7-ConveccionForzadaInterna

Centr ntro o de d e Estu Estudio dios s Energético Energéticos s Departamento de Ingeniería Mecánica Dirección Dire cción de Investigación Investigación y Postgrado UNEXP UNE XPO O Vic Vicerrect errect or orado ado de Puerto Ordaz Or daz

Tr an s f er en c i a d e Cal o r Av A v an anzad zada a

Elabo laborado rado por p or:: Prof. Prof . Edg dga ar Gutiérr Gut iérre ez, Ing. MS MSc. http: // //edga edgar-gutierrez r-gutierrez.blogspot.com/ .blogspot.com/

Transferencia de Calor Avanzada


Contenidos: • • • •

Introducci Introdu cción ón a la Trans Transfere ferenci ncia a de Cal Calor. or. Con Co nducció ión n. Con Convección ión. Radiación.



Contenidos: • • • •

Introducci Introdu cción ón a la Trans Transfere ferenci ncia a de Cal Calor. or. Con Co nducció ión n. Con Convección ión. Radiación.



Convección.

Con onvecc vecció ión n Forzada Forzada Int Inte ern rna a. Capa Límite Límit e Hid Hidro rodi dinámic námica a. δ

D

Flujo desarrollado

En el flujo dentro de una tubería se identifica dos regiones, una que se le conoce como región de entrada y otra de flujo desarrollado. En la región de entrada la capa límite incrementa su espesor hasta alcanzar un máximo máxi mo y por tanto el perfil de velocidad cambia con la longitud. En la región de flujo desarrollado el perfil de velocidad no cambia con la longitud (ver Figura). El numero de Reynolds en flujo : Re D

=

UD

ν

=

ρ UD μ


Donde U es la velocidad media.

Centro de Estudios Energéticos Departamento de Ingeniería Mecánica Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO Vicerrect orado de Puerto Ordaz

Convección.

Convección Forzada Interna. Capa Límite Hidrodinámica. El número de Reynolds es el que define si el flujo es laminar a turbulento:

Re D ≤ 2300

⇒

Flujo Laminar

2300 < Re D < 4000 ⇒ Flujo en Transición Re D ≥ 4000

⇒

Flujo Turbulento

De acuerdo al tipo de flujo, la longitud de entrada, xcr , se determina por:

xcr D

= 0,05 Re D

10 ≤

xcr D

≤ 60

si si

Re D ≤ 2300 (Flujo Laminar) Re D ≥ 4000

(Flujo Turbulento)

En la zona de transición es difícil establecer la longitud de entrada, xcr , entonces para propósitos prácticos se asume flujo turbulento para ReD>2300 y la longitud de entrada es: xcr D > 10 Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Capa Límite Hidrodinámica. La velocidad media se calcula por:

& = ρ UA m

⇒

U =

& m ρ A

Tubería circular

También:

& = ∫∫ ρ u (r , x)dA ⇒ U = m A

1

ρ A ∫∫

ρ u (r , x)dA ⇒ U =

A

2 R

2

∫∫ u(r , x)rdr A

Donde m es el flujo másico que pasa a través de la tubería, ρ la densidad del fluido y A el área de flujo. El número de Reynolds para el caso de una tubería circular se puede determinar por:

Re D =

& 4m

π Dμ

Donde:

A =

π 2 D 4



Convección.

Convección Forzada Interna. Capa Límite Térmica. Cuando el flujo entra dentro de un conducto r R se produce una capa límite térmica que se incrementa hasta alcanzar un máximo, esta zona se llama Región de entrada térmica Región completamente desarrollada región de entrada xct térmica. Después que se ha alcanzado el espesor máximo de la capa límite, comienza la zona de perfil de temperatura desarrollado. La longitud de entrada térmica, xct, se puede calcular mediante la siguiente relación:

xct D

= 0,05 Re D Pr

si

Re D ≤ 2300

y

xct D


≈ 10

si

Re D ≥ 4000


Convección.

Convección Forzada Interna. Capa Límite Térmica. La ley de Enfriamiento de Newton para el flujo de calor se expresa como:

qs = h(T s − T m ) Donde qs es el calor superficial por unidad de área, h es el coeficiente de convección local, Ts es la temperatura en la superficie interior del tubo y Tm es la temperatura media del fluido dentro de la tubería. Tm se diferencia de T∞ ya que no es contante, y varía con la longitud de la tubería, para lo cual se cumple que:

dT m dx

>0

si

T s > T m

dT m

y

dx

<0

La temperatura media se obtiene por:

& = m& c T E

v m

ó T m =

1

& cv m

si

T s < T m

Para tuberías circulares:

∫∫ ρ uc TdA v

A


R

2 T m = 2 uTrdr UR 0

∫


Convección.

Convección Forzada Interna. Capa Límite Térmica (Condición de Perfil de Desarrollado). A diferencia de la capa límite hidrodinámica donde se cumple que ϑ u/ϑ x=0, en la capa límite térmica dTm/dx≠ 0. En ese sentido, la condición de flujo desarrollado se alcanza cuando:

∂ ⎛ T s ( x) − T (r , x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ∂ x ⎝ T s ( x) − T m ( x) ⎠ x ct

La condición anterior se alcanza para dos situaciones: cuando hay un flujo de calor constante (qs =ctte) o cuando la temperatura superficial es constante (Ts=ctte), pero nunca se presenta ambas situaciones de manera simultanea. Como se puede observar el la figura, el coeficiente de conv ección en al zona desarrollada no cambia con la longit ud , es decir permanece constante. Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Ecuación de Energía. En la figura se muestra un volumen de control del fluido que transporta la tubería, al aplicar el balance de energía se obtiene:

& (cvT m + pv ) δ qconv + m d (cvT m + pv ) ⎤ ⎡ − ⎢m& (cvT m + pv ) + m& δ x ⎥ = 0 dx ⎣ ⎦

Entrada, e

Salida, s

Al simplificar y aplicar el límite cuando el volumen de control tiende a cero, se tiene

& d (cvT m + pv ) dqconv = m Para un gas ideal, la ecuación de energía se reduce, puesto que se cumple que pv=RTm y cp =cv + R. Entonces:

& d c pT m dqconv = m



Convección.

Convección Forzada Interna. Ecuación de Energía. Para un fluido incompresible, cp = cv y d(pv) es mucho mas pequeño de d(cvTm), con la excepción de líquidos sometidos a elevadas presiones. En este caso la ecuación de energía es:

& d c pT m dqconv = m Si se integra la ecuación de energía entre la entrada y las salida de una tubería, se tiene: s

∫ e

s

& d (c pT m ) ⇒ dqconv = m

∫

[

& (c pT m )s − (c pT m )e qconv = m

e

Si se cp es constante, la ecuación se reduce a:

& c p T m ,s − T m ,e qconv = m Transferencia de Calor Avanzada

]


Convección.

Convección Forzada Interna. Ecuación de Energía. En la realidad, en los fluidos cp = cp(T) por lo que se puede usar la ecuación anterior, si se calcula un cp promedio, es decir.

c p = Luego:

s

1 T m , s − T m ,e

= ∫ c p (T )dT m ≈ c p (T m )

con

e

T m =

T m , s + T m ,e

2

& c p (T m, s − T m ,e ) qconv = m

Alternativamente, y considerando cp constante, la ecuación de energía se puede escribir, como:

& c p dT m = qs dAs = qs Pdx ⇒ dqconv = m dT m dx

=

qs P

& c p m

=

Ph

& c p m

(T s − T m )



Convección.

Convección Forzada Interna. Distribución de la Temperatura Media con la Longitud de la Tubería. Para analizar la distribución de la temperatura media a lo largo de la tubería se consideran dos situaciones, la primera donde el flujo de calor es contante (qs=ctte) (tal es el caso de que la pared se caliente con electricidad o mediante una radiación uniforme), y la segunda donde la temperatura superficial es constante (Ts=ctte), cuya aplicación en ingeniería se obtiene cuando en la tubería se da un cambio de fase. Análisis para Flujo de Calor Superficial Constante (q s =ctte) En este caso se usa la ecuación.

dT m dx

=

qs P

& c p m

Al integrar, entre x = 0 y un valor de x cualquiera, T m se obtiene: x

∫

dT m =

T m ,e

qs P

∫ m& c 0

dx

p


qs


Convección.

Convección Forzada Interna. Normalmente las tuberías son se sección transversal constante, por lo que qsP/mc p es independiente de x. Entonces:

T m = T m ,e +

qs P

& c p m

x

Note, que para x = L se tiene que Tm(L) = Tm,s, entonces:

qs P

& c p m También,

=

T m , s − T m ,e L

⇒

⎛ T m,s − T m ,e ⎞ ⎟⎟ x T m = T m ,e + ⎜⎜ ⎝ L ⎠

& c p (T m ,s − T m ,e ) Q& = qs PL = qs As = m

Análisis para Temperatura Superficial Constante (q s =ctte) En este caso la ecuación que conviene es:

dT m dx

=

Ph

& c p m

(T s − T m )



Convección.

Convección Forzada Interna. Se recomienda hacer el cambio de variable:

θ = T s − T m Luego,

d θ dx

=− θ

⇒ Ph

& c p m

ln θ θ = − e

d θ dx θ

θ ⇒

=− d θ

∫ θ

dT m dx

=−

θ e

P

& c p m

h x ⇒ ln

P

& c p m

θ θ e

=−

x

∫ hdx

⇒

0

Ph x

& c p m

⇒

θ θ e

=e

Donde por el teorema de valor medio para integrales, se tiene: Al regresar el cambio de variable se tiene:

T s − T m T s − T m ,e

=e

−

Ph x

&cp m


−

Ph x

&cp m

h=

1

x

hdx ∫ x 0


Convección.

Convección Forzada Interna. La figura muestra la distribución de la temperatura media a lo largo de una tubería, allí se observa un comportamiento lineal para el caso de qs = ctte y exponencial para el caso de Ts = ctte.



Convección.

Convección Forzada Interna. Observe que cuando x = L

θ s θ e

=



T m(L) = T m,s, luego θ (L) = θ s = T s-T m,s.

T s − T m , s T s − T m ,e

−

=e

Ph L

&cp m

De la ecuación anterior, se tiene:

⎛ T s − T m,s ⎞ ⎟ = − Ph L ln⎜ ⎜ T − T ⎟ & c p m ⎝ s m,e ⎠

⇒

& c p [T m ,s − T m ,e ] = Ph L m

Reordenando,

Q&

conv

= h PL

T s − T m , s − T s − T m,e

⎛ T s − T m, s ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ T − T ⎟ ⎝ s m,e ⎠

= h PL

− T m,s ) = Q& conv ⎛ T s − T m,s ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ T − T ⎟ ⎝ s m,e ⎠

(θ s − θ e )


⎛ θ s ⎞ ⎟⎟ ⎝ θ e ⎠

ln⎜⎜

(T

m ,e


Convección.

Convección Forzada Interna. Como,

As = PL T s − T m , s − T s − T m ,e θ − θ θ − θ ΔT ml = = s e = e s ⎛ T s − T m,s ⎞ ⎛ θ s ⎞ ⎛ θ e ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ ln⎜⎜ ⎟⎟ ln ⎜ T − T ⎟ ⎝ θ e ⎠ ⎝ θ s ⎠ ⎝ s m,e ⎠

Se tiene que,

Diferencia de temperatura media logarítmica

T T s

Q& conv = h As ΔT ml θ s

θ s

(T s-T m) T m(x)

x Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Laminar Completamente Desarrollado. El perfil de velocidad en la zona desarrolla, para el caso de flujo laminar, se puede demostrar que tiene la forma parabólica siguiente: 2

⎡ ⎛ r ⎞ = 2⎢1 − ⎜ ⎟ U ⎢⎣ ⎝ R ⎠ u

⎤ ⎥ ⎥⎦

Para la zona desarrollada térmicamente, el flujo ya se encuentra desarrollado, por tanto, bajo esta consideración se puede demostrar que:

Nu D = Nu D =

hD k 11

3

=

48 11

= 4,36

= 3,667

si

si

qs = ctte

T s = ctte


Para ambos caso se debe cumplir que ReD < 2300


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Laminar en la Región de Entrada. El cálculo del coeficiente de convección en esta región es complicado por que se desarrollan los dos perfiles, el de velocidad y el temperatura. En ese sentido, se han adoptado dos modelos para su estudio. - Modelo de longitud de entrada térmica (MLET): Considera que el perfil térmico se desarrolla en presencia de un perfil de velocidad desarrollado. Esta condición es válida para fluidos número de prandt grande como los aceites o cuando el suministro de calor esta precedido por una región no calentada. - Modelo de longitud de entrada combinada (MLEC): Considera que el perfil de velocidad y el perfil térmico se desarrolla simultáneamente. Se puede señalar que el número de Nusselt (NuD) es independiente de Pr en el modelo de entrada térmica, pero si depende del Pr para el modelo de entrada combinada. Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Laminar en la Región de Entrada. La figura muestra como varía NuD como función del inverso del número de Graetz (Gz), el cual se define como:

⎛ D ⎞ Gz D = ⎜ ⎟ Re D Pr ⎝ x ⎠

Nu D

Se observa que GzD-1=0, el NuD tiende a infinito y cuando GzD-1= 0,05 comienza la zona completamente desarrollada. Si Pr  el MLEC se aproxima al MLET. ∞


Gz D−1 =

x D

Re D Pr


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Laminar en la Región de Entrada. Para la condición de temperatura superficial contante y usando el MLET, Kays (aunque algunos autores se atribuyen Hausen), propone la siguiente correlación para calcular el número de Nusselt promedio:

Nu D = 3,66 +

0,0668( D L ) Re D Pr 1 + 0,04[( D L ) Re D Pr ]

23

⎧ MLET si ⎨ ⎩T s = ctte

Donde las propiedades se evalúan a:

T m =

T m ,e + T m ,s

2

El número de Nusselt promedio es:

Nu D =

h D k



Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Laminar en la Región de Entrada. Para la condición de temperatura superficial contante y usando el MLEC, Sieder y Tate, propone la siguiente correlación para calcular el número de Nusselt promedio:

1 3 ⎛ μ ⎞ ⎟⎟ Nu D = 1,86[( D L ) Re D Pr ] ⎜⎜ ⎝ μ s ⎠

0 ,14

Todas las propiedades se deben evaluar a:

T m =

⎧ MLEC ⎪T = ctte ⎪⎪ s si ⎨0,48 < Pr < 16700 ⎪ μ ⎪0,0044 < < 9,75 ⎪⎩ μ s

T m ,e + T m ,s

2

excepto μ s que se debe evaluar a Ts. Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Turbulento Desarrollado en Tuberías. Una correlación para tubería circular la propone Colburn, y se expresa como:

Nu D = 0,023 Re D Pr 45

13

⎧0,7 ≤ Pr ≤ 160 ⎪ si ⎨Re D ≥ 10000 ⎪ L D ≥ 10 ⎩

Por otra parte, Dittus-Boelter proponen un tanto diferente:

Nu D = 0,023 Re D Pr 45

n

⎧0,7 ≤ Pr ≤ 160 ⎪ si ⎨Re D ≥ 10000 ⎪ L D ≥ 10 ⎩

Donde n = 0,4 si Ts>Tm (Calentamiento) y n=0,3 si Ts

Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Turbulento Desarrollado en Tuberías. Para flujo donde las propiedades varían de forma importante ( |Ts-Tm| es grande), Sieder y Tate proponen:

Nu D = 0,027 Re

45 D

⎛ μ ⎞ Pr ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ μ s ⎠

0 ,14

13

⎧0,7 ≤ Pr ≤ 16700 ⎪ si ⎨Re D ≥ 10000 ⎪ L D ≥ 10 ⎩

Donde todas la propiedades se evalúan a Tm, excepto μ s que se evalúa a Ts. Una correlación más actualizada fue propuesta por Petukhov:

Nu D =

( f 8) Re D Pr 12 1,07 + 12,7( f 8) (Pr − 1) 23

⎧0,5 < Pr < 2000 ⎪ 4 6 si ⎨10 < Re D < 5 x10 ⎪ L D ≥ 10 ⎩

Donde f es el factor de fricción que se puede calcular en el diagrama de Moody o las correlaciones establecidas para el. Todas las propiedades se deben evaluar a Tm. Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Turbulento Desarrollado en Tuberías. El factor de fricción que usa la correlación de Petukhov se puede determinar por: f =

64 Re D

si Re D < 2300 −2

f = [0,79 ln(Re D ) − 1,64] 6 si 3000 < Re D < 5 x10



Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Turbulento Desarrollado en Tuberías. Para números de Reynolds bajo Gnielinski corrigió la correlación de Petukhov y propuso:

( f 8)(Re D − 1000)Pr Nu D = 12 1 + 12,7( f 8) (Pr − 1) 23

⎧0,5 < Pr < 2000 ⎪ si ⎨3000 < Re D < 5 x106 ⎪ L D ≥ 10 ⎩

Donde f es el factor de fricción que se puede calcular en el diagrama de Moody o las correlaciones establecidas anteriormente. La correlación de Gnielinski y Petukhov se pueden usar para las condiciones de Ts = ctte y qs = ctte, y todas las propiedades se deben evaluar a Tm. Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Turbulento Desarrollado en Tuberías. Para el caso de flujo de metales líquidos con flujo turbulento completamente desarrollado y flujo de calor superficial constante (qs = ctte), Skupinski y otros proponen la siguiente correlación para tuberías circular lisa:

Nu D = 4,82 + 0,0185Pe D

0 ,827

⎧qs = ctte ⎪ 3 5 si ⎨3,6 x10 < Re D < 9,05 x10 ⎪10 2 < Pe < 10 4 D ⎩

Donde PeD = ReDPr es el número de Peclet. Por otra parte, Seban y Shimazaki proponen una correlación similar para Ts = ctte.

Nu D = 5,0 + 0,025Pe

0 ,8 D

⎧T s = ctte si ⎨ ⎩ Pe D > 100

En ambas correlaciones, las propiedades se deben evaluar a Tm. Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Flujo Turbulento en Desarrollado en Tuberías. Para tuberías cortas, el número de Nusselt promedio se puede calcular por:

Nu D Nu D ,cr

= 1+

C

( x D )

m

si L D < 10

Donde C y m son constantes que depende del tipo de entrada a la tubería (boquilla cuadrada, redonda, etc). Sin embargo, para flujo turbulento la longitud de entrada (o región de flujo en desarrollos) es corta (10
Nu D = Nu D ,cr Donde la propiedades se deben evaluar en:

T m =

T m ,e + T m , s


2


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Tuberías no Circulares. Muchas de las correlaciones de para tubería circular se pueden usar para tuberías no circulares, pero se debe calcular el diámetro hidráulico ( Dh)

Dh =

4 Ac P

Donde Ac es el área de las sección transversal por donde pasa el flujo y P el perímetro mojado de dicha área. Entonce el ReD y NuD se calculan por:

Re D =

UDh

υ

,

Nu D =

hDh k

Para flujo turbulento (incluyendo ReD>2300), se pueden usar las correlaciones de tuberías circulares para Pr ≥0 ,7; sin embargo, en un tubo no circular los coeficientes varían alrededor de la periferia, aproximándose a cero en la esquina. En ese sentido, lo que se obtiene es un NuD promedio sobre el perímetro Transferencia de Calor Avanzada


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Tuberías no Circulares. Para flujo laminar , el uso de correlaciones para tuberías circulares es menos precisa que para flujo turbulento, es ese sentido, Kays y Crawford recomienda la siguiente tabla. Donde:

Nu D =

hDh k



Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Anillos Concéntricos. Para los anillos concéntricos, el flujo de calor desde cada superficie hacia el fluido se puede calcular por:

qi = hi T s ,i − T m ,

T s ,i qe

qe = he T s ,e − T m

qi

Di

Los números de Nusselt son:

Nui =

hi Dh k

T m ,U

he Dh

,

Nue =

=

4 π 4 ( De2 − Di2 )

De

k

Donde:

Dh =

4 Ac P

π ( De + Di )

T s ,e

⇒

Dh = De − Di



Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Anillos Concéntricos. Para flujo laminar completamente desarrollado con una superficie aislada y la otra superficie con temperatura superficial constante, Kays y Perkins proponen la siguiente tabla de valores para el número de Nusselt. Es importante notar que en esta situación el Nusselt que interesa es el de la superficie isotérmica. Cuando el flujo es laminar desarrollado y se tiene flujo de calor en ambas superficies, los números de Nusselt se deben calcular por:

Nui =

Nuii

1 − (qo qi )θ i*

,

Nue =

Nuoo

1 − (qi qo )θ o*


e

e


Convección.

Convección Forzada Interna. Coeficiente de Convección para Anillos Concéntricos. Para obtener los coeficientes Nuii, Nuoo, θ *i y θ *e, Kays y Perkins proponen la siguiente tabla.

e

qi y qe pueden ser positivo o negativo dependiendo si la transferencia de calor es hacia o desde el fluido. Puede ocurrir que hi y he sea negativo, lo que revela la magnitud relativa de Tm, Ts,i y Ts,e. Transferencia de Calor Avanzada

ee

e

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