6
FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT
5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah f ( x) x) = ax + b, dengan a, b ∈ R, dan a ≠ (!.")
#rafik fungsi linear berbentuk kurva garis lurus yang mem$t$ng sumbu% x sumbu% x di ( x, x, ) dan sumbu% y di (, (, y). y). &$efis &$efisien ien arah atau gradien gradien m dari fungsi linear merupakan nilai yang menentukan perbandingan dari perubahan nilai y dengan perubahan nilai x, x, yang nilainya dapat berharga p$sitif atau negatif. 'ika m p$sitif berarti arah garis fungsi linear tersebut adalah dari kiri bawah ke kanan atas, dan jika m negatif maka arah garis fungsi linear adalah dari kiri atas ke kanan bawah. Perhatikan #ambar !.". berikut
#ambar !.". uas garis *B.
&$mp$nen y &$mp$nen y dari garis AB garis AB = y y y". -edangkan k$mp$nen x dari garis AB garis AB = x x x". -ehingga Perubahan k$mp$nen m y Perubahan k$mp$nen x m
y y" x x"
'ika garis melalui titik pangkal (, ), maka gradien garisnya adalah m
y x
1 | Matemaka Ekonomi aswhat.wordpress.com
(!.) (!.)
Contoh 1 /entukan gradien garis yang melalui a. /itik P (, %5) dan titik Q(%0, ) b. /itik pangkal dan titik A(%, %1). P en ye le sa ian a. 2elalui titik P (, %5) dan titik Q(%0, ) P (, %5) berarti x" = , y" = %5 Q(%0, ) berarti x = %0, y = m
y y" x x"
(5)
1
1
0 + "" ""
'adi, gradien garis yang melalui titik P (, %5) dan titik Q(%0, ) adalah 1 . m "" b. 2elalui titik pangkal dan titik A(%, %1) m
y
1
3
x + 'adi, gradien garis yang melalui titik pangkal dan titik A(%, %1) adalah m = 3. 5.".". Persamaan #aris 4urus yang 2elalui -atu /itik Perhatikan #ambar !.. di bawah ini
y
B(, y) 4
2
*(", y")
x -4
-2
2
4
-2
#ambar !.. Persamaan garis lurus.
Pada garis l terdapat titik A dengan k$$rdinat ( x", y") dan titik B dengan k$$rdinat bebas, yaitu ( x, y). 'ika gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB terdiri astas semua titik ( x, y) dengan hubungan seperti berikut y y"
m
x x"
y y" m ( x x" )
*rtinya, persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik ( x", y") adalah (!.3) y y" = m( x x1) Contoh 2. /entukanlah persamaan garis yang melalui titik A(%, 3) dengan gradien %. P en ye le sa ian /itik A(%, 3) berarti x" = %, y" = 3. #radien % berarti m = %. Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ( x", y") adalah y y" = m( x x1) ⇔ y 3 = % ( x (%)) ⇔
y 3 = % ( x + )
⇔
y 3 = % x !
⇔
y = % x ! + 3
⇔
y = % x
'adi, persamaan garis yang melalui titik A(%, 3) dan bergradien % adalah y = % x . 5.".. Persamaan #aris 4urus yang 2elalui 6ua /itik Perhatikan kembali #ambar !.". #radien garis yang melalui titik ( x", y") dan y y ( x, y) adalah m
"
. -elanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (!.3)
x x" maka diper$leh y y" = m( x x1)
y y "
y y"
( x x ) "
x x"
y )
y y (
x x"
y "
y y"
y y"
"
x x"
x x"
x x"
*rtinya, persamaan garis yang melalui dua titik yaitu titik ( x", y") dan ( x, y) adalah
y y"
y y"
x x"
x x"
(!.5)
Contoh 3 Perhatikan #ambar !.. berikut y 8
B(5, 1)
6 4
*(, 3)
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x 10
-2 -4
garis l
-6
#ambar !.. Persamaan garis l .
/entukanlah persamaan garis l . P en ye le sa ian #aris l melalui titik A(, 3) dan titik B(5, 1). A(, 3), berarti x" = , y" = 3 B(5, 1), berarti x = 5, y = 1 Persamaan garis l yang melalui titik ( x", y") dan titik ( x, y) adalah y y"
y y"
y 3
x x"
x x"
1 3
y 3
x . 5.
x .
+ ( y 3) = 3( x ) y 1 = 3 x " y = 3 x " + 1 y = 3 x 3 y = x 'adi, persamaan garis l yang melalui titik A(,3) dan titik B(5,1) adalah ∎ y = x . 3
5.".. 7ubungan 6ua Buah #aris 4urus 2isalkan diketahui garis k y = m" x + c" dan garis l y = m x + c, maka berlaku a. Persamaan garis k sejajar dengan garis l jika m" = m. b. Persamaan garis k tegak lurus dengan garis l jika m" . m = %". 8. Persamaan garis k berimpit dengan garis l jika m" = m dan c" = c.
d. Persamaan garis k berp$t$ngan dengan garis l jika kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik p$t$ng. /itik p$t$ng antara kedua persamaan garis diper$leh apabila k = l . Contoh 4. /entukan persamaan garis yang melalui titik A(!, ) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P (, %5) dan Q(%!, ). P en ye le sa ian #aris yang melalui P (, %5) dan Q(%!, ). P (, %5) berarti x" = , y" = %5. Q(%!, ) berarti x = %!, y = . 2isalkan gradien garis yang melalui titik P (, %5) dan Q(%!, ) adalah m" maka m"
y y" x x"
( 5)
!
1
"
1
2isalkan pula gradien garis yang melalui titik A(!, ) adalah m. &arena persamaan garis yang melalui titik A(!, ) dengan garis yang melalui titik P (, %5) dan Q(%!, ) adalah sejajar, maka m" = m = %". -ehingga persamaan garis dengan gradien m = %" dan melalui titik A(!, ) adalah y y" = m ( x x") ⇔ y = %"( x !) ⇔
y = % x + !
⇔
y = % x + ! +
⇔
y = % x + 1
'adi, persamaan garis yang melalui titik A(!, ) dan sejajar dengan garis yang ∎ melalui titik P (, %5) dan Q(%!, ) adalah y = % x + 1. Contoh 5. 9arilah titik p$t$ng y = " x dan y = x + . P en ye le sa ian /itik p$t$ng kedua persamaan diper$leh jika kedua persaman tersebut dipersamakan. -ehingga " x = x + ⇔ = 1 ⇔ x
= 1:.
;ntuk x = 1:, maka diper$leh y = (1:) + = "3:. -ehingga diper$leh titik p$t$ng kedua persamaan te rsebut adalah (1:, "3:). Perhatikan #ambar !.3. berikut
y
y = " % +5 8
y=++ 6
(1:, "3:.)
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x 10
-2 -4
#ambar !.3. Persamaan garis y = " x dan y = x + . ∎
5.2. Fungsi Kuadrat
≠
disebut
fungsi kuadrat. #rafik fungsi kuadrat berbentuk parab$la dengan persamaan y =
ax + bx + c. 6alam grafik fungsi, akar fungsi dapat dilihat dari titik p$t$ngnya terhadap sumbu% x. -alah satu 8ara yang dapat dilakukan untuk menentukan akar fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan rumus berikut x
b D
, dengan D = b 3ac
(!.!)
"
+a 'ika nilai D = , maka hanya terdapat satu akar fungsi kuadrat yaitu x x "
"
b
. *rtinya grafik hanya akan mem$t$ng sumbu% x di satu titik.
+a
b D 'ika nilai D , maka terdapat dua akar fungsi kuadrat x"
dan +a
x "
b D
. *rtinya grafik fungsi mem$t$ng sumbu% x di dua titik.
+a
'ika D > , maka nilai D adalah imajiner (bernilai negatif) sehingga akar real tidak ada atau grafik tidak mem$t$ng sumbu% x.
Perhatikan #ambar !.5. berikut
#ambar !.5. &urva fungsi kuadrat f() = ax + bx + c berdasarkan nilai a dan diskriminan D.
maka parab$la terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum. b 3ac
jika a
y ma
y
(!.?)
ymin jika a
3a Contoh 6
"
'ika y x x
mempunyai nilai minimum %":1, tentukanlah harga m.
m
+ P en ye le sa ian 4
b 3ac
ymin
y 3
3a "
3()
2
y = @ + % ":+
m
"
1
3()
1
x
"
3m
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1 1 0 + 3m = " m="
-1
(%!:1, %":1)
-2
-3
#ambar !.!. #ambar fungsi kuadrat y = x + x A dengan nilai minimum %":1. -
oal !atihan ". /entukan titik p$t$ng dari a. 3 x + y = " dan x + y = 1. b. ? x + 5 y = dan 5 x + ? y = % . 2isalkan titik p$t$ng dari s$al $." adalah ( x, y), maka tentukanlah a. x y b. x + y . /entukan akar%akar persamaan kuadrat berikut
a. y = x + x b. y = 3 x x
3. 'ika x" dan x adalah akar%akar persamaan kuadrat x ! x 5 = , maka
berapakah x" + x .
5. 'ika grafik y = x + "x + # mempunyai titik pun8ak (", ) maka tentukan nilai " dan # tersebut.
