PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho
1.2
Sistema de 1 grau de liberdade de rotação não amortecido
Con&derando o &&tema +/&trado pe+a Fg/ra ,
Fg/ra ,) S&tema de , gra/ de +#erdade de rota$0o
Onde) J 1 ma&&a 23g m456 kt 1 rgde7 tor!ona+ 2Nm-rad56
,686,
E9/a$%e& 9/e regem o mo*mento
E:&tem d/a& (orma& de &e o#ter a& e9/a$%e& 9/e regem o mo*mento do &&tema de , gra/ de +#erdade n0o amo+e!do) atra*;& do &omat
1.2.1.1 Somatório de momentos
∑ M = . =,6,> ,-,.
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O momento n;r!a ; dado por) && M = J ⋅ θ
=,68> O momento do e+emento de rgde7 ; dado por) M = Kt ⋅ θ
=,6?> Logo a e9/a$0o 9/e rege o mo*mento ; dada por) && + Kt ⋅ θ = . J ⋅ θ
=,6@>
1.2.1.2 Método das energias
A energa !n;t!a e poten!a+ e+&t!a do &&tema &0o e:pre&&a& por)
Ec =
Ep =
, & J ⋅ θ 4 8 , Kt ⋅ θ 4 8
=,6B>
=,6>
Et = Ep + Ec
=,6> Onde) Ec 1 Energa !n;t!a 256 Ep 1 Energa !n;t!a 256
8-,.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho A energa tota+ do mode+o =energa !n;t!a ma& energa poten!a+> ; !on&tante d/rante todo o mo*mento portanto n0o h *ara$0o de energa tota+6 =A energa !n;t!a ; tran&(ormada em energa poten!a+ e *!e e *er&a>6 Ep + Ec = cons tan te
=,6> d dt
= Ep + Ec> = . =,6H>
, , = J ⋅ θ &4 + kt ⋅ θ 4> = . dt 8 8 d
=,6,.> De&ta (orma o#temo& no*amente a e9/a$0o =,6@> && + Kt ⋅ θ = . J ⋅ θ
=,6@> ,6868
So+/$0o da e9/a$0o do mo*mento
A pro#+emt!a no& remete a &eg/nte perg/nta) J/a+ ; a (/n$0o 9/e ao &er &omada !om &/a der*ada &eg/nda &e an/+aK Por &e tratar de e9/a$0o d(eren!a+ ordnra a &o+/$0o para a (/n$0o de&+o!amento 9/e &at&(a7 a e9/a$0o d(eren!a+ ; dada por) θ =t >
= A ⋅ !o&= ⋅ t + Φ>
=,6,,> Onde ) A ⋅ 1 amp+t/de 2rad56
1 (re9n!a de o&!+a$0o do &&tema 2rad-&56
?-,.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho Φ = (a&e o/ de(a&agem do mo*mento 2rad56
A e9/a$0o Erro! Fonte de referência não encontrada. > repre&enta o de&+o!amento da ma&&a em (/n$0o do tempo der*ando em re+a$0o ao tempo ; po&&*e+ &e o#ter a& (/n$%e& 9/e repre&entam a *e+o!dade e a a!e+era$0o da ma&&a6 & θ
= − A ⋅ ω ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ>
=,6,8> && = θ
− A ⋅ ω 4 ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ>
=,6,?>
,686?
O#tendo a (re9n!a do &&tema = >
Para &e o#ter a (re9n!a do &&tema &/#&tt/em&e a& e9/a$%e& =,6,,> e =,6,?> na e9/a$0o do mo*mento =,6@>6 − J ⋅ A ⋅ 4 ⋅ !o&= ⋅ t + Φ> + kt ⋅ A ⋅ !o&= ⋅ t + Φ> = .
=,6,@> − J ⋅ A ⋅ 4 ⋅ !o&= ⋅ t + Φ > = −kt ⋅ A ⋅ !o&= ⋅ t + Φ>
=,6,B> − J ⋅ 4 = −kt ⋅
=,6,> ω =
kt J
⋅
=,6,> A partr de&&e ponto a (re9n!a = > &er !hamada de (re9n!a nat/ra+ do &&tema 9/e ; a (re9n!a !om 9/e o &&tema o&!+a em torno de &/a po&$0o de e9/+#ro6 ω = ω n
=,6,> @-,.
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ω n
=
kt J
=,6,H> f n =
, kt 8π J =,68.>
Onde) ω n
1 (re9n!a nat/ra+ ang/+ar do &&tema 2rad-&56
f n 1 (re9n!a nat/ra+ o/ (re9n!a pr
,686@
O#tendo a amp+t/de do &&tema
Para &o+ar e o#ter a amp+t/de #a&tar e+e*ar a& e9/a$%e& =,6,,> e =,6,?> ao 9/adrado e &om+a&6 θ = A ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ> & θ = − A ⋅ ω ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ>
=,68,> θ 4 = A4 ⋅ !o& 4=ω ⋅ t + Φ > & θ 4 = A4 ⋅ ω 4 ⋅ sen 4=ω ⋅ t + Φ >
=,688> Para t = . θ =.> = θ . e θ &=.> = θ &. θ . 4 = A4 ⋅ !o& 4=Φ > & θ . 4 = A4 ⋅ ω 4 ⋅ sen4=Φ>
=,68?> θ . 4 = A4 ⋅ !o& 4=Φ > θ &. 4 = A4 ⋅ sen4=Φ > ω 4
=,68@> B-,.
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θ . 4
+
& 4 θ . ω 4
= A4 ⋅ =!o& 4=Φ> + sen4=Φ>>
=,68B>
Sa#endo 9/e !o& 4=u > + sen4=u > = , temo&)
θ . 4
A =
+
& 4 θ . ω 4
θ . 4
= A4
=,68> +
& 4 θ . ω 4
=,68> DICA) &e a *e+o!dade ang/+ar n!a+ (or g/a+ a 7ero a amp+t/de m:ma do &&tema &er g/a+ !ond$0o n!a+ de de&+o!amento ang/+ar6
,686B
O#tendo a (a&e do &&tema)
Para &e o#ter o *a+or da (a&e #a&ta d*dr a e9/a$0o =,6,?> pe+a e9/a$0o=,6,,>6 θ & = − A ⋅ ω ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ> θ = A ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ>
=,68> θ & = − A ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ> ω θ = A ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ >
=,68H>
-,.
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=,6?.> & θ . ω ⋅ θ .
sen=Φ >
=−
!o&= Φ > =,6?,>
−
& θ . ω ⋅ θ .
= tan=Φ >
=,6?8> − θ &. Φ = ar!tan ω ⋅ θ .
=,6??> DICA) &e a *e+o!dade n!a+ (or g/a+ a 7ero a (a&e &er 7ero6
-,.
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,686
Repre&enta$0o gr(!a
Fg/ra 8) Gr(!o de de&+o!amento *e+o!dade e a!e+era$0o6 -,.
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Energa poten!a+ e+&t!a e energa !n;t!a6
S/#&tt/ndo a e9/a$0o =,6,8> na e9/a$0o =,6> temo& a energa !n;t!a do &&tema6 , 8
Ec = J ⋅ = − A ⋅ ω ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ >>4
=,6?@>
S/#&tt/ndo a e9/a$0o =,6,,> na e9/a$0o =,6B> temo& a energa poten!a+ e+&t!a do &&tema6
Ep =
, kt ⋅ = A ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ>>4 8
=,6?B>
A energa tota+ do &&tema ; a &oma da energa poten!a+ e+&t!a !om a energa !n;t!a6 , 8
Et = J ⋅ = − A ⋅ ω ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ >>4 +
, kt ⋅ = A ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ >>4 8
, 8
, kt ⋅ A4 ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ>4 8
, 8
, kt ⋅ A4 ⋅ !o&=ω ⋅ t + Φ>4 8
Et = J ⋅ A4 ⋅ ω 4 ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ >4 +
Et = J ⋅ A4 ⋅ ω 4 ⋅ sen=ω ⋅ t + Φ >4 +
, 8
Et = J ⋅ A4 ⋅ ω 4 +
, kt ⋅ A4 8
=,6?>
=,6?>
=,6?>
=,6?H>
H-,.
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Et = A4 ⋅ = J ⋅ ω 4 + kt >
=,6@.>
Como e&perado a energa tota+ do &&tema n0o depende do tempo e ; !on&tante6
,.-,.
