Chapitre 5 Les emprunts Obligataires
1
1. Définition
L’emprunt obligataire est un emprunt divisé en fractions égales appelées obligations souscrites par un grand nombre de prêteurs appelés obligataires
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1
2. Vocabulaire termes Définitions Nombre Nombre d’obli d’obligat gation ionss N Nombre Nombre tota totall d’oblig d’obligati ations ons émises émises et à rembou rembourser rser Val Valeu eurr nom nomin inal alee C Vale Valeur ur att attribu ribuée ée à une une obl oblig igat atio ion n afin fin de de calc calcu uler ler les les intérêts Prix rix d’ém d’émis issi sion on E Mont Montan antt versé ersé par par l’ob l’obli liga gattaire aire pour pour obt obteni enir une une obligation: - Si E=C, émission émission au au pair -Si EC) Taux nominal i Ce taux sert à calculer les intérêts Date ate de jou jouis issa sanc ncee Dat Date de dépa départ rt du calc calcul ul des des int intér érêt êtss Coup Coupon onss d’in d’inté térê rêts ts c Inté Intérê rêts ts annu annuel elss pou pourr une une obli obliga gati tion on:: Valeur nominale * taux d’intérêts nominal: C * i
3. Remboursement par annuités constantes En se plaçant à la date d’émission de l’emprunt obligataire, on peut écrire la relation suivante: NC = a
1 − (1 + i )
−n
i
a = NC
i
1− (1+ i)
−n
4
2
3. Remboursement par annuités constantes Exemple: Soit l’emprunt obligataire suivant: Nombre d’obligations: 10.000; Prix d’émission E: 100 DH; Valeur Nominal C: 100 DH; Taux 4,5%; Durée: 4 ans Question : Calculez le montant de l’annuité constante et présentez le tableau d’amortissement
Calcul du montant de l’annuité a
=
(10 .000 × 100 )
0,045 1 − (1,045 )
−
4
=
278 .741,33 5
(100*0.045)*10.000 3. Remboursement par annuités constantes Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1
45.000
10.000
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
Annuités
3
Amortissement théorique: 278.741,33-45.000=233.741,33, ce qui correspond à 233.741,33/100 II. Les emprunts obligataires =2337,41 obligations, arrondi à 2337 obligations. 3. Remboursement par annuités constantes Amortissement réel 2337*100=233.700
Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
Annuités
1
45.000
2337
278.700
10.000
233.700
45.000 + 233.700 3. Remboursement par annuités constantes
Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
Annuités
1
45.000
2337
278.700
10.000
233.700
4
10.000-2337 3. Remboursement par annuités constantes Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
Annuités
1 2 3 4
45.000
2337
278.700
10.000 7663
233.700
(100*0,045)*7663 3. Remboursement par annuités constantes Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2
45.000 2337 34.483,5
10.000 7663
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
233.700
Annuités
278.700
5
Amortissement théorique: 278.741,33 - 34.483,5=244257,5 soit 2442,57 obligations arrondi à 2443 Obligations
3. Remboursement par annuités constantes
Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2
45.000 2337 34.483,5 2443
10.000 7663
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
233.700 244.300
Annuités
278.700 278.783,5
34.483,5+244.300 3. Remboursement par annuités constantes Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2
45.000 2337 34.483,5 2443
10.000 7663
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
233.700 244.300
Annuités
278.700 278.783,5
6
3. Remboursement par annuités constantes Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
Nombre Amortissement d’obligation s amorties
Annuités
1 2 3 4
45.000 34.483,5 23.490 12.001,5
2337 2443 2553 2667 10.000
278.700 278.783,5 278.790 278.701,5
10.000 7663 5220 2667
233.700 244.300 255.300 266.700 1.000.000
Le montant des annuités varie légèrement selon les années. emprunts obligataires Cela estII. dû àLes l’obligation d’arrondir à un nombre entier le nombre d’obligations remboursées chaque année. On dit 3. Remboursement par annuités constantes que les annuités d’un emprunt obligataire sont sensiblement constantes et on qualifie l’annuité calculée Années Nombre Intérêts Nombre Amortissement Annuités d’annuité théorique. d’obligations vivantes au début
1 2 3 4
10.000 7663 5220 2667
d’obligation s amorties
45.000 34.483,5 23.490 12.001,5
2337 2443 2553 2667 10.000
233.700 244.300 255.300 266.700 1.000.000
278.700 278.783,5 278.790 278.701,5
7
3. Remboursement par amortissement constant
Le nombre d’obligations remboursé à la fin de chaque période est le même et égale à N/n Les intérêts diminuent à chaque période ainsi que les annuités.
Exemple Reprenons l’exemple précédent en considérant que l’emprunt obligataire est remboursé par amortissement constant
15
3. Remboursement par amortissement constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
1 2 3 4
10.000
Intérêts
Nombre Amortissement d’obligations amorties
2500 2500 2500 2500 10.000
Annuités
250.000 250.000 250.000 250.000
16
8
(100*0.045)*10.000
3. Remboursement par amortissement constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1
45.000 2500
10.000
Nombre Amortissement d’obligations amorties
250.000
Annuités
295.000
17
250.000+45.000
3. Remboursement par amortissement constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1
45.000 2500
10.000
Nombre Amortissement d’obligations amorties
250.000
Annuités
295.000
18
9
3. Remboursement par amortissement 10.000-2500 constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2
45.000 2500 33.750 2500
10.000 7500
Nombre Amortissement d’obligations amorties
250.000 250.000
Annuités
295.000 283750
19
3. Remboursement par amortissement (100*0.045)*7500 constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2
45.000 2500 33.750 2500
10.000 7500
Nombre Amortissement d’obligations amorties
250.000 250.000
Annuités
295.000 283750
20
10
3. Remboursement par amortissement 33.750+250.000 constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2
45.000 2500 33.750 2500
10.000 7500
Nombre Amortissement d’obligations amorties
250.000 250.000
Annuités
295.000 283750
21
3. Remboursement par amortissement constant Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
Nombre Amortissement d’obligations amorties
Annuités
1 2 3 4
45.000 33.750 22.500 11.250
2500 2500 2500 2500 10.000
295.000 283750 272.500 261.250
10.000 7500 5000 2500
250.000 250.000 250.000 250.000
22
11
4. Remboursement in fine
Les intérêts sont identiques pour les n périodes puisque le remboursement n’intervient qu’à la fin de la n ème période
Les n-1 premières annuités ne comprennent que des intérêts et sont de même montant.
La dernière annuité correspond au total : Intérêts constants + totalité du remboursement (NC)
Exemple: reprenons l’exemple précédent en considérant que l’emprunt est remboursé en totalité à la fin de la 4 ème année. Présenter le tableau d’amortissement correspondant
3. Remboursement in fine Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2 3 4
45.000 45.000 45.000
10.000 10.000 10.000
Nombre Amortissement d’obligations amorties
-
Annuités
45.000 45.000 45.000
24
12
3. Remboursement in fine Années Nombre d’obligations vivantes au début
Intérêts
1 2 3 4
45.000 45.000 45.000 45.000 10.000
10.000 10.000 10.000 10.000
Nombre Amortissement d’obligations amorties
1.000.000
Annuités
45.000 45.000 45.000 1.045.000
25
4. Taux de rendement actuariel Principe On se place du point de vue des obligataires (c’est-à-dire des prêteurs) et on cherche le taux de rendement actuariel brut obtenu de leur placement en obligations.
Ona:
Somme prêtée = Nombre d’obligations souscrites * Prix d’émission Sommes reçues = Ensemble des annuités versées par l’émetteur jusqu’au remboursement. Le taux de rendement actuariel brut t est le taux qui réalise l’égalité entre le montant versé à la souscription et les annuités actualisées à ce taux. Il est calculé pour l’ensemble des obligataires et suppose qu’ils conservent leurs obligations jusqu’à leur remboursement.
13
théorique: Section Annuité II- Lesconstante emprunts obligataires i rendement actuariel Taux de a NC =
1 − (1 + i )
−n
(100 .000 × 1 .000 ) ×
0 ,0452
= 15 . 173 . 355 ,59 8 Exemple: 1 − (1, 0452 ) Un emprunt obligataire est émis aux conditions suivantes: Nombre d’obligation: 100.000; Durée : 8 ans; Taux : 4,52%; Valeur nominale : 1000 DH; Prix d’émission : 980 DH; Remboursement au pair Le directeur financier hésite entre deux modalités de remboursement: (par annuités constantes ou in fine). Question: Calculez le taux brut actuariel pour chacune des deux hypothèses de remboursement −
Section II- Lesactuariel emprunts obligataires Taux de rendement (H1: annuités constantes) 8 Taux de rendement actuariel 1 − (1 + t ) −
100 .000 × 980 t =
=
15 .173 .533 ,59
t
0,0502 (5,02 %)
Exemple: Un emprunt obligataire est émis aux conditions suivantes: Nombre d’obligation: 100.000; Durée : 8 ans; Taux : 4,52%; Valeur nominale : 1000 DH; Prix d’émission : 980 DH; Remboursement au pair Le directeur financier hésite entre deux modalités de remboursement: (par annuités constantes ou in fine). Question: Calculez le taux brut actuariel pour chacune des deux hypothèses de remboursement
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Section Les emprunts TauxIIde rendement actuariel obligataires (H2: in fine) Taux de rendement actuariel (100.000× 980) = 4.520.000
1 − (1 + t ) t
7
−
+
104.520.000(1 + t )
8
−
t = 0,0483(4,83%) Exemple: Un emprunt obligataire est émis aux conditions suivantes: Nombre d’obligation: 100.000; Durée : 8 ans; Taux : 4,52%; Valeur nominale : 1000 DH; Prix d’émission : 980 DH; Remboursement au pair Le directeur financier hésite entre deux modalités de remboursement: (par annuités constantes ou in fine). Question: Calculez le taux brut actuariel pour chacune des deux hypothèses de remboursement
Emprunt obligataire Exemple 1 : La société Brix envisage d’émettre un emprunt de 100.000 obligations aux conditions suivantes : Nominal 50 euros, Prix d’émission 48 euros, Prix de remboursement : le pair Taux nominal : 4,40% Durée 4 ans Présenter le tableau d’amortissement de cet emprunt: Si l’emprunt est remboursé par annuités constantes Si l’emprunt est remboursé par amortissements constants Si l’emprunt est remboursé in fine. 30
15
l’emprunt est remboursé par annuités constantes Calcul de l’annuité théorique
a
=
(50 ×100.000)
0,044 1 − (1,044)
−
4
=
1.390.458,78
31
Amortissement théorique: l’emprunt est remboursé parceannuités 1.390.458,78-220.000= 1170458,78 qui correspond à 1.170.458,78/50=23.409,17 constantes
P
obligations, arrondi à 23.409 obligations. Amortissement réel 23.409*50=1.170.450 Obligations Intérêts Obligations Amortiss Annuités vivantes
1
100.000
amorties 220.000
23.409
1.170.450
1.390.450
32
16
Amortissement théorique: l’emprunt est remboursé par annuités 1.390.458,78-168.500,20= 1.221.958,58 ce qui correspond à 1.221.958,58/50=24.439,17 constantes
P
obligations, arrondi à 24.439 obligations. Amortissement réel 24.439*50=1.221.950 Obligations Intérêts Obligations Amortiss Annuités vivantes
amorties
1
100.000
220.000
23.409
1.170.450
1.390.450
2
76.591
168.500,20 24.439
1.221.950
1.390.450,24
33
l’emprunt est remboursé par annuités constantes P
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
Annuités
1
100.000
220.000
23.409
1.170.450
1.390.450
2
76.591
168.500,20 24.439
1.221.950
1.390.450,24
3
52.152
117.734,40 25.514
1.275.700
1.390.434,40
4
26.638
58.603,60
1.331.900
1.390.503,60
26.638
34
17
l’emprunt est remboursé par annuités constantes P
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
Annuités
1
100.000
220.000
23.409
1.170.450
1.390.450
2
76.591
168.500,20 24.439
1.221.950
1.390.450,24
3
52.152
117.734,40 25.514
1.275.700
1.390.434,40
4
26.638
58.603,60
1.331.900
1.390.503,60
26.638
35
l’emprunt est remboursé par amortissements constants P
1
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
100.000
25.000
2
25.000
3
25.000
4
25.000
Annuités
36
18
l’emprunt est remboursé par amortissements constants P
1
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
100.000
220.000
25.000
2
25.000
3
25.000
4
25.000
1.250.000
Annuités
1.470.000
37
l’emprunt est remboursé par amortissements constants P
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
Annuités
1
100.000
220.000
25.000
1.250.000
1.470.000
2
75.000
165.000
25.000
1.250.000
1.415.000
3
25.000
4
25.000 38
19
l’emprunt est remboursé par amortissements constants P
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
Annuités
1
100.000
220.000
25.000
1.250.000
1.470.000
2
75.000
165.000
25.000
1.250.000
1.415.000
3
50.000
110.000
25.000
1.250.000
1.360.000
4
25.000
55.000
25.000
1.250.000
1.305.000 39
l’emprunt est remboursé in fine P
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
Annuités
1
100.000
220.000
-
-
220.000
2
100.000
220.000
-
-
220.000
3
100.000
220.000
-
-
220.000
4
100.000
220.000 40
20
l’emprunt est remboursé in fine P
Obligations Intérêts
Obligations Amortiss
vivantes
amorties
Annuités
1
100.000
220.000
-
-
220.000
2
100.000
220.000
-
-
220.000
3
100.000
220.000
-
-
220.000
4
100.000
220.000
100.000
5.000.000
5.220.000 41
Emprunt obligataire Exemple 2 : une société commerciale émet le 01.03.N l’emprunt obligataire suivant: -Nombre d’obligations : 500.000 -Émission au pair: 100 DH -Remboursement : au pair -Taux nominal : 4,2% -Durée: 5 ans Présenter le tableau d’amortissement de cet emprunt: Si l’emprunt est remboursé par annuités constantes (le nombre d’obligations remboursées sera arrondi à la centaine la plus proche) Si l’emprunt est remboursé par amortissements constants Si l’emprunt est remboursé in fine. 42
21
l’emprunt est remboursé par annuités constantes Calcul de l’annuité théorique
a
=
(500.000 ×100)
0,042 1 − (1,042)
−
5
=
11.294.533,91
43
Amortissement théorique: 11.294.533,91-2.100.000= 9194533,91 ce qui l’emprunt est remboursé par annuités correspond à 9194533,91/100=91945,33 constantes obligations, arrondi à 91900 obligations. Amortissement réel 91.900*100=9.190.000 P
1
Obligations Intérêts
Obligations
vivantes
amorties
500.000
2.100.000
91.900
Amortissem
Annuité
9.190.000
11.290.000
2 3 4 5
44
22
l’emprunt est remboursé par annuités constantes P
Obligations Intérêts
Obligations
vivantes
amorties
Amortissem
Annuité
1
500.000
2.100.000
91.900
9.190.000
11.290.000
2
408.100
1.714.020
95.800
9.580.000
11.294.020
3
312.300
1.311.660
99.800
9.980.000
11.291.660
4
212.500
892.500
104.000
10.400.000
11.292.500
5
108.500
455.700
108.500
10.850.000
11.305.700 45
l’emprunt est remboursé par amortissements constants P
Obligations
Intérêts
amortiss
Annuité
vivantes 1
500.000
10.000.000
2
10.000.000
3
10.000.000
4
10.000.000
5
10.000.000 46
23
l’emprunt est remboursé par amortissements constants P
Obligations
Intérêts
amortiss
Annuité
vivantes 1
500.000
2.100.000
10.000.000
12.100.000
2
400.000
1.680.000
10.000.000
11.680.000
3
300.000
1.260.000
10.000.000
11.260.000
4
200.000
840.000
10.000.000
10.840.000
5
100.000
420.000
10.000.000
10.420.000 47
l’emprunt est remboursé in fine P
Obligations Intérêts
amortiss
Annuité
vivantes 1
500.000
2.100.000
-
2.100.000
2
500.000
2.100.000
-
2.100.000
3
500.000
2.100.000
-
2.100.000
4
500.000
2.100.000
-
2.100.000
5
500.000
2.100.000 48
24
l’emprunt est remboursé in fine P
Obligations Intérêts
amortiss
Annuité
vivantes 1
500.000
2.100.000
-
2.100.000
2
500.000
2.100.000
-
2.100.000
3
500.000
2.100.000
-
2.100.000
4
500.000
2.100.000
-
2.100.000
5
500.000
2.100.000
10.000.000
12.100.000 49
Merci
50
25
