PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho
1 VIBRAÇÕES LIVRES
1.1
Sistema de 1 grau de liberdade de translação não amortecido
Con&derando o &&tema +/&trado pe+a Fg/ra ,0
Fg/ra ,) S&tema de , gra/ de +#erdade
Onde) m 1 ma&&a 23g40 k 1 rgde5 2N-m40
,0,0,
E6/a$%e& 6/e regem o mo*mento
E7&tem d/a& (orma& de &e o#ter a e6/a$8o d(eren!a+ 6/e rege o mo*mento do &&tema de , gra/ de +#erdade n8o amo+e!do) atra*9& do &omat:ro de (or$a& 6/e at/am no &&tema o/ atra*9& do m9todo da& energa&0
,-,.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho 1.1.1.1 Somatório de forças
∑ F = . <,0,= A (or$a ner!a+ da ma&&a 9 dada por) && F = m x
<,0;=
A (or$a do e+emento de rgde5 9 dada por) F = kx
<,0>= Logo a e6/a$8o 6/e rege o mo*mento 9 dada por) m x&& + Kx = .
<,0?=
1.1.1.2 Método das energias
A energa !n9t!a e poten!a+ e+@&t!a do &&tema &8o e7pre&&a& por)
Ec =
Ep =
, m x& ; , kx ;
<,0B=
<,0=
Et = Ep + Ec
<,0= ;-,.
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Onde) Ec 1 Energa !n9t!a 240 Ep 1 Energa !n9t!a 240
A energa tota+ do mode+o
<,0= d dt
< Ep + Ec= = . <,0H=
, , < m x& + kx = = . dt ; ; d
<,0,.= De&ta (orma o#temo& no*amente a e6/a$8o <,0?= m x& & + Kx = .
,0,0;
<,0?=
So+/$8o da e6/a$8o do mo*mento
A pro#+em@t!a no& remete a &eg/nte perg/nta) J/a+ 9 a (/n$8o 6/e ao &er &omada !om &/a der*ada &eg/nda &e an/+aK Por &e tratar de e6/a$8o d(eren!a+ ordn@ra a &o+/$8o para a (/n$8o de&+o!amento 6/e &at&(a5 a e6/a$8o d(eren!a+ 9 dada por) x
<,0,,=
>-,.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho Onde ) A ⋅ 1 amp+t/de 2m40
1 (re6n!a de o&!+a$8o do &&tema 2rad-&40 Φ = (a&e o/ de(a&agem do mo*mento 2rad40
A e6/a$8o <,0,>= repre&enta o de&+o!amento da ma&&a em (/n$8o do tempo der*ando em re+a$8o ao tempo 9 po&&*e+ &e o#ter a& (/n$%e& 6/e repre&entam a *e+o!dade e a a!e+era$8o da ma&&a0 x& = − A ⋅
⋅ sen< ⋅ t + Φ =
<,0,;= && = − A ⋅ x
⋅ !o&< ⋅ t + Φ= <,0,>=
,0,0>
O#tendo a (re6n!a do &&tema < =
Para &e o#ter a (re6n!a do &&tema &/#&tt/em&e a& e6/a$%e& <,0,,= e <,0,>= na e6/a$8o do mo*mento <,0?=0 − m ⋅ A ⋅ ⋅ !o&< ⋅ t + Φ= + k ⋅ A ⋅ !o&< ⋅ t + Φ= = .
<,0,?= − m ⋅ A ⋅ ⋅ !o&< ⋅ t + Φ= = −k ⋅ A ⋅ !o&< ⋅ t + Φ =
<,0,B= − m ⋅ = −k ⋅
<,0,= ω
=
k m
⋅
<,0,=
?-,.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Departamento de Engenhara Me!"n!a V#ra$%e& Me!"n!a& ' NOITE Pro(e&&or) Atho& Car*a+ho A partr de&&e ponto a (re6n!a < = &er@ !hamada de (re6n!a nat/ra+ do &&tema 6/e 9 a (re6n!a !om 6/e o &&tema o&!+a em torno de &/a po&$8o de e6/+#ro0 = ω n
ω
<,0,= ω
n
=
k m
<,0,H= f n =
, k ;π m <,0;.=
Onde) ω
n
1 (re6n!a nat/ra+ ang/+ar do &&tema 2rad-&40
f n 1 (re6n!a nat/ra+ o/ (re6n!a pr:pra do &&tema 2Q540
,0,0?
O#tendo a amp+t/de do &&tema
Para &o+ar e o#ter a amp+t/de #a&tar e+e*ar a& e6/a$%e& <,0,,= e <,0,>= ao 6/adrado e &om@+a&0 x = A ⋅ !o&<ω ⋅ t + Φ = x& = − A ⋅ ω ⋅ sen<ω ⋅ t + Φ =
<,0;,= x = A ⋅ !o& <ω ⋅ t + Φ = x& = A ⋅ ω ⋅ sen <ω ⋅ t + Φ =
<,0;;= Para t = . x<.= = x. x& <.= = 7& . x . = A ⋅ !o& <Φ= x& . = A ⋅ ω ⋅ sen <Φ=
<,0;>= B-,.
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x . = A ⋅ !o& <Φ = x& . ω = A ⋅ sen <Φ =
<,0;?= x . +
x& .
= A ⋅
ω
<,0;B=
Sa#endo 6/e !o&
x. +
x& .
= A
ω
A = x. +
<,0;= x& .
ω
<,0;= DICA) &e a *e+o!dade n!a+ (or g/a+ a 5ero a amp+t/de m@7ma do &&tema &er@ g/a+ !ond$8o n!a+ de de&+o!amento0
,0,0B
O#tendo a (a&e do &&tema)
Para &e o#ter o *a+or da (a&e #a&ta d*dr a e6/a$8o <,0,>= pe+a e6/a$8o <,0,,=0 x& = − A ⋅ ω ⋅ sen<ω ⋅ t + Φ = x = A ⋅ !o&<ω ⋅ t + Φ =
<,0;=
-,.
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<,0;H= Para t = . x<.= = x. x& <.= = 7& . x& . = − A ⋅ sen<Φ= ω x . = A ⋅ !o&< Φ=
<,0>.= sen<Φ =
x& . ω
⋅ x.
=−
!o&< Φ = <,0>,=
−
x& . ω
⋅ x .
= tan<Φ =
<,0>;= − x& . Φ = ar!tan ω ⋅ x .
<,0>>= DICA) &e a *e+o!dade n!a+ (or g/a+ a 5ero a (a&e &er@ 5ero0
-,.
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Repre&enta$8o gr@(!a
Fg/ra ;) Gr@(!o de de&+o!amento *e+o!dade e a!e+era$8o0
-,.
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Energa poten!a+ e+@&t!a e energa !n9t!a0
S/#&tt/ndo a e6/a$8o <,0,;= na e6/a$8o <,0= temo& a energa !n9t!a do &&tema0
Ec =
, m ⋅ < − A ⋅ ω ⋅ sen<ω ⋅ t + Φ== ; <,0>?=
S/#&tt/ndo a e6/a$8o <,0,,= na e6/a$8o <,0B= temo& a energa poten!a+ e+@&t!a do &&tema0
Ep =
, k ⋅ < A ⋅ !o&<ω ⋅ t + Φ== ;
<,0>B=
A energa tota+ do &&tema 9 a &oma da energa poten!a+ e+@&t!a !om a energa !n9t!a0
Et =
, , m ⋅ < − A ⋅ ω ⋅ sen<ω ⋅ t + Φ== + k ⋅ < A ⋅ !o&<ω ⋅ t + Φ == ; ; <,0>=
Et =
Et =
, , m ⋅ A ⋅ ω ⋅ sen<ω ⋅ t + Φ = + k ⋅ A ⋅ !o&<ω ⋅ t + Φ= ; ;
<,0>=
, , m ⋅ A ⋅ ω ⋅ sen<ω ⋅ t + Φ = + k ⋅ A ⋅ !o&<ω ⋅ t + Φ= ; ; <,0>= Et =
, , m ⋅ A ⋅ ω + k ⋅ A ; ;
<,0>H=
H-,.
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Et = A ⋅ < m ⋅ ω + k =
<,0?.= Como e&perado a energa tota+ do &&tema n8o depende do tempo e 9 !on&tante0
,.-,.
