UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Cálculo Diferencial e Integral III
Professor: Sinvaldo Gama
Maceió-AL Outubro/2007
Sumário CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
( : n ) ... 3
Seção 1.1: Curvas Parametrizadas............................................ .................................................................. ............................................ .......................... 3 Seção 1.2: Limite e Continuidade.............................. Continuidade.................................................... ............................................ ....................................... ................. 9 Seção 1.3: Derivada ........................................ .............................................................. ............................................ ............................................. .......................... ... 10 Seção 1.4: Interpretação Geométrica da Derivada ................................................ ............................................................... ............... 13 Seção 1.5: Interpretação Física da Derivada ......................................................... ........................................................................ ............... 15 Seção 1.6: Curvas em R³ ........................................... ................................................................. ............................................ ..................................... ............... 18 Seção 1.7: Comprimento de uma Curva .......................................... ................................................................. ..................................... .............. 22 Seção 1.8: Parametrização pelo Comprimento de Arco ............................................ ....................................................... ........... 25 Seção 1.9: Curvatura de d e uma Curva ................................. ....................................................... ............................................ .............................. ........ 28 Seção 1.10: Torção de uma Curva............................................ .................................................................. ............................................ ...................... 32
CAPÍTULO 2 – FUNÇÕES FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ( f : n ) . 40 Seção 2.1: Funções e Gráficos.......................................... ................................................................ ............................................ .............................. ........ 40 Seção 2.2: Limite e Continuidade.............................. Continuidade.................................................... ............................................ ..................................... ............... 42 Seção 2.3: Derivadas Parciais........................................... ................................................................. ............................................ .............................. ........ 48 Seção 2.4: Regra da Cadeia (1ª Versão) .......................................... ................................................................. ..................................... .............. 55 Seção 2.5: Derivada Direcional ........................................ .............................................................. ............................................ .............................. ........ 55 Seção 2.6: Funções Diferenciáveis ............................ .................................................. ............................................ ..................................... ............... 58 Seção 2.7: Regra da Cadeia (2ª Versão) .......................................... ................................................................. ..................................... .............. 66 Seção 2.8: Gradiente e Derivada Direcional .......................................... ................................................................. .............................. ....... 71 Seção 2.9: Funções Implícitas ..................................................... ........................................................................... ......................................... ................... 74 Seção 2.10: Máximos e Mínimos de Funções Reais ...................................... ............................................................ ...................... 84
CAPÍTULO 3 – FUNÇÕES FUNÇÕES VETORIAIS ( f : n m ) .......................................... ................................................... ......... 103 Seção 3.1: Funções Vetoriais......................................... Vetoriais............................................................... ............................................ ............................... ......... 103 Seção 3.2: Limite e Continuidade.............................. Continuidade.................................................... ............................................ ................................... ............. 109 Seção 3.4: A Regra da Cadeia .......................................... ................................................................ ............................................ ............................ ...... 114 Seção 3.5: O Teorema da Função Inversa ........................................... .................................................................. ............................... ........ 119
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Prof. Sinvaldo Gama
CAPÍTULO 1 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ( : n ) SEÇÃO 1.1: CURVAS PARAMETRIZADAS Quando olhamos curvas, no plano, como gráficos de funções reais, encontramos certos inconvenientes. Um deles é que curvas como círculos, elipses etc., não são gráficos de funções (note que estas curvas não obedecem à restrição de uma função às retas verticais). y
y
b
1
x
1
x
2
a
x 2 a2
y 1 2
y 2 2 b
x
1
Para estudarmos estas curvas, teremos que utilizar gráficos de mais de uma função. Por exemplo, para estudarmos o círculo unitário x 2 y 2 1 , teremos que considerar as funções f 1 ( x) 1 x 2 , 0 x 1 e f 2 ( x) 1 x 2 , 0 x 1 .
1
1
1
f 1 ( x) 1 x 2
1
f 2 ( x) 1 x 2
Só que estas funções têm a desvantagem de não serem diferenciáveis em x 1 e, por conseguinte, não podemos utilizá-las para estudar as tangentes verticais ao círculo nestes pontos. Estes e outros inconvenientes inconvenientes podem ser evitados se mudarmos nosso ponto de vista com respeito às curvas. Em lugar de pensarmos numa curva como o gráfico de uma função, uma curva agora será vista como imagem de uma função – uma uma função vetorial. Com este propósito, a trajetória de uma partícula partícula no plano ou no espaço espaço é um modelo muito útil para têlo em mente quando se estudam curvas. Em 3 , por exemplo, para cada tempo a partícula
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Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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está localizada no ponto ( 1 (t ), 2 (t ), 3 (t )) . Em verdade, a trajetória da partícula é descrita por uma função definida por (t ) ( 1 (t ), 2 (t ), 3 (t )) . z (t i ) ( 1 (t i ), 2 (t i ), 3 (t i )) (t i 1 )
(t i1 )
(t 0 ) ( 1 (t 0 ), 2 (t 0 ), 3 (t 0 ))
(t 1 )
(t n1 )
(t 2 )
(t n ) ( 1 (t n ), 2 (t n ), 3 (t n ))
y x
Descreveremos, de modo geral, este fato a seguir, salientando que o termo “curva” será usado tanto para quando nos referirmos a uma figura, como para quando nos referirmos a uma função.
Definição 1.1.1: Seja I um intervalo da reta. Uma função : I n t (t ) ( 1 (t ), 2 (t ),..., n (t ))
é dita uma função vetorial de uma variável real ou uma curva parametrizada. As n funções, i : I , são chamadas funções coordenadas de . A palavra parâmetro se refere à variável independente t da da função . Para cada t I , o vetor (t ) 1 (t ), 2 (t ),..., n (t ) chama-se raio vetor ou vetor posição da
curva no instante t . Representaremos este vetor como o segmento orientado que vai da origem do sistema coordenado coordenado ao ponto de coordenadas coordenadas ( 1(t ), 2 (t ),..., n (t )) . z D
t 1
(t 2 )
(t 1 )
t 2
x
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y
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Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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De um modo geral, se uma curva é gráfico da função f : a, b , f (t ) (t , f (t ))
a
t
b
observe que a mesma é imagem da curva : a, b 2
t (t ) (t , f (t )) .
Definição 1.1.2: O traço ou a imagem de é o conjunto ( I ) { (t ) n ; t I } .
Em palavras, a imagem de corresponde ao conjunto de todos os pontos no espaço n gerados pela variação possível de cada t I . Nesta situação, diz-se que a função parametriza seu traço ou que é uma parametrização do mesmo.
Exemplo 1.1.1: Seja : 0,2 2 t (t ) (cost , sin t ) ( x, y) .
Observe que (t ) é um ponto do círculo unitário, já que x 2 y 2 cos2 t sin2 t 1 . E vice-versa; todo ponto do círculo unitário é da forma (cost , sin t ) para algum t . Portanto, o traço de
é o círculo x
2
y 2 1 . y ( 2) (0,1)
0
t
2
( ) (1,0)
t
(3 2) (0,1)
t t t ( ) (cos , sin )
(0) (1,0)
x
Note que o círculo x 2 y 2 1 representa a trajetória de um ponto móvel no plano. À medida que t cresce cresce no intervalo 0,2 a trajetória vai se formando no sentido anti-horário. Cálculo III
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Exemplo 1.1.2: Seja : 2 t (t ) P t u ( x, y) ,
onde P ( x0 , y0 ) e u (a, b) são pontos de 2 . O traço de é a reta que passa por P e é paralela ao vetor
u.
Para cada valor de t , (t ) P t u representa um ponto sobre tal reta, e vice-versa; dado um ponto Q ( x, y) desta reta, existe algum t tal que P t u Q . y
P
x0 0
u (a, b)
t
x
y0
Observe que P (0) e como (t ) P t u ( x0 , y0 ) t (a, b) ( x0 ta, y0 tb) , as funções coordenadas de são 2 (t ) y0 tb .
1(t ) x0 ta e
Exemplo 1.1.3: O traço da curva parametrizada (t ) (a cos t , b sin t ) é a elipse
x 2
x a
a2
a
2
e
y 2 b
2
definida por
1 . De fato, se x a cost e y b sint , então
b2
cost x 2
e assim,
y 2
: 0,2
2
y b
sin t ,
cos2 t sin2 t 1 . y
0
t
2
b
(t ) (a cost , b sin t ) t
a
a
x
b
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Exemplo 1.1.4: Qual o traço da curva parametrizada : 3 definida por (t ) (a cost , a sin t , bt ) ( x, y, z ) ; a 0 , b 0 ? Solução: Inicialmente note que a projeção ortogonal de cada ponto P ( x, y, z ) da curva, no plano xy, é o ponto P ( x, y,0) pertencente à circunferência x 2 y 2 a 2 , z 0 . Isto significa que a curva
está contida no cilindro x
2
y 2 a 2 .
z 2 cilindro x
y 2 a 2
circunferencia ˆ
x
2
y a 2 , 2
z 0
P ( x, y, z ) curva y
P ( x, y,0)
x
Vale destacar ainda que as coordenadas coordenadas x e y dos pontos (t ) e (t 2 ) são iguais para cada t . De fato, cos(t 2 ) cos(t ) . sin( ) sin( ) t t 2
Portanto, (t ) e (t 2 ) estão sobre uma mesma reta vertical. Finalmente observemos que é constante e igual a 2 b , a distância entre (t ) e (t 2 ) . De fato, d (t 2 ), (t ) 0 2 0 2 (b(t 2 ) bt ) 2 (b2 ) 2 2 b .
A constante 2 b é denominada passo da curva. O traço é, pois, a hélice circular forma geométrica da hélice.) abaixo. (A figura ilustrada é apenas um esboço da forma geométrica
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z
(t 0 2 )
a
t 0 2
t 0
a
y
x
(t 0 )
Não devemos confundir confundir o traço de uma curva (a imagem da função vetorial) como seu gráfico. Este último é o conjunto {(t , (t )) 2 ; t I } .
Observe que só teremos uma imagem geométrica do gráfico de uma função vetorial quando seu contradomínio estiver contido em 3 . Em nosso estudo, entretanto, raras vezes teremos necessidade de considerar considerar o gráfico de tal função.
Exemplo 1.1.5: (Cicloide). A cicloide é uma curva descrita por um ponto de uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta sem escorregar. Consideremos um círculo de raio a e centro (0, a) e P (0,0) um ponto da mesma nesta posição. Da Geometria Euclidiana, sabemos que um arco que mede t radianos, num círculo de raio a tem comprimento at . A figura abaixo, à direita, mostra o ponto P numa posição correspondente a um arco AP cuja medida é radianos. O ângulo central correspondente também mede radianos. Observe que o segmento OA e o arco AP têm o mesmo comprimento a . y
y
rotacionando
(0, a) P
A
P
C
a
x
O
x
. Q
A
x
Vemos também que PQ a sin
e
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CQ a cos cos .
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Se P ( x, y) , então x OA PQ a a sin a( sin )
e
cos a(1 cos ) . y QA CQ a a cos
Portanto, a curva cos )) ; ( ) (a( sin ), a(1 cos
parametriza a cicloide. cicloide. y
2 a
0
4 a
2 a
x
Exemplo 1.1.6: Obtenha uma equação parametrizada da curva obtida pela interseção do cilindro x 2 y 2 1 com o plano y z 2 . Solução: A projeção da curva interseção
no plano xy é a circunferência
x 2 y 2
1 , z 0 .
Desta forma, x cos t y t sin
para
0 t 2 .
Por outro lado, como está sobre o plano y z 2 , então todos os seus pontos satisfazem a equação deste plano, isto é, teremos: z 2 y 2 sint , do que resulta, (t ) (cost , sint ,2 sint ) ;
t 0,2 .
SEÇÃO 1.2: LIMITE E CONTINUIDADE Definição 1.2.1: Seja uma curva parametrizada e t 0 . Definimos o lim (t ) lim 1 (t ), lim 2 (t ),..., lim n (t ) t t 0
t t
0
t t 0
t t 0
i (t ) , i 1,..., n . quando existem os limites lim t t 0
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Teorema 1.2.1: Sejam e curvas parametrizadas que possuem limite em t t 0 . Então, i.
lim ( (t ) (t )) lim (t ) lim (t ) ;
ii.
lim (a (t )) a lim (t ) , a ;
iii.
lim ( (t ) (t )) lim (t ) lim (t ) ;
iv.
tr aços contidos em ; lim ( (t ) (t )) lim (t ) lim (t ) , onde e têm seus traços
v.
lim (t ) lim (t ) .
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
3
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
t t 0
Definição 1.2.2: Dizemos que a curva
: (a, b) n é contínua em t 0 (a, b) se
lim (t ) (t 0 ) . t t 0
SEÇÃO 1.3: DERIVADA Definiremos a seguir a derivada de uma função : (a, b) n e mostraremos como ela nos leva à definição de reta tangente ao traço de .
Definição 1.3.1: Uma curva parametrizada se existe o lim h0
: (a, b) n
é dita diferenciável em t 0 (a, b) ,
(t 0 h) (t 0 )
h
que denotaremos por (t 0 ) . Se o limite acima existe para cada t (a, b) , dizemos que é diferenciável no intervalo (a, b) . Neste caso, a função n
: (a, b)
t (t )
é também uma função vetorial, denominada derivada de 1ª ordem de . Se também é diferenciável em (a, b) , então sua derivada ( ) , é chamada n
derivada de 2ª ordem de . Uma função vetorial é dita de classe C
, no intervalo (a, b) , se a n-ésima derivada de existe e é contínua em cada ponto do intervalo (a, b) . Dizemos que
é de classe C
se a mesma for de classe C n para todo n.
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Exemplo 1.3.1: Seja (t ) (t , t ) . Então 2
(t 0 ) lim h 0
(t 0
h) (t 0 ) h
lim
(t 0 h, (t 0 h)2 ) (t 0 , (t 0 )2 )
h0
h
t 0 h t 0 (t 0 h)2 t 02 , lim h0 h h
2t 0h h2 lim(1,2t 0 h) (1,2t 0 ) , isto é, (t 0 ) (1,2t 0 ) . lim1, h 0 h h 0 Observe que 1(t ) t , 2 (t ) t 2 e que 1(t 0 ) 1 e 2 (t 0 ) 2t 0 . O exemplo acima sugere que uma função : (a, b) n tem derivada num ponto t (a, b) se, e somente se, cada função coordenada de tem derivada neste ponto. Isto é verdade, e de fato, temos o seguinte teorema.
Teorema 1.3.1: Se a curva parametrizada : (a, b) n
t (t ) ( 1 (t ), 2 (t ),..., n (t ))
é diferenciável em t 0 (a, b) , então existem as derivadas 1(t 0 ),..., n (t 0 ) . Além disso, (t 0 ) ( 1(t 0 ), 2 (t 0 ),..., n (t 0 )) .
Reciprocamente, Reciprocamente, se existem as derivadas 1(t 0 ),..., n (t 0 ) , então é diferenciável em t 0 e
(t 0 ) ( 1(t 0 ), 2 (t 0 ),..., n (t 0 )) . Prova: Parte 1. Suponhamos que (t 0 ) lim h 0
é diferenciável em t 0 . Então,
(t 0 h) (t 0 )
h 1(t 0 h) 1(t 0 )
(t h) n (t 0 ) ,..., n 0 lim h 0 h h t h t t h ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 n (t 0 ) ,..., lim n 0 lim h 0 h h h 0 ( 1(t 0 ),..., n (t 0 ))
Parte 2. Suponhamos agora que existem 1(t 0 ),..., n (t 0 ) . Então,
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1(t 0 h) 1(t 0 ) ,..., lim n (t 0 h) n (t 0 ) h 0 h h h 0 1(t 0 h) 1(t 0 ) ,..., n (t 0 h) n (t 0 ) lim h 0 h h (t h) (t 0 ) lim 0
( 1(t 0 ),..., n (t 0 )) lim
h 0
h
(t 0 ) Regras básicas de derivação). Sejam , : (a, b) n e f : (a, b) Teorema 1.3.2: ( Regras , f , e também o são e tem-se: funções diferenciáveis em (a, b) . Então, i.
( ) ;
ii.
( f ) f f ;
iii.
( ) ;
iv.
Regra da cadeia). Se g : (c, d ) é uma função real, diferenciável, então ( Regra ( g )(t ) ( g (t )) g (t ) ; Se , : (a, b) 3 , então ( ) .
v.
Teorema 1.3.3: Seja
: (a, b) n uma
curva parametrizada, diferenciável em (a, b) e k
uma constante real. Se (t ) k , t (a, b) , então (t ) (t ) 0 , t (a, b) , isto é, o vetor posição (t ) é perpendicular ao vetor (t ) , para todo t (a, b) . Reciprocamente, se (t ) (t ) 0 ,
t (a, b) , então existe uma constante real k tal tal que
Prova: Parte 1. Suponhamos que (t ) k , 2
2 (t ) k
(t ) k ,
t (a, b) .
t (a, b) . Então,
e assim
(t ) (t ) k 2 .
Derivando ambos os membros, obtemos: (t ) (t ) (t ) (t ) 0 2 (t ) (t ) 0
e daí,
(t ) (t ) .
Parte 2. Exercício. cos t , a sint ) , a 0 . Temos que Exemplo 1.3.2: Seja (t ) (a cos (t ) a 2 cos2 (t ) a 2 sin2 (t ) a ,
para todo t .
Então, pelo Teorema 1.3.3 acima, (t ) (t ) . Cálculo III
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cost ) e assim Poderíamos constatar diretamente este fato, pois (t ) (a sint , a cos (t ) (t ) a 2 sin t cos t a 2 sin t cos t 0 . y
(t )
(t ) 0
t
x
2
Pergunta: Toda curva parametrizada cujo vetor posição (t ) tem norma constante para todo t , está contida numa circunferência?
SEÇÃO 1.4: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Veremos nesta seção como a derivada de uma curva parametrizada está relacionada com o conceito de reta tangente, como no caso de uma função real. Para isso, consideremos o quociente, (t 0 h) (t 0 ) h
e analisemos o seu comportamento quando h 0 . z
(t 0 h) (t 0 ) h (t 0 )
Q
P
(t 0 )
(t 0 h)
O
y x
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Note que o vetor (t 0 h) (t 0 ) é paralelo ao vetor h1 ( (t 0 h) (t 0 )) . Estes terão o mesmo sentido se h 0 (como na figura acima) e sentidos contrários se h 0 . O vetor h1 ( (t 0 h) (t 0 )) , por sua vez, tem uma direção que deverá tender para o que denominaremos denominaremos direção da reta tangente à curva
no ponto (t 0 ) , quando h 0 .
O vetor (t 0 ) , se existe e é não nulo, é denominado vetor tangente à curva em (t 0 ) . Seu sentido é guiado pelo movimento da extremidade do vetor (t 0 ) ao crescer t . É claro que qualquer múltiplo não-nulo de (t 0 ) é também denominado vetor tangente, e a reta ret a que passa por (t 0 ) e com direção de (t 0 ) é chamada reta tangente à curva em (t 0 ) e terá equação paramétrica: X (t ) (t 0 ) t (t 0 ) .
O vetor tangente (t 0 ) é usualmente desenhado com sua origem em (t 0 ) , como indica a figura acima.
Exemplo 1.4.1: Considere a reta (t ) P t u , u (0,0) e t . Temos que (t ) u ,
para todo t .
y
(t ) P
u x
O
Desta forma, a tangente à reta em cada um de seus pontos coincide com a própria reta (t ) , propriedade esta esta que, evidentemente, evidentemente, era de se esperar.
Exemplo 1.4.2: Se (t ) descreve uma circunferência de centro (t )
r ,
O e raio r , então
para todo t .
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y
(t )
O
(t )
r
x
Uma vez que o vetor (t ) tem norma constante, sua derivada (t ) lhe é perpendicular (Teorema 1.3.3) e, portanto, (t ) é perpendicular à reta tangente correspondente. Conclui-se então que, para cada circunferência, a definição dada de reta tangente coincide com a dada na geometria euclidiana.
Exemplo 1.4.3: Consideremos a hélice (t ) (cost , sint , t ) . Então (t ) ( sint , cos cost ,1)
e assim
(0) (0,1,1) .
A reta tangente à hélice em (0) (0,1,1) tem, pois, equação vetorial X (t ) (1,0,0) t (0,1,1) .
Do exposto acima, vemos que se para cada t , (t ) 0 então existe uma reta tangente a curva que contém o ponto (t ) e tem por direção o vetor (t ) . Para o estudo das curvas, é essencial que exista uma reta tangente a em cada um de seus pontos.
Definição 1.4.1: Um ponto t 0 para o qual (t 0 ) 0 é dito um ponto singular de de . Definição 1.4.2: Uma curva
se : (a, b) n é dita regular se
i.
é diferenciável em (a, b) ;
ii.
(t ) 0, t , t (a, b) .
SEÇÃO 1.5: INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA Se (t ) descreve a posição de uma partícula que se move no espaço como função do tempo, então conceitos físicos como vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração podem ser definidos definidos em termos das das derivadas de .
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z
s A (t )
BA
B (t h)
O
y x
Definição 1.5.1: Seja (t ) uma curva parametrizada cujo traço descreve a trajetória de uma partícula em função do tempo t . Definimos a velocidade escalar v(t ) dessa partícula como sendo v(t ) lim
t 0
s t
onde s é o comprimento do arco AB, e t (t h) t h . Como s (t h) (t ) para h pequeno, então s (t h) (t ) (t h) (t ) . h h t
Assim, v(t ) lim
t 0
s (t h) (t ) (t h) (t ) lim lim (t ) . t 0 t t 0 h h
O vetor (t ) é denominado vetor velocidade e o vetor (t ) é denominado vetor aceleração. Esta terminologia é razoável, pois (t ) mede a razão da mudança do vetor posição com respeito ao tempo, que é precisamente o que entendemos por velocidade. velocidade. Da mesma forma, (t ) mede a razão da mudança do vetor velocidade com respeito ao tempo. A velocidade escalar fornece a taxa de variação do comprimento do arco (medido sobre a curva) com relação ao tempo. Ou seja, a grandeza do vetor velocidade nos informa sobre a rapidez com que a partícula está a mover-se em cada instante e a sua direção e sentido diz-nos para onde a mesma se move nesses mesmos instantes. O vetor velocidade variará se Cálculo III
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modificarmos a sua direção ou a sua grandeza (velocidade escalar) ou ambas. O vetor aceleração, por sua vez, dá a medida desta variação.
Exemplo 1.5.1: Consideremos o movimento retilíneo descrito pela função (t ) P t u ; t , onde P e u são vetores constantes e u 0 . Temos então, vetor velocidade: (t ) 5ut 4 e vetor aceleração: (t ) 20ut 3 . Vemos que (t ) e (t ) são não nulos, e que os vetores velocidade e aceleração são paralelos. 5
Exemplo 1.5.2: Consideremos o movimento circular uniforme, em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade v elocidade angular é constante, de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Este movimento pode ser descrito pela função vetorial ( ) (a cos , a sin ) ,
onde
t , a 0 , 0 , 0 t 2 .
y
( )
a
x
Observe que quando t 0 , a partícula se encontra no ponto (a,0) e move-se no sentido antihorário ao longo da circunferência de raio a, com velocidade angular Temos assim:
d dt
, constante.
Vetor velocidade: (t ) (a sin , a cos ) , e Vetor aceleração: (t ) (a 2 cos , a 2 sin ) 2 (a cos , a sin ) 2 (t ) .
Neste caso, o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição, mas de sentido contrário, e como (t ) é perpendicular a (t ) , pois (t ) é constante, segue-se que o vetor aceleração é perpendicular ao ao vetor velocidade: velocidade:
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y ( ) . ( )
( )
a
a
x
Se representarmos o vetor aceleração (t ) com sua origem coincidindo com o ponto que se move sobre a curva em (t ) , vê-se que ele fica dirigido deste para o centro da circunferência que a partícula descreve. Neste caso, (t ) é denominada aceleração centrípeta. A reação de mesma intensidade e sentido oposto (devido a 3ª Lei de Newton), isto é, a força (t ) é dita aceleração centrífuga. Como exemplo de aceleração centrípeta, podemos considerar a atração da gravidade no caso de um satélite em volta da Terra ou a força exercida pelo mecanismo de uma pedra girando numa funda. De modo geral, esta força é exercida pelo mecanismo que obriga a partícula a uma trajetória circular.
SEÇÃO 1.6: CURVAS EM R³ Na seção anterior vimos que no movimento retilíneo o vetor aceleração é paralelo ao vetor velocidade e que no movimento circular, com velocidade angular constante, o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Nesta seção, veremos que num movimento qualquer, o vetor aceleração é a soma de dois vetores perpendiculares entre si, um paralelo ao vetor velocidade e o outro perpendicular a esse mesmo vetor. Se o movimento não é retilíneo, esses dois vetores definem um plano que passa pelo ponto correspondente da curva e que se chama plano osculador da da curva.
Definição 1.6.1: Se (t ) 0 , o vetor T(t )
(t ) (t )
chama-se vetor tangente unitário.
Cálculo III
18
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Prof. Sinvaldo Gama
z (t )
T(t ) (t )
O
y x
Observe que sendo T(t ) 1 , então T(t ) T(t ) .
Definição 1.6.2: Se T(t ) 0 , o vetor N(t )
T(t ) T(t )
chama-se vetor normal principal . z (t ) .
T(t )
N(t )
(t )
T(t )
O
y x
Observe que T(t ) N(t ) .
Definição 1.6.3: O plano determinado pelos vetores T (t ) e N (t ) é denominado plano osculador da da curva.
Cálculo III
19
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Prof. Sinvaldo Gama
z Plano osculador (t ) .
T(t ) (t )
N(t )
T(t )
O
y x
De modo geral, o plano osculador varia em cada ponto da curva. Mas se a curva é plana (isto é, todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano), o plano osculador em cada ponto coincide com o plano da curva. De fato, se ( X P ) n 0
é a equação cartesiana do plano que contém a curva (onde P é é um ponto da curva e n é um vetor normal a a π ), ), então os pontos (t ) desta curva deverão satisfazer esta equação, isto é, ( (t ) P ) n 0 ,
t .
Derivando ambos os membros desta identidade, obteremos: (t ) n 0 ,
t .
Portanto, T(t ) n 0, t e T(t ) n 0, t . Isto mostra que T(t ) é paralelo a π , bem como a N(t ) . Assim, T(t ) e N(t ) definem um plano paralelo ao plano π . Quando esses vetores são desenhados no ponto (t ) , tal plano coincidirá, portanto, com π , o que prova o que afirmamos.
Definição 1.6.4: O vetor B(t ) definido por B(t ) T(t ) N(t )
é denominado vetor binormal .
Cálculo III
20
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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z B(t ) (t )
. . .
T(t )
N(t )
T(t )
(t )
O
y x
Note que B(t ) é também unitário. Com efeito, B(t )
T(t ) N(t )
T(t )
1 1 1 1 . 2
N(t ) sin
Os três vetores unitários T , N e B formam, nesta ordem, um triedro positivamente orientado cujos vetores são dois a dois ortogonais e é denominado triedro de Frenet-Serret . Este triedro constitui, naturalmente, uma base para o espaço vetorial 3 . Portanto, qualquer vetor de 3 pode ser escrito como combinação linear do terno {T(t ), N(t ), B(t )}, o qual varia em cada ponto da curva. Por serem vetores unitários e ortogonais entre si, o conjunto ternário T , N e B é considerado uma base ortonormal do do 3 . O teorema seguinte nos informa que em qualquer movimento o vetor aceleração fica situado no plano osculador da curva.
Teorema 1.6.1: Se a função vetorial (t ) descreve o movimento de uma partícula com velocidade escalar v(t ) (t ) , então o vetor aceleração (t ) é uma combinação linear de T(t ) e T(t ) da forma
(t ) v(t ) T(t ) v(t ) T(t ) .
Se T(t ) 0 , então (t ) v(t ) T(t ) v(t ) T(t ) N(t ) .
Da igualdade acima, conclui-se que o vetor aceleração está contido no plano osculador da curva.
Cálculo III
21
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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z Componente tangencial
Componente normal (t )
T(t )
N(t )
k 1 T(t )
(t )
k 2 T(t )
(t )
T(t )
O
y x
Como podemos observar o vetor aceleração (t ) pode ser expresso como uma combinação linear dos
vetores T(t ) e N(t ) . Na figura, k 1 v(t ) e k 2 v(t ) T(t ) . Os
vetores v(t ) T(t ) e v(t ) T(t ) N(t ) são denominados, respectivamente, componente tangencial e normal do vetor aceleração, conforme expresso .
SEÇÃO 1.7: COMPRIMENTO DE UMA CURVA uma curva diferenciável. Sejam a t 0 t 1 ... t n b uma partição de a, b , t i 1 , t i os subintervalos de a, b , t i t i t i 1 o comprimento do Seja
3
: (a, b)
subintervalo t i 1, t i e (t i ) os pontos correspondentes no traço de através de uma linha poligonal como como indicado na figura abaixo.
. Liguemos estes pontos
z
(a, b) t n b
(t i1)
(t i1)
t i 1 t i t i 1
(t 1 )
i
(b)
t 1 t 0
(t )
(a)
y
a x
Tomando-se os vetores posição dos pontos (t i ) , tem-se que o comprimento do iésimo segmento da poligonal é (t i ) (t i1) e o comprimento total da poligonal é
Cálculo III
22
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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S n
n
(t ) (t
i 1
i
) .
i 1
Como x x(t ) , y y(t ) e z z (t ) são funções reais de classe C 1 , pelo teorema do valor médio aplicado
às funções x, y e z em em cada intervalo t i 1 , t i , existem t 1 , t 2 e t 3 tais
que:
x(t i ) x(t i 1) x(t 1) t i y(t ) y(t ) y(t ) t i i 1 i . 2 z (t ) z (t ) z (t ) t i 1 i 3 i n
Logo,
S n
( x(t 1))2 ( y(t 2 ))2 ( z (t 3 ))2 t i .
i 1
A rigor, a expressão acima não é uma soma de Riemann, pois os t 1 , t 2 e t 3 não são necessariamente iguais. Utilizando-se um teorema sobre integração que não será discutido aqui e sendo f : a, b uma função contínua e t t i 1 , t i , então b
n
f (t )dt lim f (t )t i
n
i 1
a
onde existe a possibilidade de haver diferentes t . Aplicando o referido teorema à f (t ) ( x(t 1))2 ( y(t 2 ))2 ( z (t 3 ))2 é possível mostrar que o comprimento de arco de
entre t 0
a e t n b , denotado por l , é dado por: b
l c( )
(t ) dt a
se (t ) é contínua.
Exemplo 1.7.1: (Comprimento da circunferência) Seja (t ) (r cost , r sint ) , r 0 . Temos (t ) (r sin t , r cost ) e assim, (t ) r . Daí, 2
l c(l )
2
(t ) dt
0
2
rdt rt 0
2 r .
0
Cálculo III
23
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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y
t
0
(t )
2
x
r (0) (2 )
Exemplo 1.7.2: (Comprimento de uma espira da hélice ) Seja (t ) (a cost , a sint , bt ) , a 0 , t 0
t t 0 2 . Temos (t ) (a sint , a cost , b) e assim, 2
l c(l )
(t )
b2 .
a2
2
(t ) dt
0
a2
b 2 dt 2
a2 b2
.
0
z (2 )
0
a
2
y
x
(0)
Exemplo 1.7.3: Seja f : a, b uma função real diferenciável. O gráfico de f é é uma curva contida em 2 , a qual é traço da função vetorial, ( x) ( x, f ( x)) , a x b . y
( x, f ( x))
f ( x)
x
a
Se f é contínua, então
( x)
b
1 ( f ( x)) 2
x
também o é, e
b
l c( f )
1 ( f ( x))2 dx
a
Cálculo III
24
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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que é a fórmula, já conhecida por nós, do estudo das funções reais de uma variável real.
SEÇÃO 1.8: PARAMETRIZAÇÃO ARAMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO Uma curva pode ter muitas representações paramétricas, mas existe uma que é, num certo sentido, particularmente simples e útil. Nesta representação, o parâmetro é o comprimento da curva medido a partir de algum ponto da mesma. Vejamos como podemos obter esta representação. Seja : a, b 3 uma curva parametrizada regular . A função definida por t
s (t )
(u) du ,
a t b
a
mede o comprimento da parte de
correspondente ao intervalo a u t .
z
a, b b
s(t ) (a)
s
(t )
(b)
t a
O
y x
Observe que (a) 0 e (b) l , se l representa o comprimento total de . Portanto, a função vetorial possui como domínio o intervalo fechado a, b e contradomínio, o intervalo 0, l . Em notação funcional, : a, b 0, l t
t (t )
(u) du . a
Como
(t ) (t )
0, t [pois (t ) 0 e a norma de qualquer vetor é sempre um
valor maior ou igual a zero], a função é estritamente crescente. Portanto, é uma função injetiva no intervalo a, b sendo assim, inversível neste intervalo. Denotando-se por r sua inversa, teremos imediatamente que
Cálculo III
25
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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r 1 : 0, l a, b
r ( s) t .
A função composta h( s) r ( s) (r (s)) descreve a mesma curva que descreve, porém, com uma nova parametrização, parametrização, na qual a variável s , 0 s t , representa o comprimento de arco de h(0) (r (0)) (a) a h(l ) (r (l )) (b) . z r
1
l
b
s (t )
t r ( s)
0
a
s
(a) h(0)
(t ) h(s)
(b) h(l )
O
y
x
h r
Dizemos então que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.
Proposição 1.8.1: A reparametrização reparametrização h( s) possui as seguintes propriedades: i. ii.
h( s) 1 , para todo s 0, l ;
O comprimento do arco da curva corresponde ao intervalo 0, s é s.
Prova: Pela Regra da Cadeia,
h( s) (r ( s)) r (s) .
Por outro lado, o teorema da função inversa nos informa que r ( s)
1 (t )
1 (t )
1 (r ( s))
,
onde s (t ) .
Logo, h( s) (r ( s))
1 (r ( s))
e daí, h( s) 1 .
Quanto à segunda parte do teorema, note que, de fato, s
s
0
0
h(u) du du s .
Cálculo III
26
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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Pelo que acabamos de ver, quando uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, o tempo gasto para percorrer um arco da mesma coincide exatamente com o número que exprime o comprimento deste arco, isto é, a distância percorrida. Isto equivale a dizer que a parametrização h( s) transforma um segmento de reta (domínio de h ) numa curva de comprimento igual a ele mesmo. cos t , a sint ) , 0 t 2 pelo comprimento de Exemplo 1.8.1: Reparametrize o círculo (t ) (a cos arco.
cos t ) e Solução: Temos que (t ) (a sint , a cos s (t )
(t )
a . Assim:
t
t
a
a
(u) du adt at .
s
Daí, t r ( s) . Temos então, a
s s s h( s) r ( s) (r ( s)) a cos , a sin . a a a
Observe que h( s) 1 e que o intervalo 0,2 a – domínio da função h – tem o mesmo comprimento que o traço de h (círculo de raio a ).
Exemplo 1.8.2: Reparametrize a curva abaixo usando o comprimento de arco s como parâmetro.
(t ) t ,
3 2
t ,
1
t 0 .
,
2
13 3 Solução: Temos que (t ) . Logo: 1, ,0 e (t ) 2 2 t
s (t )
t
(u) du
0
Assim, t r ( s)
2 13
0
13 2
du
13 2
t .
3 1 2 2 s s, s , . 2 13 13 13
s e h( s) r ( s)
Mais uma vez note que h( s) 1.
Cálculo III
27
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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Observação: Como vimos se h é a parametrização pelo comprimento de arco de uma curva regular , então (t ) h(s) , onde s (t ) t a (u ) du para a t b e 0 s l , onde é o comprimento de
.
Derivando a primeira igualdade em relação a t , obtemos: (t ) h( s)
Assim,
(t ) v(t )
ds dt
h( s) ,
h( s) v(t ) , ou seja,
onde v(t ) (u) . T(t ) h( s) T(s) .
Derivando novamente esta última igualdade em relação a t , vem: T(t ) T( s)
Daí,
T(t ) T( s) v(t )
e
T(t ) T(t )
ds dt
T( s) v(t ) . T( s) v(t ) T( s) v(t )
,
ou seja,
N(t ) N(s) .
Como T(t ) T(s) e N(t ) N(s) , segue-se que B(t ) B(s) . Em geral, T(t ) e T( s) são funções diferentes, definidas em intervalos diferentes. Porém, elas dão exatamente a mesma descrição de mudança de direção do traço comum de e h, visto que em qualquer ponto da curva, os vetores T(t ) e T( s) são os mesmos, como vimos acima. Considerações Considerações análogas valem para os demais vetores do triedro de Frenet.
SEÇÃO 1.9: CURVATURA DE UMA CURVA Nesta seção, estamos interessados em obter uma maneira de avaliar o quanto uma curva se dobra (ou se curva) em cada um de seus pontos. Tentaremos dar uma medida numérica desta mudança de direção num ponto da mesma; este número será chamado curvatura da curva naquele ponto. É de se esperar que os resultados obtidos desta medida venham coincidir com as nossas experiências anteriormente adquiridas. Por exemplo, que uma reta, que não se curva em ponto algum, tenha tenha curvatura zero zero em cada ponto. ponto.
Que um círculo tenha curvatura constante, já que o mesmo se dobra do mesmo modo em cada ponto.
Cálculo III
28
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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E ainda mais, que a curvatura do círculo seja inversamente proporcional ao seu raio, já que quanto menor for seu raio, mais ele se curva.
Esta medida deve também nos informar que a curva abaixo, se curva mais no ponto A do que no ponto B. De modo geral, quanto mais a curva se dobra, maior será sua curvatura aí. A
B
Para fazer valer tais observações, lançaremos mão dos vetores tangentes à curva. Melhor dizendo, levaremos em consideração a taxa de variação do vetor tangente. Inicialmente observamos que no caso da reta, os vetores tangentes em cada ponto têm a mesma direção: a da reta. Portanto, a taxa de variação dos mesmos é nula, isto é, T( s) 0 . T( s1 )
T( s2 )
T( s3 )
T( s4 )
T( s5 )
Para uma curva mais suave, como abaixo, os vetores tangentes variam de direção em cada ponto, mas não tão bruscamente como na curva próximo ao ponto A, isto é, a taxa de variação de T( s) em , no ponto B, é bem menor que em , no ponto A. Portanto, a rapidez com que o vetor T( s) muda de direção, nos informa como a curva está se curvando num determinado ponto. Daremos então a seguinte definição.
A
B
Cálculo III
29
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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Definição 1.9.1: Seja : a, b n uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Definimos a curvatura k ( s) no ponto ( s) como sendo T( s)
k ( s)
.
O vetor T( s) é denominado vetor curvatura. Observe que este vetor é sempre ortogonal ao vetor tangente e, portanto, normal a . Se comprimento de arco, então a curvatura k (t ) é dada por T( s)
k (t )
v(t )
não
está parametrizada pelo
.
Com efeito, como T(t ) T(s) , se derivarmos a expressão em relação r elação a s, teremos T ( s)
Portanto,
T( s )
d T ds
T(t )
v(t )
,
1 d T dt . T(t ) dt ds v(t )
isto é,
k (t )
T(t )
v (t )
.
Exemplo 1.9.1: (Curvatura da reta ) Seja (t ) P t u , u 0 . Temos (t ) u
e
T(t )
(t ) (t )
u
.
u
Portanto, T(t ) 0 . Logo, k (t ) 0 para todo t .
Exemplo 1.9.2: (Curvatura do círculo ) Seja (t ) (a cost , a sin t ) , a 0 . Temos (t ) (a sin, a cost )
e
v(t ) (t )
Daí, T(t ) ( sin t , cost ) e T(t ) ( cost , sin t ) . Assim,
T(t )
a.
1 e k (t ) 1 a .
Portanto, é constante a curvatura do círculo. Além disso, vê-se que a curvatura é inversamente proporcional ao raio.
Exemplo 1.9.3: (Curvatura da hélice) Seja (t ) (a cost , a sint , bt ) , a 0 , b 0 . Temos (t ) (a sin t , a cost , b)
Logo,
T(t )
e
v(t ) (t )
a2 b2 .
a a a 2 2 sin t , 2 2 cos t , 2 2 e (t ) a b a b a b (t )
Cálculo III
30
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Prof. Sinvaldo Gama
a
T(t )
Daí,
k (t )
T(t )
v(t )
a2
b2
cos t ,
1
a2
b2
a a2
b2
sin t ,0 .
a . 2 2 2 2 a b a b a
Portanto, a hélice também possui curvatura constante, ou seja, ela se “dobra” do
mesmo modo em cada um de seus pontos.
Definição 1.9.2: Quando k (t ) 0 , 1 é denominado o raio de curvatura da curva. k (t )
Uma curva com pequena curvatura num ponto tem, nesse ponto, um grande raio de curvatura e numa certa vizinhança do mesmo, a curvatura difere pouco de uma reta. Isto permite interpretar a curvatura como uma medida da tendência para uma curva se desviar da forma retilínea. k 0 k 1
k 2 k 3 k 4
k 5
r
Das curvas acima, nos pontos que pertencem ao eixo r , teremos, genericamente, as seguintes curvaturas: 0 k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 . O teorema a seguir relaciona a curvatura, a velocidade e a aceleração.
Teorema 1.9.1: Se
descreve um movimento com velocidade escalar v(t ) (t ) e
curvatura k (t ) , então (t ) v(t ) T(t ) k (t ) v 2 (t ) N(t ) .
Prova: Do Teorema 1.6.1, sabemos que (t ) v(t ) T(t ) v(t ) T (t ) N(t ) .
Como k (t )
T(t ) v(t ) , então, T(t )
k (t ) v(t ) .
Cálculo III
31
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Portanto,
Prof. Sinvaldo Gama
(t ) v(t ) T(t ) v(t ) (k (t ) v(t )) N(t )
v(t ) T(t ) k (t ) v 2 (t ) N(t ) . O teorema a seguir apresenta outra maneira de se obter a curvatura de uma curva em termos dos vetores (t ) e (t ) .
Teorema 1.9.2: Se é uma curva regular, então k (t )
(t ) (t ) v3 (t )
.
Prova: Temos que (t ) (t ) v(t ) T(t ) v(t ) T(t ) k (t ) v 2 (t ) N(t )
v(t ) v(t ) T(t ) T(t ) k (t ) v3 (t ) T(t ) N(t ) k (t ) v3 (t ) B(t ) já que T(t ) T(t ) 0 . Como B(t ) 1 , teremos, portanto, k (t )
(t ) (t ) v3 (t )
.
SEÇÃO 1.10: TORÇÃO DE UMA CURVA Observemos que uma reta ao se curvar descreve descreve um movimento em 2 . Contudo, para que a mesma venha a descrever um movimento em 3 , faz necessário torcer tal tal curva. Na seção anterior, abordamos o problema da curvatura de uma curva. Nesta seção, cuidaremos do problema de se avaliar quanto uma curva se torce em cada ponto. Como no caso da curvatura, atribuiremos um valor numérico a esta grandeza; este número será chamado torção da curva. Resta saber agora, qual o elemento responsável por esta medida.
Cálculo III
32
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Prof. Sinvaldo Gama
A ilustração acima nos mostra uma curva regular , plana no intervalo a, b e seus respectivos vetores tangente, normal e binormal num num ponto (t ) pertencente à curva neste mesmo intervalo. Observe que a partir do ponto b (t n ) a curva sai do plano (que coincide com plano osculador da da curva no intervalo a, b ). Observemos inicialmente que se é uma curva plana, então o vetor binormal B( s) não sofre variação de direção, uma vez que B( s) é perpendicular ao plano osculador, o qual coincide, em cada ponto, com o plano da curva. Neste caso B( s) 0 . Por outro lado, se a curva sai do plano, então o vetor binormal sofre mudança de direção, pois ele será ortogonal ao novo plano osculador no novo ponto da curva. Neste caso B( s) 0 . Portanto, pela figura, deve-se deduzir que no intervalo a-b o vetor binormal não sofre variação de direção, mas somente a partir do ponto b. Com isto, pode-se concluir que B( s) indica quão rapidamente a curva se afasta do plano osculador em s, isto é, quão rapidamente a curva se torce. Analisemos melhor este vetor B( s) . i.
Como B( s) 1 , s , então B( s) é perpendicular a B( s) [Teorema 1.3.3].
ii.
Portanto, B( s) pertence ao plano osculador gerado por T( s) e N( s) . Como B( s) T( s) N(s) , segue-se que B( s) T( s) N( s) T( s) N(s) , o que indica que B( s) é perpendicular a T( s) já que T( s) N(s) 0 . De (i) e (ii) concluímos que B( s) é paralelo a N( s) , isto é, B( s) ( s) N(s) , para ( s) .
(iii)
Multiplicando-se escalarmente ambos os membros de ( iii) por N( s) , obtemos ( s) B( s) N(s) .
Cálculo III
33
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Prof. Sinvaldo Gama
Definição 1.10.1: O número ( s) é denominado torção da curva em s. Analogamente, Analogamente, se vetor N(t ) e assim
é
uma curva regular, então o vetor B(t ) é também paralelo ao
B(t ) (t ) N(t ) ,
para (t ) .
Portanto, (t ) B(t ) N(t ) . Por outro lado, como B( s) B(t ) , segue-se que B( s) B(t )
isto é,
1 dt B(t ) ds v(t )
( s) N( s)
(t ) N(t )
1
v(t )
(t ) N(t ) v(t )
(t ) N(t ) . v(t )
Como N( s) N(t ) , concluímos que (t )
( s )
mede a torção de
v(t )
em t .
Exemplo 1.10.1: (Torção da hélice) Seja (t ) (a cost , a sint , bt ) , a 0 , b 0 . Temos que (t ) (a sin t , a cost , b)
Agora,
T(t )
a a2
T(t )
sin t ,
b2 a a2
v(t ) (t )
e
b2
T(t )
a a2
b2
a
cos t ,
cos t ,
a2
a a2
b2
b2
a2 b2 .
, 2 2 a b a
sin t ,0 e
.
Portanto, N(t ) ( cost , sin t ,0) . Por outro lado,
B(t ) T(t ) N(t )
b a2
b2
sin t ,
Cálculo III
b a2
b2
cos t ,
. 2 2 a b a
34
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
b
B(t )
Daí,
Prof. Sinvaldo Gama
a2
cos t ,
b2
e assim,
b a2
b2
sin t ,0
b
(t )
a
2
b
2
b a2
b2
N(t )
.
Portanto, a torção da hélice é constante em cada ponto e vale (t )
(t ) v(t )
1
a2
b2
b . 2 a b2 a 2 b 2 b
Expressaremos Expressaremos a seguir as derivadas T , N e B em termos dos vetores
T
, N e
B
.
Teorema 1.10.1: ( Fórmulas Fórmulas de Frenet ) Se : (a, b) 3 é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura k ( s) 0 e torção ( s) , então, para cada s, i.
T( s) k ( s) N(s) ;
ii.
N( s) k ( s) T( s) ( s) B(s) ;
iii.
B( s) ( s) N(s) .
Prova: (i) Como N( s)
T( s) T( s)
T( s)
k ( s)
, então T( s) k ( s) N(s) .
(ii) Sendo {T, N, B} uma base de 3 , então existem escalares a, b e c tais que: N a T b N c B .
Assim,
N T a T T b N T c B T a N N a T N b N N c B N b . N B a T B b N B c B B c
Encontraremos agora estes coeficientes. Diferenciando a identidade
N T 0 , obtemos:
N T N T 0 N T N T N (k N) k .
Portanto, a k . Por outro lado, visto que
N( s )
1 , então N( s) N(s) 0 e assim b 0 .
Finalmente, como N B 0 para todo s, então N B N B 0 N B N B N ( N) .
Portanto, c e
N k T B .
Cálculo III
35
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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(iii) Esta relação já foi estabelecida anteriormente anteriormente quando definimos torção de uma curva. Resultados parecidos com as fórmulas acima podem ser obtidos para as curvas : (a, b) 3 não necessariamente parametrizadas pelo comprimento de arco. É o que mostra o teorema seguinte.
Teorema 1.10.2: Se
: (a, b) 3 é
uma curva regular com curvatura k (t ) 0 , torção (t )
e velocidade escalar v(t ) (t ) , então i.
T(t ) k (t ) v(t ) N(t ) ;
ii.
N(t ) k (t ) v(t ) T(t ) (t ) v(t ) B(t ) ;
iii.
B(t ) (t ) v(t ) N(t ) .
Prova: (i)
Seja h a reparametrização do traço de T( s) T(t ) , onde t r ( s) . Daí, d T ds
T(t )
dt ds
T(t )
1 v(t )
pelo
comprimento de arco. Sabemos que
T(t ) N(t )
1 v(t )
k (t ) N(t ) .
Portanto, T(t ) k (t ) v(t ) N(t ) .
r ( s) , então (iii) Como B( s) B(t ) , t B( s) B(t )
dt ds
1 1 B(t ) (t ) N(t ) (t ) N(t ) . v(t )
v(t )
Por conseguinte, B(t ) (t ) v(t ) N(t ) . (ii) Façamos N a T b N c B . Segue-se que N T a ,
N N b
e
N B c .
Como N T 0 , para todo t , então N T N T 0 e assim, a N T N T N (k v N) k v .
Por outro lado,
N (t )
Finalmente, sendo
1 para todo t , então N N 0 e assim b 0 .
N B 0 para todo t , segue-se que N B N B 0
e, portanto,
c N B N B N ( v N) v .
Cálculo III
36
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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Daí, N k v T v B . O próximo teorema mostra outra maneira de se avaliar a torção de uma curva em termos os vetores , e .
Teorema 1.10.3: Se : (a, b) 3 é uma curva regular, então (t )
(t ) (t ) (t ) (t ) (t )
2
.
Como observamos no início desta seção, se é uma curva plana, então sua torção 0 ; se 0 , a curva torce, saindo de seu plano osculador. Portanto, é de se esperar que quando for identicamente nula, a curva permaneça sempre no mesmo plano. Formalizaremos a seguir este fato que caracteriza as curvas planas.
Teorema 1.10.4: Seja : (a, b) 3 é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura k ( s) 0 , para todo s. Então é uma curva plana se, e somente se, sua torção ( s) 0 , para todo s. Prova: Suponhamos
inicialmente que é uma curva plana. Já observamos anteriormente que, neste caso, em cada ponto o plano osculador coincide com o plano da curva. Como o vetor B( s) T( s) N(s) é ortogonal ao plano osculador e, portanto ao plano da curva, seguese que B( s) é constante e como tal, B( s) 0 . Por conseguinte, ( s) 0 , s .
Reciprocamente, Reciprocamente, suponhamos que ( s) 0 , s . Isto significa que B( s) 0 e desta forma, B( s) é um vetor constante. Afirmamos que está contida no plano que passa por (c) , a c b , e é ortogonal a B( s) . Precisamos, pois, provar que
( ( s) (c)) B(s) 0 ,
s .
Consideremos a função real f definida definida por f ( s) ( ( s) (c)) B(s) .
Temos que, f ( s) ( s) B( s) ( ( s) (c)) B( s) ( s) B(s) 0 , pois ( s) T(s) e parametrizada pelo pelo comprimento de arco. arco.
está
Como f (c) 0 , então, f ( s) 0 , para todo s, o que demonstra nossa afirmação. O teorema seguinte constitui uma caracterização do círculo.
Cálculo III
37
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
Teorema 1.10.5: Seja
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: (a, b) 3 é uma curva plana parametrizada pelo comprimento de
arco com curvatura constante k 0 . Então
Prova: ,
é um arco de círculo de raio
1
k
.
Devemos provar que existe um ponto c tal que a distância de ( s) a c é
1
k
, para todo
isto é, ( s) c
1 k
.
Isto nos motiva escrever ( s) c
onde
u é um vetor unitário, o
1 k
u
1 k
u
,
que sugere que se
1 ( s) c u k
c ( s)
então
1 k
u.
Tomemos u N( s) e consideremos a função ( s) ( s)
Temos então
( s) ( s)
1 k
1 k
N(s) .
N( s) T( s)
1 k
N(s) .
Como N( s) k ( s) T( s) ( s) B( s) k ( s) T(s) , pois é plana, então ( s) T( s)
1 k
(k ( s) T(s)) ,
s .
Portanto, a curva é constante, isto é, ( s) T( s)
1 k
N( s) c ,
s .
Por outro lado, a distância de ( s) ao ponto c é d ( ( s ),c )
( s) c
1
k
N( s)
1
. k
O teorema acima também vale se não está parametrizada pelo comprimento de arco (verifique!). Cálculo III
38
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real
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s s s Exemplo 1.10.1: Mostre que a curva ( s) 4 sin ,1 5 cos ,3 sin é um círculo.
5
5
5
Ache o centro e o raio do mesmo.
Solução: Inicialmente, observemos que z 3 sin( 5s ) ,
é
uma curva plana. De fato, sendo x 4 sin(5s ) e
segue-se que z 34 x é o plano que a contém. Calculemos a curvatura de
.
Temos que 4 s s 3 s ( s) cos , sin , cos . 5 5 5 5 5 ( s)
Daí,
2
16 25
s 5
s 9 cos2 s cos2 s sin 2 s 1 . 5 25 5 5 5
cos2 sin 2
Assim, T( s) (s) . Então, 4
s 1 s 3 s sin , cos , sin . 25 5 5 5 25 5
T( s)
Portanto,
k ( s ) T( s)
s 1 s 9 s sin 2 cos 2 sin 2 625 5 25 5 625 5 16
25 625 625
s 1 cos2 s 1 0 , 5 25 5 5
sin2
s .
Logo é um círculo de raio 5 e centro no ponto c ( s)
1 k
N(s)
s s s 4 s s 3 s 4 sin ,1 5 cos ,3 sin 5 sin , cos , sin (0,1,0) . 5 5 5 5 5 5 5 5
Cálculo III
39
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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CAPÍTULO 2 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ( f : n ) SEÇÃO 2.1: FUNÇÕES E GRÁFICOS Neste capítulo estudaremos as funções reais definidas sobre subconjuntos de n , ou seja, as funções reais de várias variáveis reais. Muitos fenômenos que ocorrem na natureza são traduzidos por funções que, geralmente, não dependem de uma só, mas de duas, três ou mais variáveis independentes. Por exemplo, o volume de um gás depende de dois valores, a saber, a pressão e a temperatura; é, portanto, uma função de duas variáveis, conforme indica a equação de estado dos gases ideais: PV nRT , onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e n e R são constantes. O volume de um cilindro, V r 2 h é uma função que depende de duas variáveis: o raio r da base e a altura h do cilindro. Com frequência, funções de várias variáveis surgem também na biologia, física, matemática e engenharia. Estes fatos justificam, pois, um estudo detalhado de tais funções. Estudaremos neste capítulo, conceitos como limite, continuidade e derivabilidade dessas funções. Mais adiante, serão estudados conceitos como máximos, mínimos e integração, dentre outros.
Definição 2.1.1: Seja D um subconjunto de n , X um um ponto de D e y um número real. Uma função f : D X y f ( X )
é denominada uma função real de n variáveis reais. Visto que X ( x1 , x2 ,..., xn ) , escrevemos f ( X ) ou f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Se X 2 , escrevemos f ( x, y) em vez de f ( x1 , x2 ) e f ( x, y, z ) em vez de f ( x1 , x2 , x3 ) . O conjunto D é o domínio de f e e será denotado por D f e o conjunto Im( f ) { f ( X ) ; X D f }
é a imagem de f .
Definição 2.1.2: Se f é é uma função real de uma variável, o gráfico de f é é o subconjunto de 2 definido por Gr ( f ) {( x, y) 2 ; y f ( x)}
Cálculo III
40
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Semelhantemente, se f é uma função real de duas variáveis, o gráfico de f é o subconjunto do 3 , definido por Gr ( f ) {( x, y, z ) 3 ; z f ( x, y)}
Como meio de aumentar a compreensão pela visualização, um gráfico é útil apenas para as funções f : D ou g : : E 2 . No Cálculo I, representamos, geometricamente, as funções reais de uma variável por curvas; para as funções reais de duas variáveis, em geral, elas são representadas geometricamente por meio de superfícies. Em nosso estudo, examinaremos apenas funções cujos gráficos têm tal representação. Uma maneira de melhor esboçá-los é através dos chamados conjuntos de nível de f , que são subconjuntos do domínio de f sobre os quais f é constante.
Definição 2.1.3: Seja f : D n uma função e seja k um um elemento da imagem de f . O conjunto S k { X D; f ( X ) k }
é denominado um conjunto de nível de f associado a k . f
D
S k
f (S k ) k
i.
Se f : D 2 , S k {( x, y) D; f ( x, y) k } é denominado uma curva de nível de f associada a k .
ii.
Se f : D 3 , S k {( x, y, z ) D; f ( x, y, z ) k } é chamado uma superfície de nível de f associada a k .
Observe que se f : D 2 , os conjuntos de nível de f são as interseções do k . gráfico de f com os planos z
Cálculo III
41
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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SEÇÃO 2.2: LIMITE E CONTINUIDADE Definição 2.2.1: Seja X 0 n e r um número real positivo. Denominamos bola aberta de centro X 0 e raio r , o conjunto B( X 0 ; r ) { X 0 n ; X X 0
r }
i.
Se n 1 , B( X 0 ; r ) é o intervalo aberto ( X 0 r , X 0 r ) ;
ii.
Se n 2 , B( X 0 ; r ) é o círculo de centro X 0 e raio r , excetuando-se sua circunferência;
iii.
Se n 3 , B( X 0 ; r ) é a esfera centrada em X 0 e raio r , excetuando-se sua superfície;
r
X 0
3
2
r
X 0
r
r
Analogamente, denominamos bola fechada de centro X 0 e raio r o o conjunto B X 0 ; r { X 0 n ; X X 0
r }
i.
Se n 1 , B X 0 ; r é o intervalo fechado X 0 r , X 0 r ;
ii.
Se n 2 , B X 0 ; r é o círculo de centro X 0 e raio r ;
iii.
Se n 3 , B X 0 ; r é a esfera centrada em X 0 e raio r ;
r
X 0
r
3
2
X 0
r
r
Definição 2.2.2: Um subconjunto D do 2 é aberto quando em cada ponto X 0 D existe uma bola aberta B( X 0 ; r ) contida em D.
Cálculo III
42
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
Definição 2.2.3: Um subconjunto D do n é dito limitado se existe uma bola aberta de raio r 0 centrada na origem que o contenha. Caso contrário, D é dito ilimitado.
D
r
Definição 2.2.4: Dizemos que um ponto X 0 é interior a um subconjunto D do n se X 0 D e se existe alguma bola aberta B( X 0 ; r ) centrada em X 0 e contida em D.
r
D
X 0
Definição 2.2.5: Dizemos que um ponto X 0 é exterior a um subconjunto D do n se X 0 D e se existe alguma bola aberta B( X 0 ; r ) centrada em X 0 e tal que B( X 0 ; r ) D . D
r
X 0
Definição 2.2.6: Dizemos que X 0 é um ponto fronteira de um subconjunto D do n se X 0 não é nem interior e nem exterior a D.
Cálculo III
43
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Ex.:
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y
y B
A X 0
0
(0, y), y 0 x
x
0
A {( x, y) 2 ; x 0, y 0} B {( x, y) 2 ; x 0}
Nota: O conjunto de todos os pontos fronteira de um conjunto é chamado fronteira do conjunto. Quando todos os pontos fronteira de um conjunto pertencem a ele, o mesmo é chamado um conjunto fechado (na figura, X 0 é ponto fronteira e B é um conjunto fechado ). Definição 2.2.7: Seja D um subconjunto aberto do n e f uma função definida em D exceto possivelmente em X 0 D . Dizemos que f tem limite L em torno do ponto X 0 e escrevemos lim f ( X ) L
X X 0
se dado um número real 0 qualquer, existe um número real 0 tal que quando 0 X X 0
, X D , então
f ( X ) L
.
Com outras palavras, dado 0 , existe uma bola aberta B( X 0 ; r ) D , centrada em X 0 e de raio tal que
Se X B( X 0 ; r ); X X 0 , então f ( X ) B( L; ) ( L , L ) . D
f
r
L
X 0
L
L
Pergunta: O que significa dizer que a função f não tem limite L em torno de X 0 ? Resposta: Significa que existe um número real 0 tal que para todo 0 , existem pontos X B( X 0 ; r ) para os quais f ( X ) L . Cálculo III
44
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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D
r
X 0
L
L
L
Nem sempre é tarefa fácil provar a existência do limite de uma função usando-se a definição de limite. Uma dificuldade que se apresenta é que tal definição não nos indica como obter o limite que ele existe. Observe que a definição, para ser usada, requer o conhecimento prévio do limite (!). Faremos a seguir uma lista de certas propriedades dos limites que nos indicará uma técnica para o cálculo do limite de uma função a partir do conhecimento do limite de outras funções. Mais precisamente, temos o seguinte teorema:
Teorema 2.2.1: Sejam f , g e h funções definidas no subconjunto aberto D de n , exceto g ( X ) M , então possivelmente em em X 0 D . Se lim f ( X ) L e lim X X X
0
i. ii.
iii.
X 0
lim ( f ( X ) g ( X )) lim f ( X ) lim g ( X ) L M ;
X X 0
X X 0
X X 0
lim ( f ( X ) g ( X )) lim f ( X ) lim g ( X ) L M ;
X X 0
X X 0
X X 0
f ( X ) f ( X ) X lim L X lim , se M 0 ; X X g ( X ) g ( X ) M X lim X 0
0
0
iv.
Se lim f ( X ) 0 e g é é limitada, isto é, g ( X ) M 0 para todo X em em alguma bola X
X 0
aberta centrada em X 0 , então lim ( f ( X ) g ( X )) 0 ; X X 0
v.
Se f ( X ) g ( X ) , para todo X D { X 0} , então lim f ( X ) lim g ( X ) ;
vi.
Se f ( X ) h( X ) g ( X ) , para todo X D { X 0} e lim f ( X ) lim g ( X ) L , então
X X 0
X X 0
X X 0
X X 0
h possui limite em X 0 e lim h( X ) L . X X 0
CONTINUIDADE Grosso modo, uma função contínua é aquela cujos valores não sofrem variações bruscas, isto é, se X está está próximo de X 0 então f ( X ) deve estar próximo de f ( X 0 ) . Como se observa essa ideia está relacionada ao conceito de limite. Entretanto, isso não significa dizer que se uma função tem limite em torno de um ponto, que neste ponto ela seja contínua, uma vez que na definição de limite não se exige que a função esteja definida no ponto no qual estamos considerando considerando o limite. l imite. Mais precisamente, temos a seguinte definição:
Cálculo III
45
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Definição 2.2.8: Seja D um subconjunto do n , X 0 D e f : D uma função. Dizemos que f é é contínua em X 0 se lim f ( X ) f ( X 0 )
X X 0
isto é, dado 0 qualquer, existe 0 tal que se X X 0 , X D , então f ( X ) f ( X 0 ) . Diz-se que f é contínua em D quando f é contínua em cada ponto de D.
Teorema 2.2.2: Seja D um subconjunto aberto do n . Se f , g : D são funções contínuas em X 0 D , então são também contínuas em X 0 as funções f g , f g e f / g desde que g ( X 0 ) 0 .
Teorema 2.2.3: (Continuidade da função composta ). Seja D um subconjunto aberto do n . Se f : D é uma função contínua em X 0 D e se : I é contínua em f ( X 0 ) y0 I , onde f ( D) I , então f : D é contínua em X 0 .
Prova:
D
f
'
y0
y0 f ( X 0 )
X 0
y0
z 0
z 0 f ( X 0 ) ( f ( X 0 ))
z 0
Como é contínua em y0 f ( X 0 ) , dado 0 existe 0 tal que, se y y0 , y ( y0 , y0 ) , então ( y) ( y0 ) . Portanto, se f ( X ) f ( X 0 )
, y ( y0 , y0 ) , então
( f ( X )) ( f ( X 0 ))
.
Como f é é contínua em X 0 , dado 0 , podemos encontrar um ' 0 tal que, se X X 0 ' , X D , então f ( X ) f ( X 0 ) e assim ( f ( X )) ( f ( X 0 )) .
Cálculo III
46
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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n Mostraremos no próximo teorema que todo funcional linear de em é contínuo
em todo ponto de n .
Teorema 2.2.4: Se T : : n é um funcional linear , então
k
para algum inteiro k n ;
i.
T ( X )
ii.
T é é contínuo em todo ponto do
X
n .
Prova: (i) Seja {e1 , e2 ,..., en } a base canônica de
X x1 e1 x2 e2 xn en
e
n . Se X ( x1, x2 ,..., xn ) , então
T ( X ) x1 T (e1) x2 T (e2 ) xn T (en )
pois T é é linear . Daí, T ( X )
x1 T (e1 ) x2 T (e2 ) xn T (en ) .
Como xi X , i 1,..., n , então T ( X ) X T (e1 ) T (e2 ) T (en ) . Fazendo k T (e1 ) T (e2 ) T (en ) , obtemos T ( X ) k X . (ii) T ( X ) T ( X 0 ) T ( X X 0 ) k X X 0 , pelo item anterior. Portanto, dado 0 , tome k .
A continuidade de várias funções pode ser deduzida facilmente com a aplicação repetida dos dois seguintes corolários.
Corolário 2.2.1: As funções P 1 : 2 X P 1( X ) x ,
e 2 P 2 :
X P 2 ( X ) y
são contínuas em 2 , onde X ( x, y) . Prova:
Observe que P 1 e P 2 são funcionais lineares e, portanto, pelo teorema anterior, são
contínuas em 2 . Mais geralmente, as funções P i : : n
Cálculo III
47
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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X P i ( X ) xi , onde X ( x1 ,..., xi ,..., xn ) .
são contínuas em n , pois são funcionais lineares.
Corolário 2.2.2: As funções S : X S ( X ) x y , 2
P : X P ( X ) xy 2
e
são contínuas em 2 , pois são funcionais lineares. Prova:
Como S é é um funcional linear, pelo teorema 2.4, S é é contínuo (S P 1 P 2 ) . Quanto à
função P , observe que P P 1 P 2 .
SEÇÃO 2.3: DERIVADAS PARCIAIS n Para estendermos as técnicas do Cálculo às funções definidas em precisamos do
conceito de derivada parcial . Comecemos com uma função real
f , definida em
2 , isto é,
f : D 2
( x, y) z f ( x, y)
Se fixarmos uma das variáveis, digamos
y y0 , obteremos uma função
( x) f ( x, y0 ) que depende de uma única variável x .
Definição 2.3.1: A derivada da função ( x) no ponto x0 , isto é, ' ( x0 ) lim h0
( x0 h) ( x0 )
h
lim h0
f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) h
quando existe, é chamada a derivada parcial de f em relação a x no ponto X 0 ( x0 , y0 ) .
Notações: ' ( x0 )
f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) D x f ( x0 , y0 ) D1 f ( x0 , y0 ) . x
Pergunta: Qual é o efeito, no domínio de f , ao restringirmos a variável y y0 ? Resposta: AB na figura abaixo). O domínio de f fica reduzido a um segmento de reta (segmento AB
Cálculo III
48
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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y
D
A
X 0 y y0
B
x
x0
Pergunta: Qual o efeito, no gráfico de f , ao restringirmos a variável y y0 ? Resposta: O gráfico de f fica reduzido à curva ( x) ( x, y0 , f ( x, y0 )) a qual é justamente a interseção do gráfico de f (que é uma superfície) com o plano y y0 . Note também que a curva gráfico da função .
éo
z
( x) ( x, y0 , f ( x, y0 ))
y y0
y
x
Nota: Observe que ( x0 h, y0 ) ( x0 , y0 ) h (1,0) X 0 he1 , onde e1 = (1,0). Como sabemos a expressão X 0 he1 , h representa a equação de uma reta que passa pelo ponto X 0 e é paralela ao vetor e1 . No caso em questão, devemos restringir os valores de h de modo que X 0 he1 fique contida no domínio D da função f .
Cálculo III
49
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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y
g ( X ) X 0 he1
X 0
y 0
0
e1
x
x0
Podemos então escrever: f ( X 0 he1 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) lim h0 h x
e deste modo ao calcularmos a derivada f x ( X 0 ), estamos restringindo o domínio de f a a um segmento de reta que passa por X 0 e tem direção do vetor e1 e calculando aí a sua taxa de variação.
Definição 2.3.2: A derivada da função ( x) no ponto x0 , isto é, ' ( x0 ) lim h 0
( y0 h) ( y0 )
lim h 0
h
f ( x0 , y0 h) f ( x0 , y0 ) h
quando existe, é chamada a derivada parcial de f em relação a y no ponto X 0 ( x0 , y0 ) . f Notações: ' ( x0 ) ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) D y f ( x0 , y0 ) D2 f ( x0 , y0 ) . y
Pergunta: Qual é o efeito, no domínio de f , ao restringirmos a variável x x ? Resposta: O 0
domínio de f fica reduzido a um segmento de reta (segmento MN na figura abaixo). y M D
y0
X 0
x x0 N
Cálculo III
x
50
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
Pergunta: Qual o efeito, no gráfico de f , ao restringirmos a variável x x0 ? Resposta: O gráfico de f fica reduzido à curva ( x) ( x0 , y, f ( x0 , y)) a qual é justamente a interseção do gráfico de f (que é uma superfície) com o plano x x0 . Note também que a curva é o gráfico da função . Note também que a curva
é o gráfico da função .
z
( x) ( x0 , y, f ( x0 , y))
y
x x0 x
Nota: Observe também que ( x0 , y0 h) ( x0 , y0 ) h (0,1) X 0 he2 , onde e1 = (0,1). A expressão X 0 he2 , h representa a equação de uma reta que passa pelo ponto X 0 e é paralela ao vetor e2 . No caso em questão, devemos restringir os valores de h de modo que X 0 he2 fique contida no domínio D da função f . y
h( X ) X 0 he2
y 0
X 0
e2
0
x0
x
Podemos então escrever: f ( X 0 he2 ) f ( X 0 ) f , ( X 0 ) lim h0 h y
Cálculo III
51
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
f y ( X 0 )
isto é, calcular
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significa obter a taxa de variação de f ao longo do segmento de reta
que passa por X 0 e tem direção do vetor e2 .
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Assim como o valor da derivada ordinária num ponto é o declive da reta tangente ao gráfico naquele ponto, a derivada parcial f x ( x0 , y0 ) é o declive, no ponto ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) , da reta tangente à curva ( x) ( x, y0 , f ( x, y0 )) descrita no início desta seção. Analogamente, podemos observar que
f y ( x0 ,
y0 ) é
o declive, no ponto ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) , da reta tangente à
curva ( y) ( x0 , y, f ( x0 , y)) . (veja os gráficos correspondentes nas páginas 52 e 53.)
PLANO TANGENTE Definição 2.3.3: Definimos o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) , como sendo o plano definido pelos vetores tangentes, ( x0 ) e ( y0 ) , respectivamente, às curvas
e neste ponto. z
N
y0
y
x0 x
X 0
( x0 , y0 )
EQUAÇÃO DO PLANO TANGENTE Sejam ( x) ( x, y0 , f ( x, y0 )) e ( y) ( x0 , y, f ( x0 , y)) . Os vetores tangentes a e são, respectivamente: ( x0 ) (1 ,0, f x ( x0 , y0 ))
e
Cálculo III
( y0 ) (0, 1, f y ( x0 , y0 ))
52
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
Agora, seja N ( x0 ) ( y0 ) f x ( x0 , y0 ) i f y ( x0 , y0 ) j k
o vetor normal ao plano tangente . Então a equação do mesmo será: (( x, y, z ) ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1) 0 , ou seja,
( x x0 ) f x ( X 0 ) ( y y0 ) f y ( X 0 ) ( z f ( X 0 )) 0 , para X 0
( x0 , y0 ) .
DERIVADAS PARCIAIS E CONTINUIDADE Sabemos que se uma função real de uma variável é derivável num ponto, então ela é contínua nesse ponto. O exemplo seguinte mostra-nos que a existência das derivadas parciais num ponto, não implica necessariamente a continuidade da função nesse ponto.
xy ; f ( x, y ) x 2 y 2 0 ;
A função
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
possui derivadas derivadas parciais em (0,0) mas f não é contínua neste ponto. Com efeito, f x (0,0) lim h0
f y (0,0) lim k 0
f (0 h,0) f (0,0) h f (0,0 k ) f (0,0) k
lim h
0
lim k 0
00 h 00 k
0 0
Por outro lado, f ( x,0) 0 e f ( x, x) 12 . Portanto, não existe
lim f ( x, y) e f não
( x , y )( 0, 0)
é contínua em (0,0) . Do exposto, resulta que o conceito de derivada parcial, embora seja uma ideia bastante útil, não é uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis reais. Acreditamos que uma boa generalização deverá implicar na continuidade da função, porque isso é o que acontece no caso das funções reais de uma variável.
DERIVADAS PARICIAIS DE ORDEM SUPERIOR Podemos repetir indefinidamente a operação que consiste em calcular derivadas de uma função, contanto que as derivadas existam. Usaremos as seguintes notações: f f x ; x f 2 f f xx ; ii. x x x 2 i.
Cálculo III
53
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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f 2 f 2 f yy ; iii. y y y iv.
f 2 f f ; y x x y xy
f 2 f f yx ; v. x y x y
2 f 3 f 2 f yyx . vi. x y x y 2
Exemplo 2.3.1: Seja f ( x, y, ) 4 x5 y3 5 xy7 x . Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f . Solução:
f x 20 x4 y3 5 y7 1 ;
f y 12 x y 35 xy 5
f xx 80 x3 y3 ; f xy
2
6
;
5 5 f yy 24 x y 210xy ;
60 x 4 y 2 35 y 6 ;
f yx
60 x 4 y 2 35 y 6 .
Note que f xy f yx , para todo ( x, y) 2 . 2 f 2 f Exemplo 2.3.1: Seja f ( x, y, ) 2 2 ( x y ) . Determine e . x y y x x y 1
f ( x2 y 2 ) 2 2 x Solução: x
f ( x2 y 2 ) 2 2 y y
2
e
2
1
2 f 8 xy 2 x(2)( x2 y 2 )3 2 y 2 . ( x y 2 )3 y x 2 f 8 xy 2 y(2)( x 2 y 2 )3 2 x 2 . y x ( x y 2 )3
e
Note mais uma vez vez a igualdade igualdade entre as derivadas derivadas parciais mistas, mistas, isto é, f xy f yx . Em geral, não é certo que f xy f yx (basta, para isso, que a função considerada seja descontínua em algum ponto de ). Contudo, sob hipóteses de continuidade, estas duas derivadas parciais mistas são iguais. No teorema seguinte se estabelecerá este resultado. 2
Teorema 2.3.1: Seja D um subconjunto aberto de 2 e
f : D uma
função tal que f xy e
f yx são contínuas em D. Então
f xy
f f f yx . x y y x
Cálculo III
54
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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SEÇÃO 2.4: R EGRA EGRA DA CADEIA (1ª VERSÃO) Teorema 2.4.1: Seja f : D n uma função cujas derivadas parciais existem no ponto X 0 D . Seja : I uma função real diferenciável em y0 f ( X 0) I , onde f ( D) I . Então f : D tem derivadas parciais em X 0 e ( f ) f ( X 0 ) ( f ( X 0 )) ( X 0 ) . xi xi Prova: Por
comodidade, consideraremos consideraremos f : D 2 . y
D 2
y0
0
f
X 0
y0 f ( X 0 )
z 0 ( y0 )
x
x0
h f
Fazendo y y0 , tem-se h( x, y0 ) ( f ( x, y0 )) ( ( x))
onde ( x) f ( x, y0 ) . Assim, h f f ( X 0 ) ( ( x)) ( x) ( f ( x0 , y0 )) ( x0 , y0 ) ( f ( X 0 )) ( X 0 ) x x x
onde X 0 ( x0 , y0 ) . Analogamente, h f ( X 0 ) ( f ( X 0 )) ( X 0 ) . x x
SEÇÃO 2.5: DERIVADA DIRECIONAL Como vimos na Seção 3, a derivada parcial de uma função real mede a taxa de f ( x, y) , então f x variação da função numa certa direção coordenada. Por exemplo, se z mede a taxa de variação de f em em relação a x, na direção do vetor e1 (1,0) e f y mede a taxa de Cálculo III
55
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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variação de f em em relação a y, na direção do vetor e2 (0,1) . Geometricamente, elas descrevem o comportamento de f (crescimento (crescimento e decrescimento) quando, a partir do ponto caminhamos na direção do eixo dos x ou na direção do eixo dos y. Quando desejamos medir a taxa de variação da função f numa numa direção arbitrária, usamos a derivada direcional .
Definição 2.5.1: Seja f : D n , D aberto, e seja u um vetor unitário do n . A derivada direcional de f no no ponto X 0 na direção u, denotada por f u ( X 0 ) , é o limite f ( X 0 tu) f ( X 0 ) f ( X 0 ) lim . t 0 t u y D
X 0
y0
X (t ) X 0
tu
u x
x0
Como D é aberto, X 0 tu D para valores de t suficientemente pequenos. O domínio de
f u
é o subconjunto do domínio de f para para o qual o limite limit e acima existe.
Observação: Consideremos a reta (t ) X 0 tu, a t b , onde a e b são escolhidos de tal maneira que a imagem de
esteja contida em D. y
I
D b
X 0
y0
t
(t ) f
k
u
a
x0
x
Seja g (t ) f (t ) f ( (t )) f ( X 0 tu) , com X 0 tu D . Temos, g (0) f ( X 0 ) e g (0) lim t 0
g (t ) g (0) t 0
lim t 0
f ( X 0 tu) f ( X 0 ) t
, isto é, g (0)
f ( X 0 ) . u
DERIVADA DIRECIONAL E CONTINUIDADE Cálculo III
56
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Tivemos oportunidade de observar na Seção 3, que uma função pode ter derivadas em um ponto e a mesma não ser contínua neste ponto. O fato surpreendente é que mesmo sendo a derivada direcional uma generalização do conceito de derivada parcial, uma função pode ter num ponto derivadas direcionais em todas as direções e deixar de ser contínua neste ponto. Por exemplo, considere a função xy 2 ; f ( x, y) x 2 y 4 0 ;
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
Seja X 0 (0,0) e u (a, b) 2 um vetor unitário qualquer. Então temos: f ( X 0 tu) f ( X 0 ) t
f (tu) f (0,0) t
f (ta, tb) f (0,0) t
1 t at 2b 2
t ab 2 ab 2 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 . t t a t b t (a t b ) a t b Fazendo t 0 , encontramos
f f ab b , se ( X ) (0,0) u u a a 2
0
2
2
a
0
.
Se a 0 , entretanto, f (0, tb) f 1 0 lim (0,0) lim 0. t 0 t 0 t 0 t 4b 4 u t
Por conseguinte, f u (0,0) existe para todas as direções u. Por outro lado, f assume assume o valor ½ em cada ponto da parábola x y 2 (exceto na origem), de forma que, claramente, f não é contínua em (0,0) uma vez que f (0,0) 0 . Este exemplo nos mostra que derivadas direcionais bem como derivadas parciais não são generalizações completamente satisfatórias, em n , da noção de derivada em .
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA DERIVADA DIRECIONAL Lembramos que a derivada parcial de f em em relação a x é a inclinação da tangente à curva a qual a superfície é interceptada por um plano perpendicular ao plano xy, e paralelo ao vetor e1 = (1,0). Da mesma forma, a derivada direcional da função f numa numa direção u, num x0, y0), dá a inclinação da reta tangente à curva segundo a qual a superfície é ponto X 0 = ( x interceptada por um plano perpendicular ao plano xy e paralelo ao vetor u.
Cálculo III
57
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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z
X 0
X (t ) X 0 ut
y u x
Sendo θ o o ângulo dessa tangente com o plano xy, isso significa que
f ( X ) tan u 0 Esta derivada é positiva se f ( X ) cresce à medida que X se se desloca, a partir de X 0 , na direção do vetor u, e negativa se f ( X ) decresce.
SEÇÃO 2.6: FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS O propósito desta seção é fornecer uma generalização adequada do conceito de derivada de uma função real de uma variável. Quando estudamos a diferenciação de funções de várias variáveis, considerando-as como uma função de uma única variável (mantendo todas as outras fixas), isto nos levou ao conceito de derivada parcial. Na generalização de um conceito, esperamos manter as propriedades consideradas consideradas importantes; no caso em questão, por exemplo, que a existência da derivada de f implique implique na continuidade. Como observamos anteriormente, nem as derivadas parciais nem tampouco a derivada direcional preenchem este propósito. Passaremos, a seguir, a motivar uma definição de diferenciabilidade em que preencha os requisitos necessários para uma boa generalização do conceito de derivada em . n
DIREFENCIABILIDADE EM Lembramos que uma função número a tal que
f : é
Cálculo III
diferenciável em x0 se existe um
58
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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lim
f ( x0 h) f ( x0 )
h 0
h
a.
Esta equação certamente deixa de ter sentido no caso de uma função definida em n , pois estaríamos a dividir por um vetor. Nossa tarefa a seguir, é a de obter uma forma equivalente de diferenciabilidade em que seja passível de generalização. Para isso, consideremos a função r (h) definida por r (h)
f ( x0 h) f ( x0 ) h
onde a f ( x0 ) .
a,
Segue-se que, lim r (h) 0 e h 0 f ( x0 h) f ( x0 ) ah hr (h) f ( x0 h) f ( x0 ) ah hr (h)
ou
Fazendo hr (h) R(h) , obtemos r (h)
R(h) h
. Assim,
f ( x0 h) f ( x0 ) ah R(h) ,
ou equivalentemente, equivalentemente, lim h0
R(h) h
R(h)
onde lim h0
h
0
0.
Por outro lado, sabemos que é um espaço vetorial e que as aplicações lineares de em são da forma T ( x) T (1 x) x T (1) b x
onde b T (1) é uma constante real e determina T , sendo única para cada aplicação linear de em . Desta forma, o termo ah que aparece na fórmula acima pode ser interpretado como sendo o valor de h da aplicação linear T :
x T ( x) ax ,
onde a f ( x0 ) .
Por conseguinte, podemos também considerar a derivada de f em x0 não como um número, mas como uma aplicação linear que que transforma x em ax . Sob este ponto de vista daremos a seguir outra definição de diferenciabilidade de uma função.
Cálculo III
59
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Definição 2.6.1: Dizemos que
f
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é diferenciável em x0 se existe um número real a e
uma aplicação linear T : , dada por T ( x) ax , tal que f ( x0 h) f ( x0 ) T (h) R(h) ,
R(h)
onde lim h0
h
0.
T é é a chamada diferencial ou derivada de f em que também denotamos por f ( x0 ) .
Observe que fizemos uma mudança na nomenclatura: para nós agora, é a aplicação linear T ( x) ax que será chamada de derivada de f no ponto x0 e não o número a f ( x0 ) , como temos até agora usado. É evidente que a existência da aplicação linear exigida na definição acima, está condicionada à existência do número a f ( x0 ) e vice-versa, como facilmente se verifica. Esta troca de nomenclatura se prende à facilidade de expressão que teremos quando passarmos a considerar questões de diferenciabilidade de funções definidas em n .
DIREFENCIABILIDADE EM n Estamos agora em condições de definir diferenciabilidade para funções de duas ou mis variáveis.
Definição 2.6.2: Seja f : D n , D aberto e X 0 D . Dizemos que
f é
diferenciável
funcional linear T : : n tal que em X 0 , se existir um funcional linear
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T ( H ) R(H ) ,
R( H )
Note que
H
onde lim
H 0
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T ( H ) H
R( H ) H
.
Às vezes é conveniente escrever o resto sob a forma R( H ) ( H ) H
0.
R ( H ) H
( H ) , donde
e lim (H ) 0 . h0
O funcional linear T é denominado a diferencial ou a derivada de f em X 0 , que denotamos também por f ( X 0 ) , isto é, T f ( X 0 ) : n
X y f ( X 0 )( X ) .
Mostraremos mais adiante que o funcional linear T , quando existe, é único.
Cálculo III
60
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Observe que se
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X ( x1 , x2 ,..., xn )
e e1, e 2 ,..., en são os vetores da base canônica de n ,
então T ( X ) x1 T (e1) x2 T (e2 ) xn T (en ) .
Teorema 2.6.1: Se f é é diferenciável em X 0 , então f é é contínua em X 0 . Prova: Sendo f diferenciável diferenciável em X 0 , existe um funcional f uncional linear T tal que
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T ( H ) R(H ) , onde lim f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T (0) 0 . H 0
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T (0) 0 , pois sendo T linear, é contínua em 0 e como tal, Assim, lim H
0
lim T ( H ) T (0) 0 . Por outro lado,
H 0
lim R( H ) lim
H 0
Portanto,
H 0
R( H ) X
X
00 0.
lim f ( X 0 H ) f ( X 0 ) .
H 0
Mostraremos a seguir que se f for diferenciável em X 0 , então f admitirá derivadas f ' ( X 0 ) será o único funcional linear que goza da propriedade parciais em X 0 e T lim
H 0
R( H ) H
lim
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T ( H )
H 0
H
0.
Mais precisamente temos o seguinte teorema.
Teorema 2.6.2: Se
f é diferenciável em X 0 D , então
f ( X 0 )( X ) T ( X ) lim
f ( X 0 tX ) f ( X 0 )
t 0
t
.
Em particular, T é é único. Prova: Sendo f diferenciável diferenciável em X 0 , existe um funcional f uncional linear T tal tal que
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T ( H ) R(H )
e
lim
H 0
R( H ) H
0.
Pondo H tX , vem:
Cálculo III
61
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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f ( X 0 tX ) f ( X 0 ) T (tX ) R(tX )
t T ( X ) R(tX ) t T ( X ) (tX ) tX t T ( X ) t (tX ) X f ( X 0 tX ) f ( X 0 )
Assim,
t
e
lim
T ( X ) (tX ) X
f ( X 0 tX ) f ( X 0 )
t 0
t
T ( X ) 0 T ( X )
já que lim (tX ) 0 . t 0 A unicidade de T decorre decorre da unicidade do limite. A igualdade do teorema acima é bastante útil, pois ela nos mostra que forma deve ter o funcional linear T , quando ele existe. Porém, vale ressaltar que a recíproca do Teorema 6.2 é falsa, isto é, a existência do limite não implica a existência de T ; isto está relacionado com o fato de que apesar do limite da expressão existir ele pode não depender linearmente de X como deveria ser, caso a função fosse diferenciável. A utilidade da expressão no teorema acima é a de nos indicar um candidato a funcional linear T , procedendo-se da seguinte maneira: 1. 2. 3. 4.
Calcula-se o limite; Verifica-se se ele depende linearmente de X ; Verifica-se se o limite encontrado satisfaz a definição de diferenciabilidade; Usando a unicidade de T , conclui-se que o limite encontrado é o funcional linear procurado.
Corolário 6.2.1: Se f é diferenciável em X 0 , então todas as derivadas parciais,
f xi
( X 0 ) ,
existem e f ' ( X 0 ) é da forma f ( X 0 )( X ) T ( X ) x1
f f f ( X 0 ) x2 ( X 0 ) xn ( X ); X ( x1 ,..., xn ) . x1 x2 xn 0
ei , i 1,..., n , então Prova: De fato, se no teorema acima, tivermos X T (ei ) lim
f ( X 0
t 0
tei ) f ( X 0 ) t
f ( X ) , xi 0
e como já observamos antes, T é é da forma T ( X ) x1 T (e1) x2 T (e2 ) xn T (en ) Cálculo III
62
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
x1
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f f f ( X 0 ) x2 ( X 0 ) xn ( X ) . x1 x2 xn 0
A matriz da aplicação linear T com com relação à base canônica de n é, portanto, f f ( X 0 ) ( X 0 ) x x 2 1
denominada matriz jacobiana de
f
f ( X 0 ) , xn 1n
em X 0 .
Conclui-se, portanto, do Corolário acima, que para provar que uma função f é diferenciável em X 0 é suficiente provar que f admite derivadas parciais em X 0 e que lim
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) T ( H )
H 0
H
0.
Corolário 6.2.2: Se f é diferenciável em X 0 , então existe a derivada direcional qualquer direção u e
f u ( X 0 )
em
f ( X 0 ) f ( X 0 )(u) . u
Ademais,
f u ( X 0 )
é uma combinação linear das componentes de u. Mais precisamente,
se u (u1 ,..., un ) , então f ( X 0 )(u) u1
f f f f ( X 0 ) un ( X 0 ) ( X 0 ) ( X 0 ) u . x1 xn xn x1
Prova: Pelo Teorema 2.6.2, temos
f ( X 0 )(u) lim
f ( X 0 tu) f ( X 0 )
t 0
t
f ( X 0 ) . u
A segunda parte do Corolário decorre imediatamente do corolário anterior.
CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE Assim como a derivada de uma função de uma variável pode não existir, também em geral, uma função de várias variáveis não é necessariamente diferenciável em todo ponto, como tivemos oportunidade de ver em exemplos anteriores. Por outro lado, se f é diferenciável em X 0 , existem todas as derivadas parciais x f ( X 0 ),..., x f ( X 0 ) . Não obstante, 1
Cálculo III
n
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Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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como sabemos a existência de todas essas derivadas não implica necessariamente que f seja seja diferenciável em X 0 . O teorema a seguir fornece um critério de diferenciabilidade conveniente. Este resultado é bastante importante, pois em muitas ocasiões é mais fácil verificar a continuidade das derivadas parciais do que a diferenciabilidade diretamente pela definição.
Teorema 2.6.3: Seja f : D n , D aberto e X 0 D . Se existem as derivadas parciais f f X 0 , então f é é diferenciável em X 0 . x ( X 0 ),..., x ( X 0 ) e são contínuas em 1
n
Definição 2.6.3: Seja f : D n , D aberto. Dizemos que f é é de classe C 1 em D ou continuamente diferenciável se as derivadas parciais x f ( X 0 ),..., x f ( X 0 ) existem e são n
1
contínuas em D. k
f é de classe C em D, se as derivadas parciais de ordem k existem existem e são contínuas em D. Se este fato ocorre para todo inteiro positivo k , então f é dita de classe C .
Além disso, o teorema anterior assegura que se f é de classe C 1 em D, então f é diferenciável em D. Fazemos agora uma pequena aplicação do conceito de diferenciabilidade.
APROXIMAÇÕES Sabemos que se f é diferenciável em X 0 ( x0 , y0 ) , então f ( X 0 H ) f ( X 0 ) f ( X 0 )( H ) R(H ) , com lim
H 0
Evidentemente,
lim R( H ) 0 , pois R( H )
H 0
R ( H ) H
R( H ) H
0.
H de modo que para H pequeno,
f ( X 0 H ) f ( X 0 ) f ( X 0 )(H ) .
Portanto, f ( X 0 ) f ( X 0 )(H ) é a função afim que aproxima f numa numa vizinhança de X 0 . A figura abaixo ilustra este fato para o caso de funções de uma variável.
Cálculo III
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Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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y
f ( x0 h)
f ( x0 )
x0 h
x0
f (h)
Note que
f ( x0 h) f ( x0 )
( x0 h) x0
lim f (h) lim
No caso limite,
h 0
f ( x0 h) f ( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 )
h 0
x
h
h
.
f ( x0 )
e desta forma, se h é suficientemente pequeno, podemos afirmar que f ( x0 h) f ( x0 ) h f (x0 ) .
A(h) f ( x0 ) h f ( x0 ) é a função afim que aproxima f numa vizinhança de x0 .
Exemplo 2.6.1: Obter um valor aproximando para 1,012 012 . Solução: Seja f ( x) 1,012
x . Temos f ( x)
1 2 x
. Assim:
f (1,012) f (1 0,012) f (1) f (1) 0,012 1 12 0,012 212 200 .
ln(1 ,0012) . Exemplo 2.6.2: Obter um valor aproximando para ln( 1
Solução: Seja f ( x) ln x . Temos assim f ( x) e deste modo: x
ln( ln(1,0012) f (1,0012) f (1 0,0012) f (1) f (1) 0,0012 0 1 0,0012 0,0012 .
Exemplo 2.6.3: Obter uma aproximação para (4,035) 2 (3,935) 2 . Solução: Consideremos a função f ( x, y) x 2 y 2 . f é diferenciável em ( x, y) (0,0) já que
Cálculo III
65
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
x f ( x , y ) x x 2 y 2
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y f ( x, y) são contínuas. 2 2 y x y
e
Assim, (4,035) 2 (3,935) 2 f (4,035;3,935) f (4 0,035;3 0,935) f (4,3) f (4,3)(0,035;0,935) .
035;0,935) . Temos então: Aqui, X 0 ( x0 , y0 ) (4,3) e H (0,035 f ( X 0 )( x, y)
e
Daí,
x0 x0
f (4,3)(0,035;0,935 935)
2
4 5
y0
2
y0
x x0
2
y0
y
3
2945
5
5000
0,035 035 0,935 935
(4,035 035)2 (3,935 935)2 42 32
2
2945 5000
5
2945 5000
.
5,589 589 .
O VETOR GRADIENTE O vetor que iremos introduzir agora é sugerido de modo natural pela expressão da segunda parte do Corolário 6.2.2.
Definição 2.6.4: Seja f : n uma função que admite derivadas parciais em X 0 . O vetor f f f ( X 0 ), ( X 0 ),..., ( X 0 ) . f ( X 0 ) x2 xn x1
é denominado gradiente de f em X 0 . Do exposto nesta seção, podemos concluir que a derivada de f em X 0 é dada por T ( X ) f ( X 0 )( X ) f ( X 0 ) X .
Mais adiante, destacaremos as principais propriedades do vetor gradiente.
SEÇÃO 2.7: R EGRA EGRA DA CADEIA (2ª VERSÃO) Uma das fórmulas mais úteis no Cálculo das funções de uma variável é a regra da cadeia, utilizada para calcular a derivada da composta de duas funções, a saber, ( g f )'( x) g ' ( f ( x)) f ' ( x) . A generalização para funções de várias variáveis é igualmente valiosa e, devidamente formulada, é bastante fácil de enunciar. Na Seção 4, analisamos a Cálculo III
66
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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função composta f ( X ) onde f : n
e
: . Nesta seção provaremos a regra
f ( (t )) , de uma função f : D n com uma curva de derivação da composta f
parametrizada : I n . Como veremos, o teorema seguinte fornece esta regra em termos do gradiente de f . n Regra da Cadeia ) Sejam f : D n , D aberto e : I tais Teorema 2.7.1: ( Regra que (t ) D , para todo t I . Suponhamos que é diferenciável em t 0 I e que f é diferenciável em X 0 (t 0 ) . Então a composta F f : I é diferenciável em t 0 e temse
F (t 0 ) f ( (t 0 )) (t 0 ) . D
I
n
t 0
X 0
f
y0 f ( X 0 ) f ( (t 0 ))
(t 0 )
Prova: Por definição,
F (t 0 h) F (t 0 ) f ( (t 0 h)) f ( (t 0 )) F (t 0 ) lim lim . h 0 h 0 h h
Visto que D é aberto, existe uma bola aberta B( X 0 ; r ) contida em D. Por outro lado, sendo diferenciável em t 0 , ela é contínua nesse ponto. Então podemos escolher
0
de modo que
quando h , tem-se (t 0 h) B( X 0 ; r ) . Se X (t 0 h) (t 0 ) , então X X 0 (t 0 h) . Observe que
X 0 quando h 0 , pois é
F (t 0 h) F (t 0 ) h
contínua em t 0 . Temos agora, f ( X X 0 ) f ( X 0 ) h
.
Como f é é diferenciável em X 0 (t 0 ) , então f ( X X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 )( X ) R( X ) , com lim
X 0
R( X ) X
0.
ou f ( X X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) X R( X ) . Daí,
Cálculo III
67
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
F (t 0 h) F (t 0 ) h
Prof. Sinvaldo Gama
f ( X X 0 ) f ( X 0 )
f ( X 0 ) R( X )
Mas
h
h0,
X R( X )
h h (t 0 h) (t 0 ) R( X )
h
h
h
.
(t 0 h) (t 0 ) R( X ) 1 R( X ) X h X h X
Portanto, quando
f ( X 0 )
(t 0 h) (t 0 ) R( X )
h
X
.
F (t 0 ) f ( X 0 ) (t 0 ) . Isto é,
( f )(t 0 ) f ( (t 0 )) (t 0 ) .
Observação: Fazendo X ( x1 ,..., xn ) e (t ) ( 1(t ),..., n (t )) , então
f f f ( (t )) ( (t )),..., ( (t )) xn x1
e
d 1 (t ),..., d n (t ) . dt dt
(t )
Resulta, então, a regra da cadeia em termos das componentes dF d ( f ) f d f d (t ) (t ) ( (t )) 1 (t ) ( (t )) n (t ) , x1 xn dt dt dt dt
que escreveremos mais sucintamente: dF dt
f d 1 f d n . x1 dt xn dt
Melhor ainda; note que se F (t ) f ( x1 ,..., xn ) com x1 1 (t ),..., xn n (t ) , então dF dt
ficando subentendido que
f xi
f dx1 f dxn , x1 dt xn dt
é calculada em (t ) quando
dF dt
for calculada em t .
Exemplo 2.7.1: Seja F (r , ) f ( x, y) , onde x r cos e y r sin , sendo f uma uma função diferenciável em . Verifique que: 2
f 1 dF dF ( x , y) cos (r , ) sin (r , ) . r d dr y Cálculo III
68
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Solução: Considerando Considerando
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constante, obtemos: dF dr
f x
dx dr
f y
dy dr
f x cos
f y sin .
Considerando agora r constante, constante, obtemos: dF d
f x
dx d
f y
dy d
f x (r sin ) f y (r cos )
.
Resolvendo o sistema formado nas variáveis f x e f y obtemos: f y
1
dF
r
d
cos
sin
dF dr
.
f ( x, y) de classe C , f (1,2) 2 , f x (1,2) 3 e f y (1,2) 4 . Exemplo 2.7.2: Suponha z 2
Admita que a imagem da curva (t ) (t 2 ,3t 1, z (t )) , t , esteja contida no gráfico de f . (a) Calcule z (t ) . (b) Ache a equação da reta tangente a
Solução: O gráfico de f é é o conjunto
no ponto (1) .
Gr ( f ) {( x, y, f ( x, y) ; ( x, y) D f } . 3
Se (t ) Gr ( f )
então (t 2 ,3t 1, f (t 2 ,3t 1)) Gr ( f ) . Daí, z (t ) f (t 2 ,3t 1) . (b) (t ) (2t ,3, z (t )) , mas z (t ) f x 2t f y 3 . Portanto, z (1) f x (1,2) 2 1 f y (1,2) 3 3 2 4 3 18 .
Como (1) (2,3,18) , a equação da reta tangente a
no ponto (1) é:
X (t ) (1) t (1) (1,2,2) t (2,3,18) .
Exemplo 2.7.3: Sendo
z : 2
x u tan1 (v) e y u , determine v
uma função definida por z ( x, y) 3 x 2 y 2 , onde
z u (1,1)
.
Solução: Temos x(1,1) 1 tan1(1) 4 e y(1,1) 11 1 . Portanto, z z x z y (1,1) ,1 (1,1) ,1 (1,1) . u x 4 u y 4 u Temos assim:
Cálculo III
69
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
z 1 2 x ( x, y) 3 ( x 2 y 2 )3 2 x
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1 8 z 1 2 ( 2) . ,1 x 4 3 2 2 / 3 3 3 ( 2 16)2 1 16
e
Da mesma forma, 1 2 y z ( x, y) 2 3 ( x y 2 )3 2 y
2 1 1 32 z 1 . ,1 2 3 / 3 3 ( 2 16)2 y 4 3 2 1 16
e
Além disso,
x tan1 (v) u
e
y vuv1 . u
Desta maneira,
x (1,1) 4 u
e
y (1,1) 1 . u
1 8 1 32 1 2 2 32 z (1,1) (1) . 3 3 ( 2 16)2 4 3 3 ( 2 16)2 3 3 ( 2 16)2 u
Logo,
Exemplo 2.7.4: Considerando a função
2
h(t ) (cos(t ))t
, calcule
dh dt 4
( ).
Solução: Tomemos x cos(t ) e y t 2 , onde f ( x, y) x y representa a função h sob os novos parâmetros x e y, isto é, h(t ) f ( x, y) . Usando a regra da cadeia, obtemos: dh dt
(t )
dx dy f f ( x, y) (t ) ( x, y) (t ) . dt dt x y
Em t 4 , dh f dx f dy ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) , para x0 x e y0 y . dt 4 x dt 4 y dt 4 4 4
2 Como x0 x , então cos 4 4 2 dx
sin dt 4 4
2
2 2
.
2
Sendo y0 y , então 4 4 16
Cálculo III
70
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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dy
2 . dt 4 4 2
Além disso, como
f f ( x, y) x y ln( x) , então ( x, y) yx y 1 e y x 2
16 f 2 , 2 x 2 16 16 2 2
2
2
1
16 f 2 , 2 ln 2 . y 2 16 2 2 2
e
Substituindo-se os valores obtidos na equação inicial do problema, obtém-se 2
1
2 2 2 16 . ln 2 dt 4 2 2 32 2
dh
2 16
2
2
SEÇÃO 2.8: GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL O gradiente, por ser um vetor, apresenta aspectos geométricos muito convenientes para dar informações a respeito do comportamento da função, como veremos a seguir. O gradiente é também particularmente útil na análise dos conjuntos de nível de uma função. Inicialmente recordemos que um conjunto de nível S de uma função f é um conjunto de pontos X satisfazendo satisfazendo f ( X ) k , para alguma constante k Im( f ) . Como vimos no início deste capítulo, se f : D 2 , o conjunto S se chama curva de nível e e se f : D , S se se chama superfície de nível . 3
Antes de enunciarmos as propriedades do gradiente, veremos as seguintes definições.
Definição 2.8.1: Um vetor v é dito perpendicular a a uma curva perpendicular ao ao vetor velocidade de
num ponto X 0 , se v é
em X 0 .
Definição 2.8.2: Dizemos que um vetor v é perpendicular a uma superfície S , num ponto X 0 S , se v é perpendicular ao vetor velocidade, em X 0 , de qualquer curva diferenciável contida na superfície e que contém X 0 .
Cálculo III
71
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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v
. . X 0
(t 0 )
(t 0 )
S
Teorema 2.8.1: Seja f : D n uma função diferenciável num conjunto aberto D. Seja X 0 D se f ( X 0 ) 0 . Então
ii.
A derivada direcional f u ( X ) , é a componente escalar de f ( X 0 ) na direção do vetor unitário u; O valor máximo de f u ( X 0 ) é f ( X 0 ) e ocorre quando u f ( X 0 ) f ( X 0 ) ;
iii.
O vetor gradiente de f em em X 0 é perpendicular à superfície (ou curva) de nível de f
i.
0
que contém X 0 . Prova: (i) Pelo Corolário 6.2.2,
f ( X 0 ) f ( X 0 )(u) f ( X 0 ) u f ( X 0 ) u cos f ( X 0 ) cos . u
f ( X 0 ) X 0 P
(ii)
f u
f ( X ) u 0
.
X 0
f ( X 0 ) cos
u
P
( X 0 ) f ( X 0 ) cos . Desta forma,
f u ( X 0 )
terá o valor máximo quando
0
, isto é,
quando a direção do vetor u coincidir com a direção de f ( X 0 ) . Neste caso, u f ( X 0 ) f ( X 0 ) . O valor máximo de
f u ( X 0 )
é, pois, f ( X 0 ) . Como a derivada
direcional mede a taxa de variação de f numa numa certa direção, o teorema acima nos diz que a direção do gradiente é a de crescimento mais rápido da função. (iii) Cálculo III
72
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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z
f ( X 0 )
f
I
.
X 0
b
t 0
(t 0 ) v
f ( X 0 ) k
y
a
S
x
Im( f ) . Seja S um conjunto de nível de f . Seja X 0 S , isto é, f ( X 0 ) k , k Im( Consideremos uma curva arbitrária contida em S , definida parametricamente por : (a, b) n e tal que (t 0 ) X 0 e (t 0 ) v 0 , t 0 (a, b) . Temos então que f ( (t 0 )) k para todo t 0 (a, b) . Portanto, 0
df ( (t )) dt
f ( (t 0 )) (t 0 ) f ( X 0 ) v . t t 0
Isto nos diz que f ( X 0 ) , se não é nulo, é perpendicular ao vetor tangente (t 0 ) v . Desta forma, f ( X 0 ) é normal em X 0 aos vetores tangentes de toda curva diferenciável passando por esse ponto e contida em S . Da definição anterior, f ( X 0 ) é, por conseguinte, normal a S em em X 0 . Estes vetores tangentes determinam um plano, e o vetor gradiente, f ( X 0 ) , é normal ao mesmo. Tal plano é denominado d enominado plano tangente à superfície S em em X 0 .
Exemplo 2.8.1: Seja f ( x, y) x y . Determine u de modo que esse valor. 2
Solução: Como visto anteriormente,
f u
(1,1)
f u
(1,1)
seja máximo e encontre
é máximo quando u f (1,1) f (1,1) . O
f ( x, y) (2 xy, x 2 ) e f (1,1) (2,1) . Assim,
f (1,1) Além disso,
4 1 5
e
u
1 5
(2,1) .
f (1,1) 5 . u Cálculo III
73
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Exemplo 2.8.2: Determinar a equação do plano tangente à superfície de nível da função f ( x, y, z ) x y z que passa pelo ponto (1,1, 2 ) . 2
2
2
Solução: Como f (1,1, 2 ) 12 12 ( 2 )2 0 , a superfície de nível x 2 y 2 z 2 0 passa pelo ponto (1,1, 2 ) . O vetor gradiente f ( x, y, z ) (2 x,2 y,2z ) e f (1,1, 2 ) (2,2,2 2 ) . Desta forma, a equação do plano tangente à superfície de nível em (1,1, 2 ) é, pois: (( x, y , z ) (1,1, 2 )) (2,2,2 2 ) 0 , 2( x 1) 2( y 1) 2 2 ( z 2 ) 0 .
ou seja,
SEÇÃO 2.9: FUNÇÕES IMPLÍCITAS Já estamos bastante familiarizados com a ideia de uma curva dada como gráfico de uma função explícita, y f ( x) . Entretanto, a equação de uma curva no plano geralmente é dada na forma F ( x, y) 0 . Por exemplo, as equações 2 x 3 y 1 0 ,
x 2 y 2 9 0 ,
3 x 2 2 y 2 12 0 ,
representam uma reta, uma circunferência e uma hipérbole, respectivamente. Elas são relativamente simples, podendo ser resolvidas em relação a y, o que resulta na definição de uma ou mais funções, em cada caso: y
2x 1 3
,
2 y 9 x
,
y
3x 2 12 2
,
respectivamente. Às vezes, embora seja impossível explicitar y, pode-se, no entanto, resolver a equação em relação a x, e obter a função x g ( y) como ocorre no seguinte exemplo: 3
2
4 y x( y 1)e
y
cos y sin y 0
de onde se obtém x sin y 4 y 3 ( y 2
1)e
y
cos y .
No caso mais geral, não se pode resolver a equação nem em relação a y, nem em relação a x e o exemplo seguinte ilustra esta situação: F ( x, y) ln( x y) x 2 Cálculo III
y2 1 1 0 . 74
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Não obstante, muitas vezes ainda é possível interpretar y como função de x ou x como função de y em equações como essa. Convém observar, entretanto, que nem toda função F ( x, y) 0 define y como função de x ou x como função de y. Por exemplo, a equação x2 y 2 0 é verificada apenas para e y 0 , ao passo que x2 y 2 1 0 não é satisfeita para nenhum par de valores reais. É, portanto, necessário estudarmos este assunto mais detalhadamente, a fim de sabermos quando uma equação do tipo F ( x, y) 0 define a função y f ( x) ou a função x g ( y) , e, também, para conhecermos as propriedades particulares destas funções. x
0
O objetivo desta seção é proporcionar condições suficientes suficientes sobre F que que garantam que a equação F ( x, y) 0 define uma função y f ( x) ou x g ( y) derivável, e obter uma fórmula para f ( x) e g ( y) em termos de F . Analisaremos também o caso numa situação geral, onde o número de variáveis é qualquer. Este é o teorema das funções implícitas .
Definição 2.9.1: A função f : I x y
f ( x)
está definida implicitamente pela equação equação F ( x, y) 0 se F ( x, f ( x)) 0 para todo x I . Da mesma forma, x g ( y) está definida implicitamente pela equação F ( x, y) 0 se F ( g ( y), y) 0 para todo y no domínio de g .
Note que F é uma função real definida em 2 . O zero que aparece no segundo membro da equação acima pode ser substituído por qualquer constante c. Mas como F ( x, y) c é equivalente a G( x, y) F ( x, y) c 0 , é costume absorver a referida constante na função F . Em certos casos (como aqueles mostrados no início desta seção), é fácil definir 2 ,..., f n tais que F ( x, f i (x)) 0 . Contudo, se, por exemplo, funções f 1, f F ( x, y) x sin( xy) e x y 1 0 ,
não é de nenhuma maneira óbvio que existe uma função y f ( x) tal que x sin( x f ( x)) e x f ( x) 1 0 .
Analisaremos a seguir o problema em pauta. Inicialmente estudaremos o caso em que 2 F : . Cálculo III
75
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
F ( x, y) define uma superfície em 3 , então a equação Se considerarmos que z F ( x, y) 0 representa uma curva de nível de F . Seja (a, b) um ponto desta curva. y
F ( x, y) 0 J b
.
(a, b)
.
b
a
(a, b)
a
x
I
Na figura acima, é evidente que para x próximo ao ponto a existe uma função y f ( x) que satisfaz F ( x, f (x)) 0 . Isto se deve ao fato de que próximo do ponto (a, b) , cada reta vertical intercepta a curva uma só vez. Esta é precisamente a condição necessária e suficiente para garantir que se pode escrever y f ( x) e ter F ( x, f (x)) 0 , para x próximo de a.
Analogamente, se y está próximo de b, então existe aparentemente uma função x g ( y)
que satisfaz F ( g ( y), y) 0 , visto que próximo de (a, b) , cada reta horizontal intercepta o gráfico de F ( x, y) 0 uma única vez. A situação em torno do ponto (a, b) é algo diferente. Na vizinhança deste ponto, retas verticais interceptam o gráfico de F ( x, y) 0 duas vezes (para x a ).
x a ) ou nenhuma vez (para
Assim, não existe uma função y f ( x) definida na vizinhança do ponto
a
que
satisfaça F ( x, f (x)) 0 . Contudo, existe uma função x g ( y) definida numa vizinhança de b que satisfaz
F ( g ( y), y) 0 .
A figura parece indicar que, se a reta tangente não é vertical, pode se encontrar a função desejada na forma y f ( x) . Da mesma forma, se a reta tangente não é horizontal então se pode encontrar uma função da forma x g ( y) que satisfaz F ( g ( y), y) 0 . O teorema seguinte formaliza o exposto acima.
Teorema 2.9.1: Seja F : : D 2 , D aberto, uma função continuamente diferenciável. Seja (a, b) D tal que F ( x, y) 0 e F y (a, b) 0 . Então existe um intervalo aberto I , centrado em a e uma única função f : I tal que i.
f (a) b ;
ii.
F ( x, f (x)) 0 , para todo x I ; Cálculo III
76
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
iii.
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f é é continuamente diferenciável e
f ( x)
F x ( x, f ( x)) F y ( x, f ( x))
.
Prova: Será feita no capítulo seguinte.
Este resultado é simétrico em x e em y, isto é, se F x (a, b) 0 , então existe um intervalo aberto J , centrado em b e uma única função g : : J tal que i.
g (b) a ;
ii.
F ( g ( y), y) 0 , para todo y J ;
iii.
g é continuamente diferenciável e F y ( g ( y ), y )
g ( y) F
.
x ( g ( y ), y )
Observação: Se F ( x, y) y 3 ,
F x (a, b)
0 ou
F y (a, b)
0 , o teorema nada pode afirmar. Com efeito, se
então F é de classe C 1 , F (1,0) 0 ,
F x (1,0)
0 e
F y (1,0)
0 . Entretanto a
função identicamente nula, f ( x) 0 , está definida implicitamente por F ( x, f (x)) 0 .
F ( x, y) e y f ( x) são funções diferenciáveis e que Exemplo 2.9.1: Suponha que z F ( x, f (x)) 0 , para todo x no domínio de f , isto é, f é definida implicitamente pela equação F ( x, y) 0 . Use a regra r egra da cadeia para calcular
df dx
.
Solução: Considere ( x) ( x, f (x)) . A regra da cadeia aplicada à identidade F ( ( x)) F ( x, f (x)) produz
F dx F dy F F 0 , isto é, 1 f ( x) 0 e assim, x dx y dx x y f ( x)
F x ( x, f ( x)) F y ( x, f ( x))
.
Analogamente, se temos F ( g ( y), y) 0 , então
F dx F dy 0 x dy y dy
e, portanto
Cálculo III
dx dy
F y
g ( y) F
( g ( y), y)
x ( g ( y ), y )
.
77
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
(a, b) (1,1) . Sendo F (1,1) 0 e Exemplo 2.9.2: Seja F ( x, y) x y 2 e seja F F y ( x, y) 2 y e y (1,1) 2 0 , então pelo teorema da função implícita, existe uma função 2
2
y f ( x) definida numa vizinhança de a 1 , onde: i.
f (1) 1 ;
ii.
F ( x, f ( x)) 0 , isto é, x
iii.
a raiz negativa não satisfaz); f é é continuamente diferenciável diferenciável e f ( x)
2
2
( f ( x)) 2 0
F ( , ( )) x x f x F ( , ( )) y x f x
2 x 2 y
, e daí f ( x) 2 x 2 . (Como f (1) 1,
x f ( x)
x 2 x
2
.
(Observe que a expressão acima pode ser obtida diretamente da função f .) .)
2 0 , e, existe também uma função x g ( y) definida numa vizinhança de b 1 , tal que: (i) g (1) 1 ; (ii) F ( g ( y), y) 0 , isto é, ( g ( y)) y 2 0 Analogamente, como
F x (1,1)
2
2
ou seja, g ( y) 2 y 2 ; e daí (iii) g ( y)
F y ( g ( y), y) F x ( g ( y), y)
2 y 2 x
y g ( y)
y
2 y 2
.
. Mostre que a equação F ( x, y) 0 define implicitamente uma função y f ( x) numa vizinhança do ponto (1,1) e obtenha f (1) .
Exemplo 2.9.3: Seja
F ( x, y) x 2 y 3 y 3 x 4
Solução: (1) F (1,1) 1 3 4 0 ; (2)
4
F ( x , y) y
x 2 9 y 2 x 4 e
F (1,1) y
10 0 . Portanto,
existe uma função y f ( x) definida implicitamente pela equação F ( x, y) 0 e f ( x)
Daí,
F ( x , f ( x)) x F ( x , f ( x)) y
f (1)
2 12 1 9
2 xy 12 y 3 x 3 2 x 9 y 2 x 4
.
14 7 . 10 5
Exemplo 2.9.4: Calcular o declive da curva de nível do parabolóide elíptico z 4 x 2 y 2 que passa pelo ponto (1,2,8) . Solução: Convém observar inicialmente que (1,2,8) pertence de fato ao parabolóide já que para x 1 e y 2 tem-se z 8 . A curva de nível dada é, pois, da forma 4 x 2 y 2 8 .
Cálculo III
78
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
z
2
4 x y
2
8
8
(1,2,8)
2
y
1
x
Basta então mostrar que a equação F ( x, y) 4 x 2 y 2 8 define implicitamente uma função y f ( x) numa vizinhança do ponto (1,2) . Para isso, veja que F (1,2) 4 4 8 0 , F y
( x, y) 2 y
e
F y (1,2)
4 0 . Portanto, existe uma função y f ( x) tal que f (1) 2 ,
F ( x, f (x)) 0 e f ( x)
8 x 2 y
. De modo que f (1) 84 2 .
Exemplo 2.9.5: Em quais pontos a equação G( x, y) x3 y3 3xy 3 define implicitamente y f ( x) ? Obtenha f ( x) nesses pontos. Solução: Temos
G y
( x, y) 3 y 2
2
3 x 3( y
2 x) . Portanto, nos pontos ( x, y)
onde x y 2
e G( x, y) 3 , a equação dada define implicitamente uma função do tipo y f ( x) . Considerando F ( x, y) G( x, y) 3 0 , sua derivada nestas condições é: f ( x)
F x ( x, f ( x)) F y ( x, f ( x))
3 x 2 3 y 3 y 2 3 x
y x 2 y 2 x
.
Generalizamos agora o teorema da função implícita para o caso das funções de duas variáveis.
Teorema 2.9.2: (Teorema da função implícita ) Seja F : : D 3 uma função continuamente diferenciável definida no subconjunto aberto D de . Seja (a, b, c) D e 3
suponha que F (a, b, c) 0 , mas 2
0 . Então existe uma bola aberta B contida em centrada em (a, b) e uma única função f : B tal que i.
F z (a , b, c)
f (a, b) c ;
Cálculo III
79
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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ii.
F ( x, y, f ( x, y)) 0 , para todo ( x, y) B ;
iii.
f é é continuamente diferenciável e F ( , , ( , )) x y f x y f x ( x, y) F x y ( x , y , f ( x , y ))
F f y ( x , y , f ( x , y )) . ( x, y) F y ( , , ( , )) x y f x y x
e
Exemplo 2.9.6: Mostre que a equação xy yz xz 11 define implicitamente uma superfície no ponto (1,2,3) . Ache a equação do plano tangente à mesma neste ponto. Solução: Seja que F ( x, y, z ) xy yz xz 11. Temos então, F (1,2,3) 2 6 3 11 0 ;
y x e F z (1,2,3) 3 0 . Portanto, existe um aberto V 2 contendo o ponto (1,2) e uma única função f : V tal que f (1,2) 3 e F ( x, y, f ( x, y)) 0, ( x, y) V . Isto significa dizer que a equação F ( x, y, z ) xy yz xz 11 define implicitamente a função z f ( x, y) , ( x, y) V . Seu gráfico é, portanto, uma superfície. F z ( x, y , z )
Observe que (1,2,3) é um ponto da superfície já que f (1,2) 3 . O gráfico de
f ( x, y) está contido na superfície de nível F ( x, y, z ) xy yz xz 11 , precisamente z aquela em que F ( x, y, z ) 0 . Como o F (1,2,3) é perpendicular a esta superfície em (1,2,3) e sendo F ( x, y, z ) ( y z , x z , y x) e F (1,2,3) (5,4,3) , então a equação do plano tangente em (1,2,3) será (( x, y, z ) (1,2,3)) (5,4,3) 0 , 5 x 4 y 3z 22 0 .
isto é,
Exemplo 2.9.7: Seja F ( x, y , z ) x y e z . Verifique se existe uma superfície que passa pelo ponto A (1,2,0) e que seja definida implicitamente mediante a equação F ( x, y, z ) 1 . Em caso afirmativo, determine a equação do plano tangente à superfície em A. Solução: Como F (1,2,0) 1, consideremos a função G( x, y, z ) F ( x, y, z ) 1 , isto é, G( x, y , z ) x y e z
1 . Temos:
G (1,2,0) 1 2 e 0
G xe z ( x, y , z ) z 2 y e z
e
1 1 1 1 0 ; 1 G (1,2,3) 0 . z 2
Isso mostra que G( x, y, z ) 0 define implicitamente uma superfície (gráfico da função
f ( x, y) ) que passa por A (1,2,0) e seu plano tangente tem equação z
( x, y, z ) , ou 2 x y z 4 0 . ( X A) G( A) 0 , com X Cálculo III
80
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Exemplo 2.9.8: Seja F ( x, y , z ) y 2 xz z 2 e z c 0 .
f ( x, y) no (a) Mostre que a equação acima define z como função de x e y, isto é, z ponto (0, e,2) . (b) Achar o valor de c para que f (0, e) 2 . (c) Calcular
Solução:
f y ( x, y)
.
x 2 z e z e
y e
f x ( x , y )
f y (0, e)
e
(0, e)
x
F z ( x, y , z )
(b) Para x 0 , F (0, e,2) 0 . (c)
f
e
z 2 ,
F z (0, e, 2)
4 e 2 0 , o que prova o item (a).
tem-se e 2 0 2 2 2 e 2 c 0 e assim
F x ( x , y , f ( x , y )) F z ( x , y , f ( x , y ))
F y ( x, y , f ( x , y )) F z ( x, y , f ( x , y ))
z x 2 z e
z
2 y x 2 z e z
e
f x (0, e)
e
f y (0, e)
2
e
2e
e2
Daí,
;
4
2
c 4.
4
.
CURVAS DEFINIDAS IMPLICITAMENTE MPLICITAMENTE COMO INTERSEÇÕES DE SUPERFÍCIES Consideremos duas superfícies com representações implícitas dadas por F ( x, y, z ) 0
F ( x, y, z ) 0 (I) G( x, y, z ) 0
G( x, y, z ) 0
e
Pergunta-se, então, sob quais condições impostas a F e G, é possível obter funções z ( x) , tais que y y( x) e z F ( x, y( x), z ( x)) 0 G( x, y( x), z ( x)) 0
para todo x num certo intervalo aberto I ? Com outras palavras, é possível resolver o sistema (I) acima com respeito à variável x , isto é, é possível expressar as variáveis y e z em função de x , obtendo-se assim a curva-interseção das superfícies de nível dadas em ( I)? Em
Cálculo III
81
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caso afirmativo, a curva solução do sistema será dada localmente por ( x) ( x, y( x), z ( x)) . Usando a regra da cadeia, podemos escrever as derivadas y( x)
dy dx
dz e z ( x) dx sem um
conhecimento conhecimento explícito de y( x) e z ( x) . Com efeito,
F x dxdx F y dydx F z dz dx 0 G dx G dy G dz 0 , x dx y dx z dx isto é,
F y y( x) F z z ( x) F x G y( x) G z ( x) G . z x y
Nos pontos onde o determinante principal desse sistema não é nulo, o mesmo admite uma só solução (segundo a regra de Cramer) Cr amer) a qual pode expressar-se por
y( x)
F x G x F y G y
F z G z F x G x
e
z ( x)
F y G y
F x G x
F y G y
F z G z
.
O exposto acima pode se resumido no seguinte teorema.
Teorema 2.9.3: Sejam F , G : D n funções continuamente diferenciáveis no conjunto aberto D. Seja ( x0 , y0 , z 0 ) D , onde F ( x0 , y0 , z 0 ) G( x0 , y0 , z 0 ) 0 . Se o determinante,
( F , G) ( y, z )
F y G y
F z G z
0
em ( x0 , y0 , z 0 ) ,
então existem um intervalo aberto I com x0 I e um único par de funções y y( x) e z ( x) definidas e continuamente diferenciáveis em I tais z tais que: i.
y( x0 ) y0 e z ( x0 ) z 0 ;
ii.
F ( x, y( x), z ( x)) G( x, y( x), z (x)) 0 , para x I , isto é, as equações F ( x, y, z ) 0 e G( x, y, z ) 0 definem implicitamente y e z como como funções de x e y( x)
( F ,G ) ( x , z ) ( F ,G ) ( y , z )
e
z ( x)
( F ,G ) ( y , x ) ( F ,G ) ( y , z )
,
onde os determinantes são calculados no ponto ( x, y( x), z (x)) .
Exemplo 2.9.9: Dadas as equações Cálculo III
82
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F ( x, y , z ) x 2
y 2 z 2 6 0 G( x, y , z ) xyz 2 0
(a) Mostre que numa vizinhança do ponto (1,1,2) cada uma delas define implicitamente superfícies em . (b) Mostre que numa vizinhança do ponto (1,1,2) elas definem as funções y y( x) e 3
z z ( x) .
(c) Calcule y( x) e z ( x) . (d) Calcule a equação da reta tangente à curva de interseção das superfícies definidas em (a), no ponto (1,1,2) .
Solução: (a) Temos que: F (1,1,2) G(1,1,2) 0 ,
F (1,1,2) 4 0 z
G (1,1,2) 1 0 . z
e
Isto prova (a). (b) F (1,1,2) G(1,1,2) 0 ,
( F , G) 2 y ( y , z ) xz
2 z xy
( F , G) (1,1,2) 6 0 , ( y, z )
e
3 xy 2 2 xz 2
o que prova (b). 2 x
(c) y( x)
2 z
yz xy 2 y
2 z
2 y
y( x 2 z 2 ) x( y 2 z 2 )
e
z ( x)
xz xy
2 z
xz yz 2 y
2 x
z ( y 2 x 2 ) x( y 2 z 2 )
.
xz xy
Estes resultados podem também ser encontrados derivando-se implicitamente as equações dadas, com relação a x, resolvendo-se o sistema obtido. (d) Sendo ( x) ( x, y( x), z ( x)) , ( x) (1, y( x), z (x)) , y(1) 1 e z (1) 0 , a equação da reta tangente é X (t ) (1,1,2) t (1,1,0) .
Exemplo 2.9.10: O sistema
xyz sin xyz 0 x y z 0 define implicitamente x e y como funções de z em em uma vizinhança do ponto (0,1,1) ? Cálculo III
83
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Solução: Designando por F ( x, y, z ) 0 e G( x, y, z ) 0 a primeira e a segunda equações respectivamente, respectivamente, temos: F (0,1,1) 0 G(0,1,1) e
( F , G) ( x, y)
F x G x
F y G y
0 em (0,1,1) .
Portanto, o sistema acima define x f ( z ) e y g ( z ) . Além disso, ( F , G )
dx ( z , y ) ( F ,G) dz ( x , y )
dy dz
e
( F , G ) ( x , z ) ( F , G ) ( x , y )
.
SEÇÃO 2.10: MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES R EAIS EAIS 1. EXTREMOS LOCAIS E ABSOLUTOS As definições abaixo nos mostram que as definições de máximo e mínimo para funções de várias variáveis são as mesmas que no caso de funções de uma variável, isto é:
Definição 2.10.1.1: Dizemos que uma função real f : D n tem um valor máximo absoluto em X 0 D , se para todo X D , f ( X 0 ) f ( X ) . X 0 é dito ponto de máximo de f e f ( X 0 ) é o valor máximo absoluto de f . Analogamente, dizemos que f tem tem um valor mínimo absoluto
em X 0 , se f ( X 0 ) f ( X ) para todo
D . X 0 é X
dito ponto de mínimo de f e
f ( X 0 ) é o valor mínimo absoluto de f .
Definição 2.10.1.2: Diz-se que f ( X 0 ) é um valor máximo local ou ou um valor mínimo local de se existe uma vizinhança V ( n ) de X 0 tal que f ( X 0 ) f ( X ) ou f ( X 0 ) f ( X ) , respectivamente, respectivamente, para todo X V .
f ,
Um valor máximo ou mínimo de f chama-se valor extremo de onde f assume um valor extremo extr emo chama-se ponto extremo de f .
f .
Um ponto X 0
Estabeleceremos, Estabeleceremos, a seguir, as condições que devem ser satisfeitas por uma função f , no ponto X 0 , para que a mesma tenha valor extremo em tal ponto.
2. CARACTERIZAÇÃO DE EXTREMOS LOCAIS Teorema 2.10.2.1: Se uma função f : D n definida no conjunto aberto D, tem um valor extremo local num ponto X 0 D e se as derivadas parciais de primeira ordem existem em X 0 , então Cálculo III
84
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f f ( X 0 ) ... ( X ) 0 . x1 xn 0 Prova:
Suponhamos que f tem tem um valor máximo local em X 0 . Como D é aberto, X 0 hei ,
i 1,..., n , pertence a D, para valores pequenos de h, e
f ( X 0 ) f ( X 0 hei ) f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) 0 .
Se
h 0,
Se
h
0
,
f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) h
f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) h
h 0
f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) h
0 lim 0 lim
f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) h
h 0
0;
0.
Os limites laterais acima existem e são iguais uma vez que as derivadas parciais de f existem existem em X 0 . Desta forma,
f f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) 0. ( X 0 ) lim h 0 xi h O argumento no caso de mínimo mí nimo local é análogo.
Definição 2.10.2.1: Um ponto X 0 no qual
f x1
( X 0 ) ...
f x n
( X 0 ) 0 chama-se um ponto
crítico de f .
Geometricamente, Geometricamente, se X 0 ( x0 , y0 ) é ponto crítico de plano tangente horizontal nesse nesse ponto.
f ,
então o gráfico de f possui possui um
A recíproca do teorema anterior é falsa. Ou seja, a anulação de todas as derivadas parciais em X 0 não implica necessariamente que haja um valor extremo de f em X 0 . Isto acontece nos chamados pontos de sela.
Definição 2.10.2.2: Um ponto crítico X 0 chama-se um ponto de sela, se toda bola aberta centrada em X 0 contém pontos X 1 e X 2 para os quais f ( X 1 ) f ( X 0 ) e f ( X 2 ) f ( X 0 ) .
Ou seja, um ponto crítico X 0 é um ponto de sela de uma função f se toda bola centrada em X 0 contiver dois pontos X 1 e X 2 tais que f ( X 1 ) f ( X 0 ) f ( X 2 ) . Note que pelo teorema acima, para localizar extremos locais l ocais de uma função com derivadas parciais no interior do seu domínio basta restringirmos nossa atenção aos pontos críticos de f . Esta
Cálculo III
85
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infle xão para o caso de funções reais de uma variável definição é análoga àquela de ponto de inflexão real como já vimos.
3. MÁXIMO E MÍNIMOS DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Definição 2.10.3.1: Um ponto X 0 n é dito um ponto fronteira do conjunto D n , se toda bola aberta centrada em X 0 contém pontos de D e pontos que não pertencem a D. A fronteira de D, denotada por fronteira de D.
D
, é o conjunto cujos elementos são os pontos
Definição 2.10.3.2: Um subconjunto D do n é dito fechado, quando o mesmo contém todos os pontos de sua fronteira. Um conjunto é dito limitado quando o mesmo está contido em alguma bola aberta centrada na origem. Caso contrário, ele é dito ilimitado.
Teorema 2.10.3.1: Seja f : D n uma função contínua, onde D é um subconjunto fechado e limitado. Então f assume um valor máximo e um valor mínimo em D, isto é, existem pontos X 1 , X 2 D tais que f ( X 1 ) f ( X ) f ( X 2 ) ,
D . para todo X
O TESTE HESSIANO O teorema a seguir fornece for nece uma condição suficiente, sob determinadas condições, para decidir se um ponto crítico é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Apresentaremos o teste para funções de duas variáveis. O caso de função de mais de duas variáveis será visto posteriormente (Teorema 2.10.3.3). Antes, porém, faremos a seguinte definição:
Definição 2.10.3.3: Seja f : D n uma função de classe C . A matriz hessiana de f num ponto X 0 ( x0 , y0 ) D é definida como 2
f ( X 0 ) x Hess( X 0 ) f x x ( X 0 ) 2
2 1
2
n
1
2 f x1 xn
( X 0 )
. f ( X 0 ) x 2
2 n
O determinante da matriz acima será denotado por H ( X 0 ) e denominado de o hessiano de f em X 0 .
Cálculo III
86
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Note que Hess( X 0 ) é uma matriz simétrica. No caso n 2 , o hessiano é dado por f ( X 0 ) H ( X 0 ) det x f y x ( X 0 ) 2
2
2
2 f x y 2 f y 2
( X 0 )
2
2 f 2 f 2 f 2 ( X 0 ) 2 ( X 0 ) ( X 0 ) . y ( X 0 ) x x y
Teorema 2.10.3.2: Seja f : D 2 , D aberto, uma função cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas em D (como no caso acima). Se X 0 é ponto crítico de f então então i.
Se H ( X 0 ) 0 e
2 f x 2
( X 0 ) 0 , então X 0 é ponto de mínimo local ;
ii.
Se H ( X 0 ) 0 e
2 f
( X 0 ) 0 , então X 0 é ponto de máximo local ;
iii.
Se H ( X 0 ) 0 , então X 0 é ponto de sela;
iv.
Se H ( X 0 ) 0 , não podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crítico X 0 .
x 2
Na hipótese iv, X 0 pode ser um ponto de máximo local ou de mínimo local ou pode ser um ponto de sela. Com efeito, a) Se f ( x, y) x
4
y
4
, então X 0 (0,0) é ponto crítico e f xx ( X 0 ) f yy ( X 0 ) f xy2 ( X 0 ) 0 .
É fácil ver que X 0 é ponto de mínimo. b) Se f ( x, y) x 4 y 4 , X 0 (0,0) é ponto crítico e f xx ( X 0 ) f yy ( X 0 ) f xy2 ( X 0 ) 0 , mas X 0 é ponto de máximo.
c) Se f ( x, y) x3 y 3 , X 0 (0,0) é ponto crítico e f xx ( X 0 ) f yy ( X 0 ) f xy2 ( X 0 ) 0 , mas X 0 é ponto de sela já que toda vizinhança de contém pontos (os do 1º quadrante) para os quais f ( x, y) 0 e outros (os do 2º quadrante) para os quais f ( x, y) 0 . Antes de enunciarmos o caso geral, relembremos o seguinte fato da Álgebra Linear:
Proposição 2.10.3.1: Seja A (aij )nn uma matriz com coeficientes reais simétrica. Então A possui n autovalores reais (contados conforme sua multiplicidade). Além do mais, podemos escolher os n autovalores de modo que formem uma base ortonormal de n . Em suma, existem números reais 1,..., n e vetores v1 ,..., vn tais que A v j j v j e 1 se i j v i v j 0 se i j
onde A v j deve ser entendido como o produto da matriz
Cálculo III
1 j n
A pelo vetor coluna
T
v j
.
87
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Teorema 2.10.3.3: (Caso geral ) Seja f : D n uma função de classe C . Suponha que X 0 D é um ponto crítico de f . Sejam 1 ,..., n os autovalores da matriz hessiana de f 2
em X 0 e H ( X 0 ) o hessiano de
f em X 0 . Temos:
i.
Se j 0 para todo 1 j n , então X 0 é ponto de mínimo local ;
ii.
Se j 0 para todo 1 j n , então X 0 é ponto de máximo local ;
iii.
Se existirem dois autovalores i e j com sinais opostos, então X 0 é ponto de sela de f ;
iv.
Nos demais casos, casos, isto é, (a) j 0 , para todo 1 j n e existe um autovalor i 0 ou (b) j 0 , para todo 1 j n e existe um autovalor i 0 não podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crítico X 0 .
Exemplo 2.10.1: Classifique os pontos críticos de f ( x, y, z ) x3 3 x y 2 z 2 2 z .
Solução: Temos que f ( x, y, z ) (3 x2 3,2 y,2 z 2) (0,0,0) se e somente se ( x, y, z ) (1,0,1) X 1
A matriz hessiana de
ou
( x, y, z ) (1,0,1) X 2 .
f é
6 x 0 0 Hess( x, y, z ) 0 2 0 . 0 0 2
Assim temos: 6 0 0 Hess( X 1 ) 0 2 0 0 0 2
e
6 0 0 Hess( X 2 ) 0 2 0 . 0 0 2
Da primeira matriz concluímos que todos os autovalores são positivos. Portanto, X 1 é ponto de mínimo local. Da segunda, vemos que X 2 é ponto de sela, pois a matriz hessiana possui um autovalor positivo e um negativo.
Exemplo 2.10.2: Classifique os pontos críticos de
Cálculo III
88
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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f ( x, y, z , w) 2 xy 2 yz y z 2w 2
2
2
.
Solução: Temos que f ( x, y, z, w) (2 y,2 x 2 z 2 y,2 y 2 z,4w) (0,0,0,0) se e somente se ( x, y, z , w) (0,0,0,0) X 0 .
Hess( X 0 )
Temos
0
2
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
0
. 0 4
0
O polinômio característico desta matriz é: 2 p( ) det 0 0
2
0
2
2
2
2
0
0
0 (4 )( 3 4 2 4 8) . 0 4 0
Note que 1 4 0 é um autovalor da matriz acima. Como p(1) 5 0 e p(2) 48 0 , vemos que existe 2 (1,2) tal que p( 2 ) 0 , ou seja, eiste também um autovalor positivo. Portanto, X 0 é um ponto de sela. O teorema a seguir, que é um resultado da Álgebra Linear, fornece uma condição necessária e suficiente para decidir se uma matriz simétrica apresenta todos os autovalores positivos ou todos negativos.
Definição 2.10.3.4: Seja A (aij ) uma matriz de ordem n. O menor principal de ordem 1
k n
da matriz é definido como o determinante da submatriz A (aij )1i k e é denotado 1 j k
por mk ( A) .
Teorema 2.10.3.4: Seja A (aij ) uma matriz simétrica de ordem n. i. ii.
A fim de que todos os autovalores de A sejam positivos é necessário e suficiente que mk ( A) 0 para todo 1 k n ; A fim de que todos os autovalores de A sejam negativos é necessário e suficiente que mk ( A) 0 para todo k ímpar, ímpar, 1 k n e mk ( A) 0 para todo k par, 1 k n .
Observação: A parte (ii) segue de ( i) notando que
Cálculo III
mk ( A) (1)k mk ( A) .
89
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Exemplo 2.10.3: Deseja-se construir uma caixa sem tampa com a forma da um paralelepípedo regular com certo volume V . Determine as dimensões da caixa para que se gaste o mínimo de material possível. Solução: Denotemos por x e z as as dimensões da base da caixa e por y a sua altura. Desta forma é dado, teremos V xyz e a área total da caixa é A 2 xy 2 yz xz . Logo, como V é A( x , y ) 2 xy 2
V x
V y
.
O nosso problema se resume em achar o ponto de mínimo de A. Note que a região que estamos trabalhando é x 0 e y 0 . Vamos procurar os pontos críticos de A:
A x ( x, y) 2 y 2 xV 0 A ( x, y) 2 x V 0 , y y 2
yx 2 V . 2 2 xy V
ou seja,
2
Logo x 2 y e voltando às equações, obtemos x 3 2V , y 3
Agora,
x A H ( x , y ) det A y x
Assim,
V 12 0 H 3 2V , 3 4
2 A x y 2 A y 2
2
2
2
x4V det 2 ( x , y )
2
3
2 A 3 2 x
e
2V y 3
V 4
2V , 3
3 2V . e z
8V 2 ( xy)3
4.
V
2 0.
4
Logo, pelo critério do hessiano vemos que (3 2V , 3 V 4 ) é um ponto de mínimo local de A. Na verdade, trata-se de um mínimo global. A verificação pode ser vista da seguinte maneira. Para cada y 0 fixo a função A y ( x) A( x , y) 2 xy 2
V x
V y
Possui um mínimo global, pois lim A y ( x) e lim A y ( x) e ele ocorre em x 0
x
V y (note que esta é a única solução de
x
A x
( x, y) A y ( x) 0 ). O valor mínimo é
V V V A , y 4 Vy . y y y
m( y) A y
Cálculo III
90
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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A( x, y) A y ( x) m( y) .
Logo,
Por outro lado, a função m( y) , que representa o mínimo de A y para cada y 0 fixado, também possui um mínimo global, pois
lim m( y ) e lim m( y ) e este mínimo
y 0
y
m( y) 0 , isto é, quando 2 V y V y 2 0 , ou seja, quando
ocorre para y tal que y 3 V 4 . Isto nos dá
V
x
Assim, para todo
x
0
y
V
3
V 4
3 2V .
e y 0 , temos V V A 3 2V , 3 . 4 4
A( x, y) A y ( x) m( y) m 3
Portanto, (3 2V , 3 V 4 ) é um ponto de mínimo global. Finalmente, as dimensões da caixa são: x 3 2V ,
y 3 V
4
e
z 3 2V .
4. EXTREMOS CONDICIONADOS Em muitas aplicações o problema de achar os extremos de uma função apresenta-se sujeito a certas condições nas variáveis independentes. O fato interessante nisso é que apesar de algumas funções não possuírem, por natureza, valores extremos (como ocorre em planos, retas, circunferências e elipses horizontais), se restringirmos o domínio destas funções a um conjunto especial de valores, ou seja, se as condicionarmos a certos conjuntos de funções, a situação pode ser revertida e estas podem passar a tê-los.
Exemplo 2.10.1: Determinar os extremos da função f ( x, y) x2 y 2 definida no conjunto D {( x, y) 2 ; x 2 2 y 2
Solução: Temos que
f x
1}.
2 x e
f y
2 y . Portanto o único valor extremo de f no no interior da
elipse x 2 2 y 2 1 ocorre quando ( x, y) (0,0) . Claramente este valor é um mínimo, visto que f ( x, y) x2 y 2 0 f (0,0), ( x, y) 2 . Analisemos agora os extremos de f na fronteira de D, isto é, na elipse x 2 2 y 2 1 , cuja parametrização é dada por
(t ) cost ,
1 2
sin t ;
Cálculo III
0 t 2
.
91
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Temos então:
Prof. Sinvaldo Gama
f ( (t )) f cos t ,
1 sin t cos2 t sin2 t F (t ) e 2 2
1
1 F (t ) 2 cost sint sint cost sin 2t . 2
Deste modo, F (t ) 0 quando t 2 , t ou t 3 2 . Portanto, F pode ter valores extremos em 0 , 2 ,
, 3 2 e 2 . Como
f ( (0)) f (1,0) 1,
1 1 , 2 2 f ( ( )) f (1,0) 1 ,
f ( ( 2)) f 0,
f ( (3 2)) f 0,
1 1 , 2 2
f ( (2 )) f (1,0) 1 , f (0,0) 0 ,
concluímos que f tem um valor mínimo absoluto igual a 0 em (0,0) e um valor máximo absoluto igual a 1 nos pontos (1,0) e (1,0) . Observe que os dois extremos de F correspondentes correspondentes a t 2 e t 3 2 são apenas extremos locais de f em em D. Apresentaremos a seguir outra solução solução do exemplo exemplo anterior. Temos que x 2 1 2 y 2 e assim: f ( x, y) x 2 y 2 (1 2 y 2 ) y 2 1 y 2 F ( y) .
Portanto, f quando quando restrita à elipse x 2 2 y 2 1 reduz-se a uma função F de uma variável. Analisemos os extremos de F . F ( y) 2 y
e y 0 é seu ponto crítico. Como F ( y) 2 0 , segue-se que y 0 é ponto de máximo de F .
Fazendo-se y 0 em x 2 1 2 y 2 obtemos x 1 . Temos, portanto, f (1,0) f (1,0) 1.
Visto que f (0,0) 0 , concluímos que o valor mínimo absoluto de f é 0 no ponto (0,0) e o valor máximo absoluto é 1 e ocorre nos pontos (1,0) e (1,0) .
Exemplo 2.10.2: Uma caixa retangular sem tampa deverá ter 32m 2 de área de sua superfície. Determine as dimensões que lhe assegurarão um volume máximo. Solução: Sejam x, y e h o comprimento, a largura e a altura da caixa, respectivamente.
Cálculo III
92
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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h y x
Como a mesma não possui tampa, sua área total será dada por AT xy 2 xh 2 yh 32 e 32 xy 32 xy x 2 y 2 assim, h . Desta forma, V xyz xy . 2 2 2 x 2 y x y 2 x 2 y 32 xy
Temos então: V 64 y 2 2 x 2 y 2 4 xy 3 (2 x 2 y) 2 x
V 64 x 2 2 x 2 y 2 4 x 3 y . (2 x 2 y) 2 y
e
O sistema
32 y 2 x 2 y 2 2 xy 3 0 , 2 2 2 3 32 x x y 2 x y 0
y 2 (32 x 2 2 xy) 0 2 x (32 y 2 2 xy) 0
isto é,
fornece (0,0) como ponto crítico de V , o qual não satisfaz ao problema proposto. Por outro lado, se ( x, y) (0,0) , temos
y 2 2 xy 32 . 2 x 2 xy 32 Daí, x 2 2 xy y 2 2 xy , ou seja, x y , pois x 0 e y 0 . Disto decorre que y 2 y 32 e assim y x 2
2
8 6
. Portanto, h
32 13 32 2(
8 6
86 )
4 6
. Como
8 8 4 , , é ponto de máximo de V , cujas coordenadas são 6 6 6
só há um ponto crítico, então
as dimensões procuradas da caixa.
Cálculo III
93
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
5. O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE O PROBLEMA DE UM VÍNCULO
Suponha que f e g sejam funções de duas variáveis com derivadas parciais contínuas em um aberto de D 2 . O problema que passaremos a estudar é encontrar os extremos da função f quando esta está sujeita à condição que g ( x, y) 0 . Isto é, queremos encontrar os pontos ( x, y) dentro do domínio de f e restritos ao vínculo (ou condição lateral ) g ( x, y) 0 que maximizem ou minimizem os valores de f . Note que o vínculo g ( x, y) 0 representa uma curva de nível da função assumiremos ser tal que
g 0
g ,
que
. Para cada t a equação f ( x, y) t também representa
uma curva de nível da função f e variando t obteremos uma família de curvas de nível de f . Se tal curva de nível de f , digamos de nível t 0 , intercepta a curva g ( x, y) 0 transversalmente, isto é, de modo que uma não seja tangente à outra, ou ainda, os vetores f e g são linearmente independentes no ponto de intersção, então para valores de t próximos a t 0 a curva de nível f ( x, y) t também interceptará g ( x, y) 0 . Isto significa que t 0 não pode ser valor de mínimo nem de máximo de f sobre o vínculo. Desta maneira, f só pode atingir um valor extremo (máximo ou mínimo) sobre a curva num determinado ponto P 0 ( x0 , y0 ) se a curva de nível f ( x, y) f ( P 0 ) for tangente a g ( x, y) 0 em P 0 , ou seja, se f ( P 0 ) g (P 0 ) para algum
. Observe as situações ilustradas na figura abaixo. y
Reta tangente comum
P 0
f ( P i ) g ( P i )
k 0
k i
g ( x, y) 0 x
Note que as observações observações acima podem ser verificadas da seguinte seguinte forma: Suponha que a curva g ( x, y) 0 seja representada na forma paramétrica por (t ) ( x(t ), y(t )) , tal que (t ) 0 . Sobre esta curva, a função f é dada por (t ) f ( (t )) f ( x(t ), y(t )) . Desta forma,
para anilisar os extremos de f sobre g ( x, y) 0 basta encontrar os extremos de Cálculo III
que é uma
94
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
função de uma variável. Supondo que t (a, b) então um extremo d ocorrer em algum t 0 tal que (t 0 ) 0 . Mas (t )
f x ( x(t ), y(t ))
,
caso exista, deve
x(t ) f y ( x(t ), y(t )) y(t ) f ( x(t ), y(t )) (t ) .
t 0 e colocando P 0 ( x(t 0 ), y(t 0 )) , vemos que f ( P 0 ) (t 0 ) 0 Assim, substituindo t
, ou seja, (t 0 ) deve ser ortogonal a f ( P 0 ) . Como f é ortogonal às curvas de nível de f , segue-se que em P 0 as curvas de nível g ( x, y) 0 e f ( x, y) f ( x0 , y0 ) devem ser tangentes e, portanto, f ( P 0 ) g (P 0 ) para algum
.
Observe que as condições f ( x0 , y0 ) 0 g ( x0 , y0 ) para algum 0 e g ( x, y) 0 são equivalentes a que ( x0 , y0 , 0 ) seja um ponto crítico da função de três variáveis dada por F ( x, y, ) f ( x, y) g ( x, y) .
De fato, ( x0 , y0 , 0 ) é um ponto crítico de F se se e somente se F x ( x0 , y0 , 0 ) f x ( x0 , y0 ) 0 g x ( x0 , y0 ) 0 F f g y ( x0 , y0 , 0 ) y ( x0 , y0 ) 0 y ( x0 , y0 ) 0 . F ( x , y , ) g ( x , y ) 0 0 0 0 0 0
Mas as duas primeiras equações acima são equivalentes a f ( x0 , y0 ) 0 g ( x0 , y0 ) e a terceira a g ( x0 , y0 ) 0 .
Conclusão Alternativa: Sabemos que f ( P 0 ) ( f x ( P o ), f y ( P o )) e g ( P 0 ) ( g x ( P o ), g y ( P o )) . Além disso, como f ( P 0 ) g (P 0 ) para algum
, então:
f x ( P o ) g x ( P o ) f g y ( P o ) y ( P o )
ou, equivalentemente, equivalentemente,
f 0) x ( P f 0) y ( P
g 0) x ( P g 0) y ( P
(declive da tangente comum)
Do resultado acima podemos concluir que a constante (aquela que transforma f e g em vetores de igual comprimento, direção e sentido) corresponde também à inclinação da reta tangente comum às curvas g e f , no ponto P 0 .
Cálculo III
95
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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g ( P 0 ) f ( P 0 )
Reta tangente comum
P 0 Coeficiente angular da reta tangente comum
g ( x, y) 0
f ( x, y) k i
Da equação anterior, segue-se que
f x ( P 0 ) g x ( P 0 ) 0 . f g ( ) ( ) P P 0 y 0 y 0 Jutando-se ao sistema a condição g ( x0 , y0 ) 0 , teremos equivalentemente, equivalentemente, f x ( x0 , y0 ) 0 g x ( x0 , y0 ) 0 f g y ( x0 , y0 ) 0 y ( x0 , y0 ) 0 , g ( x0 , y0 ) 0
que representa o ponto crítico da função F ( x, y, ) f ( x, y) g ( x, y) . O raciocínio acima pode ser aproveitado para o caso de mais variáveis. Vejamos quando f e g são funções de três variáveis satisfazendo as mesmas hipóteses anteriores, isto é, são funções de classe C 1 e g 0 . Esta última condição garante que g ( x, y, z ) 0 define que para cada P 0 S existem duas curvas , : ( , ) S , tais que (0) (0) P 0 e (0) e (0) são linearmente independentes. independentes.
uma superfície de nível
S tal
Cálculo III
96
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
f ( P 0 )
(t )
Vetores tangentes linearmente independentes.
.. (t )
P 0
Superfície de nível
g ( x, y, z ) 0
S
Se P 0 ( x0 , y0 , z 0 ) é um extremo de f restrita à condição g ( x, y, z ) 0 então as funções 1(t ) f ( (t )) e 2 (t ) f ( (t )) também alcançarão um extremo quando
t 0 ,
correspondente a 1 (0) 2 (0) P 0 . Derivando, obtemos as relações: 1(t ) f ( P 0 ) (t ) 0
2 (t ) f ( P 0 ) (t ) 0 .
e
Como (t ) e (t ) são linearmente independentes, vemos que f ( P 0 ) deve ser ortogonal ao plano gerado por estes dois vetores em P 0 . Como g ( P 0 ) 0 é ortogonal a esse plano, segue-se que que f ( P 0 ) 0 g (P 0 ) para algum 0 . Este resultado se estende para n variáveis e o argumento a ser usado é análogo, bastando tomar n 1 curvas contidas em g ( P ) 0 passando por um mesmo ponto e cujos n 1 vetores tangentes formam um conjunto linearmente independente. Com estes resultados, afirmamos o seguinte teorema. Multiplicador de Lagrange ) Se P 0 ( x0 , y0 ) é um ponto extremo de uma Teorema 2.10.5.1: ( Multiplicador
função diferenciável f : D n sujeita à condição g ( x, y) 0 , onde g é continuamente diferenciável e g ( x0 , y0 ) 0 , então P 0 é ponto crítico da função F ( x, y, ) f ( x, y) g ( x, y) ,
para algum
, isto é,
F x ( x0 , y0 , 0 ) f x ( x0 , y0 ) 0 g x ( x0 , y0 ) 0 F y ( x0 , y0 , 0 ) f y ( x0 , y0 ) 0 g y ( x0 , y0 ) 0 . F ( x , y , ) g ( x , y ) 0 0 0 0 0 0
Este sistema serve para determinar x0 , y e 0
. Teremos assim, um candidato a ponto
extremo, a saber, P 0 ( x0 , y0 ) . Isso porque, em geral, não se sabe se existe ou não tal ponto.
Exemplo 2.10.1: Encontre o ponto sobre o plano ax by cz d 0 mais próximo ao ponto P 0 ( x0 , y0 , z 0 ) e encontre também esta distância. Cálculo III
97
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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Solução: Devemos minimizar a função d ( x, y, z ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z 0 )2 sujeita à condição g ( x, y, z ) ax by cz d 0 . Convém observar, entretanto, que se ( x, y, z ) satisfaz o vínculo e minimiza a função F , então este mesmo ponto minimiza a função f F 2 . Esta observação facilita nos cálculos das derivadas parciais, pois basta trabalharmos com f ( x, y, z ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z 0 )2 , que não envolve radicais. Desta forma, o problema se resume a encontrar o mínimo de f ( x, y, z ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z 0 )2 sujeita à condição g ( x, y, z ) ax by cz d 0 , isto é, encontrar o ponto crítico da função F ( x, y, z , ) ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 )2 (ax by cz d ) .
De acordo com o teorema 2.10.5.1, um ponto que satisfaz estas duas condições deve satisfazer, para algum , as equações F x ( x, y, z , ) 2( x x0 ) a 0 x 2a x0 2( x x0 ) a F ( x, y, z , ) 2( y y ) b 0 y b y 2( y y ) b y 0 0 0 2 . F ( x, y, z , ) 2( z z ) c 0 c z z c 2 ( ) z z 0 0 0 2 y F ( x, y, z , ) ax by cz d 0 ax by cz d 0 ax by cz d 0
Temos assim,
2 (a 2 b 2 c 2 ) ax0 by0 cz 0 d 0
ou ainda,
2
ax0 by0 cz 0 d a 2 b2 c 2
.
Com este resultado encontramos: a 2 x0 aby0 acz 0 ad b(bx0 ay0 ) c(cx0 az 0 ) ad x x x0 2 2 2 a b c a2 b2 c2 2 a(ay0 bx0 ) c(cy0 bz 0 ) bd abx0 b y 0 bcz 0 bd y y y . 0 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 z z acx0 bcy0 c z 0 cd z a(az 0 cx0 ) b(bz 0 cy0 ) cd 0 a2 b2 c2 a 2 b2 c2
Logo, o ponto ( x, y, z ) encontrado é o ponto situado sobre o plano ax by cz d 0 cuja distância até o ponto P 0 ( x0 , y0 , z 0 ) é mínima, a qual é dada por: d ( x, y , z ) f ( x , y , z ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z 0 )2 ,
de onde obtemos finalmente: Cálculo III
98
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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d ( x, y, z )
d ( x, y , z )
ou seja,
a 2 b2 c 2
2
ax0 by0 cz 0 d a b c 2
Exemplo 2.10.2: Determine os pontos da elipse
2
x 2 a2
2
y 2
.
1 para os quais a reta tangente
b2
forma com os eixos coordenados um triângulo de menor área. Em seguida, calcule essa área.
Solução: Devemos aqui minimizar a área do triângulo formado pela interseção da reta tangente com os eixos coordenados (a região em destaque na figura abaixo) sujeita s ujeita à condição g ( x , y ) xa yb 1 0 . Pela figura, esta área é dada por f ( x, y) 12 xy . 2
2
2
2
y
b
P (a cos , b sin )
y
a
x
x
x 2 y 2 Devemos, pois, encontrar os pontos críticos de F ( x, y, ) 2 2 1 . Temos: 2 a b xy
F 2 y 2 x x y ( , , ) 0 x ya 4 x 2 a2 x 2 y F 2 y ( x, y, ) 2 0 xb 4 y . 2 b 2 2 2 2 x y F ( x, y, ) 1 0 x y 1 a 2 b 2 a 2 b2
Dividindo-se a primeira equação pela segunda, obtemos:
Assim,
ya
2
xb
2
x y
x
2
a
2
y
2
b
2
.
x 2 2 x 2 2 2 1 a 2 b 2 a 2 a a
x 2
y 2
x 2
Cálculo III
99
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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y 2 y 2 2 y 2 2 2 2 1 , a 2 b 2 b b b
x 2
ou
y 2
do que resulta, em ambos os casos: x
a
2
e y
b
2
.
b a b a b a a , b são os pontos da Logo, os pontos , , , , , e 2 2 2 2 2 2 2 2
elipse
x 2 a
2
y 2 b
2
1 que tornam o triângulo com a menor área possível. Além disso, em
qualquer um desses pontos, a área
A correspondente será A
1 4
ab .
O PROBLEMA DE DOIS VÍNCULOS
Vamos considerar o problema de achar os extremos de uma função de três variáveis f ( x, y, z ) sujeita às condições g ( x, y, z ) 0 e h( x, y, z ) 0 .
Teorema 2.10.5.2: Suponha que as funções f , g , h : D 3 , D aberto, sejam funções continuamente diferenciáveis. Seja E {( x, y, z ) D| g ( x, y, z ) h( x, y, z ) 0} e suponha que os vetores g ( x, y, z ) e h( x, y, z ) sejam linearmente independentes em E . Então, se ( x0 , y0 , z 0 ) é um extremo de f restrita a E , existem constantes e
tais que
f ( x0 , y0 , z 0 ) g ( x0 , y0 , z 0 ) h( x0 , y0 , z 0 ) . Prova: Seja P 0 ( x0 , y0 , z 0 ) um extremo de f sobre E . Vamos assumir que P 0 é um ponto de
máximo de f sobre E . A condição que os gradientes de g e h são linearmente independentes em E garante que os pontos de E próximos a P 0 podem ser descritos por uma curva suave (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) , com t satisfazendo (0) P 0 , (0) 0 e g (t ) f ( (t )) f ( (0)) f (P 0 ) . Assim, a função g que é escalar e de uma variável atinge
um máximo em t 0 e, portanto, devemos ter g (0) 0 . Mas, pela regra da cadeia, g (t ) f ( (t )) (t ) e assim, g (0) f ( P 0 ) (0) 0 . Como (t ) E , t ( , ) , temos que g ( (t )) 0 h( (t )) . Derivando estas duas últimas igualdades (use a regra da cadeia) e colocando t 0 , obtemos que g ( P 0 ) (0) 0 e h( P 0 ) (0) 0 . Desta forma, vemos que o vetor não-nulo (0) é ortogonal aos vetores g ( P 0 ) e h( P 0 ) e como estes dois últimos são linearmente independentes, o conjunto { (0), g ( P 0 ), h(P 0 )} forma uma base para o . 3
Logo, existem constantes
, e tais que
f ( P 0 ) g ( P 0 ) h(P 0 ) (0)
Cálculo III
100
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
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o que implica em 0 f ( P 0 ) (0) g ( P 0 ) (0) h( P 0 ) (0) (0) (0) (0)
2
,
onde (0) denota o comprimento do vetor (0) que é não-nulo. Portanto, 0 e obtemos o que queríamos provar:
f ( P 0 ) g ( P 0 ) h(P 0 ) . Exemplo 2.10.3: Determine os semi-eixos da elipse dada pela interseção do cilindro x 2 y 2 1 com o plano x y z 0 . Solução: Como o plano passa pela origem e o eixo do cilindro é dado por x y 0 , vemos que o centro da elipse é a origem. Assim, precisamos encontrar os pontos sobre a elipse que estão mais próximos e mais afastados da origem. Tendo em vista observações anteriores, basta encontrarmos os extremos de f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 (o quadrado da distância) sujeita aos vínculos g ( x, y, z ) x2 y2 1 0 e h( x, y, z ) x y z 0 . Note que h( x, y, z ) i j k e g ( x, y, z ) 2 x i 2 y j são claramente linearmente independentes: independentes: basta observar a componente de k dos dois vetores. Pelo teorema 2.10.5.2, os extremos de e algum , as equações
f sujeita aos vínculos devem satisfazer, para algum
2 x 2 x 2(1 ) x f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) h( x, y , z ) 2 y 2 y 2(1 ) y 2 z 2 z . g ( x, y , z ) 0 h( x, y , z ) 0 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1 x y z 0 x y z 0 Assim, 2(1 ) x 2(1 ) y que para 1 nos fornece x y . Pelas restrições (vínculos), obtemos z 2 x e 2 x 2 1 que resultam nos pontos 2
P 1
2
,
2
, 2 2
e
2 2 P 2 , , 2 . 2 2
Agora, se 1 então 0 e, portanto, z 0 . Desta forma, os vínculos se reduzem a 2 x 2 y 2 1 2 x 2 1 2 , ( x, y) 2 x y 0 x y 2 Cálculo III
ou
( x, y)
2 2
,
2
, 2 101
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais
Prof. Sinvaldo Gama
2 2 2 2 , ,0 . Temos f ( P 1) f (P 2 ) 3 e dando os pontos P 3 , ,0 e P 4 2 2 2 2 f ( P 3 ) f (P 4 ) 1. Assim, o semi-eixo maior é dado pelo segmento OP 1 ou OP 2 e tem
comprimento igual a 3 e o menor é dado pelo segmento igual a 1 . Os vértices da elipse são os pontos P 1 e P 4 .
Cálculo III
OP 3
ou OP 4 e tem comprimento
102
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
CAPÍTULO 3 FUNÇÕES VETORIAIS ( f : n m ) SEÇÃO 3.1: FUNÇÕES VETORIAIS Neste capítulo estudaremos as funções definidas sobre subconjuntos de n com valores em m ; são as chamadas funções vetoriais. As mais simples destas funções são as transformações lineares as quais, como sabemos, podem ser representadas por matrizes e cuja estrutura é estudada na Álgebra Linear. Estudaremos agora as funções vetoriais que não são necessariamente necessariamente lineares.
Definição 3.1.1: Seja D um subconjunto do n . Uma função vetorial é é uma função f : D
m
X Y f ( X )
onde X ( x1, x2 ,..., xn ) e f ( X ) é um vetor com m coordenadas, isto é, f ( X ) Y ( y1, y2 ,..., ym ) ( f 1( X ), f 2 ( X ),..., f m ( X )) ,
2 ,..., f m são as funções coordenadas de f e onde f 1 , f e f i : D
X yi f i ( X ) , i 1,...m .
Quando não informamos explicitamente o domínio de uma função f , convencionamos convencionamos que o mesmo será o conjunto de valores X n para os quais f ( X ) é um vetor bem definido em m , ou seja, as coordenadas de f ( X ) são números reais. Im( f ) ou f ( D) , é o Definição 3.1.2: Se f : D n m , a imagem de f , denotada por Im( conjunto
Im( Im( f ) f ( D) { f ( X ); X D} .
Se A D , indicaremos por f ( A) o conjunto f ( A) { f ( X ); X A},
Cálculo III
103
Cap. 03: Funções vetoriais
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e diremos que f transforma o conjunto A no conjunto f ( A) .
Exemplo 3.1: (Coordenadas polares ). Seja X 2 . Consideremos como coordenadas de X f (r , ) os quais denominamos os números r e e como indicados na figura abaixo, isto é, X as coordenadas polares de X . y
X
r
x
Se x e y são as coordenadas cartesianas de X , então x r cos y r sin
Consideremos agora a seguinte função T : 2 2 definida por cos , r sin ) ( x, y) . T (r , ) (r cos
2 contido no plano r ? (a) Qual a imagem por T do do retângulo 0 r 2 , 0 (b) Qual a imagem por T do do retângulo 1 r 2 , 6 3 contido no plano r ? (c) Que figura geométrica é transformada por T , no círculo x 2 y 2 4 , em xy ? (d) Prove que T é é injetiva se r 0 e 0 2 .
Solução: (a) Observe que T deve deve ser aplicada a todos os pontos da região ilustrada il ustrada abaixo.
(2, 2)
(0, 2)
( x, y)
(0,0)
(2,0)
r
Além disso,
Cálculo III
104
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
Quando o ponto está sobre o segmento AD, 0 e assim a transformação T será será da forma, T (r ,0) (r cos 0, r sin 0) (r ,0) (segmento IG); ii. Quando o ponto está sobre o segmento AB, r 2 e a transformação será da forma, T (2, ) (2 cos cos ,2sin ) o que corresponde a uma parametrização de uma circunferência i.
de raio 2, centrada na origem. Como 0 2 , a circunferência fica limitada ao primeiro quadrante quadrante (arco GH ); ); 2 e a transformação será da forma, iii. Quando o ponto está sobre o segmento CD , T (r , 2) (r cos( 2), r sin( 2)) (0, r ) (semi- eixo HI ); ); iv.
2 (veja figura Considerando-se, por exemplo, o segmento ( x, y) (1, ) , 0 abaixo), teremos que para quaisquer pontos deste conjunto, a aplicação T será da forma T (1, ) (cos , sin ) , o que corresponde a uma parametrização de uma circunferência de raio 1, centrada na origem. Como 0 2 , a circunferência fica limitada ao primeiro quadrante (semi-arco HI ). ). Com isso, é fácil de observar que se tomarmos todas as retas verticais contidas neste conjunto e realizarmos o mesmo procedimento com cada uma delas, delas, obteremos a região interna do do círculo. y
F
C 2
H
T
B
K
(1, ) 2
D
E
0
T (1, )
r
A
I 0
2
2
J
G
x
(b) Fazendo observações semelhantes, chegamos ao resultado abaixo. y
3
(1 12 , )
T B
T (1 12 , )
6
A 3
0
1
2
6
r
0
1
2
x
Neste caso, tomamos a semi-reta de coordenadas (1 12 , ) , 6 3 para mostrar de que forma a função T a a transforma (na figura acima, no semi-arco AB) e gera o espaço interno da região indicada. (c) Para este caso, o procedimento é inverso: devemos encontrar novos intervalos para r e e de modo a satisfazer a condição x 2 y 2 4 . Para isso, fazemos 0 2 e 0 r 2 . Cálculo III
105
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
y
2
T
(1, )
T (1, )
0
2 2
0
2
x
r
Exemplo 3.2: (Coordenadas cilíndricas ). Seja X 3 . Consideremos como coordenadas de X os números r , e z , como indicados na figura abaixo, os quais denominamos as coordenadas cilíndricas de X . z z
X
r
y
y
x x
Se x, y e z são as coordenadas cartesianas de X , então
x r cos y r sin z z Consideremos a seguinte transformação T : 3 3 definida por cos , r sin , z ) ( x, y, z ) . T (r , , z ) (r cos
2 e 0 z 4 ? (a) Qual a imagem por T do do paralelepípedo 0 r 1 , 0
(b) Qual a imagem por T do do paralelepípedo 1 r 2 , 6 3 e 1 z 3 ? (c) Que figura geométrica é transformada por T , no círculo x 2 y 2 4 , z 0 ? (d) Prove que T é é injetiva se r 0 e 0 2 .
Solução: (a)
Cálculo III
106
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
z
z 4
4 T
2
0
0
1
y
1 x
r
(b) Com procedimento análogo chegamos ao resultado abaixo. z
z
3 3
3 T 1
1 3
y
1
2
1 6
r
2
x
(c) Com procedimento análogo chegamos ao resultado abaixo.
z T
2
(1, )
0
2
2
r
0
2
y
x
Exemplo 3.3: (Coordenadas esféricas ). Seja X 3 . Consideremos como coordenadas de X os números ρ, e φ como indicados na figura abaixo, os quais denominamos as coordenadas esféricas de X .
Cálculo III
107
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
z z
X
y
O
y
x
A
x
Se x, y e z são as coordenadas cartesianas de X , então
x OA cos sin cos y OA sin sin sin z cos Consideremos agora a seguinte transformação T : 3 3 definida por T ( , , ) ( sin cos cos , sin sin , cos ) ( x, y, z ) .
(a) Qual a imagem por T do do paralelepípedo 0 3 , 0 2 e 0 2 ? (b) Qual a imagem por T do do paralelepípedo 1 3 , 6 2 e 3 2 ? (c) Que figura geométrica é transformada por T , no círculo x 2 y 2 4 , z 0 ? . (d) Prove que T é é injetiva se 0 , 0 2 e 0
Solução: z z 2
.
T
0
2
.
3
y
3
(a)
x
r
(b) A função T transforma transforma o paralelepípedo 1 3 , 6 2 , 3 2 na região do espaço localizada no primeiro octante, como indica a figura fi gura abaixo.
Cálculo III
108
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
z
z
2
3
T
3
1 2
3
0
y
1
3
x
r
SEÇÃO 3.2: LIMITE E CONTINUIDADE O estudo das funções não-lineares está ligado às técnicas do Cálculo tais como limite, continuidade, diferenciabilidade, integrabilidade, etc. Nesta seção abordaremos o conceito de limite e continuidade para estas funções.
Definição 3.2.1: Seja f uma função vetorial definida num subconjunto D do n , exceto possivelmente em em X 0 D . Escrevemos lim f ( X ) L m ,
X X 0
se dado 0 qualquer, existe um 0 tal que se X B( X 0 ; ) D , então f ( X ) B( L; ) , isto é, se 0 X X 0 , então f ( X ) L . O teorema seguinte mostra que o problema da existência e o cálculo do limite para funções vetoriais reduzem-se ao mesmo problema para as funções coordenadas da função, onde se sabe que estas são reais.
Teorema 3.2.1: Seja f uma função vetorial definida num subconjunto D do n , exceto 2 ,..., f m são as funções coordenadas de f , então possivelmente em em X 0 D . Se f 1, f lim f ( X ) L (l 1 , l 2 ,..., l m ) m
X X 0
se e somente se, lim f i ( X ) l i ,
X X 0
i 1,..., m .
Prova:
Cálculo III
109
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
1ª parte. Suponhamos inicialmente que lim f ( X ) L (l 1 , l 2 ,..., l m ) m . Então dado 0 X X 0
qualquer, existe um número 0 tal que se 0 X X 0 , então f ( X ) L . Mas,
f ( X ) L ( f 1 ( X ) l 1 ,..., f m ( X ) l m ) e como
f i ( X ) l i f ( X ) L ,
então se
0 X X 0 , tem-se f i ( X ) l i .
Portanto, f i ( X ) tem limite l i quando X tende tende para X 0 , isto é, lim f i ( X ) l i . X X 0
2ª parte. Suponhamos agora que existe o lim f i ( X ) l i . Assim, devemos provar que X X 0
lim f ( X ) (l 1 , l 2 ,..., l m ) . Por hipótese, dado
X X 0
m
0 qualquer, existe i 0 tal que
se 0 X X 0 i , então f ( X ) L m . f ( X ) L ( f 1 ( X ) l 1 ) 2 ( f m ( X ) l m ) 2
Por outro lado,
( f 1 ( X ) l i )2 f m ( X ) l m ) 2 f 1 ( X ) l 1 f m ( X ) l m m m .
Seja min{ 1 ,..., m}. Logo, se 0 X X 0 , então f ( X ) L . Isto informa que lim f ( X ) L . X X 0
Definição 3.2.2: Se f é definida em X 0 e lim f ( X ) f ( X 0 ) , f é dita contínua em X 0 . X X 0
Portanto, f é contínua em se dado 0 , existe 0 tal que se 0 X X 0 , então f ( X ) f ( X 0 ) . Diz-se que f é contínua em D quando f é contínua em cada ponto de D. O teorema seguinte é uma consequência consequência do teorema anterior.
Teorema 3.2.2: Seja f : D n m , D aberto, uma função vetorial. Então f é contínua em X 0 D se, e somente se, cada uma das suas funções coordenadas f 1 ,..., f m é contínua em X 0 . Cálculo III
110
Cap. 03: Funções vetoriais
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Prova: Exercício.
Teorema 3.2.3: Se T : n m é uma transformação linear , então iii. iv.
T ( X ) k X , X n e para algum número real k ; T é é contínua em todo ponto do
n
Prova: Veja a prova do Teorema 2.2.4, na
.
seção anterior.
Teorema 3.2.4: Se f : D n m é contínua em X 0 D e g : E m p é contínua Im( f ) E , então g f : D n p é contínua em X 0 . em f ( X 0 ) E , com Im(
SEÇÃO 3.3: DERIVADAS PARCIAIS VETORIAIS Definição 3.3.1: A derivada parcial vetorial ,
f x i
0 0 ( X 0 ) , X 0 ( x1 ,..., xn ) , é definida por
f f ( x10 ,..., xi0 h,..., xn0 ) f ( x10 ,..., xn0 ) f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) lim ( X 0 ) lim . h 0 h 0 x1 h h
Observe que o quociente e, portanto, o limite, são vetores. Como limites de funções vetoriais são calculados tomando-se os limites de cada função coordenada, segue-se imediatamente que f ( X 0 hei ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) lim h 0 h x1 f 1 ( X 0 hei ) f ( X 0 ) f ( X hei ) f ( X 0 ) ,..., m 0 lim h 0 h h f 1 ( X 0 hei ) f ( X 0 ) f ( X hei ) f ( X 0 ) ,..., lim m 0 lim h0 h h h 0 f f 1 ( X 0 ),..., m ( X 0 ) xi xi
Portanto,
f f 1 f m ( ) ( ),..., ( ) X X X 0 0 0 x x x 1 1 1 f f 1 f m ( ) ( ),..., ( ) X X X 0 0 0 x x xn n n
Exemplo 3.3.1: Seja f : 2 2 definida por f ( x, y) ( x2 y2 xy, ln( x2 y 2 )) . Então
Cálculo III
111
Cap. 03: Funções vetoriais
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f 2 x ( x, y) 2 x y , 2 2 x x y
f 2 y . ( x, y) 2 y x, 2 2 y x y
e
Exemplo 3.3.2: Seja f : 3 2 definida por f ( x, y, z ) ( x e x y z ,2 x y) então f ( x, y, z ) (1 e x y z ,2) , x
f ( x, y , z ) (e x y z ,1) y
e
f ( x, y, z ) (e x y z ,0) . z
Exemplo 3.3.2: Seja f : 3 3 definida por f ( x, y, z ) ( yex , sin xy, z ) então f ( x, y, z ) ( yex , y cos xy,0) , x
f ( x, y , z ) (e x , x cos xy,0) y
e
f ( x, y, z ) (0,0,1) . z
MATRIZ DA APLICAÇÃO LINEAR T f ( X 0 ) n Seja e1 ,..., en a base canônica do . Sabemos que a i-ésima coluna da matriz de f ( X 0 ) é f ( X 0 )(ei ) . Por outro lado, pelo Corolário 6.2.1,
f f ( X 0 te1 ) f ( X 0 ) f f ( X 0 ) 1 ( X 0 ),..., m ( X 0 ) f ( X 0 )(e1 ) lim t 0 x1 x1 t x1 f f ( X 0 ten ) f ( X 0 ) f f ( X 0 ) 1 ( X 0 ),..., m ( X 0 ) f ( X 0 )(en ) lim t 0 t xn xn xn
e a matriz de f ( X 0 ) tem a seguinte forma:
f 1 x ( X 0 ) 1 f m ( X 0 ) x1
f 1 ( X ) x2 0
f m ( X ) x2 0
f 1 ( X 0 ) xn . f m ( X ) xn 0 mn
Esta matriz m n é denominada matriz jacobiana de f em X 0 , a qual denotaremos por Jf ( X 0 ) ou f ( X 0 ). Note que f ( X 0 )( X ) Jf ( X 0 ) X .
Cálculo III
112
Cap. 03: Funções vetoriais
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Chamamos novamente a atenção que a existência das derivadas parciais
f i xi
( X 0 ) e,
portanto, a existência da matriz jacobiana Jf ( X 0 ) , não é suficiente para garantir a diferenciabilidade de f no ponto X 0 .
Exemplo 3.3.3: Obter a matriz jacobiana da função f ( x, y, z ) ( x2 y3 , x sin z ) . Solução: Como f 1( x, y, z ) x2 y3 e f 2 ( x, y, z ) x sin z são as funções coordenadas de f ,
( x, y, z ) : tem-se que num ponto arbitrário X f x Jf ( X ) f x
1
2
f 1 y f 2 y
f 1 z f 2 z
2 x 1
3 y 2 0
. cos z 0
Exemplo 3.3.4: Obter a matriz jacobiana da função f ( x, y) ( x2 2 xy, y 2 xy, x y 2 ) . Solução: De modo semelhante, num ponto arbitrário X ( x, y, z ) :
f x f Jf ( X ) x f x
1
2
3
f 1 y f 2 y f 3 y
2 x 2 y y 1
2 y x . 2 y 2 x
CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE Teorema 3.3.1: Seja f : D n m , D aberto e X 0 D . Se existem as derivadas parciais f x1
,..., x f e são contínuas em X 0 , então f é diferenciável em X 0 . n
No capítulo anterior chamamos atenção para o fato de que uma função pode ser diferenciável em um ponto, e neste ponto as derivadas parciais não serem contínuas. Daí, a seguinte definição.
Definição 3.3.2: Seja f : D n m , D aberto, uma função vetorial. Dizemos que f é de 1
classe C (ou continuamente diferenciável ) em D, se as derivadas parciais vetoriais
f x1
,..., x f n
forem contínuas em D, ou seja, se os elementos da matriz jacobiana de f são contínuos em D. Do Teorema 3.3.1 segue-se, pois, que se f é de classe C 1 em D, então f é diferenciável em D.
Cálculo III
113
Cap. 03: Funções vetoriais
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SEÇÃO 3.4: A R EGRA EGRA DA CADEIA m e g : E m p duas funções definidas nos subconjuntos abertos D e E tais que Im( Im( f ) f ( D) E . Se f é é diferenciável em X 0 D e se g é é diferenciável em f ( X 0 ) Y 0 E então g f é diferenciável em X 0 e
Teorema
3.4.1:
Derivada ( Derivada
da
função
composta ).
f : D n
Sejam
( g f )( X 0 ) g ( f ( X 0 )) f ( X 0 ) g (Y 0 ) f ( X 0 ) .
Observe que J ( g f )( X 0 ) Jg (Y 0 ) Jf ( X 0 ) . D n
X 0
f
E m
Y 0
f ( X 0 )
g
p
z 0 g (Y 0 ) g ( f ( X 0 ))
g f
Exemplo 3.3.5: Sejam f ( x, y) ( x2 y 2 , x2 y 2 ) (u, v) e g (u, v) (uv, u v) (r , s) . Obter: a)
( g f )(2,1) .
b)
( g f )( x, y) .
Solução: (a) Observe que g (u, v) g ( f ( x, y)) g f ( x, y) , isto é, a composta g f aplica valores do domínio de f no no contradomínio de g e e neste caso, g f : 2 2 . 2
( x, y)
f
2
f ( x, y) (u, v)
g
2
g (u, v) (r , s)
g f
No ponto ( x, y) (2,1) temos que f (2,1) (22 12 ,22 12 ) (5,3) e assim, g f (2,1) g ( f (2,1)) g (5,3) . Cálculo III
114
Cap. 03: Funções vetoriais
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Para obtermos ( g f )(2,1) , usamos o fato de que J ( g f )(2,1) Jg ( f (2,1)) Jf (2,1) , isto é, J ( g f )(2,1) Jg Jg (5,3) Jf (2,1) .
u f 1 ( x, y) x 2 y 2 Como f é definida por , temos que 2 2 v f x y x y ( , ) 2
xu ( x, y) Jf ( x, y) v x ( x, y)
u y ( x , y) v y ( x , y )
4 ( , ) Jf 2 1 e assim, 4 2 y
2 x
2 y
2 x
2
. 2
r g 1 (u , v) uv , temos s g 2 (u , v) u v
Como g é é definida por
ur (u, v) Jg (u , v) s u (u, v)
r v s v
(u, v)
v u . (u, v) 1 1
Como u x 2 y 2 e v x 2 y 2 , então x 2 y 2 x 2 y 2 Jg ( f ( x, y )) 1 1
e desta forma: 2 2 12 Jg ( f (2,1)) Jg (5,3) 1
2 2 12 1
5 3 1 1 .
Portanto, a derivada da composta g f no ponto (2,1) será 5 3 4 J ( g f )(2,1) Jg (5,3) Jf (2,1) 1 1 4
2
32 2 8
4 0
.
(b) Do fato de g (u, v) g ( f ( x, y)) g f ( x, y) , segue-se que ( g f )( x, y) será dado por J ( g f )( x, y) Jg Jg ( f ( x, y)) Jf Jf ( x, y) Jg (u, v) Jf ( x, y) ,
isto é, ( g f )( x, y) será v u 2 x 1 1 2 x
J ( g f )( x, y) Jg (u, v) Jf ( x, y)
Cálculo III
2 x(v u) 2 y(v u) , 2 y 4 x 0 2 y
115
Cap. 03: Funções vetoriais
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onde u x 2 y 2 e v x 2 y 2 .
Exemplo 3.3.6: Sejam f ( x, y) ( f 1( x, y), f 2 ( x, y)) (u, v) e g (u, v) ( g 1(u, v), g 2 (u, v)) (r , s) . Obter:
r r s s , , ,e . x y x y
Solução: Note que g (u, v) g ( f ( x, y)) g f ( x, y) , isto é, g f ( x, y) (r , s) . f
2
( x, y)
g
2
2
f ( x, y) (u, v)
g (u, v) (r , s)
g f
A regra da cadeia nos assegura que J ( g f )( x, y) Jg Jg ( f ( x, y)) Jf ( x, y) Jg (u, v) Jf ( x, y) .
g u r g 1 (u , v) Como g (u , v) , temos que Jg (u, v) g ( , ) s g u v 2 u
1
i.
2
f 1
u f 1 ( x, y) ii. Como f ( x, y) , temos que Jf ( x, y) f x v f 2 ( x, y) x
2
g 1 v g 2 v
ur s u f xu y f v y x 1
2
r v s v
;
u y v y
.
Desta forma,
ur J ( g f )( x, y) Jg (u , v) Jf ( x, y) s u
ur Mas J ( g f )( x, y) s x
r y s y
r v s v
xu v x
u y v y
ur xu su yu s u s v u x v x
r u s u
u y u y
r v yv . sv yv
.
Com isso, tem-se que
xr ur xu r v xv r r u r v y u y v y
e
Cálculo III
x s su xu sv xv s s u s v . y u y v y
116
Cap. 03: Funções vetoriais
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Exemplo 3.3.7: Suponhamos que as funções
g
e f são dadas por w g ( x, y, z ) onde
x f 1(u, v) , y f 2 (u, v) e z f 3 (u, v) são as funções coordenadas de f . Obter:
w w e . u v
Solução: Seja f : 2 3 uma função dada por f (u, v) ( f 1(u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)) ( x, y, z ) . Observe que g ( x, y, z ) g ( f (u, v)) g f (u, v) , isto é, g f (u, v) w . Com palavras, a composta g f aplica valores do domínio de f (contido em 2 ) no contradomínio de g (contido nos reais) e assim, g f : 2 . f
2
(u, v)
g
3
f (u, v) ( x, y, z )
w g ( x, y, z )
g f
Além disso, a regra da cadeia nos assegura que J ( g f )(u, v) Jg ( f (u, v)) Jf (u, v) Jg ( x, y, z ) Jf (u, v) . f 1
u f 1(u, v) x f i. Como f (u , v) f 2 (u , v) y , temos que Jf (u, v) u f (u , v) z f u 3
2
2
f u f ii. Como w g ( x, y, z ) , temos que Jg ( x, y , z ) u f u
1
2
2
f 1 v f 2 v f 2 v
f 1 v f 2 v f 2 v
xu y u z u
xu y u z u
x v y v z v
x v y v z v
;
.
Desta forma, J ( g f )(u, v) Jg ( x, y, z ) Jf (u, v)
ur Mas J ( g f )( x, y) s x
r y s y
xu y u z u
x v y v z v
.
. Com isso, tem-se que
Cálculo III
117
Cap. 03: Funções vetoriais
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xr ur xu r v xv r r u r v y u y v y
e
x s su xu sv xv s s u s v . y u y v y
x uv Exemplo 3.3.8: Seja w ln( x y z ) , onde y ln(u v) . Demonstre que z sin uv w w ( ,1) ( ,1) . u v
Solução: Seja f : 2 3 uma função dada por f (u, v) ( f 1(u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)) ( x, y, z ) . Observe que g ( x, y, z ) g ( f (u, v)) g f (u, v) , isto é, g f (u, v) w . Em palavras: a composta g f aplica valores do domínio de f (contido em 2 ) no contradomínio de g (contido nos reais) e assim, g f : 2 . Pelo exemplo anterior, podemos podemos concluir que
w w x w y w z . u x u y u z u Deste modo, teremos: w 1 (u , v) (v) (v cos uv) u x y z x y z u v x y z 3 1 v cos uv v x y z u v 3 1 v(1 cos uv) uv ln(u v) sin uv u v
No ponto ( ,1) teremos, pois: 3 3 w 1 cos 1 1 . ( ,1) ln(1 ) sin 1 ln(1 ) 1 u
Pelo exemplo anterior, podemos concluir que w 1 (u , v) (u) (u cos uv) v x y z x y z u v x y z 3 1 u cos uv u x y z uv 3 ( cos ) 1 uv u 1 uv ln(u v) sin uv u v
No ponto ( ,1) , portanto: Cálculo III
118
Cap. 03: Funções vetoriais
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3 3 w cos 1 1 . ( ,1) 1 ln(1 ) 1 ln(1 ) sin u
w w ( ,1) ( ,1) . u v
Com isso,
SEÇÃO 3.5: O TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA Teorema 3.5.1: (Teorema da função inversa ). Seja D um subconjunto aberto do n e f : D n uma função continuamente diferenciável diferenciável e X 0 D . Suponhamos que a derivada f ( X 0 ) : n n seja uma aplicação linear inversível . Então existe uma vizinhança aberta V de n , contendo X 0 , tal que f (V ) U é aberto;
i.
f , , quando restrita a V , tem uma inversa, f 1 : U V , continuamente diferenciável;
ii. iii.
( f 1 )(Y 0 ) f ( X 0 )1 , onde Y 0 f ( X 0 ) .
Exemplo 3.5.1: Seja f : 2 3 definida por f ( x, y) ( x2 y 2 ,2 x 3xy) . Mostre que f é inversível numa vizinhança do ponto X 0 (1,2) .
Solução: Como as funções coordenadas de f são são polinômios, f é é continuamente diferenciável em 2 . Por outro lado, como 2 y 2 4 2 x 1 2 ( , ) Jf Jf (1,2) 6 32 0 . então 8 3 , e assim det Jf 2 3 y 3 x
Jf ( x, y)
Portanto, f é é inversível em alguma vizinhança de X 0 (1,2) .
Nota: Seja
f : n
n X Y f ( X )
f ( X ) em termos de suas coordenadas, Escrevendo os vetores da equação Y chegamos à seguinte interpretação da conclusão do teorema da função inversa: Y ( y1 ,..., yn ) f ( X ) ( f 1( X ),..., f n ( X )) ,
Cálculo III
onde X ( x1,..., xn ) .
119
Cap. 03: Funções vetoriais
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f 1 ( x1 ,..., xn ) y1 f ( x ,..., x ) y 2 1 2 n f m ( x1 ,..., xn ) ym
Daí,
(I)
Se f é inversível e se g f 1 , então ( x1,..., xn ) X g (Y ) ( g 1(Y ),..., g n (Y )) .
g 1 ( y1 ,..., yn ) x1 g ( y ,..., y ) x 2 1 2 n g m ( y1 ,..., yn ) xm
Portanto,
Isso mostra que o sistema ( I) acima, de n equações e n incógnitas x1 ,..., xn , pode ser f ( X ) a vizinhanças resolvido em termos de y1 ,..., yn se restringirmos X g (Y ) e Y suficientemente pequenas de X 0 e Y 0 . Pelo teorema da função inversa, as soluções são univocamente determinadas e continuamente diferenciáveis. x 4 y x u Exemplo 3.5.2: Mostre que o sistema f ( x, y) pode ser resolvido para x e y em 3 x y v termos de u e v (isto é, x F (u, v) e y G(u, v) ) numa vizinhança do ponto (1,1) . Determine
ainda
x u
,
x v
,
y u
,e
y v
no ponto (2,2) .
Solução: O sistema de equações dado define uma função f : 2 2 dada por f ( x, y) ( x 4 y x, x y 3 ) (u, v) . Temos então, f (1,1) (2,2) ,
4 yx3 1 x 4 Jf ( x, y) 3 y 2 1
e
5 1 Jf (1,1) . 1 3
Como det Jf (1,1) 15 1 14 0 , então f é inversível numa vizinhança de (1,1) . A inversa f 1 (u, v) ( x, y) é dada por equações da forma
x F (u , v) y G(u , v) e está definida numa vizinhança do ponto (2,2) . Pelo teorema da função inversa, a derivada ( f 1)(2,2) é dada por
Cálculo III
120
Cap. 03: Funções vetoriais
Prof. Sinvaldo Gama
5 1
1
143 141 xu 1 5 y 3 14 14 u
1
x v y v
.
Portanto, no ponto (2,2) temos: x 1 x 3 ; ; v 14 u 14 y 5 y 1 . ; v 14 u 14 cos y, x sin y) para a qual Exemplo 3.5.3: Considere a função f ( x, y) ( x cos
cos y x sin y sin y x cos y
Jf ( x, y)
e
det Jf ( x, y) x cos2 y x sin 2 y x 0 .
Para que f seja inversível, x deve ser diferente de zero. Note que f não é inversível pois f ( x,0) f ( x,2 ) (x,0) . Assim, precisamos restringir o domínio de f para que f seja inversível.
Cálculo III
121
