CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
5to Seminario
05. Resolver sen 4x 0,5 ; x 0; 2 y dar como respuesta el número de soluciones. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
TRIGONOMETRÍA ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 01. Resuelva: 4sen x 1 5 0 e indique la diferencia entre la mayor y menor solución en el intervalo 0; 4 . 12 14 16 A) B) C) 5 5 5 18 22 D) E) 5 5
C) E)
6 2 sen 2x , k 4 k k 5 B) 1 2 24 12 k k k D) k 1 1 2 24 12 k 5 k 1 12
cos x A) C)
1 4 3 2k 4 2k
2 , k 2 B)
2k
1 2
D) 2k 1
E) 2k 2 07. Resuelva:
02. Resolver:
A)
06. Resolver:
03. Resolver: 1 3 sen 2x , x 0; 3 2 Dar como respuesta el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1 , x 0; 3 2 Indique la suma de soluciones. 2 5 A) B) C) 2 3 6 3 D) E) 2
04. Resuelva sen 2x
2 cos x 3 0 E indique la suma de las soluciones en el intervalo 0, 2 . 3 5 A) B) C) 2 2 D) 2 E) 3
08. Al resolver 2cos 2x 3 0 obtiene: A) 12k 1 18 C) 14k 1 14 E) 10k 1 10
la ecuación , se k B) D)
14k 1 16 12k 1 12
09. Halle la suma de las 2 primeras soluciones positivas de la ecuación: 3 cos 4x 20 2 A) 182.5° B) 177.5° C) 97.5° D) 95° E) 80° 10. Resolver:
tan x 1, k
CEPRE-UNI
TRIGONOMETRÍA
-1-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
k 3 3 C) k 4 E) k 1 A)
B)
D)
5to Seminario
k 2 4 k 3
11. Al resolver la tan 2x 3 0 , k , se obtiene: A) k 1 B) 2k 1 12 10 C) 3k 1 D) 3k 1 12 6 E) 3k 1 3
12. Calcule la suma de soluciones al resolver la ecuación 2 tan2 x 2 0 , x 0; 2 . A) D) 4
B) 2 E) 5
13. Resuelva: 3x cot 14 2 4 A) 120k 3 7 C) 120k 4 7 E) 120k 8
14. Resuelva:
C) 3
24 , k 7 B) D)
7 4 4 240k 3
240k
3 cot 2x 3 0 E indique la suma de las soluciones en el intervalo 0; 2 . 13 17 19 A) B) C) 3 6 6 23 7 D) E) 6 3
15. Verificar las siguientes proposiciones, k : (V: verdadero F: falso) 1 cos x I. Si ; entonces 2 2 x 2k 3 1 II. Si cos 2x ; entonces 2 x k 3 2 sen x cos x III. Si , 2 entonces x k 4 A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVV 16. Verificar las siguientes proposiciones, k : (V: verdadero F: falso) I. Si tg x 1, entonces x k . 4 1 sen x II. Si , entonces 2 2k x k 1 . 6 csc x 5 2 , III. Si entonces k x k 180 1 8 . A) FFF B) FVF C) FFV D) VFF E) VFV
17. Resuelva: 2cos 2x 1cos 2x 2 0 Indique la suma de las tres primeras soluciones positivas. A) 300° B) 330° C) 360° D) 390° E) 420° 18. Resolver: A)
CEPRE-UNI
k 3
16 cos4 x 1 0 k B) 2 3
TRIGONOMETRÍA
-2-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
3 E) k C)
k
D)
k
5to Seminario
2
19. Si x 0; 2 , resuelva e indique la suma de soluciones sen x cos 2x 1. A) B) C) 3 2 3 D) E) 2 2 20. Resuelva la ecuación sen x cos y sen2 x cos2 x y halle la suma de soluciones en 0;2 . 3 A) B) C) 2 2 5 D) 2 E) 2
SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 2 , sen x sen y 3 3 x Calcule si x 0; ; y 0; y 2 2 1 2 A) 1 B) C) 2 3 3 D) E) 2 2
21. Si x y
22. Resolver para x: 2 cos x y 2
sen 2x sen 2y
n y k
CEPRE-UNI
2 2
3 A) k n 8 4 B) k n 4 2 3 C) 2 k n 4 2 D) 2 k n 4 2 3 E) k n 2 4 2
23. Si:
3 2 4 3 2 sen y cos x 4 Donde x 0; ; y 0; 2 2 Calcule x e y respectivamente. 7 7 5 ; ; A) B) 12 12 24 24 5 5 ; ; C) D) 24 24 12 12 7 ; E) 24 24 sen x cos y
24. Resuelva el sistema xy 4
5 tan x tan y tan x tan y tan 4 Indique la solución general de x x . k k A) B) 2 4 2 6 k C) D) k 8 2 3 E) k 9
TRIGONOMETRÍA
-3-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
25. Resolver el sistema: 2sen(2x) + 3tan(y) = 4 3 6sen(2x) – tan(y) = 2 3 Dar como respuesta el valor de y 3; 5 7 6 23 D) 18
A)
11 9 4 E) 3
B)
C)
5 4
5to Seminario
A) x 2k y
3 2 cos x cos y 1
26. Dado el sistema: x y
0 < x – y < 2 Calcule un valor de sen (x – y) A) – 1
1 B) – 2
3 C) – 2
D) 0
xy B) 2 D) 2 2
28. Si tan(x) + tan(y) = 3 tan(x).tan(z) = 2 tan(y).tan(z) = 1 Calcule: tan(x + y) A) 3 B) 2 D) – 2 E) – 3 29. Resuelva el sistema : x y 3
sen(x) sen(y) 1, k
CEPRE-UNI
4
2 2k 3
D) x 2k
k 4
y
3
6
k 6
E) x 2k y 2k 6 30. Resuelva el sistema: x y 2
sen(x) sen(y) 0, 4 3 y k 4
27. ¿Cuál es el menor valor positivo de cot(x), que se obtiene del sistema? tan x cot y 2 2 1 3 2 +1 3
y
A) x k
E) 1
A) C) E)
B) x 2k
2k 6
C) x k y
6
3 4 y k 4
k 3 4 y k 2
B) x k
3 4 y k 4
C) x k
D) x k
E) x 0
y k
C) 1
31. Si 540º < x < 630º; 180º < y < 270º, resuelva: sen(x y) 1 cos(x y)
3 2
Dar como respuesta un valor de: 9 7 20 D) 7
A)
15 7 25 E) 7
B)
C)
TRIGONOMETRÍA
x y
16 7
-4-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
32. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones e indique la solución general para x. xy xy sen( )sen( )a 2 2 xy xy cos( )cos( )b 2 2 a–b=0, k k A) B) k C) (2k 1) 2 2 D) (4k 1) E) 2k 2 33. Resolver cos x y 0 1 sen x y 2 x 0; , y 0; 2 2 Dar como respuesta el valor de xy. 2 2 2 A) B) C) 60 50 40 2 2 D) E) 36 18 34. Resuelva el sistema xy 2 2 cos x cos2 y 1 Indique la solución general para x. A) 2k 1 B) 2k C) k 2 D) 4k 1 E) 4k 1 2 2
35. Resolver: xy 2 sen x sen y 1 e indicar la solución general para x; k CEPRE-UNI
5to Seminario
A) k
2
B)
2 E) 2k 2
C) 2k
2k
D) k
2
2
36. Resolver cos 2x cos 2y 1 xy
2 3
x 0;
; y 0; 2 2
indicando la solución de x. A) B) C) 10 6 5 D) E) 4 3 37. Resuelva el sistema:
sen(x) sen(y) cos(x) cos(y)
6 2 2 2
Dado x e y, los menores arcos positivos. A) 90º y 15º B) 105º y 15º C) 75º y 15º D) 45º y 30º E) 60º y 60º 38. Siendo x e y ángulos entre 0 y
que 2
satisfacen el siguiente sistema: 2sen(x).sen(y) 1 cot(x) cot(y) 2 Calcule: x.y
2 A) 4
2 B) 9
2 D) 16
2 E) 25
2 C) 12
TRIGONOMETRÍA
-5-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
xy xy )cos( 2 ) 2
cos(x).cos(y) 41 ,
1 2
k
3 x y k 3 x y 2k 6 x y 2k 4 k xy 2 3
A) x y 2k B) C) D) E)
43. Resolver la inecuación:
40. Resuelva e indique un conjunto solución para x, en el sistema dado: xy 6
tan(x) tan(y) tan(x).tan(y) 1, k
k 2 24 C) k 24 E) k 6
A)
k 5 2 24 5 D) k 24
B)
CEPRE-UNI
3
A)
0,
C)
3 , 6 4
E)
3 , 4 4
C) x 0; 2
5 B) ; 12 12 D) ; 6 3
1 , x 0, 2 B) , 4 6
D)
3 5 , 4 6
44. Resuelva:
A)
41. Resolver 1 , 2 5 A) ; 12 12 5 C) ; 12 12 E) ; 6 3
cos2 x
sen2 x
INECUACIONES
sen 2x
3 2 sen x ; en el 2 2 intervalo 0;2 . 3 4 5 A) 0; ; ;2 4 4 3 3 2 5 7 B) 0; ; ;2 3 3 4 4 3 4 C) 0; ;2 4 3 3 7 11 D) 0; ; ; 2 4 4 6 6 5 5 E) 0; ; 2 6 4
42. Resuelva
39. Resuelva el sistema: cos(
5to Seminario
E)
5 ; 6 6 2 ; 3 3 ; 3 2
1 0, x 0; 4 3 B) ; 4 4 D) ; 6 2
1 tan x 3 3 intervalo ; . 2 2 3 4 ; A) ; 4 3 4 3
45. Resuelva
TRIGONOMETRÍA
en
-6-
el
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
5 5 ; ; 6 4 6 4 3 7 C) ; ; 4 6 4 6 3 4 D) ; ; 3 4 4 3 2 4 E) ; ; 4 4 3 3 B)
46. Resuelva tan x 1 0 tan x 3 0; 2 . A) B) C) D) E)
en
C) D) E)
el
intervalo
7 5 ; ; 6 4 6 4 5 4 ; 4 3 4 ; 3 5 4 ; ; 4 3 4 3 5 4 ; 6 3 4 ; 3 5 4 ; ; 4 3 4 3
47. Resolver A)
0;
C)
; 4
E)
;
sen(x) – cos(x)> 0, x0; 2 3 B) ; 4 4 4 5 D) ; 4 4 5 4
48. Resolver tan(x) – cot(x) > 0 , x0; 2 A) ; 4 2 3 B) ; 4
CEPRE-UNI
5to Seminario
7 ; 2 4 3 ; 2 2 3 5 3 7 ; ; ; ; 2 4 2 4 4 2 4
49. Resolver sec(x) – csc(x)> 0 , x<0; 2> A) 0; 4 B) ; 4 3 C) ; 4 2 D) 0; 2 5 3 E) ; ; ; 2 4 2 4 2 50. Resolver sen x cos x 0, x ; A) C) E)
B) 8 D) ; 4 8 ; ; 4 4
0;
;0 8 ; 8 4
51. Resolver 3sen2 x 2cos2 x
3 5 A) ; 4 4 3 C) ; 2 4 5 E) ; 4
5 3 , x ; 2 2 2 3 B) ; 4 5 D) ; 2 4
TRIGONOMETRÍA
-7-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
52. Resuelva:
1 3cos x sen 2x 3sen x
en el intervalo 0;2 5 A) B) ; 3 4 4 C) D) ; 4 3 4 E) ; 3 3
5 ; 4 4 7 ; 6 6
53. Resolver 2sen x 1 0 , x 0; sen x cos x 1 A) 0; B) ; 6 6 2 5 5 C) D) ; ; 2 6 6 6 5 E) ; 6 6 54. Si x 0; , resuelva cos x sen x 0 sen x cos x 10
2 ; 4 2
A) 0;
B) 0;
D)
E)
4
C) 0;
; 4
55. Resolver 2 cos2 x 2cos x 1 0
x ; 2 2 A) ; 2 2 C) ; 0 3 E) ; 3 3
CEPRE-UNI
; 3 3 D) 0; 3 B)
5to Seminario
2cos 2x 3 2sen 3x 5 intervalo 0; . 5 5 A) B) ; 12 6 7 C) D) ; 6 12 2 E) ; 3 3
56. Resuelva
0 ; en el 5 7 ; 12 12 5 2 ; 12 3
57. Resuelva 2sen x 1sen x 10 0 x 0; 5 A) B) ; ; 6 6 6 5 5 C) D) ; ; 6 2 6 E) ; 2
,
58. Resuelva 2sen2 x 5sen x 2 0 , x 0; 5 A) ; B) ; 3 2 6 5 C) ; D) ; 6 6 6 2 E) 0; 6 59. Si f x sen x , g x 1 cos x Halle los valores de x en 0;2 , que verifican f x g x 3 A) 0; B) 0; 2 3 3 C) D) ; ; 2 2 2 2 E) ; 2
TRIGONOMETRÍA
-8-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
60. Resuelva cos 2x 2 cos x sen x x 0; 2
3 ; 2 2 3 ; 4 4 7 ; 4 4
A) C) E)
5to Seminario
,
3 4 5 ; 4 4
B)
0;
D)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS LEYES FUNDAMENTALES
A)
30°
1 4 D) 2
A)
1 2 E) 3
B)
a2 b2 c 2 3
65. En un triángulo ABC, de lados a, b, c, simplifique: 1 cos A C .cos B 1 cos A B .cos C A)
E) 60°
D)
a2 c 2
B)
a2 b2 a2 c 2
D)
a2 b2 2a2 c 2
a2 c 2 a2 b2 a2 c 2 a2 b2
a2 b2
66. En la figura mostrada, calcule la medida del ángulo B. C) 1
B
M
62. En un triángulo ABC, de lados a, b, c, inradio r y circunradio R simplifique:
A) Rr D) 4Rr
c ba E abc B) 2Rr E) 5Rr
1
2
2
C
7x
C) 3Rr
63. En un triángulo ABC de lados a, b, c se cumple que
a4 b4 c 4 2a2 b2 c 2 Calcule la medida del mayor ángulo. A) 100° B) 120° C) 135° D) 150° E) 170°
64. En un triángulo ABC, de lados a, b, c, simplifique: bc cos A accis B abcos C CEPRE-UNI
1
a2 b2 c 2 E) 4
C) x
B) a2 b2 c 2
C) 2 a2 b2 c 2
61. En la figura, calcule x
2 3
a2 b2 c 2 2
A
18 D) 4
A)
12 E) 3
B)
C)
6
67. En un triángulo ABC se cumple que A B A B a = 4b y tan tan 8. 2 2 cos B Calcule: cos A
TRIGONOMETRÍA
-9-
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
A) – 5 D)
10 7
15 7 8 E) 7
B)
5to Seminario
C)
12 7
68. En un triángulo ABC se cumple Calcule el mB mC 90 . equivalente de 1 1 b c 2 b c 2 1 A) a2 B) 2 C) 2a2 a 2 3 D) 2 E) 2 a a 69. En un triángulo ABC se cumple
c a2 c 2 b a2 b2 mA . 3 A) B) 3 4 5 8 D) E) 6 9
calcule C)
la
2 3
70. En la figura mostrada, calcule cos .
b
a
2 a 3b b D) 2a
A)
a 2b 2a E) 3b
B)
C)
a b
71. En un triángulo ABC se cumple asen C 3 calcule: b a cos C 1 cos B C cos A A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 CEPRE-UNI
72. En un triángulo ABC (AB = c, BC = a, AC b) , se tiene que: a 5b y C 120 . Calcule csc 2 A B 961 931 921 A) B) C) 432 232 212 700 457 D) E) 72 51 73. En un triángulo ABC se cumple tan A tan B c b tan A tan B c Calcule: cos (2A) 1 1 A) – 1 B) C) 2 4 1 3 D) E) 2 2 74. En un triángulo ABC (AB= c, BC= a, AC= b), se cumple: c cot C 2a c cot B c a c a Halle tan 2 c a 1 A) B) 3 C) 3 1 3 D) 3 1 E) 1 75. En un triángulo ABC (AB= c, BC= a, b 7 AC= b) , mA 53 y , calcule c 5 B C tan 2 1 1 3 A) B) C) 2 3 4 1 1 D) E) 5 2 76. En un triángulo ABC ( BC a , AC b , AB c ); si a 5 3 2 ; b 5 3 2 y además se sabe que A B 2 tg . Halle tg (C) 2 5 TRIGONOMETRÍA
- 10 -
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
A)
3
D)
24 7
B)
3 3
C) 1
5to Seminario
A B C E) 6 cos cos sen 2 2 2
E) 2
80. En un triángulo ABC de lados a, b y c simplifique:
77. En un triángulo ABC, AB 10 u , mA 2x , mC x además se cumple 7 sen4 x cos4 x , x 0; . 8 4 Calcule el área (en u2) de la región triangular. A) 15 3 1 B) 25 3 1
a b2 1 cos C a b 2 1 cos C
C) 15 3 1
E) 20 3 1
D) 25 3 1
A) a2 D) 2c2
B) 2b2 E) 2a2
C) b2
ÁNGULOS HORIZONTAL Y VERTICAL ROSA NAÚTICA 81. La estatura de una persona que está en una misma línea con un faro es de 1,8 m; en un instante su sombra es de 7,2 m, luego se aleja 30 m y su sombra crece a 9,0 m. Calcule la altura del faro.
78. En un triángulo ABC (AB = c, BC = a, AC b) , se cumple 2a2 3b2 7ab , la mC 30 , mA mB . Calcule: A B tan . 2 A) 1 3 C) E)
3 1 2 3 1
2 3 2 2 3 D) 2
B)
79. En un triángulo ABC, R es el circunradio simplifique: a c cos B b a cos C c b cos A 2 Rsen B Rsen C Rsen A
A B C A) 8sen sen sen 2 2 2 A B C B) 6sen sen sen 2 2 2 A B C C) 8sen cos sen 2 2 2 A B C D) 8sen cos cos 2 2 2 CEPRE-UNI
30 m Posición 2
A) 30 m D) 41,8 m
Posición 1
B) 31,8 m E) 45,2 m
C) 37,4 m
82. Un niño se encuentra entre 2 árboles y en la misma línea a uno lo mira con un ángulo de observación “B” y al otro con 2B. La distancia del niño al árbol más pequeño es igual a la altura del otro árbol. Calcule la altura del mayor árbol si las visuales a la parte más alta de los árboles es 30 y 35 m. para el más pequeño y para el otro respectivamente (desprecie la altura del niño). 40 60 m m A) B) 7 7 45 10 50 10 m m C) D) 7 7 TRIGONOMETRÍA
- 11 -
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
E)
5to Seminario
60 10 m 7
83. La parte superior de un edificio de 12 m es observada en un ángulo de 37º, y la parte más alta de la antena que está sobre el edificio con un ángulo de 49º. Calcule la longitud de la antena (considere tan (49º) = 1,15). A) 5 m B) 5,4 m C) 6 m D) 6,4 m E) 7 m 84. De la figura mostrada, en que dirección se encuentra R de Q si: PQ = PR.
N R
Q 75º O
15º P
E
S
A) NE D) N60ºE
B) N30ºE E) N10ºE
C) N20ºE
85. Una persona “x” se encuentra al este de una persona “y”. Si la persona “y” 1 se desplaza en dirección N NE y la 4 persona “x” en la dirección NNO. Ambos se encuentran en punto “Q”. Calcule la medida del menor ángulo que forman estas direcciones. A) 30º30’ B) 33º45’ C) 37º15’ D) 45º15’ E) 50º
CEPRE-UNI
86. Un barco se mueve en una ruta circunferencial en torno de una isla, rad/s (angular) con velocidad de 12 en qué dirección debe de salir otro barco (desde el origen de coordenadas) y a la misma velocidad tangencial del primero para chocarse. El primer barco parte del origen de arcos el este y sentido antihorario. A) E 45º 45’ N B) E 75º N C) E 30º30’ N D) E 60º30’ N E) E 57º17’ N 87. Si “M” observa a “N” al N E a una distancia de 50 m y “N” observa a “S” al N 2 E a una distancia también igual a 50 m. ¿En qué dirección observa “S” a “M”? 3 O A) S 2 O B) S 2 5 E C) S D) S O 2 2 E) S 2 E 88. Un avión parte en dirección E 60º N y avanza 45 km para luego tomar el rumbo S 60º E. ¿Cuántos km deberá avanzar para encontrarse al este del punto de partida. A) 60 3 B) 45 3 C) 30 3 45 3 D) E) 21 3 2 89. Un centinela observa a un intruso a 500 m y en la dirección E 37º N, el intruso en el afán de perderse avanza al sur pero ahora es visto en la dirección S 37º E. ¿A qué distancia se encuentra el intruso? 2 000 1 600 m m A) B) 3 3 1 300 1 000 m m C) D) 3 3
TRIGONOMETRÍA
- 12 -
CICLO BÁSICO ADMISIÓN 2014 – 1
E)
500 m 3
90. Una torre de 30 m. es observada en la dirección norte con un ángulo de elevación de 45º, si el observador camina al oeste y la torre esta el NE. Calcule el ángulo de elevación de la parte más alta de la torre y calcule su coseno. 2 6 6 6 A) B) C) 5 3 5 2 3 D) E) 3 2
5to Seminario
93. La parte más alta de un árbol es observado desde un punto “M” ubicado al sur y con un ángulo de elevación de 60º, luego se observa desde un punto N al oeste de M con un ángulo de 30º; si la distancia entre M y N es 30 6 m . Determine la altura del árbol. A) 40 m B) 45 m C) 50 m D) 55 m E) 60 m
91. Una persona parte desde un punto A y hace el siguiente recorrido: avanza 40 m en la dirección este, luego 20 m en la dirección sur, para finalmente recorrer 50 2 m en la dirección NE; ubicándose en la dirección E º N , visto desde el punto de partida. Halle tan . 1 1 A) 0 B) C) 4 3 1 D) E) 1 2 92. Las direcciones SSO y NNO son señaladas por dos rectas que pasan por el punto de observación, ¿cuál es el menor ángulo que forman estas direcciones? A) 40º B) 90º C) 115º D) 135º E) 150º
CEPRE-UNI
TRIGONOMETRÍA
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