6485_Geometri Insidensi

Geometri Insidensi Tubagus Dhafin Rukmanda

1

Geome Geometri tri Ins Insid iden ensi si pada pada Bida Bidang ng dan dan Ruan Ruang g

Pada bagian ini kita akan membahas tentang triplet [S, L, P ] adalah himpunan yang berisi titik, garis, dan bidang. Berikut adalah beberapa definisi yang akan digunakan Definisi 1.1. Garis membentang Garis membentang menuju tak terhingga pada kedua arah, biasanya dino←→ tasikan seperti berikut AB yang menunjukkan garis AB. *gambar Tanda panah menandakan garis tidak berhenti dimana gambar tersebut berhenti Definisi 1.2. Segmen adalah Segmen adalah ”garis” yang mempunyai titik ujung. biasanya disnotasikan seperti beriku b erikutt AB yang menunjukkan segmen AB. *gambar Definisi Definisi 1.3. 1.3. Sinar Sinar adalah adalah ”garis” yang hanya hanya membentang membentang pada satu arah. biasanya biasanya − − → dinotasikan seperti berikut AB yang menunjukkan sinar AB. *gambar Definisi 1.4. Bidang membentang Bidang membentang menuju tak terhingga pada semua arah. Postulat 1.1. Semua garis dan bidang adalah himpunan titik-titik. Catatan. 1. Jika Jika sebuah garis garis L subhimpunan dari sebuah bidang E, maka L terletak pada E. 2. Jika Jika sebuah sebuah titik P berada pada sebuah garis L, maka kita sebut P berada pada garis L atau L melewati P. Hal ini sama jika P terletak pada bidang E. 3. Titik-titik Titik-titik yang terletak terletak pada satu garis disebut Kolinear disebut Kolinear.. Titik-titik yang terletak pada satu bidang disebut Koplanar disebut Koplanar

1

Geometri Insidensi

1

GEOMET GEOMETRI RI INSIDE INSIDENSI NSI PADA ADA BIDANG BIDANG DAN DAN RUANG RUANG

Postulat Postulat 1.2. Diberikan sembarang dua titik yang berbeda, maka terdapat tepat satu garis yang memuat kedua titik tersebut Postulat 1.3. Diberikan sembarang tiga titik berbeda yang tidak kolinear, maka terdapat tepat satu bidang yang yang memuat memuat ketigan ketiganya. ya. Jika Jika bidang bidang memuat memuat titik P,Q, dan R maka ←−− → bidang tersebut dinotasikan dengan P QR Postulat 1.4. Jika dau titik berada pada bidang, maka garis yang memuat keduanya berada pada bidang Postulat 1.5. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah sebuah garis Postulat 1.6. Setiap garis memuat minimal dua titik, dan S memuat minimal tiga titik yang yang tidak kolinear. kolinear. Setiap bidang memuat memuat minimal tiga titik yang yang tidak kolinear, kolinear, dan S memuat minimal empat buah titik yang tidak koplanar. Teorema 1.1. Dua garis yang berbeda berpotongan paling banyak di satu titik Bukti Misalkan kedua garis tersebut yaitu L 1 dan L 2 , dan misalkan keduanya berpotongan d dua titik yaitui P dan Q. Maka P dan Q berada pada garis L1 dan L2 . Kontradik Kontradiksi si karena karena menurut Postulat Insidensi 1. terdapat tepat satu garis yang memuat titik P dan Q. Teorema 1.2. 1.2. Jika sebuah garis berpotongan dengan bidang yang tidak memuat garis tersebut, maka perpotongannya adalah sebuah titik. Bukti Misalkan garis L berpotongan dengan dengan bidang bidang E, tapi tidak terletak pada bidang E . maka kita punya P ∩ L hanya memuat titik P. Misalkan ada terdapat titik Q =  P sehingga ←→ ←→ Berdasarkan an Postulate Postulate Insidensi Insidensi 3 P Q Q ∈ P ∩ L maka menurut Teorema 1 L = P Q. Berdasark berada pada E . Sehingga L berada pada E. Kontradiksi. Teorema 1.3. Diberikan 1.3. Diberikan sebuah garis dan sebuah titik yang tidak berada pada garis, maka terdapat sebuah bidang yang memuat garis dan titik tersebut Bukti Misalkan garis tersebut L dan titik tersebut adalah P. Tubagus Dhafin Rukmanda

2

Universitas Indonesia

Geometri Insidensi

2

JARAK JARAK DAN DAN KONGR KONGRUEN UENSI SI

1. Berdasarkan Berdasarkan Postulate Insidensi 5 maka maka L memuat minimal dua titik yaitu Q dan R Karena P,Q, dan R tidak kolinear. 2. Menurut Menurut Postulate Postulate Insidensi 1, mak makaa hanya hanya L yang memuat titik Q dan R, karena P tidak berada di L maka P,Q, dan R tidak kolinear. 3. Karena Karena P,Q, dan R tidak kolinear, maka menurut Postulate Insidensi 2 terdapat ←−−→ sebuah bidang E = PQR, yang memuat titik P, Q dan R. Karena titik Q dan R berada di bidang maka menurut Postulate Insidensi 3 garis L berada pada bidang

Teorema 1.4. Jika 1.4. Jika dua garis berpotongan, maka gabungan keduanya berada pada sebuah bidang. Bukti Misalkan L dan L adalah kedua garis tersebut. 

1. Karena Karena kedua kedua garis tersebut tersebut berpotongan maka menurut menurut Teorema Teorema 1 terdapat terdapat titik P pada L ∩ L 

2. Karena Karena garis memuat minimal dua titik, maka terdapat Q  = P di L



3. Menurut Menurut Teorem Teoremaa 3 mak makaa terdapat terdapat bidang bidang E yang memuat titik Q dan garis L. 

E , menurut 4. Karena Karena titik P berada pada L ∩ L maka titik p dan Q berada pada bidang E, Postulate Insidensi 3 garis L berada pada bidang E sehingga sehingga bidang E memuat memuat L ∪ L 



5. Menurut Menurut teorema teorema 3 bidang E tersebut adalah unik.

2

Jara Jarak k dan dan Kong Kongru ruen ensi si

Jika di bab sebelumnya kita memakai himpunan [S, L, P ] maka di bab ini kita menggunakan [S, L, P , d] 2.1 2.1

Fungs ungsii Jarak Jarak

Pada bagian ini kita akan mendefinisikan sebuah fungsi jarak dengan postulate sebagai berikut Postulat 2.1. d adalah sebuah fungsi d : S × S → R

Tubagus Dhafin Rukmanda

3


Geometri Insidensi

2


P, Q, d(P, Q) ≥ 0. Postulat 2.2. Untuk setiap P,

Postulat 2.3. d(P, Q) = 0 jika dan hanya jika P = Q. Postulat 2.4. d(P, Q) = d (Q, P ) untuk setiap P dan Q di S. Definisi 2.1. Misalkan f : L ↔ R

adalah korespondensi satu-satu antara sebuah garis dan sebuah bilangan real. Jika untuk setiap titik P, Q dari L kita punya P Q = |f (P ) − f (Q)|,

koordinat untuk L. Untuk setiap titik P dari L. bilangan x = f (P ) maka f adalah sistem adalah sistem koordinat untuk disebut koordinat dari P. Postulat 2.5. Postulate Pengaturan Setiap Pengaturan Setiap garis punya sebuah sistem koordinat Teorema 2.1. Jika f adalah sistem koordinat untuk garis L, dan g (P ) = −f (P )

untuk setiap titik P dari L, maka g adalah sistem koordinat untuk L. Bukti 1. Karena Karena g (P ) = −f (P ) maka g : L ↔ R. 2. Karena Karena jika jika x = g (P ) maka −x = f (P ) dan karena f 1-1 maka kita dapatkan 1 P = f (x) sehingga nilai P ditentukan secara unik oleh x sehingga g 1-1. −

3. Misalkan Misalkan g (P ) = x dan g (Q) = y maka f (P ) = −x dan f (Q) = −y. Karena f adalah sistem koordinat untuk L maka berlaku P Q = |f (P ) − f (Q)| = |(−x) − (−y )| = |y − x| = |x − y | = |g (P ) − g (Q)|

maka g adalah sistem koordinat dari L.


4


Geometri Insidensi

2


Teorema 2.2. 2.2. Misalkan f adalah sistem koordinat koordinat untuk untuk garis L. Misalkan a adalah sembarang bilangan real, dan untuk setiap P ∈ L misalkan g (P ) = f (P ) + a

Maka g : L ↔ R adalah sistem koordinat untuk L. Bukti 1. Karena Karena jika x = g (P ) maka −x − a = f (P ) dan karena f 1-1 maka kita dapatkan P = f 1 (x − a) sehingga nilai P ditentukan secara unik oleh x sehingga g 1-1. −

2. Misalkan Misalkan g (P ) = x dan g (Q) = y maka f (P ) = −x − a dan f (Q) = −y − a. Karena f adalah sistem koordinat untuk L maka berlaku P Q = |f (P ) − f (Q)| = |(−x − a) − (−y − a)| = |y − x| = |x − y | = |g (P ) − g (Q)|

maka g adalah sistem koordinat dari L. Teorema 2.3. Teorema Penempatan Pengaturan. Pengaturan. Misalkan L adalah sebuah garis, dan P dan Q adalah dua buah titik dari L. Maka L punya sebuah sistem koordinat dimana koordinat P adalah 0 dan koordinat Q adalah positif. Bukti Misalkan f adalah sistem koordinat dari garis L, Misalkan a = f (P ), dan untuk setiap T ∈ L, dimisalkan g (T ) = f (T ) − a. Maka menurut teorema 2.2 g adalah sistem koordinat dari L. dan g (P ) = 0 . Ada dua kemungkinan 1. Jika Jika g (Q) > 0, maka g adalah sistem koordinat yang kita cari. 2. Jika Jika g (Q) < 0, misalkan h(T ) = −g (T ) untuk setiap T ∈ L. Menurut teorema 2.1 maka h(T ) adalah sistem koordinat dari L dan h(P ) = −g (P ) = 0 dan h(Q) = −g (Q) > 0 . Jadi h adalah sistem koordinat yang kita cari.

2.2 2.2

Sifat Sifat Kean Keanta taraa raan n

A, B, dan C adalah Definisi 2.2. Misalkan A, adalah tiga titik yang kolinear. Jika AB + BC = AC,

maka B diantara A dan C. Dalam kasus ini kita tuliskan A − B − C.


5


Geometri Insidensi

2


Teorema 2.4. Jika A − B − C maka C − B − A Bukti Ini sangat biasa, karena jika AB + BC = AC maka C B + BA = C A. Lemma Lemma 2.1. 2.1. Diberikan sebuah garis L dengan sistem koordinat f dan tiga buah titik A , B , C dengan koordinat berturut-turut adalah x,y,z. Jika x − y − z maka A − B − C. Bukti 1. Jika Jika x < y < z maka AB = |y − x| BC = |z − y |

= y − x = z − y

AC = |z − x|

= z − x

Sehingga AB + BC = (y − x) + ( z − y ) = z − x = AC

Maka A − B − C. 2. Jika Jika z < y < x dengan menggunakan cara yang sama kita dapatkan C − B − A. Sehingga A − B − C.

Teorema 2.5. Untuk 2.5. Untuk sembarang tiga titik yang berada pada sebuah garis, tepat satu titik berada diantara dua lainnya. Bukti 1. Misalkan Misalkan f adalah sistem koordinat untuk garis tersebut, dan misalkan ketiga titik tersebut yaitu A, berturut-turut punya koordinat x,y,z. Salah satu dari bilan A, B , C berturut-turut x, y, z berada diantara gan x, diantara dua bilangan lainnya. lainnya. Mak Makaa menurut menurut Lemma 2.1 mak makaa A, B , C salah titik korespondensinya yaitu A, salah satunya berada diantara dua lainnya. 2. Kita hanya perlu menunjukkan menunjukkan bahwa jika jika A − B − C berlaku, berlaku, maka A − C − B dan C − A − B tidak berlaku. Kita punya bahwa AB + BC = AC

(1)

Misalkan A − C − B berlaku maka kita punya AC + + CB = AB


6

(2) Universitas Indonesia

Geometri Insidensi

2


Dari (1) dan (2) maka kita dapatkan AC + + CB + BC = AC ⇒ 2AC = 0 ⇒ AC = 0

Kontradiksi karena A =  C. Jadi A − C − B tidak berlaku. berlaku. Dengan Dengan menggunakan menggunakan cara yang sama maka C − A − B tidak mungkin berlaku.

Definisi Definisi 2.3. Ketika 2.3. Ketika A − B − C − D maka hanya berlaku A − B − C, A − B − D, A − C − D, dan B − C − D. Teorema 2.6. Sembarang 2.6. Sembarang empat titik dari sebuah garis dapat dinamakan dengan A , B , C , D sehingga A − B − C − D. Bukti

Teorema 2.7. Jika A dan B adalah sembarang dua titik, maka 1. terdapat terdapat sebuah sebuah titik C sehingga A − B − C. 2. Terdapat erdapat titik D sehingga A − D − B. 2.3

Segmen Segmen,, Sinar Sinar,, Sudut Sudut dan Segiti Segitiga ga

Definisi 2.4. 2.4. Jika A dan B adalah sebuah titik, maka Segmen maka Segmen diantara A dan B adalah himpunan semua titik yang berada di antara A dan B, termasuk keduanya. Definisi 2.5. Sudut adalah Sudut adalah gabungan gabungan dua sinar yang mempunyai mempunyai titik ujung ujung yang sama. Kedua sinar tersebut disebut Sisi disebut Sisi dari dari sudut, dan titik ujungnya disebut disebut Vertex. Vertex. Sudu Sudutt disimbolkan dengan ∠. Dan ∠ABC = ∠CBA. Definisi 2.6. Jika A, A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak kolinear, maka himpunan AB ∪ AC ∪ BC AB, AC, dan BC disebut Sisi dan titik A,B, dan C disedisebut dengan Segitiga. Segitiga. AB, but Vertices. Vertices. segitiga segitiga tersebut tersebut dinotasikan dinotasikan dengan ABC. Sudut dari ABC adalah ∠ABC, ∠ACB, dan ∠BAC

Teorema 2.8. Jika A dan B adalah sembarang dua titik, maka AB = B A.


7


Geometri Insidensi

2


− −→ −− → −→ Teorema 2.9. Jika C adalah adalah sebuah titik dari AB maka AB = AC. − − → −→ Teorema 2.10. Jika B1 dan C 1 adalah titik dari AB dan AC selain A maka

∠BAC

=

∠B1 AC 1

Teorema 2.11. Jika AB = C D, maka titik A, B sama dengan titik C, D . Teorema 2.12. Jika 2.12. Jika ABC = DEF, maka titik-titik A, sama dengan titik D, A, B , C sama D, E , F

2.4 2.4

Kong Kongru ruen ensi si dari dari Segme Segmen n

Definisi 2.7. Misalkan AB dan CD adalah segmen. Jika AB = C D, (panjang keduanya sama) maka segmen disebut kongruen dan dituliskan dengan AB ∼ = C D. Definisi 2.8. Sebuah relasi ∼ pada sebuah himpunan S disebut Relasi disebut Relasi Ekuivalen jika, a, b, c ∈ S memenuhi: untuk setiap a, 1. a ∼ a (refleksif) 2. a ∼ b maka b ∼ a (simetri) 3. a ∼ b, b ∼ c maka a ∼ c (transitif) Teorema 2.13. Untuk segmen, kongruen adalah Relasi Ekuivalen. Bukti

Teorema 2.14. Teorema Konstruksi Konstruksi Segmen. Segmen. Diberik Diberikan an sebuah sebuah segmen segmen AB dan −−→ −−→ CD . Maka terdapat tepat sebuah titik E pada CD sehingga AB ∼ sebuah sinar CD. = C E. Bukti Dengan Teorema Aturan Penempatan, kita bisa membuat sebuah sistem koordinat f pada ←→ CD , sehingga f (C ) = 0 dan f (D) > 0 . garis CD, *gambar pada gambar bilangan CD adalah titik koordinat dari titik D, dan ini benar karena −−→ ∼ CE jika dan hanya jika f (D) > 0. Jika E adalah sebuah titik dari CD, CD , Maka AB = f (E ) = AB , karena f adalah sistem koordinat maka terdapat sebuah tepat sebuah titik E AB . sehingga f (E ) = AB.


8


Geometri Insidensi

3

SEPARAS SEP ARASII DI BIDANG BIDANG DAN DAN RUANG RUANG

Teorema 2.15. Teorema Penjumlahan-Segmen Misalkan Penjumlahan-Segmen Misalkan A−B −C, A −B −C , AB ∼ = ∼ ∼ A B , dan jika BC = B C , maka AC = A C . 

















Bukti

Teorema 2.16. Teorema Pengurangan-Segmen Misalkan Pengurangan-Segmen Misalkan A−B −C, A −B −C , AB ∼ = ∼ ∼ A B , dan jika AC = A C , maka B C = B C . 

















Bukti

Teorema 2.17. Untuk setiap segmen, terdapat tepat satu buah titik tengah. Bukti

3

Sepa Separa rasi si di di Bida Bidang ng dan dan Rua Ruang ng

3.1

Conve Conveksi ksitas tas dan Separas Separasii

Definisi 3.1. Sebuah himpunan A disebut Konveks disebut Konveks jika jika untuk setiap titik P, Q dari A. maka seluruh segmen P Q berada pada A. Contoh *gambar Selain itu disebut tidak disebut tidak konveks, konveks, seperti pada gambar dibawah ini Contoh 3.1. Sebuah himpunan himpunan konveks konveks mungkin mungkin ”tipis dan kecil”. Setiap segmen P Q adalah himpunan himpunan konveks. konveks. Mungkin Mungkin juga sangat besar, contohnya contohnya ruang S adalah himpunan konveks Definisi Definisi 3.2. H 1 adalah bagian sebelah atas dan dikir dari garis L, dan H 2 adalah bagian sebelah bawah dan di kanan dari garis L. H 1 dan H 2 disebut Bidang disebut Bidang Paruh/Half Plane Teorema 3.1. Postulat Postulat Separasi Separasi Bidang Diberikan Bidang Diberikan sebuah garis dan sebuah bidang yang memuat himpunan semua titik dari bidang yang tidak berada pada gabungan dua himpunan yang disjoin sehingga 1. Setiap himpunan himpunan adalah konveks konveks 2. Jika Jika P berada pada salah satu himpunan himpunan dan Q berada di himpunan yang lain, maka segmen P Q berpotongan dengan garis tersebut. Tubagus Dhafin Rukmanda

9


Geometri Insidensi

3


Bukti

Postulat 3.1. Postulat Pasch Diberikan Pasch Diberikan sebuah segitiga  segitiga  ABC dan sebuah garis L di bidang yang sama. Jika L memuat sebuah titik E , diantara A dan C, maka L berpotongan AB atau BC . Bukti Misalkan L tidak berpotongan dengan AB dan BC . maka 1. A dan B berada pada sisi yang sama dari L. 2. B dan C berada pada sisi yang sama dari L. 3. Dari (1) dan (2) maka A dan C berada pada sisi yang sama dari L. Kontradiksi karena A − E − C.

3.2

Teorema eorema Insidens Insidensii Dasar Pada Pada Postula Postulatt Separasi Separasi Bidang Bidang

Definisi 3.3. Jika E − L = H 1 ∪ H 2

dibidang pada postulat separasi bidang. H 1 dan H 2 disebut sisi disebut sisi yang berlawanan dari berlawanan dari L. Jika P berada di H 1 dan Q berada di H 2 maka P dan Q berada pada sisi yang berlawanan dari L. Teorema 3.2. Jika P dan Q sisi yang berlawanan dari garis L, dan Q&T berada pada sisi yang berlawanan dari L, maka P dan T berada pada sisi yang sama dari L. Teorema 3.3. Jika P dan Q berada pada sisi yang berlawanan dari L dan Q&T berada pada sisi yang sama dari L, maka P dan T berada pada sisi yang berlawanan dari L. Catatan.Argumen Catatan.Argumen yang sama juga berlaku untuk ”sisi dari sebuah titik” pada sebuah garis (sinar) Teorema 3.4. Diberikan 3.4. Diberikan sebuah garis, dan sebuah sinar yang mempunyai titik ujung yang berada pada garis, tapi sinar tidak berada b erada di garis. Mak Maka a semua titik di sinar, sinar, kecuali kecuali titik ujungnya berada pada sisi yang sama. Bukti


10


Geometri Insidensi

3


Teorema 3.5. Misalkan L adalah sebuah garis, misalkan A adalah sebuah titik dari L, dan misalkan B adalah sebuah titik yang tidak berada di L, maka AB − A berada pada sisi yang sama dari L. ←→ Definisi 3.4. Interior dari ∠BAC adalah perpotongan sisi dari AC yang yang memuat B , dan ←→ sisi dari AB yang memuat C . Definisi 3.5. Diberikan sembarang atnya.

∠ABC maka

terdapat sebuah bidang E yang memu-

Definisi Definisi 3.6. Eksterior 3.6. Eksterior dari sebuah sudut adalah himpunan semua titik dari E yang tidak berada di sudut maupun interior sudut tersebut Teorema 3.6. Setiap 3.6. Setiap sisi dari sebuah segitiga, kecuali titik ujungnya, berada pada interior sudut yang berlawanan dengan sisinya Bukti

−→ Teorema 3.7. Jika 3.7. Jika F berada pada interior dari ∠BAC, maka AF − F berada pada interior ∠BAC.

Bukti

Teorema 3.8. 3.8. Misalkan ABC adalah sebuah segitiga, dan misalkan F,D, dan G adalah titik-titik sehingga B − F − C, A − C − D, dan A − F − G. Maka G berada pada interior dari ∠BCD. Definisi 3.7. Interior dari  dari  ABC didefinisikan sebagai irisan dari 3 himpunan berikut : −− → 1. sisi sisi dari dari AB yang mengandung C . −→ −→ 2. sisi sisi dari dari AC yang mengandung B . −−→ 3. sisi sisi dari dari BC yang mengandung A. Teorema 3.9. Interior dari sebuah segitiga selalu himpunan konveks Bukti

Teorema 3.10. Interior Interior dari sebuah segitiga adalah irisan dari interior atas setiap sudutnya. Tubagus Dhafin Rukmanda

11


Geometri Insidensi

3


Bukti Ambil P ∈ int(ABC ). 1. Dari Dari (1) dan (3) : P terletak pada sisi int(∠ABC ) 2. Dari Dari (1) dan (2) : P terletak pada sisi int(∠BAC ) 3. Dari Dari (2) dan (3) : P terletak pada sisi int(∠BC A) Dari (1) − (3) maka kita dapatkan P ∈ int(∠ABC ) ∩ int(∠BAC ) ∩ int(∠BC A)

3.3

Teorema eorema Insi Insidens densii Lanju Lanjutan tan

Teorema 3.11. Misalkan L sebuah garis, A dan F adalah dua titik yang berbeda dari L, dan misalkan B dan G titik pada sisi yang berlawanan dari L. Maka F B tidak berpotongan −→ dengan AG. Bukti −→ 1. Berdas Berdasark arkan an teorem teoremaa 3 Section Section 4.2 maka AG − A terletak pada sisi dari L yang memuat G. 2. Berdas Berdasark arkan an teorema teorema 3 Section Section 4.2 maka F B − F terletak pada sisi dari L yang memuat B. −→ 3. Berdasark Berdasarkan an (1) dan (2) maka maka AG − A tidak berpotongan dengan F B − F. Sehingga F B dan AG tidak mungkin mungkin berpotongan berpotongan kecuali kecuali di F atau di A. Tapi ini tidak −→ mungkn karena A tidak berada pada F B, dan F tidak berada pada AG.

Teorema 3.12. 3.12. Pada FBC, misalkan A adalah titik diantara F dan C, dan misalkan D ←→ −−→ adalah titik sehingga D dan B berada pada sisi yang sama dari F C. Maka AD berpotongan dengan F B atau BC . Bukti

1. Misalkan Misalkan G adalah titik sedemikian sehingga G − A − D. Maka G dan D berada pada ←→ sisi yang berlawanan dari F C. Karena B dan D berada pada sisi yang sama dari ←→ ←→ F C, maka G dan B berada pada sisi yang berlawanan dari F C. Sehingga menurut −→ Teorema 1 maka sinar AG tidak memotong segmen F B.


12


Geometri Insidensi

3


−→ 2. Dengan menggunakan menggunakan cara yang sama maka maka kita dapatkan sinar AG tidak memotong segmen BC . ←→ 3. Menurut Menurut Postulate Postulate Pasc Pasch h : Garis AG memotong segemen BC atau F B . ←→ −→ −−→ −−→ 4. Karena Karena AG = AG ∪ AD dan AG tidak memuat F B atau BC maka haruslah AD memuat segemen BC atau F B.

−−→ Teorema 3.13. Crossbar Crossbar Jika Jika D berada pada interior ∠BAC, maka AD berpotongan dengan BC pada sebuah titik yang berada di antara B dan C. Bukti ←→ ←→ 1. Misalkan Misalkan F adalah titik sedemikian sehingga F − A − C. Maka F C = AC, dan F ←→ dan C berada pada sisi yang berlawanan dari AB. Maka A diantara F dan C. 2. Karena Karena D berada pada int (∠BAC ), maka B dan D berada pada sisi yang sama dari ←→ AC.

−−→ 3. Berdas Berdasark arkan an (1) dan (2) mak makaa menuru menurutt teorem teoremaa 2 mak makaa AD berpotongan dengan salah satu dari F B atau BC . − −→ 4. A dan B adalah dua titik yang berbeda dari AB,F dan D berada pada sisi yang berlawanan dari AB. ←→ 5. Berdasark Berdasarkan an (4) mak maka a menurut teorema 1 dengan dengan garis AB, segmen F B, dan sinar −−→ −−→ AD maka AD tidak berpotongan dengan F B. −−→ 6. Berdasark Berdasarkan an (2) dan (5) maka AD berpotongan dengan B C −−→ 7. Jika Jika AD berpotongan dengan BC di B maka

3.4

Segiem Segiempat pat Konve Konveks ks

Diberikan 4 titik A, A, B , C, C, D yang terletak pada satu bidang tapi tidak segaris. Jika segmen AB,BC,CD dan DA berpotongan hanya pada titik-titik ujungnya, maka gabungan dari keempat segment tersebut disebut segiempat dan dinotasikan dengan ABCD (segiempat bukan bukan berarti berarti bujur bujur sangk sangkar) ar).. SudutSudut-sud sudut ut dari dari ABCD adalah ∠ABC, ∠BC D, CD,DA. ∠CDA, ∠DAB. Sisi-sisi dari ABCD adalah AB,BC, CD,DA. Catatan. Tubagus Dhafin Rukmanda

13


Geometri Insidensi

3


1. 2 sisi yang yang mempunyai mempunyai 1 titik ujung yang sama disebut berdampingan berdampingan 2. 2 sisi yang yang tidak berdampingan berdampingan disebut disebut berla b erlawana wanan n 3. 2 sudut sudut dari  disebut berdampingan jika irisannya mengandung satu sisi. 4. 2 sudut yang tidak berdampingan berdampingan disebut berlawanan berlawanan 5. Diagonal Diagonal dari ABCD adalah segmen AC dan BD 6. Suatu Suatu  disebut konveks jika setiap sisinya terletak pada salah satu bidang paruh yang yang ditentuk ditentukan an oleh sisi yang yang berlawanan. berlawanan. Jika Jika A&B terletak pada sisi yang sama ←→ dari C D maka semua titik pada AB terletak pada sisi yang sama dari C D. Definisi 3.8. penuhi

ABCD disebut

konveks jika dan hanya jika keempat syarat berikut ter-

←→ 1. A dan B berada pada sisi yang sama dari CD ←→ 2. A dan B berada pada sisi yang sama dari DA ←→ 3. A dan B berada pada sisi yang sama dari AB ←→ 4. A dan B berada pada sisi yang sama dari BC Teorema 3.14. Diagonal dari segiempat konveks selau berpotongan satu sama lain. * gambar Bukti 1. Karena Karena ABCD segiempat konveks maka menurut definisi A dan B berada pada sisi −−→ −−→ yang sama dari AB, dan B , C berada berada pada sisi yang sama dari AD. Maka B berada pada int∠ADC. 2. Dengan Dengan menggunakan menggunakan cara yang sama seperti (1) maka A berada pada int∠DCB. ←→ 3. Karena Karena B berada pada int∠ADC. maka menurut Teorema Crossbar maka DB memotong AC di titik P. ←→ 4. Karena Karena A berada pada int∠DCB. maka menurut Teorema Crossbar maka AC mem memotong DB di titik Q. ←→ 5. Karena Karena sinar dan segmen berada pada garis, mak maka a berdas b erdasark arkan an (3) mak maka a garis DB ←→ berpotongan berpotongan dengan AC di P.


14


Geometri Insidensi

4

UKUR UKURAN AN SUDU SUDUT T

←→ 6. Karena Karena sinar dan segmen segmen berada b erada pada garis, maka berdasark berdasarkan an (4) mak makaa garis AC ←→ berpotongan berpotongan dengan DB di Q. 7. Karena Karena berdasarkan berdasarkan teorema 1.1 maka P = Q.

4

Uku Uk uran Sudut

Pada bab ini kita akan menggunakan himpunan [S, L, P , d, m] Definisi 4.1. Misalkan A Misalkan A adalah himpunan semua sudut. Didefinisikan m

m

:A→R

disebut ukuran sudut.

Definisi 4.2. 90 .

(∠ABC ) adalah notasi untuk ukuran ∠ABC dalam dalam derajat. Misal ∠ABC =

m

◦

*gambar Postulat 4.1. m adalah fungsi A → adalah himpunan bilangan real. Postulat 4.2. Untuk setiap sudut

R dimana

∠A, m∠A di

A adalah himpunan semua sudut, dan

R

antara 0 dan 180.

− −→ Postulat 4.3. Postulat Konstruksi Sudut Sudut Misalkan AB adalah sebuah sinar dari sisi −→ di bidang paruh H. Untuk setiap r ∈ [0, 180] terdapat tepat sebuah sinar AP , dengan P berada di H, sehingga m∠P AB = r. *gambar Postulat 4.4. Postulat Penjumlahan Sudut Jika Sudut Jika D terletak pada int∠BAC maka BAC = m∠BAD + m∠DAC.

m∠

*gambar Catatan. − −→ −→ −−→ 1. Jika Jika AB dan AC adalah sinar-sinar yang berlawanan dan AD adalah sinar yang ketiga, maka ∠DAB dan ∠DAC membentuk suatu pasangan linear. * gambar Tubagus Dhafin Rukmanda

15


Geometri Insidensi

4


DE F = 180 maka kedua sudut tersebut disebut supplementary 2. Jika Jika m∠ABC + m∠DEF disebut supplementary

Postulat Postulat 4.5. Postulat Postulat Supplementar Supplementary y Jika Jika dua sudut sudut mem membentu bentuk k suatu pasangan linear, maka kedua sudut tersebut supplementary Catatan. ∼ 1. Jika Jika m∠ABC = m∠DEF, maka kedua sudut itu disebut sebangun dan ditulis ∠ABC = ∠DEF.

2. Jika Jika kedua kedua sudut suatu pasangan linear sebangun sebangun maka masing-masing masing-masing sudut itu disebut sudut siku-siku −−→ −− → −→ −−→ 3. AD dikatakan berada di antara AB dan AC. Jika AD − A terletak pada int∠BAC. *gambar 4. Jika Jika diberikan diberikan 3 sinar, sinar, maka belum tentu yang satu terletak diantara diantara 2 yang yang lain Teorema 4.1. Sudut-sudut memenuhi relasi ekuivalen Teorema 4.2. Teorema Konstruksi Sudut Misalkan Sudut Misalkan ∠ABC adalah sebuah sudut, dan −−→ −−→ B C adalah sebuah sinar, dan misalkan H adalah bidang paruh dimana memuat sisi B C . −−→ Maka tepat satu sinar B A , dengan A di H sehingga 













∼ ∠A ∠ABC =



B  C 

*gambar Bukti −−→ Misalkan m∠BAC = r menurut menurut Postulat Postulat Konstruks Konstruksii Sudut, Sudut, mak makaa terdapat terdapat sinar B A sedemikian sehingga m∠A B C = r. Karena m∠A B C = m∠ABC maka 

















Teorema 4.3. Teorema Penjumlahan Penjumlahan Sudut Sudut Misalkan D berada pada int∠BAC,D ∼ berada pada int∠B A C , ∠BAD = ∠B A D , ∼ ∠D A C , maka ∠BAC = ∼ ∠B A C . Jika ∠DAC = 























Bukti



Teorema 4.4. Teorema Pengurangan Pengurangan Sudut Sudut Misalkan D berada pada int∠BAC,D ∼ berada pada int∠B A C , ∠BAD = ∠B A D , ∼ ∠B A C , maka ∠DAC = ∼ ∠D A C . Jika ∠BAC = 




















16






Geometri Insidensi

4


Bukti

Catatan. − −→ 1. Dua sinar disebut tegak lurus jika jika gabungannya merupakan merupakan sudut siku-siku. Jika AB −→ −→ ←→ ←→ dan AC tegak lurus (pada kasus ini dikatakan garis AB dan AC saling tegak lurus) 2. 2 ssegm egmen en AB dan BC disebut disebut tegak lurus jika garis yang mengandung segmen-segmen tersebut saling tegak lurus 3. 2 sudut disebu disebutt complementary jika complementary jika jumlahnya 90 4. 2 sudut yang sebangun adalah 2 sudut yang berbeda, tapi mempuny mempunyai ai ukuran yang sama 5. 2 sudut dikatak dikatakan an mem membentu bentuk k Pasangan vertikal/V vertikal/Vertical ertical Pair jika Pair jika sisi-sisinya membentuk pasangan dari sinar-sinar yang berlawanan


17


6485_Geometri Insidensi

Recommend Documents