BAHAN AJAR
oleh M. Hendra Hendra S Ginting, S.T, S.T, M.T. M.T. Departem Depar temen en Teknik Kimia Kimia Fakult akultas as Teknik USU 2015
A. Dua masalah m asalah dengan satu tema
1.Kemiri 1.Kemiringan ngan garis singgung singgung Archimedes (287-212 SM) 2.Kecepatan sesaat Newton (1642-1727) Gari Gariss singgu singgung ng per perhati hatika kan n gamb gambar ar diba dibawa wah h ini ini
P
Garis singgung singgung dititik dititik P
Gamb Gambar ar 1
garis singgung menyentuh menyentuh kurva meny menyentuh entuh satu satu titik titik
A. Dua masalah m asalah dengan satu tema
1.Kemiri 1.Kemiringan ngan garis singgung singgung Archimedes (287-212 SM) 2.Kecepatan sesaat Newton (1642-1727) Gari Gariss singgu singgung ng per perhati hatika kan n gamb gambar ar diba dibawa wah h ini ini
P
Garis singgung singgung dititik dititik P
Gamb Gambar ar 1
garis singgung menyentuh menyentuh kurva meny menyentuh entuh satu satu titik titik
garis singgung menyentuh menyentuh kurva menyentuh menyentuh beberapa beberapa titik P
Garis singgung singgung dititi dititik kP
Gamb Gambar ar 2
Q
Q
Q garis singgung
P tali busur tali busur
y
Titik P [c, f(c)] Titik Q[c+h ,f(c+h)] tali busur
Q
f(c+h)
Garis singgung [f(c,+h –f(c)]
f(c)
P
c
x
c+h
Kemiringan garis singgung
m
tan
lim
h 0
f (c
h) h
f (c )
Definisi garis singgung
Garis singgung y= f (x) pada titik P(c,f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan m
tan
lim
h 0
f (c h) f (c) h
Contoh 1 Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = x2 dititik (2,4)
Penyelesaian y=x2 P(2,4)
m
tan
lim
h
h 0
m tan lim
h 0
f ( 2 h) f ( 2)
(2 h) 2 (2) 2 h
m tan lim
h 0
m
tan
lim
h 0
4 4h h
h h ( 4 h)
2
h
4
(4 0) 4
Contoh 2
Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = -x2 +2x+2 pada titik-titik dengan ko0rdinat x pada -1, ½, 2 dan 3 Penyelesaian
m
tan
m tan lim
lim
f (c h) f (c)
h 0
(c h) 2 2(c h) 2 (c 2 2c 2) h
h 0
m tan lim
h
h (2c h 2)
h m tan (2c 0 2) h 0
Dengan memasukkan harga c= -1, ½, 2 dan 3 maka diperoleh kemiringan 4, 1, -2, dan -4
Contoh 3
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x dititik (2,1/2) Penyelesaian 1
1
m
tan
lim
2h h
h 0
1
2
y=1/x y
y1
m ( x
Pada titik (2,1/2) y
1
2
1 4
(x
x1 )
4
2
Persamaan garis singgung
1
2)
Kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat
Pendahuluan Jika kita mengendarai mobil dari sebuah kota kekota lain yang berjarak 80 km selama 2 jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 km/jam. Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh S2=80 km
S1=o km t= 2 jam
v ratarata
s2 s1 t
80 0 2
40
km jam
Tetapi dalam perjalanan speedometer sering tidak menunjukkan angka 40, saat berangkat 0, kadang naik 60, akhirnya turun ke 0 lagi apa yang diukur oleh petunjuk laju yang jelas bukan menunjukkan kecepatan rata-rata
Sebuah benda P jatuh dalam ruang hampa udara, mula-mula dalam keadaan diam, maka P jatuh sejauh 16t2 meter dalam t detik, jadi benda jatuh sejauh 16 meter dalam detik pertama dan 64 meter selama 2 detik, benda jatuh lebih cepat dan makin cepat seiring dengan waktu berlalu
0 detik pertama 16 32 detik kedua s= 16 t2 48
64
Selama detik kedua ( t=1 sampai t =2), P jatuh sejauh (64-16) meter Kecepatan rata-ratanya adalah
v rata
rata
64 16 2 1
48
meter det ik
Selama selang waktu t=1 sampai t =1,5), benda jatuh sejauh 16 (1,5)2 -16= 20 meter, kecepatan rata-ratanya v rata
16 (1,5)
rata
2
16
1,5 1
20
0,5
40
meter
det ik
Selama selang waktu t=1 sampai t =1,1), benda jatuh sejauh 16 (1,1)2 -16= 3,36 meter, kecepatan rata-ratanya
v ratarata
16 (1,1) 16 2
1,1 1
3,36 0,1
33,6
meter det ik
Selama selang waktu t=1 sampai t =1,01), benda jatuh sejauh 16 (1,01)2 -16 = 0,3216 meter, kecepatan rata-ratanya v rata
16 (1,01)
rata
2
1,01 1
16
0,3216
0,01
32,16
meter
det ik
Kecepatan rata-rata selama selang waktu semakin singkat, mulai t=1, semakin pendek selang waktu, semakin baik kita menghampiri kecepatan sesaat pada t = 1 Dengan memperhatikan bilangan-bilangan 48; 40; 33,6; dan 32,16 mungkin dapat menerka bahwa 32 meter/detik adalah kecepatan sesaatnya
0
0
c c+h
f(c)
perubahan posisi f(c+h)
Andaikan sebuah benda P bergerak sepanjang garis kordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan s = f (t) pada saat c benda berada di f (c) pada saat yang berdekatan c+h, benda berada di f (c+h) maka kecepatan rata-rata pada selang ini adalah
v rata
rata
f (c h) f (c) h
Definisi kecepatan sesaat Jika sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis koordinat dengan fungsi kedudukan f (t), maka kecepatan sesaatnya pada waktu c adalah
v lim
h 0
v rata
rata
lim
h 0
f (c h) f (c) h
menunjukkan bahwa limitnya ada dan bukan ∞ dan - ∞
Dalam kasus f (t) = 16t 2 kecepatan sesaat pada t = 1 adalah
v lim
f (1 h) f (1) h
h 0
v
lim
16 .(1 h)
h 0
v
2
16
h
lim (32 16h) 32 h 0
Hal ini membenarkan terkaan sebelumnya
kesimpulan Kemiringan garis kecepatan sesaat
singgung identik dengan Dua masalah dengan satu tema
B.Definisi turunan Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f 1 (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah 1
f (c) lim
h 0
f (c h) f (c) h
menunjukkan bahwa limitnya ada dan bukan ∞ dan - ∞
Contoh 4
andaikan f(x)= x2 carilah f 1 (1) Penyelesaian
1
f ( x) lim
f ( x h) f ( x) h
h 0
1
f (c) lim
f (c h) f (c) h
h 0
1
f (c) lim
h 0
f 1 (c) lim
h0
1
f (c) lim
h0
(c h )
2
c
2
h 2 2 2 c 2ch h c h 2 2ch h h
1
f (c) lim
h (2c h) h
h 0
f 1 (c) lim (2c 0) 2c h0
1
f (1)
(2.1)
2 Contoh 5
andaikan f(x)= 1/x carilah f 1 (x) Penyelesaian
1
f ( x) lim
f ( x h) f ( x)
h 0
1
h 1
f ( x) lim x h x h 0 h x ( x h) 1
1
f ( x) lim
h 0
f ( x) lim 1
h 0
( x h). x
h ( x h). x h
( x h) x h
1
f ( x) lim
h ( x h). x
h 0
1
f ( x)
h
1
( x 0). x x
1 2
latihan 1
1. f ( x)
2. f ( x)
3 x carilah f 1 (x)
1 3 x
Aturan pencarian turunan Aturan konstanta dan aturan pangkat Teorima A: aturan fungsi konstanta Jika f(x) = k , dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f 1 (x) = 0, yakni Dx (k)=0, dimana Dx adalah operator
bukti f ( x h) f ( x) 1 f ( x) lim h 0 h k k 1 f ( x) lim lim 0 0 h 0 h 0 h
Teorima B: aturan fungsi identitas Jika f(x) =x, maka untuk f 1 (x) = 1, yakni Dx (x)=1,
bukti f ( x h) f ( x) 1 f ( x) lim h 0 h ( x h) x h 1 lim lim 1 1 f ( x) lim h 0 h 0 h h 0 h Teorima C: aturan pangkat
jika f(x)= xn ,dengan n bilangan bulat positif maka f 1 (x) = n.xn-1 ; yakni Dx (xn ) = n.xn-1
ingat teori aljabar
( a b)
2
( a b)
3
( a b) 4
a
2
a
3
a
4
a
n
2ab b 2
2
b 3ab
2
3
3a
4a 3b 6a 2b 2 4ab3 b 4
b
( a b)
n
na
n 1
b
n( n 1)
2
a
n2
b
2
nab
n 1
b
n
f ( x h) f ( x)
1
f ( x) lim
h n n ( x h) x
h 0
1
f ( x) lim
h
h 0
x
n
nx
n 1
h
n(n 1) 2
f 1 ( x) lim
x n h 2
nxhn
1
hn
h
h 0
h[nx
n 1
n(n 1) 2
f 1 ( x) lim
f ( x)
x n h nxhn h
h 0
1
nx
n 1
2
hn 1 ]
x n
Teorima D: aturan kelipatan pangkat jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan maka (k.f 1(x)= k. f 1(x) yakni Dx [k.f(x ) = k. Dx .f(x) Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator Dx bukti andaikan
F ( x)
1
F ( x) lim
h 0
k . f ( x)
F ( x h) F ( x) h
1
F ( x) lim
k . ( x h) k . f ( x)
h 0
1
F ( x) lim k . h 0
1
F ( x) k . lim
h f ( x h) f ( x)
h f ( x h) f ( x)
h 0
1
k . f ( x)
h
f ( x)
x
Contoh 6 carilah f 1 ( x)
5
penyelesaian 1
f ( x)
5x
4
Contoh 7 carilah D
x
3
( 7 x )
penyelesaian D x (
3
7 x )
3
7. D x ( x )
21. x
2
Teorima E: aturan jumlah jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka (f+g)1(x)= f 1(x)+g1 (x) yakni Dx [.f(x)+g(x)] = Dx .f(x)+Dx g(x). Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah turunanturunan. bukti andaikan
F ( x)
1
F ( x) lim
h 0
f ( x) g ( x)
[ f ( x h) g ( x h)] [ f ( x) g ( x)] h
1
F ( x) lim
[ f ( x h) f ( x)] [ g ( x h) g ( x)]
h 0
1
F ( x) lim
f ( x h) f ( x) h
h 0
1
1
h
lim
h 0
g ( x h) g ( x) h
1
F ( x) f ( x) g ( x) Teorima F: aturan selisih jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka (f-g)1(x)= f 1(x)- g1 (x) yakni Dx [.f(x)- g(x)] = Dx .f(x)-Dx g(x). bukti andaikan
F ( x)
f ( x)
g ( x)
[ f ( x h) g ( x h)] [ f ( x) g ( x)]
1
F ( x) lim
h
h 0
1
F ( x) lim
f ( x h) f ( x) g ( x h) g ( x)
h [ f ( x h) f ( x)] [ g ( x h) g ( x)]
h 0
1
F ( x) lim
h
h 0
1
F ( x) lim
f ( x h) f ( x) h
h 0
1
F ( x)
1
1
f ( x) g ( x)
lim
h 0
g ( x h) g ( x) h
Contoh 8 Tentukan turunan
f ( x) 4 x
6
3 x
4
7 x
2
2 x 10
penyelesaian Gunakan teorima A, C, D, E dan F
D x [ f ( x)] D x ( 4 x 3 x 7 x 2 x 10 ) 6
1
f ( x) 24 x
5
4
12 x
3
2
14 x 2
Teorima G: aturan hasilkali jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka (f.g)1(x)= f 1(x).g(x)f(x).g1 (x) yakni Dx [.f(x). g(x)] = Dx .f(x).g(x)f(x).Dx g(x). bukti
F ( x )
1
F ( x) lim
h 0
1
F ( x) lim
h 0
f ( x). g ( x)
F ( x h) F ( x) h [ f ( x h). g ( x h)] [ f ( x). g ( x)] h
1
F ( x) lim
f ( x h). g ( x h) f ( x h). g ( x) f ( x h). g ( x) f ( x). g ( x) h
h 0
g ( x h) g ( x) f ( x h) f ( x) F ( x) lim f ( x h). g ( x). h 0 h h g ( x h) g ( x) f ( x h) f ( x) 1 F ( x) lim . g ( x) f ( x h). h 0 h h f ( x h) f ( x) g ( x h) g ( x) 1 F ( x) lim . g ( x) lim f ( x h) lim h 0 h 0 h 0 h h 1
1
f ( x) 1
1
f ( x) 1
F ( x) f ( x). g ( x) f ( x). g ( x)
Contoh 9 Tentukan turunan
F ( x) ( x
2
2).( x
3
1)
penyelesaian Gunakan teorima G
D x [ f ( x)] D x [( x 1
f ( x) 2 x. ( x
3
2
2)( x
1) ( x
2
3
1)
2).3x
2
Teorima H: aturan hasil bagi jika f dan g adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan dengan g(x)≠0. maka
f g
( x)
f 1 ( x). g ( x) f ( x). g 1 ( x)
g 2 ( x)
yakni f D x [ f ( x)]. g ( x) f ( x). Dx [ g ( x)] D x { ( x)} g g 2 ( x) bukti f ( x) andaikan F ( x) g ( x)
yang
1
F ( x) lim
h 0
F ( x h) F ( x) h f ( x h)
f ( x)
g ( x h) g ( x) F ( x) lim h 0 h samakan penyebut 1
1
F ( x) lim
g ( x). f ( x h) f ( x). g ( x h)
h 0
manipulasi aljabar F 1 ( x) lim
h 0
h
.
1 g ( x h). g ( x)
g ( x). f ( x h) g ( x) f ( x). g ( x) f ( x) f ( x). g ( x h) h
1 . g ( x h). g ( x)
f ( x h) f ( x) g ( x h) g ( x) 1 F ( gx) lim . g ( x) f ( x). h0 h h g ( x). g ( x h) g ( x h) g ( x) 1 f ( x h) f ( x) 1 F ( gx) lim . g ( x) f ( x) . lim h 0 h h h0 g ( x). g ( x h) 1
1
f ( x) 1
1
F ( x)
1
g ( x) 1
f ( x). g ( x) f ( x). g ( x)
2
g ( x)
g ( x ). g ( x )
Contoh 10 Tentukan turunan
f ( x)
(2 x
2
1)
(3 x 5)
penyelesaian Gunakan teorima H
D x [ f ( x)]
D x (2 x
f ( x) 1
2
1)(3 x 5) (2 x 2
2
(3 x 5) 2 (4 x)(3 x 5) (2 x 1).(3) (3 x 5)
2
1). Dx (3 x 5)
latihan 2 Tentukan turunan
1. f ( x)
(5 x
2
4)
(3 x 1) 4 2 2. f ( x) ( x 1).( x 1)
Turunan sinus, kosinus, dan tangen jika
f ( x)
D x (sin x ) D x (sin x )
sin x
lim
maka
f ( x) D x (sin x)
sin( x h) sin
x
h
h 0
lim
1
sin x. cos h cos x. sin
h sin x
h
h 0
1 cos h sin h cos x. D x (sin x ) lim sin x. h 0 h h sin h 1 cos h cos x lim D x (sin x ) sin x. lim h 0 h 0 h h
=0
=1
1
f ( x) D x (sin x) sin x (0) cos x(1) cos x
jika f ( x ) cos x maka f 1 ( x)
D x (cos x )
D x (cos x )
lim
h 0
D x (cos x)
cos( x h) cos x h
h 0
lim
cos x cos h sin x. sin
h cos x
h 1 cos h
sin h D x (cos x ) lim cos x. sin x. h 0 h h sin h 1 cos h sin x. lim D x (cos x ) cos x. lim h 0 h 0 h h
=0
=1
1
f ( x) D x (cox) cos x(0) sin x(1) sin x
jika f ( x)
tan x
sin x
cos x
maka f
1
( x) D x (tan x)
f ( x) sin x D x f ( x) D x ( F ( x) D x cos x g ( x) sin x cos x (cos x) (sin x).(sin x) 1 f ( x) D x 2 cos x cos x 2 2 sin x cos x sin x 1 f ( x) D x 2 cos x cos x 1
1 sin x 2 f ( x) D x 2 sec x cos x cos x 1
Dengan cara yang sama
cos x 2 cot anx cos ec x 1. D x sin x 1 2. D sec x sec x. tan x cos x 1 cos ecx cos ecx. cot anx 3. D sin x x
x
Contoh 11 Tentukan turunan
f ( x) 2 sin x 3 cos x penyelesaian 1
f ( x) D x (2 sin x 3 cos x) 1
f ( x) 2 cos x 3 sin x)
latihan 3 Tentukan turunan
1. f ( x) 2
sin x cos x cos x
2. f ( x) x . cos x
y
f(x+∆x)
f(x)
[x,f(x)]
x
y x
C.Notasi leibniz Lambang dy/dx untuk turunan (x+∆x),f(x+∆x) Andaikan peubah y=f(x) bebas berubah dari x x+∆x.perubahan ke yang berpadanan peubah tak x dalam x+∆x bebas y akan berupa ∆y= f(x+∆x)-f(x) dan hasil baginya
f ( x x) f ( x) x
kemiringan tali busur yang melalui (x,f(x)). Jika ∆x mendekati nol, kemiringan tali busur ini mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan leibniz menggunakan lambang dy/dx y x
lim
x 0
y x
lim
x 0
f ( x x) f ( x) x
f
1
( x)
Contoh 12 Tentukan dy/dx 3
2
y x 3 x 7 x penyelesaian
dy dx dy dx
d dx 3 x
( x 2
3
6
3 x
2
x7
7 x)
Turunan fungsi eksponen jika y y
e
ln y
x
maka tentukan dy dx x e
x
ln e
d (ln y )
dy y
jika x
dx.(ln e)
dx.
f ( x )
dy dx
y
dy dx
1
e
x
f ( x).e
f ( x )
(1)
Contoh 13 Tentukan dy/dx y
e
3 x
penyelesaian
x f ( x) 3 x 1 f ( x) 3
Gunakan pers (1)
dx
dy dx dy
1
f ( x).e 3.e
3 x
f ( x )
(1)
x
a (a= konstanta) maka tentukan dy
jika y
dx
x
y a ln y
x
ln a
x. ln a
d (ln y ) dx.(ln a ) dy dy dx.(ln a) y dx dy
dx
ln
a. y x
ln a.( a )
jika
x
f ( x )
dy 1 f ( x ) f ( x ).(ln .a ).a ( 2) dx
Contoh 14 3 x 2 5 x tentukan dy/dx jika y (10) penyelesaian gunakan pers (2)
x f ( x) 3 x a
dy dx
2
5 x
1
f ( x) 6 x 5
maka 10
(6 x 5).(ln .10).(10)
3 x 2 5 x
Turunan urunan fungsi fungsi logarima logarima jika y y
ln x maka tentukan
ln x
dy d ln x dx dy x jika x f ( x )
dy
dx
1
f ( x) f ( x)
dx x
dy
1
(3)
dy dx
Contoh 15 Tentukan dy/dx
y ln (2 x
2
3 x)
penyelesaian Gunakan pers (3)
dy dx dy dx
1
f ( x) (3) f ( x)
4 x 3 2 x
2
x
3
x f ( x) 2 x 1 f ( x) 4 x 3
2
3 x
g ( x )
Tentukan dy/dx f ( x) g ( x ) y f ( x) g ( x ) ln y ln f ( x )
jika y
ln y
d (ln y) dy y dy
y
g ( x). ln f ( x)
d [ g ( x). ln f ( x)]
g 1 ( x) dx. ln f ( x) g ( x) d ln f ( x)
g 1 ( x)dx. ln f ( x) g ( x)
f 1 ( x) f ( x)
dx
dy y
1
dy dx dy dx
[ g ( x). ln f ( x) g ( x) 1
f ( x) f ( x)
]dx
1
y.[ g ( x). ln f ( x) g ( x) 1
f ( x)
g ( x )
[ g 1 ( x). ln f ( x) g ( x)
f ( x) f ( x)
f 1 ( x) f ( x)
](4)
]
Contoh 16 Tentukan dy/dx
y (2 x
2
3 x)
4 x
penyelesaian gunakan pers (4) dy dx
f ( x)
g ( x )
[ g 1 ( x). ln f ( x) g ( x)
andaikan f ( x) 2 x 2 3 x 1 4 x g ( x ) g ( x )
f 1 ( x) f ( x)
](4)
1
f ( x) (4 x 3) 4
sehingga dy/dx dy dx
2 x
2
4x
3 x [(4) ln 2 x
2
3 x
4 x
(4 x 3) (2 x
2
3 x)
]
Latihan 4 Tentukan turunan (dy/dx)
1. y
2. y 3. y 4. y
5. y
6. y
e
(12)
3
x
4 x
2 x3 2 x 4
(sin x)
2 x 3 2 x 4
x
x
3 x
x
x
(sin
x). ln
(7 x
3
5 x 6)
Latihan 5 carilah Dx y 1. y
x. cos cos x
x
2. y 3. y
4. y 5. y
6. y
e e
si n x
x
x
l n x
x . si n x
sin(ln
x.e
2
sin x
1
e
cos x
e
x . l n x
x) cos( x x 1
2
e
x
2
x
1)
D. Aturan Aturan ranta rantaii Andaikan y=f(u) dan u=g(x).jika g terdif terdiferen erensialka sialkan n di x dan f terdifer terdiferensia ensialkan lkan di u=g(x), maka fungsi komposisi f ₀ g(x), didefin finisikan oleh [f ₀ g( g(x)]=f [g( [g(x)] terd terdif ifer erens ensial ialkan kan di x dan
f
g ( x) 1
1
1
f [ g ( x )] g ( x)
Contoh 17 jika y (2 x 2 4 x 1) 60 Carilah Dx y penyelesaian 2
60
y (2 x 4 x 1) misalkan u (2 x 2
4 x 1)
maka D x y
Du y. D x u
D x y
D x y
D x y
60.u
59
D x u
60.u 59 (4 x 60( 2 x 2
4)
4 x 1) 59 ( 4 x 4)
Contoh 18 jika y sin 4 (3 x 2 ) Carilah Dx y penyelesaian
y
4
2
sin (3 x )
D x y
y
2
2
[sin( 3x )] 3
4 2
4[sin( 3 x )] D x sin( 3 x ) 2
3
2
2
D x y 4[sin( 3 x )] cos (3 x ) D x (3 x ) 2 3 2 D x y 4[sin( 3 x )] cos (3 x )(6 x) D x y
2
3
2
24 x[sin( 3 x )] cos (3 x )
E. Turunan tingkat tinggi jika y f ( x) maka turunan pertama
turunan kedua
turunan ketiga
'
'
y f ( x) 1 f dibaca f aksen '' '' y f ( x) '' dibaca f dua aksen f ''' ''' y f ( x) f dibaca f tiga aksen 1v 1v y f ( x) 1v dibaca f empat aksen f
'''
turunan ke empat
turunan ke-n
y
n n
f
n
f ( x)
dibaca f –n- aksen
Contoh 19 jika
f ( x) 2 x
3
4 x
2
7x 8
maka 1
2
f ( x) 6 x 8 x 7 11 f ( x) 12x 8 111 f ( x) 12 1v f ( x) 0
memakai notasi leibniz jika y f ( x) 2 x
dy dx dy
d dx 6 x
2
(2 x 8
3
4 x
3 2
4 x 2 7 x 8 maka
7 x 8)
x7
dx d dy d 2 ( ) (6 x 8 x 7) dx dx dx
2
d y dx
2
12 x 8
2
d d y ( 2) dx dx 3 d y 3
d
dx
(12 x 8)
12
dx 3 d d y d ( 3) (12) dx dx dx 4
d y dx
4
0
Contoh 20 jika y
2x
e
turunan pertama
maka
dy
dx turunan kedua
d y dx 3 d y 3
turunan keempat
0
2( 2) e
2x
2
2
turunan ketiga
2e
2 x
dx 4 d y
dx
4
4e 8e
2 x
2 x
16e
2 x
1
2(2) e 2
2x
2(2) e
3
2 x
2( 2) e
2x
n
d y
turunan ke-n
dx
n
2(2)
n 1
2(2)
n 1
e
2x
n
d y dx
n
Latihan 6 carilah
3
d y dx 3
1. y
3
sin( x )
2. y (3x 5)
3
.e
2 x
Kecepatan dan percepatan misalkan sebuah partikel bergerak lurus sepanjang s= f(t), maka kecepatan (v) dan percepatan (a)dapat dituliskan:
v
ds
dt
turunan pertama fungsi jarak
dari
2
a
d s
2
dt
turunan kedua dari fungsi jarak
Contoh 21 Sebuah titik bergerak sepanjang garis kordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh; 3
s t
12t
2
36t 30
a.Kapan kecepatannya nol b.Kapan kecepatannya positip c.Kapan titik itu bergerak mundur d.Kapan percepatannya positip
penyelesaian
3
s t
ds
dt
v
12t
2
2
3t
36t 30
24t 36
a.Kapan kecepatannya nol v
0
3t
2
24t 36
0
3(t 2)(t 6) 0 kecepatannya nol
Saat t=2 dan t= 6
b.Kapan kecepatannya positip bila v >0
maka
3(t 2)(t 6)
0
Penyelesaian pertaksamaan berikut: t 2 atau t 6 b.Kapan kecepatannya positip saat, t<2 atau t>6 c.Kapan titik tersebut bergerak mundur (kekiri)
bila v <0
3(t 2)(t 6) 0
Penyelesaian pertaksamaan berikut:
2 t 6 Kapan titik tersebut bergerak mundur (kekiri)
saat, 2
2
d s 2
dt
dv
dt
bila 6t 24
a
0
6t
24
t 4
d.Kapan percepatannya positip` saat t
4
Masalah benda jatuh Jika sebuah benda dilemparkan keatas atau kebawah dari suatu ketinggian awal s0 kaki dengan kecepatan awal vo v=v o pada saat t=0 kaki/detik dan jika s adalah tingginya diatas tanah dalam kaki setelah t detik maka S = -16t2 + v ot+ so
tanah
Ini menganggap bahwa percobaan berlangsung dekat dengan permukaan laut dan tekanan udara diabaikan Dari puncak sebuah gedung setinggi 160 kaki, sebuah bola dilemparkan keatas dengan kecepatan awal 64 kaki/detik. a. Kapan bola itu mencapai ketinggian maksimum ? b. Berapakah ketinggian maksimumnya ? c. Kapan bola itu membentur tanah ? d. Dengan laju berapa bola itu membentur tanah ? e. Berapa percepatan pada saat t = 2 ?
penyelesaian
V maks = 0
saat t=0
v=v o =64 So =160 kaki
v o =64 kaki/detik s
0
160 v0
64
S maks = tinggi maks saat t=t so= 160 kaki
S
S
tanah Bola menyentuh tanah S =0
S maks
maka
2
16t 2
16t
vo t s0
64t s0
S
v
a
2
16t
ds
dt
dt
64t 160
32t
dv
64
32
a.Kapan bola itu mencapai ketinggian maksimum ?
bola itu mencapai ketinggian maksimum kecepatan v=0
saat
v
ds dt
32t 64
0
t
2 det
bola itu mencapai ketinggian maksimum pada waktu t = 2 detik b. Berapakah ketinggian maksimumnya t
2 det
S S
2
16t
16(2)
2
64t 160 64(2) 160 224 kaki
c.Kapan bola itu membentur tanah ? bola itu membentur tanah saat s = 0
S
2
16t 2
16t
64t 160
s
0
64t 160 0
2
4t 10 0 5,74 s t d.Dengan laju berapa bola itu membentur tanah ? ds 5,74 s t v 32t 64 0 dt kaki v 32(5,74) 64 119,73 det ik Berapa percepatan pada saat t = 2 detik t
a
32
Selalu tetap
Diferensiasi fungsi implisit 3
3
Tinjau fungsi berikut: y 7 y x sulit kita mencari hubungan antara x dan y dalam bentuk y = f(x) 3 x 2 3 y y ( y 7) x 2 ( y 7) Dalam y = f(x) masih mengandung y, sulit mendapatkan y = f(x) maka fungsi yang demikian disebut fungsi implisit Untuk mendiferensialkan nya digunakan lambang
d dx
y
3
d dx 3 y
dy dx dy
dx
7 y
d
3
( y ) 2
dy dx
(3 y
2
x
(7 y )
dx dy
7
dx
2
3 x
7) 3 x
3 x
3 y
3
2
7
2
d
dx 2 dx dx
3
( x )
Contoh 22
dy dari dx
carilah
2
4 x y
3 y
x
3
penyelesaian Metode I 2
4 x y 3 y d dx
2
(4 x y )
x
3
d
1
(3 y )
dx dx dy 2 8 x y 4 x dx dx
d
3
dx dy dx
(x
3
3 x
2
1)
dx dx
1
dy dx
(4 x
2
3 x
dy
dx
2
4 x
3) 3 x
2
8 xy
3
2
4 x y
2
3 y
x
3
3
8 xy
(a)
Metode II 2
1
y (4 x 3) x 1 3 x 1 y (b) 2 4 x 3
y
x
dx
4 x
( y )
1
2
3
d
(
3 x (4 x
dy
2
2
4
9 x
2
(4 x
1
3
)
3) ( x
(4 x 12 x
x
3
dx 4 x
2
dy
dx
d
dx
3
2
2
3)
(8 x
3)
2
4
3
1)(8 x)
2
8 x)
dy dx dy dx
4 x
4
9 x 2
(4 x 3) 2 3 x 8 xy
2
4 x
2
3
8 x
2
(c)
(a)
mengapa hasilnya tak sama? hasilnya sama bila kita sub pers b ke pers (a)
x 1 3 x 8 x 2 4 x 3 dy (a) 2 dx 4 x 3 3
2
4 x 3 x 1 3 x 8 x 4 x 3 4 x 3 dy dx 4 x 3 4 2 4 12 x 9 x 8 x 8 x 2 2 dy 4 x 3 4 x 3 2 dx 4 x 3 2
3
2
2
2
2
dy dx
4 x
4
2
9 x 8 x
(4 x
2
3)
2
Latihan 6
carilah dy
dx
1. x
2
2. 4 x
3
2
2 x y 3xy 0 2
7 xy
3 2
3. cos ( xy )
2y
y
2
3
x
Diferensial dan hampiran andaikan f adalah fungsi yang terdiferensiasi, andaikan P(x0 , y 0 ) sebagai titik tetap pada grafik y = f(x) seperti terlihat pada gambar y
y=f(x) garis singgung
P (x0,yo) x
Karena f terdiferensialkan f ( x0 x) f ( x0 ) 1 f ( x0 ) lim x 0 x jika Δx demikian kecil, hasil bagi
f ( x0 x) f ( x0 ) x
f
1
( x0 )
sehingga
f ( x0 x) f ( x0 ) x f 1 ( x0 ) y
sebuah hampiran dari Δ y Perubahan aktual dalam y saat x berubah dari x o sampai x0 + Δx
dy
y=f(x)
y
garis singgung Δ y
dy P (x0,yo)
Δx
x0
xo +Δx
x
Kuantitas dy sama dengan perubahan garis singgung kurva di P sewaktu x berubah dari x0 ke xo +∆x, ketika begitu kecil kita berharap dy merupakan ∆x hampiran yang baik terhadap ∆y, dan hanya berupa konstanta kali ∆x, biasanya lebih mudah dihitung
Definisi diferensial Andaikan y = f(x) adalah fungsi yang terdiferensiasi dari peubah x. ∆x adalah kenaikan sebarang dalam peubah bebas x. dx disebut diferensial peubah bebas x sama dengan ∆x. ∆y adalah perubahan aktual dalam peubah y sewaktu x berubah dari x ke x+ ∆x, yaitu ∆y=f(x+ ∆x)-f( x). dy disebut diferensial peubah tak bebas y yang didefinisikan oleh dy = f 1 (x)dx
Carilah dy jika
y x
3
Contoh 23
3x 1
penyelesaian
dy d ( x dy
(3 x
3
2
3x 1)
3)dx
perhatikan 1
dy f ( x)dx pembagian kedua sisi dengan dx
dy dx
1
f ( x)
Jika kita menginginkan turunan sebagai hasilbagi dua diferensial, kedua berpadanan dengan setiap aturan turunan, terdapat suatu aturan diferensial yang diperoleh dari yang lebih dahulu dengan mengalikan dengan dx
Aturan Turunan 1.
dk dx
2.
3.
d (u v)
d (u.v ) dx
5.
d (u / v) dx
6.
0
dx 4.
1.dk = 0
d ( ku) dx
k
dx du
2.d (ku) = k du
du
dx u
3.d (u+v) = du +dv
dv
dx
dv dx
v
du
v
4.d (u.v) = u.dv+v.du
dx
d (du / dx) u (dv / dx)
Aturan Diferensial
2
d (u n ) n 1 du n.u dx dx
5.
u d v
v.du
udv
v
2
6.d(un) = n.un-1 du
hati-hati dalam membedakan antara turunan dan diferensial, keduanya tidak sama waktu menuliskan Dx atau dy/dx waktu menuliskan dy
lambang turunan
Lambang diferensial
Definisi hampiran Andaikan y = f(x) seperti pada gambar y
y=f(x)
∆y
dy
f ( x+∆x)
f(x) x
sehingga
x+∆x
f ( x+∆x)= f (x) + dy
x
Jika x diberikan suatu pertambahan ∆x, maka y menerima tambahan padanan ∆y, yang dapat dihampiri dengan dy, jadi
f ( x x ) dihampiri dengan 1
f ( x x) f ( x) dy f ( x) f ( x) x Contoh 24 Andaikan anda memerlukan hampiran yang baik terhadap √4,6 dan √8,2 tetapi kalkulator anda mati apa yang mungkin anda kerjakan
penyelesaian Pandang grafik y = √x seperti pada gambar, bilamana x berubah dari 4 ke 4,6, maka √x berubah dari√4=2 kesecara hampiran √d=dy y
y = √x dx = 0,6 dy = 0,15
2
√4=2 x 4 4,6
y
x
dy
dy
d x 1
2
x
1
2
dx
dimana pada x= 4, dx= 0,6 bernilai
dy
1
2 4
.(0,6)
0,15
x
1 2
dx
Laju yang berkaitan Jika suatu peubah y bergantung pada waktu t, maka turunannya disebut laju sesaat perubahan, jika kita mengukur jarak, maka laju sesaat ini disebut kecepatan, kita tertarik pada beraneka laju sesaat, laju air mengalir kedalam ember, laju membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya harga kapling tanah Jika y diberikan secara gamblang (eksplisit) dalam bentuk t, maka masalahnya sederhana, kita cukup mendiferensiasi dan kembali menghitung turunan yang diminta,
mungkin saja sebagai ganti diketahuinya y secara gamblang dalam bentuk t, kita mengetahui hubungan yang mengaitkan y dan peubah lain x dan kita juga mengetahui sesuatu tentang dx/dt, kita masih tetap mampu mencari dy/dt, karena dy/dt dan dx/dt adalah laju-laju yang berkaitan, biasanya memerlukan diferensiasi implisit.
Contoh 25 Sebuah balon kecil dilepas pada jarak 150 meter dari seorang pengamat yang berdiri diatas tanah, jika balon naik tegak lurus keatas dengan laju 8 meter/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 meter
t=16
penyelesaian
s h
t=8
t=4
s
h
s h
Anggap t menyatakan banyaknya detik setelah balon dilepas. h menyatakan ketinggian balon dan s jaraknya dari pengamat, peubah h dan s keduanya bergantung kepada t, namun alas segitiga (jarak dari pengamat ke titik pelepasan) tetap tidak berubah dengan bertambahnya t
Suatu taksiran untuk ds/dt bilamana h= 50 boleh jadi sekitar sepertiga sampai setengah dari dh/dt atau 3, jika kita memperoleh jawaban jauh dari nilai ini kita akan tahu bahwa kita telah membuat kesalahan misalnya 17 atau bahkan 7 jelas salah Kita lanjut dengan penyelesain eksak, untuk penekanan, kita bertanya dan menjawab tiga pertanyaan dasar
h 150
Tinjau penaksiran jawaban Perhatikan bahwa s semula sama sekali tidak berubah (ds/dt=0), tetapi akhirnya s berubah kira-kira secepat perubahan h (ds/dt=dh/dt=8). 1. Apa yang diketahui ? Jawab dh/dt = 8 2. Apa yang ingin kita ketahui? Jawab : kita ingin
mengetahui ds/dt tepat pada h = 50 ? 3. Bagaimana kaitan antara s dan h?
Peubah peubah s dan h berubah dengan waktu (keduanya adalah fungsi-fungsi implisit dari t), tetapi keduanya selalu dikaitkan dengan pers phytagoras
s
2
h
2
(150)
2
Bila di diferensialkan
2 s
s
ds dt
ds dt
h
2h
dh dt
dh dt hubungan ini berlaku untuk semua t > 0
pada situasi h= 50
s
2
(50)
(50)
s
50 10 ds dt
2
2
(150)
ds dt
8
10
2
(150)
2
50 10
50.(8) 2,53
Pada saat h = 50 jarak antara balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2, 53 meter/detik
Contoh 26 Air dituangkan kedalam tangki berbentuk kerucut dengan laju 8 desimeter kubik tiap menit. Jika tinggi bak adalah 12 dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, seberapa cepat permukaan air naik bilamana air adalah 4 dm 6
r
12 h
penyelesaian nyatakan kedalaman air dalam bak dengan h , andaikan r adalah jari-jari permukaan air yang padanan diketahui volume v, volume air dalam bak naik dengan laju 8 desimeter kubik tiap menit, yaitu dh/dt= 8, kita ingin mengetahui seberapa cepat air naik (dh/)dt tepat pada saat h = 4 mengetahui pers yang mengkaitkan antara v dan h, maka volume air dalam bak dituliskan
v
1
3
2
.r
.h
mengandung peubah h, r tidak diperlukan karena kita tidak mengetahui laju dr/dh. Dari segi tiga yang sebangun (padanan) didapat 6
B
h 12
r h
A
6
r
C
r
12 1
2 1
h
1 v . h 3 2
2
.h
v
1 12
dv dt
h
1
d
3
3
( h ) dt 12
dv dt
1
h
2
4
dh dt
pada situasi h= 4, dv/dt =8
8
1
4
.(4)
2
dh dt
dh dt
0,637
Pada saat kedalaman air 4 dm, permukaaan air naik dengan laju 0,637 dm/menit
Bila h = 10 dm, sedangkan dv/dt tetap sebesar = 8, maka
8
1
.(10)
4
2
dh dt
dh dt
0,102dm / min
kita sadari bahwa permukaan air akan naik semakin lambat dengan berlalunya waktu Bukti:
(8)
1 4
h
2
dh
d
dt
dt
(
32
)
dh
dt
(h
2
dh dt
)
