7.1 Resolución de ecuaciones diferenciales parciales ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA
1) a) Res R esuelva uelva el problema problema de S turm-Liouv turm-L iouville ille
b) Us e el método método de separación de variabl v ariables es y la parte a) para res olver la ecuación ecuaci ón
S OL UC IÓ IÓN: N: a) Primero resolveremos la ecuación diferencial
Usaremos la ecuación característica:
Analizamos caso por caso, la raíz de la ecuación característica -
Si . Por lo que la ecuación característica tendrá dos soluciones reales, por tanto las soluciones LI de la ecuación diferencial son:
Con las condiciones
Por ende la solución particular es
-
Si . Por lo que la ecuación tendrá una única raíz, por ende las soluciones LI de la ecuación diferencial son:
Con las condiciones:
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–
Por ende la solución particular es
-
Si . Por lo que la ecuación tendrá dos soluciones complejas, por ende las soluciones LI de la ecuación diferencial son:
Con las condiciones:
Por ende la solución sería no nula (no trivial) con la condición de que
. Por tanto el
autovalor es
Y la autofunción es
S OL UC IÓ IÓN: N: b) Usando el método de separación de variables digo que sea
Obteniendo las derivadas parciales
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Reemplazando las derivadas parciales en la ecuación se tiene
–
Se le asigna eso igual a . Se tiene que
por convención. Ahora resolveremos el problema de Sturm-Liouville para
Con las condiciones de borde (o frontera):
Como ya hemos resuelto el problema en la parte a)
El autovalor es
Y la autofunción es
Luego de tener la autofunción se procede a resolver la ecuación para la variable , lo cual
Usando la ecuación característica
Por tanto la solución general es
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Por tanto, la solución general de EDP es (Serie de Fourier)
, calcularemos Con las condiciones iniciales coeficientes y . Con la condición
Como la función es seno, fíjense que primero hay que se deduce que
es decir
y en el
el
Por tanto ya no es serie sino es:
Aplicando derivada parcial a la solución con respecto a
Haciendo
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los
, por lo
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Por tanto, la solución particular es
2) R es uelva
S OL UC IÓN:
Ésta se denomina la ecuación de onda, por la forma
Resolveremos ésta ecuación usando el método de separación de variables. Sea
Obtendremos las derivadas parciales
Reemplazando en la ecuación de onda
Primero resolveremos para la variable
Con las condiciones de borde tenemos que
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Tendremos el problema de Sturm-Liouville
El cual por este caso, el autovalor y la autofunción respectivamente son
Luego, procederemos a resolver la ecuación diferencial para la variable pero ya con la autovalor
Lo cual se usa la ecuación característica
Por ende la solución general de esa ecuación es
Por lo tanto, la solución general de la ecuación de onda es:
Con las condiciones iniciales, podremos obtener y
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Como se está igualando a la función seno, y la serie de Fourier contiene seno también, entonces tendremos que escoger el valor conveniente de tal que los demás valores de se hagan cero, me refiero a los coeficientes . Vemos que
Por tanto:
Entonces con ésta condición la solución quedo
Derivando a la solución parcialmente con respecto a :
Imponiendo la condición: . Como se iguala a una función distinto del seno y/o coseno, para buscar el tendremos que calcular como coeficiente de Fourier (visto en Cálculo III). Entonces con ésa condición tenemos que
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Por fórmula el coeficiente de Fourier es:
Si la serie es de la forma
Entonces
Por tanto, la solución particular de la ecuación de onda es
3. Us ando s eparación de variables, determine la solución del s ig uiente problema
S OL UC IÓN:
Utilizando el método de separación de variables, sea
Obtendremos las derivadas parciales
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Reemplazando en la ecuación de onda
Para la variable se tiene
Con las condiciones de borde:
Tendremos que resolver el siguiente problema de Sturm-Liouville
El autovalor y la autofunción respectivamente son
Para la variable la ecuación a resolver es
Para resolver ésa ecuación, fíjense que se trata de ecuación de Euler, que haciendo cambio de variable , y tener la solución y volver a la variable , la solución es
Por ende la solución general de la ecuación diferencial parcial es
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Con la condición inicial
Y la otra condición inicial
Como se iguala a la función con senos, entonces primero veré los valores de .
Finalmente la solución particular de la ecuación es
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4. R esuelva el problema
INDIC AC IÓN: Us e el cambio S OL UC IÓN:
, para una
adecuada.
Como nos dicen en la indicación, primero tenemos que hacer cambio de funciones, entonces las derivadas parciales quedarán
Reemplazando en la ecuación
Para reducir la ecuación a la ecuación de onda, tenemos que hacer
Para hallar las constantes tenemos las condiciones de borde
Por tanto,
. Falta cambiar las condiciones iniciales
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Después del cambio de funciones, tendremos que resolver la siguiente EDP
Usando el método de separación de variables, sea
Teniendo las derivadas parciales
Reemplazando en la ecuación
Primero resolveremos para la variable
Con las condiciones de borde tenemos que
Tendremos el problema de Sturm-Liouville
El cual por este caso, el autovalor y la autofunción respectivamente son
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Luego, procederemos a resolver la ecuación diferencial para la variable pero ya con la autovalor
Lo cual se usa la ecuación característica
Por ende la solución general de esa ecuación es
Por lo tanto, la solución general de la ecuación de onda es:
Con la primera condición inicial
Ahora derivaré parcialmente a la solución general con respecto a
Y con la segunda condición inicial
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Usando la fórmula del coeficiente de Fourier
Aplicando integración por partes y evaluando los extremos de la integral, se llega a que
Por tanto, la solución es
Lo que finalmente, sabemos que
Por lo cual la solución de la ecuación original es
5. Cons idere la ecuación de Pois son
Con condiciones de frontera
a) Pruebe que el cambio Laplace
trans forma la ecuación de Pois son en ecuación de
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b) R esuelva el problema utilizando el cambio probado en (a)
S OL UC IÓN: a) Con el cambio
, tenemos que cambiar las derivadas parciales
Por lo que en la ecuación de Poisson queda
b) Al cambiar las funciones también hay que cambiar las condiciones de borde, entonces
El problema que debemos resolver es el siguiente:
Utilizando el método de separación de variables, sea
Aplicando las derivadas parciales correspondientes
Reemplazando en la ecuación de Laplace Javier León Paredes 15
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Resolveremos primero para la variable
Y con las condiciones de borde
Se tiene el problema de Sturm-Liouville
El cual, el autovalor y la autofunción respectivamente son
Ahora resolveré para la variable ya con el autovalor conocido
Con la ecuación característica
La solución correspondiente es
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Por ende la solución general de la ecuación de Laplace es
Para hallar y , usaremos las otras condiciones, que con
Y la otra condición es
Por la fórmula del coeficiente de Fourier tenemos que
Por integración por partes, sean
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Como
Por tanto, la solución de la ecuación es
Pero la solución original de la ecuación de Poisson es
6. R esuelva us ando el método de separación de variables
S OL UC IÓN:
Utilizando el método de separación de variables, sea
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Aplicando derivadas parciales
Reemplazando en la ecuación
Para la variable
Y con las condiciones de borde
Tenemos el problema de Sturm-Liouville
El cual su autovalor y su autofunción son respectivamente
Ahora resolveré para la variable
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7.1 Resolución de ecuaciones diferenciales parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA
La solución general de la ecuación es
Con la condición inicial
Donde
Pero
Y
Por lo tanto, la solución particular es
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7. R eduzca a su forma canónica la ecuación
Y obtenga s u s olución g eneral. S OL UC IÓN: Para llevar a la forma canónica primero tenemos que comparar la ecuación dada con ésta
Entonces con
Primero veremos si la ecuación es hiperbólica, elíptica o parabólica. La ecuación es
Viéndolo la ecuación diferencial parcial es hiperbólica dado que
Como la ecuación es hiperbólica, entonces las ecuaciones características son
Resolviendo estas dos ecuaciones tendremos
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Llamaremos correspondiente es
. Como es hiperbólico el cambio de coordenadas
Obtendremos sus derivadas parciales
Aplicando regla de la cadena se tiene
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Así que
Reemplazando en la ecuación
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Por lo tanto, la ecuación en su forma canónica es
Por ende la solución de ésta ecuación es
8. E ncuentre
si
s atis face la ecuación
S OL UC IÓN:
Usando el método de separación de variables, sea
Sus derivadas parciales son
Reemplazando en la ecuación
Para la variable , tenemos que
Y las condiciones de borde
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El problema de Sturm-Liouville es
El cual el autovalor y la autofunción son respectivamente
Para la variable se tiene
Entonces la solución es de la forma
Con la condición inicial
Como se iguala a la función coseno, en este caso Se deduce de esto que
(por comparar la serie con la función igualada).
Por lo tanto, la solución de la ecuación es
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Lo cual implica que
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