Contoh-contoh Penerapan Rancangan Acak Lengkap : Contoh kasus 1 : Rancangan Acak Lengkap dengan Ulangan Sama Pada contoh kasus ini, digunakan kembali contoh kasus yang sama dengan contoh pada penguraian keragaman total. Hanya saja, menggunakan langkah perhitungan yang sedikit berbeda. (Berikut ini adalah hasil pengujian estrogen beberapa larutan yang telah mengalami penanganan tertentu. Berat uterin tikus dipakai sebagai ukuran keaktifan estrogen. Berat uterin dalam miligram dari empat tikus untuk setiap kontrol dan enam larutan yang berbeda dicantumkan dalam tabel berikut ) Tabel 4. Data Berat Uterin (mg) dari 7 Perlakuan Terhadap Empat Tikus
Total perlakuan
kontrol 89.8 93.8 88.4 112.6 384.6 Y1.
P1 84.4 116.0 84.0 68.6 353 Y2.
P2 64.4 79.8 88.0 69.4 301.6 Y3.
P3 75.2 62.4 62.4 73.8 273.8 Y4.
P4 88.4 90.2 73.2 87.8 339.6 Y5.
P5 56.4 83.2 90.4 85.6 315.6 Y6.
P6 65.6 79.4 65.6 70.2 280.8 Y7.
2249 Y..
Analisis Ragam Langkah-langkah Pengujian Hipotesis: 1. Karena hanya terdapat 7 perlakuan yang tersedia, maka model yang cocok adalah model tetap. Model tersebut adalah: Yij = μ + τi + εij ; i =1,2,…,7 dan j = 1,2,3,4 dengan Yij = berat uterin dari tikus ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i μ = mean populasi berat uterin τi = pengaruh perlakuan ke-i εij = pengaruh acak pada tikus ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i . 2. Asumsi : lihat asumsi untuk model tetap 3. Hipotesis yang akan diuji : H0 : Semua τj = 0 (atau tidak ada pengaruh perlakuan terhadap berat uterin tikus) H1 : Tidak semua τj = 0; atau minimal ada satu perlakuan yang mempengaruhi berat uterin tikus. Langkah-langkah perhitungan Analisis Ragam: Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi
FK
Y..2 rt
2249 2 28
180642.89
Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total t
r
JKT
Yij 2
FK
i 1 j 1
(89 .8 2 93.8 2 5478.51
.... 65.6 2
70 .2 2 ) 180642.89
Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan t
JKP i
Yi.2 1 r
(384 .6 2
FK 353 2
301 .6 2
273 .8 2 4
339 .6 2
315 .6 2
280 .8 2 )
180642.89
2415.94 Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Galat
JKG JKT JKP 3062.57 Langkah 5: Buat Tabel Analisis Ragam beserta Nilai F-tabelnya Tabel 5. Analisis Ragam dari Berat Uterin Tikus Sumber keragaman (SK) Perlakuan Galat Total
Derajat bebas (db) 6 21 27
Jumlah kuadrat (JK) 2415.94 3062.57 5478.51
Kuadrat tengah (KT) 402.66 145.84
Fhitung 2.76
Ftabel 5% 2.573
1% 3.812
F(0.05,6,21) = 2.573 F(0.01,6,21) = 3.812 Langkah 6: Buat Kesimpulan Karena Fhitung (2.76) > 2.573 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 = μ5 = μ6 pada taraf kepercayaan 95% Karena Fhitung (2.76) ≤ 3.812 maka kita gagal untuk menolak H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 = μ5 = μ6 pada taraf kepercayaan 99% Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 95%, minimal terdapat satu perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya. Namun pada taraf kepercayaan 99%, semua rata-rata perlakuan tidak berbeda dengan yang lainnya. Keterangan: Biasanya, tanda bintang satu (*) diberikan, apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.05) dan tanda bintang dua (**) diberikan apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.01)
Langkah 7: Hitung Koefisien Keragaman (KK)
KTG 100% Y .. 15.03%
KK
145.84 100% 80.32
1. Dari tabel di atas kita dapat menduga beberapa parameter percobaan:
E(KTG) = σ2 diduga dengan KTG = 145.84 t r 2 ] E(KTP) = 2 [ i diduga dengan KTP = 402.66 (t 1) i 1
2. Sehingga apabila Fhitung semakin lebih besar dari 1 maka kesimpulan akan semakin cenderung untuk menolak hipotesis nol dan sebaliknya. Penduga
E(KTP) r
keragaman 2
pengaruh
perlakuan
402.66 145.84 64.20 4
[
r (t 1)
t
]
2 i
i 1
diduga
melalui
Perbandingan Rataan (dengan menggunakan Uji LSD) Pada contoh ini, pengujian perbedaan pasangan rata-rata diantara perlakuan dilakukan dengan menggunakan salah satu uji Post-Hoc, yaitu LSD. Ppada kasus ini sebenarnya tidak tepat menggunakan LSD sebagai prosedur pengujian lanjut, mengapa? (lihat bahasan tentang pengujian perbedaan rata-rata perlakuan) Tabel Analisis Ragam dari Berat Uterin Tikus Sumber keragaman (SK) Perlakuan (T) Galat Total
Derajat bebas (db) 6 21 27
Jumlah kuadrat (JK) 2415.94 3062.57 5478.51
Kuadrat tengah (KT) 402.66 145.84
Fhitung 2.76
5% 2.573
Ftabel 1% 3.812
Tabel Rata-rata Berat Uterin Tikus Perlakuan (T) kontrol P1 P2 P3 P4 P5 P6
Rata-rata 96.15 88.25 75.40 68.45 84.90 78.90 70.20
1. Hitung Nilai LSD0.05
LSD t 0.05 / 2;21
2KTG r 2(145.84) 4
2.08 17.76
2. Urutkan Rata-rata Perlakuan (dalam contoh ini rata-rata diurutkan dari kecil ke besar) 3. Kriteria pengujian: Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai LSD dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
Jika
i
j
LSD 0.05 LSD 0.05
tolak H0 , kedua rata - rata berbeda nyata tolak H0 , kedua rata - rata tidak berbeda nyata
4. Hasil pengujian perbedaan pasangan rata-rata (pair wise comparisons) pada taraf nyata 5% P3 P6 P2 P5 P4 P1 kontrol Notasi Perlakuan (T) Rata-rata 68.45 70.20 75.40 78.90 84.90 88.25 96.15 P3 68.45 0.00 a tn P6 70.20 1.75 0.00 a tn tn P2 75.40 6.95 5.20 0.00 ab tn tn tn P5 78.90 10.45 8.70 3.50 0.00 abc tn tn tn tn P4 84.90 16.45 14.70 9.50 6.00 0.00 abc tn tn tn P1 88.25 19.80 * 18.05 * 12.85 9.35 3.35 0.00 bc tn tn kontrol 96.15 27.70 * 25.95 * 20.75 * 17.25 tn 11.25 7.90 0.00 c
Contoh kasus 2 : Rancangan Acak Lengkap dengan Ulangan Tidak Sama Dalam sebuah percobaan biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Data pertumbuhan berikut, dalam sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup. Tabel 6. Data pertumbuhan tanaman (cm) 1 8.2 8.8 9.3 9.1 9.4
Total Perlakuan
44.8 Y1.
Konsentrasi 2 3 7.8 6.8 8.3 5.8 8.4 6.7 8.6 7.2 8.1 6.8 8.0 7.4 6.2 49.2 46.9 Y2. Y3.
4 6.8 7.2 6.4 6.8 7.0 6.5 40.7 Y4.
181.6 Y..
Analisis Ragam Langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kasus di atas adalah sebagai berikut : 1. Model untuk kasus di atas adalah Yij = μ + τi + εij i =1,2,3,4 dan j = 1,2,…, ri; dengan ri adalah banyaknya ulangan untuk perlakuan ke-i dengan Yij = pertumbuhan tanaman (cm) ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i μ = mean populasi τi = pengaruh perlakuan ke-i εij = pengaruh acak pada tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i . 2. Asumsi : lihat asumsi untuk model tetap 3. Hipotesis yang akan diuji : H0 : Semua τj = 0 atau tidak ada pengaruh perlakuan terhadap pertumbuhan tanaman. H1 : Tidak semua τj = 0; atau minimal ada satu perlakuan yang mempengaruhi pertumbuhan tanaman. Langkah-langkah perhitungan Analisis Ragam: Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi
FK
Y..2 t
ri i 1
181.6 2 24
1374.11
Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total ri
t
JKT
Yij 2
FK
i 1 j 1
8.22 8.8 2 24.673
... 7.0 2
6.52 1374.11
Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan t
JKP i
Yi . 2 1 ri
FK
44.8 2 49.2 2 5 6 21.053
46.9 2 7
40.7 2 6
1374.11
Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Galat
JKG JKT
JKP 24.673 21.053
3.620 Langkah 5: Buat Tabel Analisis Ragam beserta Nilai F-tabelnya Tabel 7. Analisis Ragam Pertumbuhan Tanaman Sumber keragaman (SK) Perlakuan Galat Total
Derajat bebas (db) 3 20 23
Jumlah kuadrat (JK) 21.053 3.620 24.673
Kuadrat tengah (KT) 7.018 0.181
Fhitung 38.768 **
Ftabel 5%
1%
3.098
4.938
F(0.05,3,20) = 3.098 F(0.01,3,20) = 4.938 Langkah 6: Buat Kesimpulan Karena Fhitung (38.768) > 3.098 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 pada taraf kepercayaan 95% Karena Fhitung (38.768) > 4.938 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 pada taraf kepercayaan 99% Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 99%, minimal terdapat satu perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya. Keterangan: Biasanya, tanda bintang satu (*) diberikan, apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.05) dan tanda bintang dua (**) diberikan apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.01) Langkah 7: Hitung Koefisien Keragaman (KK)
KK
KTG 100% Y .. 5.62%
0.181 100% 7.567
Perbandingan Rataan (dengan menggunakan Uji LSD) Pada contoh ini, pengujian perbedaan pasangan rata-rata diantara perlakuan dilakukan dengan menggunakan salah satu uji Post-Hoc, yaitu LSD. Ppada kasus ini sebenarnya tidak tepat menggunakan LSD sebagai prosedur pengujian lanjut, mengapa? (lihat bahasan tentang pengujian perbedaan rata-rata perlakuan) Tabel Analisis Ragam Pertumbuhan Tanaman Sumber keragaman (SK) Perlakuan Galat Total
Derajat bebas (db)
Jumlah kuadrat (JK) 21.053 3.620 24.673
3 20 23
Kuadrat tengah (KT) 7.018 0.181
Fhitung 38.768 **
Ftabel 5%
1%
3.098
4.938
Tabel Rata-rata Pertumbuhan Tanaman Konsentrasi (K) k1 k2 k3 k4
ri
Rata-rata 8.96 8.20 6.70 6.78
5 6 7 6
1. Hitung Nilai LSD0.05
LSD t 0.05 / 2;20 KTG(
1 ri
1 ) rj
LSD #1 : (k 1 vs k 2 atauk 4 ) 2.09
0.181(
1 5
1 ) 6
1 6
1 ) 7
0.538 LSD #2 : (k 1 vs k 3 ) 2.09
0.181(
1 5
1 ) 7
0.521
LSD #3 : (k 2 atauk 4 vs k 3 ) 2.09
0.181(
0.495 LSD # 4 : (k 2 vs k 4 ) 2.09
0.181(
1 6
1 ) 6
0.513 2. Urutkan Rata-rata Perlakuan (dalam contoh ini rata-rata diurutkan dari kecil ke besar) 3. Kriteria pengujian: Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai LSD dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
Jika
i
j
LSD 0.05 LSD 0.05
tolak H0 , kedua rata - rata berbeda nyata tolak H0 , kedua rata - rata tidak berbeda nyata
4. Hasil pengujian perbedaan pasangan rata-rata (pair wise comparisons) pada taraf nyata 5% Konsentrasi (K) k3 k4 k2 k1
Rata-rata 6.70 6.78 8.20 8.96
k3 6.70 0.00 0.08 tn 1.50 * 2.26 *
k4 6.78 0.00 1.42 * 2.18 *
k2 8.20
0.00 0.76 *
k1 8.96
0.00
Notasi a a b c
