FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL UNCP ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUTURAS TIPO PARRILLA
Las estructuras estructuras tipo parrilla parrilla son estructura estructurass reticulares reticulares sometidas sometidas a cargas cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Podemos encontrar muchas de ellas en las estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fábricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, eión y corte. Para la determinación de la matri! de rigide! los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, eión y corte.
Esquema de una típica parrilla Para la deducción deducción de la matri! de rigide! de sus miembros miembros utili!aremos utili!aremos el principio de superposición" es decir, primero consideramos consideramos un elemento sometido a eión y corte" y luego el mismo elemento sometido a torsión. La matri! resultará la suma de estas dos matrices halladas. #. ELEMENTO SOMETIDO A LE!ION " CORTE# ORIENTADO EN EL E$E !%
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
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&' c(lumna$ c(lumna$ θi = 1
P(r Mane) M ij =
2 EI
M ij =
L
( 2 θi + θ j −3 φij )
2 EI
L
( 2 + 0 −3∗0)
M ij =
4 EI
L
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
M ji=
M ji =
2 EI
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 1 + 2∗0 −3∗0)
M ij =
2 EI
L
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&' c(lumna$ c(lumna$ θi = 1
P(r Mane) M ij =
2 EI
M ij =
L
( 2 θi + θ j −3 φij )
2 EI
L
( 2 + 0 −3∗0)
M ij =
4 EI
L
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
M ji=
M ji =
2 EI
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 1 + 2∗0 −3∗0)
M ij =
2 EI
L
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4 EI
V =
V i=
L
+
2 EI
L
L
6 EI
V j =
2
L
6 EI
L
2
*' C(lumna% υ i =1
M ij =
2 EI
L
M ij =
( 2 θi + θ j −3 φij )
2 EI
L
( 0 + 0−
M ij =
∗
3 1
L
M ji=
)
M ji=
−6 EI L
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 0 +2∗0 −
M ij =
2
− V =
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
2 EI
−6 EI −6 EI + L
2
L
L
2
∗
3 1
L
−6 EI L
2
)
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V i=
12 EI
L
V j =
3
−12 EI L
3
+' C(lumna% θJ =1
P(r Mane) M ij =
2 EI
M ij =
L
( 2 θi +θ j −3 φij )
2 EI
L
M ji=
( 0 + 1 −3∗0)
M ij =
M ji =
2 EI
2 EI
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 0 +2∗1 −3∗0)
M ij =
L
4 EI
L
EI 2 EI + L L L
−4 V =
V i=
−6 EI L
2
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
V j =
6 EI
L
2
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,' C(lumna$ υ J =1
POR MANE"% M ij =
M ij =
2 EI
L 2 EI
L
( 2 θi +θ j −3 φij )
( 0 + 0−
M ij =
∗−1
3
L
M ji=
)
M ji=
6 EI 2
L
V =
−12 EI L
3
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 0 +2∗0 −
M ij =
−
V i =
2 EI
6 EI
L
2
+
∗−1
3
L
6 EI
L
2
6 EI
L
2
L
V j =
12 EI
L
3
)
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Myi Z i M yj Z i
4EI L
− 6EI L2
4EI L
− 6EI L2
12EI L
− 6EI L2
4EI L
− 6EI L2
4EI L
12EI
6EI
6EI 2
L
3
−
3
L
L2
6EI L2 12EI − 3 L 6EI L2 12EI L3
-
θ yi ω i θ j ω j
%
*. MATRI/ DE RI0IDE/ DE UN ELEMENTO SOMETIDO A TORSION &uando se tiene un elemento prismático sometido a torsión, se sabe que el giro producido por ella esta dado por$
M x∗ L θ x = JG
'onde$ θ x
( )iro relativo entre los etremos.
M x
( momento torsor
L
( longitud
J
(constante torsional.
G
(módulo de corte.
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REPRESENTACION ES1UEMATICA DE UN ELEMENTO PRISMATICO SOMETIDO A TORSION
&uando tenemos secciones circulares maci!as o huecas, la constante torsional es el momento polar de inercia. Para secciones rectangulares, en cambio, podemos calcular con la siguiente formula$ 3
J = Cb t
1
C = −0.21 3
()
()
4
t [ 1− 1 t ] 12 b b
'onde b y t son las dimensiones transversales del elemento. 'e la ecuación. M x∗ L θ x = JG
*allando la matri! de rigide! del elemento, tenemos$ θ xi=1 Podemos despe+ar$
M x =
M x =
θ x∗JG L
∗JG
1
L
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M xi =
M xj =
JG L
− JG L
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Por lo que la matri! de rigide! queda de la siguiente manera$ G G L − L G G − L L
[ K ]
( ecordando la ecuación general$
[ k ]∗[ u ]= [ f ]
G G − L L G G − L L
M !i M !j
(
θ !i θ !j
%
-na ve! obtenidas las dos ecuaciones aplicando superposición obtenemos la ecuación general del elemento de una parrilla, referida a coordenadas locales y para elementos orientados en el e+e .
G " L 4EI " L − 6EI " L2 − G " L 2EI " L 6EI " L2
MF !i MF yi F Z i F M !j MF yj Z F j
M !i Myi Z i M !j Myj Z j
-
2
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
− G L
"
"
2EI L
"
− 6EI L2
"
G L
"
− 6EI L2
"
4EI L
− 12EI L3
"
"
− 6EI 2
L
12EI 3
L
6EI L2
6EI L2 − 12EI L3 " 6EI L2 12EI L3 "
θ !i θ yi # i θ !j θ yj # j
.
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+. ELEMENTO SOMETIDO A LE!ION " CORTE# ORIENTADO EN EL E$E "%
&' COLUMNA%
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P(r Mane)% M ij =
2 EI
L
M ij =
( 2 θi +θ j −3 φij )
2 EI
L
M ji=
( 2 + 0 −3∗0)
M ij =
M ji =
L 2 EI
L
4 EI
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 1 + 2∗0 −3∗0)
M ij =
L 4 EI
V =
V i=
2 EI
L
+
2 EI
L
2 EI
L
L
6 EI
V j =
2
L
−6 EI
L
2
*' COLUMNA$
M ij =
2 EI
M ij =
L
( 2 θi +θ j −3 φij )
2 EI
L
( 0 + 0−
∗
3 1
L
)
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
M ji=
2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
M ij =
6 EI
L
2
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M ji=
2 EI
L
( 0 + 2∗0 −
∗
3 1
L
)
M ij =
6 EI
V =
V i=
V j =
L
2
+
6 EI
L
2
6 EI
L
2
L
12 EI
L
3
−12 EI L
+' COLUMNA$
3
P(r Mane) M ij =
2 EI
M ij =
L
( 2 θi +θ j −3 φij )
2 EI
L
M ji=
( 0 + 1 −3∗0)
M ij =
M ji =
2 EI
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 0 +2∗1 −3∗0)
M ij =
L
− V =
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
2 EI
4 EI
L
+
L
2 EI
L
4 EI
L
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V i=
−6 EI L
V j =
2
6 EI
L
2
/ &0L-123$
POR MANE"% M ij =
M ij =
2 EI
L 2 EI
L
( 2 θi +θ j −3 φij )
( 0 + 0−
M ij =
∗−1
3
L
M ji=
)
M ji=
−6 EI L
2
V =
−12 EI L
3
CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
L 2 EI
L
( θ i+ 2 θ j−3 φ ji )
( 0 +2∗0 −
M ij =
−
V i =
2 EI
6 EI
L
2
+
∗−1
3
L
−6 EI L
2
6 EI
L
2
L
V j =
12 EI
L
3
)
O3tenem(s la si4uiente matri5%
M !i Z i M !j Z i
4EI L
6EI L
2EI L
6EI L2
12EI L3
6EI L2
4EI L
6EI L2
4EI L
12EI L3
− 6EI L2
− 6EI L2
2
−
6EI L2 12EI − 3 L 6EI − 2 L 12EI L3
−
θ !i ω i θ !j ω j
-
%
,. LA MATRI/ DE RI0IDE/ POR TORSI6N ES%
G G − L L G G − L L
Myi Myj
(
θ yi θ yj
%
3plicando superposición tenemos la matri! de rigide! de un elemento de parrilla orientado en el e+e 4$
4EI L " 6EI L2 2EI L " − 6EI 2 L
MF !i MF yi F Z i F M !i MF yj Z F j
M !i Myi Z i M !j Myj Z j
-
2
L
2EI L
"
"
12EI
6EI
L3
L2
6EI L
4EI L
− G L
"
"
"
− 12EI L3
− 6EI L2
" G L "
"
6EI 2
2
− 6EI L2 θ !i − G " L θ yi − 12EI " L3 #i − 6EI " L2 θ !j G " θ L yj 12EI " L3 # j "
.
7. ELEMENTO DE PARRILLA ORIENTADO AR8ITRARIAMENTE
5n la 6gura representamos la rotación un elemento que es análogo al caso que se estudió en el plano$
'e donde tenemos que la matri! de transformación $ λ − µ " " " "
[ T ]
µ
"
"
"
λ
"
"
"
"
1
"
"
"
"
λ
µ
"
"
− µ
λ
"
"
"
"
" " " " " 1
" " " " " 1
M !i Myi Z i M !j M yj Z j
( 'onde, como se vio$ λ = cos φ x μ= senφ x
[ ´T ] =[ T ] [ F ] M !i Myi Z i M !j M yj Z j
λ − µ " " " "
(
µ
"
"
"
λ
"
"
"
"
1
"
"
"
"
λ
µ
"
"
λ
"
"
− µ "
"
%
ecordamos que la matri! de rigide! referida a coordenadas generales se puede obtener mediante el triple producto$
´ ] [ T ] [ k ] =[ T ]T [ K 7orma general de la matri! de rigide! de un elemento de parrilla. 4EI 2 G 2 6EI 2EI 2 G 2 G 4EI G 2EI − 6EI − − − + µ + λ λµ µ µ λ λµ µ L L L L L L2 L2 L L L G 4EI 4EI 2 G 2 6EI 2EI 2 G 2 6EI G 2EI λ + µ λ − µ λ − − 2 λ − + λµ λµ L L L L L L L L L2 L 6EI 6EI 12EI 6EI 6EI − 12EI − 2 λ − 2 λ µ µ L2 L L3 L2 L L3 6EI 4EI 2 G 2 − 6EI G 2EI G 4EI 2EI 2 G 2 µ µ + λ µ L − L λµ L µ − L λ − L + L λµ L L L2 L2 G 2EI 2EI 2 G 2 6EI 4EI 2 G 2 6EI G 4EI λµ λ − µ λµ λ + µ λ + − 2 λ − − L L L L L L L L2 L L 6EI 6EI 12EI − 6EI − 12EI − 6EI µ λ µ λ L2 L2 L3 L2 L2 L3
MF !i MF !j F Z i MF yi MF yj F Z j
M !i M !j Z i Myi Myj Z j
-
2
!i !j # i yi yj # j
9. E$EMPLOS DE APLICACI6N #. esuelva matricialmente la estructura descrita a continuación.
.
3mbos elementos tienen una sección de 899 mm 99 mm :b h;, el módulo de elasticidad vale #< =2>mm? y la relación de Poisson 9.?9. @0L-&AB2$ #. &álculos previos. La constante torsional vale$ 3
J = C bt 1
0.21
3
b
1
0.21
C = −
C = − 3
∗t
[ ( )] −
1
∗300
400
t b
1
12
4
=¿
[ ( )] 1
−
1
300
12
400
3
4
= 0.1800
9
−3
4
J = 0.1800 ∗400∗(300) =1.944∗10 mm =1.944∗10 m
+¿ ¿ 2¿
1
G=
E
¿
−3
6
2
GJ =7.92 ∗10 ∗1.944 ∗10 =15400 KN . m
EI =
6
∗10 ∗ 0.3∗0.4
19
12
3
=30400 KN . m
2
?. 7uer!as de empotramiento de cada elemento.
4
5lemento #C?$ M º 12 =− M º 21−
!L 8
=
−50∗2.4 8
=−15
! 50 " º 12=" º 21= = = 25 2
2
M º # 12 = M º # 21= 0
5lemento #C8$ M º # 13 =− M º # 31=
" º 13= " º 31=
$L 2
=
M º 13 = M 31=0
−$ L 12
∗
20 3 2
2
=
−20∗9
=30
12
=−15
eempla!ando en la ecuación orientado al e+e D, para el elemento #C?$
[ ][ ][
][ ]
M x 12 ❑ x 1 −6416.67 0 6416.67 0 0 0 0 M % 12 ❑ % 1 −15 −31666.67 0 50666.67 0 25333.33 31666.67 " 12 −31666.67 26388.89 −31666.67 −26388.89 & 1 0 0 = 25 + −6416.67 0 0 0 6416.67 0 0 M x 21 0 − 15 0 25333.33 31666.67 0 50666.67 31666.67 0 M % 21 −26388.89 25 0 31666.67 0 31666.67 26388.89 0 " 21
eempla!ando en la ecuación orientado al e+e 4, para el elemento #C8$
[ ] [ ][
][ ]
M x 13 ❑ x 1 −15 −20266.67 20266.67 40533.33 0 0 20266.67 M % 13 ❑ % 1 −5133.33 0 0 5133.33 0 0 0 " 13 −20266.67 −13511.11 & 1 0 13511.11 0 = 30 + −20266.67 −20266.67 40533.33 15 20266.67 0 0 20266.67 M x 31 0 − 0 0 5133.33 0 0 5133.33 0 0 M % 31 −13511.11 20266.67 30 20266.67 0 0 13511.11 0 " 31
5nsamblando las partes correspondientes al nudo libre :#; resulta$ Eector de fuer!as eternas.
[ ] 0
0
−40
[ ][ ][
M # 1 =0 −15 46950 0 M 1= 0 = − 15 + −20266.67 55 " 1=−40
[ ][ 15
15
−95
=
46950
0
0
55800
55800
−31666.67
39900
39900
1 1
&1
][ ]
−20266.67 ❑ x −31666.67 ❑ %
−20266.67 −31666.67
][ ]
−20266.67 ❑ x −31666.67 ❑ %
0
1 1
&1
esolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos$
❑ x =−2 . 301 x 10− '() 3
1
❑ % =−3 . 176 x 10− '() 3
1
−3
& 1=−6 . 070 x 10 m
&álculo de las fuer!as internas$ Para el elemento #C?$
[ ][ ][
][
M x 12 −2.301 x −6416.67 0 6416.67 0 0 0 0 M % 12 −15 −31666.67 −3.176 x 0 50666.67 0 25333.33 31666.67 " 12 −31666.67 26388.89 −31666.67 −26388.89 −6.070 x 0 0 = 25 + −6416.67 0 0 0 6416.67 0 0 M x 21 0 −31666.67 15 0 25333.33 0 50666.67 31666.67 0 M % 21 − 25 0 31666.67 26388.89 0 31666.67 26388.89 0 " 21
[ ][ ] M x 12 −14.76 M % 12 16.30 " 12 = −34.61 14.76 M x 21 126.76 M % 21 84.61 " 21
Para el elemento #C8$
KN − m KN − m KN KN − m KN − m KN
[ ] [ ][ [ ][ ]
][
M x 13 −2.301 x −15 −20266.67 20266.67 40533.33 0 0 20266.67 M % 13 −5133.33 −3.176 x 0 0 5133.33 0 0 0 " 13 −20266.67 −13511.11 −6.070 x 0 13511.11 0 = 30 + −20266.67 −20266.67 40533.33 15 20266.67 0 0 20266.67 M x 31 0 −5133.33 0 0 0 0 5133.33 0 0 M % 31 − 30 20266.67 0 13511.11 20266.67 0 13511.11 0 " 31
M x 13 14.76 M % 13 −16.30 " 13 = −5.38 91.39 M x 31 16.30 M % 31 65.38 " 31
'iagramas$
KN −m KN −m KN KN −m KN −m KN
:ERIICACI6N CON EL PRO0RAMA SAP *;;;
DEORMADA DIA0RAMAS%
UER/A CORTANTE
MOMENTO LECTOR
MOMENTO TORSOR
?.C esuelva completamente la parrilla mostrada, por el mFtodo matricial de los despla!amientos. @ección 899%8G9 mm, 5(#< =2>mm?, )(H.G =2>mm?.
@0L-&A02$ #. &álculos previos$ 3
J = C bt 1
C = −
0.21
3
∗300
350
[ ( )] 1
−
1
300
12
350
4
=0.1614
3
9
−3
4
J = 0.1614 ∗350∗( 300) =1.526∗10 mm =1.526 ∗10 m −3
6
GJ =7.50 ∗10 ∗ 1.526∗10 =11445 KN . m
EI =
6
∗10 ∗0.3∗0.35
19
12
2
3 2
= 20365.625 KN . m
?. 1omentos de empotramiento perfecto$ 5lemento #C?$ 2
M º 12 =
M º 21 =
−120∗1.7 ∗1.3 9
=−50.09
2
∗1.3 ∗1.7
120
9
=38.31
4
" º 12 =
∗
120 1.7
" º 21=
+ 50.09 −38.31 3
120
=71.93
∗1.3 −50.09 + 38.31 3
= 48.07
M º # 12 = M º # 21= 0
5lemento C#$ M º 41 = M º 14= 0 " º 41= " º 14= 0
M º # 41 = M º # 14 =0
5lemento #C8$ M º # 13 =− M º # 31=
" º 13= " º 31=
∗
32 5 2
−32∗25 12
=−66.67
=80 M º 13 = M º 31 =0
eempla!ando en la ecuación :G; para el elemento #C? y C#$
[ ][ ][ [ ][ [ ][ ][
][ ]
M x 12 ❑ x 1 −3815 0 3815 0 0 0 0 M % 12 −50.09 −13577.083 0 27154.167 0 13577.083 13577.083 ❑ % 1 " 12 −13577.083 9051.389 −13577.083 −9051.389 & 1 0 = 73.93 + 0 −3815 0 0 0 3815 0 0 M x 21 0 −13577.083 38.31 0 13577.083 0 27154.167 13577.083 0 M % 21 −9051.389 48.07 0 13577.083 0 13577.083 9051.389 0 " 21
][ ]
M x 41 −3815 3815 0 0 0 0 0 M % 41 −13577.083 0 27154.167 0 13577.083 13577.083 0 " 41 −13577.083 9051.389 −13577.083 −9051.389 0 0 = 0 ❑ x 1 −3815 0 0 3815 0 0 M x 14 −13577.083 0 13577.083 0 27154.167 13577.083 ❑ % 1 M % 14 −9051.389 0 13577.083 0 13577.083 9051.389 &1 " 14
eempla!ando en la ecuación :I; para el elemento #C8$
][ ]
M x 13 −66.67 −4887.75 8146.25 16292.5 0 0 4887.75 ❑ x 1 M % 13 ❑ % 1 −2289 0 0 2289 0 0 0 " 13 −4887.75 −1955.1 & 1 0 1955.1 0 = 80 + −4887.75 −4887.75 16292.5 66.67 8146.25 0 0 4887.75 M x 31 0 −2289 0 0 0 0 2289 0 0 M % 31 −1955.1 4887.75 80 4887.75 0 0 1955.1 0 " 31
5nsamblando las partes correspondientes al nudo libre resulta$ Eector de fuer!as eternas.
[] 0 0 0
[ ][
M # 1=0 −66.67 23922.5 0 M 1= 0 = −50.09 + −4887.75 151.93 " 1=0
[ ][ 66.67
50.09
−151.93
0 15866.084 0
23922.5
0
0
15866.084
−4887.75
0
=
][ ]
−4887.75 ❑ x ❑ % 0 20057.878
1
&1
][ ]
−4887.75 ❑ x ❑ % 0 20057.878
1
1
1
&1
esolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos$
❑ x =1 . 304 x 10− '() 3
1
❑ % =8 . 851 x 10− '() 4
1
−3
& 1=−7 . 257 x 10 m
&álculo de las fuer!as internas$ Para el elemento #C?$
[ ][ ][ [ ][ ]
][
M x 12 1.304 x −3815 0 3815 0 0 0 0 M % 12 −50.09 −13577.083 0 27154.167 0 13577.083 13577.083 8.851 x " 12 −13577.083 9051.389 −13577.083 −9051.389 −7.257 0 = 73.93 + 0 −3815 0 0 0 3815 0 0 M x 21 0 −13577.083 38.31 0 13577.083 0 27154.167 13577.083 0 M % 21 −9051.389 48.07 0 13577.083 0 13577.083 9051.389 0 " 21
M x 12 4.97 M % 12 72.47 " 12 = −5.77 −4.97 M x 21 148.86 M % 21 125.77 " 21
KN −m KN −m KN KN −m KN −m KN
Para el elemento C#$
[ ][ [ ][ ] [ ][ ][ [ ][ ]
][ ]
M x 41 0 −3815 3815 0 0 0 0 M % 41 0 −13577.083 0 27154.167 0 13577.083 13577.083 0 " 41 −13577.083 9051.389 −13577.083 −9051.389 0 = 0 −3 1.304 x 10 −3815 0 0 3815 0 0 M x 14 −4 −13577.083 0 13577.083 0 27154.167 13577.083 8.851 x 10 M % 14 −9051.389 0 13577.083 0 13577.083 9051.389 −7.257 x 10−3 " 14
M x 41 − 4.97 M % 41 −86.51 " 41 = 53.67 4.97 M x 14 −74.49 M % 14 −53.67 " 14
KN −m KN −m KN KN −m KN −m KN
Para el elmento #C8$
M x 13 −66.67 16292.5 M % 13 0 0 " 13 = 80 + −4887.75 66.67 8146.25 M x 31 M % 31 " 31
'iagramas$
−4887.75
8146.25
0
4887.75
2289
0
0
−2289
0
0
1955.1
−4887.75
0
0
−4887.75
−1955.1 −
16292.5
0
4887.75
0
0
−2289
0
0
2289
0
80
4887.75
0
−1955.1
4887.75
0
1955.1
M x 13 −9.95 M % 13 2.03 " 13 = 59.44 112.76 M x 31 −2.03 M % 31 100.56 " 31
KN −m KN −m KN KN −m KN −m KN
][ ] −3 1.304 x 10 −4 8.851 x 10 −3 7.257 x 10
0
0 0 0
COMPRO8ACI6N CON EL PRO0RAMA SAP *;;;
DEORMADA DIA0RAMAS
UER/A CORTANTE
MOMENTO LECTOR
MOMENTO TORSOR
CONCLUSIONES
5l análisis que se hi!o a la estructura tipo parrilla, se basa en el principio de superposición" de un elemento sometido a eión y corte, y otro sometido a torsión, el cual por este principio físico, nos dará la matri! de rigide! de elemento total. Los nudos en el elemento parrilla se suponen rígidos, por ende las acciones principales sobre sus elementos serán 8" eión, corte y torsión.
