Mempunyai kekakuan yang besar (terutama pada bentang lebar). Mempunyai bentuk yang seragam dengan berbagai variasi. Dapat mendistribusikan beban dan momen pada kedua arah bentang secara merata. Mempunyai sifat fleksibilitas ruang yang cukup tinggi dan sederhana, sehingga lebih luwes dalam mengikuti pembagian panel-panel eksterior maupun partisi interiornya. Dapat mengurangi jumlah pemakaian kolom, sehingga dapat memberikan ruang yang lebih luas.
Bentuk dan Posisi (Shape and Location)
Sistim Grid Persegi
Sistim Grid Miring
Sistim Grid Majemuk
3
4/22/2015
Metode Kekakuan (Stiffness Method) Metode Kekakuan (Stiffness Method ) merupakan salah satu cara untuk menganalisis struktur yang proses perumusan analisisnya dilakukan dengan cara memberikan lendutan sebesar satu satuan di titik-titik diskrit yang akan dicari. Dengan demikian akan diperoleh hubungan antara gaya-gaya yang bekerja pada titik diskrit yang bersangkutan dan lendutan yang terjadi akibat bekerjanya gaya tersebut.
Metode Kekakuan (Stiffness Method) cont’d. Secara matematis, hubungan tersebut dapat ditulis: {A} = [S] {D} dengan : {A} [S] {D}
Matriks Kekakuan Elemen Untuk mempermudah perakitan matriks kekakuan batang, maka titik-titik diskrit diberi nomor urut dan ditentukan pula kondisi pengekang berdasarkan jenis tumpuannya. Karena adanya beban luar, baik beban pada batang (element load ) atau beban pada titik buhul ( joint load ), batang akan mengalami deformasi akibat torsi pada arah sumbu X, rotasi pada arah sumbu Y dan translasi pada pada arah sumbu Z. Untuk lebih jelasnya, Pers. tersebut akan ditulis dengan ilustrasi ditunjukkan pada Gambar 1.
Matriks Kekakuan Elemen Gambar 1. Diskritisasi elemen dengan vektor gaya-lendutan di ujung cont’d. 3
6 2
5 1
4
A
B z y
Sistim Koordinat Elemen (Lokal) x
5
4/22/2015
Matriks Kekakuan Elemen cont’d. Matriks kekakuan batang dibetuk dengan melakukan analisis pada sebuah elemen struktur yang terjepit pada ujung-ujungnya. Pada ujung elemen tersebut diberikan aksi yang diperkirakan terjadi pada titik diskrit agar terjadi perpindahan sebesar satu satuan yang sesuai dengan jenis aksinya. Hubungan antara gaya ujung batang dan perpindahan yang selaras dengan gaya tersebut ditunjukkan pada Gambar 2 sampai dengan Gambar 7.
Matriks Kekakuan Elemen cont’d.
6
4/22/2015
Matriks Kekakuan Elemen cont’d. Dari Gambar 2 sampai dengan Gambar 7 dapat disusun Pers. linier simultan sebagai berikut : A 1 A 2
A 3 A 4
GIx L 4EIy
6EI y 2
6EI y
D1
D3
2
L
D2
(2)
D4
L
D2
L
L GIx
GIx
D1
12EI y 3
L
2EIy
L
D3
D5
6EI y 2
L
6EIy
L2
D5
(3)
D6
12EI y
L3
D6
(4)
GIx
(5)
D4 L 6EI y 4EI y 6EI y A 5 D 2 2 D3 D5 2 D6 L L L L A 6
L 2EI y
6EI y
D2
2
L
12EI y 3
L
D3
6EI y 2
L
D5
12EI y
L3
(6) (7)
D6
Matriks Kekakuan Elemen cont’d. Pers. (2) sampai dengan (7) dapat ditulis dalam bentuk matriks : GI x L A 1 0 A 2 A 3 0 GI A 4 x A 5 L 0 A 6 0
0
4EI y
L 6EI y L2
L 6EI y
L2
6EI y
6EI y 2
0
L
0
L3 0
GI x 0
2
L 12EI y
0 2EI y
0
GI x
L
12EI y
L3
0
L 6EI y L2 0
L 0
2EI y
4EI y
L 6EI y
L2
6EI y 2 L 12EI y 3 L 0 6EI y 2 L 12EI y 3 L 0
Matriks Kekakuan Elemen cont’d. Selanjutnya matriks [S] disebut sebagai Matriks Kekakuan Elemen terhadap sistim koordinal lokal :
SM i
GI x L 0 0 GI x L 0 0
0
4EI y
L 6EI y
L2
L 6EI y
L2
6EI y
GI x
0
L 0
2
L
12EI y
0
0
L3
0 2EI y
0
6EI y
L2
12EI y
L3
GI x
0
L 6EI y
L2 0
L 0
2EI y
4EI y
L 6EI y
L2
6EI y 2 L 12EI y 3 L 0 6EI y 2 L 12EI y 3 L 0
(9)
Matriks Kekakuan Elemen cont’d. Pers. (9) disebut juga dengan Pers. dasar struktur balok silang yang diturunkan berdasarkan sistim koordinat lokal. Dengan demikian dalam penyusunan matriks kekakuan struktur [SJ] diperlukan adanya matriks transformasi untuk merubah ke dalam sistim koordinat global [SMS].
8
4/22/2015
Rotasi Sumbu 3D Pada gambar di bawah, terlihat bahwa sumbu Z untuk sistim koordinat lokal, SKL (zM) berhimpit dengan sumbu Z untuk sistim koordinat global, SKG (ZS). Untuk lebih jelasnya mengenai transformasi suatu elemen dalam koordinat lokal ke dalam sistim koordinat global dapat di lihat pada Gambar 8. z
Z y
Y
x
X
Sistim Koordinat Lokal
Sistim Koordinat Global
Rotasi Sumbu 3D cont’d. ZS
YS d5 d
D6
6
b D3 d2 d
D2 d1
3
a
D1
D5 d4 D4
θ
XS
Gambar 8. Kondisi batang ( element ) pada sistim koordinat global
9
4/22/2015
Rotasi Sumbu 3D cont’d.
Untuk transformasi ujung a :
d1 cos sin 0 d sin cos 0 2 d3 0 0 1
atau
D1 D 2 D 3
da R D a
(10)
(11)
Rotasi Sumbu 3D cont’d.
Untuk transformasi ujung b :
d 4 cos sin 0 0 d sin cos 5 d6 0 0 1
atau
db R D b
D 4 D 5 D 6
(12)
(13)
10
4/22/2015
Rotasi Sumbu 3D cont’d.
Mengingat bahwa matriks [R] merupakan matriks orthogonal, karena mempunyai matriks inverse yang sama dengan matriks transpose ([R]-1 = [R]T). Maka dengan menggabungkan Pers. (11) dan (13) diperoleh :
atau
da R 0 D a D d R 0 b b
(14)
d R T D
(15)
Rotasi Sumbu 3D cont’d. Analog
dengan Pers. (14), maka dapat disusun Pers. (16) :
f a R 0 f b 0 R
atau
f R T F
Fa Fb
(16)
(17)
11
4/22/2015
Rotasi Sumbu 3D cont’d.
Dari Pers. (14) dan (16) dapat diperoleh : D a R T Db 0
da db
(18)
atau Dan
D R T T d Fa R T Fb 0
RT 0
atau
RT 0
(19)
f a f b
(20)
F R T T f
(21)
Rotasi Sumbu 3D cont’d.
Dari Pers. dasar f = k.d diperoleh :
dan Pers. (21), dapat
F R T T k d
(22)
Dari Pers. (22) dan (15) dapat diperoleh :
F R T T k R T D
(23)
12
4/22/2015
Rotasi Sumbu 3D cont’d.
Pers. (23) identik dengan Pers. A = S.D, sehingga diperoleh matriks kekakuan batang pada sistim koordinat global [SM]i :
SMS i R T T SM i R T dengan : [SMS]i = matriks kekakuan batang pada sistim koordinat global [RT]T = matriks rotasi transformasi transpose [RT] = matriks rotasi transformasi
Terima kasih atas perhatiannya, semoga sukses studinya!
