumen: Usar estribos verticales No. 3 con una separación de 5,0 in.

12 - 18

11.5.5.3

Ejemplo 12.3 – Diseño al corte - Elementos con compresión axial Un elemento comprimido con estribos se diseñó para las condiciones de carga indicadas. Sin embargo, en el diseño original no se consideró el hecho de que bajo una inversión de la dirección de la carga horizontal (viento), la carga axial, debido a los efectos combinados de las cargas gravitatorias y laterales, se transforma en Pu = 10 kips, y no hay prácticamente ninguna variación de los valores de Mu y Vu. Verificar los requisitos de armadura de corte para la columna (1) para las cargas de diseño originales y (2) para carga axial reducida. 16"

Pu

M u = 86 ft-kips

Mu

Pu = 160 kips

Vu

Vu = 20 kips f´c = 4000 psi

Vu

f y = 40.000 psi

12"

Estribos No. 3 a 6,75" entre centros A st = 8 barras No. 6

Vu Mu Pu

1,5"

Referencia del Código

Cálculos y discusión Condición 1: Pu = N u = 160 kips 1. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón.

d = 16 − 1,5 + 0,375 + ( 0, 750 / 2 )  = 13, 75 in.  Nu  φVc = φ2 1 +  f 'c b w d  2000A g 

Ec. (11-4)

φ = 0, 75

9.3.2.3

 160.000  φVc = 0, 75 ( 2 ) 1 +  4000 (12 )(13, 75 ) /1000 = 22, 2 kips 2000 (16 ×12 )   φVc = 22, 2 kips > Vu = 20 kips

2. Debido a que Vu = 20 kips > φVc / 2 = 11,1 kips es necesario satisfacer los requisitos de armadura mínima de corte. 11.5.5.1 Estribos No. 3 (Av = 0,22 in.2) s ( max ) =

Avfy 0, 75 f 'c b w

=

0, 22 ( 40.000 ) 0, 75 4000 (12 )

= 15,5 in.

Ec. (11-13)

12 - 19

s ( max ) =

Avfy 50b w

=

0, 22 ( 40.000 ) 50 (12 )

= 14, 7 in.

s ( max ) = d / 2 = 13, 75 / 2 = 6,9 in.

(valor determinante)

Por lo tanto, usar s = 6,75 in. es satisfactorio. Condición 2: Pu = N u = 10 kips 1. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón.  (10.000 )  φVc = 0, 75 ( 2 ) 1 +  × 4000 (12 )(13, 75 ) /1000 = 16,1 kips  2000 (16 × 12 ) 

Ec. (11-4)

φVc = 16,1 kips < Vu = 20 kips

Se debe colocar armadura de corte para resistir el exceso de corte. 2. Determinar la máxima separación admisible de los estribos No. 3. s ( max ) =

d 13, 75 = = 6,9 in. 2 2

11.5.4.1

La máxima separación, d/2, es determinante para las Condiciones 1 y 2. 3. Verificar la resistencia total al corte con estribos No. 3 separados 6,75 in. φVs = φA v f y

d 0, 75 ( 0, 22 )( 40 )(13, 75 ) = = 13, 4 kips s 6, 75

φVc + φVs = 16,1 + 13, 4 = 29,5 kips > Vu = 20 kips

Ec. (11-15) VERIFICA

12 - 20

Ejemplo 12.4 – Diseño al corte - Entrepiso nervurado de hormigón Verificar los requisitos de corte en el entrepiso nervurado uniformemente cargado ilustrado a continuación f 'c = 4000 psi f y = 40.000 psi w d = 77 lb / ft 2

w A = 120 lb / ft 2

Armadura longitudinal supuesta: Barras inferiores: Barras superiores:

2 barras No. 5 Barras No. 5 separadas 9 in.

20' A

No. 5 a 9"

2 - No. 5 A

Losa nervurada 6,67"

4 12"

No. 5 a 9" 13,4"

13,4"

12

No. 5 13,4"

10"

1 5"

Corte A - A

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar la carga mayorada. w u = 1, 2 ( 77 ) + 16 (120 )  35 /12 = 830 lb / ft

Ec. (9-2)

2. Determinar el esfuerzo de corte mayorado. A una distancia d del apoyo:

11.1.3.1 12 - 21

Vu = 0,83 (10 ) − 0,83 (13, 4 /12 ) = 7, 4 kips

8.3.3

3. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón. De acuerdo con el artículo 8.11.8, Vc se puede aumentar en 10 por ciento. Ancho promedio del alma de los nervios b w = ( 6, 67 + 5 ) / 2 = 5,83 in. φVc = 1,1 φ 2 f 'c b w d

Ec. (11-3)

φ = 0, 75

9.3.2.3

φVc = 1,1( 0, 75 ) 2 4000 ( 5,83)(13, 4 ) /1000 = 8, 2 kips φVc = 8, 2 kips > Vu = 7, 4 kips

VERIFICA

Observar que no se requiere armadura mínima de corte para las construcciones nervuradas definidas en el artículo 8.11.

11.5.5.1(b)

Alternativamente, calcular Vc usando la Ecuación (11-5). Calcular ρw y Vu d / M u a una distancia d del apoyo: ρw =

As ( 2 × 0,31) = = 0, 0093 bw d 5 (13, 4 ) w u A 2n 0,83 ( 20 ) = = 30, 2 ft-kips 11 11 2

Mu en la cara del apoyo =

Mu a una distancia d =

w u A 2n w u d 2 w u A n d + − 11 2 2

= 30, 2 +

( 0,83)(13, 4 /12 )2 ( 0,83)( 20 )(13, 4 /12 )

Vu d 7, 4 (13, 4 /12 ) = = 0,38 < 1, 0 Mu 21,5

2

−

2

= 21,5 ft-kips

VERIFICA

11.3.2.1

 V d φVc = φ1,1 1,9 f 'c + 2500 ρ w u  b w d ≤ φ (1,1) 3,5 f 'c b w d Mu   = 0, 75 (1,1) 1,9 4000 + 2500 ( 0, 0093)( 0,38 )  ( 5,83)(13, 4 ) /1000 = 8,3 kips < 0, 75 (1,1)( 3,5 ) 4000 ( 5,83)(13, 4 ) /1000 = 14,3 kips φVc = 8,3 kips > Vu = 7, 4 kips

VERIFICA

12 - 22

VERIFICA

Ejemplo 12.5 –

Diseño al corte - Resistencia al corte en las aberturas en el alma de un elemento

La viga tipo Te doble simplemente apoyada pretensada que se ilustra a continuación se ha diseñado, sin aberturas en el alma, para soportar una sobrecarga de 50 lb/ft2 (wu = 1520 lb/ft). En el alma se requieren dos aberturas de 10 in. de profundidad por 36 in. de longitud para colocar tuberías de servicios mecánicos y eléctricos. Investigar la resistencia al corte de la viga en la abertura A. Este ejemplo de diseño se basa en un estudio experimental y analítico informado en la Referencia 12.1. Viga: f 'c = 6000 psi Cubierta sobre la viga: f pu = 270.000 psi

36"

42"

36"

A

f 'c = 3000 psi 10" Abertura A

f y = 60.000 psi

Abertura B

8'-6"

A 15'-0"

6"

36'-0"

6"

Elevación

2"

48"

2"

1"

4"

Cubierta

26"

Malla de alambre soldada (4 x 4 - W1.4 x W1.4)

Simétrica respecto del eje

8"

Cables 2 - 1" 2 Diam. 270K

2"

Malla de alambre soldada (4 x 4 - 10/10)

3 3 4" 5 3 4"

Corte A-A (mitad de la sección tipo Te doble)

Referencia del Código

Cálculos y discusión

Este ejemplo sólo abarca las consideraciones sobre la resistencia al corte para la abertura en el alma. También es necesario investigar otras consideraciones de resistencia, tales como: para evitar el deslizamiento del cable de pretensado, las aberturas se deben ubicar fuera de la longitud de desarrollo requerida para el cable, y se debe verificar la resistencia de las bielas comprimidas para resistir la flexión y las cargas axiales. El lector encontrará un ejemplo de diseño completo en la Referencia 12.1. El ejemplo de diseño de la Referencia 12.1 también ilustra procedimientos para verificar las tensiones y flechas alrededor de las aberturas a nivel de carga de servicio. 1. Determinar el momento y el corte mayorados en el centro de la abertura A. Debido a que la viga es simétrica respecto del eje, considerar sólo la mitad de la sección tipo Te doble. 12 - 23

wu =

1520 = 760 lb / ft por cada Te 2

M u = 0, 760 ( 36 / 2 )( 8,5 ) − ( 0, 760 )( 8,5 ) / 2 = 88,8 ft-kips 2

Vu = 0, 760 ( 36 / 2 ) − 0, 760 ( 8,5 ) = 7, 2 kips

2. Determinar la armadura de corte requerida adyacente a la abertura. Se deben proveer estribos verticales adyacentes a ambos lados de la abertura. Los estribos se deben dimensionar para resistir la fuerza de corte total en la abertura. Av =

Vu 7200 = = 0,16 in.2 φf y 0, 75 × 60.000

Usar estribos en U No. 3, uno a cada lado de la abertura (Av = 0,22 in.2) 3. Usando el procedimiento analítico simplificado desarrollado en la Referencia 12.1, se calculan las fuerzas axiales y de corte que actúan en las "bielas" por encima y por debajo de la abertura A. Los resultados obtenidos se indican en la figura siguiente. En el ejemplo de diseño completo de la Referencia 12.3 el lector encontrará el desarrollo del cálculo de las fuerzas. En el diseño al corte de las bielas se deben tomar en cuenta los esfuerzos axiales. Biela comprimida C = 60k

4" Vc = 5,4k

10" 12"

V = 10,8k

Estribo Vt = 6,0k Biela traccionada

4. Investigar la resistencia al corte para la biela traccionada. Vu = 6, 0 kips N u = −10,8 kips

11.0

d = 0,8h = 0,8 (12 ) = 9, 6 in.

11.0

b w = ancho promedio de la biela traccionada = 3, 75 + ( 3, 75 + 2 × 12 / 22 )  / 2 = 4,3 in.  Nu Vc = 2  1 +  500A g 

  f 'c b w d  

Ec. (11-8)

12 - 24

10.800   = 2 1 −  6000 ( 4,3)( 9, 6 ) /1000 = 3, 72 kips  500 × 4,3 × 12  φVc = 0, 75 ( 3, 72 ) = 2,8 kips Vu = 6, 0 kips > φVc = 2,8 kips

Por lo tanto, en la biela traccionada se requiere armadura de corte. Av =

=

( Vu − φVc ) s φf y d

( 6, 0 − 2,8) 9 0, 75 × 60 × 9, 6

= 0, 07 in.2

siendo s = 0,75h = 0,75 × 12 = 9 in.

11.5.4.1

Usar estribos No. 3 de una sola rama separados 9 in. entre centros en la biela traccionada (Av = 0,11 in.2). Anclar los estribos alrededor de los cables de pretensado con un gancho a 180 grados en cada extremo. 5. Investigar la resistencia al corte para la biela comprimida. Vu = 5, 4 kips N u = 60 kips

11.0

d = 0,8h = 0,8 ( 4 ) = 3, 2 in.

b w = 48 in.  Nu Vc = 2  1 +  2000A g 

  f 'c b w d  

Ec. (11-4)

60.000   = 2 1 +  3000 ( 48 )( 3, 2 ) /1000 = 19,5 kips  2000 × 48 × 4  φVc = 0, 75 (19,5 ) = 14, 6 kips Vu = 5, 4 kips < φVc = 14, 6 kips

Por lo tanto, en la biela comprimida no se requiere armadura de corte. 6. Resumen del diseño - Ver los detalles de armado a continuación. a. Usar un estribo en U No. 3 adyacente a ambos lados de la abertura para contener la fisuración dentro de las bielas. b. Usar estribos No. 3 de una rama separados 9 in. entre centros como armadura adicional en la biela traccionada.

12 - 25

centro de la luz

Estribo en U No. 3 1"

10"

10"

Estribo No. 3 de una rama

9" Elevación

Estribo de una rama

Estribo en U Detalles de la armadura adicional

Para la abertura B se requiere un procedimiento de diseño similar.

12 - 26

Ejemplo 12.6 – Diseño para corte horizontal Para la construcción compuesta formada por una losa y una viga prefabricada ilustrada, diseñar para la transferencia de corte horizontal en la superficie de contacto entre la viga y la losa para los tres casos indicados. Asumir que la viga es simplemente apoyada y tiene una longitud de 30 ft. Losa hormigonada en obra

19"

3,5"

be = 36"

Viga prefabricada

f´c = 3000 psi

(hormigón de peso normal)

10"

f y = 60.000 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión Caso I:

Carga permanente de servicio = 315 lb/ft Sobrecarga de servicio = 235 lb/ft

1. Determinar el esfuerzo de corte mayorado Vu en el extremo del tramo. Vu = 1, 2D + 1, 6L

Ec. (9-2)

= 1, 2 ( 0,315 )( 30 / 2 ) + 1, 6 ( 0, 235 )( 30 / 2 ) = 11,3 kips

A una distancia d medida a partir de la cara del apoyo: Vu = 11,3 −

11.1.3.1

19 1, 2 ( 0,315 ) + 1, 6 ( 0, 235 )  = 10,1 kips 12 

2. Determinar la resistencia al corte horizontal.

17.5.2

Vu ≤ φVnh

Ec. (17-1)

φVnh = φ ( 80b v d )

17.5.2.1 y 17.5.2.2

= 0, 75 ( 80 × 10 × 19 ) /1000 = 11, 4 kips Vu = 10,1 kips ≤ φVnh = 11, 4 kips

Por lo tanto, diseñar de acuerdo con los artículos 17.5.2.1 ó 17.5.2.2: Nota: Para cualquiera de las dos condiciones, antes de colocar la losa de hormigón la superficie de la viga prefabricada debe estar limpia y libre de lechada de cemento. 12 - 27

Si la superficie superior de la viga prefabricada se ha hecho intencionalmente rugosa no se requieren estribos.

17.5.2.1

Si la superficie superior de la viga prefabricada no se ha hecho intencionalmente rugosa se requieren estribos mínimos de acuerdo con el artículo 17.6.

17.5.2.2

3. Determinar el área mínima de estribos requerida. Av =

0, 75 f 'c b w d fy

≥

50b w s fy

17.6.1, 11.5.5.3

donde s (max) = 4 ( 3,5 ) = 14 in. < 24 in.

Av =

0, 75 3000 (10 )(14 ) 60.000

Min. A v =

17.6.1

= 0, 096 in.2 a 14 in. entre centros

50 × 10 × 14 = 0,117 in.2 a 14 in. entre centros 60.000 o bien 0,10 in.2/ft

Caso II:

Carga permanente de servicio = 315 lb/ft Sobrecarga de servicio = 1000 lb/ft

1. Determinar el esfuerzo de corte mayorado Vu en el extremo del tramo. Vu = 1, 2 ( 0,315 )(15 ) + 1, 6 (1, 0 )(15 ) = 29, 7 kips

A una distancia d medida a partir de la cara del apoyo: Vu = 29, 7 −

11.1.3.1

19 1, 2 ( 0,315 ) + 1, 6 (1, 0 )  = 26, 6 kips 12 

2. Determinar la resistencia al corte horizontal.

17.5.2

Vu = 26, 6 kips > φVnh = φ ( 80b v d ) = 11, 4 kips

Por lo tanto se debe satisfacer el artículo 17.5.2.3. Se requieren estribos mínimos como se calculó anteriormente (Av = 0,10 in.2).

(

)

Vnh = φ 260 + 0, 6ρ v f y λb v d donde ρv =

17.5.2.3

Av 0,10 in.2 = b v s 10 in. (12 in.)

= 0, 00083 λ = 1, 0

(hormigón de peso normal)

11.7.4.3

φVnh = 0, 75 ( 260 + 0, 6 ( 0, 00083) 60.000 ) (1, 0 × 10 × 19 ) = 0, 75 ( 290 )190 = 41,3 kips

12 - 28

φVnh = 41,3 kips < φ ( 500b v d ) /1000 = 71,3 kips

VERIFICA

17.5.2.3

Vu = 26, 6 kips < φVnh = 41,3 kips

Por lo tanto, diseñar de acuerdo con el artículo 17.5.2.3: La superficie de contacto se debe hacer rugosa hasta "una amplitud total de aproximadamente 1/4 in.," y se deben proveer estribos mínimos de acuerdo con el artículo 17.6. 3. Comparar los estribos requeridos con la armadura de corte vertical requerida en el extremo del tramo. Vu = 26, 6 kips Vc = 2 f 'c b w d = 2 3000 × 10 × 19 /1000 = 20,8 kips Vu ≤ φ ( Vc + Vs ) = φVc + φA v f y

Ec. (11-3)

d s

Ec. (11-15)

Resolviendo para A v / s : A v Vu − φVc 26, 6 − ( 0, 75 ) × ( 20,8 ) = = = 0, 013 in.2 / in. s φf y d 0, 75 × 60 × 19 s max =

19 = 9,5 in. < 24 in. 2

11.5.4.1

A v = 0, 013 × 9,5 = 0,12 in.2

Colocar estribos en U No. 3 separados 9,5 in, entre centros (Av = 0,28 in.2/ft). Este valor es mayor que los estribos mínimos requeridos para corte horizontal (Av = 0,10 in.2) de manera que los estribos en U No. 3 separados 9,5 in, entre centros satisfacen los requisitos de armadura tanto de corte vertical como de corte horizontal. Los estribos se deben anclar adecuadamente en la losa mediante una longitud embebida o mediante ganchos. Ver Figura 12-9. Caso III: Carga permanente de servicio = 315 lb/ft Sobrecarga de servicio = 3370 lb/ft 1. Determinar el esfuerzo de corte mayorado Vu en el extremo del tramo. Vu = 1, 2 ( 0,315 )(15 ) + 1, 6 ( 3,37 )(15 ) = 86, 6 kips

A una distancia d del apoyo Vu = 86, 6 −

19 1, 2 ( 0,315 ) + 1, 6 ( 3,37 )  = 77,5 kips 12 

Vu = 77,5 kips > φ ( 500b v d ) = 0, 75 ( 500 × 10 × 19 ) /1000 = 71,3 kips

12 - 29

17.5.2.4

Como Vu es mayor que φ(500bvd), el diseño para corte horizontal se debe realizar de acuerdo con el artículo 11.7.4 - Corte por fricción. El corte a lo largo de la superficie de contacto entre la viga y la losa es resistido por armadura de corte por fricción que atraviesa la superficie de contacto y es perpendicular a la misma. De acuerdo con lo establecido en el artículo 17.5.3.1, la separación entre los estribos debe ser variable y estar basada en la distribución real del corte horizontal. El siguiente método parece razonable y se ha utilizado en el pasado: Convirtiendo el esfuerzo de corte mayorado en una tensión unitaria, la tensión de corte horizontal mayorada a una distancia d del extremo del tramo es: v uh =

Vu 77,5 = = 0, 408 ksi b v d 10 × 19

El "bloque de tensiones" se puede representar de la siguiente manera: centro de la luz

Vu= 408 psi

Vuh = 408 psi 436 psi

Estado de tensiones en el extremo del tramo (punto A)

12"

10'

Asumir que el corte horizontal es uniforme por pie de longitud, de manera que la fuerza de transferencia de corte para el primer pie de longitud es: Vuh = 0, 408 × 10 × 12 = 49, 0 kips

El área requerida de armadura de corte por fricción se calcula usando las Ecuaciones (11-1) y (11-25): Vuh ≤ φVn = φA vf f y µ

A vf =

Ec. (11-25)

Vuh φf y µ

Si a la superficie superior de la viga prefabricada se le imprime intencionalmente una rugosidad hasta aproximadamente 1/4 in., µ = 1,0. A vf =

49, 0 = 1, 09 in.2 / ft 0, 75 × 60 × 1, 0

Con estribos No. 5 de dos ramas, A vf = 0, 62 in.2 s=

0, 62 × 12 = 6,8 in. 1, 09

12 - 30

11.7.4.3

Usar estribos en U No. 5 separados 6,5 in. entre centros para una distancia mínima igual a (d + 12 in.) a partir del extremo del tramo. Si a la superficie superior de la viga prefabrocada no se le imprime intencionalmente una rugosidad, µ = 0,6. A vf =

s=

49, 0 = 1,81 in.2 / ft 0, 75 × 60 × 0, 6

0, 62 × 12 = 4,1 in. 1,81

Usar estribos en U No. 5 separados 4 in. entre centros para una distancia mínima igual a (d + 12 in.) a partir del extremo del tramo. Este método se puede usar para determinar la separación de los estribos en cada longitud sucesiva de un pie. El esfuerzo de corte variará en cada incremento de un pie y la separación de los estribos puede variar de manera acorde hasta llegar a un máximo de 14 in. hacia el centro del tramo. Nota: Los detalles finales de los estribos son determinados por los requisitos de corte vertical.

12 - 31

11.7.4.3

13 Torsión

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 En la edición 2002 del Código se incluyen nuevas ecuaciones en los artículos 11.6.1 y 11.6.2 para determinar la torsión crítica y el momento torsor mayorado, respectivamente, para elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial. Además, en el artículo 11.6.1 se modificaron los valores de la torsión crítica del Código 1999 de manera que también fueran aplicables a secciones huecas. El área mínima de estribos transversales cerrados indicada en el artículo 11.6.5.2 también se modificó para considerar los hormigones de alta resistencia. Esta modificación es consistente con los requisitos modificados del artículo 11.5.5.3 para corte.

ANTECEDENTES Los requisitos para el diseño a torsión se introdujeron por primera vez en el Código de 1971. A excepción de un cambio de formato en el documento de 1977, los requisitos permanecieron sin modificaciones hasta el Código 1989. Esta primera generación de requisitos se aplicaba exclusivamente a los elementos de hormigón armado no pretensados. El procedimiento de diseño a la torsión era análogo al procedimiento de diseño al corte. La resistencia a la torsión se componía de una contribución del hormigón (Tc) más una contribución de los estribos y la armadura longitudinal, en base a una analogía de un reticulado con elementos a 45 grados. En el Código 1995 los requisitos para el diseño a torsión fueron totalmente revisados. El nuevo procedimiento, tanto para elementos macizos como para elementos huecos, se fundamenta en la analogía de un reticulado espacial en un tubo de pared delgada. Este enfoque unificado se aplica igualmente a elementos de hormigón armado y de hormigón pretensado. MacGregor y Ghoneim13.1 resumen los antecedentes de estos requisitos. La Referencia 13.2 contiene ayudas de diseño y ejemplos correspondientes a elementos de hormigón estructural solicitados a torsión. A los fines del diseño, de forma conservadora, se puede despreciar el núcleo de la sección transversal de las vigas macizas. Esta hipótesis ha sido verificada por los resultados de ensayo informados en la Referencia 13.1. Por lo tanto, las vigas se idealizan como tubos. La torsión es resistida por un flujo de corte constante q (fuerza por unidad de longitud) que actúa alrededor de una línea en la mitad del espesor de la pared del tubo como se ilustra en la Figura 13-1(a). Considerando el equilibrio del momento torsor externo T y las tensiones internas: T = 2A o q = 2A o τ t

(1)

Reordenando la Ecuación (1) q = τt =

donde

T 2A o

(2)

τ

= tensión de corte debida a la torsión, supuesta uniforme, que actúa en el espesor de la pared

t

= espesor de la pared del tubo

T = torsión aplicada Ao = área encerrada por la línea en la mitad del espesor de las paredes del tubo [ver Figura 13-1(b)] T t Ao

Flujo de corte q T

t=

0,75A cp pcp

(a) Tubo de pared delgada

Ao =

2A cp 3

(b) Área encerrada por la trayectoria del flujo de corte, Ao

Figura 13-1 – Analogía del tubo de pared delgada Cuando una viga de hormigón es solicitada por un momento torsor que provoca una tensión de tracción principal mayor que 4 f 'c , alrededor de la viga se forman fisuras diagonales en espiral. Una vez fisurado, el tubo se idealiza como el reticulado espacial ilustrado en la Figura 13-2. En este reticulado los elementos diagonales tienen un ángulo de inclinación θ. La inclinación de las diagonales en todas las paredes del tubo es la misma. Observar que este ángulo no es necesariamente igual a 45 grados. La resultante del flujo de corte en cada pared del tubo induce esfuerzos en los componentes del reticulado. Un concepto fundamental para el diseño del hormigón estructural es que el hormigón resiste compresión, mientras que el acero resiste tracción. Por lo tanto, en la analogía del reticulado, los elementos del reticulado solicitados a tracción consisten en las armaduras de acero o los "tirantes traccionados." Las diagonales y otros elementos del reticulado solicitados a compresión consisten en "bielas comprimidas" de hormigón. Las fuerzas que actúan en los elementos del reticulado se pueden determinar a partir de las condiciones de equilibrio. Estas fuerzas se usan para dimensionar y detallar las armaduras. xo

T

Estribos Fisuras

yo

θ

V1

Barra longitudinal Diagonales de hormigón comprimidas

V4

V2 V3

Figura 13-2 – Analogía del reticulado espacial La Figura 13-3 muestra un diagrama de cuerpo libre tomado de la pared vertical del reticulado de la Figura 13-2. La fuerza de corte V2 es igual al flujo de corte q (fuerza por unidad de longitud) por la altura de la pared yo. Los estribos se diseñan de 13 - 2

manera que estén en fluencia cuando se alcanza el máximo momento torsor. El número de estribos intersecados depende de la separación de los estribos, s, y de la proyección horizontal de la superficie inclinada, yocotθ. De la condición de equilibrio vertical: V2 =

A t f yv s

cot θ

(3)

Como el flujo de corte (fuerza por unidad de longitud) es constante en toda la altura de la pared, V2 = qyo =

t yo 2A o

(4)

Reemplazando para V2 en las Ecuaciones (3) y (4), T=

2A o A t f yv s

cot θ

(5) At f yv At f yv V2 y = longitud entre centros o

de los estribos cerrados

θ s yo cot θ

Figura 13-3 – Diagrama de cuerpo libre para el equilibrio vertical En la Figura 13-4 se muestra un diagrama de cuerpo libre para equilibrio horizontal. La fuerza de corte vertical Vi en la pared "i" es igual al producto del flujo de corte q por la longitud de la pared yi. El vector Vi se puede descomponer en dos componentes: una componente diagonal con una inclinación θ igual al ángulo que forman las diagonales del reticulado, y una componente horizontal igual a: Ni = Vi cot θ

La fuerza Ni está centrada a la mitad de la altura de la pared, ya que q es constante a lo largo de todo el lateral del elemento. Los cordones superior e inferior del cuerpo libre de la Figura 13-4 están sujetos a una fuerza de Ni/2, cada uno. Internamente se asume que la armadura longitudinal llega a la tensión de fluencia cuando se llega al máximo momento torsor. Sumando las fuerzas internas y externas en los cordones de todas las paredes del reticulado espacial se obtiene: T

∑ AAi f y1 = AA f yA = ∑ Ni = ∑ Vi cot θ = ∑ qyi cot θ =∑ 2A donde

yi cot θ = o

T cot θ∑ yi 2A o

A A f yA es la fuerza de fluencia en toda la armadura longitudinal requerida para torsión.

Reordenando los términos de la ecuación anterior,

13 - 3

T=

2A o A A f yA

(6)

2 ( x o + yo ) cot θ

N i /2

Aℓifyℓ

Di yo

Vi

Ni

θ

N i /2 Figura 13-4 – Diagrama de cuerpo libre para equilibrio horizontal

11.6.1

Torsión crítica

La torsión se puede despreciar si el momento torsor mayorado Tu es menor que φTcr/4, siendo Tcr el momento torsor de fisuración (o momento torsor crítico). El momento torsor de fisuración corresponde a una tensión de tracción principal de 4 f 'c . Antes de la fisuración, el espesor de la pared del tubo "t" y el área encerrada por la trayectoria del flujo de corte "Ao" se relacionan con la geometría de la sección no fisurada en base a las siguientes hipótesis: t=

3A cp

Ao =

donde

(7)

4pcp 2A cp 3

(antes de la fisuración)

(8)

A cp = área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón, in.2 p cp = perímetro exterior de la sección transversal de hormigón, in.

A o = área encerrada por la trayectoria del flujo de corte, in.2

Las Ecuaciones (7) y (8) se aplican a secciones no fisuradas. Para las vigas de borde y otros elementos hormigonados de forma monolítica con una losa, el ancho de ala en voladizo de la losa contribuyen a la resistencia a la torsión. En la Figura R13.2.4 se ilustra la sección efectiva de losa a considerar junto con la viga. Reemplazando t de la Ecuación (7), Ao de la Ecuación (8) y tomando τ = 4 f 'c en la Ecuación (1) se puede obtener el momento torsor de fisuración para los elementos no pretensados: 2  A cp Tcr = 4 f 'c   pcp 

   

(9)

Para los elemento de hormigón pretensado, un análisis utilizando el círculo de Mohr demuestra que el momento torsor f pc veces el momento torsor necesario para producir una tensión principal de tracción igual a 4 f 'c es igual a 1 + 4 f 'c correspondiente a elementos no pretensados. Por lo tanto, el momento torsor de fisuración para los elementos de hormigón pretensado se calcula como:

13 - 4

2  A cp Tcr = 4 f 'c   pcp 

 f  1 + pc  4 f 'c 

(10)

donde fpc = tensión de compresión en el hormigón, debida a la tensión de pretensado, en el baricentro de la sección (ver también 11.0) De manera similar, para los elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial, el momento Nu veces el momento torsor necesario para producir una tensión principal de tracción igual a 4 f 'c es igual a 1 + 4A g f 'c torsor correspondiente, de modo que el momento torsor de fisuración es: 2  A cp  Tcr = 4 f 'c  pcp 

 Nu  1+  4A g f 'c 

(10)

donde N u = fuerza axial mayorada normal a la sección transversal (positiva si es de compresión) Ag =

área bruta de la sección transversal. Para las secciones huecas Ag es el área de hormigón solamente, y no incluye el área de los vacíos (ver 11.6.1).

De acuerdo con el artículo 11.6.1, el diseño a torsión se puede despreciar si Tu <

φTcr , es decir: 4

Para elementos no pretensados: 2  A cp Tu < φ f 'c   pcp 

   

(12)

 f  1 + pc  4 f 'c 

(13)

Para elementos pretensados: 2  A cp Tu < φ f 'c   pcp 

Para elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial: 2  A cp Tu < φ f 'c   pcp 

 Nu  1+  4A g f 'c 

(14)

Es importante observar que si se trata de secciones huecas en las Ecuaciones (12) a (14) se debe utilizar Ag en lugar de Acp. Para el análisis de la torsión, una sección hueca se define como aquella que posee uno o más vacíos longitudinales de manera que se verifique Ag/Acp < 0,95 (ver R11.6.1). En este caso el término Ag es el área de hormigón solamente (es decir, no incluye el área de los vacíos), en base a la sección establecida en el artículo 13.2.4. En el Código 2002 se modificaron los requisitos del artículo 11.6.1 de manera que se puedan aplicar a secciones huecas, ya que los ensayos informados en la Referencia 11.29 indican que el momento torsor de fisuración de una sección hueca es aproximadamente (Ag/Acp) por el momento torsor de fisuración de una sección maciza que tiene las mismas dimensiones exteriores.

13 - 5

11.6.2

Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, Tu

Ya sea que un elemento de hormigón armado esté solicitado exclusivamente a torsión o a una combinación de flexión y corte, la rigidez de dicho elemento disminuirá luego de su fisuración. Después que el elemento se ha fisurado, la rigidez torsional sufre una reducción mucho mayor que la rigidez flexional. Si en un elemento el momento torsor Tu no se puede reducir por medio de una redistribución de las fuerzas internas en la estructura, dicho elemento se debe diseñar para la totalidad del momento torsor Tu (11.6.2.1). Esto se conoce como "torsión de equilibrio," dado que el momento torsor es necesario para el equilibrio de la estructura (ver Figura R11.6.2.1). Si se puede realizar una redistribución de las fuerzas internas, como en el caso de las estructuras indeterminadas, es posible reducir el momento torsor de diseño. Este tipo de momento torsor se conoce como "torsión de compatibilidad" (ver Figura R11.6.2.2). No es necesario que los elementos solicitados a torsión de compatibilidad se diseñen para un momento torsor mayor que el producto entre el momento torsor de fisuración y el factor de reducción de la resistencia φ (0,75 para torsión, ver 9.3.2.3). Para el caso de torsión de compatibilidad donde se verifique Tu > φTcr el elemento se puede diseñar para φTcr solamente, siempre que en el diseño de los demás elementos de la estructura se tome en cuenta la redistribución de las fuerzas internas (11.6.2.2). El momento torsor de fisuración Tcr se calcula usando la Ecuación (9) para los elementos no pretensados, usando la Ecuación (10) para los elementos pretensados, y usando la Ecuación (11) para los elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial. Para las secciones huecas, en estas ecuaciones Acp no se reemplaza por Ag (11.6.2.2). Multiplicando el momento torsor de fisuración por (Ag/Acp) por segunda vez se refleja la transición entre la interacción circular entre las cargas de fisuración inclinada en corte y torsión correspondiente a elementos macizos, y la interacción aproximadamente lineal correspondiente a secciones huecas de pared delgada. 11.6.2.4 - 11.6.2.5 Sección crítica – En los elementos no pretensados, la sección crítica para el diseño a torsión se encuentra a una distancia "d" (profundidad efectiva) medida desde de la cara del apoyo. Las secciones ubicadas a una distancia menor que d desde la cara del apoyo se deben diseñar para el momento torsor determinado a una distancia d medida desde el apoyo. Cuando hay una viga secundaria vinculada a una viga principal a una distancia menor que d medida desde el apoyo, en la viga principal ocurre un momento torsor concentrado dentro de la distancia d. En estos casos, el momento torsor de diseño se debe tomar en la cara del apoyo. Esta misma regla se aplica a los elementos pretensados, excepto que la distancia d se reemplaza por h/2, siendo h la altura total del elemento. Para los elementos compuestos o construidos en etapas h es la altura total de la sección compuesta.

11.6.3

Resistencia al momento torsor

La resistencia a la torsión de diseño debe ser mayor o igual que la resistencia a la torsión requerida: φTn ≥ Tu

Ec. (11-20)

El desarrollo de la expresión para calcular la resistencia nominal al momento torsor en términos de la tensión de fluencia de los estribos ya se indicó anteriormente (ver Ecuación (5)): T=

donde:

2A o A t f yv s

A o = 0,85A oh

cot θ

Ec. (11-21) (suposición adoptada por motivos de simplicidad)

A oh = área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión, como se ilustra en la Figura 13-5

θ =

ángulo de las diagonales comprimidas, comprendido entre 30 y 60 grados. En el artículo 11.6.3.6 se sugiere usar un valor de 45 grados para los elementos no pretensados y 37,5 grados para elementos pretensados con una fuerza de pretensado mayor que el 40 por ciento de la resistencia a tracción de la armadura longitudinal.

Observar que la definición de Ao usada en la Ecuación (8) corresponde a la sección no fisurada. Observar también que la resistencia nominal a la torsión, Tn, se alcanza después que el hormigón se ha fisurado y después que el elemento de hormigón 13 - 6

ha sufrido una considerable rotación por torsión. Bajo estas grandes deformaciones es posible que el hormigón se haya descascarado. Por este motivo, cuando se calcula el área Ao correspondiente a Tn se ignora el recubrimiento de hormigón. Así, el parámetro Ao se relaciona con Aoh, el área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión. El área Ao se puede determinar aplicando un análisis riguroso (Referencia 13.3) o bien simplemente suponer igual a 0,85Aoh. Ver el artículo 11.6.3.6. Estribo cerrado (típ.)

Figura 13-5 – Definición de Aoh

Sustituyendo T de la Ecuación (5) en la Ecuación (6) y reemplazando 2(xo + yo) por ph (perímetro del eje de la armadura transversal cerrada dispuesta para resistir torsión), la armadura longitudinal requerida para resistir torsión se calcula en función de la armadura transversal: A AA =  t  s

  f yv  p h  f   yA

 2  cot θ  

Ec. (11-22)

Observar que el término (At/s) usado en la Ecuación (11-22) sólo corresponde a torsión, y se calcula usando la Ecuación (1121). En los elementos solicitados a torsión combinada con corte, flexión o fuerza axial, la cantidad de armadura longitudinal y transversal requerida para resistir todas las acciones se debe determinar aplicando el principio de superposición. Ver los artículos 11.6.3.8 y R11.6.3.8. En los elementos solicitados a flexión, se puede reducir el área de armadura longitudinal de torsión en la zona comprimida por flexión para tomar en cuenta la compresión provocada por la flexión (11.6.3.9). En los elementos pretensados, la armadura longitudinal requerida para torsión puede consistir en cables de acero de pretensado con una resistencia a la tracción Apsfps equivalente a la fuerza de fluencia del acero no pretensado, Aℓfyℓ, calculada de acuerdo con la Ecuación (11-22). Para reducir la fisuración antiestética del hormigón y para impedir el aplastamiento de las bielas comprimidas, el artículo 11.6.3.1 establece un límite superior para la máxima tensión debida a corte y torsión, análogo al correspondiente a corte solamente. En las secciones macizas, las tensiones debidas al corte actúan en la totalidad del ancho de la sección, mientras que se asume que las tensiones debidas a la torsión son resistidas exclusivamente por un tubo de pared delgada [ver Figura R11.6.3.1(b)]. Por este motivo el artículo 11.6.3.1 especifica para las secciones macizas una interacción elíptica entre las tensiones debidas al corte y las tensiones debidas a la torsión:

13 - 7

2

 Vu   Tu p h   +  2  b w d   1, 7A oh

2

  V   ≤ φ  c + 8 f 'c  b d  w  

Ec. (11-18)

Para las secciones huecas, las tensiones debidas al corte y a la torsión son directamente aditivas a un lado de la pared [ver Figura R11.6.3.1(a)]. Por lo tanto se especifica la siguiente interacción lineal:  Vu   Tu p h   +  2  b w d   1, 7A oh

  V   ≤ φ  c + 8 f 'c   bw d  

Ec. (11-19)

En las Ecuaciones (11-18) y (11-19) Vc es la contribución del hormigón a la resistencia al corte de un elemento de hormigón no pretensado (ver 11.3) o pretensado (ver 11.4). Cuando se aplica la Ecuación (11-19) a una sección hueca, si el espesor real de la pared t es menor que Aoh/ph, en vez de Aoh/ph se debe usar el espesor real de la pared (11.6.3.3).

11.6.4

Detalles de la armadura de torsión

Para resistir la torsión se requiere tanto armadura longitudinal como armadura transversal. La armadura longitudinal puede estar constituida por armadura no pretensada o por cables de pretensado. La armadura transversal puede estar constituida por estribos, malla de alambre soldada o zunchos. Para poder controlar el ancho de las fisuras diagonales la tensión de fluencia de diseño de la armadura no pretensada no debe ser mayor que 60.000 psi (11.6.3.4). En la analogía del reticulado ilustrada en la Figura 13-2, las fuerzas en las diagonales comprimidas llegan a la armadura longitudinal de la esquina. En cada pared, la componente de las diagonales perpendicular a la armadura longitudinal se transfiere desde la armadura longitudinal a la armadura transversal. En ensayos de torsión realizados sobre vigas cargadas hasta su destrucción se ha observado que, a medida que se llega al momento torsor máximo, el recubrimiento de hormigón se descascara.13.3 Las fuerzas en las diagonales comprimidas fuera de los estribos, es decir en el recubrimiento de hormigón, hacen estallar la cáscara de hormigón. En base a esta observación, el artículo 11.6.4.1 especifica que los estribos deben ser cerrados y tener ganchos a 135 grados. Los estribos con ganchos a 90 grados dejan de ser eficientes cuando el recubrimiento de hormigón se descascara. De manera similar, se ha observado que los estribos en forma de U solapados no son adecuados para resistir torsión, también debido a la falta de apoyo que se produce al descascararse el hormigón. Para las secciones huecas, la distancia entre el eje de la armadura transversal de torsión y la cara interna de la pared de la sección hueca no debe ser menor que 0,5Aoh/ph (11.6.4.4).

11.6.5

Armadura mínima de torsión

En general, para asegurar la ductilidad de los elementos de hormigón armado y pretensado, se especifica una armadura mínima tanto para flexión (10.5) como para corte (11.5.5). De manera similar, en el artículo 11.6.5 se especifica una armadura mínima transversal y longitudinal que se debe colocar siempre que Tu > φTcr/4. Habitualmente los elementos solicitados a torsión también están solicitados simultáneamente a corte. El área mínima de estribos para corte y torsión se calcula de acuerdo con la siguiente expresión:

( A v + 2A t ) = 0, 75

f 'c

b w s 50b w s ≥ fy f yv

Ec. (11-23)

Esta ecuación ahora permite considerar los hormigones con resistencias más elevadas (ver 11.5.5.3 y R11.6.5.3). El área mínima de armadura longitudinal se calcula como: A A,min =

5 f 'c A cp f yA

A − t  s

 f yv  ph f  yA

Ec. (11-24)

13 - 8

pero At/s (sólo para torsión) no se debe tomar menor que 25bw/fyv.

11.6.6

Separación de la armadura de torsión

La separación de los estribos no debe ser mayor que el menor valor entre ph/8 y 12 in. Para una viga de sección cuadrada solicitada a torsión, esta separación máxima es análoga a una separación de alrededor de d/2 en una viga solicitada a corte. La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una separación máxima de 12 in. En la analogía del reticulado las bielas comprimidas empujan contra la armadura longitudinal, la cual transfiere las fuerzas transversales a los estribos. En consecuencia, las barras longitudinales deben estar ubicadas dentro de los estribos cerrados. Debe haber al menos una barra o cable longitudinal en cada esquina de los estribos para ayudar a transmitir las fuerzas desde las bielas comprimidas a la armadura transversal. Para evitar el pandeo de la armadura longitudinal debido a la componente transversal de las bielas comprimidas, la armadura longitudinal debe tener un diámetro mayor o igual que 1/24 de la separación de los estribos, pero nunca menor que el diámetro correspondiente a una barra No. 3 (11.6.6.2).

REFERENCIAS 13.1

MacGregor, J.G. y Ghoneim, M.G, "Design for Torsion," ACI Structural Journal, Marzo-Abril 1995, pp. 221-218.

13.2

Fanella, D.A. y Rabat, B.G., Design of Concrete Beams for Torsion, Engineering Bulletin EB106.02D, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1997.

13.3

Collins, M.P. y Mitchell, D., Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1991, pp. 766.

13 - 9

Ejemplo 13.1 – Diseño de una viga de borde prefabricada solicitada a corte y torsión Diseñar una viga de borde de hormigón prefabricada, no pretensada, para una combinación de corte y torsión. Los elementos de la cubierta están simplemente apoyados en la entalladura horizontal de la viga de borde. Las vigas de bordes están conectadas a las columnas para transferir la torsión. No hay continuidad entre las vigas de borde. viga interior

Luz de la cubierta

A

60'-0"

cols. prefab. "16" x "16"

Te doble (típ.) 10'-0"

Viga de borde en "L"

cols. prefab. "16" x "16"

A 30'-0"

Criterios de diseño:

30'-0"

30'-0"

30'-0"

Planta parcial del sistema de cubierta prefabricado

Sobrecarga = 30 lb/ft2 Carga permanente = 64 lb/ft2 (Te doble + aislación + cubierta) f´c = 5000 psi w c = 150 lb / ft 3 f y = 60.000 psi

Los elementos de la cubierta son unidades tipo Te doble (TT) de 10 ft de ancho y 24 in. de profundidad. El diseño de estas unidades no se incluye en este ejemplo. A modo de apoyo lateral, extremos alternados de los elementos de la cubierta están fijados a las vigas de apoyo.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Asumir que la carga de las doble Te sobre la viga de borde es uniforme. Calcular Mu, Vu y Tu mayorados para la viga de borde. 16"

11"

TT 24" 3"

32"

placa soldada 3/8" (invertir extremos en TT alternadas)

8"

6" centro de la luz de la columna

placa elastomérica 3/8" Corte A-A

13 - 10

Carga permanente: Impuesta

= (0,064) (60)/2

= 1,92

Viga de borde

= [(1,33) (2,67) + (0,5) (0,67)] 0,150 = 0,58 Total = 2,50 kips/ft

Sobrecarga = (0,030) (60)/2 = 0,90 kips/ft Carga mayorada = (1,2) (2,50) + (1,6) (0,90) = 4,4 kips/ft En el centro de la luz, M u =

9.2.1

4, 4 × 302 = 495 ft-kips 8

Corte en el extremo Vu = ( 4, 4 )( 30 ) / 2 = 66, 0 kips Carga de torsión mayorada = 1,2 (1,92) + 1,6 (0,90) = 3,7 kips/ft Excentricidad de las reacciones de la Te doble respecto del eje de la viga perimetral = 8 + 3 = 11 in.  30   11  Momento torsor en el extremo Tu = 3, 7     = 50,9 ft-kips  2   12 

La sección crítica para la torsión está a una distancia "d" a partir de la cara del apoyo.

11.6.2.4

Asumir d = 29,5 in. La sección crítica para el corte también está a una distancia "d" a partir de la cara del apoyo.

11.1.3.1

Por lo tanto, la sección crítica se encuentra a 29,5 + 8 = 37,5 in. medida a partir del eje de la columna. En la sección crítica:

[15,0 – (37,5/12) = 11,88 ft a partir del centro de la luz]

Vu = 66, 0 (11,88 /15) = 52,3 kips Tu = 50,9 (11,88 /15) = 40,3 ft-kips

La viga de borde se debe diseñar para la totalidad del momento torsor mayorado, ya que éste se requiere para mantener el equilibrio. 2. Verificar si se puede despreciar la torsión. La torsión se puede despreciar si se satisface Tu <

11.6.1 φTcr 4

φ = 0,75 2  A cp Tcr = 4 f 'c   pcp 

11.6.2.1

9.3.2.3    

Ec. (9)

Acp = área encerrada por el perímetro exterior de la viga de borde, incluyendo la entalladura = (16) (32) + (6) (8) = 512 + 48 = 560 in.2

13 - 11

Pcp = perímetro exterior de la sección transversal de la viga de borde = 2 (16 + 32) + 2 (6) = 108 in. El valor límite para ignorar la torsión es: 2  A cp φ f 'c   pcp 

  5602  1  = 0, 75 5000  = 12,8 ft-kips < 40,3 ft-kips  108  12.000    

Ec. (12)

Es necesario considerar la torsión. 3. Determinar el área de estribos requerida para torsión. La resistencia de diseño a la torsión debe ser mayor o igual que la resistencia a la torsión requerida. φTn ≥ Tu

Ec. (11-20)

donde T=

2A o A t f yv s

cot θ

Ec. (11-21)

A o = 0,85A oh A oh = área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión

Suponiendo un recubrimiento de 1,25 in. (hormigón prefabricado en ambiente exterior) y estribos No. 4 A oh = (13) (29) + (6) (5) = 407 in.2

7.7.3(a)

13"

A o = 0,85 (407) = 346 in.2

Para elementos no pretensados usar θ = 45º

Eje de los estribos

11.6.3.6(a) 24"

Reemplazando en las Ecuaciones (11-20) y (11-21):

29"

At Tu = s 2φA o f yv cot θ

( 40,3)(12.000 ) At = = 0, 016 in.2 / in / rama s 2 ( 0, 75 )( 346 )( 60.000 )(1, 0 )

6"

6"

19"

4. Calcular el área de estribos requerida para corte. Vc = 2 f 'c b w d

Ec. (11-3)

= 2 5000 (16 )( 29,5 ) /1000

= 66,8 kips

13 - 12

De las Ecuaciones (11-1) y (11-2) Vs =

Vu 52,3 − Vc = − 66,8 = 2,9 kips 0, 75 φ

Av V 2,9 = s = = 0, 002 in.2 / in./ rama s f yv d 60 ( 29,5 )

5. Determinar los requisitos combinados de estribos para corte y torsión.

11.6.3.8

At Av 0, 002 + = 0, 016 + = 0, 017 in.2 / in./ rama s 2s 2 Intentar con barras No. 3, A b = 0,11 in.2 s=

0,11 = 6,5 in. 0, 017

Usar una separación mínima de 6 in.

6. Verificar la separación máxima de los estribos. Para la torsión la separación no debe ser mayor que ph/8 ni 12 in.:

11.6.6

p h = 2 (13 + 29 ) + 2 ( 6 ) = 96 in.

p h 96 = = 12 in. 8 8

(

)

Para el corte la separación no debe ser mayor que d/2 ni 24 in. Vs = 2,9 kips < 4 f 'c b w d = 133, 6 kips :

11.5.4.1, 11.5.4.3

d 29,5 = = 14, 75 in. 2 2

Usar una separación mínima de 6 in. y una separación máxima de 12 in. 7. Verificar el área de estribos mínima.

( A v + 2A t ) = 0, 75 >

f 'c

(16 )(12 ) bw s = 0, 75 5000 = 0,17 in.2 fy 60.000

50b w s 50 (16 )(12 ) = = 0,16 in.2 f yv 60.000

Área provista = 2 (0,11) = 0,22 in.2 > 0,17 in.2

Ec. (11-23) VERIFICA

8. Determinar la disposición de los estribos. Debido a que en el centro de la luz tanto el corte como la torsión son nulos, y que se asume que varían linealmente hasta llegar al valor máximo en la sección crítica, el punto donde debe comenzar la separación máxima de los estribos se puede determinar por proporcionalidad simple. 13 - 13

s (crítica) 6 (11,88) = (11,88) = 5,94 ft , digamos que a 6 ft del centro de la luz. s (máxima) 12

9. Verificar el aplastamiento del hormigón en las bielas comprimidas. 2

 Vu   Tu p h   +  2  b w d   1, 7A oh

11.6.3.1

2

  V   ≤ φ  c + 8 f 'c  b d  w  

Ec. (11-18)

2

2  52.300   ( 40,3 × 12.000 )( 96 )   = 199 psi < 10φ f 'c = 530 psi VERIFICA   +  2  1, 7 ( 407 )  (16 )( 29,5 )   

10. Calcular la armadura de torsión longitudinal. A AA =  t  s

  f yv  p h    f yA

11.6.3.7

 2  cot θ  

Ec. (11-22)

 60  A A = ( 0, 016 )( 96 )   (1, 0 ) = 1,54 in.2  60 

Verificar el área mínima de armadura longitudinal. A A ,min =

5 f 'c A cp f yA

A − t  s

 f yv  ph f  yA

Ec. (11-24)

25b w 25 (16 )  At  = = 0, 007 in.2 / in.   no debe ser menor que f 60.000 s   yv A A ,min =

5 5000 ( 560 ) 60.000

− ( 0, 016 )( 96 ) = 1, 76 in.2

(valor determinante)

La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una separación máxima de 12 in. Las barras longitudinales deben estar dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal en cada esquina de los estribos. Seleccionar 10 barras. Área de cada barra longitudinal =

1, 76 = 0,176 in.2 10

Usar barras No. 4

13 - 14

11.6.5.3

Estribos cerrados No. 3 a 6" 6 barras No. 10

El diseño de la entalladura no se incluye en el ejemplo. Ver la Parte 15.

4 barras No. 10

Detalles de armado

11. Dimensionar la armadura longitudinal combinada. Usar barras No. 4 en los lados y esquinas superiores de la viga de borde. Observar que dos de las diez barras longitudinales requeridas para torsión (las barras junto a la cara vertical de la entalladura) se deben combinar con la armadura de la entalladura. Este ejemplo no incluye el cálculo de la armadura de la entalladura horizontal de la viga). En la Parte 15 de este documento se discute el diseño de estos elementos. Determinar la armadura de flexión requerida, suponiendo comportamiento de sección controlada por tracción. φ = 0,90

9.3.2

De la Parte 7, Rn =

ρ=

=

Mu φbd 2

0,85f 'c fy

=

495 × 12.000 = 474 psi 0,9 × 16 × 29,5

 2R n  1 − 1 − 0,85f 'c 

  

0,85 × 5  2 × 474  1 − 1 − 60  0,85 × 5000

  = 0, 0084 

As = ρbd = 0, 0084 × 16 × 29,5 = 3,96 in.2

A la mitad de la luz, proveer (2/10) de la armadura de torsión longitudinal además de la armadura de flexión.  2 2  10  (1, 76 ) + 3,96 = 4,31 in.  

En un extremo del tramo, proveer (2/10) de la armadura de torsión longitudinal más al menos (1/3) de la armadura de flexión positiva.  2  3,96  2  10  (1, 76 ) +  3  = 1, 67 in.    

Usar 4 barras No. 10 (As = 5,08 in.2 > 4,31 in.2)

13 - 15

12.11.1

Verificar si la sección es controlada por tracción, en base a la armadura provista. A partir de un análisis de compatibilidad de las deformaciones, suponiendo de forma conservadora que la sección sólo está solicitada a flexión, ε t = 0, 0117 > 0, 0050

Esto significa que la sección es controlada por tracción, y que φ = 0,90. En la Referencia 13.3 se presenta un análisis de compatibilidad de las deformaciones que incluye los efectos de la torsión. Prolongar 2 barras No. 10 hasta el extremo de la viga de borde (As = 2,54 in.2 > 1,67 in.2) La armadura longitudinal de torsión se debe anclar adecuadamente. 12. Verificar el área de estribos de la viga usada como armadura "de suspensión" para la entalladura de la viga. Deben haber suficientes estribos disponibles en la sección de la viga para actuar como armadura de suspensión de la entalladura de la viga. En la Parte 15 de este documento se discute el diseño de estos elementos. Reacción de un alma de la sección Te doble (para una TT de 10 ft de ancho, las almas tienen una separación de 5 ft entre centros). R u = 1, 2 (1,92 ) + 1, 6 ( 0,9 )  5 = 18, 7 kips / alma A v = (por ancho efectivo de la entalladura) =

Ru 18, 7 = = 0, 416 in.2 / alma φf yv 0, 75 ( 60 )

(Observar que, de acuerdo con la Parte 15, φ = 0,75 para la armadura de la entalladura horizontal de una viga.) El ancho efectivo de la entalladura sobre el cual se pueden distribuir las fuerzas de suspensión se puede evaluar en base a la Referencia 15.5. Para las dimensiones de la entalladura de este ejemplo, be = 26 in. A v 0, 416 = = 0, 016 in.2 / in s 26 Para estribos No. 3, s max =

0,11 = 6,8 in. 0, 016

Los estribos No. 3 con la separación de 6 in., calculada anteriormente en el Paso 6, se deben usar en toda la longitud del tramo para que también actúen como armadura de suspensión de la entalladura de la viga.

13 - 16

10.3.4

14 Corte por Fricción

CONSIDERACIONES GENERALES Cuando se publicó el documento ACI 318-83, el artículo 11.7 fue rescrito completamente para ampliar el concepto de corte por fricción de manera que incluyera aplicaciones en las cuales (1) la armadura de corte por fricción se coloca formando un ángulo diferente de 90 grados respecto del plano de corte, (2) el hormigón se coloca contra hormigón que no se ha hecho intencionalmente rugoso, y (3) se utiliza hormigón liviano. Además, se agregó una frase para permitir "cualquier otro método de diseño para transferencia del esfuerzo de corte" sustentado por ensayos. Es importante observar que el artículo 11.9 refiere al artículo 11.7 para la transferencia de corte directo en ménsulas y cartelas; ver la Parte 15.

11.7

CORTE POR FRICCIÓN

El concepto de corte por fricción constituye una herramienta de gran utilidad para diseñar elementos para corte directo cuando no es adecuado diseñar para tracción diagonal, como en el caso de las uniones prefabricadas, y en ménsulas y cartelas. El concepto se puede aplicar de forma sencilla, y le permite al diseñador visualizar el comportamiento estructural dentro del elemento o la unión. El enfoque consiste en suponer que se producirá una fisura en una ubicación predeterminada, como se ilustra en la Figura 14-1. A medida que comienza a producirse desplazamiento a lo largo de la fisura, la rugosidad de las superficies de la fisura obliga a las caras opuestas de la fisura a separarse. Esta separación es resistida por la armadura (Avf) que atraviesa la fisura supuesta. La fuerza de tracción (Avffy) desarrollada en la armadura por esta deformación induce una fuerza de sujeción perpendicular, igual y opuesta, la cual a su vez genera una fuerza de fricción (Avffyµ) paralela a la fisura para resistir los desplazamientos adicionales.

17.7.1

Aplicaciones

El diseño para corte por fricción se debe aplicar cuando hay transmisión de corte directo a través de un plano dado. Las situaciones en las cuales el diseño para corte por fricción es adecuado incluyen las interfases entre hormigones colocados en distintas épocas, las superficies de contacto entre hormigón y acero, y las uniones de las construcciones de con elementos de hormigón prefabricado. En la Figura 14-2 se ilustran algunas posibles ubicaciones donde se produce transferencia de corte directo y fisuras potenciales donde se puede aplicar el concepto de corte por fricción. El éxito de la aplicación del concepto depende de la adecuada elección de la ubicación del deslizamiento o fisura supuesta. En las aplicaciones típicas la fisura tiende a producirse formando un ángulo de aproximadamente 20 grados respecto de la vertical (ver Ejemplo 14.2).

Plano de corte (fisura supuesta)

Vu

Armadura de corte por fricción

Desplazamiento

Vn Vu

A vf f y µ A vf fy A vf f y Vn =A vf f y µ

Figura 14-1 – Idealización del concepto de corte por fricción

apoyo

losa de piso

extremo entallado

empalme ménsula

conexión

elemento de hormigón colado in situ apoyo en ángulo fisuras potenciales

base de columna

Figura 14-2 – Aplicaciones del concepto de corte por fricción y ubicación de potenciales fisuras 14 - 2

11.7.3

Métodos de diseño para transferencia del esfuerzo de corte

El método de diseño para corte por fricción presentado en el artículo 11.7.4 se basa en el modelo de comportamiento de corte por fricción más sencillo, y permite obtener una estimación conservadora de la resistencia al corte. Otras relaciones de transferencia de corte más precisas permiten obtener estimaciones de la resistencia al corte más exactas. La frase " cualquier otro método de diseño para transferencia del esfuerzo de corte…" incluye los demás métodos comprendidos por el alcance y el espíritu del artículo 11.7. Sin embargo, se debe observar que los requisitos de los artículos 11.7.5 a 11.7.10 se aplican cualquiera sea el método usado para calcular la transferencia del esfuerzo de corte. En la Referencia R11.7.3 se describe uno de los métodos más precisos. En el Ejemplo 15.2 de la Parte 15 se ilustra el "Método de Corte por Fricción Modificado." La edición 1992 del Código introdujo en el artículo 17.5.2.3 una expresión para corte por fricción modificada. Esta expresión se aplica a las interfases entre hormigón prefabricado y hormigón colado en obra.

11.7.4

Método de diseño para corte por fricción

Como en el caso de las demás aplicaciones del diseño al corte, los requisitos del Código para corte por fricción se presentan en términos de la resistencia al corte Vn para su aplicación directa en la expresión básica para la resistencia al corte: Resistencia al corte requerida ≤ Resistencia al corte de diseño Vu ≤ φVn

(Ec. 11-1)

Observar que φ es igual a 0,75 tanto para corte como para torsión (9.2.3.2). Además, se recomienda utilizar φ = 0,75 para todos los cálculos de dimensionamiento que involucren el corte por fricción, los cuales son controlados predominantemente por el corte. Por ejemplo, el artículo 11.9.3.1 especifica el uso de φ = 0,75 para todos los cálculos de dimensionamiento realizados de acuerdo con 11.9 (ménsulas y cartelas). La resistencia nominal al corte Vn se calcula como: Vn = A vf f y µ

(Ec. 11-25)

Combinando las Ecuaciones (11-1) y (11-25), para el caso de armadura de corte por fricción perpendicular al plano de corte, la resistencia al corte requerida es: Vu ≤ φA vf f y µ

El área necesaria de armadura de corte por fricción, Avf, se puede calcular directamente como: A vf =

Vu φf y µ

En la Figura 14-3 se ilustra el caso en el cual la armadura de corte por fricción atraviesa el plano de corte con un ángulo de inclinación, αf, diferente de 90 grados. La fuerza de tracción Avffy es inclinada respecto de la fisura, y se debe descomponer en dos componentes: (1) una componente de sujeción, Avffy sin αf con una fuerza de fricción asociada Avffy sin αf µ; y (2) una componente paralela a la fisura que resiste el deslizamiento de forma directa, siendo esta componente igual a Avffy cos αf. Sumando las dos componentes que resisten el deslizamiento, la resistencia nominal al corte de convierte en: Vn = A vf f y sin α f µ + A vf f y cos α f = A vf f y ( µ sin α f + cos α f )

Reemplazando en la Ecuación (11-1):

Vu ≤ φ  A vf f y sin α f µ + A vf f y cos α f 

Ec. (11-26)

14 - 3

Vu

αf A vf f y sin αf µ

αf A vf f y

A vf f y sin αf A vf f y cos αf

Vn = Avffy sin αf µ + Avffy cos αf Figura 14-3 – Idealización de la armadura de corte por fricción inclinada

Para el caso de armadura de corte inclinada respecto de la fisura, el área de armadura de corte por fricción necesaria, Avf, se puede calcular directamente a partir de la siguiente expresión: A vf =

Vu φf y ( µ sin α f + cos α f )

Observar que la Ecuación (11-26) se aplica solamente cuando el esfuerzo de corte Vu provoca tracción en la armadura de corte por fricción. El método de corte por fricción asume que toda la resistencia al corte es proporcionada por la fricción entre las caras de la fisura. La mecánica real de la resistencia al corte directo es más compleja, ya que tanto la acción de pasador como la resistencia cohesiva aparente del hormigón contribuyen a la resistencia al corte directo. Por lo tanto, es necesario utilizar valores artificialmente elevados del coeficiente de fricción µ en las ecuaciones para corte por fricción directo de manera que la resistencia al corte calculada concuerde razonablemente con los resultados obtenidos en ensayos. Usando estos coeficientes elevados se predicen valores conservadores de la resistencia, que constituyen el límite inferior de los datos obtenidos en ensayos, lo cual se puede observar en la Figura 14-4. El método de diseño de corte por fricción modificado indicado en la Referencia R11.7.3 es uno de los diversos métodos más exactos que permiten estimar con mayor precisión la resistencia al corte por fricción. 11.7.4.3 Coeficiente de fricción – Los coeficientes de fricción "efectivos," µ, para las diferentes condiciones de las interfases incluyen un parámetro λ que toma en cuenta la menor resistencia al corte de los hormigones livianos y los hormigones de agregados livianos y arena. Por ejemplo, el valor de µ para hormigón liviano (λ = 0,75) colocado sobre hormigón endurecido que no se ha hecho intencionalmente rugoso es 0,6 (0,75) = 0,45. Los coeficientes de fricción a utilizar según las condiciones de las interfases son los siguientes:

Hormigón colocado monolíticamente ............................................................................. 1,4λ Hormigón colocado sobre hormigón endurecido con la superficie intencionalmente rugosa como se especifica en el artículo 11.7.9 ................................. 1,0λ Hormigón colocado sobre hormigón endurecido cuya superficie no se ha hecho intencionalmente rugosa ........................................................................ 0,6λ Hormigón anclado a placas o perfiles de acero laminado estructural por medio de pasadores con cabeza o barras de armadura (ver 11.7.10) ....................... 0,7λ siendo λ = 1,0 para hormigón de peso normal, λ = 0,85 para hormigón de agregados livianos y arena y λ = 0,75 para "hormigón de agregados livianos."

14 - 4

1600 Resultados de ensayo 1400 1200

1

800

Vn /A c Límite

600

0,2 x 3000 psi

µ

400

=

1, 4

Vn/Ac (psi)

1000

200

=

1,

0

µ 0,7 0,6 µ= µ=

1 Método de Corte por

2

Fricción Modificado 2 Método de Corte por Fricción

*ρfy > 200 psi 0 200

400

600

800

1000

1200

ρfy (psi)

Figura 14-4 – Efecto de la armadura de corte por fricción sobre la transferencia de corte

11.7.5

Máxima resistencia al corte

La resistencia al corte, Vn, no se puede tomar mayor que 0,2f'c ni 800 psi por el área de la sección transversal de hormigón que resiste la transferencia de corte. Este límite superior de Vn limita efectivamente la armadura máxima, como se ilustra en la Figura 14-4. Además, para los hormigones livianos, el artículo 11.9.3.2.2 limita la resistencia al corte Vn a lo largo del plano de corte para aplicaciones en las cuales las relaciones entre longitud y la altura, a/d, son bajas, tales como las ménsulas y cartelas. Esta restricción adicional para el hormigón liviano se ilustra en el Ejemplo 14.1.

11.7.7

Fuerzas normales

Las Ecuaciones (11-25) y (11-26) asumen que las únicas fuerzas que actúan sobre el plano de corte son las fuerzas de corte. En las ménsulas, cartelas y otras conexiones casi siempre hay una cierta cantidad de momento debido a la excentricidad de las cargas o los momentos aplicados en las conexiones. Cuando hay momentos actuando en un plano de corte, las tensiones de tracción por flexión y las tensiones de compresión por flexión están en equilibrio. No hay ninguna variación en la compresión resultante Avffy que actúa a través del plano de corte, y la resistencia al corte no sufre ningún cambio. Por este motivo no es necesario proveer armadura adicional para resistir las tensiones de tracción por flexión, a menos que la armadura de tracción por flexión requerida sea mayor que la cantidad de armadura de transferencia de corte provista en la zona traccionada por flexión. Las uniones también pueden soportar una importante cantidad de tracción debido a la restricción del acortamiento térmico y por contracción de los elementos conectados. La fricción de las placas de apoyo, por ejemplo, puede provocar fuerzas de tracción apreciables en una ménsula que soporta un elemento que sufre acortamiento. Por lo tanto, aunque no se requiere de forma generalizada, se recomienda diseñar el elemento para una fuerza de tracción directa mínima de al menos 0,2Vu, además del corte. Esta fuerza mínima se requiere para el diseño de uniones tales como ménsulas y cartelas (ver 11.9.3.4), a menos que se conozca con precisión la fuerza que realmente actúa. Se debe proveer armadura para tracción directa de acuerdo con el artículo 11.7.7, usando As = Nuc/φfy, siendo Nuc la fuerza de tracción mayorada. Debido a que la tracción directa perpendicular a la fisura supuesta (plano de corte) disminuye la resistencia al corte, es lógico suponer que la compresión aumentará dicha resistencia. El artículo 11.7.7 reconoce este hecho permitiendo sumar una "compresión 14 - 5

neta permanente " a la fuerza de sujeción debida al corte por fricción, Avffy. Se recomienda, aunque no se exige, el uso de un factor de reducción de 0,9 para la contribución a la resistencia de este tipo de cargas de compresión.

11.7.8 - 11.7.10

Requisitos adicionales

El artículo 11.7.8 establece que la armadura de corte por fricción se debe "colocar adecuadamente" a lo largo del plano de corte. Si no hay ningún momento actuando en el plano de corte, una distribución uniforme de las barras se considera adecuada. Si hay momentos, la armadura se debe distribuir en la zona traccionada por flexión. La armadura se debe anclar adecuadamente a ambos lados del plano de corte a fin de poder desarrollar la totalidad de la tensión de fluencia de las barras. Debido a que el espacio disponible dentro de los tabiques, ménsulas y cartelas de poco espesor es limitado, con frecuencia es necesario utilizar detalles de anclaje especiales tales como placas soldadas, perfiles o barras transversales. La armadura se debe anclar en hormigón confinado. El confinamiento puede ser provisto por los estribos de vigas o columnas, hormigón "externo," o armadura especialmente dispuesta para tal fin. En el artículo 11.7.9 el coeficiente de fricción µ se toma igual a 1,0λ; el hormigón en la interfase se debe hacer intencionalmente rugoso hasta una amplitud total de aproximadamente 1/4 in. Esto se puede lograr estriando el hormigón mientras está en estado plástico o bien modificando las superficies endurecidas con una martellina o cincel. Un requisito final del artículo 11.7.10, el cual a menudo es pasado por alto, es que cuando las interfases son entre acero y hormigón el acero debe estar limpio y libre de pintura. Este requisito se basa en que los ensayos realizados para evaluar el coeficiente de fricción para hormigón anclado a acero estructural por medio de pasadores o barras de armadura (µ = 0,7) corresponden a acero sin pintura. No hay datos disponibles sobre superficies pintadas. Si se han de utilizar superficies pintadas, sería recomendable utilizar un valor de µ inferior.

EJEMPLOS DE DISEÑO Además de los Ejemplos 14.1 y 14.2 incluidos en las páginas siguientes, también se ilustra el diseño para corte por fricción para el caso de transferencia de corte directo en ménsulas y cartelas (ver Parte 15), el caso de transferencia de corte horizontal entre elementos compuestos (ver Parte 12), y en las uniones columna-zapata (ver Parte 22).

14 - 6

Ejemplo 14.1 – Diseño para corte por fricción Un panel de tabique está solicitado por las fuerzas sísmicas de corte mayoradas ilustradas a continuación. Diseñar los anclajes para corte suponiendo que se trata de hormigón liviano, w c = 95lb / ft 3 , f´c = 4000 psi y f y = 60.000 psi

3,57

k

3,57

soldaduras alternadas

k

Sísmico 3,57 3,57

k

3,57

k

3,57

k

k

barra de conexión 14" de longitud 3,57

k

3,57

19,3

k

k

k

19,3

llenado en seco luego de soldar Estiramiento de la barra de conexión provocado por el acortamiento del tabique

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Diseñar los anclajes usando el método de corte por fricción. La placa central es la más cargada. Intentar con una placa de 2 in. × 4 in. × 1/4 in. Vu = 3570 lb Vu ≤ φVn

(

Vu ≤ φ A vf f y µ

Ec. (11-1)

)

Ec. (11-25)

Para acero sin pintura en contacto con hormigón liviano (95 lb/ft3): µ = 0, 7λ = 0, 7 × 0, 75 = 0,525

11.7.4.3

φ = 0, 75

Resolviendo para A vf =

9.3.2.3 Vu 3570 = = 0,15 in.2 φf y µ 0, 75 ( 60.000 )( 0,525 )

14 - 7

(

Usar 2 barras No. 3 por placa A vf = 0, 22 in.2

)

Nota: Las barras se deben soldar a las placas para desarrollar la totalidad de fy. La longitud de las barras debe ser adecuada para que las barras se desarrollen completamente. Verificar la máxima resistencia al corte permitida para la conexión. Para hormigón de agregados livianos:

11.9.3.2.2

   a   a  Vn(max) = 0, 2 − 0, 07    f 'c b w d o bien 800 − 280    b w d d    d     Para las ecuaciones anteriores asumir a = espesor de la placa = 0,25 in. y d = distancia entre el borde de la placa y el centro de la barra unida más alejada = 2,5 in.: a 0, 25 ≈ = 0,1 d 2,5 a = 0,25"

b w d = A c = 2 × 4 = 8 in.2

d = 2,5"

4"

Para estas ecuaciones asumir que b w d = A c = superficie de contacto de la placa:

Vn(max) = 0, 2 − 0, 07 ( 0,1)  ( 4000 )( 8 ) = 6176 lb 2 barras No. 3

o bien Vn = 800 − ( 280 × 0,1)  ( 8 ) = 6176 lb φVn(max) = 0, 75 ( 6176 ) = 4632 lb Vu = 3570 lb ≤ φVn(max) = 4632 lb

Usar placas de 2 in. × 4 in. ×

VERIFICA

Ec. (11-1)

1 in., con dos barras No. 3 4

14 - 8

Ejemplo 14.2 – Diseño para corte por fricción (Plano de corte inclinado) Para la viga apoyada sobre una pilastra como se ilustra a continuación, diseñar para transferencia de corte a través del potencial plano de fisuración. Asumir que se produce una fisura que forma un ángulo de aproximadamente 20 grados respecto de la vertical. Las reacciones de la viga son D = 25 kips, L = 30 kips. Usar T = 20 kips como una estimación de los efectos de la contracción y variación de la temperatura. f 'c = 3500 psi; f y = 60.000 psi 8" 1"

4"

Viga Prefabricda

D+L

T

Tabique

20º

Placa de apoyo

Potencial plano de fisuración

Pilastra Elevación

Planta

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Cargas mayoradas a considerar: Reacción de la viga: R u = 1, 2D + 1, 6L = 1, 2 ( 25 ) + 1, 6 ( 30 ) = 30 + 48 = 78 kips

Ec. (9-2)

Efectos de la contracción y la temperatura: Tu = 1, 6 ( 20 ) = 32 kips

11.9.3.4

(valor determinante)

pero no menor que 0, 2 ( R u ) = 0, 2 ( 7,8 ) = 15, 6 kips Observar que con T se utiliza el factor correspondiente a sobrecarga 1,6 debido al bajo nivel de certeza en la estimación de los efectos de la contracción y la temperatura bajo cargas de servicio. Además se considera un valor mínimo de 20 por ciento de la reacción de la viga (ver el artículo 11.9.3.4, diseño de ménsulas cortas). Ru cos α f

2. Evaluar las fuerzas a lo largo del potencial plano de corte.

Ru

Fuerza de corte directo transferida a lo largo del plano de corte: Vu = R u sin α f + Tu cos α f = 78 ( sin 70º ) + 32 ( cos 70º )

Ru sin α f

Tu sin α f Tu cos α f Tu

= 73,3 + 11, 0 = 84,3 kips Nu

Tracción (o compresión) neta en el plano de corte: N u = Tu sin α f − R u cos α f = 32 ( sin 70º ) − 78 ( cos 70º )

Vu

α f = 70º A f vf y Avf f y cos α f

20°

Avf fy sin α f

= 30,1 − 26, 7 = 3, 4 kips (tracción neta)

(A vf fy sin α f ) µ

14 - 9

Aún si las condiciones de carga provocaran compresión neta a través del plano de corte, esta compresión no se podría utilizar para reducir Avf, ya que existe una gran incertidumbre en la determinación de los efectos de la contracción y la temperatura. Además, el artículo 11.7.7 permite reducir Avf sólo en el caso de una compresión neta "permanente." 3. Armadura de corte por fricción para resistir la transferencia de corte directo. Usar µ correspondiente a hormigón colocado monolíticamente. A vf =

Vu φf y ( µ sin αf + cos α f )

Ec. (11-26)

µ = 1, 4λ = 1, 4 × 1, 0 = 1, 4

A vf =

11.7.4.3

84,3 = 1,13 in.2 0, 75 × 60 (1, 4sin 70º + cos 70º )

(µ de 11.7.4.3)

4. Armadura para resistir la tracción neta. An =

Nu 3, 4 = = 0, 08 in.2 φf y ( sin α f ) 0, 75 × 60 ( sin 70º )

Debido a que la falla es controlada fundamentalmente por corte, usar φ = 0,75 (ver 11.9.3.1, diseño de ménsulas cortas). 5. Sumar Avf y An para obtener el área total de armadura requerida. Distribuir la armadura uniformemente sobre el potencial plano de fisuración. As = 1,13 + 0, 08 = 1, 21 in.2

Usar estribos cerrados No. 3 (2 ramas por estribo) Número requerido = 1,21 / [2 (0,11)] = 5,5

adoptamos 6,0 estribos.

Los estribos se deben distribuir sobre el potencial plano de fisuración; longitud aproximada = 5/(tan 20º) ≈ 14 in.

5"

14"

Usar 6 estribos cerrados No. 3 separados _ 3 in. en la parte superior de la pilastra +

6 estribos No. 3 separación 3"

Armadura del tabique

14 - 10

6. Verificar la armadura requerida solamente para carga permanente más los efectos de la contracción y la temperatura. Usar un factor de carga de 0,9 para la carga permanente de manera de maximizar la tracción neta a través del plano de corte. R u = 0,9D = 0,9 ( 25 ) = 22,5 kips, Tu = 32 kips Vu = 22,5 ( sin 70º ) + 32 ( cos 70º ) = 21,1 + 11, 0 = 32,1 kips N u = 32 ( sin 70º ) − 22,5 ( cos 70º ) = 30,1 − 7, 7 = 22, 4 kips (tracción neta)

A vf =

32,1 = 0, 43 in.2 0, 75 × 60 (1, 4sin 70º + cos 70º )

An =

22, 4 = 0,53 in.2 0, 75 × 60 × sin 70º

As = 0, 43 + 0,53 = 0,96 in.2 < 1, 21 in.2

Por lo tanto, el diseño original para la totalidad de la carga permanente más la sobrecarga es determinante. 7. Verificar la máxima resistencia al corte permitida. Vn(max) = [ 0, 2f 'c A c ] ó [800A c ]

11.7.5

Tomando el ancho de la pilastra como 16 in.:  5  2 Ac =   × 16 = 234 in.  sin 20º  Vn(max) = 0, 2 ( 3500 )( 234 ) / (1000 ) = 164 kips

(valor determinante)

o bien Vn(max) = 800 ( 234 ) / (1000 ) = 187 kips φVn(max) = 0, 75 (164 ) = 123 kips Vu = 84,3 kips ≤ φVn(max) = 123 kips

VERIFICA

Ec. (11-1)

14 - 11

15 Ménsulas y entalladuras horizontales en vigas

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Antes del Código 2002, los requisitos del artículo 11.9 sólo eran aplicables a las ménsulas en las cuales la relación entre la luz de corte y la profundidad, a/d, era menor o igual que 1,0. El Código 2002 permite utilizar los requisitos del Apéndice A, Modelos de Bielas y Tirantes, para diseñar ménsulas con relaciones a/d menores que 2,0 (11.9.1). Ver la Parte 17.

11.9

LÍMITES DE APLICACIÓN DE LOS REQUISITOS PARA MÉNSULAS

El procedimiento de diseño para ménsulas reconoce el comportamiento como viga de gran altura o como reticulado simple de estos elementos con baja longitud de corte, como se ilustra en la Figura 15-1. Se deben impedir los cuatro modos de falla potenciales indicados en la Figura 15-1: (1) Falla por corte directo en la interfase entre la ménsula y el elemento en que se apoya; (2) Fluencia de la armadura traccionada por el momento y la tracción directa; (3) Aplastamiento de la "biela" comprimida interna; y (4) Falla localizada por aplastamiento o por corte debajo del área cargada. Para diseñar ménsulas en las cuales la relación entre la luz de corte y la altura, a/d, es menor que 2, se pueden usar los requisitos del Apéndice A. Los requisitos de los artículos 11.9.3 y 11.9.4 se permiten cuando a/d ≤ 1 y la fuerza horizontal Nuc ≤ Vn. Independientemente del método de diseño utilizado, se deben satisfacer los requisitos de los artículos 11.9.2, 11.9.3.2.1, 11.9.3.2.2, 11.9.5 y 11.9.6. Cuando a/d es mayor que 2,0 las ménsulas se deben diseñar como voladizos, utilizando los requisitos aplicables para flexión y corte.

(1) Plano de corte (2) Tirante de tracción (3) Biela de compresión (4) Apoyo localizado

a

Vu

2

Nuc

φAsfy

4

1

h

d

3

Figura 15-1 – Comportamiento estructural de una ménsula

11.9.1 - 11.9.5 Requisitos de diseño La sección crítica para el diseño de las ménsulas se toma en la cara del apoyo. Esta sección se debe diseñar para que resista simultáneamente un esfuerzo de corte Vu, un momento Mu = Vua + Nuc (h – d), y una fuerza de tracción horizontal Nuc (11.9.3). El valor de Nuc no debe ser menor que 0,2Vu, a menos que se adopten disposiciones especiales para evitar las fuerzas de tracción (11.9.3.4). Este valor mínimo de Nuc se ha establecido para tomar en cuenta el comportamiento incierto de las uniones deslizantes y/o los apoyos flexibles. Además, típicamente la fuerza de tracción Nuc se debe a causas indeterminadas tales como la contracción restringida o las tensiones de origen térmico. En cualquier caso, esta fuerza se debe considerar siempre como una sobrecarga a la cual se aplicará un factor de carga igual a 1,6 (11.9.3.4). Debido a que el diseño de las ménsulas es controlado fundamentalmente por corte, el artículo 11.9.3.1 especifica que el factor de reducción de la resistencia, φ, se debe tomar igual a 0,75 para todas las condiciones de diseño. Para el hormigón de peso normal, la resistencia al corte Vn se limita al menor valor entre 0,2f'cbwd y 800bwd (11.9.3.2). Para el hormigón liviano, Vn está limitada por los requisitos del artículo 11.9.3.2.2, los cuales son más restrictivos que los correspondientes a hormigón de peso normal. Ensayos realizados han demostrado que en el caso del hormigón liviano Vn depende de f'c y de a/d. Para las ménsulas la armadura requerida es: Avf = área de armadura de corte por fricción para resistir el corte directo Vu, calculada de acuerdo con el artículo 11.7 (11.9.3.2). Af =

área de armadura de flexión para resistir el momento Mu = Vua + Nuc (h – d), calculada de acuerdo con los artículos 10.2 y 10.3 (11.9.3.3).

An = área de armadura para resistir la fuerza de tracción directa Nuc, calculada de acuerdo con el artículo 11.9.3.4. En la Figura 15-2 se ilustra la armadura que se debe proveer, incluyendo:

15 - 2

As = armadura principal de tracción Ah = armadura de corte (estribos cerrados) Esta armadura se provee de manera tal que la armadura total As + Ah que atraviesa la cara del apoyo sea el valor mayor entre (a) Avf + An, y (b) 3Af /2 + An para satisfacer criterios basados en resultados de ensayos.15.1 Si el caso determinante es (a) (es decir, Avf > 3Af/2): As = A vf + A n − A h = A vf + A n − 0,5 ( A s − A n )

11.9.4

o bien

As = 2A vf / 3 + A n (armadura principal de tracción)

y

A h = ( 0,5 ) ( As − A n ) = A vf / 3 (estribos cerrados)

11.9.4

Si el caso determinante es (b) (es decir, 3Af /2 > Avf): As = 3A f / 2 + A n − A h = 3A f / 2 + A n − 0,5 ( As − A n )

o bien

As = A f + A n (armadura principal de tracción)

y

A h = ( 0,5 ) ( As − A n ) = A f / 2 (estribos cerrados)

De acuerdo con el artículo 11.9.4, tanto en el caso (a) como en el caso (b), A h = ( 0,5 ) ( As − A n ) determina la cantidad de armadura de corte que se debe proveer en forma de estribos cerrados paralelos a As distribuidos en forma uniforme dentro de una distancia igual a (2/3 d) adyacente a As. Se requiere una cuantía mínima de armadura principal de tracción ρmin = 0,04f´c/fy para asegurar un comportamiento dúctil una vez que se produce fisuración bajo la acción del momento y la fuerza de tracción directa (11.9.5).

a

placa de apoyo N uc

As (armadura principal de tracción)

Vu

barra de anclaje

h

2 3d d

A h (estribos cerrados) barra para anclar los estribos cerrados

Figura 15-2 – Armadura de una ménsula 15 - 3

ENTALLADURAS HORIZONTALES EN VIGAS Las vigas que tienen entalladuras horizontales se deben diseñar para los efectos globales de flexión, corte, esfuerzos axiales y torsión que actúan en el elemento, como así también para los efectos locales en la proximidad de la entalladura (Referencias 15.2 y 15.6). El Código no trata específicamente el diseño de las entalladuras horizontales en vigas. Esta sección sólo abarca los modos de falla localizados y los requisitos de armadura para impedir estas fallas. El diseño de las entalladuras de las vigas es similar al de las ménsulas en cuanto a las condiciones de carga, pero en las entalladuras de vigas se deben considerar requisitos de diseño y detalles de armado adicionales. En consecuencia, aún cuando el Código no lo trata específicamente, este capítulo presenta el diseño de las entalladuras horizontales en vigas. En la Figura 15-3 se ilustran algunos de los modos de falla ya descritos al hablar de las ménsulas. Sin embargo, en el caso de las entalladuras se deberán considerar dos modos de falla adicionales (ver Figura 15-3): (5) separación entre la entalladura y el alma de la viga cerca de la parte superior de la entalladura en la proximidad de la carga de la entalladura, y (6) punzonado. La carga vertical aplicada a la entalladura es resistida por una biela comprimida. A su vez, la componente vertical de la biela comprimida inclinada debe ser tomada por los estribos del alma (ramas de los estribos Av adyacentes a la cara lateral del alma) que actúan como armadura "de suspensión" para llevar la carga de la entalladura a la parte superior de la viga. En la esquina formada por la intersección de la entalladura y el alma aparecerá una fisura diagonal que se extenderá hasta el estribo y continuará adyacente al mismo. Por este motivo, para calcular el momento debido a Vu se utiliza una luz de corte, af, ligeramente mayor. Ahora bien, la sección crítica para el momento se toma en el centro de los estribos de la viga, y no en la cara de la viga. Además, para las entalladuras horizontales en las vigas, para la resistencia a la flexión el brazo de momento interno no se debe tomar mayor que 0,8h.

A vfy Vu af 4

5

(1) Plano de corte (2) Tirante de tracción (3) Biela de compresión (4) Apoyo localizado (5) Separación (6) Punzonado

2

Nuc 1

h

d

3

6

Figura 15-3 – Comportamiento estructural de una entalladura horizontal en una viga El procedimiento de diseño descrito en esta sección se basa en investigaciones realizadas por Mirza y Furlong (Referencias 15.3 a 15.5). La información clave que necesita el ingeniero es poder establecer el ancho efectivo de la entalladura para cada uno de los potenciales modos de falla. Mirza y Furlong determinaron estos anchos efectivos realizando estudios analíticos cuyos resultados han sido verificados mediante ensayos a gran escala. Las entalladuras horizontales en las vigas también se pueden diseñar aplicando el procedimiento de diseño por bielas y tirantes (ver la discusión correspondiente en la Parte 32). El diseño para impedir los modos de falla localizados exige considerar las siguientes acciones: 1. Corte Vu 2. Fuerza de tracción horizontal Nuc mayor o igual que 0,2Vu, pero nunca mayor que Vu 3. Momento Mu = Vuaf + Nuc (h – d) La armadura para los diferentes modos de falla se determina en base a los anchos efectivos o secciones críticas que se discuten a continuación. En todos los casos, las resistencias requeridas (Vu, Mu, Nu) nunca deben ser menores o iguales que las resistencias de diseño (φVn, φMn, φNn). El factor de reducción de la resistencia φ se toma igual a 0,75 para todas las acciones, igual que en el caso 15 - 4

de las ménsulas. A continuación se indican los requisitos de resistencia para los diferentes modos de falla en el caso de hormigón de peso normal. Si se utiliza hormigón de agregados livianos se deberán realizar las modificaciones especificadas en el artículo 11.2. a. Corte por fricción En la Figura 15-4 se ilustran los parámetros que afectan la determinación de la armadura de corte por fricción. Vu ≤ 0, 2φf 'c ( W + 4a ) d

(1)

≤ φµA vf f y

donde d = profundidad efectiva de la entalladura desde el baricentro de la capa superior de armadura transversal de la entalladura hasta la parte inferior de la entalladura (ver Figura 15-4) µ = coeficiente de fricción de acuerdo con el artículo 11.7.4.3 Observar que de acuerdo con el artículo 11.7.5 se debe satisfacer 0, 2f 'c ≤ 800 psi. Si ( W + 4a ) > S , entonces Vu ≤ 0, 2φf 'c Sd , siendo S la distancia entre centros de apoyos adyacentes en la misma entalladura. En los extremos de la entalladura, Vu ≤ 0, 2φf 'c ( 2c ) d , siendo c la distancia entre el centro del apoyo del extremo y el extremo de la entalladura. Sin embargo, 2c debe ser menor o igual que el menor valor entre (W + 4a) y S.

a

Vu

Vu

d

w w + 4a

Figura 15-4 – Corte por fricción b. Flexión En la Figura 15-5 se ilustran las condiciones correspondientes a flexión y tracción directa. Vu a f + N uc ( h − d ) ≤ φA f f y ( jd )

(2)

N uc ≤ φA n f y

La armadura principal de tracción As debe ser igual al mayor valor entre (Af + An) ó (2Avf /3 + An). Si (W + 5af) > S, la armadura se debe colocar en una distancia S. En los extremos de la entalladura, la armadura se debe colocar en una distancia (2c), siendo c la distancia entre el centro del apoyo del extremo y el extremo de la entalladura, pero nunca mayor que 1/2 (W + 5af). La Referencia 15.5 recomienda adoptar jd= 0,8d.

15 - 5

af Vu

Vu

Nuc d

W

h

W + 5af

Figura 15-5 – Flexión y tracción directa c. Corte por punzonado En la Figura 15-6 se ilustra el perímetro crítico para el corte por punzonado. Vu ≤ 4φ f 'c ( W + 2L + 2d f ) d f

(3)

donde df = profundidad efectiva de la entalladura entre la parte superior de la entalladura y el centro de la armadura transversal inferior (ver Figura 15-6). Las pirámides truncadas correspondientes a apoyos adyacentes no se deben superponer. En los extremos de la entalladura, Vu ≤ 4φ f 'c ( W + L + d f ) d f

df 2

df 2

Vu

W

df 2 df 2

df

L

Figura 15-6 – Corte por punzonado d. Armadura de suspensión La armadura de suspensión se debe dimensionar de manera que satisfaga los criterios de resistencia. Además, si la entalladura estará sujeta a un gran número de sobrecargas repetitivas, como en el caso de los edificios para estacionamiento de vehículos y en los puentes, se deberá considerar el comportamiento en servicio. Como se ilustra en la Figura 15-7, la resistencia es determinada por Vu ≤ φ

Avfy s

S

(4)

15 - 6

donde Av = área de una rama de la armadura de suspensión S = distancia entre las cargas que actúan en la entalladura s

= separación de la armadura de suspensión

El comportamiento en servicio está determinado por Vu ≤

(

A v 0,5f y s

)

( W + 3a )

(5)

donde V es la reacción debida a las cargas permanentes y sobrecargas de servicio.

a

Av , s

Vu Vu , s W

W + 3a Figura 15-7 – Armadura de suspensión para impedir que la entalladura se separe del alma Además, la armadura de suspensión de las Te invertidas está determinada por la consideración del modo de falla por corte ilustrado en la Figura 15-8: 2Vu ≤ 2  2φ f 'c bf d 'f  + φ

donde

Avfy s

( W + 2d 'f )

(6)

d'f = profundidad del ala entre la parte superior de la entalladura y el centro de la armadura longitudinal inferior (ver Figura 15-8).

Vu

Av , s

Vu

Vu

W

d'f

bf

W + 2d'f

Figura 15-8 – Armadura de suspensión para impedir que la entalladura se separe parcialmente del alma y el corte de la entalladura 15 - 7

11.9.6

Desarrollo y anclaje de la armadura

Todas las armaduras se deben desarrollar completamente a ambos lados de la sección crítica. En general el anclaje dentro del apoyo se materializa mediante una longitud embebida o ganchos. En las ménsulas la distancia entre la carga y la cara del apoyo generalmente es corta, de manera que es necesario proveer anclaje especial en los extremos exteriores tanto de la armadura principal As como de la armadura de corte Ah. Normalmente el anclaje de As se logra soldando una barra de anclaje de igual tamaño en los extremos de As (Figura 15-9(a)), o bien soldándola a un perfil de guardia. En el primero de los casos, la barra de anclaje debe estar ubicada más allá del borde del área cargada. Si el anclaje se materializa mediante un gancho o un doblando As, la carga no se debe proyectar más allá de la porción recta del gancho o codo (Figura 15-9(b)). En las entalladuras horizontales en vigas, el anclaje se puede lograr mediante un gancho o doblando la armadura, siendo aplicable la misma limitación referida a la ubicación de la carga (Figura 15-10). Si una ménsula o la entalladura de una viga se diseñan para resistir ciertas fuerzas horizontales específicas, la placa de apoyo se debe soldar a As. Armadura principal, A s

La carga no debe sobrepasar esta línea ℓw = 3/4 db Re cta

t w =d b /2 db t w =db /2 db Barra de anclaje

Superficie cargada

Curva

ℓw = 3/4 db

As (a)

(b)

Figura 15-9 – Detalles de anclaje usando (a) soldadura a una barra transversal y (b) barra doblada Los estribos cerrados usados para Ah deben estar anclados de manera similar, generalmente rodeando una barra del mismo diámetro que los estribos cerrados dispuesta especialmente para tal fin (ver Figura 15-2)

rama del estribo de la viga A v

(A s+ A h)*

Vu El apoyo no se debe prolongar más allá de la zona recta de las barras (As + Ah) (11.9.7)

Nu Zona recta * Se limita a barras pequeñas por el tipo de doblado requerido.

Figura 15-10 – Detalles de armado de la entalladura horizontal en una viga

15 - 8

REFERENCIAS 15.1

Mattock, Alan H., Chen, K.C. y Soongswang, K., "The Behavior of Reinforced Concrete Corbels," PCI Journal, Prestressed Concrete Institute, V. 21, No. 2, Marzo-Abril 1976, pp. 52-77.

15.2

Klein, G-J., "Design of Spandrel Beams," PCI Journal, V. 31, No. 5, Setiembre-Octubre 1986, pp. 76-124.

15.3

Mirza, Sher Ali y Furlong, Richard W., "Strength Criteria for Concrete Inverted T-Girder," Journal of Structural Engineering, V. 109, No. 8, Agosto 1983, pp. 1836-1853.

15.4

Mirza, Sher Ali y Furlong, Richard W., "Serviceability Behavior and Failure Mechanisms of Concrete Inverted T-Beam Bridge Bent Caps," ACI Journal, Proceedings, Vol. 80, No. 4, Julio-Agosto 1983, pp. 294-304.

15.5

Mirza, Sher Ali y Furlong, Richard W., "Design of Reinforced and Prestressed Concrete Inverted T-Beams for Bridge Structures," PCI Journal, Vol. 30, No. 4, Julio-Agosto 1985, pp. 112-136.

15.6

"Design of Concrete Beams for Torsion," Portland Cement Association, Skokie, Illinois, 1999.

15 - 9

Ejemplo 15.1 – Diseño de una ménsula corta Diseñar una ménsula corta con las dimensiones mínimas necesarias para soportar una viga como se ilustra a continuación. La ménsula se proyecta a partir de una columna cuadrada de 14 in. de lado. La restricción de la fluencia lenta y la contracción crea una fuerza horizontal de 20 kips en el apoyo soldado. f 'c = 5000 psi

(hormigón de peso normal)

f y = 60.000 psi

Viga

Reacciones de la viga: Placa de apoyo de acero de 1/2"

DL = 24 kips

Ménsula de apoyo

LL = 37,5 kips T = 20 kips

Columna

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Dimensionar la placa de apoyo en base a la resistencia al aplastamiento del hormigón según el artículo 10.17. El ancho de la placa de apoyo es de 14 in. Vu = 1, 2 ( 24 ) + 1, 6 ( 37,5 ) = 88,8 kips

Ec. (9-2)

Vu ≤ φPnb = φ ( 0,85f 'c A1 )

10.17.1

φ = 0, 65

9.3.2.4 Cara de la columna 1" max

88,8 = 0, 65 ( 0,85 × 5 × A1 ) = 2, 763A1

Cara de la viga a

A1 =

Vu

88,8 = 32,14 in.2 2, 763

Longitud de apoyo

32,14 = 2,30 in. 14

Usar una placa de apoyo rectangular de 2,5 in. × 14 in.

1"

Asumir barra #8 h

2. Determinar la luz de corte 'a' con una luz máxima de 1 in. en el extremo de la viga. Se asume que la reacción de la viga actúa en el punto correspondiente a un tercio de la placa de apoyo para simular la rotación de la viga soportada y la distribución triangular de las tensiones debajo de la placa de apoyo. a=

Nuc

placa 3/8"

2 ( 2,5 ) + 1, 0 = 2, 67 in. 3

Usar a = 3 in. máximo. 15 - 10

d

1" 2,5"

1"

1,5" 0,5"

Detallar la barra transversal justo afuera del borde exterior del apoyo. 3. Determinar la altura total de la ménsula en base a la resistencia al corte limitante Vn. Vn es el menor valor entre Vn = 800 bwd (valor determinante)

11.9.3.2.1

o bien Vn = 0, 2f 'c b w d = ( 0, 2 × 5000 ) b w d = 1000b w d Por lo tanto, Vu ≤ φVn = φ ( 800b w d )

d requerida =

88.800 = 10,57 in. 0, 75 ( 800 × 14 )

Suponiendo una barra No. 8, placa de acero de 3/8 in., más la tolerancia, h = 10,57 + 1, 0 = 11,57 in.

Usar h = 12 in.

Para el diseño, d = 12,0 – 1,0 = 11,0 in. a = 0, 27 < 1 d

VERIFICA

11.9.1

Además, N uc = 1, 6 × 20 = 32, 0 kips (tratar como sobrecarga) N uc < Vu = 88,8 kips

VERIFICA

4. Determinar la armadura de corte por fricción Avf. A vf =

11.9.3.2

Vu 88,8 = = 1, 41 in.2 φf y µ 0, 75 ( 60 )(1, 4 × 1)

11.7.4.1

5. Determinar la armadura de tracción directa An. An =

N uc 32, 0 = = 0, 71 in.2 φf y 0, 75 × 60

11.9.3.1

6. Determinar la armadura de flexión Af.

11.7.4.3

M u = Vu a + N uc ( h − d ) = 88,8 ( 3) + 32 (12 − 11) = 298, 4 in. − kips

11.9.3.3

Hallar Af usando métodos convencionales para diseño a flexión o bien, conservadoramente, usar jud = 0,9d. Af =

298, 4 = 0, 67 in.2 0, 75 ( 60 )( 0,9 × 11)

Observar que para todos los cálculos φ = 0,75.

11.9.3.1 11.9.3.5

7. Determinar la armadura principal de tracción As

15 - 11

2 2 2 A vf = (1, 41) = 0,94 in.2 > A f = 0, 67 in.2 ; por lo tanto, A vf determina el diseño. 3 3 3 As =

2 A vf + A n = 0,94 + 0, 71 = 1, 65 in.2 3

Usar 2 barras No. 9, As = 2,0 in.2 Verificar armadura mínima: f' ρmin = 0, 04  c  fy 

11.9.5

  5   = 0, 04   = 0, 0033   60  

As(min) = 0, 0033 (14 )(11) = 0,51 in.2 < As = 2, 0 in.2

VERIFICA

8. Determinar la armadura de corte Ah.

11.9.4

A h = 0,5 ( As − A n ) = 0,5 ( 2, 0 − 0, 71) = 0, 65 in.2

Usar 3 estribos No. 3, A h = 0, 66 in.2 Distribuir los estribos en los dos tercios de altura efectiva de la ménsula adyacentes a As. 1" max

3"

d = 11"

h= 12"

Placa de acero 5 x 14 x 3 8" 3"

barra transv. #9 soldada

7" > d/2

2 barras #9 (Aº principal)

Placa de acero 2 12 x 14 x 12"

6 12 "

412 31 4

6"

Soldar a 2" x 2" x 1 4" 6" >d/2

Gancho normal

3 estribos cerrados #3 a 2" e/c barra #3

5 3 Ménsula más pequeña permitida con guardacanto de perfil de acero

15 - 12

11.9.7

Ejemplo 15.2 –

Diseño de una ménsula corta, usando hormigón liviano y el Método de Corte por Fricción Modificado

Diseñar una ménsula corta que se proyecta a partir de una columna cuadrada de 14 in. de lado para soportar las siguientes reacciones de viga: 1" max

carga permanente = 32 kips sobrecarga = 30 kips

Vu

fuerza horizontal = 24 kips

a N uc

f 'c = 4000 psi (hormigón liviano) h

f y = 60.000 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Dimensionar la placa de apoyo. Vu = 1, 2 ( 32 ) + 1, 6 ( 30 ) = 86, 4 kips

Ec. (9-2)

Vu ≤ φPnb = φ ( 0,85f 'c A1 )

10.17.1

φ = 0, 65

9.3.2.4

86, 4 = 0, 65 ( 0,85 × 4 × A1 )

Resolviendo, A1 = 39,1 in.2 Longitud de apoyo requerida =

39,1 = 2,8 in. 14

Usar una placa de apoyo de 14 in. × 3 in. 2. Determinar a. Suponer que la reacción de la viga actúa en el punto correspondiente al tercio exterior de la placa de apoyo, y que hay una luz de 1 in. entre la parte posterior de la placa de apoyo y la cara de la columna. Por lo tanto: a = 1+

2 ( 3) = 3 in. 3

3. Determinar la altura total de la ménsula en base a la resistencia al corte Vn. Para poder colocar la armadura y el hormigón más cómodamente, intentar con h = 15 in. Suponiendo una barra No. 8:

15 - 13

d = 15 − 0,5 − 0,375 = 14,13 in., digamos 14 in. a 3 = = 0, 21 < 1, 0 d 14

11.9.1

N uc = 1, 6 × 24 = 38, 4 kips < Vu = 86, 4 kips

VERIFICA

Para hormigón liviano y f'c = 4000 psi, Vn es el menor valor entre:

11.9.3.2.2

a 14  Vn =  800 − 280  b w d = 800 − ( 280 × 0, 21)  14 × = 145,3 kips d 1000   a 14  Vn =  0, 2 − 0, 07  f 'c b w d = 0, 2 − 0, 07 ( 0, 21)  ( 4000 )(14 ) = 145,3 kips d 4000   φVn = 0, 75 (145,3) = 109, 0 kips > Vu = 86, 4 kips

VERIFICA

4. Determinar la armadura de corte por fricción Avf.

11.9.3.2

Usando un Método de Corte por Fricción Modificado de acuerdo con lo permitido por el artículo 11.7.3 (ver R11.7.3): Vn = 0,8A vf f y + K1b w d, con

A vf f y bw d

no menor que 200 psi

Para hormigón liviano, K1 = 200 psi

(

Vu ≤ φVn = φ 0,8A vf f y + 0, 2b w d

R11.7.3

)

Resolviendo para Avf: A vf =

=

Vu − φ ( 0, 2b w d )

(

φ 0,8f y

)

, pero no menor que 0,2 ×

86, 4 − ( 0, 75 × 0, 2 × 14 × 14 ) 0, 75 ( 0,8 × 60 )

pero no menor que 0,2 ×

bw d fy

= 1,58 in.2 (valor determinante)

bw d 14 × 14 = 0, 2 × = 0, 65 in.2 fy 60

Para poder comparar, calcular Avf usando la Ecuación (11-25): Para hormigón liviano, µ = 1, 4λ = 1, 4 ( 0, 75 ) = 1, 05 A vf =

Vu 86, 4 = = 1,83 in.2 > 1,58 in.2 φf y µ 0, 75 × 60 × 1, 05

15 - 14

11.7.4.3

Nota: El método de corte por fricción modificado presentado en el artículo R11.7.3 permite estimar con mayor precisión la resistencia a la transferencia de corte que el método conservador del artículo 11.7.4.1. 5. Determinar la armadura de flexión Af.

11.9.3.3

M u = Vu a + N uc ( h − d ) = 86, 4 ( 3) + 38, 4 (15 − 14, 0 ) = 297, 6 in.-kips

Hallar Af usando métodos convencionales para diseño a flexión o bien, conservadoramente, usar jud = 0,9d. Af =

Mu 297, 6 = = 0,53 in.2 φf y ju d 0, 75 × 60 × 0,9 × 14

Observar que para todos los cálculos φ = 0.75.

11.9.3.1

6. Determinar la armadura de tracción directa An.

11.9.3.4

An =

N uc 38, 4 = = 0,85 in.2 φf y 0, 75 × 60

7. Determinar la armadura principal de tracción As.

11.9.3.5

2 2 2 2 2   A vf =  1,83=1,22 in. > A f =0,53 in. ; por lo tanto,   A vf determina el diseño. 3 3     3 2 As =   A vf + A n = 1, 22 + 0,85 = 2, 07 in.2 3

Usar 3 barras No. 8, As = 2,37 in.2  4  Verificar As(min) = 0, 04  14 × 14 = 0,52 in.2 < As = 2,37 in.2  60 

VERIFICA

8. Determinar la armadura de corte Ah.

11.9.4

A h = 0,5 ( As − A n ) = 0,5 ( 2,37 − 0,85 ) = 0, 76 in.2

Usar 4 estribos No, 3, Ah = 0,88 in.2 La armadura de corte se debe colocar en una distancia igual a dos tercios de la altura efectiva de la ménsula adyacente a As.  2  14 s(max) =   = 2,33 in. 3 4

11.9.5

Usar una separación de 2 1/4 in. entre los centros de los estribos.

9. Detalles de la ménsula. La ménsula se proyectará (1 + 3 + 2) = 6 in. a partir de la cara de la columna. Usar una altura de 6 in. en la cara exterior de la ménsula, luego la altura en el borde exterior de la placa de apoyo será:

15 - 15

6 + 3 = 9 in. >

14 = 7, 0 in. 2

VERIFICA

11.9.2

As se debe anclar en la cara frontal de la ménsula soldando una barra No. 8 transversalmente en los extremos de las barras de As. As se debe anclar dentro de la columna por medio de ganchos normales. 1" Max.

Barra transv. No. 8 Soldada

6" 3"

2"

3 barras No. 7 soldadas a la placa de apoyo

6"

3"

15"

3 2

Gancho Normal

4 estribos No. 3 separados 214" entre centros, y una barra No. 3 como la ilustrada

15 - 16

11.9.6

Ejemplo 15.3 – Diseño de una entalladura horizontal en una viga f 'c = 5000 psi (hormigón de peso normal) f y = 60.000 psi 1"

24"

w Vu

L

7"

Nervios a 48" entre centros. Ninguno está ubicado cerca del extremo de la viga. b = 5" Placa de apoyo 4-1/2" x 4-1/2"

b

h=12"

12"

d=10,75"

Nuc

6"

bw Ancho efectivo

La viga en L ilustrada debe soportar un tablero para estacionamiento de vehículos formado por vigas tipo Te doble con una luz de 64 ft. Las máximas cargas de servicio por nervio de la Te doble son: DL = 11,1 kips; LL = 6,4 kips; carga total = 17,5 kips. Las cargas pueden ocurrir en cualquier ubicación sobre la entalladura de la viga en L, excepto cerca de los extremos de la viga. Los nervios de las vigas tipo Te doble apoyan sobre placas de neopreno de 4,5 in. × 4,5 in. × 1/4 in. (carga máxima de servicio = 1000 psi) El diseño de acuerdo con los requisitos del código para ménsulas y entalladuras de viga puede requerir el uso de una entalladura más ancha que las 6 in. indicadas. Para mantener el ancho de 6 in. es posible que sea necesario: (1) Utilizar una placa de apoyo de mayor resistencia (hasta 2000 psi), o bien (2) Anclar la armadura principal de la entalladura As a un perfil de guardia. Este ejemplo se basará en la entalladura de 6 in. de ancho con la placa de apoyo cuadrada de 4,5 in. de lado. Al final del ejemplo se mostrará un diseño alternativo. Nota: Este ejemplo ilustra el diseño para impedir los potenciales modos de falla locales. Además, las entalladuras se deben diseñar para los efectos globales (no considerados en este ejemplo). Las Referencias 15.2 a 15.6 contienen más información sobre este tema.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Verificar las dimensiones de la placa de apoyo (4,5 × 4,5 in.) (carga máxima de servicio 1000 psi). Capacidad = 4,5 × 4,5 × 1, 0 = 20,3 kips > 17,5 kips

VERIFICA

2. Determinar las luces de corte y alturas efectivas tanto para corte como para flexión (Referencias 15.3 a 15.5). La reacción se considera aplicada en el punto correspondiente al tercio exterior de la placa de apoyo. a. Para corte por fricción 2 a = 4,5   + 1, 0 = 4 in. 3

15 - 17

Ancho efectivo = W + 4a = 4,5 + 4 ( 4 ) = 20,5 in. b. Para la flexión la sección crítica se encuentra en el centro de la armadura de suspensión (Av) Asumir un recubrimiento de 1 in. y estribos formados por barras No. 4 a f = 4 + 1 + 0, 25 = 5, 25 in.

Ancho efectivo = W + 5a f = 4,5 + 5 ( 5, 25 ) = 30, 75 in. 3. Verificar la resistencia al aplastamiento del hormigón Vu = 1, 2 (11,1) + 1, 6 ( 6, 4 ) = 23, 6 kips

Ec. (9-2)

φPnb = φ ( 0,85f 'c A1 )

10.17.1

φ = 0, 65

9.3.2.4

φPnb = 0, 65 ( 0,85 × 5 × 4, 5 × 4, 5 ) = 55,9 kips > 23, 6 kips

VERIFICA

4. Verificar la sección efectiva de la entalladura para la máxima resistencia nominal al corte, Vn.

11.9.3.2.1

Para f 'c = 5000 psi : Vn (max) = 800b w d, donde b w = ( W + 4a ) = 20,5 in. Vn =

800 ( 20,5 )(10, 75 ) 1000

= 176,3 kips

φ = 0, 75 φVn = 0, 75 (176, 3) = 132, 2 kips > 23, 6 kips

11.9.3.1 VERIFICA

5. Determinar la armadura de corte por fricción, Avf. A vf =

11.9.3.2

Vu 23, 6 = = 0,37 in.2 / por ancho efectivo de 20,5 in. φf y µ 0, 75 ( 60 )1, 4

donde µ = 1, 4

11.7.4.1 11.7.4.3

6. Verificar el corte por punzonado (Ecuación (3)). Vu ≤ 4φ f 'c ( W + 2L + 2d f ) d f W = L = 4,5 in. d ≈ 10 in. (valor supuesto) 4φ f 'c ( 3W + 2d f ) d f = 4 × 0, 75 × 5000 ( 3 × 4,5 ) + ( 2 × 10 )  × 10 /1000

15 - 18

= 71,1 kips > 23, 6 kips

7. Determinar la armadura para resistir la tracción directa, An. A menos que se adopten disposiciones especiales para reducir la tracción directa, Nu no se debe tomar menor que 0,2Vu para considerar las fuerzas inesperadas que se pueden producir debido a la restricción de las deformaciones a largo plazo del elemento soportado o debido a otras causas. Si la entalladura se diseña para resistir fuerzas horizontales específicas la placa de apoyo se debe soldar a la armadura de tracción, As. N u = 0, 2Vu = 0, 2 ( 23, 6 ) = 4, 7 kips

An =

(

)

Nu 4, 7 = = 0,10 in.2 / por ancho efectivo de 30,75 in. 0,003 in.2 / in. φf y 0, 75 ( 60 )

8. Determinar la armadura de flexión, Af. M u = Vu a f + N u ( h − d ) = 23, 6 ( 5, 25 ) + 4, 7 (12 − 10, 75 ) = 129,8 in.-kips

Hallar Af usando métodos convencionales para diseño a flexión. Para las entalladuras horizontales en vigas la Referencia 15.5 recomienda usar jud = 0,8d.

11.9.3.3

φ = 0, 75

11.9.3.1

Af =

129,8 = 0,34 in.2 / por 30, 75 in. de ancho = 0, 011 in.2 / in. 0, 75 ( 60 )( 0,8 × 10, 75 )

9. Determinar la armadura principal de tracción, As.

11.9.3.5

2 2 2 2   A vf =   0,37 = 0, 25 in. / por 20,5 in. de ancho = 0, 012 in. / in. 3 3     2 As =   A vf + A n = 0, 012 + 0, 003 = 0, 015 in.2 / in. 3

(valor determinante)

As = A f + A n = 0, 011 + 0, 003 = 0, 014 in.2 / in. f' Verificar As(min) = 0, 04  c  fy 

  d por in. de ancho  

11.9.5

 5  = 0, 04  10, 75 = 0, 036 in.2 / in. > 0, 015 in.2 / in.  60 

Para los elementos que tienen entalladuras de poca altura, el valor de As mínima dado por el artículo 11.9.5 casi siempre será determinante. 10. Determinar la armadura de corte, Ah. A h = 0,5 ( As − A n ) = 0,5 ( 0, 036 − 0, 003) = 0, 017 in.2 in.

11.9.4

11. Determinar el tamaño y la separación final de la armadura.

15 - 19

Para A s = 0, 036 in.2 / in. Intentar con barras No. 5 ( A = 0,31 in.2 ) s max =

0,31 = 8, 6 in. 0, 036

Usar barras No. 5 con una separación de 8 in. A h = 0, 017 in.2 / in. Para simplificar la construcción proveer la armadura Ah con la misma separación de 8 in.

Proveer Barras No. 4 ( A = 0, 2 in.2 ) con una separación de 8 in. en una distancia igual a 2/3d adyacente a As. 12. Verificar el área requerida de armadura de suspensión. Por motivos de resistencia (Ecuación (4)): Av =

Vu s φf yS

Para s = 8 in. y S = 48 in. Av =

23, 6 × 8 = 0, 09 in.2 0, 75 × 60 × 48

Por motivos de comportamiento en servicio (Ecuación (5)): Av =

V s × 0,5f y ( W + 3a )

V = 11,1 + 6, 4 = 17,5 kips W + 3a = 4,5 ( 3 × 4 ) = 16,5 in.

Av =

17,5 8 × = 0, 28 in.2 0,5 × 60 16,5

(valor determinante)

Se requieren barras de suspensión No. 5 con una separación de 8 in. Se deben disponer estribos suficientes para la combinación de corte y torsión para resistir los efectos globales en la entalladura de la viga (Ver Referencias 15.5 y 15.6). 13. Detalles de armado De acuerdo con el artículo 11.9.7, el área de apoyo (placa de 4,5 in.) no se debe extender más allá de la porción recta de la armadura de la entalladura de la viga, ni más allá del borde interno de la barra de anclaje transversal. Con una placa de apoyo de 4,5 in. esto exige aumentar el ancho de la entalladura a 9 in. como se ilustra a continuación. Alternativamente, otra manera de satisfacer la intención del artículo 11.9.7 sería usar una

15 - 20

entalladura de 6 in. con una placa de 3 in. de resistencia media (1500 psi), soldando la armadura de la entalladura a un perfil de guardia o guardacanto.

Final del apoyo como se describe en 11.9.7 6" Barra de suspensión 9"

Apoyo de 3"

4,5"

Perfil de guardia No. 5

No. 5 @ 8"

No. 5 @ 8"

No. 4 @ 8"

No. 4 @ 8"

Barra No. 3 Barra continuada [Ref. 15.3 - 15.5] Detalle de la entalladura de 9 in.

Detalle de la entalladura de 6 in. (Alternativa)

15 - 21

16 Corte en losas

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 La actualización consiste fundamentalmente en la revisión de los requisitos para la armadura de corte y los conectores de corte en losas. Específicamente, los requisitos que fueron revisados o agregados son los siguientes: •

Se revisó el artículo 11.12.3, el cual ahora incluye el espesor mínimo de losa requerido con armadura de corte.

•

Se revisó el artículo 11.12.3.1, en el cual ahora se define el área de armadura de corte calculada.

•

Se agregó un nuevo artículo 11.12.3.3 para incluir detalles sobre la colocación de la armadura de corte.

•

Se agregó un nuevo artículo 11.12.3.4 para especificar el anclaje de la armadura de corte.

•

Se revisó el artículo 11.12.6.2, el cual ahora especifica la terminación de la armadura de corte en las uniones losa-columna diseñadas para corte directo y transferencia de momento.

11.12

REQUISITOS ESPECIALES PARA LOSAS Y ZAPATAS

Para el diseño al corte de losas y zapatas se deben satisfacer los requisitos de la sección 11.12. Esta sección incluye requisitos sobre secciones de corte crítico, resistencia nominal al corte del hormigón y armadura de corte.

11.12.1

Sección crítica para el corte

En las losas y zapatas, la resistencia en la cercanía de las columnas, cargas concentradas o reacciones es gobernada por la más severa de las dos condiciones siguientes: •

Comportamiento como viga ancha, o corte en una sola dirección, de acuerdo con los requisitos de los artículos 11.1 a 11.5.

•

Comportamiento en dos direcciones, de acuerdo con los requisitos de los artículos 11.12.2 a 11.12.6.

El análisis para comportamiento como viga ancha considera que la losa actúa como una viga ancha entre las columnas. La sección crítica se extiende en un plano a través del ancho total de la losa, y se toma a una distancia d medida a partir de la cara del apoyo (11.12.1.1); ver la Figura 16-1. En este caso se deben satisfacer los requisitos de los artículos 11.1 a 11.5. A excepción de las losas largas y angostas, este tipo de corte rara vez es un factor crítico en el diseño, ya que el esfuerzo de corte generalmente está muy por debajo de la capacidad de corte del hormigón. Sin embargo, es necesario verificar que no se exceda la resistencia al corte.

Área tributaria

ℓ1

Centro de la luz de los paneles

Sección crítica

ℓ2

d

Figura 16-1 – Área tributaria y sección crítica para corte en una dirección El corte en dos direcciones, también llamado punzonado, es en general el corte más crítico en los sistemas de losas que apoyan directamente sobre columnas. Dependiendo de la ubicación de las columnas, cargas concentradas o reacciones, la falla se puede producir a lo largo de dos, tres o cuatro lados de un cono o pirámide truncada. El perímetro de la sección crítica bo está ubicado de manera tal que representa un mínimo, pero no es necesario que esté a una distancia menor que d/2 de los bordes o esquinas de las columnas, cargas concentradas o reacciones, o de las secciones donde varía la altura de la losa tales como los bordes de capiteles o ábacos (11.12.1.2); ver la Figura 16-2. En este caso se deben satisfacer los requisitos de los artículos 11.12.2 a 11.12.6. Es importante observar que para definir la sección crítica para columnas, cargas concentradas o superficies de reacción cuadradas o rectangulares, está permitido usar un perímetro rectangular bo (11.12.1.3).

11.12.2

Resistencia al corte requerida para comportamiento en dos direcciones

En general, el esfuerzo de corte mayorado, Vu, en la sección crítica para el corte debe ser menor o igual que la resistencia al corte φVn: φVn ≥ Vu

Ec. (11-1)

siendo la resistencia nominal al corte, Vn: Vn = Vc + Vs

Ec. (11-2)

y Vc = resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón, calculada de acuerdo con el artículo 11.12.2.1 si no se utiliza armadura de corte, o de acuerdo con el artículo 11.12.3.1 si se utiliza armadura de corte. Vs =

resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura, si se requiere, calculada de acuerdo con el artículo 11.12.3 si se utilizan barras, alambres o estribos, o de acuerdo con el artículo 11.12.4 si se utilizan conectores de corte. Cuando además de corte directo hay transferencia de momento entre la losa y la columna, se debe aplicar el artículo 11.12.6.

11.12.2.1 Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc, para losas sin armadura de corte La tensión de corte proporcionada en una sección por el hormigón, vc, depende de la tensión de compresión del hormigón, f'c, y en el caso de las columnas cuadradas se limita a un valor de 4 f 'c . La resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc, se obtiene multiplicando vc por el área de la sección de hormigón que resiste transferencia de corte, la cual es igual al perímetro de la sección crítica para corte, bo, multiplicada por la altura efectiva de la losa, d:

16 - 2

Área tributaria ℓ1

Centro de la luz

Sección crítica, bo

ℓ2 d/2

ℓ/3 (a) Columna

Secciones críticas, bo

c+d2

ℓ/3+d1

ℓ/3

h

d1

d2

Ábaco

ℓ/3+d1 (b) Ábaco Armadura de corte

Sección crítica, bo

d/2 (tip.)

Capitel de columna d/2

Secciones críticas, b o (c) Capitel de columna

(d) Armadura compuesta por barras o alambres

ℓv 0,75(ℓv-c1 /2)

c1

Secciones críticas, b o

d/2 (min.)

Conector de corte

(e) Armadura con conector de corte

Figura 16-2 – Áreas tributarias y secciones críticas para corte en dos direcciones 16 - 3

Vc = 4 f 'c bo d

Ec. (11-35)

Ensayos realizados indican que el valor 4 f 'c es no conservador cuando la relación entre el lado mayor y el lado menor de una columna o superficie cargada rectangular, βc, es mayor que 2,0. En estos casos, la tensión de corte en la sección crítica varía como se ilustra en la Figura 16-3. La Ecuación (11-33) toma en cuenta el efecto de βc sobre la resistencia al corte del hormigón:  4  Vc =  2 +  f 'c bo d β c  

Ec. (11-33)

En la Figura 16-3 se puede observar que para βc ≤ 2,0 (es decir, columnas o superficies cargadas cuadradas o prácticamente cuadradas) el comportamiento en dos direcciones es determinante, y que la máxima tensión de corte en el hormigón es vc = 4 f 'c . Para valores de βc mayores que 2,0 la tensión en el hormigón disminuye linealmente hasta un mínimo de 2 f 'c , lo cual equivale a la tensión de corte correspondiente a comportamiento en una dirección.

βc 10

5

3,33

2,5

2

1,67

1,43

1,25

1,11 1,0

Comportamiento en dos direcciones

4

Vc = ( 2 + 4 / βc ) f 'c bod

3

Vc f 'c bod Comportamiento como viga ancha

2

βc = c1 / c 2 c2

1

c1

0

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

1,0

1/ βc Figura 16-3 – Efecto de βc sobre la resistencia al corte del hormigón Otros ensayos indican que el valor de vc disminuye a medida que aumenta la relación bo/d. La Ecuación (11-34) toma en cuenta el efecto de bo/d sobre la resistencia al corte del hormigón:

16 - 4

α d  Vc =  s + 2  f 'c bo d  bo 

Ec. (11-34)

La Figura 16-4 ilustra el efecto de bo/d para columnas interiores, de borde y de esquina, siendo αs igual a 40, 30 y 20, respectivamente. Para una columna interior en la cual se verifica bo/d ≤ 2,0 la máxima tensión de corte admisible es 4 f 'c ; ver la Figura 16-4. Cuando bo/d > 2,0 la tensión de corte disminuye linealmente hasta llegar a 2 f 'c para bo/d igual a infinito.

βo 100

50

33,3

25

20

16,7

14,3

12,5

11,1 10

4 α s = 30 α s = 40 α s = 20

3 Vc = ( 2 + α s / βo ) f 'c bod

Vc f 'c bod

2 bo

βo = bo / d 1

d/2

0

0,02

0,04

0,05

0,06

0,08

0,10

1/ βo Figura 16-4 – Efecto de bo/d sobre la resistencia al corte del hormigón Observar que la referencia a columnas interiores, de borde y de esquina no se refiere a la ubicación de las columnas en la planta de una construcción, sino que se refiere al número de lados de la sección crítica disponibles para resistir la tensión de corte. Por ejemplo, una columna que está ubicada en el interior de un edificio pero que tiene uno de sus lados en el borde de una abertura se debe evaluar como una columna de borde. La resistencia nominal al corte para comportamiento en dos direcciones de las losas sin armadura de corte es el menor de los valores dados por las Ecuaciones (11-33), (11-34) y (11-35) (11.12.2.1). Observar que si se utiliza hormigón liviano se deben aplicar los requisitos de 11.2.

16 - 5

11.12.3

Resistencia al corte proporcionada por barras, alambres o estribos de una o múltiples ramas

Está permitido usar barras, alambres o estribos de una o múltiples ramas como armadura de corte en las losas, siempre que la altura efectiva de la losa sea mayor o igual que 6 in., pero no menor que 16 veces el diámetro de las barras usadas como armadura de corte (11.12.3). La armadura de corte sugerida consiste en estribos de una rama, estribos de múltiples ramas o estribos cerrados anclados de forma adecuada, vinculados a la armadura longitudinal tanto en la parte superior como en la parte inferior de la losa (11.12.3.4); ver las Figuras R11.12.3(a), (b) y (c). Cuando se utiliza armadura de corte, la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc, no se debe tomar mayor que 2 f 'c bo d (11.12.3.1), y la resistencia nominal al corte, Vn, está limitada a 6 f 'c bo d (11.12.3.2). Por lo tanto, Vs no debe ser mayor que 4 f 'c bo d . El área de armadura de corte, Av, se calcula usando la Ecuación (11-15), y es igual al área de la sección transversal de todas las ramas de armadura en una línea periférica que es geométricamente similar al perímetro de la sección de la columna (11.12.3.1):

Av =

Vs s fyd

Ec. (11-15)

Los límites de separación del artículo 11.12.3.3 corresponden a detalles de armado que han demostrado ser efectivos. Estos límites son los siguientes (ver Figura 16-5): 1.

La primera línea de estribos alrededor de la columna se debe colocar a una distancia no mayor que d/2 medida a partir de la cara de la columna.

2.

La separación entre ramas adyacentes en la primera línea de armadura de corte no debe ser mayor que 2d.

3.

La separación entre líneas sucesivas de armadura de corte alrededor de la columna no debe ser mayor que d/2.

4.

La armadura de corte se puede terminar cuando Vu ≤ φ2 f 'c bo d (11.12.3.1).

Para que el anclaje de la armadura de corte sea adecuado se deben satisfacer los requisitos del artículo 12.13 (11.12.3.4). En la Figura R11.12.3 y en la Parte 4 el lector encontrará detalles adicionales sobre el anclaje de los estribos. Observar que los requisitos de anclaje del artículo 12.13 pueden ser difíciles de materializar en losas de menos de 10 in. de altura. En el Ejemplo 16.3 se ilustra el diseño de la armadura de corte usando barras o estribos. Cuando la transferencia de momento entre una columna y la losa es significativa, se recomienda usar estribos cerrados dispuestos tan simétricamente como sea posible respecto de la columna (R11.12.3).

11.12.4

Resistencia al corte proporcionada por los conectores de corte

Los requisitos del artículo 11.12.4 permiten que la armadura de corte de las losas está compuesta por perfiles I de acero estructural o secciones con perfiles tipo canal (conectores de corte), siempre que se satisfagan los siguientes criterios: 1.

Cada brazo de los conectores de corte debe estar soldado a un brazo idéntico perpendicular por medio de soldaduras de penetración completa, y cada brazo debe ser continuo dentro de la sección de la columna (11.12.4.1); ver la Figura 16-6(a).

2.

La altura de los conectores de corte debe ser menor o igual que 70 veces el espesor del alma del perfil de acero (11.12.4.2); ver Figura 16-6(b).

3.

Los extremos de los brazos de cada conector de corte se podrán cortar en ángulos mayores que 30 grados respecto de la horizontal, siempre que se verifique que la sección variable es adecuada para resistir el esfuerzo de corte en dicha sección (11.12.4.3); ver la Figura 16-6(b).

16 - 6

< 2d

Vu ≤ φ2 f 'c bod

siendo bo el perímetro de la sección crítica a d/2 de los estribos cerrados

d/2 d/2 ubicar la primera línea de estribos a d/2 de la cara de la columna estribos cerrados s < d/2 (tip.) Vu ≤ φ2 f 'c bod + φA v fy d / s ≤ φ6 f 'c bod Av = Área total de armadura de corte en los cuatro lados de la columna interior

(a) Columna interior

siendo bo el perímetro de la sección crítica a d/2 de la cara de la columna

ubicar la primera línea de estribos a d/2 de la cara de la columna

d/2

d/2

s < d/2 (tip.)

b o s < d/2 (tip.) bo

bo d/2

d/2 < 2d

estribos cerrados

(b) Columna de borde

< 2d

d/2

estribos cerrados

(c) Columna de esquina

Figura 16-5 – Criterios de diseño y detalles de armado para losas con estribos

4.

Todas las alas comprimidas de los perfiles de acero deben estar ubicadas a una distancia menor o igual que 0,3d medida desde la superficie comprimida de la losa, que en el caso del corte directo es la distancia medida a partir del fondo de la losa (11.12.4.4); ver la figura 16-6(b).

5.

La relación αv entre la rigidez a flexión del perfil de acero y la rigidez de la sección de losa compuesta que la rodea con un ancho igual a c2 + d no debe ser menor que 0,15 (11.12.4.5); ver la Figura 16-6(c).

6.

El momento plástico resistente Mp requerido se calcula con la siguiente expresión(11.12.4.6): φM p =

Vu  h v + α v ( A v − 0,5c1 )  2η 

Ec. (11-37)

16 - 7

ℓv 0,75(ℓv-c/2)

c

Vu ≤ φ7 f 'c bod d/2 (min.)

siendo bo el perímetro de la sección crítica a d/2 de la cara de la columna Perfil I de acero o canal

Vu ≤ φ4 f 'c bod siendo bo el perímetro de la sección crítica definida en 11.12.4.7

(a) Sección crítica y resistencia al corte

≥ 30º

d

h v < 70t w < 0,3d

Barras de la losa

(b) Detalles del conector de corte c2

nA s

h

d

eje neutro

nAst kd

c2 + d

(c) Propiedades de la sección fisurada de la losa compuesta Figura 16-6 – Criterios de diseño y detalles de armado para losas con conectores de corte

16 - 8

donde: Mp = momento resistente plástico requerido en cada brazo del conector de corte para asegurar que se alcanza el corte último en el instante que se alcanza la resistencia al momento del conector de corte. φ =

factor de reducción de la resistencia correspondiente a elementos controlados por tracción, igual a 0,9 de acuerdo con el artículo 9.3.2.3.

η =

número de brazos del conector de corte; ver la Figura R11.12.4.7.

ℓv =

longitud mínima requerida para los brazos del conector de corte, de acuerdo con los artículos 11.12.4.7 y 11.12.4.8; ver la Figura R11.12.4.7.

hv =

altura de la sección transversal del conector de corte; ver la Figura 16-6(b).

7.

La sección crítica para el corte debe ser perpendicular al plano de la losa y debe atravesar cada brazo del conector de corte a una distancia igual a (ℓv – 0,5c1) medida a partir de la cara de la columna hasta el extremo del brazo del conector de corte. La sección crítica debe estar ubicada de acuerdo con lo establecido en el artículo 11.12.1.2(a) (11.12.4.7); ver la Figura R11.12.4.7.

8.

La resistencia nominal al corte Vn debe ser menor o igual que 4 f 'c bo d en la sección crítica definida de acuerdo con el artículo 11.12.4.7, y menor o igual que 7 f 'c bo d a una distancia igual a d/2 medida a partir de la cara de la columna (11.12.4.8); ver la figura 16-6(a).

9.

El artículo 11.12.4.9 permite que los conectores de corte contribuyan a resistir el momento de diseño de la losa en la franja de columna. La resistencia al momento Mv aportada a cada franja de columna de la losa debe ser el menor de los siguientes valores: a.

φα v Vu ( A v − 0,5c1 ) 2η

Ec. (11-38)

b.

0,30Mu del momento total mayorado en cada franja de columna de la losa

c.

la variación del momento en la franja de columna de la losa en la longitud ℓv

d.

el valor de Mp calculado de acuerdo con la Ecuación (11-37).

Cuando entre una losa y una columna hay transferencia de corte directo y momento, además de estos criterios se deben satisfacer los requisitos del artículo 11.12.6. En las losas con conectores de corte se deberá proveer armadura "de integridad" de acuerdo con el artículo 13.3.8.6. En el Ejemplo 16.3 se ilustra el diseño de conectores de corte como armadura de corte.

Otros tipos de armadura de corte Otro tipo de armadura de corte para losas que se ha usado exitosamente consiste en barras verticales ancladas en forma mecánica en cada extremo por medio de una placa o cabeza capaces de desarrollar la tensión de fluencia de las barras (R11.12.3); ver la Figura 16-7. Este tipo de armadura de corte para losas puede ser ventajosa debido a la facilidad con que se instala y al bajo costo de su colocación con relación a otros tipos de armadura de corte. En las Referencias 16.1 a 16.4 se presentan gran cantidad de ensayos, métodos de diseño y ejemplos totalmente detallados.

16 - 9

Columna

Perímetro de corte crítico

Figura 16-7 – Armadura de corte compuesta por barras verticales con cabeza

11.12.5

Efecto de las aberturas en las losas sobre su resistencia al corte

El efecto de las aberturas en las losas sobre la resistencia al corte del hormigón se debe considerar cuando las aberturas están ubicadas: (1) en cualquier región de una franja de columna de un sistema de losa plana, y (2) a una distancia menor que 10 veces la altura de la losa a partir de una carga concentrada o superficie de reacción. El efecto de las aberturas se evalúa reduciendo el perímetro de la sección crítica, bo, en una longitud igual a la proyección de la abertura encerrada por dos líneas que se proyectan a partir del baricentro de la columna y que son tangentes a la abertura; ver la Figura 16-8(a). Para las losas con armadura de corte, la porción no efectiva del perímetro bo es la mitad de la correspondiente a una losa sin armadura de corte; ver la Figura 16-8(b). El factor un medio se aplica igualmente ya sea que la armadura de corte consista en conectores de corte o armadura de barras o alambres. El efecto de las aberturas en las losas sobre la resistencia a la flexión se discute en la Parte 18.

11.12.6

Transferencia de momento en las uniones losa-columna

Algunas condiciones de carga pueden producir momentos no balanceados Mu en las uniones losa-columna. Para las losas sin vigas entre sus apoyos, la transferencia del momento no balanceado es una de las condiciones de diseño más críticas para los sistemas de losa armados en dos direcciones. La resistencia al corte en una unión losa-columna exterior (sin viga de borde) es particularmente crítica, ya que la totalidad del momento exterior negativo se debe transferir a la columna, lo cual se suma al corte directo debido a las cargas gravitatorias; ver la Figura 16-9. El diseñador no debe tomar este tema a la ligera. Los sistemas armados en dos direcciones son en general bastante "tolerantes" en caso de errores en la cantidad o la distribución de la armadura de flexión, pero se vuelven "implacables" si los requisitos de resistencia al corte no se satisfacen plenamente. Observar que los requisitos de los artículos 11.12.6 (ó 13.5.3) no se aplican a sistemas de losas con vigas vinculadas a las columnas de apoyo. Cuando hay vigas, la transferencia de carga de la losa a las columnas, a través de las vigas, es considerablemente menos crítica. La resistencia al corte en los sistemas de losa con vigas se discute en el artículo 13.6.8.

16 - 10

<1

0h

Franja de columna

Porción no efectiva del perímetro bo 50% no efectiva

Franja de columna (b) Losa armada con barras

(a) Losa con ábaco

Figura 16-8 – Efecto de las aberturas en las losas sobre la resistencia al corte

franja de diseño flexión corte

Figura 16-9 – Transferencia de corte directo y momento

11.12.6.1 Distribución del momento no balanceado El Código especifica que en las uniones losa-columna el momento no balanceado se debe transferir desde la losa (sin vigas) hacia la columna por excentricidad del corte de acuerdo con el artículo 11.12.6 y por flexión de acuerdo con el artículo 13.5.3 (11.12.6.1). Estudios realizados (Referencia 16.7) sobre la transferencia de momento entre una losa y columnas cuadradas permitieron hallar que 0,6Mu se transfiere por flexión a través del perímetro crítico bo de la sección definido por el artículo 11.12.1.2, mientras que 0,4Mu se transfiere por excentricidad del corte respecto del baricentro de la sección crítica. En las columnas rectangulares la porción del momento transferido por flexión γf Mu aumenta a medida que aumenta la dimensión de la columna paralela al momento aplicado. La fracción del momento no balanceado transferida por flexión γf es igual a:

16 - 11

γf =

1

Ec. (13-1)

2 b 1+   1  3  b2

y la fracción del momento no balanceado transferido por excentricidad del corte es igual a: γ v = 1 − γf

Ec. (11-39)

donde b1 y b2 son las dimensiones del perímetro de la sección crítica, siendo b1 paralela a la dirección de análisis; ver la Figura 1610. En la Figura 16-11 se grafica la relación entre los parámetros presentados en las Ecuaciones (13-1) y (11-39). De acuerdo con el artículo 13.5.3.3 está permitido modificar o ajustar los valores de γf y γv para cualquier sistema de losa que trabaja en dos direcciones, excepto las losas pretensadas. Las siguientes modificaciones son aplicables, siempre que la relación entre la cuantía de armadura en la losa dentro del ancho efectivo definido en el artículo 13.5.3.2 no sea mayor que 0,375ρb: •

Para los momentos no balanceados respecto de un eje paralelo al borde de la losa en los apoyos exteriores (es decir, flexión perpendicular al borde) está permitido adoptar γf = 1,0 siempre que Vu ≤ 0,75φVc si se trata de una columna de borde o bien Vu ≤ 0,5φVc si se trata de una columna de esquina.

•

Para los momentos no balanceados en los apoyos interiores y para los momentos no balanceados respecto de un eje transversal al borde de los apoyos exteriores (es decir, flexión paralela al borde) se permite aumentar γf en hasta 25%, siempre que Vu ≤ 0,4φVc.

b2

b2

b1

b1

b2

b2

b1

b1

Dirección de transferencia de momento

Figura 16-10 – Parámetros b1 y b2 para las Ecuaciones (11-39) y (13-1)

16 - 12

b2 /b 1 0 100

0

40

60

0,4

0,6

0,8

1,0

0,8

1,0

80

γv - porcentaje por corte

γf - porcentaje por flexión

20

0,2

80

60

para b1 ≥ b2

40

para b1 ≤ b2

20

100

0

0

0,2

0,4

0,6

b1/b2

Figura 16-11 – Solución gráfica de las Ecuaciones (13-1) y (11-39)

El momento no balanceado transferido por excentricidad del corte es γvMu, siendo Mu el momento no balanceado en el baricentro de la sección crítica. Al aplicar un análisis de pórtico generalmente el momento no balanceado Mu en un apoyo exterior de un tramo final o de extremo no se calcula en el baricentro de la sección crítica para la transferencia. Cuando se utiliza el Método de Diseño Directo descrito en el Capítulo 13 los momentos se calculan en la cara del apoyo. Considerando la naturaleza aproximada del procedimiento usado para evaluar la distribución de tensiones debida a transferencia de momento y corte, no parece necesario modificar el momento para que coincida con el baricentro de la transferencia, sino que alcanza con usar los valores de momento obtenidos mediante el análisis de pórtico (en la línea de centro del apoyo) o del artículo 13.6.3.3 (en la cara del apoyo). La transferencia de momento no balanceado entre una columna de borde y una losa sin vigas de borde requiere una consideración especial cuando las losas se analizan para las cargas gravitatorias usando los coeficientes de momento del Método de Diseño Directo. En este caso, el momento no balanceado Mu se debe tomar igual a 0,3Mo (13.6.3.6), siendo Mo el momento estático total mayorado en el tramo. Por lo tanto, la fracción del momento no balanceado transferido por corte es γvMu = γv (0,3Mo). En la Parte 19 también se discute este requisito especial de resistencia al corte; en el Ejemplo 19.1 se ilustra su aplicación. Si se utiliza el Método del Pórtico Equivalente el momento no balanceado es igual al momento calculado.

11.12.6.2 Cálculo de las tensiones de corte y resistencia al corte Suponiendo que las tensiones de corte debidas a la transferencia de momento por excentricidad del corte varían linealmente respecto del baricentro de la sección crítica definida en el artículo 11.12.1.2, las tensiones de corte mayoradas en las caras de la sección crítica debidas al corte directo Vu y al momento no balanceado transferido por excentricidad del corte γvMu son (ver Figura 16-12 y R11.12.6.2):

16 - 13

Vu

Vu

γv Mu

γv Mu

b2

b2

Borde de la losa

b1

b1

c'

c'

c

c

c = c'

vu2

vu2 v u1

v u1

(a) Columna de borde

(b) Columna interior

Figura 16-12 – Distribución de las tensiones de corte por transferencia de momento por excentricidad de corte en una unión losa-columna

v u1 =

Vu α v M u c + Ac J

Ec. (1)

v u2 =

Vu γ v M u c ' − Ac J

Ec. (2)

donde: Ac = área de la sección transversal de hormigón que resiste transferencia de corte, igual al perímetro bo multiplicado por la altura efectiva d J = propiedad de la sección crítica análoga al momento de inercia polar de los segmentos que componen el área Ac c y c' = distancias desde el eje baricéntrico de la sección crítica y el perímetro de la sección crítica en la dirección de análisis considerada La Figura 16-13 contiene expresiones para determinar Ac, c, c', J/c y J/c' para columnas de sección rectangular, y la Figura 16-4 para columnas interiores de sección circular. La tensión de corte máxima vu1 calculada con la Ecuación (1) no debe ser mayor que φvn. El valor de vn se determina de la siguiente manera (11.12.6.2): a. Para losas sin armadura de corte: φvn = φvc, siendo φvn el menor valor entre:

16 - 14

 4  φvc = φ  2 +  f 'c βc  

Ec. (11-33)

 α d φvc = φ  2 + s  f 'c bo  

Ec. (11-34)

φvc = φ4 f 'c

Ec. (11-35)

b. Para losas con armadura de corte que no sean conectores de corte, φvn se calcula como (11.12.3): Avfy  φv n = φ  2 f 'c + bo s 

  ≤ φ6 f 'c 

Ec. (11-15), (11.12.3.1) y (11.12.3.2)

donde Av es el área total de armadura de corte provista en los lados de la columna y bo es el perímetro de la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna, según lo definido en el artículo 11.12.1.2(a). Debido a la variación de las tensiones de corte, ilustrada en la Figura 16-12, el área de armadura de corte calculada, si fuera necesaria, puede ser diferente en un lado de la columna y el otro. El área de armadura de corte requerida debido a la tensión de corte vu1 en su respectivo lado de la columna es: A v = ( v u1 − φvc )

(c + d) s

Ec. (3)

φf y

siendo (c + d) un ancho efectivo "de viga" y vc = 2 f 'c . Sin embargo, R11.12.3 recomienda colocar la armadura en forma simétrica en todos los lados de la columna. Así, suponiendo armadura de corte simétrica en todos los lados de la columna, el área requerida Av se puede calcular como: A v = ( v u1 − φvc )

bo s φf y

Ec. (4)

siendo Av el área total de armadura de corte requerida que se debe extender a partir de los lados de la columna y bo el perímetro de la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna. Con armadura simétrica en todos los lados de la columna, la armadura que se extiende a partir de los lados de la columna con menor tensión de corte calculada proporciona resistencia torsional en la franja de losa perpendicular a la dirección de análisis. c. Para losas con conectores de corte φvn se calcula como: φv n = 4φ f 'c ≥ v u1 v u1 =

11.12.6.3

Vu γ v M u c + ≤ φ4 f 'c bo d J

Ec. (1)

siendo bo el perímetro de la sección crítica definida en 11.12.4.7, c y J son propiedades de la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna (11.12.6.3), Vu es el esfuerzo de corte directo que actúa en la sección crítica definido en 11.12.4.7 y γvMu es el momento no balanceado transferido por excentricidad del corte actuando respecto del baricentro de la sección crítica definida en 11.12.1.2(a). Observar que esta sumatoria aparentemente inconsistente de tensiones de corte que ocurren en dos secciones críticas diferentes es conservadora, y que ha sido justificada mediante ensayos (ver R11.12.6.3). En la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna, el valor de vu no debe ser mayor que φ7 f 'c (11.12.4.8); ver la Figura 16-5.

16 - 15

Caso B: Columna Interior

Caso A: Columna de borde (Flexión paralela al borde)

c2

c

1

+

c' b

1

c

=

1

c = 1

b

c b2= c 2+ d/2

d

c1

γv Mu

+

c'

γvMu

d

c1

c2

b2= c 2 + d Caso D: Columna de esquina

Caso C: Columna de borde (Flexión perpendicular al borde)

b2 = c 2 + d

Módulo de la sección crítica

Área de la sección crítica, Ac

J/c

J/c'

A

(b1 + 2b2 ) d

b1d ( b1 + 6b2 ) + d3

b1d ( b1 + 6b2 ) + d3

6

6

b1d ( b1 + 3b2 ) + d3

b1d ( b1 + 3b2 ) + d3

3

3

2b12d ( b1 + 2b2 ) + d3 ( 2b1 + b2 )

2b12d ( b1 + 2b2 ) + d3 ( 2b1 + b2 )

C

D

2 ( b1 + b2 ) d

( 2b1 + b2 ) d (b1 + b2 ) d

d/ 2 = 1

b2= c 2+ d/2

Caso

B

b

c

=c b1

c

1

c

1

+

c'

γv Mu

+

c'

γv Mu

d/ 2

c1

c2

c1

c2

6b1

6 ( b1 + b2 )

b12d ( b1 + 4b2 ) + d3 ( b1 + b2 )

b12d ( b1 + 4b2 ) + d3 ( b1 + b2 ) 6 ( b1 + 2b2 )

6b1

c

c'

b1 2

b1 2

b1 2

b1 2

b12 2b1 + b2

b1 ( b1 + b2 )

b12 2 ( b1 + b2 )

b1 ( b1 + 2b2 )

2b1 + b2

2 ( b1 + b2 )

Figura 16-13 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las tensiones de corte - Columnas rectangulares

16 - 16

D

A c = π (D + d) d c = c' =

c

D

+d

c'

γv M u

D+d 2 2

J d3 D+d = πd   + c 3  2 

d

Figura 16-14 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las tensiones de corte - Columnas circulares interiores

REFERENCIAS 16.1

ACI-ASCE Committee 421, "Shear Reinforcement for Slabs," American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 1999.

16.2

Dilger, W.H. y Ghali, A., "Shear Reinforcement for Concrete Slabs," Proceedings ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 107, No. ST12, Diciembre 1981, pp. 2403-2420.

16.3

Elgabry, A.E. y Ghali, A., "Design of Stud-Shear Reinforcement for slabs," ACI Structural Journal, Vol. 87, No. 3, MayoJunio 1990, pp. 350-361.

16.4

Hammil, N. y Ghali, A., "Punching Shear Resistance of Corner Slab-Column Connections," ACI Structural Journal, Vol. 91, No. 6, Noviembre-Diciembre 1994, pp. 697-707.

16.5

Ghosh, S.K., "Aspects of Design of Reinforced Concrete Flat Plate Slab Systems," Analysis and Design of High-Rise Concrete Buildings, SP-97, American Concrete Institute, Detroit, MI, 1985, pp. 139-157.

16.6

Simplified Design - Reinforced Concrete Buildings of Moderate Size and Height, 2º Ed., Portland Cement Association, Skokie, IL, 1993.

16.7

Hanson, N.W. y Hanson J.M., "Shear and Moment Transfer between Concrete Slabs and Columns, Journal, PCA Research and Development Labs, Vol. 10, No. 1, Enero 1968, pp. 2-16.

16 - 17

Ejemplo 16.1 – Resistencia al corte de una losa en un apoyo sobre una columna Determinar la resistencia al corte para comportamiento en dos direcciones en un apoyo sobre columna interior para un sistema de placa plana bajo las siguientes condiciones de diseño: 48" Dimensiones de la columna = 48 in. × 8 in. Altura efectiva de la losa

d = 6,5 in.

Resistencia especificada del hormigón

8"

f 'c = 4000 psi

d (tip) 2 Sección crítica (punzonado)

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Corte en dos direcciones (punzonado) sin armadura de corte: Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

≤ φVc

2. Efecto de la relación de aspecto de la superficie cargada, βc:  4  φVc = φ  2 +  f 'c bo d βc  

donde βc =

Ec. (11-35)

48 =6 8

11.12.2.1

bo = 2 ( 48 + 6,5 + 8 + 6,5 ) = 138 in.

11.12.1.2

φ = 0,75

9.3.2.3

φVc = 0, 75 × 138 × 6,5 /1000 = 113,5 kips

3. Efecto de la relación de aspecto del perímetro, βo:  α  φVc = φ  2 + s  f 'c bo d βo  

Ec. (11-36)

donde αs = 40 para apoyo en columna interior βo =

11.12.2.1

bo 138 = = 21, 2 d 6,5

φVc = 0, 75 × 138 × 6,5 /1000 = 165, 4 kips

16 - 18

4. Excluyendo el efecto de βc y βo: φVc = φ4 f 'c bo d

Ec. (11-37)

= 0, 75 × 4 × 4000 × 138 × 6,5 /1000 = 170, 2 kips

5. La resistencia al corte φVn es el menor de los valores calculados, es decir, φVn = 113,5 kips

16 - 19

Ejemplo 16.2 – Resistencia al corte para apoyo no rectangular Para el apoyo interior sobre columna en L ilustrado, verificar la resistencia al punzonado para un esfuerzo de corte mayorado Vu = 125 kips. Usar f'c = 4000 psi. Altura efectiva de la losa = 5,5 in. 8" Sección crítica (punzonado) d 2 90º 24"

Superficie cargada efectiva

a b

8"

48"

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Para geometrías no rectangulares, el artículo R11.12.2.1 recomienda tomar βc como la relación entre la mayor dimensión global de la superficie cargada efectiva "a" y la mayor dimensión global de la misma superficie cargada efectiva "b", medida en forma perpendicular a "a": βc =

R11.12.2.1

a 54 = = 2,16 b 25

Para la sección crítica ilustrada, bo = 141 in.

11.12.1.2

Se utilizan las dimensiones a escala de las figuras, las cuales deberían tener precisión suficiente. 2. Corte en dos direcciones (punzonado) sin armadura de corte: Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

≤ φVc

11.12.2

donde la resistencia nominal al corte Vc sin armadura de corte es el menor de los valores dados por las Ecuaciones (11-33) y (11-34), pero nunca mayor que 4 f 'c bo d :  4  Vc =  2 +  f 'c bo d βc  

Ec. (11-33)

4   = 2+  4000 × 141× 5,5 /1000 = 188,9 kips 2,16  

16 - 20

 α  Vc =  2 + s  f 'c bo d βo  

Ec. (11-34)

donde αs = 40 para apoyo en columna interior βo =

11.12.2.1

bo 141 = = 25, 6 d 5,5

 40  Vc =  2 +  4000 × 141× 5,5 /1000 = 174, 7 kips 25, 6   Vc = 4 f 'c bo d

Ec. (11-35)

= 4 × 4000 × 141× 5,5 /1000 = 196, 2 kips φVc = 0, 75 (174, 7 ) = 131 kips Vu = 125 kips < φVc = 131 kips

VERIFICA

16 - 21

Ejemplo 16.3 – Resistencia al corte de una losa con armadura de corte Considerar un panel interior de un sistema de losa formado por placas planas soportado por una columna cuadrada de 12 in. de lado. Dimensiones del panel: ℓ1 = ℓ2 = 21 ft. Determinar la resistencia al corte de la losa en el apoyo sobre la columna, y si no es adecuada aumentar la resistencia al corte usando armadura de corte. Altura total de la losa h = 7,5 in. (d = 6 in.) f 'c = 4000 psi f y = 60.000 psi (barras de armadura) f y = 36.000 psi (acero estructural)

Carga mayorada impuesta = 160 lb/ft2 Momento negativo de la franja de columna: Mu = 175 ft-kips

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Corte en una dirección y corte en dos direcciones (punzonado) sin armadura de corte:

11.12.2

Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

≤ φVc

11.12.2

a. Como no hay fuerzas de corte en las líneas de centro de paneles adyacentes, las áreas tributarias y secciones críticas para el corte en la losa son como se ilustra a continuación. centro de la luz 18" Sección crítica para comportamiento en dos direcciones 21´-0"

d 2 = 3"

9,5'

d = 6" Sección crítica para comportamiento en una dirección centro de la luz

21´-0" centro de la luz

centro de la luz

16 - 22

Para una losa de 7,5 in., la carga permanente mayorada w d = 1, 2 ×

7,5 × 150 = 113 lb / ft 2 12

9.2.1

w u = 113 + 160 = 273 lb / ft 2

a. Corte en una dirección (Comportamiento como viga ancha). El estudio de la resistencia al corte en una dirección se realiza en la sección crítica a una distancia d medida a partir de la cara de la columna de apoyo.

11.1.3.1

Vu = 0, 273 ( 9,5 × 21) = 54,5 kips Vc = 2 f 'c b w d = 2 4000 × 6 /1000 = 191,3 kips

Ec. (11-3)

φ = 0,75

9.3.2.3

φVc = 0, 75 (191,3) = 143,5 kips > Vu = 54,5 kips

VERIFICA

Rara vez el comportamiento como viga ancha controla la resistencia al corte de los sistemas de losa armados en dos direcciones. b. Corte en dos direcciones (Comportamiento en dos direcciones). El estudio de la resistencia al corte en dos direcciones se realiza en la sección crítica bo ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna. El esfuerzo de corte total mayorado a ser transferido de la losa a la 11.12.1.2(a) columna es:

(

)

Vu = 0, 273 212 − 1,52 = 119,8 kips

Resistencia al corte Vc sin armadura de corte:

11.12.2.1

bo = 4 (18 ) = 72 in.

11.12.1.2(a)

βc =

12 = 1, 0 < 2 12

Ec. (11-35)

βo =

bo 72 = = 12 < 20 d 6

Ec. (11-36)

Vc = 4 f 'c bo d = 4 4000 × 72 × 6 /1000 = 109,3 kips

φ = 0,75 φVc = 0, 75 (109,3) = 82 kips < Vu = 119,8 kips

9.3.2.3 NO VERIFICA

La armadura de corte de la losa no es adecuada para transmitir el esfuerzo de corte mayorado Vu = 119,8 kips de la losa a la columna de apoyo. La resistencia al corte se puede aumentar de tres maneras diferentes: i. aumentando la resistencia del hormigón, f'c ii. aumentando la altura de la losa sobre las columnas, es decir, usando ábacos

16 - 23

iii. colocando armadura de corte (barras, alambres o perfiles I o secciones con perfiles tipo canal) Las siguientes partes del ejemplo ilustran todos los métodos para aumentar la resistencia al corte mencionados. 2. Aumentar la resistencia al corte aumentando la resistencia del hormigón de la losa: Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

(

119.800 ≤ 0, 75 4 f 'c × 72 × 6

)

Resolviendo, f 'c = 8545 psi 3. Aumentar la resistencia al corte aumentando la altura de la losa sobre la columna por medio de un ábaco:

9,75"

7,5"

Proveer un ábaco de acuerdo con los artículos 9.5.3.4 y 13.4.7 (ver Figura 18-18). Altura total mínima de la losa en el ábaco = 1,25 (7,5) = 9,375 in. Intentar con una altura de losa de 9,75 in. (proyección de 2,25 in. debajo de la losa*; d ≈ 8,25 in.). Distancia mínima entre el eje de la columna y el borde del ábaco = 21/6 = 3,5 ft. Intentar con un ábaco de 7 x 7 ft.

ℓ/6 (min)

ℓ/6 (min)

Sección del ábaco

20,25"

7´- 0"

d/2 = 4,125"

d/2 = 3"

7´- 6"

a. Investigar la resistencia al corte en la sección crítica bo ubicada a d/2 del perímetro de la columna. Esfuerzo de corte total mayorado a ser transferido –

*

Ver Capítulo 9 (Consideraciones de Diseño para Economía de los Encofrados) en la Referencia 16.6.

16 - 24

Para ábaco con una proyección de 2,25 in., w d = 1, 2 ×

(

)

(

2, 25 × 150 = 34 lb / ft 2 12

)

Vu = 0, 273 212 − 1, 692 + 0, 034 7 2 − 1, 692 = 119, 6 + 1, 6 = 121, 2 kips bo = 4 (12 + 8, 25 ) = 81 in.

11.12.1.2(a)

βc = 1, 0 < 2 βo =

bo 81 = = 9,8 < 20 d 8, 25

φVc = φ4 f 'c bo d

Ec. (11-35)

0, 75 × 4 4000 × 81× 8, 25 > Vu = 121, 2 kips

VERIFICA

b. Investigar la resistencia al corte en la sección crítica bo ubicada a d/2 del borde del ábaco. Esfuerzo de corte total mayorado a ser transferido –

(

)

Vu = 0, 273 212 − 7,52 = 105, 0 kips bo = 4 ( 84 + 6 ) = 360 in.

βc =

84 = 1, 0 < 2 84

βo =

bo 360 = = 60 > 20 d 6

11.12.1.2(b)

Ec. (11-35)

 α  40   φVc = φ  2 + s  f 'c bo d = φ  2 +  f 'c bo d = φ2, 67 f 'c bo d βo  60    = 0, 75 × 2, 67 4000 × 360 × 6 /1000 = 273, 2 kips > Vu = 105, 0 kips

Ec. (11-36)

VERIFICA

Observar la importante reducción de la potencial resistencia al corte en el borde del ábaco debida al mayor valor de βo. Un panel de 7 × 7 ft con una proyección de 2,25 in. debajo de la losa proveerá una resistencia al corte adecuada para las cargas mayoradas impuestas de 160 lb/ft2. 4. Aumentar la resistencia al corte colocando armadura de corte (ver Figuras R11.12.3(a) y 16-5): a. Verificar la altura efectiva d.

11.12.3

Suponiendo estribos No. 3 ( d b = 0,375 in.) ,

d = 6 in. ≥

6 in. VERIFICA 16 × 0,375 = 6 in. VERIFICA

16 - 25

b. Verificar la máxima resistencia al corte permitida con las barras. Vu ≤ φVn

11.12.3.2 Ec. (11-1)

(

)

(

)

φVn = φ 6 f 'c bo d = 0, 75 6 4000 × 72 × 6 /1000 = 123, 0 kips

(

)

Vu = 0, 273 212 − 1,52 = 119,8 kips < φVn = 123, 0 kips

VERIFICA

c. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón con armadura de corte en forma de barras.

11.12.3.1

Vc = 2 f 'c bo d = 2 4000 × 72 × 6 /1000 = 54, 6 kips φVc = 0, 75 ( 54, 6 ) = 41, 0 kips

d. Diseñar la armadura de corte de acuerdo con el artículo 11.5. El área de armadura de corte requerida, Av, se calcula como: Av =

( Vu − φVc ) s φf y d

Se asume = 3 in. (máxima separación permitida = d/2) Av =

(119,8 − 41, 0 ) × 3 0, 75 × 6, 0 × 6

11.5.4.1

= 0,88 in.2

donde Av es el área total de armadura de corte requerida en los cuatro lados de la columna (ver Figura 16-5). A v (por lado) =

0,88 = 0, 22 in.2 4

e. Determinar la distancia a partir de los lados de la columna donde pueden terminar los estribos (ver Figura 16-5). Vu ≤ φVc

Ec. (11-1)

≤ φ2 f 'c bo d

Para una columna cuadrada (ver esquema siguiente),

(

bo = 4 12 + a 2

) (

)

119.800 ≤ 0, 75 × 2 4000 × 4 12 + a 2 × 6

Resolviendo, a = 28,7 in. Observar que este valor es una estimación conservadora, ya que Vu en el perímetro de la sección crítica ilustrada a continuación es considerablemente menor que 119,8 kips.

16 - 26

Los estribos pueden terminar a una distancia d/2 = 3 in. del perímetro crítico bo. Usar 9 estribos cerrados No. 3 con una separación de 3 in. (Av = 0,22 in.2) a lo largo de cada línea de columnas como se ilustra a continuación. a

2

2d = 12"

columna 12" x 12"

7,5"

3" (tip.) d/2 = 3"

A

A Corte A-A

a

12"

5. Aumentar la resistencia al corte usando perfiles I de acero (conectores de corte): a. Verificar la máxima resistencia al corte permitida con perfiles de acero (ver Figura 18-8).

(

11.12.4 11.12.4.8

)

Vu = 0, 273 212 − 1,52 = 119,8 kips Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

(

φVn = φ 7 f 'c bo d

(

)

11.12.1.2(a)

)

≤ 0, 75 7 4000 × 72 × 6 /1000 = 143, 4 kips > Vu = 119,8 kips

VERIFICA

b. Determinar el perímetro mínimo requerido bo de una sección crítica en los extremos del conector de corte con la resistencia al corte limitada a Vn = 4 f 'c bo d (ver Figura 16-6(b)). Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

(

119.800 ≤ 0, 75 4 4000 × bo × 6

)

Resolviendo, bo = 105, 2 in.

11.12.4.7

c. Determinar la longitud requerida del brazo del conector de corte, ℓv, para satisfacer bo = 105, 2 in. a 0,75(ℓv–c1/2). c 3  c  bo ≈ 4 2  1 +  A v − 1   2   2 4

(ver Figura 16-6(b))

Con bo = 105, 2 in. y c1 = 12 in., resolviendo se obtiene ℓv = 22,8 in.

16 - 27

11.12.4.7

Observar que este valor es una estimación conservadora, ya que Vu en el perímetro de la sección crítica es considerablemente menor que 119,8 kips. d. Para asegurar que el conector de corte no falla prematuramente por flexión antes que se alcance la resistencia al corte de la losa, determinar el momento plástico resistente Mp de cada brazo del conector de corte. φM p =

Vu  c1    h v + α v  A v −  2η  2  

Ec. (11-39)

Para un conector de corte de cuatro brazos (idénticos), η = 4; suponiendo hv = 4 in. y αv = 0,25: φM p =

11.12.4.5

119,8  12     4 + 0, 25  23, 6 −   = 125,8 in.-kips 2 ( 4)  2  

φ = 0,90 (elemento controlado por tracción) M p requerido =

9.3.2.1

125,8 = 139,8 in.-kips 0,9

Intentar con un conector de corte de acero A36 W4 × 13 (módulo plástico Z x = 6, 28 in.3 ) M p = Z x f y = 6, 28 ( 36 ) = 226,1 in.-kips > 139,8 in.-kips

VERIFICA

e. Verificar la limitación de altura para el conector de corte W4 × 13. 70t w = 70 ( 0, 280 ) = 19, 6 in. > h v = 4,16 in.

VERIFICA

f. Determinar la ubicación del ala comprimida del perfil de acero con respecto a la superficie comprimida de la losa, asumiendo un recubrimiento de 3/4 in. y 2 capas de barras No. 5. 0,3d = 0,3 ( 6 ) = 1,8 in. < 0, 75 + 2 ( 0, 625 ) = 2 in.

11.12.4.2

NO VERIFICA

Por lo tanto se deben cortar las dos capas de barras No. 5 en el fondo de la losa. g. Determinar la relación de rigidez αv. Para el perfil W4 × 13: Ast = 3,83 in.2 Is = 11,3 in.4

16 - 28

11.12.4.4

12" nAs = 9,92 in.2

7,5"

6"

nA st = 30,64 in.2

eje neutro

c.g. (W4 x 13)

2,75"

kd = 2,34"

18"

La As provista para Mu = 175 ft-kips consiste en barras No. 5 separadas 5 in. Centro de gravedad del W4 × 13 desde la cara comprimida = 0,75 + 2 = 2,75 in. Ancho de losa efectivo = c2 + d = 12 + 6 = 18 in. Propiedades de la sección transformada: Para f 'c = 4000 psi, usar n =

E s 29.000 = =8 Ec 3605

Acero transformado en hormigón equivalente: nAs = 8 ( 4 × 0,31) = 9,92 in.2 nAst = 8 ( 3,83) = 30, 64 in.2

El eje neutro de la sección fisurada de la losa compuesta se puede obtener igualando los momentos estáticos de las áreas transformadas. 18 ( kd ) 2

2

= 30, 64 ( 2, 75 − kd ) + 9,92 ( 6 − kd )

Resolviendo se obtiene kd = 2,34 in. I compuesto =

18 ( 2,34 ) 3

3

+ n ( Is del perfil de acero ) + 9,92 ( 3, 66 ) + 30, 64 ( 0, 41) 2

2

= 76,9 + 8 (11,3) + 132,9 + 5, 2 = 305, 4 in.4

αv =

nIs Icompuesto

=

8 × 11,3 = 0,30 > 0,15 305, 4

VERIFICA

Por lo tanto, el conector de corte W4 × 13 satisface todos los requisitos aplicables del código.

16 - 29

2´- 0" Soldadura de penetración completa todo alrededor (tip.)

#5 a 5"

7,5" 0,75" (tip.) Barras #5 - Cortadas para colocar W4x13

W4x13 1´- 0"

Detalles finales de la armadura con conector de corte

h. Determinar la contribución del conector de corte a la resistencia al momento negativo de la franja de columna de la losa. Mv =

=

φα v Vu 2η

c1    Av − 2   

11.12.4.9

Ec. (11-40)

0,9 × 0,30 × 119,8 ( 25 − 6 ) = 76,8 in.-kips = 6,4 ft-kips 2× 4

Sin embargo, Mv no debe ser mayor que Mp = 139,8 in.-kips ni mayor que 0,3 × 175 × 12 = 630 in.-kips, ni mayor que la variación del momento de la franja de columna en la longitud ℓv. Para este diseño, aproximadamente 4% del momento negativo de la franja de columna de la losa se puede considerar resistido por la armadura de conectores de corte.

16 - 30

Ejemplo 16.4 – Resistencia al corte de una losa con transferencia de momento Considerar un panel exterior (de borde) de un sistema de losa formado por placas planas soportado por una columna cuadrada de 16 in. de lado. Determinar la resistencia al corte para transferencia de corte directo y momento entre la losa y la columna. La altura total de la losa es h = 7,25 in. (d ≈ 6,0 in.). Asumir que para analizar la losa se utiliza el Método de Diseño Directo. Considerar dos condiciones de carga: 1. Esfuerzo de corte mayorado total Vu = 30 kips Momento estático mayorado total Mo en el tramo final = 96 ft-kips 2. Vu = 60 kips Mo = 170 ft-kips f 'c = 4000 psi f y = 60.000 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Propiedades de la sección necesarias para calcular las tensiones de corte: En referencia a la Figura 16-13, para flexión de una columna de borde perpendicular al borde (Caso C), b1 = c1 +

d 6 = 16 + = 19, 0 in. 2 2

b 2 = c 2 + d = 16 + 6 = 22, 0 in. bo = 2 (19, 0 ) + 22 = 60, 0 in. c=

=

b12 2b1 + b 2

7,25"

19, 02 = 6, 02 in. ( 2 × 19, 0 ) + 22, 0

16" b1 = 19"

A c = ( 2b1 + b 2 ) d = 360 in.

b2 = 22"

2

3  2  J  2b1 d ( b1 + 2b 2 ) + d ( 2b1 + b 2 )  = = 2508 in.3 c 6b1

c ' = b1 − c = 19 − 6, 02 = 12,98 in.

d/2 = 3"

J  J  c   6, 02  3 =  = 2508  12,98  = 1163 in. c '  c   c '   

16 - 31

2. Condición de carga (1), Vu = 30 kips, Mo = 96 ft-kips: a. Porción del momento no balanceado a ser transferido por excentricidad del corte. γ v = 1 − γf

11.12.6.1 Ec. (11-39)

Para los momentos no balanceados respecto de un eje paralelo al borde en los apoyos exteriores, el valor de γf se puede tomar igual a 1,0 siempre que Vu ≤ 0,75φVc. Vc = 4 f 'c b o d

13.5.3.3 Ec. (11-35)

= 4 4000 × 60 × 6, 0 /1000 = 91,1 kips

φ = 0,75

9.3.2.3

0, 75φVc = 0, 75 × 0, 75 × 91,1 = 51, 2 kips > Vu = 30 kips

Por lo tanto, todo el momento no balanceado en el apoyo se puede considerar transferido por flexión (es decir, γf = 1,0 y γv = 0). Observar que γf se puede tomar igual a 1,0 siempre que ρ dentro del ancho de losa efectivo 3h + c2 = 21,75 + 16 = 37,75 in. no sea mayor que 0,375ρb. b. Verificar la resistencia al corte de la losa sin armadura de corte. Tensión de corte combinada a lo largo de la cara interior de la sección crítica de transferencia. v u1 =

Vu γ v M u c 30.000 + = + 0 = 83,3 psi Ac J 360

Tensión de corte admisible:

(

)

φvc = φ4 f 'c = 0, 75 4 4000 = 189, 7 psi > v u1 = 83,3 psi

VERIFICA

La resistencia al corte de la losa es adecuada para la transferencia de corte y momento requerida entre la losa y la columna. También se debe considerar el diseño para la porción del momento no balanceado transferido por flexión γfMu. En el Ejemplo 19.1 se utiliza el Método de Diseño Directo. En el Ejemplo 20.1 se utiliza el Método del Pórtico Equivalente.

13.5.3.2

Para el Método de Diseño Directo γfMu = 1,0 × (0,26Mo) = 25 ft-kips a ser transferidos en el ancho efectivo de 37,75 in., siempre que dentro del ancho de 37,75 in. ρ ≤ 0,375 ρb.

13.6.3.3 13.5.3.3

3. Condición de carga (2), Vu = 60 kips, Mo = 170 ft-kips: a. Verificar la resistencia al corte de la losa sin armadura de corte. Porción del momento no balanceado a ser transferida por excentricidad del corte. 0, 75φVc = 51, 2 kips < Vu = 60 kips

11.12.6.1 13.5.3.3

Por lo tanto, γ v = 1 − γ f

Ec. (11-39)

16 - 32

γf =

1 b1 b2

2 1+ 3

=

1 2 19, 0 1+ 3 22, 0

= 0, 62

Ec. (13-1)

γ v = 1 − 0, 62 = 0,38

Para el Método de Diseño Directo, el momento no balanceado Mu a utilizar en el cálculo de la tensión de corte para la columna de borde = 0,3Mo = 0,3 × 170 = 51,0 ft-kips.

13.6.3.6

Tensión de corte combinada a lo largo de la cara interior de la sección crítica de transferencia, v u1 =

=

Vu γ v M u c + Ac J 60.000 0,38 × 51, 0 × 12.000 + 360 2508

= 166, 7 + 92, 7 = 259, 4 psi φv n = 189, 7 psi < v u1 = 259, 4 psi

NO VERIFICA

Se debe proveer armadura de corte para resistir el exceso de tensión de corte; proveer armadura compuesta por barras o bien perfiles I de acero estructural o secciones con perfiles tipo canal (conectores de corte). Aumentar la resistencia al corte de la losa usando armadura en forma de barras. b. Verificar la máxima tensión de corte permitida con barras de armadura. Verificar la altura efectiva, d.

11.12.3.2 11.12.3

Suponiendo estribos de barras No. 3 (db = 0,375 in.), 6 in. VERIFICA 16 × 0,375 = 6 in. VERIFICA

d = 6 in. ≥

v u1 ≤ φ6 f 'c

(

)

φv n = 0, 75 6 4000 = 284, 6 psi v u1 = 259, 4 psi < φv n = 284, 6 psi

VERIFICA

c. Determinar la tensión de corte resistida por el hormigón con barras de armadura.

(

)

φVc = φ2 f 'c = 0, 75 2 4000 = 94,9 psi

d. Con armadura de corte simétrica en todos los lados de la columna, Av requerida es:

16 - 33

11.12.3.1

Av =

( v u1 − φvc ) bos

Ec. (4)

φf y

donde bo es el perímetro de la sección crítica ubicada a una distancia d/2 del perímetro de la columna: bo = 2 (19 ) + 22 = 60 in. y s=

d = 3, 0 in. 2

Av =

( 259, 4 − 94,9 ) × 60 × 3, 0 0, 75 × 60.000

= 0, 66 in.2

Av es el área total de armadura de corte requerida en los tres lados de la columna. Av (por lado) =

0, 66 = 0, 22 in.2 3

Usar estribos cerrados No. 3 con una separación de 3,0 in. (Av = 0,22 in.2). Se puede realizar una verificación sencilla de los cálculos. Para estribos cerrados No. 3 con una separación de 3,0 in.: Avfy   φ ( vc + vs ) = φ  2 f 'c +  bo s  

Ec. (11-41)

 ( 3 × 0, 22 ) × 60.000  = 0, 75  2 4000 +   60 × 3, 0   = 0, 75 (126,5 + 220, 0 ) = 259,9 psi > v u1 = 259, 4 psi

VERIFICA

e. Determinar la distancia a partir de los lados de la columna donde pueden terminar los estribos. Vu ≤ φVc

11.12.3.1

φVc = φ2 f 'c bo d

donde bo = 2a 2 + ( 3 × 16 )

(

)

60.000 ≤ 0, 75 × 2 4000 2a 2 + 48 6, 0

Resolviendo, a = 20,3 in. Observar que este valor es una estimación conservadora, ya que Vu en el perímetro de la sección crítica considerada es considerablemente menor que 60 kips. No. de estribos requeridos = (20,3 – d/2)/3,0 = 5,8 (Los estribos pueden terminar a d/2 = 3,0 del perímetro bo)

16 - 34

Usar 6 estribos cerrados No. 3 con una separación de 3,0 in. a lo largo de los tres lados de la columna. Detallar los estribos de manera similar al Ejemplo 16.3.

a

2

3" 16" 3" (tip.) d/2 bo 16"

a

16 - 35

17 Modelos de Bielas y Tirantes

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 La edición 2002 del Apéndice A de ACI 318 introduce la forma codificada del método de bielas y tirantes. Aunque las analogías del reticulado estaban implícitas en los requisitos de diseño para corte y torsión de las ediciones anteriores del Código, y se permitía utilizar "métodos que satisfacen los requisitos de equilibrio y resistencia," esta es la primera vez que el tema es tratado de manera consistente.

REQUISITOS GENERALES El modelo de bielas y tirantes constituye un enfoque de diseño nuevo, aplicable a toda una gama de problemas de diseño para los cuales el cuerpo principal del código no contiene una solución de diseño explícita. Este método exige que el diseñador seleccione cuidadosamente un recorrido realista de las cargas dentro del elemento estructural, formando un reticulado idealizado. Detallando los elementos del reticulado de forma racional y satisfaciendo las condiciones de equilibrio se asegura la transferencia de las cargas a los apoyos o a otras regiones diseñadas mediante métodos convencionales. Aunque las soluciones que se obtienen aplicando esta poderosa herramienta de análisis no son únicas, representan un enfoque conservador de límite inferior. A diferencia de algunas de las formulaciones contenidas en el cuerpo principal del Código, el modelo racional y fácil de visualizar indicado en el Apéndice A permite comprender las necesidades de diseño de las regiones irregulares de las estructuras de hormigón, a la vez que promueve la ductilidad. La metodología de diseño presentada en el Apéndice A se basa en gran medida en los artículos preparados sobre este tema por Schlaich et al.17.1 y Marti17.2. A partir de la publicación de estos trabajos, el método de bielas y tirantes ha recibido cada vez mayor atención por parte de otros investigadores y autores (Collins y Mitchell17.3, MacGregor17.4). La forma actual del Apéndice A no incluye requisitos explícitos sobre comportamiento en servicio (tal como control de las flechas o fisuración).

A.1

DEFINICIONES

El procedimiento de diseño por bielas y tirantes exige diferenciar en los elementos de hormigón dos tipos de zonas, dependiendo de las características de los campos de tensiones en cada ubicación. En consecuencia, los elementos estructurales se dividen en regiones B y regiones D.

Regiones B - Las regiones B representan las partes de un elemento en las cuales se puede aplicar la hipótesis de "secciones planas" de la teoría clásica de flexión. Regiones D - Las regiones D son las partes de un elemento que están ubicadas fuera de las regiones B; en las regiones D se anticipa que luego de aplicar las cargas las secciones planas no permanecerán planas. Típicamente se asume que hay regiones D en las partes de un elemento donde hay discontinuidades (o perturbaciones) de la distribución de tensiones provocadas por la presencia de fuerzas concentradas (cargas o reacciones) o cambios bruscos de la geometría. En base al principio de St. Venant, las tensiones normales (debidas a carga axial y flexión) se aproximan a una distribución prácticamente lineal a una distancia aproximadamente igual al mayor valor entre la altura total (h) y el ancho del elemento, a partir de la ubicación de la fuerza concentrada o la irregularidad geométrica. La Figura 17-1 ilustra ejemplos típicos de discontinuidades, Regiones D (áreas sombreadas) y Regiones B.

h h

h

h

h

h

(a) Viga con carga concentrada h2 h2 h2 h2

h1

h1 h1

h1 (b) Cambio en la geometría de una columna o tabique

(c) Viga de transferencia que soporta una columna

h

h h h h

h

(e) Abertura en una viga

(d) Ménsula doble

Figura 17-1 – Discontinuidades de carga y geométricas Aunque las regiones B se pueden diseñar usando los métodos de diseño tradicionales (ACI 318, Capítulos 10 y 11), el modelo de bielas y tirantes se introdujo fundamentalmente para simplificar el diseño de las regiones D, y su aplicación se puede extender también a las regiones B. El modelo de bielas y tirantes representa la región D del elemento estructural mediante un sistema reticulado compuesto por bielas de compresión y tirantes de tracción, conectados en nodos, como se ilustra en la Figura 17-2. Este sistema reticulado se diseña de manera de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o a las regiones B adyacentes. A la vez, las fuerzas en los elementos del reticulado deben mantener el equilibrio con las cargas aplicadas y las reacciones. 17 - 2

h

<2h

<2h

<2h

(La totalidad de la viga se trata como una Región D)

(

nodos,

Modelo de reticulado bielas, tirantes)

Figura 17-2 – Modelo de bielas y tirantes Bielas - Las bielas son los elementos comprimidos del modelo de bielas y tirantes, y representan las resultantes de un campo de compresión. Tanto los campos de compresión paralelos como los campos de compresión en forma de abanico se pueden modelar mediante sus bielas de compresión resultantes, como se ilustra en la Figura 17-3.

h

h

h

h

Bielas en forma de abanico

h

Bielas en forma de abanico

Bielas en forma de abanico Bielas prismáticas

Bielas prismáticas

Figura 17-3 – Bielas prismáticas y bielas en forma de abanico Típicamente las bielas de compresión tendrán forma de botella si la biela se puede ensanchar lateralmente a la mitad de su longitud. A modo de hipótesis simplificadora para el diseño, generalmente las bielas se idealizan como elementos prismáticos comprimidos, aunque también es posible utilizar otras geometrías. Si la resistencia efectiva a la compresión del hormigón (fcu) difiere en los extremos opuestos de una biela, se sugiere idealizar la biela como un elemento comprimido uniformemente ahusado. Esto puede ocurrir en el caso que en los dos extremos de una biela las zonas nodales tengan diferentes resistencias o diferentes longitudes de apoyo. Si la tensión de compresión en la biela es elevada es posible que sea necesario proveer armadura para impedir fallas por tracción transversal. (La fisuración por tracción transversal desarrollada en elementos cilíndricos apoyados de lado y solicitados a compresión es un buen ejemplo del ensanchamiento lateral de las trayectorias de las tensiones de compresión.) 17 - 3

Tirantes - Los tirantes consisten en acero conformado convencional o acero de pretensado, o una combinación de ambos, más una porción del hormigón que lo rodea y que es concéntrico con el eje del tirante. En el modelo se considera que el hormigón que rodea el acero no resiste esfuerzos axiales. Sin embargo, este hormigón reduce el alargamiento del tirante (rigidización por tracción), en particular bajo cargas de servicio. También define la zona en la cual se han de anclar los esfuerzos en las bielas y los tirantes. Nodos - Los nodos son los puntos de intersección de los ejes de las bielas, tirantes y esfuerzos concentrados, y representan las uniones del modelo de bielas y tirantes. Para mantener el equilibrio, en cualquier nodo del modelo deben actuar como mínimo tres fuerzas. Los nodos se clasifican en función del signo de las fuerzas que actúan en los mismos (por ejemplo, un nodo C-C-C resiste tres esfuerzos de compresión, un nodo C-T-T resiste un esfuerzo de compresión y dos esfuerzos de tracción, etc.), como se ilustra en la Figura 17-4.

Nodo C-T-T

Nodo C-C-C

Figura 17-4 – Clasificación de los nodos Zonas nodales - Una zona nodal es el volumen de hormigón que se asume transfiere los esfuerzos de las bielas y los tirantes a través del nodo. En los primeros modelos de bielas y tirantes se utilizaban zonas nodales hidrostáticas, las cuales posteriormente fueron superadas y reemplazadas por las zonas nodales extendidas. Las caras de una zona nodal hidrostática son perpendiculares a los ejes de las bielas y los tirantes que actúan en el nodo, como se ilustra en la Figura 17-5. El término hidrostático se refiere al hecho de que todas las tensiones en el plano son iguales en todas las direcciones. (Observar que en un verdadero estado hidrostático de tensiones las tensiones fuera del plano también deberían ser iguales.) Suponiendo que las tensiones son iguales en todas las caras de una zona nodal C-C-C con tres bielas, esto implica que las relaciones entre las longitudes de los lados de las zonas nodales (wn1: wn2: wn3) son proporcionales a la magnitud de los esfuerzos en las bielas (C1: C2: C3). w n1

C1

C3

C2

w n2

w n3

C1: C2: C3 = wn1: wn2: wn3

Figura 17-5 – Zona nodal hidrostática La zona nodal extendida es la porción de un elemento limitado por la intersección del ancho de efectivo de la biela, ws, y el ancho efectivo del tirante, wt. Este concepto se ilustra en la Figura 17-6.

17 - 4

C

Zona nodal extendida

Placa de apoyo T

Tirante Zona nodal

C

Figura 17-6 – Zona nodal extendida

A.2

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA UN MODELO DE BIELAS Y TIRANTES

Típicamente un procedimiento de diseño para un modelo de bielas y tirantes implica los siguientes pasos: 1. Definir y aislar las regiones D. 2. Determinar los esfuerzos resultantes que actúan en los bordes de cada una de las regiones D. 3. Seleccionar un modelo de reticulado para transferir los esfuerzos resultantes a través de la región D. Los ejes de las bielas y los tirantes, respectivamente, se deben seleccionar de manera que coincidan aproximadamente con los ejes de los campos de compresión y tracción. 4. Determinar los esfuerzos en las bielas y los tirantes. 5. Determinar los anchos efectivos de las bielas y las zonas nodales considerando los esfuerzos determinados en los pasos anteriores y las resistencias efectivas del hormigón (definidas en los artículos A.3.2 y A.5.2). Las verificaciones de la resistencia se basan en la siguiente expresión: φFn ≥ Fu

Ec. (A-1)

donde Fu el mayor esfuerzo mayorado obtenido a partir de las combinaciones de cargas aplicables, Fn es la resistencia nominal de la biela o el nodo, y φ es el factor listado en el artículo 9.3.2.6, igual a 0,75 para los tirantes, las bielas, las zonas nodales y las superficies de apoyo de los modelos de bielas y tirantes. 6. Determinar la armadura en los tirantes considerando las resistencias del acero definidas en el artículo A.4.1. La armadura se debe detallar de manera que esté anclada adecuadamente en las zonas nodales. Además de los estados límites de resistencia, representados por el modelo de bielas y tirantes, también se deben verificar los requisitos de comportamiento en servicio (serviciabilidad) de los elementos estructurales. Para verificar las flechas se puede utilizar un análisis elástico tradicional. Para verificar el control de la fisuración se pueden aplicar los requisitos del artículo 10.6.4, suponiendo que el tirante está encerrado dentro de un prisma de hormigón correspondiente al área del tirante (de acuerdo con RA.4.2). Generalmente se pueden construir varios modelos de bielas y tirantes diferentes para un elemento estructural dado y una condición de carga determinada. Los modelos que mejor satisfacen los requisitos de comportamiento en servicio son aquellos en los cuales las bielas y tirantes siguen las trayectorias de las tensiones de compresión y tracción, respectivamente. Existen ciertas reglas para la construcción de modelos de bielas y tirantes, por ejemplo "el ángulo entre el eje de cualquier biela y el eje de cualquier tirante que concurren a un mismo nodo no se debe considerar menor que 25 grados" (A.2.5), que se han impuesto para mitigar los potenciales problemas de fisuración y para evitar incompatibilidades provocadas por el acortamiento de las bielas y el alargamiento de los tirantes que se producen prácticamente en las mismas direcciones.

17 - 5

A.3

RESISTENCIA DE LAS BIELAS

La resistencia nominal a la compresión de una biela sin armadura longitudinal se debe tomar como Fns = f cu A c

Ec. (A-2)

valor que se debe calcular en el extremo más débil del elemento comprimido. Ac es el área de la sección transversal en el extremo de la biela. En los típicos elementos bidimensionales, el ancho de la biela (ws) se puede tomar igual al ancho del elemento. Para este cálculo la resistencia efectiva a la compresión del hormigón (fcu) se debe tomar como el menor valor entre las resistencias del hormigón a ambos lados de la interfase zona nodal/biela. El artículo A.3.2 especifica el cálculo de fcu para las bielas (detallado a continuación), mientras que el artículo A.5.2 especifica el cálculo en las zonas nodales (detallado en párrafos posteriores). La resistencia efectiva a la compresión del hormigón en una biela se calcula usando una expresión similar a las expresiones básicas para resistencia: f cu = 0,85 βs f 'c

Ec. (A-3)

El factor βs toma en cuenta el efecto de la fisuración y la posible presencia de armadura transversal. La resistencia a la compresión del hormigón en una biela se puede calcular considerando βs = 1,0 si la sección transversal de la biela es uniforme en toda su longitud. Esto es prácticamente equivalente al bloque rectangular de tensiones en la zona comprimida de una viga o columna. Para las bielas en forma de botella (Figura 17-7) en las cuales se coloca armadura para resistir los esfuerzos de tracción transversal (armadura que satisface los requisitos del artículo A.3.3) βs = 0,75; si el confinamiento no es adecuado para resistir las fuerzas de tracción transversal, entonces βs = 0,6λ (siendo λ el factor de corrección especificado en el artículo 11.7.4.3 para hormigón liviano). Para las bielas de compresión que atraviesan las fisuras de una zona traccionada, βs se reduce a 0,4. Son ejemplos de este caso los modelos de bielas y tirantes usados para diseñar la armadura longitudinal y transversal de las alas traccionadas de las vigas, vigas cajón y tabiques. Para todos los demás casos (por ejemplo, en las almas de vigas en las cuales es probable que las bielas sean atravesadas por fisuras inclinadas) el factor βs, de forma conservadora, se debe tomar igual a 0,6. 1

2

Biela Tirante

2 1 Ancho usado para calcular A C

Figura 17-7 – Biela de compresión en forma de botella El artículo A.3.3 trata aquellos casos en los cuales se provee armadura transversal que cruza las bielas en forma de botella. Se puede asumir que los esfuerzos de compresión en la biela se expanden con una pendiente de 2:1. La intención de las barras es que resistan los esfuerzos de tracción transversal provocados por la expansión lateral del esfuerzo de compresión en la biela. Estas barras se pueden colocar en una sola capa (cuando el ángulo γ entre la barra y el eje de la biela es como mínimo 40 grados), o bien en dos capas ortogonales. Para poder utilizar βs = 0,75 en el caso de resistencias del hormigón no mayores que 6000 psi, la cuantía de armadura que debe cruzar la biela es: A

∑ bssi sin γi ≥ 0, 003

Ec. (A-4)

i

17 - 6

siendo Asi el área total de armadura con una separación si en una capa de armadura con barras formando un ángulo γi respecto del eje de la biela (ilustrado en la Figura 17-8). Con frecuencia no es posible proveer esta cuantía de armadura debido a limitaciones de espacio. En estos casos se debe utilizar βs = 0,6λ. Eje de la biela de compresión Límite de la biela

As2

γ2

s1 A s1

γ1

s2

Figura 17-8 – Capas de armadura para restringir la fisuración por tracción transversal de las bielas Si se verifica mediante ensayos y análisis, se puede aumentar la resistencia efectiva a la compresión de una biela debido a la presencia de armadura de confinamiento (por ejemplo, en las zonas de anclaje de los cables de pretensado). Este tema se discute detalladamente en las Referencias 17.5 y 17.6. Se le puede proporcionar resistencia adicional a las bielas incluyendo armadura de compresión paralela al eje de la biela. Estas barras deben estar ancladas adecuadamente y encerradas por estribos cerrados o zunchos de acuerdo con el artículo 7.10. La resistencia a la compresión de estas bielas con armadura longitudinal se puede calcular como: Fns = f cu A c + A 's f 's

Ec. (A-5)

siendo f's la tensión en la armadura longitudinal de la biela correspondiente a la resistencia nominal. Este valor se puede obtener analizando las deformaciones en el momento en que el hormigón falla por aplastamiento, o bien se lo puede estimar como f's = fy para las barras de acero Grado 40 y Grado 60.

A.4

RESISTENCIA DE LOS TIRANTES

La resistencia nominal de un tirante se calcula como la sumatoria de la tensión de fluencia de la armadura convencional más el esfuerzo en el acero de pretensado:

(

Fnt = Ast f y + A ps fse + ∆f p

)

Ec. (A-6)

Observar que Aps es igual a cero si el tirante no es pretensado, y que la tensión de pretensado real (fse + ∆fp) no debe ser mayor que la tensión de fluencia fpy del acero de pretensado. Además, si no se lo calcula, el código permite estimar el aumento de la tensión en el acero de pretensado debido a las cargas mayoradas, ∆fp, como 60.000 psi para armadura pretensada adherente, o como 10.000 psi para armadura pretensada no adherente. Debido a que la intención de la presencia de los tirantes es contar con elementos de tracción en el reticulado, el eje baricéntrico de la armadura debe coincidir con el eje del tirante supuesto en el modelo. Dependiendo de la distribución de la armadura en el tirante, el ancho efectivo del tirante (wt) puede variar entre los siguientes límites: 17 - 7

•

Si en el tirante se dispone solamente una capa de armadura, el ancho mínimo wt se puede tomar como el diámetro de las barras en el tirante más dos veces el recubrimiento de hormigón hasta la superficie de los tirantes. Si el ancho del tirante es mayor que este valor, la armadura se debe distribuir uniformemente en todo el ancho.

•

El límite superior se establece como el ancho correspondiente al ancho de una zona nodal hidrostática, el cual se calcula como

w t,max = Fnt / f cu siendo fcu la resistencia efectiva a la compresión aplicable de la zona nodal, discutida a continuación.

Los nodos deben ser capaces de desarrollar la diferencia entre los esfuerzos de los elementos del reticulado que concurren a ellos. Por lo tanto, además de proveer una cantidad adecuada de armadura en los tirantes, se debe prestar especial atención al anclaje. El anclaje se puede lograr usando dispositivos mecánicos, dispositivos de anclaje de postesado o ganchos normales, o bien mediante una longitud embebida de las barras rectas. La armadura en un tirante se debe anclar antes que abandone la zona nodal extendida, es decir, en el punto definido por la intersección del baricentro de las barras del tirante y las prolongaciones de los contornos ya sea del tirante o de la superficie de apoyo, como se ilustra en la Figura 17-9. Para aquellos reticulados en los cuales a un nodo concurre más de un tirante, cada uno de los esfuerzos de los tirantes se deben desarrollar en el punto en el cual el baricentro de la armadura del tirante abandona la zona nodal extendida. (Observar que la armadura transversal requerida por el artículo A3.3 se debe anclar de acuerdo con los requisitos del artículo 12.13). En muchos casos la configuración estructural no admite la longitud de desarrollo recta que se requeriría para un tirante. En estos casos el anclaje se debe proveer mediante dispositivos mecánicos, ganchos, o empalmando con varias capas de barras de menor tamaño. Para que estas opciones se puedan materializar, el elemento estructural debe tener mayor ancho y/o armadura de confinamiento adicional (por ejemplo, para evitar la fisuración a lo largo de la parte externa de los ganchos). Eje de la biela

Baricentro del tirante

Sección crítica

Aa Figura 17-9 – Anclaje de la armadura de los tirantes

A.5

RESISTENCIA DE LAS ZONAS NODALES

La resistencia nominal a la compresión en la cara de una zona nodal o en cualquier sección que atraviesa una zona nodal debe ser: Fnn = f cu A n

Ec. (A-7)

donde An se toma como el área de la cara de la zona nodal sobre la cual actúa Fu, si la cara es perpendicular a la recta de acción de Fu. Si la zona nodal se ha delimitado aplicando un criterio diferente, es posible que la interfase entre el nodo y la biela no sea perpendicular al eje de la biela, y por lo tanto las tensiones axiales en la biela solicitada exclusivamente a compresión generarán sobre la interfase tanto tensiones de corte como tensiones normales. En estos casos, el parámetro An será el área de una sección que a traviesa la zona nodal y que es perpendicular al eje de la biela.

17 - 8

El modelo de bielas y tirantes también se puede aplicar a situaciones tridimensionales. Para mantener la sencillez de los cálculos, el artículo A.5.3 permite que el área de las caras nodales sea menor que la descrita anteriormente, y establece que la geometría de cada cara de las zonas nodales debe ser similar a la proyección de los extremos de las bielas sobre las correspondientes caras de las zonas nodales. La resistencia efectiva a la compresión del hormigón en una zona nodal (fcu) se calcula como: f cu = 0,85 βn f 'c

Ec. (A-8)

y no debe ser mayor que la resistencia efectiva a la compresión del hormigón en la cara de una zona nodal provocada por los esfuerzos del modelo de bielas y tirantes, a menos que se disponga armadura de confinamiento dentro de la zona nodal y que su efecto sea confirmado mediante ensayos y análisis. El signo de los esfuerzos que actúan sobre el nodo afecta la capacidad en las zonas nodales, como lo refleja el valor βn. La presencia de tensiones de tracción debidas a los tirantes disminuyen la resistencia a la compresión del hormigón de la zona nodal. βn = 1,0

en zonas nodales limitadas por bielas o superficies de apoyo (nodos C-C-C)

βn = 0,8

en zonas nodales que anclan un tirante (nodos C-C-T)

βn = 0,6

en zonas nodales que anclan dos o más tirantes (nodos C-T-T o nodos T-T-T)

REFERENCIAS 1. Schlaich, J., Schafer, K. y Jennewein, M., 1987, "Toward a Consistent Design of Structural Concrete," PCI journal, V. 32, No. 3, Mayo-Junio, pp. 74-150. 2. Marti, P., 1985, "Truss Models in Detailing," Concrete International, ACI, Dic., pp. 66-73. 3. Collins, M.P. y Mitchell, D., 1991, Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, pp. 766. 4. MacGregor, J.G., 1997, Reinforced Concrete Mechanics and Design, 3º Ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, pp. 939. 5. FIP Commission 3, 1999, FIP Recommendations 1996 Practical Design of Structural Concrete, FIP Congress, Amsterdam, 1996, Federation Internationale de la Precontraint Laussanne. 6. Bergmeister, K., Breen J.E. y Jirsa J.O., 1991, "Dimensioning of the Nodes and Development of Reinforcement," IABSE Colloquium Stuttgart 1991, International Association for Bridge and Structural Engineering, Zurich, pp. 551-556.

17 - 9

Ejemplo 17.1 –

Diseño de un elemento de gran altura solicitado a flexión mediante el Modelo de Bielas y Tirantes

Determinar la armadura requerida para la viga de transferencia simplemente apoyada ilustrada en la Figura 17-10. La única columna ubicada a la mitad de la luz solicita a la viga con una carga permanente de 180 kips y una sobrecarga de 250 kips. 20" f´c = 4000 psi Grado 60

60"

C

20"

A

6´-0"

B

6´-0"

16"

16"

Figura 17-10 – Viga de borde

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Calcular la carga mayoradas y las reacciones.

De manera conservadora, la carga permanente de la viga de transferencia se asigna a la carga en la columna en el centro de la luz. La carga permanente en la viga es: 5 ( 20 /12 ) 6 + 6 ( 32 /12 )  0,15 = 18,5 kips Pu = 1, 2D + 1, 6L = 1, 2 × (18,5 + 180 ) + 1, 6 × 250 = 640 kips

Ec. (9-2)

R A = R B = 320 kips

2. Determinar si la viga satisface la definición correspondiente a "viga de gran altura."

10.7.1 11.8.1

Altura total de la viga h = 5 ft Luz libre ℓn = 12 ft A n 12 = = 2, 4 < 4 h 5

El elemento es una "viga de gran altura" y se diseñará usando el Apéndice A. 3. Verificar la máxima capacidad de corte de la sección transversal. Vu = 320 kips

(

φVn = φ 10 f 'c b w d

)

11.8.3

17 - 10

(

)

= 0, 75 10 4000 × 20 × 54 /1000 = 512 kips > Vu

VERIFICA

4. Establecer un modelo de reticulado. Asumir que los nodos coinciden con los ejes de las columnas (apoyos), y que están ubicados a 5 in. del borde superior o inferior de la viga como se ilustra en la Figura 17-11. El modelo de bielas y tirantes consiste en dos bielas (A-C y B-C), un tirante (A-B) y tres nodos (A, B y C). Además, las columnas en A y B actúan como bielas representando reacciones. La biela vertical en la parte superior del Nodo C representa la carga aplicada. eje

80"

5" 50"

5"

C

80" 640 kips

B

A 320 kips

320 kips

eje

eje

Figura 17-11 – Reticulado preliminar

Longitud de las bielas diagonales = 502 + 802 = 94,3 in. Esfuerzo en las bielas diagonales = 320

Esfuerzo en el tirante horizontal = 320

94,3 = 603 kips 50

80 = 512 kips 50

Verificar el ángulo entre los ejes de las bielas y el tirante que concurren al Nodo A. Ángulo entre las bielas diagonales y el tirante horizontal = tan −1 ( 50 / 80 ) = 32º > 25º

VERIFICA

A.2.5

5. Calcular la resistencia efectiva del hormigón (fcu) para las bielas, suponiendo que se dispone armadura de acuerdo con el artículo A.3.3 para resistir las fuerzas de tracción transversales (hendimiento). Ver Paso 9. Para las "bielas en forma de botella" A-C y B-C, f cu = 0,85 βs f 'c = 0,85 × 0, 75 × 4000 = 2550 psi

Ec. (A-3)

siendo βs = 0,75 [de acuerdo con el artículo A.3.2.2(a)] Observar que esta resistencia efectiva a la compresión no puede ser mayor que la resistencia de los nodos en ambos extremos de la biela. Ver A.3.1. La sección transversal de las bielas verticales A, B y C es uniforme en toda su longitud. βs = 1,0

A.3.2.1

17 - 11

f cu = 0,85 × 1, 0 × 4000 = 3400 psi

6. Calcular la resistencia efectiva del hormigón (fcu) para las Zonas Nodales A, B y C. La Zona Nodal C está limitada por tres bielas, de modo que se trata de una zona nodal C-C-C con βn = 1,0

A.5.2.1

f cu = 0,85 ×βn × f 'c = 0,85 × 1, 0 × 4000 = 3400 psi

Ec. (A-8)

Las Zonas Nodales A y C están limitadas por dos bielas y un tirante. Para los nodos C-C-T: βn = 0,80 f cu = 0,85 ×βn × f 'c = 0,85 × 0,80 × 4000 = 2720 psi

7. Verificar la resistencia en el Nodo C. Asumir que en el Nodo C se forma una zona nodal hidrostática. Esto significa que las caras de la zona nodal son perpendiculares a los ejes de las respectivas bielas, y que las tensiones en todas las caras son idénticas. Para satisfacer el criterio de resistencia para las tres bielas y el nodo, la mínima dimensión de la cara nodal se determina en base al menor valor de resistencia, fcu = 2550 psi. El mismo valor de resistencia también se usará para los Nodos A y B. La verificación de la resistencia para todos los elementos del modelo de bielas y tirantes se basa en la relación φFn ≥ Fu

Ec. (A-1)

siendo φ = 0,75 para bielas, tirantes y nodos.

9.3.2.6

La longitud de la cara horizontal de la Zona Nodal C se calcula como 640.000 = 16, 7 in. (valor menor que el ancho de la columna, igual a 20 in.) 0, 75 × 2550 × 20

Las longitudes de las demás caras, perpendiculares a las bielas diagonales, se pueden obtener aplicando proporcionalidad: 16, 7

603 = 15, 7 in. 640

8. Verificar la geometría del reticulado.

16,7"

Figura 17-12 – Geometría del Nodo C 17 - 12

13,3"

15

, 7" 15

,7"

4,0"

En el Nodo C

El centro de la zona nodal está ubicado a 4,0 in. a partir de la parte superior de la viga, lo cual coincide razonablemente con el valor de 5 in. supuesto. En el Nodo A 15

13,4"

,7"

32º

58º 32º

8,4"

Figura 17-13 – Geometría del Nodo A

El tirante horizontal debería ejercer una fuera en este nodo para crear una tensión de 2550 psi. Por lo tanto, el tamaño de la cara vertical de la zona nodal es 512.000 = 13, 4 in. 0, 75 × 2550 × 20

El centro del tirante está ubicado a 13,4/2 = 6,7 in, a partir de la parte inferior de la viga. Este valor se aproxima razonablemente al valor de 5 in. supuesto originalmente, de manera que no es necesario realizar otra iteración. Ancho del nodo en el Apoyo A. 320.000 = 8, 4 in. 0, 75 × 2550 × 20

9. Disponer armadura vertical y horizontal para resistir el hendimiento de las bielas diagonales. El ángulo entre los tirantes verticales y las bielas es 90º – 32º = 58º (sin 58º = 0,85). Intentar con dos barras No. 4 solapadas separadas 12 in. entre centros (para acomodar la armadura longitudinal del tirante diseñada en el Paso 10 siguiente). Asi 4 × 0, 20 sin γ i = × 0,85 = 0, 00283 bs 20 × 12

Ec. (A-4)

y barras horizontales No. 5 separadas 12 in. entre centros (sin 32º = 0,53). 2 × 0,31 × 0,53 = 0, 00137 20 × 12

∑

Asi sin γ i = 0, 00283 + 0, 00137 = 0, 0042 > 0, 003 bs

VERIFICA

10. Proveer armadura horizontal para el tirante.

17 - 13

As,req =

Fu 512 = = 11, 4 in.2 φf y 0, 75 × 60

Seleccionar 16 barras No. 8

As = 12,64 in.2

Estas barras se deben anclar adecuadamente. El anclaje se ha de medir a partir del punto donde el tirante abandona la zona nodal extendida, como se ilustra en la Figura 17-14.

Zona noda extendida

Tirante

Zona nodal

6,7" 32º 4,2"

4,2"

Aa

8"

x = 10,7"

8"

Figura 17-14 – Desarrollo de la armadura del tirante dentro de la zona nodal extendida

Distancia x = 6,7/tan 32 = 10,7 in. Espacio disponible para embeber barras rectas 10,7 + 4,2 + 8 – 2,0 (recubrimiento) = 20,9 in. Esta longitud no es adecuada para desarrollar una barra No. 8 recta. Longitud de desarrollo para una barra No. 8 con un gancho normal a 90 grados

(

)

A dh = 0, 02βλ f y / f 'c d b

(

12.5.2

)

= 0, 02 (1, 0 )(1, 0 ) 60.000 / 40000 1, 0 = 19, 0 < 20,9 in.

VERIFICA

Nota: Los ganchos a 90º deben estar encerrados dentro de la prolongación de la armadura de la columna en la viga de transferencia (Figura 17-15). Si se provee un recubrimiento adecuado y confinamiento transversal, la longitud de desarrollo del gancho normal se podría reducir aplicando los factores de modificación indicados en el artículo 12.5.3.

17 - 14

Es posible obtener esquemas con menor grado de congestión de las armaduras, ya sea soldando el acero de las armaduras a placas de apoyo o bien usando acero de pretensado. Comentarios: La discrepancia en la ubicación vertical de los nodos provoca una diferencia despreciable en los esfuerzos en el reticulado (aproximadamente 1,5 por ciento). Por lo tanto, no es necesario realizar otra iteración. Para este problema se podrían haber seleccionado varios modelos de bielas y tirantes alternativos. En la Figura 17-16 se ilustra un reticulado alternativo. A

A

16"

16-No.8

7,3"

20"

Figura 17-15 – Detalle de la armadura del tirante

Figura 17-16 – Modelo de bielas y tirantes alternativo 17 - 15

Ejemplo 17.2 –

Diseño de una ménsula en una columna

Diseñar la ménsula de la columna de hormigón armado de 16 in. × 16 in. para un esfuerzo vertical Vu = 60 kips y un esfuerzo horizontal Nu = 12 kips. Asumir f'c = 5000 psi, y armaduras de acero Grado 60. 7,5" Vu = 60 kips

Ru

Nu= 12 kips 10"

10"

10"

16"

Figura 17-17 – Diseño de una ménsula

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Establecer la geometría de un reticulado tentativo y calcular la demanda de fuerza en los elementos. 7,9" 21,4"

Ru 46,3 K

K

,8

75,8 K

88

D

12,0 K

2,0"

18,0"

C

K

F

2,5"

135,8 K

93,2 K

10,4" ,2 21

16,0"

A

69,1 K

B

E

11"

2,5"

Figura 17-18 – Disposición del reticulado 17 - 16

2. Proveer armadura para los tirantes. Usar φ = 0,75

9.3.2.6

La resistencia nominal de los tirantes se debe tomar como:

(

Fnt = Ast f y + A ps fse + ∆f p

)

Ec. (A-6)

donde el último término se puede ignorar si la armadura no es pretensada. Tirante AB Ast =

Fu 46,3 = = 1, 03 in.2 φf y 0, 75 × 60

Tirante CD Ast =

Proveer 4 barras No. 5

A st = 1, 24 in.2

Proveer barra No.4

A st = 0, 40 in.2

Fu = 12,0 kips

12, 0 = 0, 27 in.2 0, 75 × 60

Tirantes BC y DF A st =

Fu = 46,3 kips

Fu = 46,3 kips

93, 2 = 2, 07 in.2 0, 75 × 60

Proveer acero adicional además de la armadura vertical de las columnas

Esta armadura se puede añadir en forma de una barra longitudinal, o en forma de una barra doblada en el Nodo A, que también se puede usar como Tirante AB. 3. Calcular los anchos de las bielas. Se asume que se colocará armadura de acuerdo con A.3.3, de manera que se puede usar βs = 0,75. f cu = 0,85 βs f 'c = 0,85 × 0, 75 × 5000 = 3187 psi

Ec. (A-3)

φf cu = 0, 75 × 3187 = 2390 psi

Calcular el ancho requerido de las bielas. Biela AC w=

69.100 = 1,81 in. 16 × 2390

Biela BC w=

88.800 = 2,32 in. 16 × 2390

Biela CE

17 - 17

w=

135.800 = 3,55 in. 16 × 2390

Biela DE w=

21, 2 = 0,55 in. 16 × 2390

El ancho de las bielas cabrá dentro de la columna de hormigón. Proveer armadura de confinamiento para las bielas de acuerdo con el artículo A.3.3, en forma de estribos horizontales. El ángulo que forman las bielas diagonales respecto de los estribos cerrados horizontales es 58º. Disponer estribos cerrados No. 4 separados 4.5 in. entre centros. As 2 × 0, 20 sin γ = sin 58º = 0, 0031 bs 24 × 4,5

4

No. 5

No. 4 a 4,5" entre centros No. 4

2 - No. 10

Figura 17-19 – Detalles de armado

17 - 18

18 Sistemas de losas que trabajan en dos direcciones

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Hay un pequeño cambio en el artículo 13.3.8.5 del Capítulo 13: ahora para las barras inferiores de las franjas de columna de las losas ya no se permiten los empalmes de tracción mecánicos o soldados que satisfacen el artículo 12.14.3.

13.1

CAMPO DE VALIDEZ

La Figura 18-1 ilustra los diferentes tipos de sistemas de losas de hormigón en dos direcciones que se utilizan en la actualidad y que pueden ser diseñadas de acuerdo con el Capítulo 13. Originalmente los sistemas de losas de hormigón armado consistían en una losa maciza con sus cuatro lados apoyados sobre vigas (Figura 18-1(a)). Con este sistema, si la relación entre el lado mayor y el lado menor de un panel de losa es mayor o igual que dos, la transferencia de carga se produce fundamentalmente por flexión en la dirección menor, y el panel trabaja básicamente como una losa armada en una sola dirección. A medida que la relación de los lados de un panel de losa se aproxima a la unidad (o a medida que el panel se aproxima a la geometría cuadrada), una parte significativa de la carga es transferida por flexión en ambas direcciones ortogonales, y el panel se debe tratar como un sistema que trabaja en dos direcciones y no como una losa armada en una sola dirección. Con el paso del tiempo y la evolución de la tecnología, las vigas sobre las líneas que unen las columnas comenzaron a desaparecer gradualmente. El sistema de losa resultante, compuesto por losas macizas apoyadas directamente sobre columnas, se denomina placa plana (Figura 18-1(b)). La placa plana en dos direcciones es un sistema muy eficiente y económico, y en la actualidad es el sistema más utilizado para construcciones de múltiples pisos tales como, hoteles, dormitorios, edificios de departamentos y hospitales. En comparación con otros sistemas de entrepiso/cubierta de hormigón, las placas planas se pueden construir en menos tiempo y con menores costos de mano de obra debido a que el sistema utiliza los encofrados y disposiciones de armadura más simples posibles. El uso de las placas planas también representa otras importantes ventajas económicas. Por ejemplo, debido a la escasa altura del sistema de entrepiso, la altura de piso se reduce automáticamente, lo cual da por resultado tabiques exteriores y conductos para tuberías y servicios de menor altura total; tabiques no estructurales de menor altura; una reducción de las longitudes de las tuberías para instalaciones sanitarias y sistemas contra incendio; y otros múltiples componentes que afectan el costo de una construcción. En ciudades como Washington D.C., donde existen limitaciones sobre la altura máxima de las construcciones, la

escasa altura de las placas planas permite construir el mayor número de pisos posible para una altura dada. Las placas planas también permiten la mayor flexibilidad en la disposición de columnas, tabiques, pequeñas aberturas, etc. Otra ventaja de las placas planas que no se debe despreciar es su resistencia al fuego. En la mayoría de los casos, la altura de losa requerida por motivos estructurales proveerá la resistencia al fuego requerida por el código de construcción general, sin necesidad de rociar compuestos de protección contra el fuego. Esto es particularmente importante cuando las condiciones en obra permiten la aplicación directa del acabado del cielorraso sobre el intradós de las placas planas, eliminando la necesidad de instalar cielorrasos suspendidos. Como se puede ver, con las placas planas se pueden lograr ahorros tanto en los costos como en los tiempos de construcción. La principal limitación del uso de las placas planas es el corte alrededor de las columnas (13.5.4). Cuando las cargas son elevadas o los tramos son de gran longitud, muchas veces se incrementa la altura de las placas planas alrededor de las columnas, creando elementos conocidos como ábacos. Cuando a una placa plana se le incorporan ábacos, ésta pasa a denominarse losa plana (Figura 18-1(c)). Además, para considerar el corte alrededor de las columnas, algunas veces los extremos superiores de las columnas se ensanchan, creando capiteles de columna. Para los propósitos del diseño, un capitel de columna forma parte de la columna, mientras que un ábaco forma parte de la losa (13.7.3 y 13.7.4).

(a) Losa en dos direcciones con vigas

(b) Placa plana

(c) Losa plana

(d) Losa nervurada en dos direcciones

Figura 18-1 – Tipos de sistemas de losas que trabajan en dos direcciones Las losas nervuradas en dos direcciones (Figura 18-1(d)) consisten en filas de viguetas o nervios de hormigón perpendiculares entre sí con cabezales macizos sobre las columnas (los cuales son necesarios para proveer resistencia al corte). Habitualmente las viguetas o nervios se forman usando encofrados cuadrados normalizados tipo "casetones." Alrededor de las columnas no se colocan estos casetones, formando así los cabezales macizos. Para los propósitos del diseño, las losas nervuradas se consideran 18 - 2

como losas planas en las cuales los cabezales macizos actúan como ábacos (13.1.3). Los sistemas con losas nervuradas permiten reducir considerablemente la carga permanente con respecto a los sistemas con losas planas convencionales, ya que es posible minimizar la altura de la losa gracias a que la separación entre los nervios es pequeña. En consecuencia, este sistema es particularmente ventajoso cuando se desea cubrir grandes luces o soportar cargas elevadas sin utilizar ábacos de gran altura ni vigas de apoyo. Además, la geometría formada por los nervios suele ser deseable desde el punto de vista arquitectónico.

13.1.4

Control de las flechas – Altura mínima de una losa

En los diseños rutinarios, minimizando la relación altura/luz el diseñador podrá evitar cálculos de flechas extremadamente complejos. No es necesario calcular las flechas de las losas en dos direcciones si la altura total de la losa satisface los requisitos mínimos establecidos en el artículo 9.5.3. En la Tabla 9.5(c) se resumen las alturas mínimas para placas planas, losas planas y losas nervuradas, junto con las alturas mínimas para losas en dos direcciones con vigas calculadas en base a las Ecuaciones (9-12) y (913). En esta tabla ℓn es la longitud de la luz libre en la dirección mayor de un panel de losa en dos direcciones. Los valores tabulados corresponden a las alturas mínimas determinantes determinadas para paneles interiores, de borde o de esquina, suponiendo una altura de losa constante para todos los paneles que componen el sistema de losa. Habitualmente con las dimensiones típicas de las vigas de borde se obtendrán relaciones de rigidez viga-losa α mayores que el valor mínimo especificado de 0,8. En la Figura 18-2 se ilustra un ábaco de dimensiones normales o "estándar" que permitiría reducir la altura mínima requerida de un sistema de entrepiso compuesto por losas planas. Observar que si fuera necesario se puede utilizar un ábaco de mayores dimensiones en planta y altura para proveer resistencia al corte; sin embargo, no está permitido disminuir la correspondiente altura de la losa a menos que se realice el cálculo de las flechas. Para simplificar el diseño, en la Figura 18-3 se grafican las alturas mínimas para los seis tipos de sistemas de losas en dos direcciones listados en la Tabla 18-1. En la Parte 10 el lector encontrará una discusión general sobre el control de las flechas para sistemas de losas en dos direcciones, incluyendo ejemplos del cálculo de las flechas en este tipo de sistemas. Tabla 18-1 – Altura mínima para sistemas de losas en dos direcciones (Armadura Grado 60) αm

Sistema de losas dos direcciones Placa plana 1 Placa plana con vigas de borde

[hmin. = 5 in.]

---

β ≤2 ≤2

[hmin. = 4 in.]

---

≤2 ≤2

≤ 0,2

≤2

n/30

1,0

1 2

n/33

1 2

n/37

≤ 0,2

≤2

n/33

1,0

1 2

n/36

1 2

n/41

2

Losa plana Losa plana2 con vigas de borde1

3

Losa en dos direcciones sobre vigas

≥ 2,0

1,3

Losa en dos direcciones sobre vigas

≥ 2,0 1 2 3

h mínima

Relación entre la rigidez de las vigas de borde y la rigidez de la losa α ≥ 0.8 (9.5.3.3) Longitud del ábaco ≥ /3; altura ≥ 1,25h (13.3.7) hmin. = 5 in. para αm ≤ 2,0; hmin. = 3,5 in. para αm > 2,0 (9.5.3.3)

18 - 3

n/30 n/33 n/33 n/36

n/36

n/44

n/40

n/49

≥ℓ/6

(en cada dirección)

>1,25h

h

≥ℓ/6

Figura 18-2 – Detalles de los ábacos (13.3.7) 12,0 Losa plana con vigas de borde

11,0 10,0

Altura mínima (in.)

9,0 Placa plana con vigas de borde* y losa plana

8,0 7,0

Placa plana 6,0 Losa en dos direcciones sobre vigas (β = 1)*,**

5,0 Losa en dos direcciones sobre vigas (β = 2)*,**

4,0 3,0 10,0

15,0

20,0

* α ≥ 0,8 ** αm > 2

25,0

30,0

Mayor luz libre ℓn (ft)

Figura 18-3 – Altura mínima para sistemas de losas en dos direcciones (ver Tabla 18-1)

13.2

DEFINICIONES

13.2.1

Franja de diseño

Para analizar un sistema de losas en dos direcciones ya sea mediante el Método de Diseño Directo (13.6) o mediante el Método del Pórtico Equivalente (13.7), el sistema de losas se divide en franjas de diseño que consisten en una franja de columna y la mitad de una o dos franjas intermedias según las definiciones dadas en los artículos 13.2.1 y 13.2.2, como se ilustra en la Figura 18-4. La franja de columna se define como una franja que tiene un ancho igual a la mitad de la luz transversal o longitudinal, cualquiera sea el valor que resulte menor. La franja intermedia es una franja limitada por dos franjas de columna. Sin embargo, para aplicar las definiciones dadas en el artículo 13.2.1 para franjas de columna en las cuales la luz es variable a lo largo de la franja de diseño, el diseñador debe aplicar su juicio profesional. 18 - 4

El motivo por el cual se especifica que la franja de columna se debe basar en la menor de las longitudes ℓ1 o ℓ2 es para tomar en cuenta la tendencia que tienen los momentos de concentrarse alrededor de la línea de columnas cuando la longitud de la franja de diseño es menor que su ancho. 2 2/2

2/2 2/4

Franja intermedia

Franja de columna interior

1/2 franja intermedia

2 /4 2/4

1

2 /2

Franja de columna exterior

2

(a) Franja de columna para ℓ2 ≤ ℓ1

2 2 /2

2 /2 1/4

Franja intermedia

Franja de columna interior

1/2 franja intermedia

1/4 1/4

1

2 /2

Franja de columna exterior

2

(b) Franja de columna para ℓ2 > ℓ1

Figura 18-4 – Definición de las franjas de diseño (13.2.4)

13.2.4

Sección efectiva de una viga

Para los sistemas de losas con vigas entre sus apoyos, las vigas deben incluir partes de la losa a modo de alas, como se ilustra en la Figura 18-5. Las constantes de diseño y los parámetros de rigidez utilizados con el Método de Diseño Directo y el Método del Pórtico Equivalente se basan en las secciones de viga efectivas ilustradas.

18 - 5

b+hw ≤ b+4h

b+2hw ≤ b+8h

h hw

h hw b

b

Figura 18-5 – Sección efectiva de una viga

13.3

ARMADURA DE LAS LOSAS

• El área mínima de armadura en cada dirección para los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones = 0,0018bh (b = ancho de la losa, h = altura total) para barras de acero Grado 60, tanto para la armadura superior como para la armadura inferior (13.3.1). • La máxima separación de las barras es 2h, pero esta separación no debe ser mayor que 18 in. (13.3.2). • En la Figura 13.3.8 se indican las prolongaciones mínimas para las armaduras en las losas sin vigas (placas planas y losas planas) (13.3.8.1). Observar que los detalles de armado indicados en la Figura 13.3.8 no se aplican a las losas en dos direcciones con vigas entre sus apoyos ni a las losas que resisten cargas laterales en pórticos indesplazables o desplazables. Para estas losas se debe realizar un análisis general de acuerdo con el Capítulo 12 del Código para determinar las longitudes de las barras en base a la variación del momento, pero en ningún caso estas longitudes deben ser menores que las especificadas en la Figura 13.3.8 (13.3.8.4). En la revisión del Código efectuada en 1989, en vista de lo raro que resulta su aplicación en las construcciones actuales, algunos detalles de armado correspondientes al uso de barras dobladas en losas que trabajan en dos direcciones fueron eliminados de la Figura 13.3.8. Los diseñadores que deseen utilizar barras dobladas en un sistema de losas en dos direcciones deberán consultar la Figura 13.4.8 de la edición 1983 del Código. De acuerdo con el artículo 13.3.6, se debe proveer armadura superior e inferior especial en las esquinas exteriores de las losas con vigas de borde en las cuales α es mayor que 1,0. La armadura se debe diseñar para un momento igual al mayor momento positivo por unidad de ancho del panel, y se debe colocar en una franja paralela a la diagonal en la parte superior de la losa y en una franja perpendicular a la diagonal en la parte inferior de la losa (Figura 18-6(a)); alternativamente, se la puede colocar en dos capas paralelas a los bordes de la losa tanto en la parte superior como en la parte inferior de la losa (Figura 18-6(b)). Además, la armadura se debe prolongar en una longitud como mínimo igual a un quinto de la mayor luz en cada dirección a partir de la esquina. En las losas sin vigas, todas las barras inferiores contenidas en la franja de columna deben ser continuas o estar empalmadas con empalmes Clase A o mediante empalmes mecánicos o soldados que satisfagan los requisitos del artículo 12.14.3 (13.3.8.5) a fin de proveer algo de capacidad para que, en caso que algún apoyo falle o sufra algún daño, la losa pueda colgarse de un apoyo adyacente. Además, como mínimo dos de estas barras inferiores continuas deben atravesar la columna y estar ancladas en apoyos exteriores. En las construcciones con losas izadas y en las losas con armadura en forma de conectores de corte es posible que el espacio disponible no sea adecuado para que las barras de la armadura inferior de la franja de columna pasen a través de la columna. En estos casos, a través de la columna se deben disponer como mínimo dos barras inferiores continuas, con adherencia, en cada dirección, a través de los conectores de corte o de los collares de izaje, tan cerca de la columna como sea posible (13.3.8.6). Esta condición fue incorporada por primera vez en el Código 1992 y luego aclarada en 1999.

13.4

ABERTURAS EN LOS SISTEMAS DE LOSAS

18 - 6

El Código permite que en un sistema de losas haya aberturas de cualquier tamaño, siempre que se realice un análisis que demuestre que se satisfacen tanto los requisitos de resistencia como los requisitos de comportamiento en servicio (13.4.1). Para las losas sin vigas, está permitido obviar el análisis indicado en el artículo 13.4.1 cuando se satisfacen los requisitos establecidos en los artículos 13.4.2.1 a 13.4.2.4: • En el área común de dos franjas intermedias que se intersecan, se permiten aberturas de cualquier tamaño (13.4.2.1). • En el área común a dos franjas de columna que se intersecan, el tamaño máximo permitido para las aberturas es un octavo del ancho de la franja de columna en cualquiera de los dos tramos (13.4.2.2). • En el área común a una franja de columna y una franja intermedia, el tamaño máximo permitido para las aberturas está limitado de manera tal que solamente se puede interrumpir, como máximo, un cuarto de la armadura de la losa en cualquiera de las franjas (13.4.2.3). Es necesario mantener la cantidad total de armadura requerida para el panel sin aberturas, en ambas direcciones; por este motivo en los lados de la abertura se debe agregar una cantidad de armadura equivalente a la interrumpida por la misma. En la Figura 18-7 se ilustran los requisitos del artículo 13.4.2 para losas en las cuales se verifica ℓ2 > ℓ1. En la Parte 16 se presenta una discusión del efecto de las aberturas sobre la resistencia al corte del hormigón en losas sin vigas (13.4.2.4).

Armadura en la parte superior de la losa

(a)

Armadura en la parte superior de la losa

(b)

Armadura en la parte inferior de la losa

Armadura en la parte inferior de la losa

Figura 18-6 – Armadura adicional requerida en las esquinas de las losas apoyadas sobre vigas

13.5

PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO

El artículo 13.5.1 permite diseñar (analizar) los sistemas de losas en dos direcciones mediante cualquier método que satisfaga los requisitos de resistencia definidos en el Código (9.2 y 9.3) y todos los requisitos aplicables de comportamiento en servicio, incluyendo los valores límites especificados para las flechas (9.5.3). 13.5.1.1 Análisis para cargas gravitatorias – En el Capítulo 13 se presentan dos métodos para analizar los sistemas de losas en dos direcciones solicitados por cargas gravitatorias: el Método de Diseño Directo (MDD), más sencillo, presentado en la sección 13.6, y el Método del Pórtico Equivalente (MPE), más complejo, presentado en la sección 13.7. El Método de Diseño Directo es un método aproximado que utiliza coeficientes de momento, mientras que el Método del Pórtico Equivalente (análisis elástico) es más exacto. Con el procedimiento de análisis aproximado del Método de Diseño Directo se obtendrán valores de momento 18 - 7

razonablemente conservadores para las condiciones de diseño establecidas para los sistemas de losas comprendidos dentro de las limitaciones del artículo 13.6.1. 2

1/2

Para aberturas en esta zona ver 13.4.2.3

Se permiten aberturas de cualquier tamaño

1

≤ ℓ1/16 1/2

franja de columna

2

1

franja intermedia

franja de columna

2

≤ ℓ1/16

≤ ℓ1/16 1

franja de columna 1/2

franja intermedia

franja de columna 1/2

Figura 18-7 – Aberturas permitidas en los sistemas de losas sin vigas para ℓ2 > ℓ1 Estos dos métodos de análisis sólo son aplicables para el caso de cargas gravitatorias, y su aplicación se limita a construcciones con columnas y/o tabiques dispuestos formando un patrón esencialmente ortogonal, es decir, construcciones en las cuales los pórticos longitudinales y transversales son perpendiculares entre sí. Ambos métodos son aplicables a losas con o sin vigas entre sus apoyos. Observar que ninguno de los dos métodos es aplicable a los sistemas de losas en los cuales hay vigas que apoyan sobre otra vigas; las vigas deben estar ubicadas sobre las líneas de columnas, y deben estar soportadas directamente por las columnas o por otros apoyos indeformables en las esquinas de los paneles de losa. 13.5.1.2 Análisis para cargas laterales – Para el análisis de los pórticos solicitados por cargas laterales, el diseñador puede modelar la estructura utilizando cualquier enfoque que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica, y que concuerde razonablemente con los datos de ensayos disponibles. Los procedimientos considerados aceptables incluyen los modelos de elementos finitos para placas solicitadas a flexión, los modelos que consideran un ancho de viga efectivo, y el modelo del pórtico equivalente. Las rigideces de los elementos del pórtico usadas en el análisis deben reflejar los efectos de la fisuración de la losa, sus parámetros geométricos y la concentración de armaduras. Durante la vida útil de la estructura, las sobrecargas habituales y los cambios de volumen provocados por los efectos de la contracción y la temperatura provocarán la fisuración de la losa. Para asegurar que no se subestime el desplazamiento lateral provocado por las cargas de viento o las cargas sísmicas, es necesario considerar la fisuración de las losas en las hipótesis de rigidez para el cálculo del desplazamiento lateral. La rigidez de los elementos de las losas no sólo se ve afectada por la fisuración, sino también por otros parámetros tales como ℓ2/ℓ1, c1/ℓ1, c2/c1, y por la concentración de armadura dentro del ancho de losa para transferencia del momento no balanceado por 18 - 8

flexión definida en el artículo 13.5.3.2. Esta mayor concentración de armadura aumenta la rigidez impidiendo la fluencia prematura y el ablandamiento en la losa cerca de las columnas de apoyo. Para el análisis bajo cargas laterales es importante considerar la rigidez real debida a estos factores, ya que el desplazamiento lateral puede afectar significativamente los momentos en las columnas, especialmente en las estructuras aporticadas de gran altura. Además, el desplazamiento lateral real correspondiente a un único piso o correspondiente a la totalidad de la estructura es una consideración importante desde el punto de vista de la estabilidad y el comportamiento estructural. La fisuración reduce la rigidez de los elementos con respecto a la de un entrepiso no fisurado. La magnitud de la pérdida de rigidez provocada por la fisuración dependerá del tipo de sistema de losa y de los detalles de armado. Por ejemplo, los sistemas de losas prefabricadas en las cuales la fisuración se reduce por efecto del pretensado y los sistemas de losas con vigas de grandes dimensiones entre las columnas perderán menos rigidez que los sistemas de placas planas convencionales. Antes del Código 1999, el comentario indicaba que era razonable considerar valores de rigidez en base a la Ecuación (9-8). Sin embargo, esta indicación se eliminó del comentario en 1999, ya que la Ecuación (9-8) no representa adecuadamente factores tales como los efectos del cambio de volumen y la aplicación de cargas a edad temprana. Ya que resulta difícil evaluar el efecto de la fisuración sobre la rigidez, en general alcanza con utilizar un valor límite inferior. En base a la hipótesis de losa totalmente fisurada con armadura mínima en todas sus ubicaciones, debería ser razonable adoptar para la losa una rigidez igual a un cuarto de la basada en el área bruta de hormigón (Ksb/4). También se puede evaluar la fisuración en forma detallada. Como las losas normalmente no tienen más que la armadura mínima y tampoco están totalmente fisuradas, excepto bajo condiciones muy excepcionales, se anticipa que el valor de un cuarto indicado constituirá un límite inferior seguro para la rigidez bajo cargas laterales. En R13.5.1.2 el lector encontrará lineamientos sobre la rigidez a adoptar para los análisis bajo cargas laterales. Los momentos obtenidos mediante el Método del Pórtico Equivalente (o mediante el Método de Diseño Directo) para cargas gravitatorias se pueden superponer con los momentos obtenidos de un análisis para cargas laterales (13.5.1.3). Alternativamente, para analizar las cargas laterales se puede utilizar el Método del Pórtico Equivalente, siempre que se lo modifique para tomar en cuenta la reducción de la rigidez de las losas. Tanto para el análisis bajo cargas verticales como para el análisis bajo cargas laterales, los momentos en las secciones críticas de las losas se distribuyen transversalmente de acuerdo con los artículos 13.6.4 (franjas de columna) y 13.6.6 (franjas intermedias).

13.5.4

Corte en los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones

Si los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones están apoyados sobre vigas o tabiques, es poco frecuente que el corte en la losa sea un factor crítico para el diseño, ya que el esfuerzo de corte correspondiente a las cargas mayoradas generalmente está muy por debajo de la resistencia al corte del hormigón. Por el contrario, si las losas en dos direcciones apoyan directamente sobre las columnas como en el caso de las placas planas o las losas planas, el corte alrededor de las columnas constituye un factor crítico. La resistencia al corte de las uniones losa-columna exterior (sin viga de borde) es particularmente crítica ya que la totalidad del momento exterior negativo de la losa se debe transferir directamente a la columna. El diseñador no debe tomar a la ligera este aspecto del diseño de las losas en dos direcciones. Los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones generalmente son bastante "tolerantes" si se comete un error en la distribución o incluso en la cantidad de armadura de flexión, pero no habrá tolerancia si no se provee la resistencia al corte requerida. Para los sistemas de losas que apoyan directamente sobre columnas, se aconseja verificar la resistencia al corte de la losa en la proximidad de las columnas en una etapa temprana del diseño, como se ilustra en la Figura 18-8. Para diseñar placas planas o losas planas que apoyan directamente sobre columnas es necesario considerar dos tipos de corte. El primero es el corte en una dirección o el corte "tipo viga," que puede resultar crítico en el caso de losas largas y angostas. El análisis del corte en una dirección considera que la losa actúa como una viga ancha que se extiende entre las columnas. La sección crítica se toma a una distancia d medida a partir de la cara de la columna. El análisis para el corte en una dirección consiste en verificar que se satisfaga el requisito indicado en la Figura 18-9(a). Es poco frecuente que el corte en una dirección sea un factor crítico para el diseño de una losa, ya que el esfuerzo de corte habitualmente será mucho menor que la resistencia al corte del hormigón. En general el corte en dos direcciones o "punzonado" es el tipo de corte más crítico en los sistemas de losas que apoyan directamente sobre columnas. El punzonado considera una falla a lo largo de la superficie de un cono o pirámide truncada 18 - 9

alrededor de la columna. La sección crítica se toma perpendicular a la losa a una distancia igual a d/2 medida a partir del perímetro de la columna. El esfuerzo de corte Vu a ser resistido se puede calcular fácilmente como la carga mayorada total que actúa sobre el área limitada por los ejes de los paneles alrededor de la columna, menos la carga aplicada dentro del área definida por el perímetro de corte crítico (ver Figura 18-8).

Columna de esquina

Columna interior

Ejes del panel Columna de borde

Perímetro de corte crítico

Área efectiva para esfuerzo de corte directo

Figura 18-8 – Ubicaciones críticas para la resistencia al corte de una losa Si la transferencia de momento de la losa a la columna no es significativa, el diseño al punzonado consiste en verificar que se satisfagan los requisitos de la Figura 18-9(b). Para el diseño práctico, alrededor de las columnas de apoyo interiores de la losa sólo hay corte directo (uniformemente distribuido alrededor del perímetro bo) cuando no hay transferencia de momento entre la losa y la columna (o cuando la transferencia de momento es insignificante). Es posible que sea necesario transferir momentos significativos cuando hay que transferir cargas gravitatorias no balanceadas a ambos lados de una columna interior o cargas laterales de viento. En las columnas de apoyo exteriores de la losa, el momento exterior total de la losa provocado por las cargas gravitatorias (más cualquier momento provocado por las cargas laterales de viento o sísmicas) se debe transferir directamente a la columna.

13.5.3

Transferencia de momento en las uniones losa-columna

La transferencia de momento entre una losa y una columna ocurre por una combinación de flexión (13.5.3) y excentricidad del corte (11.12.6.1). Se asume que el corte debido a la transferencia de momento actúa sobre una sección crítica ubicada a una distancia d/2 medida a partir de la cara de la columna (la misma sección crítica alrededor de la columna usada para transferencia de corte directo; ver la Figura 18-9(b). Se asume que la fracción del momento transferido por flexión se transfiere en un ancho de losa igual al ancho transversal de la columna c2 más 1,5 veces la altura de la losa (1,5h) a ambos lados de la columna (13.5.3.2). En este ancho de losa efectivo se utiliza armadura negativa concentrada para resistir el momento. La tensión de corte combinada debida a corte directo y transferencia de momento muchas veces determina el diseño, especialmente en los apoyos de la losa en las columnas exteriores. Las fracciones del momento no balanceado total Mu a ser transferidas por excentricidad del corte y por flexión están dadas por las Ecuaciones (11-39) y (13-1), respectivamente, en las cuales γvMu se considera transferido por excentricidad del corte y γfMu se considera transferido por flexión. En una columna interior cuadrada en la cual b1 = b2 el 40% del momento es transferido por excentricidad del corte (γvMu = 0,40Mu), y el 60% por flexión (γfMu = 0,60Mu), siendo Mu el momento de transferencia en el

18 - 10

baricentro de la sección crítica. En el Método del Pórtico Equivalente los momentos se calculan en el eje de la columna, mientras que en el Método de Diseño Directo los momentos se calculan en la cara del apoyo. Considerando la naturaleza aproximada del procedimiento usado para evaluar la distribución de tensiones debida a la transferencia de momento, no parece necesario ajustar el momento para usar el que ocurre en el baricentro de la sección crítica. En general usando los valores del momento en el centro de la columna (MPE) o en la cara del apoyo (MDD) se obtienen resultados cuya precisión es suficiente. Ejes de los paneles

1

Vu ≤ φVc ' ≤ φ2 fc

Sección crítica

2d

2

siendo Vu el esfuerzo de corte mayorado (carga total mayorada sobre la superficie sombreada). d

(a) Corte en una dirección

Vu ≤ φVc Ejes de los donde: paneles

1

Sección crítica

φVc = menor de

 4  ' φ 2 +  fc bo d βc   α d  φ  s + 2  fc' bo d b o  

2

φ4 fc' bo d

Vu =

d/2

bo = βc = αs =

(b) Corte en dos direcciones

esfuerzo de corte mayorado (carga total mayorada que actúa sobre la superficie sombreada), kips perímetro de la sección crítica lado mayor/lado menor de la superficie de reacción constante (11.12.2.1 (b))

Figura 18-9 – Corte directo en un apoyo sobre columna interior (ver Figura 18-8)) La tensión de corte mayorada en la sección crítica de transferencia es la sumatoria del corte directo más el corte provocado por transferencia de momento: vu =

Vu γ v M u c + Ac J

Para las losas que apoyan sobre columnas cuadradas la tensión de corte vu no debe ser mayor que φ4 f 'c . El cálculo de la tensión de corte combinada involucra las siguientes propiedades de la sección crítica de transferencia: Ac = área de la sección crítica

18 - 11

c = distancia entre el baricentro de la sección crítica y la cara de la sección donde se calcula la tensión J

= propiedad de la sección crítica análoga al momento de inercia polar

Estas propiedades se dan en la Parte 16. Observar que en el caso de las losas planas es necesario considerar dos secciones críticas diferentes para calcular el punzonado, como se ilustra en la Figura 18-10. La transferencia de momento no balanceado entre una losa y una columna de borde (sin vigas de borde) requiere particular atención cuando la losa se analiza para cargas gravitatorias aplicando el Método de Diseño Directo. Ver la discusión sobre el artículo 13.6.3.6 en la Parte 19.

Secciones críticas

d1

d2/2

d2

d1/2

Figura 18-10 – Secciones críticas de transferencia de corte en las losas planas Los requisitos del artículo 13.5.3.3 fueron introducidos por primera vez en el Código en 1995. En los apoyos exteriores, para los momentos no balanceados respecto de un eje paralelo al borde, la fracción del momento transferida por excentricidad del corte, γvMu, se puede reducir a cero siempre que el corte mayorado en el apoyo (excluyendo el corte producido por la transferencia de momento) no sea mayor que 75 por ciento de la resistencia al corte φVc definida en el artículo 11.12.2.1 para el caso de las columnas de borde, ni mayor que 50 por ciento para el caso de las columnas de esquina. Ensayos realizados indican que en estos casos no hay interacción significativa entre el corte y el momento no balanceado en el apoyo exterior. Se debe observar que a medida que disminuye γvMu aumenta γfMu. Ensayos realizados en apoyos interiores indican que también en este caso es posible cierta flexibilidad en la distribución del momento no balanceado por corte y flexión, pero con limitaciones mucho más severas que en el caso de los apoyos exteriores. Para los apoyos interiores, se permite aumentar el momento no balanceado transferido por flexión hasta 25 por ciento, siempre que el corte mayorado total (excluyendo el corte producido por la transferencia de momento) en el apoyo interior no sea mayor que 40 por ciento de la resistencia al corte φVc definida en el artículo 11.12.2.1. Observar que las modificaciones arriba indicadas sólo se permiten cuando la cuantía de armadura ρ dentro del ancho efectivo de losa definido en el artículo 13.5.3.2 es menor o igual que 0,375ρb. La intención de este requisito es mejorar el comportamiento dúctil de la unión losa-columna.

NOTA El Método de Diseño Directo y el Método del Pórtico Equivalente para el análisis de los sistemas de losas en dos direcciones bajo cargas gravitatorias se discuten detalladamente en las secciones siguientes, Partes 19 y 20, respectivamente.

18 - 12

19 Losas en dos direcciones Método de Diseño Directo

CONSIDERACIONES GENERALES El Método de Diseño Directo es un procedimiento aproximado para analizar sistemas de losas en dos direcciones solicitados exclusivamente por cargas gravitatorias. Debido a que se trata de un procedimiento aproximado, la aplicación de este método se limita a los sistemas de losas que satisfacen las limitaciones especificadas en el artículo 13.6.1. Los sistemas de losas en dos direcciones que no satisfacen estas limitaciones se deben analizar mediante procedimientos más exactos tal como el Método del Pórtico Equivalente especificado en 13.7. En la Parte 20 presentamos una discusión del Método del Pórtico Equivalente, junto con ejemplos de diseño. Con la publicación de ACI 318-83, el Método de Diseño Directo simplificó enormemente el análisis de los momentos de los sistemas de losas en dos direcciones, ya que se eliminaron todos los cálculos de las rigideces para determinar los momentos de diseño en un tramo extremo. Las expresiones para calcular la distribución en función de la relación de rigidez αec fueron reemplazadas por una tabla de coeficientes de momento para distribuir los momentos totales en los tramos finales (13.6.3.3). Otro cambio introducido fue que la anterior ecuación aproximada (13-4) para transferencia de momento no balanceado entre la losa y una columna interior también se simplificó, eliminando el término de αec. A partir de estos cambios el Método de Diseño Directo se transformó en un procedimiento de diseño verdaderamente directo, uno que permite determinar todos los momentos de diseño mediante la aplicación de coeficientes de momento. Además, se incorporó un nuevo artículo 13.6.3.6, que contiene un requisito especial para el corte debido a la transferencia de momento entre una losa sin vigas y una columna de borde, y que se aplica cuando se utilizan los coeficientes de momento aproximados de 13.6.3.3. Ver la discusión del artículo 13.6.3.6 a continuación. Hasta la edición 1989 del Código (revisada en 1992), el artículo R13.6.3.3 incluía un "Método de Rigidez Modificado" que reflejaba la distribución original, y que permitía confirmar que las ayudas para el diseño y el software basados en la distribución original en función de la relación de rigidez αec aún eran aplicables. El "Método de Rigidez Modificado" se eliminó del artículo R13.6.3.3 en la edición 1995 del Código y el comentario.

DISEÑO PRELIMINAR Antes de proceder con el Método de Diseño Directo es necesario determinar una altura de losa preliminar h para controlar las flechas, de acuerdo con los requisitos de altura mínima dados en el artículo 9.5.3. Tanto la Tabla 18-1 como la Figura 18-3 se pueden utilizar para simplificar el cálculo de la altura mínima.

Para los sistemas de losas sin vigas, en esta etapa del proceso de diseño es aconsejable verificar la resistencia al corte de la losa en la proximidad de las columnas u otros apoyos de acuerdo con el requisito especial para el corte en losas (11.12). Ver la discusión sobre el artículo 13.5.4 en la Parte 18. Una vez que se ha seleccionado una altura de losa, el Método de Diseño Directo, el cual básicamente consiste en un procedimiento de análisis en tres pasos, implica: (1) determinar el momento estático mayorado total para cada tramo, (2) dividir el momento estático mayorado total en un momento positivo y otro momento negativo en cada tramo, y (3) distribuir los momentos positivos y negativos a las franjas de columna y las franjas intermedias en la dirección transversal. Para efectuar el análisis el sistema de losas se divide en franjas de diseño compuestas por una franja de columna más dos medias franjas intermedias, según lo definido en los artículos 13.2.1 y 13.2.2 y como se ilustra en la Figura 19-1. En el caso de los sistemas de losas en los cuales las longitudes de tramo varían a lo largo de la franja de diseño, el diseñador deberá aplicar su criterio profesional para aplicar las definiciones dadas en el artículo 13.2.1.

13.6.1

Limitaciones

El Método de Diseño Directo sólo es aplicable cuando se satisfacen las limitaciones ilustradas en la Figura 19-2: 1.

En cada dirección debe haber tres o más tramos continuos;

2.

Los paneles de losa deben ser rectangulares, con una relación entre la luz mayor y la luz menor (medidas entre los centros de los apoyos) no mayor que 2;

3.

Las longitudes de las luces sucesivas en cada dirección (medidas entre los centros de los apoyos) no deben diferir en más de 1/3 de la luz mayor;

4.

Las columnas no deben estar desalineadas respecto de cualquier eje que une centros de columnas sucesivas más de 10% de la luz (en la dirección del desalineamiento);

5.

Las cargas deben ser uniformemente distribuidas, y la sobrecarga no mayorada o de servicio no debe ser mayor que dos veces la carga permanente no mayorada o de servicio (L/D ≤ 2);

6.

Para las losas en dos direcciones con todos sus lados apoyados en vigas, la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares debe satisfacer los requisitos mínimos y máximos especificados en el artículo 13.6.1.6; y

7.

No está permitida la redistribución de momentos negativos de acuerdo con el artículo 8.4.

13.6.2

Momento estático mayorado total para un tramo

Para carga uniforme, el momento de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático: Mo =

w u A 2 A 2n 8

Ec. (13-3)

siendo wu la combinación mayorada de carga permanente y sobrecargas (lb/ft2), wu = 1,2wd+1,6wℓ. La luz libre ℓn (en la dirección de análisis) se define de manera directa si las columnas u otros elementos de apoyo tienen sección transversal rectangular. La luz libre comienza en la cara del apoyo. En la Figura 19-3 se define lo que es la cara del apoyo. Una limitación requiere que la luz libre no se tome menor que 65% de la luz medida entre los centros de los apoyos (13.6.2.5). La longitud ℓ2 es simplemente la luz (entre centros) transversal a ℓn. Sin embargo, cuando se considera un tramo adyacente a un borde y paralelo al mismo, para calcular Mo se debe sustituir ℓ2 por la distancia entre el borde y el eje del panel de losa considerado (13.6.2.4).

19 - 2

A2 A 2 /2

A 2 /2

A 2 /2 A 2 /4

Franja intermedia*

Franja de columna interior

1/2 franja intermedia

A 2 /4 A 2 /4

Interior

Franja de columna exterior

A2

A1

Exterior

(a) Franja de columna para ℓ2 ≤ ℓ1 A2 A 2 /2

A 2 /2

Interior

A 1/4

Franja intermedia*

A 1/4

Franja de columna interior

1/2 franja intermedia

A 1/4

A 2 /2

Franja de columna interior

A2

A1

Exterior

(b) Franja de columna para ℓ2 > ℓ1 * Cuando el borde de una franja de diseño exterior apoya sobre un tabique, el momento mayorado resistido por esta franja intermedia es como se define en 13.6.6.3

Figura 19-1 – Definición de las franjas de diseño

19 - 3

Carga uniformemente distribuida (L/D < 2)

A1

(2/3) A1

A1

Tres o más luces

A2

Desplazamiento de la columna

Paneles de losa rectangulares (2: 1)

A 2 /10

Figura 19-2 – Condiciones para la aplicación del análisis por coeficientes Eje del apoyo cara de los apoyos rectilíneos

apoyo cuadrado que tiene la misma área

sección crítica para momento negativo

a 2

a

0,175A1 cara del elemento de apoyo c 1 > 0,35 A1 A1

(a) Apoyo en columas o tabiques interiores y exteriores

(b) Apoyos exteriores con ménsulsa o cartelas

Figura 19-3 – Secciones críticas para determinar los momentos negativos de diseño

19 - 4

13.6.3

Momentos mayorados negativos y positivos

El momento estático total de un tramo se divide en momentos de diseño positivos y negativos como se ilustra en la Figura 19-4. En la Figura 19-4 se ilustran los momentos en el tramo extremo de una placa plana o una losa plana sin vigas de borde (sistemas de losa sin vigas entre sus apoyos interiores y sin viga de borde). Para otras condiciones el momento estático total Mo se distribuye como se indica en la Tabla 19-1. Tramo extremo

Tramo interior

Mo

Mo

Sin continuidad

0,52 Mo

0,35 Mo

0,26 Mo

0,65 Mo

0,70 Mo

diseñar para el que resulte mayor

Continuidad restablecida

Figura 19-4 – Momentos en las franjas de diseño Tabla 19-1 – Distribución de los momentos estáticos totales para un tramo extremo (1) Losa simplemente Momento apoyada sobre mayorado tabiques de hormigón o mampostería Negativo 0,75 interior

(2) Losa en dos direcciones con todos sus bordes apoyados en vigas

(3)

(4)

(5)

Losa monolítica con un tabique de hormigón Sin viga de borde Con viga de borde Placas planas y losas planas

0,70

0,70

0,70

0,65

Positivo

0,63

0,57

0,52

0,50

0,35

Negativo exterior

0

0,16

0,26

0,30

0,65

13.6.3.6 Requisito especial para la transferencia de carga entre la losa y una columna de borde – Para las columnas que soportan una losa sin viga, la transferencia de carga de la losa directamente a las columnas de apoyo (sin transferencia de carga intermedia a través de vigas) es una de las condiciones de diseño más críticas para los sistemas de placas planas o losas planas. La resistencia al corte de la unión viga-columna es crítica. El diseñador no debe tomar a la ligera este aspecto del diseño de las losas en dos direcciones. Los sistemas de losas en dos direcciones generalmente son bastante "tolerantes" si se comete un error en la distribución o incluso en la cantidad de armadura de flexión, pero no habrá ninguna tolerancia si se comete un error crítico en la resistencia al corte. La Parte 16 contiene requisitos especiales para la transferencia de corte directo y la transferencia de momento en las uniones losa-columna.

19 - 5

El artículo 13.6.3.6 trata la transferencia de momento potencialmente crítica entre una losa sin vigas y una columna de borde. Para asegurar que la resistencia al corte fuera adecuada cuando se utilizaban los coeficientes de momento aproximados para tramos extremos indicados en 13.6.3.3, la edición 1989 del Código requería que para determinar la fracción del momento no balanceado transmitido por excentricidad del corte (γv) se utilizara la totalidad de la resistencia nominal Mn proporcionada por la franja de columna de acuerdo con 11.12.6 (para los tramos extremos sin vigas de borde, la franja de columna se dimensiona para resistir el momento negativo exterior mayorado total). Este requisito se modificó en ACI 318-95. Para determinar la fracción del momento no balanceado transferido por excentricidad del corte, en vez de Mn se debe usar 0,3Mo. La armadura total provista en la franja de columna incluye la armadura adicional concentrada sobre la columna para resistir la fracción del momento no balanceado transmitido por flexión, γfMu = γf (0,26Mo), expresión para la cual el coeficiente de momento (0,26) se toma de 13.6.3.3 y γf se determina con la ecuación (13-1).

13.6.4

Momentos mayorados en las franjas de columna

Los momentos mayorados positivos y negativos a ser resistidos por una franja de columna, según se define en la Figura 19-1, dependen de la rigidez relativa de las vigas y la losa y de la relación ancho-luz del panel en la dirección analizada. Hay una excepción a esta regla cuando un apoyo tiene un ancho transversal importante. Se requiere que la franja de columna en la parte externa de un tramo exterior resista el momento negativo mayorado total que actúa en la franja de diseño, a menos que se provean vigas de borde. Cuando el ancho transversal de un apoyo es mayor o igual que tres cuartos (3/4) del ancho de la franja de diseño, el artículo 13.6.4.3 requiere que el momento negativo mayorado se distribuya uniformemente en la franja de diseño. El porcentaje de los momentos mayorados totales negativos y positivos a ser resistidos por una franja de columna se pueden determinar usando las tablas de los artículos 13.6.4.1 (momentos negativos interiores), 13.6.4.2 (momentos negativos exteriores) y 13.6.4.3 (momentos positivos), o bien a partir de las siguientes expresiones: Porcentaje de momento negativo mayorado en un apoyo interior a ser resistido por la franja de columna  α A  A  = 75 + 30  1 2  1 − 2   A1  A1 

(1)

Porcentaje de momento negativo mayorado en un apoyo exterior a ser resistido por la franja de columna  α A  A  = 100 − 10βt + 12β t  1 2   1 − 2   A 1   A1 

(2)

Porcentaje de momento positivo mayorado a ser resistido por la franja de columna  α A  A  = 60 + 30  1 2   1,5 − 2  A1   A1  

(3)

Nota: Cuando se verifique α1A 2 / A1 > 1, 0 en las ecuaciones anteriores usar 1,0. Cuando se verifique βt > 2,5 en la Ecuación (2) anterior usar 2,5 Para las losas sin vigas entre sus apoyos (α1 = 0) y sin vigas de borde (βt = 0), la distribución de los momentos negativos totales a las franjas de columna es simplemente 75 y 100 por ciento para los apoyos interiores y exteriores, respectivamente, y la distribución del momento positivo total es 60 por ciento. Para las losas con vigas entre sus apoyos, la distribución depende de la rigidez relativa de las vigas y la losa; si hay vigas de borde, la relación entre la rigidez torsional de la viga de borde y la rigidez flexional de la losa también afecta la distribución. Las Figuras 19-6, 19-7 y 19-8 simplifican la evaluación de la rigidez relativa α. Para evaluar βt, la relación de rigidez para las vigas de borde, la Tabla 19-2 simplifica el cálculo de la constante de torsión C.

19 - 6

c Mo 26 0,

Ancho de losa efectivo para transferencia de momento por flexión c+2(1,5h)

γf

6M ,2 (0

) o ja an Fr

de

na um l co

transferido por flexión; (1-γf) (0,30Mo) transferido por excentricidad del corte

h

Figura 19-5 – Transferencia del momento negativo en un apoyo exterior de una losa sin vigas Eje

Eje

A2 Losa, I s

a

h

Viga,

Ib

b b+2(a-h) < b+8h Eje

A2 b+(a-h) < b+4h

Losa, I s h a

Viga,

Ib

b

Figura 19-6 – Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relación de rigidez α

19 - 7

2,8

b + 2(a-h)< b + 8h b/h = 0,4

a

h

2,7 2,6

0,5 b 0,6

2,5 3

l b = (ba /12)f

2,4

0,8

2,3 b/h

2,2

1,2

2,1

f

=1

1,4

2,0

1 ,6

1,9

1,8

1,8

2

1,7

2 ,5

1,6

3 b /h

1,5

=4

5

1,4

7

1,3

10 1,2 20

1,1 1,0

1

1,5

2

3

4

5

6

7

a/h

Figura 19-7 – Rigidez de vigas (Vigas interiores)

19 - 8

8

9

10

2,5

b+(a-h)
a

2,3

h

2,4

2,2 2,1

b

0,6

2,0 f

0,8

lb = (ba3/12)f

1,9

b/h=

1,8

1,0

1,2

1,7 1,6

1,4 1,6

1,5

2,0

1,4

2,4 b/h=

1,3

3,0

5,0 1,2 10,0

1,1

20,0 1,0

1,5

2

3 a/h

4

5

6

7

Figura 19-8 – Rigidez de vigas (Vigas de borde)

19 - 9

8

9

10

Tabla 19-2 – Ayuda para simplificar el cálculo de C, constante de la sección transversal que define las propiedades torsionales

hw

y1

y1

x2

hf

y2

x2

y2

hw< 4hf

(1)

x1

(2)

x1

c1 Viga de borde (ACI 13.2.4)

Usar el mayor valor de C calculado de (1) ó (2)

X* y 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 42 48 54 60

4 202 245 288 330 373 416 458 522 586 650 714 842 970 1.096 1.226

5 369 452 535 619 702 785 869 994 1.119 1.244 1.369 1.619 1.869 2.119 2.369

6 592 736 880 1.024 1.168 1.312 1.456 1.672 1.888 2.104 2.320 2.752 3.184 3.616 4.048

7

8

868 1.096 1.325 1.554 1.782 2.011 2.240 2.583 2.926 3.269 3.612 4.298 4.984 5.670 6.356

1.118 1.529 1.871 2.212 2.553 2.895 3.236 3.748 4.260 4.772 5.184 6.308 7.332 8.356 9.380

9

10

12

14

16

1.538 2.024 2.510 2.996 3.482 3.968 4.454 5.183 5.912 6.641 7.370 8.828 10.286 11.744 13.202

1.900 2.567 3.233 3.900 4.567 5.233 5.900 6.900 7.900 8.900 9.900 11.900 13.900 15.900 17.900

2.557 3.709 4.861 6.013 7.165 8.317 9.469 11.197 12.925 14.653 16.381 19.837 23.293 26.749 30.205

-4.738 6.567 8.397 10.226 12.055 13.885 16.629 19.373 22.117 24.861 30.349 35.837 41.325 46.813

--8.083 10.813 13.544 16.275 19.005 23.101 27.197 31.293 35.389 43.581 51.773 59.965 68.157

*Lado menor de una sección transversal rectangular de dimensiones x e y.

13.6.5

Momentos mayorados en las vigas

Cuando en una franja de diseño hay vigas entre las columnas, el momento mayorado asignado a la franja de columna se debe distribuir entre la losa y las porciones de viga de la franja de columna. La cantidad de momento mayorado de la franja de columna a ser resistido por la viga varía linealmente entre cero y 85 por ciento a medida que α1ℓ2/ℓ1 varía entre cero y 1,0. Cuando α1ℓ2/ℓ1 es mayor o igual que 1,0 el 85 por ciento del momento total de la franja de columna debe ser resistido por la viga. Además, la viga debe resistir los efectos producidos por las cargas aplicadas directamente sobre la misma, incluyendo el peso propio del alma de la viga que se proyecta por encima o por debajo de la losa.

13.6.6

Momentos mayorados en las franjas intermedias

La fracción de los momentos mayorados que no se asignan a las franjas de columna debe ser resistida por las dos semifranjas que forman parte de la franja de diseño. Hay una excepción a este artículo: las franjas intermedias adyacentes y paralelas a un borde soportado por un tabique, deben resistir el doble del momento mayorado asignado a la semifranja correspondiente a la primera fila de apoyos interiores (ver Figura 19-1).

19 - 10

13.6.9

Momentos mayorados en columnas y tabiques

Las columnas y tabiques de apoyo deben resistir cualquier momento negativo transferido por el sistema de losa. En el caso de las columnas (o tabiques) interiores, para determinar el momento no balanceado transferido por carga gravitatoria se puede usar la Ecuación aproximada (13-4), a menos que se realice un análisis que considere los efectos del patrón de carga y luces adyacentes de diferentes longitudes. El momento de transferencia se calcula directamente en función de la longitud de la luz y de las cargas gravitatorias. Para el caso más habitual en el cual las luces transversales y adyacentes son iguales, la Ecuación (13-4) se reduce a:

(

M u = 0, 07 0,5w A A 2 A 2n

donde:

)

(4)

wℓ = sobrecarga mayorada, lb/ft2 ℓ2 = luz transversal a ℓn ℓn = longitud de la luz libre en la dirección de análisis

En los apoyos sobre columnas o tabiques exteriores, la totalidad del momento negativo exterior mayorado del sistema de losa (13.6.3.3) se transfiere directamente a los elementos de apoyo. Debido a la naturaleza aproximada de los coeficientes de momento, no parece necesario considerar la variación del momento entre la cara del apoyo y el eje del apoyo; se pueden utilizar directamente los momentos calculados de acuerdo con el artículo 13.6.3.3. Las columnas que se ubican por encima y por debajo de la losa deben resistir el momento no balanceado en proporción a sus rigideces relativas – generalmente en forma directamente proporcional a las longitudes de las columnas que se ubican por encima y por debajo de la losa. También en este caso, debido a la naturaleza aproximada de los coeficientes del Método de Diseño Directo, no parece necesario considerar la variación del momento entre el eje de la viga placa y la parte superior o inferior de la columna.

COEFICIENTES DE MOMENTO PARA EL MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO Para distribuir el momento total que actúa en la luz libre Mo en momentos negativos y positivos, y luego en momentos de franja de columna y momentos de franja intermedia, directamente se aplican los coeficientes de momento al momento total Mo. Los coeficientes de momento dependen de la ubicación del tramo considerado (tramo interior o extremo), y del tipo de losa en dos direcciones. Para simplificar el diseño, en las Tablas 19-3 a 19-7 se indican los coeficientes de momento para los sistemas de losas en dos direcciones más habituales. Las Tablas 19-3 a 19-6 se aplican a las placas planas o a las losas planas con diferentes condiciones de vínculo en sus extremos. La Tabla 19-7 se aplica a las losas en dos direcciones con sus cuatro lados apoyados en vigas. Se tabulan los momentos finales correspondientes a la franja de columna y la franja intermedia. Los coeficientes de momento de la Tabla 19-4 (placa plana con vigas de borde) son válidos para βt ≥ 2,5. Los coeficientes de la Tabla 19-7 (losas en dos direcciones apoyadas sobre vigas) se aplican para α1ℓ2/ℓ1 ≥ 1,0 y βt ≥ 2,5. Para muchos de los tamaños de viga habituales se obtendrán relaciones de rigidez tales que α1ℓ2/ℓ1 y βt serán mayores que estos límites, permitiendo tomar los coeficientes de momento directamente de las tablas, sin necesidad de considerar las rigideces ni interpolar para hallar los coeficientes. Sin embargo, si hay vigas, será necesario evaluar ambos parámetros α1 y βt. Para las losas en dos direcciones, y para Ecb = Ecs, el parámetro de rigidez α1 es simplemente la relación entre los momentos de inercia de las secciones efectivas de la viga y la losa en la dirección de análisis, α1 = Ib/Is, como se ilustra en la Figura 19-6. Las Figuras 19-7 y 19-8 simplifican la evaluación del término α1. Para Ecb = Ecs, la rigidez relativa proporcionada por una viga de borde se refleja en el parámetro βt = C/2Is, siendo Is el momento de inercia de la sección de losa efectiva en la dirección de ℓ1 y que tiene un ancho igual a ℓ2, es decir, Is = ℓ2h3/12. La constante C se relaciona con la rigidez torsional de la sección transversal efectiva de la viga de borde. Se calcula dividiendo la sección de la viga en los rectángulos que la componen, cada uno de ellos con una dimensión menor x y una dimensión mayor y, y sumando las contribuciones de todas las partes mediante la ecuación:

19 - 11

 0, 63x   x 3 y  C = ∑ 1 −   y   3  

(5)

La viga se puede subdividir de manera tal de maximizar C. La Tabla 19-2 simplifica el cálculo de la constante torsional C. Tabla 19-3 – Coeficientes de momento de diseño para placas planas o losas planas apoyadas directamente sobre columnas

Tramo extremo 2

1

Tramo interior 4

3

Tramo extremo Momentos en la losa Momento total Franja de columna Franja intermedia

(1) Negativo exterior 0,26 Mo 0,26 Mo 0

5

Tramo interior

(2)

(3)

Positivo 0,52 Mo 0,31 Mo 0,21 Mo

Primer negativo interior 0,70 Mo 0,53 Mo 0,17 Mo

(4)

(5)

Positivo 0,35 Mo 0,21 Mo 0,14 Mo

Negativo interior 0,65 Mo 0,49 Mo 0,16 Mo

Nota: Todos los momentos negativos corresponden a la cara del apoyo.

Tabla 19-4 – Coeficientes de momento de diseño para placas planas o losas planas con vigas de borde

Tramo interior

Tramo extremo

2

1

Momentos en la losa Momento total Franja de columna Franja intermedia Notas: (1) (2)

4

3

(1) Negativo exterior 0,30 Mo 0,23 Mo 0,07 Mo

Tramo extremo (2) Positivo 0,50 Mo 0,30 Mo 0,20 Mo

(3)

Primer negativo interior 0,70 Mo 0,53 Mo 0,17 Mo

5

Tramo interior (4) (5) Positivo 0,35 Mo 0,21 Mo 0,14 Mo

Negativo interior 0,65 Mo 0,49 Mo 0,16 Mo

Todos los momentos negativos corresponden a la cara del apoyo. La rigidez torsional de la viga de borde es tal que se verifica βt ≥ 2,5. Para valores de βt menores que 2,5 el momento negativo exterior de la franja de columna se incrementa a (0,30 - 0,03βt) Mo.

19 - 12

Tabla 19-5 – Coeficientes de momento de diseño para placas planas o losas planas en las cuales el tramo extremo es monolítico con un tabique

Tramo extremo 1

Momentos en la losa Momento total Franja de columna Franja intermedia

2

Tramo interior 4

3

(1) Negativo exterior 0,65 Mo 0,49 Mo 0,16 Mo

Tramo extremo (2) Positivo 0,35 Mo 0,21 Mo 0,14 Mo

5

Tramo interior (4) (5)

(3)

Primer negativo interior 0,65 Mo 0,49 Mo 0,16 Mo

Negativo interior 0,65 Mo 0,49 Mo 0,16 Mo

Positivo 0,35 Mo 0,21 Mo 0,14 Mo

Nota: Todos los momentos negativos corresponden a la cara del apoyo.

Tabla 19-6 – Coeficientes de momento de diseño para placas planas o losas planas en las cuales el tramo extremo está simplemente apoyado sobre un tabique

Tramo extremo

1

Momentos en la losa Momento total Franja de columna Franja intermedia

2

Tramo interior

3

(1)

4

Tramo extremo (2)

Negativo exterior

Positivo

0 0 0

0,63 Mo 0,38 Mo 0,25 Mo

(3)

Primer negativo interior 0,75 Mo 0,56 Mo 0,19 Mo

Nota: Todos los momentos negativos corresponden a la cara del apoyo.

19 - 13

5

Tramo interior (4) (5) Positivo 0,35 Mo 0,21 Mo 0,14 Mo

Negativo interior 0,65 Mo 0,49 Mo 0,16 Mo

Tabla 19-7 – Coeficientes de momento de diseño para losas en dos direcciones con vigas

Tramo extremo 1

Relación de luces A2/A1

0,5

1,0

2,0

2

Momentos Momento total Franja de columna Viga Losa Franja intermedia Franja de columna Viga Losa Franja intermedia Franja de columna Viga Losa Franja intermedia

Tramo interior 4

3

(1)

Tramo extremo (2)

5

(3)

Tramo interior (4) 5

Negativo exterior

Positivo

Primer negativo interior

Positivo

Negativo interior

0,16 Mo 0,12 Mo 0,02 Mo 0,02 Mo 0,10 Mo 0,02 Mo 0,04 Mo 0,06 Mo 0,01 Mo 0,09 Mo

0,57 Mo 0,43 Mo 0,08 Mo 0,06 Mo 0,37 Mo 0,06 Mo 0,14 Mo 0,22 Mo 0,04 Mo 0,31 Mo

0,70 Mo 0,54 Mo 0,09 Mo 0,07 Mo 0,45 Mo 0,08 Mo 0,17 Mo 0,27 Mo 0,05 Mo 0,38 Mo

0,35 Mo 0,27 Mo 0,05 Mo 0,03 Mo 0,22 Mo 0,04 Mo 0,09 Mo 0,14 Mo 0,02 Mo 0,19 Mo

0,65 Mo 0,50 Mo 0,09 Mo 0,06 Mo 0,42 Mo 0,07 Mo 0,16 Mo 0,25 Mo 0,04 Mo 0,36 Mo

Notas: (1) Todos los momentos negativos corresponden a la cara del apoyo. (2) La rigidez torsional de la viga de borde es tal que se verifica βt ≥ 2,5. (3) α1ℓ2/ℓ1 ≥ 1,0.

19 - 14

Ejemplo 19.1 – Aplicación del Método de Diseño Directo a una losa en dos direcciones sin vigas Usar el Método de Diseño Directo para determinar los momentos de diseño en el sistema de placas planas en la dirección ilustrada. Considerar que se trata de un piso intermedio. Altura de piso = 9 ft Dimensiones de las columnas = 16 × 16 in. Las cargas laterales serán resistidas por muros de cortante No hay vigas de borde Peso de los tabiques no estructurales = 20 lb/ft2 Sobrecarga de servicio = 40 lb/ft2 f'c = 4000 psi (hormigón de peso normal) fy = 60.000 psi

18' - 0"

18' - 0"

18' - 0"

También determinar la armadura y verificar los requisitos de corte en una columna exterior. franja de diseño 14' - 0"

14' - 0"

14' - 0"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Diseño preliminar para determinar la altura de la losa, h: a. Control de las flechas. Para un sistema de losas sin vigas (placa plana), la mínima altura total, h, con armadura Grado 60 es (ver Tabla 18-1):

h=

9.5.3.2 Tabla 9.5(c)

A n 200 = = 6, 7 in. Usar h = 7 in. 30 30

siendo ℓn la longitud de la luz libre en la dirección mayor = 216 – 16 = 200 in. Este valor es mayor que el mínimo de 5 in. especificado para losas sin ábacos.

9.5.3.2(a)

b. Resistencia al corte de la losa. Usar una altura efectiva promedio, d ≈ 5,75 in. ( recubrimiento de 3/4 in. y barras No. 4) Carga permanente mayorada,

w d = 1, 2 ( 87,5 + 20 ) = 129 lb / ft 2

Sobrecarga mayorada,

w A = 1, 6 × 40 = 64 lb / ft 2

Carga total mayorada,

w u = 193 lb / ft 2

El corte en una dirección (comportamiento como viga ancha) se investiga en una franja de 12 in. de ancho a una distancia d medida a partir de la cara del apoyo en la dirección más larga (ver Figura 19-9).

19 - 15

11.12.1.1

18'- 0"

21,75" 21,75"

14'- 0"

prom. d/2=2,88" 7,854'

prom. d=5,75"

eje del panel

Figura 19-9 – Secciones críticas para corte en una y dos direcciones Vu = 0,193 × 7,854 = 1,5 kips Vc = 2 f 'c b w d =

Ec. (11-3)

2 4000 × 12 × 5, 75 = 8, 73 kips 1000

φVc = 0, 75 × 8, 73 = 6, 6 kips > Vu = 1,5 kips

VERIFICA

Como no hay esfuerzos de corte en el eje de paneles adyacentes (ver Figura 19-9), la resistencia al corte en dos direcciones a una distancia d/2 alrededor de un apoyo se calcula de la siguiente manera: Vu = 0,193 (18 × 14 ) − 1,812  = 48, 0 kips   Vc = 4 f 'c bo d (para columnas cuadradas)

=

4 4000 × ( 4 × 21, 75 ) × 5, 75 1000

Ec. (11-35)

= 126, 6 kips

Vu = 48, 0 kips < φVc = 0, 75 × 126, 6 kips = 95, 0 kips

VERIFICA

Por lo tanto, el diseño preliminar indica que una losa de 7 in. es adecuada para controlar las flechas y también para la resistencia al corte. 2. Verificar si se puede aplicar el Método de Diseño Directo:

13.6.1

En cada dirección hay como mínimo tres tramos continuos.

13.6.1.1

La relación entre el lado mayor y el lado menor es 1,29 < 2,0.

13.6.1.2

Las longitudes de las luces sucesivas en cada dirección son iguales.

13.6.1.3

19 - 16

Las columnas no están desalineadas.

13.6.1.4

Las cargas están uniformemente distribuidas, y la relación entre la sobrecarga y la carga permanente es 0,37 < 2,0.

13.6.1.5

El sistema de losa no tiene vigas.

13.6.1.6

3. Momentos mayorados en la losa: a. Momento mayorado total por tramo. Mo =

=

13.6.2

w u A 2 A 2n 8

Ec. (13-3)

0,193 × 14 × 16, 67 2 = 93, 6 ft-kips 8

b. Distribución del momento mayorado total por tramo Mo en momentos negativos y positivos, y luego en momentos de franjas de columna y franjas intermedias. Esta distribución implica la aplicación directa de los coeficientes de momento al momento total Mo. En base a la Tabla 19-3 (placa plana sin vigas de borde),

Tramo extremo: Negativo exterior Positivo Negativo interior Tramo interior: Positivo Negativo

Momento total (ft-kips)

Momento en la franja de columna (ft-kips)

Momento en dos semifranjas intermedias* (ft-kips)

0,26 Mo = 24,3 0,52 Mo = 48,7 0,70 Mo = 65,5

0,26 Mo = 24,3 0,31 Mo = 29,0 0,53 Mo = 49,6

0 0,21 Mo = 19,7 0,17 Mo = 15,9

0,35 Mo = 32,8 0,65 Mo = 60,8

0,21 Mo = 19,7 0,49 Mo = 45,9

0,14 Mo = 13,1 0,16 Mo = 15,0

13.6.3 13.6.4 13.6.6

* La fracción del momento total Mo no resistida por la franja de columna se asigna a las dos semifranjas intermedias.

Nota: Los momentos mayorados se pueden modificar en 10 por ciento, siempre que el momento estático mayorado total en cualquier panel no sea menor que el calculado mediante la Ecuación (13-3). En este ejemplo omitimos esta modificación. 4. Momentos mayorados en las columnas.

13.6.7

13.6.9

a. Columnas interiores, con luces iguales en la dirección de análisis y luces iguales (pero diferentes a las primeras) en la dirección transversal.

(

M u = 0, 07 0,5w A A 2 A 2n

)

(

Ec. (13-4)

)

= 0, 07 0,5 × 1, 6 × 0, 04 × 14 × 16, 67 2 = 8, 7 ft-kips

Como las dimensiones y las longitudes de las columnas por encima y por debajo de la losa son iguales, Mc =

8, 7 = 4,35 ft-kips 2

Para diseñar las columnas interiores, este momento se combina con la carga axial mayorada (para cada piso). b. Columnas exteriores.

19 - 17

El momento negativo exterior total de la losa se debe transferir directamente a las columnas: Mu = 24,3 ftkips. Como las dimensiones y las longitudes de las columnas por encima y por debajo de la losa son iguales, Mc =

24,3 = 12,15 ft-kips 2

Para diseñar las columnas exteriores, este momento se combina con la carga axial mayorada (para cada piso). 5. Verificar la resistencia a la flexión y al corte en una columna exterior. a. Armadura total de flexión requerida para la franja de diseño: i. Determinar la armadura requerida para el momento de la franja Mu = 24,3 ft-kips Asumir que se trata de una sección controlada por la tracción (φ = 0,9) Ancho de la franja de columna b =

Rn =

ρ=

Mu φbd 2

0,85f 'c fy =

=

24,3 × 12.000 0,9 × 84 × 5, 752

 2R n  1 − 1 − 0,85f 'c 

14 × 12 = 84 in. 2

9.3.2 13.2.1

= 117 psi   

0,85 × 4  2 × 117 1 − 1 − 60  0,85 × 4000

  = 0, 0020 

As = ρbd = 0, 0020 × 84 × 5, 75 = 0,96 in.2 ρmin = 0, 0018

13.3.1

Min. A s = 0, 0018 × 84 × 7 = 1, 06 in.2 > 0,96 in.2

Número de barras No. 4 =

1, 06 = 5,3 0, 2

adoptamos 6 barras.

Separación máxima s max = 2h = 14 in. < 18 in. Número de barras No. 4 en base a s max =

13.3.2

84 =6 14

Verificar si se trata de una sección controlada por la tracción: a=

As f y 0,85f 'c b

=

( 6 × 0, 2 ) × 60 0,85 × 4 × 84

= 0, 25 in.

19 - 18

c=

a 0, 25 = = 0, 29 in. β1 0,85

 0, 003  εt =   d t − 0, 003  c 

 0, 003  =  5, 75 − 0, 003 = 0, 0057 > 0, 005  0, 29 

10.3.4

Por lo tanto, la sección es controlada por la tracción. Usar 6 barras No. 4 en la franja de columna. ii. Verificar la armadura de la losa en una columna exterior para transferencia de momento entre la losa y la columna. Fracción del momento no balanceado transferida por flexión = γ f M u

13.5.3.2

De la Figura 16-13, Caso C: b1 = c1 +

d 5, 75 = 16 + = 18,88 in. 2 2

b 2 = c2 + d = 16 + 5, 75 = 21, 75 in. γf =

1 1 + ( 2 / 3) b1 / b 2

=

1 1 + ( 2 / 3) 18,88 / 21, 75

= 0, 62

Ec. (13-1)

γ f M u = 0, 62 × 24,3 = 15,1 ft-kips

Observar que se pueden utilizar los requisitos del artículo 13.5.3.3, aunque en este ejemplo no lo hacemos. Suponiendo comportamiento de sección controlada por tracción, determinar el área de armadura requerida para γ f M u = 15,1 ft-kips: Ancho de losa efectivo b = c 2 + 3h = 16 + 3 ( 7 ) = 37 in. Rn =

ρ=

Mu φbd

2

0,85f 'c fy =

=

15,1× 12.000 0,9 × 37 × 5, 752

 2R n  1 − 1 − 0,85f 'c 

= 165 psi   

0,85 × 4  2 × 165 1 − 1 − 60  0,85 × 4000

  = 0, 0028 

As = ρbd = 0, 0028 × 37 × 5, 75 = 0, 60 in.2 Min. As = 0, 0018 × 37 × 7 = 0, 47 in.2 < 0, 60 in.2

19 - 19

13.5.3.2

Número de barras No. 4 =

0, 60 =3 0, 2

Verificar si se trata de una sección controlada por la tracción: a=

c=

As f y 0,85f 'c b

=

( 3 × 0, 2 ) × 60 0,85 × 4 × 37

= 0, 29 in.

a 0, 29 = = 0,34 in. β1 0,85

 0, 003  εt =   5, 75 − 0, 003 = 0, 048 > 0, 005  0,34 

10.3.4

Por lo tanto, la sección es controlada por la tracción. Proveer las 3 barras No. 4 requeridas concentrando 3 de las barras de la franja de columna (6 barras No. 4) dentro del ancho de losa de 37 in. sobre la columna. Por motivos de simetría, agregar una barra No. 4 adicional fuera del ancho de 37 in. Observar que, aún con la adición de una barra No. 4 adicional, la sección continúa siendo controlada por la tracción. iii. Determinar la armadura requerida para la franja intermedia. Como en las columnas exteriores todo el momento se transfiere a la franja de columna, proveer armadura mínima en la franja intermedia: Min. A s = 0, 0018 × 84 × 7 = 1, 06 in.2

Número de barras No. 4 =

1, 06 = 5,3 0, 2

adoptamos 6 barras.

Separación máxima s max = 2h = 14 in. < 18 in. Número de barras No. 4 en base a s max =

13.3.2

84 =6 14

En la franja intermedia colocar barras No. 4 con una separación de 14 in. b. Verificar la tensión de corte combinada en la cara interna de la sección crítica de transferencia: Las expresiones para determinar la resistencia al corte se discuten en la Parte 16. vu =

Vu γ v M u + Ac J/c

Esfuerzo de corte mayorado en la columna exterior:

19 - 20

11.12.6.1

  18,88 × 21, 75   Vu = 0,193 (14 × 9, 667 ) −    = 25, 6 kips 144    Cuando los momentos de los tramos extremos se determinan aplicando el Método de Diseño Directo, la fracción de momento no balanceado transferida por excentricidad del corte debe ser:

13.6.3.6

0,3M o = 0,3 × 93, 6 = 28,1 ft-kips γ v = 1 − γ f = 1 − 0, 62 = 0,38

Ec. (11-3)

De la Figura 16-13, las propiedades de la sección crítica para una columna de borde solicitada a flexión perpendicular al borde (Caso C): A c = ( 2b1 + b 2 ) d = ( 2 × 18,88 ) + 21, 75 × 5, 75 = 342, 2 in.2 2 3 J 2b1 d ( b1 + 2b 2 ) + d ( 2b1 + b 2 ) = c 6b1

2 (18,88 ) ( 5, 75 ) 18,88 + ( 2 × 21, 75 )  + 5, 753 ( 2 × 18,88 ) + 21, 75 2

=

6 × 18,88

= 2357 in.3

vu =

25.600 0,38 × 28,1× 12.000 + 342, 2 2357

= 74,8 + 54, 4 = 129, 2 psi

Tensión de corte admisible φv n = φ4 f 'c = 0, 75 × 4 4000 = 189, 7 psi > v u

VERIFICA

Franja de columna - 7'-0" 3'-1" 1'-4"

5'-0"

2 No. 4 a 12"

3 No. 4 a 12"

19 - 21

2 No. 4 a 12"

11.12.6.2

Ejemplo 19.2 – Aplicación del Método de Diseño Directo a una losa en dos direcciones con vigas Usar el Método de Diseño Directo para determinar los momentos de diseño del sistema de losas en la dirección ilustrada. Considerar que se trata de un piso intermedio Altura de piso = 12 ft Dimensiones de las vigas de borde = 14 × 27 in. Dimensiones de las vigas interiores = 14 × 20 in. Dimensiones de las columnas = 18 × 18 in. Altura de la losa = 6 in. Sobrecarga de servicio = 100 lb/ft2

17'- 6" N 17'- 6"

Para todos los elementos: f'c = 4000 psi (hormigón de peso normal) fy = 60.000 psi

17'- 6"

E

W S

Franja de diseño 22' - 0"

22' - 0"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Diseño preliminar para la altura de la losa h:

9.5.3

Control de las flechas. Con la ayuda de las Figuras 19-6, 19-7 y 19-8, la relación entre la rigidez a flexión de las vigas y la rigidez a flexión de la losa, α, se calcula de la siguiente manera: Vigas de borde, dirección N-S: A 2 = 141 in.

a 27 = = 4,5 h 6

b 14 = = 2,33 h 6 De la Figura 19-8, f = 1,47  ba 3 Ib =   12  Is =

  f 

A 2 h3 12

19 - 22

E cb I b I b = E cs Is Is

α=

13.0 3

 b  a  =    f  A2  h  3

 14  27  =   (1, 47 ) = 13,30  141  6 

Vigas de borde, dirección E-W: A2 =

17,5 × 12 18 + = 114 in. 2 2 3

 14   27  α=    (1, 47 ) = 16, 45  114   6 

Vigas interiores, dirección N-S: A 2 = 22 ft = 264 in. a 20 = = 3,33 h 6 b 14 = = 2,33 h 6

De la Figura 19-7, f = 1,61 3

 14  20  α=   (1, 61) = 3,16  264  6 

Vigas interiores, dirección E-W: A 2 = 17,5 ft = 210 in. 3

 14   20  α=    (1, 61) = 3,98  210   6 

Como para todas las vigas se verifica α > 2,0 la Ecuación (9-13) determinará la altura mínima.

9.5.3.3

Por lo tanto, fy   A n  0,8 +  200.000  h=  36 + 9β

Ec. (9-12)

19 - 23

60.000   246  0,8 +  200.000   = 5, 7 in. = 36 + 9 (1, 28 )

donde β=

luz libre en la dirección larga 20,5 = = 1, 28 luz libre en la dirección corta 16

ℓn = luz libre en la dirección larga medida entre cara y cara de las columnas = 20,5 ft = 246 in. Usar una altura de losa igual a 6 in. 2. Verificar si se puede aplicar el Método de Diseño Directo:

13.6.1

En cada dirección hay como mínimo tres tramos continuos.

13.6.1.1

La relación entre el lado mayor y el lado menor es 1,26 < 2,0.

13.6.1.2

Las longitudes de los tramos sucesivos en cada dirección son iguales.

13.6.1.3

Las columnas no están desalineadas.

13.6.1.4

Las cargas están uniformemente distribuidas, y la relación entre la sobrecarga y la carga permanente es 1,33 < 2,0.

13.6.1.5

Verificar la rigidez relativa para los paneles de la losa

13.6.1.6

Panel interior: α1 = 3,16

A 2 = 264 in.

α 2 = 3,98

A1 = 210 in.

α1A 22 α 2 A12

=

3,16 × 2642 3,98 × 2102

= 1, 25

0,2 < 1,25 < 5,0

VERIFICA

Ec. (13-2)

Panel exterior: α1 = 3,16

A 2 = 264 in.

α 2 = 16, 45

A1 = 210 in.

α1A 22 α 2 A12

=

3,16 × 2642 16, 45 × 2102

= 0,3

0,2 < 0,3 < 5,0

VERIFICA

Por lo tanto está permitido usar el Método de Diseño Directo. 3. Momentos mayorados en la losa: Momento mayorado total por tramo. Peso promedio de las almas de las vigas =

13.6.2 14 × 14 150 × = 9,3 lb/ft2 144 22

19 - 24

Peso de la losa =

6 × 150 = 75 lb/ft2 12

w u = 1, 2 ( 75 + 9,3) + 1, 6 (100 ) = 261 lb/ft2

A n = 17,5 −

Mo =

=

Ec. (9-2)

18 = 16 ft 12

w u A 2 A 2n 8

Ec. (13-3)

0, 261× 22 × 162 = 183, 7 ft-kips 8

Distribución del momento en momentos negativos y positivos: Tramo interior:

13.6.3.2

Momento negativo = 0, 65 M o = 0, 65 × 183, 7 = 119, 4 ft-kips Momento positivo = 0,35 M o = 0,35 × 183, 7 = 64,3 ft-kips Tramo extremo: Negativo exterior Positivo Negativo interior

13.6.3.3 = 0,16 M o = 0,16 × 183, 7 = 29, 4 ft-kips = 0,57 M o = 0,57 × 183, 7 = 104, 7 ft-kips = 0, 70 M o = 0, 70 × 183, 7 = 128, 6 ft-kips

Nota: Los momentos mayorados se pueden modificar en 10 por ciento, siempre que el momento estático total mayorado en cualquier panel no sea menor que el calculado mediante la Ecuación (13-3). En este ejemplo no se incluye esta modificación. 4. Distribución de los momentos mayorados a las franjas de columna e intermedias:

13.6.4

Porcentaje de los momentos totales negativos y positivos a la franja de columna. En un apoyo interior:  α A  A  75 + 30  1 2   1 − 2  = 75 + 30 (1 − 1, 26 ) = 67%  A 1   A1 

Ec. (1)

para lo cual α1 ya se determinó anteriormente: α1 = 3,16 (ver vigas interiores, dirección N-S) En un apoyo exterior:  α A  A  100 − 10βt + 12β t  1 2  1 − 2  = 100 − 10 (1,88 ) + 12 (1 − 1, 26 ) = 75%  A1  A1 

donde

19 - 25

Ec. (2)

βt =

C 17.868 = = 1,88 2Is 2 × 4752

Is =

A 2h3 = 4752 in.4 12

C se toma como el mayor de los valores calculados (con ayuda de la Tabla 21-2) para el elemento solicitado a torsión que se ilustra a continuación. 21" (h w < 4h f) h f = 6" hw= 21" elemento solicitado a torsión 14"

x1 = 14 in. x2 = 6 in. y1 = 21 in. y2 = 35 in. C1 = 11.141 in.4 C2 = 2248 in.4 ∑C = 11.141 + 2248 = 13.389 in.4

x1 = 14 in. x2 = 6 in. y1 = 27 in. y2 = 21 in. C1 = 16.628 in.4 C2 = 1240 in.4 ∑C = 16.628 + 1240 = 17.868 in.4

Momento positivo:  α A  A 60 + 30  1 2  1,5 − 2 A A1  1 

  = 60 + 30 (1,5 − 1, 26 ) = 67% 

Ec. (3)

A continuación se resumen los momentos mayorados en las franjas de columna y franjas intermedias: Momento mayorado (ft-kips) Tramo extremo: Negativo exterior Positivo Negativo interior Tramo interior: Negativo Positivo 1

2

Franja de columna Porcentaje Momento1 (ft-kips)

Momento en dos semifranjas intermedias (ft-kips)2

29,4 104,7 128,6

75 67 67

22,1 70,1 86,2

7,3 34,6 42,4

119,4 64,3

67 67

80,0 43,1

39,4 21,2

Debido a que α1ℓ2/ℓ1 > 1,0 las vigas se deben dimensionar para resistir el 85 por ciento del momento de la franja de columna (13.6.5.1) La fracción del momento mayorado no resistido por la franja de columna se le asigna a las semifranjas intermedias.

5. Momentos mayorados en las columnas:

13.6.9

a. Columnas interiores con luces iguales en la dirección de análisis y luces iguales (pero diferentes de las primeras) en la dirección transversal.

(

M u = 0, 07 0,5w A A 2 A 2n

)

13.6.9

Ec. (13-4)

19 - 26

(

)

= 0, 07 0,5 × 1, 6 × 0,1× 22 × 162 = 31,5 ft-kips

Con columnas de iguales dimensiones y longitud tanto por encima como por debajo de la losa, 31,5 = 15,8 ft-kips 2

Mc =

Para el diseño de las columnas interiores, este momento se combina con la carga axial mayorada (para cada piso). b. Columnas exteriores. El momento negativo exterior total de la losa se transfiere a las columnas exteriores. Como las columnas por encima y por debajo de la losa tienen las mismas dimensiones y son de igual longitud, 29, 4 = 14, 7 ft-kips 2

Mc =

6. Resistencia al corte: a. Vigas. Como para todas las vigas α1ℓ2/ℓ1 > 1, éstas deben resistir la totalidad del corte (bw = 14 in.; d = 17 in.).

13.6.8.1

Sólo verificaremos las vigas interiores, ya que éstas soportan esfuerzos de corte mucho más elevados que las vigas de bode. A2 = 22'-0"

A1/2

A2 - A1

A1/2

N

A1 = 17'-6"

Vigas N-S: w A2 A 1 w u A1 1 = u 1 2 2 4 Vigas E-W: A A A 1 Vu = w u 1 1 2 + w u ( A 2 − A1 ) 1 2 2 2 2 w uA1 w uA1 = ( A1 − 2A 2 − 2A1 ) = 4 ( 2A 2 − A1 ) 4 Vu =

Vigas N-S: w u A12 0, 261(17,5 ) = = 20, 0 kips 4 4 2

Vu =

φVc = φ2 f 'c b w d

Ec. (11-3)

= 0, 75 × 2 4000 × 14 × 17 /1000 = 22, 6 kips > Vu

19 - 27

Proveer armadura de corte mínima de acuerdo con el artículo 11.5.5.3.

11.5.5.1

Vigas E-W: Vu =

=

w u A1 ( 2A 2 − A1 ) 4 0, 261× 17,5 ( 2 × 22 ) − 17,5 4

= 30,3 kips > φVc = 22, 6 kips

NO VERIFICA

Resistencia al corte requerida a ser provista por medio de armadura de corte: Vs = ( Vu − φVc ) / φ = ( 30,3 − 22, 6 ) / 0, 75 = 10,3 kips

b. Losas (bw = 12 in.; d = 5 in.).

13.6.8.4

w u = (1, 2 × 75 ) + (1, 6 × 100 ) = 250 lb / ft 2 Vu =

w u A1 0, 261× 17,5 = = 2, 2 kips 2 2

φVc = φ2 f 'c b w d = 0, 75 × 2 4000 × 12 × 5 /1000 = 5, 7 kips > Vu = 2, 2 kips

VERIFICA

La resistencia al corte de la losa es adecuada sin armadura de corte. 7. Las vigas de borde se deben diseñar para resistir el momento no transferido a las columnas exteriores por las vigas interiores, de acuerdo con el artículo 11.6.

19 - 28

20 Losas en dos direcciones Método del Pórtico Equivalente

CONSIDERACIONES GENERALES El Método del Pórtico Equivalente convierte un sistema aporticado tridimensional con losas en dos direcciones en una serie de pórticos bidimensionales (vigas placa y columnas), un sistema en el cual cada pórtico se extiende en la totalidad de la altura de la estructura, como se ilustra en la Figura 20-1. El ancho de cada pórtico equivalente se extiende hasta la mitad de la luz entre los centros de las columnas. El análisis completo del sistema de losas en dos direcciones consiste en analizar una serie de pórticos interiores y exteriores equivalentes que atraviesan la estructura transversal y longitudinalmente. Para cargas gravitatorias, las vigas placa en cada entrepiso o cubierta (nivel) se pueden analizar de forma independiente, considerando empotrados los extremos más alejados de las columnas (13.7.2.5). El análisis elástico mediante el Método del Pórtico Equivalente se aplica a estructuras en las cuales las columnas están dispuestas formando un patrón básicamente ortogonal, con hileras de columnas dispuestas en forma longitudinal y transversal. El método de análisis se aplica a losas con o sin vigas entre apoyos. El Método del Pórtico Equivalente se puede utilizar para analizar una estructura solicitada por cargas laterales, siempre que las rigideces de los elementos del pórtico se modifiquen para tomar en cuenta la fisuración y otros factores relevantes. Ver la discusión sobre el artículo 13.3.1.2 en el Capítulo 18 de este documento.

DISEÑO PRELIMINAR Antes de proceder con la aplicación del Método del Pórtico Equivalente es necesario determinar una altura preliminar para la losa, h, a fin de limitar las flechas de acuerdo con los requisitos de altura mínima del artículo 9.5.3. La Tabla 18-1 y la Figura 18-3 se pueden utilizar para simplificar el cálculo de la altura mínima. Para los sistemas de losas sin vigas, en esta etapa del diseño es aconsejable verificar la resistencia de la losa en la proximidad de las columnas u otros apoyos, de acuerdo con los requisitos especiales para losas del artículo 11.12. Ver la discusión sobre el artículo 13.5.4 en el Capítulo 18 de este documento.

13.7.2

Pórtico Equivalente

En las Figuras 20-1 y 20-2 se ilustra la aplicación de las definiciones dadas en los artículos 13.7.2, 13.2.1 y 13.2.2. En el caso de los sistemas de losas en los cuales las longitudes de las luces varían a lo largo de la franja de diseño, el diseñador deberá aplicar su criterio profesional para aplicar las definiciones dadas en 13.2.1. Los elementos que componen el pórtico equivalente

son vigas placa y elementos torsionales (elementos horizontales transversales) soportados por columnas (elementos verticales). Los elementos torsionales permiten transferir momentos entre las vigas placa y las columnas. En la Figura 20-3 se ilustran los elementos de un pórtico equivalente. El primer paso del análisis del pórtico exige determinar la rigidez flexional de los elementos del pórtico equivalente.

a 4v

s no

Pórtico equivalente interior

3 vanos

Figura 20-1 – Pórticos equivalentes para una estructura de cinco plantas

13.7.3

Vigas placa

En las Figuras 20-4 y 20-5 se ilustran algunos tipos habituales de sistemas de losas con y sin vigas entre sus apoyos. Para cada tipo se indican las secciones transversales usadas para determinar la rigidez de las vigas placa, Ksb, entre los centros de los apoyos. Para el Método del Pórtico Equivalente se pueden usar los diagramas de rigidez de las vigas placa equivalentes para determinar las constantes de distribución de momentos y los momentos de los extremos empotrados. Los cálculos de la rigidez se basan en las siguientes consideraciones: a. El momento de inercia de la viga placa entre las caras de los apoyos se basa en el área de la sección transversal bruta del hormigón. Se debe tomar en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la viga placa (13.7.3.2). b. Un apoyo se define como una columna, un capitel, una ménsula o un tabique. Observar que para el pórtico equivalente las vigas no se consideran elementos de apoyo (13.7.3.3). c. El momento de inercia de la viga placa entre la cara del apoyo y el centro del apoyo se supone igual al momento de inercia de la viga placa en la cara del apoyo, dividido por el valor (1– c2/ℓ2)2 (13.7.3.3). De hecho, la aplicación del factor de amplificación 1/(1– c2/ℓ2)2 al momento de inercia entre la cara del apoyo y el centro del apoyo, convierte a cada viga placa en un elemento de sección variable con su longitud. En consecuencia, los factores de rigidez, los coeficientes de continuidad y los momentos de inercia de los extremos empotrados, los cuales se basan en las hipótesis habituales correspondientes a elementos de sección prismática uniforme, no se pueden aplicar a las vigas placa. 20 - 2

2

2 2 /2

2 /2

2 /4

Pórtico equivalente interior

Franja de columna exterior

Franja intermedia*

2 /4

Franja de columna interior

1/2 franja intermedia

2 /4

2 /2

1

Pórtico equivalente exterior 2

2 /2

2 /2

2 /2 1 /4

Pórtico equivalente interior

Franja intermedia*

1 /4

Franja de columna interior

1/2 franja intermedia

1 /4

Franja de columna exterior

2

1

Pórtico equivalente exterior

* Cuando el borde de una franja de diseño exterior es soportada por un tabique, el momento mayorado resistido por esta franja intermedia es el definido en el artículo 13.6.6.3.

Figura 20-2 – Franjas de diseño de un pórtico equivalente Las Tablas A1 a A6 del Apéndice 20A al final de este capítulo contienen coeficientes de rigidez, coeficientes de continuidad, y coeficientes para los momentos en los extremos empotrados correspondientes a diferentes configuraciones geométricas y de cargas. Estas tablas abarcan una amplia gama de relaciones tamaño/luz tanto para la dirección longitudinal como para la dirección transversal. La Tabla A1 se puede usar para placas planas y para losas en dos direcciones con vigas. Las Tablas A2 a A5 se utilizan para losas planas y losas nervuradas con diferentes alturas de ábaco (cabezas macizas). La Tabla A6 cubre el caso poco habitual de una placa plana combinada con una losa plana. Se proveen coeficientes para los momentos en los extremos empotrados tanto para cargas uniformes como para cargas uniformes parciales. Los coeficientes para cargas parciales fueron desarrollados para cargas distribuidas en una longitud igual a 0,2ℓ1. Sin embargo, las cargas que actúan sobre una porción mayor de la luz se pueden considerar sumando los efectos de cargas que actúan en cada intervalo equivalente a 0,2ℓ1. Por ejemplo, si la carga parcial se extiende en una longitud igual a 0,6ℓ1 se deben sumar los coeficientes correspondientes a tres intervalos consecutivos de 0,2ℓ1. Esto permite gran flexibilidad en la disposición de las cargas. En el caso de las cargas concentradas, en la ubicación correspondiente se puede considerar una carga parcial de mayor intensidad, y asumir que ésta se 20 - 3

distribuye en una luz de 0,2ℓ1. Para obtener los valores de los parámetros comprendidos entre los valores listados se puede interpolar linealmente. En cada tabla se ilustran diagramas de rigidez. Aplicando el criterio profesional, con ayuda de la información contenida en estas tablas es posible considerar otras numerosas condiciones diferentes. c1

c2

viga placa

columna por encima de la losa

K ct

1

2

K cb

2

2

2

/2

/2

Kct

elemento torsional, K ta A

viga paralela B 1

elemento torsional, K ta

K cb

viga placa columna por debajo de la losa

Figura 20-3 – Elementos de un pórtico equivalente 1

h

c1

1

A

B

A

B

h2

D D

cara del apoyo

c1

E

C

E

cara del apoyo

c1

Sistema de losa sin vigas

h1

C

c1

Sistema de losa con ábacos 2

h

2

2

h1

h1

I1

Corte D-D

Corte C-C 2

I1/ (1- c 2 /

2

)

2

2

I2 / (1- c 2 /

Corte B-B

c 1 /2

I2 k 2

Corte A-A

Ecs I1

h2

I1

2

)

2

Corte E-E

Ecs I1/ (1- c 2 /

n

2

)

2

Ecs I1

c 1 /2

c 1 /2

Ecs I2

n

Diagrama de rigidez de la viga placa equivalente

Diagrama de rigidez de la viga placa equivalente

Figura 20-4 – Secciones para calcular las rigideces de las vigas placa, Ksb 20 - 4

Ecs I2 / (1- c 2 /

c 1 /2

2

)

2

1

1

h2

h1

c1

A

B

A

B

cara del apoyo

C

h1 h3

h1

h1 h2

I1

F

E

D

G B

cara del apoyo

c1b

2

2

I2 k

Corte A-A

G

Sistema de losa con vigas

2

2

A

c1a

D h2

C

Sistema de losa con capiteles de columna

h1

FE

h2

2

I1

Corte D-D

Corte B-B

Corte E-E 2

2 2

Corte C-C Ecs I1

Ecs I2

I2 / (1- c 2 /

)

I2 / (1- c 2a /

2

2

)

2

I1/ (1- c 2b / Corte F-F

Ecs I2 / (1- c 2 /

n

c 1 /2

2

2

)

2

Ecs I2 / (1- c 2a /

c 1 /2

I2

h3

2

c1a /2

)

2

)

2

Corte G-G

2

Ecs I2

Ecs I1

n

Ecs I1/ (1- c 2b /

2

)

2

c1b /2

Diagrama de rigidez de la viga placa equivalente

Diagrama de rigidez de la viga placa equivalente

Figura 20-5 – Secciones para calcular las rigideces de las vigas placa, Ksb

13.7.4

Columnas

En la Figura 20-6 se ilustran condiciones de apoyo habituales. La rigidez de las columnas se basa en una altura de columna, ℓc, medida entre el plano medio de la losa superior y el plano medio de la losa inferior. Para determinar la rigidez flexional de una columna, Kc, se pueden usar los diagramas de rigidez para columnas. Los diagramas de rigidez se basan en las siguientes consideraciones: a. El momento de inercia de la columna fuera de la unión con la viga placa se basa en el área de la sección transversal bruta del hormigón. Se debe considerar la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la columna entre las uniones con las vigas placa. En el caso de las columnas con capiteles, se asume que el momento de inercia varía linealmente desde la base del capitel hasta el fondo de la viga placa (13.7.4.1 y 13.7.4.2). b. Se asume que en una unión el momento de inercia entre la parte superior y la parte inferior de la viga placa es infinito (I = ∞). Como en el caso de las vigas placas, el factor de rigidez de las columnas Kc no se puede basar en la hipótesis de elemento prismático uniforme (13.7.4.3). Para determinar las rigideces reales de las columnas y los coeficientes de continuidad se puede usar la Tabla A7 del Apéndice 20A.

13.7.5

Elementos torsionales

En la Figura 20-7 se ilustran algunos elementos torsionales. La sección transversal de un elemento torsional es la mayor de las secciones definidas por las tres condiciones dadas en el artículo 13.7.5.1. En la Figura 20-7, debajo de cada ilustración se indica la condición determinante, (a), (b) o (c).

20 - 5

I= c

I=

Ecc Ic

I= Sistema de losa sin vigas

∞ c

∞

I= c

Sistema de losa con capiteles

I= Sistema de losa con ábacos

I= fondo de la viga placa en la unión

∞

c

parte superior de la viga placa

Sistema de losa con vigas

∞

Ecc Ic

I=

Diagrama de rigidez de la columna

∞

Diagrama de rigidez de la columna

∞

Ecc Ic

Ecc Ic

I=

Diagrama de rigidez de la columna

∞

∞

Diagrama de rigidez de la columna

Figura 20-6 – Secciones para calcular la rigidez de las columnas, Kc La rigidez torsional Kt de un elemento torsional se calcula mediante la siguiente expresión: 

9E cs C

Kt = ∑ 



[1 − ( c2 / 2 )]

3

2

  

(1)

donde la sumatoria abarca los elementos torsionales que concurren a una unión: dos en el caso de los pórticos interiores, y uno en el caso de los pórticos exteriores. El término C es una constante de la sección transversal que define las propiedades torsionales de cada uno de los elementos torsionales que concurren a una unión: 

 x  x3 y   y  3

C = ∑ 1 − 0, 63 



(2)

siendo x la menor dimensión de un componente rectangular e y la mayor dimensión de un componente rectangular. El valor de C se calcula dividiendo la sección transversal del elemento torsional en componentes rectangulares independientes y asumiendo los valores de C para cada rectángulo. La sección transversal se debería subdividir de manera de obtener el mayor valor de C posible. En la Figura 20-8 se ilustra la aplicación de la expresión para C. Si a un apoyo concurren vigas en la dirección en la cual se están determinando los momentos, la rigidez torsional Kt dada por la Ecuación (1) se debe incrementar de la siguiente manera: K ta =

K t Isb Is

20 - 6

donde: Kta = rigidez torsional aumentada debido a la viga paralela (observar la viga paralela ilustrada en la Figura 20-3) Is = momento de inercia de un ancho de losa igual a la totalidad del ancho entre los ejes de los paneles, ℓ2, excluyendo la porción del alma de la viga que se prolonga por encima y por debajo de la losa (observar la parte A en la Figura 20-3) =

2h

3

12

Isb = momento de inercia de la sección de losa especificada para Is incluyendo la porción del alma de la viga que se prolonga por encima y por debajo de la losa (para la viga paralela ilustrada en la Figura 20-3, Isb corresponde a la totalidad de la sección Te ilustrada)

c1

c1

Condición (a)

Condición (a)

hw < = 4h f

hf hw c1

c1

Condición (a)

Condición (c)

c1

hf

hf hw

hw bw

bw

b w + 2h w <= bw + 8h f

c1

Condición (c)

Condición (b)

Figura 20-7 – Elementos torsionales

20 - 7

x1

y1 y1

x1

y2

y2 x2

x2

y1

y1

(1)

(2) x1

x1

Usar el mayor valor de C obtenido de (1) ó (2) y1

x1 x2 y2

 x  x 3 y   x  x 3y  c = ∑  1- 0,63 1  1 1  +  1- 0,63 2  2 2  y1  3   y 2  3  

Figura 20-8 – Constante C, que define las propiedades torsionales de un elemento torsional

Columnas equivalentes (R13.7.4) Con la publicación de ACI 318-83 se eliminó del Código el concepto de columna equivalente que definía un elemento de una rigidez única consistente en las columnas reales por encima y por debajo de las vigas placas más elementos torsionales transversales unidos a las mismas. Desde que gracias al uso de las computadoras comenzaron a popularizarse los análisis de losas en dos direcciones mediante el Método del Pórtico Equivalente, la idea de combinar las rigideces de las columnas con las rigideces de los elementos torsionales para obtener una rigidez única perdió gran parte de su atractivo. Sin embargo, el concepto de columna equivalente se retuvo en el comentario hasta la edición del Código de 1989, con el objetivo de que sirviera de ayuda para analizar vigas placas a diferentes niveles de piso solicitadas exclusivamente a cargas gravitatorias, particularmente cuando para el análisis se usaba distribución de momentos u otros procedimientos de cálculo manuales. Aunque en el artículo R13.7.5 aún se reconoce el concepto de columna equivalente, en la edición de 1995 del Código se eliminó del artículo R13.7.5 el procedimiento detallado para calcular la rigidez de la columna equivalente, Kec, que se había incluido en 1983. Tanto en el Ejemplo 20-1 como en el Ejemplo 20-2 se utiliza el concepto de columna equivalente con distribución de momentos para análisis bajo cargas gravitatorias. El concepto de columna equivalente modifica la rigidez de la columna para tomar en cuenta la flexibilidad torsional de la unión losa-columna que reduce su eficiencia para transmitir momentos. En la Figura 20-3 se ilustra una columna equivalente. La columna equivalente consiste en las columnas reales por encima y por debajo de las vigas placas, más elementos torsionales "unidos" a ambos lados de las columnas, los cuales se extienden hasta los ejes de los paneles adyacentes. Observar que para los pórticos de borde, sólo hay un elemento solicitado a torsión unido en uno de los lados. La presencia de vigas paralelas también afecta la rigidez de la columna equivalente.

20 - 8

La rigidez flexional de la columna equivalente, Kec, se da en términos de su inversa, o flexibilidad, de la siguiente manera:

1 = K ec

1 1 + K ∑ c ∑ Kt

Para los propósitos del cálculo, el diseñador tal vez prefiera la siguiente expresión, directamente en términos de la rigidez: K ec =

∑ Kc × ∑ K t ∑ Kc + ∑ K t

Las rigideces de las columnas reales, Kc, y de los elementos torsionales, Kt, deben satisfacer lo indicado en los artículos 13.7.4 y 13.7.5. Una vez determinados los valores de Kc y Kt se calcula la rigidez de la columna equivalente, Kec. En base a la Figura 20-3: K ec =

( K ct + K cb )( K ta + K ta ) K ct + K cb + K ta + K ta

donde Kct = rigidez flexional en la parte superior de la columna inferior que concurre a la unión; Kcb = rigidez flexional en la parte inferior de la columna superior que concurre a la unión; Kta = rigidez torsional de cada elemento torsional, uno a cada lado de la columna, incrementada debido a la presencia de vigas paralelas (si es que hay vigas paralelas)

13.7.6

Ubicación de la sobrecarga

En el caso habitual en que no se conoce la ubicación exacta de todas las cargas, los máximos momentos mayorados se determinan para las condiciones de carga ilustradas en el pórtico parcial de tres tramos de la Figura 20-9, las cuales se describen de la siguiente manera: a. Si la sobrecarga de servicio es menor o igual que tres cuartos de la carga permanente de servicio, para determinar los momentos negativos y positivos mayorados sólo es necesario analizar la distribución de cargas (1) suponiendo que en todos los tramos actúa la totalidad de la sobrecarga mayorada. b. Si la relación entre la sobrecarga de servicio y la carga permanente de servicio es mayor que tres cuartos, para determinar todos los momentos mayorados en las vigas placa es necesario considerar las cinco distribuciones de cargas ilustradas. Las distribuciones de cargas (2) a (5) consideran sobrecargas mayoradas parciales para determinar los momentos mayorados. Sin embargo, cuando hay sobrecargas parciales, los momentos mayorados no se pueden tomar menores que los que ocurren cuando la totalidad de la sobrecarga mayorada actúa en todos los tramos. En consecuencia, el análisis también debe incluir la distribución (1). Para los sistemas de losas con vigas, puede que no sea conveniente incluir las cargas soportadas directamente por las vigas (tales como el peso propio del alma de la viga o de un tabique soportado directamente por las vigas) en el análisis de pórtico para las cargas de la losa, wd + wℓ. Es posible que se requiera un análisis de pórtico adicional, diseñando la viga para que resista estas cargas además de la porción de los momentos de la losa asignados a las vigas.

20 - 9

Columnas supuestas empotradas en estos extremos

wd + w A

B

D

C

(1) Disposición de las cargas para los momentos de diseño en todos los tramos con L < 3/4D

w d + 3/4 w A

wd B

D

C

(2) Disposición de las cargas para el momento de diseño positivo en el tramo AB*

wd + 3/4 w

wd A

B

wd D

C

(3) Disposición de las cargas para el momento de diseño positivo en el tramo BC*

w d + 3/4 w A

wd B

Viga placa supuesta empotrada en el apoyo a una distancia de dos luces

C

(4) Disposición de las cargas para el momento de diseño negativo en el apoyo A*

w d + 3/4 w

A

wd B

C

D

(5) Disposición de las cargas para el momento de diseño negativo en el apoyo B*

Figura 20-9 – Análisis de pórtico parcial para cargas verticales

13.7.7

Momentos mayorados

Es probable que la distribución de momentos sea el método de cálculo manual más conveniente para analizar pórticos parciales que involucran varios tramos continuos y en los cuales los extremos superiores e inferiores de las columnas alejados de las losas se consideran empotrados. En estas páginas no describiremos la mecánica del método, salvo una breve discusión de los dos puntos siguientes: (1) el uso del concepto de la columna equivalente para determinar los factores de distribución en las uniones, y (2) el procedimiento correcto para distribuir el momento de la columna equivalente obtenido del análisis de pórtico a las verdaderas columnas ubicadas por encima y por debajo de la viga placa. Ver los Ejemplos 20.1 y 20.2. 20 - 10

En la Figura 20-10 se ilustra una unión de un pórtico con los factores de rigidez K para cada elemento que concurre a la unión. A continuación presentamos expresiones para determinar los factores de distribución de momento FD en la unión, usando la rigidez de la columna equivalente, Kec. En el procedimiento de distribución de momentos se aplican directamente estos coeficientes. Rigidez de la columna equivalente, K ec =

=

∑ Kc × ∑ K t ∑ Kc + ∑ K t

( K ct + K cb )( K t + K t ) K ct + K cb + K t + K t

Factor de distribución para las vigas placa, FD ( luz 2 − 1) =

FD ( luz 2 − 3) =

K b1 K b1 + K b2 + K ec K b2 K b1 + K b2 + K ec

Factor de distribución para la columna equivalente (momento no balanceado de la viga placa), FD =

K ec K b1 + K b2 + K ec

El momento no balanceado determinado para la columna equivalente en los ciclos de distribución de momentos se distribuye a las verdaderas columnas por encima y por debajo de la viga placa en proporción a las rigideces reales de las columnas en la unión. Con referencia a la Figura 20-10: Kc1

Kb1 1

Kb1 2

1

Kcb

Kt c

Kb2

Kct

Kt

Kb2 3

Kcb

1

c

K = kEI/

Figura 20-10 – Factores de distribución de momentos, FD

Fracción de momento no balanceado a la columna superior =

Fracción de momento no balanceado a la columna inferior =

K cb

( K cb + K ct ) K ct

( K cb + K ct )

20 - 11

Luego las columnas "reales" se diseñan para estos momentos. 13.7.7.1 - 13.7.7.3 Momentos negativos mayorados – Los momentos negativos mayorados de diseño se deben tomar en las caras de los apoyos rectilíneos, pero a una distancia no mayor que 0,175ℓ1 a partir del centro de un apoyo. Este valor absoluto es un límite para los apoyos largos y angostos, para impedir una reducción indebida del momento de diseño. Un elemento de apoyo se define como una columna, un capitel, una ménsula o un tabique. Los apoyos no rectangulares se deben tratar como apoyos cuadrados con secciones transversales de igual área. Observar que para los sistemas de losas con vigas las caras de las vigas no se consideran como ubicaciones de las caras de los apoyos. En la Figura 20-11 se ilustra la ubicación de las secciones críticas para momento mayorado negativo correspondientes a diferentes condiciones de apoyo. Observar los requisitos especiales para apoyos exteriores. Eje del apoyo cara de los apoyos rectilíneos

apoyo cuadrado que tiene la misma área

sección crítica para momento negativo

0,175

a 2

a

1

cara del elemento de apoyo c 1 > 0,35

1 1

(a) Apoyo en columas o tabiques interiores y exteriores

(b) Apoyos exteriores con ménsulsa o cartelas

Figura 20-11 – Secciones críticas para determinar los momentos negativos de diseño 13.7.7.4 Redistribución de los momentos – Si el diseñador opta por utilizar el Método del Pórtico Equivalente para analizar un sistema de losas que satisface las limitaciones del Método de Diseño Directo, los momentos mayorados se pueden reducir de manera tal que el momento estático mayorado total (sumatoria de los momentos positivos y el promedio de los momentos negativos) no sea mayor que el valor de Mo calculado mediante la Ecuación (13-3). Esta reducción admisible se ilustra en la Figura 20-12.

Debido a que el Método del Pórtico Equivalente no es un método aproximado, se puede aplicar la redistribución de momentos permitida por el artículo 8.4. Pero si estos requisitos se aplican de manera imprudente es posible que se produzca una fisuración excesiva. Es el diseñador quien debe tomar la decisión de redistribuir los momentos o no redistribuirlos, y en caso de hacerlo en qué cantidad. 20 - 12

- M u1

+ Mo

- Mu2

+ Mu3

c1/2

c1/2

n 1

Figura 20-12 – Momento estático total de diseño 13.7.7.5 Momentos mayorados en las franjas de columna y las franjas intermedias – Los momentos mayorados negativos y positivos se pueden distribuir a la franja de columna y a las dos semifranjas intermedias de acuerdo con los artículos 13.6.4, 13.6.5 y 13.6.6, siempre que se satisfaga el requisito del artículo 13.6.1.6. Ver la discusión sobre los artículos 13.6.4, 13.6.5 y 13.6.6 en el Capítulo 19 de este documento.

APÉNDICE 20A - AYUDAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES DE DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS Referencias para las tablas del Apéndice 20A: (1) (2) (3) (4)

k C m FEM

= = = =

Factores de rigidez Coeficientes de continuidad Coeficiente de momento para los extremos empotrados correspondiente a carga unitaria Momento en el extremo empotrado

NOTA: Los subíndices N y F se refieren al extremo próximo y al extremo empotrado, respectivamente. Tabla A1 – Constantes de distribución de momentos para vigas placa 1

1

w a w

C N2

C F2 2

1

1

Extremo próximo (N)

Extremo alejado (F)

Es Is (1-CN2/

C N1/2

2

)

2

Es Is

C N1

n C F1 FEMNF = ∑mNFi wi 12 (4) i=1

C F1/2

KNF =kNFEcsIs/

20 - 13

1

Tabla A1 – Constantes de distribución de momentos para vigas placa* CN1/

1

CN2/

2

(1) kNF

(2) CNF

(3) mNF

a = 0,0

Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 a = 0,2 a = 0,4 a = 0,6

a = 0,8

CF1 = CN1; CF2 = CN2 0,00

---

4,00

0,50

0,0833

0,0151

0,0287

0,0247

0,0127

0,00226

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,18 4,36 4,53 4,70

0,50 0,51 0,52 0,54 0,55

0,0833 0,0847 0,0860 0,0872 0,0882

0,0151 0,0154 0,0158 0,0161 0,0165

0,0287 0,0293 0,0300 0,0301 0,0314

0,0247 0,0251 0,0255 0,0259 0,0262

0,0127 0,0126 0,0126 0,0125 0,0124

0,00226 0,00214 0,00201 0,00188 0,00174

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,35 4,72 5,11 5,51

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,0833 0,0857 0,0880 0,0901 0,0921

0,0151 0,0155 0,0161 0,0166 0,0171

0,0287 0,0299 0,0311 0,0324 0,0336

0,0247 0,0254 0,0262 0,0269 0,0276

0,0127 0,0127 0,0126 0,0125 0,0123

0,00226 0,00213 0,00197 0,00178 0,00156

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,49 5,05 5,69 6,41

0,50 0,53 0,56 0,59 0,61

0,0833 0,0863 0,0893 0,0923 0,0951

0,0151 0,0155 0,0160 0,0165 0,0171

0,0287 0,0301 0,0317 0,0334 0,0352

0,0247 0,0257 0,0267 0,0278 0,0287

0,0127 0,0128 0,0128 0,0127 0,0124

0,00226 0,00219 0,00207 0,00190 0,00167

0,40

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,61 5,35 6,25 7,37

0,50 0,53 0,56 0,60 0,64

0,0833 0,0866 0,0901 0,0936 0,0971

0,0151 0,0154 0,0158 0,0162 0,0168

0,0287 0,0302 0,0318 0,0337 0,0359

0,0247 0,0259 0,0271 0,0284 0,0297

0,0127 0,0129 0,0131 0,0131 0,0128

0,00226 0,00225 0,00221 0,00211 0,00195

CF1 = 0.5CN1; CF2 = 0.5CN2 0,00

---

4,00

0,50

0,0833

0,0151

0,0287

0,0247

0,0127

0,0023

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,16 4,31 4,45 4,58

0,50 0,51 0,52 0,54 0,54

0,0833 0,0857 0,0879 0,0900 0,0918

0,0151 0,0155 0,0158 0,0162 0,0165

0,0287 0,0296 0,0304 0,0312 0,0319

0,0247 0,0254 0,0261 0,0267 0,0273

0,0127 0,0130 0,0133 0,0135 0,0138

0,0023 0,0023 0,0023 0,0023 0,0023

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,30 4,61 4,92 5,23

0,50 0,52 0,55 0,57 0,58

0,0833 0,0872 0,0912 0,0951 0,0989

0,0151 0,0156 0,0161 0,0167 0,0172

0,0287 0,0301 0,0317 0,0332 0,0347

0,0247 0,0259 0,0272 0,0285 0,0298

0,0127 0,0132 0,0138 0,0143 0,0148

0,0023 0,0023 0,0023 0,0024 0,0024

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,43 4,89 5,40 5,93

0,50 0,53 0,56 0,59 0,62

0,0833 0,0881 0,0932 0,0986 0,1042

0,0151 0,0156 0,0161 0,0167 0,0173

0,0287 0,0305 0,0324 0,0345 0,0367

0,0247 0,0263 0,0281 0,0300 0,0320

0,0127 0,0134 0,0142 0,0150 0,0158

0,0023 0,0023 0,0024 0,0024 0,0025

0,40

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

4,00 4,54 5,16 5,87 6,67

0,50 0,54 0,57 0,61 0,64

0,0833 0,0884 0,0941 0,1005 0,1076

0,0151 0,0155 0,0159 0,0165 0,0170

0,0287 0,0305 0,0326 0,0350 0,0377

0,0247 0,0265 0,0286 0,0310 0,0336

0,0127 0,0135 0,0145 0,0155 0,0166

0,0023 0,0024 0,0025 0,0025 0,0026

0,00

---

4,00

0,50

0,0833

0,0151

0,0287

0,0247

0,0127

0,0023

0,10

0,00 0,10 0,20

4,00 4,27 4,56

0,50 0,51 0,52

0,0833 0,0817 0,0798

0,0151 0,0153 0,0156

0,0287 0,0289 0,0290

0,0247 0,0241 0,0234

0,0127 0,0116 0,0103

0,0023 0,0018 0,0013

0,20

0,00 0,10 0,20

4,00 4,49 5,11

0,50 0,51 0,53

0,0833 0,0819 0,0789

0,0151 0,0154 0,0158

0,0287 0,0291 0,0293

0,0247 0,0240 0,0228

0,0127 0,0114 0,0096

0,0023 0,0019 0,0014

CF1= 2CN1; CF2 = 2CN2

*

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 14

Tabla A2 Constantes de distribución de momentos para vigas placa (Altura de ábaco = 0,25h) *

1

1

w

h a

1

b

Extremo próximo (N)

2 /3

2 CF2

Extremo alejado (F)

1 /6 Es Id

CN1

1 /6

C F1 1 /6

Es I s Es Id /(1- CN2 /

CN1/2

CN2

1

1 /6 n

2 2)

FEMNF = ∑mNFi wi

C F1 /2

1

CN2/

2

(1) kNF

(2) CNF

(4)

i=1

KNF =kNFEcsIs/

CN1/

2 1

(3) mNF

a = 0,0

1

Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 a = 0,2 a = 0,4 a = 0,6

a = 0,8

CF1 = CN1; CF2 = CN2

0,00

---

4,79

0,54

0,0879

0,0157

0,0309

0,0263

0,0129

0,0022

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30

4,79 4,99 5,18 5,37

0,54 0,55 0,56 0,57

0,0879 0,0890 0,0901 0,0911

0,0157 0,0160 0,0163 0,0167

0,0309 0,0316 0,0322 0,0328

0,0263 0,0266 0,0270 0,0273

0,0129 0,0128 0,0127 0,0126

0,0022 0,0020 0,0019 0,0018

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30

4,79 5,17 5,56 5,96

0,54 0,56 0,58 0,60

0,0879 0,0900 0,0918 0,0936

0,0157 0,0161 0,0166 0,0171

0,0309 0,0320 0,0332 0,0344

0,0263 0,0269 0,0276 0,0282

0,0129 0,0128 0,0126 0,0124

0,0022 0,0020 0,0018 0,0016

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30

4,79 5,32 5,90 6,55

0,54 0,57 0,59 0,62

0,0879 0,0905 0,0930 0,0955

0,0157 0,0161 0,0166 0,0171

0,0309 0,0323 0,0338 0,0354

0,0263 0,0272 0,0281 0,0290

0,0129 0,0128 0,0127 0,0124

0,0022 0,0021 0,0019 0,0017

0,00

---

4,79

0,54

0,0879

0,0157

0,0309

0,0263

0,0129

0,0022

0,10

0,00 0,10 0,20

4,79 4,96 5,12

0,54 0,55 0,56

0,0879 0,0900 0,0920

0,0157 0,0160 0,0164

0,0309 0,0317 0,0325

0,0263 0,0269 0,0276

0,0129 0,0131 0,0134

0,0022 0,0022 0,0022

0,20

0,00 0,10 0,20

4,79 5,11 5,43

0,54 0,56 0,58

0,0263 0,0275 0,0286

0,0129 0,0133 0,0138

0,0022 0,0022 0,0022

0,00

---

4,79

0,54

0,0879 0,0157 0,0309 0,0914 0,0162 0,0323 0,0950 0,0167 0,0337 CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2 0,0879 0,0157 0,0309

0,0263

0,0129

0,0022

0,10

0,00 0,10

4,79 5,10

0,54 0,55

0,0879 0,0860

0,0263 0,0256

0,0129 0,0117

0,0022 0,0017

CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2

*

0,0157 0,0159

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 15

0,0309 0,0311

Tabla A3 Constantes de distribución de momentos para vigas placa (Altura de ábaco = 0,50h) *

1

1

w

h a

1

b

Extremo próximo (N)

2 /3

2 CF2

Extremo alejado (F)

1 /6 Es Id

CN1

1 /6

C F1 1 /6

Es I s

Es Id /(1- CN2 /

CN1/2

CN2

1

2 2)

1 /6 n

FEMNF = ∑mNFi wi

C F1 /2

1

CN2/

2

(1) kNF

(2) CNF

(3) mNF

(4)

i=1

KNF =kNFEcsIs/

CN1/

2 1

a = 0,0

1

Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 a = 0,2 a = 0,4 a = 0,6

a = 0,8

CF1 = CN1; CF2 = CN2

0,00

---

5,84

0,59

0,0926

0,0164

0,0335

0,0279

0,0128

0,0020

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30

5,84 6,04 6,24 6,43

0,59 0,60 0,61 0,61

0,0926 0,0936 0,0940 0,0952

0,0164 0,0167 0,0170 0,0173

0,0335 0,0341 0,0347 0,0353

0,0279 0,0282 0,0285 0,0287

0,0128 0,0126 0,0125 0,0123

0,0020 0,0018 0,0017 0,0016

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30

5,84 6,22 6,62 7,01

0,59 0,61 0,62 0,64

0,0926 0,0942 0,0957 0,0971

0,0164 0,0168 0,0172 0,0177

0,0335 0,0346 0,0356 0,0366

0,0279 0,0285 0,0290 0,0294

0,0128 0,0126 0,0123 0,0120

0,0020 0,0018 0,0016 0,0014

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30

5,84 6,37 6,95 7,57

0,59 0,61 0,63 0,65

0,0926 0,0947 0,0967 0,0986

0,0164 0,0168 0,0172 0,0177

0,0335 0,0348 0,0362 0,0375

0,0279 0,0287 0,0294 0,0300

0,0128 0,0126 0,0123 0,0119

0,0020 0,0018 0,0016 0,0014

0,00

---

5,84

0,59

0,0926

0,0164

0,0335

0,0279

0,0128

0,0020

0,10

0,00 0,10 0,20

5,84 6,00 6,16

0,59 0,60 0,60

0,0926 0,0945 0,0962

0,0164 0,0167 0,0170

0,0335 0,0343 0,0350

0,0279 0,0285 0,0291

0,0128 0,0130 0,0132

0,0020 0,0020 0,0020

0,20

0,00 0,10 0,20

5,84 6,15 6,47

0,59 0,60 0,62

0,0926 0,0957 0,0987

0,0164 0,0169 0,0173

0,0335 0,0348 0,0360

0,0279 0,0290 0,0300

0,0128 0,0131 0,0134

0,0020 0,0020 0,0020

CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2

CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2

*

0,00

---

5,84

0,59

0,0926

0,0164

0,0335

0,0279

0,0128

0,0020

0,10

0,00 0,10

5,84 6,17

0,59 0,60

0,0926 0,0907

0,0164 0,0166

0,0335 0,0337

0,0279 0,0273

0,0128 0,0116

0,0020 0,0015

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 16

Tabla A4 Constantes de distribución de momentos para vigas placa (Altura de ábaco = 0,75h) *

1

1

w

h a

1

b

Extremo próximo (N)

2 /3

2 CF2

Extremo alejado (F)

1 /6 Es Id

CN1

1 /6

C F1 1 /6

Es I s

Es Id /(1- CN2 /

CN1/2

CN2

1

2 2)

1 /6 n

FEMNF = ∑mNFi wi

C F1 /2

1

CN2/

2

(1) kNF

(2) CNF

(3) mNF

(4)

i=1

KNF =kNFEcsIs/

CN1/

2 1

a = 0,0

1

Coeficiente mNF para (b-a) = 0,2 a = 0,2 a = 0,4 a = 0,6

a = 0,8

CF1 = CN1; CF2 = CN2

0,00

---

6,92

0,63

0,0965

0,0171

0,0360

0,0293

0,0124

0,0017

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30

6,92 7,12 7,31 7,48

0,63 0,64 0,64 0,65

0,0965 0,0972 0,0978 0,0984

0,0171 0,0174 0,0176 0,0179

0,0360 0,0365 0,0370 0,0375

0,0293 0,0295 0,0297 0,0299

0,0124 0,0122 0,0120 0,0118

0,0017 0,0016 0,0014 0,0013

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30

6,92 7,12 7,31 7,48

0,63 0,64 0,65 0,67

0,0965 0,0977 0,0988 0,0999

0,0171 0,0175 0,0178 0,0182

0,0360 0,0369 0,0378 0,0386

0,0293 0,0297 0,0301 0,0304

0,0124 0,0121 0,0118 0,0115

0,0017 0,0015 0,0013 0,0011

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30

6,92 7,29 7,66 8,02

0,63 0,65 0,66 0,68

0,0965 0,0981 0,0996 0,1009

0,0171 0,0175 0,0179 0,0182

0,0360 0,0371 0,0383 0,0394

0,0293 0,0299 0,0304 0,0309

0,0124 0,0121 0,0117 0,0113

0,0017 0,0015 0,0013 0,0011

0,00

---

6,92

0,63

0,0965

0,0171

0,0360

0,0293

0,0124

0,0017

0,10

0,00 0,10 0,20

6,92 7,08 7,23

0,63 0,64 0,64

0,0965 0,0980 0,0993

0,0171 0,0174 0,0177

0,0360 0,0366 0,0372

0,0293 0,0298 0,0302

0,0124 0,0125 0,0126

0,0017 0,0017 0,0016

0,20

0,00 0,10 0,20

6,92 7,21 7,51

0,63 0,64 0,65

0,0965 0,0991 0,1014

0,0171 0,0175 0,0179

0,0360 0,0371 0,0381

0,0293 0,0302 0,0310

0,0124 0,0126 0,0128

0,0017 0,0017 0,0016

CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2

CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2

*

0,00

---

6,92

0,63

0,0965

0,0171

0,0360

0,0293

0,0124

0,0017

0,10

0,00 0,10

6,92 7,26

0,63 0,64

0,0965 0,0946

0,0171 0,0173

0,0360 0,0361

0,0293 0,0287

0,0124 0,0112

0,0017 0,0013

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 17

Tabla A5 Constantes de distribución de momentos para vigas placa (Altura de ábaco = h) * 1

1

w

h a

1

b

Extremo próximo (N)

2 /3

1 /6

2 CF2

Extremo alejado (F)

1 /6 Es Id

CN1

C F1 1 /6

Es I s

Es Id /(1- CN2 /

CN1/2

CN2

1

2 2)

1 /6 n

FEMNF = ∑mNFi wi

C F1 /2

KNF =kNFEcsIs/

CN1/

1

CN2/

2

(1) kNF

(2) CNF

(3) (mNF)

2 1

(4)

i=1

a = 0,0

1

Coeficiente (mNF) para (b-a) = 0,2 a = 0,2 a = 0,4 a = 0,6

a = 0,8

CF1 = CN1; CF2 = CN2

0,00

---

7,89

0,66

0,0993

0,0177

0,0380

0,0303

0,0118

0,0014

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30

7,89 8,07 8,24 8,40

0,66 0,66 0,67 0,67

0,0993 0,0998 0,1003 0,1007

0,0177 0,0180 0,0182 0,0183

0,0380 0,0385 0,0389 0,0393

0,0303 0,0305 0,0360 0,0307

0,0118 0,0116 0,0115 0,0113

0,0014 0,0013 0,0012 0,0011

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30

7,89 8,22 8,55 9,87

0,66 0,67 0,68 0,69

0,0993 0,1002 0,1010 0,1018

0,0177 0,0180 0,0183 0,0186

0,0380 0,0388 0,0395 0,0402

0,0303 0,0306 0,0309 0,0311

0,0118 0,0115 0,0112 0,0109

0,0014 0,0012 0,0011 0,0009

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30

7,89 8,35 8,82 9,28

0,66 0,67 0,68 0,70

0,0993 0,1005 0,1016 0,1026

0,0177 0,0181 0,0184 0,0187

0,0380 0,0390 0,0399 0,0409

0,0303 0,0307 0,0311 0,0314

0,0118 0,0115 0,0111 0,0107

0,0014 0,0012 0,0011 0,0009

0,00

---

7,89

0,66

0,0993

0,0177

0,0380

0,0303

0,0118

0,0014

0,10

0,00 0,10 0,20

7,89 8,03 8,16

0,66 0,66 0,67

0,0993 0,1006 0,1016

0,0177 0,0180 0,0182

0,0380 0,0386 0,0390

0,0303 0,0307 0,0310

0,0118 0,0119 0,0120

0,0014 0,0014 0,0014

0,20

0,00 0,10 0,20

7,89 8,15 8,41

0,66 0,67 0,68

0,0303 0,0310 0,0316

0,0118 0,0120 0,0121

0,0014 0,0014 0,0013

0,00

---

7,89

0,66

0,0993 0,0177 0,0380 0,1014 0,0181 0,0389 0,1032 0,0184 0,0398 CF1 = 2CN1; CF2 = 2CN2 0,0993 0,0177 0,0380

0,0303

0,0118

0,0014

0,10

0,00 0,10

7,89 8,20

0,66 0,67

0,0993 0,0981

0,0303 0,0297

0,0118 0,0113

0,0014 0,0010

CF1 = 0,5CN1; CF2 = 0,5CN2

*

0,0177 0,0179

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 18

0,0380 0,0382

Tabla A6 Constantes de distribución de momentos para vigas placa* (Se asume que las dimensiones en ambos extremos de la columna son iguales – cF1 = cN1, cF2 = cN2) 1

1

w h

t

Extremo próximo (N) Extremo alejado (F) 1 /6

c N2

Es Is /(1- CN2 /

EsId

2 /3

2 2)

2

cN1

E s Is c N1/2

CN1/

*

1

CN2/

2

c F1 1 /6

Es Id /(1- CN2 /

2 2)

c F2

c F1 /2

FEMNF = mNF w

2 1

K NF = kNFEcs Is /

1

(4)

CNF 0,49

t = 1,5h mNF kFN 0,1023 4,26

CFN 0,60

mFN 0,0749

kNF 6,63

CNF 0,49

t = 2h mNF kFN 0,1190 4,49

CFN 0,65

mFN 0,0676

0,00

---

kNF 5,39

0,10

0,00 0,10 0,20 0,30

5,39 5,65 5,86 6,05

0,49 0,52 0,54 0,55

0,1023 0,1012 0,1012 0,1025

4,26 4,65 4,91 5,10

0,60 0,60 0,61 0,62

0,0749 0,0794 0,0818 0,0838

6,63 7,03 7,22 7,36

0,49 0,54 0,56 0,56

0,1190 0,1145 0,1140 0,1142

4,49 5,19 5,43 5,57

0,65 0,66 0,67 0,67

0,0676 0,0757 0,0778 0,0786

0,20

0,00 0,10 0,20 0,30

5,39 5,88 6,33 6,75

0,49 0,54 0,58 0,60

0,1023 0,1006 0,1003 0,1008

4,26 5,04 5,63 6,10

0,60 0,61 0,62 0,64

0,0749 0,0826 0,0874 0,0903

6,63 7,41 7,85 8,18

0,49 0,58 0,61 0,63

0,1190 0,1111 0,1094 0,1093

4,49 5,96 6,57 6,94

0,65 0,66 0,67 0,68

0,0676 0,0823 0,0872 0,0892

0,30

0,00 0,10 0,20 0,30

5,39 6,08 6,78 7,48

0,49 0,56 0,61 0,64

0,1023 0,1003 0,0996 0,0997

4,26 5,40 6,38 7,25

0,60 0,61 0,63 0,65

0,0749 0,085 0,092 0,096

6,63 7,76 8,49 9,06

0,49 0,62 0,66 0,68

0,1190 0,1087 0,1055 0,1047

4,49 6,77 7,91 8,66

0,65 0,67 0,68 0,69

0,0676 0,0873 0,0952 0,0991

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 19

Tabla A7 Factores de rigidez y Coeficientes de continuidad para columnas* ta

A

ta

A

ta

A z

H

Hc

Ic

B

Ic

Hc

Ic

B

tb

Hc B

tb

EIc H Para los valores de kBA y CBA leer (ta/tb) como (tb/ta) *g se puede aproximar como z/2. Kc = k

g*

tb

H/Hc ta/tb 1,05 0,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

*

kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB

4,20 0,57 4,31 0,56 4,38 0,55 4,44 0,55 4,49 0,54 4,52 0,54 4,55 0,53 4,58 0,53 4,60 0,53 4,62 0,52 4,63 0,52 4,65 0,52 4,66 0,52 4,67 0,52 4,68 0,52 4,69 0,52 4,70 0,52 4,71 0,51 4,71 0,51 4,72 0,51

1,10 4,40 0,65 4,62 0,62 4,79 0,60 4,91 0,59 5,01 0,58 5,09 0,57 5,16 0,56 5,21 0,55 5,26 0,55 5,30 0,55 5,34 0,54 5,37 0,54 5,40 0,53 5,42 0,53 5,44 0,53 5,46 0,53 5,48 0,53 5,50 0,52 5,51 0,52 5,53 0,52

1,15 4,60 0,73 4,95 0,68 5,22 0,65 5,42 0,63 5,58 0,61 5,71 0,60 5,82 0,59 5,91 0,58 5,99 0,57 6,06 0,56 6,12 0,56 6,17 0,55 6,22 0,55 6,26 0,54 6,29 0,54 6,33 0,54 6,36 0,53 6,38 0,53 6,41 0,53 6,43 0,53

1,20

1,25

4,80 0,80 5,30 0,74 5,67 0,70 5,96 0,67 6,19 0,64 6,38 0,62 6,54 0,61 6,68 0,60 6,79 0,59 6,89 0,58 6,98 0,57 7,05 0,56 7,12 0,56 7,18 0,55 7,23 0,55 7,28 0,54 7,33 0,54 7,37 0,53 7,41 0,53 7,44 0,53

Ver "Referencias para las tablas del Apéndice 20A" en la página 20-13.

20 - 20

5,00 0,87 5,65 0,80 6,15 0,74 6,54 0,70 6,85 0,67 7,11 0,65 7,32 0,63 7,51 0,61 7,66 0,60 7,80 0,59 7,92 0,58 8,02 0,57 8,11 0,56 8,20 0,56 8,27 0,55 8,34 0,55 8,40 0,54 8,46 0,54 8,51 0,53 8,56 0,53

1,30 5,20 0,95 6,02 0,85 6,65 0,79 7,15 0,74 7,56 0,70 7,89 0,67 8,17 0,65 8,41 0,63 8,61 0,61 8,79 0,60 8,94 0,59 9,08 0,58 9,20 0,57 9,31 0,56 9,41 0,55 9,50 0,55 9,58 0,54 9,65 0,54 9,72 0,53 9,78 0,53

1,35

1,40

1,45

1,50

5,40 1,03 6,40 0,91 7,18 0,83 7,81 0,77 8,31 0,72 8,73 0,69 9,08 0,66 9,38 0,64 9,64 0,62 9,87 0,61 10,06 0,59 10,24 0,58 10,39 0,57 10,53 0,56 10,66 0,56 10,77 0,55 10,87 0,54 10,97 0,54 11,05 0,53 11,13 0,53

5,60 1,10 6,79 0,96 7,74 0,87 8,50 0,80 9,12 0,75 9,63 0,71 10,07 0,68 10,43 0,65 10,75 0,63 11,03 0,61 11,27 0,60 11,49 0,59 11,68 0,58 11,86 0,57 12,01 0,56 12,15 0,55 12,28 0,54 12,40 0,53 12,51 0,53 12,60 0,52

5,80 1,17 7,20 1,01 8,32 0,91 9,23 0,83 9,98 0,77 10,60 0,73 11,12 0,69 11,57 0,66 11,95 0,64 12,29 0,62 12,59 0,60 12,85 0,59 13,08 0,58 13,29 0,57 13,48 0,56 13,65 0,55 13,81 0,54 13,95 0,53 14,09 0,53 14,21 0,52

6,00 1,25 7,62 1,07 8,94 0,94 10,01 0,85 10,89 0,79 11,62 0,74 12,25 0,70 12,78 0,67 13,24 0,65 13,65 0,63 14,00 0,61 14,31 0,59 14,60 0,58 14,85 0,57 15,07 0,56 15,28 0,55 15,47 0,54 15,64 0,53 15,80 0,52 15,95 0,52

H/Hc ta/tb 1,05 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB kAB CAB

4,72 0,51 4,73 0,51 4,73 0,51 4,74 0,51 4,74 0,51 4,75 0,51 4,76 0,51 4,78 0,51 4,78 0,51 4,79 0,50 4,80 0,50

1,10 5,54 0,52 5,55 0,52 5,56 0,52 5,57 0,52 5,58 0,52 5,59 0,51 5,63 0,51 5,66 0,51 5,68 0,51 5,69 0,50 5,71 0,50

1,15 6,45 0,52 6,47 0,52 6,49 0,52 6,51 0,52 6,53 0,52 6,54 0,52 5,60 0,51 6,65 0,51 6,69 0,50 6,71 0,50 6,74 0,50

1,20

1,25

7,47 0,53 7,50 0,52 7,53 0,52 7,55 0,52 7,58 0,52 7,60 0,52 7,89 0,51 7,76 0,50 7,82 0,50 7,86 0,50 7,89 0,49

20 - 21

8,60 0,53 8,64 0,52 8,68 0,52 8,71 0,52 8,75 0,52 8,78 0,51 8,90 0,50 9,00 0,50 9,07 0,49 9,13 0,49 9,18 0,48

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

9,84 0,52 9,90 0,52 9,95 0,52 9,99 0,52 10,03 0,51 10,07 0,51 10,24 0,50 10,37 0,49 10,47 0,49 10,55 0,48 10,61 0,48

11,21 0,52 11,27 0,52 11,34 0,51 11,40 0,51 11,45 0,51 11,50 0,51 11,72 0,49 11,88 0,48 12,01 0,48 12,11 0,47 12,19 0,47

12,7 0,52 12,78 0,51 12,86 0,51 12,93 0,51 13,00 0,50 13,07 0,50 13,33 0,49 13,54 0,48 13,70 0,47 13,83 0,46 13,93 0,46

14,32 0,52 14,42 0,51 14,52 0,51 14,61 0,50 14,69 0,50 14,77 0,49 15,10 0,48 15,35 0,47 15,54 0,46 15,70 0,45 15,83 0,45

16,08 0,51 16,20 0,51 16,32 0,51 16,43 0,50 16,53 0,49 16,62 0,49 17,02 0,47 17,32 0,46 17,56 0,45 17,17 0,45 17,90 0,44

Ejemplo 20.1 – Aplicación del Método del Pórtico Equivalente a una losa en dos direcciones sin vigas Usar el Método del Pórtico Equivalente para determinar los momentos de diseño para el sistema de losa en la dirección ilustrada, para un piso intermedio. Altura de piso = 9 ft Dimensiones de las columnas = 16 × 16 in. Las cargas laterales serán resistidas por muros de cortante No hay vigas de borde

18' - 0"

18' - 0" 2

Peso de los tabiques no estructurales = 20 lb/ft Sobrecarga de servicio = 40 lb/ft2

18' - 0"

f'c = 4000 psi (losas), hormigón de peso normal f'c = 6000 psi (columnas), hormigón de peso normal fy = 60.000 psi

franja de diseño 14' - 0"

14' - 0"

14' - 0"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Diseño preliminar para determinar la altura de la losa, h: a. Control de las flechas. Para un sistema de placas planas, la mínima altura total, h, con armadura Grado 60 es (ver Tabla 18-1):

9.5.3.2

200 = 6, 7 in. 30

Tabla 9.5(a)

pero no menor que 5 in.

9.5.3.2(a)

h=

n

30

=

donde ℓn = longitud de la luz libre en la dirección más larga = 216 – 16 = 200 in. Intentar con una losa de 7 in. para todos los paneles (peso = 87,5 lb/ft2) b. Resistencia al corte de la losa. Usar una altura efectiva promedio, d = 5,75 in. ( recubrimiento de 3/4 in. y barras No. 4) Carga permanente mayorada,

w d = 1, 2 ( 87,5 + 20 ) = 129 lb / ft 2

Sobrecarga mayorada,

w = 1, 6 × 40 = 64 lb / ft 2

Carga total mayorada,

w u = 193 lb / ft 2

20 - 22

9.2.1

Para el corte en una dirección (comportamiento como viga ancha) considerar una franja de 12 in. de ancho a una distancia d medida a partir de la cara del apoyo en la dirección más larga (ver Figura 20-13).

11.12.1.1

Vu = 0,193 × 7,854 = 1,5 kips Vc = 2 f 'c b w d φVc = 0, 75 × 2 4000 × 12 × 5, 75 /1000 = 6, 6 kips > Vu

VERIFICA

9.3.2.3

Como no hay esfuerzos de corte en los ejes de los paneles adyacentes, la resistencia al corte en dos direcciones a una distancia d/2 alrededor del apoyo se calcula de la siguiente manera: Vu = 0,193 (18 × 14 ) − 1,812  = 48, 0 kips Vc = 4 f 'c bo d (para columnas interiores cuadradas)

Ec. (11-35)

= 4 4000 × ( 4 × 21, 75 ) × 5, 75 /1000 = 126, 6 kips φVc = 0, 75 × 126, 6 = 95, 0 kips > Vu

VERIFICA

9.3.2.3

18'- 0"

21,75" 21,75"

14'- 0"

prom. d/2=2,88" 7,854'

prom. d=5,75"

eje del panel

Figura 20-13 – Secciones críticas para el corte correspondientes al problema del Ejemplo

El diseño preliminar indica que una losa de 7 in. es adecuada para controlar las flechas y también para la resistencia al corte. 2. Elementos del pórtico equivalente: Determinar los factores de distribución de momentos y los momentos en los extremos empotrados para los elementos del pórtico equivalente. Para analizar el pórtico parcial utilizaremos el procedimiento de distribución de momentos. Los factores de rigidez, los coeficientes de continuidad (CC) y los coeficientes para los momentos en los extremos empotrados (FEM) se determinan usando las tablas del Apéndice 20-A. A continuación ilustramos estos cálculos. a. Rigidez flexional de las vigas placa en ambos extremos, Ksb.

20 - 23

c N1

=

1

c N2

16 = 0, 07 18 ( ×12 )

=

2

16 = 0,1 14 ( × 12 )

Interpolando a partir de los valores de la Tabla A1 del Apéndice 20A para cF1= cN1 y cF2= cN2: kNF = kFN = 4,13 Por lo tanto, K sb = k NF

E cs Is

= 4,13

1

E cs Is

Tabla A1

1

= 4,13 × 3, 60 × 106 × 4802 / 216 = 331× 106 in.-lb donde Is =

2h

3

12

168 ( 7 )

3

=

12

= 4802 in.4

E cs = 57.000 f 'c = 57.000 4000 = 3, 60 × 106 psi

8.5.1

El coeficiente de continuidad CC = 0,509 (por interpolación entre los valores de la Tabla A1). El momento en el extremo empotrado FEM = 0, 0843w u

2 2 1,

por interpolación en base a la Tabla A1.

b. Rigidez flexional de las columnas en ambos extremos, Kc. En base a la Tabla A7, Apéndice 20A, t a = 3,5 in., t b = 3,5 in. , H = 9 ft = 108 in.; Hc = 101 in.; t a / t b = 1; H / H c = 1, 07

Por lo tanto, por interpolación, k AB = k BA = 4, 74. K c = 4, 74E cc Ic /

Tabla A7

c

= 4, 74 × 4, 42 × 106 × 5461/108 = 1059 × 106 in.-lb

c4 (16 ) = = 5461 in.4 12 12 4

donde Ic =

E cs = 57.000 f 'c = 57.000 6000 = 4, 42 × 106 psi c

8.5.1

= 9 ft = 108 in.

c. Rigidez torsional de los elementos torsionales, Kt. Kt =

=

9E cs C  

R13.7.5

3 2 (1 − c 2 / 2 ) 

9 × 3, 60 × 106 × 13, 25 168 ( 0,905 )

3

= 3, 45 × 106 in.-lb

20 - 24

(

donde C = ∑ (1 − 0, 63 x / y ) x 3 y / 3

)

(

13.0

)

= (1 − 0, 63 × 7 /16 ) 73 × 16 / 3 = 1325 in.4 16"

c 2 = 16 in. y

2

= 14 ft = 168 in.

Elemento torsional 7"

d. Rigidez de la columna equivalente, Kec. K ec =

=

∑ Kc × ∑ K t ∑ Kc + ∑ K t

Condición (a) de la Figura 20-7

( 2 × 1059 )( 2 × 345) ( 2 × 1059 ) + ( 2 × 345 ) 

= 520 × 106 in.-lb

donde

∑ Kt

corresponde a dos elementos torsionales, uno a cada lado de la columna, y

∑ Kc

corresponde a las columnas superior e inferior en la unión de la viga placa en un piso intermedio. e. Factores de distribución FD en la unión de la viga placa.

Kc

En una unión exterior, Kt

331 FD = = 0,389 ( 331 + 520 )

1

1

Kt

En una unión interior, FD =

331 = 0, 280 331 + 331 + 520 ) (

Kc

Coeficiente de continuidad para la viga placa, CC = 0,509

520

520

331

331 331

3. Análisis de pórtico parcial del pórtico equivalente: Determinar los momentos negativos y positivos para las vigas placa usando el método de distribución de momentos. Debido a que la sobrecarga de servicio no es mayor que tres cuartos de la carga permanente de servicio, se asume que los momentos de diseño ocurren en todas las secciones críticas considerando en todas las luces la totalidad de la sobrecarga mayorada.

13.7.6.2

L 40 3 = = 0,37 < D ( 87,5 + 20 ) 4 a. Carga mayorada y momentos en los extremos empotrados. Carga permanente mayorada:

w d = 1, 2 ( 87,5 + 20 ) = 129 lb / ft 2

Ec. (9-2)

Sobrecarga mayorada:

w = 1, 6 ( 40 ) = 64 lb / ft 2

Ec. (9-2)

20 - 25

w u = w d + w = 193 lb / ft 2

Carga total mayorada:

Momentos en los extremos empotrados para las vigas placa, FEM = =

2 2 1

m NF w u

(Tabla A1, Apéndice 20A)

0, 0843 ( 0,193 × 14 )182 = 73,8 ft-kips

b. Distribución de momentos. La Tabla 20-1 muestra los cálculos. Los momentos antihorarios que actúan en los extremos del elemento se consideran positivos. Los momentos de tramo positivos se determinan a partir de la siguiente ecuación: M u ( mitad de la luz ) = M o − ( M uL + M uR ) / 2

(Nota: L, izquierda; R, derecha.)

siendo Mo el momento a la mitad de la luz para una viga simple. Si los momentos en los extremos no son iguales, el máximo momento del tramo no se produce en la mitad de la luz, pero su valor es similar al correspondiente a la mitad de la luz. Momento positivo en el tramo 1-2: + M u = ( 0,193 × 14 )182 / 8 − ( 46,5 + 84, 0 ) / 2 = 44, 2 ft-kips

Momento positivo en el tramo 2-3: + M u = ( 0,193 × 14 )182 / 8 − ( 76,3 + 76,3) / 2 = 33,1 ft-kips

Tabla 20-1 – Distribución de momentos para el pórtico parcial

+

Unión Elemento FD CC FEM MC*

∑

2

1

3

4

1 1-2 0,389 0,509 +73,8 0 +0,21 +0,2

2-1 0,280 0,509 -73,8 -14,6 0 -0,4

2 2-3 0,280 0,509 +73,8 0 -2,1 -0,2

3-2 0,280 0,509 -73,8 0 +2,1 +0,2

3 3-4 0,280 0,509 +73,8 +14,6 0 +0,4

4 4-3 0,389 0,509 -73,8 0 -2,1 -0,2

+76,1

-88,8

+71,5

-71,5

+88,8

-76,1

MD** -29,6 +4,8 +4,8 -4,8 -4,8 +29,6 M. Neg. +46,5 -84,0 +76,3 -76,3 +84,0 -46,5 M en el centro del 44,2 33,1 44,2 tramo Notas: * El momento de continuidad, MC, es el producto negativo entre el factor de distribución, el coeficiente de continuidad y el momento no balanceado de la unión que se transmite al extremo opuesto del tramo. ** El momento distribuido, MD, es el producto negativo entre el factor de distribución y el momento no balanceado de la unión.

20 - 26

4. Momentos de diseño: En la Figura 20-14 se grafican los momentos positivos y negativos mayorados para el sistema de losa en la dirección de análisis. Los momentos de diseño negativos se toman en la cara de los apoyos rectilíneos pero a una distancia no mayor que 0,175ℓ1 a partir de los centros de los apoyos.

13.7.7.1

16in. = 0, 67 ft < 0,175 × 18 = 3, 2 ft (Usar la ubicación de la cara del apoyo) 2 1

w u = 0,193 x 14 = 2,70 klf

3

2

18'-0"

18'-0"

44,2 33,1

46,5 76,3 84,0 MOMENTOS DEL PÓRTICO (ft-kips) 24,3 22,5 20,4

22,2

8,22'

76,3

26,4

22,5 26,4 CORTES DEL PÓRTICO (kips)

24,3

24,6 44,2

84,0

33,1

32,3 67,0

60,8

60,8

67,0

MOMENTOS DEL PÓRTICO (ft-kips)

Figura 20-14 – Momentos de diseño positivos y negativos para la viga placa (Todos los tramos cargados con la totalidad de la sobrecarga mayorada)

5. Momento total mayorado por tramo: En los sistemas de losa comprendidos dentro de las limitaciones del artículo 13.6.1 los momentos resultantes se pueden reducir en una proporción tal que no sea necesario que la sumatoria numérica de los momentos positivos y el promedio del momento negativo sea mayor que: Mo =

wu

2 2 n

8

= 0,193 × 14 × (16, 67 ) / 8 = 93,9 ft-kips 2

20 - 27

13.7.7.4

Tramos finales:

44, 2 + ( 32,3 + 67, 0 ) / 2 = 93,9 ft-kips

Tramo interior:

33,1 + ( 60,8 + 60,8 ) / 2 = 93,9 ft-kips

Se puede observar que con los momentos de diseño totales obtenidos aplicando el Método del Pórtico Equivalente se obtiene un momento estático igual al dado por la expresión para momento estático usada con el Método de Diseño Directo. 6. Distribución de los momentos de diseño en las franjas de la viga placa:

13.7.7.5

Los momentos mayorados negativos y positivos en las secciones críticas se pueden distribuir a la franja de columna y las dos semifranjas intermedias de la viga placa de acuerdo con las proporciones especificadas en los artículos 13.6.4 y 13.6.6. El requisito del artículo 13.6.1.6 no se aplica en el caso de sistemas de losa sin vigas, α = 0. En la Tabla 20-2 se resume la distribución de los momentos mayorados en las secciones críticas. Tabla 20-2 – Distribución de los momentos mayorados Momento mayorado (ft-kips)

Franja de columna Porcentaje* Momento (ft-kips)

Momento (ft-kips) en dos semifranjas intermedias**

Tramo final: Exterior negativo Positivo Interior negativo

32,3 44,2 67,0

100 60 75

32,3 26,5 50,3

0,0 17,7 16,7

Tramo interior: Negativo Positivo

60,8 33,1

75 60

45,6 19,9

15,2 13,2

* Para sistemas de losas sin vigas ** La porción del momento mayorado que no es resistido por la franja de columna se asigna a las dos semifranjas intermedias.

7. Momentos en las columnas: El momento no balanceado de las vigas placa en los apoyos del pórtico equivalente se distribuye a las columnas reales por encima y por debajo de la viga placa de forma proporcional a las rigideces relativas de las columnas. En base a la Figura 20-14, los momentos no balanceados en las uniones 1 y 2 son: Unión 1 = + 46,5 ft-kips Unión 2 = – 84,0 + 76,3 = – 7,7 ft-kips En la Figura 20-15 se muestran las rigideces y los coeficientes de continuidad de las columnas reales, junto con la distribución de los momentos no balanceados a las columnas exteriores e interiores. Los momentos de diseño para las columnas se pueden tomar en la confluencia de la columna y la losa. Resumiendo: Momento de diseño en una columna exterior = 22,08 ft-kips Momento de diseño en una columna interior = 3,66 ft-kips

20 - 28

12,83

Eje de la losa

Parte sup. de la losa

22,08 CC = 0,552 K c = 1059 CC = 0,552 K c = 1059

2,13

3,66

3,66

3,85

23,25 Fondo de la losa

9'-0"

23,25 3,85

7"

9'-0"

22,08

Eje 12,83

2,13

COLUMNA EXTERIOR

COLUMNA INTERIOR

Figura 20-15 – Momentos en las columnas (Momentos no balanceados de la viga placa)

8. Verificar la resistencia a flexión de la losa y la resistencia al corte en una columna exterior a. Armadura total de flexión requerida para la franja de diseño: i. Determinar la armadura requerida para el momento de la franja de columna Mu = 32,3 ft-kips Suponer que se trata de una sección controlada por la tracción (φ = 0,9) Ancho de la franja de columna b =

Ru =

ρ=

=

Mu φbd

2

0,85f 'c fy

=

32,3 × 12.000 0,9 × 84 × 5, 752

 2R u 1 − 1 − 0,85f 'c 

14 × 12 = 84 in. 2

9.3.2.1 13.2.1

= 155 psi

  

0,85 × 4  2 × 155   1 − 1 −  = 0, 0026 60  0,85 × 4000 

As = ρbd = 0, 0026 × 84 × 5, 75 = 1, 28 in.2 ρmin = 0, 0018

13.3.1

Min As = 0, 0018 × 84 × 7 = 1, 06 in.2 < 1, 28 in.2

Número de barras No. 4 =

1, 28 = 6, 4 (consideramos 7 barras) 0, 2

Separación máxima s max = 2h = 14 in. < 18 in.

13.3.2

20 - 29

c=

a 0, 29 = = 0,34 in. β1 0,85

 0, 003  εt =   d t − 0, 003  c   0, 003  =  5, 75 − 0, 003 = 0, 048 > 0, 005  0,34 

Por lo tanto, la sección es controlada por tracción.

10.3.4

En la franja de columna usar 7 barras No. 4. ii. Verificar la armadura de la losa en la columna exterior para transferencia de momento entre la losa y la columna: Porción del momento no balanceado transferido por flexión = γ f M u

13.5.3.2

De la Figura 16-13, Caso C: b1 = c1 +

d 5, 75 = 16 + = 18,88 in. 2 2

b 2 = c 2 + d = 16 + 5, 75 = 21, 75 in. γf =

=

1

Ec. (13-1)

1 + ( 2 / 3) b1 / b 2 1 1 + ( 2 / 3) 18,88 / 21, 75

= 0, 62

γ f M u = 0, 62 × 32,3 = 20, 0 ft-kips

Observar que se pueden utilizar los requisitos del artículo 13.5.3.3; sin embargo, en este ejemplo no los utilizamos. Suponiendo que el comportamiento es controlado por la tracción, determinar el área de armadura requerida para γ f M u = 20,0 ft-kips Ancho efectivo de la losa b = c 2 + 3h = 16 + 3 ( 7 ) = 37 in. Ru =

ρ=

Mu φbd

2

=

20 × 12.000 0,9 × 37 × 5, 752

= 218 psi

 2R u   1 − 1 −  0,85f 'c   0,85 × 4  2 × 218  =  1 − 1 −  = 0, 0038 60  0,85 × 4000 

0,85f 'c fy

20 - 30

13.5.3.2

As = 0, 0038 × 37 × 5, 75 = 0,80 in.2 Min. As = 0, 0018 × 37 × 7 = 0, 47 in.2 < 0,80 in.2

Número de barras No. 4 =

13.3.1

0,80 =4 0, 2

Verificar si la sección es controlada por la tracción: a=

c=

As f y 0,85f 'c b

=

( 4 × 0, 2 ) × 60 0,85 × 4 × 37

= 0,38 in.

a 0,38 = = 0, 45 in. β1 0,85

 0, 003  εt =   5, 75 − 0, 003 = 0, 035 > 0, 005  0, 45 

Por lo tanto, la sección es controlada por la tracción.

10.3.4

Proveer las 4 barras No. 4 requeridas concentrando 4 de las barras de la franja de columna (7 barras No. 4) en un ancho de losa de 37 in. sobre la columna. Por motivos de simetría agregar una barra No. 4 adicional fuera del ancho de 37 in. Observar que la sección de la franja de columna continúa siendo controlada por la tracción, aún con la adición de una barra No. 4. A continuación se ilustran los detalles de armado correspondientes a una columna de borde. Franja de columna - 7"-0" 3'-1"

5'-0"

1'-4"

2 No.4 a 12"

4 No.4 a 9"

20 - 31

2 No.4 a 12"

iii. Determinar la armadura requerida para la franja intermedia. Proveer armadura mínima, ya que Mu = 0 (Ver Tabla 20-2) Min. A s = 0, 0018 × 84 × 7 = 1, 06 in.2

Separación máxima s mas = 2h = 14 in. < 18 in.

13.3.2

En la franja intermedia colocar barras No. 4 con una separación de 14 in. b. Verificar la tensión de corte combinada en la cara interna de la sección crítica de transferencia.

11.12.6.1

Las ecuaciones para la resistencia al corte se presentan en la el Capítulo 16 de este documento. Vu =

Vu γ v M u + Ac J/C

Del Ejemplo 19.1: Vu = 25, 6 kips Si los momentos mayorados se determinan mediante un método de análisis de pórtico exacto, tal como el Método del Pórtico Equivalente, el momento no balanceado se toma directamente de los resultados del análisis de pórtico. Además, considerando la naturaleza aproximada del procedimiento de análisis de la transferencia de momentos, se asume que el momento no balanceado Mu actúa en el baricentro de la sección crítica de transferencia. Por lo tanto, M u = 32,3 ft-kips (Ver Tabla 20-2) γ v = 1 − γ f = 1 − 0, 62 = 0,38

Ec. (11-39)

Del Ejemplo 19.1, las propiedades de la sección crítica son: A c = 342, 2 in.2 J / c = 2356 in.3 vu =

25.600 0,38 × 32,3 × 12.000 + 342, 2 2357

= 74,8 + 62,5 = 137,3 psi

Tensión de corte admisible φv n = φ4 f 'c = 189, 7 psi > v u

20 - 32

VERIFICA

11.12.6.2

Ejemplo 20.2 – Aplicación del Método del Pórtico Equivalente a una losa en dos direcciones con vigas Usando el método del Pórtico Equivalente, determinar los momento de diseño para el siguiente sistema de losa en la dirección ilustrada, para un piso intermedio.

17'- 6"

N

17'- 6"

E

W

17'- 6"

S

Franja de diseño 22' - 0"

22' - 0"

Altura de piso = 12 ft Dimensiones de las vigas de borde = 14 × 27 in. Dimensiones de las vigas interiores = 14 × 20 in. Dimensiones de las columnas = 18 × 18 in. Sobrecarga de servicio = 100 lb/ft2 f'c = 4000 psi (para todos los elementos), hormigón de peso normal fy = 60.000 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Diseño preliminar para determinar la altura de la losa, h: Control de las flechas:

9.5.3.3

Del Ejemplo 19.2, las relaciones entre las rigideces flexionales de las vigas y las losas, α, son: α = 13,30 (viga de borde NS) = 16,45 (viga de borde EW) = 3,16 (viga interior NS) = 3,98 (viga interior EW) Debido a que todos los valores de α > 2,0 (ver Figura 8-2), la Ecuación (9-3) será determinante. Por lo tanto,

20 - 33

h=

=

n

( 0,8 + f y / 200.000 )

Ec. (9-12)

36 + 9β

246 ( 0,8 + 60.000 / 200.000 ) 36 + 9 (1, 28 )

= 5, 7 in.

donde ℓn = luz libre en la dirección mayor = 20,5 ft = 246 in. β=

luz libre en la dirección más larga 20,5 = = 1, 28 luz libre en la dirección más corta 16, 0

Usar una losa de 6 in. de espesor. 2. Elementos del pórtico equivalente. Determinar las constantes de distribución de momentos y los coeficientes para los momentos en los extremos empotrados para los elementos del pórtico equivalente. Para analizar el pórtico parcial bajo cargas verticales se utilizará el procedimiento de distribución de momentos. Los factores de rigidez, k, los coeficientes de continuidad, CC, y los factores para momento en los extremos empotrados, FEM, para las vigas placas y las columnas se determinan usando las tablas del Apéndice 20-A. A continuación presentamos estos cálculos. a. Vigas placas, rigidez flexional en ambos extremos Ksb: C N1

=

18 = 0, 0857 ≈ 0,1 17,5 × 12

=

18 = 0, 0682 22 × 12

1

c N2 2

En base a la Tabla A1 del Apéndice 20A: K sb =

4,11 E c Isb

= 4,11× 25.387 E c / (17,5 × 12 ) = 497 E c

1

donde Isb es el momento de inercia de la sección de viga placa ilustrada en la Figura 20-16 y calculada con ayuda de la Figura 20-21 incluida al final de este Ejemplo. 2

= 22' = 264" 6" 14"

Eje del panel

14"

Eje del panel

Figura 20-16 – Sección transversal de la viga placa

(

)

Isb = 2, 72 14 × 203 /12 = 25.387 in.4

Coeficiente de continuidad CC = 0,507 20 - 34

Momento en el extremo empotrado, FEM = 0, 0842w u

2 2 1

b. Rigidez flexional de las columnas, Kc: t a = 17 in., t b = 3 in., t a / t b = 5, 67

H = 12 ft = 144 in., H c = 144 – 17 – 3 = 124 in. Para las columnas interiores H / H c = 1,16 t a = 24 in., t b = 3 in., t a / t b = 8, 0

H = 12 ft = 144 in., H c = 144 – 24 – 3 = 117 in. Para las columnas exteriores H / H c = 1, 23 En base a la Tabla A7 del Apéndice 20A, Para las columnas interiores: K ct =

6,82 E c Ic

=

6,82 × 8748 E c = 414 E c 144

=

4,99 × 8748 E c = 303 E c 144

c

K cb =

4,99 E c Ic c

Para las columnas exteriores: K ct =

8,57 E c Ic

=

8,57 × 8748 E c = 512 E c 144

=

5,31× 8748 E c = 323 E c 144

c

K cb =

5,31 E c Ic c

donde Ic = c

( c )4 (18)4 12

=

12

= 8748in.4

= 12 ft = 144 in.

c. Rigidez torsional de los elementos torsionales, Kt: 9 EcC

Kt = 2

R13.7.5

(1 − c2 / 2 )3

(

donde C = ∑ (1 − 0, 63 x / y ) x 3 y / 3

)

13.0

Para las columnas interiores:

20 - 35

3 K t = 9 E c × 11.689 /  264 ( 0,932 )  = 493 E c  

donde 1 −

c2 2

= 1−

18 = 0,932 ( 22 ×12 )

C se toma como el mayor de los valores calculados con ayuda de la Tabla 19-2 para el elemento torsional ilustrado en la Figura 20-17. x1 = 14 in.

x 2 = 6 in.

x1 = 14 in.

x 2 = 6 in.

y1 = 14 in. C1 = 4738

y 2 = 42 in. C2 = 2752

y1 = 20 in. C1 = 10.226

y 2 = 14 in. C2 = 736

∑ C = 4738 + 2752 = 7490 in.4

∑ C = 10.226 + 736 × 2 = 11.698 in.4 b w + 2h w < b w + 8h f

42"

h f = 6" h w = 14" bw 14"

elemento torsional

Figura 20-17 – Unión de un elemento torsional en una columna interior

Para las columnas exteriores: 3 K t = 9 E c × 17.868 /  264 ( 0,932 )  = 752 E c  

donde C se calcula como el mayor de los valores calculados con ayuda de la Tabla 19-2 para el elemento torsional ilustrado en la Figura 20-18. x1 = 14 in.

x 2 = 6 in.

x1 = 14 in.

x 2 = 6 in.

y1 = 21 in.

y 2 = 35 in.

y1 = 27 in.

y 2 = 21 in.

C1 = 11.141

C2 = 2248

C1 = 16.628

C2 = 1240

∑ C = 11.141 + 2248 = 13.389 in.

4

∑ C = 16.628 + 1240 = 17.868 in.4

20 - 36

21"(hw< 4h f) h f = 6" h w = 21" elemento torsional

14"

Figura 20-18 – Unión de un elemento torsional en una columna exterior

d. Rigidez torsional mayorada, Kta, debido a las vigas paralelas: Para las columnas interiores: K ta =

K t Isb 493 E c × 25.387 = = 2634 E c Is 4752

Para las columnas exteriores:

K ta =

752 E c × 25.387 = 4017 E c 4572

donde Is = momento de inercia de la sección de losa ilustrada en la Figura 20-19. = 264 ( 6 ) /12 = 4752 in.4 3

Isb = momento de inercia de la totalidad de la sección T ilustrada en la Figura 20-19 y calculado con ayuda de la Figura 20-21.

(

)

= 2, 72 14 × 203 /12 = 25.387 in.4 Eje del panel

Eje del panel

2 = 22' = 264" 6" 14" 14"

viga paralela

Figura 20-19 – Viga placa en la dirección de análisis

20 - 37

e. Rigidez de la columna equivalente, K ec : K ec =

∑ K c × ∑ K ta ∑ K c + ∑ K ta

donde

∑ K ta

corresponde a dos elementos torsionales, uno a cada lado de la columna, y

∑ Kc

corresponde a las columnas superior e inferior en la unión de la viga placa en un piso intermedio. Kc

Para las columnas interiores: K ec =

( 303 Ec + 414 Ec )( 2 × 2634 Ec )

( 303 Ec + 414 Ec ) + ( 2 × 2634 E c )

= 631 E c

1

K ta

Para las columnas exteriores: K ec =

K ta

1

( 323 Ec + 521 Ec )( 2 × 4017 Ec ) = 764 E c ( 323 Ec + 521 Ec ) + ( 2 × 4017 Ec )

Kc

f. Factores de distribución para la unión de la viga placa, FD: En la unión exterior: FD =

497 E c = 0,394 497 E ( c + 764 E c )

En la unión interior: FD =

497 E c = 0,306 ( 497 E c + 497 Ec + 631 Ec )

Coeficiente de continuidad para la viga placa CC = 0,507 3. Análisis de pórtico parcial del pórtico equivalente. Determinar los máximos momentos negativos y positivos para las vigas placa usando el método de distribución de momentos. Como la relación entre la sobrecarga y la carga permanente es igual a: L 100 3 = = 1,33 > D 75 4

el pórtico se analizará para cinco condiciones de carga con las distribuciones de cargas y sobrecargas parciales de acuerdo con lo permitido por el artículo 13.7.6.3 (la Figura 20-9 ilustra las cinco distribuciones de cargas consideradas). a. Cargas mayoradas y momentos en los extremos empotrados: Carga permanente mayorada, w d = 1, 2 ( 75 + 9,3) = 101 lb / ft 2

20 - 38

13.7.6.3

 14 × 14 150 × = 9,3 lb / ft 2 es el peso por pie de longitud del alma de la viga dividido por  144 22 

2

  

Sobrecarga mayorada, w = 1, 6 (100 ) = 160 lb / ft 2 Carga mayorada, w u = w d + w = 261 lb / ft 2 - Momentos en los extremos empotrados, FEM: 2 2 1

FEM para las vigas placa

= m NF w u

FEM debido a w d + w

= 0, 0842 ( 0, 261× 22 )17,52 = 148,1 ft-kips

FEM debido a w d + 3 / 4w

= 0, 0842 ( 0, 221× 22 )17,52 = 125, 4 ft-kips

FEM debido sólo a w d

= 0, 0842 ( 0,101× 22 )17,52 = 57,3 ft-kips

(Tabla A1, Apéndice 20A)

b. La Tabla 20-3 indica la distribución de momentos para las cinco condiciones de carga. Los momentos antihorarios que actúan en los extremos del elemento se consideran positivos. Los momentos de tramo positivos se determinan a partir de la siguiente ecuación: M u ( mitad de la luz ) = M o − ( M uL + M uR ) / 2

(Nota: L, izquierda; R, derecha.)

siendo Mo el momento a la mitad de la luz para una viga simple. Si los momentos en los extremos no son iguales, el máximo momento del tramo no se produce en la mitad de la luz, pero su valor es similar al correspondiente a la mitad de la luz. Momento positivo en el tramo 1-2 para la condición de carga (1): + M u = ( 0, 261× 22 )17,52 / 8 − ( 93,1 + 167, 7 ) / 2 = 89, 4 ft-kips

Los siguientes valores de momento para las vigas placa se obtienen de la Tabla 20-3. Observar que, de acuerdo con el artículo 13.7.6.3, los momentos de diseño no se debeán tomar menores que aquellos que se producen cuando en todos los tramos actúa la totalidad de la sobrecarga mayorada. Máximo momento positivo en el tramo final: = mayor valor entre 89,4 y 83,3 = 89,4 ft-kips Máximo momento positivo en un tramo interior:* = mayor valor entre 66,2 y 71,3 = 71,3 ft-kips Máximo momento negativo en el apoyo extremo: = mayor valor entre 93,1 y 86,7 = 93,1 ft-kips

*

Este es el único momento determinado por la condición de carga con sobrecarga parcial. Los demás momentos máximos se producen con la totalidad de la sobrecarga mayorada actuando en todos los tramos.

20 - 39

Máximo momento negativo en el apoyo interior de un tramo final: = mayor valor entre 167,7 y 145,6 = 167, 7ft-kips Máximo momento negativo en el apoyo interior de un tramo interior: = mayor valor entre 153,6 y 139,2 = 153,6 7ft-kips 4. Momentos de diseño. En la Figura 20-20 se grafican los momentos positivos y negativos mayorados para el sistema de losa en su dirección transversal. Los momentos negativos mayorados se toman en la cara de los apoyos rectilíneos a una distancia no mayor que 0,175ℓ1 a partir de los centros de los apoyos.

13.7.7.1

18 in. = 0, 75 ft < 0,175 × 17,5 = 3,1 ft (Usar la ubicación de la cara del apoyo) 2

Tabla 20-3 – Distribución de momentos para el pórtico parcial (Dirección transversal)

+ Unión Elemento FD CC

2

1

1 1-2 0,394 0,507

3

4

2 2-1 0,306 0,507

3 2-3 0,306 0,507

3-2 0,306 0,507

4 4-3 0,394 0,507

3-4 0,306 0,507

(1) Todos los tramos cargados con la totalidad de la sobrecarga mayorada CEF† MC* MC MC MC ∑

+148,1 +4,6 +0,7 +0,3 +153,7

MD** Total

+60,6 +93,1

-148,1 -29,6

+148,1

-148,1

+148,1 +29,6

-148,1

-0,9 -0,2 -178,8

-4,6 -0,7 -0,3 +142,5

+4,6 +0,7 +0,3 -142,5

+0,9 +0,2 +178,8

-4,6 -0,7 -0,3 -153,7

+11,1 -167,7

+11,1 +153,6

-11,1 -153,6

-11,1 +167,7

-60,6 -93,1

(2) Primer y tercer tramos cargados con 3/4 de la sobrecarga mayorada CEF† MC* MC MC MC ∑

+125,4 +10,6 +5,5 +1,2 +0,4 +143,1

-125,4 -25,1 +2,1 -1,1 -0,3 -154,0

+57,3 -10,6 -5,5 -1,2 -0,4 +39,6

-57,3 +10,6 +5,5 +1,2 +0,4 -39,6

+125,4 +25,1 +2,1 +1,1 +0,3 +154,0

-125,4 -10,6 -5,5 -1,2 -0,4 -143,1

MD** Total M a mitad de la luz

-56,4 +86,7

+35,0 -119,0

+35,0 +74,6

-35,0 -74,6

-35,0 +119,0

+56,4 -86,7

83,3

83,3

20 - 40

(3) Tramo central cargado con 3/4 de la sobrecarga mayorada CEF† MC* MC MC ∑ MD**

+57,3 -10,6 +0,3 -0,3 +46,7 -18,4

-57,3 -11,5 +2,1 -0,1 -66,8 -21,2

+125,4 +10,6 +0,3 -0,3 +136,0 +21,2

Total M a mitad de la luz

+28,3

-88,0

+114,8

-125,4 -10,6 +0,3 -0,3 -130,6 +21,2

+57,3 +11,5 -2,1 +0,1 +66,8 +21,2

-57,3 +10,6 -0,3 +0,3 -46,7 +18,4

-114,8

+88,0

-28,3

71,3

(4) Primer tramo cargado con 3/4 de la sobrecarga mayorada, y viga placa supuesta empotrada en el apoyo ubicado a dos luces de distancia CEF† MC* MC MC ∑ MD**

+125,4 +10,6 +3,9 +0,3 +140,2 -55,2

-125,4 -25,1 -2,1 -0,8 -153,4 +29,4

+57,3 +29,4

Total

+85,0

-124,0

+86,7

+57,3

-57,3 +10,6 +3,9 +0,3

-42,5

(5) Primer y segundo tramos cargados con 3/4 de la sobrecarga mayorada CEF† MC* MC MC ∑ MD**

+125,4 +2,3 +0,3 +128,0 -50,4

Total

+77,6

-125,4 25,1 -0,2 -150,7 +5,1

+125,4 +10,6 -1,8 -0,1 +134,1 +5,1

-145,6

+139,2

-125,4 +2,3 +0,3 -122,8 +5,1

+57,3 +11,5 -2,1 +0,4 +67,1 +17,0

-57,3 +10,6 -1,8 -0,1 -48,6 +19,2

-105,8

+84,1

-29,4

Notas: * El momento de continuidad, MC, es el producto negativo entre el factor de distribución, el coeficiente de continuidad y el momento no balanceado de la unión que se transfiere al extremo opuesto del tramo. ** El momento distribuido, MD, es el producto negativo entre el factor de distribución y el momento no balanceado de la unión. † CEF: Coeficiente para los momentos en los extremos empotrados.

5. Momento total mayorado por tramo.

13.7.7.4

En los sistemas de losa comprendidos dentro de las limitaciones del artículo 13.6.1 los momentos resultantes se pueden reducir en una proporción tal que la sumatoria numérica de los momentos positivos y el promedio del momento negativo no sea mayor que el momento estático total Mo dado por la Ec. (13-3). Verificamos las limitaciones del artículo 13.6.1.6 sobre la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares. Para un panel interior (Ver el Ejemplo 19.2): 2 2 α 2 12

α1

=

316 ( 22 )

2

3,98 (17,5 )

2

= 1, 25

13.6.1.6

20 - 41

0, 2 < 1, 25 < 5, 0

VERIFICA

Para un panel exterior (Ver el Ejemplo 19.2): 316 ( 22 )

2

16, 45 (17,5 )

2

= 0,30

0, 2 < 0,30 < 5, 0

VERIFICA 1

2

3

w = 0,261 x 22 = 5,74 klf 17'-6"

17'-6"

89,4

71,3*

* Tramo cargado con 3/4 de la sobrecarga de diseño

93,1 153,6

167,7

153,6

167,7

MOMENTOS DEL PÓRTICO (ft-kips) 89,4 71,3*

60,2 117,6

128,4

117,6

128,4

MOMENTOS DE DISEÑO (ft-kips)

Figura 20-20 – Momentos de diseño positivos y negativos para la viga placa (Todos los tramos cargados con la totalidad de la sobrecarga mayorada, a excepción de los indicados)

Se satisfacen todas las limitaciones del artículo 13.6.1, y se pueden aplicar los requisitos del artículo 13.7.7.4. Mo =

wu

2 2 n

8

=

0, 261× 22 × 162 = 183, 7 ft-kips 8

Ec. (13-3)

Tramo final: 89,4 + (60,2 + 128,4) / 2 = 183,7 ft-kips Tramo interior: 71,3 + (117,6 + 117,6) / 2 = 188,9 ft-kips Para ilustrar el procedimiento correcto, podemos reducir los momentos mayorados de los tramos interiores de la siguiente manera: Reducción admisible = 183,7 / 188,9 = 0,9725 20 - 42

Momento de diseño negativo reducido

= 117,6 × 0,9725 = 114,4 ft-kips

Momento de diseño positivo reducido

= 71,3 × 0,9725 = 69,3 ft-kips Mo = 183,7 ft-kips

6. Distribución de los momentos de diseño en las franjas de la viga placa:

13.7.7.5

Los momentos mayorados negativos y positivos en las secciones críticas se pueden distribuir a la franja de columna, la viga y las dos semifranjas intermedias de la viga placa, de acuerdo con las proporciones especificadas en los artículos 13.6.4, 13.6.5 y 13.6.6 siempre que se satisfaga el requisito del artículo 13.6.1.6. a. Debido a que las rigideces relativas de las vigas están comprendidas entre 0,2 y 5,0 (ver el paso No. 5), los momentos se pueden distribuir como se especifica en los artículos 13.6.4, 13.6.5 y 13.6.6. b. Distribución de los momentos mayorados en la sección crítica: 2

=

22 = 1, 257 17,5

2

= 3,16 × 1, 257 = 3,97

1

α1 1

βt =

C 17.868 = = 1,88 2Is ( 2 × 4752 )

donde Is =

22 × 12 × 63 = 4752 in.4 12

C = 17.868 in.4 (Ver Figura 22-18)

En la Tabla 20-4 se resumen los momentos mayorados en las secciones críticas. Tabla 20-4 – Distribución de los momentos de diseño Momento mayorado (ft-kips)

Franja de columna Porcentaje* Momento (ft-kips)

Momento (ft-kips) en dos semifranjas intermedias**

Tramo final: Exterior negativo Positivo Interior negativo

60,2 89,4 128,4

75 67 67

45,2 59,9 86,0

15,0 29,5 42,4

Tramo interior: Negativo Positivo

117,6 71,3

67 67

78,8 47,8

38,8 23,5

*

Debido a que α1ℓ2/ℓ1 > 1,0 las vigas se deben dimensionar para resistir 85% del momento de la franja de columna (13.6.5.1) ** La porción del momento mayorado que no es resistido por la franja de columna se asigna a las dos semifranjas intermedias.

7. Los cálculos correspondientes al corte en las vigas y la losa se presentan en el Ejemplo 19.2 del Capítulo 19. 20 - 43

3,0 Relación B = h f /h

0,4 5 0,3

0 ,2

0,3 5 0, 1 0,1

Coeficiente, Ct

2,5

2,0

I b = C t (b w h3/12) siendo 2 C t = 1 + (A-1) B 3 + 3(1-B) B (A-1) 1 + B (A-1)

1,5

b

h

hf

bw 1,0 1

5

10

15

Relación A = b/b w

Figura 20-21 – Coeficiente Ct para el momento de inercia bruto de las secciones con alas (Ala a uno o ambos lados)

20 - 44

20

21 Tabiques

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 A fin de eliminar la confusión entre el factor de resistencia φ y el factor de rigidez, en las Ecuaciones (14-5) y (14-6) el factor de rigidez (φ) se reemplazó por su valor numérico de 0,75.

14.1

CAMPO DE VALIDEZ

El Capítulo 14 contiene requisitos para el diseño de tabiques solicitados a carga axial, con o sin flexión (14.1.1). Los muros de contención en voladizo que tienen armadura horizontal mínima de acuerdo con el artículo 14.3.3 se diseñan de acuerdo con los requisitos para el diseño a flexión del Capítulo 10 del Código (14.1.2).

14.2

REQUISITOS GENERALES

De acuerdo con el artículo 14.2.2, los tabiques se deben diseñar de acuerdo con los requisitos de los artículos 14.2, 14.3 y ya sea 14.5 ó 14.8. El artículo 14.4 contiene requisitos para los tabiques que se diseñan como elementos comprimidos usando los requisitos de diseño por resistencia para flexión y carga axial del Capítulo 10 del Código. Con este método se puede diseñar cualquier tabique, y no se especifican espesores mínimos. El artículo 14.5 contiene el Método de Diseño Empírico que se aplica a los tabiques de sección rectangular llena siempre que en todas las secciones a lo largo de la altura del tabique las cargas resultantes de todas las combinaciones de cargas aplicables estén ubicadas dentro del tercio central del espesor total del tabique. El artículo 14.5.3 contiene espesores mínimos para los tabiques diseñados por este método. Los tabiques de sección no rectangular se deben diseñar aplicando los requisitos del artículo 14.4 ó, si corresponde, del artículo 14.8. La sección 14.8 contiene los requisitos correspondientes al Método de Diseño Alternativo, los cuales se aplican a los elementos simplemente apoyados, con carga axial, solicitados por cargas transversales uniformes que actúan fuera del plano del tabique, con momentos y flechas máximas en la mitad de la altura. Además, la sección transversal debe ser constante en toda la altura del tabique. Para los tabiques diseñados por este método no se especifican espesores mínimos. Todos los tabiques se deben diseñar para los efectos de los esfuerzos de corte. El artículo 14.2.3 requiere que el diseño al corte se realice de acuerdo con 11.10, el requisito de corte especial para tabiques. Es posible que la armadura de corte requerida sea mayor que la armadura mínima para el tabique indicada en 14.3.

Para un tabique solicitado por una serie de cargas puntuales, la longitud horizontal de tabique que se considera efectiva para cada carga concentrada es la menor distancia entre los centros de las cargas o bien el ancho del apoyo más cuatro veces el espesor del tabique (14.2.4). Las columnas construidas monolíticamente con tabiques deben satisfacer los requisitos establecidos en el artículo 10.8.2 (14.2.5). Los tabiques se deben anclar correctamente a todos los elementos que los intersecan, tales como entrepisos, columnas, otros tabiques y zapatas (14.2.6). La sección 15.8 contiene los requisitos para la transmisión de esfuerzos entre un tabique y una zapata. Observar que para los tabiques hormigonados en obra el área de armadura requerida a través de la superficie de contacto no debe ser menor que la armadura vertical mínima indicada en el artículo 14.3.2 (15.8.2.2).

14.3

ARMADURA MÍNIMA

Los requisitos de armadura mínima se aplican a los tabiques diseñados de acuerdo con los artículos 14.4, 14.5 ó 14.8, a menos que de acuerdo con el artículo 11.10.9 se requiera una mayor cantidad de armadura para resistir las fuerzas horizontales de corte que actúan en el plano del tabique. Loa tabiques deben contener tanto armadura vertical como armadura horizontal. La cuantía mínima de armadura vertical (relación entre el área de la armadura vertical y el área bruta de hormigón) es: (1) 0,0012 para las barras conformadas no mayores que las barras No. 5 con fy ≥ 60.000 psi, o para malla de acero soldada (de alambres lisos o conformados) no mayor que W31 ó D31; ó (2) 0,0015 para todas las demás barras conformadas (14.3.2). La cuantía mínima de armadura horizontal es (1) 0,0020 para las barras conformadas no mayores que las barras No. 5 con fy ≥ 60.000 psi, o para malla de acero soldada (de alambres lisos o conformados) no mayor que W31 ó D31; ó (2) 0,0025 para todas las demás barras conformadas (14.3.3). La armadura mínima requerida por el artículo 14.3 se dispone principalmente para controlar la fisuración provocada por la contracción y las tensiones de origen térmico. Además, la armadura vertical mínima requerida por el artículo 14.3.2 no aumenta sustancialmente la resistencia de un tabique por encima de la correspondiente a un tabique de hormigón simple o sin armar. Se debe observar que los requisitos de armadura y espesor mínimo de los artículos 14.3 y 14.5.3 se pueden obviar si se demuestra mediante un análisis estructural que la resistencia y estabilidad del tabique son adecuadas (14.2.7). Un diseño puede satisfacer esta condición aplicando los requisitos para hormigón simple estructural dados en el Capítulo 22 del Código. En los tabiques de más de 10 in. de espesor, a excepción de los tabiques enterrados, la armadura en cada dirección se debe ubicar en dos capas (14.3.4). La separación de la armadura vertical y horizontal no debe ser mayor que 18 in. ni mayor que tres veces el espesor del tabique (14.3.5). De acuerdo con el artículo 14.3.6, no se requieren estribos cerrados laterales siempre que la armadura vertical no se requiera como armadura de compresión o que el área de armadura vertical no sea mayor que 0,01 veces el área bruta de hormigón. Alrededor de las aberturas para ventanas y puertas se deben colocar como mínimo dos barras No. 5. Estas barras se deben prolongar más allá de las esquinas de las aberturas en una distancia mayor que la longitud de desarrollo de la barra o mayor que 24 in. (14.3.7).

14.4

TABIQUES DISEÑADOS COMO ELEMENTOS COMPRIMIDOS

Cuando no se satisfacen las limitaciones indicadas en 14.5 ó 14.8, los tabiques se deben diseñar como elementos comprimidos, usando los requisitos para diseño por resistencia especificados en el Capítulo 10 del Código para flexión y cargas axiales. Los requisitos de armadura mínima de 14.3 se aplican a los tabiques diseñados por este método. No es necesario encerrar la armadura vertical con estribos cerrados laterales (como en las columnas) cuando se satisfacen los requisitos del Artículo 14.3.6. Todos los demás requisitos del código referidos a los elementos comprimidos se aplican también a los tabiques diseñados de acuerdo con el Capítulo 10. Como ocurre en el caso de las columnas, en general resulta difícil diseñar un tabique sin ayudas para el diseño. El diseño de un tabique se complica aún más si tenemos en cuenta el hecho de que prácticamente en todos los casos se debe considerar la 21 - 2

esbeltez. En el Artículo 10.10.1 se especifica un análisis de segundo orden, el cual toma en cuenta la variabilidad de la rigidez del tabique, así como los efectos de la curvatura del elemento y el desplazamiento lateral, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta, y la interacción con las fundaciones. Como alternativa a este procedimiento también se puede utilizar la evaluación aproximada de los efectos de la esbeltez indicada en el artículo 10.11 (10.10.2). Es importante observar que las Ecuaciones (10-11) y (10-12), que se utilizan para calcular EI en el método de esbeltez aproximado, no fueron desarrolladas originalmente para elementos con una sola capa de armadura. Para calcular EI en el caso de elementos con una sola capa de armadura la Referencia 21.2 sugiere la siguiente expresión: EI =

E c Ig  E c Ig e  0,5 −  ≥ 0,1 β  h β ≤ 0, 4

Ec. (1)

E c Ig β

donde E c = módulo de elasticidad del hormigón Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón respecto del eje baricéntrico, despreciando la armadura

e = excentricidad de las cargas axiales y fuerzas laterales para todas las combinaciones de cargas aplicables h = espesor total del tabique β =

0,9 + 0,5 βd2 − 12ρ ≥ 1, 0

βd = relación entre la sobrecarga y la carga permanente

ρ = relación entre el área de la armadura vertical y la sección bruta de hormigón La definición de βd, incluida en las Ecuaciones (10-11) y (10-12) para EI, varía según que el pórtico sea indesplazable o desplazable. De acuerdo con el artículo 10.0, para los pórticos indesplazables βd es la relación entre la máxima carga axial mayorada de larga duración (sostenida) y la máxima carga axial mayorada asociada a la misma combinación de cargas. Por motivos de consistencia, la misma definición de βd parece adecuada para obtener el valor de EI para tabiques en la Ecuación (1). Observar que si de acuerdo con lo establecido en el artículo 10.11.4 se determina que el pórtico es desplazable, βd = 0 para el caso de las cargas laterales que no son sostenidas (10.0). La Figura 21-1 muestra la comparación entre la rigidez flexional (EI) según la Ecuación (10-12) del Código y la rigidez flexional según la Ecuación (1) en términos de EcIg. Se grafica la relación EI/EcIg en función de e/h para diferentes valores de βd, para una cuantía de armadura constante ρ = 0,0015. Observar que la Ecuación (10-12) del Código asume que EI es independiente de e/h y parece sobrestimar la rigidez del tabique para grandes excentricidades. Para los tabiques diseñados de acuerdo con el Capítulo 10 del Código para los cuales la esbeltez se evalúa de acuerdo con 10.11, para determinar la rigidez del tabique se recomienda utilizar la Ecuación (1) en vez de la Ecuación (10-12) del Código. En el Ejemplo 21.1 se ilustra la aplicación de este método para el caso de un tabique izado. Si la esbeltez de un tabique supera el límite de aplicación del método aproximado para evaluar la esbeltez indicado en el artículo 10.11 (kℓu/h > 30), para determinar los efectos de la esbeltez se debe utilizar el artículo 10.10.1 (10.11.5). Los paneles de tabique que se usan en la actualidad en algunos sistemas constructivos, especialmente en las construcciones con paneles izados, generalmente están comprendidos dentro de esta categoría de esbeltez elevada. El análisis de la estabilidad debe tomar en cuenta todas las variables que afectan la rigidez del tabique, los efectos de las flechas sobre los momentos y esfuerzos, y los efectos de la duración de las cargas.

21 - 3

0,4 β d= 0,2

0,3

β d= 0,4 βd = 0,6

EI EcIg

βd = 0,8 βd < 0,5

0,2

βd = 0,6 βd = 0,8 ρ = 0,0015

0,1 Ec. (1) Ec. (10-13)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

e h

Figura 21-1 – Rigidez de los tabiques (EI)

14.5

MÉTODO DE DISEÑO EMPÍRICO

El Método de Diseño Empírico se puede usar para diseñar un tabique siempre que la resultante de todas las cargas aplicables esté ubicada dentro del tercio central del espesor del tabique (excentricidad e ≤ h/6), y que el espesor sea como mínimo igual al espesor mínimo indicado en el artículo 14.5.3 (ver Figura 21.2). Observar que para determinar la excentricidad total de la carga resultante, además de cualquier carga excéntrica, se debe incluir el efecto de cualquier carga horizontal que actúe sobre el tabique. El método sólo se aplica a los tabiques se sección rectangular llena. Pu

e< h 6

h 6

h

Figura 21-2 – Diseño de tabiques mediante el Método de Diseño Empírico (14.5) La principal aplicación de este método es en el diseño de tabiques relativamente cortos solicitados exclusivamente a cargas verticales. Su aplicación se vuelve extremadamente limitada cuando es necesario considerar cargas laterales, ya que la excentricidad total de las cargas no debe ser mayor que h/6. Los tabiques que no satisfacen estos criterios se deben diseñar como elementos comprimidos solicitados a carga axial y flexión, aplicando los requisitos del Capítulo 10 del Código (14.4) o bien, si corresponde, el Método de Diseño Alternativo del artículo 14.8.

21 - 4

Cuando la excentricidad total e no es mayor que h/6, el diseño se realiza considerando a Pu como una carga axial centrada. La carga axial mayorada Pu debe ser menor o igual que la resistencia a la carga axial de diseño φPnw calculada mediante la Ecuación (14-1): Pu ≤ φPnw

  k 2  ≤ 0,55φf 'c A g 1 −  c     32h  

Ec. (14-1)

donde φ = factor de reducción de la resistencia = 0,7 Ag = área bruta de la sección transversal del tabique k = factor de longitud efectiva definido en el artículo 14.5.2 ℓc = distancia vertical entre apoyos La Ecuación (14-1) toma en cuenta tanto la excentricidad de la carga como los efectos de la esbeltez. El factor de excentricidad 0,55 originalmente se seleccionó para obtener resistencias comparables a las dadas por el Capítulo 10 del Código para elementos con carga axial aplicada con una excentricidad igual a h/6. Para que la Ecuación (14-1) sea aplicable, el espesor del tabique h no debe ser menor que 1/25 de la longitud o altura del tabique, cualquiera sea el valor que resulte menor, y tampoco menor que 4 in. (14.5.3.1). Los tabiques enterrados o muros de contención deben tener un espesor de al menos 7-1/2 in. (14.5.3.2). Cuando se publicó el suplemento de 1980 para ACI 318, la Ecuación (14-1) fue modificada de manera de reflejar el rango general de condiciones de vínculo que se encuentran en el diseño de tabiques, y también para permitir un mayor rango de aplicaciones de diseño. En las ediciones anteriores del código la ecuación para la resistencia tabiques se basaba en la hipótesis de un tabique con sus extremos superior e inferior arriostrados contra el desplazamiento lateral y con uno de sus extremos restringido contra la rotación, lo cual corresponde a un factor de longitud efectiva comprendido entre 0,8 y 0,9. Los valores de la resistencia a la carga axial pueden no resultar conservadores en el caso de los tabiques articulados en ambos extremos, condición que ocurre en ciertos tabiques, particularmente en aplicaciones prefabricadas y tabiques izados. La resistencia axial también se puede sobrestimar cuando la parte superior del tabique está libre y no está arriostrada para evitar su traslación. En estos casos es necesario que la ecuación de diseño refleje la longitud efectiva real. La Ecuación (14-1) permite utilizar diferentes factores de longitud efectiva k. En el artículo 14.5.2 se especifican los valores de k para las condiciones de vínculo más habituales en los tabiques. Con la Ecuación (14-1) se obtendrán los mismos resultados que con la Ecuación (14-1) del Código 1977 para aquellos tabiques con ambos extremos arriostrados contra la traslación y con una adecuada restricción contra la rotación en la base. Una adecuada restricción contra la rotación en la base significa que el tabique está unido a un elemento cuya rigidez flexional EI/ℓ es como mínimo igual a la del tabique. La selección del valor de k adecuado para un determinado conjunto de condiciones de vínculo queda a criterio del ingeniero. La Figura 21-3 ilustra típicas curvas de resistencia a la carga axial vs. resistencia al momento para tabiques de 8, 10 y 12 in. con f'c = 4000 psi y fy = 60.000 psi.21.3 Con las curvas se obtienen factores de excentricidad (relación entre la resistencia bajo carga excéntrica y la resistencia bajo carga centrada) de 0,562; 0,568 y 0,563 para los tabiques de 8, 10 y 12 in. con e = h/6 y ρ = 0,0015. La Figura R14.5 del Comentario muestra una comparación entre las resistencias obtenidas con el Método de Diseño Empírico y las obtenidas según el Artículo 14.4, para el caso de elementos cargados en el tercio central de su espesor y diferentes condiciones de vínculo. El Ejemplo 21.2 ilustra la aplicación del Método de Diseño Empírico al caso de un muro portante que soporta vigas de entrepiso prefabricadas.

21 - 5

f'c = 4 ksi; fy = 60 ksi; ρ =

12"

12"

12"

480 8"

6"

420

10"

7,5"

12"

9"

360 300

ρ = 0,00% ρ = 0,15% ρ = 1,00%

ρ = 0,00% ρ = 0,15% ρ = 1,00%

120

e=

h/6

e=

180

h/6

h/6

240

ρ = 0,00% ρ = 0,15% ρ = 1,00%

e=

Resistencia a la carga axial, Pn, kips

540

As ; g = 0,75 Ag

60 0

0

10

20

30

40

50

0

20

40

60

80 100

0

20

40

60

80 100

Resistencia al momento, Mn, ft-kips

Figura 21-3 – Típicas curvas resistencia axial vs. resistencia al momento para tabiques de 8, 10 y 12 in.

14.8

DISEÑO ALTERNATIVO PARA TABIQUES ESBELTOS

El método de diseño alternativo para tabiques se fundamenta en las investigaciones experimentales descritas en la Referencia 21.4. Este método figura en el Código de Construcción Uniforme (UBC) desde 1988, y también aparece en el Código de Construcción Internacional 2000 (IBC)21.5. Es importante observar que los requisitos del artículo 14.8 difieren de aquellos del UBC y del IBC en los siguientes aspectos: (1) se modificaron la nomenclatura y la redacción por motivos de compatibilidad con el estilo de ACI 318; (2) se limitó el procedimiento a los efectos de la flexión fuera del plano en tabiques simplemente apoyados en los cuales los momentos y flechas máximas se producen a la mitad de la altura; y (3) el procedimiento se ha hecho tan compatible como ha sido posible con los requisitos del artículo 9.5.2.3 para obtener el momento de fisuración y el momento de inercia efectivo. De acuerdo con el artículo 14.8.1, cuando el diseño de un tabique está controlado por la tracción producida por la flexión se considera que los requisitos del artículo 14.8 satisfacen las especificaciones del artículo 10.0. Para el método de diseño alternativo se aplican las siguientes limitaciones (14.8.2): 1. 2. 3. 4.

5.

6.

El tabique debe estar simplemente apoyado, cargado axialmente y solicitado por una carga transversal uniforme. Los máximos momentos y flechas deben ocurrir en la mitad de su altura (14.8.2.1). La sección transversal debe ser constante en toda la altura del tabique (14.8.2.2). La cuantía de armadura ρ debe ser menor o igual que 0,6ρb – siendo ρb la cuantía de armadura que produce condiciones de deformación balanceada; ver la Ecuación (B-1) del Apéndice B del Código (14.8.2.3). La armadura debe proporcionar una resistencia de diseño φMn mayor o igual que Mcr, siendo Mcr el momento que provoca la fisuración por flexión debido a las cargas horizontales y verticales aplicadas. Observar que Mcr se debe calcular usando el módulo de rotura fr dado por la Ecuación (9-10) (14.8.2.4). Las cargas gravitatorias concentradas aplicadas al tabique por encima de la sección de diseño a flexión se deben distribuir en un ancho igual al menor valor entre (a) el ancho de aplicación más un ancho a cada lado que se incrementa con una pendiente de 2:1 (vertical:horizontal) hacia abajo hasta llegar a la sección de diseño, o (b) la separación entre las cargas concentradas. Además, el ancho de distribución no se debe prolongar más allá de los bordes del tabique (14.8.2.5) (ver Figura 21-4). La tensión vertical Pu/Ag en la sección correspondiente a la mitad de la altura del tabique no debe ser mayor que 0,06 f'c (14.8.2.6). 21 - 6

Si una o más de estas condiciones no se satisfacen, el tabique se debe diseñar de acuerdo con los requisitos del artículo 14.4. E

S

S

W

W 2

1

1

2

2

1

c

1

2

W + ( c /4) + E < S

W + ( c /2) < S

c /2

Sección de diseño a flexión

Figura 21-4 – Ancho de distribución de las cargas gravitatorias concentradas (14.8.2.5)

De acuerdo con el artículo 14.8.3, la resistencia de diseño φMn para la combinación de flexión y carga axial en la sección ubicada en la mitad de la altura del tabique debe ser mayor o igual que el momento mayorado total Mu que actúa en esta sección. El momento mayorado Mu incluye los efectos P-∆ y se define de la siguiente manera: M u = M ua + Pu ∆ u

Ec. (14.4)

donde Mua = momento mayorado en una sección ubicada en la mitad de la altura del tabique debido a las cargas horizontales y verticales excéntricas mayoradas Pu = carga axial mayorada ∆u = flecha a la mitad de la altura del tabique debida a las cargas mayoradas = 5M u

2 c

/ ( 0, 75 ) 48E c Icr

Ec. (14-5)

ℓc = distancia vertical entre apoyos Ec = módulo de elasticidad del hormigón (8.5) Icr = momento de inercia de la sección efectiva transformada a hormigón = nAse ( d − c ) + 2

(

wc

3

/3

)

Ec. (14-7)

n

= relación entre los módulos de elasticidad = E s / E c ≥ 6

Es

= módulo de elasticidad de la armadura no pretensada

Ase = área efectiva de la armadura longitudinal traccionada en el segmento de tabique =

( Pu + As f y ) / f y

Ec. (14-8)

As = área de la armadura longitudinal traccionada en el segmento de tabique fy = tensión de fluencia especificada de la armadura no pretensada d

= distancia entre la fibra comprimida extrema y el baricentro de la armadura longitudinal traccionada 21 - 7

c

= distancia entre la fibra comprimida extrema y el eje neutro

ℓw = longitud horizontal del tabique Observar que la Ecuación (14-4) incluye tanto los efectos de las cargas axiales y horizontales mayoradas (Mua), como así también los efectos P-∆ (Pu∆u). Reemplazando ∆u por la Ecuación (14-5) en la Ecuación (14-4), para Mu se obtiene la siguiente expresión: Mu =

M ua

Ec. (14-6)

5Pu 2c 1− ( 0, 75) 48Ec Icr

La Figura 21-5 ilustra el análisis de un tabique de acuerdo con los requisitos del artículo 14.8 para el caso de cargas horizontales y gravitatorias con efectos aditivos.

Pu1 e

Pu1 Pu1 e

c

∆u wu

Pu2

Pu2

M ua =

c /2

wu

Pu1 = carga gravitatoria aplicada mayorada Pu2 = peso propio del tabique mayorado (total) e = excentricidad de la carga gravitatoria aplicada wu = carga horizontal uniforme mayorada P Pu = Pu1 + u2 2 M ua M u = M ua + Pu ∆ u = 5Pu 2c 1− ( 0, 75 ) 48Ec Icr

Mu = ∆u =

wu 8 wu 8

2 c 2 c

+ +

Pu1e 2

Pu1e  P  +  Pu1 + u 2  ∆ u 2 2  

5M u 2c ( 0, 75) 48Ec Icr

Figura 21-5 – Análisis de un tabique de acuerdo con el artículo 14.8

La resistencia de diseño φMn del tabique se puede determinar usando la siguiente expresión: a  φM n = φAse f y  d −  2 

Ec. (2)

donde a=

Ase f y 0,85f 'c

w

y φ se determina de acuerdo con el artículo 9.3.2.

21 - 8

Además de satisfacer los requisitos de resistencia de la Ecuación (14-3) también se deben satisfacer los requisitos del artículo 14.8.4. En particular, la máxima flecha ∆s debida a las cargas de servicio, incluyendo los efectos P-∆, no debe ser mayor que ℓc/150, donde ∆s es igual a: ∆s =

5M 2c 48E c Ie

Ec. (14-9)

donde M = momento máximo, no mayorado, debido a las cargas de servicio, incluyendo los efectos P-∆ M sa

= 1−

y

Ec. (14-10)

5Ps 2c 48E c Ie

Msa = momento aplicado máximo, no mayorado, debido a las cargas de servicio, sin incluir los efectos P-∆ Ps = carga axial no mayorada en la sección de diseño (en la mitad de la altura), incluyendo los efectos del peso propio Ie

= momento de inercia efectivo evaluado usando el procedimiento del artículo 9.5.2.3, reemplazando M por Ma

Es importante observar que la Ecuación (14-10) no proporciona una solución cerrada para M, ya que Ie es función de M. Por lo tanto, para determinar ∆s es necesario utilizar un procedimiento iterativo. El Ejemplo 21.3 ilustra la aplicación del método de diseño alternativo al caso de un tabique prefabricado no pretensado.

11.10

REQUISITOS ESPECIALES PARA EL CORTE EN TABIQUES

En la mayoría de las construcciones de poca altura los esfuerzos de corte horizontales que actúan en el plano de los tabiques son pequeños y en general se pueden despreciar en el diseño. Sin embargo, estos esfuerzos en el plano se vuelven una consideración importante en las construcciones de gran altura. El diseño al corte se debe realizar de acuerdo con los requisitos especiales para tabiques indicados en el artículo 11.10 (14.2.3). El Ejemplo 21.4 ilustra el diseño de un tabique para corte en el plano, incluyendo el diseño a flexión.

RESUMEN DEL DISEÑO Para diseñar un tabique se sugiere utilizar un procedimiento de prueba y verificación: primero suponer un espesor h y una cuantía de armadura ρ. Luego, en base a estos valores supuestos, verificar el tabique para las condiciones correspondientes a las cargas aplicadas. Incluir ayudas de diseño para una amplia gama de tabiques y condiciones de cargas está fuera del alcance de este Capítulo 21. Nuestra intención es presentar ejemplos de diferentes opciones y ayudas de diseño. Mediante un esfuerzo razonable el diseñador podrá producir ayudas de diseño que se adapten al rango de condicione que habitualmente se le presentan en la práctica profesional. Por ejemplo, los diagramas de interacción de resistencias tales como los graficados en las Figuras 21-6(a) (ρ = 0,0015) y 21-6(b) (ρ = 0,0025) pueden ser de gran utilidad para evaluar la resistencia de un tabique. También se ilustran las partes inferiores de los diagramas de interacción de resistencias para tabiques de 6,5 in. de espesor. También es posible desarrollar gráficas de diseño como la ilustrada en la Figura 21-7 para tabiques específicos. La Figura 21-8 se puede usar para seleccionar la armadura de un tabique. Este Capítulo 21 no se ocupa específicamente del tema de los tabiques pretensados. Pretensar los tabiques presenta ventajas desde el punto de vista del manipuleo (paneles prefabricados) y aumenta la resistencia al pandeo. Si desea profundizar sobre el diseño de tabiques pretensados, el diseñador debería consultar la Referencia 21.6.

21 - 9

As 1,0

h b

0,8

Pn f'c bh

ρ = 0,0015

h = 6,5"

f'c = 4000 psi fy = 60.000 psi

0,6

Pn kips

0,4

b = 12"

40

ρ = 0,0015 f'c = 4000 psi fy = 60.000 psi

20

0

e/h = 0,5

0,2

0

As

60

20

40

60

80

100

120

140

Mn , in.-kips 0

0,05

0,10

Mn f'c bh 2

(a) Cuantía ρ = 0,0015

As

1,0

h b

0,8

ρ = 0,0015

Pn f'c bh

0,6

h = 6,5"

Pn

0,4

kips

b = 12"

40

ρ = 0,0015 20

f'c = 4000 psi fy = 60.000 psi

e/h = 0,5

0,2

0 0

As

60

f'c = 4000 psi fy = 60.000 psi

0

0,05

0,10

20

40

60

80

100

120

140

Mn , in.-kips

Mn f'c bh 2

(b) Cuantía ρ = 0,0025

Figura 21-6 – Diagrama de interacción resistencia axial-resistencia al momento para tabiques (f'c = 4000 psi; fy = 60 ksi)

21 - 10

160

h e/h ρ f'c fy

e

= 6,5" = 0,5" = 0,0015 = 4000 psi = 60.000 psi

Pn

h

Cm = 1,0 βd = 0,5 k = 1,0

qu

u

35

30

25

qu = 0

20

Límite para el Artículo 10.11 (k > 1,0)

Pn kips 15 qu = 30 lb/ft 2

10

5

0

5

10

15

20

25 k

30

35

40

u /h

Figura 21-7 – Gráfica de diseño para un tabique de 6,5 in.

0,0060

0,0050

Cuantía

0,0040 #4

ρ

#3

0,0030

a9 "

#4

0,0025 #4 a

0,0020 0,0015 0,0012 0,0010

#3 a

3

4

a9 "

#4 a 18"

a1

2"

15"

12"

5

6

7

8

Espesor del tabique h (in.)

Figura 21-8 – Ayuda de diseño para determinar la armadura de un tabique

21 - 11

REFERENCIAS 21.1

Uniform Building Code, Vol. 2, International Conference of Building Officials, Whittier, CA, 1997.

21.2

MacGregor, J.G., “Design and Safety of Reinforced Concrete Compression Members,” trabajo presentado en el "International Association for Bridge and Structural Engineering Symposium", Quebec, 1974.

21.3

Kripanaryanan, K.M., “Interesting Aspects of the Empirical Wall Design Equation,” ACI Journal, Proceedings Vol. 74, No. 5, Mayo 1977, pp. 204-207.

21.4

Athey, J.W., Ed., “Test Report on Slender Walls,” Southern California Chapter of the American Concrete Institute and Structural Engineers Association of Southern California, Los Angeles, CA, 1982.

21.5

2000 International Building Code, International Code Council, Falls Church, VA, 2000.

21.6

PCI Design Handbook - Precast and Prestressed Concrete, 5º Edición, Prestressed Concrete Institute, Chicago, IL, 1999.

21 - 12

Ejemplo 21.1 – Diseño de un tabique izado aplicando el Capítulo 10 (14.4) Se requiere diseñar el tabique ilustrado. El borde superior del tabique está arriostrado, y la sobrecarga en la cubierta es soportada a través de las almas de las Te de 4 in. separadas 4 ft entre centros. e

Pu

Luz de 40'- 0"

2'- 0"

h

u

qu

Datos para el diseño: Carga permanente de la cubierta = 50 lb/ft2 Sobrecarga en la cubierta = 20 lb/ft2 Carga de viento = 20 lb/ft2 Longitud de tabique no arriostrada ℓu = 16 ft Factor de longitud efectiva k = 1,0 (ambos extremos articulados) Hormigón: f'c = 4000 psi (wc = 150 lb/ft3) Acero de las armaduras: fy = 60.000 psi Suponer condición indesplazable.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Selección de un tabique de prueba Intentar h = 6,5 in. y suponer e = 6,75 in.

Para la armadura vertical intentar con una única capa de barras No. 4 separadas 12 in. (As = 0,20 in.2/ft) en el eje del tabique. Para una franja de diseño de un pie de ancho:

ρ=

As 0, 20 = = 0, 0026 > 0, 0012 bh (12 × 6,5 )

VERIFICA

2. Longitud efectiva del tabique para la reacción de la cubierta Ancho de apoyo + 4 (espesor del tabique) = 4 + 4 (6,5) = 30 in. = 2,5 ft (valor determinante)

21 - 13

14.3.2(a) 14.2.4

Distancia entre los centros de las almas = 4 ft 3. Carga de la cubierta por pie de ancho del tabique   4   40 Carga permanente = 50 ×  = 1600 lb / ft  ×  2,5   2    4   40 Sobrecarga =  20 ×  = 640 lb / ft  ×  2,5   2 

Carga permanente del tabique a la mitad de su altura =

6,5  16  ×  + 2  × 150 = 813 lb / ft 12  2 

4. Combinaciones de cargas mayoradas Combinación de cargas 1:

U = 1, 2D + 0,5L r

Ec. (9-2)

Pu = 1, 2 (1, 6 + 0,81) + 0,5 ( 0, 64 ) = 2,9 + 0,3 = 3, 2 kips M u = 1, 2 (1, 6 × 6, 75 ) + 0,5 ( 0, 64 × 6, 75 ) = 15,1 in.-kips βd = 2,9 / 3, 2 = 0,91

Combinación de cargas 2:

U = 1, 2D + 1, 6L r + 0,8W

Ec. (9-3)

Pu = 1, 2 (1, 6 + 0,81) + 1, 6 ( 0, 64 ) + 0 = 2,9 + 1, 0 = 3,9 kips

(

M u = 1, 2 (1, 6 × 6, 75 ) + 1, 6 ( 0, 64 × 6, 75 ) + 0,8 0, 02 × 162 × 12 / 8

)

= 26,0 in.-kips βd = 2,9 / 3,9 = 0, 74 Combinación de cargas 3:

U = 1, 2D + 1, 6W + 0,5L r

Ec. (9-4)

Pu = 1, 2D (1, 6 + 0,81) + 0 + 0,5 ( 0, 64 ) = 3, 2 kips

(

)

M u = 1, 2 (1, 6 × 6, 75 ) + 1, 6 0, 02 × 162 × 12 / 8 + 0,5 ( 0, 64 × 6, 75 )

= 27,4 in.-kips βd = 2,9 / 3, 2 = 0,91 Combinación de cargas 4:

U = 0,9D + 1, 6W Pu = 0,9 (1, 6 + 0,81) + 0 = 2, 2 kips

(

M u = 0,9 (1, 6 × 6, 75 ) + 1, 6 0, 02 × 162 × 12 / 8

Ec. (9-6)

)

= 22,0 in.-kips βd = 2, 2 / 2, 2 = 1, 0 5. Verificar la esbeltez del tabique k

u

r

=

1, 0 (16 × 12 )

( 0,3 × 6,5)

= 98,5 < 100

10.11.5

donde r = 0,3 h

21 - 14

Por lo tanto, para considerar los efectos de la esbeltez se puede usar el artículo 10.11. 6. Calcular los momentos mayorados para el caso indesplazable M c = δns M 2 δns =

Pc =

EI =

10.12 Ec. (10-8)

Cm  Pu  1−    0, 75Pc 

≥1

Ec. (10-9)

π2 EI

Ec. (10-10)

( k u )2 E c Ig  E c Ig e  0,5 −  ≥ 0,1 β  h β ≤ 0, 4

Ec. (1)

E c Ig β

e 6, 75 = = 1, 04 > 0,5 h 6,5  E c Ig  Por lo tanto, EI = 0,1   β  E c = 57.000 4000 = 3, 065 × 106 psi

Ig =

8.5.1

12 × 6,53 = 274, 6 in.4 12

β = 0,9 + 0,5βd2 − 12ρ ≥ 1, 0

= 0,9 + 0,5βd2 − 12 ( 0, 0026 ) = 0,869 + 0,5βd2 ≥ 1, 0 EI =

Pc =

0,1× 3, 605 × 106 × 274, 6 99 × 106 lb-in.2 = β β π2 × 99 × 106 β (16 × 12 ) × 1000 2

=

26,5 kips β

Cm = 1,0 para elementos con cargas transversales entre los apoyos Determinar el momento amplificado, Mc, para cada caso de carga.

21 - 15

10.12.3.1

Combinac. de cargas

Pu (kips)

M2 = Mu (in.-kips)

βd

β

EI (lb-in.2)

Pc (kips)

δns

Mc (in.-kips)

1

3,2

15,1

0,91

1,28

77 x 106

20,7

1,26

19,0

1,14

87 x 10

6

23,2

1,29

33,5

77 x 10

6

20,7

1,26

34,5

72 x 10

6

19,3

1,18

26,0

2

3,9

3

3,2

4

2,2

26,0

0,74

27,4

0,91

22,0

1,28

1,00

1,37

7. Comparar la resistencia de diseño con la resistencia requerida Asumir que para todas las combinaciones de cargas la sección es controlada por la tracción, es decir, εt ≥ 0,005 y φ = 0,90.

10.3.4 9.3.2

La siguiente tabla contiene un resumen del análisis de compatibilidad de las deformaciones para cada una de las combinaciones de cargas, realizado en base a la hipótesis presentada en el párrafo anterior: Comb. de cargas 1 2 3 4

Pn = Pu/φ (kips) 3,6 4,3 3,6 2,4

a (in.) 0,38 0,40 0,38 0,35

c (in.) 0,45 0,47 0,45 0,42

εt (in./in.) 0,0187 0,0177 0,0187 0,0205

Por ejemplo, la deformación específica en la armadura, εt, para la combinación de cargas No. 2 se calcula de la siguiente manera: Pn = 0,85f 'c ba − A s f y

10.3.1 10.2.1

4,3 = ( 0,85 )( 4 )(12 ) a − ( 0, 2 )( 60 ) = 40,8a − 12 a = 0, 40 in. c = a / β1 = 0, 4 / 0,85 = 0, 47 in.

εt =

10.2.7.1 10.2.7.3

0, 003 (d − c) c

=

10.2.2

0, 003 ( 3, 25 − 0, 47 ) 0, 47

= 0, 0177 > 0, 0050 → la sección es controlada por la tracción Observar que la deformación específica en la armadura para cada combinación de cargas es mayor que 0,0050 y por lo tanto la hipótesis de secciones controladas por la tracción (φ = 0,90) es correcta.

Para cada una de las combinaciones de cargas se debe comparar la resistencia nominal requerida con la resistencia de diseño calculada. La siguiente tabla presenta los resultados obtenidos:

21 - 16

10.3.4

Comb. de cargas

Resistencia nominal requerida

Resistencia de diseño Mn (in.-kips)

Pn = Pu/φ (kips)

Mn = Mc/φ (in.-kips)

1

3,6

21,1

47,7

2

4,3

37,2

49,7

3

3,6

38,3

47,7

4

2,4

28,9

44,2

Por ejemplo, la resistencia de diseño Mn para la combinación de cargas No. 2 se calcula de la siguiente manera: h a h  M n = 0,85f 'c ba  −  − As f y  − d t   2 2 2   6,5 0, 40   6,5  = 0,85 ( 4 )(12 )( 0, 40 )  − 3, 25   − 0, 2 ( 60 )  2   2  2 

= 49,7 in.-kips El tabique es adecuado con las barras No, 4 separadas 12 in., ya que para todas las combinaciones de cargas la resistencia de diseño es mayor que la resistencia nominal requerida.

21 - 17

Ejemplo 21.2 –

Diseño de un muro portante mediante el Método de Diseño Empírico (14.5)

Un muro de hormigón soporta un sistema de entrepiso formado por vigas Te prefabricadas con una separación de 8 ft entre sus centros. El alma de cada viga Te tiene 8 in. de ancho. Las vigas Te apoyan plenamente en el muro. La altura del muro es de 15 ft, y se considera que su parte superior está restringida contra el desplazamiento lateral. Pu

Datos para el diseño: Reacciones de las vigas: carga permanente = 28 kips sobrecarga = 14 kips f'c = 4000 psi fy = 60.000 psi h

Despreciar la altura del muro.

u

Restricción parcial

Referencia del Código

Cálculos y discusión

El procedimiento de diseño general consiste en seleccionar un espesor para el tabique, h, y luego verificar el tabique para las condiciones de carga aplicadas. 1. Seleccionar un espesor para el tabique h≥

u

25

pero no menor que 4 in.

14.5.3.1

15 × 12 = 7, 2 in. 25 Intentar con h = 7,5 in. 2. Calcular las cargas mayoradas Pu = 1, 2D + 1, 6L

Ec. (9-2)

= 1, 2 ( 28 ) + 1, 6 (14 ) = 33, 6 + 22, 4 = 56, 0 kips

3. Verificar la resistencia al aplastamiento del hormigón Para el apoyo suponer un ancho de alma igual a 7 in., para tomar en cuenta los bordes inferiores achaflanados.

21 - 18

Área cargada A1 = 7 × 7,5 = 52,5 in.2 Resistencia al aplastamiento = φ ( 0,85f 'c A1 ) = 0, 65 ( 0,85 × 4 × 52,5 ) = 116 kips > 56, 0 kips

VERIFICA

10.17.1

4. Calcular la resistencia de diseño del tabique 8 × 12 = 96 in. Longitud horizontal efectiva del tabique por cada reacción de viga =  7 + 4 ( 7,5 ) = 37 in. (valor determinante)

14.2.4

k = 0,8

14.5.2

  k 2  φPnw = 0,55φf 'c A g 1 −  c     32h  

Ec. (14-1)

  0,8 × 15 × 12 2  = 0,55 × 0, 70 × 4 ( 37 × 7,5 ) 1 −      32 × 7,5   = 273 kips > 56 kips

VERIFICA

El tabique de 7,5 in. es adecuado, y tiene margen suficiente para considerar el posible efecto de la excentricidad de las cargas. 5. Determinar una capa de armadura En base a un tabique de un pie de ancho y armadura de acero Grado 60 (No. 5 y menor): As vertical = 0, 0012 × 12 × 7,5 = 0,108 in.2 / ft

14.3.2

As horizontal = 0, 0020 × 12 × 7,5 = 0,180 in.2 / ft

14.3.3

 3h = 3 × 7,5 = 22,5 in. Separación =   18 in. (valor determinante)

14.3.5

As vertical: Usar barras No. 4 con una separación de 18 in. entre centros (As = 0,13 in.2/ft) As horizontal: Usar barras No. 4 con una separación de 12 in. entre centros (As = 0,20 in.2/ft) Para seleccionar la armadura de forma directa se pueden usar ayudas de diseño como la de la Figura 21-8.

21 - 19

Ejemplo 21.3 –

Diseño de un tabique prefabricado mediante el Método de Diseño Alternativo (14.8)

Determinar la armadura vertical requerida para el tabique prefabricado ilustrado a continuación. Las cargas de la cubierta son soportadas a través de las almas de 3,75 in. de la doble Te 10DT24, las cuales están separadas 5 ft entre sus centros. Luz de 60'- 0" 10 DT 24

Datos para el diseño: Peso de la 10DT24 = 468 lb/ft Carga permanente de la cubierta = 20 lb/ft2 Sobrecarga de la cubierta = 30 lb/ft2 Carga de viento = 30 lb/ft2 Hormigón: f'c = 4000 psi (wc = 150 lb/ft3) Acero de las armaduras: fy = 60.000 psi

4"

c=

20' - 0"

h = 8"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Sección del tabique propuesto

Intentar con h = 8 in. Intentar con una armadura vertical compuesta por una sola capa de barras No. 4 con una separación de 9 in. (As = 0,27 in.2/ft) ubicada en el centro del tabique. Para una franja de diseño de 1 ft de ancho: ρ (bruta) =

As 0, 27 = = 0, 0028 > 0, 0012 h 12 ×8 w

Verificar la máxima cuantía de armadura: ρb =

=

0,85β1f 'c fy

 87.000   87.000 + f y 

VERIFICA

14.3.2 14.8.2.3

   

Ec. (B-1)

0,85 × 0,85 × 4000 87.000 × = 0, 0285 60.000 87.000 + 60.000

0, 6ρb = 0, 6 × 0, 0285 = 0, 0171 > ρ =

As 0, 27 = = 0, 0056 bd 12 × 4

VERIFICA

21 - 20

14.8.2.3

2. Ancho de distribución de las cargas concentradas interiores en la mitad de la altura del tabique (ver Figura 21-4) W+

c

2

3, 75 20 + = 10,3 ft 12 2

=

14.8.2.5

S = 5,0 ft (valor determinante) 3. Carga de la cubierta por pie de ancho de tabique  468   60  Carga permanente =  + ( 20 × 5 )    = 10.020 lbs / 5ft = 2004 lb / ft 2   2   60  Sobrecarga = ( 30 × 5 )   = 4500 lbs / 5ft = 900 lb / ft  2 

Carga permanente del tabique =

8 × 20 × 150 = 2000 lb / ft 12

Excentricidad de las cargas de la cubierta respecto del eje del tabique =

2 × 4 = 2, 7 in. 3

4. Combinaciones de cargas mayoradas en la mitad de la altura del tabique (ver Figura 21-5) a. Combinación de cargas 1: Pu = Pu1 +

U = 1, 2D + 0,5L r

Ec. (9-2)

Pu2 2

Pu1 = (1, 2 × 2, 0 ) + ( 0,5 × 0,9 ) = 2, 4 + 0,5 = 2,9 kips Pu2 = 1, 2 × 2, 0 = 2, 4 kips Pu = 2,9 + Mu =

2, 4 = 4,1 kips 2 M ua

Ec. (14-6)

5Pu 2c 1− ( 0, 75) 48Ec Icr

M ua =

wu 8

2 c

+

Pu1e 2,9 × 2, 7 = 0+ = 3,9 in.-kips 2 2

E c = 57.000 4000 = 3.605.000 psi

Icr = nAse ( d − c ) + 2

n=

wc

8.5.1

3

Ec. (14-7)

3

E s 29.000 = = 8, 0 Ec 3605

21 - 21

Pu + As f y

Ase =

a=

c=

fy

Ase f y 0,85f 'c

=

= w

4,1 + ( 0, 27 × 60 ) 60

= 0,34 in.2 / ft

Ec. (14-8)

0,34 × 60 = 0,50 in. 0,85 × 4 × 12

a 0,50 = = 0,59 in. β1 0,85

Por lo tanto, Icr = 8, 0 × 0,34 × ( 4 − 0,59 ) + 2

12 × 0,593 = 32,5 in.4 3

 0, 003  εt =   d t − 0, 003  c 

 0, 003  =  ( 4 ) − 0, 003 = 0, 0173 > 0, 005  0,59  Por lo tanto, la sección es controlada por la tracción.

10.3.4

φ = 0,9 Mu =

9.3.2 3,9

5 × 4,1× ( 20× 12 ) 1− 0, 75 × 48 × 3605 × 32,5 2

b. Combinación de cargas 2:

= 5, 4 in.-kips

Ec. (14-6)

U = 1, 2D + 1, 6L r + 0,8W

Ec. (9-3)

Pu1 = (1, 2 × 2 ) + (1, 6 × 0,9 ) = 3,8 kips Pu2 = 1, 2 × 2, 0 = 2, 4 kips Pu = 3,8 +

M ua =

wu 8

2, 4 = 5, 0 kips 2 2 c

+

Pu1e 0,8 × 0, 030 × 202 3,8 ( 2, 7 /12 ) = + 2 8 2

= 1,2 + 0,4 = 1,6 ft-kips = 19,2 in.-kips Ase =

a=

5, 0 + ( 0, 27 × 60 ) 60

= 0,35 in.2 / ft

Ec. (14-8)

0,35 × 60 = 0,51 in. 0,85 × 4 × 12

21 - 22

c=

0,51 = 0, 60 in. 0,85

Por lo tanto, Icr = 8, 0 × 0,35 × ( 4 − 0, 60 ) + 2

12 × 0, 603 = 33, 2 in.4 3

Ec. (14-7)

 0, 003  εt =   ( 4 ) − 0, 003 = 0, 0170 > 0, 005  0, 60 

φ = 0,9 Mu =

9.3.2 19, 2

= 28,8 in.-kips

Ec. (14-6)

U = 1, 2D + 1, 6W + 0,5L r

Ec. (9-4)

5 × 5, 0 × ( 20× 12 ) 1− 0, 75 × 48 × 3605 × 33, 2 2

c. Combinación de cargas 3:

Pu1 = (1, 2 × 2, 0 ) + ( 0,5 × 0,9 ) = 2,9 kips Pu2 = 1, 2 × 2, 0 = 2, 4 kips Pu = 2,9 +

M ua =

2, 4 = 4,1 kips 2

1, 6 × 0, 03 × 202 2,9 × ( 2, 7 /12 ) + 8 2

= 2,4 + 0,3 = 2,7 ft-kips = 32,4 in.-kips Ase =

4,1 + ( 0, 27 × 60 ) 60

= 0,34 in.2 / ft

a=

0,34 × 60 = 0,5 in. 0,85 × 4 × 12

c=

0,5 = 0,59 in. 0,85

Ec. (14-8)

Por lo tanto, Icr = 8, 0 × 0,34 × ( 4 − 0,59 ) + 2

12 × 0,593 = 32,5 in.4 3

φ = 0,9 como para la Combinación No. 1

21 - 23

Mu =

32, 4 5 × 4,1× ( 20× 12 ) 1− 0, 75 × 48 × 3605 × 32,5 2

= 45, 0 in.-kips

U = 0,9D + 1, 6W

d. Combinación de cargas 4:

Ec. (9-6)

Pu1 = 0,9 × 2, 0 = 1,8 kips Pu2 = 0,9 × 2, 0 = 1,8 kips Pu = 1,8 +

1, 6 × 0, 030 × 202 1,8 × ( 2, 7 /12 ) + = 2, 6 ft-kips = 31, 2 in.-kips 8 2

M ua =

Ase =

1,8 = 2, 7 kips 2

2, 7 + ( 0, 27 × 60 ) 60

= 0,32 in.2 / ft

a=

0,32 × 60 = 0, 47 in. 0,85 × 4 × 12

c=

0, 47 = 0,55 in. 0,85

Ec. (14-8)

Por lo tanto, Icr = 8, 0 × 0,32 × ( 4 − 0,55 ) + 2

12 × 0,553 = 31,1 in.4 3

Ec. (14-7)

 0, 003   0, 003  εt =   d t − 0, 003 =   ( 4 ) − 0, 003 = 0, 0188 > 0, 005  c   0,55 

φ = 0,9 Mu =

9.3.2 31, 2

5 × 2, 7 × ( 20× 12 ) 1− 0, 75 × 48 × 3605 × 31,1 2

= 38, 7 in.-kips

Ec. (14-6)

5. Determinar Mcr Ig =

1 12

yt =

8 = 4 in. 2

wb

3

=

1 × 12 × 83 = 512 in.4 12

f r = 7,5 f 'c = 7,5 4000 = 474,3 psi

Ec. (9-9)

21 - 24

M cr =

f r Ig yt

=

474,3 × 512 = 60, 7 in.-kips 4 × 1000

6. Verificar la resistencia de diseño φMn a. Combinación de cargas No. 1 a 0,5    M n = Ase f y  d −  = 0,34 × 60 ×  4 −  = 76,5 in.-kips 2 2    φM n = 0,9 × 76,5 = 68,9 in.-kips

> M u = 5, 4 in.-kips > M cr = 60, 7 in.-kips

VERIFICA VERIFICA

14.8.3 14.8.2.4

VERIFICA VERIFICA

14.8.3 14.8.2.4

VERIFICA VERIFICA

14.8.3 14.8.2.4

VERIFICA VERIFICA

14.8.3 14.8.2.4

b. Combinación de cargas No. 2 0,51   M n = 0,35 × 60 ×  4 −  = 78, 7 in.-kips 2   φM n = 0,9 × 78, 7 = 70,8 in.-kips

> M u = 28,8 in.-kips > M cr = 60, 7 in.-kips

c. Combinación de cargas No. 3 0,5   M n = 0,34 × 60 ×  4 −  = 76,5 in.-kips 2   φM n = 0,9 × 76,5 = 68,9 in.-kips

> M u = 45, 0 in.-kips > M cr = 60, 7 in.-kips

d. Combinación de cargas No. 4 0, 47   M n = 0,32 × 60 ×  4 −  = 72,3 in.-kips 2   φM n = 0,9 × 72,3 = 65,1 in.-kips

> M u = 38, 7 in.-kips > M cr = 60, 7 in.-kips

7. Verificar la tensión vertical en la sección ubicada en la mitad de la altura del tabique La Combinación de cargas No. 2 es determinante: Pu 5000 = = 52,1 psi < 0, 06 f 'c = 0, 06 × 4000 = 240 psi A g 8 × 12

VERIFICA

14.8.2.6

8. Verificar la flecha en la mitad de la altura del tabique, ∆s ∆s =

5M 2c 48 E c Ie

Ec. (14-9)

21 - 25

M=

M sa

Ec. (14-10)

5 Ps 2c 1− 48 E c Ie

Usando ∆s de la Ecuación (14-9), la Ecuación (14-10) se puede rescribir de la siguiente manera: M = M sa + Ps ∆ s Msa =

w 2c Ps1e 0, 030 × 202 ( 2, 0 + 0,9 )( 2, 7 /12 ) + = + = 1,8 ft-kips = 21, 6 in.-kips 8 2 8 2

Ps = Ps1 +

Ps2 2, 0 = ( 2, 0 + 0,9 ) + = 3,9 kips 2 2

3   M 3  M  Ie =  cr  Ig + 1 −  cr   Icr  M    M  

Ec. (9-8)

Debido a que Ie es función de M, no es posible encontrar una solución cerrada para ∆s. Determinar ∆s mediante un procedimiento iterativo. Suponer ∆s =

c

150

=

20 × 12 = 1, 6 in. 150

M = 21, 6 + ( 3,9 × 1, 6 ) = 27,8 in.-kips

Como M cr = 60, 7 in.-kips > M = 27,8 in.-kips, Ie = Ig = 512 in.4 M=

∆s =

21, 6 5 × 3,9 × ( 20× 12 ) 1− 48 × 3605 × 512 5 × 21,9 × ( 20,12 ) 48 × 3605 × 512

2

= 21,9 in.-kips

Ec. (14-10)

2

= 0, 07 in.

Ec. (14-9)

No es necesario iterar nuevamente, ya que Ie = Ig . Por lo tanto, As = 0, 07 in. <

c

150

=

20 × 12 = 1, 6 in. 150

VERIFICA

El tabique es adecuado con una armadura vertical compuesta por barras No. 4 separadas 9 in.

21 - 26

Ejemplo 21.4 –

Diseño al corte de un tabique

Determinar la armadura de corte y de flexión para el tabique ilustrado. w = 8' Vu = 200 k

h = 8 in. f'c = 3000 psi fy = 60.000 psi

Sección crítica

hw = 12'

4'

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Verificar la máxima resistencia al corte permitida φVn = φ10 f 'c hd

11.10.3

donde d = 0,8

11.10.4

w

= 0,8 × 8 × 12 = 76,8 in.

φVn = 0, 75 × 10 3000 × 8 × 76,8 /1000 = 254, 4 kips > Vu = 200 kips

VERIFICA

2. Calcular la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, Vc Sección crítica para el corte: w

2

=

11.10.7

8 = 4 ft (valor determinante) 2

o bien h w 12 = = 6 ft 2 2 Vc = 3,3 f 'c hd +

Nu d 4 w

Ec. (11-29)

= 3,3 3000 × 8 × 76,8 /1000 + 0 = 111 kips

o bien

21 - 27

  Vc =  0, 6 f´c +   

w

 0, 2N u  1, 25 f 'c + wh  Mu − w Vu 2

(

 96 1, 25 3000 + 0 = 0, 6 3000 +  96 − 48 

    hd   

Ec. (11-30)

)   8 × 76,8  = 104 kips   1000  

(valor determinante)

donde M u = (12 − 4 ) Vu = 8Vu ft-kips = 96Vu in.-kips 3. Determinar la armadura de corte horizontal requerida Vu = 200 kips > φVc / 2 = 0, 75 (104 ) / 2 = 39, 0 kips

11.10.8

Se debe proveer armadura de corte de acuerdo con el artículo 11.10.9. Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

≤ φ ( Vc + Vs )

≤ φVc +

Ec. (11-2)

φA v f y d

Ec. (11-31)

s2

A v ( Vu − φVc ) = φf y d s2  200 − ( 0, 75 × 104 )  = = 0, 0353 0, 75 × 60 × 76,8

Para

2 barras No. 3:

s2 =

2 × 0,11 = 6, 2 in. 0, 0353

2 barras No. 4:

s2 =

2 × 0, 20 = 11,3 in. 0, 0353

2 barras No. 5:

s2 =

2 × 0,31 = 17, 6 in. 0, 0353

Intentar con 2 barras No. 4 separadas 10 in. ρh =

A v 2 × 0, 20 = = 0, 0050 > 0, 0025 Ag 8 × 10

VERIFICA

21 - 28

11.10.9.2

 w 8 × 12  5 = 5 = 19, 2 in.  Separación máxima = 3h = 3 × 8 = 24, 0 in. 18, 0 in. (valor determinante)  

11.10.9.3

Usar 2 barras No. 4 con una separación de 10 in. 4. Determinar la armadura de corte vertical  h  ρn = 0, 0025 + 0,5  2,5 − w  ( ρh − 0, 0025 ) ≥ 0, 0025 w  

Ec. (11-32)

= 0, 0025 + 0,5 ( 2,5 − 1,5 )( 0, 0050 − 0.0025 )

= 0,0038  w 8 × 12  3 = 3 = 32 in.  Separación máxima = 3h = 3 × 8 = 24, 0 in. 18, 0 in. (valor determinante)  

11.10.9.5

Usar 2 barras No. 4 con una separación de 13 in. (ρn = 0,0038) 5. Diseño a flexión M u = Vu h w = 200 × 12 = 2400 ft-kips

Asumir que la sección es controlada por la tracción (φ = 0,90) con d = 0,8 w = 0,8 × 96 = 76,8 in. (Nota: Más adelante se determinará un valor exacto para d mediante un análisis de compatibilidad de las deformaciones) Rn =

ρ=

Mu φbd

2

0,85f 'c fy =

=

2400 × 12.000 0,9 × 8 × 76,82

 2R n  1 − 1 − 0,85f 'c 

= 678 psi

  

0,85 × 3  2 × 678   1 −  = 0, 0134 60  0,85 × 3000 

A s = ρbd = 0, 0134 × 8 × 76,8 = 8, 24 in.2

Intentar con 9 barras No. 8 (As = 7,11 in.2) en cada extremo del tabique, con lo cual se obtiene un área de armadura menor que la determinada en base a d = 0,8 w .

21 - 29

9.3.2 11.10.4

Verificar la resistencia al momento del tabique con las 9 barras No. 8 mediante un análisis de compatibilidad de las deformaciones (en la figura al final de esta página se ilustra la distribución de las armaduras). Del análisis de compatibilidad de las deformaciones (incluyendo las barras verticales No. 4): c = 13,1 in. d = 81,0 in. ε t = 0, 0182 > 0, 0050

Por lo tanto, tal como se supuso, la sección es controlada por la tracción y φ = 0,90. M n = 3451 ft-kips φM n = 0,9 × 3451 = 3106 ft-kips > 2400 ft-kips

VERIFICA

Usar 9 barras No. 8 en cada extremo (As = 7,11 in.2)

96" 9-No. 8

No. 4

3"

3 a 2" = 6" 9"

No. 4 a 10"

6 a 15' = 78" 78"

21 - 30

3 a 2" = 6" 9"

3"

22 Zapatas y Cabezales de Pilotes

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El artículo 11.12.3 presenta requisitos revisados para la armadura de corte de las zapatas, cuyo objetivo es mejorar la seguridad contra la falla por corte por punzonado.

CONSIDERACIONES GENERALES Los requisitos del Capítulo 15 se aplican fundamentalmente al diseño de fundaciones en las que se apoya una sola columna (zapatas aisladas), y no contiene requisitos específicos para el diseño de fundaciones en las cuales se apoyan más de una columna (zapatas combinadas). El Código establece que las zapatas combinadas se deben dimensionar para resistir las cargas mayoradas y reacciones inducidas de acuerdo con los requisitos de diseño del Código que correspondan. La discusión detallada del diseño de las zapatas combinadas está fuera del alcance de este capítulo. Sin embargo, a manera de enfoque general, las zapatas combinadas se pueden diseñar como vigas en su dirección longitudinal y como una zapata aislada en la dirección transversal, en un determinado ancho definido a cada lado de las columnas que soporta. Para mayor información sobre el diseño de zapatas combinadas se sugiere consultar las Referencias 15.1 y 15.2 indicadas en el Código.

15.2

CARGAS Y REACCIONES

Las zapatas y los cabezales de pilotes se deben diseñar para resistir los efectos de las cargas axiales, cortes y momentos aplicados mayorados. El tamaño (área de la base) de una zapata, o la distribución y el número de los pilotes, se determina en base a la tensión admisible del suelo o a la capacidad admisible de los pilotes, respectivamente. La tensión admisible del suelo o la capacidad de los pilotes se determina utilizando los principios de la Mecánica de Suelos de acuerdo con los reglamentos aplicables. Para las zapatas se especifica el siguiente procedimiento de diseño: 1.

El tamaño de la zapata (dimensiones en planta) o el número y la distribución de los pilotes se determina en base a las cargas (permanentes, sobrecargas, de viento, sísmicas, etc.) no mayoradas (de servicio) y a la tensión admisible del suelo o la capacidad del pilote (15.2.2).

2.

Una vez establecidas las dimensiones en planta, la altura de la zapata y la cantidad de armadura requerida se determinan en base a los requisitos de diseño que se exigen en el Código (15.2.1). Las presiones de servicio y los cortes y momentos

resultantes se multiplican por los factores de carga que corresponda especificados en el artículo 9.2 y se utilizan para dimensionar la zapata. A los fines del análisis, se puede asumir que una zapata aislada es rígida, con lo cual para cargas centradas se obtiene una tensión del suelo uniforme y para cargas excéntricas se obtiene una distribución triangular o trapezoidal (combinación de carga axial y flexión). A la zapata sólo se debe transmitir el momento flector que existe en la base de la columna o cabezal. No es necesario transmitir a la zapata el mínimo momento requerido en el artículo 10.12.3.2 por consideraciones de esbeltez (R15.2).

15.4

MOMENTOS EN LAS ZAPATAS

En cualquier sección de una zapata, el momento externo debido a la presión en la base se debe determinar haciendo pasar un plano vertical a través de la zapata y calculando el momento de las fuerzas que actúan en la totalidad del área de la zapata ubicada a un lado del plano vertical. El máximo momento mayorado en una zapata aislada se determina haciendo pasar un plano vertical a través de la zapata en las secciones críticas ilustradas en la Figura 22-1 (15.4.2). Luego este momento se utiliza para determinar el área de armadura de flexión requerida en dicha dirección. En las zapatas cuadradas o rectangulares que trabajan en una sola dirección y en las zapatas cuadradas que trabajan en dos direcciones, la armadura de flexión se debe distribuir uniformemente en todo en ancho de la zapata (15.4.3). En el caso de las zapatas rectangulares que trabajan en dos direcciones, la armadura se debe distribuir como se indica en la Tabla 22-1 (15.4.4). b 2

b 2

S

sección critica

b 4 (a) Columna, pedestal o tabique de hormigón

(b) Tabique o muro de mampostería

sección critica

S 2

(c) Columna con placa base de acero

Figura 22-1 – Ubicación de las secciones críticas para determinar el máximo momento mayorado en una zapata aislada (15.4.2)

22 - 2

Tabla 22-1 – Distribución de la armadura de flexión Tipo de zapata

Zapata cuadrada

Zapata rectangular

s (tip.)

s (tip.)

Zapata que trabaja en una dirección

B

L L

L

(15.4.3)

(15.4.3) AsL

s (tip.)

As2

As1

As2

@s2

@ s1

@ s2

 2   A sL  β +1

A s1 =  A s2 =

L A sB @ s3

Zapata que trabaja en dos direcciones

L

B 2

(15.4.3)

15.5

B

β=

A sL - A s1 2

L B

B 2

L

(15.4.4)

ESFUERZO DE CORTE EN LAS ZAPATAS

La resistencia al corte de una zapata que apoya sobre suelo o roca en la proximidad del elemento apoyado (columna o tabique) se debe determinar para la más severa de las dos condiciones indicadas en el artículo 11.12. Para determinar la altura requerida para la zapata se debe verificar tanto el corte en una dirección (11.12.1.1) como el corte en dos direcciones (11.12.1.2). El corte en una dirección supone que la zapata se comporta como una viga ancha, con una sección crítica que atraviesa la totalidad de su ancho. Si esta condición es la más severa, el diseño al corte se debe realizar de acuerdo con los artículos 11.1 a 11.5. A pesar de que el corte en una dirección rara vez determina la resistencia al corte de una zapata, el diseñador debe verificar que no se supere la resistencia al corte correspondiente a corte en una dirección. Para el corte en dos direcciones se debe verificar la resistencia al corte por punzonado. La sección crítica para el corte por punzonado es un perímetro bo alrededor del elemento apoyado, y la resistencia al corte se calcula de acuerdo con el artículo 11.12.2.1. En la Figura 22-2 se ilustran las áreas tributarias y las correspondientes secciones críticas para corte en una y dos direcciones para el caso de una zapata aislada. Observar que para el caso de columnas cuadradas o rectangulares está permitido utilizar una sección con cuatro lados rectos (11.12.1.3). Para diseñar una zapata para corte en dos direcciones, Vc es el menor de los valores obtenidos mediante las Ecuaciones (11-33), (11-34) y (11-35). La ecuación (11-35) establece el límite superior para Vc igual a 4 f 'c bo d . La Ecuación (11-33) considera el efecto de βc, que es la relación entre la longitud del lado mayor y la longitud del lado menor de la columna, carga concentrada o superficie de reacción. A medida que aumenta βc, la resistencia al corte del hormigón disminuye (ver Figura 22-3). La Ecuación (11-34) se desarrolló para tomar en cuenta el efecto de bo/d, y se basa en ensayos que permitieron comprobar que la resistencia al corte disminuye a medida que bo/d aumenta.

22 - 3

c1 + d Sección crítica bo para corte en dos direcciones b o = 2(c 1 + c 2 ) + 4d bw

c2 + d

c2

Sección crítica para corte en una dirección d

c1

Área tributaria para corte en dos direcciones Área tributaria para corte en una dirección

Figura 22-2 – Áreas tributarias y secciones críticas Si el esfuerzo de corte mayorado Vu en la sección crítica es mayor que la resistencia al corte determinante φVc dada por el menor valor obtenido de las Ecuaciones (11-33), (11-34) y (11-35), entonces es necesario proveer armadura de corte. Si la armadura de corte consiste en barras o alambres y estribos de una rama o de múltiples ramas, la resistencia al corte se puede aumentar hasta un valor máximo de 6 f 'c bo d (11.12.3.2), siempre que la altura efectiva de la zapata sea mayor o igual que 6 in., pero no menor que 16 veces el diámetro de las barras usadas para la armadura de corte (11.12.3). Sin embargo, se debe proveer armadura de corte para soportar el corte en exceso de 2 f 'c bo d (11.12.3.1). Las ecuaciones de resistencia al corte utilizadas para diseñar zapatas (sin armadura de corte) se pueden resumir de la siguiente manera: • Corte en una dirección Vu ≤ φVn

(

≤ φ 2 f 'c b w d

Ec. (11-1)

)

Ec. (11-3)

donde bw y Vu se calculan para la sección crítica definida en el artículo 11.12.1.1 (ver Figura 22-2).

22 - 4

βc 10

5

3,33 2,5

2,0 1,67 1,43 1,25 1,11 1,0 Corte en dos direcciones

4

3 Vc



4



βc

Vc =  2 +

f'c bo d

2

  

f'c bo d

c1 Corte en una dirección

1

c2

β c = c1 /c 2

0

0,2

0,4

0,5 0,6

0,8

1,0

1/βc

Figura 22-3 – Resistencia al corte del hormigón en una zapata • Corte en dos direcciones  4    2 +  f 'c bo d β c      αd Vu ≤ menor valor entre   s + 2  f 'c bo d b   o   4 f 'c bo d 

Ec. (11-33) Ec. (11-34) Ec. (11-35)

donde βb = relación entre la longitud del lado mayor y la longitud del lado menor de la columna, carga concentrada o superficie de reacción αs = 40 para columnas interiores = 30 para columnas de borde = 20 para columnas de esquina bo = perímetro de la sección crítica ilustrada en la Figura 22-2

22 - 5

15.8

TRANSMISIÓN DE ESFUERZOS EN LA BASE DE COLUMNAS, TABIQUES O PEDESTALES ARMADOS

Al publicarse el Código ACI 318-83, se revisó el artículo 15.8, referido a la transmisión de esfuerzos entre una zapata y el elemento apoyado (columna, tabique o pedestal), para tomar en cuenta tanto las estructuras hormigonadas en obra como aquellas con elementos prefabricados. El artículo 15.8.1 contiene requisitos generales aplicables tanto a las estructuras hormigonadas en obra como a las construcciones prefabricadas. Los artículos 15.8.2 y 15.8.3 contienen requisitos adicionales para las estructuras hormigonadas en obra y las construcciones prefabricadas, respectivamente. El artículo 15.8.3 específicamente permite usar pernos de anclaje o conectores mecánicos para transmitir esfuerzos entre una zapata y una columna o tabique prefabricado, siempre que los pernos de anclaje se diseñen de acuerdo con el Apéndice D. (Antes del Código de 1983, la unión entre un elemento prefabricado y una zapata requería ya sea barras longitudinales o pasadores que atravesaran la interfase, algo contrario a la práctica habitual.) Además, observar que el artículo 15.8 específicamente trata el tema de la transmisión de esfuerzos entre un tabique y una zapata. El artículo 15.8.3 contiene requisitos para las uniones entre columnas y tabiques prefabricados y los elementos en los cuales se apoyan. Este artículo indica que la mínima resistencia de una unión debe satisfacer los requisitos del artículo 16.5.1.3. Además, para las columnas prefabricadas en las cuales la sección transversal es mayor que la requerida por las cargas, para determinar la resistencia nominal en tracción está permitido utilizar un área efectiva reducida basada en la sección transversal requerida, pero nunca menor que la mitad del área total. Los paneles de tabiques prefabricados deben tener un mínimo de dos estribos por panel, con una resistencia nominal a la tracción de 10 kips por estribo (16.5.1.3(b)). Todos los esfuerzos aplicados en la base de una columna o tabique (elemento apoyado) se deben transmitir a la zapata (elemento de apoyo) mediante apoyo sobre hormigón y/o mediante armadura. Los esfuerzos de tracción deben ser resistidos en su totalidad por la armadura. La tensión de aplastamiento del hormigón tanto en el elemento apoyado como en el elemento de apoyo no debe ser mayor que la resistencia al aplastamiento del hormigón permitida por el artículo 10.17 (ver la discusión sobre el artículo 10.16 en el Capítulo 6 de este documento). Para un elemento apoyado (columna), la resistencia al aplastamiento φPnb es igual a φPnb = ( 0,85f 'c A1 )

10.17.1

donde f'c = resistencia a la compresión del hormigón de la columna A1 = área cargada (área de la columna) φ = 0,65

9.3.2.4

Para el elemento de apoyo (zapata), φPnb = φ ( 0,85f 'c A1 )

A2 ≤ 2φ ( 0,85f 'c A1 ) A1

donde f'c = resistencia a la compresión del hormigón de la zapata A2 = área de la base inferior de la mayor pirámide, cono truncado o cuña que queda contenida en su totalidad dentro del apoyo y que tiene por base superior el área cargada, y pendientes laterales de 1 en vertical por 2 en horizontal (ver Figura R10.17). El Ejemplo 22.4 ilustra el diseño para transmisión de los esfuerzos en la base de una columna.

22 - 6

Cuando se supera la resistencia al aplastamiento es necesario disponer armadura para transmitir el exceso de carga. Se debe proveer un área mínima de armadura que atraviese la interfase entre la columna o tabique y la zapata, aún cuando no se supere la resistencia al aplastamiento del hormigón. Siendo los requisitos sobre transmisión de esfuerzos comunes para estructuras hormigonadas en obra y construcciones prefabricadas, incluyendo la transmisión de esfuerzos entre un tabique y una zapata, los requisitos de armadura mínima se basan en el tipo de elemento apoyado, como se indica en la Tabla 22-2. Tabla 22-2 – Armadura mínima para transmisión de esfuerzos entre una zapata y el elemento apoyado

Columnas

Hormigonado en obra

Prefabricado

0,005 A g

200 A g fy

(15.8.2.1)

(16.5.1.3(a))

ver 14.3.2

ver 16.5.1.3(b) y (c)

Tabiques (15.8.2.2)

Para las estructuras hormigonadas en obra, la armadura puede consistir en barras de armadura prolongadas o barras en espera. Para las construcciones con elementos prefabricados, la armadura puede consistir en pernos de anclaje o conectores mecánicos. La Referencia 22.1 dedica un capítulo completo al diseño de las uniones para las construcciones con elementos prefabricados. Para la transmisión de esfuerzos horizontales entre columnas y zapatas se debe utilizar el método de diseño de corte por fricción indicado en el artículo 11.7.4 (15.8.1.4; ver Ejemplo 22.6). Considerar que parte del esfuerzo lateral es transmitido por corte a través de las llaves de corte es una práctica cuestionable. El desplazamiento necesario para que se desarrolle una llave de corte es considerable. Si se disponen llaves de corte, éstas se deben considerar exclusivamente como un factor de seguridad mecánico adicional, y no se le debe asignar ningún esfuerzo de corte de diseño.

ZAPATAS Y PEDESTALES DE HORMIGÓN SIMPLE Las zapatas y pedestales de hormigón simple se diseñan de acuerdo con el Capítulo 22 del Código. El Capítulo 30 de este documento contiene una discusión detallada y ejemplos sobre este tema.

REFERENCIA 22.1

PCI Design Handbook – Precast and Prestressed Concrete, 5º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, IL, 1999.

22 - 7

Ejemplo 22.1 – Determinación del área de la base de una zapata Determinar el área de la base requerida, Af, para una zapata cuadrada dadas las siguientes condiciones de diseño: Sobrecarga de tierra

Carga permanente de servicio = 350 kips Sobrecarga de servicio = 275 kips Sobrecarga de tierra de servicio = 100 lb/ft2

P Nivel de piso

Suponer un que el suelo y el hormigón por encima de la base de la zapata tienen un peso promedio = 130 lb/ft3

5'-0"

Tensión admisible del suelo = 4,5 ksf Dimensiones de la columna = 30 × 12 in.

L

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinación del área de la base:

El área de la base de la zapata se determina utilizando las cargas de servicio (no mayoradas), con la máxima tensión admisible neta del suelo. Peso total de la sobrecarga de tierra = ( 0,130 × 5 ) + 0,100 = 0, 750 ksf Tensión admisible neta del suelo = 4,5 – 0,75 = 3,75 ksf Área requerida para la base de la zapata: Af =

15.2.2

350 + 275 = 167 ft 2 3, 75

Usar una zapata cuadrada de 13 × 13 ft (Af = 169 ft2) 2. Cargas mayoradas y reacción del suelo Para determinar la altura y la armadura requerida para la zapata se utilizan las cargas mayoradas. Pu = 1, 2 ( 350 ) + 1, 6 ( 275 ) = 860 kips

qs =

15.2.1 Ec. (9-2)

Pu 860 = = 5,10 ksf A f 169

22 - 8

Ejemplo 22.2 – Determinación de la altura de una zapata 13'-0"

Determinar la altura total requerida para la zapata dadas las condiciones de diseño del Ejemplo 22.1. f 'c = 3000 psi Pu = 860 kips

d 2

q s = 5,10 ksf 13'-0"

30"+ d

bo para corte en dos direcciones 12"+ d

d bw para corte en una dirección

Referencia del Código

Cálculos y discusión

Determinar la altura en base a la resistencia al corte sin armadura de corte. La altura requerida para el corte en general determina la altura de las zapatas. Es necesario investigar tanto el corte en una dirección como el corte en dos direcciones para determinar cuál es el criterio que determina la altura.

11.12

Suponer una altura total de la zapata = 33 in. y una altura efectiva promedio d = 28 in. = 2,33 ft 1. Corte en una dirección: Vu = qs × área tributaria b w = 13ft = 156 in.

Área tributaria = 13 ( 6, 0 − 2,33) = 47, 7 ft 2 Vu = 5,10 × 47, 7 = 243 kips

(

φVn = φ 2 f 'c b w d

)

(

Ec. (11-3)

)

= 0, 75 2 3000 × 156 × 28 /1000 = 359 kips > Vu

9.3.2.3

VERIFICA

2. Corte en dos direcciones Vu = qs × área tributaria  ( 30 + 28)(12 + 28)  2 Área tributaria = (13 × 13) −  = 159,9 ft 144   Vu = 5,10 × 152,9 = 780 kips

22 - 9

4  2 + β c  αs d Vc = menor valor entre  +2 f 'c bo d  bo 4  

Ec. (11-33) Ec. (11-34) Ec. (11-35)

bo = 2 ( 30 + 28 ) + 2 (12 + 28 ) = 196 in. βc =

30 = 2,5 12

bo 196 = =7 d 28 αs = 40 para las columnas interiores 4  2 + 2,5 = 3, 6  Vc  40 =  + 2 = 7, 7 f 'c bo d 7 4  

(Valor determinante)

φVc = 0, 75 × 3, 6 3000 × 196 × 28 /1000 = 812 kips > Vu = 780 kips

VERIFICA

22 - 10

Ejemplo 22.3 – Determinación de la armadura de una zapata Determinar la armadura requerida para la zapata dadas las condiciones de diseño del Ejemplo 22.1.

13'- 0" 1'

f 'c = 3000 psi f y = 60.000 kips

A

6'- 0" Sección crítica para el momento (proyección larga)

Pu = 860 kips q s = 5,10 ksf

d = 28"

2'- 9"

qs= 5,10 ksf

A

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. La sección crítica para el momento está en la cara de la columna.

15.4.2

M u = 5,10 × 13 × 62 / 2 = 1193 ft-kips

2. Calcular As requerida suponiendo que la sección es controlada por la tracción (φ = 0,9) R n requerida =

ρ=

=

0,85f 'c fy

Mu φbd

2

=

1193 × 12 × 1000 0,9 × 156 × 282

 2R n  1 − 1 − 0,85f 'c 

= 130 psi

  

0,85 × 3  2 × 130 1 − 1 − 60  0,85 × 3000 

p ( área bruta ) =

10.3.4, 9.3.2.1

  = 0, 0022  

d 28 × 0, 0022 = × 0, 0022 = 0, 0019 h 33

Verificar As mínima requerida para zapatas de altura uniforme; para armadura de grado 60:

10.5.4

ρmin = 0, 0018 < 0, 0019

7.12.2

VERIFICA

As requerida = ρbd As = 0, 0022 × 156 × 28 = 9, 60 in.2

(

)

Intentar con 13 barras No. 8 As = 10, 27 in.2 en cada dirección Observar que en la dirección perpendicular se requiere una menor cantidad de armadura, ya que Mu es menor, pero por motivos de simplicidad de la construcción utilizaremos la misma cantidad de armadura uniformemente distribuida en ambas direcciones. También observar que para la dirección perpendicular 22 - 11

dt = 27 in. 3. Verificar la deformación específica neta por tracción ( ε t ) 0,85f´c

0,003 a = b1c

c

C

d = dt = 28"

T

εt CORTE A-A

a=

=

c=

Diagrama de deformaciones

Diagrama de fuerzas

As f y 0,85f 'c b 10, 27 × 60 = 1,55 0,85 × 3 × 156 a 1,55 = = 1,82 β1 0,85

ε t + 0, 003 0, 003 = dt c  0, 003  εt =   d t − 0, 003  c  =

0, 003 × 28 − 0, 003 = 0, 043 > 0, 004 1,82

10.3.4

Por lo tanto, la sección es controlada por la tracción, lo que significa que la hipótesis inicial es válida. Usar 13 barras No. 8 en cada dirección. 4. Verificar el desarrollo de la armadura.

15.6

La sección crítica para el desarrollo de la armadura es la misma que para el momento (en la cara de la columna).   3 fy αβγλ Ad =   40 f '  c + K tr c    db 

   d    

15.6.3

Ec. (12-1)

22 - 12

Recubrimiento libre (en la parte inferior y los laterales) = 3,0 in. Separación entre los centros de las barras = 3, 0 + 0,5 = 3,5 in.  c = valor menor entre 12, 4  2 = 6, 2 in.

156 − 2 ( 3) − 2 ( 0,5 ) 12

= 12, 4 in.

12.2.4

(Valor determinante)

K tr = 0 (sin armadura transversal) c + K tr 3,5 + 0 = = 3,5 > 2,5 db 1, 0

Usar 2,5

12.2.3

α = 1, 0 (menos de 12 in. de recubrimiento debajo de las barras)

12.2.4

β = 1, 0 (armadura no recubierta) αβ = 1, 0 < 1, 7 γ = 1, 0 (barras mayores que las No. 7)

λ = 1, 0 (hormigón de peso normal)

 3 60.000 1, 0 × 1, 0 × 1, 0 × 1, 0  Ad =   × 1, 0 = 32,9 in. > 12, 0 in. 2,5  40 3000 

VERIFICA

Como A d = 32,9 in. es menor que la longitud de embebimiento disponible en la dirección más corta,  156 30  − − 3 = 60 in.  , las barras No. 8 se pueden desarrollar completamente.  2  2 

Usar 13 barras No. 8 en cada dirección.

22 - 13

12.2.1

Ejemplo 22.4 – Diseño para transmisión de esfuerzos en la base de una columna Verificar la transmisión de esfuerzos en la interfase entre la columna y la zapata para las condiciones de diseño del Ejemplo 22.1.

barras de la columna

f 'c (columna) = 5000 psi

barras en espera de la zapata

f 'c (zapata) = 3000 psi f y = 60.000 kips Pu = 860 kips

30"

recubrimiento 3"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Resistencia al aplastamiento del hormigón de la columna (f'c = 5000 psi):

15.8.1.1

φPnb = φ ( 0,85f 'c A1 )

10.17.1

= 0, 65 ( 0,85 × 5× 12 × 30 ) = 995 kips > Pu = 860 kips

VERIFICA

9.3.2.4

2. Resistencia al aplastamiento del hormigón de la zapata (f'c = 3000 psi):

15.8.1.1

La resistencia al aplastamiento de la zapata se incrementa aplicando un factor igual a

A 2 / A1 ≤ 2 ,

10.17.1

debido a la mayor área de la zapata que permite una mayor distribución de la carga de la columna. 33" 30"

63"

72" 156"

2

33"

1

66"

30"

22 - 14

66"

2

12"

12"

66"

66"

12"

30"

63"

156"

63"

72"

1

63"

A1 es el área de la columna (área cargada) y A2 es el área en planta de la base inferior del la mayor pirámide, cono truncado o cuña que queda contenida en su totalidad dentro del apoyo y que tiene por base superior el área cargada, y pendientes laterales de 1 en vertical por 2 en horizontal. Para la columna de 30 × 12 in. que apoya sobre la zapata cuadrada de 13 × 13 in., A2 = (66 + 12 + 66) × (63 + 30 + 63). A2 144 × 156 = = 7,9 > 2 A1 30 × 12

Usar 2

Observar que el aplastamiento del hormigón de la columna siempre será determinante hasta que la resistencia del hormigón de la columna sea mayor que dos veces la del hormigón de la zapata.

φPnb = 2 φ ( 0,85f 'c A1 )  = 2  0, 65 ( 0,85 × 3× 12 × 30 )  = 1193 kips > Pu = 860 kips

VERIFICA

3. Barras en espera requeridas entre la columna y la zapata: A pesar de que la resistencia al aplastamiento tanto del hormigón de la columna como del hormigón de la zapata es adecuada para transmitir las cargas mayoradas, se requiere un área mínima de armadura que atraviese la interfase.

15.8.2.1

As ( min ) = 0, 005 ( 30 × 12 ) = 1,80 in.2

(

Proveer 4 barras No. 7 a modo de barras en espera As = 2, 40 in.2

)

4. Desarrollo de las barras en espera en compresión.

12.3.2

En la columna:  0, 02f y A dc =   f' c 

  d b ≥ 0, 0003f y d b  

(

)

Para las barras No. 7:  0, 02 × 60.000  A dc =   0,875 = 14,9 in. 5000  

A dc( min ) = 0, 0003 × 60.000 × 0,875 = 15,8 in. (Valor determinante)

En la zapata:  0, 02 × 60.000  A dc =   0,875 = 19, 2 in. (Valor determinante) 3000  

A dc( min ) = 0, 0003 × 60.000 × 0,875 = 15,8 in.

Longitud disponible para el desarrollo dentro de la zapata = altura de la zapata – recubrimiento – 2 (diám. barras de la zapata) – diám. barras en espera 22 - 15

= 33 − 3 − 2 (1, 0 ) − 0,875 = 21,1 in. > 19, 2 in.

Por lo tanto, las barras en espera se pueden desarrollar plenamente dentro de la zapata.

22 - 16

Ejemplo 22.5 – Diseño para la transmisión de esfuerzos mediante armadura 12"

Diseñar para la transmisión de esfuerzos entre la columna y la zapata para las condiciones indicadas a continuación. Columna de 12 × 12 in., con estribos cerrados, y con 4 barras longitudinales No. 14.

barras No. 14

f 'c = 4000 psi (columna y zapata) f y = 60.000 kips PD = 200 kips

barras en espera

1'- 6"

PL = 100 kips

9´- 0" (cuadrada)

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Carga mayorada Pu = (1, 2 × 200 ) + (1, 6 × 100 ) = 400 kips

Ec. (9-2)

2. Resistencia al aplastamiento del hormigón de la columna:

15.8.1.1

φPnb = φ ( 0,85f 'c A1 ) = 0, 65 ( 0,85 × 4 × 12 × 12 )

10.17.1

= 318, 2 kips < Pu = 400 kips NO VERIFICA

La carga de la columna no se puede transmitir exclusivamente por apoyo sobre hormigón. El exceso de carga (400 – 318,2 = 81,8 kips) se debe transmitir mediante armadura. 3. Resistencia al aplastamiento del hormigón de la zapata: A2 φ ( 0,85f 'c A1 )  A1 

A2 9×9 = = 9 > 2 Usar 2 A1 1× 1 φPnb = 2 ( 318, 2 ) = 636, 4 kips > 400 kips

=

45º 45º

A2 A1

VERIFICA

4. Área de barras en espera requerida: As ( requerida ) =

15.8.1.1

9'-0"

9'-0"

φPnb =

15.8.1.2

15.8.1.2

( Pu − φPnb ) φf y 81,8 = 2,10in.2 0, 65 × 60

As ( min ) = 0, 005 (12 × 12 ) = 0, 72 in.2

15.8.2.1 22 - 17

(

)

Intentar con 4 barras No. 8 As = 3,16 in.2 . 5. Desarrollo de las barras en espera a. Para el desarrollo en la columna, se pueden empalmar por yuxtaposición las barras No. 14 de la columna con las barras en espera No. 8 de la zapata. Las barras en espera se deben prolongar hacia el interior de la columna una distancia no menor que la longitud de desarrollo de las barras No. 14 o que la longitud de empalme por yuxtaposición de las barras en espera No. 8, cualquiera sea el valor que resulte mayor.

15.8.2.3

Para las barras No. 14:  0, 02f y A dc =   f' c 

  0, 02 × 60.000   db =  1, 693 = 32,1 in.  4000   

(

(Valor determinante)

)

A dc( min ) = 0, 0003f y d b = 0, 0003 × 60.000 × 1, 693 = 30,5 in.

Para las barras No. 8: Longitud de empalme por yuxtaposición = 0, 0005f y d b

12.16.1

= 0, 0005 × 60.000 × 1, 0 = 30 in.

La longitud de desarrollo de las barras No. 14 es el valor determinante. Las barras en espera No. 8 se deben prolongar una longitud como mínimo igual a 33 in. hacia el interior de la columna. b. Para el desarrollo en la zapata, las barras en espera No. 8 deben tener una longitud igual a una longitud de desarrollo completa.  0, 02f y A dc =   f' c 

  0, 02 × 60.000   db =   × 1, 0 = 19, 0 in.  4000   

(

15.8.2.3

(Valor determinante)

)

A dc( min ) = 0, 0003f y d b = 0, 0003 × 60.000 × 1, 0 = 18, 0 in.

Esta longitud se puede reducir para tomar en cuenta el exceso de armadura. As ( requerida ) As ( provista )

=

12.3.3(a)

2,10 = 0, 66 3,16

A d requerida = 19 × 0, 66 = 12,5 in.

Longitud disponible para el desarrollo de las barras en espera ≈ 18 − 5 = 13 in. > 12,5 in. requerida.

VERIFICA

Nota: En caso que la longitud de desarrollo disponible sea menor que la longitud de desarrollo requerida, se puede aumentar la altura de la zapata o bien utilizar un mayor número de barras en espera de menor tamaño. Observar también que si las barras en espera de la zapata se doblan para colocarlas por encima de la armadura de la zapata (como se ilustra en la figura), la porción doblada no se puede considerar efectiva para desarrollar las barras en compresión (12.5.5). 22 - 18

Ejemplo 22.6 –

Diseño para la transmisión de esfuerzos horizontales en la base de una columna

Para la columna y la zapata del Ejemplo 22-5, diseñar para la transmisión de un esfuerzo horizontal mayorado de 85 kips que actúa en la base de la columna. Datos para el diseño: Zapata:

Dimensiones = 9 × 9 ft Altura = 1 ft - 6 in.

Columna:

Dimensiones = 12 × 12 in. (con estribos cerrados) Armadura longitudinal: 4 barras No. 4

f 'c = 4000 psi

(zapata y columna)

f y = 60.000 psi

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Se puede aplicar el método de diseño de corte por fricción del artículo 11.7. Verificar la máxima transmisión de corte permitida:

15.8.1.4 11.7.5

Vu ≤ φ ( 0, 2f 'c A c ) pero no mayor que φ ( 800A c ) φVn = 0, 75 ( 0, 2 × 4 × 12 × 12 ) = 86, 4 kips φ ( 800A c ) = 0, 75 × 800 × 12 × 12 /1000 = 86, 4 kips Vu = 85 kips < φ ( 0, 2f 'c A c ) y φ ( 800A c )

VERIFICA

En la base de la columna de 12 × 12 in. se permite transmitir un esfuerzo de corte de 85 kips. Resistencia al corte: Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

Vn = Vu / φ = A vf f y µ

Ec. (11-25)

Usar µ = 0, 6 (hormigón sin rugosidad intencional)

11.7.4.3

y φ = 0, 75 (corte) A vf requerida =

Vu 85 = = 3,15 in.2 φf y µ 0, 75 × 60 × 0, 6

As ( provista ) = 3,16 in.2

Ec. (11-25)

VERIFICA

22 - 19

(

Por lo tanto, usar 4 barras en espera No. 8 As = 3,16 in.2

)

Si las 4 barras No. 8 no son adecuadas para transmitir el corte horizontal, al hormigón de la zapata en contacto con el hormigón de la columna se le debe imprimir una rugosidad intencional con un amplitud de aproximadamente 1/4 in. para aprovechar las ventajas del mayor coeficiente de fricción que se logra (1,0): A vf requerida =

85 = 1,89 in.2 0, 75 × 60 × 1, 0

2. Desarrollo en tracción de las barras en espera No. 8, según lo requerido por el artículo 11.7.8. a. Dentro de la columna   αβγλ 3 fy Ad =   40 f '  c + K tr c     db

  d b    

Ec. (12-1)

Recubrimiento libre de las barras No. 8 ≈ 3,25 in. Separación entre los centros de las barras No. 8 ≈ 4,5 in. 3, 25 + 0,5 = 3, 75 in.  c = menor valor entre  4,5 (Valor determinante)  2 = 2, 25 in.

12.2.4

Asumir K tr = 0 (de forma conservadora, suponer que no hay armadura transversal) c + K tr 2, 25 + 0 = = 2, 25 < 2,5 db 1, 0

Usar 2,5

12.2.3

α = 1, 0 β = 1, 0

αβ = 1, 0 < 1, 7 γ = 1, 0

λ = 1, 0  3 60.000 1, 0 × 1, 0 × 1, 0  Ad =   × 1, 0 = 31, 6 in. 2,5  40 4000 

Embeber en la columna una longitud de al menos 32 in. b. Dentro de la zapata Usar ganchos normales en los extremos de las barras No. 8. 22 - 20

(

)

A hb = 0, 02βλf y / f 'c d b

12.5.2

 60.000  =  0, 02 × 1, 0 × 1, 0 ×  × 1, 0 = 19, 0 in. 4000  

Modificaciones:

12.5.3

recubrimiento normal al plano del gancho de 90º > 2,5 in. recubrimiento sobre la prolongación de las barras más allá del gancho ≥ 2 in. A dh = 0, 7 × 19 = 13,3 in.

12.5.3(a)

Min. A dh = 8 × d b = 8 in. < 13,3 in.

12.5.1

Longitud de desarrollo disponible = 18 − 5 = 13 in. < 13,3 in.

NO VERIFICA

Aumentar la altura de la zapata en 2 in. Altura total = 20 in. Embeber los ganchos 15 in. en la zapata para asegurar las barras en espera a la armadura de la zapata. Longitud total de la barra en espera No. 8 = 32 + 15 = 47 in. Usar barras en espera de 4 ft de longitud. Nota: La parte superior de la zapata en la interfase entre la columna y la zapata debe estar limpia y libre de lechada antes de hormigonar la columna.

4 barras No. 14

12"

barra No. 8 en espera

6db= 6" diam. de doblado (Tabla 7.2)

4'-0"

s = 3,5"

estribo No. 4 1´-4" recubrim. 1,5" 12"

gancho normal de 90º

= 12db + 3db + db = 16db = 16" = 1ft - 4" Detalle de la barra en espera No. 8

22 - 21

11.7.9

Ejemplo 22.7 – Determinación de la altura de un cabezal de pilotes Para el cabezal de pilotes ilustrado, determinar la altura requerida para la zapata (cabezal) Dimensiones del cabezal = 8,5 × 8,5 ft

sección crítica para corte en dos direcciones

Dimensiones de la columna = 16 × 16 in.

1'-3"

Diámetro de los pilotes = 12 in. 3´-0"

d/2

f 'c = 4000 psi

8'-6"

Carga por pilote:

sección crítica para corte en una dirección

PD = 20 kips

d

3´-0"

1'-3"

PL = 10 kips 1'-3"

3´-0"

3´-0"

1'-3"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. La altura requerida para el corte generalmente controla la altura de los cabezales de pilotes. Se debe investigar tanto el corte en una dirección como el corte en dos direcciones. Suponer una altura total para el cabezal de 1 ft - 9 in., con un dpromedio ≈ 14 in.

11.12 15.7

2. Carga mayorada en los pilotes: Pu = 1, 2 ( 20 ) + 1, 6 (10 ) = 40 kips

Ec. (9-2)

3. Requisitos de resistencia al corte Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

a. Corte en una dirección para el cabezal:

11.12.1.1

Dentro del área tributaria hay tres pilotes. Vu ( despreciando el peso del cabezal ) = 3 × 40 = 120 kips

(

φVn = φ 2 f 'c b w d

)

Ec. (11-3)

b w = 8 ft-6 in. = 102 in.

(

)

φVn = 0, 75 2 4000 × 102 × 14 /1000 = 135, 4 kips > Vu = 120 kips

22 - 22

VERIFICA

b. Corte en dos direcciones:

11.12.1.2

Dentro del área tributaria hay ocho pilotes. Vu = 8 × 40 = 320 kips 4  2 + β c  αs d Vc = menor valor entre  +2 f 'c bo d  bo 4   βc =

Ec. (11-35) Ec. (11-36) Ec. (11-37)

16 = 1, 0 16

bo = 4 (16 + 14 ) = 120 in.

α s = 40 para columnas interiores bo 120 = = 8, 6 d 14

4  2 + 1 = 6  Vc  40 = + 2 = 6, 7 f 'c bo d  8, 6 4 (Valor determinante)  

Ec. (11-33) Ec. (11-34) Ec. (11-35)

φVc = 0, 75 × 4 4000 × 120 × 14 /1000

= 319 kips ≅ Vu = 320 kips

bo

VERIFICA

4. Verificar la resistencia al corte por punzonado en los pilotes de esquina. Como los pilotes están separados 3 ft entre sus centros los perímetros críticos no se superponen.

dp

d/2

Vu = 40 kips por pilote 4  2 + β c  α d Vc = menor valor entre  s + 2 f 'c bo d  bo 4  

Ec. (11-33) Ec. (11-34) Ec. (11-35)

βc = 1, 0 (superficie de reacción cuadrada de igual área)

22 - 23

bo = π (12 + 14 ) = 81, 7 in. αs = 20

11.12.2.1

bo 81, 7 = = 5,8 d 14

4  2 + 1 = 6  Vc  20 = + 2 = 5, 4 f 'c bo d  5,8 4 (Valor determinante)   φVc = 0, 75 × 4 4000 × 81, 7 × 14 /1000 = 217 kips > Vu = 40 kips

22 - 24

VERIFICA

23 Hormigón Prefabricado

CONSIDERACIONES GENERALES Para el Código 1995 el Capítulo 16 se rescribió por completo. Las ediciones anteriores del Código se orientaban en gran medida hacia el comportamiento. El nuevo Capítulo 16 es más prescriptivo, aunque quizás sea más adecuado utilizar el término "instructivo", ya que le proporciona al diseñador muchos más lineamientos para las estructuras que incorporan elementos de hormigón prefabricado. Pero el Capítulo 16 no sólo contiene más requisitos y lineamientos, sino que además el Comentario contiene alrededor de veinticinco referencias, a diferencia de las cuatro incluidas en el Código 1989. La intención es alentar al diseñador a maximizar el aprovechamiento de la literatura disponible. El aumento de la cantidad de material instructivo es más evidente en el artículo 16.5, Integridad Estructural. Los primeros requisitos para integridad estructural se introdujeron en el artículo 7.13 del Código 1989. Para las construcciones prefabricadas, este artículo sólo requería proveer estribos cerrados de tracción en las tres direcciones ortogonales (dos horizontales y una vertical) y alrededor del perímetro de la estructura, y no contiene muchos otros lineamientos. Luego, para las estructuras con muros portantes de hormigón prefabricado se incluyó la Referencia 23.1. Las recomendaciones encontradas en dicha referencia ahora han sido codificadas en el artículo 16.5.2. El artículo 16.5.1 se aplica fundamentalmente a las estructuras con elementos de hormigón prefabricado que no constituyen tabiques portantes y, como en el caso de la mayor parte de los nuevos requisitos del Capítulo 16, refleja las prácticas utilizadas por la industria desde hace tiempo. Observar que las estructuras con elementos izados ("tilt-up") también son una forma de hormigón prefabricado. La Referencia 23.3 trata específicameante todas las fases del diseño y la construcción de las estructuras con elementos izados.

16.2

REQUISITOS GENERALES

El código exige que los elementos prefabricados y sus uniones se diseñen para "…todas las condiciones de carga y vinculación a las que estarán sometidos, desde su fabricación inicial hasta su ubicación final en obra…" Con frecuencia, especialmente en el caso de los paneles de tabiques, las condiciones durante la manipulación son mucho más severas que aquellas que el elemento experimentará en servicio. Por este motivo, y también porque las prácticas y los detalles varían mucho de un fabricante a otro, los elementos de hormigón prefabricado generalmente son diseñados por ingenieros especializados contratados por el fabricante. Luego la documentación técnica se le presenta al proyectista estructural para su aprobación (16.2.4). El mismo procedimiento se sigue para el diseño de las uniones. Para obtener mayor información sobre la relación entre el proyectista estructural y el ingeniero especializado, ver las Referencias 23.4 y 23.5. Como se dijo anteriormente, a partir de la edición 1995 el código alienta el uso de otras publicaciones para el diseño de estructuras con elementos de hormigón prefabricado. Las Referencias 23.2, 23.6 y 23.7 le serán de particular ayuda el diseñador. De estas publicaciones, la más utilizada es la Referencia 23.7, PCI Design Handbook.

El artículo 16.2.3 establece que es necesario especificar tolerancias admisibles. Esto generalmente se hace por referencia a documentos utilizados en la industria23.8,23.9,23.10, como se observa en el comentario. El diseño de los elementos prefabricados y sus uniones es particularmente sensible a las tolerancias. Por lo tanto, éstas se deben especificar en los documentos contractuales junto con las resistencias requeridas del hormigón en las diferentes etapas de la construcción [16.2.4(b)].

16.3

DISTRIBUCIÓN DE LOS ESFUERZOS ENTRE LOS ELEMENTOS

El artículo 16.3.1 se ocupa de las distribución de los esfuerzos que son perpendiculares al plano de los elementos. La mayoría de las investigaciones a las cuales se hace referencia se relacionan con losas huecas, y también son aplicables a las losas macizas conectadas mediante juntas hormigonadas. Luego de largo tiempo se ha concluido que los elementos que están unidos entre sí por otros medios, como por ejemplo por medio de placas soldadas a las dobles Te, son capaces de distribuir cargas concentradas a los elementos adyacentes. Para los propósitos del diseño, es habitual asumir que hasta 25% de una carga concentrada se puede transmitir a cada elemento adyacente, y por lo tanto las uniones se deben diseñar de conformidad con esto. Debido a que la transmisión de cargas depende de la compatibilidad de las deformaciones, cerca del apoyo hay menos distribución, como se ilustra en la Figura 23-1(a) para losas huecas. Las alas de las doble T también se diseñan para distribución transversal de la carga en un ancho efectivo como se ilustra en la Figura 23-1(b). Aunque es posible que otros tipos de tablero no sigan el mismo esquema (debido a sus propiedades torsionales), los mismos principios son aplicables. En el Ejemplo 23.1 se presenta un ejemplo típico de diseño. La compatibilidad de las deformaciones de las unidades o elementos adyacentes es una consideración importante para el diseño. Por ejemplo, en el carril de circulación de un tablero construido con dobles T de hormigón prefabricado, aún cuando la resistencia de cada elemento sea adecuada para soportar la totalidad de la carga de rueda, no es deseable que dicha unidad se deforme de manera independiente del resto. Una práctica habitual en estos casos consiste en utilizar uniones menos separadas, de manera de asegurar la distribución de la carga y eliminar las deformaciones diferenciales entre los elementos. El artículo 16.3.2 se ocupa de la distribución de los esfuerzos en el plano. Este artículo requiere que para estos esfuerzos haya un recorrido de cargas continuo. Si estos esfuerzos son de tracción, deben ser resistidos mediante una conexión continua de acero o mediante armadura de acero. Como estas fuerzas en el plano generalmente son provocadas por cargas laterales tales como el viento o los movimientos sísmicos, prácticamente la totalidad del recorrido de cargas continuo debe ser proporcionado por el acero o por la armadura de acero. En este sentido, la armadura y las conexiones diseñadas de manera de satisfacer los requisitos de esta sección pueden también proveer los estribos continuos requeridos por 16.5.

16.4

DISEÑO DE LOS ELEMENTOS

Esta sección se ocupa fundamentalmente de los requisitos de armadura mínima para los elementos prefabricados. El artículo 16.4.1 permite obviar los requisitos sobre armadura transversal en los elementos de hormigón prefabricado de 12 ft o menos de ancho, excepto cuando dicha armadura es requerida para resistir la flexión. En el comentario se observa, a título de ejemplo, que esta excepción no se puede aplicar al caso de las alas de las secciones I o T. La intención de esta sección es que se aplique fundamentalmente a las losas huecas y a las losas macizas en las cuales las conexiones transversales generalmente son juntas hormigonadas. El artículo 16.4.2 reduce la armadura mínima de los tabiques prefabricados no pretensados con respecto de la requerida en el Capítulo 14 para los tabiques de hormigón armado colados en obra, a un valor igual a 0,001 por la sección transversal bruta del tabique, de acuerdo con la práctica habitual de la industria. Esto reconoce el hecho de que gran parte de la contracción de los elementos prefabricados se produce antes de su colocación en la estructura. En los tabiques prefabricados, la separación de la armadura debe ser como máximo 5 veces el espesor del tabique o 30 in. para el caso de tabiques interiores, o 18 in. para tabiques exteriores. Si los paneles de tabique son portantes, éstos generalmente se diseñan como elementos comprimidos de acuerdo con los requisitos establecidos en el Capítulo 10. Cuando los tabiques no son portantes (y muchas veces aún cuando lo son), las tensiones que se producen durante la manipulación generalmente resultan críticas. En estos casos una práctica habitual consiste en ubicar los puntos de izaje y estiba de manera que las tensiones durante la manipulación no superen el módulo de rotura (más un factor de seguridad), especialmente en el caso de los paneles prefabricados para uso arquitectónico. Si es probable que se produzca fisuración será necesario colocar armadura para controlar la fisuración que satisfaga los requisitos del artículo 10.6.4. 23 - 2

cargas interiores

cargas de borde

0,25 A

ancho efectivo

ancho efectivo

0,50 A

A

ancho efectivo

ancho efectivo

0,25 A

4'-0"

1'-0"

interpolar

interpolar

0,50 A

0,25 A = carga concentrada

(a) Losa hueca P

EJE

EJE 2" 2"

P/2

2,17"

P/2

2,17" 2,5'

45º

2,5'

45º

5,0' b = 8"

45º

45º

Planta

(b) Doble T Figura 23-1 – Distribución de carga supuesta23.7 23 - 3

16.5

INTEGRIDAD ESTRUCTURAL

La intención de los requisitos del artículo 16.5.1 es asegurar que haya un recorrido de carga continuo entre cada elemento prefabricado y el sistema resistente a las cargas laterales. El comentario presenta varios ejemplos de cómo lograrlo. El artículo 16.5.1.2 se adoptó de un requisito similar contenido en el Código de Construcción Uniforme (UBC), tal como se explica en el comentario. El artículo 16.5.1.3 contiene requisitos para los estribos verticales de tracción. El requisito para columnas especificado en el artículo 16.5.1.3(a) se aplica no sólo a las uniones entre columnas y zapatas, sino también a uniones tales como los empalmes de columnas. El requisito que establece que cada panel debe tener un mínimo de dos estribos con una resistencia mínima de 10.000 lb cada uno indicado en el artículo 16.5.1.3(b) se tomó del Manual de Diseño PCI23.7, y es el equivalente numérico de una unión habitual utilizada en la industria del hormigón prefabricado desde hace muchos años. Este es estrictamente un valor empírico, y sólo se debe aplicar a las dimensiones de los herrajes de la unión, sin incluir las excentricidades en el diseño. El artículo 16.5.1.3(c) permite que esta unión se haga a una losa de piso de hormigón armado, lo cual es habitual en las construcciones con elementos izados. El artículo 16.5.2 básicamente codifica algunas de las recomendaciones de la Referencia 23.11, y contiene valores numéricos para los estribos cerrados de tracción en las estructuras con tabiques portantes. de hormigón prefabricado. Este informe se basa en una serie de ensayos realizados en los laboratorios de la Portland Cement Association23.12 a fines de la década del 70.

16.6

DISEÑO DE LAS UNIONES Y DE LOS APOYOS

El artículo 16.6.1 lista las diferentes maneras en las cuales se pueden conectar los elementos prefabricados, y luego permite diseñar mediante análisis o ensayos. Se menciona especialmente la sección 11.7, Corte por Fricción, ya que ésta es una herramienta de análisis y diseño muy utilizada. Ver el Capítulo 16 de este documento. Las Referencias 23.7 y 23.6 también contienen ehemp0los de la aplicación del procedimiento de diseño aplicando corte por fricción. El artículo 16.6.2 describe varias consideraciones que son importantes al diseñar elementos de hormigón prefabricado al aplastamiento. Las longitudes mínimas de apoyo indicadas en 16.6.2.2(a) son particularmente importantes. Se debe destacar que estos son valores mínimos, y que la estructura se debe detallar con longitudes de apoyo significativamente mayores de manera de considerar las tolerancias en la colocación. El artículo 16.6.2.3 aclara que no es necesario que la armadura para momento positivo se prolongue fuera del extremo del elemento, siempre que llegue al menos hasta el centro del apoyo.

16.7

ELEMENTOS INCORPORADOS AL HORMIGÓN LUEGO DE SU COLOCACIÓN

En las fábricas de elementos de hormigón prefabricado, hace tiempo que es práctica habitual incorporar ciertos elementos al hormigón una vez que éste ha sido colado. Esta sección reconoce esta práctica y constituye una excepción a los requisitos del artículo 7.5.1. Las condiciones que se deben satisfacer para poder introducir elementos en el hormigón mientras aún está en estado plástico son: (1) el elemento introducido no necesariamente se debe vincular a la armadura dentro del hormigón, (2) el elemento introducido se debe mantener en la posición correcta mientras el hormigón esté en estado plástico, y (3) el hormigón se debe compactar adecuadamente alrededor de cada elemento incorporado.

16.8

MARCAS DE IDENTIFICACIÓN

El propósito de las marcas de identificación colocadas en los elementos de hormigón prefabricado es simplificar la construcción y evitar errores de colocación. Cada elemento prefabricado debe tener una marca que indique su fecha de fabricación, y debe estar identificado de acuerdo con los planos de montaje.

23 - 4

16.9

MANIPULACIÓN

Esta sección enfatiza nuevamente el requisito general del artículo 16.2.1. El diseño de los elementos de hormigón prefabricado debe considerar los esfuerzos y deformaciones que se producen durante la manipulación. Los planos de obra o los planos de montaje deben especificar los pasos del montaje y los herrajes requeridos para cada paso.

16.10

EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA DE LAS ESTRUCTURAS PREFABRICADAS

Siempre es deseable, y por cierto más seguro y más económico, ensayar un elemento de hormigón prefabricado sobre el cual existen dudas antes de incorporarlo a la estructura. Esta nueva sección describe cómo los requisitos del Capítulo 20 se pueden aplicar a este caso. Los ensayos de carga especificados en el artículo 20.3.2 se deben calibrar de manera de simular la porción de carga soportada por el elemento sobre el cual existen dudas cuando éste se encuentra en su posición final. Los criterios de aceptación del artículo 20.5 se aplican al elemento prefabricado en forma aislada.

REFERENCIAS 23.1

PCI Committee on Building Code and PCI Technical Activities Committee, “Proposed Design Requirements for Precast Concrete,” PCI Journal, V. 31, No. 6, Noviembre-Diciembre 1986, pp. 32-47.

23.2

ACI Committee 550, “Design Recommendations for Precast Concrete Structures,” (ACI 550R-96, Reaprobado 2000). American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 1996. También en ACI Manual of Concrete Practice, Parte 6.

23.3

ACI Committee 551, “Tilt-Up Concrete Structures,” (ACI 551R-92, Reaprobado 1997), American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 1992. También en ACI Manual of Concrete Practice, Parte 6.

23.4

The Case Task Group on Specialty Engineering, “National Practice Guidelines for Specialty Structural Engineers,” Council of American Structural Engineers, Washington, DC, 1994, pp. 11.

23.5

ACI Committee on Responsibility in Concrete Construction, “Guidelines for Authorities and Responsibilities in Concrete Design and Construction,” Concrete International, Vol. 17, No. 9, Setiembre 1995, pp. 66-69.

23.6

“Design and Typical Details of Connections for Precast and Prestressed Concrete,” MNL-123-88, 2º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1988, pp. 270.

23.7

“PCI Design Handbook – Precast and Prestressed Concrete,” MNL-120-92, 5º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1999, pp. 630.

23.8

“Manual for Quality Control for Plants and Production of Precast and Prestressed Concrete Products,” MNL-116-99, 4º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1999, pp. 340.

23.9

“Manual for Quality Control for Plants and Production of Architectural Precast Concrete,” MNL-117-96, 3º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1996, pp. 226.

23.10 PCI Committee on Tolerances, “Tolerances for Precast and Prestressed Concrete,” PCI Journal, V. 30, No. 1, EneroFebrero 1985, pp. 26-112. 23.11 PCI Committee on Precast Concrete Bearing Wall Buildings, “Considerations for the Design of Precast Concrete Bearing Wall Buildings to Withstand Abnormal Loads,” PCI Journal, V. 21, No. 2, Marzo-Abril 1976, pp. 18-51. 23.12 “Design and Construction of Large-Panel Concrete Structures,” seis informes, EB100D, 1976-1980, pp. 762; tres estudios, EB102D, 1980, pp. 300; Portland Cement Association, Skokie, IL.

23 - 5

Ejemplo 23.1 – Distribución de las cargas en dobles T Se requiere calcular los momentos y cortes mayorados para cada una de las tres dobles T de la siguiente cubierta:

P1

T #1

P2

T #2

ω T #3

3 - 10DT24

Datos: Dobles T = 10DT24 (peso propio = 468 lb/ft), h = 24 in. Luz = 60 ft Cargas: DL = 15 lb/ft2; LL = 30 lb/ft2 Carga permanente concentrada sobre la T #1, P1 = 20 kips a 3 ft del apoyo izquierdo Carga permanente concentrada sobre la T #2, P2 = 20 kips en la mitad de la luz

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Asumir que: La carga permanente concentrada P1 no se puede distribuir a las T adyacentes porque está próxima al apoyo.

La carga permanente concentrada P2 se distribuye de la siguiente manera: 25 por ciento a las T adyacentes y 50 por ciento a la T que soporta la carga, es decir: 0, 25 ( 20 kips ) = 5 kips a la T #1 0,50 ( 20 kips ) = 10 kips a la T # 2 0, 25 ( 20 kips ) = 5 kips a la T #3

2. Cargas permanentes y sobrecargas uniformes mayoradas, para cada T DL = 468 + 15 (10 ft de ancho ) = 0, 618 kip / ft LL = 30 (10 ft de ancho ) = 0,30 kip / ft

w u = 1, 2D + 1, 6L

Ec. (9-2)

= 1, 2 ( 0, 618 ) + 1, 6 ( 0,30 ) = 1, 222 kip / ft

3. Momentos y cortes mayorados para la T #1 Carga permanente concentrada mayorada próxima al apoyo = 1,2 (20) = 24 kips Carga permanente concentrada mayorada en la mitad de la luz = 1,2 (5) = 6 kips

23 - 6

w u = 1, 222 kip / ft

Reacción en el apoyo izquierdo =

57 6 1, 222 ( 60 ) = 62, 46 kips ( 24 ) + + 60 2 2

Para los elementos de hormigón pretensado, diseñar al corte a una distancia h/2

11.1.3.2

Vu ( izq.) = 62, 46 − 1, 222 = 61, 24 kips

3 6 1, 222 ( 60 ) = 40,86 kips ( 24 ) + + 60 2 2

Reacción en el apoyo derecho =

A una distancia h/2, Vu ( der.) = 40,86 − 1, 222 = 39, 64 kips 24 kips

6 kips

El máximo momento se da en el centro de la luz

1,222 kips/ft

M u ( max ) = 40,86 ( 30 ) − 1, 222 ( 30 )(15 ) = 676 ft-kips

3'

27' 60´

4. Momentos y cortes mayorados para la T #2 Mu =

=

w u A 2 PA + 8 4 1, 222 ( 60 )

62,46

+

=

1, 2 (10 )( 60 ) 4

1,8

= 730 ft-kips

-4,2

wuA P + 2 2

Máxima reacción =

-40,86 kips

1, 222 ( 60 ) 1, 2 (10 ) + = 42, 66 kips 2 2

A una distancia h/2, Vu = 42, 66 − 1, 222 = 41, 44 kips 5. Momentos y cortes mayorados para la T #3 Mu =

1, 222 ( 60 ) 8

58,80 34,8

2

8

30'

2

+

Máxima reacción =

1, 2 ( 5 )( 60 ) 4

= 640 ft-kips

1, 222 ( 60 ) 1, 2 ( 5 ) + = 39, 66 kips 2 2

A una distancia h/2, Vu = 39, 66 − 1, 222 = 38, 44 kips

23 - 7

24 Hormigón Pretensado – Flexión

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Los cambios introducidos en ACI 318-02 en relación con el diseño de elementos de hormigón pretensado son más profundos que los introducidos en ediciones anteriores. Los principales cambios son los siguientes: • Los requisitos del anterior Apéndice B, relacionados con los Requisitos de Diseño Unificado, ahora se han incorporado al cuerpo del Código. Los cambios incluidos en los Capítulos 8, 9, 10 y 18 afectan el diseño de los elementos de hormigón pretensado. También se modificaron los límites de armadura, la redistribución de momentos y la determinación del factor de resistencia φ. • Ahora se permite fisuración a nivel de cargas de servicio en los elementos solicitados a flexión de la nueva Clase C, para los cuales se aplican requisitos de comportamiento en servicio adicionales. Este nuevo requisito permite diseñar utilizando cualquier combinación de acero de pretensado y armadura no pretensada. • Se revisaron las definiciones correspondientes a "cable" (o tendón) y "acero de pretensado" de manera que ahora reflejan la práctica de la industria. Estos términos ahora se utilizan de forma consistente en todo el Código. • Se revisó el Capítulo 7, el cual ahora contiene requisitos separados (y diferentes) para el recubrimiento de hormigón para los elementos de hormigón pretensado colados en obra y para los elementos de hormigón pretensado fabricados en planta bajo condiciones controladas. El presente capítulo describe los cambios introducidos en el Capítulo 18 del Código 2002.

CONSIDERACIONES GENERALES En los elementos pretensados, al hormigón se le introducen tensiones de compresión con el objetivo de reducir las tensiones de tracción provocadas por las cargas aplicadas, incluyendo el peso propio del elemento. Para introducir las tensiones de compresión en el hormigón se utiliza acero de pretensado, es decir cordones, barras o alambres. El pretensado propiamente dicho es un método de pretensado en el cual los cables o tendones se traccionan antes de colocar el hormigón, y la fuerza de pretensado se transmite al hormigón principalmente por medio de la adherencia. El postesado es un método de pretensado en el cual los cables o tendones se traccionan una vez que el hormigón ha endurecido, y la fuerza de pretensado se transmite al hormigón principalmente por medio de los anclajes en los extremos de los cables. La acción de pretensar un elemento introduce en el mismo "cargas de pretensado". El diseño de los elementos pretensados debe considerar la resistencia y el comportamiento en condiciones de servicio durante todas las etapas de carga que se producirán a

lo largo de la vida de la estructura, desde el momento de la aplicación del pretensado hasta el final de su vida útil. Las estructuras pretensadas se deben analizar considerando las cargas de pretensado, las cargas de servicio, la temperatura, la fluencia lenta, la contracción y las propiedades estructurales de todos los materiales involucrados. El Código establece que todos los requisitos que no estén expresamente excluidos y que no contradigan los requisitos del Capítulo 18 también son aplicables a las estructuras de hormigón pretensado. Las exclusiones, listadas en los artículos 18.1.2 y 18.1.3, se deben a que algunos de los métodos empíricos o analíticos simplificados utilizados en otras partes del Código pueden no representar adecuadamente los efectos de los esfuerzos de pretensado. Las flechas de los elementos pretensados calculadas de acuerdo con el artículo 9.5.4 no deben ser mayores que los valores listados en la Tabla 9.5(b). De acuerdo con el artículo 9.5.4, los elementos de hormigón pretensado, al igual que cualquier otro elemento de hormigón, se deben diseñar de manera que su rigidez sea adecuada para impedir las deformaciones que pudieran afectar de forma adversa la resistencia o el comportamiento en servicio de la estructura.

MATERIALES DE PRETENSADO El material más utilizado como material de pretensado en los Estados Unidos es el cordón de siete alambres de acero de baja relajación Grado 270 definido por ASTM A 416. El tamaño más habitual es el de 1/2 in., aunque el uso de los cordones de 0,6 in. se está popularizando, particularmente para aplicaciones postesadas. Estos cordones tienen las siguientes propiedades: Diámetro nominal, in. Área, in.2 Resistencia a la tracción fpu, ksi Resistencia a la rotura, kips Tensión de tesado, ksi = 0,75fpu

1/2 0,153 270 41,3 202,5

0,6 0,217 270 58,6 202,5

En los países en los cuales se utiliza el sistema métrico se utilizan cordones virtualmente idénticos, sólo que estos se especifican en unidades métricas. El Manual de Diseño PCI del Prestressed Concrete Institute, 5º Edición (Referencia 24.1) contiene una curva tensióndeformación para este material, la cual se ilustra en la Figura 24-1.

SIMBOLOGÍA En el artículo 18.0 de ACI 318-02 se agregaron los siguientes símbolos. Esta simbología se utiliza en el artículo 18.4.4, el cual trata los requisitos de comportamiento en condiciones de servicio correspondientes a los elementos de hormigón pretensado fisurados solicitados a flexión. ∆fps = tensión en el acero de pretensado bajo cargas de servicio, menos la tensión de descompresión, ksi fdc

= tensión de descompresión. Tensión en el acero de pretensado cuando la tensión en el hormigón al mismo nivel que el baricentro de los cables es nula, psi

s

= separación entre los centros de la armadura traccionada por flexión cerca del borde extremo traccionado, in. Cuando cerca del borde extremo traccionado sólo hay una barra o cable, s es el ancho del borde extremo traccionado.

En el Capítulo 2 del Código se introdujeron las siguientes definiciones nuevas o modificadas. Estas se utilizan de forma consistente tanto en el Capítulo 18 como en el resto del Código, lo cual ha provocado numerosas modificaciones de tipo editorial. Acero de pretensado – Elementos de acero de alta resistencia, tal como alambres, barras o cordones, o un paquete de estos elementos, utilizados para introducir fuerzas de pretensado en el hormigón.

24 - 2

Cable (o tendón) – En las aplicaciones pretensadas es el acero de pretensado. En las aplicaciones postesadas es un conjunto completo, compuesto por los anclajes, el acero de pretensado, el recubrimiento del acero de pretensado (en el caso de las aplicaciones sin adherencia) y las vainas inyectadas (en el caso de las aplicaciones adherentes). Cable (o tendón) adherente – Cable en el cual el acero de pretensado se adhiriere al hormigón, ya sea de forma directa o a través de la mezcla de inyección. Cable (o tendón) no adherente – Cable en el cual el acero de pretensado está impedido de adherirse al hormigón y se puede mover libremente en relación con el mismo. La fuerza de pretensado se transfiere de forma permanente al hormigón en los extremos de los cables, exclusivamente por los anclajes. Vaina – Conducto (liso o corrugado) que contiene el acero de pretensado en las aplicaciones postesadas. Los requisitos que deben satisfacer las vainas para postesado se especifican en el artículo 18.17. Recubrimiento del acero de pretensado – Material que recubre al acero de pretensado para impedir su adherencia con el hormigón circundante, proveer protección contra la corrosión y contener el recubrimiento inhibidor de la corrosión. 270 ksi

270 E ps = 28.500 ksi

250 Según ASTM 416, la tensión mínima de fluencia para un alargamiento de 1% para 270 ksi = 243 ksi

230 Tensión fps (ksi) 210

190

170

150

0

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Deformación, εps (in./in.) Esta curva se puede aproximar mediante las siguientes expresiones:

εps ≤ 0,0086 : fps = 28.500 εps (ksi)

εps > 0,0086 : fps = 270 −

0,04 (ksi) εps − 0,007

Figura 24-1 – Curva tensión-deformación para un cordón de baja relajación Grado 270 (24.1)

24 - 3

18.2

REQUISITOS GENERALES

El Código especifica requisitos de resistencia y comportamiento en servicio para todos los elementos de hormigón, pretensados o no pretensados. Esta sección establece que, para los elementos pretensados, se deben verificar tanto la resistencia como el comportamiento bajo condiciones de servicio. Se deben considerar todas las etapas de carga que puedan ser críticas durante la vida de la estructura, comenzando por la etapa de transferencia de la fuerza de pretensado e incluyendo la manipulación y el transporte de los elementos. Esta sección también especifica varias cuestiones estructurales propias de las estructuras de hormigón pretensado que se deben considerar en el diseño. 18.2.3… Concentraciones de tensiones. Ver los requisitos para las zonas de anclaje de los cables postesados del artículo 18.13. 18.2.4… Compatibilidad de las deformaciones con las estructuras adyacentes. Un ejemplo del efecto del pretensado sobre las partes adyacentes de una estructura es la necesidad de incluir los momentos provocados por el acortamiento axial de los entrepisos pretensados en el diseño de las columnas que soportan los entrepisos. 18.2.5… Pandeo de los elementos pretensados. Este artículo se refiere a la posibilidad de pandeo de cualquier parte de un elemento donde los cables de pretensado no están en contacto con el hormigón. Esto puede ocurrir si el acero de pretensado se encuentra en una vaina sobredimensionada, y en el caso del pretensado externo descripto en 18.22. 18.2.6… Propiedades de las secciones. El Código requiere que, para determinar las propiedades de una sección antes de la adherencia de los cables de pretensado, se debe considerar la disminución del área de la sección transversal debida a la presencia de las vainas de postesado abiertas. En el caso de los elementos pretensados y los elementos postesados luego de la inyección de mortero, el comentario permite utilizar las propiedades de la sección bruta, o las propiedades de una sección efectiva que puede incluir el área transformada de los cables adherentes y la armadura no pretensada.

18.3

HIPÓTESIS DE DISEÑO

Para aplicar los principios estructurales fundamentales (equilibrio, relaciones tensión-deformación y compatibilidad geométrica) es posible introducir ciertas hipótesis simplificadoras. Para el cálculo de la resistencia (18.3.1) son válidas las hipótesis básicas indicadas en la sección 10.2 para elementos no pretensados, excepto que el artículo 10.2.4 sólo se debe aplicar a la armadura no pretensada. Para investigar las condiciones bajo cargas de servicio se puede utilizar la "teoría de la elasticidad" (variación lineal de la tensión en función de la deformación). Cuando el hormigón se fisura deja de resistir tracción. En la sección 8.5 se indican los módulos de elasticidad del hormigón y de la armadura no pretensada para los análisis bajo cargas de servicio. El módulo de elasticidad correspondiente a la armadura pretensada no se indica específicamente, pero en general se puede tomar como se describe en la Figura 24-1. Hay un nuevo artículo 18.3.3 donde se definen tres clases de elementos pretensados solicitados a flexión. Estas clases son las siguientes:

No fisurado

Clase U:

f t ≤ 7,5 f 'c

Transición

Clase T:

7,5 f 'c < f t ≤ 12 f 'c

Fisurado

Clase C:

f t > 12 f 'c

La Tabla 24-1 resume todos los requisitos aplicables para las tres clases de elementos pretensados solicitados a flexión y, a título de comparación, también los correspondientes a elementos no pretensados solicitados a flexión. Los elementos Clase U y Clase T corresponden a aquellos que, según ACI 318-99 y las ediciones anteriores del Código, se diseñaban de acuerdo con los artículos 18.4.2(c) y 18.4.2(d), respectivamente. En ACI 318-99 el artículo 18.4.2(d) exigía verificar las flechas mediante un análisis de sección fisurada cuando las tensiones de tracción eran mayores que 6 f 'c , pero la

24 - 4

sección no se suponía fisurada a menos que la tensión fuera mayor que 7,5 f 'c . Esta inconsistencia se eliminó fijando la tensión de tracción límite que separa la Clase U de la Clase T igual a 7,5 f 'c . La nueva Clase C permite diseñar utilizando cualquier combinación de acero de pretensado y armadura. Esta clase "llena el vacío" entre el hormigón pretensado y el hormigón no pretensado. Para los elementos pretensados Clase C el artículo 18.3.4 requiere determinar las tensiones mediante un análisis de sección fisurada, mientras que para los elementos Clase T se requiere un análisis de sección fisurada aproximado sólo para las deformaciones por flexión. Desafortunadamente, los análisis de tensiones en base a secciones fisuradas para combinación de flexión y carga axial (del pretensado) son complejos. La Referencia 24.2 presenta un método para determinar las tensiones en una sección fisurada. El artículo 18.3.3 establece que los sistemas de losas pretensadas que trabajan en dos direcciones se deben diseñar como elementos Clase U. El Código ACI 318-99 contenía un requisito similar. Tabla 24-1 – Requisitos de diseño para comportamiento en servicio Elementos pretensados Clase U

Clase T

Clase C

Elementos no pretensados

No fisurado

Transición entre no fisurado y fisurado

Fisurado

Fisurado

Sección bruta 18.3.4

Sección bruta 18.3.4

Sección fisurada 18.3.4

Ningún requisito

Tensión admisible en la transferencia

18.4.1

18.4.1

18.4.1

Ningún requisito

Tensión de compresión admisible en función de las propiedades de la sección no fisurada

18.4.2

18.4.2

Ningún requisito

Ningún requisito

≤ 7,5 f'c

7,5 f'c < ft ≤ 12 f'c

Ningún requisito

Ningún requisito

9.5.4.1 Sección bruta

9.5.4.2 Sección fisurada, bilineal

9.5.4.2 Sección fisurada, bilineal

9.5.2, 9.5.3 Momento de inercia efectivo

Ningún requisito

Ningún requisito

10.6.4 Modificado por el art. 18.4.4.1

10.6.4

---

---

Análisis de sección fisurada

M/(As x brazo de palanca), ó 0,6fy

Ningún requisito

Ningún requisito

10.6.7

10.6.7

Comportamiento supuesto Propiedades de la sección para determinar las tensiones bajo cargas de servicio

Tensión de tracción bajo las cargas de servicio (18.3.3) Bases para la determinación de las flechas

Control de la fisuración Determinación de ∆fps o fs para control de la fisuración Armadura de las caras laterales

18.4

REQUISITOS DE COMPORTAMIENTO EN SERVICIO ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

Tanto las tensiones en el hormigón como las tensiones en los cables de pretensado se limitan para asegurar un comportamiento satisfactorio inmediatamente después de la transferencia del pretensado y bajo cargas de servicio. El Código contiene diferentes tensiones admisibles para las condiciones inmediatamente posteriores a la transferencia del pretensado (antes de las pérdidas

24 - 5

que dependen del tiempo) y para las condiciones bajo cargas de servicio (una vez que han ocurrido todas las pérdidas que dependen del tiempo). Para las condiciones inmediatamente después de la transferencia del pretensado, el Código permite: tensión en la fibra comprimida extrema = 0, 60f ci' ; tensión en la fibra traccionada extrema = 3 f ci' , excepto que en los extremos de los elementos simplemente apoyados se permite 6 f ci' . Si la tensión de tracción supera los valores admisibles se deberá proveer armadura adherente no pretensada para resistir la totalidad del esfuerzo de tracción calculado suponiendo una sección no fisurada. La tensión de compresión admisible debida al pretensado más las cargas totales de servicio está limitada a 0, 60f c' . Se ha agregado una tensión admisible igual a 0, 45f c' para la condición correspondiente al pretensado más las cargas sostenidas de larga duración. Se debe observar que las "cargas de larga duración" o "cargas sostenidas" mencionadas en el artículo 18.4.2(a) incluyen cualquier parte de la sobrecarga que se mantendrá durante un período de tiempo suficiente como para provocar deformaciones dependientes del tiempo significativas. Las limitaciones para la tensión de tracción en el hormigón correspondientes a elementos pretensados clase U y Clase T bajo cargas de servicio se aplican a la zona traccionada "precomprimida", o sea a la porción de la sección transversal del elemento en la cual bajo cargas permanentes y sobrecargas se produce tracción por flexión. Para los elementos pretensados Clase C el control de la fisuración se logra por medio de un requisito sobre separación de la armadura que se basa en el artículo 10.6.4 y en la Ecuación (10-4) para hormigón no pretensado. El artículo 18.4.4 modifica la Ecuación (10-4). La máxima separación entre los cables se reduce a 2/3 del valor permitido para las barras, con el objetivo de tomar en cuenta la menor adherencia en relación con las barras conformadas. El valor ∆fps, es decir la tensión en el acero de pretensado bajo las cargas de servicio menos la tensión de descompresión fdc, es la tensión en el acero de pretensado cuando la tensión en el hormigón a la misma altura del baricentro de los cables es nula. De forma conservadora, el Código permite tomar fdc como la tensión de pretensado efectiva fse. A continuación se indica la Ecuación (10-4), y su modificación de acuerdo con el artículo 18.4.4. Ecuación (10-4) del artículo 10.6.4: s=

540 − 2,5cc fs

Ecuación modificada de acuerdo con el artículo 18.4.4: s=

 2  540 − 2,5cc   3  ∆f ps 

El valor de ∆fps no debe ser mayor que 36 ksi. Si ∆fps no es mayor que 20 ksi no es necesario aplicar los límites de separación indicados. Cuando para satisfacer los requisitos de separación se utiliza tanto armadura no pretensada como cables adherentes, la separación entre una barra y un cable no debe ser mayor que 5/6 del valor dado por la Ecuación (10-4). Si la altura efectiva de una viga Clase C es mayor que 36 in., se debe disponer armadura longitudinal en las caras laterales consistente en armadura no pretensada o cables adherentes según lo requerido por el artículo 10.6.7.

18.5

TENSIONES ADMISIBLES EN EL ACERO DE PRETENSADO

Las tensiones de tracción admisibles en todos los tipos de acero de pretensado, en función de la resistencia a la tracción mínima especificada fpu, se resumen de la siguiente manera:

24 - 6

a. Debido a la fuerza del gato de tesado en el cable ………………………………..…. 0,94f py pero no mayor que 0,80f pu

(

)

alambre y cordones de baja relajación f py = 0,90f pu …………………………………………………..………. 0,80f pu

(

)

alambre y cordones aliviados de tensiones y barras lisas (ASTM A722) f py = 0,85f pu ………...…………….. 0,80f pu

(

)

barras conformadas (ASTM A722) f py = 0,80f pu ……………………………………………………...……… 0, 75f pu b. Inmediatamente después de la transferencia del pretensado ……………………..…. 0,82f py pero no mayor que 0, 74f pu

(

)

alambre y cordones de baja relajación f py = 0,90f pu …………………………………………………..………. 0, 74f pu

(

)

alambre y cordones aliviados de tensiones y barras lisas f py = 0,85f pu ……………………...……….……….. 0, 70f pu

(

)

barras conformadas f py = 0,80f pu …………………………………………………….………………...……… 0, 66f pu c. Cables de postesado, en los dispositivos de anclaje y acoplamiento, inmediatamente después del anclaje de los tendones …………………………………………………………..…. 0, 70f pu Observar que las tensiones admisibles indicadas en 18.5.1(a) y (b) se aplican tanto a los cables de pretensado como a los cables de postesado. Con frecuencia los cables de pretensado se tesan al 75 por ciento de fpu. Esto dará por resultado una tensión menor que 0,74fpu luego de la transferencia.

18.6

PÉRDIDAS DE PRETENSADO

Un aspecto muy significativo que se debe considerar en el diseño de los elementos pretensados son las pérdidas de pretensado que se producen por diferentes causas. Estas pérdidas pueden afectar drásticamente el comportamiento de un elemento bajo cargas de servicio. Aunque es posible recomendar procedimientos de cálculo y ciertos valores límites para la deformación por fluencia lenta, los coeficientes de fricción, etc., en el mejor de los casos éstos constituyen una estimación razonable. Para diseñar elementos cuyo comportamiento (particularmente las flechas) es sensible a las pérdidas de pretensado, el ingeniero debería establecer mediante ensayos las propiedades dependientes del tiempo de los materiales a utilizar en el análisis y/o diseño de la estructura. Luego se deberían realizar análisis refinados para estimar las pérdidas de pretensado. El artículo 18.6.2 contiene requisitos específicos para determinar las pérdidas por fricción en los cables de postesado. En la Referencia 24.1 se discuten otros tipos de pérdidas de pretensado. Observar que el artículo 1.2.1(g) exige que el diseñador indique en los planos de diseño la magnitud y la ubicación de las fuerzas de pretensado.

ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE PRETENSADO Los valores correspondientes a sumas globales de las pérdidas, ampliamente utilizados para estimar las pérdidas de pretensado antes de la edición '83 del Código (35.000 psi para pretensado y 25.000 psi para postesado) en la actualidad se consideran obsoletos. Además, los valores correspondientes a sumas globales pueden no ser adecuados para todas las condiciones de diseño. La Referencia 24-3 contiene lineamientos para calcular las pérdidas de pretensado, los cuales se pueden adaptar a programas de computación. Este documento presenta un método para calcular las pérdidas paso a paso, que sirve para analizar las deformaciones de forma racional. Sin embargo, este método es demasiado tedioso para el cálculo manual. La Referencia 24-4 presenta un procedimiento razonablemente preciso y sencillo para estimar las pérdidas de pretensado debidas a diferentes causas, tanto para elementos pretensados como para elementos postesados, con cables adherentes y no adherentes. A continuación resumimos este procedimiento, el cual fue desarrollado para aplicaciones prácticas bajo condiciones de diseño normales. Estas ecuaciones sencillas le permiten al ingeniero estimar las pérdidas de pretensado debidas a cada causa, en vez de proporcionarle una suma global. En la Referencia 24-4 el lector encontrará un discusión detallada del procedimiento,

24 - 7

incluyendo ejemplos de aplicación para vigas de hormigón pretensado típicas. Los términos usados en el cálculo de las pérdidas se definen bajo el título "Simbología" incluido a continuación de esta sección.

CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS Acortamiento elástico del hormigón (ES) Para elementos con cables adherentes: ES = K es E s

donde:

f cir E ci

(1)

K es = 1,0 para elementos pretensados K es = 0,5 para elementos postesados en los cuales los cables se tesan en orden secuencial hasta una misma tensión. Para otros procedimientos de postesado el valor de Kes puede variar entre 0 y 0,5. f cir = k cir f cpi − f g

donde:

(2)

K cir = 1,0 para elementos postesados K cir = 0,9 para elementos pretensados.

Para elementos con cables no adherentes: ES = K es Es

f cpa

(1a)

E ci

Fluencia lenta del hormigón (CR) Para elementos con tendones adherentes: CR = K cr

donde:

Es ( fcir − f cds ) Ec

(3)

K cr = 2,0 para elementos pretensados K cr = 1,6 para elementos postesados

Para los elementos construidos de hormigón de agregados livianos y arena los anteriores valores de K cr se deben reducir en 20 por ciento. Para elementos con tendones no adherentes: CR = K cr

Es f cpa Ec

(3a)

Contracción del hormigón (SH)

24 - 8

V  SH = 8, 2 × 10−6 K sh E s 1 − 0, 06  (100 − RH ) S 

donde:

(4)

K sh = 1,0 para elementos pretensados K sh se toma de la Tabla 24-2 para elementos postesados.

Tabla 24-2 – Valores de Ksh para elementos postesados Tiempo, dias*

1

3

5

7

10

20

30

60

Ksh

0,92

0,85

0,80

0,77

0,73

0,64

0,58

0,45

*Tiempo entre el final del curado húmedo y la aplicación del pretensado.

Relajación de los cables (RE) RE =  K re − J ( SH + CR + ES )  C

(5)

donde los valores de K re , J y C se toman de las Tablas 24-3 y 24-4. Tabla 24-3 – Valores de Kre y J Kre (psi)

J

Cordón o alambre aliviado de tensiones Grado 270

Tipo de cable

20.000

0,15

Cordón o alambre aliviado de tensiones Grado 250

18.500

0,14

Alambre aliviado de tensiones Grado 240 ó 235

17.600

0,13

Cordón de baja relajación Grado 270

5000

0,040

Alambre de baja relajación Grado 250

4630

0,037

Alambre de baja relajación Grado 240 ó 235

4400

0,035

Barra aliviada de tensiones Grado 145 ó 160

6000

0,05

Tabla 24-4 – Valores de C

fpi/fpu

Cordón o alambre aliviado de tensiones

Barra aliviada de tensiones, o cordón o cable de baja relajación

0,80

1,28

0,79

1,22

0,78

1,16

0,77

1,11

0,76

1,05

0,75

1,45

1,00

0,74

1,36

0,95

0,73

1,27

0,90

0,72

1,18

0,85

0,71

1,09

0,80

0,70

1,00

0,75

24 - 9

fpi/fpu

Cordón o alambre aliviado de tensiones

Barra aliviada de tensiones, o cordón o cable de baja relajación

0,69

0,94

0,70

0,68

0,89

0,66

0,67

0,83

0,61

0,66

0,78

0,57

0,65

0,73

0,53

0,64

0,68

0,49

0,63

0,63

0,45

0,62

0,58

0,41

0,61

0,53

0,37

0,60

0,49

0,33

Fricción El cálculo de las pérdidas por fricción se indica en el artículo 18.6.2. Una vez que el tendón se tesa, las pérdidas por fricción calculadas se pueden verificar con una precisión razonable comparando el alargamiento del cable medido y la fuerza de pretensado aplicada por el gato de tesado.

SIMBOLOGÍA Ac

= área de la sección bruta de hormigón en la sección transversal considerada

Aps

= área total del acero de pretensado

C

= factor utilizado en la Ecuación (5); ver Tabla 24-3

CR

= pérdida de tensión debida a la fluencia lenta del hormigón

e

= excentricidad del baricentro del acero de pretensado con respecto al baricentro del hormigón en la sección transversal considerada

Ec

= módulo de elasticidad del hormigón a los 28 días

Eci

= módulo de elasticidad del hormigón en el momento de aplicar el pretensado

Es

= módulo de elasticidad del acero de pretensado; generalmente igual a 28.000.000 psi

ES

= pérdida de tensión debida al acortamiento elástico del hormigón

fcds

= pérdida en el hormigón, en coincidencia con el baricentro del acero de pretensado, debida a todas las cargas permanentes sobrepuestas que se aplican al elemento una vez que ha sido pretensado

fcir

= tensión de compresión neta en el hormigón, en coincidencia con el baricentro del acero de pretensado, inmediatamente después de aplicar el pretensado al hormigón; ver Ecuación (2)

fcpa

= tensión de compresión media en el hormigón, a lo largo de la longitud del elemento en coincidencia con el baricentro del acero de pretensado, inmediatamente después de aplicar el pretensado al hormigón

fcpi

= tensión en el hormigón, en coincidencia con el baricentro del acero de pretensado, debida a Ppi

fg

= tensión en el hormigón, en coincidencia con el baricentro del acero de pretensado, debida al peso de la estructura en el momento en que se aplica el pretensado

fpi

= tensión en el acero de pretensado debida a Ppi , = Ppi / A ps

fpu

= resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado, psi

Ic

= momento de inercia de la sección bruta de hormigón en la sección transversal considerada

J

= factor usado en la Ecuación (5); ver Tabla 24-2

24 - 10

Kcir

= factor usado en la Ecuación (2)

Kcr

= factor usado en la Ecuación (3)

Kes

= factor usado en las Ecuaciones (1) y (1a)

Kre

= factor usado en la Ecuación (5); ver Tabla 24-2

Md

= momento flector debido al peso propio del elemento que está siendo pretensado y a cualquier otra carga permanente que ya está actuando en el momento de aplicar el pretensado

Mds

= momento flector debido a todas las cargas permanentes sobrepuestas que se aplican al elemento una vez que ha sido pretensado

Ppi

= fuerza de pretensado en los cables en la ubicación crítica del tramo luego de efectuar las reducciones debidas a las pérdidas por fricción y en los dispositivos de anclaje, pero antes de efectuar las reducciones debidas a ES, CR, SH y RE

RE

= pérdida de tensión debida a la relajación del acero de pretensado

RH

= humedad relativa ambiente media alrededor del elemento de hormigón (ver Figura 24-1)

SH

= pérdida de tensión debida a la contracción del hormigón

V/S = relación volumen-superficie; generalmente se toma como el área bruta de la sección transversal del elemento de hormigón dividida por su perímetro.

75

Figura 24-2 – Humedad relativa ambiente media anual

18.7

RESISTENCIA A FLEXIÓN

La resistencia a flexión de los elementos pretensados se puede calcular usando las mismas hipótesis usadas para los elementos no pretensados. Sin embargo, el acero de pretensado no tiene un límite de fluencia bien definido como el acero dulce. A medida que una sección transversal pretensada llega a su resistencia a flexión (definida por una máxima deformación específica de

24 - 11

compresión en el hormigón igual a 0,003), la tensión en la armadura pretensada a la resistencia nominal, fps, variará dependiendo de la magnitud del pretensado. El valor de fps se puede obtener a partir de las condiciones de equilibrio, relaciones tensión-deformación y compatibilidad de las deformaciones (el Ejemplo 24-4 ilustra este procedimiento). Sin embargo, este análisis es bastante laborioso, especialmente en el caso de los cables no adherentes. En el caso de pretensado con cables adherentes se puede considerar la compatibilidad de las deformaciones en una sección individual, mientras que en el caso de los cables no adherentes las relaciones de compatibilidad sólo se pueden plantear en los puntos de anclaje y dependerán del perfil del cable y de las cargas que solicitan al elemento. Para evitar estos cálculos largos y laboriosos, el Código permite obtener fps mediante las ecuaciones aproximadas (18-3), (18-4) y (18-5). En el caso de los elementos con acero de pretensado adherente, se puede usar un valor aproximado de fps dado por la Ecuación (18-3) para los elementos solicitados a flexión armados con una combinación de armadura pretensada y no pretensada (elementos parcialmente pretensados), tomando en cuenta los efectos de cualquier armadura de tracción no pretensada (ω), cualquier armadura de compresión (ω'), la resistencia a la compresión del hormigón f'c, el factor de bloque rectangular de tensiones β1, y un factor adecuado según el tipo de material de pretensado utilizado (γp). Para los elementos totalmente pretensados (sin armadura de tracción ni de compresión no pretensada), la ecuación (18-3) se reduce a: f pu   γp f ps = f pu  1 − ρp  f 'c   β1

donde:

(

γ p = 0,55 para barras conformadas f py / fpu ≥ 0,80

) (

= 0,40 para alambre y cordones aliviados de tensiones, y barras lisas f py / f pu ≥ 0,85

(

= 0,28 para alambre y cordones de baja relajación f py / f pu ≥ 0,90

)

)

y β1, según se define en el artículo 10.2.7.3: β1 = 0,85 para f 'c ≤ 4000 psi = 0,80 para f 'c = 5000 psi = 0, 75 para f 'c = 6000 psi = 0, 70 para f 'c = 7000 psi = 0, 65 para f 'c ≥ 8000 psi

La Ecuación (18-3) se puede escribir de forma adimensional de la siguiente manera:  γp  ωp = ωpu  1 − ωpu   β1 

(6)

donde ωp =

A ps f ps

(7)

bd p f 'c

ωpu =

A ps f pu

(8)

bd p f 'c

La resistencia al momento de un elemento pretensado con cables adherentes se puede calcular usando la Ecuación (18-3) solamente cuando toda la armadura pretensada está ubicada dentro de la zona traccionada. Cuando parte de la armadura pretensada está ubicada en la zona comprimida de una sección transversal, la Ecuación (18-3), la cual involucra a dp, no es válida. Para este caso la resistencia a la flexión se debe calcular mediante un análisis general basado en las condiciones de

24 - 12

equilibrio y compatibilidad de las deformaciones, usando la relación tensión-deformación del acero de pretensado y las hipótesis indicadas en 10.2. Para los elementos con acero de pretensado no adherente se puede usar un valor aproximado de fps dado por las Ecuaciones (184) y (18-5). La Ecuación (18-5) también se aplica a elementos en los cuales la relación luz-altura es elevada (> 35), tales como las losas en una dirección, las placas planas y las losas planas postesadas. Una vez que se conoce el valor de fps, la resistencia nominal al momento de una sección rectangular, o de una sección con alas en la cual el bloque de tensiones está dentro del ala comprimida, se puede calcular de la siguiente manera: A ps f ps   a  M n = A ps f ps  d p −  = A ps f ps  d p − 0,59  2 bf 'c   

donde:

(9)

a = altura del bloque rectangular de tensiones equivalente =

A ps f ps 0,85bf 'c

(10)

o en términos adimensionales:

(

R n = ωp 1 − 0,59ωp

donde: R n =

18.8

)

(11)

Mn

( )

b dp

2

(12) f 'c

LÍMITES PARA LA ARMADURA DE LOS ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

El límite anterior (0,36β1) usado en el Código 1999 y ediciones anteriores fue reemplazado por una clasificación de las secciones en base a la deformación específica neta. Esta clasificación divide a las secciones en secciones controladas por tracción, de transición, o controladas por compresión, las cuales se definen en los artículos 10.3.3 y 10.3.4. El artículo 9.3.2 especifica los factores φ apropiados. Estos requisitos son iguales que los que se aplican al hormigón no pretensado. La Figura 24-3 ilustra la relación entre el coeficiente de resistencia φMn/(bd2) y la cuantía de armadura ρρ para los elementos pretensados solicitados a flexión. El acero de pretensado Grado 270 ksi tiene una resistencia útil igual a 4,5 veces la de la armadura Grado 60. Comparar las Figuras 24-3 y 7-3. Con los elementos pretensados generalmente se utilizan hormigones de mayor resistencia; por este motivo la Figura 24-3 muestra curvas para valores de f'c comprendidos entre 5000 psi y 8000 psi, mientas que la Figura 7-3 muestra curvas para f'c entre 3000 y 6000 psi. En estas dos figuras las curvas correspondientes a f'c igual a 5000 psi y 6000 psi son casi idénticas. En ambas figuras las curvas tienen un punto de quiebre correspondiente a una deformación específica neta de tracción igual a 0,005. Más allá de este punto la reducción de φ en la región de transición prácticamente anula el beneficio del aumento del índice de armadura. Tanto para el hormigón no pretensado como para el hormigón pretensado, la mejor manera de diseñar es permaneciendo dentro de la región controlada por tracción y usando armadura de compresión, si fuera necesario, para mantener la deformación específica neta de tracción, εt, igual a 0,005 o más. Al igual que en los Códigos ACI 318 anteriores, no se especifica un límite absoluto para el índice de armadura de los elementos pretensados. Pero siempre será ventajoso diseñar la región controlada por tracción en las secciones críticas, ya que las ventajas que representa ganar mayor resistencia de diseño en la región de transición son escasas o nulas. Se pueden tabular los parámetros críticos en el límite correspondiente a secciones controladas por tracción. La tensión de pretensado efectiva, fse, normalmente será como mínimo 0,6fpu, ó 162 ksi, si se utiliza una fuerza de tesado igual a 0,75fpu. Esto corresponde a una pérdida del 20 por ciento. La deformación total del acero cuando εt = 0,005 es igual a 162/28.500 + 0,005 = 0,01068. Usando esta ecuación para la tensión del acero ilustrada en la Figura 24-1, fps = 270 – 0,04/(0,01068 – 0,007) = 259 ksi. Esto es válido cuando dt se toma igual a dp.

24 - 13

1400 f´c = 8000 psi 1200

φR n =

φ Mn bd p2

Coeficiente de resistencia, psi

f´c = 7000 psi f´c = 6000 psi

1000

f´c = 5000 psi 800

600

400

200

0

0

0,001

0,002

0,003

0,004

Cuantía de armadura ρρ =

0,005

0,006

0,007

A ps bdp

Figura 24-3 – Curvas de resistencia de diseño (φRn vs. ρρ) para cordones de baja relajación Tipo 270k La Tabla 24-5 contiene parámetros de diseño para secciones pretensadas en la deformación específica correspondiente al límite de las secciones controladas por tracción, indicados con el subíndice t. Las filas correspondientes a Rn, φnt y ωpt son idénticas a las de la Tabla 6-1. La fila correspondiente a ωput muestra valores algo más elevados que ωpt, ya que ωput se basa en fpu igual a 270 ksi, mientras que ωput se basa en fps igual a 259 ksi. La última fila para ωpt muestra valores mucho menores que para ρt en la Tabla 6-1, debido a que la resistencia del cordón de pretensado es mucho mayor. A continuación presentamos un procedimiento abreviado para determinar la resistencia a flexión de las secciones en las cuales se puede asumir que habrá acero de pretensado de baja relajación Grado 270 ksi dispuesto en una sola capa, con dp = dt, y con fse ≥ 162 ksi. 1.

Suponer que la sección se encuentra en el límite correspondiente a secciones controladas por tracción y fps = 259 ksi.

2.

Calcular la tracción T en el acero y un esfuerzo de compresión C igual a la tracción.

3.

Determinar la altura del bloque de tensiones, a, y la profundidad del eje neutro, c.

24 - 14

Tabla 24-5 – Parámetros de diseño para una deformación específica límite de 0,005 correspondiente a secciones controladas por tracción

Rnt φRnt ωpt ωput ρpt

f’c = 3000 β1 = 0,85 683 615 0,2709 0,2823 0,00314

f’c = 4000 β1 = 0,85 911 820 0,2709 0,2823 0,00418

f’c = 5000 β1 = 0,80 1084 975 0,2550 0,2657 0,00492

f’c = 6000 β1 = 0,75 1233 1109 0,2391 0,2491 0,00554

f’c = 7000 β1 = 0,65 1455 1310 0,2072 0,2159 0,00640

f’c = 8000 β1 = 0,65 1819 1637 0,2072 0,2159 0,00800

Para fse ≥ 162 ksi en cable de baja relajación Grado 270 ksi

4.

Se verifica c/dp ≤ 0,375? En caso afirmativo, proceder. Caso contrario agregar armadura de compresión para lograr c/dp ≤ 0,375.

5.

Calcular la resistencia de diseño provista φMn = 0,9 (T) (d – a/2).

6.

Si φMn > que el valor requerido, la sección es adecuada y no es necesario continuar. Caso contrario continuar con el paso siguiente.

7.

Si el faltante en el valor de φMn provisto es mayor que 4 por ciento es necesario agregar acero. Si el faltante es menor que 4 por ciento, se puede utilizar el principio de compatibilidad de las deformaciones para intentar hallar un valor de fps más elevado que permita justificar que la sección es adecuada.

El artículo 18.8.2 requiere que la cantidad total de la armadura pretensada y no pretensada de los elementos solicitados a flexión sea adecuada para desarrollar una resistencia al momento como mínimo igual a 1,2 veces el momento de fisuración (φMn = 1,2 Mcr), para lo cual Mcr se calcula mediante la teoría de la elasticidad en base a un módulo de rotura igual a 7,5 f c' . Los requisitos del artículo 18.8.2 son análogos a los del artículo 10.5 para elementos no pretensados. Se espera que constituyan una precaución contra las fallas abruptas por flexión que podrían resultar de la rotura de los cables de pretensado inmediatamente después de la fisuración. El requisito asegura que la fisuración se producirá antes que se alcance la resistencia a flexión, y con un margen lo suficientemente amplio como para que antes de llegar a la capacidad última se produzcan flechas significativas. Típicamente en los elementos pretensados con cables adherentes habrá un margen bastante importante entre la resistencia a la fisuración y la resistencia a la flexión, pero el diseñador deberá asegurarse de ello realizando esta verificación. El momento de fisuración, Mcr, para un elemento pretensado se determina sumando todos los momentos que provocarán una tensión en la fibra inferior igual al módulo de rotura fr. En referencia a la Figura 24-4 para un elemento compuesto pretensado no apuntalado, considerando la compresión con signo negativo y la tracción con signo positivo: P  P e M  M  −  se  −  se  +  d  +  a  = + f r  A c   Sb   Sb   Sc   S  P P e Resolviendo para M a =  f r + se + se  Sc − M d  c  A c Sb    Sb 

Como M cr = M d + M a  S  P P e M cr =  f r + se + se  Sc − M d  c − 1 A c Sb    Sb 

(13)

Para un elemento pretensado individual (sin losa compuesta), Sc = Sb . Por lo tanto, M cr se reduce a

24 - 15

 P  M cr =  f r + se  Sb + Pse e Ac  

(14)

Los Ejemplos 24.6 y 24.7 ilustran el cálculo del momento de fisuración para elementos pretensados. Observar que una excepción del artículo 18.8.2 permite obviar el requisito de 1,2Mcr en los siguientes casos: (a) losas en dos direcciones postesadas y sin adherencia, y (b) elementos solicitados a flexión en los cuales los valores de las resistencias al corte y a flexión son como mínimo el doble de los valores requeridos por el artículo 9-2. Para la resistencia a flexión:

φM n ≥ 2M u ≥ 2 (1, 2M d + 1, 6MA )

Para la resistencia al corte:

φVn ≥ 2Vu ≥ 2 (1, 2Vd + 1, 6VA )

Con frecuencia el requisito de 1,2Mcr requiere una cantidad excesiva de armadura en ciertos elementos pretensados solicitados a flexión, especialmente en el caso de elementos de sección hueca y de poca longitud. La intención de la excepción es limitar la cantidad de armadura adicional requerida a valores compatibles con la ductilidad, y conceptualmente es comparable a los requisitos establecidos en el artículo 10.5.3 para elementos no pretensados. Introducida en la edición 1999 del Código, las excepciones que permiten obviar el requisito de 1,2Mcr para las losas en dos direcciones postesadas y sin adherencia actualiza el Código para incorporar las prácticas actuales, las cuales han demostrado ser seguras y adecuadas desde el punto de vista técnico (Referencia 24.5). El artículo 18.8.3 de ACI 318-02 introduce un requisito cualitativo nuevo, que establece que parte de los cables o armadura adherente se debe ubicar tan cerca como sea posible de la cara traccionada. Losa hormigonada en obra

CG del elem. prefabricado

e

Elemento prefabricado

Aps

Pse/A c Aps = Ac = Sb = Sc = Pse = e = Md = Ma =

Pse e/S b

Md /S b

Ma /Sc

fr

área de armadura pretensada en la zona traccionada área del elemento prefabricado módulo resistente para la cara inferior del elemento prefabricado módulo resistente para la cara inferior del elemento compuesto fuerza de pretensado efectiva excentricidad de la fuerza de pretensado momento del elemento compuesto debido a la carga permanente momento adicional para provocar en la fibra inferior una tensión igual al módulo de rotura fr

Figura 24-4 – Condiciones de tensión para evaluar el momento de fisuración

24 - 16

18.9

ARMADURA ADHERENTE MÍNIMA

Es recomendable que haya una cantidad mínima de armadura adherente en los elementos en los cuales los cables son no adherentes. Se sugiere consultar la Referencia R18.9. Para todos los elementos solicitados a flexión con cables de pretensado no adherentes, excepto para las losas macizas en dos direcciones, se debe distribuir un área mínima de armadura adherente calculada de acuerdo con la Ecuación (18-6) uniformemente en toda la zona traccionada precomprimida, tan cerca de la fibra traccionada extrema como sea posible. La Figura 26-4 ilustra la aplicación de la Ecuación (18-6). A

cg A A

As

As = 0,004A

Figura 24-5 – Armadura adherente para los elementos solicitados a flexión Para las losas macizas se aplican los requisitos del artículo 18.9.3. Los requisitos para las áreas de momento positivo de las losas macizas se ilustran en la Figura 24-5(a), en función de la tensión de tracción en el hormigón bajo cargas de servicio. Anteriormente el artículo 18.9.3 se aplicaba exclusivamente a las placas planas. A partir del Código ACI 318-02 se aplica también a los sistemas de losa plana en dos direcciones con ábacos.

c

A

c1

2

En la edición 1999 del Código se revisó el requisito que establecía un área mínima de armadura adherente para las placas planas en dos direcciones en los apoyos sobre columnas, a fin de reflejar las recomendaciones que surgieron a partir de las investigaciones originales (Referencia 24.5). Esta revisión aumentó la armadura mínima requerida sobre las columnas interiores para el caso de paneles rectangulares armados en una dirección y, para el caso de paneles cuadrados, duplicó la armadura mínima requerida sobre columnas exteriores perpendicular al borde de la losa. La Figura 24-6(b) ilustra los requisitos de armadura adherente mínima para las áreas de momento negativo en los apoyos sobre columnas. La armadura adherente se debe ubicar dentro del ancho c2 + 2(1,5h) ilustrado, con un mínimo de cuatro barras separadas no más de 12 in. De manera similar, se debería proveer armadura adherente mínima paralela al borde de la losa.

2der

(longitud del tramo hacia la derecha)

ft > 2 fc' , A s =

Nc 0,5fy

h

ft ≤ 2 fc' , A s no se requiere

Nc ft

A

c+ 1

A

s

2izq

(longitud del tramo hacia la izquierda)

1,

5h

+ c2

2(

1,5

A s= 0,00075A cf

 Ah   A 2der + A 2izq  Acf = mayor valor entre   y  h 2 2  

Figura 24-6 – Armadura adherente para placas planas

24 - 17

h)

As

A

(longitud del tramo)

18.10.4

Redistribución de los momentos

Los anteriores requisitos especiales para la redistribución de los momentos en los elementos pretensados continuos solicitados a flexión ahora han sido remplazados por una referencia a la sección 8.4, la cual se aplica tanto a elementos pretensados como a elementos no pretensados.

18.11

ELEMENTOS COMPRIMIDOS COMBINACIÓN DE CARGAS AXIALES Y DE FLEXIÓN

Los requisitos del Código para el cálculo de la resistencia de los elementos pretensados son los mismos establecidos para los elementos no pretensados. Algunas consideraciones adicionales incluyen: (1) tomar en cuenta las deformaciones específicas debidas al pretensado, y (2) utilizar una relación tensión-deformación adecuada para los cables o tendones de pretensado. El Ejemplo 24.7 ilustra el procedimiento de cálculo. Para los elementos comprimidos con una tensión media de pretensado en el hormigón menor que 225 psi, se debe disponer armadura no pretensada (18.11.2.1). Para los elementos comprimidos con una tensión media de pretensado en el hormigón mayor o igual que 225 psi, el artículo 18.11.2.2 requiere que todos los cables de pretensado estén confinados mediante zunchos o estribos cerrados laterales, excepto en el caso de los tabiques.

REFERENCIAS 24.1

"PCI Design Handbook – Precast and Prestressed Concrete," MNL 120-95 5º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1999, p. 630.

24.2

Mast, R. F., "Analysis of Cracked Prestressed Sections: A Practical Approach," PCI Journal, Vol. 43, No. 4, JulioAgosto 1975, pp. 43-75.

24.3

PCI Committee on Prestress Losses, "Recommendations for Estimating Prestress Losses," PCI Journal, Vol. 20, No. 4, Julio-Agosto 1975, pp. 43-75.

24.4

Zia, Paul, et al., "Estimating Prestress Losses," Concrete International: Design and Construction, Vol. 1, No. 6, Junio 1979, pp. 32-38.

24.5

ACI 423.3R-96 Report, "Recommendations for Concrete Members Prestressed with Unbonded Tendons," American Concrete Institute, Detroit, Michigan.

24 - 18

Ejemplo 24.1 – Estimación de las pérdidas de pretensado Dado el elemento en forma de doble Te simplemente apoyado ilustrado a continuación, estimar las pérdidas de pretensado usando los procedimientos de la Referencia 24.4 según se discutió anteriormente bajo el título "Cálculo de las pérdidas." Suponer que la unidad se fabrica en la localidad de Green Bay, Wisconsin, WI. sobrecarga = 40 lb/ft2 carga en la cubierta = 20 lb/ft2 carga permanente = 47 lb/ft2 = 468 lb/ft luz = 48 ft f 'ci = 3500 psi f 'c = 5000 psi 8 cordones de acero de baja relajación de 0,5 in. de diámetro

(

)

A ps = 8 0,153in.2 = 1, 224 in.2

10'- 0" 2"

5 3/4"

24" 8" 5'- 0"

3 3/4"

e = 9,77 in. (todos los cordones son rectos) f pu = 270.000 psi f py = 0,90f pu

tensión de tesado = 0, 74f pu = 200 ksi Para el cálculo de las pérdidas asumir las siguientes hipótesis: E ci = 3590 ksi

Propiedades de la sección

E c = 4290 ksi

A c = 449 in.2

E s = 28.500 ksi

Ic = 22.469 in.4 y b = 17, 77 in. y t = 6, 23 in. V / S = 1,35 in.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Acortamiento elástico del hormigón (ES). Usando la Ecuación (1) del Capítulo 26 de este documento: ES = K es Es

f cir 0, 725 = 1, 0 ( 28.500 ) = 5,8 ksi E ci 3590

donde K es = 1, 0 para elementos pretensados f cir = K cir f cpi − f g

 Ppi Ppi e2 = K cir  +  Ac Ic 

 M e − d  Ic 

24 - 19

 245 245 × 9, 77 2 = 0,9  + 22.469  449

 1617 × 9, 77 = 0, 725 ksi  − 22, 469 

K cir = 0,9 para elementos pretensados Ppi = 0, 74f pu A ps = 0, 74 ( 270 )(1, 224 ) = 245 kips

M d = 0, 468 × 482 ×

12 = 1617 in.-kips (carga permanente del elemento) 8

2. Fluencia lenta del hormigón (CR). Usando la Ecuación (3): CR = K cr

Es 28.500 ( fcir − f cds ) = 2, 0 × ( 0, 725 − 0,30 ) = 5, 6 ksi Ec 4290

donde f cds = M ds

e 9, 77 = 691× = 0,30 ksi Ic 22.469

M ds = 0, 02 × 10 × 482 ×

12 = 691 in.-kips (sólo la sobrecarga en la cubierta) 8

y K cr = 2, 0 para elementos pretensados. 3. Contracción del hormigón (SH). Usando la Ecuación (4): V  SH = 8, 2 × 10−6 K sh E s 1 − 0, 06  (100 − RH ) S  = 8, 2 × 10−6 × 1, 0 × 28.500 (1 − 0, 06 × 1,35 )(100 − 75 ) = 5, 4 ksi

RH = humedad relativa ambiente media alrededor del elemento de hormigón, de la Figura 24-1. Para la localidad de Green Bay, Wisconsin, RH = 75% y K sh = 1, 0 para elementos pretensados. 4. Relajación de la tensión en el acero de pretensado (RE). Usando la Ecuación (5):

RE =  K re − J ( SH + CR + ES)  C = 5 − 0, 04 ( 5, 4 + 5, 6 + 5,8 )  0,95 = 4,1 ksi

donde, para cordones de acero de baja relajación Grado 270: K re = 5 ksi (Tabla 24-3)

J = 0,040 (Tabla 24-3)

24 - 20

C = 0,95 (Tabla 24-4 para

f pi f pu

= 0, 74

5. Pérdida de pretensado total ES + CR + SH + RE = 5,8 + 5, 6 + 5, 4 + 4,1 = 20,9 ksi

18.6.1

6. Tensión, fp, y esfuerzo, Pp, inmediatamente después de la transferencia: Asumir que un cuarto de la pérdida por relajación se produce antes de soltar los cordones. f p = 0, 74f pu − ( ES + 1/ 4 RE ) = 0, 74 ( 270 ) − ( 5,8 + 1/ 4 ( 4,1) ) = 193, 0 ksi

Pp = f p A ps = 193, 0 × 1, 224 = 236 kips

7. Tensión de pretensado efectiva, fse, y esfuerzo de pretensado efectivo, Pe, luego de todas las pérdidas. fse = 0, 74f pu − pérdida de pretensado total = 0, 74 ( 270 ) − 20,9 = 179 ksi

Pe = fse A ps = 179 × 1, 224 = 219 kips

24 - 21

Ejemplo 24.2 – Investigación de las tensiones en el momento de la transferencia del pretensado y bajo cargas de servicio Dado el elemento en forma de doble Te simplemente apoyado considerado en el Ejemplo 24.1, verificar todas las tensiones admisibles del hormigón inmediatamente después de la transferencia del pretensado y bajo cargas de servicio. Asumir que la unidad se utiliza como parte de la estructura de una cubierta. Utilizar el valor de las pérdidas determinadas en el Ejemplo 24.1. sobrecarga = 40 lb/ft2 carga en la cubierta = 20 lb/ft2 carga permanente = 47 lb/ft2 = 468 lb/ft luz = 48 ft f 'ci = 3500 psi f 'c = 5000 psi 8 cordones de acero de baja relajación de 0,5 in. de diámetro

(

)

A ps = 8 0,153in.2 = 1, 224 in.2

10'- 0" 2"

5 3/4"

24" 8" 5'- 0"

e = 9,77 in. (todos los cordones son rectos) f pu = 270.000 psi

3 3/4"

f py = 0,90f pu

tensión de tesado = 0, 74f pu = 200 ksi tensión después de la transferencia = 193 ksi esfuerzo después de la transferencia = Pp = 1, 224 × 193 = 236 kips Propiedades de la sección A c = 449 in.2 Ic = 22.469 in.4

y b = 17, 77 in. y t = 6, 23 in. V / S = 1,35 in.

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Calcular las tensiones admisibles en el hormigón:

18.4

En el momento de la transferencia del pretensado (antes de las pérdidas que dependen del tiempo):

18.4.1

Compresión: 0, 60f ci' = 0, 60 ( 3500 ) = 2100 psi Tracción:

6 f 'ci = 355 psi (en los extremos de los elementos simplemente apoyados; en los demás casos 3 f 'ci )

Bajo cargas de servicio (luego de considerar todas las pérdidas de pretensado): Compresión: 0, 45f 'c = 2250 psi

Debida a las cargas sostenidas o de larga duración

Compresión: 0, 60f 'c = 3000 psi

Debida a las cargas totales 24 - 22

18.4.2

Tracción:

12 f 'c = 849 psi

18.3.3(b)

2. Calcular los momentos bajo cargas de servicio en la mitad de la luz: Md =

w d A 2 0, 468 × 482 = = 134,8 ft-kips 8 8

(carga permanente de la viga)

M ds =

w ds A 2 0, 02 × 10 × 482 = = 57, 6 ft-kips 8 8

(carga permanente en la cubierta)

Msus = M d + M ds = 134,8 + 57, 6 = 192, 4 ft-kips MA =

(carga sostenida)

w A A 2 0, 04 × 10 × 482 = = 115, 2 ft-kips 8 8

(sobrecarga)

M tot = M d + M ds + M A = 134,8 + 57, 6 + 115, 2 = 307, 6 ft-kips (carga total)

3. Calcular los momentos bajo cargas de servicio en el punto de transferencia: Asumir que el punto de transferencia está ubicado a una distancia igual a 50db = 25 in. a partir del extremo de la viga. Asumir que la distancia entre el extremo de la viga y el centro del apoyo es 4 in. Por lo tanto, x = 25 – 4 = 21 in. = 1,75 ft. Md =

wd x 0, 468 × 1, 75 (A − x ) = ( 48 − 1, 75) = 18,9 ft-kips 2 2

(carga permanente de la viga)

En esta ubicación no es necesario calcular otros momentos, ya que aquí las condiciones inmediatamente después de soltar los cordones son determinantes. 4. Calcular las tensiones en la fibra extrema aplicando la "teoría de elasticidad lineal," que nos lleva a las siguientes expresiones ampliamente conocidas: ft =

P Pey t My t − + A I I

fb =

P Pey b My b + − A I I

donde, del Ejemplo 24.1 P = Pp = 236 kips

(inmediatamente después de la transferencia)

P = Pe = 219 kips

(bajo cargas de servicio)

24 - 23

11.4.3

Tabla 24-4 – Tensiones en el hormigón inmediatamente después de la transferencia del pretensado (psi) En el punto de transferencia supuesto

En la mitad de la luz

Parte superior

Parte inferior

Parte superior

Parte inferior

Pp/A

+526

+526

+526

+526

Ppey/l

+639

+1824

-639

+1824

Mdy/l

+63

-180

+448

-1279

Total

-50 (VERIFICA)

+2170 (digamos que VERIFICA)

+335 (VERIFICA)

+1071 (VERIFICA)

Admisible

-335

+2100

+2100

+2100

Compresión (+) Tracción (-)

Tabla 24-5 – Tensiones en el hormigón bajo cargas de servicio (psi) En la mitad de la luz – Cargas sostenidas Parte superior

En la mitad de la luz – Cargas totales

Parte inferior

Parte superior

Parte inferior

Pe/A

+448

+448

+448

+448

Peey/l

-594

+1695

-594

+1695

My/l

+640

-1826

+1023

-2919

Total

+534 (VERIFICA)

+357 (VERIFICA)

+917 (VERIFICA)

-736 (VERIFICA)

Admisible

+2250

+2250

+3000

-849

Compresión (+) Tracción (-)

24 - 24

Ejemplo 24.3 – Resistencia a flexión de un elemento pretensado empleando un valor aproximado para fps Calcular la resistencia nominal al momento del elemento pretensado ilustrado.

12"

f 'c = 5000 psi f pu = 270.000 psi (cordones de acero de baja relajación; f py = 0,90f pu ) 1'-10" 2'-0"

6 cordones de 1" 2 (Grado 270)

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Calcular la tensión en la armadura pretensada a la resistencia nominal utilizando un valor aproximado para fps. Para un elemento totalmente pretensado la Ecuación (18-3) se reduce a: f pu   γp f ps = f pu  1 − ρp  f 'c   β1

Ec. (18-3)

270   0, 28 = 270 1 − × 0, 00348 ×  = 252 ksi 5   0,80

donde γ p = 0, 28 para

f py f pu

= 0,90

para cordones de acero de baja relajación

β1 = 0,80 para f 'c = 5000 psi ρp =

A ps bd p

=

10.2.7.3

6 × 0,153 = 0, 00348 12 × 22

2. Calcular la resistencia nominal al momento usando las Ecuaciones (9) y (10) del Capítulo 24 de este documento. Calcular la altura del bloque de compresión: a=

A ps f ps 0,85bf 'c

=

0,918 × 252 = 4,54 in. 0,85 × 12 × 5

Ec. (10)

24 - 25

a  M n = A ps f ps  d p −  2 

Ec. (9)

4,54   M n = 0,918 × 252  22 −  = 4565 in-kips = 380 ft-kips 2  

3. Verificar si la sección es controlada por tracción:

10.3.4

 4,54  c / d p = ( a / β1 ) d p =   / 22  0,80  c / d p = 0, 258 < 0,375

La sección es controlada por tracción.

R9.3.2.2 φ = 0,90

24 - 26

Ejemplo 24.4 – Resistencia a flexión de un elemento pretensado en base a la compatibilidad de las deformaciones La viga de sección rectangular ilustrada está armada con una combinación de cordones pretensados y no pretensados. Calcular la resistencia nominal al momento usando el método de la compatibilidad de las deformaciones (momento-curvatura). f 'c = 5000 psi f pu = 270.000 psi (cordones de acero de baja relajación; f py = 0,90f pu ) E ps = 28.500 ksi

Tensión de tesado = 0, 74f pu Pérdidas = 31,7 ksi (calculadas usando el método de la Referencia 24.4) (El procedimiento se describe en la sección 18.6 – Pérdidas de pretensado.)

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Calcular la deformación específica efectiva en el acero de pretensado.

(

)

ε = 0, 74f pu − pérdidas / E ps = ( 0, 74 × 270 − 31, 7 ) / 28.500 = 0, 0059

2. Trazar el diagrama de deformaciones a la resistencia nominal al momento, definido por una deformación específica de compresión máxima en el hormigón igual a 0,003 y una distancia supuesta al eje neutro, c. Para f 'c = 5000 psi , β1 = 0,80 . 0,85f´c

0,003 Iteraciones C

c 6- φ1/2"

a = 0,80c

1'- 8" 2'-0"

Pret. No pret.

12"

a 2

Mn 0,0059

2"

ε1

ε2

T1 = A s1f1 T2 = As2 f 2 A

Deformaciones

Tensiones

3. Determinar el equilibrio de los esfuerzos horizontales. La "línea de deformaciones" trazada en la figura anterior a partir del punto 0 se debe ubicar de manera de obtener el equilibrio de los esfuerzos horizontales: C = T1 + T2

24 - 27

18.3.1

Para calcular T1 y T2, las tensiones correspondientes f1 y f2 se determinan en base a las deformaciones ε1 y ε2 y a la relación tensión-deformación de los cordones. El equilibrio se logra aplicando el siguiente procedimiento iterativo: a. asumir un valor de c (ubicación del eje neutro) b. calcular ε1 y ε2 c. determinar f1 y f2 a partir de las ecuaciones indicadas en la Figura 24-1 d. calcular a = β1c e. calcular C = 0,85f c' ab f. calcular T1 y T2 g. verificar la condición de equilibrio aplicando C = T1 + T2 h. si C < T1 + T2 aumentar el valor de c, o viceversa, y regresar al paso b de este procedimiento. Repetir hasta lograr una convergencia satisfactoria. Estimar una ubicación del eje neutro para una primera iteración. Estimar el cordón tesado a 260 ksi, y el cordón no tesado a 200 ksi. T = ∑ A ps fs = 0,306 ( 200 ) + 0, 612 ( 260 ) = 220 kips = C a = C / ( 0,85f 'c b ) = 220 / ( 0,85 × 5 × 12 ) = 4,32 in. c = a / β1 = 4,32 / 0,80 = 5, 4 in.

Usar c = 5,4 in. para la primera iteración.

La siguiente tabla resume las iteraciones requeridas para resolver este problema: Iteración No.

c in.

ε1

ε2

f1 ksi

f2 ksi

a in.

C kips

T1 kips

T2 kips

T1 + T2 kips

1 2 VERIFICA

5,4 5,6

0,0081 0,0077

0,0151 0,0147

231 220

265 265

4,32 4,48

220 228,5

71 67

162 162

233 229

4. Calcular la resistencia nominal al momento. Usando C = 228,5 kips, T1 = 67 kips y T2 = 162 kips la resistencia nominal al momento se puede calcular tomando momentos respecto de T2 de la siguiente manera:

{

}

M n = ( d 2 − a / 2 ) × C  − ( d 2 − d1 ) × T1  /12

{

}

=  22 − ( 4.48 / 2 ) × 228, 2 − ( 22 − 20 ) × 67  /12 = 365 ft-kips

24 - 28

Ejemplo 24.5 – Límite correspondiente a sección controlada por tracción para un elemento pretensado solicitado a flexión Para el elemento de sección en forma de doble Te ilustrado, verificar los límites para la armadura pretensada provista. f 'c = 5000 psi 22 cordones de baja relajación de 0,5 in. de diámetro

(

7' - 0"

)

2"

7 3/4"

A ps = 22 0,153 in.2 = 3,366 in.2 f pu = 270.000 psi f py = 0,90f pu

32" 4,5" 4' - 0" 4 3/4"

Referencia del Código

Cálculos y discusión Ejemplo No. 24.5.1 1. Calcular la tensión en la armadura pretensada a la resistencia nominal usando las Ecuaciones (6) y (8). ωpu =

A ps f pu bd p f 'c

=

3,366 × 270 = 0, 079 84 × 27,5 × 5

 γp   0, 28  × 0, 079  = 263 ksi f ps = f pu  1 − ωpu  = 270  1 − 0,8    β1 

Ec. (18-3)

donde γ p = 0, 28

para cordones de baja relajación

β1 = 0,80

para f 'c = 5000 psi

10.2.7.3

2. Calcular la altura requerida del diagrama de tensiones del hormigón. a=

A ps f ps 0,85bf 'c

=

3,336 × 263 = 2, 48 in. > h f = 2 in. 0,85 × 84 × 5

3. Calcular el área de la zona comprimida. Ac =

A ps f ps 0,85f 'c

=

3,336 × 263 = 208,3 in.2 0,85 × 5

4. Determinar la altura, a, del bloque de tensiones, y el valor de c.

24 - 29

+ 2 × 2, 65 ×

7,75"

= 168 in.2

A = 2 × 84 7, 75 + 7, 49 2

=

40,4 in.2

2"

208,4 in.2 2,65"

a = 4, 65 in.

7,49"

c = a / β1 = 4, 65 / 0,8 = 5,81 in.

5. Verificar si la sección es controlada por tracción.

10.3.4

c / d p = 5,81/ 27,5 = 0, 211 < 0,375

R.9.3.2.2

La sección es controlada por tracción. Nota: En el Paso 1, para determinar fps se utilizó la Ecuación (18-3). Pero, con el bloque de tensiones en el alma, el valor de ωpu usado en la Ecuación (18-5) no fue el correcto, aunque en este caso el error es pequeño. Mediante un análisis de compatibilidad de las deformaciones se obtiene c = 6,01 in. y fps = 266 ksi. Ejemplo No. 24.5.2 Verificar los límites de la armadura considerando un ala de 3 in. de espesor en el elemento del Ejemplo 24.5.1. La altura total continúa siendo 32 in. 1. f ps = 263 ksi

No varía respecto del Ejemplo 24.5.1

2. a = 2, 48

No varía respecto del Ejemplo 24.5.1, Paso 2

< h f = 3 in. Como el bloque de tensiones está totalmente comprendido dentro del ala, la sección efectivamente actúa como una sección rectangular. 3. Verificar la relación c / d p c = a / β1 = 2, 48 / 0,8 = 3,10 in. c / d p = 3,10 / 27,5 = 0,113 < 0,375

R9.3.2.2

La sección es controlada por tracción.

24 - 30

Ejemplo 24.6 – Momento de fisuración y límite de armadura mínima para un elemento pretensado no compuesto Dado el elemento pretensado no compuesto del Ejemplo 24.3, calcular el momento de fisuración y compararlo con la resistencia al momento de diseño para verificar el límite de armadura mínima. 12"

f 'c = 5000 psi f pu = 270.000 psi

Fuerza de tesado = 0, 70 f pu

c.g.

Asumir que las pérdidas son del 20%

1'-10" 2'- 0"

6 cordones de 1"2 (Grado 2

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Calcular el momento de fisuración usando la Ecuación (14) desarrollada en el Capítulo 24 de este documento.  P  M cr =  f r + se  Sb + ( Pse × e ) Ac  

Ec. (14)

f r = 7,5 f 'c = 530 psi

Ec. (9-9)

Suponiendo que las pérdidas son del 20%: Pse = 0,8 × [ 6 × 0,153 × 0, 7 × 270] = 139 kips Sb =

bh 2 12 × 242 = = 1152 in.3 6 6

A c = bh = 12 × 24 = 288 in.2

e = 12 − 2 = 10 in. 139   M cr =  0,530 + 1152 + (139 × 10 ) = 2557 in-kips = 213 ft-kips 288  

Observar que para verificar la armadura mínima de acuerdo con el artículo 18.8.3 es necesario determinar el momento de fisuración. 2. El artículo 18.8.3 requiere que la armadura total (pretensada y no pretensada) sea adecuada para desarrollar una resistencia al momento de diseño como mínimo igual a 1,2 veces el momento de fisuración.

24 - 31

Del ejemplo 24.3, Mn = 380 ft-kips. φM n ≥ 1, 2M cr

18.8.3

0,9 ( 380 ) > 1, 2 ( 213) 342 > 256

VERIFICA

24 - 32

Ejemplo 24.7 – Momento de fisuración y límite de armadura mínima para un elemento pretensado compuesto

6"

1,5"

2"

Dada la losa plana maciza prefabricada ilustrada, con una capa de compresión de 2 in., calcular el momento de fisuración. La losa es soportada por tabiques portantes y tiene una luz de 15 ft.

A ps = 0,12 in.2 /ft

Propiedades de la sección por pie de ancho: A c = 72 in.2 (losa prefabricada)

f 'c = 5000 psi

(hormigón de agregados livianos, w c = 125 lb / ft 3 )

Sb = 72 in.3

(losa prefabricada)

f pu = 250.000 psi

(cordón aliviado de tensiones)

(sección compuesta)

tensión de tesado = 0, 70 f pu

3

Sc = 132, 7 in.

Asumir que las pérdidas son del 25%

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Calcular el momento de fisuración usando la Ecuación (13) desarrollada para elementos compuestos no apuntalados. Todos los cálculos se basan en un ancho de losa igual a un pie.  S  P P e M cr =  f r + se + se  Sc − M d  c − 1 A S S c b    b 

(

)

f r = 0, 75 7,5 5000 = 398 psi

(13)

reducido porque se trata de hormigón de agregados livianos

Suponiendo que las pérdidas son del 25%: Pse = 0, 75 ( 0,12 × 0, 7 × 250 ) = 15, 75 kips e = 3 − 1,5 = 1,5 in. w d = ( 6 + 2 ) /12 × 125 = 83 lb / ft 2 = 0, 083 ksf Md =

18.8.3

(peso de la losa prefabricada + capa de compresión)

w d A 2 0, 083 × 152 = = 2,33 ft-kips = 28, 0 in.-kips 8 8

15, 75 15, 75 × 1,5    132, 7  M cr =  0,398 + + − 1 132, 7 − 28, 0  72 72    72  = 125, 4 − 23, 6 = 101,8 in.-kips

24 - 33

9.5.2.3

2. Calcular la resistencia al momento de diseño y compararla con el momento de fisuración. Todos los cálculos se basan en un ancho de losa igual a un pie. A ps = 0,12 in.2 , d p = 8, 0 − 1,5 = 6,5 in. ρp =

A ps bd p

=

0,12 = 0, 00154 12 × 0, 65

Al no haber armadura adicional de tracción ni de compresión, la Ecuación (18-3) se reduce a: f pu   γp 250   0, 4 × 0, 00154 × f ps = f pu  1 − ρp  = 250 1 −  = 240, 4 ksi f 'c  5   0,8  β1 a=

A ps f ps 0,85f 'c b

=

0,12 × 240, 4 = 0,57 in. 0,85 × 5 × 12

(

)

M n = A ps f ps d p − a / 2 = 0,12 × 240, 4 ( 6,5 − 0,57 / 2 ) = 179,3 in.-kips φM n = 0,9 (179,3) = 161, 4 in.-kips φM n ≥ 1, 2 ( M cr ) 161, 4 > 1, 2 (101,8 ) = 122, 2

18.8.3 VERIFICA

24 - 34

Ejemplo 24.8 – Elemento pretensado solicitado a compresión Dada la columna corta ilustrada, calcular la resistencia nominal al momento Mn para una carga axial nominal Pn = 30 kips. Calcular la resistencia de diseño.

12"

f 'c = 5000 psi f pu = 270.000 psi (cordones de baja relajación)

tensión de tesado = 0, 70 f pu

12"

Asumir que las pérdidas son del 10%

2 1"2 (típ.)

7" (Grado 270) 4 cordones de 16

Referencia del Código

Cálculos y discusión

No se debe usar la Ecuación (18-3) si el acero de pretensado se encuentra en la zona comprimida. En este caso debemos usar el mismo procedimiento de "compatibilidad de las deformaciones" utilizado para flexión. La única diferencia es que en el caso de las columnas es necesario incluir la carga Pn en la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales. 1. Calcular la tensión efectiva de pretensado. fse = 0,90 × 0, 70f pu = 0,9 × 0, 7 × 270 = 170 ksi Pe = A ps fse = 4 × 0,115 × 170 = 78, 2 kips

2. Calcular la tensión de pretensado promedio en la sección de la columna. f pc =

Pe 78, 2 = = 0,54 ksi A g 122

No se requiere armadura mínima de acuerdo con 10.9.1 debido a que f pc = 0,54 ksi > 0, 225 ksi . Como f pc = 0,54 ksi > 0, 225 ksi , todos los cables de pretensado se deben confinar mediante estribos cerrados laterales de acuerdo con los requisitos del artículo 18.11.2.2. 3. Calcular la deformación específica efectiva en el acero de pretensado. ε=

fse 170 = = 0, 0060 E p 28.500

4. Graficar el diagrama de deformaciones para la resistencia nominal al momento, definido por una deformación específica de compresión máxima en el hormigón igual a 0,003 y una distancia al eje neutro supuesta, c. Para f 'c = 5000 psi , β1 = 0,80 .

24 - 35

18.11.2.1

0

0,85f´c

0,003

ε1

c

a 2

Iteraciones

T1 a = 0,80c

C

T1 = A ps1 f1 T2 = A ps2 f2

Mn 0,0060

C = ha 0,85 f'c

Pn T2

ε1

ε2

A Tensiones

Deformaciones

5. Obtener el equilibrio de los esfuerzos axiales. La línea OA en el diagrama de deformaciones ilustrado debe ser tal que exista equilibrio de fuerzas. C = T1 + T2 + Pn

Esto se puede lograr aplicando un método iterativo de prueba y error, como el descripto en el Ejemplo 24.4. Suponiendo diferentes valores de c se obtiene la siguiente tabla de iteraciones:

0,0125

f1 * ksi 157

f2 * ksi 263

a in. 2,40

C kips 122,4

T1 kips 36,1

Iteración No.

c in.

ε1

ε2

1

3,0

0,0055

T2 kips 60,4

T1 + T2 + Pn kips 126,5

2

3,2

0,0053

0,0119

152

261

2,56

130,6

35,0

60,2

135,2

3 VERIFICA

3,1

0,0054

0,0122

154

262

2,48

126,5

35,5

60,3

125,8

* De la Ecuación indicada en la Figura 24-1.

6. Calcular la resistencia nominal al momento. Usando C = 126,5 kips (de la sumatoria de las demás fuerzas), Pn = 30 kips, T1 = 35,5 kips y T2 = 60,3 kips kips, la resistencia al momento se puede calcular tomando momentos respecto de Pn, ubicada en el baricentro de la sección, de la siguiente manera:

{

}

M n = ( h / 2 − a / 2 ) × C  − ( h / 2 − 2,5 ) × T1  + ( h / 2 − 2,5 ) × T2  /12

= ( 4, 76 × 126,5 ) − ( 3,5 × 35,5 ) + ( 3,5 × 60,3)  /12 = 57, 4 ft-kips 7. Calcular la resistencia de diseño. ε t = ε 2 − 0, 0060 = 0, 0122 − 0, 0060 = 0, 0062 > 0, 005

La sección es controlada por tracción.

10.3.4

φPn = 0,9 × 30 = 27 kips

9.3.2.1

φM n = 0,9 × 57, 4 = 51, 7 ft-kips

24 - 36

' Ejemplo 24.9 – Diseño de una sección fisurada cuando la tracción es mayor que 12 fc

Realizar el análisis del comportamiento bajo condiciones de servicio (serviciabilidad) para la viga ilustrada.

12"

f 'c = 6000 psi altura d p = 26 in.

Momentos en la mitad de la luz in.-k

Peso propio

0,413

992

Carga permanente adicional

1,000

2400

Sobrecarga

1,250

3000

Sumatoria

2,663

6392

32"

w k/ft

26"

tensión efectiva de pretensado fse = 150 ksi tensión de descompresión f dc = 162 ksi luz = 40 ft

12 cordones de 1/2"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Verificar la tracción bajo cargas de servicio, en base a la sección bruta. P = A ps fse = 1,836 × 150

= 275,4 kip

P / A = 275, 4 × 384

= 0,717 ksi

Pe / S = 275, 4 × 10 / 2048

= 1,345

S = bh 2 / 6 = 12 ( 32 ) / 6 = 2048 in.3 2

∑ M / S = 6392 / 2048

= - 3,121 - 1,059 ksi (tracción)

12 f 'c = 12 6000 = 930 psi = 0,930 ksi

La tracción es mayor que 12 f 'c . Diseñar como elemento Clase C. 2. Es necesario realizar un análisis de sección fisurada.

18.3.3(c) 18.3.4

Para el análisis se necesitan las propiedades de la sección fisurada transformada, como las que se utilizaban en los tiempos anteriores al análisis por tensiones de trabajo del hormigón armado convencional (no pretensado). El área de los elementos de acero se reemplaza por un área de hormigón "transformada" igual a n veces el área real de acero, siendo n la relación entre el módulo de elasticidad del acero y el módulo de elasticidad del hormigón.

24 - 37

La relación de módulos es n = E ps / E c = 28.500 / 4415 = 6, 455 siendo E c = 57.000 f 'c = 57.000 6000 = 4415 ksi

8.5.1

El área de acero transformada A t es igual a: A t = nA ps = 6, 455 × 1,836 = 11,85 in.2 El esfuerzo Pdc en el momento de la descompresión (cuando la tensión en el hormigón al mismo nivel que el baricentro de los tendones es nula) es: Pdc = A ps f dc = 1,836 × 162 = 297, 4 kips

3. El análisis de tensiones de una sección fisurada con carga axial (debida al pretensado) exige, en el mejor de los casos, la resolución de una ecuación cúbica. Un enfoque más general consiste en hallar una posición para el eje neutro que satisfaga el equilibrio de fuerzas horizontales y produzca el momento flector dado. La Referencia 24.2 describe una manera de hacerlo. Este procedimiento es demasiado largo para presentarlo aquí detalladamente. Como resultado se obtiene para el eje neutro una profundidad c = 17,26 in., con una tensión en el hormigón f c = 3,048 ksi y una tensión en el acero transformado ∆f ps / n = 1,545 ksi . El valor real de ∆f ps es 1,545 × 6, 455 = 9,97 ksi .

12"

5,75"

T

A t = 11,85 in.2

∆fps

4. Las propiedades de la sección transformada son las siguientes: A = 219 in.2 I = 8524 in.4

y t = 9,57 in.

24 - 38

C

20,25"

17,26"

26"

7,69"

17,26"

9,57" c.g. 16,43"

fc

5. La condición de equilibrio se puede verificar de forma manual. C = f c bc / 2 = 3, 048 (12 )(17, 26 ) / 2

= 315,7k

C actúa en la parte superior de la zona de compresión = d c / 3 para un área rectangular 17, 26 / 3 = 5, 75 in.

(

)

T = Pdc + ∆f ps A ps = 297, 4 + 9,97 (1,836 )

= 315,7k = C

VERIFICA

M = C ó T × brazo de palanca = 315, 7 × 20, 25

= 6392 in.-kips VERIFICA

6. Verificar los límites para ∆f ps . ∆f ps es menor que el límite de 36 ksi establecido en el código.

VERIFICA

∆f ps es menor que 20 ksi, de modo que no es necesario aplicar los requisitos de separación de los artículos

18.4.3.3 18.4.3.3

18.4.4.1 y 18.4.4.2. 7. Verificar la flecha. Para los elementos Clase C es necesario calcular la flecha debida a la sobrecarga en base a un análisis de sección fisurada.

9.5.4.2

Usar la "relación momento-curvatura bilineal ," como se describe en la Referencia 24.1.

9.5.4.2

8. Hallar el momento de fisuración Mcr, usando Pdc. P / A + Pe / S + M cr / S = f r

módulo de rotura f r = 7,5 f 'c = 7,5 6000 = 581 psi

9.5.2.3

297 / 384 + 297 × 10 / 2048 + 0,581 = M cr / 2048 M cr

= 5750 in.-kips

Md

= 3392 2358 = momento debido a la sobrecarga para la sección bruta

el resto de M A 642 = momento debido a la sobrecarga para la sección fisurada 9. Calcular las flechas antes y después de la fisuración.

24 - 39

∆L =

=

5 2358L2 5 642L2 + 48 EIg 48 EIcr 5 2358 × 4802 5 642 × 4802 + 48 4415 × 32768 48 4415 × 8524

∆ L = 0,39 + 0, 41 = 0,80 in. ∆ L es < ( L / 360 = 480 / 365 = 1,33 in.)

9.5.2.6

VERIFICA

Tabla 9.5(b) A continuación se ilustra la flecha debida a la sobrecarga.

I cr =

4 852

4

in .

1000

32 .76

8i

n.4

2000

Ig =

Momento debido a la sobrecarga, in-kips

3000

0,25

0,50

0,75

Flecha debida a la sobrecarga, in.

24 - 40

1,00

25 Hormigón Pretensado – Corte

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 En el Código 2002 no se modificaron los requisitos referidos al corte en los elementos de hormigón pretensado. Sólo se introdujo un cambio editorial de poca importancia a fin de lograr consistencia en el uso de la terminología "acero de pretensado" y "tendón" o "cable." Obviamente el diseño al corte se vio afectado por la revisión de los factores de carga y factores φ del Capítulo 9.

CONSIDERACIONES GENERALES Las expresiones básicas para el diseño al corte de los elementos de hormigón pretensado, Ecuaciones (11-10), (11-11) y (1112), fueron introducidas en la edición del Código de 1963. Aunque están bien fundamentadas en resultados de ensayos, su aplicación práctica no ha resultado sencilla. En el Código de 1971 se introdujo una ecuación simplificada, la Ecuación (11-9). Para comprender las Ecuaciones (11-10) y (11-12) es aconsejable repasar los principios en los cuales se basa el diseño al corte del Código ACI. Estos principios son empíricos, desarrollados en base a una gran cantidad de ensayos. • El esfuerzo de corte resistido por el hormigón y el esfuerzo de corte resistido por los estribos son aditivos. • El esfuerzo de corte resistido por el hormigón después de la formación de fisuras de corte es como mínimo igual al corte existente en el hormigón en la ubicación de la fisura de corte en el momento en que se forma la fisura de corte. Pero cómo se calcula el esfuerzo de corte resistido por el hormigón en el momento en que se forma una fisura de corte? Existen dos posibilidades. 1.

Fisuración por corte en el alma. Se origina una fisura de corte diagonal en el alma, próxima al eje neutro, provocada por la tensión principal de tracción en el alma.

2.

Fisuración de corte por flexión. Una fisura comienza como una fisura por flexión en la cara traccionada de un elemento solicitado a flexión. Luego esta fisura se extiende hacia el alma, y se desarrolla en una fisura de corte diagonal. Esto puede ocurrir para una tensión principal de tracción mucho menor que la que provoca una fisura de corte en el alma, ya que en la punta de la fisura hay concentración de las tensiones de tracción.

Corte en el alma La resistencia a tracción aparente del hormigón en tracción directa es aproximadamente 4 f c' . Cuando la tensión principal de tracción en el centro de gravedad de la sección transversal llega a 4 f c' se producirá una fisura de corte en el alma. El artículo 11.4.2.2 establece que "…Vcw se debe calcular como el esfuerzo de corte … que produce una tensión principal de tracción de 4 f c' …"

La compresión debida al pretensado ayuda a reducir la tensión principal de tracción. Pero calcular la tensión principal de tracción debida a la combinación de corte y compresión puede resultar tedioso, y por esta causa el código contiene un procedimiento simplificado.

(

)

Vcw = 3,5 f 'c + 0,3f pc b w d + Vp

Ec. (11-12)

En la Ecuación (11-12) el término Vp es la componente vertical de la tracción en los cables de pretensado. Esta es aditiva para la resistencia al corte en el alma (pero no para la resistencia al corte por flexión). A continuación presentamos una comparación con respecto a valores obtenidos mediante ensayos. 12 10 8

v cw f 'c

6

v cw

4

f 'c

= 3,5 + 0,3

fpc f 'c

2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

fpc f 'c

Figura 25-1 – Fisuración diagonal en regiones anteriormente no fisuradas La compresión debida al pretensado aumenta la resistencia al corte un 30 por ciento del nivel correspondiente a P/A, fpc, de compresión. En una viga no pretensada la tensión principal de tracción en el centro de gravedad de la sección es igual al corte. Porqué entonces la Ecuación (11-3) para corte en elementos no pretensados permite que el hormigón resista sólo un corte de 2 f c' ? Porque la fisuración por flexión reduce la resistencia al corte. En las vigas no pretensadas el corte casi siempre es afectado por la tracción por flexión. Pero en el caso de los elementos pretensados, el pretensado reduce la fisuración por flexión.

25 - 2

Corte por flexión en los elementos de hormigón pretensado En las vigas pretensadas la tensión de pretensado retrasa la fisuración por flexión – generalmente hasta que la carga es mayor que la carga de servicio. Por lo tanto vale la pena tomar en cuenta los efectos favorables del pretensado. En la década del 50 se creía que colocando cables de perfil curvo aumentaría la resistencia al corte, gracias a la componente vertical Vp de la fuerza de pretensado. Pero los ensayos que se realizaron demostraron que ocurría exactamente lo contrario. Porqué? Porque los cables de perfil curvo reducen la resistencia a la fisuración por flexión en el tramo de corte. Los ensayos se realizaron aplicando cargas concentradas, mientras que la carga permanente de las vigas era una carga uniforme. Por este motivo, cuando se desarrolló el método de diseño al corte a partir de los resultados de estos ensayos, los cortes correspondientes a las cargas permanentes y a las cargas de ensayo se trataron por separado. Corte por flexión La Ecuación (11-10) es la expresión para determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, determinada por las fisuras por flexión que se desarrollan y se transforman en fisuras de corte. La resistencia al corte del hormigón en una sección transversal dada se toma igual al corte en la sección en el momento en que ocurre una fisura por flexión, más un pequeño incremento de corte necesario para transformar la fisura por flexión en una fisura diagonal. La Ecuación (11-11) se puede explicar de la siguiente manera. Vci = corte existente en el momento que se produce la fisura por flexión, más un incremento necesario para convertir esa fisura en una fisura de corte. Este incremento es igual a 0, 6 b w d f c' . El esfuerzo de corte que existe en el momento que se produce la fisura por flexión es el esfuerzo de corte debido a la carga permanente Vd más el esfuerzo de corte ViMcr/Mmax. Cuál es el origen del término ViMcr/Mmax? El término Vi es el esfuerzo de corte último mayorado en la sección, menos el esfuerzo de corte debido a la carga permanente. El término Mcr es el momento adicional debido a las cargas aplicadas externamente (excluyendo el provocado por las tensiones debidas al pretensado y a la carga permanente) que provoca una tracción de 6 f c' en la fibra extrema. El momento adicional Mcr se calcula hallando la tensión en la fibra inferior fpe debida únicamente al pretensado, restando la tensión en la fibra inferior fd debida a las cargas permanentes, sumando la tracción de 6 f c' , y multiplicando el resultado por el módulo resistente ( I / y t ) de la sección transversal que resiste las sobrecargas. Esto constituye la Ecuación (11-11) del Código.

(

M cr = ( I / y t ) 6 f 'c + f pe − f d

)

Ec. (11-11)

Nota: En la discusión anterior, para los elementos continuos el término "inferior" se refiere al "lado traccionado." El término Mmax es el máximo momento mayorado en la sección, menos el momento debido a la carga permanente. La Figura 25-2 permitirá comprender mejor el significado de estos términos y su utilización en la Ecuación (11-10). El valor ViMcr/Max es el corte debido a una carga adicional aplicada externamente (excluyendo la carga permanente) que provoca que la tensión de tracción en la fibra extrema llegue a 6 f c' . La carga adicional se aplica a la sección compuesta (si se trata de una sección compuesta).

25 - 3

Una vez que se forma una fisura por flexión, se necesita apenas una pequeña cantidad de corte adicional para que la fisura se transforme en una fisura de corte. Esto se determina de forma empírica, como se ilustra en la Figura 25-3.

Mmax

Carga mayorada

Mcr

Momento bajo carga de fisuración en la sección en x

Md

Carga permanente

Centro del tramo

Momento

x Carga mayorada

El corte adicional en el momento de la fisuración por flexión está en la misma proporción que Mcr /Mmax . Por lo tanto, este corte adicional es igual a V i ( Mcr / Mmax )

Corte en el momento de fisuración por flexión en x

Vd

Vi

Carga permanente

Corte

Figura 25-2 – Origen del término (ViMcr/Mmax) de la Ecuación (11-10)

9 8 7 6 Vci − Vd b' d f 'c

5 4 3 2 Vci = (0,6 b' d f 'c +

1 0,6 0

1

2

Mcr + Vd ) M d −  V 2  

3

4

5

6

M d Mcr /  −  b' d f 'c  V 2

Figura 25-3 – Fisuración diagonal en las regiones de una viga previamente fisuradas por flexión 25 - 4

La intersección en 0,6 produce el primer término de la Ecuación (11-10), 0, 6 b w d f c' . Nota: El valor "–d/2" que aparece en las expresiones de la Figura 25-3 ha sido eliminado. Esta fue una simplificación conservadora. La simbología utilizada en las Ecuaciones (11-10) y (11-11) es la siguiente: Mcr

= momento que provoca fisuración por flexión en la sección debido a las cargas aplicadas externamente

Mmax = máximo momento mayorado en la sección debido a las cargas aplicadas externamente Vi

= esfuerzo de corte mayorado en la sección debido a las cargas aplicadas externamente que ocurren simultáneamente con Mmax.

Desafortunadamente los subíndices se prestan a confusión. Mcr no es el momento de fisuración total. No es el mismo Mcr que se utiliza para verificar la armadura mínima en el Ejemplo 24.6. Mmax no es el momento mayorado total. Es el momento mayorado total menos el momento debido a la carga permanente. Parecería que Vi y Mmax deberían tener el mismo subíndice, ya que ambos se refieren a las diferencias entre los dos mismos estados de cargas. Una complicación adicional es que el término "cargas aplicadas externamente" es ambiguo. Aparentemente la carga permanente no se considera "aplicada externamente," tal vez porque el peso propio proviene de la masa "interna" del elemento. Sin embargo, el artículo R11.4.2 dice que la carga permanente sobreimpuesta en una sección compuesta se debería considerar como una carga aplicada externamente. El comentario lo justifica adecuadamente, pero la confusión persiste. La resistencia al corte se debe verificar en diferentes ubicaciones a lo largo del tramo de corte, un proceso que resulta tedioso. Para el cálculo manual, el proceso simplificado que se describe en el artículo 11.4.1 es adecuado en la mayoría de los casos.

11.0

SIMBOLOGÍA

Para los elementos pretensados la altura d utilizada en el cálculo de la resistencia al corte se define de la siguiente manera: d = distancia entre la fibra comprimida extrema y el baricentro de la armadura longitudinal traccionada, pero para las secciones circulares y los elementos pretensados esta distancia debe ser mayor o igual que 0,80h, in. El comentario señala que cuando se utiliza el valor mínimo d = 0,8h es recomendable que haya algo de acero próximo a la cara traccionada, confinado por estribos cerrados.

11.1

RESISTENCIA AL CORTE DE LOS ELEMENTOS PRETENSADOS

El requisito básico para el diseño al corte de los elementos pretensados es el mismo que para los elementos no pretensados: en todas las secciones la resistencia al corte de diseño φVn debe ser mayor que el esfuerzo de corte mayorado Vu (11.1). Vu ≤ φVn

Ec. (11-1)

Tanto para los elementos de hormigón armado como para los elementos de hormigón pretensado, la resistencia nominal al corte Vn es la sumatoria de dos componentes: la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón Vc y la resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte Vs.

25 - 5

Vn = Vc + Vs

Ec. (11-2)

Por lo tanto, Vu ≤ φVc + φVs

Se asume que la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón Vc es igual al corte que existe en el momento en que en el hormigón se forma una fisura diagonal. A partir del Código de 1977 los requisitos para el diseño al corte se indican en términos de los esfuerzos de corte Vn, Vc y Vs para aclarar mejor la aplicación del factor de reducción de la resistencia de los materiales, φ, para el diseño al corte. En el formato basado en los esfuerzos, el factor φ se aplica directamente a las resistencias de los materiales, es decir, φVc y φVs.

11.1.2

Resistencia del hormigón

La sección 11.1.2 limita la resistencia del hormigón que se puede utilizar al calcular la contribución del hormigón porque no hay suficientes datos disponibles sobre ensayos de corte correspondientes a hormigones de alta resistencia. El límite no permite que

f c' sea mayor que 100 psi, lo cual corresponde a f c' = 10.000 psi. Observar que el límite se expresa en términos de

f c' ,

ya que denota tracción diagonal. Este límite se puede superar si se coloca armadura de corte mínima de acuerdo con lo especificado en el artículo 11.1.2.1.

11.1.3

Ubicación para calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado

La sección 11.1.3 permite calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado Vu a una determinada distancia de la cara del apoyo siempre que se satisfagan las siguientes condiciones: a) la reacción en el apoyo, en la dirección del corte aplicado, introduce compresión en las regiones extremas del elemento, b) las cargas se aplican en, o cerca de, la cara superior del elemento, y c) no hay cargas concentradas entre la cara del apoyo y la sección crítica. Para las secciones de hormigón pretensado el artículo 11.1.3.2 establece que la sección crítica para calcular el máximo esfuerzo de corte mayorado Vu está ubicada a una distancia igual a h/2 de la cara del apoyo. Este requisito es diferente al correspondiente a los elementos de hormigón armado, en los cuales la sección crítica está ubicada a una distancia igual a d de la cara del apoyo. El Capítulo 12 de esta publicación contiene detalles adicionales sobre el máximo esfuerzo de corte mayorado en los apoyos.

11.2

HORMIGÓN LIVIANO

Los ajustes de la resistencia al corte indicados en la sección 11.2 para el hormigón de agregados livianos también se aplican a los elementos de hormigón pretensado.

11.4

RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGÓN EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS

La sección 11.4 presenta dos enfoques para determinar la resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc. El artículo 11.4.1 presenta un enfoque simplificado, mientras que el 11.4.2 presenta un enfoque más detallado. En ambos casos se asume que la resistencia al corte proporcionada por el hormigón es igual al corte que existe en el momento en que en el hormigón se forma una fisura diagonal.

25 - 6

11.4.1

Método simplificado

El uso de este método simplificado se limita a los elementos pretensados en los cuales la fuerza de pretensado efectiva no es menor que el 40 por ciento de la resistencia a tracción de la armadura de flexión, la cual puede estar compuesta exclusivamente por armadura pretensada o bien por una combinación de armadura pretensada y armadura convencional.  V d Vc =  0, 6 f 'c + 700 u  b w d Mu  

Ec. (11-9)

pero debe ser mayor o igual que 2 f c' b w d . Vc no debe ser mayor que 5 f c' b w d ó Vcw (11.4.2.2) calculado considerando los efectos de la longitud de transferencia

(11.4.3) y la falta de adherencia (11.4.4) que se aplican en las regiones próximas a los extremos de los elementos pretensados. Se debe observar que para el término Vu d / M u de la Ecuación (11-9) d se debe tomar como la distancia real entre la fibra comprimida extrema y el baricentro de la armadura pretensada, no como el valor 0,8h permitido en otros artículos del Código. Es necesario verificar la resistencia al corte en diferentes ubicaciones a lo largo del tramo. El comentario observa que para el caso de un elemento simplemente apoyado solicitado por cargas uniformes, el valor de Vu d / M u se puede expresar como: Vu d d ( A − 2x ) = Mu x (A − x )

El comentario también presenta la Figura 25-4, útil para resolver el problema gráficamente.

fc' = 5000 psi

500

Vc = 5 fc' b w d

400

d Vc bw d psi

A

300

=

1 15

1

1

25

200

20 1

Vc = 2 fc' b w d

30

100

0 0

A

A

3A

A

8

4

8

2

Distancia desde un apoyo simple

Figura 25-4 – Aplicación de la Ecuación (11-9) a elementos pretensados con carga uniforme (Figura R11.4.1) 25 - 7

El uso de esta figura se ilustra en el Ejemplo 25-2. La Referencia 25.1 contiene figuras adicionales para la resolución gráfica de la resistencia al corte.

11.4.2

Método detallado

El origen de este método se discute bajo el título "Consideraciones generales," al comienzo de este capítulo. En los elementos de hormigón pretensado se han observado dos tipos de fisuración diagonal: fisuración de corte por flexión y fisuración por corte en el alma. Debido a que se asume que la resistencia al corte nominal del hormigón es igual al corte que provoca la fisuración diagonal del hormigón, el método detallado proporciona ecuaciones que permiten determinar la resistencia nominal al corte para ambos tipos de fisuración. En la Figura 25-5, tomada de R11.4.2, se ilustran los dos tipos de fisuración diagonal. La resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón, Vc, se toma como el menor de los valores de corte que provocan estos tipos de fisuración, los cuales se discuten a continuación. Las expresiones detalladas para calcular Vc indicadas en el artículo 11.4.2 pueden resultar de difícil aplicación sin el auxilio de ayudas para el diseño, y sólo se deberían utilizar cuando la expresión simplificada para Vc indicada en el artículo 11.4.1 no resulta adecuada. Carga aplicada

apoyo continuo flexión y corte por flexión

apoyo simple corte en el alma

flexión y corte por flexión

corte en el alma

Figura 25-5 – Tipos de fisuración en una viga de hormigón (Figura R11.4.2) 11.4.2.1 Fisuración de corte por flexión, Vci – La fisuración de corte por flexión ocurre cuando las fisuras provocadas por flexión, que inicialmente son verticales, se inclinan por efecto del corte. El esfuerzo de corte para el cual esto ocurre se puede tomar como: Vci = 0, 6 f 'c b w d + Vd +

Vi M cr M max

Ec. (11-10)

Observar que Vci se debe tomar mayor o igual que 1, 7 f c' b w d . El momento adicional, Mcr, que provoca la fisuración por flexión se calcula usando la siguiente expresión:  I  M cr =   6 f 'c + f pe − f d  yt 

(

)

Ec. (11-11)

donde fpe es la tensión de compresión en el hormigón debida únicamente a la fuerza efectiva de pretensado (luego de descontar todas las pérdidas de pretensado) en la fibra extrema de una sección donde la tensión de tracción es provocada por cargas aplicadas externamente.

25 - 8

En general Vci resulta determinante en los elementos cargados uniformemente. Se asume que la resistencia nominal al corte total, Vci, es igual a la sumatoria de tres componentes: 1.

el esfuerzo de corte requerido para transformar una fisura por flexión en una fisura diagonal: 0, 6 f c' b w d ;

2.

el esfuerzo de corte debido a la carga permanente no mayorada: Vd ; y

3.

la porción del esfuerzo de corte mayorado restante que provocará la aparición inicial de una fisura por flexión: Vi M cr / M max .

Para los elementos no compuestos Vd es el esfuerzo de corte provocado por la carga permanente no mayorada. Para los elementos compuestos Vd se calcula usando el peso propio no mayorado más la carga permanente sobreimpuesta no mayorada. La combinación de cargas usada para determinar Vi y Mmax es aquella que provoca el máximo momento en la sección considerada. El valor Vi es el esfuerzo de corte mayorado provocado por las cargas aplicadas externamente que ocurren simultáneamente con Mmax. Para los elementos compuestos Vi se puede determinar restando Vd del esfuerzo de corte provocado por las cargas mayoradas totales, Vu. De manera similar, Mmax = Mn – Md. Al calcular el momento de fisuración, Mcr, la carga usada para determinar fd es la misma carga no mayorada usada para calcular Vd. 11.4.2.2 Fisuración por corte en el alma, Vcw – La fisuración por corte en el alma se produce cuando la tensión principal de tracción diagonal en el alma supera la resistencia a la tracción del hormigón. Este corte es aproximadamente igual a

(

)

Vcw = 3,5 f 'c + 0,3f pc b w d + Vp

Ec. (11-12)

donde fpc es la tensión de compresión en el hormigón (después de descontar todas las pérdidas de pretensado) en el baricentro de la sección transversal que resiste las cargas aplicadas externamente, o en la unión del ala y el alma si el baricentro se encuentra dentro del ala. Vp es la componente vertical de la fuerza efectiva de pretensado, la cual sólo existe si los cables tienen perfil curvo. La expresión para la resistencia al corte correspondiente a fisuración en el alma Vcw generalmente es determinante en el caso de las vigas de alma delgada fuertemente pretensadas, particularmente si éstas soportan grandes cargas concentradas cerca de un apoyo simple. La Ecuación (11-12) permite calcular la resistencia al corte correspondiente a la primera fisuración por corte en el alma. Un método alternativo para determinar la resistencia al corte correspondiente a la fisuración en el alma, Vcw, consiste en calcular el esfuerzo de corte correspondiente a la carga permanente más la sobrecarga que provoca una tensión principal de tracción de 4 f c' en el eje baricéntrico del elemento, o en la interfase entre el alma y el ala si el baricentro está ubicado en el ala. Este método alternativo puede resultar útil para diseñar elementos en los cuales el corte es crítico. Observar la limitación de Vcw en las regiones extremas de los elementos pretensados según lo indicado en los artículos 11.4.3 y 11.4.4.

11.4.3, 11.4.4

Consideraciones especiales para elementos pretensados

El artículo 11.4.3 se aplica a situaciones en las cuales la sección crítica ubicada a una distancia h/2 desde la cara del apoyo se encuentra dentro de la longitud de transferencia de los cables de pretensado. Esto significa que no toda la fuerza efectiva de pretensado está disponible para contribuir a la resistencia al corte. Es necesario utilizar un valor reducido de la fuerza efectiva de pretensado, suponiendo que la fuerza de pretensado varía linealmente entre cero en el extremo de los cables hasta un valor máximo que se ubica a una distancia a partir del extremo de los cables igual a la longitud de transferencia, la cual se toma igual a 50 diámetros (50db) para los cordones y 100 db para los alambres individuales. El artículo 11.4.4 se incluye para asegurar que el efecto de la tensión de pretensado reducida sobre la resistencia al corte se considere adecuadamente cuando intencionalmente se impide la adherencia de algunos de los cables cerca de los extremos de un elemento pretensado, tal como lo permite el artículo 12.9.3. 25 - 9

11.5

RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR LA ARMADURA DE CORTE EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS

El diseño de la armadura de corte de los elementos pretensados se realiza igual que para los elementos no pretensados, como se discute en el Capítulo 12 de esta publicación, excepto que Vc se calcula de manera diferente (tal como se discutió en párrafos precedentes) y se establece un requisito adicional de armadura de corte mínima (11.5.5.4). El Capítulo 12 contiene una discusión completa del diseño de la armadura de corte. 11.5.5.1 El Código permite una separación ligeramente mayor igual a (3/4)h (en lugar de d/2) para los elementos pretensados, debido a que en estos elementos la inclinación de las fisuras de corte es menor. Según lo permite el artículo 11.5.5.2, se puede omitir la armadura de corte en cualquier elemento si se demuestra mediante ensayos físicos que la resistencia requerida se puede desarrollar sin armadura de corte. El artículo 11.5.5.2 aclara las condiciones necesarias para que un ensayo se considere adecuado. Además, la discusión incluida en el comentario resalta la necesidad de colocar suficientes estribos en los elementos postesados de alma delgada para mantener los cables dentro del perfil de diseño, y para proveer armadura para las tensiones de tracción provocadas en las almas por las desviaciones de los cables respecto de sus perfiles de diseño. 11.5.5.4 Armadura mínima para los elementos pretensados – Para los elementos pretensados, la armadura mínima de corte se calcula como el menor valor obtenido de las Ecuaciones (11-13) y (11-14). Sin embargo, en general con la Ecuación (11-13) se obtendrá un mínimo más elevado que con la Ecuación (11-14). Observar que la Ecuación (11-14) no se puede utilizar para los elementos en los cuales la fuerza efectiva de pretensado es menor que el 40 por ciento de la resistencia a tracción de la armadura pretensada.

REFERENCIA 25.1

"PCI Design Handbook – Precast and Prestressed Concrete," MNL 120-92, 5º Edición, Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1999, p. 630.

25 - 10

Ejemplo 25.1 – Diseño al corte (11.4.1) Dada la viga Te pretensada ilustrada, determinar los requisitos de corte usando Vc de acuerdo con la Ecuación (11-9). Hormigón prefabrocado: f 'c = 5000 psi

(hormigón de agregados livianos y arena, w c = 120 lb / ft 3 )

Hormigón de la capa de compresión: f 'c = 4000 psi (hormigón de peso normal, w c = 150 lb / ft 3 ) Acero de pretensado: Doce cordones de 1/2 in. de diámetro, 270 ksi (depresión única en el centro del tramo) Luz = 60 ft (tramo simple) Carga permanente = 725 lb / ft (incluye la capa de compresión) Sobrecarga = 720 lb / ft f se (después de todas las pérdidas) = 150 ksi

8' - 0"

2,5"

1,5"

Sección prefabricada: A = 570 in.2 d = 33" en el centro

I = 68.917 in.4

y b = 26, 01 in.

3" 36"

y t = 9,99 in.

Sección compuesta: y bc = 29, 27 in.

8"

Parte superior de la viga prefabricada d = 24"

d = 26,40"

d = 27,60"

c.g de todos los cables

d = 33"

4'

8'

30'

Centro del tramo

Perfil de los cables en la viga prefabricada

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Determinar el esfuerzo de corte mayorado Vu en diferentes ubicaciones a lo largo del tramo. Los resultado se presentan en la Figura 27-2. 2. Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, Vc, usando la Ecuación (11.9). La fuerza de pretensado efectiva fse es mayor que 40 por ciento de fpu (150 ksi > 0,40 × 270 = 108 ksi). Observar que el valor de d debe ser mayor o igual que 0,8h para el cálculo de la resistencia al corte. El cálculo típico usando la Ecuación (11-9) para una sección ubicada a 8 pies del apoyo se realiza de la siguiente manera, suponiendo que el corte es resistido exclusivamente por el alma de la sección prefabricada: w u = 1, 2 ( 0, 725 ) + 1, 6 ( 0, 720 ) = 2, 022 kips / ft

25 - 11

11.4.1 11.0

 60   Vu =   − 8 2, 022 = 44,5 kips  2   M u = 30 × 2, 022 × 8 − 2, 022 × 8 × 4 = 421 ft-kips

Para la sección no compuesta, a una distancia de 8 pies del apoyo, determinar la distancia d al baricentro de los cables. d = 26,40 in. (ver el perfil de los cables) Para la sección compuesta, d = 26,4 + 2,5 = 28,9 in. < 0,8h = 30,8 in.

usar d = 30,8 in.

70 Artículo 11.4.3 - Ver Fig. 25-7

Esfuerzo de corte V kips

60

φVc = 0,85

*

(

'

)

φ5 fc b w d = 55,5k

50 44,5 40

39,6

36,4

30

26,9

20 φVc = 0,85

*

(

'

)

φ2 fc b w d = 22, 2k

φVc (Ec. 11-9)

10 0

( Vu − φVc ) = 9, 5 kips

* factor por Hº liviano 0

6

18 12 Distancia desde el apoyo, ft

24

30

Figura 25-6 – Variación del esfuerzo de corte a lo largo del elemento  V d Vc =  0, 6 f 'c + 700 u  b w d Mu  

Ec. (11-9)

pero no menor que 2 f 'c b w d

11.4.1

ni mayor que 5 f 'c b w d

11.4.1

Debido a que la sección prefabricada es de hormigón de agregados livianos y arena, todos los términos que contienen el factor f 'c se deben reducir aplicando el factor 0,85.

25 - 12

11.2.1.2

Nota: En el término Vu d / M u se debe utilizar la altura efectiva total, d = 28,9 in., y no el valor 0,8h utilizado en otros cálculos.

(

11.4.1

)

Vc = 0, 6 × 0,85 5000 + 700 × 44,5 × 28,90 / ( 421× 12 ) 8 × 30,8 = ( 36 + 178 ) 8 × 30,8 = 52,8 kips

(valor determinante)

≥ 2 × 0,85 5000 × 8 × 30,8 = 29, 6 kips ≤ 5 × 0,85 5000 × 8 × 30,8 = 74, 0 kips φVc = 0, 75 × 52,8 = 39, 6

(ver Figura 25-6)

11.2.1.2

Nota: Para los elementos simplemente apoyados solicitados por cargas uniformes, en la Ecuación (11-9) el valor de Vu d / M u se convierte simplemente en una función de d/ℓ, siendo ℓ la longitud del tramo,  ( A − 2x )  Vc =  0, 6 f 'c + 700d  bw d x ( A − x )  

Ec. (11-9)

donde x es la distancia desde el apoyo hasta la sección investigada. A una distancia de 8 pies del apoyo:  ( 60 − 16 )  Vc =  0, 6 × 0,85 5000 + 700 × 28,90  8 × 30,8 = 52,8 kips 8 ( 60 − 8 )12  

3. En la región de los extremos de los elementos pretensados la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, Vc, se puede limitar de acuerdo con los requisitos del artículo 11.4.3. Para este diseño no se aplica el artículo 11.4.3 ya que la sección crítica ubicada a h/2 está a una distancia mayor que la longitud de transferencia (ver Figura 25-7). Sin embargo, a continuación se ilustran los cálculos típicos para satisfacer 11.4.3. Calcular Vc en la cara del apoyo, a 10 in. del extremo del elemento. Longitud de transferencia para los cordones de 1/2 in. de diámetro = 50 (0,5) = 25 in.

11.4.3

Fuerza de pretensado a 10 in.: Pse = (10 / 25 )150 × 0,153 × 12 = 110, 2 kips Componente vertical de la fuerza de pretensado a 10 in.: pendiente =

( d centro − d extremo ) ( 33 − 24 ) A 2

=

30 × 12

= 0, 025

Vp ≈ P × pendiente = (110, 2 )( 0, 025 ) = 2,8 kips

Para la sección compuesta, d = 28,90 in.; usar 0,8h = 30,8 in. M d (peso propio no mayorado de la unidad prefabricada + capa de compresión) = 214,4 in.-kips

Distancia desde el baricentro de la sección compuesta hasta el baricentro de la unidad prefabricada,

25 - 13

11.4.2.3

c = y bc − y b = 29, 27 − 26, 01 = 3, 26 in.

Excentricidad de los cables, e = d extremo + 10 in. × pendiente − y t = 24 + 10 × 0, 025 − 9,99 = 14, 26 in. debajo del baricentro de la sección prefabricada f pc (ver definición en la simbología)

=

P c c − ( Pe ) + M d Ag Ig Ig

=

110, 2  3, 26   3, 26  − 110, 2 (14, 26 )   + 214, 4   = 129 psi 570  68.917   68.917 

donde A g e Ig corresponden a la sección prefabricada solamente.

(

)

Vcw = 3,5 f 'c + 0,3f pc b w d + Vp

(

Ec. (11-12)

)

= 3,5 × 0,85 5000 + 0,3 × 129 8 × 30,8 + 2800 = 63, 4 kips φVcw = 0, 75 × 63, 4 = 47, 6 kips

En la Figura 25-7 se grafican los resultados de este análisis. Longitud de transferencia = 50db Apoyo

h/2

70

Esfuerzo de corte V kips

φVc = 0,85

*

( φ5

)

f 'c b w d = 55,5k

φVu (11.1.3.2) = 55,7k

60

50

Vu

47,6

φVcw Ec. (11-12)

40

* factor por Hº liviano 0 0

4

8

12 16 20 24 28 32 Distancia desde el extremo del elemento, in.

Figura 25-7 – Variación del esfuerzo de corte en el extremo del elemento

4. Comparar el esfuerzo de corte mayorado, Vu, con la resistencia al corte proporcionada por el hormigón, φVc. Si Vu > φVc es necesario colocar armadura de corte para tomar el exceso. También se deben verificar los requisitos de armadura mínima.

25 - 14

La armadura de corte requerida a 12 ft del apoyo se calcula de la siguiente manera: d = 30,10 in. (para en el término Vu d / M u ) M u = 30 × 2, 24 × 12 − 2, 24 × 12 × 6 = 645 ft-kips

 60   Vu   − 12  2, 022 = 36, 4 kips  2  

(

)

Vc = 0, 6 × 0,85 5000 + 700 × 40,3 × 30,10 / ( 645 × 12 ) 8 × 30,8 = 35,9 kips φVc = 0, 75 × 35,9 = 26,9 kips Av =

( Vu − φVc ) s ( 36, 4 − 26,9 )12 φf y d

=

0, 75 × 60 × 30,8

= 0, 082 in.2 / ft

Verificar la armadura mínima requerida por los artículos 11.5.5.3 y 11.5.5.4. A v ( min ) = 0, 75 f 'c

bw s  8 × 12  2 = 0, 75 5000   = 0, 085 in. / ft fy  60.000 

pero no menor que 50

bw s (no es determinante para f 'c > 4444 psi ) fy

A v ( min ) =

=

Ec. (11-13)

A ps f pu s d 80 f y d b w

Ec. (11-14)

1,84 270 12 30,8 × × = 0, 079 in.2 / ft 80 60 30,8 8

Se puede usar el menor de los valores de A v ( min ) obtenidos de las Ecuaciones (11-13) y (11-14) A v requerida es ligeramente mayor que A v mínima

Máxima separación de los estribos = 3/4d = (3/4) × 30,8 = 23,1 in.

(

Usar estribos No. 3 con una separación de 18 in. en toda la longitud del elemento A v = 0,147 in.2 / ft

25 - 15

)

Ejemplo 25.2 – Diseño al corte usando la Figura 25-4 Determinar la armadura de corte para la viga del ejemplo 24.9.

12"

f 'c = 6000 psi altura d p = 26 in.

32"

26"

tensión efectiva de pretensado fse = 150 ksi tensión de descompresión f dc = 162 ksi luz = 40 ft w k/ft

Momentos en el centro de la luz in.-k

Peso propio

0,413

992

Carga permanente adicional

1,000

2400

Sobrecarga

1,250

3000

Sumatoria

2,663

6392

12 cordones de 1/2"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Calcular el esfuerzo de corte mayorado en el apoyo. Vu = 1, 2D + 1, 6L = 1, 2 ( 0, 413 + 1000 ) + 1, 6 (1, 250 )  ×

40 2

= 73,9 kips

2. Antes de utilizar la Figura 25-4: Nota: La Figura 25-4 corresponde a f 'c = 5000 psi . Usarla para f 'c = 6000 psi será conservador en aproximadamente diez por ciento. d / A = 26 / 480 = 1/18,5

Usar la curva para A / d = 1/ 20 Vu 73,9 = = 0,316 ksi = 316 psi φb w d 0, 75 × 12 × 26

3. Trazar la recta correspondiente a la resistencia al corte nominal requerida en la Figura 25-4, y hallar Vs requerida.

25 - 16

fc' = 5000 psi

500

Vc = 5 fc' b w d

400

Vc bw d

psi

d 1 = A 15

316 300 1 25

200

1 20 1 30

100

Vc = 2 fc' b w d

30 psi

0 0

A 8

A 4

3A 8

A 2

Distancia desde un apoyo simple

El área sombreada corresponde al área donde se requiere armadura de corte. La máxima tensión de corte nominal a ser resistida por la armadura de corte es 29 psi. Vs = 0, 03 ksi × b × d = 0, 030 × 12 × 26 = 9, 4 kips

Av =

Vs s 9,4 × 12 = = 0, 07 in.2 / ft f y d 60 × 26

Ec. (11-15)

4. Verificar la armadura mínima. A v = 0, 75 f 'c

50

bw s , pero no menor que fy

Ec. (11-13)

bw s fy

0, 75 6000 = 58,1

es el valor determinante

A v = 58,1× 12 × 12 / 60.000 = 0,14 in.2 / ft

Av =

Av =

A ps f pu s 80f y d

d bw

Ec. (11-14)

1,836 × 270 × 12 26 = 0, 07 in.2 / ft 80 × 60 × 26 12

25 - 17

Se puede usar el menor de los valores de A v obtenidos mediante las Ecuaciones (11-13) y (11-14), pero no menor que el valor de A v requerida. 5. Seleccionar los estribos. A v = 0, 07 in.2 / ft s máxima = ( 3 / 4 ) d ≤ 24 in.

11.5.4.1

s = ( 3 / 4 )( 26 ) = 19,5 in.

Usar estribos dobles No. 3 cada 18 in. A v = 0, 22 /1,5 = 0,15 in.2 / ft

VERIFICA

Esto se requiere donde Vu es mayor que φVc / 2 . La mayoría de los diseñadores colocarían esta armadura en toda la longitud del elemento.

25 - 18

11.5.5.1

Ejemplo 25.3 – Diseño al corte aplicando el artículo 11.4.2 Dada la viga simple con retallo horizontal pretensada ilustrada, determinar los requisitos de corte usando Vc según las Ecuaciones (11-10) y (11-12). 12"

A = 576 in.2

w d = 5, 486 kips / ft 4

I = 63.936 in. h = 36 in. y b = 15 in.

24"

w A = 5, 00 kips / ft

f c' = 6 ksi 6"

6"

A = 24 ft 16 cordones de 1/2 in. de Grado 270 ksi, P = 396, 6 kips eextr (extremo) = ec.L. (centro de la luz) = 10 in.

12"

Referencia del Código

Cálculos y discusión Para facilitar los cálculos es necesario sistematizar el procedimiento. 1. Determinar los momentos en el centro de la luz y los esfuerzos de corte en los extremos. M d = w d A 2 / 8 = 5, 486 × 242 / 8 = 395 ft-kips = 4740 in.-kips M A = w A A 2 / 8 = 5, 00 × 242 / 8 = 360 ft-kips = 4320 in.-kips

M u = 1, 2M d + 1, 6M A = 1, 2 × 4740 + 1, 6 × 4320 = 12.600 in.-kips M max = M u − M d = 12.600 − 4740 = 7860 in-kips

Ec. (9-2) 11.0

Vd = w d A / 2 = 5486 × 24 / 2 = 65,8 kips VA − w A A / 2 = 5 × 24 / 2 = 60, 0 kips Vu = 1, 2Vd + 1, 6VA = 1, 2 × 65,8 + 1, 6 × 60 = 175, 0 kips

Ec. (9-2)

Vi = Vu − Vd = 175 − 65,8 = 109, 2 kips

11.0

2. Definir los factores para convertir los momentos en el centro de la luz y los cortes en los extremos en momentos y cortes a una distancia x/ℓ del apoyo, para x/ℓ = 0,3. Factor para V = 1 − 2 ( x / A ) = 1 − 2 ( 0,3) = 0, 4

25 - 19

(

Factor para M = 4 x / A − ( x / A )

2

) = 4 × ( 0,3 − 0,3 ) = 0,84 2

3. Calcular V3 , el tercer término de la Ecuación (11-10). P / A = 396, 6 / 576

=

0,689

Pe / Sb = 396, 6 × 10 / 4262 =

0,930

− M d / Sb = 0,84M d(cL) / Sb = –0,934

+6 f 'c = 6 6000 = 465

=

0,465 1,150 ksi

M cr = Sb (1150 ksi ) = 4900 in.-kips

Ec. (11-11)

Vi = 0, 4Vi(extr.) = 0, 4 × 109, 2 = 43, 7 kips M max = 0,84M max(c.L.) = 0,84 × 7860 = 6602 in.-kips V3 =

Vi M cr 43, 7 × 4900 = = 32, 4 kips M max 6602

Ec. (11-10)

4. Calcular los términos restantes, V1 y V2, de la Ecuación (11-10), y resolver para Vci d = 31, pero no menor que 0,8d = 28,8. Usar d = 31

Ec. (11-10) 11-0

V1 = 0, 6 b w d f 'c = 0, 6 × 12 × 31 6000 = 17,3k V2 = Vd = 0, 4 ( Vd extr.) = 0, 4 × 65,8 = 26,3 kips Vci = V1 + V2 + V3 = 17,3 + 26,3 + 32, 4 = 76, 0 kips

Ec. (11-10)

5. Calcular Vu , y determinar el Vs a ser resistido por estribos. Vu = 0, 4Vu ( extremo ) = 0, 4 × 175, 0 = 70 kips

φ para corte = 0,75

9.3.2.3

Vs = Vn − Vc = Vu / φ − Vc = 70 / 0, 75 − 76 = 17,3 kips

Ec. (11-2)

6. Determinar los estribos requeridos. Av =

Vs s 17,3 × 12 = = 0,11 in.2 / ft fyd 60 × 31

Requisitos mínimos.

25 - 20

A v = 0, 75 f c' b w s / f y cuando f 'c > 4444 psi

Ec. (11-13)

= 0, 75 6000 × 12 × 12 / 60.000 = 0,14 in.2 Av =

A ps f pu s 80f y d

d 2, 448 × 270 × 12 31 = = 0, 086 in.2 bw 80 × 60 × 31 12

Ec. (11-13)

El mínimo sólo debe ser el menor de los valores requeridos por las Ecuaciones (11-13) o (11-14).

11.5.5.4

De manera que la A v requerida de 0, 09 in.2 / ft es el valor determinante. Separación máxima = ( 3 / 4 ) d = ( 3 / 4 ) 31 = 23, 25 in. Adoptamos barras dobles No. 3 con una separación de 18 in., A v = 2 × 0,11/1,5 = 0,15 in.2 / ft 7. Calcular la armadura de corte requerida en el apoyo. Debido a que la viga entallada está cargada en las entalladuras, y no "cerca de la parte superior," el corte se debe verificar en el apoyo y no a una distancia h/2 del apoyo (para los elementos pretensados).

11.1.3

Por motivos de simplicidad suponemos que en el apoyo la fuerza de pretensado P es nula.

(

)

Vcw = 3,5 f 'c + 0,3f pc b w d + Vp

(

Ec. (11-12)

)

= 3,5 6000 × 12 × 31 = 100,9 kips Vs = Vn − Vc = Vu / φ − Vc = 175 / 0, 75 − 100,9

Ec. (11-12)

Vs = 132, 4k Av =

Vs s 132, 4 × 12 = = 0,85 in.2 fyd 60 × 31

Ec. (11-14)

Adoptamos barras dobles No. 4 con una separación de 4 in., A v = 0, 40 / 0,33 = 1, 20 in.2 / ft cerca del extremo. Con referencia al Paso 6, esto está por encima de los requisitos mínimos. 8. Repetir el proceso descripto para diferentes secciones a lo largo del tramo del corte. Los resultados se ilustran a continuación.

25 - 21

300

V u /φ Vcw

Corte, kips

200

Vci

100

Long. de transferencia

2 fc' b w d

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

x/A

Nota: Se utilizó el Vc mínimo de 2 f c' b w d permitido por el artículo 11.4.1.

9. Notas: 1.

Se puede preparar una planilla de cálculo en la cual cada columna contenga datos para diferentes valores de x/ℓ y los factores para corte y momento del Paso 2.

2.

Para los elementos con cables de perfil curvo, en el Paso 2 es necesario aplicar factores adicionales para tomar en cuenta la variación de la excentricidad, profundidad y pendiente de los tendones (para el cálculo de Vp).

3.

Para los elementos compuestos, es necesario separar las partes de la carga permanente aplicadas antes y después de llegar al comportamiento compuesto La carga permanente aplicada después que la viga se vuelve compuesta no se debe incluir en los términos Vd y Md. Ver el artículo R11.4.2.

25 - 22

26 Sistemas de losas pretensadas

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El artículo 18.3.3 define a los sistemas de losas pretensadas armadas en dos direcciones como pertenecientes a la Clase U. Esto permite calcular las tensiones de flexión en el hormigón bajo cargas de servicio en base a una sección no fisurada (18.3.4), y como resultado la tensión de tracción por flexión admisible del hormigón aumenta de 6 f c' a 7,5 f c' . Se revisó la redacción del artículo 18.9.3 para indicar que los requisitos de armadura adherente mínima de esta sección se aplican a todos los sistemas de losas planas armadas en dos direcciones, no sólo a las placas planas. El artículo 18.10.4.1 permite redistribuir los momentos negativos en los elementos pretensados continuos solicitados a flexión de acuerdo con la nueva sección 8.4, siempre que en los apoyos se coloque armadura adherente de acuerdo con la sección 18.9. Esta es una diferencia significativa con respecto a los códigos anteriores. En el Capítulo 9 se revisaron exhaustivamente los factores de carga y reducción de la resistencia, φ, los cuales también se discuten en otras partes de este documento. El Ejemplo 26.1 incorpora estos nuevos factores.

INTRODUCCIÓN Hay cuatro artículos o secciones del Código que son particularmente relevantes con respecto al análisis y diseño de los sistemas de losas pretensadas: Sección 11.12.2 – Resistencia al corte de losas pretensadas. Sección 11.12.6 – Resistencia al corte de losas pretensadas con transferencia de momentos. Artículo 18.4.2 – Tensiones de compresión admisibles. Artículo 18.7.2 – Determinación de fps para el cálculo de la resistencia a flexión. Sección 18.12 – Sistemas de losas pretensadas. A continuación presentamos una discusión de cada uno de estos artículos o secciones. En el Ejemplo 26.1 se ilustra el cálculo de una placa plana postesada. El ejemplo de diseño ilustra la aplicación de estos requisitos del Código, así como la aplicabilidad general del código al análisis y diseño de placas planas postesadas.

11.12.2

Resistencia al corte

La sección 11.12.2 contiene requisitos específicos para calcular la resistencia al corte de elementos de hormigón pretensado con comportamiento en dos direcciones. En las columnas de las losas (y zapatas) pretensadas con comportamiento en dos direcciones en las cuales se utilizan cables no adherentes y que satisfacen los requisitos de armadura adherente del artículo 18.9.3, la resistencia al corte Vn no se debe tomar mayor que la resistencia al corte Vc calculada de acuerdo con los artículos 11.12.2.1 ó 11.12.2.2, a menos que se coloque armadura de corte de acuerdo con los artículos 11.12.3 ó 11.12.4. El artículo 11.12.2.2 presenta el siguiente valor para la resistencia al corte Vc en las columnas de las losas pretensadas armadas en dos direcciones:

(

)

Vc = βp f 'c + 0,3f pc bo d + Vp

Ec. (11-36)

La Ecuación (11-36) incluye el término βp que es el menor valor entre 3,5 y (αsd/bo + 1,5). El término αsd/bo toma en cuenta la disminución de la resistencia al corte debida a la relación de aspecto de la columna (perímetro/área), y para las columnas interiores αs se debe tomar igual a 40, para las columnas de borde igual a 30 y para las columnas de esquina igual a 20. fpc es el valor promedio de fpc para ambas direcciones, y Vp es la componente vertical de todas las fuerzas efectivas de pretensado que atraviesan la sección crítica. Si la resistencia al corte se calcula usando la Ecuación (11-36) se deben satisfacer los siguientes requisitos; caso contrario se aplica el artículo 11.12.2.1 para losas no pretensadas: a.

ningún segmento de la sección transversal de la columna debe estar ubicado más cerca de un borde discontinuo que 4 veces el espesor de la losa,

b.

el valor de f c' en la Ecuación (11-36) no se debe tomar mayor que 5000 psi, y

c.

el valor de f pc en cada dirección no debe ser menor que 125 psi ni mayor que 500 psi.

Respetando estas limitaciones, las resistencias al corte dadas por las Ecuaciones (11-33), (11-34) y (11-35) para losas no pretensadas son aplicables a las columnas que están ubicadas más cerca de un borde discontinuo que 4 veces el espesor de la losa. La resistencia al corte Vc es el menor de los valores obtenidos con estas tres ecuaciones. Para las condiciones de diseño habituales (espesores de losa y tamaños de columna usuales), la resistencia al corte determinante en las columnas de borde será 4 f c' bo d .

11.12.6

Resistencia al corte con transferencia de momentos

Para el cálculo de la transferencia de momentos, la tensión de corte determinante en las columnas de las losas pretensadas armadas en dos direcciones con armadura adherente de acuerdo con el artículo 18.9.3 está gobernada por la Ecuación (11-36), la cual se puede expresar como una tensión de corte para su uso en la Ecuación (11-40) de la siguiente manera:

vc = βp f 'c + 0,3f pc +

Vp

Ec. (11-36)

bo d

Si la tensión de corte admisible se calcula usando la Ecuación (11-36) se deben satisfacer los siguientes requisitos: a.

ningún segmento de la sección transversal de la columna debe estar ubicado más cerca de un borde discontinuo que 4 veces el espesor de la losa,

b.

el valor de f c' en la Ecuación (11-36) no se debe tomar mayor que 5000 psi, y

c.

el valor de f pc en cada dirección no debe ser menor que 125 psi ni mayor que 500 psi.

26 - 2

Para las columnas de borde bajo condiciones de transferencia de momentos, la tensión de corte determinante será la misma permitida para las losas no pretensadas. Para las condiciones de diseño habituales la tensión de corte determinante en las columnas de borde será 4 f c' .

18.4.2

Tensiones de compresión admisibles

En 1995 el artículo 18.4.2 aumentó la tensión de compresión por flexión admisible del hormigón a nivel de servicio correspondiente al pretensado más la carga total de 0,45f´c a 0,60f´c, pero impuso un nuevo límite de 0,45f´c para las cargas de larga duración. Esto requiere que los diseñadores apliquen su criterio profesional para determinar la carga sostenida adecuada.

18.7.2

fps para cables no adherentes

En los elementos pretensados con cables no adherentes en los cuales la relación luz/altura es mayor que 35, la tensión en la armadura pretensada a la resistencia nominal está dada por la siguiente expresión: f ps = fse + 10.000 +

f 'c 300ρp

Ec. (18-5)

pero no debe ser mayor que f py ni mayor que ( fse + 30.000 ) . En casi todas las losas en una dirección y placas planas pretensadas la relación luz/altura es mayor que 35. Con la Ecuación (18-5) se obtienen valores de fps que generalmente son de 15.000 a 20.000 psi menores que los valores de fps dados por la Ecuación (18-4), la cual fue desarrollada fundamentalmente a partir de resultados de ensayos de vigas. Estos valores menores de fps son más compatibles con los valores de fps obtenidos en ensayos más recientes realizados sobre losas en una dirección y placas planas. En el Ejemplo 26.1 se ilustra la aplicación de la Ecuación (18-5).

18.12

SISTEMAS DE LOSAS

La sección 18.2 contiene procedimientos para el análisis y diseño de sistemas de losas pretensadas armadas en dos direcciones, incluyendo los siguientes requisitos: 1.

Para determinar los momentos y cortes mayorados en los sistemas de losas pretensadas se debe usar el Método del Pórtico Equivalente de la sección 13.7 (excluyendo los artículos 13.7.7.4 y 13.7.7.5), o procedimientos de diseño más detallados. De acuerdo con las Referencias 26.1 y 26.4, para las losas pretensadas en dos direcciones las vigas placa no se deberían dividir en franjas de columna e intermedias como en el caso de las típicas losas no pretensadas armadas en dos direcciones, sino que se deberían diseñar como una única franja.

2.

La separación de los cables o grupos de cables en una dirección no debe ser mayor que 8 veces el espesor de la losa ni que 5 ft. La separación de los cables debe ser tal que se obtenga un pretensado promedio mínimo (después de todas las pérdidas de pretensado) de 125 psi sobre la sección de losa tributaria del cable o grupo de cables. Se debe prestar particular atención a la separación de los cables en las losas con cargas concentradas.

3.

En cada dirección se deben colocar como mínimo dos cables que atraviesen la sección crítica de corte sobre las columnas. Este requisito, junto con las limitaciones de la separación de los cables indicada en el punto 2 anterior, constituye un lineamiento específico para la distribución de los cables en las placas planas pretensadas de acuerdo con la distribución "en bandas" ilustrada en la Figura 26-1. Esta forma de instalar los cables está ampliamente difundida, y simplifica enormemente los detalles de armado y el proceso de instalación.

En el Ejemplo 26.1 se ilustra el cálculo de las propiedades del pórtico equivalente. También se discute la distribución de los cables.

26 - 3

Las Referencias 26.1 y 26.4 ilustran la aplicación de los requisitos de ACI 318 para el diseño de losas postesadas armadas en una y dos direcciones, e incluyen ejemplos de diseño detallados.

Figura 26-1 – Distribución de los cables en forma de "bandas"

REFERENCIAS 26.1

Design of Post-Tensioned Slabs, Post-Tensioning Institute, 2º Ed., Phoenix, AZ, 1995.

26.2

Continuity in Concrete Building Frames, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1959.

26.3

Estimating Prestress Losses, Zia, P., Preston, H. K., Scott, N. L. y Workman, E. B., Concrete International, Design and Construction, V. 1, No. 6, Junio 1979, pp. 32-38.

26.4

Design Fundamentals of Post-Tensioned Concrete Floors, Aalami, B. O. y Bommer, A., Post Tensioning Institute, Phoenix, AZ, 1999.

26 - 4

Ejemplo 26.1 – Sistema de losa pretensada armada en dos direcciones Diseñar una franja de pórtico transversal equivalente de la placa plana pretensada ilustrada en la Figura 26-2. f 'c = 4000 psi; w = 150 lb / ft 3 (losa y columnas) Franja de diseño

f y = 60.000 psi

Exterior 12" x 14" Interior 20" x 14"

17'

f pu = 270.000 psi

25' 17'

Reducir la sobrecarga de acuerdo con el código de edificación aplicable. Para este ejemplo la sobrecarga se reduce de acuerdo con el IBC 2000, Artículo 1607.9.2.

piso 8'-7"

Sobrecarga = 40 lb/ft2 Carga de los tabiques = 15 lb/ft2

Recubrimiento mínimo de hormigón sobre los cables: 1,5 in. a partir del fondo de la losa en los tramos finales; 0,75 in. en la parte superior e inferior en las demás ubicaciones.

20"

12" 20'- 0"

Corte

20'- 0"

Planta parcial

Figura 26-2

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Altura de la losa.

Para las losas pretensadas en dos direcciones, generalmente con una relación luz/altura de 45 se logra una economía global y un comportamiento estructural satisfactorio.26.1 Altura de la losa: Luz longitudinal: 20 × 12 / 45 = 5,3 in. Luz transversal: 25 × 12 / 45 = 6, 7 in. Usar una losa de 6 1/2". Peso de la losa = 81 lb/ft2 Peso de los tabiques = 15 lb/ft2 Carga permanente total = 81 + 15 = 96 lb/ft2 Tramo 2: Sobrecarga reducida (IBC 1607.9.2) Sobrecarga = 40 (1 − 0, 08 ( 500 − 150 ) /100 ) = 29 lb / ft 2

Carga permanente mayorada = 1, 2 × 96 = 115 lb / ft 2

26 - 5

Sobrecarga mayorada = 1, 6 × 29 = 47 lb / ft 2 Carga total

= 125 lb / ft 2 (no mayorada) = 162 lb / ft 2 (mayorada)

Tramos 1 y 3: Sobrecarga reducida (IBC 1607.9.2) Sobrecarga = 40 (1 − 0, 08 ( 340 − 150 ) /100 ) = 34 lb / ft 2 Carga permanente mayorada = 1, 2 × 96 = 115 lb / ft 2 Sobrecarga mayorada = 1, 6 × 34 = 55 lb / ft 2 Carga total

= 130 lb / ft 2 (no mayorada) = 170 lb / ft 2 (mayorada)

2. Procedimiento de diseño. Suponer un conjunto de cargas que deben ser balanceadas mediante cables parabólicos. Analizar un pórtico equivalente sujeto a las cargas netas descendentes de acuerdo con 13.7. Controlar las tensiones de flexión en las secciones críticas y verificar los esfuerzos equilibrantes de los cables según lo requerido para obtener las tensiones admisibles de flexión de acuerdo con 18.3.3 y 18.4. Una vez determinados los esfuerzos finales, obtener los momentos en el pórtico para las cargas permanentes y sobrecargas mayoradas. Calcular los momentos de segundo orden inducidos en el pórtico por las fuerzas de postesado, y combinar con los momentos debidos a la carga mayorada para obtener los momentos de diseño mayorados. Proveer armadura adherente mínima de acuerdo con 18.9. Verificar la resistencia a flexión de diseño y aumentar la armadura no pretensada si los criterios de resistencia así lo exigen. Investigar las resistencia al corte, incluyendo el corte debido a las cargas verticales y el debido a la transferencia de momentos, y comparar el total con los valores admisibles calculados de acuerdo con 11.12.2. 3. Equilibrio de las cargas. Para la estimación inicial de la fuerza de pretensado requerida, Fe, asumir arbitrariamente que los cables equilibrarán el 80% del peso de la losa (0,8 × 0,081 = 0,065 ksf) en el tramo determinante (Tramo 2), con cables de perfil parabólico con la máxima flecha admisible: Máxima flecha de los cables en el Tramo 2 = 6,5 – 1 – 1 = 4,5 in. w bal L2 0,8 ( 0, 081)( 25 ) (12 ) = = 13,5 kips / ft 8a 8 ( 4,5 ) 2

Fe =

Suponer que los cables son cables de siete alambres de baja relajación, 270 ksi, de 1/2 in. de diámetro (área de la sección transversal = 0,153 in.2) y que las pérdidas a largo plazo son de 14 ksi (Referencia 26.3). La fuerza efectiva por cada cable es 0,153 [(0,7 × 270) – 14] = 26,8 kips, siendo la tensión de tracción en los cables inmediatamente después del anclaje de los cables = 0,70fpu. Para un vano de 20 ft, 20 × 13,5 / 26,8 = 10,1 cables. Usar 10 cables de 1/2 in. de diámetro por vano. Fe = 10 × 26,8 / 20 = 13, 4 kips / ft

26 - 6

18.5.1(c)

f pc = Fe / A = 13, 4 / ( 6,5 × 12 ) = 0,172 ksi

Carga balanceada real en el Tramo 2: w bal =

8Fe a 2

L

=

8 (13, 4 )( 4,5 ) 12 × 252

= 0, 064 ksf

Ajustar el perfil de los cables en los Tramos 1 y 3 para balancear la misma carga que en el Tramo 2: w L2 0, 064 (17 ) (12 ) a = bal = = 2,1 in. 8Fe 8 (13, 4 ) 2

Centro de gravedad del acero (cgs)en el centro de la luz = ( 3, 25 + 5,5 ) / 2 − 2,1 = 2, 275 in. tomamos 2,25 in. Flecha real en los Tramos 1 y 3 = ( 3, 25 + 5,5 ) / 2 − 2, 25 = 2,125 in. Carga balanceada real en los Tramos 1 y 3: w bal =

8 (13, 4 )( 2,125 ) 17 2 (12 )

= 0, 066 ksf

4. Perfil de los cables.

1"

1" 3 - 1/4" 3 - 1/4"

a = 2,125"

a = 4,5"

2,25"

1"

17'- 0" Tramo 1

25'- 0" Tramo 2 Figura 26-3

Carga neta que provoca flexión: Tramo 2: w net = 0,125 − 0, 064 = 0, 061 ksf Tramos 1 y 3: w net = 0,130 − 0, 066 = 0, 064 ksf 5. Propiedades del pórtico equivalente.

13.7

a. Rigidez de las columnas.

13.7.4

La rigidez de las columnas, incluyendo los efectos de la rigidez "infinita" dentro del nudo losa-columna (unión rígida), se puede calcular usando los métodos clásicos o bien usando métodos simplificados que concuerden razonablemente con los mismos. La siguiente rigidez aproximada Kc permite obtener resultados que no difieren en más de cinco por ciento de los valores "exactos."21.6

26 - 7

K c = 4EI / ( A − 2h )

donde A = altura de la columna entre centros y h = altura de la losa. Para las columnas exteriores (14 × 12 in.): I = 14 × 123 /12 = 2016 in.4

E col / E losa = 1, 0

K c = ( 4 × 1, 0 × 2016 ) / 103 − ( 2 × 6,5 )  = 90 in.3

∑K

c

= 2 × 90 = 180 in.3

(total del nudo)

La rigidez de los elementos torsionales se calcula de la siguiente manera: C = (1 − 0, 63 x / y ) x 3 y / 3

13.7.5 13.0

(

)

= 1 − ( 0, 63 × 6,5 /12 )  6,53 × 12 / 3 = 724 in.4 9 CE cs

Kt =

=

R13.7.5

A 2 (1 − c2 / A 2 )

3

9 × 724 × 1, 0

( 20 ×12 )(1 − 1,17 / 20 )

∑K

t

3

= 32,3 in.3

= 2 × 32,5 = 65 in.3 (total del nudo)

Rigidez de una columna equivalente exterior (ver ACI 318-99, R13.7.4): 1/ K ec = 1/

∑K

t

+ 1/

K ec = (1/ 65 + 1/180 )

∑K

−1

c

= 48 in.3

Para las columnas interiores (14 × 20 in.): I = 14 × 203 /12 = 9333 in.4 K c = ( 4 × 1, 0 × 9333) / 103 − ( 2 × 6,5 )  = 415 in.3

∑ K c = 2 × 415 = 830in.3

(

(total del nudo)

)

C = 1 − ( 0, 63 × 6,5 / 20 )  6,53 × 20 / 3 = 1456 in.4

26 - 8

Kt =

9 × 1456 × 1, 0 240 (1 − 1,17 / 20 )

3

= 65 in.3

∑ K t = 2 × 65 = 130 in.3 K ec = (1/130 + 1/ 830 )

−1

(total del nudo) = 112 in.3

b. Rigidez de la viga placa.

13.7.3

La rigidez de la viga placa, incluyendo los efectos de la rigidez infinita dentro del nudo losa-columna, se puede calcular mediante la siguiente expresión aproximada.26.1 K s = 4EI / ( A1 − c1 / 2 )

donde A1 = luz en la dirección de análisis, medida entre los centros de los apoyos, y c 1 = dimensión de la columna en la dirección de A1 En una columna exterior:

(

)

K s = 4 × 1, 0 × 20 × 6,53 / (17 × 12 ) − 12 / 2  = 111 in.3

En una columna interior (Tramos 1 y 3):

(

)

K s = 4 × 1, 0 × 20 × 6,53 / (17 × 12 ) − 20 / 2  = 113 in.3

En una columna interior (Tramo 2):

(

)

K s = 4 × 1, 0 × 20 × 6,53 / ( 25 × 12 ) − 20 / 2  = 76 in.3

c. Factores de distribución para el análisis por distribución de momentos: Factores de distribución de la losa: En los nudos exteriores = (111 / (111 + 48) = 0,70 En los nudos interiores para los Tramos 1 y 3 = 113 / (113 + 76 + 112) = 0,37 En los nudos interiores para el Tramo 2 = 76 / 301 = 0,25 6. Distribución de momentos – Cargas netas. Como los efectos de la sección no prismática sobre los momentos en los extremos empotrados y los coeficientes de continuidad son pequeños, calcularemos los momentos en los extremos fijos usando la expresión FEM = wL2 /12 y adoptaremos los coeficientes de continuidad CC = 1/2. Para los Tramos 1 y 3, para la carga neta, FEM = 0, 064 × 17 2 /12 = 1,54 ft-kips Para el Tramo 2, para la carga neta, FEM = 0, 061× 252 /12 = 3,18 ft-kips

26 - 9

Observar que como la sobrecarga es menor que tres cuartos de la carga permanente, no es necesario considerar las condiciones de carga con sobrecarga parcial o "alternada". Los momentos máximos mayorados se calculan suponiendo que la totalidad de la sobrecarga mayorada actúa simultáneamente en todos los tramos.

13.7.6.2

Tabla 26-1 – Distribución de momentos – Cargas netas (Todos los momentos se expresan en ft-kips) FD

0,70

0,37

0,25

FEM

-1,54

-1,54

-3,18

Distribución

+1,08

-0,61

+0,41

Continuidad

+0,31

-0,54

-0,21

Distribución

-0,22

+0,12

-0,08

Final

-0,37

-2,57

-3,06

7. Verificar las tensiones netas (tracción positiva, compresión negativa). a. En la cara interior de una columna interior: Momento en la cara de la columna = momento en el centro + Vc1 / 3 (ver Referencia 26.2): 1  0, 061× 25   20  −M max = −3, 06 +    3 2   12  = −2, 64 ft-kips S = bh 2 / 6 = 12 × 6,52 / 6 = 84,5 in.3

fsup,inf = −f pc ±

M net 12 × 2, 64 = −0,172 ± = 0,172 ± 0,375 = +0, 203 ksi; − 0,547 ksi Ssup,inf 84,5

Tensión admisible = 7,5 4000 = 0, 474 ksi En la parte superior: 0,203 ksi (aplicada) < 0,474 ksi (admisible)

18.3.3 VERIFICA

Compresión admisible bajo la carga total = 0, 60f c' = 0, 6 × 4000 = 2, 4 ksi En la parte inferior: 0,547 ksi (aplicada) < 2,4 ksi (admisible) VERIFICA Compresión admisible bajo carga de larga duración = 0, 45 × 4000 = 1,8 ksi 0,547 ksi (aplicada bajo carga total) < 1,8 ksi (admisible bajo carga de larga duración) (independientemente del valor de la carga de larga duración). b. En el centro de la luz del Tramo 2:

(

)

+ M max = 0, 061× 252 / 8 − 3,18 = +1,59 ft-kips

fsup,inf = −f pc ±

M net 12 × 1,59 = −0,172 ± = −0,172 ± 0, 226 = −0,398 ksi; + 0, 054 ksi Ssup,inf 84,5

26 - 10

18.4.2(b)

18.4.2(a) VERIFICA

Compresión en la parte superior 0,398 < 1,8 ksi (admisible con carga de larga duración) < 2,4 ksi (admisible con carga total) VERIFICA Tracción aplicada en la parte inferior 0,054 < 0,474 ksi (admisible) VERIFICA Cuando la tensión de tracción es mayor que 2 f c' en las áreas de momento positivo, el esfuerzo total de tracción Nc debe ser soportado por armadura adherente. Para esta losa, 2 4000 = 0,126 ksi > 0, 054 ksi . Por lo tanto no se requiere armadura adherente para momento positivo. Si se requiriera esta armadura, el cálculo de la armadura adherente se realizaría de la siguiente manera (ver Figura 26-4): fc

ft y= ( h ) in. f t + fc Nc =

As =

12 ( y ) ( f t ) 2

C h

kips / ft

Nc in.2 / ft 0,5f y

y

Nc ft

Figura 26-4

Determinar las mínimas longitudes de las barras para esta armadura de acuerdo con el artículo 18.9.4. (Observar que también se deben satisfacer los requisitos del Capítulo 12.) Calcular las flechas bajo las cargas totales usando los métodos elásticos habituales y las propiedades de la sección bruta de hormigón (9.5.4). Limitar las flechas calculadas a los valores especificados en la Tabla 9.5(b). Con esto finaliza la parte del diseño correspondiente a cargas de servicio. 8. Resistencia a flexión a. Cálculo de los momentos de diseño. Los momentos de diseño para los elementos postesados estáticamente indeterminados se determinan combinando los momentos del pórtico debidos a las cargas permanentes y sobrecargas mayoradas con los momentos de segundo orden inducidos en el pórtico por los cables. El enfoque del balance de las cargas incluye tanto los efectos de primer orden como los de segundo orden, de manera que para las condiciones de servicio sólo es necesario considerar las "cargas netas." A la resistencia a flexión de diseño, los momentos provocados por las cargas balanceadas se utilizan para calcular los momentos de segundo orden restando el momento de primer orden (que simplemente es igual a Fe × e) en cada apoyo. Para el caso de las estructuras de múltiples pisos en las cuales típicamente se combinan cargas verticales con momentos variables debidos a las cargas laterales, un enfoque de diseño eficiente consiste en analizar el pórtico equivalente bajo cada estado de carga correspondiente a cargas permanentes, sobrecargas, cargas balanceadas y cargas laterales, y luego combinar los casos utilizando factores de carga adecuados. Para este ejemplo los momentos provocados por las cargas balanceadas se determinan mediante distribución de momentos de la siguiente manera: Para los Tramos 1 y 3, para cargas balanceadas, FEM = 0, 066 × 17 2 /12 = 1,59 ft-kips Para el Tramo 2, para cargas balanceadas, FEM = 0, 064 × 252 /12 = 3,33 ft-kips 26 - 11

18.9.3.2

Tabla 26-2 – Distribución de momentos – Cargas balanceadas (Todos los momentos se expresan en ft-kips) FD

0,70

0,37

0,25

FEM

+1,59

+1,59

+3,33

Distribución

-1,11

+0,64

-0,44

Continuidad

-0,32

+0,56

+0,22

Distribución

+0,22

-0,13

+0,09

Final

+0,38

+2,66

+3,20

Como el momento por cargas balanceadas incluye tanto los momentos de primer orden (M1) como los momentos de segundo orden (M2), los momentos de segundo orden se pueden hallar a partir de la siguiente expresión: M bal = M1 + M 2 o bien

M 2 = M bal − M1

En cualquier punto el momento de primer orden M1 es igual a Fe × e ("e" es la distancia entre el los centros de gravedad del acero y el hormigón, la "excentricidad" de la fuerza de pretensado). Por lo tanto, los momentos de segundo orden son: En una columna exterior: M 2 = 0,38 − (13, 4 × 0 /12 ) = 0,38 ft-kips

En una columna interior: Tramos 1 y 3: M 2 = 2, 66 − 13, 4 ( 3, 25 − 1, 0 ) /12 = 0,15 ft-kips

Tramo 2: M 2 = 3, 20 − (13, 4 × 2, 25 ) /12 = 0, 69 ft-kips

Momentos con carga mayorada: Tramos 1 y 3:

w u = 170 lb / ft 2

Tramo 2:

w u = 162 lb / ft 2

Para los Tramos 1 y 3, con carga mayorada, FEM = 0,170 × 17 2 /12 = 4, 09 ft-kips Para el Tramo 2, con carga mayorada, FEM = 0,162 × 252 /12 = 8, 44 ft-kips

26 - 12

Momento por cargas balanceadas Momento secundario

+0,15

+0,38

+0,69

M2

M bal

M1

M1

M bal

M2

Centro de la luz (sim.)

+2,66 +3,20

Tramo 1

Tramo 2

Figura 26-5 Tabla 26-3 – Distribución de momentos – Cargas mayoradas (Todos los momentos se expresan en ft-kips) FD

0,70

0,37

0,25

FEM

-4,09

-4,09

-8,44

Distribución

+2,86

-1,61

+1,09

Continuidad

+0,81

-1,43

-0,55

Distribución

-0,57

+0,33

-0,22

Final

-0,99

-6,80

-8,12

Combinar los momentos por carga mayorada con los momentos de segundo orden para obtener los momentos negativos de diseño totales. Los resultados se indican en la Tabla 26-4. Tabla 26-4 – Momentos de diseño en la cara de la columna (Todos los momentos se expresan en ft-kips) Tramo 1

Tramo 2

Momentos debidos a las cargas mayoradas

-0,99

-6,80

-8,12

Momentos de segundo orden

+0,38

+0,15

+0,69

Momentos en el centro de la columna

-0,61

-6,65

-7,43

Reducción del momento a la cara de la columna, Vc1/3

+0,48

+0,80

+1,13

Momentos de diseño en la cara de la columna

-0,13

-5,85

-6,30

Calcular los momentos de diseño positivos en el interior del tramo: Para el Tramo 1: Vext = ( 0,170 × 17 / 2 ) − ( 6, 65 − 0, 61) /17

26 - 13

= 1, 45 − 0,36 = 1, 09 kips / ft Vint = 1, 45 + 0,36 = 1,81 kips / ft

Distancia "x" hasta la sección de corte nulo y momento positivo máximo a partir del eje de una columna exterior: x = 1, 09 / 0,170 = 6, 42 ft

Momento positivo en un tramo final = ( 0,5 × 1, 09 × 6, 42 ) − 0, 61 = 2,89 ft-kips/ft (incluyendo M 2 ) Para el Tramo 2: V = 0,162 × 25 / 2 = 2, 03 kips / ft

Momento positivo en un tramo interior = −7, 43 + ( 0,5 × 2, 03 × 12,5 ) = 5, 26 ft-kips/ft (incluyendo M 2 ) b. Cálculo de la resistencia a flexión. Verificar la losa sobre un apoyo interior. El artículo 18.9.3.3 requiere una cantidad mínima de armadura adherente en las regiones de momento negativo en los apoyos sobre columnas, independientemente del valor de las tensiones bajo cargas de servicio. Puede que sea necesario colocar una cantidad mayor que la mínima requerida para lograr la resistencia a flexión. La cantidad mínima ayuda a asegurar la continuidad y la ductilidad, y a controlar la fisuración debida a cargas excesivas, temperatura o contracción. As = 0, 00075A cf

Ec. (18-8)

donde A cf = área de la mayor sección transversal correspondiente a las franjas de viga-placa de los dos pórticos equivalentes ortogonales que se intersecan en una columna para una losa en dos direcciones.  17 + 25  2 A s = 0, 00075 × 6,5 ×   × 12 = 1, 23 in. 2  

Intentar con 6 barras No. 4. Separar las barras 6 in. entre sus centros, de modo que queden distribuidas dentro del ancho de la columna más 1,5 veces la altura de la losa a cada lado de la columna.

18.9.3.3

Longitud de las barras =  2 × ( 25 − 20 /12 ) / 6  + 20 /12 = 9 ft-5 in.

18.9.4.2

Para una franja de un pie de ancho: A s = 6 × 0, 20 / 20 = 0, 06 in.2 / ft

La verificación inicial de la resistencia a flexión se hará considerando esta armadura. Calcular la tensión en los cables a la resistencia nominal: f ps = fse + 10.000 +

f´c 300ρp

Ec. (18-5)

26 - 14

Con 10 cables en un vano de 20 ft: ρp = A ps / bd p = 10 × 0,153 / ( 20 × 12 × 5,5 ) = 0, 00116 fse = ( 0, 7 × 270 ) − 14 = 175 ksi

18.5.1, 18.6, Referencia 3

f ps = 175 + 10 + 4 / ( 300 × 0, 00116 ) = 175 + 10 + 12 = 197 ksi f ps no se debe tomar mayor que f py = 0,85f pu = 230 ksi > 197

o bien fse + 30 = 205 ksi > 197

VERIFICA

18.7.2(c)

A ps f ps = 10 × 0,153 × 197 / 20 = 15,1 kips / ft A s f y = 0, 06 × 60 = 3, 6 kips / ft 1

2

7,43 6,65

Capacidad 7,41

6,30

5,85 0,61 0,13 Momento redistribuido

2,89 Momentos elásticos (con M2 ) Cara de la columna 4,15 5,26 Capacidad 5,98

Figura 26-6 – Momentos en ft-kips

a=

A ps f ps + As f y 0,85f´c b

=

15,1 + 3, 6 = 0, 46 in. 0,85 × 4 × 12

c = a / β1 = 0, 48 / 0,85 = 0,54 in. ε t = ( 5,5 − 0,54 ) × 0, 003 / 0,54 = 0, 028 por lo tanto la sección es controlada por tracción y φ = 0,9

Como las barras y los cables están en la misma capa: a  0, 46    d −  =  5,5 −  /12 = 0, 44 ft 2 2    

26 - 15

9.3.2, 10.3.4

φM n = 0,9 × (15,1 + 3, 6 ) × 0, 44 = 7, 41 ft-kips/ft > 6,30 ft-kips/ft

VERIFICA

9.3.2.1

εt

4,96" 5,5"

0,54" 0,003

Figura 26-7 – Diagrama de deformaciones en un apoyo interior

Debido a que hay un exceso de capacidad de momento negativo disponible, redistribuir los momentos para aumentar el momento negativo y minimizar la demanda de momento positivo en el Tramo 2. Observar que la redistribución inelástica real de los momentos ocurre en la sección de momento positivo del Tramo 2. Variación admisible del momento negativo = 1000ε t = 1000 ( 0, 028 ) = 28% > 20% máx.

18.10.4.1 8.4

Aumento de momento negativo disponible = 0, 2 × 6,30 = 1, 26 ft-kips/ft Aumento real del momento negativo = Capacidad mínima – Momento negativo elástico = 7, 41 − 6,30 = 1,11 ft-kips / ft < 1, 26 disponible

VERIFICA

Mínimo momento positivo de diseño en el Tramo 2 = 5, 26 − 1,11 = 4,15 ft-kips / ft Capacidad en el centro de la luz del Tramo 2 (no se requiere armadura adherente): A ps f ps = 15,1 kips / ft

a=

15,1 = 0,37 in. 0,85 × 4 × 12

0,37 c 0,85 = = 0, 079 < 0,375 dt 5,5

por lo tanto, la sección es controlada por tracción.

9.3.2.2 10.3.4

0,37 5,5 − a   2 = 0, 44 ft d −  = 2 12  En el centro de la luz,

26 - 16

φM n = 0,9 × (15,1) × 0, 44 = 5,98 ft-kips/ft > 4,15

VERIFICA en el centro de la luz.

Verificar la capacidad de momento positivo en el Tramo 1: a (  d −  = 2 

6,5 − 2, 25 ) − 12

0,37 2 = 0,39 ft

0,37 c 0,85 = = 0,102 < 0,375 por lo tanto, la sección es controlada por tracción. d t 4, 25 φM n = 0,9 × (15,1) × 0,39 = 5,30 ft-kips/ft > 2,89

9.3.2.2 10.3.4

VERIFICA en el centro de la luz.

Columnas exteriores: A s mínima = 0, 00075 × 20 × 12 × 6,5 = 1,17 in 2

Usar 6 barras #4

A s = 6 × 0, 2 / 20 = 0, 06 in 2 / ft A s f y = 0, 06 × 60 = 3, 6 kips / ft

ρp = 10 × 0,153 / (12 × 20 × 3, 25 ) = 0, 00196 f ps = 175 + 10 + 4 / ( 300 × 0, 00196 ) = 192 ksi As f ps = 10 × 0,153 × 192 / 20 = 14, 7 kips / ft a=

14, 7 + 3, 6 = 0, 45 in. 0,85 × 4 × 12

ε t = ( 5,5 − 0,53) × 0, 003 / 0,53 = 0, 028 por lo tanto, la sección es controlada por tracción.

9.3.2 10.3.4

Cables: a (  d −  = 2 

3, 25 ) − 12

0, 45 2 = 0, 25ft

Barras: a (  d −  = 2 

5,5 ) − 12

0, 45 2 = 0, 44 ft

φM n = 0,9 × (14, 7 × 0, 25 ) + ( 3, 6 × 0, 44 )  = 4, 73 ft-kips/ft > 0,13

VERIFICA

Con esto finaliza la parte del diseño correspondiente a resistencia a flexión.

26 - 17

9. Resistencia al corte y transferencia de momentos en las columnas exteriores

11.12.6, 13.5.3

a. Corte y momento transferidos en una columna exterior. Vu = ( 0,170 × 17 / 2 ) − ( 6, 65 − 0, 61) /17 = 109 kips / ft

Suponer que el cerramiento del edificio es de mampostería y vidrio, con un peso de 0,40 kips/ft. Corte total de la losa en una columna exterior: Vu = (1, 2 × 0, 40 ) + 1, 09  × 20 = 31, 4 kips Momento transferido = 20 (0,61) = 12,2 ft-kips (momento mayorado en el eje de una columna exterior = 0,61 ft-kips/ft) b. Tensión de corte combinada en la cara interna de la sección crítica de transferencia. Las ecuaciones para la resistencia al corte se discuten en el Capítulo 16 de este documento. vu =

Vu γ v M u c + Ac J

R11.12.6.2

donde (con referencia a la Tabla 16-2: Columna de borde - Flexión perpendicular al borde) d ≈ 0,8 × 6,5 = 5, 2 in. c1 = 12 in. c2 = 14 in. b1 = c1 + d / 2 = 14, 6 in. b 2 = c2 + d = 19, 2 in. c=

b12 = 4, 40 in. ( 2b1 + b2 )

A c = ( 2b1 + b 2 ) d = 252 in.2 J / c =  2b1d ( b1 + 2b 2 ) + d 3 ( 2b1 + b 2 ) / b1  / 6 = 1419 in.3   γ v = 1 − γf

= 1−

Ec. (11-39) 1

2 b 1+   1  3  b2

= 0,37

13.5.3.2

26 - 18

vu =

31.400 0,37 × 12, 2 × 12.000 + = 163 psi 252 1419

c. Tensión de corte admisible (para elementos sin armadura de corte) φv n = φVc / ( b o d )

11.12.6.2 Ec. (11-20)

donde Vc es como se define en los artículos 11.12.2.1 ó 11.12.2.2. Para las columnas de borde: φv n = φ4 f c' = 0,85 × 4 4000 = 215 psi > 163

VERIFICA

d. Verificar la resistencia para transferencia de momento. Aunque el momento transferido es pequeño, por motivos ilustrativos igual verificaremos la resistencia al momento del ancho de losa efectivo (ancho de la columna más 1,5 veces la altura de la losa a cada lado) para la transferencia de momento. Suponer que tres de los diez cables requeridos para el vano de 20 ft de ancho están anclados dentro de la columna y unidos formando un paquete que atraviesa la estructura. Esto se debe especificar en los planos de diseño. Además de proveer resistencia a flexión, esta fuerza de pretensado actuará directamente sobre la sección crítica para corte y aumentará la resistencia al corte. Como se dijo anteriormente, en todas las columnas se requiere una cantidad mínima de armadura adherente. Para una columna exterior el área requerida es: A s = 0, 00075A cf = 0, 00075 × 6,5 × 20 × 12 = 1,17 in.2

Usar 6 barras No. 4 de 5 ft de longitud (incluyendo el gancho en el extremo). Calcular la tensión en los cables: Ancho de losa efectivo = 14 + 2 (1,5 × 6,5 ) = 33,5 in. ρp =

3 × 0,153 = 0, 0042 33,5 × 3, 25

f ps = 175 + 10 + 4 / ( 300 × 0, 0042 ) = 188, 2 ksi

Fuerza de pretensado correspondiente = 3 × 0,153 × 188, 2 = 86, 4 kips A s f y = 6 × 0, 20 × 60 = 72, 0 kips A ps f ps + A s f y = 158, 4 kips a = 158, 4 / ( 0,85 × 4 × 33,5 ) = 1,39 in.

cables:

( d p − a / 2 ) = ( 3, 25 − 1,39 / 2 ) /12 = 0, 21 ft

barras:

( d − a / 2 ) = ( 5,5 − 1,39 / 2 ) /12 = 0, 40 ft

26 - 19

11.12.2.1 13.5.3 13.5.3.2

Ec. (18-8)

φM n = 0,9 ( 86, 4 × 0, 21) + ( 72 × 0, 40 )  = 42, 25 ft-kips γf =

1 2 1+ 3

b1 b2

= 0, 63

Ec. (13-1)

γ f M u = 0, 63 (12, 2 ) = 7, 69 ft-kips << 42, 25 ft-kips

VERIFICA

10. Resistencia al corte y transferencia de momento en las columnas interiores

11.12.6, 13.5.3

a. Corte y momento transferidos en una columna interior. El corte directo y momento a la izquierda y derecha de las columnas interiores se calculó en el Paso 8 anterior. Vu = (1,81 + 2, 03) 20 = 76,8 kips

Momento transferido = 20 ( 7, 43 − 6, 65 ) = 15, 6 ft-kips b. Tensión de corte combinada en la cara de la sección crítica de transferencia. Las ecuaciones para la resistencia al corte se discuten en el Capítulo 16 de este documento. vu =

Vu γ v M u c + Ac J

R11.12.6.2

donde (con referencia a la Tabla 16-1: Columna interior) d ≈ 0,8 × 6,5 = 5, 2 in. c1 = 20 in. c2 = 14 in. b1 = c1 + d = 25, 2 in. b 2 = c2 + d = 19, 2 in. A c = 2 ( b1 + b 2 ) d = 462 in.2 J / c =  b1d ( b1 + 3b 2 ) + d3  / 3 = 3664 in.3   γ v = 1 − γf = 1−

Ec. (11-39) 1

2 b 1+   1  3  b2

= 0, 43

13.5.3.2

26 - 20

vu =

76.800 0, 43 × 15, 6 × 12.000 + = 188 psi 462 3664

c. Tensión de corte admisible. Para las columnas interiores se aplica la Ecuación (11-36):

11.12.2.2

Vp   φvc = φ  βp f c' + 0,3f pc +  bo d  

Ec. (11-36)

α d  βp =  s + 1,5  pero no mayor que 3,5 b  o 

donde:

bo = 2 ( 20 + 5, 2 ) + (14 + 5, 2 )  = 88,8 in. αs = 40 para columnas interiores d = 5, 2 in. βp =

40 × 5, 2 + 1,5 = 3,8 > 3,5 88,8

Usar 3,5

Vp es el corte que llevan los cables a través de la sección crítica de transferencia. En las losas de poca altura el término Vp se debe evaluar cuidadosamente, ya que las prácticas utilizadas durante la colocación en obra afectan fuertemente el perfil de los cables. De forma conservadora, este término se puede considerar nulo. φvc = 0,85 3,5 4000 + ( 0,3 × 172 )  = 232 psi > 188 psi  

VERIFICA

d. Verificar la resistencia para transferencia de momento. γf =

1 2 1+ 3

b1 b2

= 0,57

13.5.3 Ec. (13-1)

Momento transferido por flexión dentro del ancho de la columna más 1,5 veces la altura de la losa a cada lado = 0,57 (15,6) = 8,89 ft-kips.

13.5.3.2

Ancho de losa efectivo = 14 + 2 ( ,5 × 6,5 ) = 33,5 in. Digamos que A ps f ps = 86, 4 kips (igual que para las columnas exteriores) As = 0, 00075A cf = 0, 00075 × 6,5 × (17 + 25 ) / 2 × 12 = 1, 23 in.2

(

Usar 6 barras No. 4 A s = 1, 20 in.2

)

As f y = 1, 20 × 60 = 72, 0 kips

26 - 21

Ec. (18-8)

A ps f ps + A s f y = 86, 4 + 72, 0 = 158, 4 kips

a=

158, 4 = 1,39 in. 0,85 × 4 × 33,5

( d − a / 2 ) = ( 5,5 − 1,39 / 2 ) /12 = 0, 40 ft φM n = 0,9 (158, 4 × 0, 40 ) = 57, 0 ft-kips >> 8,89 ft-kips

VERIFICA

Con esto concluye el diseño al corte. 11. Distribución de los cables. De acuerdo con el artículo 18.12.4, los 10 cables en cada vano de 20 ft se distribuirán en un grupo de 3 cables que atraviesan directamente la columna, con los 7 cables restantes separados 2 ft-6 in. entre sus centros (4,6 veces la altura de la losa). Los cables en la dirección perpendicular se colocarán en una banda angosta e inmediatamente adyacentes a las columnas.

26 - 22

27 Cáscaras y placas plegadas

INTRODUCCIÓN El Capítulo 19 – referido a cáscaras y placas plegadas – fue totalmente actualizado para el Código ACI 318-83. En la edición 1995 se agregaron los artículos 19.2.10 y 19.2.11. En su forma actual el Capítulo 19 refleja el estado del conocimiento sobre el diseño de cáscaras y placas plegadas. Incluye lineamientos sobre métodos de análisis adecuados para diferentes tipos de estructuras, y contiene directivas específicas para el diseño y la correcta colocación de la armadura de las cáscaras. El Comentario correspondiente al Capítulo 19 debería ser de gran utilidad para los diseñadores; su contenido refleja toda la información existente en la actualidad, incluyendo un extenso listado de bibliografía.

CONSIDERACIONES GENERALES Necesariamente los requisitos del Código para cáscaras y placas plegadas son de carácter más general que los requisitos para otros tipos de estructuras para las cuales la práctica y el diseño han sido firmemente establecidos. El Capítulo 19 sólo es específico en algunas áreas críticas inherentes al diseño de las cáscaras; en lo demás remite a otros requisitos del Código. Se debe destacar que está permitido diseñar las cáscaras mediante el método de diseño por resistencia, aún cuando la mayor parte de las cáscaras que existen en este país hayan sido diseñadas usando procedimientos de diseño por tensiones admisibles. El Código, el Comentario y la lista de bibliografía constituyen una excelente fuente de información y guía para el diseño de cáscaras. Sin embargo, la lista de bibliografía no agota todas las potenciales fuentes disponibles. 1.

El Capítulo 19 abarca el diseño de una importante clase de estructuras de hormigón que difieren considerablemente de las construcciones habituales con losas, vigas y columnas. El comportamiento estructural varía desde cáscaras con flexión considerable (placas plegadas y cáscaras cilíndricas) hasta aquellas con muy poca flexión salvo en la unión entre la cáscara y el apoyo (paraboloides hiperbólicos y domos de revolución). En consecuencia, los problemas relacionados con el diseño de las cáscaras no se pueden unificar, ya que cada tipo de estructura tiene sus propios atributos particulares que el ingeniero debe comprender cabalmente. Aún el comportamiento de aquellas cáscaras que se clasifican dentro de un mismo tipo, como por ejemplo los paraboloides hiperbólicos, varía ampliamente. Estudios realizados indican que los paraboloides hiperbólicos con viga de borde formando una V invertida, por ejemplo, son mucho más complejos que lo que indicaría la teoría de la membrana. Por todo lo expuesto el Código no contiene un conjunto de reglas fijas para el diseño de las cáscaras y estructuras plegadas.

2.

Por los motivos expresados en el párrafo precedente, el diseño de una cáscara requiere de un tiempo considerable para llegar a comprender los problemas de diseño asociados con el tipo particular de cáscara estudiada. Intentar diseñar una cáscara sin realizar un estudio adecuado puede resultar en un diseño extremadamente pobre. El diseño de una cáscara requiere la habilidad de pensar en términos del espacio tridimensional; esto sólo se logra mediante el estudio y la

experiencia. El período más crítico del diseño de una cáscara es la etapa conceptual, ya que es en esta etapa en la cual se deben tomar decisiones fundamentales con respecto a su geometría y dimensiones. 3.

La resistencia de las estructuras tipo cáscara es inherente a su geometría, y no se crea llevando el comportamiento de los materiales hasta su estado límite como en el caso de otros tipos de estructuras de hormigón tales como las vigas de hormigón armado y prefabricado. Por lo tanto, las tensiones de diseño en el hormigón no se deben llevar a los máximos valores aceptables, excepto cuando sea necesario para alguna estructura de dimensiones muy importantes. Si las tensiones son bajas, las flechas generalmente no constituyen un problema.

4.

Las dimensiones de una cáscara constituyen un factor determinante de la precisión analítica requerida para su diseño. Las cáscaras con luces cortas (hasta 60 ft) se pueden diseñar utilizando métodos aproximados tal como el método de la viga para las cáscaras cilíndricas, siempre que los elementos exteriores de la cáscara sean soportados adecuadamente por vigas y columnas. Sin embargo, es importante comprender las limitaciones y aproximaciones de cualquier método utilizado. Para las grandes luces puede ser necesario realizar análisis mucho más elaborados. Por ejemplo, un paraboloide hiperbólico de grandes dimensiones (luz de 150 ft o más) puede exigir un análisis por elementos finitos.

La aplicación de los siguientes requisitos del Código merece alguna explicación adicional.

19.2

ANÁLISIS Y DISEÑO

19.2.6

Cáscaras pretensadas

Cuando dentro de una cáscara delgada hay cables de pretensado curvos, el diseño debe considerar las componentes de las fuerzas resultantes de la geometría de los cables. En el caso de las cáscaras cilíndricas, se debe observar que el cable no se encuentra en un plano, tal como se ilustra en la Figura 27-1. Plano del cable en la mitad de la trayectoria

Plano del cable en el extremo

Figura 27-1 – Cable de pretensado en una cáscara cilíndrica

19.2.7

Método de diseño

Está permitido diseñar las cáscaras mediante el Método de Diseño por Resistencia, pero se debe observar que para los elementos tipo losa que se intersecan en un ángulo, y que poseen elevadas tensiones de tracción en las esquinas interiores, la resistencia última es mucho menor que la correspondiente al centro de una losa de hormigón. Por lo tanto, se debe prestar particular atención a la armadura utilizada en estas áreas, y el espesor debería ser mayor que el mínimo permitido por el método por resistencia.

19.4

ARMADURA DE LA CÁSCARA

19.4.6

Armadura según las direcciones principales de tracción

27 - 2

En las cáscaras que trabajan fundamentalmente en régimen membranal, tal como los paraboloides hiperbólicos o los domos de revolución, en general resulta conveniente colocar armadura la en la dirección de los esfuerzos principales. Aún cuando las placas plegadas y las cáscaras cilíndricas actúan básicamente como vigas longitudinales (tradicionalmente con estribos verticales como armadura de corte), el uso de armadura ortogonal (barras diagonales) simplifica la colocación y también garantiza el anclaje en la cáscara cilíndrica o placa plegada. Si se utilizan barras diagonales es posible que en algunos puntos se requieran cinco capas de armadura. La dirección de las tensiones principales cerca de los apoyos generalmente es de aproximadamente 45 grados, de modo que para satisfacer los requisitos del artículo 19.4.4 se requieren áreas de armadura iguales en ambas direcciones. A título ilustrativo, la Figura 27-2 muestra las principales fuerzas membranales que actúan en una cáscara cilíndrica de 60 ft de luz, 6,3 ft de altura, 3,5 in. de espesor, una carga de nieve de 25 lb/ft2 y una carga sobre la cubierta de 10 lb/ft2. Los esfuerzos, correspondientes a las cargas de servicio, se indican en kips por pie lineal.

3

2 5,17 3,61

B

3,72

13,33 3,17

0,68

1,78

51,30°

C

7,28

10,64

45° 9,99

D

9,99

6,67

E

9,75

44,60°

15,76

0,90 25,94

borde

12,57

32,88

5 vanos de 6' = 30' LIMA HOYA

11,96

76,98° 0,09

6,58

27,12°

37,61° 0,82

F

2,58

11,39

66,99°

48,38° 11,14

6,29

45°

2,6

2,67 8,75

16,17

84,39°

0,94

58,34°

11,02

10,13

15,26

77,43°

4,94

45° 9,75

13,68

11,39

47,73°

4,07

3,40

3,09

1,17

3,00

3,61

68,70°

3,72 7,28

6 17,25

16,3 3,92

10,82

7,91

45°

5

4

CIMA

9,93

4,68

14,10

46,06°

49,56° 0,34

0,05 13,70 17,57°

14,10 7,66°

36,69

5 vanos = 21 29' (sobre el arco)

A

1

9,75

38,05

centro Todas las fuerzas en kips/ft

Figura 27-2 – Principales fuerzas membranales para una cáscara cilíndrica de 60 ft de luz

19.4.8

Concentración de armadura

En el caso de las cáscaras cilíndricas (o domos) de gran longitud suele ser recomendable concentrar la armadura de tracción cerca de los bordes antes que distribuirla en la totalidad de la zona traccionada. Cuando este es el caso, se debe distribuir una cantidad mínima de armadura igual a 0,0035bh sobre la parte restante de la zona traccionada, tal como se ilustra en la Figura 27-3. En términos prácticos, esta cantidad es el doble del requisito de armadura mínima para las tensiones por contracción y temperatura.

19.4.10

Separación de la armadura

27 - 3

La máxima separación admisible de la armadura es igual a 5 veces el espesor de la cáscara ó 18 in., cualquiera sea el valor que resulte menor. Esto significa que para las cáscaras de menos de 3,6 in. de espesor el valor correspondiente a 5 veces el espesor será determinante. En las cáscaras de mayor espesor la separación de las barras no debe ser mayor que 18 in.

A s min. a colocar en la zona traccionada = 0,0035 bh

C eje neutro T Sección en la mitad de la luz o tramo

Diagrama de Tensiones

eje Concentración de la armadura

Figura 27-3 Concentración de la armadura de una cáscara

27 - 4

28 Evaluación de la resistencia de estructuras existentes

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 Se revisaron los factores de reducción de la resistencia a utilizar para la evaluación analítica de la resistencia de acuerdo con el artículo 20.2.5 para que sean compatibles con los nuevos factores de carga y reducción de la resistencia introducidos en el Capítulo 9. Observar que la carga total de prueba indicada en el artículo 20.3.2 no fue modificada, a pesar del cambio de los factores de carga indicados para el diseño en la sección 9.2.

INTRODUCCIÓN En 1995 se revisó el Capítulo 20 para resaltar la necesidad de monitorear durante los ensayos de carga no sólo las flechas, sino también las fisuras relacionadas con el corte y/o la adherencia junto con el descascaramiento y aplastamiento del hormigón. En los casos que involucran el deterioro de la estructura, el criterio de aceptación de una construcción se debería basar en un ensayo de carga. Además, la aceptación debería incluir un límite temporal. Se deberían especificar inspecciones y reevaluaciones periódicas de la resistencia, dependiendo de la naturaleza del deterioro. En ACI 318-95 se introdujeron factores de reducción de la resistencia más elevados para la evaluación de la resistencia de estructuras existentes de las cuales se conocen las dimensiones, el tamaño y la ubicación de las armaduras, y las propiedades de los materiales. La evaluación de la resistencia de una estructura existente exige experiencia y un sólido criterio profesional. El Capítulo 20 contiene una guía para investigar la seguridad de una estructura cuando: 1.

Se considera que la calidad de los materiales es deficiente.

2.

Hay evidencias que indican fallas de construcción.

3.

La construcción se ha deteriorado.

4.

Una estructura existente se utilizará para una nueva función.

5.

Una construcción o una parte de una construcción no parece satisfacer los requisitos del Código.

Los requisitos del Capítulo 20 no se deben utilizar para la aprobación de sistemas especiales de diseño y métodos constructivos. La aprobación de estos sistemas se trata en la sección 1.4. Se sugiere consultar las Referencias 28.1 y 28.2 publicadas por el CRSI (Concrete Reinforcing Steel Institute) como guía adicional para la evaluación de la resistencia de las estructuras existentes. La publicación CRSI Engineering Data Report Number 1128.3 contiene información adicional sobre las armaduras de las estructuras de hormigón armado existentes.

20.1

EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA - REQUISITOS GENERALES

La resistencia de las estructuras existentes se puede evaluar de forma analítica o experimental. La aplicabilidad del procedimiento analítico depende de si el origen de la deficiencia es crítico para la resistencia de la estructura bajo: (1) carga de flexión y/o axial, o (2) corte y/o adherencia. El comportamiento y las resistencia del hormigón estructural solicitado a flexión y/o cargas axiales se puede predecir de forma precisa en base a la hipótesis de conservación de las secciones planas de Navier. Por el contrario, las teorías y modelos disponibles no son tan confiables para predecir el comportamiento y la resistencia al corte y a la adherencia del hormigón estructural. Los requisitos que contiene el Código sobre corte en una y dos direcciones y adherencia son semi-empíricos. Las fallas por corte y por adherencia pueden ser fallas frágiles. Para determinar que una construcción es aceptable alcanza con realizar una evaluación analítica de la resistencia siempre y cuando se satisfagan dos condiciones (20.1.2). En primer lugar, el origen de la deficiencia debe ser crítica para la resistencia a flexión, carga axial o combinación de flexión y carga axial. No puede ser crítica para la resistencia al corte o la adherencia. En segundo lugar, debe ser posible establecer las dimensiones reales de la construcción, el tamaño y la ubicación de las armaduras y las propiedades de los materiales. Si no se satisfacen estas dos condiciones, la resistencia se debe evaluar mediante un ensayo de carga según lo indicado en la sección 20.3. Si las causas que originan el estudio se relacionan con la flexión o la carga axial pero no resulta posible determinar las propiedades de los materiales, puede que un ensayo físico sea la solución más adecuada. No está prohibido realizar evaluaciones de la resistencia al corte de forma analítica siempre que éstas "se comprendan cabalmente." Si la resistencia al corte o a la adherencia es crítica para la seguridad de una estructura, la solución más eficiente puede consistir en realizar ensayos físicos. Siempre que sea posible y adecuado, se recomienda realizar análisis estructurales que respalden los resultados de los ensayos de carga (R20.1.3). Si la incertidumbre con respecto a la seguridad se relaciona con el deterioro de la estructura, la resistencia se puede evaluar mediante un ensayo de carga. Si la construcción satisface los criterios de aceptación de la sección 20.5, se debería permitir que la estructura permanezca en servicio durante un periodo de tiempo determinado en función de la naturaleza del deterioro. La resistencia se debería reevaluar periódicamente.

20.2

DETERMINACIÓN DE LAS DIMENSIONES REQUERIDAS Y DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

Si la evaluación de la resistencia de una estructura se realiza de forma analítica, es necesario establecer las dimensiones, ubicación de la armadura y propiedades reales de los materiales. Las mediciones se deben realizar en las secciones críticas, en aquellos lugares donde la tensión calculada tendría un valor máximo. Si hay planos de obra disponibles, se deberían realizar verificaciones puntuales para confirmar la ubicación y el tamaño de las barras de armadura indicadas en dichos planos. Existen técnicas de ensayo no destructivas para determinar la ubicación y el tamaño de la armadura, y para estimar la resistencia del hormigón. A menos que se las conozca de antemano, las propiedades reales del acero de las armaduras o de los cables de pretensado se deberían determinar en base a muestras representativas extraídas de la estructura. Una evaluación analítica de la resistencia requiere utilizar los factores de carga de la sección 9.2 y los factores de reducción de la resistencia del artículo 20.2.5. Una de las razones para utilizar los factores de reducción de la resistencia, φ, dada en R9.3.1 es "considerar la probabilidad de la presencia de elementos con una menor resistencia originada en variaciones de la resistencia de los materiales y de las dimensiones." Cuando se conocen las dimensiones reales del elemento, el tamaño y la ubicación de la armadura, y las propiedades del hormigón y del acero de las armaduras, el Capítulo 20 especifica factores de reducción de la resistencia más elevados. La Tabla 28-1 presenta una comparación de los factores de reducción de la resistencia del artículo 20.2.5 con aquellos de la sección 9.3. La última columna de esta tabla muestra la relación entre los factores de los Capítulos 20 y 9. Para la evaluación analítica de columnas y del aplastamiento del hormigón, los factores de reducción de la resistencia, φ, de 20.2.5 son aproximadamente 20 por ciento mayores que aquellos de 9.3. Para flexión en vigas y tracción axial el aumento es de 11 por ciento, mientras que para corte y torsión es de 6 por ciento. Los factores de reducción de la resistencia más elevados, tal como los especificados en el Capítulo 20, aumentan las resistencias calculadas de los elementos. La resistencia nominal a la compresión axial de una columna depende fundamentalmente del producto entre el área de la sección transversal de la columna y la resistencia a la compresión del hormigón. Debido a que la resistencia a la compresión del hormigón es altamente variable, los factores de reducción de la

28 - 2

resistencia del Capítulo 9 son menores para compresión axial que para flexión. Como para evaluar la resistencia de las estructuras existentes es necesario medir la resistencia a la compresión real del hormigón (20.1.2), el artículo 20.2.5 especifica un mayor aumento del factor de reducción de la resistencia, φ, para las columnas. Tabla 28-1 – Comparación de los factores de reducción de la resistencia Factor de reducción de la resistencia Cap. 20

Cap. 9

Cap. 20/Cap. 9

1,00

0,90

1,11

Elementos con armadura en espiral (zunchos) de acuerdo con el artículo 10.9.3

0,85

0,75

1,21

Elementos con otros tipos de armadura

Secciones controladas por tracción, de acuerdo con el artículo 10.3.4 Secciones controladas por compresión, de acuerdo con el artículo 10.3.3

0,80

0,70

1,23

Corte y torsión

0,80

0,75

1,07

Aplastamiento del hormigón

0,80

0,65

1,23

20.3

PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR EL ENSAYO DE CARGA

El número y la distribución de las cargas en los tramos o paneles cargados se debe seleccionar de manera de maximizar las flechas y las tensiones en las regiones críticas de los elementos estructurales cuya resistencia está en duda (20.3.1). Si se anticipa que los elementos adyacentes contribuirán a soportar la carga de prueba, se debe modificar la magnitud o la ubicación de esta carga para compensar esta contribución. Al igual que en ediciones anteriores del Código, la carga de prueba total se especifica como 0,85(1,4D + 1,7L), siendo D la sumatoria de las cargas permanentes o los momentos y esfuerzos internos correspondientes a las mismas, y L se define como la sobrecarga o los momentos y esfuerzos internos correspondientes. La carga de prueba total incluye la carga permanente existente (20.3.2). La parte de la estructura a ensayar debe tener como mínimo 56 días de hormigonada, a menos que todas las partes involucradas acuerden realizar el ensayo a una edad más temprana (20.3.3). Nota: Aunque para esta actualización se revisaron y modificaron los factores de carga y de reducción de la resistencia de las secciones 9.2 y 9.3, respectivamente, se decidió no modificar la intensidad de la carga de prueba especificada en el artículo 20.3.2. El Comité 318 considera que esta carga es adecuada para evaluar la resistencia de los diseños que utilizan los nuevos factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9.

20.4

CRITERIOS DE CARGA

Los criterios de carga se especifican en la sección 20.4. A más tardar una hora antes de aplicar la carga se deben obtener y registrar los valores iniciales de todas las magnitudes a ser medidas (flecha, deformación específica, ancho de las fisuras, etc. Si se han de simular cargas uniformemente distribuidas se deberá evitar el "efecto de arco." Este efecto de arco se ilustra en la Figura 28-1.28.12 Entre las diferentes líneas verticales de carga debe haber un espacio suficiente para impedir que entren en contacto después de la deformación del elemento cargado y así evitar el efecto de arco; esto también asegura la estabilidad de las cargas de prueba. La carga total de prueba se debe lograr aplicando como mínimo cuatro incrementos de carga aproximadamente iguales. Se debe obtener y registrar un conjunto de mediciones de las magnitudes seleccionadas después de aplicar cada incremento de carga, y como mínimo durante las 24 horas posteriores a la aplicación de la totalidad de la carga. Veinticuatro horas después de retirar la carga de prueba se debe registrar un conjunto final de mediciones.

28 - 3

NO

NO Espacio suficiente para evitar el efecto de arco después de la deformación

SI Figura 28-1 – El efecto de arco desvía las cargas aplicadas hacia los extremos de la luz

20.5

CRITERIOS DE ACEPTACIÓN

Las evidencias de falla incluyen el descascaramiento y el aplastamiento del hormigón (20.5.1), las flechas excesivas (20.5.2), las fisuras por corte (20.5.3 y 20.5.4) y las fisuras por adherencia (20.5.5). No es posible desarrollar una regla única y sencilla que sea aplicable a todos los tipos de estructuras y condiciones dadas. Sin embargo, en los elementos que no tienen armadura transversal, se debe monitorear la proyección de las fisuras diagonales (inclinadas) sobre un eje paralelo al eje longitudinal del elemento. Si la proyección de cualquier fisura diagonal es mayor que el espesor del elemento en el punto medio de la fisura, puede que el elemento sea deficiente desde el punto de vista del corte. Si el grado de daño ocurrido es suficiente para considerar que la estructura no verifica los criterios establecidos para el ensayo, no se permite realizar un nuevo ensayo; se considera que los elementos dañados no se deben utilizar ni siquiera para un nivel de cargas de servicio menos elevado. Las flechas deben satisfacer las siguientes condiciones (20.5.2): 1.

Si la flecha máxima es mayor que A 2t / ( 20.000h ) el porcentaje de recuperación de la flecha debe ser como mínimo 75 por ciento después de 24 horas, siendo h = espesor total del elemento, in. A1 = luz del elemento sometido al ensayo de carga, in. (Menor de las luces en los sistemas de losas en dos direcciones). La luz se define como el menor valor entre (a) la distancia entre los centros de los apoyos, y (b) la distancia libre entre los apoyos más el espesor del elemento, h. Para los voladizos la luz se debe tomar igual al doble de la distancia entre el apoyo y el extremo del voladizo, in.

2.

Si la flecha máxima es menor que A 2t / ( 20.000h ) se puede obviar el requisito sobre la recuperación de la flecha. Las Figuras 28-2 y 28-3 ilustran la aplicación de los criterios de limitación de las flechas para el primer ensayo de carga. En la

28 - 4

Figura 28-2 se grafica la flecha máxima admisible en función del espesor del elemento para una luz de 20 ft. En la Figura 28-3 se grafica la flecha máxima en función de la luz para un elemento de 8 in. de espesor. 3.

Para los elementos que no satisfacen el criterio de 75 por ciento de recuperación de la flecha pueden se puede repetir el ensayo de carga.

4.

La repetición del ensayo no se puede realizar antes de transcurridas 72 horas desde que se retiran las cargas. Para el segundo ensayo (repetición del ensayo) la recuperación de la flecha debe ser de 80 por ciento.

0,8

Flecha medida, in.

0,6 Verificar la recuperación de la flecha. Si es menor que 75% se permite repetir el ensayo. Obviar el requisito sobre recuperación de la flecha

0,4

0,2 3

4

5

6

7

8

9

10

Espesor del elemento (h), in.

Figura 28-2 – Criterios de aceptación para el ensayo de carga - Elementos con A t = 20ft

Flecha medida, in.

1,5

1,0 Verificar la recuperación de la flecha. Si es menor que 75% se permite repetir el ensayo 0,5

Obviar el requisito sobre recuperación de la flecha

0,0 5

10

15

20

25

30

35

40

Luz, ft

Figura 28-3 – Criterios de aceptación para el ensayo de carga - Elementos con h = 8 ft

28 - 5

20.6

APROBACIÓN DE LA ESTRUCTURA PARA CARGAS DISMINUIDAS

Si la evaluación analítica de la resistencia (20.1.2) indica que una estructura no es adecuada, si se superan las flechas indicadas en el artículo 20.5.2, o si no se satisfacen los requisitos referidos a las fisuras del artículo 20.5.3, la estructura se puede utilizar para un nivel de cargas reducido, siempre que la autoridad fiscalizadora así lo apruebe.

20.7

SEGURIDAD

Para garantizar la seguridad, durante los ensayos de carga normalmente se deben apuntalar los elementos cargados. El apuntalamiento no debe interferir con el procedimiento del ensayo ni afectar sus resultados. Durante el ensayo de carga, en ningún momento la estructura deformada debe tocar o apoyarse sobre el apuntalamiento.

REFERENCIAS 28.1

Applications of ACI 318 Load Test Requirements, Structural Bulletin No. 16, Concrete Reinforcing Steel Institute, Schaumburg, IL, Noviembre 1987.

28.2

Proper Load Tests Protect the Public, Engineering Data Report No. 27, Concrete Reinforcing Steel Institute, Schaumburg, IL.

28.3

Evaluation of Reinforcing Steel in Old Reinforced Concrete Structures, Engineering Data Report No. 11, Concrete Reinforcing Steel Institute, Schaumburg, IL.

28 - 6

30 Hormigón estructural simple

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El cambio más significativo introducido en el Capítulo 22 surgió como resultado de la modificación de otro capítulo. En el artículo 9.3.5 el factor de reducción de la resistencia para hormigón simple se redujo de 0,65 a 0,55. Esto significa una reducción del 15% de las resistencias de diseño de los elementos estructurales de hormigón simple. Esta reducción será contrarrestada en parte por los factores de carga más bajos incluidos en las combinaciones de cargas del artículo 9.2. A pesar de estos dos cambios, las combinaciones de carga y los factores de reducción de la resistencia de 9.2 y 9.3, respectivamente, del Código ACI-99 se trasladaron al Apéndice C, y el artículo 9.1.3 aún permite utilizarlos. El Capítulo 5 de este documento y la sección 22.4 del presente capítulo contienen una discusión adicional sobre este tema. El artículo 22.2.4 del Código ACI-99 indicaba que la resistencia a la compresión especificada del hormigón usado en las estructuras de hormigón simple no podía ser menor que 2500 psi. El Capítulo 22 presentaba este requisito porque no había ningún requisito de resistencia mínima para el hormigón usado para construir elementos de hormigón armado, a menos que algún requisito específico del código lo estableciera explícitamente. Se ha eliminado este límite de resistencia del artículo 22.2.4, y se ha incluido una referencia al artículo 1.1.1. Los artículos 1.1.1 y 5.1.1 del Código ACI 2002 incluyen una limitación que establece una resistencia mínima de 2500 psi; su inclusión en estos dos artículos hace que esta limitación sea aplicable a todos los tipos de hormigón, tanto armado como simple. Se agregó la Ecuación (22-3) en el artículo 22.5.1, la cual permite calcular la resistencia nominal al momento cuando una sección es controlada por compresión. En las ediciones anteriores del código esta expresión sólo aparecía en el Comentario. Como consecuencia de este cambio, todas las ecuaciones posteriores a la (22-3) fueron numeradas. En la edición de 1999 se introdujeron algunos requisitos para tratar el uso de elementos de hormigón estructural simple en estructuras ubicadas en zonas de elevada peligrosidad sísmica o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado. En esta edición se revisó el requisito que se refiere al uso de hormigón simple con armadura longitudinal nominal para especificar que la zapata debe soportar ya sea un tabique de hormigón armado colado en obra o bien un tabique de mampostería armada.

ANTECEDENTES En la edición de 1983 del Código ACI 318 se incorporaron por referencia requisitos para el hormigón estructural simple. El documento al cual se hacía referencia era ACI 318.1, Requisitos para hormigón estructural simple. Esta manera de regular el hormigón simple se mantuvo en la edición de 1989. Pero para la edición de 1995 del Código, los requisitos formalmente

contenidos en la norma ACI 318.1 fueron incorporados al Capítulo 22 del Código y se dejó de publicar la norma ACI 318.1. Aunque la presentación de algunos requisitos es diferente, son pocos los cambios técnicos introducidos desde la edición 1989 de ACI 318.1. En este capítulo discutimos estos cambios técnicos.

22.1, 22.2

CAMPO DE VALIDEZ Y LIMITACIONES

Por definición, los elementos de hormigón estructural simple son aquellos que carecen de armadura o que contienen menos armadura que la cantidad mínima especificada para el hormigón armado en otros capítulos de ACI 318 y en sus apéndices (22.2.1). El diseñador debe prestar particular atención al artículo 22.2.2. Como la integridad estructural del hormigón simple depende exclusivamente de las propiedades de hormigón, este artículo limita el uso de hormigón simple a: elementos que están apoyados en forma continua sobre el terreno o sobre otros elementos estructurales capaces de brindar apoyo vertical continuo a toda la longitud del elemento de hormigón simple; elementos en los cuales el efecto de arco asegura compresión bajo todas las condiciones de carga posibles; y tabiques y pedestales. El Capítulo 22 de ACI 318 contiene requisitos de diseño específicos para los tabiques, zapatas y pedestales de hormigón estructural simple. El artículo 22.1.1.2 indica que las aceras y otras losas apoyadas directamente sobre el suelo no están reguladas por el código a menos que transmitan al suelo cargas verticales provenientes de otras partes de la estructura. El artículo 1.1.6 también establece que si una losa transfiere esfuerzos laterales de la estructura al suelo, dicha losa también debe satisfacer los requisitos del Código. Además, el artículo 22.2.3 señala que este capítulo no se aplica al diseño y la construcción de pilas y pilotes hormigonados en obra en suelos capaces de proveer un apoyo lateral adecuado. Los requisitos correspondientes a estos elementos típicamente se especifican en el código de construcción aplicable.

22.3

JUNTAS

Los elementos de hormigón estructural simple deben ser suficientemente pequeños, o bien se deben dividir en elementos que no tengan continuidad a flexión mediante la construcción de juntas de contracción (o control) (22.3.1). Esto requiere establecer valores límite admisibles para la acumulación de tensiones de tracción debidas a las cargas externas e internas, tales como las provocadas por la contracción por secado, los cambios de temperatura y contenido de humedad, y la fluencia lenta. El artículo 22.3.2 enfatiza varios elementos que afectarán el tamaño de los elementos y, en consecuencia, la separación de las juntas de construcción. Estos incluyen: las condiciones climáticas; la selección y dosificación de los materiales; el mezclado, la colocación y el curado del hormigón; el grado de restricción del movimiento; las tensiones debidas a las cargas externas e internas a las cuales estará solicitado el elemento; y las técnicas constructivas. Si se proveen juntas de contracción, el espesor del elemento se debe reducir como mínimo 25% para que las juntas sean efectivas. En las Referencias 30.1 a 30.3 el lector encontrará información adicional sobre la contracción por secado del hormigón, otras causas que provocan variaciones del volumen del hormigón y el uso de juntas de contracción para aliviar la acumulación de tensiones. Aunque no forma parte de los requisitos obligatorios, el artículo R22.3 indica una excepción a este requisito sobre juntas de contracción. Esta excepción establece que no es necesario disponer juntas de contracción cuando la fisuración aleatoria debida a los efectos de la fluencia lenta, la contracción y la temperatura no afecta la integridad estructural, a la vez que se considera aceptable, como en el caso de la fisuración transversal de un tabique o muro de fundación continuo.

22.4

MÉTODO DE DISEÑO

Al igual que para los elementos de hormigón armado diseñados de acuerdo con los Capítulos 1 a 21, los requisitos del Capítulo 22 se basan en la metodología de diseño por resistencia. Las combinaciones y factores de carga se indican en 9.2, y son los mismos utilizados para diseñar elementos de hormigón armado. Las combinaciones y factores de carga del Código ACI 1999 y ediciones anteriores han sido reemplazados por las combinaciones y factores de carga de ASCE 7-98. El factor de reducción de la resistencia, φ, se indica en 9.3.5. Este factor se ha reducido de 0,65 (valor indicado en el Código 1999) a 0,55 y se aplica a todas las solicitaciones (es decir, flexión, compresión, corte y aplastamiento del hormigón). Si todos los demás parámetros permanecen iguales, la reducción de φ da por resultado una reducción del 15,4% de la resistencia de diseño. Aunque algunos factores de carga de 9.2 son menores que los de C.2, la reducción de estos factores no compensa completamente la menor resistencia de diseño. Aunque es necesario investigar cada caso de forma particular, en general se obtendrán diseños más

30 - 2

económicos si se utilizan las cargas y factores de reducción de la resistencia del Apéndice C. Si la carga gravitatoria determinante incluye cargas de nieve o sobrecargas en la cubierta, dependiendo de la magnitud de estas cargas con respecto a las sobrecargas en los entrepisos, es posible que resulte más económico utilizar los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9. Para determinar rápidamente cuál de los dos grupos de factores de carga y reducción de la resistencia se debería utilizar, se puede calcular la carga o solicitación determinante (por ejemplo, Pu o Mu) usando los factores de carga de 9.2 y C.2. Luego estos valores se pueden dividir por los correspondientes factores de reducción de la resistencia de 9.3.5 y C.3.5, respectivamente, para determinar las cargas o solicitaciones nominales. Puede resultar más económico satisfacer las carga o solicitaciones nominal más bajas. El cuerpo principal de este capítulo contiene numerosas figuras y tablas para ayudarle al ingeniero a diseñar elementos de hormigón estructural simple. Estas se basan en los factores de carga y en el factor de reducción de la resistencia del Capítulo 9 (φ = 0,55). Un apéndice de este capítulo contiene figuras y tablas similares basadas en los factores de carga y el factor de reducción de la resistencia del Apéndice C (φ = 0,65). Para simplificar la comparación de las diferentes tablas y figuras se le ha asignado la misma numeración, excepto que la numeración de las que corresponden al apéndice está precedida por la letra "C." Para los elementos solicitados a flexión y carga axial se asume una relación tensión-deformación lineal tanto en tracción como en compresión. Los procedimientos de diseño por tensiones admisibles indicados en el Apéndice A – Método de Diseño Alternativo – de las ediciones 1999 y anteriores no se aplican a los elementos estructurales de hormigón simple. Este Apéndice se ha eliminado del Código 2002. Si se satisfacen los requisitos sobre juntas de contracción y/o dimensiones de los elementos de acuerdo con 22.3, está permitido considerar la resistencia a tracción del hormigón simple (22.4.5). No se debe considerar que hay transferencia de tracción más allá de los bordes exteriores del panel, las juntas de contracción o las juntas constructivas; tampoco se debe considerar ninguna continuidad flexional entre elementos de hormigón simple adyacentes (22.4.7). El artículo 22.4.8 permite considerar que la totalidad de la sección transversal de un elemento es efectiva para resistir flexión, combinaciones de cargas axiales y flexión, y corte; excepto que para el caso de hormigón colocado directamente sobre el terreno (por ejemplo para las zapatas) el espesor total h se debe considerar 2 in. menor que el espesor real. El comentario indica que el objetivo de este requisito es considerar las irregularidades de la excavación y cierto grado de contaminación del hormigón adyacente al suelo. No se debe asignar ninguna resistencia a cualquier armaduras colocada (22.4.6). Al igual que en el pasado, el artículo 22.2.4, a través de su referencia al artículo 1.1.1, exige que la mínima resistencia a la compresión especificada para el hormigón, f'c, usada en el diseño de los elementos de hormigón estructural simple debe ser mayor o igual que 2500 psi. Este requisito es necesario porque la seguridad y la capacidad de carga de estos elementos se basa exclusivamente en la resistencia y la durabilidad del hormigón.

22.5

DISEÑO POR RESISTENCIA

Las tensiones admisibles de ACI 318.1-89 han sido reemplazadas por expresiones que permiten calcular las resistencias nominales a flexión, compresión corte y aplastamiento. La resistencia nominal al momento, Mn, está dada por: M n = 5 f c' S

Ec. (22-2)

para las secciones solicitadas a flexión controladas por tracción, y M n = 0,85 f c' S

Ec. (22-3)

para las secciones solicitadas a flexión controladas por compresión. La resistencia nominal a la compresión axial, Pn, está dada por:

30 - 3

  A 2  Pn = 0, 60 f c' 1 −  c   A1   32h  

Ec. (22-5)

Observar que en el numerador del término ℓc/32h falta el factor de longitud efectiva, k. Este cambio respecto de ACI 318.1 se debe a que siempre es conservador suponer k = 1, valor que se basa en considerar que ambos extremos están arriostrados contra el desplazamiento lateral. Además, se reconoce que es difícil lograr conexiones perfectamente fijas en las típicas estructuras en las cuales se utilizan tabiques de hormigón simple estructural. Si uno o ambos extremos están restringidos contra la rotación, el diseñador siempre puede asumir k = 0,8 como se hacía en el pasado. Sin embargo, antes de adoptar este valor debe verificar que el elemento que proporciona la restricción contra la rotación posee una rigidez a flexión EI/ℓ como mínimo igual a la del tabique. En los elementos solicitados a un combinación de flexión y compresión axial se deben satisfacer dos ecuaciones de interacción. Para la cara comprimida: Pu M + u ≤1 φPn φM n

Ec. (22-6)

donde M n = 0,85 f c' S y para la cara traccionada: M u Ps − ≤ 5φ f c' S Ag

Ec. (22-7)

La resistencia nominal al momento, Mn, a utilizar en la Ecuación (22-6) (es decir 0,85 f c' S ) es más conservadora que en la edición 1989 de ACI 318.1, donde era igual a f c' S . Las demás resistencias nominales del Capítulo 22 son consistentes con las calculadas usando las tensiones admisibles de ACI 318.1-89. La resistencia nominal al corte, Vn, está dada por: Vn =

4 ' f c bh 3

Ec. (22-9)

para corte en una dirección, y por 4 8  ' ' Vn =  +  f c bo h ≤ 2, 66 f c bo h 3 3 β c 

Ec. (22-10)

para corte en dos direcciones, o corte por punzonamiento. En la Ecuación (22-10), el término [4/3 + 8/(3βc)] reduce la resistencia nominal al corte para las cargas concentradas en las cuales la relación del lado mayor al lado menor, βc, es mayor que 2. Cuando esta relación es menor o igual que 2 la expresión adopta el valor máximo permitido de 2,66. Las expresiones para calcular las resistencias nominales a flexión y corte se aplican al hormigón de peso normal. Si se utiliza hormigón de agregados livianos estas resistencias se deben reducir de acuerdo con el artículo 22.5.6. Cuando se especifica la resistencia promedio a la tracción por compresión diametral del hormigón, fct, y el hormigón se dosifica de acuerdo con el artículo 5.2 de ACI 318, el término

f c' se debe reemplazar por f ct / 6, 7 ; pero el valor de f ct / 6, 7 no debe ser mayor que

30 - 4

f c' . Si no se especifica f ct , el valor de

f c' se debe multiplicar por 0,75 para el caso de hormigón de agregados livianos y por

0,85 para el caso de hormigón de agregados livianos y arena. La resistencia nominal al aplastamiento del hormigón, Bn, está dada por: Bn = 0,85 f c' A1

Ec. (22-11)

donde A1 es el área cargada. Si las dimensiones de la superficie de apoyo son mayores que las dimensiones de A1, la resistencia al aplastamiento se puede aumentar multiplicando por A 2 / A1 , pero el valor de A 2 / A1 no debe ser mayor que 2. A2 es el área de la base inferior del mayor tronco de pirámide, cono o cuña achaflanada contenida en su totalidad dentro del área de apoyo, y que tiene por base superior el área cargada, A1, y sus caras laterales con pendientes de 1 vertical en 2 horizontal. En el Capítulo 6 de este documento se discute la determinación de A2.

22.6

TABIQUES

22.6.5

Método de diseño empírico

El Código ofrece dos alternativas para diseñar los tabiques de hormigón simple. El más sencillo se conoce como método de diseño empírico, y sólo está permitido para los tabiques de sección rectangular maciza en los cuales la resultante de todas las cargas mayoradas está ubicada dentro del tercio medio del espesor total del tabique. Para determinar la excentricidad efectiva se debe considerar el momento inducido por las cargas laterales, además de cualquier momento inducido por la excentricidad de la carga axial. Limitando la excentricidad a un sexto del espesor del tabique se asegura que todas las regiones del tabique permanezcan comprimidas. En el método de diseño empírico la resistencia nominal a la carga axial, Pnw, se determina como:   A  Pnw = 0, 45 f c' 1 −  c    32 h 

2

 Ag 

Ec. (22-14)

Esta es una ecuación correspondiente a una resistencia única, que sólo considera la carga axial. Los momentos debidos a la excentricidad de la carga axial aplicada y/o a las cargas laterales se pueden despreciar, ya que se asume una excentricidad menor o igual que h/6. La Figura 30-1 se presenta a modo de ayuda para los diseñadores de tabiques estructurales de hormigón simple que optan por utilizar el método de diseño empírico. Ingresando a la figura con la resistencia a carga axial requerida se puede seleccionar el espesor de tabique con el cual se obtendrá una resistencia a la carga axial de diseño, φPnw, mayor o igual que la requerida. Para valores intermedios de f'c, el espesor del tabique se puede determinar por interpolación lineal.

22.6.3

Combinación de flexión y carga axial

El segundo método, que se puede aplicar para cualquiera de las condiciones de carga, es el que se debe utilizar si la resultante de todas las cargas mayoradas está fuera del tercio medio del espesor del elemento (es decir, cuando e > h/6). En este procedimiento el tabique se debe diseñar de manera que satisfaga los requisitos para combinación de flexión y carga axial indicados por las ecuaciones de interacción (22-6) y (22-7). Si la excentricidad efectiva es menor que 10% del espesor del tabique, h, se debe utilizar una excentricidad hipotética que no sea menor que 0,10h. En este método se utiliza un procedimiento en base a prueba y error, suponiendo un valor para el espesor del tabique y la resistencia a la compresión especificada del hormigón, f'c, y determinando si se satisfacen las dos ecuaciones de interacción. Este procedimiento se puede optimizar si en primer lugar se determina cuál de las ecuaciones será determinante, la (22-6) o la (22-7). Estas ecuaciones se pueden reordenar despejando Mu. Luego, igualando ambas expresiones, pasando los términos que contienen Pu al lado izquierdo, e introduciendo constantes para lograr la consistencia de las unidades, la ecuación (1) resultante indicada a continuación se puede resolver para determinar la carga axial, Pu. El valor de Pu calculado es la carga axial para la cual la resistencia al momento tiene el valor más elevado, y es invariable ya sea que se utilice la ecuación (22-6) o la (22-7). 30 - 5

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw , kips/ft de tabique

150 140 130 120 110 100 90 80 70 60

Altura del tabique = 8 ft

φ = 0,55

f'c = 4500 psi

3500 2500

50 40 30 20 10 5,5

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw , kips/ft de tabique

150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

6

6,5

7

7,5

8 8,5 9 9,5 Espesor del tabique, h, in.

10

10,5

11

11,5

12

11,5

12

11,5

12

Altura del tabique = 10 ft

φ = 0,55

f'c = 4500 psi 3500 2500

5,5

150 140 130 120 110 100 90 Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw , kips/ft de tabique 80 70 60

6

6,5

7

7,5

8 8,5 9 9,5 Espesor del tabique, h, in.

10

10,5

11

Altura del tabique = 12 ft

φ = 0,55

f'c = 4500 psi 3500 2500

50 40 30 20 10

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

Espesor del tabique, h, in.

Figura 30-1 – Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw , de los tabiques de hormigón simple (Método de diseño empírico)

30 - 6

Si la resistencia a la carga axial requerida es menor que el valor de Pu calculado, el diseño es determinado por la Ecuación (227). Por el contrario, si la resistencia a la carga axial requerida es mayor que el valor de Pu calculado, el diseño es determinado por la Ecuación (22-6). La ecuación para obtener Pu es: 5φ f c' S SPu M n Pu + = φM n − 12A g Pn 12.000

(1)

donde las cargas axiales se expresan en kips, los momentos en ft-kips, el módulo resistente en in.3, el área en in.2 y

f c' en psi.

Si se determina que la Ecuación (22-6) es determinante, la ecuación (1) se puede reordenar expresando Ag y S en función de h. Para obtener el espesor de tabique requerido, h, se puede resolver la ecuación cuadrática (2): 0, 06 φ f c' h 2 + Pu h − 72 M u = 0

(2)

donde la carga axial se expresa en kips, el momento en ft-kips,

f c' en psi y el espesor en in. Si el espesor de tabique requerido

es mayor que el supuesto inicialmente se debe realizar una nueva iteración. Si es significativamente menor que el valor supuesto se aconseja repetir el proceso para determinar si se puede justificar un espesor o una resistencia del hormigón más económicos. Si la ecuación (22-6) es determinante la mejor manera de determinar el espesor de tabique requerido es por el método de prueba y error. Es posible que sea necesario realizar varias iteraciones antes de lograr la solución de diseño más económica. El procedimiento de diseño se puede simplificar enormemente si se utilizan curvas resistencia a carga axial-resistencia al momento como las ilustradas en las Figuras 30-2 y 30-3. A estas curvas se debe ingresar con la carga axial mayorada conocida, Pu, y determinar si la resistencia al momento de diseño, φMn, es mayor o igual que la resistencia al momento requerida, Mu. Evidentemente las curvas también se pueden usar ingresando con la resistencia al momento mayorado, Mu, para determinar si la resistencia a la carga axial de diseño, φPn, es mayor o igual que la resistencia a la carga axial mayorada requerida, Pu. Si la excentricidad efectiva debida a todas las cargas mayoradas es menor que 0,10h la resistencia a la carga axial de diseño, φPn, se determina proyectando horizontalmente hacia la izquierda a partir del punto de intersección de la recta que corresponde a "e = h/10" y la curva que representa la resistencia a la compresión especificada del hormigón, f'c. Por ejemplo, la Figura 30-2 muestra que para un tabique de 8 in. de espesor y 8 ft de altura construido de un hormigón que tiene una resistencia a la compresión especificada, f'c, igual a 2500 psi, la resistencia a la carga axial de diseño, φPn, es aproximadamente igual a 68 kips/ft de tabique. Esto supone que el tabique está cargado de forma centrada y que no hay cargas laterales que inducen momentos (es decir, φMn = 0). Sin embargo, cuando la carga axial se aplica con la excentricidad mínima requerida (0,10h) la resistencia a la carga axial de diseño se reduce aproximadamente a 37 kips/ft de tabique. El momento correspondiente a la carga de 37 kips aplicada con la excentricidad mínima de 0,10h es aproximadamente igual a 3,3 ft-kips/ft de tabique. En las Figuras 30-2 y 30-3 también se han trazados rectas correspondientes a "e = h/6" para ayudar a que el diseñador identifique cuándo la excentricidad efectiva es mayor que este valor. Si la intersección de la carga axial, Pu, y el momento, Mu, está a la derecha de esta recta, hay una región del tabique que está solicitada a tracción debido al momento inducido. Los tabiques de hormigón simple típicamente se utilizan como muros exteriores de subsuelos y en pequeñas construcciones residenciales y comerciales. En la mayoría de los casos las cargas axiales son pequeñas en comparación con la resistencia a la compresión axial de diseño, φPn, del tabique. Por este motivo se han desarrollado las Figuras 30-4 a 30-6, las cuales incluyen solamente el rango inferior de los valores de carga axial de las Figuras 30-2 y 30-2. Cuando hay cargas axiales de poca intensidad que actúan simultáneamente con momentos flectores, el diseño es determinado por la tracción por flexión [Ecuación (22-7)] y no por la combinación de carga axial y flexión [Ecuación (22-6)]. Analizando la Ecuación (22-7) se puede observar que la resistencia al momento de diseño de los tabiques con bajas cargas axiales no depende de la altura del mismo; por lo tanto, el formato de las Figuras 30-4 a 30-6 es algo diferente al de las Figuras 30-2 y 30-3. Las Figuras 30-7 a 30-9 se incluyen para ayudarle al diseñador a verificar si un tabique es controlado por la Ecuación (22-7) y no por la Ecuación (22-6). Estas figuras ilustran el valor de la resistencia a la carga axial de diseño, φPn, que corresponde al máximo valor de la resistencia al 30 - 7

momento de diseño, φMn. Por ejemplo, la Figura 30-7 muestra que un tabique de 8 in. de espesor y 8 ft de altura tiene una resistencia a la carga axial de diseño, φPn, de aproximadamente 37,4 kips/ft de tabique cuando se aplica un momento igual a la máxima resistencia al momento de diseño, φMn. De la Figura 30-2, la máxima resistencia al momento de diseño, φMn, es aproximadamente igual a 5,6 ft-kips/ft de tabique cuando se aplica una carga mayorada de aproximadamente 37 kips/ft de tabique. Al utilizar las Figuras 30-4 a 30-6 el usuario siempre debe verificar que la resistencia a la carga axial requerida, Pu, sea menor que el valor determinado usando las Figuras 30-7 a 30-9. Tampoco se deben descuidar los requisitos del artículos 22.6.6.2. Estos requisitos establecen que el espesor del tabique debe ser mayor o igual que el mayor valor entre 1/24 de la longitud o altura libre del tabique, ó 5-1/2 in. Analizando las Figuras 30-7 a 30-9 se observa que en prácticamente todos los casos cubiertos la resistencia a la carga axial de diseño es mayor que 15 kips/ft de tabique. 120 f´c = 4500

e = h/10

100 e = h/6

3500 80

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

2500 60

40

20

h = 8 in. altura = 8 ft φ = 0,55

0 0

2

4

6

8

10

12

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura 30-2 – Diagramas de interacción de las resistencias para un tabique de 8 in. (8 ft de altura) 120

e = h/10 e = h/6

100 f´c = 4500 80

3500

60

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

2500

40

20

h = 8 in. altura = 12 ft φ = 0,55

0 0

2

4

6

8

10

12

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura 30-3 – Diagramas de interacción de las resistencias para un tabique de 8 in. (12 ft de altura)

30 - 8

16

h = 5,5"

7,5"

8"

10"

12"

φ = 0,55

14

f´c = 2500 psi

12 10 Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

8 6 4 2 0 0

1

2

4

3

5

7

6

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura 30-4 – Diagramas de interacción de las resistencias de diseño para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 2500 psi) 16 14

h = 5,5"

7,5"

8"

10"

12"

φ = 0,55 f´c = 3500 psi

12 10 Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

8 6 4 2 0 Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura 30-5 – Diagramas de interacción de las resistencias de diseño para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 3500 psi)

30 - 9

16

h = 5,5"

7,5"

8"

10"

φ = 0,55

14

f´c = 4500 psi

12 10

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura 30-6 – Diagramas de interacción de las resistencias de diseño para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 4500 psi) 60 12 in

50 10 in.

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , cuando en el

9,5 in.

40

8 in.

tabique actúa el máx. momento kips/ft de tabique 30

7,5 in.

20 h = 5,5 in.

f´c = 2500 psi φ = 0,55 10 8

9

10

11

12

Altura del tabique, ft

Figura 30-7 – Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 2500 psi)

30 - 10

90 12 in

80

70 10 in.

Resistencia a la carga axial de 60 diseño, φ Pn , cuando en el

9,5 in.

tabique actúa el máx. momento kips/ft de tabique 50

8 in. 7,5 in.

40

30 f´c = 3500 psi

h = 5,5 in.

φ = 0,55

20 8

9

10

11

12

Altura del tabique, ft

Figura 30-8 – Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 3500 psi)

110

12 in.

100 90

10 in.

80

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , cuando en el

9,5 in.

70

tabique actúa el máx. momento 60 kips/ft de tabique

7,5 in.

50 40 30 20

f´c = 4500 psi

h = 5,5 in.

φ = 0,55 psi 8

9

10

11

12

Altura del tabique, ft

Figura 30-9 – Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 4500 psi)

30 - 11

En las construcciones en las cuales hay tabiques exteriores de subsuelos o muros de sostenimiento que soportan relleno no equilibrado, algunos de los tabiques generalmente no son portantes. En este caso, especialmente si existe la posibilidad que el relleno detrás del tabique se coloque antes que la carga permanente que finalmente actuará sobre el mismo, es recomendable diseñar el tabique suponiendo que no hay ninguna carga axial actuando simultáneamente con el empuje lateral del suelo. Para esta condición la Ecuación (2) se reduce a: 0, 6 φ f c' h 2 − 72 M u = 0

(3)

Esta expresión se puede reordenar de manera de obtener el espesor de tabique requerido:

(

h = 72 M u / 0, 06 φ f c'

)

1/ 2

(4)

o también se puede resolver para obtener la resistencia a la compresión especificada del hormigón:

(

f c' = 72 M u / 0, 06 φ h 2

)

2

(5)

En las Ecuaciones (3), (4) y (5) f c' se expresa en psi, h en pulgadas, y M u en ft-kips/ft de tabique.

Comparación de los dos métodos Como el artículo 22.6.5.1 limita el uso del método empírico a aquellos casos en los cuales la resultante de todas las cargas mayoradas está ubicada dentro del tercio medio del tabique, sería lógico suponer que este método es más conservador cuando la excentricidad efectiva es menor que un sexto del espesor del tabique. Pero esto no es así. El método empírico tiene un factor de excentricidad implícito [relación entre la resistencia dada por la Ec. (22-14) y la dada por la Ec. (22-5)] igual a 0,75 (es decir 0,45/0,60). Sin embargo, las curvas de las Figuras 30-2 y 30-3 tienen un factor de excentricidad (relación entre la resistencia para carga aplicada con una excentricidad de 0,10h y la resistencia correspondiente a la aplicación de la carga sin excentricidad) igual a 0,725 para hormigón de 2500 psi. Por lo tanto, cuando la excentricidad efectiva es menor que un sexto del espesor del tabique, con el método empírico se obtendrá una resistencia nominal a la carga axial más elevada (es decir, φPnw > φPn). El artículo 22.6.6.3 establece que los tabiques exteriores de subsuelos y los tabiques de fundación deben tener un espesor mayor o igual que 7-1/2 in. Algunos códigos de construcción permiten que el espesor de estos tabiques sea de 5-1/2 in. El artículo 22.6.6.2 exige que el espesor de los demás tabiques sea mayor o igual que 5-1/2 in., pero nunca menor que 1/24 de la longitud o altura libre del tabique, cualquiera sea el valor que resulte menor. También se deben respetar las demás limitaciones establecidas en la sección 22.6.6, entre ellas las siguientes: el tabique debe estar arriostrado contra los desplazamientos laterales (22.6.6.4); en el perímetro de las aberturas se deben colocar como mínimo dos barras mayores o iguales que una barra No. 5, las cuales se deben prolongar como mínimo 24 in. más allá de las esquinas de las aberturas (22.6.6.5). Las Tablas 30-1 y 30-2 se incluyen para facilitar el diseño de los tabiques simplemente apoyados solicitados a cargas laterales de viento y/o empujes laterales del suelo. Estas tablas dan los momentos mayorados debidos a diferentes combinaciones de cargas laterales de viento y empujes del suelo, correspondientes a diferentes alturas de relleno. Las tablas también cubren los tabiques exteriores ubicados totalmente por encima del nivel del terreno (sin empuje lateral debido a la presencia de relleno), así como los tabiques que no están solicitados a cargas laterales de viento. Las Tablas 30-1 y 30-2 se deben utilizar con los factores de carga del artículo 9.2; las Tablas C30-1 y C30-2 se deben utilizar con los factores de carga del artículo C.2. Observar que la única diferencia entre las dos tablas de cada grupo es que la primera tabla fue desarrollada usando para el viento un factor de carga igual a 1,6 mientras que la segunda tabla utiliza un factor de carga igual a 1,3. En cada grupo de tablas el factor de carga que se aplica a la carga lateral debida al empuje del suelo es el mismo, ya sea 1,6 ó 1,7. Las Tablas 30-1 o C30-1 se deben usar cuando se investigan las combinaciones de cargas de 9.2 o C.2, respectivamente en las cuales la carga de viento se ha reducido aplicando un factor de direccionalidad, como por ejemplo el indicado en el IBC y en ASCE 7-98 [9.2.1(b)]. Las Tablas 30-2 o C30-2 se deben utilizar cuando se investigan las combinaciones de cargas de 9.2 o C.2 en las

30 - 12

cuales la carga de viento no se ha reducido mediante la aplicación de un factor de direccionalidad, como por ejemplo las combinaciones de cargas del NBC, del SBC y del UBC, y de las ediciones de ASCE 7 anteriores a 1998. Para los tabiques exteriores que tienen una parte por encima del nivel del terreno, los momentos indicados en la tabla suponen que la carga de viento actúa en la misma dirección que el empuje lateral del suelo (es decir, hacia el interior de la estructura). La mayoría de las normas de diseño para viento actualmente vigentes requieren que los tabiques exteriores se diseñen considerando las presiones debidas al viento actuando tanto hacia adentro como hacia fuera. En general, el mayor valor absoluto de la carga de viento se produce cuando el tabique está solicitado a una presión negativa (es decir, cuando la fuerza está actuando hacia el exterior de la estructura. El artículo 9.2.1(d) establece que si el empuje del suelo contrarresta la carga de viento, lo cual corresponde al caso del viento actuando de adentro hacia fuera, en la combinación de cargas dada por la Ecuación (9-6) el factor de carga correspondiente a H se debe tomar igual a cero. Excepto en las situaciones en las cuales la altura del relleno es pequeña en comparación con la altura total del tabique, y dependiendo de la magnitud relativa de la presión de viento de diseño y el empuje lateral del suelo, generalmente se aplicará el momento debido a los empujes laterales del suelo y las cargas de viento actuando de afuera hacia adentro indicados en las Tablas 30-1 y 30-2. Cuando resulta determinante el viento actuando de adentro hacia afuera, es más sencillo diseñar el tabique como si la totalidad de la altura del tabique estuviera expuesta a la presión del viento. Las Tablas 30-1, 30-2, C30-1 y C30-2 se pueden utilizar de este modo, suponiendo que la altura del relleno detrás del tabique es nula. Antes de diseñar un tabique estructural de hormigón simple que resistirá fuerzas de levantamiento y/o vuelco se deben investigar las combinaciones de cargas indicadas en 9.2 o C.2. Si toda la sección transversal estará traccionada debido a los esfuerzos axiales y laterales mayorados, el tabique se debe diseñar como un tabique de hormigón armado, o bien se deben emplear otros medios para transferir los esfuerzos de levantamiento a la fundación. Esta situación es frecuente cuando se diseñan tabiques sobre los cuales se colocan sistemas de cubiertas livianas que soportan esfuerzos netos de levantamiento provocados por la acción de las cargas de viento.

22.7

ZAPATAS

Una práctica habitual en los Estados Unidos, incluso en las zonas de elevada peligrosidad sísmica, consiste en utilizar zapatas de hormigón simple para soportar los tabiques de todo tipo de estructuras. El hormigón simple también es muy utilizado para las zapatas que soportan columnas y pedestales, particularmente en las estructuras residenciales. El Capítulo 22 permite estas aplicaciones del hormigón estructural simple; sin embargo, el artículo 22.7.3 prohíbe utilizar el hormigón estructural simple para cabezales de pilotes. Además, los códigos de construcción vigentes también contienen limitaciones respecto del uso de las zapatas de hormigón estructural simple en las estructuras ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica moderada, o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio. Ver también la discusión de la sección 22.10 respecto de las limitaciones sobre el uso de zapatas de hormigón estructural simple en las estructuras ubicadas en regiones de peligrosidad sísmica elevada o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado. Muchos arquitectos e ingenieros especifican el uso de dos barras longitudinales No. 4 o No. 5 en las zapatas que soportan tabiques. Sin embargo, en general estas zapatas no tienen ninguna armadura en la dirección transversal, o bien la cantidad de armadura colocada es menor que la requerida por el código para poder considerar que la zapata está "armada". Este tipo de elementos se deben diseñar como zapatas de hormigón estructural simple, ya que en la dirección transversal la zapata está solicitada a flexión y posiblemente a esfuerzos de corte debidos a la proyección de la zapata más allá de la cara del elemento soportado. El área de la base de las zapatas se debe determinar a partir de los esfuerzos y momentos no mayorados, usando la tensión admisible del suelo. Una vez seleccionada la superficie de la base de la zapata, para dimensionar el espesor de la zapata se deben considerar los esfuerzos y momentos mayorados de manera de satisfacer los requisitos de resistencia al momento y, cuando corresponda, al corte. Los artículos 22.7.5 y 22.7.6.1 definen las secciones críticas para el cálculo de los momentos y esfuerzos de corte mayorados. Estas ubicaciones se resumen en la Tabla 30-3. La Figura 22-2 ilustra la ubicación de las secciones críticas tanto para corte en una dirección como para corte en dos direcciones para el caso de una zapata que soporta una columna o pedestal.

30 - 13

Tabla 30-1 – Momentos mayorados inducidos en un tabique por el empuje lateral del suelo o por la presión del viento (ft-kips/ft lineal) (Para utilizar con los factores de carga del Capítulo 9: Empuje del suelo 1,6; Viento 1,6) 2

Alt. Alt. relleno (ft.) (ft.)

Empuje lateral del suelo de diseño, no mayorado (lb/ft por pie de profundidad) 30

30

30

30

30

45

45

45

45

45

60

60

60

60

60

100

100

100

10

20

100

100

2

Presión del viento de diseño, no mayorada (lb/ft ) 0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

40

80

8 8 8 8 8 8 8 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,00 0,01 0,05 0,15 0,33 0,57 0,86 1,21 1,58

0,13 0,13 0,14 0,21 0,37 0,59 0,88 1,21 1,58

0,26 0,25 0,26 0,29 0,41 0,62 0,83 1,21 1,58

0,51 0,50 0,48 0,48 0,51 0,67 0,91 1,22 1,58

1,02 1,00 0,93 0,85 0,78 0,79 0,96 1,23 1,58

0,00 0,01 0,08 0,23 0,49 0,85 1,30 1,81 2,36

0,13 0,13 0,16 0,28 0,53 0,87 1,31 1,81 2,36

0,26 0,25 0,27 0,35 0,57 0,90 1,32 1,82 2,36

0,51 0,50 0,50 0,53 0,66 0,95 1,34 1,82 2,36

1,02 1,00 0,95 0,90 0,90 1,06 1,39 1,84 2,36

0,00 0,01 0,10 0,31 0,65 1,13 1,73 2,41 3,15

0,13 0,13 0,18 0,36 0,69 1,16 1,74 2,42 3,15

0,26 0,26 0,29 0,42 0,73 1,18 1,75 2,42 3,15

0,51 0,50 0,51 0,59 0,82 1,23 1,78 2,43 3,15

1,02 1,00 0,96 0,95 1,02 1,34 1,83 2,44 3,15

0,00 0,02 0,17 0,51 1,09 1,88 2,88 4,02 5,26

0,13 0,26 0,14 0,26 0,23 0,34 0,56 0,62 1,12 1,166 1,91 1,93 2,89 2,90 4,03 4,03 5,26 5,26

0,51 0,51 0,56 0,75 1,25 1,98 2,93 4,04 5,26

1,02 1,01 1,00 1,10 1,42 2,09 2,98 4,05 5,26

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00 0,01 0,05 0,16 0,34 0,60 0,94 1,33 1,78 2,24

0,16 0,16 0,18 0,24 0,40 0,65 0,96 1,35 1,78 2,24

0,32 0,32 0,32 0,36 0,47 0,69 0,99 1,36 1,78 2,24

0,65 0,64 0,62 0,61 0,65 0,76 1,04 1,38 1,79 2,24

1,30 1,27 1,20 1,12 1,05 1,01 1,16 1,43 1,80 2,24

0,00 0,01 0,08 0,24 0,51 0,91 1,41 2,00 2,66 3,37

0,16 0,16 0,20 0,31 0,57 0,95 1,43 2,01 2,67 3,37

0,32 0,32 0,34 0,42 0,63 0,99 1,46 2,03 2,67 3,37

0,65 0,64 0,63 0,67 0,78 1,08 1,51 2,05 2,68 3,37

1,30 1,27 1,22 1,17 1,17 1,28 1,62 2,10 2,69 3,37

0,00 0,01 0,10 0,32 0,69 1,21 1,88 2,67 3,55 4,49

0,16 0,17 0,21 0,39 0,74 1,25 1,90 2,68 3,56 4,49

0,32 0,32 0,36 0,48 0,80 1,29 1,93 2,69 3,56 4,49

0,65 0,64 0,65 0,72 0,94 1,38 1,98 2,72 3,57 4,49

1,30 1,27 1,23 1,23 1,30 1,57 2,09 2,77 3,58 4,49

0,00 0,02 0,17 0,53 1,14 2,01 3,13 4,45 5,92 7,48

0,16 0,17 0,27 0,60 1,20 2,05 3,15 4,46 5,92 7,48

0,65 0,65 0,69 0,88 1,38 2,18 3,23 4,50 5,93 7,48

1,30 1,28 1,27 1,37 1,66 2,36 3,33 4,55 5,95 7,48

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00 0,01 0,05 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,95 2,50 3,08

0,20 0,20 0,22 0,28 0,44 0,70 1,04 1,47 1,96 2,50 3,08

0,40 0,40 0,40 0,44 0,54 0,76 1,09 1,49 1,97 2,51 3,08

0,80 0,79 0,77 0,76 0,80 0,91 1,18 1,55 2,00 2,51 3,08

1,60 1,57 1,51 1,43 1,35 1,31 1,39 1,66 2,05 2,53 3,08

0,00 0,01 0,08 0,25 0,54 0,95 1,50 2,16 2,92 3,75 4,62

0,20 0,20 0,23 0,35 0,61 1,01 1,54 2,19 2,93 3,75 4,62

0,40 0,40 0,42 0,50 0,70 1,08 1,59 2,22 2,95 3,76 4,62

0,80 0,79 0,78 0,82 0,93 1,22 1,68 2,27 2,97 3,76 4,62

1,60 1,57 1,52 1,48 1,47 1,55 1,87 2,38 3,02 3,76 4,62

0,00 0,01 0,11 0,33 0,71 1,27 2,00 2,88 3,89 5,00 6,16

0,20 0,20 0,25 0,42 0,79 1,33 2,04 2,91 3,91 5,00 6,16

0,40 0,40 0,43 0,56 0,87 1,39 2,09 2,94 3,92 5,01 6,16

0,80 0,79 0,80 0,87 1,08 1,53 2,18 2,99 3,94 5,01 6,16

1,60 0,00 0,20 0,40 0,80 1,60 1,58 0,02 0,21 0,41 0,80 1,58 1,54 0,18 0,30 0,48 0,84 1,58 1,53 0,55 0,64 0,74 1,03 1,67 1,60 1,19 1,27 1,34 1,52 1,96 1,82 2,12 2,18 2,24 2,37 2,64 2,36 3,33 3,38 3,42 3,51 3,69 3,10 4,81 4,83 4,86 4,91 5,02 3,99 6,49 6,50 6,52 6,54 6,59 5,03 5,03 8,33 8,34 8,35 8,36 6,16 10,26 10,26 10,26 10,26 10,26

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,00 0,01 0,06 0,17 0,38 0,69 1,10 1,61 2,22 2,92 3,68 4,48 5,32

0,29 0,29 0,30 0,36 0,51 0,80 1,19 1,68 2,27 2,94 3,69 4,49 5,32

0,58 0,57 0,58 0,61 0,71 0,92 1,28 1,75 2,31 2,97 3,70 4,49 5,32

1,15 1,14 1,12 1,12 1,15 1,25 1,49 1,89 2,41 3,03 3,73 4,50 5,32

2,30 2,28 2,21 2,13 2,06 2,01 2,03 2,20 2,61 3,14 3,78 4,51 5,32

0,00 0,01 0,08 0,26 0,57 1,03 1,65 2,42 3,34 4,37 5,51 6,73 7,98

0,29 0,29 0,32 0,43 0,69 1,14 1,74 2,49 3,38 4,40 5,53 6,73 7,98

0,58 0,57 0,59 0,67 0,86 1,25 1,83 2,55 3,43 4,43 5,54 6,73 7,98

1,15 1,14 1,14 1,17 1,28 1,53 2,02 2,69 3,52 4,48 5,56 6,74 7,98

2,30 0,00 0,29 0,58 1,15 2,30 0,00 0,29 0,58 1,15 2,30 2,28 0,01 0,29 0,58 1,14 2,28 0,02 0,30 0,58 1,15 2,29 2,22 0,11 034 0,61 1,15 2,24 0,18 0,39 0,65 1,20 2,28 2,18 0,34 0,50 0,73 1,23 2,23 0,57 0,70 0,90 1,38 2,38 2,18 0,76 0,88 1,02 1,42 2,30 1,26 1,38 1,51 1,83 2,66 2,25 1,37 1,48 1,59 1,84 2,51 2,29 2,39 2,50 2,73 3,26 2,46 2,20 2,28 2,37 2,56 2,97 3,66 3,75 3,84 4,02 4,40 2,99 3,23 3,29 3,36 3,50 3,78 5,38 5,45 5,51 5,65 5,92 3,71 4,45 4,49 4,54 4,63 4,82 7,41 7,46 7,50 7,59 7,78 4,59 5,83 5,86 5,89 5,94 6,05 9,72 9,75 9,77 9,83 9,94 5,62 7,35 7,36 7,38 7,40 7,45 12,25 12,27 12,28 12,30 12,35 6,75 8,97 8,97 8,98 8,98 8,99 14,95 14,95 14,95 14,96 14,97 7,98 10,64 10,64 10,64 10,64 10,64 17,74 17,74 17,74 17,74 17,74

30 - 14

0,32 0,33 0,40 0,68 1,26 2,09 3,18 4,47 5,93 7,48

Tabla 30-2 – Momentos mayorados inducidos en un tabique por el empuje lateral del suelo o por la presión del viento (ft-kips/ft lineal) (Para utilizar con los factores de carga del Capítulo 9: Empuje del suelo 1,6; Viento 1,3x) 2

Alt. Alt. relleno (ft.) (ft.)

Empuje lateral del suelo de diseño, no mayorado (lb/ft por pie de profundidad) 30

30

30

30

30

45

45

45

45

45

60

60

60

60

60

100

100

100

100

100

2

Presión del viento de diseño, no mayorada (lb/ft ) 0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

8 8 8 8 8 8 8 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,00 0,01 0,05 0,15 0,33 0,57 0,86 1,21 1,58

0,10 0,10 0,12 0,20 0,36 0,59 0,87 1,21 1,58

0,21 0,21 0,21 0,26 0,39 0,61 0,88 1,21 1,58

0,42 0,41 0,40 0,41 0,47 0,65 0,90 1,22 1,58

0,83 0,81 0,76 0,71 0,68 0,74 0,94 1,23 1,58

0,00 0,01 0,08 0,23 0,49 0,85 1,30 1,81 2,36

0,10 0,11 0,14 0,27 0,52 0,87 1,31 1,81 2,36

0,21 0,21 0,23 0,32 0,55 0,89 1,32 1,82 2,36

0,42 0,41 0,41 0,46 0,62 0,93 1,34 1,82 2,36

0,83 0,81 0,78 0,76 0,80 1,02 1,38 1,83 2,36

0,00 0,01 0,10 0,31 0,65 1,13 1,73 2,41 3,15

0,10 0,11 0,16 0,35 0,68 1,15 1,74 2,42 3,15

0,21 0,21 0,25 0,40 0,72 1,17 1,75 2,42 3,15

0,42 0,41 0,43 0,52 0,78 1,21 1,77 2,43 3,15

0,83 0,81 0,79 0,81 0,94 1,30 1,81 2,44 3,15

0,00 0,02 0,17 0,51 1,09 1,88 2,88 4,02 5,26

0,10 0,11 0,22 0,55 1,12 1,90 2,89 4,03 5,26

0,21 0,21 0,30 0,60 1,15 1,92 2,90 4,03 5,26

0,42 0,42 0,47 0,70 1,21 1,96 2,92 4,04 5,26

0,83 0,82 0,83 0,96 1,35 2,05 2,96 4,05 5,26

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00 0,01 0,05 0,16 0,34 0,60 0,94 1,33 1,78 2,24

0,13 0,13 0,15 0,22 0,39 0,64 0,96 1,34 1,78 2,24

0,26 0,26 0,27 0,32 0,44 0,67 0,98 1,35 1,78 2,24

0,53 0,52 0,51 0,52 0,58 0,75 1,02 1,37 1,79 2,24

1,05 1,03 0,98 0,93 0,90 0,92 1,11 1,42 1,80 2,24

0,00 0,01 0,08 0,24 0,51 0,91 1,41 2,00 2,66 3,37

0,13 0,13 0,17 0,30 0,56 0,94 1,43 2,01 2,67 3,37

0,26 0,26 0,29 0,38 0,61 0,97 1,45 2,02 2,67 3,37

0,53 0,52 0,52 0,57 0,72 1,04 1,49 2,04 2,68 3,37

1,05 1,03 1,00 0,98 1,02 1,20 1,58 2,08 2,69 3,37

0,00 0,01 0,10 0,32 0,69 1,21 1,88 2,67 3,55 4,49

0,13 0,14 0,19 0,38 0,73 1,24 1,90 2,68 3,56 4,49

0,26 0,26 0,30 0,44 0,78 1,27 1,92 2,69 3,56 4,49

0,53 0,52 0,54 0,63 0,88 1,34 1,96 2,71 3,56 4,49

1,05 1,04 1,01 1,04 1,15 1,49 2,05 2,75 3,57 4,49

0,00 0,02 0,17 0,53 1,14 2,01 3,13 4,45 5,92 7,48

0,13 0,14 0,24 0,59 1,19 2,05 3,15 4,46 5,92 7,48

0,26 0,27 0,35 0,65 1,23 2,08 3,17 4,47 5,93 7,48

0,53 0,53 0,58 0,80 1,33 2,15 3,21 4,49 5,93 7,48

1,05 1,04 1,06 1,18 1,55 2,29 3,29 4,53 5,94 7,48

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00 0,01 0,05 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,95 2,50 3,08

0,16 0,16 0,18 0,25 0,42 0,69 1,04 1,47 1,96 2,50 3,08

0,33 0,32 0,33 0,38 0,50 0,74 1,07 1,46 1,97 2,51 3,08

0,65 0,64 0,63 0,64 0,70 0,85 1,15 1,53 1,99 2,51 3,08

1,30 1,28 1,23 1,18 1,14 1,15 1,31 1,62 2,03 2,52 3,08

0,00 0,01 0,08 0,25 0,54 0,95 1,50 2,16 2,92 3,75 4,62

0,16 0,17 0,20 0,32 0,60 1,00 1,54 2,18 2,93 3,75 4,62

0,33 0,32 0,35 0,44 0,67 1,05 1,57 2,21 2,94 3,76 4,62

0,65 0,64 0,65 0,70 0,84 1,16 1,64 2,25 2,96 3,76 4,62

1,30 1,28 1,24 1,23 1,27 1,41 1,80 2,34 3,00 3,77 4,62

0,00 0,01 0,11 0,33 0,71 1,27 2,00 2,88 3,89 5,00 6,16

0,16 0,17 0,22 0,40 0,78 1,32 2,04 2,90 3,90 5,00 6,16

0,33 0,33 0,36 0,50 0,84 1,37 2,07 2,93 3,91 5,00 6,16

0,65 0,65 0,66 0,75 0,99 1,48 2,14 2,97 3,93 5,01 6,16

1,30 0,00 0,16 0,33 0,65 1,30 1,28 0,02 0,17 0,33 0,65 1,29 1,26 0,18 0,27 0,41 0,71 1,30 1,28 0,55 0,62 0,70 0,92 1,43 1,40 1,19 1,25 1,31 1,45 1,77 1,71 2,12 2,17 2,22 2,32 2,53 2,29 3,33 3,37 3,40 3,47 3,62 3,06 4,81 4,83 4,85 4,89 4,98 3,98 6,49 6,50 6,51 6,53 6,57 5,02 8,03 8,34 8,34 8,34 8,35 6,16 10,26 10,26 10,26 10,26 10,26

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,00 0,01 0,06 0,17 0,38 0,69 1,10 1,61 2,22 2,92 3,68 4,48 5,32

0,23 0,23 0,25 0,32 0,48 0,77 1,17 1,67 2,26 2,94 3,69 4,49 5,32

0,47 0,47 0,47 0,52 0,63 0,87 1,24 1,72 2,30 2,96 3,70 4,49 5,32

0,94 0,93 0,92 0,93 0,98 1,12 1,40 1,84 2,37 3,00 3,72 4,49 5,32

1,87 1,85 1,80 1,75 1,72 1,73 1,80 2,08 2,53 3,10 3,76 4,51 5,32

0,00 0,01 0,08 0,26 0,57 1,03 1,65 2,42 3,34 4,37 5,51 6,73 7,98

0,23 0,24 0,27 0,39 0,67 1,12 1,72 2,47 3,37 4,40 5,52 6,73 7,98

0,47 0,47 0,49 0,58 0,79 1,21 1,79 2,53 3,41 4,42 5,53 6,73 7,98

0,94 0,93 0,93 0,98 1,12 1,41 1,94 2,64 3,48 4,46 5,55 6,74 7,98

1,87 0,00 0,23 0,47 0,94 1,87 0,00 0,23 0,47 0,94 1,87 1,85 0,01 0,24 0,47 0,93 1,85 0,02 0,24 0,47 0,94 1,86 1,82 0,11 0,29 0,51 0,95 1,83 0,18 0,34 0,55 0,99 1,87 1,80 0,34 0,46 0,64 1,04 1,85 0,57 0,68 0,82 1,19 2,00 1,84 0,76 0,86 0,97 1,26 1,97 1,26 1,36 1,46 1,69 2,33 1,97 1,37 1,46 1,55 1,74 2,24 2,29 2,37 2,46 2,64 3,05 2,28 2,20 2,27 2,34 2,49 2,81 3,66 3,73 3,80 3,95 4,25 2,87 3,23 3,28 3,34 3,44 3,67 5,38 5,43 5,49 5,59 5,82 3,64 4,45 4,48 4,52 4,60 4,75 7,41 7,45 7,49 7,56 7,71 4,55 5,83 5,85 5,88 5,92 6,01 9,72 9,74 9,76 9,81 9,90 5,60 7,35 7,36 7,37 7,39 7,43 12,25 12,26 12,27 12,29 12,33 6,75 8,97 8,97 8,97 8,98 8,99 14,95 14,95 14,95 14,96 14,97 7,98 10,64 10,64 10,64 10,64 10,64 17,74 17,74 17,74 17,74 17,74

30 - 15

Las zapatas se deben dimensionar de manera que satisfagan los requisitos para momento de acuerdo con la Ecuación (22-2). Para las zapatas que soportan columnas, pedestales o tabiques de hormigón, si la proyección de la zapata más allá de la cara del elemento soportado es menor o igual que el espesor de la zapata, h, no es necesario verificar el corte en una dirección ya que la sección crítica para el cálculo del corte está fuera de la zapata. En aquellos casos en los cuales es necesario considerar el corte en una dirección (comportamiento como viga) se deben satisfacer los requisitos de la Ecuación (22-9). Además, para las zapatas que soportan columnas, pedestales u otras cargas concentradas, si la proyección de la zapata más allá de la sección crítica es mayor que h/2 es necesario verificar si se satisfacen los requisitos de la Ecuación (22-10) correspondientes a corte en dos direcciones (punzonamiento). Generalmente el diseño del espesor de una zapata de hormigón simple será determinado por la resistencia a flexión; sin embargo, el ingeniero no debe descuidar la posibilidad de que el diseño sea controlado por el corte en una o en dos direcciones. Se debe recordar que los requisitos del artículo 22.4.8 establecen que para los elementos de hormigón simple colocado directamente sobre el terreno el espesor, h, usado para calcular las resistencias a flexión y corte es el espesor total menos 2 in. En consecuencia, para una zapata que tiene un espesor total de 8 in. (valor que corresponde al mínimo espesor total permitido por el artículo 22.7.4) para determinar las resistencias se debe usar un espesor, h, igual a 6 in. Algunos códigos de construcción permiten utilizar zapatas de 6 in. de espesor para estructuras residenciales y otras estructuras pequeñas. En estos casos, a los fines del cálculo de las resistencias, el espesor, h, es igual a 4 in. La Figura 30-10 se incluye para ayudarle al diseñador a seleccionar un espesor de zapata que satisfaga los requisitos de resistencia a flexión. A la figura se ingresa con la tensión del suelo mayorada. Luego se proyecta verticalmente hacia arriba hasta la curva que representa la longitud de la parte de la zapata que se proyecta más allá de la sección crítica donde se debe calcular el momento (ver Tabla 30-3). Para determinar el espesor mínimo requerido para la zapata se debe leer horizontalmente hacia la izquierda. A este valor se le deben sumar 2 in. Los espesores indicados en la figura se basan en una resistencia a la compresión especificada del hormigón f'c de 2500 psi. Si se utilizan hormigones de mayor resistencia está permitido reducir este espesor multiplicándolo por el factor: (2500/resistencia a la compresión especificada del hormigón)0,25 Debido al exponente que contiene la expresión anterior, un gran aumento de la resistencia del hormigón representa apenas una pequeña disminución del espesor de la zapata. Por ejemplo, si se duplica la resistencia del hormigón el espesor sólo se reduce un 16 por ciento. Tabla 30-3 – Ubicaciones donde se deben calcular los momentos y esfuerzos de corte en las zapatas* Elemento soportado

Momento

Corte en una dirección

Corte en dos direcciones (punzonamiento)

Tabique de hormigón

en la cara del tabique

a una distancia h desde la cara del tabique

No corresponde

Tabique de mampostería

a la mitad de la longitud entre el centro y la cara del tabique

a una distancia h desde la cara del tabique

No corresponde

Columna o pedestal

en la cara de la columna o pedestal

a una distancia h desde la cara de la columna o pedestal

a una distancia h/2 desde la cara de la columna o pedestal

a una distancia h a partir de la mitad de la longitud entre la cara de la columna y el borde de la placa de base de acero * h = espesor de la zapata a los fines del cálculo de momentos y cortes.

Columna con placa de fijación de acero

a la mitad de la longitud entre la cara de la columna y el borde de la placa de acero

30 - 16

a una distancia h/2 desde la mitad de la longitud entre la cara de la columna y el borde de la placa de acero

30

Proy. de la zapata = 48" φ = 0,55

28

42"

36"

30"

24"

21"

18"

15"

26 24 22 20 Espesor requerido h, in.

18 16 14 12 10 8 6 4 1

10

100 2

Tensión del suelo mayorada, kips/ft

Distancia proy.

Cara de la columna, pedestal o tabique

1/2 long. entre el centro y la cara del tabique

eje

1/2 longitud entre la cara de la columna y el borde de la placa de acero

Distancia proy. eje

Columna, pedestal o tabique de hormigón

Distancia proy. eje

Tabique de mampostería

Columna de acero Placa de acero

espesor obtenido de la gráfica

espesor obtenido de la gráfica

2"

2"

* Si f'c es mayor que 2500 psi, multiplicar el espesor determinado con la gráfica por (2500/f'c)

0,25

Figura 30-10 – Espesor de zapata requerido para satisfacer la resistencia a flexión para diferentes distancias proyectadas, in. (f´c = 2500 psi*)

22.8

PEDESTALES

El artículo 22.8.2 permite construir pedestales de hormigón estructural simple, siempre que la altura libre no sea mayor que tres veces la menor dimensión en planta. El diseño debe considerar todas las cargas verticales y horizontales que solicitarán al pedestal. La resistencia nominal al aplastamiento del área cargada, Bn, se debe determinar usando la ecuación (22-12). Si hay momentos inducidos por la excentricidad de las cargas axiales y/o las cargas laterales, el pedestal se debe diseñar para la combinación de flexión y cargas axiales, y debe satisfacer las ecuaciones de interacción (22-6) y (22-7). En la Ecuación (22-6), el término Pn se reemplaza por Bn, la resistencia nominal al aplastamiento del área cargada.

30 - 17

Los elementos tipo pedestal en los cuales la altura es mayor que tres veces la menor dimensión lateral son definidos por el código como columnas, y se deben diseñar como elementos de hormigón armado. El Capítulo 22 prohíbe utilizar columnas de hormigón estructural simple. Algunos códigos de construcción contemporáneos prohíben usar pedestales de hormigón estructural simple para resistir esfuerzos laterales sísmicos en estructuras en zonas de peligrosidad sísmica moderada o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio. Ver la Tabla 1-3 y el párrafo siguiente sobre el artículo 22.10.

22.10

ELEMENTOS DE HORMIGÓN SIMPLE EN LAS ESTRUCTURAS SISMORRESISTENTES

En la edición 1999 se incluyó una nueva sección 22.10 para tratar el diseño sismorresistente, tema que anteriormente no estaba cubierto por el Código. Esta sección se refiere al uso de elementos de hormigón simple en estructuras solicitadas a movimientos sísmicos de intensidad suficiente como para provocar daños estructurales significativos en los elementos o el colapso total o parcial de la estructura. Por defecto, los códigos de construcción modelo actualmente en uso en los Estados Unidos asumían la responsabilidad por este tema. Los requisitos, basados en requisitos similares del BOCA National Building Code30.4 y el Standard Building Code30.5, prohíben el uso de elementos de fundación de hormigón estructural simple en las zonas de peligrosidad sísmica elevada o en estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente elevado, a excepción de los tres casos específicamente indicados en los requisitos. La Tabla 1-3 contiene una explicación acerca de cómo la peligrosidad sísmica asignada por los códigos de construcción modelo se pueden correlacionar con los requisitos de ACI 318. Los requisitos prohíben el uso de elementos de fundación de hormigón estructural simple en las estructuras en zonas de peligrosidad sísmica "elevada" de acuerdo con la Tabla 1-3, a excepción de los tres casos específicos siguientes: 1.

En las viviendas unifamiliares independientes de no más de tres plantas y construidas con tabiques portantes de madera o acero, se permiten los siguientes elementos: a.

zapatas de hormigón simple que soportan tabiques, columnas o pedestales; y

b.

tabiques de fundación o muros exteriores de subsuelos de hormigón simple, siempre que se verifique que: i. el tabique tiene un espesor mayor o igual que 7-1/2 in., y ii. no retiene más de 4 ft de relleno no balancead.

2.

En todas las demás estructuras está permitido utilizar zapatas de hormigón simple para soportar tabiques de hormigón armado colado en obra o tabiques de mampostería armada, siempre que la zapata tenga como mínimo dos barras longitudinales No. 4 continuas que proporcionen un área de acero mayor o igual que 0,002 veces el área de la sección transversal bruta de la zapata. La armadura debe ser continua en las esquinas e intersecciones. En el Código ACI 2002, se añadió el requisito que limita la aplicación de este requisito a situaciones en las cuales el tabique soportado es de hormigón armado colado en obra o de mampostería armada.

Aunque el Capítulo 22 del Código no contiene ninguna limitación referida al uso de elementos de hormigón estructural simple en las estructuras en zonas de peligrosidad sísmica moderada o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio de acuerdo con la Tabla 1-3, los códigos modelo vigentes en Estados Unidos prohíben su uso o bien, el caso más habitual, requieren que se coloque algo de armadura para proveer ductilidad y mantener unidos los elementos de la estructura. Si se está por realizar un diseño correspondiente a este tipo de estructuras se recomienda consultar el código de construcción aplicable para determinar las limitaciones específicas que se aplican en cada caso.

30 - 18

REFERENCIAS 30.1

Joints in Walls Below Grade, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1982.

30.2

Building Movements and Joints, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1982.

30.3

Kosmatka, Steven H., Kerhoff, Beatrix y Panarese, William, C., Design and Control of Concrete Mixtures, EB001, 14º Edición, Portland Cement Association, Skokie, IL, 1994.

30.4

The BOCA National Building Code, Building Officials and Code Administrators International, Country Club Hills, IL, 1999.

30.5

Standard Building Code, Southern Building Code Congress International, Birmingham, AL, 1999.

30 - 19

APÉNDICE 30A Este Apéndice contiene figuras y tablas similares a las del Capítulo 30 de esta publicación. Las figuras de este Apéndice son compatibles con los factores de carga y el factor de reducción de la resistencia (φ = 0,65) del Apéndice C de ACI 318-02. (Las figuras y tablas del cuerpo principal del Capítulo 30 son compatibles con los factores de carga y el factor de reducción de la resistencia (φ = 0,55) del Capítulo 9 de ACI 318-02). Se incluyen las siguientes tablas: Tabla C30-1

Momentos mayorados inducidos en un tabique por el empuje lateral del suelo y/o la presión del viento (ftkips/ft lineal) (Para usar con los factores de carga del Apéndice C: Empuje del suelo 1,7; Viento 1,6)

Tabla C30-2

Momentos mayorados inducidos en un tabique por el empuje lateral del suelo y/o la presión del viento (ftkips/ft lineal) (Para usar con los factores de carga del Apéndice C: Empuje del suelo 1,7; Viento 1,3)

Figura C30-1(a-c) Resistencia a la carga axial de diseño, Pnw, de los tabiques de hormigón simple (Método de Diseño Empírico) Figura C30-2

Diagramas de interacción de las resistencias para un tabique de 8,0 in. (8 ft de altura)

Figura C30-3

Diagramas de interacción de las resistencias para un tabique de 8,0 in. (12 ft de altura)

Figura C30-4

Diagramas de interacción de las resistencias para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 2500 psi)

Figura C30-5

Diagramas de interacción de las resistencias para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 3500 psi)

Figura C30-6

Diagramas de interacción de las resistencias para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 4500 psi)

Figura C30-7

Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 2500 psi)

Figura C30-8

Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 3500 psi)

Figura C30-9

Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 4500 psi)

Figura C30-10

Espesor de zapata requerido para satisfacer la resistencia a flexión para diferentes distancias proyectadas, in. (f´c = 2500 psi*)

30 - 20

Tabla C30-1 – Momentos mayorados inducidos en un tabique por el empuje lateral del suelo y/o la presión del viento (ft-kips/ft lineal) (Para usar con los factores de carga del Apéndice C: Empuje del suelo 1,7; Viento 1,6) 2

Alt. Alt. relleno (ft.) (ft.)

Empuje lateral del suelo de diseño, no mayorado (lb/ft por pie de profundidad) 30

30

30

30

30

45

45

45

45

45

60

60

60

60

60

100

100

100

100

100

2

Presión del viento de diseño, no mayorada (lb/ft ) 0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

8 8 8 8 8 8 8 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,00 0,01 0,05 0,16 0,35 0,60 0,92 1,28 1,68

0,13 0,13 0,15 0,22 0,39 0,63 0,93 1,29 1,68

0,26 0,25 0,26 0,30 0,43 0,65 0,94 1,29 1,68

0,51 0,50 0,48 0,48 0,53 0,70 0,97 1,30 1,68

1,02 1,00 0,93 0,86 0,80 0,82 1,02 1,31 1,68

0,00 0,01 0,08 0,25 0,52 0,90 1,38 1,92 2,51

0,13 0,13 0,17 0,30 0,56 0,93 1,39 1,93 2,51

0,26 0,25 0,28 0,37 0,60 0,95 1,40 1,93 2,51

0,51 0,50 0,50 0,54 0,69 1,00 1,43 1,94 2,51

1,02 1,00 0,95 0,91 0,92 1,11 1,48 1,95 2,51

0,00 0,02 0,11 0,33 0,69 1,20 1,84 2,57 3,35

0,13 0,13 0,19 0,38 0,73 1,23 1,85 2,57 3,35

0,26 0,26 0,29 0,44 0,77 1,25 1,86 2,57 3,35

0,51 0,50 0,52 0,60 0,86 1,30 1,88 2,58 3,35

1,02 1,00 0,96 0,97 1,06 1,41 1,93 2,59 3,35

0,00 0,03 0,18 0,55 1,15 2,00 3,06 4,28 5,58

0,13 0,14 0,24 0,60 1,19 2,03 3,07 4,28 5,58

0,26 0,26 0,34 0,65 1,23 2,05 3,08 4,28 5,58

0,51 0,51 0,56 0,78 1,31 2,10 3,11 4,29 5,58

1,02 1,01 1,01 1,12 1,49 2,20 3,16 4,30 5,58

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00 0,01 0,06 0,17 0,36 0,64 1,00 1,42 1,89 2,39

0,16 0,16 0,18 0,25 0,42 0,68 1,02 1,43 1,89 2,39

0,32 0,32 0,33 0,37 0,49 0,73 1,05 1,44 1,89 2,39

0,65 0,64 0,62 0,62 0,66 0,82 1,10 1,47 1,90 2,39

1,30 1,27 1,20 1,13 1,07 1,04 1,21 1,52 1,91 2,39

0,00 0,01 0,08 0,26 0,55 0,96 1,49 2,13 2,83 3,58

0,16 0,16 0,20 0,33 0,60 1,00 1,52 2,14 2,83 3,58

0,32 0,32 0,34 0,43 0,66 1,05 1,55 2,15 2,84 3,58

0,65 0,64 0,64 0,68 0,81 1,13 1,60 2,18 2,84 3,58

1,30 1,27 1,22 1,18 1,19 1,33 1,71 2,23 2,86 3,58

0,00 0,02 0,11 0,34 0,73 1,28 1,99 2,84 3,77 4,77

0,16 0,17 0,22 0,41 0,78 1,32 2,02 2,85 3,78 4,77

0,32 0,32 0,36 0,50 0,84 1,37 2,04 2,86 3,78 4,77

0,65 0,64 0,65 0,74 0,98 1,45 2,10 2,88 3,79 4,77

1,30 1,27 1,24 1,24 1,33 1,64 2,20 2,93 3,80 4,77

0,00 0,03 0,19 0,57 1,21 2,14 3,32 4,73 6,29 7,95

0,16 0,17 0,27 0,63 1,27 2,18 3,35 4,74 6,29 7,95

0,32 0,33 0,41 0,71 1,33 2,22 3,37 4,75 6,30 7,95

0,65 0,65 0,70 0,91 1,45 2,31 3,42 4,77 6,30 7,95

1,30 1,28 1,28 1,39 1,73 2,48 3,53 4,82 6,32 7,95

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00 0,01 0,06 0,18 0,38 0,68 1,06 1,53 2,07 2,66 3,27

0,20 0,20 0,22 0,29 0,46 0,74 1,11 1,56 2,08 2,66 3,27

0,40 0,40 0,40 0,44 0,56 0,80 1,15 1,58 2,09 2,66 3,27

0,80 0,79 0,77 0,77 0,82 0,95 1,24 1,64 2,12 2,67 3,27

1,60 1,57 1,51 1,43 1,37 1,34 1,45 1,75 2,17 2,68 3,27

0,00 0,01 0,09 0,26 0,57 1,01 1,59 2,30 3,10 3,98 4,91

0,20 0,20 0,24 0,36 0,65 1,07 1,64 2,32 3,12 3,99 4,91

0,40 0,40 0,42 0,51 0,73 1,14 1,68 2,35 3,13 3,99 4,91

0,80 0,79 0,79 0,83 0,96 1,27 1,77 2,40 3,15 4,00 4,91

1,60 1,57 1,52 1,49 1,50 1,60 1,96 2,51 3,20 4,01 4,91

0,00 0,02 0,11 0,35 0,76 1,35 2,13 3,06 4,14 5,31 6,54

0,20 0,20 0,26 0,44 0,83 1,41 2,17 3,09 4,15 5,32 6,54

0,40 0,40 0,44 0,57 0,92 1,47 2,21 3,12 4,16 5,32 6,54

0,80 0,79 0,80 0,89 1,11 1,60 2,30 3,17 4,19 5,33 6,54

1,60 0,00 1,58 0,03 1,54 0,19 1,54 0,58 1,63 1,26 1,90 2,25 2,49 3,54 3,28 5,11 4,24 6,90 5,34 8,85 6,54 10,91

0,20 0,21 0,31 0,67 1,34 2,31 3,59 5,13 6,91 8,86 10,91

0,40 0,41 0,49 0,77 1,42 2,37 3,63 5,16 6,92 8,86 10,91

0,80 0,80 0,85 1,06 1,59 2,50 3,72 5,21 6,95 8,87 10,91

1,60 1,58 1,59 1,70 2,02 2,77 3,89 5,32 7,00 8,88 10,91

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,00 0,01 0,06 0,18 0,40 0,73 1,17 1,71 2,36 3,10 3,91 4,76 5,65

0,29 0,29 0,31 0,37 0,53 0,84 1,26 1,78 2,41 3,13 3,92 4,77 5,65

0,58 0,57 0,58 0,62 0,73 0,96 1,35 1,85 2,45 3,15 3,93 4,77 5,65

1,15 1,14 1,12 1,12 1,17 1,29 1,55 1,99 2,55 3,21 3,96 4,78 5,65

2,30 2,28 2,21 2,13 2,07 2,04 2,08 2,30 2,74 3,32 4,01 4,79 5,65

0,00 0,01 0,09 0,27 0,60 1,09 1,75 2,57 3,54 4,65 5,86 7,15 8,48

0,29 0,29 0,32 0,44 0,73 1,20 1,84 2,64 3,59 4,67 5,87 7,15 8,48

0,58 0,57 0,60 0,68 0,89 1,32 1,93 2,70 3,63 4,70 5,88 7,15 8,48

1,15 1,14 1,14 1,18 1,31 1,58 2,12 2,84 3,73 4,76 5,91 7,16 8,48

2,30 2,28 2,23 2,19 2,20 2,30 2,55 3,13 3,92 4,87 5,96 7,17 8,48

0,00 0,02 0,12 0,37 0,81 1,46 2,34 3,43 4,72 6,20 7,81 9,53 11,31

0,29 0,29 0,34 0,51 0,93 1,56 2,42 3,50 4,77 6,22 7,82 9,53 11,31

0,58 0,58 0,61 0,74 1,07 1,68 2,51 3,56 4,82 6,25 7,84 9,54 11,31

1,15 1,14 1,16 1,24 1,46 1,92 2,70 3,70 4,91 6,31 7,86 9,54 11,31

2,30 2,28 2,24 2,25 2,34 2,57 3,10 3,98 5,10 6,42 7,91 9,56 11,31

0,29 0,30 0,39 0,74 1,46 2,54 3,98 5,78 7,92 10,35 13,03 15,89 18,84

0,58 0,58 0,66 0,93 1,59 2,64 4,07 5,85 7,97 10,38 13,04 15,89 18,84

1,15 1,15 1,20 1,40 1,89 2,87 4,25 5,98 8,06 10,44 13,07 15,89 18,84

2,30 2,29 2,29 2,40 2,72 3,39 4,62 6,26 8,24 10,55 13,12 15,91 18,84

30 - 21

0,00 0,03 0,19 0,61 1,34 2,43 3,89 5,72 7,87 10,33 13,02 15,88 18,84

Tabla C30-2 – Momentos mayorados inducidos en un tabique por el empuje lateral del suelo y/o la presión del viento (ft-kips/ft lineal) (Para usar con los factores de carga del Apéndice C: Empuje del suelo 1,7; Viento 1,3) 2

Alt. Alt. relleno (ft.) (ft.)

Empuje lateral del suelo de diseño, no mayorado (lb/ft por pie de profundidad) 30

30

30

30

30

45

45

45

45

45

60

60

60

60

60

100

100

100

100

100

2

Presión del viento de diseño, no mayorada (lb/ft ) 0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

0

10

20

40

80

8 8 8 8 8 8 8 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,00 0,01 0,05 0,16 0,35 0,60 0,92 1,28 1,68

0,10 0,11 0,13 0,21 0,38 0,62 0,93 1,29 1,68

0,21 0,21 0,22 0,27 0,41 0,64 0,94 1,29 1,68

0,42 0,41 0,40 0,41 0,49 0,68 0,96 1,29 1,68

0,83 0,81 0,76 0,72 0,69 0,78 1,00 1,30 1,68

0,00 0,01 0,08 0,25 0,52 0,90 1,38 1,92 2,51

0,10 0,11 0,15 0,29 0,55 0,92 1,39 1,93 2,51

0,21 0,21 0,23 0,34 0,58 0,94 1,40 1,93 2,51

0,42 0,41 0,42 0,47 0,65 0,98 1,42 1,93 2,51

0,83 0,81 0,78 0,77 0,82 1,07 1,46 1,95 2,51

0,00 0,02 0,11 0,33 0,69 1,20 1,84 2,57 3,35

0,10 0,11 0,17 0,37 0,72 1,22 1,85 2,57 3,35

0,21 0,21 0,25 0,42 0,76 1,24 1,86 2,57 3,35

0,42 0,41 0,43 0,54 0,82 1,28 1,88 2,58 3,35

0,83 0,81 0,80 0,83 0,98 1,37 1,92 2,59 3,35

0,00 0,03 0,18 0,55 1,15 2,00 3,06 4,28 5,58

0,10 0,12 0,23 0,59 1,18 2,02 3,07 4,28 5,58

0,21 0,22 0,30 0,63 1,22 2,04 3,08 4,28 5,58

0,42 0,42 0,48 0,73 1,28 2,08 3,10 4,29 5,58

0,83 0,82 0,84 0,99 1,42 2,17 3,14 4,30 5,58

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00 0,01 0,06 0,17 0,36 0,64 1,00 1,42 1,89 2,39

0,13 0,13 0,15 0,23 0,41 0,68 1,02 1,43 1,89 2,39

0,26 0,26 0,27 0,32 0,46 0,71 1,04 1,44 1,89 2,39

0,53 0,52 0,51 0,52 0,59 0,78 1,08 1,46 1,90 2,39

1,05 1,03 0,98 0,94 0,91 0,95 1,17 1,50 1,91 2,39

0,00 0,01 0,08 0,26 0,55 0,96 1,49 2,13 2,83 3,58

0,13 0,13 0,17 0,31 0,59 1,00 1,52 2,14 2,83 3,58

0,26 0,26 0,29 0,39 0,64 1,03 1,54 2,15 2,84 3,58

0,53 0,52 0,53 0,58 0,75 1,10 1,58 2,17 2,84 3,58

1,05 1,03 1,00 0,99 1,05 1,25 1,67 2,21 2,85 3,58

0,00 0,02 0,11 0,34 0,73 1,28 1,99 2,84 3,77 4,77

0,13 0,14 0,19 0,40 0,77 1,32 2,01 2,85 3,78 4,77

0,26 0,27 0,31 0,46 0,82 1,35 2,03 2,86 3,78 4,77

0,53 0,52 0,54 0,65 0,93 1,42 2,08 2,88 3,79 4,77

1,05 1,04 1,02 1,05 1,18 1,57 2,16 2,92 3,80 4,77

0,00 0,03 0,19 0,57 1,21 2,14 3,32 4,73 6,29 7,95

0,13 0,14 0,25 0,62 1,26 2,17 3,34 4,74 6,29 7,95

0,26 0,27 0,36 0,68 1,31 2,21 3,36 4,75 6,30 7,95

0,53 0,53 0,59 0,83 1,40 2,27 3,41 4,77 6,30 7,95

1,05 1,04 1,06 1,21 1,62 2,41 3,49 4,81 6,31 7,95

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,00 0,01 0,06 0,18 0,38 0,68 1,06 1,53 2,07 2,66 3,27

0,16 0,16 0,18 0,26 0,44 0,73 1,10 1,55 2,08 2,66 3,27

0,33 0,32 0,33 0,38 0,52 0,78 1,13 1,57 2,09 2,66 3,27

0,65 0,64 0,63 0,65 0,72 0,89 1,21 1,62 2,11 2,67 3,27

1,30 1,28 1,23 1,18 1,16 1,18 1,37 1,71 2,15 2,68 3,27

0,00 0,01 0,09 0,26 0,57 1,01 1,59 2,30 3,10 3,98 4,91

0,16 0,17 0,20 0,34 0,63 1,06 1,63 2,32 3,11 3,99 4,91

0,33 0,32 0,35 0,45 0,70 1,11 1,66 2,34 3,12 3,99 4,91

0,65 0,64 0,65 0,71 0,87 1,22 1,74 2,38 3,14 3,99 4,91

1,30 1,28 1,25 1,24 1,29 1,46 1,89 2,47 3,18 4,01 4,91

0,00 0,02 0,11 0,35 0,76 1,35 2,13 3,06 4,14 5,31 6,54

0,16 0,17 0,22 0,42 0,82 1,40 2,16 3,08 4,15 5,31 6,54

0,33 0,33 0,37 0,52 0,89 1,45 2,20 3,11 4,16 5,32 6,54

0,65 0,65 0,67 0,77 1,03 1,55 2,27 3,15 4,18 5,32 6,54

1,30 0,00 1,28 0,03 1,26 0,19 1,30 0,58 1,43 1,26 1,78 2,25 2,41 3,54 3,24 5,11 4,22 6,90 5,33 8,85 6,54 10,91

0,16 0,17 0,28 0,65 1,33 2,30 3,58 5,13 6,91 8,86 10,91

0,33 0,33 0,42 0,73 1,39 2,35 3,61 5,15 6,92 8,86 10,91

0,65 0,65 0,71 0,94 1,52 2,45 3,68 5,19 6,94 8,86 10,91

1,30 1,29 1,31 1,45 1,84 2,66 3,83 5,28 6,98 8,87 10,91

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,00 0,01 0,06 0,18 0,40 0,73 1,17 1,71 2,36 3,10 3,91 4,76 5,65

0,23 0,24 0,26 0,33 0,51 0,82 1,24 1,77 2,40 3,12 3,92 4,77 5,65

0,47 0,47 0,48 0,53 0,65 0,91 1,31 1,82 2,44 3,14 3,93 4,77 5,65

0,94 0,93 0,92 0,93 1,00 1,15 1,47 1,94 2,51 3,19 3,95 4,78 5,65

1,87 1,85 1,80 1,75 1,73 1,76 1,85 2,19 2,67 3,28 3,99 4,79 5,65

0,00 0,01 0,09 0,27 0,60 1,09 1,75 2,57 3,54 4,65 5,86 7,15 8,48

0,23 0,24 0,27 0,40 0,70 1,18 1,82 2,63 3,58 4,67 5,87 7,15 8,48

0,47 0,47 0,49 0,59 0,82 1,27 1,89 2,68 3,62 4,69 5,88 7,15 8,48

0,94 0,93 0,94 0,99 1,15 1,48 2,05 2,79 3,69 4,74 5,90 7,16 8,48

1,87 1,85 1,82 1,81 1,86 2,02 2,38 3,02 3,85 4,83 5,94 7,17 8,48

0,00 0,02 0,12 0,37 0,81 1,46 2,34 3,43 4,72 6,20 7,81 9,53 11,31

0,23 0,24 0,29 0,48 0,90 1,54 2,41 3,48 4,76 6,22 7,82 9,53 11,31

0,47 0,47 0,51 0,65 1,01 1,63 2,48 3,54 4,80 6,24 7,83 9,53 11,31

0,94 0,93 0,95 1,05 1,30 1,83 2,63 3,65 4,87 6,28 7,85 9,54 11,31

1,87 1,85 1,84 1,87 2,00 2,31 2,94 3,87 5,02 6,37 7,89 9,55 11,31

0,23 0,25 0,35 0,71 1,44 2,52 3,96 5,77 7,91 10,35 13,03 15,88 18,84

0,47 0,48 0,56 0,85 1,54 2,60 4,03 5,82 7,95 10,37 13,04 15,89 18,84

0,94 0,94 1,00 1,22 1,77 2,78 4,18 5,93 8,02 10,42 13,06 15,89 18,84

1,87 1,86 1,88 2,02 2,39 3,18 4,48 6,15 8,17 10,50 13,10 15,90 18,84

30 - 22

0,00 0,03 0,19 0,61 1,34 2,43 3,89 5,72 7,87 10,33 13,02 15,88 18,84

150 Altura = 8 ft

140

φ = 0,65

130 120 110

f´c = 4500 psi

100

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw ,

90

kips/ft de tabique

70

3500 2500

80 60 50 40 30 20 10 5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

11,5

12

10,5

11

11,5

12

10,5

11

11,5

12

Espesor del tabique, h, in. 150 Altura = 10 ft

140

φ = 0,65

130 120

f´c = 4500 psi

110 100

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw ,

90

kips/ft de tabique

70

3500 2500

80 60 50 40 30 20 10 5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

Espesor del tabique, h, in. 150 Altura = 12 ft

140

φ = 0,65

130 120 110

f´c = 4500 psi

100

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pnw ,

90

kips/ft de tabique

70

3500

80

2500

60 50 40 30 20 10 5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

Espesor del tabique, h, in.

Figura C30-1 – Resistencia a la carga axial de diseño, Pnw, de los tabiques de hormigón simple (Método de Diseño Empírico) 30 - 23

140

80

kips/ft de tabique

60

e = h/6

3500

100

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn ,

e = h/10

f´c = 4500

120

2500

40

20

h = 8 in. altura = 8 ft φ = 0,65 in.

0 0

2

4

6

8

10

12

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura C30-2 – Diagramas de interacción de las resistencias para un tabique de 8,0 in. (8 ft de altura)

120

e = h/10 f´c = 4500

e = h/6

100

3500 80

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn ,

2500

60

kips/ft de tabique 40

20

h = 8 in. altura = 12 ft φ = 0,65 in.

0 0

2

4

6

8

10

12

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura C30-3 – Diagramas de interacción de las resistencias para un tabique de 8,0 in. (12 ft de altura)

30 - 24

16 h = 5,5"

8"

7,5"

12"

10"

φ = 0,65

14

f´c = 2500 psi

12

10

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura C30-4 – Diagramas de interacción de las resistencias de diseño para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 2500 psi) 16

h = 5,5"

7,5"

10"

8"

φ = 0,65

14

f'c = 3500 psi

12"

12

10

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura C30-5 – Diagramas de interacción de las resistencias de diseño para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 3500 psi)

30 - 25

16

8"

7,5"

φ = 0,65

14

10"

h = 5,5"

f´c = 4500 psi

12

10

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , kips/ft de tabique

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

7

6

Resistencia al momento de diseño, φ Mn , ft-kips/ft de tabique

Figura C30-6 – Diagramas de interacción de las resistencias de diseño para tabiques de hormigón simple poco cargados (f´c = 4500 psi)

70

12 in.

60 10 in. 50

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , para el máximo momento kips/ft de tabique

9,5 in.

40 8 in. 7,5 in. 30

20 f´c = 2500 psi

h = 5,5 in.

φ = 0,65 10

8

9

10

11

12

Altura del tabique, ft

Figura C30-7 – Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 2500 psi)

30 - 26

100

12 in.

90

80

10 in. 9,5 in.

70

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , para el 60 máximo momento kips/ft de tabique

8 in. 7,5 in.

50

40

30

f´c = 3500 psi

h = 5,5 in.

φ = 0,65 20 8

9

10

11

12

Altura del tabique, ft

Figura C30-8 – Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 3500 psi)

130

12 in.

120 110 10 in. 100 9,5 in.

90

Resistencia a la carga axial de diseño, φ Pn , para el

80

máximo momento kips/ft de tabique

70

8 in.

7,5 in.

60 50 40

h = 5,5 in.

30

f´c = 4500 psi

φ = 0,65

20 8

9

10

11

12

Altura del tabique, ft

Figura C30-9 – Resistencia a la carga axial de diseño de los tabiques de hormigón simple para la máxima resistencia al momento de diseño (f´c = 4500 psi)

30 - 27

30 Proy. de la zapata = 48"

28

42"

36"

24"

30"

φ = 0,65

21"

18"

15"

26 24 22 20 Espesor requerido 18 h, in. 16 14 12 10 8 6 4 1

10

100

Tensión del suelo mayorada, kips/ft2

Cara de la columna, pedestal o tabique

1/2 long. entre el centro y la cara del tabique

Distancia proy. eje

1/2 long. entre la cara de la columna y el borde de la placa de acero

Distancia proy.

eje

eje Tabique de mampostería

Columna, pedestal o tabique de hormigón

Distancia proy.

Columna de acero Placa de acero

Espesor obtenido de la gráfica

Espesor obtenido de la gráfica

2"

2"

* Si f'c es mayor que 2500 psi, multiplicar el espesor determinado con la gráfica por (2500/f'c)

0,25

Figura C30-10 – Espesor de zapata requerido para satisfacer la resistencia a flexión para diferentes distancias proyectadas, in. (f´c = 2500 psi*)

30 - 28

Ejemplo 30.1 – Diseño de una zapata y un pedestal de hormigón simple Dimensionar una zapata cuadrada de hormigón simple con un pedestal que se usará en un edificio residencial. Realizar el diseño de acuerdo con el Capítulo 22 del Código, usando los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9. Efectuar un segundo diseño usando los factores de carga y reducción de la resistencia alternativos del Apéndice C para determinar cuál de los diseños es más económico. b = 6'- 0"

Datos para el diseño:

c = 1'- 0"

Carga permanente de servicio = 40 kips Sobrecarga de servicio en los entrepisos = 40 kips Sobrecarga de servicio en la cubierta = 7,5 kips Carga de nieve en la cubierta = 10 kips Fuerza de levantamiento de servicio = 0

Sección crítica para momento

Dimensiones del pedestal = 12 × 12 in. Tensión admisible del suelo = 2,5 kips/ft2 f c' = 2500 psi

h

qs

2"

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar el área de la base de la zapata:

El área de la base se determina usando las cargas gravitatorias de servicio, no mayoradas, y la tensión admisible del suelo. Af =

22.7.2

40 + 40 + 10 = 36 ft 2 2,5

Usar una zapata cuadrada de 6 × 6 ft ( A f = 36 ft 2 ) 2. Determinar las combinaciones de cargas aplicables que se deben considerar. Para dimensionar la zapata para resistencia se deben utilizar las cargas mayoradas. Hay dos conjuntos de factores de carga: uno en 9.2 y el otro C.2. Debido a la diferencia significativa entre el factor de reducción de la resistencia, φ, a utilizar con cada uno de los conjuntos de factores de carga (0,55 en 9.3.5 versus 0,65 en C.3.5), se deben evaluar dos diseños, uno con cada conjunto de factores, a fin de determinar cuál alternativa permite obtener la solución más económica.

22.7.1 9.2 9.3.5 C.2 C.3.5

La resistencia requerida debe ser como mínimo igual a la mayor carga mayorada determinada a partir de las combinaciones de cargas aplicables. Una de las siguientes combinaciones de cargas será determinante: 1. U = 1, 2D + 1, 6L + 0,5S

Ec. (9-2)

2. U = 1, 2D + 0,5L + 1, 6S

Ec. (9-3)

3. U = 1, 2D + 0,5L + 0,5S

Ec. (9-4)

30 - 29

Observar que en la Combinación 1 despreciamos T. En las Combinaciones 2 y 3 el factor correspondiente a L es igual a 0,5 de acuerdo con 9.2.1(a).

9.2.1(a)

3. Calcular la carga axial mayorada, Pu, para cada combinación de cargas. Una simple observación permite determinar que la mayor carga axial se obtendrá ya sea con la Combinación 1 o con la Combinación 2. 1. Pu = 1, 2D + 1, 6L + 0,5S = 1, 2 ( 40 ) + 1, 6 ( 40 ) + 0,5 (10 ) = 117 kips

Ec. (9-2)

2. Pu = 1, 2D + 0,5L + 1, 6S = 1, 2 ( 40 ) + 0,5 ( 40 ) + 0,5 ( 40 ) + 1, 6 (10 ) = 64,8 kips

Ec. (9-3)

Usar Pu = 117 kips Revisando las combinaciones de cargas aplicables de C.2 resulta evidente que la Ecuación (C-1) será determinante: Pu = 1, 4D + 1, 7L = 1, 4 ( 40 ) + 1, 7 ( 50 ) = 141kips

Ec. (C-1)

Para determinar rápidamente cuál de los dos conjuntos de factores de carga y reducción de la resistencia debemos utilizar, comparemos la resistencia nominal a la carga axial, Pn, requerida por las cargas mayoradas de 9.2 con la requerida por las de C.2. Capítulo 9:

9.3.5 C.3.5

Pn = Pu / φ = 117 / 0,55 = 212, 7 kips

Apéndice C: Pn = Pu / φ = 141/ 0, 65 = 216,9 kips Como la resistencia nominal a la carga axial requerida por los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9 es menor que la requerida por el Apéndice C, será más económico diseñar de acuerdo con el Capítulo 9. Sin embargo, el procedimiento de diseño será el mismo, independientemente de los factores de carga y resistencia utilizados. 4. Calcular la tensión del suelo mayorada. Como la zapata se debe diseñar para las cargas mayoradas y las reacciones inducidas, debemos usar la tensión del suelo mayorada. qs =

22.7.1

Pu 117 = = 3, 25 kips / ft 2 Af 36

5. Determinar el espesor de la zapata requerido para satisfacer la resistencia al momento. El espesor de los elementos de hormigón simple generalmente es determinado por la resistencia a la flexión. La sección crítica para el cálculo del momento es en la cara del pedestal de hormigón (ver figura anterior).

22.7.5(a)

 b − c  b − c  M u = qs ( b )     2  4 

= 3, 25 ( 3)( 2,5 ) = 60,9 ft-kips 2

φM n ≥ M u

Ec. (22-1)

30 - 30

φ = 55 para todas las solicitaciones

9.3.5

φM n = 5 φ f c' S

=

5 ( 0,55 )

Ec. (22-2)

(

)

2500 ( 6 )(12 ) h 2

(1000 )( 6 )

≥ 60,9 ft-kips

Resolviendo para h:  60,9 12 1000 6 ( )( )( )  h≥  5 ( 0,55 ) 2500 ( 6 )(12 )   

(

0,5

)

= 21, 0 in.

Solución alternativa usando la Figura 30-10: Ingresar a la figura con la tensión del suelo mayorada (3,25 kips/ft2). Trazar una vertical hasta cortar la curva correspondiente a la distancia que la zapata se proyecta más allá de la cara del pedestal, o sea 30 in. (36-6). Trazando una horizontal, se puede leer que el espesor requerido para la zapata es de aproximadamente 21 in. Cuando se trata de hormigón colocado directamente sobre el terreno, para los cálculos de resistencia no se deben considerar las 2 in. inferiores de hormigón, es decir, el espesor total h se debe considerar 2 in. menor que el espesor real (este espesor reducido considera las irregularidades de la excavación y cierto grado de contaminación del hormigón adyacente al suelo).

22.4.8

Usar un espesor total de 24 in. 6. Verificar el corte en una dirección. Usar un espesor efectivo h = 22 in. = 1,83 ft. La sección crítica para el corte en una dirección está ubicada a una distancia igual al espesor, h, a partir de la cara del pedestal, es decir a 0,67 ft (3 – 0,5 – 1,83) a partir del borde de la zapata.

22.7.6.1 22.7.6.2(a)

 b   c   Vu = qs b   −   − h  = 3, 25 ( 6 ) ( 0, 67 ) = 13, 07 kips  2   2   φVn ≥ Vu

Ec. (22-8)

4 Vn =   f c' b h 3

Ec. (22-9)

φVn =

4 ( 0,55 )

(

)

2500 ( 72 )( 22 )

( 3)(1000 )

= 58, 08 kips > 13, 07 kips

VERIFICA

7. Verificar el corte en dos direcciones (punzonamiento). La sección crítica para el corte en dos direcciones está ubicada a una distancia igual a la mitad del espesor de la zapata, h, a partir de la cara del pedestal.   22 2   2 Vu = qs  b 2 − ( c + h )  = 3, 25  62 −  1 + = 90,91 kips  12       

30 - 31

22.7.6.1 22.7.6.2(b)

φVn ≥ Vu

Ec. (22-8)

4 8  ' ' Vn =  +  f c bo h ≤ 2, 66 f c bo h 3 3 β c 

Ec. (22-10)

siendo βc la relación entre el lado mayor y el lado menor del área donde actúa la carga. En este caso βc = 1 .  4   8   Como   +    = 4, 0 > 2, 66  3   3   Vn = 2, 66 f c' bo h

φVn =

2, 66 ( 0,55 )

(

)

2500 ( 34 )( 4 )( 22 ) 1000

= 218,87 kips > 90,91 kips

VERIFICA

8. Verificar la resistencia al aplastamiento del pedestal.

22.8.3

Pu = 141 kips (del Paso 3 anterior) φBn ≥ Pu

Ec. (22-11)

Bn ≥ 0,85 f c' A1

Ec. (22-12)

φBn =

0,85 ( 0,55 )( 2500 )(12 × 12 ) 1000

= 168,3 kips > 117 kips

VERIFICA

30 - 32

Ejemplo 30.2 – Diseño de un tabique exterior de un subsuelo de hormigón simple Para soportar una construcción residencial de dos plantas cuya estructura es de madera y tiene cerramientos de mampostería se ha de utilizar un tabique portante exterior que forma parte del subsuelo. La altura del tabique es de 10 ft (distancia entre la parte superior de la losa de hormigón y el entrepiso de madera, dos elementos que le proporcionan apoyo lateral al tabique). La altura del relleno detrás del tabique es de 7 ft y el tabique está restringido lateralmente en su parte superior. Se pide diseñar el tabique de acuerdo con el Capítulo 22 usando los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9. Realizar un segundo diseño utilizando los factores de carga y reducción de la resistencia alternativos del Apéndice C para determinar cuál es el diseño más económico. Datos para el diseño: Carga permanente de servicio = 1,6 kips por pie lineal Sobrecarga de servicio en el entrepiso = 0,8 kips por pie lineal Sobrecarga de servicio en la cubierta = 0,4 kips por pie lineal Sobrecarga de nieve en la cubierta (nivel de servicio) = 0,3 kips por pie lineal Empuje lateral del suelo (nivel de servicio) = 60 lb/ft2 por pie de altura Presión del viento (nivel de servicio) = 20 lb/ft2 hacia adentro, 25 lb/ft2 hacia afuera Se supone que la carga permanente mayorada en la cubierta más fuerza de levantamiento del viento mayorada en la cubierta (Ec. (9-6) = 0 Excentricidad de las cargas axiales = 0

Referencia del Código

Cálculos y discusión

Diseño utilizando los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9. 1. El tabique se debe diseñar para las cargas verticales, laterales y de cualquier otro tipo a las cuales pueda estar solicitado. Por lo tanto, determinar las combinaciones de cargas aplicables que se deben considerar.

22.6.2 9.2

1. U = 1, 2D + 1, 6L + 0,5L r + 1, 6H

Ec. (9-2)

2. U = 1, 2D + 0,5L + 1, 6L r + 1, 6H

Ec. (9-3)

3. U = 1, 2D + 0,5L + 0,5L r + 1, 6W + 1, 6H

Ec. (9-4)

4. U = 0,9D + 1, 6W + 1, 6H

Ec. (9-6)

5. U = 1, 6H

Ec. (9-6)

Observar que en la Combinación 1 despreciamos T. En las Combinaciones 2 y 3 el factor correspondiente a L es igual a 0,5 de acuerdo con 9.2.1(a). En las Combinaciones 2 y 4 se ha incluido 1,6H porque siempre estará actuando el empuje lateral del suelo. En la Combinación 5 se omitió D, ya que esta condición puede ocurrir durante la construcción. 2. Calcular la carga axial, Pu, para cada combinación de cargas. 1. Pu = 1, 2D + 1, 6L + 0,5L r = 1, 2 (1, 6 ) + 1, 6 ( 0,8 ) + 0,5 ( 0, 4 ) = 3, 40 kips / ft

30 - 33

Ec. (9-2)

2. Pu = 1, 2D + 0,5L + 1, 6L r = 1, 2 (1, 6 ) + 0,5 ( 0,8 ) + 1, 6 ( 0, 4 ) = 2,96 kips / ft

Ec. (9-3)

3. Pu = 1, 2D + 0,5L + 0,5L r = 1, 2 (1, 6 ) + 0,5 ( 0,8 ) + 0,5 ( 0, 4 ) = 2,52 kips / ft

Ec. (9-4)

4. Pu = 0,9D = 0,9 (1, 6 ) = 1, 44 kips / ft

Ec. (9-6)

5. Pu = 0

Ec. (9-6)

3. Calcular el momento, M u , para cada combinación de cargas. 1. M u debido a 1,6H

Ec. (9-2)

2. M u debido a 1,6H

Ec. (9-3)

3. M u debido a 1,6W + 1,6H

Ec. (9-4)

4. M u debido a 1,6W + 1,6H

Ec. (9-6)

5. M u debido a 1,6H

Ec. (9-6)

El máximo momento se produce en la ubicación donde el corte es nulo. Para determinar esta ubicación con referencia a la parte superior del tabique, primero se calcula la reacción en la parte superior del tabique. Si hay viento actuando en la misma dirección que el empuje lateral del suelo y la resultante de la carga de viento, W, es mayor que la reacción en la parte superior del tabique, la ubicación donde el corte es nulo se encontrará a una distancia "X" por debajo del punto superior del tabique (por encima del punto donde termina el relleno). Si esto no es así, la ubicación donde el corte es nulo se encontrará a una distancia "X" por debajo del punto donde termina el relleno. A continuación se suman los esfuerzos horizontales por encima de "X" (ubicación donde el corte es nulo). Finalmente se resuelve para determinar "X". Ver la siguiente figura.

Rsup. W

3'

x 10' 7' h

R inf.

30 - 34

Para las Combinaciones de cargas 3 y 4, la reacción en la parte superior del tabique es igual a: R sup. =

1, 6 ( 20 )( 3)( 8,5 ) + 1, 6 ( 60 ) 73  / 6 10

= 630, 4 lb / ft

W = 1, 6 ( 20 )( 3) = 96 lb / ft W < R sup.

Por lo tanto, la ubicación donde el corte es nulo está por debajo del punto donde termina el relleno. Sumatoria de los esfuerzos horizontales en "X":

( )

630, 4 − 1, 6 ( 20 )( 3) − 1, 6 ( 60 ) X 2  / 2 = 0  

630, 4 − 96 − 48X 2 = 0

Resolviendo para obtener la distancia "X":  630, 4 − 96  X=  48  

0,5

= 3,37 ft

El punto donde el corte es nulo está a una distancia igual a 3,0 + 3,37 = 6,37 ft del borde superior del tabique. Nota: Generalmente es más sencillo calcular la ubicación donde el corte es nulo con respecto al borde superior del tabique, ya que hacerlo con respecto al borde inferior implicaría resolver una ecuación cuadrática. Calcular el máximo momento, Mu, debido a las cargas laterales debidas al viento y al empuje del suelo: 3 630, 4 ( 6,37 ) − 1, 6 ( 20 )( 3)( 6,37 − 1,5 ) − 1, 6 ( 60 )( 3,37 )  / 6   = 2,94 ft-kips/ft Mu 1000

Alternativamente, el máximo momento se puede determinar usando la Tabla 30-1, ya que el factor de carga para el viento es igual a 1,6. De la Tabla 30-1, para un tabique de 10 ft de altura con 7 ft de relleno, para una carga de viento no mayorada de 20 lb/ft2 y un empuje del suelo no mayorado de 60 lb/ft2/ft, el momento Mu es igual a 2,94 ft-kips/ft, que es el mismo valor que se calculó anteriormente. Luego determinar el momento usando la Tabla 30-1 para las Combinaciones 1, 2 y 5 (sin carga de viento). De la Tabla 30-1, para un tabique de 10 ft de altura con 7 ft de relleno, para carga de viento nula y un empuje del suelo no mayorado igual a 60 lb/ft2/ft, el momento Mu es igual a 2,88 ft-kips/ft. Observar que se puede utilizar tanto la Tabla 30-1 como la Tabla 30-2, ya que esta combinación de cargas no incluye la acción del viento. El momento se lee en la columna correspondiente a "presión del viento no mayorada" igual a cero. 4. Calcular las excentricidades efectivas para las Combinaciones 1, 3 y 4 a fin de determinar si el tabique se puede diseñar mediante el método empírico (es decir si se verifica e ≤ h/6). Asumir un espesor conservador para el tabique, digamos 12 in. Excentricidad admisible: e = 12/6 = 2 in. = 0,167 ft

30 - 35

22.6.3 22.6.5

Para la Combinación de cargas 1: e=

2,88 = 0,85 ft. > 0,167 ft 3, 40

Para la Combinación de cargas 3: e=

2,94 = 1,17 ft. > 0,167 ft 2,52

Para la combinación de cargas 4: e=

2,94 = 2, 04 ft. > 0,167 ft 1, 44

Como la excentricidad efectiva es mayor que h/6 el tabique no se puede diseñar usando el método empírico. El tabique se debe diseñar considerando tanto la flexión como la compresión axial.

22.5.3 22.6.3

5. Determinar el espesor de tabique requerido para satisfacer las cargas axiales y los momentos inducidos usando la ecuación de interacción que corresponda. En la siguiente tabla se resumen las cargas axiales y los momentos para las diferentes combinaciones de carga.

Ec. (22-6) Ec. (22-7)

Combinación de cargas

Carga axial, Pu, kips/ft

Momento, Mu, ft-kips/ft

1

3,40

2,88

2

2,96

2,88

3

2,52

2,94

4

1,44

2,94

5

0

2,88

Se puede observar que una combinación correspondiente a carga axial muy baja y momento relativamente elevado será gobernada por la Ecuación (22-7). M u Pu − ≤ 5 φ f c' S Ag

Ec. (22-6)

Reordenando los términos de la ecuación y expresando S y Ag en términos de "h", el espesor requerido se puede determinar resolviendo la siguiente ecuación cuadrática (3): 0, 06 φ f c' h 2 + Pu h − 72M u = 0

(3)

Determinar el espesor de tabique requerido, h, para satisfacer la Combinación de cargas 5 (φ = 0,55; Pu = 0; Mu = 2,88 ft-kips/ft), ya que esta combinación es la que tiene mayor momento y menor carga axial. Como Pu = 0, la ecuación (3) se puede simplificar para obtener la ecuación (4). Utilizamos la ecuación (4) para determinar el valor de "h" requerido, suponiendo que f c' = 4000 psi.

(

h = 72M u / 0, 06 φ f c'

22.5.3

)

1/ 2

(

= ( ( 72 )( 2,88 ) ) / ( 0, 6 )( 0,55 ) 

(

))

1/ 2

4000  

Suponer un tabique de 10 in. con f c' = 4000 psi.

30 - 36

= 9,97 in.

(4)

Verificar estas dimensiones preliminares para todas las combinaciones de cargas, interpolando entre los valores de las Figuras 30-5 y 30-6 para f c' = 3500 y 4500 psi, respectivamente. La siguiente tabla resume las resistencias a la carga axial, Pu, y al momento, Mu, requeridas para las diferentes combinaciones de cargas, e indica la resistencia al momento de diseño aproximada, φMn, determinada a partir de las figuras en base a un tabique de 10 in. de espesor.

1 2

Resistencia al momento de diseño aproximada1, φMn ft-kips/ft

Combinación de cargas

Carga axial, Pu kips/ft

Momento, Mu ft-kips/ft

1

3,40

2,88

Nota 2

–

2

2,96

2,88

(3,1 + 3,5) / 2 = 3,3

1,15

3

2,52

2,94

Nota 2

–

4

1,44

2,94

(2,9 + 3,3) / 2 = 3,1

1,05

5

0

2,88

(2,7 + 3,1) / 2 = 2,9

1,01

φMn/Mu

Valores interpolados de las Figuras 30-5 y 30-6. No es necesario evaluar esta combinación, ya que hay otra combinación que tiene el mismo momento y una carga axial menor. Si los momentos son iguales, la combinación con menor carga axial será determinante.

Como en todos casos la relación entre la resistencia al momento de diseño, φMn, y la resistencia al momento requerida, Mu, es mayor que la unidad, el tabique de 10 in. de espesor es adecuado para las cargas axiales y los momentos inducidos. Tentativamente utilizar un tabique de 10 in. y un hormigón con f c' = 4000 psi y verificar al corte. 6. Verificar la resistencia al corte. La resistencia al corte generalmente no determina el diseño de los tabiques, a pesar de lo cual no se debe obviar esta verificación. El corte será mayor en el borde inferior del tabique. La sección crítica para calcular el corte esteá ubicada a una distancia igual al espesor del tabique, h, por encima del borde superior de la losa de piso.

22.5.4 22.6.4

Para el corte serán determinantes las Combinaciones de cargas 3 y 4, que son iguales. Calcular la reacción en el borde inferior del tabique.

R inf .

(

)

(1, 6 )( 20 )( 3)2 / 2  +  (1, 6 )( 60 )( 7 )2 / 2 ( 3 + ( 2 / 3)( 7 ) )      = = 1818 lb / ft 10

{

2 Vu = 1818 − 1, 6 ( 60 ) ( 7 − 10 /12 )(10 /12 )  + (10 /12 ) / 2   

}

= 1291 lb / ft = 1, 29 kips / ft φVn ≥ Vu φVn =

=

Ec. (22-8)

4 φ f c' b h

Ec. (22-9)

3

4 ( 0,55 )

(

)

4000 (12 )(10 )

3 (1000 )

= 5,57 kips / ft > 1, 29 kips / ft

30 - 37

VERIFICA

7. Usar un tabique de 10 in. con una resistencia a la compresión especificada del hormigón f c' = 4000 psi.

Diseño utilizando los factores de carga y reducción de la resistencia del Apéndice C. C1. El tabique se debe diseñar para las cargas verticales, laterales y de cualquier otro tipo a las cuales pueda estar solicitado. Por lo tanto, determinar las combinaciones de cargas aplicables que se deben considerar.

22.6.2 C.2

1.

U = 0, 75 (1, 4D + 1, 7L ) + 1, 6W + 1, 7H

Ec. (C-2)

2.

U = 0,9D + 1, 6W + 1, 7H

Ec. (C-3)

3.

U = 1, 4D + 1, 7L + 1, 7H

Ec. (C-4)

4.

U = 0,9D + 1, 7H

Ec. (C-3)

5.

U = 1, 7H

Ec. (C-3)

En las Combinaciones 1 y 2 se ha añadido el término 1,7H debido a que el empuje del suelo actuará siempre y por motivos de consistencia con las Ecuaciones (9-2) y (9-3). Por motivos de consistencia con la Ecuación (9-6) y debido a que la carga permanente D no puede actuar durante las etapas tempranas de la construcción, este término se ha omitido. C2. Calcular la carga axial mayorada, Pu, para cada combinación de cargas. 1.

Pu = 0, 75 + (1, 4D + 1, 7L ) = 0, 75 ( (1, 4 )(1, 6 ) + (1, 7 )(1, 2 ) ) = 3, 21 kips / ft

Ec. (C-2)

2.

Pu = 0,9D = 0,9 (1, 6 ) = 1, 44 kips / ft

Ec. (C-3)

3.

Pu = 1, 4D + 1, 7L = 1, 4 (1, 6 ) + 1, 7 (1, 2 ) = 4, 28 kips / ft

Ec. (C-4)

4.

Pu = 0,9D = 0,9 (1, 6 ) = 1, 44 kips / ft

Ec. (C-3)

5.

Pu = 0

Ec. (C-3)

C3. Calcular el momento mayorado, Mu, para cada combinación de cargas usando la Tabla 30-3. 1.

M u = 1, 6W + 1, 7H = 3,12 ft-kips/ft

Ec. (C-2)

2.

M u = 1, 6W + 1, 7H = 3,12 ft-kips/ft

Ec. (C-3)

3.

M u = 1, 7H = 3, 06 ft-kips/ft

Ec. (C-4)

4.

M u = 1, 7H = 3, 06 ft-kips/ft

Ec. (C-3)

5.

M u = 1, 7H = 3, 06 ft-kips/ft

Ec. (C-3)

C4. Una simple observación permite determinar que las excentricidades efectivas son mayores que un sexto del espesor del tabique. Esto significa que no se puede utilizar el procedimiento de diseño empírico.

30 - 38

22.6.5.1

C5. Determinar el espesor de tabique requerido utilizando la ecuación de interacción que corresponda. Como los tabiques poco cargados son gobernados por la Ecuación (22-7), utilizaremos las Figuras 30-4 a 30-6 para diseñar el tabique para cargas axiales y flexión. La siguiente tabla indica la carga axial mayorada y el momento mayorado para cada combinación de cargas, y la correspondiente resistencia al momento de diseño aproximada, φMn, junto con la relación φMn/Mu basada en los valores supuestos para el espesor de tabique y la resistencia del hormigón. Suponer un tabique de 10 in. de espesor y f c' = 3000 psi.

1 2 3

Resistencia al momento de 1 diseño aproximada , φMn ft-kips/ft

Combinación de cargas

Carga axial, Pu kips/ft

Momento, Mu ft-kips/ft

1

3,21

3,12

Nota 2

–

2

1,44

3,12

(2,9 + 3,4) / 2 = 3,15

1,031

3

4,28

3,06

(3,3 + 3,8) / 2 = 3,553

1,16

4

1,44

3,06

Nota 2

–

5

0

3,06

(2,7 + 3,2) / 2 = 2,95

0,96

22.5.3 Ec. (22-6) Ec. (22-7)

φMn/Mu

Valores interpolados de las Figuras C30-4 y C30-5 en base a un tabique de 10 in. de espesor y hormigón de 3000 psi. No es necesario evaluar esta combinación, ya que hay otra combinación que tiene el mismo momento y una carga axial menor. Si los momentos son iguales, la combinación con menor carga axial será determinante. Aunque en realidad no era necesario verificar esta combinación, se la incluyó para ilustrar que, cuando los momentos inducidos son iguales, con la combinación que tiene la mayor carga axial, Pu, se obtiene una mayor resistencia al momento de diseño, φMn.

Como el tabique de3 10 in. de hormigón de 3000 psi satisface los requisitos para todas las combinaciones de cargas excepto aquella en la cual no hay carga permanent presente (Combinación 5), y que aún así en este caso la falta de resistencia es menor que 4%, tentativamente utilizaremos estos parámetros. C6. Verificar la resistencia al corte. Como se indicó en la primera parte de este ejemplo, en la cual se utilizaron los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9, rara vez la resistencia al corte determinará el diseño de un tabique. Como en el diseño anterior se demostró que el tabique está muy sobredimensionado para el corte, no es necesario verificar el corte nuevamente en esta parte del ejemplo. C7. Usar un tabique de 10 in. con una resistencia a la compresión especificada del hormigón f c' = 3000 psi. En este ejemplo se puede ver que utilizando los factores de carga y reducción de la resistencia del Apéndice C se obtuvo un diseño más económico. Para determinar rápidamente cuál de los dos conjuntos de factores de carga y reducción de la resistencia utilizar, comparar la resistencia nominal al momento requerida por las cargas mayoradas de 9.2 con la requerida por las de C.2. Generalmente el conjunto que requiere la menor resistencia nominal es el que permite obtener resultados más económicos. Capítulo 9

M n = M u / φ = 2,88 / 0,55 = 5, 24 ft-kips/ft

Apéndice C

M n = M u / φ = 3, 06 / 0, 65 = 4, 71 kips

Como la resistencia nominal al momento requerida por los factores de carga y reducción de la resistencia del Apéndice C es menor que la correspondiente resistencia requerida por el Capítulo 9, tal como lo demuestra el ejemplo, se obtendrá un diseño más económico diseñando de acuerdo con el Apéndice C. Sin embargo, el procedimiento de diseño será el mismo, independientemente de los factores de carga y resistencia utilizados.

30 - 39

22.5.4 22.6.4

31 Método de diseño alternativo (Diseño por tensiones admisibles)

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El Apéndice A de ACI 318-99, "Método de Diseño Alternativo," fue eliminado del Código 2002. Este método de diseño también se conoce como Diseño por Tensiones de Trabajo o Diseño por Tensiones Admisibles. Aunque este método fue eliminado del código, el artículo R1.1 del Comentario de ACI 318-02 dice: "El Método de Diseño Alternativo del Código 1999 se puede utilizar en reemplazo de las secciones aplicables del Código 2002." Observar que el Comentario no tiene valor legal. Por lo tanto, se advierte a los diseñadores que piensan utilizar el método alternativo en jurisdicciones que han adoptado el Código ACI 318-02 que deben solicitar la autorización de la correspondiente autoridad local.

CONSIDERACIONES GENERALES Antes de la edición 1956 del código, el método de diseño por tensiones de trabajo, muy similar al método de diseño alternativo del Apéndice A, era el único método disponible para diseñar elementos de hormigón armado. El método de diseño por resistencia se introdujo en el código por primera vez en 1956, en forma de un apéndice. En la siguiente edición (1963), el diseño por resistencia se trasladó al cuerpo principal del código como una alternativa al método de diseño por tensiones de trabajo. Debido a la gran aceptación que tuvo el método por resistencia, el código 1971 dedicó apenas una página al método de las tensiones de trabajo. Luego el método de las tensiones de trabajo se trasladó del cuerpo principal del código a un apéndice de la edición 1983. A partir de entonces el método comenzó a llamarse "método de diseño alternativo," y permaneció en un apéndice hasta el código 1999. El método de diseño alternativo presentado en el Apéndice A del código 1999 es un método que intenta lograr seguridad estructural y un comportamiento adecuado de la estructura bajo condiciones de servicio limitando las tensiones bajo cargas de servicio a ciertos valores especificados. Estas "tensiones admisibles" están dentro del rango de comportamiento elástico del hormigón en compresión y del acero en tracción (y compresión). Se asume que el hormigón se fisura y que por lo tanto no proporciona ninguna resistencia a la tracción. Las tensiones en el hormigón se representan mediante una distribución elástica lineal. El acero generalmente se transforma en un área de hormigón equivalente. El método de diseño alternativo es idéntico al "método de diseño por tensiones de trabajo" utilizado hasta 1963 para elementos solicitados a flexión sin carga axial. Los procedimientos para el diseño de elementos solicitados a compresión y flexión, diseño al corte y diseño para adherencia y anclaje de las armaduras siguen los procedimientos del método de diseño por resistencia del cuerpo principal del código, en el cual se aplican diferentes factores para reflejar el diseño bajo cargas de servicio. Los procedimientos del método de diseño alternativo no han sido actualizados tan exhaustivamente como el resto del código.

El reemplazo del método de diseño por tensiones admisibles y el método de diseño alternativo por el método de diseño por resistencia se puede atribuir a diversos factores, entre los cuales se pueden mencionar: •

el tratamiento uniforme de todos los tipos de cargas, lo que significa que todos los factores de carga son iguales a la unidad. No se considera la diferente variabilidad de los diferentes tipos de cargas (cargas permanentes y sobrecargas).

•

Se desconoce el factor de seguridad contra la falla (como se discute a continuación).

•

Los diseños típicamente son más conservadores y, para un mismo conjunto de momentos de diseño, generalmente requieren más armadura o mayores dimensiones que las requeridas por el método de diseño por resistencia.

Se debe observar que en general los problemas de fisuración y flechas excesivas son menos probables en los elementos de hormigón armado que se diseñan en base a las tensiones de trabajo o el método de diseño alternativo que en aquellos que se diseñan usando métodos de resistencia cuando se utiliza armadura Grado 60. Esto se debe al hecho que con el diseño por resistencia y armadura Grado 60 las tensiones bajo cargas de servicio son considerablemente mayores que lo que serían si se utilizara el diseño por tensiones de trabajo. Esto significa que los anchos de las fisuras y la limitación de las flechas son aspectos más críticos en los elementos diseñados utilizando métodos de diseño por resistencia, ya que estos factores están directamente relacionados con las tensiones en la armadura. En la actualidad el método de diseño alternativo prácticamente ha caído en desuso, excepto para algunos tipos de estructuras especiales o por parte de diseñadores no familiarizados con el diseño por resistencia. Las zapatas son los elementos más frecuentemente diseñados usando el método de diseño alternativo. Observar que las estructuras de contención de agua se deben diseñar de acuerdo con ACI 350, Environmental Engineering Concrete Structures.

COMPARACIÓN DEL DISEÑO POR TENSIONES DE TRABAJO CON EL DISEÑO POR RESISTENCIA Para ilustrar cómo varía el factor de seguridad del diseño por tensiones de trabajo respecto del método de diseño por resistencia, analizaremos una sección rectangular y una sección Te con las dimensiones indicadas en las Figuras 31-1 y 31-2, respectivamente. En ambos casos f'c = 4000 psi; fy = 60 ksi y la cantidad de armadura se hizo variar entre la armadura mínima de flexión de acuerdo con 10.5.1 y un máximo de 0,75ρb de acuerdo con el Apéndice B del Código 2002. Las resistencias a flexión se calcularon usando tres procedimientos: 1.

Resistencia nominal a flexión, Mn, usando el diagrama rectangular de tensiones de 10.2.7. Los resultados se grafican en línea llena.

2.

Resistencia nominal a flexión en base a las condiciones de equilibrio y compatibilidad. Este análisis detallado se realizó usando el programa Response 200031.1, adoptando relaciones tensión-deformación representativas para el hormigón y el acero de la armadura. Los resultados se grafican con el símbolo "+".

3.

Análisis por tensiones de trabajo usando relaciones tensión-deformación elástico-lineales para el hormigón y la armadura y las tensiones admisibles bajo cargas de servicio del Apéndice A del código 1999. Los resultados se grafican mediante las líneas discontinuas que representan Ms.

Observaciones: (a) La resistencia a flexión en base al diagrama rectangular de tensiones, Mn, es muy similar a los resultados obtenidos del análisis detallado usando las condiciones de equilibrio y compatibilidad. (b) El factor de seguridad, representado por la relación φMn/Ms es altamente variable. Para la sección rectangular esta relación varía entre 2,3 y 2,8 mientras que para la sección Te varía entre 2,3 y 2,4. Comparando, para el diseño a flexión usando los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9 el factor de seguridad está comprendido entre 1,2/0,9 = 1,33 cuando predomina la carga permanente, y 1,6/0,9 = 1,78 cuando predomina la sobrecarga. Para los factores de carga y reducción de la resistencia del Apéndice C, estas relaciones son iguales a 1,4/0,9 = 1,56 y 1,7/0,9 = 1,89 respectivamente. 31 - 2

Hormigón

Armadura

5

60

4 Tensión (ksi) 3

Tensión (ksi)

2 1 0

0 0

0,001 0,002 Deformación

2500

0,003

0

0,05

0,1

Deformación

M n (Bloque de tensiones) M s (Servicio) M n (Compatibil. deformaciones)

2000

1500

Mn

36"

Momento (ft-kips)

33,5" As

1000 Ms

24"

500

0

f´c = 4000 psi f y = 60 ksi 5

0

10 15 2 Area de armadura, A s (in. )

20

3,00

2,80

2,60

φM n / M s 2,40

2,20

2,00

0

5

10 15 2 Area de armadura, A s (in. )

Figura 31-1 – Sección rectangular

31 - 3

20

1000 M n (Bloque de tensiones) M s (Servicio) M n (Compatibil. deformac.) 800

48"

600

16,5"

Mn

Momento (ft-kips)

5"

19"

12"

400

f´c = 4000 psi f y = 60 ksi

Ms

200

0

As

5 10 Area de armadura, A s (in.2 )

0

15

2,60

2,40

φM n / M s 2,20

2,00

0

5

10

15

Area de armadura, A s (in.2 )

Figura 31-2 – Sección Te Los siguientes párrafos describen algunos requisitos del Apéndice A del código 1999.

CAMPO DE VALIDEZ (A.1 DEL CÓDIGO '99) El código especifica que cualquier elemento de hormigón armado no pretensado se puede diseñar usando el método de diseño alternativo del Apéndice A. Los elementos de hormigón pretensado se diseñan utilizando un enfoque similar descripto en el Capítulo 18 del código. Todos los demás requisitos del código son aplicables a los elementos diseñados usando el método de diseño alternativo, a excepción de los requisitos sobre redistribución de momentos de la sección 8.4. Estos incluyen, por ejemplo, la distribución de la armadura de flexión y la esbeltez de los elementos comprimidos, así como requisitos relacionados con el comportamiento en servicio tales como la limitación de las flechas y la fisuración. 31 - 4

REQUISITOS GENERALES (A.2 DEL CÓDIGO '99) Para este método de diseño los factores de carga correspondientes a todos los tipos de cargas se toman iguales a la unidad. Cuando hay cargas de viento o cargas sísmicas combinadas con otros tipos de cargas, el elemento se debe diseñar para resistir el 75% de la solicitación combinada total. Este enfoque es similar al del método de las tensiones de trabajo original, el cual permitía un exceso de resistencia de un tercio para las combinaciones de cargas que incluían efectos sísmicos o de viento. Cuando la acción de las cargas permanentes reduce los efectos de otras cargas, para calcular los efectos de las cargas se puede utilizar el 85% de la carga permanente.

TENSIONES ADMISIBLES BAJO CARGAS DE SERVICIO (A.3 DEL CÓDIGO '99) Las tensiones en el hormigón bajo cargas de servicio no deben superar los siguientes valores: Flexión

Tensión en la fibra comprimida extrema

0, 45 f c'

Aplastamiento

En el área cargada

0,3 f c'

Esta sección también contiene las tensiones admisibles del hormigón solicitado a corte, las cuales se describen en mayor detalle en A.7. Las tensiones de tracción en la armadura bajo cargas de servicio no deben superar los siguientes valores: Armadura Grado 40 y 50

20.000 psi

Armadura Grado 60 o superior, malla de alambre soldada (de alambres lisos o conformados)

24.000 psi

El artículo A.3.2(c) contiene tensiones de tracción admisibles para cierto caso especial.

FLEXIÓN (A.5 DEL CÓDIGO '99) El diseño a flexión de los elementos se basa en las siguientes hipótesis: • Las deformaciones varían linealmente con la distancia al eje neutro. Para los elementos de gran altura se debe utilizar una distribución no lineal de las deformaciones (ver 10.7). • Bajo condiciones de carga de servicio, la relación tensión-deformación del hormigón comprimido es lineal mientras las tensiones son menores o iguales que la tensión admisible. • En los elementos de hormigón armado el hormigón no resiste tracción. • La relación de módulos, n = Es/Ec, se puede tomar igual al entero más próximo, pero nunca menor que 6. El código contiene requisitos adicionales para el hormigón liviano. • En los elementos con armadura de compresión, para calcular las tensiones se debe utilizar una relación de módulos efectiva igual a 2 Es/Ec para transformar la armadura de compresión. La tensión en la armadura comprimida debe ser menor o igual que la tensión de tracción admisible.

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA FLEXIÓN Las siguientes ecuaciones se utilizan en el método de diseño alternativo para diseñar a flexión un elemento de sección transversal rectangular que solamente contiene armadura de tracción. Estas ecuaciones se basan en la hipótesis indicadas en el párrafo anterior y utilizan la simbología definida en la Figura 31-3. El desarrollo de estas ecuaciones se puede consultar en las

31 - 5

Referencias 33.2 y 33.3 o en otros textos sobre el diseño de hormigón armado. También es posible desarrollar ecuaciones para secciones transversales de otras geometrías, como por ejemplo para elementos con alas o con armadura de compresión.

εc

b

fc

kd/3 C

kd d

jd

As

εs Sección fisurada

T

fs Tensiones elásticas

Deformaciones

Esfuerzos resultantes

Figura 31-3 – Hipótesis del Método de Diseño Alternativo para flexión

k = 2ρn + ( ρn ) − ρn 2

donde ρ=

As bd

n=

Es Ec

k j = 1−   3 fs =

fc =

Ms As jd

2Ms kjbd 2

A.7 CORTE Y TORSIÓN El diseño a corte y torsión de acuerdo con el Apéndice A de ACI 318-99 se basa en los métodos de diseño por resistencia del Capítulo 11 del Código 1999, con coeficientes reducidos que permiten utilizar las ecuaciones para cargas no mayoradas bajo condiciones de carga de servicio. Se presenta un conjunto completo de ecuaciones para el diseño al corte para facilitar el trabajo del usuario y también con el objetivo de explicitar las ecuaciones modificadas. Como las ecuaciones se presentan en el mismo formato que en el Capítulo 11 del código no las discutiremos en esta sección.

31 - 6

REFERENCIAS 33.1

Bentz, Evans C. y Collins, Michael P., "Response 2000 – Reinforced Concrete Sectional Analysis Using the Modified Compression Field Theory." Este documento se puede descargar de http://www.ecf.utoronto.ca/~bentz/r2k.htm.

33.2

MacGregor, J.G., Reinforced Concrete: Mechanics and Design, 2º Ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1997, p. 939.

33.3

Leet, Kennet, Reinforced Concrete Design, McGraw-Hill, New York, 1984, p. 544.

31 - 7

Ejemplo 31.1 – Diseño de una viga rectangular que solamente tiene armadura de tracción Dada la viga de sección rectangular del Ejemplo 10.1, modificar la altura de la viga y/o la armadura requerida de manera de satisfacer las tensiones admisibles del método de diseño alternativo. Los momentos bajo cargas de servicio son: M d = 56 ft-kips y M A = 35 ft-kips. f c' = 4000 psi

f y = 60.000 psi As = 2, 79 in.2 b = 10 in. h = 16 in. d = 13,5 in.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. Para comparar el diseño en base al método de diseño alternativo con el método de los factores de carga del código, verificar las tensiones bajo cargas de servicio en el hormigón y en el acero correspondientes al diseño dado en el Ejemplo 10.1. Ms = M d + M A = ( 56 + 35 )(12 ) = 1092 in.-kips E c = 57.000 f c' = 57.000 4000 = 3.605.000 psi n=

E s 29.000.000 = = 8, 04 Ec 3.605.000

ρ=

As 2, 79 = = 0, 0207 bd (10 × 13,5 )

Usar n = 8

ρn = ( 0, 0207 )( 8 ) = 0,1656

k = 2ρn + ( ρn ) − ρn = 2 ( 0,1656 ) + ( 0,1656 ) − 0,1656 = 0, 433 2

j = 1−

fs =

fc =

2

k 0, 433 = 1− = 0,856 3 3

Ms 1092 = = 33,88 ksi > 24, 0 ksi (valor admisible) As jd ( 2, 79 )( 0,856 )(13,5 ) 

2M s kjbd

2

=

2 (1092 ) ( 0, 433)( 0,856 )(10 )(13,5 )2   

NO VERIFICA

= 3, 23 ksi > 0, 45 ( 4, 00 ) = 1,80 ksi (valor admisible) NO VERIFICA

31 - 8

Nota: Estos cálculos se basan en la hipótesis de comportamiento elástico-lineal de los materiales. Como tanto fc como fs son mayores que las tensiones admisibles, aumentamos la altura de la viga. 2. Verificar las tensiones en el hormigón y la armadura asignando al elemento una mayor altura, pero manteniendo la misma cantidad de armadura. h = 24 in. ρ=

d = 21,5 in.

As 2, 79 = = 0, 0130 bd (10 × 21,5 )

ρn = ( 0, 0130 )( 8 ) = 0,1038

k = 2ρn + ( ρn ) − ρn = 2 ( 0,1038 ) + ( 0,1038 ) − 0,1038 = 0,364 2

j = 1−

2

k 0,364 = 1− = 0,879 3 3

Ms 1092 = = 20, 71 ksi < 24, 0 ksi (valor admisible) As jd ( 2, 79 )( 0,879 )( 21,5 ) 

fs =

2Ms

fc =

kjbd

2

=

2 (1092 ) ( 0,364 )( 0,879 )(10 )( 21,5 )2   

VERIFICA

= 1, 48 ksi < 0, 45 ( 4, 0 ) = 1,80 ksi (valor admisible)

VERIFICA

Nota: Fue necesario aumentar la altura efectiva casi un 60% para poder satisfacer las tensiones admisibles manteniendo la misma cantidad de armadura. 3. Calcular la resistencia al momento de diseño, φMn, del elemento modificado para determinar el factor de seguridad (FS). a=

As f y 0,85bf c'

=

( 2, 79 )( 60 ) = 4,92 in. ( 0,85 )(10 )( 4, 00 ) 

 a   4,92   M n = As f y  d −  = ( 2, 79 )( 60 )  21,5 −    = 3190 in.-kips 2   2   φM n = 0,9 ( 3190 ) = 2870 in.-kips

FS =

φM n 2870 = = 2, 63 Ms 1092

31 - 9

32 Requisitos alternativos para el diseño de elementos de hormigón armado y pretensado solicitados a flexión y a compresión

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El nuevo Apéndice B contiene los requisitos que fueron desplazados cuando los Requisitos de Diseño Unificados, que anteriormente estaban en el Apéndice B, se incorporaron al cuerpo principal del Código 2002. En particular, los requisitos para redistribución de los momentos del Capítulo 8, los métodos de diseño para elementos solicitados a flexión y a compresión del Capítulo 10, y los correspondientes requisitos para los elementos de hormigón pretensado del Capítulo 18 fueron trasladados del cuerpo principal del código de 1999 al Apéndice B del Código de 2002.

B.1

CAMPO DE VALIDEZ

El artículo 8.1.2 permite utilizar el Apéndice B para diseñar elementos de hormigón armado y pretensado solicitados a flexión y compresión. Debido a que se podría pensar que un apéndice no forma oficialmente parte de un documento legal a menos que su adopción se especifique explícitamente, el cuerpo principal del código contiene esta referencia específica que convierte al Apéndice B en una parte legal del código. El Apéndice B contiene requisitos para la redistribución de los momentos, para el diseño de elementos solicitados a flexión y compresión, y para elementos de hormigón pretensado que durante muchos años estuvieron en el cuerpo principal del código. Utilizar estos requisitos es tan válido como utilizar los artículos correspondientes del cuerpo principal. La sección B.1 indica las secciones del Apéndice B que se deben utilizar en reemplazo de las del cuerpo principal del código cuando para diseñar una estructura se utiliza el Apéndice B. Debemos enfatizar que si se decide utilizar una sección del Apéndice B se deben utilizar todas las secciones de este apéndice. Todas los demás requisitos del cuerpo principal también son aplicables. De acuerdo con RB.1, se pueden utilizar tanto los factores de carga y reducción de la resistencia del Capítulo 9 como los del nuevo Apéndice C (ver el Capítulo 33 de esta publicación). Los factores de reducción de la resistencia dados en el Capítulo 9 o en el Apéndice C par secciones controladas por tracción sólo se deben utilizar para elementos solicitados exclusivamente a flexión. De manera similar, los factores de reducción de la resistencia para secciones controladas por compresión se deben utilizar para elementos solicitados a flexión y carga axial en los cuales φPn es mayor o igual que 0,10f'cAg o la carga axial

balanceada φPb, cualquiera sea el valor que resulte menor (ver 9.3.2.2 y C3.2.2). Para los demás casos φ se puede incrementar linealmente hasta 0,90 a medida que φPn disminuye desde 0,10f'cAg o φPn hasta cero (9.3.2.2 y C3.2.2).

B8.4

REDISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS NEGATIVOS EN LOS ELEMENTOS CONTINUOS NO PRETENSADOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

La sección B8.4 permite redistribuir los momentos negativos en los elementos continuos solicitados a flexión cuando los porcentajes de armadura no superan cierto valor especificado. En el Código ACI 318 1963 se permitió por primera vez modificar los momentos negativos como máximo un 10 por ciento (Fig. RB8.4). Las experiencias con el uso de este requisito, aunque satisfactorias, seguían siendo conservadoras. Posteriormente el máximo porcentaje de modificación se incrementó a los valores indicados en la Figura 32-1. El aumento se basaba en el mejor conocimiento del comportamiento bajo cargas últimas y de servicio que se había logrado a través de los ensayos y estudios analíticos realizados. El Apéndice B del Código 2002 mantiene los mismos criterios de modificación. En la Figura 32-2 se ilustra una comparación entre la redistribución permitida de acuerdo con las secciones 8.4 y B8.4 del Código 2002, en función de la deformación en el acero más traccionado, εt.

% de redistribución del momento

20 15 10 5 0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

(ρ – ρ') / ρb Figura 32-1 – Redistribución admisible de los momentos para elementos no pretensados En muchos casos la aplicación de B8.4 permitirá reducir considerablemente la armadura total requerida sin reducir la seguridad, y además reducir la congestión de las armaduras en las regiones de momento negativo. De acuerdo con 8.9, los elementos continuos se deben diseñar para resistir más de una configuración de sobrecargas. Para cada una de las configuraciones se realiza un análisis elástico, y se obtiene una envolvente de los momentos en cada sección. De este modo, para cualquiera de las condiciones de carga consideradas, ciertas secciones en un tramo dado llegarán al momento último, mientras que las demás tendrán capacidad de reserva. Ensayos realizados indican que una estructura puede continuar soportando cargas adicionales si las secciones que han alcanzado sus capacidades de momento continúan rotando como rótulas plásticas y redistribuyen los momentos a otras secciones hasta que se forma un mecanismo de colapso. Reconocer esta capacidad de carga adicional superior a la indicada por el diseño original sugiere la posibilidad de rediseñar para lograr ahorros en los materiales. La sección B8.4 permite rediseñar incrementando o disminuyendo los momentos elásticos negativos para cada una de las condiciones de carga (con la correspondiente modificación de los momentos positivos para continuar satisfaciendo los principios de la estática). Estas modificaciones de los momentos pueden reducir tanto los momentos máximos positivos como los momentos máximos negativos de la envolvente final. Para asegurar una capacidad de rotación adecuada, las cuantías de acero en todas las secciones deben satisfacer los requisitos de B8.4, lo cual se ilustra en la Figura 321.

32 - 2

En ciertos casos el principal beneficio que se obtendrá de la aplicación de B8.4 será simplemente una reducción del momento negativo en los apoyos, con lo cual se evitará la congestión de las armaduras o se reducirán las dimensiones de la sección de hormigón. En este caso, la cuantía de acero aún debe satisfacer la Figura 32-1. 25 20

15

% ∆M

318-99 10 318-02 5

0

0

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

Figura 32-2 – Comparación de la redistribución de los momentos para elementos no pretensados El campo de validez de los requisitos de B8.4 se puede resumir de la siguiente manera: 1.

Los requisitos se aplican a los elementos continuos no pretensados solicitados a flexión. La redistribución de momentos para los elementos pretensados se trata en B18.10.4.

2.

Los requisitos no se aplican a los elementos diseñados usando los momentos aproximados indicados en 8.3.3 ni a los sistemas de losas diseñados por el Método de Diseño Directo (ver 13.6.1.7 y RB8.4).

3.

Los momentos flectores se deben determinar mediante métodos analíticos, tales como distribución de momentos. No se permite redistribuir los momentos determinados en base a métodos aproximados.

4.

Las cuantías de la armadura ρ ó (ρ –ρ') en una sección en la cual se ha de modificar el momento no debe ser mayor que un medio de la cuantía balanceada, ρb, definida por la Ecuación (B8-1).

5.

El máximo porcentaje admisible de aumento o disminución del momento negativo está dado por:  ρ − ρ'  20  1 −  ρb  

6.

La redistribución de los momentos negativos se realiza para cada una de las configuraciones de cargas consideradas. Luego los elementos se dimensionan para los máximos momentos modificados que resultan de todas estas condiciones de cargas.

7.

La modificación de los momentos negativos de los apoyos de cualquier tramo exige modificar también los momentos positivos del mismo tramo (B8.4.2). Para mantener las condiciones de equilibrio, una disminución del momento negativo en el apoyo exige un aumento del momento positivo del tramo.

8.

En todos los nudos se debe mantener el equilibrio estático, tanto antes como después de la redistribución de los momentos.

32 - 3

9.

En el caso que los momentos negativos a ambos lados de un apoyo fijo sean desiguales (es decir, cuando los tramos adyacentes tienen diferentes longitudes), la diferencia entre estos dos momentos se toma hacia el apoyo. Si se modifica alguno de estos dos momentos negativos, la diferencia resultante entre los momentos modificados se toma hacia el apoyo.

10. Se pueden realizar tantos ciclos de redistribución de momentos como se desee, siempre que luego de cada ciclo de redistribución se calcule un nuevo incremento o disminución admisible para el momento negativo en base a las cuantías de acero finales provistas para los momentos de apoyo modificados obtenidos del ciclo anterior. 11. Una vez finalizado el diseño y seleccionadas las armaduras es necesario comparar las cuantías reales dispuestas con el valor de la Figura 32-1 correspondiente al porcentaje de redistribución de momento aplicado, y verificar que se satisfagan los requisitos de B8.4. El Capítulo 9 de las Notas sobre ACI 318-99 contiene ejemplos que ilustran estos requisitos.

B10.3

PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES – ELEMENTOS NO PRETENSADOS

Un elemento alcanza la resistencia a flexión última cuando el valor de la deformación específica en la fibra comprimida extrema llega a la deformación específica última del hormigón, εu (aplastamiento). En ese momento la deformación específica en la armadura traccionada puede ser igual a la deformación específica correspondiente a la primera fluencia (εs = εy = fy/fu), puede ser menor que la deformación específica de fluencia, o puede ser mayor que la deformación específica de fluencia. La condición de deformación que existe en el acero cuando la deformación específica del hormigón llega al valor último depende de la proporción relativa de armadura con respecto al hormigón. Si la cantidad de acero es lo suficientemente baja, la deformación en el acero traccionado superará ampliamente la deformación de fluencia (εs >> εy) cuando la deformación en el hormigón llegue a εu, con lo cual habrá grandes flechas y habrá un aviso de la falla inminente (condición de falla dúctil). Si se coloca una mayor cantidad de acero es posible que la deformación específica en el acero traccionado no llegue a la deformación de fluencia (εs < εy) cuando la deformación en el hormigón llegue a εu, lo cual significaría que las flechas serían pequeñas y habría poco aviso de la falla inminente (condición de falla frágil). Pero siempre es aconsejable anticipar modos de falla dúctiles. La intención de los requisitos de B10.3.3 es asegurar un modo de falla dúctil, limitando la cantidad de armadura de tracción a 75 por ciento de la cuantía balanceada para garantizar que el acero llegue a la fluencia antes que se produzca el aplastamiento del hormigón. Si se utiliza la cuantía balanceada la deformación específica en el acero llegará a la deformación de fluencia en el mismo instante en que el hormigón llegue a la deformación correspondiente al aplastamiento. La máxima cantidad de armadura permitida en una sección rectangular armada solamente con armadura de tracción es:  f' 87.000  ρmax = 0, 75 ρb = 0, 75  0,85 β1 c ×  f y 87.000 + f y  

siendo ρb la cuantía de armadura que produce condiciones balanceadas de deformación para una sección rectangular armada solamente con armadura de tracción. La máxima cantidad de armadura permitida en una sección con alas armada solamente con armadura de tracción es:

b  ρmax = 0, 75  w ( ρb + ρf )  b   donde

b w = ancho del alma

b = ancho de ala efectivo (ver 8.10) ρf = Asf / b w d h f = espesor del ala

32 - 4

La máxima cantidad de armadura requerida en una sección rectangular con armadura de compresión es (B10.3.3): ρmax = 0, 75 ρb + ρ '

donde

fsb' fy

ρ ' = As' / bd As' = área de la armadura comprimida fsb' = tensión en la armadura comprimida para la condición de deformación balanceada

d' 87.000 + f y ≤ f y d d ' = distancia entre la fibra comprimida extrema y el baricentro de la armadura de compresión = 87.000 −

(

)

Observar que cuando hay armadura de compresión la porción de ρb aportada por la armadura de compresión (ρ 'fsb' / f y ) no se

debe reducir aplicando el factor 0,75. Para lograr un comportamiento dúctil en las vigas que tienen armadura de compresión sólo es necesario limitar la porción de la armadura traccionada balanceada por la compresión en el hormigón ( ρb ). Se debe observar que el objetivo del límite establecido para la armadura traccionada de los elementos solicitados a flexión es lograr un comportamiento dúctil. Ensayos realizados han demostrado que las vigas armadas con la cantidad de armadura balanceada calculada se comportan en realidad de forma dúctil, con flechas y fisuración que aumentan gradualmente hasta llegar a la falla. No ocurren fallas bruscas por compresión a menos que la cantidad de armadura colocada sea considerablemente mayor que la cantidad balanceada calculada. Esto se debe en parte al límite para la deformación específica última del hormigón supuesta para el diseño, εu = 0,003. La deformación específica máxima real determinada en base a ensayos físicos puede superar ampliamente este valor. El valor 0,003 sirve de límite inferior. A menos que se requieran ductilidades inusualmente elevadas, para la mayoría de los diseños aplicando la limitación de 0,75ρb se obtendrá un comportamiento dúctil. En el Ejemplo 7.1 se presenta una comparación del método de diseño unificado con los requisitos de B10.3, para el caso de una viga rectangular armada solamente con armadura de tracción. El Ejemplo 7.3 presenta una comparación similar para el caso de una viga rectangular con armadura de compresión.

B18.1

HORMIGÓN PRETENSADO - CAMPO DE VALIDEZ

Esta sección contiene un listado de los requisitos del código que no se aplican a los elementos de hormigón pretensado. El artículo RB18.1.3 contiene un comentario detallado y presenta los motivos específicos por los cuales se excluyeron algunos de estos requisitos.

B18.8

LÍMITES PARA LA ARMADURA EN LOS ELEMENTOS PRETENSADOS SOLICITADOS A FLEXIÓN

En la Figura 32-3 se ilustran los requisitos de B18.8 para el porcentaje de armadura. Observar que se puede agregar armadura para tener un índice de armadura mayor que 0,36β1, pero no se puede asumir que esta armadura adicional contribuye a la resistencia al momento. El artículo B18.8.3 requiere que la cantidad total de armadura pretensada y no pretensada de los elementos solicitados a flexión sea adecuada para desarrollar una resistencia la momento de diseño como mínimo igual a 1,2 veces el momento de fisuración (φMn ≥ φMcr), donde Mcr se calcula aplicando la teoría de la elasticidad usando un módulo de rotura igual a 7,5 f c' (ver 9.5.2.3). Los requisitos de B18.8.3 son análogos a los de 10.5 para elementos no pretensados, y su intención es que sirvan como 32 - 5

una precaución contra las fallas bruscas por flexión provocadas por la rotura de los tendones de pretensado inmediatamente después de la fisuración. El requisito asegura que habrá fisuración antes de llegar a la resistencia a la flexión, y con un margen suficiente como para permitir que se produzcan flechas significativas que advertirán que se está llegando a la capacidad última. En los elementos pretensados típicos el margen entre el momento de fisuración y la resistencia a flexión generalmente es suficientemente grande, pero el diseñador se debe asegurar realizando esta verificación. 0,3 0,251 0,239 0,227

f´c = 4000 f´c = 5000 f´c = 6000

0,2 Rn =

Mn b d p2 fc'

0,1

0

L

0,1

0,2 ωp =

0,3 A psfps

0,4

U 0,5

bdp fc'

Figura 32-3 – Límites admisibles para la armadura pretensada e influencia sobre la resistencia al momento

El momento de fisuración Mcr de un elemento pretensado se determina sumando todos los momentos que provocarán una tensión en la fibra inferior igual al módulo de rotura fr. En el Capítulo 24 de esta publicación se presentan ecuaciones detalladas que permiten calcular Mcr para elementos pretensados. Observar que hay una excepción en B18.3.3 que permite obviar el requisito de 1,2Mcr en el caso de (a) losas en dos direcciones postesadas con tendones no adherentes, y (b) elementos solicitados a flexión en los cuales la resistencia a la flexión mayor o igual que dos veces la requerida por 9.2. El Capítulo 24 de esta publicación contiene más información sobre este tema.

B18.10.4 REDISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS NEGATIVOS EN LOS ELEMENTOS CONTINUOS PRETENSADOS SOLICITADOS A FLEXIÓN El comportamiento inelástico de alguna secciones de las vigas y losas de hormigón pretensado puede provocar una redistribución de los momentos a medida que el elemento se acerca a su resistencia. Bajo ciertas circunstancias reconocer este comportamiento puede representar una ventaja en el diseño. Aunque los métodos de diseño rigurosos para determinar la redistribución de los momentos son complejos, se puede aplicar un método racional permitiendo un ajuste razonable de la sumatoria de los momentos debidos a las cargas gravitatorias mayoradas calculados elásticamente y los momentos secundarios no mayorados debidos al pretensado. El porcentaje de modificación se debe mantener dentro de límites de seguridad predeterminados. De acuerdo con B18.10.4.1, el máximo porcentaje admisible de incremento o disminución del momento negativo en un elemento continuo pretensado solicitado a flexión es: d    ωd + d ( ω − ω ' )  p  20 1 −   0,36 β1    

32 - 6

Observar que solamente se permite redistribuir los momentos negativos cuando en los apoyos se provee armadura adherente de acuerdo con 18.9. La armadura adherente garantiza que luego de la fisuración las vigas y losas con tendones no adherentes actuarán como elementos flexionados, y no como una serie de arcos atirantados. Al igual que en el caso de los elementos no pretensados, cuando se modifican los momentos negativos de los apoyos de un tramo también se deben modificar los momentos positivos del mismo tramo (B18.10.4.2). Para mantener la condición de equilibrio, una disminución del momento negativo de un apoyo exige un correspondiente aumento del momento positivo del tramo. La cantidad de redistribución admisible depende de que las secciones críticas tengan suficiente capacidad de deformación inelástica. Las secciones que tienen elevadas cantidades de armadura no tendrán suficiente capacidad de deformación inelástica. Por lo tanto, sólo está permitido redistribuir los momentos negativos si la sección se diseña de manera que el índice de armadura correspondiente sea menor que 0,24β1 (ver B18.10.4.3). Este requisito concuerda con los requisitos de B8.4 para elementos no pretensados. Observar que cada una de las expresiones de B18.10.4.3 es igual a 0,85a/dp siendo a la altura de la distribución rectangular de tensiones equivalente para la sección considerada (ver 10.2..7.1). En la Figura 32-4 se ilustra una comparación entre el porcentaje de redistribución permitida de acuerdo con las secciones 18.10.4 y B18.10.4 del código 2002, en función de la deformación específica en el acero más traccionado, εt. 25

20 318-02

15

% ∆M 10 318-99 5

0

0

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

Figura 32-4 – Comparación de la redistribución de los momentos para elementos pretensados

32 - 7

33 Factores de carga y factores de reducción de la resistencia alternativos

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El nuevo Apéndice B contiene versiones revisadas de los factores de carga y reducción de la resistencia que estuvieron en el Capítulo 9 durante muchos años. Estos factores fueron revisados para actualizar algunos de los factores y ponerlos a tono con los requisitos de diseño más recientes.

C1

REQUISITOS GENERALES

La sección 9.1.3 permite utilizar las combinaciones de factores de carga y factores de reducción de la resistencia del Apéndice C para el diseño de elementos de hormigón estructural. Debido a que se podría pensar que un apéndice no forma oficialmente parte de un documento legal a menos que su adopción se especifique explícitamente, el cuerpo principal del código contiene esta referencia específica que convierte al Apéndice C en una parte legal del código. Los factores de carga y reducción de la resistencia del nuevo Apéndice C han evolucionado desde principios de la década del 60, momento en el cual el método de diseño por resistencia fue introducido por primera vez en el código. A continuación explicaremos porqué algunos de los factores son diferentes a los del Código 1999. En cualquier caso estos conjuntos de factores aún se consideran confiables para diseñar elementos de hormigón estructural. Es importante destacar que se debe utilizar un conjunto consistente de factores de carga y reducción de la resistencia. No está permitido utilizar los factores de carga del Capítulo 9 conjuntamente con los factores de reducción de la resistencia del Apéndice C.

C2

RESISTENCIA REQUERIDA

En general, Resistencia de diseño ≥ Resistencia Requerida o bien Factor de reducción de la resistencia × Resistencia nominal ≥ Factor de carga × Solicitación de servicio

El capítulo 5 de esta publicación contiene una discusión exhaustiva de la filosofía en la cual se basa el método de diseño por resistencia, incluyendo los motivos por los cuales se requieren los factores de carga y reducción de la resistencia. La sección C2 indica factores de carga específicos para combinaciones de cargas específicas. La Taba 33-1 contiene una lista de estas combinaciones. El valor numérico del factor de carga asignado a cada tipo de carga depende del grado de precisión con el cual habitualmente se puede evaluar dicha carga, la variación que se anticipa para la carga durante la vida útil de la estructura, y la probabilidad de la ocurrencia simultánea de los diferentes tipos de carga. Por este motivo a las cargas permanentes, que en general se pueden determinar con mayor precisión y son menos variables, se les asigna un factor de carga menor (1,4) que a las sobrecargas (1,7). Además, a las cargas debidas al peso y a la presión de líquidos con densidades bien definidas y alturas máximas controladas se les asigna un factor de carga reducido (1,4), ya que para estas cargas la probabilidad de sobrecarga es menor (ver C2.4). Al empuje lateral del suelo y la presión del agua subterránea se les asigna un factor de carga más elevado (1,7) porque su magnitud y ocurrencia son altamente impredecibles. Observar que, aunque se incluyen las combinaciones de cargas más habituales, no se debe asumir que estas son las únicas posibles. Tabla 33-1 – Resistencia requerida para diferentes combinaciones de cargas Cargas†

Sección del Código

Resistencia requerida

C.2.1

Carga permanente (D) y sobrecarga (L)

C.2.2

Carga permanente, Sobrecarga y Viento †† (W)

(i) U = 1,4D + 1,7L (ii) U = 0,75 (1,4D + 1,7L + 1,6W) (iii) U = 0,9D + 1,6W

C-1 C-2 C-3

C.2.2

Carga permanente, Sobrecarga y Sismo (E)

(i) U = 1,4D + 1,7L (ii) U = 0,75 (1,4D + 1,7L + 1,0E) (iii) U = 0,9D + 1,0E

C-1 C-2 C-3

C.2.3

Carga permanente, Sobrecarga y Empuje lateral del suelo (H)*

(i) U = 1,4D + 1,7L (ii) U = 1,4D + 1,7L + 1,7H (iii) U = 0,9D + 1,7H cuando D o L reduce H

C-1 C-4

C.2.4

Carga permanente, Sobrecarga y Presión de (i) U = 1,4D + 1,7L fluidos (F)** (ii) U = 1,4D + 1,7L + 1,4F (iii) U = 0,9D + 1,4F cuando D o L reduce F

C-1

C.2.5

Impacto (I)***

††

U = 1,4D + 1,7L

Ec. No. C-1

Si es necesario considerar cargas de impacto, en todas las ecuaciones anteriores reemplazar L por (L+I).

C.2.6

Carga permanente, Sobrecarga y Efectos (i) U = 1,4D + 1,7L C-1 del asentamiento diferencial, fluencia lenta, (ii) U = 0,75 (1,4D + 1,4T + 1,7L) C-5 contracción, expansión del hormigón (iii) U = 1,4 (D + T) C-6 compensador de la contracción o temperatura (T) † D, L, W, E, H, F y T representan las cargas de servicio o sus solicitaciones, es decir momentos, esfuerzos de corte, esfuerzos axiales, torsión, etc. Nota: E es un esfuerzo sísmico de nivel de servicio. †† Si la carga de viento W no se reduce aplicando un factor de direccionalidad, está permitido utilizar 1,3W en vez de 1,6W en las Ecuaciones (C-2) y (C-3). Si la carga sísmica E se basa en esfuerzos sísmicos de nivel de servicio, en las Ecuaciones (C-2) y (C-3) se debe utilizar 1,4E en vez de 1,0E. * Empuje lateral del suelo y del agua presente en el suelo. (La presión del agua subterránea se debe considerar como parte del empuje lateral del suelo con un factor de carga de 1,7.) ** Peso y presión debida a los fluidos de líquidos con densidades bien definidas y alturas máximas controladas. *** Se requiere considerar el impacto para el diseño de estructuras para estacionamiento de vehículos, muelles de carga, pisos de estructuras de almacenamiento, tubos de ascensores, etc.

33 - 2

Los factores de carga para las cargas sísmicas y de viento son diferentes de los del Capítulo 9 del Código 1999. Como las ecuaciones correspondientes a carga de viento de ASCE 7-98 y del IBC 2000 incluyen un factor de direccionalidad del viento (0,85 para los edificios), en las combinaciones de carga que incluyen la acción del viento se incrementó el factor de carga correspondiente (1,3/0,85 = 1,53; este valor se redondeó a 1,6). El código permite utilizar el factor de carga para viento anterior (1,3) si la carga de viento de diseño se calcula sin incluir el factor de direccionalidad del viento. Los códigos modelo más recientes y el IBC 2000 especifican esfuerzos sísmicos de nivel de resistencia; por lo tanto, el factor de carga para esfuerzos sísmicos se redujo a 1,0. El código exige utilizar el factor de carga anterior (1,4) si se utilizan esfuerzos sísmicos de nivel de servicio tomados de ediciones anteriores de los códigos modelos o de otros documentos.

C3

RESISTENCIA DE DISEÑO

Como se dijo anteriormente, la resistencia de diseño de un elemento es la resistencia nominal del elemento, determinada de acuerdo con los requisitos del código, multiplicada por el factor de reducción de la resistencia, φ, adecuado. En el Capítulo 5 de esta publicación y en RC.3 se explica porqué se utilizan los factores de reducción de la resistencia. La Tabla 33-2 presenta los factores φ indicados en C3, los cuales son diferentes a los del Capítulo 9 del Código 1999. Antes del Código 2002 los factores φ se daban en términos del tipo de solicitación, para elementos solicitados a carga axial, flexión, o combinaciones de carga axial y flexión. Ahora, para estos casos, el factor φ se determina en base a las condiciones de deformación en una sección transversal a la resistencia nominal. La Figura RC3.2 ilustra la variación de φ en función de la deformación específica neta de tracción, εt, tanto para armadura de acero Grado 60 como para acero de pretensado. Los Requisitos de Diseño Unificados se describen detalladamente en los Capítulos 5 y 6 de esta publicación. Como se mencionó anteriormente, los factores φ dados en C3 son consistentes con los factores de carga dados en C2. Tabla 33-2 – Factores de reducción de la resistencia φ para el Método de Diseño por Resistencia Secciones controladas por tracción

0,90

Secciones controladas por compresión Elementos con armadura en espiral (zunchos) de acuerdo con 10.9.3 Elementos con otros tipos de armadura

0,75 0,70

Corte y torsión

0,85

Aplastamiento del hormigón (excepto las zonas de anclaje postesadas y los modelos de bielas y tirantes)

0,70

Zonas de anclaje postesadas

0,85

Modelos de bielas y tirantes (Apéndice A)

0,85

33 - 3

34 Anclaje en Hormigón

ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El Apéndice D, Anclaje en Hormigón, aparece por primera vez en el Código ACI 318-02. Este apéndice contiene requisitos para el diseño de anclajes en hormigón, tanto para anclajes hormigonados in situ como para anclajes incorporados posteriormente en un elemento de hormigón endurecido.

INTRODUCCIÓN A continuación presentamos un breve resumen del proceso desarrollo y publicación del Apéndice D de ACI 318-02. Hasta fines de la década del 90 tanto el Código ACI 318 como las Especificaciones para el diseño por factores de carga y resistencia y por tensiones admisibles del AISC (American Institute of Steel Construction) se mantuvieron en silencio con respecto al diseño de los anclajes en hormigón. El Apéndice B de ACI 349-85 (Referencia 34.1) y el Manual de Diseño PCI (Referencia 34.2) constituían las principales fuentes de información para el diseño de los anclajes hormigonados in situ. El diseño de los anclajes incorporados al hormigón endurecido tradicionalmente se ha basado en la información proporcionada por los diferentes fabricantes de anclajes. Durante estos últimos años el Comité ACI 318 tomó la delantera en el desarrollo de requisitos codificados para el diseño de anclajes mecánicos tanto hormigonados in situ como incorporados al hormigón endurecido. El Comité 318 contó con la colaboración del Comité ACI 355, Anclaje en Hormigón, y del Comité ACI 349, Estructuras Nucleares de Hormigón. Simultáneamente con los esfuerzos del Comité ACI 318 por desarrollar requisitos de diseño, el Comité ACI 355 se involucró en el desarrollo de un método de ensayo para evaluar el comportamiento de los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido. Durante el ciclo de trabajo que culminó con la publicación de ACI 318-99, el Comité ACI 318 aprobó un Apéndice D que fue propuesto para tratar el diseño de los anclajes mecánicos hormigonados in situ o incorporados al hormigón endurecido. La adopción final del apéndice propuesto dependía de la aprobación por parte del Comité ACI 355 de un método de ensayo que sirviera para evaluar el comportamiento de los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido, aprobación que exigía el procedimiento de consenso por el cual se rige la ACI. Como el Comité ACI 355 no pudo completar el método de ensayo para evaluar los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido en los plazos que exigía la publicación del Código ACI 318-99, se intentó procesar un Apéndice D de alcance reducido, limitado exclusivamente a los anclajes hormigonados in situ (es decir, excluyendo los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido). Sin embargo, el tiempo disponible no alcanzó para satisfacer las fechas límites establecidas por el ICC (International Code Council) para presentar la norma ACI 318-99 ya publicada a fin de ser incluida en

el IBC 2000 (Referencia 34.3). En consecuencia, los requisitos para los anclajes en hormigón que inicialmente iban a constituir el Apéndice D de ACI 318-99 (excluyendo los requisitos para anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido) fueron presentados y aprobados para ser incorporados en el Artículo 1913 del IBC 2000. Ahora que ya se han publicado el Apéndice D de ACI 318-02, Anclaje en Hormigón, el cual contiene requisitos de diseño para anclajes mecánicos tanto hormigonados in situ como incorporados al hormigón endurecido, y la norma ACI 355.2, Evaluación del Comportamiento de los Anclajes Mecánicos Incorporados al Hormigón Endurecido (Referencia 34.4), se anticipa que el Artículo 1913 del IBC será reemplazado por una referencia al Apéndice D de ACI 318-02. Se debe observar que el Apéndice D de ACI 318-02 no contempla los anclajes con adhesivos ni los anclajes inyectados con mortero. En base a los resultados de las investigaciones realizadas durante la década del 90, se anticipa que el Código ACI 31805 incorporará requisitos para anclajes adhesivos e inyectados con mortero.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS MÉTODOS DE DISEÑO El método del cono de desprendimiento a 45 grados usado en el Apéndice B de ACI 349 (Referencia 34.1) y el Manual de Diseño PCI (Referencia 34.2) fue desarrollado a mediados de la década del 70. En la década del 80, en la Universidad de Stuttgart se realizaron numerosos ensayos sobre diferentes tipos de anclajes, usando diferentes longitudes de empotramiento, distancias a los bordes y efectos de grupo, tanto en hormigón no fisurado como en hormigón fisurado. Los resultados de los ensayos realizados en Stuttgart permitieron desarrollar el método Kappa (K) que fue introducido en ACI 349 y ACI 355 a partir de finales de la década del 80. A principios de los años 90, en la Universidad de Texas, Austin, se mejoró el método K intentando simplificar su aplicación. El resultado de este esfuerzo fue el Método de Diseño del Hormigón por Capacidad (Método CCD, según sus siglas en Inglés). Durante este mismo período se armó una base de datos internacional. A mediados de la década del 90 la mayor parte del trabajo de los Comités ACI 349 y 355 se centró en evaluar el método CCD y el método del cono de 45 grados en base los resultados obtenidos de la base de datos internacional. Los Comités ACI 318, 349 y 355 procedieron a implementar el método CCD. Los requisitos de diseño del Apéndice D de ACI 318-02 y el Apéndice B de ACI 349-01 (Referencia 34.5) se basan en el método CCD. A continuación se discuten las diferencias entre el método CCD y el método del cono de desprendimiento de 45 grados.

CONSIDERACIONES GENERALES El diseño de los anclajes en hormigón se debe ocupar tanto de la resistencia del acero de los anclajes como de aquella asociada con la porción de los anclajes que está empotrada. La menor de estas dos resistencias será la que determine el diseño. La resistencia del acero de un anclaje depende de las propiedades del acero y del tamaño del anclaje. La resistencia de la porción empotrada del anclaje depende de su longitud de empotramiento, de la resistencia del hormigón, de la proximidad de otros anclajes, de la distancia a los bordes libres, y de las características del extremo empotrado del anclaje (anclaje con cabeza, con gancho, de expansión, rebajado, etc.). La principal diferencia entre los requisitos del Apéndice D de ACI 318-02 y los requisitos del método del cono de desprendimiento de 45 grados radica en el cálculo de la resistencia al desprendimiento del hormigón (es decir, la falla del hormigón en forma de cono). En el método del cono de 45 grados el cálculo de la resistencia al desprendimiento del hormigón se basa en un modelo de falla del hormigón en forma de un cono de desprendimiento de 45 grados, con lo cual se obtiene una ecuación en función del cuadrado de la longitud de empotramiento (hef2). Los requisitos del Apéndice D de ACI 318-02 consideran la mecánica de la fractura, con lo cual para la resistencia al desprendimiento del hormigón se obtiene una ecuación en función de la longitud de empotramiento elevada a la potencia 1,5 (hef1,5). Aunque el modelo de falla en forma de cono de 45 grados permite obtener resultados conservadores para los anclajes en los cuales hef ≤ 6 in., se ha demostrado que los requisitos del Apéndice D de ACI 318-02 permiten predecir con mayor precisión las longitudes de empotramiento tanto para los anclajes individuales como para los anclajes afectados por los efectos de borde y de grupo. Además de permitir una mejor predicción de la resistencia al desprendimiento del hormigón, los requisitos del Apéndice D de ACI 318-02 simplifican el cálculo de los efectos de un grupo de anclajes y los efectos de la proximidad a los bordes, ya que utilizan un área rectangular con sus lados ubicados a una distancia de 1,5hef del anclaje, y no las áreas circulares típicamente empleadas en el método del cono a 45 grados.

34 - 2

DISCUSIÓN DE LOS REQUISITOS DE DISEÑO A continuación presentamos una discusión sección por sección de los requisitos del Apéndice D de ACI 318-02. Los números asignados a las secciones, ecuaciones y figuras tanto en la discusión como en los ejemplos siguientes se refieren a los utilizados en el Apéndice D de ACI 318-02.

D.0 D.1

SIMBOLOGÍA Y DEFINICIONES

En general la simbología y las definiciones no requieren explicaciones adicionales, y además las figuras del Apéndice D permiten una mejor comprensión de las mismas. Las siguientes tablas se incluyen para ayudarle al diseñador a determinar el valor de muchas de las variables. Tabla 34-1 – Propiedades de los materiales usados para los anclajes hormigonados in situ Norma aplicable al material1 2

Resistencia a la Resistencia a Grado Diámetro tracción, para el la tracción, o tipo (in.) diseño, fut (ksi) mín. (ksi)

Tensión de fluencia, mín.

Alargamiento, mín

ksi

método

%

longitud

Reducción del área, mín. (%)

AWS D1.1

B

1/2 - 1

60

60

50

0,2 %

20

2 in.

50

ASTM A 3073

A C

≤4 ≤4

60 58

60 58-80

– 36

– –

18 23

2 in. 2 in.

– –

ASTM 4 A 354

BC BD

≤4 ≤4

125 125

125 150

109 130

0,2 % 0,2 %

16 14

2 in. 2 in.

50 40

ASTM A 4495

1

≤1 1 – 1-1/2 > 1-1/2

120 105 90

120 105 90

92 81 58

0,2 % 0,2 % 0,2 %

14 14 14

4D 4D 4D

35 35 35

ASTM F 15546

36 55 105

≤2 ≤2 ≤2

58 75 125

58-80 75-95 125-150

36 55 105

0,2 % 0,2 % 0,2 %

23 21 15

2 in. 2 in. 2 in.

40 30 45

Notas: 1. Los materiales listados son los que habitualmente se utilizan para los anclajes en hormigón. Aunque se pueden utilizar otros materiales (por ejemplo, acero ASTM A 193 para aplicaciones de alta temperatura, acero ASTM A 320 para aplicaciones de baja temperatura), para las aplicaciones normales se prefieren los materiales listados. Los materiales para bulones de acero estructural, tales como los aceros ASTM A 325 y ASTM A 490, normalmente no se consiguen en las longitudes que se requieren en las aplicaciones para anclaje en hormigón. 2. AWS D1.1-00 Structural Welding Code - Steel. Esta especificación abarca los pernos con cabeza soldados o los pernos con gancho soldados (sin rosca). Ninguna de las otras especificaciones listadas abarca los pernos soldados. 3. ASTM A 307-00 Standard Specification for Carbon Steel Bolts and Studs, 60.000 psi Tensile Strength. Este es un material habitualmente utilizado para los anclajes en hormigón. El Grado A corresponde a los bulones y pernos con cabeza. El Grado C corresponde a los bulones (pernos) sin cabeza, ya sea rectos o doblados, y equivale al acero ASTM A 36. Observar que aunque no hay un requisito sobre la reducción del área, se puede considerar que el acero ASTM A 307 es un elemento de acero dúctil. La definición de "Elemento de acero dúctil" de la sección D.1. del código dice: "Los elementos de acero que satisface los requisitos de ASTM A 307 se deben considerar dúctiles." 4. ASTM A 354-01 Standard Specification for Quenched and Tempered Alloy Steel Bolts, Studs, and Other Externally Threaded Fasteners. La resistencia del Grado BD equivale a la del ASTM A 490. 5. ASTM A 449-00 Standard Specification for Quenched and Tempered Steel Bolts and Studs. ASTM A 325 hace referencia a esta especificación para los bulones de anclaje "equivalentes." 6. ASTM F 1554-99 Standard Specification for Anchor Bolts. Esta especificación abarca los bulones de anclaje rectos y doblados, con y sin cabeza, de tres grados diferentes de resistencia. Se pueden conseguir anclajes con diámetros menores que 4 in., pero los requisitos sobre reducción del área varían para los anclajes de menos de 2 in.

34 - 3

Tabla 34-1: Esta tabla contiene información sobre los materiales que típicamente se especifican para las aplicaciones en las cuales se utilizan anclajes hormigonados in situ. La tabla presenta valores correspondientes a la resistencia a la tracción especificada, fut, y a la tensión de fluencia especificada, fy, además de los requisitos de alargamiento y reducción del área necesarios para determinar si un material se debe considerar como un elemento de acero frágil o como un elemento de acero dúctil. Como se puede observar en la Tabla 34-1, todos los materiales que habitualmente se usan para los anclajes satisfacen los requisitos correspondientes a elementos dúctiles indicados en D.1. Si se han de utilizar anclajes hormigonados in situ de materiales que no están incluidos en la Tabla 34-1, el diseñador deberá consultar las especificaciones correspondientes al material en cuestión para verificar que el material esté comprendido dentro de la definición de elemento de acero dúctil. Es posible que algunos materiales de alta resistencia no satisfagan estos requisitos, y que por lo tanto deban ser considerados como elementos de acero frágil. Tabla 34-2: Esta tabla contiene información sobre el área de la sección transversal efectiva, Ase, y el área de apoyo, Abrg, para anclajes roscados hormigonados in situ de hasta 2 in. de diámetro. Tabla 34-2 – Propiedades dimensionales de los anclajes roscados hormigonados in situ Superficie de apoyo de las cabezas y tuercas (Abrg) (in.2)

Diámetro del anclaje (do) (in.)

Área bruta del anclaje (in.2)

Área efectiva del anclaje (Ase) (in.2)

Cuadrada

Cuadrada pesada

Hexagonal

Hexagonal pesada

0,250

0,049

0,032

0,142

0,201

0,117

0,167

0,375

0,110

0,078

0,280

0,362

0,164

0,299

0,500

0,196

0,142

0,464

0,569

0,291

0,467

0,625

0,307

0,226

0,693

0,822

0,454

0,671

0,750

0,442

0,334

0,824

1,121

0,654

0,911

0,875

0,601

0,462

1,121

1,465

0,891

1,188

1,000

0,785

0,606

1,465

1,855

1,163

1,501

1,125

0,994

0,763

1,854

2,291

1,472

1,851

1,250

1,227

0,969

2,228

2,773

1,817

2,237

1,375

1,485

1,160

2,769

3,300

2,199

2,659

1,500

1,767

1,410

3,295

3,873

2,617

3,118

1,750

2,405

1,900

--

--

--

4,144

2,000

3,142

2,500

--

--

--

5,316

Tabla 34-3: Esta tabla muestra datos correspondientes a un ejemplo ficticio de anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido que han sido ensayados de acuerdo con ACI 355.2. Los fabricantes que ensayan sus productos de acuerdo con ACI 355.2 pueden entregar tipo de informe. La tabla contiene los valores de todos los parámetros necesarios para diseñar un determinado anclaje mecánico incorporado al hormigón endurecido. El diseño de los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido se debe basar en este tipo de informe, a menos que los valores supuestos en el diseño estén especificados en la documentación técnica del proyecto (por ejemplo, la resistencia al arrancamiento por tracción, Np). A modo de comentario adicional sobre el percentil cinco especificado en la sección D.1 – Definiciones, el percentil cinco se utiliza para determinar la resistencia nominal del anclaje que depende del empotramiento. Representa un valor tal que si se ensayan 100 anclajes, existe una confianza del 90% de que 95 anclajes tendrán resistencias mayores que el valor correspondiente al percentil cinco. El uso del percentil cinco es análogo al uso de f'c para calcular la resistencia del hormigón y al uso de fy para calcular la resistencia del acero en otras partes del Código. Por ejemplo, la sección 5.3 de ACI 318 requiere que la resistencia a la compresión promedio requerida del hormigón sea estadísticamente mayor que el valor especificado usado en los cálculos de diseño. En el caso del acero fy representa la tensión de fluencia especificada del material. Debido a que las especificaciones ASTM dan la tensión de fluencia mínima especificada, el valor de fy usado para el diseño es en realidad el 34 - 4

valor correspondiente al percentil cero (es decir, el diseñador se asegura que el acero utilizado tendrá un valor de fluencia mayor que el valor mínimo especificado). Todos los cálculos de la resistencia que depende del empotramiento indicados en el Apéndice D se basan en una resistencia nominal calculada usando valores correspondientes al percentil 5 (es decir, los valores de k usados para calcular la resistencia básica al desprendimiento del hormigón se basan en el percentil 5). Tabla 34-3 – Ejemplo de una planilla correspondiente a un informe de los ensayos realizados de acuerdo con ACI 355.2 para anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido Datos correspondientes a un anclaje rebajado -- Ejemplo Diámetro Símbolo

Unidades

Diam. 3/8 in.

Diam. 1/2 in.

Diam. 5/8 in.

Diam. 3/4 in.

Profundidad efectiva de empotramiento

hef

in.

4

5

7-1/2

9-7/8

Diámetro exterior

do

in.

0,748

0,827

1,142

1,420

Área efectiva de la sección transversal del anclaje tracción

Ase

in.2

0,090

0,131

0,243

0,380

Capacidad de corte del acero - valor promedio

Vs

lb

21.640

29.140

49.700

70.400

Tensión de fluencia mínima especificada del anclaje

fy

lb/in.2

92.800

92.800

92.800

92.800

Resistencia a la tracción especificada del anclaje

fut

lb/in.2

116.000

116.000

116.000

116.000

0,304

0,346

0,690

1,047

123.300

123.300

101.500

79.800

Parámetro

Área de la sección transversal de la camisa del anclaje

Asl

in.

2 2

Resistencia a la tracción de la camisa del anclaje

futsi

lb/in.

Separación mínima

smin

in.

4

5

7,5

9-7/8

Torque de instalación

Tmin

ft-lb

37

59

88

221

Distancia crítica a un borde - tracción

ccr

in.

6

7,5

11-1/4

14-3/4

Distancia mínima a un borde - tracción

cmin

in.

3,2

4

6

7-7/8

Espesor mínimo del elemento en el cual se incorpora un anclaje

hmin

in.

5-1/2

6-5/8

9-7/8

15

Categoría del anclaje

--

--

1

1

1

1

Factor de efectividad

k

--

24

24

24

24

Resistencia al arrancamiento - obtenida de ensayos valor característico calculado

Np

lb

9100

12.730

23.390

35.530

Resistencia sísmica obtenida de ensayos - tracción

Neq

lb

5280

7977

14.310

22.872

Resistencia sísmica obtenida de ensayos - corte

Veq

lb

10.820

14.570

24.850

35.200

D.2

CAMPO DE VALIDEZ

Estos requisitos se aplican a los anclajes mecánicos hormigonados in situ e incorporados en hormigón endurecido (como los ilustrados en la Figura RD.0) que se utilizan para transmitir cargas estructurales entre diferentes elementos estructurales o entre los dispositivos relacionados con la seguridad y los elementos estructurales. El campo de validez incluye los pernos con cabeza, los bulones con cabeza y las barras con gancho (barras en J o en L) hormigonados in situ, y los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido que han satisfecho los requisitos de evaluación establecidos en ACI 355.4.4 Actualmente el campo de validez del Apéndice D excluye otros tipos de anclajes hormigonados in situ (por ejemplo los insertos especializados) y otros tipos de anclajes incorporados al hormigón endurecido (por ejemplo los anclajes adhesivos, los anclajes rellenados con mortero y los clavos o bulones neumáticos); también excluye los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido que no satisfacen los requisitos de evaluación de ACI 355.2.4 Como se observa en D.2.4, estos requisitos de diseño no se aplican a los anclajes solicitados por elevadas cargas cíclicas de fatiga o por cargas de impacto.

34 - 5

D.3

REQUISITOS GENERALES

Los métodos de análisis especificados en D.3 para determinar las cargas que actúan sobre cada anclaje individual en las aplicaciones con múltiples anclajes dependen del tipo de carga, de la rigidez de la placa de fijación y de la profundidad de empotramiento de los anclajes. En las conexiones con múltiples anclajes cargadas de forma concéntrica solicitadas a tracción pura, la carga de tracción aplicada se puede suponer uniformemente distribuida entre los anclajes, siempre que la placa de fijación ha sido diseñada de manera que no llegue a la fluencia. En las conexiones con múltiples anclajes solicitadas a momentos o tracciones excéntricas, la distribución de las cargas entre los anclajes individuales se debe determinar utilizando la teoría de la elasticidad, a menos que los cálculos indiquen que en el empotramiento de los anclajes existe ductilidad suficiente para permitir la redistribución de la carga entre los anclajes individuales. Si se provee ductilidad suficiente se puede utilizar un enfoque de diseño basado en la teoría de la plasticidad. El enfoque de diseño plástico requiere que los anclajes sean de acero dúctil y que tengan una profundidad de empotramiento suficiente, de modo que no se produzca una falla del hormigón antes de la falla dúctil del acero. El enfoque de diseño plástico asume que la carga de tracción (ya sea debida a una carga de tracción excéntrica o a un momento) se distribuye uniformemente entre los anclajes traccionados. Para las conexiones solicitadas a momento, el enfoque de diseño plástico es análogo al caso de múltiples capas de armadura de flexión en una viga de hormigón armado. Si las múltiples capas de acero están ancladas adecuadamente y están ubicadas a una distancia suficiente del eje neutro del elemento, se puede considerar que estas capas han llegado a la fluencia. Tanto para el análisis elástico como para el análisis plástico de las conexiones con múltiples anclajes solicitadas a momento, no es posible determinar con exactitud la ubicación de la resultante de compresión usando los métodos de análisis tradicionales para vigas de hormigón. Esto es válido tanto para el método de las áreas transformadas como para el método del diagrama de tensiones de ACI 318 ya que no se verifica la hipótesis de las secciones planas (es decir las secciones planas no permanecen planas). Para los fines del diseño, la resultante de compresión del momento aplicado se puede suponer ubicada a una distancia igual al espesor de la placa de fijación a partir del componente comprimido del elemento fijado, a menos que se coloquen rigidizadores en la placa de fijación. Cuando se colocan rigidizadores en la placa de fijación se puede asumir que la resultante de compresión está ubicada en el borde de la placa de fijación. Los artículos D.3.3.1 a D.3.3.5 contienen requisitos especiales para el diseño de anclajes solicitados a cargas sísmicas. El Apéndice D no se debe utilizar para diseñar anclajes ubicados en zonas de formación de rótulas plásticas en las cuales se anticipa que los movimientos sísmicos provocarán elevados niveles de fisuración y descascaramiento. Los requisitos de diseño del Apéndice D y los criterios para la evaluación de los anclajes de ACI 355.2 se basan en las fisuras típicas que se producen en el hormigón bajo condiciones normales (los ensayos en hormigón fisurado y los ensayos de simulación sísmica de ACI 355.2 se basan en el comportamiento de los anclajes con fisuras de 0,012 in. a 0,020 in.). En las regiones de peligrosidad sísmica moderada o elevada, o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio o elevado, todos los valores para φNn y φVn se deben reducir aplicando un factor adicional igual a 0,75. Además, la resistencia de la conexión debe ser controlada por la resistencia de los elementos de acero dúctil y no por la resistencia del empotramiento ni por la resistencia de los elementos de acero frágil, a menos que la conexión estructural haya sido diseñada para llegar a la fluencia con una carga menor o igual que la resistencia de diseño de los anclajes, reducida por el factor 0,75. El artículo RD.3.3 discute estos requisitos de forma detallada.

D.4

REQUISITOS GENERALES PARA LA RESISTENCIA DE LOS ANCLAJES

Esta sección presenta una discusión general sobre los modos de falla que se deben considerar para el diseño de los anclajes en hormigón. Esta sección también contiene factores de reducción de la resistencia, φ, para cada modo de falla. Los modos de falla que se deben considerar incluyen aquellos relacionados con la resistencia del acero y aquellos relacionados con la resistencia del empotramiento. Los modos de falla relacionados con la resistencia del acero sin simplemente la falla por tracción [Figura RD.4.1(a)(i)] y la falla por corte [Figura RD.4.1(b)(i)] del acero del anclaje. La resistencia del acero del anclaje es relativamente fácil de calcular pero rara vez controla el diseño de una conexión, a menos que haya un requisito específico que indique que el diseño debe ser controlado por la resistencia de los elementos de acero dúctil. 34 - 6

En la Figura RD.4.1 del Apéndice D se ilustran los modos de falla que se deben considerar además de los relacionados con la resistencia del acero. Estos modos de falla incluyen: •

Desprendimiento del hormigón de un anclaje - Falla de un cono de hormigón que comienza en el extremo empotrado de un anclaje solicitado a tracción [Figura RD.4.1(a)(iii)], o en el punto donde un anclaje solicitado a corte ubicado cerca de un borde ingresa al hormigón [Figura RD.4.1(b)(iii)].

•

Arrancamiento de un anclaje por tracción - Arrancamiento de un anclaje como el que se podría producir en el caso de un anclaje con cabeza pequeña [Figura RD.4.1(a)(ii).

•

Descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de un anclaje traccionado - Descascaramiento que se produce en la cabeza empotrada de un anclaje ubicado cerca de un borde libre [Figura RD.4.1(a)(iv)]

•

Arrancamiento del hormigón de un anclaje por corte - Modo de falla por corte que se produce cuando un anclaje corto arranca una cuña de hormigón de la parte posterior del anclaje [Figura RD.4.1(b)(ii)]

•

Hendimiento - Modo de falla por tracción que se relaciona con los anclajes colocados en elementos de hormigón de relativamente poco espesor [Figura RD.4.1(a)(v)]

Como se observa en D.4.2, la sección "Requisitos Generales" también permite utilizar cualquier modelo de diseño que permita predecir resistencias que concuerden sustancialmente con los resultados de ensayos. Si considera que el método del cono de 45 grados o cualquier otro método satisface este requisito, el diseñador podrá usar dicho método. Caso contrario se deben utilizar los requisitos de diseño indicados en las demás secciones del Apéndice D, siempre que el diámetro de los anclajes sea menor o igual que 2 in. y que la longitud de empotramiento sea menor o igual que 25 in. Estas restricciones representan el límite superior de la base de datos en base a la cual se desarrollaron los requisitos de diseño del Apéndice D. En cuanto a la selección de los factores φ adecuados para estos modos de falla, la presencia de armadura suplementaria diseñada para "fijar" el prisma de falla al elemento estructural determina si se debe aplicar el factor φ correspondiente a la Condición A o el factor φ correspondiente a la Condición B. Para el caso de los anclajes hormigonados in situ solicitados a corte dirigido hacia un extremo libre, la armadura suplementaria requerida para la Condición A se podría materializar utilizando armadura en forma de horquillas. Se debe observar que para determinar la resistencia al arrancamiento de un anclaje por tracción y la resistencia al arrancamiento del hormigón del anclaje por corte, Npn o Vcp, respectivamente, D.4 indica que en todos los casos se aplica la Condición B, independientemente de la presencia o ausencia de armadura suplementaria. Para los anclajes incorporados al hormigón endurecido es poco probable que se coloque este tipo de armadura, y por lo tanto normalmente se aplicará la Condición B. La selección de φ para los anclajes incorporados al hormigón endurecido también depende de la categoría del anclaje determinada en base a los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2. Entre los ensayos de evaluación del producto de ACI 355.2 se realizan ensayos de confiabilidad del producto (por ejemplo, sensibilidad a las variables de la instalación), y los resultados se utilizan para establecer la categoría del anclaje. Como cada anclaje mecánico incorporado al hormigón endurecido puede ser asignado a una categoría diferente, se recomienda utilizar informes que contengan datos sobre el producto obtenidos mediante ensayos conforme a ACI 355.2. En la Tabla 34-3 se ilustra una planilla correspondiente a un modelo de informe. La Tabla 34-4 resume los factores de reducción de la resistencia, φ, que se deben utilizar con las diferentes condiciones determinantes, ya sea para las combinaciones de carga de 9.2 o del Apéndice C.

D.5

REQUISITOS DE DISEÑO PARA CARGAS DE TRACCIÓN

Esta sección contiene métodos para determinar la resistencia nominal a la tracción controlada por la resistencia del acero y por las diferentes resistencias relacionadas con el anclaje en sí. La resistencia nominal a la tracción del acero se basa en la resistencia a la tracción especificada del acero, Ecuación (D-3). La resistencia nominal a la tracción del anclaje se basa en (1) la resistencia al desprendimiento del hormigón de un anclaje traccionado, Ecuación (D-4) para anclajes individuales o Ecuación (D-5) para grupos de anclajes; (2) la resistencia al arrancamiento de un anclaje por tracción, Ecuación (D-12); o (3) la resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de un anclaje traccionado, Ecuación (D-15) para anclajes individuales o Ecuación (D-16) para grupos de anclajes. Al combinar estas resistencias con los factores de reducción de la resistencia de D.4.4 o D.4.5, la menor de estas resistencias será la que determine la resistencia a tracción de diseño del anclaje. 34 - 7

Tabla 34-4 – Factores de reducción de la resistencia a utilizar con el Apéndice D Factor de reducción de la resistencia, φ, a utilizar con las combinaciones de cargas de: Sección 9.2 Apéndice C

Resistencia determinada por Elemento de acero dúctil Tracción, Ns Corte, Vs

0,75 0,65

0,80 0,75

0,65 0,60 Condición

0,70 0,65 Condición

Elemento de acero frágil Tracción, Ns Corte, Vs Hormigón Corte Desprendimiento del hormigón, Vcb y Vcbg Arrancamiento del hormigón, Vcp Tracción Pernos con cabeza, bulones con cabeza o bulones con gancho Desprendimiento del hormigón y descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón, Ncb, Ncbg, Nsb y Nsbg Arrancamiento del anclaje, Npn Anclajes incorporados al hormigón endurecido, clasificados de acuerdo con ACI 355.2 en las siguientes categorías: Categoría 1 (Baja sensibilidad a la incorporación al hormigón y elevada confiabilidad) Desprendimiento del hormigón y descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón, Ncb, Ncbg, Nsb y Nsbg Arrancamiento del anclaje, Npn

A

B

A

B

0,75 0,70

0,70 0,70

0,85 0,75

0,75 0,75

0,75

0,70

0,85

0,75

0,70

0,70

0,75

0,75

0,75

0,65

0,85

0,75

0,65

0,65

0,75

0,75

Categoría 2 (Mediana sensibilidad a la incorporación al hormigón y mediana confiabilidad) Desprendimiento del hormigón y descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón, Ncb, Ncbg, Nsb y Nsbg Arrancamiento del anclaje, Npn

0,65

0,55

0,75

0,65

0,55

0,55

0,65

0,65

Categoría 3 (Elevada sensibilidad a la incorporación al hormigón y baja confiabilidad) Desprendimiento del hormigón y descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón, Ncb, Ncbg, Nsb y Nsbg Arrancamiento del anclaje, Npn

0,55

0,45

0,65

0,55

0,45

0,45

0,55

0,55

D.5.1

Resistencia a la tracción del acero de los anclajes

La resistencia a la tracción del acero se determina en base a la Ecuación (D-3), usando el área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase, y la resistencia a la tracción especificada del acero del anclaje, fut. Para los anclajes hormigonados in situ (es decir para los anclajes roscados, pernos con cabeza y barras con gancho) el área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase, es el área neta traccionada (anclajes roscados) o el área bruta traccionada (pernos con rosca soldados a una placa de fijación). Estas áreas se indican en la Tabla 34-2. Para los anclajes de geometría no habitual la resistencia nominal del acero se puede tomar como el percentil 5 inferior obtenido de los resultados de ensayo. Para los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido, el área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase, se debe determinar a partir de los resultados de los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2. La Tabla 34-3 muestra un ejemplo. Hay una limitación que establece que el valor de fut utilizado en la Ecuación (D-3) debe ser menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. La intención del límite de 1,9fy impuesto a fut es asegurar que, bajo condiciones de carga de servicio, el anclaje no supere la 34 - 8

tensión de fluencia, y típicamente sólo es aplicable al acero inoxidable. El límite de 125.000 psi se fundamenta en la base de datos utilizada para desarrollar los requisitos del Apéndice D. La Tabla 34-1 contiene valores de fy y fut correspondientes a los materiales típicamente utilizados para los anclajes. Observar que ninguna de las limitaciones se aplica a los materiales típicos incluidos en la Tabla 34-1. Para los anclajes fabricados conforme a especificaciones para los cuales se indica no un único valor sino un rango de resistencia a la tracción especificada fut (por ejemplo, ASTM F 1554), para calcular la resistencia de diseño se debe utilizar el valor límite inferior. Para los anclajes incorporados al hormigón endurecido, tanto fy como fut se deben determinar en base a los resultados de los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2. La Tabla 34-3 muestra un ejemplo.

D.5.2

Resistencia al desprendimiento del hormigón de los anclajes traccionados

La Figura RD.4.1(a)(iii) ilustra una típica falla por desprendimiento del hormigón de un anclaje traccionado (falla de un cono de hormigón) correspondiente a un único anclaje con cabeza hormigonado in situ solicitado a tracción. La Ecuación (D-4) da la resistencia al desprendimiento del hormigón para un único anclaje, mientras que la Ecuación (D-5) da la resistencia al desprendimiento del hormigón para un grupo de anclajes traccionados. A continuación discutimos cada uno de los términos de las Ecuaciones (D-4) y (D-5). Nb = La resistencia básica al desprendimiento del hormigón de un anclaje traccionado, correspondiente a un anclaje individual alejado de los bordes y de otros anclajes (Nb) está dada por las Ecuaciones (D-7) o (D-8). Como se mencionó anteriormente, la principal diferencia entre estas dos ecuaciones y las del método del cono de 45 grados es el uso de hef1,5 en la Ecuación (D-7) [o alternativamente hef5/3 para los anclajes en los cuales hef ≥ 11 in. en la Ecuación (D-8)] en lugar de hef2. El uso de hef1,5 considera los principios de la mecánica de fractura, y se puede interpretar de la siguiente manera: Nb =

2 k f c' h ef   ecuación general del método del cono de 45º   0,5 factor de modificación que considera la mecánica de fractura h ef  

Con lo cual se obtiene N b = k f c' h1,5 ef

Ec. (D-7)

El enfoque de la mecánica de fractura considera las elevadas tensiones de tracción que existen en el extremo empotrado del anclaje, mientras que otros enfoques (tales como el método del cono de 45 grados) asumen que las tensiones se distribuyen uniformemente sobre la superficie de falla supuesta. La constante numérica k igual a 24 en la Ecuación (D-7) (o k igual a 16 en la Ecuación (D-8) si hef ≥ 11 in.) se basa en el percentil 5 de los resultados obtenidos para anclajes con cabeza hormigonados in situ en hormigón fisurado. Se deben utilizar estos valores de k, a menos que mediante ensayos especiales se demuestre que se pueden aplicar valores de k más elevados. Observar que el ancho de fisura usado en los ensayos para establecer estos valores fue de 0,012 in. Si se anticipa la formación de fisuras de mayor ancho se debería colocar armadura de confinamiento para limitar el ancho de las fisuras a aproximadamente 0,012 in., o bien se deberían realizar ensayos especiales con fisuras de mayor ancho. AN = Este factor toma en cuenta la presencia de anclajes adyacentes y/o la proximidad a los bordes libres. Para un anclaje A No

individual alejado de los bordes el término A No es la proyección rectilínea de una superficie de falla a 35 grados sobre la superficie de hormigón, con sus lados a una distancia de 1,5hef de la línea de centro del anclaje [Figura RD.5.2.1(a)]. El término A N es la proyección rectilínea de la superficie de falla a 35 grados sobre la superficie de hormigón, con sus lados a una distancia de 1,5hef de la línea de centro del anclaje o grupo de anclajes, o limitada por los anclajes adyacentes y/o los bordes libres. En la Figura RD.5.2.1(b) se ilustra la definición de A N . Para un anclaje individual ubicado a una distancia mayor o igual que 1,5hef del borde libre más próximo A N es igual a A No .

34 - 9

Si para incrementar la superficie de apoyo de la cabeza de un anclaje se utiliza una placa o una arandela, el valor 1,5hef se puede medir a partir del perímetro efectivo de la placa o arandela. Este perímetro efectivo se define en D.5.2.7. Si se utiliza una placa o arandela, la superficie proyectada A N se puede calcular proyectando la superficie de falla 1,5hef hacia afuera a partir del perímetro efectivo de la placa o arandela. Ver la Figura 34-1. Nn

35°

35°

h ef

t h ef t

t

Figura 34-1 – Efecto de una arandela sobre la superficie de falla proyectada para el desprendimiento del hormigón por tracción ψ1 = Este factor se aplica cuando hay múltiples filas de anclajes traccionados y se utiliza el enfoque de diseño elástico. En este caso se supone que cada fila individual de anclajes traccionados soporta diferentes niveles de carga con la resultante de la tracción aplicada con una excentricidad (en') respecto del baricentro de los anclajes traccionados. Si se utiliza el enfoque de diseño plástico se supone que todos los anclajes soportan la misma carga y el factor de excentricidad, ψ1, se toma igual a 1,0. ψ2 = Este factor considera la distribución no uniforme de las tensiones para los anclajes ubicados próximos a un borde libre de hormigón . ψ3 = Este factor se toma igual a 1,0 cuando el anclaje está ubicado en una zona de un elemento donde un análisis indica que es probable que haya fisuración. Si el análisis indica que no es probable que bajo cargas de servicio se produzca fisuración (ft < fr), ψ3 se puede tomar igual a 1,25 para los anclajes hormigonados in situ o como 1,4 para los anclajes incorporados al hormigón endurecido.

D.5.3

Resistencia al arrancamiento de los anclajes por tracción

En la Figura RD.4.1(a)(ii) se ilustra un esquema del modo de falla por arrancamiento de un anclaje por tracción. La resistencia al arrancamiento de los anclajes hormigonados in situ se relaciona con la superficie de apoyo en el extremo empotrado, Abrg, y con las propiedades de los ganchos empotrados (eh y do) para los anclajes en forma de J y los anclajes en forma de L. Obviamente, si un anclaje no tiene cabeza ni gancho, éste será arrancado del hormigón y no será capaz de desarrollar la resistencia al desprendimiento del hormigón en forma de cono (D.5.2). La Ecuación (D-12) indica el requisito general para la resistencia al arrancamiento de un anclaje por tracción, mientras que las Ecuaciones (D-13) y (D-14) indican los requisitos específicos para anclajes con cabeza y con gancho, respectivamente. En el caso de los anclajes con cabeza, la superficie de apoyo de la cabeza empotrada (Abrg) es el área bruta de la cabeza menos el área bruta del vástago del anclaje (es decir, no es el área de la cabeza empotrada). Para aumentar la superficie de apoyo, Abrg, se pueden utilizar arandelas o placas cuya área sea mayor que la de la cabeza del anclaje; de este modo también aumentará la resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción (ver D.5.2.7). En las regiones de peligrosidad sísmica moderada o elevada, o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio o elevado, cuando un bulón con cabeza se diseña como un elemento de acero dúctil de acuerdo con D.3.3.4, puede ser necesario utilizar un bulón con una cabeza más grande o bien una arandela para aumentar la resistencia al arrancamiento de diseño, φNpn, y asegurar

34 - 10

que el acero falle antes que falle la porción empotrada del anclaje. La Tabla 34-2 contiene valores de Abrg correspondientes a los bulones con cabeza, las tuercas y las arandelas más habituales. Las Tablas 34-5A, B y C se pueden utilizar para determinar rápidamente situaciones en las cuales un anclaje no proveerá una resistencia al arrancamiento adecuada, en cuyo caso se deberá aumentar el tamaño del anclaje. Para los anclajes en J o en L, la longitud mínima del gancho medida desde la superficie interna del vástago del anclaje es 3do, mientras que la longitud máxima para calcular la resistencia al arrancamiento del anclaje mediante la Ecuación (D-14) es 4,5do. Excepto para los hormigones de alta resistencia, es difícil lograr para los anclajes con gancho una resistencia al arrancamiento de diseño que sea mayor o igual que la resistencia a la tracción de diseño del acero. Por ejemplo, un bulón con gancho de 1/2 in. de diámetro con la longitud máxima de gancho (4,5do) permitida para evaluar la resistencia al arrancamiento mediante la Ecuación (D-14) requiere una f'c como mínimo igual a 8700 psi para desarrollar la resistencia a la tracción de diseño de un anclaje ASTM A 307, Grado C, o ASTM F 1554, Grado 36 (fut = 58 ksi). Esto básicamente excluye el uso de anclajes con gancho en numerosas aplicaciones en las cuales hay cargas de tracción de origen sísmico, debido a las limitaciones de D.3.3.4 que establecen que la resistencia de una conexión debe ser controlada por la resistencia de los elementos de acero dúctil. Para los anclajes incorporados al hormigón endurecido, el valor de la resistencia al arrancamiento de un anclaje por tracción, Np, se debe determinar a partir de los resultados de los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2. Ver Tabla 34-3.

D.5.4

Descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de los anclajes traccionados

La resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de un anclaje traccionado se relaciona con la presión lateral que se desarrolla alrededor de la cabeza empotrada de un anclaje cuando éste está solicitado a tracción. Si para un anclaje individual con cabeza la mínima distancia a un borde libre es menor que 0,4hef, se debe considerar el descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón usando la Ecuación (D-15). Si el anclaje está ubicado de manera que la distancia a un borde libre perpendicular al borde libre más próximo es menor que tres veces la distancia entre el anclaje y el borde más próximo, a la Ecuación (D-15) se le debe aplicar un factor de reducción adicional igual a [(1 + c2)/c)/4], siendo c la distancia al borde más próximo y c2 la distancia al borde ortogonal. La resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de un grupo de anclajes traccionados se puede calcular usando la Ecuación (D-15), siempre que la separación paralela a un borde libre entre los anclajes individuales sea mayor o igual que seis veces la distancia al borde. Si la separación de los anclajes es menor que seis veces la distancia al borde libre se debe utilizar la Ecuación (D-16).

D.6

REQUISITOS DE DISEÑO PARA CARGAS DE CORTE

En la sección D.6 se especifican métodos para determinar la resistencia nominal al corte controlada por la resistencia del acero y por las diferentes resistencias relacionadas con los anclajes en sí. La resistencia nominal al corte del acero se basa en la resistencia a la tracción especificada del acero, usando la Ecuación (D-17) para los pernos con cabeza, la Ecuación (D-18) para los bulones con cabeza y los bulones con gancho, y la Ecuación (D-19) para los anclajes incorporados al hormigón endurecido. La resistencia nominal al arrancamiento por corte del hormigón de un anclaje se basa en la resistencia al desprendimiento del hormigón de un anclaje por tracción [Ecuación (D-20) para los anclajes individuales o Ecuación (D-21) para los grupos de anclajes] o bien en la resistencia al arrancamiento del hormigón por corte [Ecuación (D-28)]. Al combinar estas resistencias con los factores de reducción de la resistencia de D.4.4, la menor de estas resistencias será la que determine la resistencia al corte de diseño del anclaje.

D.6.1

Resistencia al corte del acero de los anclajes

Para los anclajes hormigonados in situ la resistencia al corte del acero se determina mediante la Ecuación (D-17) si se trata de pernos con cabeza o mediante la Ecuación (D-18) si se trata de bulones con cabeza o bulones con gancho, usando el área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase, y la resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, fut. Para los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido la resistencia al corte del acero se determina mediante la Ecuación (D-19) usando el área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase, y la resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, fut. Si el anclaje mecánico incorporado al hormigón endurecido es un anclaje con camisa, y si la camisa atraviesa el 34 - 11

plano de corte, se puede utilizar un término adicional provisto en la Ecuación (D-19) que utiliza el área de la camisa, Asl y la resistencia a la tracción especificada de la camisa, futsl. Para los anclajes hormigonados in situ (es decir, para los anclajes con cabeza, los pernos con cabeza y las barras con gancho) el área efectiva de la sección transversal del anclaje (Ase) es el área neta traccionada (anclajes roscados) o el área bruta traccionada (pernos con cabeza soldados a una placa de fijación). Estas áreas se indican en la Tabla 34-2. Si los filetes de la rosca de un anclaje con cabeza están ubicados bastante por encima del plano de corte (como mínimo dos diámetros), para el corte se puede utilizar el área bruta del anclaje. Para los anclajes de geometría no habitual la resistencia nominal del acero se puede tomar como el percentil 5 inferior obtenido de los resultados de ensayo. Para los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido, el área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase, y el área efectiva de la sección transversal de la camisa, Asl, se deben determinar a partir de los resultados de los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2. La Tabla 34-3 muestra un ejemplo. Hay una limitación que establece que el valor de fut utilizado en las Ecuaciones (D-17), (D-18) y (D-19) debe ser menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. La intención del límite de 1,9fy impuesto a fut es asegurar que, bajo condiciones de carga de servicio, el anclaje no supere la tensión de fluencia, y típicamente sólo es aplicable al acero inoxidable. El límite de 125.000 psi se fundamenta en la base de datos utilizada para desarrollar los requisitos del Apéndice D. La Tabla 34-1 contiene valores de fy y fut correspondientes a los materiales típicamente utilizados para los anclajes. Observar que ninguna de las limitaciones se aplica a los materiales típicos incluidos en la Tabla 34-1. Para los anclajes fabricados conforme a especificaciones para los cuales se indica no un único valor sino un rango de resistencia a la tracción especificada fut (por ejemplo, ASTM F 1554), para calcular la resistencia de diseño se debe utilizar el valor límite inferior. Para los anclajes incorporados al hormigón endurecido, tanto fy como fut y futsl se deben determinar en base a los resultados de los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2. La Tabla 34-3 muestra un ejemplo. Si se utilizan asientos de mortero colocado en capas, los valores de la resistencia nominal al corte dados por las Ecuaciones (D17), (D-18) y (D-19) se deben reducir un 20% para tomar en cuenta las tensiones de flexión que se desarrollan en el anclaje si el mortero se fractura al aplicar la carga de corte.

D.6.2

Resistencia al desprendimiento del hormigón de los anclajes por corte

La Figura RD.4.1(b)(iii) ilustra fallas típicas por desprendimiento del hormigón correspondientes a anclajes solicitados a un esfuerzo de corte dirigido hacia un borde libre. La Ecuación (D-20) da la resistencia al desprendimiento del hormigón para anclajes individuales, mientras que la Ecuación (D-21) corresponde a grupos de anclajes solicitados a corte. En aquellos casos en los cuales la dirección del esfuerzo de corte se aleja del borde libre no es necesario considerar la resistencia al desprendimiento del hormigón. A continuación discutimos cada uno de los términos de las Ecuaciones (D-20) y (D-21). Vb :

La resistencia básica al desprendimiento del hormigón correspondiente a un único anclaje en hormigón fisurado solicitado a un esfuerzo de corte dirigido hacia un borde libre (Vb) que no tiene otros bordes libres adyacentes se calcula mediante la Ecuación (D-23) si se trata de una típica unión abulonada, o mediante la Ecuación (D-24) si se trata de una unión con pernos u otros anclajes soldados a una placa de fijación. La principal diferencia entre estas ecuaciones y las correspondientes al método del cono de 45 grados radica en el uso de c11,5 en lugar de c12. El uso de c11,5 considera los principios de la mecánica de fractura del mismo modo que lo hace hef1,5 en el caso de los anclajes traccionados. El enfoque de la mecánica de fractura considera las elevadas tensiones de tracción que existen en el hormigón en el punto en el cual el anclaje ingresa al hormigón.

ℓ1do: Los términos de las Ecuaciones (D-23) y (D-24) que contienen ℓ y do se relacionan con la rigidez al corte del anclaje. Los anclajes rígidos pueden distribuir la carga de corte aplicada mejor que los anclajes flexibles. AV : Este factor toma en cuenta la presencia de anclajes adyacentes, el espesor del hormigón y los bordes libres. Para un A Vo único anclaje en un elemento de hormigón de gran espesor solicitado a corte dirigido hacia un borde libre, el término AVo es la superficie proyectada, sobre el lado del elemento correspondiente al borde libre, de un plano de falla a 35 grados que comienza en el punto en el cual el anclaje ingresa al hormigón y se extiende hacia el borde libre [ver Figura

34 - 12

RD.6.2.1(a)]. El término AV es la proyección rectilínea de la superficie del plano de falla a 35 grados, sobre el lado correspondiente al borde libre del elemento, que tiene sus lados a una distancia de 1,5hef del partir del punto donde el anclaje ingresa al hormigón, con las limitaciones impuestas por los anclajes adyacentes, el espesor del hormigón y los bordes libres. La Figura RD.6.2.1(b) ilustra la definición de AV. ψ5:

Este factor se aplica cuando la carga de corte aplicada no actúa en el baricentro de los anclajes solicitados a corte (carga excéntrica) [ver Figura RD.6.2.5].

ψ6:

Este factor toma en cuenta la distribución no uniforme de las tensiones en los anclajes ubicados en una esquina [ver Figura RD.6.2.1(d)].

ψ7:

Este factor se toma igual a 1,0 si el anclaje está ubicado en una zona de un elemento donde es probable que haya fisuración y no se ha dispuesto armadura suplementaria. Si el análisis indica que no es probable que se produzca fisuración (ft < fr bajo cargas de servicio), ψ7 se puede tomar igual a 1,4. Se pueden usar valores de ψ7 > 1,0 aunque sea probable que haya fisuración bajo cargas de servicio, siempre y cuando se coloque armadura de borde consistente en barras No. 4 (ver D.6.2.7).

D.6.3

Resistencia al arrancamiento del hormigón de los anclajes por corte

La resistencia al arrancamiento del hormigón de un anclaje por corte puede ser determinante en el caso de los anclajes cortos y relativamente rígidos. La Figura RD.4.1(b)(ii) ilustra este modo e falla. Este modo de falla se puede visualizar si pensamos en una barra No. 8 que tiene 2 in. empotradas en el hormigón y 3 ft sobresaliendo del hormigón. Una leve presión en la parte superior de la barra hará que la barra "arranque" el hormigón.

D.7

INTERACCIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y CORTE

Los requisitos para la interacción entre los esfuerzos de tracción y corte se basan en una aproximación trilineal de la siguiente ecuación de interacción (ver Figura RD.7): 5

5

 N u  3  Vu  3   +  =1  φN n   φVn 

En la simplificación trilineal, el artículo D.7.1 permite considerar la totalidad de φNn si se verifica Vu ≤ 0,2φVn; el artículo D.7.2 permite considerar la totalidad de φVn si se verifica Nu ≤ 0,2φNn. Si no se satisfacen estas condiciones se debe utilizar la ecuación de interacción lineal (D-29). El aspecto más importante de los requisitos para la interacción entre los esfuerzos de tracción y corte es que tanto φNn como φVn se deben tomar como la menor de las resistencias del anclaje, ya sea de aquellas controladas por la resistencia del acero o de aquellas relacionadas con el hormigón. Ensayos realizados han demostrado que la relación de interacción es válida cualquiera sea la resistencia que controla los valores de φNn o φVn.

D.8

DISTANCIAS A LOS BORDES, SEPARACIONES Y ESPESORES REQUERIDOS PARA IMPEDIR LA FALLA POR HENDIMIENTO

La sección D.8 contiene requisitos sobre distancias mínimas a los bordes, separaciones mínimas y espesores mínimos de los elementos cuyo objetivo es impedir la potencial falla por hendimiento de los elementos estructurales. Para los anclajes hormigonados in situ no sometidos a torque (por ejemplo para los pernos con cabeza o los bulones con cabeza que no se someten a una precarga elevada después de instalar el dispositivo de fijación), la distancia mínima a los bordes y el espesor del elemento se deben establecer en base a los requisitos de recubrimiento de hormigón especificados en la sección 7.7, y la mínima separación de los anclajes es de 4do. Para los anclajes hormigonados in situ sometidos a torque (por ejemplo para los

34 - 13

bulones con cabeza que se someten a una precarga elevada una vez que el dispositivo de fijación está instalado), la distancia mínima a los bordes y la separación mínima son de 6do, y el espesor mínimo del elemento se debe determinar en base a los requisitos de recubrimiento de hormigón especificados en la sección 7.7. Durante su instalación los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido pueden ejercer grandes presiones laterales sobre el dispositivo de expansión empotrado, y estas presiones pueden provocar una falla por hendimiento. En el caso de los anclajes mecánicos incorporados al hormigón endurecido, las distancias mínimas a los bordes, las separaciones mínimas y el espesor mínimo del elemento se deben determinar en base a los resultados de ensayos específicos de cada producto desarrollados de acuerdo con los ensayos de evaluación de productos especificados en ACI 355.2. En la Tabla 34-3 se ilustra un ejemplo. Si no se dispone de resultados de ensayos específicos para el producto considerado se deberían utilizar los siguientes valores: una separación mínima para los anclajes de 6do; una distancia mínima a los bordes de 6do para los anclajes rebajados, 8do para los anclajes controlados por el torque, y 10do para los anclajes controlados por el desplazamiento; y un espesor mínimo del elemento igual a 1,5hef, aunque no es necesario que este valor sea mayor que hef más 4 in. La norma ACI 355.2 (Referencia 34.4) contiene ejemplos de cada uno de estos tipos de anclajes. En todos los casos la distancia mínima a los bordes y el espesor del elemento deben satisfacer los requisitos de recubrimiento mínimo de hormigón indicados en 7.7. Para los anclajes no sometidos a torque, D.8.4 presenta un método que permite utilizar un anclaje de gran diámetro próximo a un borde, o anclajes con una separación menor que la requerida por los artículos D.8.1 a D.8.3. En este caso, para evaluar la resistencia del anclaje y para determinar la mínima distancia a los bordes y la separación mínima requerida, se utiliza un diámetro de anclaje ficticio, d'o.

D.9

INSTALACIÓN DE LOS ANCLAJES

Los anclajes hormigonados in situ se deben instalar de acuerdo con la documentación de obra. Para los anclajes roscados se debería utilizar una plantilla de metal o madera colocada sobre la superficie de hormigón, con tuercas a cada lado, para así sostener a los anclajes en la posición correcta mientras se coloca el hormigón, se lo compacta y endurece. Las especificaciones del proyecto deberían exigir que los anclajes incorporados al hormigón endurecido se instalen de acuerdo con las instrucciones del fabricante. Como se observa en la sección RD.9, los ensayos para la evaluación de productos de acuerdo con ACI 355.2 se basan en las instrucciones de instalación del fabricante. Entre los ensayos de evaluación de productos de ACI 355.2 se realizan ensayos de confiabilidad (por ejemplo, sensibilidad a las variables de la instalación), y estos resultados se utilizan para establecer la categoría de los anclajes. En base a esta categoría se selecciona el factor φ (D.4.4).

TABLAS DE DISEÑO PARA ANCLAJES INDIVIDUALES HORMIGONADOS IN SITU Incluimos algunas tablas que servirán de ayuda para diseñar anclajes individuales solicitados a cargas de tracción o de corte. Las Tablas 34-5A, B y C dan las resistencias a la tracción de diseño, φNn, para anclajes individuales en hormigón con f'c de 2500, 4000 y 6000 psi, respectivamente. Las Tablas 34-6A, B y C dan las resistencias al corte de diseño, φVn, para anclajes individuales con f'c de 2500, 4000 y 6000 psi, respectivamente. También se incluyen algunas resistencias a la tracción especificadas del acero, fut, que abarcan la mayor parte de los materiales que se utilizan en la actualidad. Cada grupo de tablas viene acompañado por notas que explican las hipótesis utilizadas para desarrollar las tablas y cómo ajustar los valores para condiciones que difieren de las supuestas. De acuerdo con D.8.2, las distancias mínimas a los bordes para los anclajes con cabeza hormigonados in situ no sometidos a torque se deben basar en el recubrimiento mínimo de hormigón indicado en la sección 7.7. Por lo tanto, técnicamente el recubrimiento de hormigón puede ser de muy poco espesor, hasta 3/4 in. Si el recubrimiento sobre vástago del anclaje es así de pequeño, la cabeza del anclaje terminará teniendo un recubrimiento menor que 3/4 in. Por motivos de protección contra la corrosión y para considerar las tolerancias de la instalación (ubicación y alineación) de los anclajes, se recomienda proveer para los anclajes hormigonados in situ un recubrimiento mínimo de hormigón de 1-1/2 in. Las Tablas 34-5 y 34-6 incluyen las resistencias de diseño para anclajes hormigonados in situ que tienen un recubrimiento mínimo de 1-1/2 in.

34 - 14

NOTAS PARA LAS TABLAS 34-5A, B y C NP – No practicable. Con la distancia a los bordes resultante, c, se obtiene un recubrimiento de menos de 3/4 in. Toda la Simbología es igual a la utilizada en la sección D.0 del Apéndice D de ACI 318-02. 1.

Las resistencias de diseño indicadas en las tablas corresponden a un anclaje individual hormigonado in situ, que solamente está próximo a un borde. Los valores no se aplican si la distancia entre anclajes adyacentes es menor que 3hef, o si la distancia perpendicular, c2, a la distancia al borde considerada, c1, es menor que 1,5hef.

2.

En las regiones de peligrosidad sísmica moderada o elevada (Zonas 2, 3 ó 4, de acuerdo con el UBC), o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio o elevado (Categorías C, D, E o F, de acuerdo con el IBC), las resistencias de diseño de las tablas se deben reducir un 25%. Además, el anclaje se debe diseñar de manera que su resistencia sea gobernada por un elemento de acero dúctil, a menos que se satisfaga el artículo D.3.3.5. Por lo tanto, las resistencias de diseño basadas en los tres modos de falla del hormigón, φNcb, φNpn y φNsb, deben ser mayores o iguales que la resistencia de diseño del acero a tracción, φNs. Este requisito prohíbe usar bulones de anclaje con ganchos en las zonas sísmicas mencionadas.

3.

Para los fines del diseño la resistencia a la tracción del acero del anclaje, fut, debe ser menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi.

4.

Las resistencias de diseño indicadas en las tablas se basan en el factor de reducción de la resistencia, φ, de la sección D.4.4. La carga de tracción mayorada Nu se debe calcular usando las combinaciones de cargas especificadas en 9.2. Las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón de un anclaje, φNcb, arrancamiento del anclaje, φNpn, y descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón, φNsb, se basan en la Condición B. Si se dispone armadura suplementaria para satisfacer la Condición A, las resistencias de diseño para φNcb y φNsb se pueden incrementar 7,1% para considerar que el factor de reducción de la resistencia se incrementa de 0,70 a 0,75. Este incremento no se aplica a la resistencia al arrancamiento del anclaje, φNpn.

5.

Las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón por tracción, φNcb, se basan en Nb determinado de acuerdo con la Ecuación (D-7), y se aplican para anclajes con cabeza y con gancho. Para determinar la resistencia de diseño de los bulones con cabeza para los cuales la longitud de empotramiento, hef, es mayor que 11 in. de acuerdo con la Ecuación (D8), multiplicar el valor tabulado por [2 (hef5/3)] / [3 (hef1,5)].

6.

Si un análisis indica que bajo cargas de servicio no habrá fisuración en la región del anclaje (ft < fr), las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón por tracción, φNcb, se pueden aumentar un 25%.

7.

Las resistencias de diseño para el arrancamiento del anclaje por tracción, φNpn, correspondientes a bulones con cabeza cuyo diámetro, do, es menor que 1-3/4 in. se basan en bulones con cabeza hexagonal regular. Las resistencias de diseño correspondientes a los bulones de 1-3/4 y 2 in. se basan en bulones con cabeza hexagonal pesada. En el caso de los bulones en los cuales do es menor que 1-3/4 in. y cuyas cabezas tienen una superficie de apoyo, Abrg, mayor que la supuesta, las resistencias de diseño se pueden incrementar multiplicando por la superficie de apoyo real de la cabeza y luego dividiendo por la superficie de apoyo de la cabeza hexagonal regular.

8.

Las resistencias de diseño para el arrancamiento del anclaje por tracción, φNpn, correspondiente a bulones con gancho en los cuales la longitud del gancho, eh, está comprendida entre 3 y 4,5 veces el diámetro, do, se pueden determinar por interpolación.

9.

Si un análisis indica que bajo cargas de servicio no habrá fisuración en la región del anclaje (ft < fr), las resistencias de diseño para el arrancamiento del anclaje por tracción, φNpn, se pueden aumentar un 40%.

10. Las resistencias de diseño para el descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón por tracción, φNsb, se aplican a los bulones con cabeza solamente cuando la distancia al borde, c, es menor que 0,4hef. Los valores correspondientes a 0,4hef solamente se incluyen para permitir la interpolación. Las resistencias de diseño correspondientes a los bulones en los cuales el diámetro, do, es menor que 1-3/4 in. se basan en bulones con cabeza hexagonal regular. Las resistencias de diseño correspondientes a los bulones de 1-3/4 y 2 in. se basan en bulones con cabeza hexagonal pesada. En el caso de los bulones en los cuales do es menor que 1-3/4 in. y cuyas cabezas tienen una superficie de apoyo, Abrg, mayor que la supuesta, las resistencias de diseño se pueden incrementar multiplicando por la raíz cuadrada del cociente que resulta de dividir la superficie de apoyo real de la cabeza por la superficie de apoyo de la cabeza hexagonal regular ( A brg 2 / A brg1 ).

34 - 15

NOTAS PARA LAS TABLAS 34-6A, B y C NP – No practicable. Con la distancia a los bordes resultante, c, se obtiene un recubrimiento de menos de 3/4 in. Toda la Simbología es igual a la utilizada en la sección D.0 del Apéndice D de ACI 318-02. 1.

Las resistencias de diseño indicadas en las tablas corresponden a anclajes individuales hormigonados in situ, que solamente están próximos a un borde. Los valores no se aplican si la distancia a un borde medida de forma perpendicular a c1 es menor que 1,5c1. Ver Nota 9. Los valores no se aplican si la distancia entre anclajes adyacentes es menor que 3c1, siendo c1 la distancia entre el centro del anclaje y el borde en la dirección del corte aplicado.

2.

En las regiones de peligrosidad sísmica moderada o elevada (Zonas 2, 3 ó 4, de acuerdo con el UBC), o en las estructuras para las cuales se requiere un nivel de comportamiento o diseño sismorresistente intermedio o elevado (Categorías C, D, E o F, de acuerdo con el IBC), las resistencias de diseño de las tablas se deben reducir un 25%. Además, el anclaje se debe diseñar de manera que la falla sea iniciada por un elemento de acero dúctil, a menos que se satisfaga el artículo D.3.3.5. Esto significa que todas las resistencias de diseño basadas en los dos modos de falla del hormigón, φVcb y φVcp, deben ser mayores o iguales que la resistencia de diseño del acero al corte, φVs.

3.

La resistencia al arrancamiento del hormigón del anclaje por corte, φVcp, se debe tomar igual a la resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción, φNcb, cuando hef es menor que 2,5 in., e igual a dos veces φNcb cuando hef es mayor o igual que 2,5 in. Se debe suponer la Condición B (ver D.4.4) aún cuando haya armadura suplementaria que permita calificar para la Condición A (es decir, el factor de reducción de la resistencia, φ, se debe tomar igual a 0,70).

4.

Para los fines del diseño la resistencia a la tracción del acero del anclaje, fut, debe ser menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi.

5.

Las resistencias de diseño indicadas en las tablas se basan en el factor de reducción de la resistencia, φ, de la sección D.4.4. Las cargas de corte mayoradas se deben calcular usando las combinaciones de cargas de 9.2. Las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón del anclaje, Vcb, se basan en la Condición B. Si se coloca armadura suplementaria de manera de satisfacer la Condición A, las resistencias de diseño se pueden incrementar 7,1% para considerar que el factor de reducción de la resistencia se incrementa de 0,70 a 0,75.

6.

Si un análisis indica que bajo cargas de servicio no habrá fisuración en la región del anclaje (ft < fr), las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón en corte, φVcb, se puede aumentar un 40%.

7.

En las regiones de un elemento donde un análisis indica que bajo cargas de servicio habrá fisuración, las resistencias dadas para la resistencia al desprendimiento del hormigón, φVcb, se puede incrementar de acuerdo con los factores especificados en el artículo D.6.2.7, siempre que se disponga armadura de borde de acuerdo con dicho artículo.

8.

Las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón, φVcb, se basan en una carga de corte aplicada de forma perpendicular al borde. Si la carga se aplica de forma paralela al borde las resistencias se pueden incrementar un 100%.

9.

Si el anclaje está ubicado cerca de una esquina y la distancia al borde perpendicular a la dirección del corte, c2, es menor que 1,5c1, las resistencias de diseño para el desprendimiento del hormigón, φVcb, se deben reducir multiplicándolas por el factor de modificación ψ6 determinado de la Ecuación (D-27). Los valores calculados en la tabla no se aplican si hay dos distancias a los bordes perpendiculares a la dirección del corte, c2, menores que 1,5c1. Ver D.6.2.4.

10. Este valor del espesor, h, no es posible porque la cabeza o el gancho se proyectarían por debajo de la superficie inferior del hormigón. Fue elegido para facilitar el cálculo mental de la distancia real al borde, c1, ya que el valor usado en los cálculos, c1, depende de la longitud de empotramiento, hef. 11. Está permitido interpolar linealmente para obtener valores intermedios de la distancia a los bordes, c1. Interpolar linealmente entre los valores de la longitud de empotramiento, hef, es una práctica no conservadora. 12. Para un recubrimiento de hormigón de 3/4 in. y para c1 = 0,25hef y 0,50hef, ver la parte de la tabla correspondiente a h = hef. 13. Para un recubrimiento de hormigón de 3/4 in. y para c1 = 0,25hef y 0,50hef, ver la parte de la tabla correspondiente a h = hef. Para c1 = hef, ver la parte de la tabla correspondiente a h = 1,5hef.

34 - 16

Tabla 34-5A. Resistencias de diseño para anclajes individuales hormigonados in situ solicitados a cargas de tracción (f'c = 2500 psi)1,2,4 (Las Notas referidas a esta tabla se encuentran en la página 34-15) do in..

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

hef in..

φNs – Resistencia a la tracción del anclaje fut – para los fines del diseño 3 - psi

φNcb – Desprendimiento del hormigón por tracción 4,5,6 c – Distancia a los bordes - in. Recubr. 0,25hef 0,5hef hef ≥1,5hef 1-1\2-in. 1.580 NP NP 1.782 2.376

φNpn – Arrancamiento del anclaje 9 Gancho en “J” o “L” 8 Cabeza 7 eh = 4,5do eh = 3do

φNsb – Descascaramiento lateral 4,10 c – Distancia a los bordes - in. Recubrimiento 1-1/2–in.

0,25 hef

0,4 hef

443

3.113

NP

NP

443

3.113

NP

NP

295

443

3.113

NP

NP

295

443

3.113

NP

3.831

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

2

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

1.638

295

3

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

2.401

NP

NP

3.274

4.365

1.638

295

4

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

3.336

NP

3.584

5.040

6.720

1.638

5

1.392

1.140

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

4.371

NP

5.009

7.044

9.391

1.638

6

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

5.496

NP

6.584

9.259

12.345

1.638

295

443

3.113

NP

4.597

2

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

1.613

NP

NP

1.782

2.376

2.296

664

997

3.827

NP

NP

3

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

2.438

NP

NP

3.274

4.365

2.296

664

997

3.827

NP

NP

4

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

3.377

NP

3.584

5.040

6.720

2.296

664

997

3.827

NP

NP

5

3.393

3.510

4.338

5.265

6.143

7.020

7.313

4.415

NP

5.009

7.044

9.391

2.296

664

997

3.827

NP

4.536

6

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

5.543

NP

6.584

9.259

12.345

2.296

664

997

3.827

NP

5.443

2

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

1.646

NP

NP

1.782

2.376

4.074

1.181

1.772

5.287

NP

NP

3

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

2.475

NP

NP

3.274

4.365

4.074

1.181

1.772

5.287

NP

NP

4

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

3.418

NP

3.584

5.040

6.720

4.074

1.181

1.772

5.287

NP

NP

5

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

4.459

NP

5.009

7.044

9.391

4.074

1.181

1.772

5.287

NP

6.042

6

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

5.591

NP

6.584

9.259

12.345

4.074

1.181

1.772

5.287

NP

7.250

7

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

6.806

6.806

8.297

11.668

15.557

4.074

1.181

1.772

5.287

5.287

8.458

8

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

8.099

8.316

10.137

14.255

19.007

4.074

1.181

1.772

5.287

6.042

9.667

3

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

2.513

NP

NP

3.274

4.365

6.356

1.846

2.769

6.839

NP

NP

4

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

3.459

NP

3.584

5.040

6.720

6.356

1.846

2.769

6.839

NP

NP

5

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

4.504

NP

5.009

7.044

9.391

6.356

1.846

2.769

6.839

NP

7.547

6

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

5.639

NP

6.584

9.259

12.345

6.356

1.846

2.769

6.839

NP

9.056

7

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

6.857

NP

8.297

11.668

15.557

6.356

1.846

2.769

6.839

NP

10.565

8

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

8.153

8.316

10.137

14.255

19.007

6.356

1.846

2.769

6.839

7.547

12.074

9

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

9.522

9.923

12.096

17.010

22.680

6.356

1.846

2.769

6.839

8.490

13.584

10

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

10.960

11.621

14.167

19.922

26.563

6.356

1.846

2.769

6.839

9.433

15.093

4

14.529

15030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

3.500

NP

3.584

5.040

6.720

9.156

2.658

3.987

8.491

NP

NP

5

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

4.549

NP

5.009

7.044

9.391

9.156

2.658

3.987

8.491

NP

9.057

6

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

5.687

NP

6.584

9.259

12.345

9.156

2.658

3.987

8.491

NP

10.869

7

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

6.908

NP

8.297

11.668

15.557

9.156

2.658

3.987

8.491

NP

12.680

8

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

8.207

8.316

10.137

14.255

19.007

9.156

2.658

3.987

8.491

9.057

14.492

9

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

9.579

9.923

12.096

17.010

22.680

9.156

2.658

3.987

8.491

10.190

16.303

10

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

11.020

11.621

14.167

19.922

26.563

9.156

2.658

3.987

8.491

11.322

18.115

12

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

14.097

15.277

18.623

26.189

34.918

9.156

2.658

3.987

8.491

13.586

21.738

4

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

3.500

NP

3.584

5.040

6.720

9.156

2.658

3.987

8.491

NP

NP

6

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

3.736

NP

6.584

9.259

12.345

12.474

3.618

5.426

10.242

NP

12.686

8

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

8.261

8.316

10.137

14.255

19.007

12.474

3.618

5.426

10.242

10.572

16.915

12

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

14.161

15.277

18.623

26.189

34.918

12.474

3.618

5.426

10.242

15.858

25.573

15

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

19.235

21.350

26.026

36.600

48.800

12.474

3.618

5.426

10.242

19.822

31.716

18

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

24.803

28.065

34.213

48.112

64.149

12.474

3.618

5.426

10.242

23.787

38.059

25 1

6

6.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

5.784

NP

6.584

9.259

12.345

16.282

4.725

7.088

12.078

NP

14.494

9

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

9.963

9.923

12.096

17.010

22.680

16.282

4.725

7.088

12.078

13.588

21.741

34 - 17

do in..

1-1/8

1-1/4

1-3/8

1-1/2

1-3/4

2

hef in..

φNs – Resistencia a la tracción del anclaje fut – para los fines del diseño 3 - psi

φNcb – Desprendimiento del hormigón por tracción 4,5,6 c – Distancia a los bordes - in. Recubr. 0,25hef 0,5hef hef ≥1,5hef 1-1\2-in. 14.226 15.277 18.623 26.189 34.918

φNpn – Arrancamiento del anclaje 9 Gancho en “J” o “L” 8 Cabeza 7 eh = 4,5do eh = 3do

φNsb – Descascaramiento lateral 4,10 c – Distancia a los bordes - in. Recubrimiento 1-1/2–in.

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

12

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

15

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

19.307

26.026

36.600

18

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

24.881

28.065

34.213

48.112

21

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

30.908

35.366

43.113

25

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

39.595

45.938

56.000

6

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

5.833

NP

6.584

9.259

12.345

20.608

5.980

8.970

14.013

NP

16.306

9

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

9.750

9.923

12.096

17.010

22.680

20.608

5.980

8.970

14.013

15.287

24.459

12

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

14.291

15.277

18.623

26.189

34.918

20.608

5.980

8.970

14.013

20.383

32.612

15

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

19.378

21.350

26.026

36.600

48.800

20.608

5.980

8.970

14.013

25.478

40.766

18

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

24.958

28.065

34.213

48.112

64.149

20.608

5.980

8.970

14.013

30.574

48.919

21

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

30.991

35.366

43.113

60.627

80.837

20.608

5.980

8.970

14.013

35.670

57.072

25

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

39.685

45.938

56.000

78.750

105.000

20.608

5.980

8.970

14.013

42.464

67.943

6

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

5.882

NP

6.584

9.259

12.345

25.438

7.383

11.074

16.041

NP

18.117

9

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

9.807

9.923

12.096

17.010

22.680

25.438

7.383

11.074

16.041

16.984

27.175

12

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

14.355

15.277

18.623

26.189

34.918

25.438

7.383

11.074

16.041

22.646

36.233

15

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

19.450

21.350

26.026

36.600

48.800

25.438

7.383

11.074

16.041

28.307

45.292

18

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

25.036

28.065

34.213

48.112

64.149

25.438

7.383

11.074

16.041

33.969

54.350

21

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

31.075

35.366

43.113

60.627

80.837

25.438

7.383

11.074

16.041

39.630

63.408

25

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

39.776

45.938

56.000

78.750

105.000

25.438

7.383

11.074

16.041

47.179

75.486

6

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

5.931

NP

6.584

9.259

12.345

30.786

8.933

13.400

18.166

NP

19.930

9

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

9.865

9.923

12.096

17.010

22.680

30.786

8.933

13.400

18.166

18.685

29.895

12

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

14.420

15.277

18.623

26.189

34.918

30.786

8.933

13.400

18.166

24.913

39.860

15

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

19.521

21.350

26.026

36.600

48.800

30.786

8.933

13.400

18.166

31.141

49.826

18

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

25.114

28.065

34.213

48.112

64.149

30.786

8.933

13.400

18.166

37.369

59.791

21

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

31.158

35.366

43.113

60.627

80.837

30.786

8.933

13.400

18.166

43.597

69.756

25

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

39.866

45.938

56.000

78.750

105.000

30.786

8.933

13.400

18.166

51.902

83.043

12

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

14.486

15.277

18.623

26.189

34.918

36.638

10.631

15.947

20.383

27.178

43.484

15

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

19.593

21.350

26.026

36.600

48.800

36.638

10.631

15.947

20.383

33.972

54.355

18

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

25.192

28.065

34.213

48.112

64.149

36.638

10.631

15.947

20.383

40.766

65.226

21

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

31.242

35.366

43.113

60.627

80.837

36.638

10.631

15.947

20.383

47.561

76.097

25

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

39.957

45.938

56.000

78.750

105.000

36.638

10.631

15.947

20.383

56.620

90.592

12

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

14.616

15.277

18.623

26.189

34.918

58.016

14.470

21.705

27.075

34.199

54.719

15

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

19.737

21.350

26.026

36.600

48.800

58.016

14.470

21.705

27.075

42.749

68.399

18

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

25.348

28.065

34.213

48.112

64.149

58.016

14.470

21.705

27.075

51.299

82.079

21

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

31.409

35.366

43.113

60.627

80.837

58.016

14.470

21.705

27.075

59.849

95.758

25

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

40.138

45.938

56.000

78.750

105.000

58.016

14.470

21.705

27.075

71.249

113.998

12

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

14.747

15.277

18.623

26.189

64.149

74.424

18.900

28.350

32.279

38.735

61.976

15

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

19.881

26.026

36.600

80.837

74.424

18.900

28.350

32.279

48.419

77.470

18

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

25.504

34.213

480112

65.149

74.424

18.900

28.350

32.279

58.102

92.964

21.350

21.350 28.065

21 25

34 - 18

0,25 hef

0,4 hef

16.282

4.725

7.088

12.078

18.118

28.988

48.800

16.282

4.725

7.088

12.078

22.647

36.235

64.149

16.282

4.725

7.088

12.078

27.176

43.482

60.627

80.837

16.282

4.725

7.088

12.078

31.706

50.729

78.750

105.000

16.282

4.725

7.088

12.078

37.745

60.392

Tabla 34-5B. Resistencias de diseño para anclajes individuales hormigonados in situ solicitados a cargas de tracción (f'c = 4000 psi)1,2,4 (Las Notas referidas a esta tabla se encuentran en la página 34-15) do in..

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

hef in..

φNs – Resistencia a la tracción del anclaje fut – para los fines del diseño 3 - psi

φNcb – Desprendimiento del hormigón por tracción 4,5,6 c – Distancia a los bordes - in. Recubr. 0,25hef 0,5hef hef ≥1,5hef 1-1\2-in. 1.998 NP NP 2.254 3.005

φNpn– Arrancamiento del anclaje 9 Gancho en “J” o “L” 8 Cabeza 7 eh = 4,5do eh = 3do

φNsb – Descascaramiento lateral 4,10 c – Distancia a los bordes - in. Recubrimiento 1-1/2 in.

0,25 hef

0,4 hef

709

3.937

NP

NP

709

3.937

NP

NP

473

709

3.937

NP

NP

473

709

3.937

NP

4.846

473

709

3.937

NP

5.815

1.063

1595

4.841

NP

NP

1.063

1595

4.841

NP

NP

1.063

1595

4.841

NP

NP

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

2

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

2.621

473

3

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

3.037

NP

NP

4.141

5.521

2.621

473

4

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

4.220

NP

4.533

6.375

8.500

2.621

5

1.392

1.140

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

5.528

NP

6.336

8.910

11.879

2.621

6

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

6.952

NP

8.328

11.712

15.616

2.621

2

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

2.040

NP

NP

2.254

3.005

3.674

3

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

3.084

NP

NP

4.141

5.521

3.674

4

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

4.271

NP

4.533

6.375

8.500

3.674

5

3.393

3.510

4.338

5.265

6.143

7.020

7.313

5.584

NP

6.336

8.910

6.879

3.674

1.063

1595

4.841

NP

5.737

6

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

7.012

NP

8.328

11.712

15.616

3.674

1.063

1595

4.841

NP

6.885

2

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

2.082

NP

NP

2.254

3.005

6.518

1.890

2.835

6.687

NP

NP

3

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

3.131

NP

NP

4.141

5.521

6.518

1.890

2.835

6.687

NP

NP

4

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

4.323

NP

4.533

6.375

8.500

6.518

1.890

2.835

6.687

NP

NP

5

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

5.641

NP

6.336

8.910

11.879

6.518

1.890

2.835

6.687

NP

7.642

6

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

7.072

NP

8.328

11.712

15.616

6.518

1.890

2.835

6.687

NP

9.171

7

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

8.609

8.609

10.495

14.759

19.678

6.518

1.890

2.835

6.687

6.687

10.699

8

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

10.245

10.518

12.823

18.032

24.042

6.518

1.890

2.835

6.687

7.642

12.228

3

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

3.179

NP

NP

4.141

5.521

10.170

2.953

4.430

8.651

NP

NP

4

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

4.375

NP

4.533

6.375

8.500

10.170

2.953

4.430

8.651

NP

NP

5

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

5.697

NP

6.336

8.910

11.879

10.170

2.953

4.430

8.651

NP

9.546

6

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

7.133

NP

8.328

11.712

15.616

10.170

2.953

4.430

8.651

NP

11.455

7

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

8.674

NP

10.495

14.759

19.678

10.170

2.953

4.430

8.651

NP

13.364

8

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

10.313

10.518

12.823

18.032

24.042

10.170

2.953

4.430

8.651

9.546

15.273

9

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

12.044

12.551

15.300

21.516

28.688

10.170

2.953

4.430

8.651

10.739

17.182

10

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

13.864

14.700

17.920

25.200

33.600

10.170

2.953

4.430

8.651

11.932

19.091

4

14.529

15030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

4.428

NP

4.533

6.375

8.500

14.650

4.253

6.379

10.741

NP

NP

5

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

5.754

NP

6.336

8.910

11.879

14.650

4.253

6.379

10.741

NP

11.457

6

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

7.194

NP

8.328

11.712

15.616

14.650

4.253

6.379

10.741

NP

13.748

7

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

8.738

NP

10.495

14.759

19.678

14.650

4.253

6.379

10.741

NP

16.040

8

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

10.381

10.518

12.823

18.032

24.042

14.650

4.253

6.379

10.741

11.457

18.331

9

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

12.116

12.551

15.300

21.516

28.688

14.650

4.253

6.379

10.741

12.889

20.622

10

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

13.939

14.700

17.920

25.200

33.600

14.650

4.253

6.379

10.741

14.321

22.914

12

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

17.831

19.324

23.556

33.126

44.168

14.650

4.253

6.379

10.741

17.185

27.497

4

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

4.428

NP

4.533

6.375

8.500

14.650

4.253

6.379

10.741

NP

NP

6

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

7.255

NP

8.328

11.712

15.616

19.958

5.788

8.682

12.955

NP

16.047

8

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

10.450

10.518

12.823

18.032

24.042

19.958

5.788

8.682

12.955

13.373

21.396

12

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

17.913

19.324

23.556

33.126

44.168

19.958

5.788

8.682

12.955

20.059

32.094

15

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

24.331

27.006

32.921

46.295

61.727

19.958

5.788

8.682

12.955

25.074

40.118

18

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

31.374

35.500

43.276

60.857

81.142

19.958

5.788

8.682

12.955

30.088

48.141

25

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

49.970

58.017

70.835

99.612

132.816

19.958

5.788

8.682

12.955

41.789

66.863

6

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

7.316

NP

8.328

11.712

15.616

26.051

7.560

11.340

15.278

NP

18.334

9

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

12.260

12.551

15.300

21.516

28.688

26.051

7.560

11.340

15.278

17.188

27.500

12

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

17.995

19.324

23.556

33.126

44.168

26.051

7.560

11.340

15.278

22.197

36.667

15

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

24.421

32.921

46.295

61.727

26.051

7.560

11.340

15.278

28.646

45.834

27.006

34 - 19

do in..

hef in.. 18

1-1/8

1-1/4

1-3/8

1-1/2

1-3/4

2

φNs – Resistencia a la tracción del anclaje fut – para los fines del diseño 3 - psi 58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

φNcb – Desprendimiento del hormigón por tracción 4,5,6 c – Distancia a los bordes - in. Recubr. 0,25hef 0,5hef hef ≥1,5hef 1-1\2-in. 31.472 35.500 43.276 60.857 81.142

φNpn– Arrancamiento del anclaje 9 Gancho en “J” o “L” 8 Cabeza 7 eh = 4,5do eh = 3do

φNsb – Descascaramiento lateral 4,10 c – Distancia a los bordes - in. Recubrimiento 1-1/2 in.

0,25 hef

0,4 hef

26.051

7.560

11.340

15.278

34.376

55.001

21

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

39.096

44.735

54.534

76.688

102.251

26.051

7.560

11.340

15.278

10.105

64.168

25

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

50.084

58.107

70.835

99.612

132.816

26.051

7.560

11.340

15.278

47.744

76.390

6

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

7.378

NP

8.328

11.712

15.616

32.973

9.568

14.352

17.725

NP

20.626

9

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

12.333

12.551

15.300

21.516

28.688

32.973

9.568

14.352

17.725

19.337

30.939

12

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

18.076

19.324

23.556

33.126

44.168

32.973

9.568

14.352

17.725

25.782

41.252

15

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

24.511

32.921

46.295

61.727

32.973

9.568

14.352

17.725

32.228

51.565

18

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

31.570

35.500

43.276

60.857

81.142

32.973

9.568

14.352

17.725

38.674

61.878

21

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

39.201

44.735

54.534

76.688

102.251

32.973

9.568

14.352

17.725

45.119

72.191

25

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

50.198

58.107

70.835

99.612

132.816

32.973

9.568

14.352

17.725

53.713

85.941

6

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

7.440

NP

8.328

11.712

15.616

40.701

11.813

17.719

20.290

NP

22.916

27.006

9

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

12.405

12.551

15.300

21.516

28.688

40.701

11.813

17.719

20.290

21.484

34.374

12

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

18.158

19.324

23.556

33.126

44.168

40.701

11.813

17.719

20.290

28.645

45.832

15

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

24.602

27.006

32.921

46.295

61.727

40.701

11.813

17.719

20.290

35.806

57.290

18

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

31.668

35.500

43.276

60.857

81.142

40.701

11.813

17.719

20.290

42.967

68.748

21

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

39.307

44.375

54.534

76.688

102.251

40.701

11.813

17.719

20.290

50.129

80.206

25

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

50.133

58.107

70.835

99.612

132.816

40.701

11.813

17.719

20.290

59.667

95.483

6

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

7.502

NP

8.328

11.712

15.616

49.258

14.293

21.440

22.978

NP

25.210

9

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

12.478

12.551

15.300

21.516

28.688

49.258

14.293

21.440

22.978

23.634

37.815

12

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

18.241

19.324

23.556

33.126

44.168

49.258

14.293

21.440

22.978

31.512

50.420

15

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

24.693

27.006

32.921

46.295

61.727

49.258

14.293

21.440

22.978

39.391

63.025

18

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

31.767

35.500

43.276

60.857

81.142

49.258

14.293

21.440

22.978

47.269

75.630

21

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

39.412

44.375

54.534

76.688

102.251

49.258

14.293

21.440

22.978

55.147

80.235

25

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

50.427

58.107

70.835

99.612

132.816

49.258

14.293

21.440

22.978

65.651

105.041

12

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

48.323

19.324

23.556

33.126

44.168

58.621

17.010

25.515

25.783

34.377

55.004

15

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

24.783

27.006

32.921

46.295

61.727

58.621

17.010

25.515

25.783

42.972

68.755

18

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

31.865

35.500

43.276

60.857

81.142

58.621

17.010

25.515

25.783

51.566

82.505

21

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

39.518

44.375

54.534

76.688

102.251

58.621

17.010

25.515

25.783

60.160

96.256

25

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

50.542

58.107

70.835

99.612

132.816

58.621

17.010

25.515

25.783

71.619

114.591

12

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

18.488

19.324

23.556

33.126

44.168

92.826

23.153

34.729

34.247

43.259

69.215

15

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

24.965

27.006

32.921

46.295

61.727

92.826

23.153

34.729

34.247

54.074

86.519

18

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

32.063

35.500

43.276

60.857

81.142

92.826

23.153

34.729

34.247

64.089

103.822

21

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

39.730

44.375

54.534

76.688

102.251

92.826

23.153

34.729

34.247

75.704

121.126

25

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

50.771

58.107

70.835

99.612

132.816

92.826

23.153

34.729

34.247

90.123

144.198

12

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

18.654

19.324

23.556

33.126

44.168

119.078

30.240

45.360

40.830

48.996

78.394

15

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

25.148

27.006

32.921

46.295

61.727

119.078

30.240

45.360

40.830

61.245

97.992

18

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

32.261

35.500

43.276

60.857

81.142

119.078

30.240

45.360

40.830

73.494

117.591

21

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

39.942

44.375

54.534

76.688

102.251

119.078

30.240

45.360

40.830

85.743

137.189

25

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

51.001

58.107

70.835

99.612

132.816

119.078

30.240

45.360

40.830

102.075

163.320

34 - 20

Tabla 34-5C. Resistencias de diseño para anclajes individuales hormigonados in situ solicitados a cargas de tracción (f'c = 6000 psi)1,2,4 (Las Notas referidas a esta tabla se encuentran en la página 34-15)

do in.

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

hef in..

φNs – Resistencia a la tracción del anclaje fut – para los fines del diseño 3 - psi

φNcb – Desprendimiento del hormigón por tracción 4,5,6 c – Distancia a los bordes - in. Recubr. 0,25hef 0,5hef hef ≥ 1,5hef 1-1\2-in. 2.447 NP NP 2.761 3.681

φNpn– Arrancamiento del anclaje 9 Gancho en “J” o “L” 8 Cabeza 7 eh = 4,5do eh = 3do

φNsb – Descascaramiento lateral 4,10 c – Distancia a los bordes - in. Recubrimiento 1-1/2 in.

0,25 hef

0,4 hef

1.063

4.822

NP

NP

1.063

4.822

NP

NP

709

1.063

4.822

NP

NP

709

1.063

4.822

NP

5.935

3.931

709

1.063

4.822

NP

7.122

5.510

1.595

2.392

5.929

NP

NP

5.510

1.595

2.392

5.929

NP

NP

10.411

5.510

1.595

2.392

5.929

NP

NP

10.912

14.549

5.510

1.595

2.392

5.929

NP

7.027

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

2

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

3.931

709

3

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

3.720

NP

NP

5.071

6.762

3.931

709

4

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

5.168

NP

5.552

7.808

10.411

3.931

5

1.392

1.140

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

6.771

NP

7.760

10.912

14.549

3.931

6

1.392

1.440

1.800

2.160

2.520

2.880

3.000

8.514

NP

10.200

14.344

19.125

2

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

2.498

NP

NP

2.761

3.681

3

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

3.777

NP

NP

5.071

6.762

4

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

5.231

NP

5.552

7.808

5

3.393

3.510

4.338

5.265

6.143

7.020

7.313

6.840

NP

7.760

6

3.393

3.510

4.388

5.265

6.143

7.020

7.313

8.588

NP

10.200

14.344

19.125

5.510

1.595

2.392

5.929

NP

8.432

2

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

2.550

NP

NP

2.761

3.681

9.778

2.835

4.253

8.190

NP

NP

3

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

3.835

NP

NP

5.071

6.762

9.778

2.835

4.253

8.190

NP

NP

4

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

5.295

NP

5.552

7.808

10.411

9.778

2.835

4.253

8.190

NP

NP

5

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

6.908

NP

7.760

10.912

14.549

9.778

2.835

4.253

8.190

NP

9.360

6

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

8.662

NP

10.200

14.344

19.125

9.778

2.835

4.253

8.190

NP

11.232

7

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

10.544

10.544

12.854

18.076

24.101

9.778

2.835

4.253

8.190

8.190

13.104

8

6.177

6.390

7.988

9.585

11.183

12.780

13.313

12.547

12.882

15.704

22.084

29.446

9.778

2.835

4.253

8.190

9.360

14.976

3

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

3.893

NP

NP

5.071

6.762

15.254

4.430

6.645

10.595

NP

NP

4

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

5.359

NP

5.552

7.808

10.411

15.254

4.430

6.645

10.595

NP

NP

5

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

6.978

NP

7.760

10.912

14.549

15.254

4.430

6.645

10.595

NP

11.691

6

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

8.736

NP

10.200

14.344

19.125

15.254

4.430

6.645

10.595

NP

14.029

7

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

10.623

NP

12.854

18.076

24.101

15.254

4.430

6.645

10.595

NP

16.367

8

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

12.630

12.882

15.704

22.084

29.446

15.254

4.430

6.645

10.595

11.691

18.706

9

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

14.751

15.372

18.739

26.352

35.136

15.254

4.430

6.645

10.595

13.152

21.044

10

9.831

10.170

12.713

15.255

17.798

20.340

21.188

16.979

18.004

21.947

30.864

41.151

15.254

4.430

6.645

10.595

14.614

23.382

4

14.529

15030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

5.423

NP

5.552

7.808

10.411

21.974

6.379

9.568

13.155

NP

NP

5

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

7.047

NP

7.760

10.912

14.549

21.974

6.379

9.568

13.155

NP

14.032

6

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

8.811

NP

10.200

14.344

19.125

21.974

6.379

9.568

13.155

NP

16.838

7

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

10.702

NP

12.854

18.076

24.101

21.974

6.379

9.568

13.155

NP

19.644

8

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

12.714

12.882

15.704

22.084

29.446

21.974

6.379

9.568

13.155

14.032

22.451

9

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

14.839

15.372

18.739

26.352

35.136

21.974

6.379

9.568

13.155

15.786

25.257

10

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

17.071

18.004

21.947

30.864

41.151

21.974

6.379

9.568

13.155

17.540

28.064

12

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

21.839

23.667

28.851

40.571

54.095

21.974

6.379

9.568

13.155

21.048

33.676

4

14.529

15.030

18.788

22.545

26.303

30.060

31.313

5.423

NP

5.552

7.808

10.411

21.974

6.379

9.568

13.155

NP

NP

6

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

8.886

NP

10.200

14.344

19.125

29.938

8.682

13.023

15.866

NP

19.654

8

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

12.798

12.882

15.704

22.084

29.446

29.938

8.682

13.023

15.866

16.378

26.205

12

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

21.939

23.667

28.851

40.571

54.095

29.938

8.682

13.023

15.866

24.567

39.307

15

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

29.799

33.075

40.320

56.700

75.600

29.938

8.682

13.023

15.866

30.079

49.134

18

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

38.425

43.478

53.002

74.534

99.379

29.938

8.682

13.023

15.866

36.851

58.961

25

20.097

20.790

25.988

31.185

36.383

41.580

43.313

61.200

71.166

86.755

121.999

162.665

29.938

8.682

13.023

15.866

51.181

81.890

6

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

8.961

NP

10.200

14.344

19.125

39.077

11.340

17.010

18.712

NP

22.454

9

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

15.016

15.372

18.739

26.352

35.136

39.077

11.340

17.010

18.712

21.051

33.681

12

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

22.039

23.667

28.851

40.571

54.095

39.077

11.340

17.010

18.712

28.068

44.908

15

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

29.910

33.075

40.320

56.700

75.600

39.077

11.340

17.010

18.712

35.084

56.135

34 - 21

do in.

hef in.. 18

1-1/8

1-1/4

1-3/8

1-1/2

1-3/4

2

φNs – Resistencia a la tracción del anclaje fut – para los fines del diseño 3 - psi 58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

φNcb – Desprendimiento del hormigón por tracción 4,5,6 c – Distancia a los bordes - in. Recubr. 0,25hef 0,5hef hef ≥ 1,5hef 1-1\2-in. 38.545 43.478 53.002 74.534 99.379

φNpn– Arrancamiento del anclaje 9 Gancho en “J” o “L” 8 Cabeza 7 eh = 4,5do eh = 3do 39.077

11.340

17.010

φNsb – Descascaramiento lateral 4,10 c – Distancia a los bordes - in. Recubrimiento 1-1/2 in.

0,25 hef

0,4 hef

18.712

42.101

67.362 78.589

21

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

47.882

54.789

66.790

93.924

125.232

39.077

11.340

17.010

18.712

49.118

25

26.361

27.270

34.088

40.905

47.723

54.540

56.813

61.340

71.166

86.757

121.999

162.665

39.077

11.340

17.010

18.712

58.474

93.559

6

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

9.036

NP

10.200

14.344

19.125

49.459

14.352

21.528

21.709

NP

25.621

9

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

15.104

15.372

18.739

26.352

35.136

49.459

14.352

21.528

21.709

23.683

37.892

12

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

22.139

23.667

28.851

40.571

54.095

49.459

14.352

21.528

21.709

31.577

50.523

15

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

30.020

33.075

40.320

56.700

75.600

49.459

14.352

21.528

21.709

39.471

63.154

18

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

38.665

43.478

53.002

74.534

99.379

49.459

14.352

21.528

21.709

47.365

75.784

21

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

48.011

54.789

66.790

93.924

125.232

49.459

14.352

21.528

21.709

55.259

88.415

25

33.191

34.335

42.919

51.503

60.086

68.670

71.531

61.480

71.166

86.755

121.999

162.665

49.459

14.352

21.528

21.709

65.785

105.256

6

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

9.112

NP

10.200

14.344

19.125

61.051

17.719

26.578

24.850

NP

28.066

9

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

15.193

15.372

18.739

26.352

35.136

61.051

17.719

26.578

24.850

26.312

42.099

12

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

22.239

23.667

28.851

40.571

54.095

61.051

17.719

26.578

24.850

35.083

56.132

15

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

30.131

33.075

40.320

56.700

75.600

61.051

17.719

26.578

24.850

43.853

70.165

18

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

38.786

43.478

53.002

74.534

99.379

61.051

17.719

26.578

24.850

52.624

84.198

21

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

48.141

54.789

66.790

93.924

125.232

61.051

17.719

26.578

24.850

61.395

98.231

25

42.152

43.605

54.506

65.408

76.309

87.210

90.844

61.620

71.166

86.757

121.999

162.665

61.051

17.719

26.578

24.850

73.089

116.942

6

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

9.188

NP

10.200

14.344

19.125

73.886

21.440

32.160

28.142

NP

30.876

9

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

15.283

15.372

18.739

26.352

35.136

73.886

21.440

32.160

28.142

28.946

46.314

12

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

23.667

28.851

40.571

54.095

73.886

21.440

32.160

28.142

38.595

61.751

15

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

30.242

33.075

40.320

56.700

75.600

73.886

21.440

32.160

28.142

48.243

77.189

18

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

38.906

43.478

53.002

74.534

99.379

73.886

21.440

32.160

28.142

57.892

92.627

21

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

48.270

54.789

66.790

93.924

125.232

73.886

21.440

32.160

28.142

67.54

108.065 128.649

22.340

25

50.460

52.200

65.250

78.300

91.350

104.400

108.750

61.760

71.166

86.757

121.999

162.665

73.886

21.440

32.160

28.142

80.406

12

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

22.441

23.667

28.851

40.571

54.095

87.931

25.515

38.273

31.578

42.103

67.365

15

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

30.353

33.075

40.320

56.700

75.600

87.931

25.515

38.273

31.578

52.629

84.207

18

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

39.027

43.478

53.002

74.534

99.379

87.931

25.515

38.273

31.578

63.155

101.048

21

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

48.399

54.789

66.790

93.924

125.232

87.931

25.515

38.273

31.578

73.681

117.889

25

61.335

63.450

79.313

95.175

111.308

126.900

132.188

61.901

71.166

86.757

121.999

162.665

87.931

25.515

38.273

31.578

87.715

140.345

12

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

22.643

23.667

28.851

40.571

54.095

139.238

34.729

52.093

41.944

52.982

84.771

15

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

30.576

33.075

40.320

56.700

75.600

139.238

34.729

52.093

41.944

66.227

105.963

18

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

39.269

43.478

53.002

74.534

99.379

139.238

34.729

52.093

41.944

79.472

127.156

21

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

48.659

54.789

66.790

93.924

125.232

139.238

34.729

52.093

41.944

92.718

148.348

25

82.650

85.500

106.875

128.250

149.625

171.000

178.125

62.182

71.166

86.757

121.999

162.665

139.238

34.729

52.093

41.944

110.378

176.605

12

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

22.846

23.667

28.851

40.571

54.095

178.618

45.760

68.040

50.006

60.008

96.012

15

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

30.800

33.075

40.320

56.700

75.600

178.618

45.760

68.040

50.006

75.010

120.016

18

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

39.511

43.478

53.002

74.534

99.379

178.618

45.760

68.040

50.006

90.012

144.019

21

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

48.659

54.789

66.790

93.924

125.232

178.618

45.760

68.040

50.006

25

108.750

112.500

140.625

168.750

196.875

225.000

234.375

34 - 22

Tabla 34-6A. Resistencias de diseño para anclajes individuales hormigonados in situ solicitados a cargas de corte (f'c = 2500 psi)1,2,3,5 (Las Notas referidas a esta tabla se encuentran en la página 34-16) do in.

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

hef in.

φVcb – Desprendimiento del hormigón por corte 5,6,7,8,9 h = hef 10 y c1 = 11 h = 1,5hef y c1 = 11,12

φVs – Resistencia al corte del anclaje fut – para los fines del diseño 4 - psi

h = 2,25hef y c1 = 11,13

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

Recubrim. 1-1/2 in

0,25hef

0,5hef

hef

1,5hef

3hef

hef

1,5hef

3hef

1,5hef

2hef

3hef

2

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

316

NP

NP

350

429

606

525

643

910

965

1.114

1.364

3

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

385

NP

NP

643

788

1.114

965

1.182

1671

1.772

2.047

2.507

4

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

385

NP

525

990

1.213

1.715

1.485

1.819

2.573

2.729

3.151

3.859

5

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

385

NP

734

1.384

1.695

2.397

2.076

2.542

3.596

3.814

4.404

5.393

6

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

385

NP

965

1.819

2.228

3.151

2.729

3.342

4.727

5.013

5.789

7.090

2

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

363

NP

NP

395

484

685

593

726

1.2027

1.090

1.258

1.541

3

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

499

NP

NP

788

965

1.364

1.182

1.447

2.047

2.171

2.507

3.070

4

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

499

NP

643

1.213

1.485

2.101

1.819

2.228

3.151

3.342

3.859

4.727

5

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

499

NP

899

1.695

2.076

2.936

2.542

3.114

4.404

4.671

5.393

6.606

6

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

499

NP

1.182

2.228

2.729

3.859

3.342

4.093

5.789

6.140

7.090

8.683

2

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

403

NP

NP

431

528

747

647

792

1.120

1.188

1.372

1.680

3

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

574

NP

NP

859

1.052

1.487

1.288

1.578

2.231

2.366

2.733

3.347

4

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

608

NP

743

1.400

1.715

2.426

2.101

2.573

3.638

3.859

4.456

5.458

5

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

608

NP

1.038

1.957

2.397

3.390

2.936

3.596

5.085

5.393

6.288

7.627

6

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

608

NP

1.364

2.573

3.151

4.456

3.859

4.727

6.684

7.090

8.177

10.026

7

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

608

608

1.719

3.242

3.971

5.615

4.863

5.956

8.423

8.934

10.316

12.635

8

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

608

743

2.101

3.961

4.851

6.861

5.942

7.277

10.291

10.915

12.604

15.437

3

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

647

NP

NP

918

1.125

1.590

1.377

1.687

2.386

2..530

2.922

3.578

4

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

685

NP

794

1.497

1.834

2.594

2.246

2.751

3.890

4.126

4.765

5.836

5

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

716

NP

1.160

2.188

2.680

3.790

3.282

4.020

5.685

6.030

6.963

8.528

6

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

716

NP

1.525

2.876

3.523

4.982

4.315

5.284

7.473

7.927

9.153

11.210

7

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

716

NP

1.922

3.625

4.439

6.278

5.437

6.659

9.417

9.989

11.534

14.126

8

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

716

830

2.349

4.429

5.424

7.671

6.643

8.136

11.506

12.204

14.092

17.259

9

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

716

991

2.802

5.284

6.472

9.153

7.927

9.708

13.729

14.562

16.815

20.594

10

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

11.018

716

1.160

3.282

6.189

7.580

10.720

9.284

11.370

16.080

17.055

19.694

24.120

4

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

761

NP

839

1.582

1.937

2.739

2.372

2.906

4.109

4.358

5.033

6.164

5

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

796

NP

1.226

2.311

2.831

4.003

3.467

4.246

6.005

6.369

7.354

9.007

6

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

826

NP

1.671

3.151

3.859

5.458

4.727

5.789

8.187

8.683

10.026

12.280

7

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

826

NP

2.106

3.971

4.863

6.878

5.956

7.295

10.316

10.942

12.635

15.474

8

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

826

910

2.573

4.851

5.942

8.403

7.277

8.912

12.604

13.369

15.437

18.906

9

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

826

1.085

3.070

5.789

7.090

10.026

8.683

10.635

15.040

15.952

18.420

22.560

10

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

826

1.271

3.596

6.780

8.304

11.743

10.170

12.455

17.615

18.683

21.574

26.422 34.733

12

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

826

1.671

4.727

8.912

10.915

15.437

13.369

16.373

23.155

24.560

28.359

4

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

838

NP

878

1.656

2.029

2.869

2.485

3.043

4.304

4.565

5.271

6.455

6

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

908

NP

1.750

3.300

4.042

5.716

4.950

6.063

8.574

9.094

10.501

12.861

8

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

937

983

2.779

5.240

6.418

9.076

7.860

9.627

13.614

14.440

16.674

20.421

12

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

937

1.805

5.105

9.627

11.790

16.674

14.440

17.685

25.010

26.528

30.631

37.516

15

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

937

2.523

7.135

13.453

16.477

23.302

20.180

24.716

34.953

37.073

42.809

52.430

18

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

937

3.316

9.379

17.685

21.660

30.631

26.528

32.489

45.947

48.734

56.273

68.921

25

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

937

5.428

15.352

28.947

35.453

50.138

43.421

53.179

75.207

79.769

92.109

112.811

6

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

992

NP

1.822

3.435

4.207

5.950

5.513

`6.311

8.924

9.466

10.930

13.387

9

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1050

1.253

3.545

6.684

8.187

11.578

10.026

12.280

17.366

18.420

21.269

26.050

12

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1050

1.930

5.458

10.291

12.604

17.825

15.437

18.906

26.737

28.359

32.746

40.106

15

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1050

2.697

7.627

14.382

17.615

24.911

21.547

26.422

37.366

39.633

45.764

56.050

34 - 23

do in.

1-1/8

1-1/4

1-3/8

1-1/2

1-3/4

2

hef in.

φVcb – Desprendimiento del hormigón por corte 5,6,7,8,9 h = hef 10 y c1 = 11 h = 1,5hef y c1 = 11,12

φVs – Resistencia al corte del anclaje fut – para los fines del diseño 4 - psi

h = 2,25hef y c1 = 11,13

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

Recubrim. 1-1/2 in

0,25hef

0,5hef

hef

1,5hef

3hef

hef

1,5hef

3hef

1,5hef

2hef

3hef

18

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1050

3.545

10.026

18.906

23.155

32.746

28.359

34.733

49.119

52.099

60.159

73.679

21

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1050

4.467

12.635

23.824

29.179

41.265

35.737

43.768

61.898

65.652

75.809

92.846

25

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1050

5.802

16.412

30.946

37.901

53.600

46.419

56.851

80.400

85.277

98.469

120.600

6

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.076

NP

1.887

3.559

4.3586.

6.164

5.366

6.538

9.245

9.806

11.323

13.868

9

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.167

1.329

3.760

7.090

8.683

12.280

10.635

13.025

18.420

19.537

22.560

27.630

12

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.167

2.047

5.789

10.915

13.369

18.906

16.373

20.053

28.359

30.079

34.733

42.539

15

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.167

2.860

8.090

15.255

18.683

26.422

22.882

28.025

39.633

42.037

48.540

59.450

18

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.167

3.760

10.635

20.053

24.560

34.733

30.079

36.840

52.099

55.259

63.808

78.149

21

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.167

4.738

13.401

25.270

30.949

43.768

37.904

65.652

69.635

80.407

98.478

25

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.167

6.154

17.407

32.843

40.200

56.851

49.235

85.277

90.450

104.442

127.915

6

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.161

NP

1.948

3.673

4.498

6.362

5.509

6.747

9.542

10.121

11.687

14.314

9

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.259

1.372

3.881

7.317

8.962

12.674

10.976

13.443

19.011

20.165

23.284

28.517

12

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.286

2.157

6.102

11.506

14.092

19.929

17.259

21.138

29.893

31.706

36.611

44.840

15

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.286

3.015

8.528

16.080

19.694

27.851

24.120

29.541

41.777

44.311

51.166

18

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.286

3.963

11.210

21.138

25.888

36.611

31.706

38.832

54.917

58.248

67.260

82.376

21

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.286

4.994

14.126

26.636

32.623

46.136

39.955

48.934

69.204

73.401

84.757

103.805

25

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.286

6.487

18.349

34.599

42.374

59.926

51.898

63.562

89.890

95.342

110.092

134.834

6

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.248

NP

2.004

3.779

4.629

6.546

5.669

6.943

9.819

10.415

12.206

14.729

46.423 60.300

62.665

9

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.353

1.412

3.993

7.530

9.222

13.042

11.295

13.833

19.563

20.749

23.959

29.344

12

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.409

2.263

6.400

12.067

14.780

20.901

18.101

22.169

31.352

33.254

38.398

47.028

15

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.409

3.162

8.944

16.865

20.655

29.211

25.297

30.983

43.816

46.474

53.663

65.724

18

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.409

4.157

11.757

22.169

27.152

38.398

33.254

40.728

57.598

61.092

70.542

86.396

21

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.409

5.238

14.816

27.937

34.215

48.388

41.905

51.323

72.581

76.984

88.894

108.872

25

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.409

6.804

19.244

36.287

44.443

62.851

54.431

66.664

94.277

99.996

115.465

141.416

12

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.535

2.363

6.684

12.604

15.437

21.839

18.906

23.155

32.746

34.733

40.106

49.119

15

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.535

3.303

9.342

17.615

21.574

30.510

26.422

32.360

45.764

48.540

56.050

68.647

18

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.535

4.342

12.280

23.155

28.359

40.106

34.733

42.539

60.159

63.808

73.679

90.238

21

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.535

5.471

15.474

29.179

35.737

50.539

43.768

53.605

75.809

80.407

92.846

113.713

25

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.535

7.106

20.100

37.901

46.419

65.646

56.851

69.628

98.469

104.442

120.600

147.704

12

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

1.743

2.475

7.001

13.201

16.167

22.864

19.801

24.251

34.296

36.377

42.004

51.444

15

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

1.798

3.567

10.090

19.026

23.302

32.954

28.539

34.953

49.431

52.430

18

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

1.798

4.689

13.264

25.010

30.631

43.319

37.516

45.947

64.979

68.921

79.583

21

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

1.798

5.909

16.714

31.517

38.600

54.589

47.275

57.900

81.883

86.850

100.286

122.824

25

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

1.798

7.676

21.710

40.938

50.138

70.906

61.406

75.207

106.359

112.811

130.262

159.538

12

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

1.960

2.576

7.287

13.740

16.828

23.799

20.610

25.242

35.698

37.863

43.721

53.547

15

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.049

3.765

10.648

20.079

24.591

34.778

30.118

36.887

52.166

55.331

63.891

78.250

18

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.076

5.013

14.180

26.737

32.746

46.310

40.106

49.119

69.465

73.679

85.077

104.198

21

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.076

6.317

17.868

33.693

41.265

58.358

50.539

61.898

87.536

92.846

107.210

131.305

25

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

34 - 24

60.541

74.147 97.468

Tabla 34-6B. Resistencias de diseño para anclajes individuales hormigonados in situ solicitados a cargas de corte (f'c = 4000 psi)1,2,3,5 (Las Notas referidas a esta tabla se encuentran en la página 34-16) do in.

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

hef in.

φVs – Resistencia al corte del anclaje fut – para los fines del diseño 4 - psi

h = hef 10 y c1 = 11

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

2

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

Recubrim. 1-1/2 in 399

3

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

487

NP

NP

4

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

487

NP

664

5

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

487

NP

928

6

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

487

NP

2

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

459

NP

3

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

631

NP

4

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

631

NP

5

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

631

NP

6

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

631

2

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

510

3

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

4

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

5

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6

3.212

3.323

4.154

4.984

7

3.212

3.323

4.154

4.984

8

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

3

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

4

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

5

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

6

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

7

5.112

5.288

6.611

7.933

8

5.112

5.288

6.611

9

5.112

5.288

6.611

10

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

4

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

5

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

6

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

7

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

8

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

φVcb – Desprendimiento del hormigón por corte 5,6,7,8,9 h = 1,5hef y c1 = 11,12

h = 2,25hef y c1 = 11,13

0,25hef

0,5hef

hef

1,5hef

3hef

hef

1,5hef

3hef

1,5hef

2hef

3hef

NP

NP

443

542

767

664

814

1.151

1.220

1.409

1.726

814

996

1.409

1.220

1.495

2.114

2.242

2.589

3.171

1.253

1534

2.170

1.879

2.301

3.254

3.452

3.986

4.882

1.751

2.144

3.032

2.626

3.216

4.548

4.824

5.570

6.822

1.220

2.301

2.818

3.986

3.452

4.228

5.979

6.341

7.322

8.968

NP

500

613

866

750

919

1.299

1.78

1.591

1.949

NP

996

1.220

1.726

1.495

1.831

2.589

2.746

3.171

3.883

814

1.534

1.878

2.657

2.301

2.818

3.986

4.228

4.882

5.979

1.137

2.144

2.626

3.714

3.216

3.939

5.570

6.822

8.355

NP

1.495

2.818

3.452

4.882

5.178

7.322

7.766

8.968

10.983

NP

NP

545

668

944

818

1.002

1.417

1.502

1.735

2.125

726

NP

NP

1.086

1.330

1.881

1.629

1.996

2.822

2.993

3.456

4.233

6.923

769

NP

939

1.771

2.170

3.068

2.657

3.254

4.602

4.882

5.637

6.904

6.646

6.923

769

NP

1.313

2.476

3.032

4.288

3.714

4.548

6.432

6.822

7.878

9.648

5.815

6.646

6.923

769

NP

1.726

3.254

3.986

5.637

4.882

5.979

8.455

8.968

10.355

12.683

5.815

6.646

6.923

769

769

2.175

4.101

5.023

7.103

6.151

7.534

10.655

11.301

13.049

15.982

6.923

769

939

2.657

5.010

6.136

7.516

9.205

13.017

13.807

15.943

19.526

11.018

818

NP

NP

1.161

1.422

2.012

1.742

2.134

3.018

3.201

3.696

4.526

11.018

867

NP

1.004

1.894

2.320

3.281

2.841

3.480

4.921

5.220

6.027

7.381

10.577

11.018

906

NP

1.468

2.768

3.390

4.794

4.152

5.085

7.191

7.627

8.807

10.787

10.577

11.018

906

NP

1.930

3.638

4.456

6.302

5.458

6.684

9.453

10.026

11.578

14.180

9.255

10.577

11.018

906

NP

2.432

4.585

5.615

7.941

6.878

8.423

11.912

12.635

14.589

17.868

7.933

9.255

10.577

11.018

906

1.050

2.971

5.602

6.861

9.703

8.403

10.291

14.545

15.437

17.825

21.831

7.933

9.255

10.577

11.018

906

1.253

3.545

6.684

8.187

11.578

10.026

12.280

17.366

18.420

21.269

26.050

11.018

906

1.468

4.152

7.829

9.588

13.560

11.743

14.382

20.340

21.574

24.911

30.510

16.283

963

NP

1.061

2.001

2450

3.465

3.001

3.675

5.198

5.513

6.366

7.796

16.283

1.007

NP

1.550

2.923

3.591

5.064

4.385

5.371

7.595

8.056

9.303

11.393

15.631

16.283

1.044

NP

2.114

3.986

4.882

6.904

5.979

7.322

10.355

10.983

12.683

15.533

15.631

16.283

1.044

NP

2.654

5.023

6.151

8.699

7.534

9.227

13.049

13.841

15.982

19.574

15.631

16.283

1.044

1.151

3.254

6.136

7.516

10.629

9.205

11.273

15.943

16.910

19.526

23.915 28.536

8.678

4.228

5.908

9

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

1.044

1.373

3.883

7.322

8.962

12.683

10.983

13.452

19.024

20.178

23.299

10

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

1.044

1.608

4.548

8.576

10.503

14.854

12.864

15.755

22.281

23.633

27.289

33.422

12

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

16.283

1.044

2.114

5.979

11.273

13.807

19.526

16.910

20.711

29.289

31.066

35.872

43.934

4

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.060

NP

1.111

2.095

2.556

3.629

3.143

3.849

5.444

5.774

6.667

8.165

6

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.149

NP

2.214

4.174

5.113

7.230

6.262

7.669

10.845

11.503

13.283

16.268

8

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.185

1.243

3.515

6.628

8.118

11.480

9.942

12.177

17.220

18.265

21.091

25.831

12

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.185

2.283

6.458

12.177

14.913

21.091

18.265

22.370

31.636

33.555

38.746

47.454

15

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.185

3.191

9.025

17.017

20.842

29.475

25.526

31.263

44.213

46.894

54.149

66.319

18

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.185

4.194

11.863

22.370

27.398

38.746

33.555

41.096

58.119

61.644

71.181

87.178

25

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.185

6.865

19.418

36.616

44.845

63.420

54.923

67.267

95.130

100.901

116.510

142.695

6

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.254

NP

2.304

4.345

5.322

7.526

6.518

7.982

11.289

11.973

13.826

16.933

9

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.329

1.585

4.484

8.455

10.355

14.645

12.683

15.533

21.967

23.299

26.904

32.950

12

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.329

2.441

6.904

13.017

15.943

22.547

19.526

23.915

33.820

35.872

41.421

50.730

15

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.329

3.411

9.648

18.192

22.281

31.510

27.289

33.422

47.265

50.132

57.888

70.898

34 - 25

do in.

1-1/8

1-1/4

1-3/8

1-1/2

1-3/4

2

hef in.

φVs – Resistencia al corte del anclaje fut – para los fines del diseño 4 - psi

h = hef 10 y c1 = 11

φVcb – Desprendimiento del hormigón por corte 5,6,7,8,9 h = 1,5hef y c1 = 11,12

h = 2,25hef y c1 = 11,13

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

18

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

Recubrim. 1-1/2 in 1.329

21

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.329

25

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.329

6

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.361

NP

2.387

4.501

5.513

7.796

6.752

8.269

11.695

12.404

14.323

17.542

9

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.476

1.681

4.756

8.968

10.983

15.533

13.452

16.475

23.299

24.713

28.536

34.949

12

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.476

2.589

7.322

13.807

16.910

23.915

20.711

25.365

35.872

38.048

43.934

53.808

15

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.476

3.618

10.233

19.296

23.633

33.422

28.944

35.449

520.132

53.173

61.399

75.198

18

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.476

4.756

13.452

25.365

31.066

43.934

38.048

46.599

65.901

69.898

80.711

98.851

21

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.476

5.993

16.951

31.964

39.147

55.36

47.946

58.2711

83.044

88.082

101.708

124.566

25

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

1.476

7.785

22.018

41.518

50.849

71.912

62.277

76.274

107.868

114.411

132.110

161.801

6

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.469

NP

2.464

4.646

5.690

8.047

6.969

8.535

12.070

12.802

14.783

18.105

9

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.593

1.735

4.909

9.256

11.336

16.032

13.884

17.004

24.048

25.506

29.452

36.071

12

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.627

2.729

7.718

14.554

17.825

25.208

21.831

26.737

37.812

40.106

46.310

56.718

15

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.627

3.814

10.787

20.340

24.911

35.229

30.510

37.366

52.844

56.050

64.721

79.266

18

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.627

5.013

14.180

26.737

32.746

46.310

40.106

49.119

69.465

73.679

85.077

104.198

21

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.627

6.317

17.868

33.693

41.265

58.358

50.5390

61.898

87.536

92.846

107.210

131.305

25

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.627

8.206

23.209

43.764

53.600

75.802

65.646

80.400

11.702

120.600

139.256

170.554

6

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.579

NP

2.535

4.781

5.855

8.280

7.171

8.783

12.420

13.174

15.212

18.631

0,25hef

0,5hef

hef

1,5hef

3hef

hef

1,5hef

3hef

1,5hef

4.464

12.683

23.915

29.289

41.421

35.872

43.934

62.132

65.901

5.650 7.339

2hef 76.096

3hef 93.198

15.982

30.136

36.909

52.197

45.204

55.6363

78.295

83.044

95.891

117.442

20.759

39.144

47.941

67.799

58.716

71.912

101.699

107.868

124.555

152.548

9

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.712

1.786

5.051

9.524

11.665

16.497

14.287

17.497

24.745

26.246

30.306

37.118

12

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.782

2.862

8.095

15.264

18.695

26.438

22.896

28.042

39.658

42.063

48.571

59.487

15

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.782

4.000

11.313

21.332

26.127

36.949

31.999

39.190

55.423

58.785

67.879

83.135

18

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.782

5.258

14.872

28.042

34.345

48.571

42.063

51.517

72.856

77.275

89.230

109.284

21

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.782

6.626

18.740

35.337

43.279

61.206

53.006

64.919

91.809

97.378

112.443

137.713

25

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.782

8.606

24.342

45.900

56.216

79.501

68.850

84.324

113.252

126.486

146.053

178.787

12

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.942

15

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.942

18

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

1.942

21

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

25

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

12

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

15

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

18

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

21

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

25

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

12

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.989

8.455

15.943

19.526

27.614

23.915

29.289

41.421

43.934

50.730

62.132

11.816

22.281

27.289

38.592

33.422

40.933

57.888

61.399

70.998

86.832

5.492

15.533

29.289

35.872

50.730

43.934

53.808

76.096

80.711

93.198

114.143

1.942

6.920

19.574

36.909

45.204

63.928

55.363

67.805

95.891

101.708

117.442

143.387

68.738

1.942

8.989

25.425

47.941

58.716

83.037

71.912

88.074

124.555

132.110

152.548

186.832

92.625

2.205

3.131

8.855

16.698

20.450

28.921

25.046

30.675

43.382

46.013

53.131

65.073

88.920

92.625

2.274

12.763

24.066

29.475

41.684

36.099

44.213

62.526

66.319

76.578

93.789

88.920

92.625

2.274

5.932

16.777

31.636

38.746

54.795

47.454

58.119

82.193

87.178

100.665

123.289

88.920

92.625

2.274

7.475

21.142

39.866

48.825

69.050

59.799

73.238

103.574

109.857

126.852

155.362

2.274

9.709

27.462

51.782

63.420

89.690

95.130

134.535

142.695

164.770

201.802

2.479

3.259

9.217

17.380

21.286

30.130

31.929

45.155

47.894

55.303

67.732 98.979

4.178

4.512

26.070

15

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.592

13.469

25.398

31.106

43.991

38.097

46.659

65.986

69.989

80.816

18

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.626

6.341

17.936

33.820

41.421

58.578

50.730

62.132

87.868

93.198

107.615

131.801

21

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

2.626

7.991

22.602

42.618

52.197

73.815

63.928

78.295

110.726

117.442

135.611

166.8089

25

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

10.380

29.358

55.358

67.799

95.882

83.037

101.699

143.823

152.548

176.147

215.735

2.626

4.762

77.674

34 - 26

Tabla 34-6C. Resistencias de diseño para anclajes individuales hormigonados in situ solicitados a cargas de corte (f'c = 6000 psi)1,2,3,5 (Las Notas referidas a esta tabla se encuentran en la página 34-16)

do in.

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

hef in..

φVs – Resistencia al corte del anclaje fut – para los fines del diseño 4 - psi

h = hef 10 y c1 = 11

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

2

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

Recubrim. 1-1/2 in 489

3

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

596

NP

4

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

596

NP

5

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

596

NP

6

724

749

936

1.123

1.310

1.498

1.560

596

2

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

3

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

4

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

5

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

6

1.764

1.825

2.282

2.738

3.194

3.650

3.803

2

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

3

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6.923

4

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

5

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

6

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

7

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

8

3.212

3.323

4.154

4.984

5.815

6.646

3

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

4

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

5

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

6

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

7

5.112

5.288

6.611

7.933

8

5.112

5.288

6.611

9

5.112

5.288

6.611

10

5.112

5.288

6.611

7.933

9.255

10.577

4

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

5

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

15.631

6

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

7

7.555

7.816

9.770

11.723

13.677

8

7.555

7.816

9.770

11.723

9

7.555

7.816

9.770

11.723

10

7.555

7.816

9.770

12

7.555

7.816

9.770

4

10.450

10.811

6

10.450

10.811

φVcb – Desprendimiento del hormigón por corte 5,6,7,8,9 h = 1,5hef y c1 = 11,12

h = 2,25hef y c1 = 11,13

0,25hef

0,5hef

hef

1,5hef

3hef

hef

1,5hef

3hef

1,5hef

2hef

3hef

NP

NP

542

664

939

814

996

1.409

1.495

1.726

2.114

NP

996

1.220

1.726

1.495

1.831

2.589

2.746

3.171

3.883

814

1.534

1.879

2.657

2.301

2.818

3.986

4.228

4.882

5.979

1.137

2.144

2.626

3.714

3.216

3.939

5.570

5.908

6.822

8.335

NP

1.495

2.818

3.452

4.882

4.228

5.178

7.322

7.766

8.968

10.983

563

NP

NP

613

750

1.061

919

1.125

1.591

1.688

1.949

2.387

772

NP

NP

1.220

1.495

2.114

1.831

2.242

3.171

3.363

3.883

4.756

3.803

772

NP

996

1.879

2.301

3.254

2.818

3.452

4.882

5.178

5.979

7.322

3.803

772

NP

1.393

2.626

3.216

4.548

3.939

4.824

6.822

7.363

8.355

10.233

772

NP

1.831

3.452

4.228

5.979

5.178

6.341

8.968

9.512

10.983

13.452

625

NP

NP

668

818

1.157

1.002

1.227

1.735

1.840

2.125

2.602

889

NP

NP

1.330

1.629

2.304

1.996

2.444

3.456

3.666

4.233

5.185

6.923

942

NP

1.151

2.170

2.657

3.758

3.254

3.986

5.637

5.979

6.904

8.455

6.923

942

NP

1.608

2.032

3.714

5.252

4.548

5.570

7.878

8.355

9.648

11.816

6.646

6.923

942

NP

2.114

3.986

4.882

6.904

5.979

7.322

10.355

10.983

12.683

15.533

6.646

6.923

942

942

2.664

5.023

6.151

8.699

7.534

9.227

13.049

13.841

15.982

19.574

6.923

942

1.151

3.254

6.136

7.516

10.629

9.205

11.273

15.943

16.910

19.526

23.915

11.018

1.002

NP

NP

1.422

1.742

2.464

2.134

2.613

3.696

3.920

4.526

5.544

11.018

1.061

NP

1.230

2.320

2.841

4.018

3.480

4.262

6.027

6.393

7.381

9.040

10.577

11.018

1.110

NP

1.798

3.390

4.152

5.872

5.085

6.228

8.807

9.342

10.787

13.211

10.577

11.018

1.110

NP

2.363

4.456

5.458

7.718

6.684

8.187

11.578

12.280

14.180

17.366

9.255

10.577

11.018

1.110

NP

2.978

5.615

6.878

9.726

8.423

10.316

14.589

15.474

17.868

21.884

7.933

9.255

10.577

11.018

1.110

1.286

3.638

6.861

8.403

11.883

10.291

12.604

17.825

18.906

21.831

26.737

7.933

9.255

10.577

11.018

1.110

1.535

4.342

8.187

10.026

14.180

12.280

15.040

21.269

22.560

26.050

31.904

11.018

1.110

1.798

5.085

9.588

11.743

16.607

14.382

17.615

24.911

26.422

30.510

37.366

16.283

1.180

NP

1.299

2.450

3.001

4.244

3.675

4.501

6.366

6.752

7.796

9.549

16.283

1.233

NP

1.899

3.581

4.385

6.202

5.371

6.578

9.303

9.867

11.393

13.954

15.631

16.283

1.279

NP

2.589

4.882

5.979

8.455

7.322

8.968

12.683

13.452

15.533

19.024

15.631

16.283

1.279

NP

3.262

6.151

7.534

10.655

9.227

11.301

15.982

16.951

19.754

23.973

13.677

15.631

16.283

1.279

1.409

3.986

7.516

9.205

13.017

11.273

13.807

19.526

20.711

23.915

29.289

13.677

15.631

16.283

1.279

1.681

4.756

8.968

10.983

15.533

13.452

16.475

23.299

24.713

28.536

34.949

11.723

13.677

15.631

16.283

1.279

1.969

5.570

10.503

12.864

18.192

15.755

19.296

27.289

28.944

33.422

40.933

11.723

13.677

15.631

16.283

1.279

2.589

7.322

13.807

16.910

23.915

20.711

25.365

35.872

38.048

43.934

53.808

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.298

NP

1.361

2.566

3.134

4.445

3.849

4.174

6.667

7.702

8.165

10.001

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.407

NP

2.711

5.113

6.262

8.855

7.669

9.392

13.283

14.089

16.268

19.924

8

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.279

1.522

4.305

8.118

9.942

14.060

12.177

14.913

21.091

22.370

25.831

31.636

12

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.279

2.796

7.909

14.913

18.265

25.831

22.370

27.398

38.746

41.096

47.454

58.119

15

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.279

3.908

11.053

20.842

25.526

36.099

31.263

38.289

54.149

57.434

66.319

81.224

18

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.279

5.137

14.530

27.398

33.555

47.454

41.096

50.332

71.181

75.499

87.178

106.771

25

10.450

10.811

13.514

16.216

18.919

21.622

22.523

1.279

8.408

23.783

44.845

54.923

77.674

67.267

82.385

116.510

123.578

142.695

174.765

6

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.536

NP

2.822

5.322

`6.518

9.217

7.982

9.776

13.826

14.664

16.933

20.739

9

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.627

1.942

5.492

10.355

12.683

17.936

15.533

19.024

26.904

28.536

32.950

40.356

12

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.627

2.989

8.455

15.943

19.526

27.614

23.915

29.289

41.421

43.934

50.730

62.132

15

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.627

4.178

11.816

22.281

27.289

38.592

33.422

40.933

57.888

61.399

70.898

86.832

34 - 27

do in.

1-1/8

1-1/4

1-3/8

1-1/2

1-3/4

2

hef in..

φVs – Resistencia al corte del anclaje fut – para los fines del diseño 4 - psi

h = hef 10 y c1 = 11

58.000

60.000

75.000

90.000

105.000

120.000

125.000

18

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

Recubrim. 1-1/2 in 1.627

21

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.627

25

13.708

14.180

17.726

21.271

24.816

28.361

29.543

1.627

6

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

9

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

37.196

12

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

15

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

35.708

18

17.259

17.854

22.318

26.781

31.245

21

17.259

17.854

22.318

26.781

25

17.259

17.854

22.318

26.781

6

21.919

22.675

28.343

9

21.919

22.675

28.343

12

21.919

22.675

15

21.919

22.675

18

21.919

21 25

φVcb – Desprendimiento del hormigón por corte 5,6,7,8,9 h = 1,5hef y c1 = 11,12

h = 2,25hef y c1 = 11,13

0,25hef

0,5hef

hef

1,5hef

3hef

hef

1,5hef

3hef

1,5hef

2hef

3hef

5.492

15.533

29.289

35.872

50.730

43.934

53.808

76.096

80.711

93.198

114.143

6.920

19.574

36.909

45.204

63.928

55.363

67.805

95.891

101.708

117.442

143.837

8.989

25.425

47.941

58.716

83.037

71.912

88.074

124.555

132.110

152.548

186.832

1.667

NP

2.924

5.513

6.752

9.549

8.269

10.128

14.323

15.192

17.542

21.485

1.807

2.059

5.825

10.983

13.452

19.024

16.475

20.178

28.536

30.267

34.949

42.804

37.196

1.807

3.171

8.968

16.910

20.711

29.289

25.365

31.066

43.934

46.599

53.808

65.901

37.196

1.807

4.431

12.533

23.633

28.944

40.933

35.449

43.416

61.399

65.124

75.198

92.099

35.708

37.196

1.807

5.825

16.475

31.066

38.048

53.808

46.599

57.072

80.711

85.607

98.851

121.067

31.245

35.708

37.196

1.807

7.340

20.761

39.147

47.946

67.805

58.721

71.918

101.708

107.878

124.566

152.562

31.245

35.708

37.196

1.807

9.534

26.967

50.849

62.277

88.074

76.274

93.416

132..110

140.124

161.801

198.165

34.012

39.681

45.349

47.239

1.799

NP

3.018

5.690

6.969

9.855

8.535

10.453

14.783

15.680

18.105

22.174

34.012

39.681

45.349

47.239

1.951

2.126

6.012

11.336

13.884

19.635

17.004

20.826

29.452

31.239

36.071

44.178

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.992

3.342

9.453

17.825

21.831

30.874

26.737

32.746

46.310

49.119

56.718

69.465

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.992

4.671

13.211

24.911

30.510

43.147

37.366

45.764

64.721

68.647

79.266

97.081

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.992

6.140

17.366

32.746

40.106

56.718

49.119

60.159

85.077

90.238

104.198

127.616

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.992

7.737

21.884

41.265

50.539

71.473

61.898

75.809

107.210

113.713

131.305

160.815

21.919

22.675

28.343

34.012

39.681

45.349

47.239

1.992

10.050

28.426

53.600

65.646

92.838

80.400

98.469

139.256

147.704

170.554

208.885

6

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

1.933

NP

3.105

5.855

7.171

10.141

8.783

10.756

15.212

16.135

18.631

22.818

9

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

2.097

2.187

6.186

11.665

14.287

20.204

17.497

21.430

30.306

32.145

37.118

45.460

12

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

2.183

3.505

9.914

18.695

22.896

32.380

28.042

34.345

48.571

51.517

59.487

72.856

15

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

2.183

4.899

13.856

26.127

31.999

45.253

39.190

47.998

67.879

71.997

83.135

101.819

18

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

2.183

6.440

18.214

34.345

42.063

59.487

51.517

63.095

89.230

94.643

109.284

133.845

21

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

2.183

8.115

22.952

43.279

53.006

74.962

64.919

79.509

112.443

119.263

137.713

168.664

25

26.239

27.144

33.930

40.716

47.502

54.288

56.550

2.183

10.540

29.813

56.216

68.850

97.369

84.324

103.275

146.053

154.913

178.878

219.080

12

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

2.378

3.661

10.355

19.526

23.915

33.820

29.289

35.872

50.730

53.808

62.132

76.096

15

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

2.378

5.117

14.472

27.289

33.422

47.265

40.933

50.132

70.898

75.198

86.832

106.347

18

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

2.378

6.726

19.024

35.872

43.934

62.132

53.808

65.901

93.198

98.851

114.143

139.796

21

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

2.378

8.476

23.973

45.204

55.363

78.295

67.805

83.044

117.442

124.566

143.837

176.164

25

31.894

32.994

41.243

49.491

57.740

65.988

68.738

2.378

11.009

31.139

58.716

71.912

101.699

88.074

107.868

152.548

161.801

186.832

228.822

12

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

2.701

3.834

10.845

20.450

25.046

35.421

30.675

37.570

53.131

56.354

65.073

79.697

15

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

2.786

5.527

15.631

29.475

36.099

51.052

44.213

54.149

76.578

81.224

93.789

114.868

18

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

2.786

7.265

20.548

38.746

47.454

67.110

58.119

71.181

100.665

106.771

123.289

150.997

21

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

2.786

9.155

25.894

48.825

59.799

84.568

73.238

89.698

126.852

134.547

155.362

190.278

25

42.978

44.460

55.575

66.690

77.805

88.920

92.625

2.786

11.891

33.634

63.420

77.674

109.874

116.510

164.770

174.765

201.802

247.156

12

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

3.036

3.991

22.289

21.286

26.070

36.869

31.929

39.105

55.303

58.658

67.732

82.955

15

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

3.175

5.832

16.496

31.106

38.097

53.877

46.659

57.145

80.816

85.718

98.979

121.224

18

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

3.216

7.766

21.967

41.421

50.730

71.744

62.132

76.096

107.615

114.143

131.801

161.423

21

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

3.216

9.787

27.681

52.197

63.928

90.407

78.295

95.891

135.611

143.837

166.089

203.416

25

56.550

58.500

73.125

87.750

102.375

117.000

121.875

34 - 28

95.130

REFERENCIAS 35.1

ACI Committee 349, "Code Requirements for Nuclear Safety Related Concrete Structures (ACI 349-85), Appendix B – Steel Embedment," American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan.

35.2

PCI Design Handbook, 5º Ed., Precast/Prestressed Concrete Institute, Chicago, 1999.

35.3

International Building Code 2000 (IBC 2000), International Building Code Council, Falls Church, Virginia, Mayo 2000.

35.4

ACI Committee 355, "Evaluating the Performance of Post-Installed Mechanical Anchors in Concrete (ACI 355.2-01), American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan.

35.5

ACI Committee 349, "Code Requirements for Nuclear Safety Related Concrete Structures (ACI 349-01), Appendix B – Steel Embedment," American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan.

34 - 29

Ejemplo 34.1 – Bulón individual con cabeza, alejado de los bordes, solicitado a tracción Diseñar un bulón individual con cabeza instalado en el fondo de una losa de 6 in. que soportará una carga permanente de servicio de 5000 lb. f c' = 4000 psi h ef

6"

5000 lb

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar la carga de diseño mayorada (solamente actúa la carga permanente).

9.2

N u = 1, 4 ( 5000 ) = 7000 lb

2. Determinar el diámetro y el material del anclaje.

D.5.1

La resistencia de la mayoría de los anclajes probablemente estará controlada por la resistencia del empotramiento y no por la resistencia del acero. En consecuencia, generalmente es más económico diseñar el anclaje usando un acero dulce y no un acero de alta resistencia. La norma ASTM F 1554 "Especificación para Bulones de Anclaje, Acero, Tensión de Fluencia 36, 55 y 105 ksi," abarca los anclajes rectos y con gancho, con cabeza y sin cabeza, de tres grados diferentes de resistencia. Para este ejemplo vamos a suponer un anclaje de acero ASTM F 1554 Grado 36, con cabeza. El requisito básico para el acero del anclaje es: φNs ≥ N u

Ec. (D-1) D.4.1.2

donde: φ = 0, 75

D.4.4(a)

De acuerdo con la definición de Elemento de Acero Dúctil dada en la sección D.1, el acero ASTM F 1554 Grado 36 califica como un elemento de acero dúctil (alargamiento mínimo = 23% en 2 in., valor mayor que el 14% requerido; reducción mínima del área = 40%, valor mayor que el 30% requerido; ver Tabla 34-1). Por lo tanto φ = 0,75 mientras que si el acero no satisficiera los requisitos para elementos de acero dúctil sería φ = 0,65. Ns = n Ase f ut

Ec. (D-3)

Para los fines del diseño, la Ecuación (D-1) se puede combinar con la Ecuación (D-3) de la siguiente manera: Ase ≥

Nu φ n f ut

34 - 30

donde: N u = 7000 lbs φ = 0, 75 n =1 f ut = 58.000 psi

De acuerdo con ASTM F 1554, el acero Grado 36 tiene una tensión de fluencia mínima especificada de 36 ksi y una resistencia a la tracción especificada de 58-80 ksi (ver Tabla 34-1). Para los fines de diseño se debe utilizar la resistencia a la tracción mínima, 58 ksi. Nota: De acuerdo con el artículo D.5.1.2, fut se debe tomar menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. Para el acero ASTM F 1554, Grado 36: 1,9fy = 1,9 (36.000) = 68.400 psi. Por lo tanto, usamos el valor mínimo de fut especificado, es decir 58.000 psi.

D.5.1

Reemplazando:

Ase =

7000 = 0,161 in.2 0, 75 (1)( 58.000 )

De acuerdo con la Tabla 34-2, un anclaje roscado de 5/8 in. de diámetro satisfará este requisito (Ase = 0,226 in.2). 3. Determinar la longitud de empotramiento (hef) requerida en base al desprendimiento del hormigón del anclaje.

D.5

El requisito básico para un anclaje individual es: φN cb ≥ N u

Ec. (D-1) D.4.1.2

donde: φ = 0,70

D.4.4(c)

Se aplica la Condición B, ya que no se ha dispuesto armadura suplementaria para "fijar" al elemento estructural el prisma asociado con el modo de falla por desprendimiento del hormigón del anclaje. Normalmente los anclajes solicitados a tracción que se colocan en una losa no tienen esta armadura suplementaria. La Condición A (con φ = 0,75) suele ser aplicable cuando hay anclajes colocados en elementos de mayor profundidad (tal como una viga o un pedestal), donde hay especio disponible para instalar armadura suplementaria. N cb =

AN ψ 2ψ3 N b A No

Ec. (D-4)

donde: AN y ψ2 son iguales a 1,0 para el caso de un anclaje individual alejado de los bordes A No N b = 24 f c' h1,5 ef

Ec. (D-7)

Para diseñar un anclaje individual alejado de los bordes la Ecuación (D-1) se puede combinar con las Ecuaciones (D-4) y (D-7) de la siguiente manera: 34 - 31

2

h ef

 3 Nu  =  φ ψ 24 f '  3 c  

donde: ψ3 = 1,0 para las regiones en las cuales es probable que el hormigón se fisure (por ejemplo, en el fondo de la losa).

D.5.2.6

Reemplazando: 2

h ef

 3 7000 =  = 3,51 in.  0, 70 (1, 0 ) 24 4000   

Para este anclaje seleccionamos un empotramiento de 4 in. Nota: El caso de un anclaje individual alejado de los bordes es el único caso en el cual hef se puede determinar de forma directa. Cuando un anclaje está próximo a dos o más bordes o cuando hay anclajes adyacentes, hef se obtiene mediante un proceso iterativo. 4. Determinar el tamaño de cabeza requerido para el anclaje. El requisito básico para la resistencia al arrancamiento de un anclaje (es decir, la resistencia del anclaje que se relaciona con la superficie de apoyo en el extremo empotrado de los anclajes, de modo que el anclaje sea arrancado del hormigón sin que se produzca una falla por desprendimiento del hormigón del anclaje) es: φN pn ≥ N u

Ec. (D-1) D.4.1.2

donde: φ = 0, 70

D.4.4(c)

Para la resistencia al arrancamiento del anclaje siempre se aplica la Condición B. N pn = ψ 4 N p

Ec. (D-12)

donde: N p = A brg 8f c'

Ec. (D-13)

ψ4 = 1,0 para las regiones en las cuales es probable que el hormigón se fisure (por ejemplo, en el fondo de la losa). Para los fines del diseño la Ecuación (D-1) se puede combinar con las Ecuaciones (D-12) y (D-13) de la siguiente manera: A brg =

Nu φ ψ 4 8 f c'

Reemplazando: 34 - 32

D.5.3.6

A brg =

7000 = 0,313 in.2 0, 70 (1, 0 )( 8 )( 4000 )

Como se indica en la Tabla 34-2, para este anclaje de 5/8 in. de diámetro se puede utilizar cualquier tipo de cabeza normal (cuadrada, cuadrada pesada, hexagonal, o hexagonal pesada). ASTM F 1554 especifica que para los bulones de acero Grado 60 de menos de 1-1/2 in. de diámetro se deben utilizar cabezas hexagonales. 5. Evaluar el descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón del anclaje.

D.5.4

Como el anclaje está alejado de los bordes libres del hormigón (c ≥ 0,4hef), este modo de falla no es aplicable. 6. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como se trata de un anclaje hormigonado in situ alejado de los bordes libres del hormigón, el único requisito es que se deben satisfacer los requisitos de recubrimiento mínimo establecidos en la sección 7.7. Suponiendo que se trata de una losa interior, los requisitos de la sección 7.7 se satisfarán con la longitud de empotramiento de 4 in. más el espesor de la cabeza. El espesor de las tuercas y de las cabezas cuadradas, hexagonales y hexagonales pesadas son como máximo iguales al diámetro del anclaje (ANSI B.18.2.1 y ANSI B.18.2.2 contienen las dimensiones exactas). Esto da por resultado un recubrimiento de hormigón de ~ 1-3/8 in. entre la parte superior de la cabeza del anclaje y la parte superior de la losa. 7. Resumen: Usar un anclaje de 5/8 in. de diámetro, con cabeza, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con una longitud de empotramiento de 4 in. Diseño alternativo usando la Tabla 34-5B

Nota: Los números de los pasos son iguales a los utilizados en el ejemplo principal anterior, a los cuales se les ha antepuesto el prefijo "A". Se seleccionó la Tabla 34-5B porque ésta contiene valores de resistencia a la tracción de diseño correspondientes a hormigón con f'c = 4000 psi. La Nota 4 de la tabla indica que los valores tabulados se basan en la Condición B (no hay armadura suplementaria), mientras que las Notas 6 a 10 indican que se supone hormigón fisurado. A.2

Determinar el diámetro y el material del anclaje.

Tentativamente vamos a probar con un bulón que satisface los requisitos del acero ASTM F 1554, Grado 36, con fut = 58.000 psi. Usando la carga de tracción mayorada obtenida en el Paso 1 del ejemplo anterior (7000 lb) y fut = 58.000 psi, ingresar a la columna correspondiente a 58.000 psi y bajar hasta un tamaño de anclaje que tenga una resistencia a la tracción de diseño, φNs, mayor o igual que 7000 psi. La Tabla 34-6B indica que un bulón de 5/8 in. de diámetro tiene una resistencia a la tracción de diseño igual a: φNs = 9831 lb > N u = 7000 lb

VERIFICA

Como este valor es mayor que la resistencia requerida, tentativamente usar un bulón de 5/8 in. con cabeza. A.3

Determinar la longitud de empotramiento (hef) requerida en base a la resistencia al desprendimiento del hormigón (φNcb)

Como el anclaje estará alejado de los bordes usamos la columna que lleva por título "> 1,5hef". En este caso "alejado de los bordes " significa que la distancia a un borde, c, debe ser mayor o igual que 1,5hef. Un bulón

34 - 33

D.8

de 5/8 in. con una longitud de empotramiento de 3 in. tiene una resistencia al desprendimiento por tracción del hormigón de diseño igual a: φN cb = 5521 lb < N u = 7000 lb

Para un bulón de 5/8 in. con una longitud de empotramiento de 4 in.: φN cb = 8500 lb > N u = 7000 lb

VERIFICA

Tentativamente usar un bulón de 5/8 in. con una longitud de empotramiento de 4 in. A4.

Determinar si el área de apoyo, Abrg, de la cabeza del bulón de 5/8 in. es lo suficientemente grande para impedir el arrancamiento del anclaje (φNpn).

Los valores de la resistencia de diseño al arrancamiento del anclaje, φNpn, indicados en la Tabla 34-6B para los bulones con cabeza cuyo diámetro es menor que 1-3/4 in. se basan en bulones con cabeza hexagonal regular (Nota 7 de la tabla). La columna que lleva por título "cabeza s/ arandela," indica que un bulón de 5/8 in. tiene una resistencia de diseño al arrancamiento del anclaje igual a: φN pn = 10.170 lb > N u = 7000 lb

A.5

VERIFICA

Determinar si la distancia al borde del anclaje, c, es suficiente para impedir el descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón (φNsb).

No es necesario considerar el descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón, ya que la distancia al borde del anclaje es mayor que 0,4hef (0,4 × 4 in. = 1,6 in.). A.6

Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento.

Ver Paso 6 del ejemplo anterior. A.7

Resumen:

Usar un bulón de 5/8 in. de diámetro, con cabeza, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con una longitud de empotramiento de 4 in.

34 - 34

Ejemplo 34.2 – Grupo de pernos con cabeza próximos a un borde solicitados a tracción Diseñar un grupo de cuatro pernos con cabeza soldados, separados entre centros 6 in. en cada dirección, solicitados a una carga permanente de servicio concéntrica de 10.000 lb. El grupo de anclajes se va a instalar en el fondo de una losa de 8 in. de altura, con el eje de la conexión a 6 in. de un borde libre de la losa. f c' = 4000 psi 8"

hef 6" 6" placa 1/2"

6"

10.000 lb

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar la carga de diseño mayorada.

9.2

N u = 1, 4 (10.000 ) = 14.000 lb

2. Determinar el diámetro de los anclajes.

D.5.1

Suponer pernos soldados, con cabeza, AWS D.1.1 Tipo B. El requisito básico para el acero del anclaje es: φNs ≥ N u

Ec. (D-1) D.4.1.2

donde: φ = 0, 75

D.4.4(a)i

De acuerdo con la definición de Elemento de Acero Dúctil dada en la sección D.1, los pernos AWS D.1.1 Tipo B califican como elementos de acero dúctil (alargamiento mínimo = 20% en 2 in., valor mayor que el 14% requerido; reducción mínima del área = 50%, valor mayor que el 30% requerido; ver Tabla 34-1). Ns = nAse f ut

Ec. (D-3)

Para los fines del diseño la Ecuación (D-1) se puede combinar con la Ecuación (D-3) de la siguiente manera: Ase =

Nu φ n f ut

donde:

34 - 35

N u = 14.000 lbs φ = 0, 75 n =1 f ut = 60.000 psi

Nota: De acuerdo con el artículo D.5.1.2, fut se debe tomar menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. Para los pernos AWS D1.1 con cabeza: 1,9fy = 1,9 (50.000) = 95.000 psi. Por lo tanto, usamos el valor mínimo de fut especificado, es decir 60.000 psi.

D.5.1

Reemplazando: Ase =

14.000 = 0, 078 in.2 0, 75 ( 4 ) ( 60.000 )

De acuerdo con la Tabla 34-2, los pernos de 1/2 in. de diámetro, con cabeza, soldados, satisfarán este requisito (Ase = 0,196 in.2) Nota: De acuerdo con la Tabla 7.1 de AWS D1.1, los pernos soldados Tipo B tienen diámetros de 1/2 in., 5/8 in., 3/4 in., 7/8 in. y 1 in. Aunque algunos fabricantes ofrecen pernos de menor diámetro, estos pernos no están cubiertos explícitamente por AWS D1.1. 3. Determinar la longitud de empotramiento (hef) requerida en base al desprendimiento del hormigón del anclaje.

D.5

Hay dos ecuaciones diferentes para calcular la resistencia al desprendimiento del hormigón de los anclajes traccionados: para los anclajes individuales se aplica la Ecuación (D-4), mientras que para los grupos de anclajes se debe utilizar la Ecuación (D-5). Un "grupo de anclajes" se define como: "un número de anclajes de aproximadamente igual profundidad de empotramiento efectiva, donde la separación entre uno o más anclajes adyacentes es menor que tres veces su profundidad de empotramiento."

D.1

Como la separación entre los anclajes es de 6 in., si la profundidad de empotramiento es mayor que 2 in. los debemos tratar como un grupo. Aunque no conocemos la profundidad de empotramiento, en este momento asumiremos que se aplicarán los requisitos para grupos de anclajes. El requisito básico para un grupo de anclajes es: φN cbg ≥ N u

Ec. (D-1) D.4.1.2

donde: φ = 0, 70

D.4.4(c)

Como no hay armadura suplementaria se aplica la Condición B (por ejemplo, no hay armadura en forma de horquillas rodeando a los anclajes y anclada en el hormigón). N cbg =

AN ψ1ψ 2 ψ 3 N b A No

Ec. (D-5)

Como es probable que esta conexión sea afectada tanto por los efectos del grupo de anclajes como por los efectos de la proximidad al borde, la longitud de empotramiento hef no se puede determinar a partir de una solución cerrada. Por lo tanto debemos suponer una longitud de empotramiento, determinar la resistencia de la conexión, y luego comparar este valor con la resistencia requerida.

34 - 36

Nota: Los pernos soldados habitualmente se consiguen en ciertas longitudes fijas. Para determinar cuáles son las longitudes disponibles se deberán consultar los catálogos de cada fabricante. Por ejemplo, la página web de Nelson Stud (www.nelsonstud.com) especifica un empotramiento efectivo de 4 in, para sus pernos de anclaje en hormigón de 1/2 in. de diámetro. Suponer una longitud de empotramiento efectiva hef = 4,5 in. Nota: La longitud de empotramiento efectiva hef del perno soldado es igual a la longitud de empotramiento efectiva del perno más el espesor de la placa de fijación empotrada. Evaluar los términos de la ecuación (D-5) con hef = 4,5 in. Determinar AN y ANo para el anclaje:

D.5.2.1

AN es el área proyectada de la superficie de falla, la cual se aproxima mediante un rectángulo con sus lados ubicados a una distancia igual a 1,5hef (en este caso 1,5 × 4,5 = 6,75 in.) del centro de los anclajes, con las limitaciones impuestas por los bordes libres del hormigón.

6,75" 6" 6,75"

An

3"

6"

6,75"

A N = ( 3 + 6 + 6, 75 )( 6, 75 + 6 + 6, 75 ) = 307 in.2 2 A No = 9 h ef = 9 ( 4,5 ) = 182 in.2 2

Verificar: A N ≤ nA No

307 < 4 (182 )

Ec. (D-6) VERIFICA

Determinar ψ1:

D.5.2.4

ψ1 = 1,0 (no hay excentricidad en la conexión) Determinar ψ2 (c < 1,5hef): ψ 2 = 0, 7 + 0,3

cmin 1,5h ef

ψ 2 = 0, 7 + 0,3

3, 0 = 0,83 1,5 ( 4,5 )

D.5.2.5 Ec. (D-11)

Determinar ψ3:

D.5.2.6 34 - 37

ψ3 = 1,0 (regiones donde es probable que haya fisuración, como por ejemplo el fondo de la losa) Determinar Nb:

D.5.2.2

N b = 24 f c' h1,5 ef = 24 4000 ( 4,5 )

1,5

= 14.490 lb

Ec. (D-7)

Reemplazando en la Ecuación (D-5):  302  N cbg =   (1, 0 )( 0,83)(1, 0 )(14.490 ) = 20.287 lb  182 

La verificación final de la hipótesis considerada (hef = 4,5 in.) se satisface si se satisfacen los requisitos de la Ecuación (D-1): (0,70) (20.287) ≥ 14.000 14.201 > 14.000

VERIFICA

Especificamos una longitud de 4 in. para los pernos soldados, con cabeza, con una placa de fijación de 1/2 in. de espesor. 4. Determinar si el tamaño de la cabeza de los pernos soldados es adecuada para el arrancamiento del anclaje. φN pn ≥ N u

D.5.3 Ec. (D-1) D.4.1.2

donde: φ = 0, 70

D.4.4

En todos los casos para la resistencia al arrancamiento del anclaje se aplica la Condición B. N pn = ψ 4 N p

Ec. (D-12)

donde: N p = A brg 8f c'

Ec. (D-13)

ψ4 = 1,0 para las regiones en las cuales es probable que el hormigón se fisure (por ejemplo, en el fondo de la losa). Para los fines del diseño la Ecuación (D-1) se puede combinar con las Ecuaciones (D-12) y (D-13) de la siguiente manera: A brg =

Nu φ ψ 4 8 f c'

Para el grupo de cuatro pernos la carga de tracción mayorada individual, Nu, que actúa en cada perno es: Nu =

14.000 = 3500 lb 4

34 - 38

Reemplazando: A brg =

3500 = 0,156 in.2 0, 70 (1, 0 )( 8 )( 4000 )

El área de apoyo de los pernos con cabeza soldados se debe determinar en base a los catálogos de cada fabricante. Como se ilustra en la página web de Nelson Stud, el diámetro de la cabeza para un perno de 1/2 in. de diámetro es de 1 in. A brg,provista =

π 1, 02 − 0,52 = 0,589 in.2 > 0,156 in.2 VERIFICA 4

(

)

5. Evaluar el descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón de los anclajes. El descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón de los anclajes se debe considerar cuando la distancia entre el centro del anclaje y el borde libre más próximo es menor que 0,4hef. Para este ejemplo: 0,4h ef = 0,4 (4,5) = 1,8 in. < 3 in. (distancia real al borde)

VERIFICA

Por lo tanto el modo de falla por descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón no es aplicable. 6. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como los anclajes con cabeza soldados no se someten a torque, se aplican los requisitos de recubrimiento mínimo de la sección 7.7. De acuerdo con la sección 7.7, el mínimo recubrimiento libre para una barra de 1/2 in. que no está en contacto con el suelo ni está al aire libre es de 3/4 in. Este valor es menor que el valor provisto (3 – 1/4 = 2-1/4 in.). VERIFICA 7. Resumen: Usar pernos soldados de 1/2 in. de diámetro, ASW D1.1 Tipo B, con un empotramiento efectivo de 4,5 in. (4 in. correspondientes al perno más 1/2 in. de la placa de fijación empotrada).

34 - 39

D.5.4

Ejemplo 34.3 – Grupo de pernos con cabeza próximos a un borde solicitados a tracción excéntrica Determinar la capacidad de carga de tracción mayorada (Nu) para un grupo de cuatro pernos AWS D1.1 Tipo B de 1/2 in. × 4 in., los cuales tienen una separación de 6 in. entre centros en cada dirección y están soldados a una placa de fijación de 1/2 in. de espesor. La carga de tracción está aplicada con una excentricidad de 2 in. El grupo de sujetadores se va a instalar en el fondo de una losa de 8 in. de altura, estando el centro de la conexión a 6 in. de un borde libre de la losa. Nota: Esta configuración se eligió como una de las soluciones posibles para el Ejemplo 34.2, caso de una carga de tracción mayorada de 14.000 lb actuando de forma centrada. La única diferencia es la excentricidad con que se aplica la carga de tracción. Del ejemplo 34.2, la separación de los anclajes determina que deben ser tratados como un grupo de anclajes. cg de la carga de tracción 1"

f c' = 4000 psi 8"

4,5" 6" 6" placa de 1/2"

e n= 2"

6"

Nu

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar cómo se distribuyen las cargas a los anclajes.

Suponiendo que las cargas se distribuyen a los anclajes de forma elástica, la excentricidad de la carga de tracción hará que la fila interior de sujetadores esté solicitada a un mayor esfuerzo. Aunque los pernos están soldados a la placa de fijación, su rigidez flexional en la unión con la placa de fijación es mínima en comparación con la de la placa. Por lo tanto, suponemos para la placa una condición de apoyo simplemente apoyada: 5/6 Nu

1/6 Nu

5"

1"

Nu

Los dos pernos interiores controlarán la resistencia del acero, φNs, y la resistencia al arrancamiento del anclaje, φNpn (5/6Nu debe ser menor o igual que φNs,2 pernos y φNnp,2 pernos). Reordenando:

34 - 40

N u ≤ 6 / 5φNs,2pernos y N u ≤ φN pn,2pernos

2. Determinar la resistencia de diseño del acero controlada por los dos anclajes solicitados por la carga de tracción más elevada (φNs). φNs = φ n Ase f ut

D.5.1 Ec. (D-3)

donde: φ = 0, 75

D.4.4

De acuerdo con la definición de Elemento de Acero Dúctil dada en la sección D.1, los pernos AWS D.1.1 Tipo B califican como elementos de acero dúctil (alargamiento mínimo = 20% en 2 in., valor mayor que el 14% requerido; reducción mínima del área = 50%, valor mayor que el 30% requerido; ver Tabla 34-1). n = 2 (para los dos pernos interiores con la mayor carga de tracción) Ase = 0,196 in.2

(ver Tabla 34-2)

f ut = 60.000

(ver Tabla 34-1)

Reemplazando: φN s, 2 pernos = 0,75 (2) (0,196) (60.000) = 17.640 lb

Por lo tanto, el valor máximo de Nu determinada por el acero del anclaje es igual a: φNs = 6 / 5φNs, 2 pernos = 6 / 5 (17.640 ) = 21.168 lb

3. Determinar la resistencia de diseño al desprendimiento del hormigón ( φN cbg ).

D.5.2

La única diferencia entre la resistencia al desprendimiento del hormigón en este ejemplo y en el Ejemplo 34.2 es la introducción del factor de excentricidad, ψ1. Del Ejemplo 34.2, con ψ1 = 1,0: φN cbg = φ

AN ψ1ψ 2 ψ 3 N b = 14.201 lb A No

Ec. (D-5)

Determinar ψ1 para este ejemplo (eN = eN' = 2 in. < s/2 = 3 in.): ψ1 =

1  2e'  1 + N  3h ef

D.5.2.4 Ec. (D-9)

  

donde: eN' = 2 in. (distancia entre el baricentro del grupo de anclajes y la fuerza de tracción) hef = 4,5 in. (placa de 1/2 in. más 4 in. de empotramiento del perno con cabeza)

34 - 41

Reemplazando: ψ1 =

1 = 0, 77  2 ( 2)  1 + 3 ( 4,5 )   

Por lo tanto: φN cbg = ( 0, 77 )(14, 201) = 10.935 lb

4. Determinar la resistencia de diseño al arrancamiento controlada por los dos anclajes con la carga de tracción más elevada ( φN pn ).

φN pn,1perno = φ ψ 4 N p = φ ψ 4 A brg 8 f c'

D.5.3

Ec. (D-12) Ec. (D-13)

donde: φ = 0,70 – Para la resistencia al arrancamiento siempre se aplica la Condición B. ψ4 = 1,0 – Para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (por ejemplo el fondo de la losa). A brg = 0,589 in.2

D.4.4 D.5.3.6

(ver Paso 4 del Ejemplo 35.2)

Reemplazando: φN pn,1perno = ( 0, 70 )(1, 0 )( 0,589 )( 8, 0 )( 4000 ) = 13.194 lb

Para los dos pernos interiores igualmente cargados: φN pn,2pernos = 2 (13.194 ) = 26.387 lb

Por lo tanto, el máximo valor de Nu controlada por el arrancamiento es: φN pn = 6 / 5φNs, 2pernos = 6 / 5 ( 26.387 ) = 31.664 lb

5. Evaluar el descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón. El descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón se debe considerar si la distancia entre el centro del anclaje y el borde libre más próximo es menor que 0,4hef. Para este ejemplo 0, 4h ef = 0, 4 ( 4,5 ) = 1,8 in. < 3 in. (distancia real al borde)

VERIFICA

Por lo tanto, no es necesario considerar el modo de falla por descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón. 6. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como los anclajes con cabeza soldados no se someten a torque, se aplican los requisitos de recubrimiento mínimo de la sección 7.7.

34 - 42

D.8

De acuerdo con la sección 7.7, el mínimo recubrimiento libre para una barra de 1/2 in. que no está en contacto con el suelo ni está al aire libre es de 3/4 in. Este valor es menor que el valor provisto (3 – 1/4 = 2-3/4 in.). VERIFICA 7. Resumen: 21.168 lb Resistencia del acero ( φN s ) : Resistencia del anclaje – Desprendimiento del hormigón ( φN cbg ): 10.935 lb ← Valor determinante Resistencia del anclaje – Arrancamiento del anclaje ( φN pn ):

31.664 lb

Resistencia del anclaje – Descascaramiento lateral ( φN sb ):

N/A

La máxima carga de tracción mayorada, Nu, para este anclaje es de 10.935 lb. Nota: El Ejemplo 34.2, en el cual se calculó la misma conexión pero sin excentricidad de las cargas, también resultó estar determinado por la resistencia al desprendimiento del hormigón, pero tuvo una capacidad de carga mayorada de 14.201 lb (ver Paso 3 del Ejemplo 34.2).

34 - 43

7.7.1(c)

Ejemplo 34.4 – Bulón individual con cabeza próximo a un borde Determinar la capacidad de corte de servicio para resistir las acciones reversibles del viento para un anclaje individual con cabeza de 1/2 in. de diámetro que tiene una longitud de empotramiento de 7 in. El eje del anclaje está ubicado a 1-3/4 in. del borde de una fundación de hormigón. Nota: Este es el requisito de anclaje mínimo en la fundación que exige la Sección 2308.6 del IBC 2000 para las construcciones de madera convencionales. La distancia al borde de 1-3/4 in. representa una unión típica en la base de los tabiques de madera donde se utilizan elementos 2 x 4.

Vservicio 7" f c' = 4000 psi

18"

Acero ASTM F 1554, Grado 36

1,75"

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. En este problema se conoce el diámetro del anclaje, la longitud de empotramiento y las propiedades del material; se debe calcular la máxima capacidad de carga de corte de servicio para resistir las acciones reversibles del viento. En este caso es mejor primero determinar la carga de corte mayorada determinante, Vu, en base a la menor de las resistencias, ya sea la del acero o la del anclaje, y luego, como paso final, determinar la máxima carga de servicio. En el Paso 6 de este ejemplo se convierte la carga de corte mayorada determinante, Vu, a una carga de servicio debida al viento. 2. Calcular Vu controlada por la resistencia del acero del anclaje. φVs ≥ Vu

D.6.1 Ec. (D-2) D.4.1.2

donde: φ = 0, 65

D.4.4(a)i

De acuerdo con la definición de Elemento de Acero Dúctil dada en la sección D.1, el acero ASTM F 1554 Grado 36 califica como un elemento de acero dúctil. Vs = n 0, 6 Ase f ut

Ec. (D-18)

Para determinar Vu para la resistencia del acero, se puede combinar la Ecuación (D-2) con la Ecuación (D-18) para obtener: Vu = φVs = φ n 0, 6 Ase Fut

donde: φ = 0, 65

34 - 44

n =1 A se = 0,142 in.2 para el bulón roscado de 1/2 in. (Tabla 34-2) f ut = 58.000 psi

De acuerdo con ASTM F 1554, el acero Grado 36 tiene una tensión de fluencia mínima especificada de 36 ksi y una resistencia a la tracción especificada de 58-80 ksi (ver Tabla 34-1). Para los fines de diseño se debe utilizar la resistencia a la tracción mínima, 58 ksi. Nota: De acuerdo con el artículo D.5.1.2, fut se debe tomar menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. Para el acero ASTM F 1554, Grado 36: 1,9fy = 1,9 (36.000) = 68.400 psi. Por lo tanto, usamos el valor mínimo de fut especificado, es decir 58.000 psi Reemplazando, Vu controlada por la resistencia del acero es igual a: Vu = φVs = 0, 65 (1)( 0, 6 )( 0,142 )( 58.000 ) = 3212 lb

3. Calcular Vu controlada por la resistencia al desprendimiento del hormigón por corte, para el caso de un esfuerzo de corte que actúa en dirección a un borde libre. φVcb ≥ Vu

D.6.2 Ec. (D-2) D.4.1.2

donde: φ = 0, 70

D.4.4(c)i

No se ha dispuesto ninguna armadura suplementaria (por ejemplo, no hay armadura en forma de horquillas rodeando a los anclajes y anclada en el hormigón). Vcb =

AV ψ 6 ψ 7 Vb A Vo

Ec. (D-20)

donde: AV y ψ6 son iguales a 1,0 para el caso de un anclaje individual que no es afectado por más de un borde libre A Vo (es decir, el espesor del elemento es mayor que 1,5c1 y la distancia a un borde ortogonal c2 es mayor que 1,5c1)

ψ7 = 1,0 para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (el borde de la fundación es susceptible de fisurarse)  A  Vb = 7    do 

0,2

d o f c' c1,5 1

Ec. (D-20)

donde: A = longitud de apoyo de la carga del anclaje para corte, que debe ser menor o igual que 8do

Para este problema el valor 8do será determinante, ya que la profundidad de empotramiento es hef = 7 in. A = 8d o = 8 ( 0,5 ) = 4, 0 in.

34 - 45

D.0

Para determinar Vu correspondiente a la resistencia al desprendimiento del hormigón, la Ecuación (D-2) se puede combinar con las Ecuaciones (D-20) y (D-23) de la siguiente manera: Vu = φVcb = φ

 A  AV ψ6ψ7   A Vo  do 

0,2

d o f c' c1,5 1

Reemplazando, el valor de Vu determinado por la resistencia al desprendimiento del hormigón es igual a:  8 ( 0,5 )  Vu = φVcb = 0, 70 (1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )( 7 )    ( 0,5 ) 

0,2

0,5 4000 (1, 75 )

1,5

= 769 lb

4. Determinar Vu controlada por la resistencia al arrancamiento del hormigón.

D.6.3

Nota: El modo de falla por arrancamiento del hormigón generalmente sólo se debe considerar en el caso de anclajes rígidos y con poca longitud de empotramiento. Como este ejemplo cubre tanto el caso de corte que actúa en dirección al borde libre como el caso de corte actuando alejándose del borde libre, procederemos a evaluar la resistencia al arrancamiento del hormigón. φVcp ≥ Vu

Ec. (D-2) D.4.1.2

donde: φ = 0,70 – Para la resistencia al arrancamiento del hormigón siempre se aplica la Condición B. Vcp = k cp N cb

D.4.4(c)i Ec. (D-28)

donde: k cp = 2, 0 para h ef ≥ 2,5 in.

N cb =

AN ψ 2ψ3 N b A No

Ec. (D-4)

Evaluar los términos de la Ecuación (D-4) para este problema: AN es el área proyectada de la superficie de falla por tracción, la cual se aproxima mediante un rectángulo con sus lados ubicados a una distancia igual a 1,5hef (1,5 × 7 = 10,5 in.) del centro del anclaje, con las limitaciones impuestas por los bordes libres del hormigón.

10,5"

AN

1,75"

10,5"

34 - 46

10,5"

A N = (1, 75 + 10,5 )(10,5 + 10,5 ) = 257 in.2 2 A No = 9 h ef = 9 ( 7, 0 ) = 441 in.2 2

Ec. (D-6)

Determinar ψ2:

D.5.2.5

ψ 2 = 0, 7 + 0,3

c min 1,5h ef

ψ 2 = 0, 7 + 0,3

1, 75 = 0, 75 1,5 ( 7, 0 )

Ec. (D-11)

Determinar ψ3:

D.5.2.6

ψ3 = 1,0 para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (el borde de la fundación es susceptible de fisurarse) Determinar N b para el anclaje:

D.5.2.2

N b = 24 f c' h1,5 ef = 24 4000 ( 7, 0 )

1,5

= 28.112 lb

Ec. (D-7)

Reemplazando en la Ecuación (D-4):  257  N cb =   ( 0, 75 )(1, 0 )( 28.112 ) = 12.287 lb  441 

Para determinar Vu para la resistencia al arrancamiento del hormigón la Ecuación (D-2) se puede combinar con la Ecuación (D-28) de la siguiente manera: Vu = φVcp = φk cp N cb

Reemplazando, el valor de Vu para la resistencia al arrancamiento del hormigón es igual a: Vu = φVcp = 0, 70 ( 2, 0 )(12.287 ) = 17.202 lb

5. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como es poco probable que un anclaje individual con cabeza usado en una construcción de madera sea sometido a un torque significativo, se aplican los requisitos de recubrimiento mínimo de la sección 7.7. De acuerdo con 7.7, para una barra de 1/2 in. el mínimo recubrimiento libre es de 1-1/2 in. si la barra está en contacto con el suelo o al aire libre. El recubrimiento libre provisto para el bulón es exactamente de 1-1/2 in. (1-3/4 in. hasta el centro del bulón menos la mitad del diámetro del bulón). Observar que el recubrimiento sobre la cabeza del bulón será ligeramente menor (1-3/16 in. si la cabeza es hexagonal), pero digamos que VERIFICA. (Este valor está comprendido dentro de la tolerancia de –3/8 in. permitida para el recubrimiento). 6. Resumen: La carga de corte mayorada (Vu = φVn) determinada en base a la resistencia del acero y en base a la resistencia al desprendimiento y al arrancamiento del hormigón se puede resumir de la siguiente manera:

34 - 47

D.8

Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φVcb ): Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

3212 lb 769 lb ← Valor determinante 17.202 lb

De acuerdo con la sección 9.2, el factor de carga correspondiente a carga de viento es 1,6: Vservicio =

Vu 769 = = 481 lb 1, 6 1, 6

La resistencia al para la mínima conexión a las fundaciones en una construcción de madera (bulón de 1/2 in. de diámetro con una longitud empotrada de 7 in.) – para resistir cargas de corte de servicio reversibles debidas al viento – de la Sección 2308.6 del IBC 2000 – es igual a 481 lb por bulón. También se debe evaluar la resistencia del elemento fijado por los anclajes. Observar que esta resistencia sólo es válida si el anclaje se instala en un hormigón que tiene una resistencia especificada a la compresión de 4000 psi. En muchos casos el hormigón utilizado en este tipo de fundaciones tiene una resistencia especificada a la compresión de sólo 2500 psi, la mínima resistencia permitida por el código. Como la resistencia al desprendimiento del hormigón resultó ser el valor determinante, se puede determinar otra resistencia en base al uso de hormigón de 2500 psi en vez del hormigón de 4000 psi usado en el ejemplo: Vservicio p / 2500 psi = 481

2500 4000

= 380 lb

Diseño alternativo usando la Tabla 34-6B

Nota: Los números de los pasos son iguales a los utilizados en el ejemplo principal anterior, a los cuales se les ha antepuesto el prefijo "A". Se seleccionó la Tabla 34-6B porque ésta contiene valores de resistencia al corte de diseño correspondientes a hormigón con f'c = 4000 psi. La Nota 5 de la tabla indica que los valores tabulados se basan en la Condición B (no hay armadura suplementaria), mientras que la Nota 6 indica que se supuso hormigón fisurado. A2.

Determinar Vu controlada por la resistencia del acero del anclaje.

Del Paso 2, usar un bulón de acero ASTM F 1554, Grado 36, con f ut = 58.000 psi. De la Tabla 34-6B, para una resistencia especificada a la compresión del hormigón f c' = 4000 psi, determinar la resistencia al corte de diseño, φVs correspondiente a un bulón de 1/2 in. φVs = 3212 lb

A3.

Determinar Vu controlada por la resistencia al desprendimiento del hormigón, para corte que actúa en dirección a un borde libre.

Determinar la resistencia de diseño al desprendimiento del hormigón por corte, φVcb, en base a una longitud empotrada de 7 in. y una distancia al borde c1 = 1-3/4 in. En la tabla c1 depende de la profundidad de empotramiento, hef. Por lo tanto la distancia al borde es igual a: c1 = c1 / h ef = 1, 75 / 7 = 0, 25h ef

De la tabla, la resistencia de diseño al desprendimiento del hormigón es igual a:

34 - 48

D.6.1

φVcb = 769 lb

A4.

Determinar Vu para la resistencia al arrancamiento del hormigón.

Determinar la resistencia de diseño al arrancamiento del hormigón por corte, φVcp, en base a una longitud empotrada de 7 in. y una distancia al borde de 1-3/4 in. Esto no se puede determinar de la Tabla 34-6B; sin embargo, φVcp = φk cp N cb

Ec. (D-28)

donde k cp = 2,0 ( h ef > 2,5 in.) y N cb se puede determinar de la Tabla 34-5B. Observar que los valores indicados en las Tablas 34-5 y 43-6 corresponden a resistencias de diseño, lo que significa que incluyen el factor de reducción de la resistencia φ. Como la Tabla 34-5B se basa en la Condición B (sin armadura suplementaria), el valor de φ usado para calcular la resistencia a la tracción del hormigón fue 0,70 – el mismo valor que se debe utilizar para determinar la resistencia al arrancamiento del hormigón en corte. Por lo tanto, el valor de la resistencia de diseño al desprendimiento del hormigón, φNcb, de la Tabla 345 se puede utilizar sin realizar ningún ajuste. De la Tabla 34-5B, para una distancia al borde c = 0,25hef: φN cb = 8609 lb

Reemplazando en la Ecuación (D-28): φVcb = k cp φN cb = ( 2 )( 8609 ) = 17.218 lb

Observar que este valor es algo diferente del obtenido en el Paso 4 anterior. Los valores tabulados son más precisos, ya que en los cálculos manuales se introducen errores de redondeo. A5.

Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento.

Ver Paso 5 anterior. A6.

Determinar la carga de corte de viento de servicio.

La carga de corte mayorada (Vu = φVn) determinada en base a la resistencia del acero y en base a la resistencia al desprendimiento y al arrancamiento del hormigón se puede resumir de la siguiente manera: Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φVcb ): Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

3212 lb 769 lb ← Valor determinante 17.218 lb

A partir de aquí la capacidad de corte de servicio para carga de viento del anclaje de 1/2 in. se determina igual que en el Paso 6 anterior.

34 - 49

D.8

Ejemplo 34.5 – Bulón individual con cabeza próximo a un borde solicitado a tracción Determinar si un anclaje de 1/2 in. de diámetro con cabeza hexagonal, con una profundidad de empotramiento de 7 in., instalado con su eje a 1-3/4 in. del borde de una fundación de hormigón, es adecuado para una carga de tracción de servicio debida al viento de 1000 lb y una carga de corte de servicio reversible debida al viento de 400 lb. Nota: Este ejemplo es una ampliación del Ejemplo 34.4 en el cual sobre el anclaje actúa tanto una carga de corte como una carga de tracción. 1000 lb f c' = 4000 psi

400 lb

Anclaje con cabeza hexagonal, ASTM F 1554, Grado 36

7" 18"

1,75''

Referencia del Código

Cálculos y discusión 1. Determinar las cargas de diseño mayoradas.

9.2

N u = 1, 6 (1000 ) = 1600 lb Vu = 1, 6 ( 400 ) = 640 lb

2. En este problema hay una interacción entre esfuerzos de tracción y de corte, por lo cual es necesario determinar tanto la resistencia a la tracción de diseño (φNn) como la resistencia al corte de diseño (φVn). φNn es la menor de las resistencias a la tracción de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φNs), por el desprendimiento del hormigón en tracción (φNcb), por el arrancamiento del anclaje (φNpn) y por el descascaramiento del recubrimiento lateral (φNsb). φVn es la menor de las resistencias al corte de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φVs), por el desprendimiento del hormigón por corte (φVcb) y por el arrancamiento del hormigón (φVcp).

D.7

3. Determinar la resistencia a la tracción de diseño (φNn).

D.5

a. Resistencia del acero (φNs):

D.5.1

φNs = φ n Ase f ut

Ec. (D-3)

donde: φ = 0, 75

D.4.4(a)i

De acuerdo con la definición de Elemento de Acero Dúctil dada en la sección D.1, el acero ASTM F 1554 Grado 36 califica como un elemento de acero dúctil.

34 - 50

Ase = 0,142 in.2

(ver Tabla 34-2)

f ut = 58.000 psi

(ver Tabla 34-1)

Reemplazando: φNs = 0, 75 (1)( 0,142 )( 58.000 ) = 6177 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción (φNcb): Como no se ha provisto armadura suplementaria φ = 0,70

D.5.2 D.4.4(c)ii

Cuando en el Paso 4 del Ejemplo 34.4 se calculó la resistencia al arrancamiento del hormigón para este sujetador, se determinó que Ncb era igual a 12.287 lb. φN cb = 0, 70 (12.287 ) = 8601 lb

c. Resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción (φNpn): φN pn = φ ψ 4 N p

D.5.3 Ec. (D-12)

donde: φ = 0, 70 – Para la resistencia al arrancamiento del anclaje siempre se aplica la Condición B. ψ 4 = 1, 0 – En los bordes de la fundación puede haber fisuración. N p = A brg 8f c'

D.4.4(c)ii D.5.3.6 Ec. (D-13)

A brg = 0, 291 in.2 – Bulón de 1/2 in. con cabeza hexagonal (ver Tabla 34-2)

Resistencia al arrancamiento del anclaje (φNpn): φN pn = 0, 70 (1, 0 )( 0, 291)( 8 )( 4000 ) = 6518 lb

d. Resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón (φNsb): Cuando la distancia al borde, c, es menor que 0,4hef es necesario investigar el modo de falla por descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón.

D.5.4 D.5.4.1

0, 4h ef = 0, 4 ( 7 ) = 2,80 in. > 1, 75 in.

Por lo tanto se debe determinar la resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral.

(

φNsb = φ 160 c A brg

f c'

)

Ec. (D-15)

donde: φ = 0, 70 (no hay armadura suplementaria)

D.4.4(c)ii

34 - 51

c = 1, 75 in. A brg = 0, 291 in.2 para un bulón de 1/2 in. con cabeza hexagonal (ver Tabla 34-2)

Reemplazando:

(

)

φNsb = 0, 70 160 (1, 75 ) 0, 291 4000 = 6687 lb

Resumen de la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón, la resistencia al arrancamiento del anclaje y la resistencia al descascaramiento lateral para la tracción: Resistencia del acero ( φNs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción ( φN cb ): Resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción ( φN pn ):

6177 lb 8601 lb 6518 lb

Resistencia al descascaramiento lateral ( φNsb ):

6687 lb

← Valor determinante

D.5.1 D.5.2 D.5.3 D.5.4

Por lo tanto: φN n = 6117 lb

4. Determinar la resistencia al corte de diseño ( φVn ).

D.6

Resumen de la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón y la resistencia al arrancamiento del hormigón para el corte (del Ejemplo 35.4): Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φVcb ): Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

3212 lb 769 lb ← Valor determinante 17.202 lb

D.6.1 D.6.2 D.6.3

Por lo tanto: φVn = 769 lb

5. Verificar la interacción de los esfuerzos de tracción y corte. Si Vu ≤ 0, 2 φ Vn se permite considerar la totalidad de la resistencia a tracción.

D.7 D.7.1

Vu = 640 lb 0, 2 φ Vn = 0, 2 ( 769 ) = 154 lb < 640 lb

Como Vu > 0, 2 φ Vn no se puede considerar la totalidad de la resistencia a tracción. Si N u ≤ 0, 2 φ N n se permite considerar la totalidad de la resistencia al corte. N u = 1600 lb

34 - 52

D.7.2

0, 2 φ N n = 0, 2 ( 6177 ) = 1235 lb < 1600 lb

Como N u > 0, 2 φ N n no se puede considerar la totalidad de la resistencia al corte. Debemos utilizar la ecuación de interacción:

D.7.3

Nu V + u ≤ 1, 2 φN n φVn

1600 640 + = 0, 26 + 0,83 = 1, 09 < 1, 2 6177 769

Ec. (D-29)

VERIFICA

6. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento.

D.8

Como es poco probable que un anclaje individual con cabeza usado en una construcción de madera sea sometido a un torque significativo, se aplican los requisitos de recubrimiento mínimo de la sección 7.7. De acuerdo con 7.7, para una barra de 1/2 in. el mínimo recubrimiento libre es de 1-1/2 in. si la barra está en contacto con el suelo o al aire libre. El recubrimiento libre provisto para el bulón es exactamente de 1-1/2 in. (1-3/4 in. hasta el centro del bulón menos la mitad del diámetro del bulón). Observar que el recubrimiento sobre la cabeza del bulón será ligeramente menor (1-3/16 in. si la cabeza es hexagonal), pero digamos que VERIFICA. (Este valor está comprendido dentro de la tolerancia de –3/8 in. permitida para el recubrimiento).

7.7 7.5.2.1 D.5

7. Resumen: Usar un anclaje de 1/2 in. con cabeza hexagonal, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con una longitud empotrada de 7 in. Diseño alternativo usando las Tablas 34-5B y 34-6B

Nota: Los números de los pasos son iguales a los utilizados en el ejemplo principal anterior, a los cuales se les ha antepuesto el prefijo "A". Se seleccionaron las Tablas 34-5B y 34-6B porque éstas contienen valores de tracción y corte, respectivamente, correspondientes a hormigón con f'c = 4000 psi. Las Notas 4 y 5, respectivamente, indican que los valores tabulados se basan en la Condición B (no hay armadura suplementaria). Ambas tablas suponen hormigón fisurado (Tabla 34-5, Notas 6 y 10; Tabla 34-6, Nota 6). A3.

Determinar la resistencia a la tracción de diseño ( φN n ):

D.5.1 Ec. (D-3)

A3a. Determinar la resistencia a la tracción de diseño del acero ( φNs ): En base al paso 3a, suponer un bulón de acero ASTM F 1554, Grado 36, con f ut = 58.000 psi. La Tabla 34-6B indica que un bulón de 1/2 in. de diámetro de 58.000 psi tiene una resistencia a la tracción de diseño: φN n = 6177 lb

A3b. Determinar la resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción ( φN cb ):

34 - 53

D.5.2 Ec. (D-4)

Como para los anclajes ubicados próximos a un borde (c < 1,5hef) la resistencia al desprendimiento del hormigón depende de la distancia al borde, la distancia al borde se determina en función de la profundidad de empotramiento. Como c = 1-3/4 in. c = c / h ef = 1, 75 / 7 = 0, 25h ef

En la columna correspondiente a "0,25hef", para un bulón de 1/2 in. de diámetro que tiene una profundidad de empotramiento de 7 in.: φN cb = 8609 lb

Observar que este valor es algo diferente del obtenido en el Paso 3b anterior. Los valores tabulados son más precisos, ya que en los cálculos manuales se introducen errores de redondeo. A3c. Determinar la resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción ( φN pn ):

D.5.3

De la columna "cabeza s/arandelas" de la tabla, para un bulón de 1/2 in. φN pn = 6518 lb

A3d. Resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral ( φNsb ):

D.5.4 D.5.4.1

El descascaramiento del recubrimiento lateral se debe verificar cuando la distancia al borde es mayor o igual que 0,4hef. En este caso la distancia al borde, c, calculada anteriormente es igual a 0,25hef; por lo tanto debemos evaluarla. De la columna "0,25hef" de la tabla, para un bulón de 1/2 in. con una longitud empotrada de 7 in.: φNsb = 6687 lb

Resumen de la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón, la resistencia al arrancamiento del anclaje y la resistencia al descascaramiento lateral del hormigón para tracción: Resistencia del acero ( φNs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φN cb ): Resistencia al arrancamiento del anclaje ( φN pn ):

6177 lb 8609 lb 6518 lb

Resistencia al descascaramiento lateral ( φNsb ):

6687 lb

← Valor determinante

Por lo tanto: φN n = 6177 lb

A4.

Determinar la resistencia al corte de diseño ( φVn ):

Resumen de la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón y la resistencia al arrancamiento del hormigón para el corte, del Paso A6 del Ejemplo 34.4, solución alternativa usando la Tabla 34-6B. Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φVcb ): Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

34 - 54

3212 lb 769 lb ← Valor determinante 17.218 lb

Por lo tanto: φVn = 769 lb

A5.

Verificar la interacción de los esfuerzos de tracción y corte.

Ver Paso 5 anterior. A6.

Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento.

Ver Paso 6 anterior. A7.

Resumen

Usar un bulón de 1/2 in. de diámetro, con cabeza hexagonal, de acero ASTM A 307 Grado C, con una longitud empotrada de 7 in.

34 - 55

D.8

Ejemplo 34.6 –

Grupo de bulones en L próximos a dos bordes solicitados a tracción y corte

Diseñar el grupo de cuatro bulones en L con las separaciones ilustradas. El grupo de bulones ha de soportar una carga de tracción mayorada de 10.000 lb y una carga de corte de servicio reversible debida al viento de 5000 lb. La conexión está ubicada en la base de una columna en una esquina de la fundación de la estructura. f c' = 4000 psi

Nu = 10.000 lb 6"

12"

Vu = 5000 lb 6" 6"

hef = 8"

3"

Nota: Los requisitos de OSHA implementados el 18 de enero de 2001 requieren que para anclar esta columna se utilicen como mínimo 4 anclajes y que la conexión sea capaz de soportar una carga gravitatoria excéntrica mínima de 300 lb ubicada a 18 in. de la cara de la columna en cada dirección. Esta carga se debe aplicar en la parte superior de la columna. Se pretende representar una carga correspondiente a un obrero de la construcción colgado desde la parte superior de la columna, ubicado hacia un lado de la misma. Para mayor información ver http://www.osha-slc.gov/OshStd_data/1926_0755.html.

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. La solución para este ejemplo se obtiene prefijando el tamaño de los anclajes y luego verificando que se satisfagan los requisitos de diseño. Intentamos con cuatro bulones en L de 5/8 in. de diámetro, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con hef = 8 in. y un gancho de 3 in (eh) como se ilustra en la figura. 2. En este problema hay una interacción entre los esfuerzos de tracción y de corte, y por lo tanto es necesario determinar tanto la resistencia a la tracción de diseño (φNn) como la resistencia al corte de diseño (φVn). φNn es la menor de las resistencias a la tracción de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φNs), por el desprendimiento del hormigón (φNcb), por el arrancamiento del anclaje (φNpn) y por el descascaramiento del recubrimiento lateral (φNsb). φVn es la menor de las resistencias al corte de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φVs), por el desprendimiento del hormigón (φVcb) y por el arrancamiento del hormigón (φVcp). 3. Determinar la resistencia a la tracción de diseño ( φN n ). a. Resistencia del acero (φNs): φN s = φ n A se f ut

Ec. (D-3)

donde:

34 - 56

φ = 0, 75

D.4.4

De acuerdo con la Tabla 34-1, los bulones en forma de L de acero ASTM F 1554 Grado 36 satisfacen la definición correspondiente a elementos de acero dúctil dada en la sección D.1. A se = 0, 226 in.2

(ver Tabla 34-2)

f ut = 58.000 psi

(ver Tabla 34-1)

Reemplazando: φN s = 0, 75 ( 4 )( 0, 226 )( 58.000 ) = 39.324 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción (φNcbg):

D.5.2

Como la separación entre los anclajes es menor que tres veces la profundidad de empotramiento efectiva hef = 3 × 8 = 24 in., los anclajes se deben tratar como un grupo de anclajes. φN cbg = φ

AN ψ1ψ 2 ψ 3 N b A No

Ec. (D-5)

Como no se ha dispuesto ninguna armadura suplementaria φ = 0,70. Determinar AN y ANo:

D.4.4 D.5.2.1

AN es el área proyectada de la superficie de falla, la cual se aproxima mediante un rectángulo con sus lados ubicados a una distancia igual a 1,5hef (1,5 × 8,0 = 12,0 in.) del centro de los anclajes, con las limitaciones impuestas por los bordes libres del hormigón. 6"

12"

12"

6" 6"

12"

AN

A N = ( 6 + 12 + 12 )( 6 + 6 + 12 ) = 720 in.2 2 A No = 9 h ef = 9 ( 8 ) = 576 in.2 2

Verificar : A N ≤ nA No

720 ≤ 4 ( 576 )

Ec. (D-6) VERIFICA

Determinar ψ1:

D.5.2.4

34 - 57

ψ1 = 1, 0 (no hay excentricidad en la conexión)

Determinar ψ2 ( cmin < 1,5h ef ψ 2 = 0, 7 + 0,3

cmin 1,5h ef

ψ 2 = 0, 7 + 0,3

6, 0 = 0,85 1,5 ( 8, 0 )

6 < (1,5(8) ):

D.5.2.5 Ec. (D-11)

Determinar ψ3:

D.5.2.6

ψ3 = 1,0 para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (el borde de la fundación es susceptible de fisurarse) Determinar Nb:

D.5.2.2

N b = 24 f c' h1,5 ef = 24 4000 ( 8, 0 )

1,5

= 34.346 lb

Ec. (D-7)

Reemplazando en la Ecuación (D-5):  720  φN cbg = 0, 70   (1, 0 )( 0,85 )(1, 0 )( 34.346 ) = 25.545 lb  576 

c. Resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción (φNpn): φN pn = φ ψ 4 N p

D.5.3 Ec. (D-12)

donde: φ = 0, 70 – Para la resistencia al arrancamiento del anclaje siempre se aplica la Condición B. ψ 4 = 1, 0 – En los bordes de la fundación puede haber fisuración.

D.4.4(c)ii D.5.3.6

N p para los bulones en L:

N p = 0,9 f c' e h d o

Ec. (D-14)

e h = máximo valor efectivo de 4, 5d o = 4, 5 ( 0, 625 ) = 2,81 in. e h,provisto = 3 in. > 2,81 in. , por lo tanto usar e h = 4,5d o = 2,81 in.

Reemplazando en las Ecuaciones (D-12) y (D-14) para 4 bulones en L: φN pn = 4 ( 0, 70 )(1, 0 )( 0,9 )( 4000 )( 2,81)( 0, 65 ) = 17.703 lb

Nota: Si utilizáramos bulones de 5/8 in. de diámetro con cabeza hexagonal el valor de φNpn aumentaría significativamente:

34 - 58

D.5.3.5

N p para los bulones con cabeza hexagonal:

N p = A brg 8 f c'

Ec. (D-13)

A brg = 0, 454 in.2 , para un bulón de 5/8 in. con cabeza hexagonal (ver Tabla 34-2) Reemplazando en las Ecuaciones (D-12) y (D-13) para 4 bulones en L: φN pn = 4 ( 0, 70 )(1, 0 )( 0, 454 )( 8 )( 4000 ) = 40.678 lb

Si utilizáramos bulones con cabeza hexagonal la resistencia al arrancamiento aumentaría 2,3 veces con respecto a la correspondiente a los bulones en L. d. Resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral ( φNsb ):

D.5.4

Sólo es necesario investigar el modo de falla por descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón cuando la distancia al borde, c, es menor que 0,4hef. Como en este ejemplo utilizamos anclajes en forma de L el descascaramiento lateral no es aplicable. El siguiente cálculo se incluye exclusivamente para mostrar que, aunque utilizáramos anclajes con cabeza, la distancia al borde sería suficiente para que este modo de falla no fuera aplicable.

D.5.4.1

0, 4h ef = 0, 4 ( 8 ) = 3, 2 in. < 6, 0 in.

Por lo tanto, la resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral no sería aplicable. Resumen de las resistencias de diseño en base a la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón, la resistencia al arrancamiento del anclaje y la resistencia al descascaramiento lateral para la tracción: Resistencia del acero ( φNs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φN cbg ):

39.324 lb 25.545 lb

D.5.1 D.5.2

Resistencia al arrancamiento del anclaje ( φN pn ):

17.703 lb ← Valor determinante

D.5.3

Resistencia al descascaramiento lateral ( φNsb ):

N/A

D.5.4

Por lo tanto: φN n = 17.703 lb

Nota: Si hubiéramos utilizado bulones con cabeza hexagonal la resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción (25.545 lb) sería el valor determinante, y no la resistencia al arrancamiento del anclaje en L (17.703). En otras palabras, utilizando bulones con cabeza hexagonal lograríamos aumentar la capacidad de tracción un 44%. 4. Determinar la resistencia al corte de diseño ( φVn ).

D.6

a. Resistencia del acero ( φVs ):

D.6.1

φVs = φ n 0, 6 A se f ut

Ec. (D-18)

34 - 59

donde: φ = 0, 65

D.4.4(a)ii

De acuerdo con la Tabla 34-1, los bulones de acero ASTM F 1554 Grado 36 satisfacen la definición correspondiente a Elementos de Acero Dúctil de la sección D.1. A se = 0, 226 in.2

(ver Tabla 34-2)

f ut = 58.000 psi

(ver Tabla 34-1)

Reemplazando: φVs = 0, 65 ( 4 )( 0, 6 )( 0, 226 )( 58.000 ) = 20.448 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φVcbg )

D.6.2

Los dos anclajes ubicados más próximos al borde libre hacia el cual se dirige el corte (cuando el corte actúa de derecha a izquierda) controlarán la resistencia al desprendimiento del hormigón. Se asume que estos anclajes soportan la mitad del corte (ver Figura RD.6.2.1(b), parte superior derecha). La resistencia total al desprendimiento del hormigón por corte se tomará igual al doble del valor calculado para estos dos anclajes. Esto se debe a que, aunque los dos anclajes más alejados del borde libre podrían ser capaces de desarrollar una mayor resistencia, éstos no tendrán la oportunidad de desarrollarla porque antes se producirá la falla de los anclajes más próximos al borde. En el caso de los pernos soldados se puede asumir que la totalidad del esfuerzo está ubicado en los dos anclajes más alejados del borde (ver Figura RD.6.2.1(b), parte inferior derecha); pero esta hipótesis no es admisible para los anclajes hormigonados in situ que se instalan a través de los orificios de una placa empotrada. Vcbg = φ

AV ψ 5 ψ 6 ψ 7 Vb A Vo

RD.6.2.1

Ec. (D-21)

Como no se ha dispuesto armadura suplementaria, φ = 0,70.

D.4.4(c)i

Determinar AV y AVo:

D.6.2.1

AV es la proyección de la superficie de falla por corte sobre el borde libre hacia el cual se dirige el corte. La superficie proyectada se aproxima como un rectángulo con sus lados ubicados a una distancia igual a 1,5c1 (en este caso 1,5 × 6,0 = 9,0 in.) del centro de los anclajes, con las limitaciones impuestas por los bordes libres del hormigón. Aunque la distancia 1,5c1 no se especifica en el artículo D.6.2.1, esta distancia está ilustrada en la Figura RD.6.2.1(b). 6"

6"

9"

9"

Av

34 - 60

A V = ( 6 + 6 + 9 )( 9 ) = 189 in.2

A Vo = 4,5 c1 = 4,5 ( 6 ) = 162 in.2 2

Verificar: A V ≤ nA Vo

189 < 2 (162)

Ec. (D-22) VERIFICA

Determinar ψ5:

D.6.2.5

ψ1 = 1,0 (no hay excentricidad en la conexión) Determinar ψ6 ( c 2 < 1,5 c1 ψ 6 = 0, 7 + 0,3

c2 1,5 c1

ψ 6 = 0, 7 + 0,3

6, 0 = 0,90 1,5 ( 6, 0 )

6 < [(1,5) (6)]:

D.6.2.6

Determinar ψ7:

D.6.2.7

ψ7 = 1,0 para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (el borde de la fundación es susceptible de fisurarse) Determinar Vb para un anclaje:  A  Vb = 7    do 

0,2

do

f c' c1,5 1

Ec. (D-23)

donde: A = longitud de apoyo de la carga del anclaje para corte, que debe ser menor o igual que 8do

Para este problema el valor 8do será determinante: A = 8d o = 8 ( 0, 625 ) = 5, 0 in. < 8 in. , por lo tanto usar A = 8d o = 5, 0 in.

Reemplazando en la Ecuación (D-23):  5, 0  Vb = 7    0, 625 

0,2

0, 625 4000 6, 01,5 = 7797 lb

Reemplazando en la Ecuación (D-21), la resistencia al desprendimiento por corte de los dos anclajes más próximos al borde hacia el cual se dirige el corte es:  189  φVcbg = 0, 70   (1, 0 )( 0,90 )(1, 0 )( 7797 ) = 5731 lb  162  La resistencia total al desprendimiento por corte del grupo de cuatro anclajes es:

34 - 61

D.0

φVcbg = 2 ( 5731) = 11.462 lb

c. Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

D.6.3

Nota: El modo de falla por arrancamiento del hormigón generalmente sólo se debe considerar en el caso de anclajes rígidos y con poca longitud de empotramiento. Como este ejemplo cubre tanto el caso de corte que actúa en dirección al borde libre como el caso de corte actuando alejándose del borde libre, procederemos a evaluar la resistencia al arrancamiento del hormigón. φVcp = φ k cp N cb

Ec. (D-28)

donde: φ = 0,70 – Para la resistencia al arrancamiento del hormigón siempre se aplica la Condición B.

D.4.4(c)i

k cp = 2, 0 para h ef ≥ 2,5 in. N cb =

AN ψ 2ψ3 N b A No

Ec. (D-4)

Del Paso 3(b) anterior y reconociendo que N cb = N cbg si no hay ninguna carga de tracción excéntrica (es decir, ψ1 = 1,0):  720  N cb =   ( 0,85 )(1, 0 )( 34.346 ) = 36.493 lb  576 

Reemplazando en la Ecuación (D-28): φVcp = 0, 70 ( 2, 0 )( 36.493) = 51.090 lb

Resumen de las resistencias de diseño para corte: Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φVcbg ):

20.448 lb 11.462 lb ← Valor determinante

Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

51.090 lb

D.6.1 D.6.2 D.6.3

Por lo tanto: φVn = 11.462 lb

5. Verificar la interacción de los esfuerzos de tracción y corte. Si Vu ≤ 0, 2 φVn se permite considerar la totalidad de la resistencia a tracción de diseño. Vu = 5000 lb 0, 2 φ Vn = 0, 2 (11.462 ) = 2292 lb < 5000 lb

34 - 62

D.7 D.7.1

Como Vu > 0, 2 φ Vn no se puede considerar la totalidad de la resistencia a tracción de diseño. Si N u ≤ 0, 2 φ N n se permite considerar la totalidad de la resistencia al corte de diseño.

D.7.2

N u = 10.000 lb 0, 2 φ N n = 0, 2 (17.703) = 3544 lb < 10.000 lb

Como N u > 0, 2 φ N n no se puede considerar la totalidad de la resistencia al corte de diseño. Debemos utilizar la ecuación de interacción:

D.7.3

Nu V + u ≤ 1, 2 φN n φVn 10.000 5000 + = 1, 00 < 1, 2 17.703 11.462

Ec. (D-29)

VERIFICA

6. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como no es probable que los bulones en L hormigonados in situ sean sometidos a torques elevados, se aplican los requisitos de recubrimiento mínimo de la sección 7.7. De acuerdo con la sección 7.7, el mínimo recubrimiento libre para una barra de 5/8 in. de diámetro que está en contacto con el suelo o que está al aire libre es de 1-1/2 in. Con la distancia al borde de 6 in. el recubrimiento libre provisto para el bulón es mayor que 1-1/2 in. VERIFICA 7. Resumen: Usar bulones en L de 5/8 in. de diámetro, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con una profundidad de empotramiento de 8 in. (medida hasta la superficie superior de la L) y una prolongación o gancho, eh, de 3 in. tal como se ilustra en la figura. Nota: Si en vez de bulones en forma de L utilizáramos bulones con cabeza hexagonal, la resistencia a la tracción de la conexión aumentaría significativamente. Si usáramos bulones con cabeza hexagonal la resistencia a la tracción de diseño aumentaría de 17.719 lb (valor controlado por la resistencia al arrancamiento de los bulones en L) hasta 25.545 lb (valor controlado por la resistencia al desprendimiento del hormigón de los bulones con cabeza hexagonal).

34 - 63

D.8

Ejemplo 34.7 –

Grupo de bulones con cabeza próximos a un borde, solicitados a momento y corte, ubicados en una región de peligrosidad sísmica moderada o elevada

Diseñar el grupo de cuatro anclajes con cabeza ilustrado en la figura para un momento mayorado reversible de 19,5 k-ft y un esfuerzo de corte mayorado de 5,0 kips resultante de una carga sísmica horizontal. La estructura está ubicada en una región de peligrosidad sísmica moderada o elevada. La conexión se encuentra en la base de una columna de acero de 8 in. f c' = 4000 psi

Mu Vu Mu Vu

Carga lateral actuando desde la izquierda

Carga lateral actuando desde la derecha

Placa de 1" de espesor

12"

12"

8"

hef = 10"

6"

2" (típ.)

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. La solución para este ejemplo se obtiene prefijando el tamaño de los anclajes y luego verificando que se satisfagan los requisitos de diseño para regiones de peligrosidad moderada o elevada. Para este ejemplo intentamos con cuatro anclajes de 3/4 in. de diámetro con cabeza hexagonal, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con hef = 10 in. 2. Como esta conexión está solicitada por cargas sísmicas y está ubicada en una región de peligrosidad sísmica moderada o elevada, la resistencia a la tracción de diseño es 0,75φNn y la resistencia al corte de diseño es 0,75φVn. A menos que el elemento de fijación haya sido diseñado para fallar bajo una carga menor que la resistencia de diseño de los anclajes (incluyendo el factor 0,75), la resistencia de los anclajes debe ser controlada por la resistencia a tracción y a corte de los elementos de acero dúctil. Será necesario determinar tanto la resistencia a la tracción de diseño (0,75φNn) como la resistencia al corte de diseño (0,75φVn). φNn es la menor de las resistencias a la tracción de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φNs), por el desprendimiento del hormigón (φNcb), por el arrancamiento del anclaje (φNpn) y por el descascaramiento del recubrimiento lateral (φNsb). φVn es la menor de las resistencias al corte de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φVs), por el desprendimiento del hormigón (φVcb) y por el arrancamiento del hormigón (φVcp) 3. Este problema implica diseñar la conexión de la columna de acero a la fundación para el caso de cargas laterales actuando desde la izquierda o desde la derecha de la estructura, tal como se ilustra en la siguiente figura:

34 - 64

D.3.3

Carga lateral actuando desde la izquierda

Mu Vu

C

T

V T

V

C jd

jd

Fuerzas resistentes

Fuerzas sobre el empotramiento

Carga lateral actuando desde la derecha

Mu Vu

C

V

T

V T

C

jd

jd

Fuerzas resistentes

Fuerzas sobre el empotramiento

Como se ilustra esta la figura, debido a la proximidad del borde libre de la izquierda, el caso crítico de tracción sobre los anclajes ocurre cuando la carga lateral actúa desde la izquierda, mientras que el caso crítico de corte ocurre cuando la carga horizontal actúa desde la derecha. 4. Distribución de los momentos y esfuerzos de corte aplicados a los anclajes. Tracción en los anclajes debida al momento aplicado – No es posible determinar con precisión la ubicación exacta de la resultante de compresión debida al momento aplicado usando los métodos de análisis tradicionales para vigas. Esto es válido tanto para el método de la relación tensión-deformación elástica lineal (método de las áreas transformadas) como para el método del diagrama de tensiones de ACI 318 ya que no se verifica la hipótesis de las secciones planas (las secciones planas no permanecen planas). Aunque estos métodos se pueden utilizar, su aplicación requiere un análisis adicional demasiado complejo y, además, en algunos casos se obtienen resultados no conservadores cuando se utilizan placas de fijación relativamente flexibles. Las Referencias D.4, D.5 y D.6 contienen más información sobre este tema. Para los fines del diseño, de forma conservadora, se puede suponer que la resultante de compresión debida al momento aplicado

34 - 65

D.3

está ubicada a una distancia igual a un espesor de la placa de fijación desde el elemento comprimido del elemento sujetado por los anclajes. Para este ejemplo, estimaremos el brazo de momento interno, jd, usando tanto el método simplificado que se basa en la hipótesis de que la resultante de compresión está ubicada a una distancia igual a un espesor de la placa de fijación desde el elemento comprimido del elemento sujetado por los anclajes, como el método de las áreas transformadas que se basa en el análisis elástico de una viga de hormigón. De forma conservadora, para verificar el diseño usaremos el menor de los valores obtenidos. Usando el método simplificado y conservador que supone que la resultante de compresión está ubicada a una distancia igual a un espesor de la placa de fijación (1 in.) desde el elemento comprimido del elemento sujetado, que tiene 8 in. de profundidad: jd = 2 + 8 + 1 = 11 in. Este valor del brazo de momento interno, jd, es simplemente la suma de las 2 in. que hay entre los anclajes traccionados y el elemento sujetado, las 8 in. correspondientes a la profundidad del elemento y 1 in. del espesor de la placa. Ahora planteamos el enfoque más complejo. Suponiendo que las distancias a los bordes desde el centro de los anclajes hasta los bordes de la placa de fijación son iguales a 1-1/2 in., el brazo de momento interno, jd, se puede determinar usando el método tradicional de las áreas transformadas en base a un análisis elástico de la siguiente manera: 9

1-1/2"

9"

kd d

E.N.

C

12"

jd

nAs T Sección transformada

Tensión/fuerza elástica

Determinar kd sumando los momentos respecto del eje neutro (E.N.) para la sección transformada: 9kd

kd = nAs ( d − kd ) 2

donde: n=

Es 29.000.000 = = 8, 0 E c 57.000 4000

As = 2 ( 0,334 ) = 0, 668 in.2

(ver Tabla 34-2)

d = 1,5 + 12 = 13, 5"

Reemplazando y resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene kd: 4,5 kd 2 = ( 8, 0 )( 0, 668 )(13,5 − kd )

34 - 66

kd = 3, 45 in.

Por lo tanto, el brazo de momento interno, jd, obtenido usando la teoría elástica de vigas es: jd = d −

kd 3, 45 = 13,5 − = 12, 4 in. 3 3

De forma conservadora usar jd = 11 in., valor determinado asumiendo simplemente que la reacción de compresión está ubicada está ubicada a una distancia igual a un espesor de la placa de fijación desde el elemento comprimido del elemento sujetado por los anclajes. Observar que aunque en este ejemplo hemos incluido el análisis según la teoría elástica de vigas, este análisis es complicado y se puede sobreestimar el brazo de momento interno, jd, cuando se analizan placas flexibles. Las Referencias D.4, D.5 y D.6 contienen más información sobre este tema. Sumando los momentos respecto de la resultante de compresión (ver las figuras del Paso 3): M u = T ( jd )

donde: M u = 19,5 k-ft = 234.000 in.-lb T = Nu

(es decir, la carga de tracción mayorada que actúa sobre los anclajes traccionados)

jd = 11 in.

Reordenando y reemplazando: Nu =

M u 234.000 = = 21.273 lb jd 11

Corte – Aunque la resultante de compresión del momento aplicado permitirá que se desarrolle una resistencia al corte por fricción entre la placa de fijación y el hormigón, en este ejemplo despreciamos la resistencia por fricción; diseñaremos los anclajes del lado comprimido para transferir la totalidad del corte. Las Referencias D.4, D.5 y D.6 contienen más información sobre la contribución de la fricción a la resistencia al corte. Vu = 5000 lb en los dos anclajes del lado comprimido.

5. Determinar la resistencia a la tracción de diseño para carga sísmica (0,75φNn). a. Resistencia del acero (φNs):

D.5 D.5.1

φNs = φ n Ase f ut

Ec. (D-3)

donde: φ = 0, 75

D.4.4(a)i

De acuerdo con la Tabla 34-1, los bulones de acero ASTM F 1554 Grado 36 satisfacen la definición correspondiente a Elementos de Acero Dúctil de la sección D.1.

34 - 67

Ase = 0,334 in.2

(ver Tabla 34-2)

f ut = 58.000 psi

(ver Tabla 34-1)

Reemplazando: φNs = 0, 75 ( 2 )( 0,334 )( 58.000 ) = 29.058 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φN cbg ) Como la separación entre los anclajes es menor que tres veces la profundidad de empotramiento efectiva hef (3 × 10 in. = 30 in.), los anclajes se deben tratar como un grupo de anclajes. φN cbg = φ

AN ψ1ψ 2 ψ 3 N b A No

D.5.2 D.1

Ec. (D-5)

Como no se ha provisto armadura suplementaria φ = 0,70

D.4.4(c)ii

Determinar AN y ANo:

D.5.2.1

AN es el área proyectada de la superficie de falla, la cual se aproxima mediante un rectángulo con sus lados ubicados a una distancia igual a 1,5hef (en este caso 1,5 × 10,0 = 15,0 in.) del centro de los anclajes, con las limitaciones impuestas por los bordes libres del hormigón. 12"

15"

15"

6" AN

15"

A N = (12 + 15 )(15 + 6 + 15 ) = 972 in.2 2 A No = 9 h ef = 9 (10 ) = 900 in.2 2

Verificar : A N ≤ nA No

972 < 2 ( 900 )

Ec. (D-6) VERIFICA

Determinar ψ1:

D.5.2.4

ψ1 = 1, 0 (no hay excentricidad en la conexión)

Determinar ψ2:

D.5.2.5

34 - 68

ψ 2 = 0, 7 + 0,3

cmin 1,5h ef

ψ 2 = 0, 7 + 0,3

12, 0 = 0,94 1,5 (10, 0 )

Ec. (D-11)

Determinar ψ3:

D.5.2.6

ψ3 = 1,0 para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (el borde de la fundación es susceptible de fisurarse) Determinar N b :

D.5.2.2

N b = 24 f c' h1,5 ef = 24 4000 (10, 0 )

1,5

= 48.000 lb

Ec. (D-7)

Reemplazando en la Ecuación (D-5):  972  φN cbg = ( 0, 70 )   (1, 0 )( 0,94 )(1, 0 )( 48.000 ) = 34.111 lb  900 

c. Resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción (φNpn): φN pn = φ ψ 4 N p

D.5.3 Ec. (D-12)

donde: φ = 0, 70 – Para la resistencia al arrancamiento del anclaje siempre se aplica la Condición B. ψ 4 = 1, 0 – En los bordes de la fundación puede haber fisuración.

D.4.4(c)ii D.5.3.6

N p para los bulones de cabeza hexagonal:

N p = A brg 8f c'

Ec. (D-13)

A brg = 0, 654 in.2 , para un bulón de 3/4 in. con cabeza hexagonal (ver Tabla 34-2) Reemplazando en las Ecuaciones (D-12) y (D-13), con 2 bulones ( φN pn ): φN pn = 2 ( 0, 70 )(1, 0 )( 0, 654 )( 8 )( 4000 ) = 29.299 lb

d. Resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral (φNsb): Cuando la distancia al borde, c, es menor que 0,4hef es necesario investigar el modo de falla por descascaramiento del recubrimiento lateral del hormigón. 0, 4h ef = 0, 4 (10 ) = 4, 0 in. < 12, 0 in.

Por lo tanto el modo de falla por descascaramiento del recubrimiento lateral de hormigón no es aplicable.

34 - 69

D.5.4 D.5.4.1

Resumen de las resistencias de diseño en base a la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón, la resistencia al arrancamiento del anclaje y la resistencia al descascaramiento lateral para la tracción: Resistencia del acero ( φNs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φN cbg ):

29.058 lb ← Valor determinante 34.111 lb

D.5.1 D.5.2

Resistencia al arrancamiento del anclaje ( φN pn ):

29.299 lb

D.5.3

Resistencia al descascaramiento lateral ( φNsb ):

N/A

D.5.4

Por lo tanto: φN n = 29.058 lb y es controlada por un elemento de acero dúctil como se requiere en el artículo D.3.3.4.

Para las cargas sísmicas en una región de peligrosidad sísmica moderada o elevada, la resistencia a la tracción de diseño es 0,75 φ Nn:

D.3.3.3

0, 75 φN n = 0, 75 ( 29.058 ) = 21.794 lb y es controlada por un elemento de acero dúctil.

Verificar si N u ≤ 0, 75 φ N n 21.273 lb > 21.794 lb

VERIFICA para tracción

6. Determinar la resistencia al corte de diseño ( φVn ).

D.6

a. Resistencia del acero ( φVs ):

D.6.1

φVs = φ n 0, 6 Ase f ut

Ec. (D-18)

donde: φ = 0, 65

D.4.4(a)ii

De acuerdo con la Tabla 34-1, los bulones de acero ASTM F 1554 Grado 36 satisfacen la definición correspondiente a Elementos de Acero Dúctil de la sección D.1. Ase = 0,334 in.2

(ver Tabla 34-2)

f ut = 58.000 psi

(ver Tabla 34-1)

Reemplazando: φVs = 0, 65 ( 2 )( 0, 6 )( 0,334 )( 58.000 ) = 15.110 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φVcbg ) φVcbg = φ

AV ψ 5 ψ 6 ψ 7 Vb A Vo

D.6.2 Ec. (D-21)

Como no se ha provisto armadura suplementaria φ = 0,70

34 - 70

D.4.4(c)i

Determinar AV y AVo:

D.6.2.1

AV es la proyección de la superficie de falla por corte sobre el borde libre hacia el cual se dirige el corte. La superficie proyectada se aproxima como un rectángulo con sus lados ubicados a una distancia igual a 1,5c1 (en este caso 1,5 × 12,0 = 18,0 in.) del centro de los anclajes, con las limitaciones impuestas por los bordes libres del hormigón. 6"

18"

18"

18" Av

A V = (18 + 6 + 18 )(18 ) = 756 in.2 A Vo = 4,5c12 = 4,5 (12 ) = 648 in.2 2

Verificar: A V ≤ n A Vo

756 < 2 ( 648 )

Ec. (D-22) VERIFICA

Determinar ψ5:

D.6.2.5

ψ5 = 1,0 (no hay excentricidad en la conexión) Determinar ψ6:

D.6.2.6

ψ6 = 1,0 (no hay ningún borde libre ortogonal)

Ec. (D-26)

Determinar ψ7: ψ7 = 1,0 para las regiones donde es probable que el hormigón se fisure (el borde de la fundación es susceptible de fisurarse) Determinar Vb para un anclaje:  A  Vb = 7    do 

0,2

do

f c' c1,5 1

Ec. (D-23)

donde: A = longitud de apoyo de la carga del anclaje para corte, que debe ser menor o igual que 8do

Para este problema el valor 8do será determinante. A = 8d o = 8 ( 0, 75 ) = 6, 0 in. < 10in. , por lo tanto usar 8do.

34 - 71

D.0

Reemplazando en la Ecuación (D-23):  8 ( 0, 75 )  Vb = ( 7 )    0, 75 

0,2

0, 75 4000 (12, 0 )

1,5

= 24.157 lb

Reemplazando en la Ecuación (D-21):  756  φVcbg = 0, 70   (1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )( 24.157 ) = 19.728 lb  648 

c. Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

D.6.3

Nota: El modo de falla por arrancamiento del hormigón generalmente sólo se debe considerar en el caso de anclajes rígidos y con poca longitud de empotramiento. Como este ejemplo cubre tanto el caso de corte que actúa en dirección al borde libre como el caso de corte actuando alejándose del borde libre, procederemos a evaluar la resistencia al arrancamiento del hormigón. φVcp = φ k cp N cp

Ec. (D-28)

donde: φ = 0,70 – Para la resistencia al arrancamiento del hormigón siempre se aplica la Condición B.

D.4.4(c)i

k cp = 2, 0 para h ef > 2,5 in.

N cb =

AN ψ 2ψ3 N b A No

Ec. (D-4)

 972  N cb =   ( 0,94 )(1, 0 )( 48.000 ) = 48.730 lb  900 

Reemplazando en la Ecuación (D-28): φVcp = 0, 70 ( 2, 0 )( 48.730 ) = 68.222 lb

Resumen de las resistencias de diseño para corte: Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φVcbg ):

15.110 lb ← Valor determinante 19.728 lb

D.6.1 D.6.2

Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

68.222 lb

D.6.3

Por lo tanto: φVn = 15.110 lb y es controlada por un elemento de acero dúctil como se requiere en el artículo D.3.3.4.

Para las cargas sísmicas en una región de peligrosidad sísmica moderada o elevada, la resistencia al corte de diseño es 0,75 φ Vn:

34 - 72

D.3.3.3

0, 75 φ Vn = 0, 75 (15.110 ) = 11.333lb y es controlada por un elemento de acero dúctil.

Verificar si Vu ≤ 0, 75 φ Vn 5000 lb < 11.333 lb

VERIFICA para corte.

7. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como los anclajes hormigonados in situ no se someten a torque, se aplican los requisitos de recubrimiento mínimo de la sección 7.7. De acuerdo con la sección 7.7, el mínimo recubrimiento libre para una barra de 3/4 in. que está en contacto con el suelo o que está al aire libre es de 1-1/2 in. El recubrimiento libre provisto para el bulón es mayor que este valor requerido, ya que la distancia del eje del bulón al borde libre es de 12 in. VERIFICA 8. Resumen. Usar anclajes de 3/4 in. de diámetro con cabeza hexagonal, de acero ASTM F 1554 Grado 36, con hef = 10 in. Nota: Los requisitos de OSHA implementados el 18 de enero de 2001 requieren que para anclar la columna se utilicen como mínimo 4 anclajes y que la conexión sea capaz de soportar una carga gravitatoria excéntrica mínima de 300 lb ubicada a 18 in. de la cara de la columna en cada dirección. Esta carga se debe aplicar en la parte superior de la columna. Se pretende representar una carga correspondiente a un obrero de la construcción colgado desde la parte superior de la columna, ubicado hacia un lado de la misma. Para mayor información ver http://www.osha-slc.gov/OshStd_data/1926_0755.html. Aunque no hemos incluido los cálculos en el ejemplo, esta conexión satisface los requisitos de OSHA.

34 - 73

D.8

Ejemplo 34.8 –

Anclaje individual instalado en hormigón endurecido, alejado de los bordes, solicitado a tracción y corte

Diseñar un anclaje mecánico individual instalado en hormigón endurecido en el fondo de una losa de 8 in., para soportar una carga de tracción mayorada de 5000 lb y una carga de corte mayorada de 3000 lb (no incluye cargas sísmicas de regiones de peligrosidad sísmica moderada a elevada). f c' = 4000 psi 8" h ef Vu = 3000 lb Nu = 5000 lb

Nota: Incluimos este ejemplo de diseño de un anclaje mecánico instalado en hormigón endurecido porque los complicados cálculos para los grupos de anclajes, las condiciones de borde, las excentricidades y la interacción entre los esfuerzos de tracción y corte cubiertos en los ejemplos anteriores para el caso de los anclajes hormigonados in situ son básicamente los mismos que para los anclajes mecánicos que se instalan en hormigón endurecido. Similitudes entre los anclajes mecánicos instalados en hormigón endurecido y los anclajes hormigonados in situ: •

Para los grupos de anclajes y las condiciones de borde AN, ANo, AV y AVo se determinan de la misma manera.

•

Cuando hay cargas excéntricas ψ1 y ψ5 se determinan de la misma manera.

•

Para los efectos de borde ψ2 y ψ6 se determinan de la misma manera.

•

Para los anclajes que se utilizan en regiones en las cuales el hormigón se puede fisurar ψ3 y ψ7 = 1,0.

Las propiedades exclusivas de los anclajes mecánicos se obtienen de un informe de evaluación de producto realizado conforme a ACI 355.2 (ver el ejemplo de la Tabla 34-3, correspondiente a un anclaje mecánico rebajado instalado en hormigón endurecido). Las propiedades exclusivas asociadas con cada tipo de anclaje mecánico a instalar en hormigón endurecido son las siguientes: •

longitud de empotramiento efectiva, hef

•

área efectiva de la sección transversal del anclaje, Ase

•

tensión de fluencia especificada, fy, y resistencia a la tracción especificada, fut

•

área efectiva de la sección transversal de la camisa, Asl, y resistencia a la tracción especificada de la camisa, futsl (se utilizan cuando la camisa del anclaje atraviesa el plano de corte)

•

distancia mínima a los bordes del anclaje, cmin

•

espesor mínimo del elemento en el cual se instala el anclaje, hmin

•

categoría del anclaje para determinar el factor φ apropiado para la resistencia del empotramiento

•

coeficiente para calcular la resistencia básica al arrancamiento por tracción del hormigón, k, para utilizar en la Ecuación (D-7)

•

resistencia al arrancamiento por tracción del anclaje, Np

34 - 74

Referencia del Código

Cálculos y discusión

1. La solución para este ejemplo se obtiene prefijando el tamaño del anclaje y luego verificando que se satisfagan los requisitos de diseño. Intentamos con el anclaje mecánico rebajado de 1/2 in. descripto en la Tabla 34-3. Observar que se trata de un anclaje ficticio. 2. En este problema hay una interacción entre los esfuerzos de tracción y de corte, y por lo tanto es necesario determinar tanto la resistencia a la tracción de diseño (φNn) como la resistencia al corte de diseño (φVn). φNn es la menor de las resistencias a la tracción de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φNs), por el desprendimiento del hormigón (φNcb), por el arrancamiento del anclaje (φNpn) y por el descascaramiento del recubrimiento lateral (φNsb). φVn es la menor de las resistencias al corte de diseño, es decir de aquellas controladas por la resistencia del acero (φVs), por el desprendimiento del hormigón (φVcb) y por el arrancamiento del hormigón (φVcp). 3. Determinar la resistencia a la tracción de diseño ( φN n ).

D.5

a. Resistencia del acero (φNs):

D.5.1

φNs = φ n Ase f ut

Ec. (D-3)

donde: φ = 0, 65

D.4.4

Actualmente los informes de evaluación de producto conforme a ACI 355.2 no incluyen información sobre el alargamiento y la reducción mínima del área del acero del anclaje. Estos valores son necesarios para determinar si el acero califica como Elemento de Acero Dúctil o como Elemento de Acero Frágil (ver las definiciones correspondientes en la sección D.1). De forma conservadora, para este ejemplo asumiremos que el acero es frágil. Ase = 0,131in.2

(ver Tabla 34-3)

f ut = 116.000 psi

(ver Tabla 34-3)

Nota: De acuerdo con el artículo D.5.1.2, fut se debe tomar menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. De la Tabla 34-3: fy = 92.800 psi y 1,9fy = 1,9 (92.800) = 176.320 psi. Por lo tanto, usamos el valor mínimo de fut especificado, es decir 116.000 psi.

D.5.1.2

Reemplazando: φN s = 0, 65 (1)( 0,131)(116.000 ) = 9877 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción (φNcb): φN cb = φ

AN ψ 2ψ3 N b A No

D.5.2 Ec. (D-4)

donde: φ = 0, 65

D.4.4

34 - 75

De la Tabla 34-3, este anclaje es de Categoría 1. No se ha provisto ninguna armadura suplementaria. AN y ψ 2 son 1,0 (anclaje individual alejado de los bordes) A No

ψ3 = 1,0 para las regiones en las cuales es probable que el hormigón se fisure (por ejemplo, en el fondo de la losa). N b = k f c' h1,5 ef

Ec. (D-7)

donde: k = 24

Nota: Para los anclajes instalados en hormigón endurecido, k = 17 (a menos que un informe de evaluación de producto indique que se puede utilizar un valor más elevado). Para el caso de este anclaje rebajado, de acuerdo con la Tabla 34-3, k = 24. h ef = 5 in.

RD.5.2.2

(Tabla 34-3)

Por lo tanto, N b = 24 4000 51,5 = 16.970 lb

Reemplazando: φN cb = 0, 65 (1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )(16.970 ) = 11.031 lb

c. Resistencia al arrancamiento del anclaje por tracción (φNpn): φN pn = φ ψ 4 N p

D.5.3 Ec. (D-12)

donde: φ = 0, 65 – Anclaje de Categoría 1, sin armadura suplementaria. ψ 4 = 1, 0 – En los bordes de la fundación puede haber fisuración. N p = 12.730 lb

D.4.4 D.5.3.6

(ver Tabla 34-3)

Reemplazando: φN p = 0, 65 (1, 0 )(12.730 ) = 8275 lb

d. Resistencia al descascaramiento del recubrimiento lateral (φNsb): Este anclaje no está ubicado próximo a ningún borde libre, por lo tanto la resistencia al descascaramiento lateral no es aplicable. Resumen de la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón, la resistencia al arrancamiento del anclaje y la resistencia al descascaramiento lateral para la tracción:

34 - 76

D.5.4 D.5.4.1

Resistencia del acero ( φNs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón ( φN cb ): Resistencia al arrancamiento del anclaje ( φN pn ):

9877 lb 11.031 lb 8265 lb ← Valor determinante

D.5.1 D.5.2 D.5.3

Resistencia al descascaramiento lateral ( φNsb ):

N/A

D.5.4

Por lo tanto: φN n = 8265 lb

4. Determinar la resistencia al corte de diseño ( φVn ).

D.6

a. Resistencia del acero ( φVs ):

D.6.1

φVs = φ n ( 0, 6Ase f ut + 0, 4Asl f utsl )

Ec. (D-19)

donde: φ = 0, 60

Actualmente los informes de evaluación de producto conforme a ACI 355.2 no incluyen información sobre el alargamiento y la reducción mínima del área del acero del anclaje. Estos valores son necesarios para determinar si el acero califica como Elemento de Acero Dúctil o como Elemento de Acero Frágil (ver las definiciones correspondientes en la sección D.1). De forma conservadora, para este ejemplo asumiremos que el acero es frágil. A se = 0,131 in.2

(ver Tabla 34-3)

f ut = 116.000 psi

(ver Tabla 34-3)

Nota: De acuerdo con el artículo D.5.1.2, fut se debe tomar menor o igual que 1,9fy ó 125.000 psi. De la Tabla 34-3: fy = 92.800 psi y 1,9fy = 1,9 (92.800) = 176.320 psi. Por lo tanto, usamos el valor mínimo de fut especificado, es decir 116.000 psi. Para este ejemplo asumiremos que la camisa del anclaje está a ras con la superficie de hormigón (es decir, la camisa del anclaje no atraviesa el plano de corfte). Reemplazando: φVs = 0, 60 (1) ( 0, 6 )( 0,131)(116.000 ) + 0  = 5470 lb

b. Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φVcbg )

D.6.2

Este anclaje no está ubicado próximo a ningún borde libre, por lo tanto la resistencia al desprendimiento del hormigón por corte no es aplicable. c. Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

D.6.3

φVcp = φk cp N cb

Ec. (D-28)

34 - 77

donde: φ = 0, 65 – Anclaje de Categoría 1, sin armadura suplementaria. k cp = 2, 0 para h ef > 2,5 in. N cb =

D.4.4 Ec. (D-4)

AN ψ 2ψ3 N b A No

Del Paso 3 anterior: N cb = (1, 0 )(1, 0 )(1, 0 )(16.970 ) = 16.970 lb

Reemplazando en la Ecuación (D-28): φVcp = 0, 65 ( 2, 0 )(16.970 ) = 22.061 lb

Resumen de la resistencia del acero, la resistencia al desprendimiento del hormigón y la resistencia al arrancamiento del hormigón para el corte (del Ejemplo 34.4): Resistencia del acero ( φVs ): Resistencia al desprendimiento del hormigón por corte ( φVcb ): Resistencia al arrancamiento del hormigón ( φVcp ):

5470 lb ← Valor determinante N/A 22.061 lb

D.6.1 D.6.2 D.6.3

Por lo tanto: φVn = 5470 lb

5. Verificar la interacción de los esfuerzos de tracción y corte. Si Vu ≤ 0, 2 φ Vn se permite considerar la totalidad de la resistencia a tracción.

D.7 D.7.1

Vu = 3000 lb 0, 2 φ Vn = 0, 2 ( 5470 ) = 1094 lb Vu es mayor que 0, 2 φ Vn , por lo tanto no se puede considerar la totalidad de la resistencia a tracción.

Si N u ≤ 0, 2 φ N n se permite considerar la totalidad de la resistencia al corte.

D.7.2

N u = 5000 lb 0, 2 φ N n = 0, 2 ( 8265 ) = 1653 lb N u es mayor que 0, 2 φ N n , por lo tanto no se puede considerar la totalidad de la resistencia al corte.

Debemos utilizar la ecuación de interacción:

D.7.3

34 - 78

Nu V + u ≤ 1, 2 φN n φVn 5200 3000 + = 0, 60 + 0,55 = 1,15 < 1, 2 8265 5470

Ec. (D-29)

VERIFICA

6. Distancias a los bordes, separaciones y espesores requeridos para impedir la falla por hendimiento. Como este anclaje está alejado de los bordes, solamente son aplicables las limitaciones de la longitud de empotramiento, hef, relacionadas con el espesor del elemento. De acuerdo con D.8.5, hef debe ser menor o igual que 2/3 del espesor del elemento, o que el espesor del elemento menos 4 in. La sección D.8 permite utilizar valores de hef más elevados siempre que se hayan realizado ensayos específicos para el producto en cuestión de acuerdo con ACI 355.2. Como se puede ver en la Tabla 34-3, el informe de evaluación de este producto conforme a ACI 355.2 indica VERIFICA un espesor mínimo hmin = 6-5/8 in., valor que es menor que las 8 in. provistas. 7. Resumen. El anclaje mecánico rebajado ficticio de 1/2 in. de diámetro instalado en hormigón endurecido descripto en la Tabla 34-3 es adecuado para las cargas mayoradas de tracción y corte indicadas.

34 - 79

D.8