7-Metodo_Montecarlo.pdf

17/08/2015

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes Agosto 2015 Instructores: Ana Lilia López Sánchez ([email protected]) Alfredo Elías Juárez ([email protected]) Tel. Tel. (442) 2 11 05 00 ext. 3599 y 3515

Grupo de Ultrasonido, Dirección de Vibraciones y Acústica

Dirección General de Metrología Física, CENAM.

1

Objetivo

Que el participante adquiera los conocimientos básicos para realizar la estimación de incertidumbre en las mediciones;

- empleando la ley de propagación de incertidumbres conforme a la GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement), y - el Suplemento 1 de la GUM (método de Monte Carlo).

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

2

1

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El participante identificará, con base en un modelo de medición,

Los datos y parámetros estadísticos que necesariamente requiere un presupuesto de incertidumbres;

en el caso del método de Monte Carlo, se utilizará software libre para realizar la propagación de distribuciones de probabilidad.

OCTAVE


3

Descripción del curso

Se revisa la metodología GUM para la estimación de incertidumbres de medida; contrastando los resultados obtenidos entre dos técnicas (combinación de varianzas vs. método de Monte Carlo).

Se sugiere que cada participante proporcione un problema de estimación de incertidumbres; de ser posible, con datos reales de un proceso de calibración, medición o publicación técnica.


4

2

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Temario 0. Motivación y Referencias clave 1. Introducción: modelo de una medición 2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística. 3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la “Guide to the expression of uncertainty in measurement” (GUM). 4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método de simulación Monte Carlo. 5. Reflexiones y consideraciones finales en su aplicación GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, lEC, IFCC, ISO, IUPAC, lUPAP, OIML. Equivalente a la norma NMX-CH-140-IMNC 2002 Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

5

0. Motivación/ un caso de aplicación Instrumentación y cadenas de medición en aplicaciones de ultrasonido Instrumentación típica

Procedimiento

+ Medidores y detectores

Unidades rastreadoras (transductores)

+

+

+ Bloques de referencia y accesorios (ej. acoplante)

+

Personal calificado

Código, norma,

práctica Recomendada, etc.

=

Referencia Normativa

… ? =


6

3

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0. Motivación/ ¿es relevante el tema de la incertidumbre de medida? Condiciones ambientales exteriores

¿25.4 mm? ¿25.6 mm? mm

Tubería

?

Condiciones ambientales interiores

¿25.35 mm? Medidor ultrasónico de espesor

Espesor

¿Cómo indica o declara actualmente el valor de espesor de una tubería? Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

7

0. Motivación/ ¿incertidumbre en la evaluación de la conformidad?

Tolerancia inferior No Pasa

Tolerancia superior Pasa

No Pasa

Valores medidos considerando la dispersión de los datos debido al proceso de medición y/o usuario. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

8

4

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0. / Referencias clave http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html


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JCGM 100:2008 / “aka la GUM”

0.1 When reporting the result of a measurement of a physical quantity, it is obligatory that some quantitative indication of the quality of the result be given so that those who use it can assess its reliability. Without such an indication, measurement results cannot be compared, either among themselves or with reference values given in a specification or standard. It is therefore necessary that there be a readily implemented, easily understood, and generally accepted procedure for characterizing the quality of a result of a measurement, that is, for evaluating and expressing its uncertainty. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

10

5

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1. Introducción/

Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication https://archive.org/details/MathematicsAndStatistics Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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1. Introducción/

Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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6

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1. Introducción/

“La cuantificación de la incertidumbre debe obtenerse sobre la base de un adecuado entendimiento del proceso de medición involucrado y del sistema sujeto a medición” Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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1. Introducción: modelo de una medición

Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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7

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Mensurando se mide directamente Ej.: Medición del volumen de un cilindro por desplazamiento de agua.

Mensurando se mide de forma indirecta

d

Cálculo del mensurando a partir de otras magnitudes medidas.

h

Ej.: Volumen de un cilindro: V = (π π/4)d^2h VERSIÓN VIM 2008


15


CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medida http://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

16

8

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1. Introducción/


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2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística.

Mensurando Resultado no corregido Tolerancia

Dispersión por errores aleatorios

Corrección (error sistemático)

Valor verdadero Resultado corregido

Incertidumbre

Tolerancia Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

18

9

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s 2 (q) =

x=

cl =

1 n

1 n −1

n

∑ (q

j −q

)

2

j =1

σ2 =

1 n −1

n

y = f ( xi ,..., xm )

∑ (x − x)

2

i

i =1

n

∑x

i

i =1

∂f ∂f = ∂xl ∂X l

r (xi , x j ) =

ν ef =

X l = xl K X N = x N

u (xi , x j )

u ( xi ) ⋅ u (x j )

uc4 ( y) N

∑ i =1

ui4 ( y) νi

n

u 2 ( y) =

∑ i =1

n −1

N

∑∑ u ( y)u ( y)r ( x , x )

ui2 ( y ) + 2

i

k

i

k

i =1 k = i +1


19

2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística. Definiciones iniciales y / Etc., ☺

J. N. Razo Razo, “Incertidumbre enmediciones: la integración numérica de curvas de medición” mayo 2003 Estimación de incertidumbre en las GUM y método de Monte Carlo para, principiantes.

20

10

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Probabilidad, funciones de densidad probabilística (probability density functions, PDFs) de uso común, esperanza y momentos de una variable aleatoria.

Parámetros estadísticos: mediana, moda, media aritmética, varianza, desviación estándar, incertidumbre estándar, histograma de resultados.

Nivel de confianza, factor de cobertura, incertidumbre combinada vs. incertidumbre expandida


21


* CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medida http://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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11

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CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medida http://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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C.2.1 probabilidad número real, entre 0 y 1, asociado a un suceso aleatorio

C.2.4 función de distribución función que da, para cada valor de x, la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que x: F(x) = Pr(X ≤ x)

C.2.5 función de densidad de probabilidad (para una variable aleatoria continua) es la derivada (cuando existe) de la función de distribución: f(x) = dF(x)/dx Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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12

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C.2.19 media aritmética; valor medio suma de valores dividida entre el número de valores

∙

Mediana: el valor central de los datos ordenados. Moda: el valor que más veces se repite. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

25

2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística. C.2.9 esperanza matemática (de una variable aleatoria o de una distribución de probabilidad); valor esperado; media 0 Para una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x), la esperanza, si existe, es

C.2.13 momento central de orden q en una distribución de una única variable, es la esperanza matemática de la q-ésima potencia de la variable aleatoria centrada (X − µ):

μ


26

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C.2.20 varianza medida de dispersión, igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a su valor medio, dividido por el número de observaciones menos uno.

Media del mensurando

Desviación estándar experimental s

=

n 1 2 ⋅ ∑ (x − x i ) n − 1 i =1

s2 : Varianza experimental

Medida de su Dispersión Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

27

C.2.18 distribución de frecuencia relación empírica entre los valores de una característica y sus frecuencias o frecuencias relativas

Valores

NOTA La distribución puede representarse gráficamente como un histograma (ISO 3534-1:1993, definición 2.17), un diagrama de barras (ISO 3534-1:1993, definición 2.18),…

Tiempo


28

14

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y funciones de densidad de probabilidad (PDF)

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Frecuencia

Frecuencia

Los histogramas permiten visualizar de manera preliminar la distribución, a partir de su envolvente.

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

Clase

Clase

¿uniforme?

¿normal?


29

f(x)

= Distribución de Laplace-Gauss = Distribución Gaussiana x

µ−σ µ µ + σ

f (x ) =

 (x − µ ) 2  ⋅ exp −  σ ⋅ 2π 2 ⋅σ 2   1

µ = Media σ = Desviación estándar Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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Probabilidad de encontrar x en un intervalo:

f(x) b

P[a ≤ x ≤ b] = ∫ f (x )dx a

x µ− µ− µ−3σ µ −2σ µ −σ

Intervalo Nivel de confianza

µ ±σ 68,3%

µ

µ+σ µ+2σ µ+3σ

µ ± 2σ µ ± 3σ 95,4%

99,7%

Para una distribución normal


31

Ref. VIM, JCGM 200:2008, trad. Español.

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0


32

16

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Fuente:

Ref. NMX-CH-140-IMNC


33

U = k ⋅ uc k

1

2

nivel de confianza

68,3%

95,4%

3 99,7%

• Aumentar el nivel de confianza. -3uc -2uc

-uc

+uc +2uc +3uc

• k es elegido por el usuario según conveniencia.

La incertidumbre estándar uc representa un intervalo que contiene el valor verdadero del mensurando con una probabilidad p de 68% aproximadamente, llamado el “nivel de confianza”. Para obtener una probabilidad mayor, se expande el intervalo de incertidumbre por un factor k, llamado “factor de cobertura”. El resultado se llama “incertidumbre expandida” Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

34

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la “Guide to the expression of uncertainty in measurement” (GUM). 3.1 Mensurando, variables de influencia y variables de entrada (del modelo de medición). 3.2 Ley de propagación de incertidumbres: con y sin correlación de variables. 3.3 Coeficientes de sensibilidad y el “peso” de las contribuciones en la incertidumbre de una medición. 3.4 Incertidumbre: Tipo A vs. Tipo B. 3.5 Componentes “mínimos” en un presupuesto de incertidumbres. 3.6 Ejercicio ilustrativo: medición de espesores utilizando ultrasonido. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

35

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM

Parámetro no negativo que caracteriza la dispersión de los valores atribuidos a un mensurando, a partir de la información que se utiliza. La incertidumbre es un intervalo de valores en el cual estimamos que se encuentra el valor verdadero con una probabilidad asociada.

¿25.4 mm?

La incertidumbre se estima, no es una cuantificación exacta.

¿25.6 mm? ¿25.35 mm?

El nivel de incertidumbre apropiado depende del uso intencionado.

NOTA. El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación típica (o un múltiplo de ella), o el semi intervalo con un nivel de confianza determinado. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM definición incompleta del mensurando;

Fuentes posibles de incertidumbre

realización imperfecta de la definición del mensurando; muestra no representativa del mensurando;

lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del técnico; resolución finita del instrumento de medida; conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones

ambientales en la medición, o medición imperfecta de las mismas.

valores inexactos de los patrones de medida; valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes externas;

variaciones en las observaciones repetidas del mensurando, en condiciones aparentemente idénticas. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

37



38

19

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Esta Guía proporciona reglas generales para evaluar y expresar la incertidumbre de medida de una magnitud física bien definida, el mensurando.


39

Procedimiento de evaluación y expresión de la incertidumbre conforme al método de la GUM 1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada . 2) Determinar el valor estimado de las magnitudes de entrada

3) Evaluar la incertidumbre estándar de cada estimación de entrada. 4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas. 5) Calcular la estimación del mensurando.

6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando.

7) Determinar la incertidumbre expandida.

8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

40

20

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Magnitud que se desea medir. Cantidad particular objeto de una medición. En general, un proceso de medición involucra cantidades de entrada cuyo valor estimado, , contribuyen al valor estimado del mensurando o cantidad de salida, .

⋮

Proceso de medición

, , ⋯ , Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

41

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada . Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes de entrada (Xi ) de las que depende Y.

, , ⋯ ,

Decidir qué se quiere medir. Decidir qué mediciones y cálculos se requieren para obtener el resultado final. Ejemplo:

"# $#"%"& '&( $#"%" '&( "# ###)*%&


42

21

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada .

Ejemplos:

Mensurando

Modelo , + -

Magnitudes de entrada

Error del instrumento:

E = L – Lref

L : Lectura del instrumento Lref : Valor de referencia

Longitud de un bloque:

l = L+C

Volumen de un cilindro:

Medición directa

m : Masa . ρ : Densidad

L: Lectura del instrumento de medición C: Corrección

43

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada . Volumen de un cilindro. 0

'

1 '

0 1

. ∙0 ∙1 4

Volumen del cilindro Diámetro del cilindro Altura del cilindro

Mensurando

Magnitudes de entrada


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22

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 2) Determinar el valor estimado de la magnitud de entrada 2 . Las magnitudes de entrada pueden ser a su vez mensurandos, pudiendo depender de otras magnitudes. Se pueden determinar a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones. Ejemplo:

3#*45& "#( %)645$#)4


45

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 2) Determinar el valor estimado de la magnitud de entrada 2 . Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se introducen en la medición procedentes de fuentes externas: Magnitudes asociadas a patrones, Materiales de referencia certificados Valores de referencia tomados de publicaciones. Ejemplo:

'&( $#"%" 3#*45& "#( %)645$#)4 7 8 #**%ó) Por el instrumento

Por magnitudes de influencia (ej. temperatura, presión atmosférica, o humedad)


46

23

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 2) Determinar el valor estimado de la magnitud de entrada 2 . Diámetro del cilindro.

D

0 0:;< 7 8=>? 7 8@A=<.C:D. Certificado de calibración del instrumento de medición.

h

Material del instrumento.

Regla. Corrección = 0 mm. U = ± 0.1 % de la lectura, k=2. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

47

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 2) Determinar el valor estimado de la magnitud de entrada 2 . Altura del cilindro.

D

1 1:;< 7 8=>? 7 8@A=<.C:D. Certificado de calibración del instrumento.

h

Material del instrumento.

Regla. Corrección = 0 mm. U = ± 0.1 % de la lectura, k=2. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada .

a) Identificación de las fuentes de incertidumbre.

b) Clasificación según su método de evaluación.

Certificado de calibración. Resolución del instrumento. Repetibilidad de las lecturas. Bibliografía.

c) Distribución de probabilidad.

Tipo A. Se evalúa por análisis estadístico de una serie de observaciones.

Tipo A. a partir de distribución de frecuencia observada.

Tipo B. Adopción de valores “externos” al proceso de medición.

Tipo B. distribuciones supuestas a priori.

d) Determinación incertidumbre estándar.


49

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . Fuente de incertidumbre

Distribución de probabilidad

Resolución del instrumento

Rectangular

Repetibilidad de las lecturas

Normal

(tipo B)

(tipo A)

Expresión para obtener E E

F

12

E J J JK

J

L L

Comentarios o ejemplos

Un termómetro digital con una I. resolución de 0.1°C. E °C

Evaluación estadística de la repetibilidad proporciona el resultado en términos de una desviación estándar; por lo que no es necesario realizar un procesamiento adicional. La repetibilidad del proceso depende de factores como: instrumento utilizado, el método de medición, y en algunas ocasiones de la persona que realiza la medición.


50

25

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . Fuente de Distribución Expresión para obtener incertidumbre de E probabilidad M Certificado de Normal E calibración del (tipo B) N instrumento

Especificaciones del fabricante

Normal (tipo B)

Comentarios o ejemplos

Un certificado de calibración expresa una incertidumbre expandida U, con un factor de cobertura (k) que corresponde a un nivel de confianza informado.

E Algunas especificaciones de fabricantes Oí,QR R QSTRUFVF se indican para un nivel de confianza, en estos casos se supone una distribución N normal y el límite de tolerancia se divide entre el correspondiente factor de cobertura. Si no se especifica un nivel de confianza, entonces se debe suponer una distribución uniforme.


51

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . Distribución de probabilidad Triangular

Expresión para obtener E F E W

Comentarios o ejemplos La combinación de dos distribuciones uniformes idénticas, cada una con límites del semi-intervalor de X &, resulta en una distribución triangular con un semi-intervalor de X2&.


52

26

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . Repetibilidad Resolución del instrumento

0:;<

Certificado de calibración del instrumento

8=>?

Repetibilidad

∆Z

Resolución del termómetro

Diámetro de un cilindro

0

Certificado de calibración del termómetro

∝

Bibliografía


53

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas

, , ⋯ ,

Covarianza estimada de dos magnitudes de entrada y \ :

5 , \ 6 , \

6 , \

=

1 \ \ ) )1

Si las observaciones son realmente no correlacionadas, la covarianza calculada será próxima a cero.

]

Donde y \ son las medias aritméticas determinadas a partir de pares independientes de observaciones simultáneas de y \ , realizadas en las mismas condiciones de medida. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 5) Calcular el resultado de medición

La estimación del mensurando , a partir de la relación funcional utilizando para las magnitudes de entrada las estimaciones obtenidas en el paso 2.

¿Cuál es el valor calculado del mensurando? Magnitud de entrada

xi

⋮

Lecturas registradas 1

2

3

/

Valor Promedio N

Modelo matemático

Mensurando Y

x

̅ ̅ ⋮ ̅

, , ⋯ ,


55

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . 5) Calcular el resultado de medición

Diámetro de un cilindro

0 0:;< 7 8=>? 7 8@A=<.C:D. Variable/Fuente de incertidumbre

Valor

Origen de la información

Tipo de distribución

Diámetro medido, _,R Repetibilidad Resolución

Lecturas

A. Normal

Instrumento

B. Uniforme

Certificado

B. Normal.k=2

Incertidumbre estándar, E

Corrección del instrumento, `JQ Calibración


56

28

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . 5) Calcular el resultado de medición

Altura de un cilindro

1 1:;< 7 8=>? 7 8@A=<.C:D. Variable/Fuente de incertidumbre

Valor



Altura medida, a,R Repetibilidad Resolución

Lecturas

A. Normal

Instrumento

B. Uniforme

Certificado

B. Normal.k=2


Corrección del instrumento, `JQ Calibración


57

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b La incertidumbre típica combinada 5@ es la raíz cuadrada positiva de la varianza combinada 5@ , dada por:

5@

c c

5

5@ * ∙ 5

Coeficiente de sensibilidad, es el impacto de cada fuente sobre el mensurando.

* ≡

c c

Ley de propagación de incertidumbre magnitudes de entrada independientes

≡ 5

contribución de cada fuente a la incertidumbre combinada.


58

29

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b La incertidumbre típica combinada 5@ es la raíz cuadrada positiva de la varianza combinada 5@ , dada por:

c c

5@

f

5 7 2

\ e

c c 5 , \ c c\ Ley de propagación de incertidumbre magnitudes de entrada correlacionadas

f

5@ * 5 7 2 * *\ 5 5 \ , \

\ e

Coeficiente de correlación entre y \ .

5 , \

Covarianza estimada asociada a y \ .

5 5 \


59

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b

Diámetro de un cilindro 5@ 0 5ghij 0 7 5klmno,pqr 0 c0 c0:;<

5@ 0

5 0:;<

6 0:;< )ghij

5 8=>?,@Cs

7

t#6 0:;<

u@Cs 8=>?,@Cs vklmno,pqr

12

5 0:;< 7

c0 c8=>?,@Cs

5 8=>?,@Cs

*ghij

c0 1 c0:;<

*klmno,pqr

c0 1 c8=>?,@Cs


60

30

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b Variable/Fuente de incertidumbre

Valor

Tipo distribución

E

V

contribución V ∙ E

Diámetro medido, _,R Repetibilidad Resolución Corrección por instrumento, `JQ Calibración

5@ 0

5ghij 0 7 5klmno,pqr 0

5@ 0

*ghij ∙ 5 0:;<

7 *klmno,pqr ∙ 5 8=>?,@Cs


61


Teorema del Límite Central: La distribución del mensurando Y es (aproximadamente) normal, si las contribuciones Xi son independientes (no correlacionadas) y la varianza s2(Y) es mucho más grande que cualquier componente individual ci2·s2(Xi) cuya distribución no sea normal.

Intervalo

µ ±σ

µ ± 2σ

Nivel de confianza

68.3%

95.4%

µ ± 3σ 99.7% µ− µ− µ−3σ µ −2σ µ −σ

Factor de cobertura

k=1

k=2

µ

µ+σ µ+2σ µ+3σ

k=3


62

31

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 7) Determinar la incertidumbre expandida

u v ∙ 5@ Xu

u 7u

De acuerdo con prácticas internacionales generalmente aceptadas, se recomienda que se utilice un factor de cobertura de k=2 para calcular la incertidumbre expandida. Este valor de k dará un nivel de confianza de aproximadamente 95%, suponiendo una distribución normal.

k=?

y-U

y

y+U


63

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre

0Xu con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.


64

32

17/08/2015


Resultado:

Y=y±U

Y Mensurando y Mejor estimado del mensurando U Incertidumbre expandida

con k = ? @ x %

Ejemplos de expresión de resultados en la magnitud de longitud: a) D = (1.025 3 ± 0.002 3) km

(k=2 @ 95 % nivel de confianza)

b) D = 1.025 3 km ± 2.3 m


c) D = 1.025 3 km ± 0.22 %


d) D = 1.025 3 km ± 2.2·10-3


e) D = 1.025 3 km, U = ± 2.3 m


f) D = 1.025 3 km, U = ± 0.22 %


g) D = 1.025 3 km, U = ±


2.2·10-3


65

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM '

Volumen de un cilindro

5@ ' *g

*g ∙ 5 0

7 * ∙ 5 1

. ∙0 ∙1 4

D

h

c' . ' 20 1 2 c0 4 0

*

c' . ' 0 c1 4 1

Usando incertidumbres relativas 5@ ' '

2∙

5 0 0

7

5 1 1


66

33

17/08/2015


Cable

Mensurando:

Unidad rastreadora (transductor)

Error de medida

()

Acoplante

Magnitudes de entrada: Reflexión (eco)

Espesor medido Bloque de referencia

( )

Espesor de referencia ( )

Medidor

,


67


1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada . Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes de entrada (Xi ) de las que depende Y.

"# $#"%"& 6#6 $#"%" 6#6 "# ###)*%& # (:;< (;


68

34

17/08/2015

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada . Las magnitudes de entrada Xi, de las que depende la magnitud de salida Y pueden ser consideradas a su vez como mensurandos, pudiendo depender de otras magnitudes, junto con las correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos.

(; (@Cs 1 7∝ 4 4@Cs Longitud del bloque patrón dada en su certificado de calibración

Coeficiente de dilatación térmica lineal del bloque patrón

Temperatura del bloque durante la medición

7 (C@ Temperatura de calibración del bloque

Espesor de la capa de acoplante a la temperatura de medición.


69


1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada.

# (:;< (@Cs 1 7∝ 4 4@Cs

(C@


70

35

17/08/2015

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 2) Determinar el valor estimado xi de la magnitud de entrada Xi. A partir del análisis estadístico de una serie de observaciones:

(:;<

d1 (mm)

d2 (mm)

d3 (mm)

d4 (mm)

d5 (mm)

d6 (mm)

d7 (mm)

2.543

5.072

7.635

10.165

12.708

19.042

25.40

2.541

5.08

7.633

10.166

12.700

19.036

25.40

2.547

5.087

7.635

10.162

12.706

19.034

25.41

2.541

5.084

7.627

10.168

12.704

19.053

25.40

2.543

5.08

7.624

10.165

12.708

19.047

25.398

2.543

5.081

7.631

10.165

12.705

19.042

25.401

observaciones repetidas e independientes.

media aritmética (n = 5)

Temperatura del bloque.

4 4

21.3 °C

Al iniciar la medición.

21.5 °C

Al finalizar la medición.

4

21.4 °C

Temperatura promedio del bloque durante la medición.


71

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 2) Determinar el valor estimado xi de la magnitud de entrada Xi. Magnitudes cuyos valores e incertidumbres se introducen en la medición procedentes de fuentes externas:

(@Cs

(mm)

Del certificado de calibración del bloque.

2.543 5.085 7.621 10.161

∝

(C@

1.1 x 10-5 (°C-1)

De bibliografía.

(0 ± 0.005) mm

De estudio realizado.

12.702 19.048 25.400

uspqr 0.004 (mm)

4@Cs

(20 ± 0.2) °C

Del certificado de calibración del bloque.


72

36

17/08/2015

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . Repetibilidad Resolución del medidor ultrasónico de espesores

(:;<

Repetibilidad

4

Resolución del termómetro Certificado de calibración del termómetro Certificado de calibración del bloque de referencia

(@Cs

Certificado de calibración del bloque de referencia

4@Cs

Bibliografía

∝

Medición del espesor de la capa de acoplante.

(C@

#


73

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 3) Evaluar la incertidumbre estándar, E , de cada estimación de entrada . Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm Variable/Fuente de incertidumbre Espesor medido, T,R

Valor




2.543 mm

Repetibilidad

0.002 mm

Lecturas

A. Normal

0.001 mm

Resolución

0.001 mm

Carátula

B. Uniforme

2.887x10-4 mm

Certificado

B. Normal.k=2

0.002 mm

Longitud del bloque, TVFT Calibración Temperatura del bloque, Q

2.543 mm 0.004 mm 21.4 °C

Repetibilidad

0.14 °C

Lecturas

A. Normal

0.1 °C

Resolución

0.1 °C

Carátula

B. Uniforme

0.03 °C

Calibración

0.2 °C

Certificado

B. Normal.k=2

0.1 °C

Certificado

B. Uniforme

0.06 °C

Referencia

B. Uniforme

3.18x10-7 °C-1

Temp. calibración bloque, QVFT Calibración Coef. dil. térmica lineal, ∝ Bibliografía Espesor capa acoplante, TFV

20 °C 0.2 °C 1.1x10-5 °C-1 1.1x10-6 °C-1 0 mm

Informe de incertidumbre en las mediciones: 0.005 mm GUM y método Informe de Monte Carlo B. Normal.k=2 Estimación para principiantes. 0.0025 mm

37

17/08/2015

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 5) Calcular la estimación b del mensurando , a partir de la relación funcional utilizando para las magnitudes de entrada 2 las estimaciones

# (:;< (@Cs 1 7∝ 4 4@Cs

(C@

(;

Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medida

(mm)

TUR

(mm)

(mm)

2.543

2.543

0.000

T,R

R


75

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b 5@ # 5shij # 7 5spqj # 7 5∝ # 7 5? # 7 5?pqj # 7 5sqp # 5@ #

c# c(:;<

5 (:;< 7

5 (:;<

6 (:;< )shij

5 (@Cs

u@Cs (@Cs vspqr

5 (@Cs

5 ∝ 12

c# c(@Cs

7

5 (@Cs 7

t#6 (:;< 12

c# c∝

5 ∝ 7

c# c4

5 4 7

5 4

c# c4@Cs

6 4 )?

7

5 4@Cs 7

t#6 4 12

5 4@Cs

u@Cs 4@Cs v?pqr

5 4C@

u (C@ vsqp

7

c# c(C@

5 (C@

u@Cs 4 v?


76

38

17/08/2015


# (:;< (@Cs 1 7∝ 4 4@Cs

*shij *spqr *∝

c# 1 c(:;<

*?

c# 1 7∝ 4 4@Cs c(@Cs

c# (@Cs ∙∝ c4

*?pqr

c# (@Cs 4 4@Cs c∝

(C@

*sqp

c# (@Cs ∙∝ c4@Cs

c# 1 c(C@


77

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm Variable/Fuente de incertidumbre Espesor medido, T,R

Valor

Tipo distribución

E

2.543 mm

V

contribución V ∙ E

1

Repetibilidad

0.002 mm

A.Normal

0.001 mm

0.001 mm

Resolución

0.001 mm

B.Uniforme

2.887x10-4 mm

2.887x10-4 mm

B. Normal.k=2

0.002 mm

Longitud bloque, TVFT Calibración Temperatura bloque, Q

2.543 mm 0.004 mm

-1 -0.002 mm -2.8x10-5 mm/°C

21.4 °C

Repetibilidad

0.14 °C

A. Normal

0.1 °C

-2.8x10-6 mm

Resolución

0.1 °C

B. Uniforme

0.03 °C

-8.08x10-7 mm

Calibración

0.2 °C

B. Normal.k=2

0.1 °C

Temp. cal. bloque, QVFT Calibración Coef. dil. térm. lineal, ∝ Bibliografía Espesor acoplante, TFV

0.2 °C

B. Uniforme

0 mm

1.62x10-6 mm

0.06 °C

1.1x10-5 °C-1 1.1x10-6 °C-1

-2.8x10-6 mm 2.8x10-5 mm/°C

20 °C

-3.56 mm°C B. Uniforme

3.18x10-7 °C-1

-1.13x10-6 mm -1

B. Normal.k=2 Informe 0.005 mm 0.0025 mm -0.0025 mm Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

39

17/08/2015


5@ #

5shij # 7 5spqj # 7 5∝ # 7 5? # 7 5?pqj # 7 5sqp #

Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medida

EV R

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

2.543

2.543

0.000

0.004

5.081

5.085

-0.004

0.006

7.631

7.621

0.010

0.006

10.165

10.161

0.004

0.004

12.705

12.702

0.003

0.005

19.042

19.048

-0.006

0.008

25.401

25.400

0.001

0.005


79

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM 7) Determinar la incertidumbre expandida

u v ∙ 5@ # Considerando un factor de cobertura v 2 representa un intervalo con un nivel de confianza de aproximadamente el 95%

M R

Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medida

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

2.543

2.543

0.000

0.008

5.081

5.085

-0.004

0.012

7.631

7.621

0.010

0.012

10.165

10.161

0.004

0.008

12.705

12.702

0.003

0.010

19.042

19.048

-0.006

0.016

25.401

25.400

0.001

0.010


80

40

17/08/2015


Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medida RXM

(mm)

(mm)

(mm)

2.543

2.543

0.000 ± 0.008

5.081

5.085

-0.004 ± 0.012

7.631

7.621

0.010 ± 0.012

10.165

10.161

0.004 ± 0.008

12.705

12.702

0.003 ± 0.010

19.042

19.048

-0.006 ± 0.016

25.401

25.400

0.001 ± 0.010

con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.


81

4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método SMC 4.1 Breve introducción al software Octave y Matlab: vectores y operaciones básicas 4.2 Gráfica de variables aleatorias: PDFs vs. histogramas 4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de incertidumbres 4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición para llevarla a cabo 4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación de resultados GUM vs Monte Carlo


82

41

17/08/2015

4.1 Octave y Matlab Matlab y Octave tienen la misma sintaxis y nombre de muchas

funciones. Por supuesto hay diferencias, pero en general son bastante compatibles. Octave es software libre, en tanto que Matlab no lo es. Existe una tremenda cantidad de librerías y programas desarrollados en ambas plataformas. Algunos son más eficientes y robustos; siendo importante saber qué estamos resolviendo y contar con algún mecanismo de comprobación. GNU Octave, http://www.octave.org Matlab, http://www.mathworks.com


83

Modelos y transformaciones matemáticas

Modelo

v(t)

y(t)

A v

y inv(A) T

inv(T) v_w

T

inv(T) ¿?

y_w


84

42

17/08/2015

Algebra con matrices y vectores Sea A la matriz, real o imaginaria0,

 a11 a A =  21  :  a n1

a12 a 22 : an2

... a1m  ... a 2 m  ... :   ... a nm 

La transpuesta de una matriz o vector cumple con:

( A + B ) T = AT + B T (λA) T = λAT ( AB ) = B A T

T

n

yT x = ∑ y j x j j =1

vector columna:

… m

vector renglón: T

(A ) = A T

Producto interno (punto o escalar),

T

…


:

85

Graficando vectores Líneas de código demostrativo t=0:0.01:2*pi; x = sin(t); plot (t,x) title(‘ x = sin(t), con t=0:0.01:2*pi’) xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)

t=0:0.01:4*pi; x = sin(t); plot (t,x) xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)


86

43

17/08/2015

Graficando matrices t=0:0.01:4*pi; x = sin(t); y=cos(t); mesh(x'*y)

imagesc(x’*y); axis('square')

contour(x'*y); axis('square')

imshow(x'*y)


87

4.2 Variables aleatorias (o random) Variable aleatoria con distribución normal y=randn(1000,1); plot(y)

hist(y)

mean(y) median(y) mode(y) std(y)

hist(y,20)

histfit(y,20)


88

44

17/08/2015

Histograma de variables aleatorias Variable aleatoria con distribución uniforme y=rand(1000,1); plot(y)

hist(y)

mean(y) median(y) mode(y) std(y) histfit(y,20) hist(y,20)


89

Histograma vs PDF

y=randn(1000000,1); mean(y), std(y) median(y), moda(y) subplot(221) plot(y) subplot(222); hist(y,20) subplot(223); histfit(y,20) subplot(224); hist(y,20,1) title('PDF')


90

45

17/08/2015

Histograma vs PDF

y=rand(1000000,1); mean(y), std(y) median(y), moda(y) subplot(221) plot(y) subplot(222); hist(y,20) subplot(223); histfit(y,20) subplot(224); hist(y,20,1) title('PDF')


91

4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de incertidumbres Referencia: JCGM 101:2008 Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” — Propagation of distributions using a Monte Carlo method

“Introduction This Supplement to the 0 (GUM) is concerned with the propagation of probability distributions through a mathematical model of measurement [GUM:1995 3.1.6] as a basis for the evaluation of uncertainty of measurement, and its implementation by a Monte Carlo method. The treatment applies to a model having any number of input quantities, and a single output quantity.”


92

46

17/08/2015

Suplemento 1 de la GUM

“This Supplement also provides guidance in situations where the conditions for the GUM uncertainty framework [GUM:1995 G.6.6] are not fulfilled, or it is unclear whether they are fulfilled. It can be used when it is difficult to apply the GUM uncertainty framework, because of the complexity of the model, for example. … This Supplement can be used to provide (a representation of) the PDF for the output quantity from which a) an estimate of the output quantity, b) the standard uncertainty associated with this estimate, and c) a coverage interval for that quantity, corresponding to a specified coverage probability can be obtained. …”


93

Suplemento 1 de la GUM “4.1 A mathematical model of a measurement [GUM:1995 4.1] of a single (scalar) quantity can be expressed as a functional relationship f: Y = f(X),

(1)

where Y is a scalar output quantity and X represents the N input quantities (X1, . . . ,XN)>. Each Xi is regarded as a random variable with possible values ξ_% and expectation x_i. Y is a random variable with possible values η_i and expectation y.” “4.2 … The concepts of model, PDF, and distribution function are central to following and implementing the guidance provided. … The symbol f is reserved for the model. Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

94

47

17/08/2015

Pero antes de continuar, tres definiciones importantes0 “3.17 propagation of distributions method used to determine the probability distribution for an output quantity from the probability distributions assigned to the input quantities on which the output quantity depends NOTE The method may be analytical or numerical, exact or approximate. 3.18 GUM uncertainty framework application of the law of propagation of uncertainty and the characterization of the output quantity by a Gaussian distribution or a scaled and shifted t-distribution in order to provide a coverage interval 3.19 Monte Carlo method method for the propagation of distributions by performing random sampling from probability distributions” Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

95

“Receta” para la propagación de incertidumbres Método de Monte Carlo, sección 5.9.6 de Suplemento 1 de la GUM: a) definir el número de veces, M, que será evaluado el modelo de medición Y = f(X); b) generar datos aleatorios para cada magnitud de entrada X_i conforme a su correspondiente PDF asignada; c) evaluar M veces el modelo de medición f(X); d) ordenar en forma creciente los valores obtenidos para el mensurando; y obtener su distribución de probabilidad G_Y; e) obtener el valor del mensurando e incertidumbre estándar; f) utilizar G_Y para obtener el intervalo de cobertura para una probabilidad de cobertura estipulada, p.


96

48

17/08/2015

a) Formulation

b) Propagation

c) Summarizing


97

4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición para llevarla a cabo Qué datos necesito para la propagación de incertidumbres: 1. Un valor grande para M; e.g., 1e6 o utilizar métodos adaptivos 2. Una probabilidad de cobertura, e.g., 0.95 3. Un modelo de medición, Y = f(X), con los siguientes datos para cada magnitud de entrada Magnitudes de entrada Valor

PDF

u(k = 1)

…

…

…

Valor medido o asignado a cada X_i


Incertidumbre estándar


98

49

17/08/2015

Ejemplos GUM


99

4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación de resultados GUM vs Monte Carlo Interface de usuario desarrollada en OCTAVE, por los instructores de este curso, para realizar la estimación de incertidumbres empleando el método de simulación de Monte Carlo para cualquier mensurando, definido con una sola ecuación o modelo matemático del tipo:

Y = f ( X1, , X 2 ,..., X n ) = f (X) Para n variables de entrada, Xn. Cada variable de entrada acepta un máximo de tres contribuciones de incertidumbre. Esto es, las magnitudes de entrada del modelo pueden representarse, a su vez, como:

X i = X i ,medida − δ i ,resolución − δ i ,calibración donde, X i ,medida , δ i ,resolución , δ i ,calibración representan las mediciones repetidas, el error por resolución y el error por calibración, respectivamente.


100

50

17/08/2015

Comparación de resultados GUM vs Monte Carlo


MODELO:

# (:;< (@Cs 1 7∝ 4 4@Cs

Variable/Fuente de incertidumbre Espesor medido, T,R

Valor

Tipo distribución

2.543 mm 0.002 mm

A.Normal

0.001 mm

Resolución

0.001 mm

B.Uniforme

2.887x10-4 mm

B. Normal.k=2

0.002 mm

Calibración Temperatura bloque, Q

2.543 mm 0.004 mm 21.4 °C

Repetibilidad

0.14 °C

A. Normal

0.1 °C

Resolución

0.1 °C

B. Uniforme

0.03 °C

Calibración

0.2 °C

B. Normal.k=2

0.1 °C

B. Uniforme

0.06 °C

B. Uniforme

3.18x10-7 °C-1

B. Normal.k=2

0.0025 mm

Temp. cal. bloque, QVFT Calibración Coef. dil. térm. lineal, ∝ Bibliografía Espesor acoplante, TFV Informe

(C@

E

Repetibilidad

Longitud bloque, TVFT

101

20 °C 0.2 °C 1.1x10-5 °C-1 1.1x10-6 °C-1 0 mm 0.005 mm


102

51

17/08/2015

MODELO:

# (:;< (@Cs 1 7∝ 4 4@Cs

I.C. = [-6.6246e-003, 6.5681e-003] @ 95%

(C@

M = 1 000 000


MODELO:

l=

103

c lmed cref

Ej. Bloque de aluminio AISI 6061 Variable/Fuente de incertidumbre Espesor medido, T,R

Valor




23.16 mm

Repetibilidad

0.009 mm

Lecturas

A. Normal

0.004 mm

Resolución

0.01 mm

Carátula

B. Uniforme

2.89x10-3 mm

Calibración

0.01 mm

Certificado

B. Normal.k=2

0.005 mm

Certificado

B. Normal.k=2

29.65 m/s

Certificado

B. Normal.k=2

28.85 m/s

Velocidad de propagación del bloque medido, V Calibración Velocidad de propagación del bloque referencia, VUR Calibración

6 380.1 m/s 59.3 m/s 5 914.8 m/s 57.7 m/s


104

52

17/08/2015

MODELO:

l=

I.C. = [24.653, 25.314] @ 95%

c lmed cref

M = 1 000 000


105

5. Reflexiones y consideraciones finales/

¿Cuál es el mensurando? / mm

25,4

¿Medición directa o medición indirecta?... ¿Qué modelo matemático puedo utilizar para representar la medición? / ¿Cuáles son las magnitudes de entrada? / ¿Es aceptable suponer independencia estadística entre las magnitudes de entrada del modelo de medición? . . ¿Método GUM-varianzas o Método GUM-SMC? ¿Software y/o plataformas de programación disponibles?


106

53

17/08/2015

5. Reflexiones y consideraciones finales/

¿Realmente necesito estimar la incertidumbre de una medición?

¿Qué beneficios obtengo al estimar la incertidumbre del resultado de una medición?

¿Las mediciones repetidas y su correspondiente estimación de incertidumbres, dado que implican más tiempo de operación y demoran el proceso para emitir un resultado, son un gasto innecesario o en qué momento agregan valor al resultado?

con o sin una estimación de incertidumbres el responsable o usuario de la medición tomará una decisión respecto a la aceptación o rechazo del artefacto medido, evaluado o inspeccionado/ ¿entre varios laboratorios, cómo establecer la confiabilidad de sus mediciones y resultados?


107

108

54

17/08/2015

“The revision of the twenty-year-old GUM, currently under way, …”

http://www.bipm.org/en/conference-centre/bipm-workshops/measurement-uncertainty/

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