E s t á t i c a Parte de la mecánica que estudia estudia las condiciones c ondiciones que deben deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para que éste se encuentre en equilibrio. CONCEPTOS Y MAGNITUDES FÍSICAS QUE PERMITEN INTERPRETAR LA ESTÁTICA: Inercia:
Propiedad de todo cuerpo material mediante la cual trata de conservar su estado de reposo o de movimiento, depende del valor de la masa.
Masa (m):
Magnitud física escalar que cuantifica la inercia de un cuerpo (masa inercial). Despreciando los efectos relativísticos (cuando la velocidad de la masa es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz), su valor es constante en cualquier punto del universo. Su unidad en el S.I. es el Kilogramo (Kg).
®
Fuerza ( F ): Magnitud física vectorial que tiende a modificar modific ar el el estado de reposo reposo o movimiento de los cuerpos, o la forma de éstos. Su unidad en el S.I. es el Newton (N). Se puede también definir la fuerza como la acción de un cuerpo sobre otro, ya y a sea por contacto ó interacción a distancia.
LE YE YES D DE N NEWTON Newton formuló tres leyes, de las cuales sólo dos aplicaremos en la estática (1 a y 3a Ley), dejando el estudio de la restante para el capítulo de dinámica.
Primera Ley:
LEY DE LA INERCIA
“Un cuerpo permanece en reposo ó él sea nula”.
con velocidad constante (MRU); (MRU); siempre y cuando la l a fuerza resultante sobre
Fig. 3.1. Este comportamiento de los cuerpos puede expresarse como: ®
S
®
®
F = 0
Si expresamos las fuerzas rectangulares, entonces: u u r
®
®
®
®
®
®
®
F1 , F2 , F3 y F4
en términos de sus componentes componentes
r
S
Fx = 0
S
Fy = 0 Fz = 0
S
®
F1 + F2 + F3 + F4 = 0
Þ
u u r
r
u u r
r
Fig. 3.2
¡ RECUERDA QUE !
El hecho de que la fuerza resultante sea nula es conocido como la Primera Condición de Equilibrio de los cuerpos ó Equilibrio de Traslación o equilibrio de una partícula.
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EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN Cuando ®
S
®
F = 0
Esto implica ®
a
®
= 0
Con posibilidades ®
V =
®
®
V = cte
0
EQUILIBRIO ESTÁTICO
EQUILIBRIO CINÉTICO
En las figuras 3.3 y 3.4 podemos observar los 2 tipos de equilibrio:
Fig. 3.3 (Equilibrio estático)
Tercera Ley:
Fig. 3.4 (Equilibrio cinético)
LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN
Las fuerzas existentes en la naturaleza, no existen solas, siempre existen en parejas, esto puede expresarse en la tercera ley de Newton. A toda fuerza aplicada (acción) le corresponde una fuerza de reacción de igual magnitud pero de sentido opuesto. Ver fig. 3.5.
Fig. 3.5
OBSERVACIONES: ü
ü
La fuerza de acción y reacción nunca se anulan entre sí, porque actúan sobre cuerpos diferentes. Las fuerzas de acción y reacción son simultáneas.
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FUERZAS NOTABLES Teniendo en cuenta que la fuerza es una magnitud física vectorial es muy importante saber identificar que fuerzas están actuando sobre un cuerpo. Entre las más comunes tenemos: ®
a) PESO ( P ): El peso es una fuerza de origen gravitatorio que siempre actúa en un punto del cuerpo, conocido como centro de gravedad, y su dirección es hacia el centro de la tierra. Ver fig. 3.6.
Su módulo para pequeñas alturas respecto a la superficie terrestre se evalúa por: ®
®
P = m. g
Donde:
m = masa del cuerpo ® g = aceleración de la gravedad
Al cociente m = P se denomina masa gravitacional. g Se debe verificar que la masa inercial tiene el mismo valor que la masa gravitatoria ®
Fig. 3.6
b) NORMAL ( N ): Es una fuerza de origen molecular que se debe al apoyo ó contacto entre las superficies de dos cuerpos. Su dirección siempre es perpendicular a la superficie de contacto. Ver. Fig. 3.7.a. y 3.7.b.
Fig. 3.7 a
Fig. 3.7 b
®
c) TENSIÓN ( T ): Es una fuerza de origen molecular que se ejerce en cuerpos flexibles como son: cuerdas, cables, hilos, cadenas, etc. Su dirección al actuar sobre un cuerpo siempre es “tirante”. Ver fig. 3.8. ®
d) FUERZA DE FRICCIÓN Ó ROZAMIENTO ( F f ): Es una fuerza de origen molecular que se debe a la rugosidad ó aspereza de las superficies en contacto. Su dirección siempre es opuesta al movimiento ó intención de movimiento del cuerpo. Se pueden distinguir entre dos tipos de fricción, la fricción estática (Fe) y la fricción cinética (Fk). Ver fig. 3.9.
La fuerza de fricción estática, se produce cuando el cuerpo no se mueve; en realidad, no tiene un único valor, sino mas bien, oscila en un rango de valores, entre un mínimo (Fe = 0), cuando no existe la intención de mover al cuerpo; y un máximo (Fe = meN) cuando el cuerpo está a punto de moverse.
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Fig. 3.9.
Cuando el cuerpo ya está en movimiento, la fuerza de fricción cinética se calcula con Fk = mkN. Donde:
= mK = N = me
coeficiente de rozamiento estático coeficiente de rozamiento cinético (0 £ mK Módulo de la fuerza normal
< me )
¡ TEN PRESENTE QUE !
Cuando un cuerpo se encuentra sobre una superficie lisa (no hay rozamiento), la reacción del piso sobre el cuerpo se debe sólo a la ®
®
fuerza normal ( R = N ) como en la Fig. 3.10 a; pero si la superficie es áspera (si hay rozamiento) como en la Fig. 3.10 b, la reacción total del piso sobre el cuerpo será: ®
®
®
R = N + F f Þ R = N 2 + Ff 2
Si no existe rozamiento:
Si existe rozamiento:
Fig. 3.10 a
Fig. 3.10 b ®
e) FUERZA ELÁSTICA ( F k ): Es una fuerza aplicada por el resorte cuando es deformado. Su dirección siempre es tratando de recuperar su posición original, llamado por esto Fuerza recuperadora del resorte. Ver fig. 3. 11
Su módulo obedece a la Ley de Hooke: Fk = k x Donde:
k = Constante elástica x = Deformación o elongación
(N/m) (m)
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Fig. 3.11
Robert Hooke (1635-170 3), científico inglés, conocido por su estudio de la elasticidad. Hooke aportó también
otros conocimientos en varios campos de la ciencia.
Nació en la isla de Wight y estudió en la Universidad de Oxford. Fue ayudante del físico británico Robert Boyle, a quien ayudó en la construcción de la bomba de aire. En 1662 fue nombrado director de experimentación en la Sociedad Real de Londres, cargo que desempeñó hasta su muerte. Fue elegido miembro de la Sociedad Real en 1663 y recibió la cátedra Gresham de geometría en la Universidad de Oxford en 1665. Después del gran incendio de Londres en 1666, fue designado supervisor de esta ciudad, y diseñó varios edificios, como la casa Montague y el hospital Bethlehem. Hooke realizó algunos de los descubrimientos e invenciones más importantes de su tiempo, aunque en muchos casos no consiguió terminarlos. Formuló la teoría del movimiento planetario como un problema de mecánica, y comprendió, pero no desarrolló matemáticamente, la teoría fundamental con la que Isaac Newton formuló la ley de la gravitación. Entre las aportaciones más importantes de Hooke están la formulación correcta de la teoría de la elasticidad (que establece que un cuerpo elástico se estira proporcionalmente a la fuerza que actúa sobre él), conocida como ley de Hooke, y el análisis de la naturaleza de la combustión. Fue el primero en utilizar el resorte espiral para la regulación de los relojes y desarrolló mejoras en los relojes de péndulo. Hooke también fue pionero en realizar investigaciones microscópicas y publicó sus observaciones, entre las que se encuentra el descubrimiento de las células vegetales.
Ejemplos ilustrativos:
1.
Determine el valor de la tensión en la cuerda para el equilibrio, si la esfera pesa 400 N. Considere las superficies lisas; g = 10m/s 2. a) 100 N b) 200 N c) 300 N d) 400 N e) 300 3 N Solución:
Esbozamos el D.C.L. y el triángulo vertical. W = peso de la esfera = 400 N
Por Ley de Senos T Sen 37°
=
W Sen 53°
T = W Sen 37° Sen 53°
100
=
400 x 3 x 5 5x 4
Rpta. c
66
T = 300 N
2. ¿Qué fuerza en “N” deberá aplicarse a un bloque de 800 N para que su movimiento sea inminente y; qué fuerza en “N” debe continuar aplicándose para mantener el movimiento uniforme sobre un peso horizontal, sabiendo que: g = 10 m/s2 ms = 0,2 ; mc = 0,05 ; a) 150 ; 20 b) 180 ; 50 c) 200 ; 60 d) 190 ; 25 e) 160 ; 40 Solución: W = 800 N fr = Fuerza de fricción o rozamiento fr = m N F = Fuerza aplicada
a) Para iniciar el movimiento: fr = ms N = ms W = 2 x 800 = 160 N 10 F = fr = 160 N b) Para continuar el movimiento : (M.R.U.) F = fr = mc N = mc W = 5 x 800 = 40 N 100
Rpta : e
3. La fuerza F necesaria para mantener el equilibrio, en términos de Q es: (Considerar los pesos de las poleas y las cuerdas despreciables). a) Q/2 b) Q/4 c) Q/3 d) Q/8 e) Q/6
Solución:
En la polea (1) se cumple: T + T = Q ® T = Q/2 En la polea (2) : 2 T 1 = T T 1 = T/2 = Q/4 En la polea (3) T 2 + T 2 = T 1 ® T 2 = T 1 = Q Si T 2 = F
2
Þ
F = Q/8
8
Rpta. d
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DINÁMICA LINEAL Y EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN
1. Con respecto a la fuerza. Indicar verdad(V) o falsedad(f): I. Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, surge entre ellos una fuerza que hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de movimiento, o que se deformen. II. Esta interacción mecánica puede efectuarse tanto entre cuerpos en contacto directo, como entre cuerpos separados unos de otros. III. Las fuerzas de la naturaleza son: gravitacionales, electromagnéticas, nucleares fuertes y nucleares débiles. IV. La fuerza de rozamiento es la resultante de las infinitas fuerzas electromagnéticas que se generan entre las superficies de dos cuerpos cuando estos se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominándolas fuerzas repulsivas. a) b) c) d) e)
VVVV VVVF VVFF VFFF FFFF
2. Con respecto a la fuerza de rozamiento. Indicar verdad(V) o falsedad(f): I. La naturaleza de esta fuerza es electromagnética y se genera por el hecho de que las superficies en contacto tienen irregularidades (deformaciones), las mismas que al ponerse en contacto y pretender deslizar producen fuerzas predominantemente repulsivas. II. Un modo muy eficaz para reducir la fuerza de rozamiento de deslizamiento consiste en utilizar rodamientos: esferas, cilindros o ruedas. III. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente y el mínimo cuando la intención del movimiento es nula. a) b) c) d) e)
VVV VFF FVV FFF VFV
3. Determine el peso de la esfera A, necesario para que el sistema se encuentre en equilibrio. El bloque B sea 100√3 N y las cuerdas y poleas son ideales. a) b) c) d) e)
50 N 100 N 150 N 200 N 300 N
68
4. En el sistema mostrado determina la relación entre las masas (M/m) de manera que se encuentren en equilibrio. (Considere que no hay fricción en ninguna zona de contacto). a) b) c) d) e)
3/5 5/3 4/5 5/4 2
M m
5. Sabiendo que no existe rozamiento, se pide calcular la deformación del resorte, cuya constante de rigidez es K= 10 N7cm. El peso del bloque es 350 N. a) b) c) d) e)
10 cm 15 cm 21 cm 32 cm 35 cm
K
370
6. De las siguientes proposiciones : I. La aceleración que adquiere un cuerpo es inversamente proporcional a su masa. II. Los vectores fuerza resultante y aceleración tiene siempre la misma dirección y sentido opuesto. III. Las leyes de Isaac Newton se aplican solo para sistemas de referencia inercial. IV. La reacción total en una superficie áspera es la resultante de la fuerza normal y la fuerza de rozamiento. V. A la intensidad de campo gravitatorio local se le denomina “gravedad efectiva” Son ciertas a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Calcular el ángulo β para que los bloques m 1= 12,5 Kg. Y m2= 15 kg. se muevan con rapidez constante sobre los planos inclinados lisos. a) b) c) d) e)
300 530 600 370 150
m1 β
M2 300
69
8. El carrito de la figura se mueve con aceleración de 7,5 m/s 2. En su superficie de forma semicilíndrica descansa una esferita. Despreciando toda fricción, hallar “θ”, g= 10 m/s2. a) b) c) d) e)
300 370 530 600 450
θ 0
a
A
9. Si el bloque 2m está a punto de resbalar en relación al bloque 4m, halle u s. a) b) c) d) e)
1/7 2/7 3/7 4/7 5/7
u u
2
=0
4
m
10. Un cuerpo de masa m=2 kg desciende aceleradamente por el plano inclinado, como indica la figura. Determinar la magnitud de F para que el cuerpo se mueva con una aceleración de 0,1 m/s2 sobre plano liso. (Considera g= 10 m/s2). a) b) c) d) e)
24, 01 N 32,5 N 34, 24 N 38, 72 N 42, 50 N
m
F
a 600
11. Del ejercicio anterior determinar la fuerza, si el bloque se desliza sobre plano rugoso. (U k = 0,5) a) b) c) d) e)
12, 3 N 12,98 N 12,75 N 13, 45 N 13,98 N
12. En la figura se muestra un resorte de peso despreciable y 75 cm de longitud colocado en el interior de un ascensor. Cuando éste está en reposo, la masa lo comprime 37,5 cm. ¿Cuál será la longitud del resorte cuando el ascensor sube verticalmente con a= 9/3? a) b) c) d) e)
10 cm. 15 cm. 20 cm. 25 cm. 30 cm.
X
70
13. Un bloque se mueve sobre una superficie lisa con y de pronto se le aplica una fuerza . Si al cabo de 10 s de aplicada la fuerza la velocidad es en el eje “X”. Calcular la masa del bloque y la velocidad final que lleva en el eje Y. a) 10 kg; b) 5 kg; c) 50 kg; d) 20 kg; e) 5 kg; 14. Una cubeta de 8 kg se suspende por medio de dos cuerdas tal como se muestra. Si la cubeta se empieza a llenar con agua con una rapidez de 100 /s , determine el instante en segundos en que se rompe una de las cuerdas y la aceleración (en ) con la cual empieza a moverse en el punto P. La máxima tensión que puede soportar la cuerda 1 es 60 N y la cuerda 2 es 90 N. a) 10 s ; b) 20 s ; c) 100 s ; d) 30 s ; e) 40 s ; 15. El sistema mostrado acelera horizontalmente con a= 3g. Si el peso de la esfera es 5N, determinar la reacción de la pared. a) 10N 45º b) 12N c) 15N d) 18N e) 20N
16. Si la masa del bloque B es seis veces la masa del bloque A, determinar el valor de la fuerza de reacción entre estos. No existe rozamiento. y a) 7N b) 21N A B c) 35N d) 42N e) 50N 17. En el siguiente sistema en equilibrio, hallar la fuerza de reacción del piso sobre la esfera. Si sabe que no existe rozamiento y que el peso del bloque A y de la esfera B son de 60 N y 100 N respectivamente (la polea móvil es de peso despreciable) F = 24 N. a) 45 N b) 50 N c) 82 N d) 90 N e) 100 N
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18. Un automóvil que pesa N se detiene a los 30 s de frenarlo y durante este tiempo recorre una distancia de 360 m. Determinar la fuerza de frenado. ( g= 10 m/s 2) a) 500N b) 300N c) 200N d) 700N e) 800N 19. Para el sistema de bloques mostrado, calcular la aceleración de cada bloque, sabiendo que , y la masa de la polea móvil es . a) 1 m/s2 y 2m/s2 b) 2m/s2 y 4m/s2 1 c) 6 m/s2 y 8m/s2 d) 10 m/s2 y 12m/s2 2 e) 12 m/s2 y 14m/s2
20. En el sistema mostrado, los bloques están en equilibrio. Si sus pesos son P= 60N y Q= 40N. Determinar con que fuerza se comprimen los bloques. Despreciar el peso de las poleas a) 5N b) 8N c) 10N d) 15N P e) 20N
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