OSCILACIONES AMORTIGUADAS 1. OBJETIVOS:
Encontrar la relación funcional entre la amplitud de oscilación y el tiempo para 0 [A] y 0,2[A].
Determinar la constante de amortiguamiento δ.
Determinar el decremento logarítmico λ.
2. MARCO TEORICO:
Un péndulo de torsión es un cuerpo unido mediante un cable a un extremo fijo, sus oscilaciones son movimientos armónicos angulares. Un péndulo puede ser excitado mediante una fuerza externa que varíe con el tiempo, es decir que tenga una cierta frecuencia. Existe una frecuencia para la cual el péndulo comienza a describir amplitudes mayores, cuando esto ocurre se dice que entró en resonancia. Por otro lado, cuando una pieza de metal (plato del péndulo) se mueve en una región en la que existe un campo magnético no uniforme pero constante en el tiempo B(r), se genera un campo eléctrico que produce un movimiento en las cargas libres del conductor metálico, generando corrientes eléctricas. Estas corrientes disipan energía en el metal en forma de calor y se denominan corrientes de Foucault. A causa de la disipación disipación de la energía se produce produce una fuerza fuerza de frenado que disminuye disminuye la velocidad de la pieza metálica. En el caso de un péndulo de torsión, se reducen las amplitudes de oscilación. Las corrientes de Foucault son proporcionales a las características del metal, a la velocidad a la que éste se mueve respecto al campo magnético y a la intensidad de este último 1. Oscilaciones amortiguadas
La mayoría de los sistemas que hemos visto hasta ahora son idealizaciones en las cuales no se considera la fricción y únicamente se toma en cuenta fuerzas conservativas como si no hubiera disminución de la energía mecánica y su amplitud continuara oscilando sin cambios. Ya sabemos que en la práctica los sistemas siempre presentan alguna forma de fricción y las oscilaciones van disminuyendo a menos que se provea de alguna forma de reemplazar la energía mecánica perdida por la fricción. La disminución en la amplitud provocada por las fuerzas disipativas es conocido por el nombre de amortiguamiento, presente en oscilaciones amortiguadas. Las características que presentan las oscilaciones amortiguadas son:
La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo.
La energía del oscilador disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.
Figura: Oscilación amortiguada En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo. La representación matemática es de amortiguación. Notemos que la amplitud decir, varía con el tiempo), mientras que a y condiciones de inicio del movimiento.
, donde
es el coeficiente
es también una función del tiempo (es son constantes que dependen de las
No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy grande. 2)
Péndulo de Pohl:
El péndulo de Pohl es un péndulo de torsión constituido por un volante o disco metálico (v.g., cobre) que puede rotar alrededor de un eje y que, mediante un resorte espiral, recupera su posición de equilibrio, oscilando alrededor de ésta 3.
3. DATOS:
Registro de datos para I = 0 [A]
En la Tabla 1 se registran los tiempos para 10 oscilaciones, para una corriente de I = 0 [A]
[]
18,66 18,87 18,81 19,00 Tabla 1: Tiempos correspondientes a 10 oscilaciones.
Registro de datos para I = 0,2[A]
En la Tabla 1 se registran los tiempos para 10 oscilaciones, para una corriente de I = 0 [A]
[]
9,40 9,38 9,42 9,56 Tabla 2: Tiempos para determinar el periodo.
4. CALCULOS Y GRAFICOS: Para corriente I = 0 [A]
Determinación de la media aritmética de los tiempos para cada longitud.
∑ ̅ ̅ []
Determinación del periodo de oscilación T.
[]
̅
En la tabla 3 registramos las amplitudes máximas y los tiempos números de oscilaciones; n = 5, 10, 15, etc.
, donde n son los
[] []]
1 0 19 2 9,42 17,4 3 18,84 15,8 4 28,25 14,2 5 37,67 13,0 6 47,09 11,8 7 56,50 10,6 8 65,92 9,6 9 75,34 8,4 10 84,76 7,4 Tabla Nº 3: Datos de las amplitudes máximas y tiempos, para I = 0 [A] Con los datos calculados en la tabla 3 graficamos el comportamiento de la amplitud en función del tiempo.
Figura 1: Amplitud en función del tiempo.
El modelo matemático para la curva de ajuste de la figura es:
Como el modelo escogido es de una curva no lineal (la disminución de la amplitud es exponencial), entonces previamente linealizamos aplicando logaritmos a la curva no lineal.
Aplicando logaritmos logaritmos tenemos: tenemos:
Dónde:
[] []] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 9,42 18,84 28,25 37,67 47,09 56,50 65,92 75,34 84,76
2,94 2,73 2,52 2,30 2,10 2,03 1,65 1,39 1,16 0,88
A continuación continuación se grafica la la tabla que esta linealizada. linealizada.
3,50 3,00 2,50 2,00 ln A
1,50
y = -0,011x + 2,965 R² = 0,9967
1,00 0,50 0,00 0
20
40
60
80
100 t [s]
Utilizando el método de mínimos cuadrados, calculamos los parámetros de ajuste del modelo escogido:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10
9,42 18,84 28,25 37,67 47,09 56,5 65,92 75,34 84,76 423,79
2,94 2,86 2,76 2,65 2,56 2,47 2,36 2,26 2,13 2,00 25,00
0 0 26,91 88,74 52,00 354,95 74,95 798,06 96,62 1419,03 116,22 2217,47 133,39 3192,25 149,10 4345,45 160,34 5676,12 169,65 7184,26 979,18 25276,31
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
2,9650 2,8616 2,7582 2,6550 2,5516 2,4483 2,3450 2,2417 2,1383 2 ,1383 2,0349 2 ,0349
-2,05E-02 -5,13E-03 1,77E-03 -1,74E-03 1,33E-02 1,98E-02 1,58E-02 2,01E-02 -1,01E-02 -3,34E-02
4,21E-04 2,63E-05 3,15E-06 3,03E-06 1,78E-04 3,94E-04 2,51E-04 4,05E-04 1,01E-04 1,12E-03 2,90E-03
∑ Los parámetros encontrados son:
±[[ ];% ± [ ];%
Luego encontramos los parámetros del modelo escogido con sus respectivos errores:
±[ ];% ± [ ];%
Con los parámetros encontrados, la ecuación de ajuste escogida es:
000
Comparamos la ecuación
el valor de la amplitud inicial
θ y
con el modelo escogido, encontramos
la constante de amortiguamiento
δ con
sus
respectivos errores:
0 000 000 0 0 0 0 0 Por comparación tenemos:
Calculamos el error de la amplitud inicial:
Calculamos el error de la constante de amortiguamiento:
±[ [];%
Conocido el coeficiente de amortiguamiento y el periodo, determinamos el decremento logarítmico para el primer ciclo:
[]
Para corriente I = 0,2 [A]
Determinación de la media aritmética de los tiempos para cada longitud.
̅ []
∑ ̅
Determinación del periodo de oscilación T.
[[]
̅
En la tabla 3 registramos las amplitudes máximas y los tiempos números de oscilaciones; n = 2, 4, 6 , …
, donde n son los
[] []
1 0 19 2 3,776 15,4 3 7,552 12,4 4 11,328 10 5 15,104 8,2 6 18,88 7,6 7 22,656 5,2 8 26,432 4 9 30,208 3,2 10 33,984 2,4 Tabla Nº 3: Datos de las amplitudes máximas y tiempos, para I = 0,2 [A]
Con los datos calculados en la tabla 3 graficamos el comportamiento de la amplitud en función del tiempo.
20 A
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40 t [s]
Figura 1: Amplitud en función del tiempo. El modelo matemático para la curva de ajuste de la figura es:
Como el modelo escogido es de una curva no lineal (la disminución de la amplitud es exponencial), entonces previamente linealizamos aplicando logaritmos a la curva no lineal.
Aplicando logaritmos logaritmos tenemos: tenemos:
Dónde:
[] []] 1 2 3 4 5 6
0
3,78 7,55 11,33 15,10 18,88
2,94 2,73 2,52 2,30 2,10 2,03
7 8 9 10
22,66 26,43 30,21 33,98
1,65 1,39 1,16 0,88
3,50 ln A
3,00
y = -0,0599x + 2,9881 R² = 0,9907
2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0
5
10
15
20
25
30
35
40 t [s]
Utilizando el método de mínimos cuadrados, calculamos los parámetros de ajuste del modelo escogido:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10
0 3,78 7,55 11,33 15,10 18,88 22,66 26,43 30,21 33,98 169,92
2,94 2,73 2,52 2,30 2,10 2,03 1,65 1,39 1,16 0,88 19,70
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
0 10,32 19,01 26,08 31,78 38,29 37,35 36,64 35,14 29,75 264,38
0 14,26 57,03 128,32 228,13 356,45 513,29 698,65 912,52 1154,91 4063,58
2,99 2,76 2,53 2,31 2,08 1,86 1,63 1,40 1,18 0,95
-0,0436 -0,0271 -0,0172 -0,0057 0,0224 0,1729 0,0200 -0,0158 -0,0124 -0,0735
1,90E-03 7,33E-04 2,95E-04 3,29E-05 5,01E-04 2,99E-02 4,01E-04 2,49E-04 1,53E-04 5,40E-03 3,96E-02
∑ ∑ Los parámetros encontrados son:
±[[ ];% ±[ ];%
Luego encontramos los parámetros del modelo escogido con sus respectivos errores:
±[[ ];% ± [ ];%
Con los parámetros encontrados, la ecuación de ajuste escogida es:
00
Comparamos la ecuación
con el modelo escogido, encontramos
el valor de la amplitud inicial y la constante de amortiguamiento con sus respectivos errores:
0 00 00 0 0 0 0 0 ±[];%
Conocido el coeficiente de amortiguamiento y el periodo, determinamos el decremento logarítmico para el primer ciclo:
; √ √
[] 5. RESULTADOS: Para corriente I = 0 [A]
Parámetros encontrados de la ecuación lineal:
±[ ];% ± [ ];%
Parámetros encontrados de la ecuación no lineal:
±[ [ ];% ± [ ];% 000 [ ];% 0 ±[ ± [[ ];% [ [ ]
La ecuación de ajuste
es:
El valor de la amplitud inicial
y la constante de amortiguamiento
El decremento logarítmico para el primer ciclo es:
Para corriente I = 0,2 [A]
Parámetros encontrados de la ecuación lineal:
±[[ ];% ±[[ ];%
Parámetros encontrados de la ecuación no lineal:
son:
La ecuación de ajuste
±[ ];% ± [ ];% 00 [ ];% 0 ±[ ± [ ];% [ ]
es:
El valor de la amplitud inicial
y la constante de amortiguamiento
son:
El decremento logarítmico para el primer ciclo es:
6. CUESTIONARIO: 1. ¿Por qué no es posible encontrar un Movimiento Armónico Simple
perfecto? Por las pérdidas de energía. Un péndulo bien manufacturado puede durar semanas sin parar, pero la fuerza de fricción aunque mínima lo detendrá a final de cuentas 4. 2. Se miden dos amplitudes amplitudes separadas n ciclos. Sea A0 la primera amplitud medida, y An es la amplitud medida después de n ciclos. Demostrar que el decremento logarítmico está dado por:
0 Primero, realizamos la proporción entre las dos amplitudes:
0 0 0 Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación ecuación para despejar el exponente:
Sabemos que:
() 0 0 0 0
Por últimos tenemos que:
0 3. Un niño en un columpio parte desde una gran altura, pero no se impulsa. impulsa. ¿Cómo cambia en el tiempo la frecuencia de la oscilación?
4. CONCLUSIONES:
Mediante esta práctica se encontró la relación funcional que existe entre la amplitud de oscilación y el tiempo y es del tipo exponencial, para una corriente de 0 [A] y 0,2 [A] obteniendo
las
siguientes
relaciones
respectivamente,
00
y
000
Se llegó a determinar la constante de amortiguamiento δ para corrientes de 0 [A] y 0,2 [A], obteniendo
± [];%
y
respectivamente.
± [];%
Se determinó el decremento logarítmico λ para una corriente de 0 [A] y 0,2 [A] obteniendo las siguientes relaciones
[] [] y
respectivamente.
5. RECOMENDACIONES:
Manejar bien los instrumentos para obtener datos más precisos.
Posicionar bien el péndulo para poder hacerlo oscilar, ya que en esta práctica no se cuenta con un transportador que nos ayude a ser medir los 10º o menores ángulos que se indica en el procedimiento. Tener cuidado con los materiales a experimentarse para la obtención de datos. 6. BIBLIOGRAFIA:
1. http://es.scribd.com/doc/92604037/OSCILACIONES-AMORTIGUADAS 2. http://www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo/acuapu/osc.html 3. http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_de_Pohl 4. http://www.buenastareas.com/ensayos/Cuestionario-Fisica/5941071.html
