MINISTÈRE DU DÉVELOPPEMENT INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE
BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL B.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (38) 66.06.60
CONTRIBUTION A L'ÉTUDE DE PROJETS DE PUITS D'INJECTION EN MILIEU NON SATURÉ par G . KOZMINSKI Stagiaire E.N.S.G.
Département géologie de l'aménagement Hydrogéologie B.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (38) 66.06.60
73 SGN 358 AME
^1973
RESUME
Les problèmes de réinjection d'eau dans le sol se posent - et se poseront à l'avenir - de plus en plus souvent. Le présent rapport expose le cas particulier de l'injection en zone non saturée.
Les formules empiriques disponibles (NASBERG-WINGER) sont exposées et discutées ; elles permettent de calculer les caractéristiques des ouvrages en fonction des débits à injecter (ou viee-versa), mais leur emploi est limité par les hypothèses simplificatrices qu'elles supposent. L'influence des caractéristiques de l'ouvrage (diamètre du puits - hauteur d'eau) et de la répartition des teneurs en eau dans le sol est discutée.
Des méthodes plus rigoureuses pour le calcul des caractéristiques du puits d'injection sont aussi présentées, mais leur mise en oeuvre difficile et coûteuse ne se justifie que pour des dispositifs d'injections importants. A l'occasion de cette étude, une traduction du russe des travaux de NASBERG a été faite. Un résumé en est donné en anhexe de ce rapport. Cette étude entre dans le cadre des travaux méthodologiques du département "Géologie de l'Aménagement".
SOMMAIRE
INTRODUCTION 7. - INFLUENCE VU DIAMETRE VU PUITS ET VE LA HAUTEUR VE L'EAU VANS LE PUÏTS D'INJECTION 7.7. - Fon.mulz de NASBERG-TERLETSKATA 7.7.7. - Calcul de QJK en fonction de h poun. dl^znzntzi, VOIZUAA de d 7.7.2. - Calcul dz QJK en {¡onction du d¿amztnz du puit pouA valzuAA d& h 7.2. - Fonmulz dz WINGER 2. - DETERMINATION DE LA GEOMETRIE DE LA ZONE MOUILLEE 3. - INFLUENCE DE LA REPARTITION VES TENEURS EN EAU 3 . 7 . - Rappzl dzt> n.zt>ul£ati> zxpznMnzntaux 3 . 2 . - Evaluation dz V züzt dzt> tznzuh en zau &un la valzun. ah&oluz dz la pznmzabiLitz zfâzctivz 3.3. - ln{luzncz dz la duAzz dz la n.z
- Simulation du componXzmznt dz Vouvn.agz ¿un un "modzlz nJzduLt" - PnzvJjiion pan. ¿ynthlAz dz& can.actznAAtA.quzt> du milizu
CONCLUSIONS BIBLIOGRAPHIE
ANNEXE :
VztzhminatÂ.on th.zoKA.quz dz la zone conc.zn.nzz pan. V zcoulzmznt pznmanznt a panXÀA d'un {onjXQz d'injzctlon - d'apnojk, NAS8ERG 7. HqpotkzÁZÁ zt condition^ du calcul 2. PnA.ncA.pz du calcul 3. RzbolutLon mathzmatiquz 4. [/znÁ^¿catlon dzt> hypothz¿>z¿>
- 1-
INTRODUCTION
Les problèmes de réinjection se posent couramment aux hydrogéologues : - élimination d'eaux fluviales ou de drainage - réinjection d'eaux résiduaires - réalimentation des nappes phréatiques.
Lorsque cela est possible, il est préférable de réinjecter directement dans la nappe, profonde ou non. Mais, souvent pour des raisons économiques, pour limiter les coûts des ouvrages ou pour bénéficier du r51e épurateur des formations traversées, on réduit la profondeur du puits ou de la tranchée d'injection et l'eau doit passer à travers une zone non saturée avant d'atteindre la nappe phréatique.
L'évaluation du débit absorbable en fonction des dimensions de l'ouvrage est alors un problème difficile. Cette étude bibliographique voudrait donner aux hydrogéologues, malgré la complexité du problème, des éléments pour élaborer des projets de dispositifs de réinjection. On s'est principalement consacré à déterminer l'influence des dimensions des puits de réinjection sur les débits absorbables. Ceci a été fait à partir des rares formules empiriques ou semi-empiriques utilisables dans ce domaine des écoulements en milieu non saturé.
On s'est penché sur l'insuffisance de ces expressions et sur les simplifications qu'elles supposent.
Enfin, une détermination théorique de la forme de la zone concernée par l'écoulement, est présentée en annexe. Elle est issue des travaux de NASBERG dont la traduction du russe a été effectuée dans le cadre de cette étude.
Cette étude théorique et bibliographique, effectuée au cours d'un stage de deux mois au département Géologie de l'Aménagement, constitue
- 2-
la suite logique des travaux de J.M. LAMACHERE : mesure in situ de la perméabilité d'un sol non saturé (71 SGN 279 HYD). Elles ont été effectuées l'une et l'autre dans le cadre des études générales méthodologiques d'hydrogéologie du département Géologie de l'Aménagement.
- 3-
I - INFLUENCE DU DIAMETRE DU PUITS ET DE LA HAUTEUR DE L'EAU DANS LE PUITS D'INJECTION Pour cette étude, ont été utilisées diverses formules empiriques ou semi-empiriques qui supposent les conditions suivantes réalisées : 1. Les écoulements obéissent à la loi de Darcy. 2. Le milieu est homogène et isotrope . 3. La saturation en eau est constante dans la zone mouillée, c'est-à-dire la perméabilité effective est identique en tout point. 4.
Le milieu est semi-infini : s'il y a une nappe ou un substratum, il est à grande profondeur.
Ces formules ont été rassemblées par J.M. LAMACHERE |9|.
1.1 - Formule de MASBERG-TERLETSKATA NASBERG propose pour le calcul de la perméabilité dans les conditions rappelées ci-dessus, la formule approchée :
K =
0^423 h
Q 1g
2
4h
avec 25d
< h <
100d
d
K = perméabilité en m/s Q = débit à injecter en m 3 /s h = hauteur d'eau dans le puits en m d = diamètre du puits en m.
La hauteur de la partie crépinée du forage est supposée supérieure à h (fig. 1 ] .
Pour des raisons de commodité, nous suggérons l'emploi de cette formule sous la forme :
£ K
=
h2 0,423 lg 4h d
-
Essai» NASBERG - T E M E T 5 K A T A
./
Figure
1
4
-
- 5 -
Ainsi, connaissant le débit à injecter, et la perméabilité du sol, il sera possible de déterminer les caractéristiques du soit h et d.
On voit que — est une fonction croissante de h et de d.
—r— ;
varie pratiquement comme h 2 .
IN
2-—
est peu sensible à d en raison du faible domaine de h h validité de la formule, -r-r-p- < d < — — ; d reste toujours petit
devant h.
En fait, nous avons extrapolé la formule hors de sa zone de validité, ce qui conduit à des résultats très approchés.
1.1.1 - Calcul de ^ en fonction de h pour différentes valeurs de d
Nous obtenons une famille de courbes très resserrées, aussi, n'avons-nous figuré qu'une seule courbe (fig. 2). L'équation de cette courbe unique est calculée en négligeant les variations du terme 4h l o g — qui est constamment compris entre 2 et 2,6, soit :
Q K
=
h2 0,423 lg 200
L'utilisation de l'abaque est simple, selon le débit à injecter, et la perméabilité K, mesurée ou estimée (voir annexe], on détermine le rapport -¿-. La courbe donne alors la hauteur de l'eau dans le puits, h d'où sa hauteur crépinée maximale. Le diamètre théorique est , mais et donnent des résultats voisins, respectivement par excès 25 100 et défaut à 15 % près environ.
- 7 -
Tableau de valeurs permettant de tracer l'abaqueCfigure 2)
1
h
Q/K
2
1,03 4,1
h
6
8
Q/K
37
66
3
4
5
9,25 16,4 25,7
10
15
103 230
20
25
410 640
1.1.2 - Calcul de •£ en fonction du diamètre du puits
pour
des hauteurs différentes
Le domaine de variation de d pour que la formule soit valable est petit, si bien que d/h est petit. Nous avons cependant tenté l'extrapolation :
Q K "
h2 0,423 lg 4h_ d
Tableau de quelques valeurs limites
h d
h = 1,50 m
Q/K =
25
-
h d
100
2,65
Q/K =
h = 2 m
-
4,8
h = 3 m
-
10,7
h = 4 m
-
19
h = 5 m
-
29,5
h = 6 m
33
43
B m
58
76
h = 10 m
92
116
h = 15 m
205
265
h = 20 m
360
470
h =
Utilisation de l'abaque (figure 3) Connaissant Q/K, il sera possible de déduire d et h. Nous conseillons d'utiliser les courbes dans le domaine d'application. A l'extérieur de ce domaine, les résultats ne sont qu'approximatifs.
1.2 - Formule de WINGER Comme NASBERG-TERLETSKATA, WINGER propose une formule, qui
- 9 -
O
°'* 0,1
0,2
0,3
0,
05
0,6
O?
f; 3 3.
0 8
0,3
1,0
\{
- 10 -
dans les unités du sytème international, s'exprime ainsi K = 0,1591 - 9 - (m ÍÜ - i) h2 ci K = perméabilité en m/s. 0 = débit en m V s . h = hauteur de l'eau dans le puits en m. d = diamètre du puits en m.
ou sous la
forme plus commode :
h2 (in
2p- - 1) 0,1591
formule qui ressemble à celle de
NASBERG mais qui donne des résultats
différents du fait des paramètres introduits, ainsi pour — = 50 d 2
£ - h K
0,685" La sensibilité à la valeur des caractéristiques du puits,
est très voisine de celle de la formule de NASBERG-TERLETSKATA. Il ne semble pas que l'auteur ait introduit ici de restrictions quant aux valeurs possibles pour d et h.
Utilisation. Nous donnons à titre indicatif l'abaque représentant — en K fonction de h (fig. 4). Par analogie avec la formule de NASBERGTERLETSKATA, nous avons pris
< d <———
et assimilé la
famille de courbes très voisines à une seule courbe. Les deux courbes, celle pour la formule de NASBERG-TERLETSKATA et celle pour la formule de WINGER se déduisent l'une de l'autre (approximativement pour une affinité].
£ _ h2 K " 0,685
Q/K h
1
2
1,46 5,85
3
4
5
10
20
13,2
23,4
36,5
146
585
ilLU'mnUlmniLMLU
600-.t.
500
il iv&y i i
I
fr +-
3OÖ-
to-
'.Ti
- 12 -
Les résultats pour — sont environ 40 % supérieur à ceux
Is. donnés par la méthode de NASBERG, autrement dit à perméabilité identique ; le débit possible déterminé par la méthode de WINGER est plus important, ce qui confirme parfaitement les calculs de J.M. LAMACHERE. Ne connaissant pas le domaine de validité de la formule de WINGER, nous ne pouvons pas conclure sur l'intérêt comparé des deux formules.
II - DETERMINATION DE LA GEOMETRIE DE LA ZONE MOUILLEE Le principe du calcul effectué par NASBERG, fait l'objet de l'annexe. Il est basé sur les hypothèses rappelées ci-dessus au début du chapitre I. De plus, seule l'extrémité de forage est supposée crépinée.
La forme de la zone mouillée a été figurée en annexe (fig. A1).
La courbe de séparation ou surface libre admet dans le système d'axes représentés à la figure A1, l'équation suivante :
1
Q
3,50
A.
+
2
4,50
=0
r
26(Q/4ïïk +
x]
Les dimensions caractéristiques de la surface définie à la figure A1 sont :
a = 0,320 /f
c = 0,429 ß
v K
v K
r 00
III - INFLUENCE DE LA REPARTITION DES TENEURS EN EAU Toutes les études évoquées ci-dessus supposent notamment que le milieu poreux peut être caractérisé par une perméabilité effective au fluide injecté, constante à tout point de l'espace. Or la teneur en eau est directement dépendante du champ de pression, donc sa
- 13 -
répartition dans le milieu ne sera pas homogène. Et comme on le souligne dans l'annexe, la perméabilité est extrêmement variable en fonction de cette teneur en eau.
Ceci explique que l'application des formules précédentes restent dans tous les cas très approchées. On rappellera à ce sujet les résultats des mesures de perméabilités par différentes méthodes effectuées par J.M. LAMACHERE dans un même terrain |9|, résultats extrêmement dispersés en fonction : . de la saturation en eau que l'on peut obtenir par chacun des procédés et . de la durée des essais, la répartition des teneurs en eau se faisant toujours lentement.
Ces essais ont été effectués à Orléans La Source en 1971.
3.1 - Rappel des résultats expérimentaux - Un premier essai interprété par la formule de NASBERG donne la _ D
valeur K. = 1,5.10
m/s.
_5 - Le même essai avec la formule de WINGER donne K = 10 m/s. L'essai MATSURO donne pour K de 0,4.10 à 1,6.10 m/s. -4
L'essai MUSKAT donne pour
K de 0,4.10
-k
à 1,4.10
La mesure par saturation localisée donne de 15.10
m/s. à 21.10
m/s,
Un éventail de résultats aussi dispersés montre de façon évidente, le rôle joué par les différents types d'écoulement : - L'infiltration à partir d'un p-uits de faible section donne une perméabilité faible. - L'infiltration à partir d'une tranchée donne une perméabilité 10 fois plus grande. - La mesure par méthode des 2 tubes donne une perméabilité 100 à 200 fois plus grande.
Ces différences, en fonction de la méthode employée, sont tellement importantes, (K varie de 1 à 200] qu'elles posent un grand probème à l'utilisateur de puits de réinjection. Elles sont dues essentiellement aux faits suivants : 1) Les modèles d'écoulements sont très différents les uns des autres (on s'efforcera donc d'expérimenter des modèles semblables en
- 14 -
proportions aux ouvrages en projet). 2) Pour chaque type d'écoulement, le front d'écoulement est très différent ; de plus, le facteur temps doit jouer un râle non négligeable sur la progression et la dispersion de l'eau. 3) Les formules employées ne sont qu'approximatives, et ne peuvent être utilisées que dans des conditions très particulières. Ces formules doivent être considérées comme des développements limités au voisinage d'un point, autrement dit valables sur des domaines "plus ou moins restreints". On devra donc définir ces domaines de validité ou alors trouver des développements meilleurs par pondération. 4) La perméabilité est très influencée par la teneur en eau dans le sol ; et les différentes méthodes imposent leur propre teneur en eau. Ce dernier facteur est à lui seul presque déterminant. 3.2 - Evaluation de l'effet des teneurs en eau sur la valeur absolue de la perméabilité, effective Les variations de la valeur de la perméabilité en fonction de la teneur en eau du milieu non saturé, sont habituellement mises sous forme graphique.
Elles constituent une donnée importante caractéristique
du milieu (voir par exemple la courbe de la figure 5). Pour 80 % des essais sur des matériaux divers, (billes de verre jusqu'aux argiles silteuses) on vérifie une relation empirique de la forme KC93 _ r9 - Or^n M3o 0rJ Ko M3o - 0r 0 représente la teneur en eau du sol. 0o représente la teneur en eau maximale du sol. 0r représente la teneur en eau minimale pour laquelle on n'observe aucun découlement (perméabilité nulle) (c'est une valeur très difficile à évaluer et très imprécise par construction (fig. 5 ) .
- 16 -
ko : perméabilité à la teneur erv eau 0o maximale. k(0] : perméabilité à la teneur en eau 0. n : une constante pour chaque matériau, comprise entre 2,9 et 3,9, mais peu différente de 3,5 pour 8G % des matériaux.
Expression approchée Avec une bonne appro approximation (mieux que -p-J , on peut remplacer la relation (1) par une autre relation non homogène : k(0) = A 0 m
k(0) = perméabilité pour la teneur 0. 0 = teneur en eau. A = constante pour chaque matériau, m = constante / n.
Lorsque n = 3,5
m = 5,0.
Remarquons que lorsque 0 = 0o, k(0o) = ko = A 0o , et si l'on suppose la valeur possible
0r
0o -j-
. r0o^
et pour m = r5 k[—J = —
ko
ko
= ^
On vérifie par cette formule le très grand effet des teneurs en eau sur les perméabilités. Cet effet peut être quantifié au moyen de cette formule : à un écart relatif -r— sur les teneurs en eau, Ak . .. n ., . , , Ak écart -— sur nles perméabilités tel que — = m k K
correspond un A0 —— . u
Par exemple, si m = 5 à une imprécision ou hétérogénéité de 10 % sur 0, correspond
- 17 -
une dispersion de 50 % sur les perméabilités et donc sur les débits, ce qui est très important.
3.3 - Influence de la durée de la réinjection Nous avons vu dans le paragraphe précédent la forte influence des saturations en eau. Elles provoquent donc par leur répartition des hétérogénéités au sein du milieu poreux, mais surtout pouvant varier au cours de l'injection, elles seront la cause de modifications importantes au cours du temps dans le débit admis donc dans la "perméabilité apparente" du milieu. Contrairement aux écoulements en milieu saturé, le débit d'injection en régime transitoire pourra être plus faible que celui admissible en régime permanent. Aussi, la notion du temps de l'injection aura une grande importance. On peut noter différentes remarques à ce sujet. - Durée de l'infiltration à partir d'un canal BIZE, BOURGUŒT, LEMQINE ]3:| parlent de l'infiltration dans le sol à partir d'un canal (fig. 6) ; l'eau s'infiltre dans le sol sous la forme d'une gigantesque goutte. Le front de progression de l'eau, front d'humidification, progresse très lentement jusqu'à atteindre la nappe, et alimente la nappe, jusqu'à l'établissement d'un régime d'équilibre. Le front d'humidification aurait une teneur en eau constante, le sol étant saturé à environ 80 %. Dans le cas étudié, le régime semi-permanent ne serait atteint qu'après 1 mois environ. - Cas des puits d'injection II serait très intéressant de faire une étude complète de la valeur des perméabilités mesurées par les différentes méthodes évoquées (voir à ce sujet le rapport de J.M. LAMACHERE) en fonction de la durée des expériences.
- 18 -
ca nal
Fig. 6 - Infiltration à partir d'un canal d'une nappe profonde. Durée de l'expérience : 1 mois environ
- 19 -
IV - EVALUATION RIGOUREUSE Au cours des chapitres précédents comme dans le cadre des travaux de J.M. LAMACHERE, on a tenté d'exploiter les formules empiriques ou théoriques disponibles. On a été amené à souligner combien les hypothèses nécessaires à leur élaboration étaient schématiques et sans doute éloignées des conditions réelles. Rappelons qu'elles supposent un régime permanent et une perméabilité constante dans le temps et l'espace, donc une teneur en eau constante aussi.
Mais, les écoulements en milieu non saturé sont si complexes qu'une approche plus rigoureuse devient très coûteuse et peu en rapport avec le budget de la plupart des installations projetées. Aussi, devons-nous, la plupart du temps, nous contenter des formulations précédentes tout aussi imparfaites soient-elles.
Cependant, si l'on envisage un dispositif de réinjection de grande importance, on peut procéder à des études précises qui se dégagent encore peu de la recherche. On peut proposer deux démarches dont nous exposons le principe rapidement, mais qui mériteraient être adaptées aux cas particuliers.
4.1 - Simulation du comportement de l'ouvrage sur un "modèle réduit" Les études peuvent être effectuées sur des ouvrages expérimentaux géométriquement semblables et de petites dimensions. Les résultats seront étendus à l'ouvrage définitif prévu. Ce procédé permet de prendre en compte l'effet du matériau lui-même dans toute sa complexité.
On aura la relation pour les puits semblables (figure 7) :
Qo débit dans le puits expérimental Q
débit dans le puits définitif
- 20 -
ho hauteur du puits expérimental H
hauteur du puits définitif.
Pour éviter au maximum les erreurs d'imprécision, on veillera à ce que les débits ne diffèrent cependant pas trop ; environ 20 Qo > Q semble être une limite, donc 5 ho > h est une limite raisonnable à l'application de la formule.
Fig.
7 - Exemple de
puits de réinjection semblables :
il 1 H "D
4.2 - Prévision par synthèse des caractéristiques du milieu Pette méthode comprend deux phases :
1 - Ilesure des caractéristiques du terrain Détermination au laboratoire sur échantillon ou in situ
- 21 -
de : . la courbe de variation des perméabilités en fonction des teneurs en eau. . la courbe de variation des succions ou pression capillaire en fonction des teneurs en eau. . le relevé des paramètres géologiques et géométriques nécessaires,
2 - Simulation du comportement de l'ouvrage Au moyen d'un modèle numérique en régime transitoire des écoulements en milieu non saturé.
Cette dernière méthode est la plus complète ; elle exige des mesures précises et un modèle mathématique particulier dont dispose le B.R.G.M.. Il ne s'agit pas encore là d'un procédé de routine.
- 22 -
CONCLUSIONS
Au cours de cette étude bibliographique et théorique, on a déduit des quelques formules empiriques traitant des réinjections en milieu non saturé, des éléments permettant de choisir les dimensions d'un ouvrage de réinjection. Ces résultats sont fournis sous la forme d'abaques donnant dans les différents cas la valeur du n rapport —. Il est donc nécessaire d'avoir dans tous les cas, une K évaluation précise de la perméabilité effective pour en déduire les débits. Cette mesure des perméabilités sur laquelle nous nous sommes penchés précédemment, est aussi très relative car basée sur des hypothèses très schématiques : . régime permanent. . teneur en eau et perméabilités constatées dans le temps et 1'espace. Aussi, les éléments que l'on pourra extraire de ces formules et abaques pourront être utiles, mais ils devront être considérés avec beaucoup de prudence.
Pour avoir des évaluations plus précises, on peut proposer deux démarches dont le coût est certes élevé, et seulement acceptable pour des projets d'installations importantes.
On doit aussi noter qu'un élément influant très fortement sur le rendement d'un puits d'injection, a été négligé volontairement dans cette étude. Il s'agit du colmatage du puits et du milieu poreux par les matières en suspension dans les eaux ou tout autre phénomène. Mais, ceci n'était pas l'objet de notre étude. Nous tenons cependant à le signaler à l'attention des hydrogéologues.
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- I -
ANNEXE PETERMIWATION THEORIQUE VE LA ZONE CONCERNEE PAR L'ECOULEMENT PERMANENT A PARTIR V'UN FORAGE fINJECTION D'après NASBERG
Lorsqu'un certain débit est injecté dans un milieu poreux initialement sec, seule la zone proche du point d'injection sera le siège d'écoulement. Il est souvent très intéressant de prévoir les dimensions de cette zone mouillée. Dans son article |11 |, NASBERG a tenté de calculer d'une manière théorique la forme et les dimensions de cette zone mouillée en fonction de la perméabilité du milieu supposé isotrope et de la pression d'injection.
I - HYPOTHESES ET CONDITIONS DU CALCUL Le milieu est supposé infini, homogène et isotrope de perméabilité k constante. Donc NASBERG considère le milieu, siège de l'écoulement comme parfaitement saturé ou tout au moins de saturation en eau identique en tout point. Un forage pénètre le milieu poreux comme indiqué à la figure A1 et à son extrémité 0, un liquide pesant est injecté à débit Q constant. La partie ouverte du forage est supposée de faible dimension. Elle est considérée pour les écoulements dans le milieu comme ponctuelle. On étudiera la forme de l'écoulement dans le terrain. Cet écoulement admet comme axe de symétrie de révolution, l'axe 0A du forage. On peut se limiter à ne considérer que l'intersection de l'écoulement par un plan radial xOr. Tout point M du plan admet deux coordonnées orthogonales [x, r),x = MK et r = MH. La vitesse de l'écoulement en un point M est notée v. A est le point le plus élevé atteint par l'eau. On note c rayon mouillé au droit de la source 0 et r le rayon du cylindre enveloppe des écoulements. 00
- II -
Les pressions sont ramenées au plan horizontal passant par l'extrémité 0 du forage d'injection. Les cotes sont mesurées à partir du point 0 et positives vers le bas.
II - PRINCIPE DU CALCUL NASBERG propose de calculer les caractéristiques de l'écoulement permanent en faisant appel au processus approché suivant. On introduit des écoulements fictifs dans tout l'espace. On calcule ainsi la répartition des charges et des lignes de courant dans le demi-espace des écoulements réels et l'on vérifie que dans cette zone les conditions introduites arbitrairement correspondent aux conditions réelles. Il faut que : 1) le champ des charges et des écoulements satisfasse à la loi de LAPLACE, 2) sur la surface libre, la charge soit égale à la cote du point (h = x ) , 3) lorsque x -*•<*>, la valeur de la vitesse v tende vers k, 4) le débit traversant toutes les sections inférieures au point 0 soit égal à Q. Cette méthode ne conduit qu'à des résultats approchés dont on peut se contenter.
III - RESOLUTION MATHEMATIQUE Comme indiqué sur la figure A2, on considère que l'écoulement recherché est la superposition des effets de 3 écoulements : 1) Un écoulement radial provoqué par une source ponctuelle à débit Q située en 0.
Ill Fig. A1 - Schéma de la courbe de filtration. DAC = section de la surface de révolution
Fig. A2 - Schéma de la courbe de filtration. Calcul approché
tx
- IV -
2] Un écoulement radial provoqué par un puits ponctuel à débit Q situé en 01 (OOj = b ) . 3] Un écoulement uniforme vertical de vitesse v = k.
* Suivant NASBERG, chacun de ces écoulements admet les fonctions de potentiel et de courant suivantes :
q h
=
/x 2
qi
— + r2
- kqcosO
,
— /(b + x ) 2 + r 2
,
,
kqjCosG!
,
- x
et
kr 2 ——
Par superposition.
q h = - — = •
/x 2 + r 2
= k
qi -
- x
/(b + x ] 2 + r 2
b + x
- q
/x 2 + r 2
r2
A b + x ) 2 + r2
La présentation schématique des écoulements est faite à la figure A3. On a isolé les domaines d'alimentation par des courbes épaisses coupant OC^ en A et A ^ points remarquables (v = G, points neutres).
Equation de la courbe de courant PAC Pour les points situés sur 0 0 ^ nous avons la valeur suivante pour la vitesse :
- V -
Fig. A3 - Aspect schématique des courbes de courant dans le domaine de filtration pour le calcul approché.
- VI -
Ql
Q
v =-
4IIx2
4n(b + x ) 2
+ k - - k (b + x ) 2
- 1
soit, aux points neutres, v = 0, done
- 1 = 0
Cb + x ) 2
équation qui a 2 racines réelles x = - a, x =
^
la valeur de a
inconnue est calculée en remplaçant x par - a.
(1)
- 1 = 0 (b - a)'
On ne s'intéresse pas à aj.
La valeur de la fonction ijj identique en A et B, car sur la même ligne de courant est :
\¡) = k Cq + qj)
... en A (r = 0 et x = - a)
... en B (r = c et x = 0)
et 4) = k 2 .
Ainsi :
(2) /b
2
+ c
2
D'autre part, A et B sont sur la surface libre et h = x - en A (r = 0, x = - a) - en B (r = c, x = 0)
h =a
h =o
- VII -
Donc
q
=0 a
b -a
(4]
= 0 c
/b 2 + c 2
La résolution du système des 4 équations (1), (2), (3) et (4] a 4 inconnues q^, a, b, et c en supposant q connu, permet de déterminer = 3,50
et
q
a
= 1,135
A
b
= 5,10
/q"
c
= 1,52
/q
finalement
3,50
(5)
4n
(-0 5,1 f-2V ATTk 4IIk
X
+ x
J
l'équation de la surface libre est :
3,50
0
4,50
411 k
1 +
h *
5, 1
+
x
= 0
ÍB]
- VIII -
3,50 et h =
-x
/X2 + r2
4IIk
5,1
+ r
.7)
2
De plus
= 0,320
a = 1,135
c = 0,429
(8]
(9]
k'
IV - VERIFICATION DES HYPOTHESES 4.1 - Pression nulle de la surface libre On a rassemblé dans le tableau suivant, les abscisses (colonne 1 ) , les ordonnées (colonne 2), calculées à partir de l'équation (6], et les charges (colonne 3) déduites de (7].
La différence entre cote et charge est faible comme le montre la colonne 4.
r i—
•q
h
X
/q
h ~ x|
V
0
- 1,135
1,135
0
0 ,5
- 1,05
1,054
0,004
1
- 0,72
0,756
0,036
0
0
1,52
0
- IX -
r
h
x
h - x
ft 1, 69
0,5
-
5, 30
- 0 ,030
1, 81
1
-
1, 066
- 0 ,066
1, 92
2
- 2, 116
- 0 ,116
2
00
-
-
00
4.2 - La vitesse v tend vers k quand x -> °° Démontrons que la condition lim. v = k est vérifiée. Les composantes de la vitesse de Darcy sont :
ôh K — vr = Ôr ôh k — vx = ôx qr vr = - k
(x2
((b + x ) 2 + r 2 j 3 / 2 _
(b + x)
qx
-1
vx = - k r2)
et lorsque x -»• + °°
vr •+ 0,
x]
vx •> k
donc lim. v = k lorsque x -> «°
2
• r
2
V 2
- x -
4 . 3 - Le débit â l'infini égal ä L'équation (6) de la surface libre pour x infini donne
(1 - 3,50 + 4,50)
= 0
4IIk
soit r « =
Or, en écoulement gravitaire, v = k et le débit Q s'écoule à travers une section Ilr2 telle que Q = kür 2 , expression identique 00
00
à la précédente. Aussi, NASBERG, en s'appuyant sur le schéma approché, permet d'exprimer analytiquement la forme et les dimensions de la zone concernée par l'écoulement. Les dimensions caractéristiques de la zone mouillée sont :
a = 0, 320
/ !
c = 0, 429
/ \
r
00
!
nk
