NOMBRES COMPLEXES
u début du ;<
me
sicle, le mathématicien =cipione dal >erro, propose une *ormule donnant une
solution de léquation du $ me degré x $ + px = q : x =
$
−+ qqp
$
++ + $ qqp
?7
$
?7
la *in du ;< me sicle, le mathématicien ombelli applique cette *ormule - léquation x $ − 1@ x = ?.
$$
−−++− 111111 −1 .
Aette écriture na, a priori, priori, pas de sens puisquon ne sait pas ce que représente le s&mbole noté Bais ombelli a plus loin.
(1+−= )
$
=i bien quil obtient *inalement :
+ 11 −1 et x = +
(1−−= )
$
− 11 −1
−1 + − −1 = ?
r, x r, x = ? est bien une solution de léquation x $ − 1@ x = ?. Cne question naturelle sest alors posée : peut9on légitimement calculer aec des s&mboles imaginaires comme ci9dessus 3 Aest ainsi quest née la théorie des nombres comple%es...
1. Introduction L’équation x L’équation x + 7 = 6 n’a pas de solutions s olutions dans , mais elle en a dans un ensemble plus grand : "e m#me, l’équation $ x $ x = 1 n’a pas de solutions dans
, alors que dans un ensemble plus grand,
( x x
= 1!.
par
e%emple, il & en a une : x : x = 1/$. 't puis, l’équation x = n’a pas de solutions dans ) il *aut chercher dans l’ensemble des nombres réels pour en trouer. re*, quand une équation n’a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique! consiste - en chercher dans un ensemble plus grand. u stade de nos connaissances actuelles, l’ensemble numérique le plus grand que l’on a rencontré est . ourtant, l’équation x + 1 = 0 n’a pas de solutions dans ... n a donc, dans ce chapitre 2 construire 3 4 ou plut5t imaginer un ensemble plus grand que
dans lequel
l’équation x + 1 = 0 possde des solutions. n lappellera : ensemble des nombres comple%es. Le principal élément de sera noté i (i comme imaginaire!. Le nombre i est tel que i
= 1 8 L’équation ci9dessus possde
alors deu% solutions : x + 1 = 0 équiaut - x − i = 0 soit ( x x i!( x x + i! = 0 donc x donc x = i ou x ou x = i.
Nombres complexes complexes
Page 1
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2. Construction du corps des nombres complexes .1 "é*inition Dotons lensemble des couples de réels :
= E(a E(a, b! ∈ × F
Les éléments de sont appelés des nombres comple%es. Aomme il nest pas pratique de traailler aec des couples (notations un peu lourdes!, nous allons oir (théorme ..! que lon peut noter les éléments de de manire commode commode et *aciliter * aciliter ainsi les calculs. .. Ghéorme Les rgles de calculs (aec
Lensemble peut #tre muni de deu% lois + et × qui prolongent les lois + et × de .
les lois + et × ! dans
Lensemble contient Hune copieH de .
seront donc les m#mes que dans en remplaMant i par
sécrit, de manire unique z unique z
−1 ou ice ersa.
= a + bi, oI a et b sont des réels.
(Jors programme!
n muni cet ensemble des deu% lois de composition interne suiantes :
• la premire, notée + , est dé*inie par :
(a, b! + (a' (a' , b' ! = (a (a + a' , b + b' !
• la seconde, notée × , est dé*inie par :
(a, b! × (a' (a' , b' ! = (aa' (aa' − bb' , ab' + a'b! a'b! ar e%emple, aec (a (a, b! = (, @! et (a' (a' , b' ! = (−$, ?!, on a : (, @! + (−$, ?! = (−1, K! (, @! × (−$, ?! = (−6, −7!
n éri*ie *acilement que (
,
+ , × ! est un corps commutati* (cest9-9dire : la loi
commutatie, admet un élément neutre (0, 0! et tout élément (a ( a, b! admet un opposé ( associatie, commutatie, commutatie, distributie par rapport - la loi
+ est associatie, −a, −b! ) la loi × est
+ , admet un élément neutre (1, 0! et tout élément
(a, b! ≠ (0, 0! admet un inerse.!
ϕ : ( , +, ×! → ( , + , × !
Aonsidérons lapplication :
a a (a, 0!
lors ϕ est un morphisme de corps. 'n e**et :
ƒ(a! + ƒ(a' ! = (a (a, 0! + (a' (a' , 0! = (a (a + a' , 0! = ƒ(a + a' ! ƒ(a! × ƒ(a' ! = (a (a, 0! × (a' (a' , 0! = (aa' (aa' , 0! = ƒ(aa' !
ƒ(1! = (1, 0! "e plus ϕ est inecti* : ƒ(a! = ƒ(a' ! ⇒ (a, 0! = (a' (a' , 0! ⇒ (a − a' , 0! = (0, 0! ⇒ a = a' Nombres complexes complexes
Page
On constate que si les secondes composantes sont nulles alors les lois ! et × se comportent comme les lois usuelles ! et × sur les r"els.
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2. Construction du corps des nombres complexes .1 "é*inition Dotons lensemble des couples de réels :
= E(a E(a, b! ∈ × F
Les éléments de sont appelés des nombres comple%es. Aomme il nest pas pratique de traailler aec des couples (notations un peu lourdes!, nous allons oir (théorme ..! que lon peut noter les éléments de de manire commode commode et *aciliter * aciliter ainsi les calculs. .. Ghéorme Les rgles de calculs (aec
Lensemble peut #tre muni de deu% lois + et × qui prolongent les lois + et × de .
les lois + et × ! dans
Lensemble contient Hune copieH de .
seront donc les m#mes que dans en remplaMant i par
sécrit, de manire unique z unique z
−1 ou ice ersa.
= a + bi, oI a et b sont des réels.
(Jors programme!
n muni cet ensemble des deu% lois de composition interne suiantes :
• la premire, notée + , est dé*inie par :
(a, b! + (a' (a' , b' ! = (a (a + a' , b + b' !
• la seconde, notée × , est dé*inie par :
(a, b! × (a' (a' , b' ! = (aa' (aa' − bb' , ab' + a'b! a'b! ar e%emple, aec (a (a, b! = (, @! et (a' (a' , b' ! = (−$, ?!, on a : (, @! + (−$, ?! = (−1, K! (, @! × (−$, ?! = (−6, −7!
n éri*ie *acilement que (
,
+ , × ! est un corps commutati* (cest9-9dire : la loi
commutatie, admet un élément neutre (0, 0! et tout élément (a ( a, b! admet un opposé ( associatie, commutatie, commutatie, distributie par rapport - la loi
+ est associatie, −a, −b! ) la loi × est
+ , admet un élément neutre (1, 0! et tout élément
(a, b! ≠ (0, 0! admet un inerse.!
ϕ : ( , +, ×! → ( , + , × !
Aonsidérons lapplication :
a a (a, 0!
lors ϕ est un morphisme de corps. 'n e**et :
ƒ(a! + ƒ(a' ! = (a (a, 0! + (a' (a' , 0! = (a (a + a' , 0! = ƒ(a + a' ! ƒ(a! × ƒ(a' ! = (a (a, 0! × (a' (a' , 0! = (aa' (aa' , 0! = ƒ(aa' !
ƒ(1! = (1, 0! "e plus ϕ est inecti* : ƒ(a! = ƒ(a' ! ⇒ (a, 0! = (a' (a' , 0! ⇒ (a − a' , 0! = (0, 0! ⇒ a = a' Nombres complexes complexes
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On constate que si les secondes composantes sont nulles alors les lois ! et × se comportent comme les lois usuelles ! et × sur les r"els.
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"onc ϕ induit un isomorphisme entre les corps ( , +, ×! et ϕ( ! = E(a E(a, 0! ∈ , a ∈ F. n peut donc identi*ier les éléments de aec ceu% de ϕ( !. Lensemble contient donc une HcopieH de . ar la suite, on note donc simplement + et × les deu% lois de et lorsquun couple a sa deu%ime composante nulle (couples de la *orme (a (a, 0!!, on le notera tout simplement a : not
a = (a, 0!
Aette notation permet de con*ondre les éléments de aec
leur copie (éléments de ϕ( !!...
(0, 1! × (0, 1! = (−1, 0!
n a de plus :
not
Dotons :
i = (0, 1!
insi :
i × i = −1
'n*in, pour tous réels a et b on a : (a, b! = (a (a, 0! + (0, b! = (a (a, 0! × (1, 0! + (b (b, 0! × (0, 1! Aest9-9dire, Aest9-9dire, aec les notations ci9dessus : (a (a, b! = a × 1 + b × i = a + bi utrement dit, tout élément de z de z = (a (a, b! de peut sécrire z sécrire z = a + bi. Aette écriture est unique. 'n e**et : (a' , b' ! ⇔ (a − a' , b − b' ! = (0, 0! ⇔ a = a' et b = b' a + bi = a' + b' i ⇔ (a, b! = (a' Ae dernier résultat étant *ort utile, mettons9le en éidence : .$. Ghéorme #galit" entre entre deux nombres nombres complexes complexes =oient a, b, a' et b' quatre nombres réels. a + bi = a' + b' i ⇔ a = a' et b = b' 'n particulier, a + bi = 0 si et seulement si a = 0 et b = 0. n parle alors de nombre comple%e nul. "émonstration du théorme : "é- *ait ci9dessus. n peut néanmoins néanmoins en donner une preue di**érente. di**érente. Bontrons, pour commencer, léquialence : a + bi = 0 ⇔ a = 0 et b = 0.
• "é-, il est clair que si a = 0 et b = 0 alors a + bi = 0. • Néciproquement, supposons que a + bi = 0. Bontrons qualors, nécessairement, a = 0 et b = 0. a 'n e**et si b ≠ 0, alors on pourrait écrire : i = − . Le nombre i serait réel et on ne pourrait aoir i = −1. b
"onc b = 0. Légalité a + bi = 0 se réduit - a + 0i 0i = 0 doI a = 0. n a donc montré que si a + bi = 0 alors a = 0 et b = 0. Aonsidérons maintenant deu% nombres comple%es $ = a + bi et $' = a' + b' i.
•
'%emple : $ 1 = $ + i i et $ = i ) calculer $ 1 + $ ) $ 1 × $ ) $ 1 $ ) $ 1 + $ $ ) $ 1 $$ $$ ) $ .
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.?. "é*inition =oit $ ∈ , $ = a + ib (aec a et b réels!. Le réel a s’appelle la partie réelle de $ et b la partie imaginaire. n note :
a = Ne($ ! et b =
'%emples :
$ 1 = $ + i ) $ = $i
&umour pourquoi la (ie des
Ne($ 1! = $ )
&ommes est)elle complexe *
n a :
Car elle poss+de une partie
ttention 8 La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel 8 .@. "é*inition
r"elle et une partie imaginaire.
Gout nombre comple%e de la *orme z = bi (oI b ∈ ! sappelle un imaginaire pur. Lensemble des imaginaires purs est noté i .
.6. Nemarques :
• "ans lensemble , il n& a plus la notion dordre usuelle
(1!
... n ne pourra pas, - ce nieau, comparer un
nombre comple%e - un autre ou dire sil est positi* ou négati* etc ... ('%cepté pour les imaginaires purs oI lon peut dé*inir un ordre naturel comme pour les réels!
• n éitera lusage abusi* du s&mbole radical
qui reste réseré au% réels positi*s.
• Les applications Ne : → et
. Repr!sent"tion #!om!tri$ue des nombres complexes
(
uruur
Bunissons le plan ℘ d’un repre orthonormé Oee ), 1
).
$.1. rincipe : O tout nombre comple%e $ = a + bi (aec a et b réels!, on peut associer le point % (a ) b!. Aela découle simplement du *ait que lapplication :
ƒ : → ℘ $ = a + bi a % (a, b! est une biection. '%emple : - $ = − @i correspond le point % ( ) −@! et réciproquement. $.. ;ocabulaire :
• le point % (a ) b! s’appelle l’image du nombre comple%e $ = a + bi. • le nombre comple%e $ = a + bi s’appelle l’a**i%e du point % (a ) b!. (H**i%eH est un nom *éminin! • on note souent $ = a**i%e( % ! ou $ = a**( % !. $.$. utre interprétation trs utilisée : →
O tout nombre comple%e $ = a + bi (aec a et b réels!, on peut associer le ecteur u
a b
→
Ae ecteur u sappelle le ecteur image du nombre comple%e $ . (1!
Ae qui ne signi*ie pas que lon ne puisse pas ordonner . n dit uste que la relation dordre usuelle connue sur ne se prolonge pas - .
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→ −@ − est le ecteur image de % .
'%emple : si $ = @ i et % est l’image de $ , alors le ecteur O%
La**i%e est souent notée entre parenthses derrire le point ou le ecteur.
%e des imaginaires purs % ($ !
b
→
e O
→
→
→
→
%e des réels
a
e1
→
Puestion : quelle est la**i%e de e1 , e ,− e1 et − e 3
→
3.4. Application : si $ A est l’affixe de A et $ , l’affixe de ,, alors l’affixe du vecteur A, est $ , – $ A :
→
aff A, ! $ , – $ A "émonstration : notons A( x A ) - A! et ,( x , ) - ,!. lors $ A = x A + - Ai et $ , = x, + - ,i.
→
x , − x A - , − - A
Dous saons que les coordonnées de A, sont : r :
→
$ , − $ A = x, + - ,i − x A − - Ai = ( x, − x A! + ( - , − - A!i
"onc l’a**i%e du ecteur A, est $ , $ A. %e des imaginaires purs ,($ ,!
→
A($ A!
e
%e des réels
→
O
e1
→
'%emple : la**i%e du ecteur A, aec A($ ) @! et ,(@ ) Q! est $ = + $i. Aes applications permettent de traduire des problmes de géométrie en relations entre nombres comple%es. ar e%emple, on utilisera souent que deu% ecteurs sont égau% si et seulement si ils ont m#mes a**i%es. u encore, on utilisera que la**i%e dune somme de deu% ecteurs est la somme des a**i%es de ces ecteurs : →
→
→
→
a**(u + ( ! = a**(u ! + a**(( ! lus généralement, lapplication a** : ℘ →
→
, oI
℘ désigne le plan euclidien, est linéaire :
→
→
→
→
→
our tous ecteurs u et ( et tout scalaire λ ∈ , on a : a**(u + λ ( ! = a**(u ! + λa**(( !. Nombres complexes
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%. Con&u#u! d'un nombre complexe. In(erse d'un nombre complexe non nul =oit - mettre sous la *orme a + bi le nombre comple%e suiant : $ =
1 . Aomment *aire 3 +$i
?.1. "é*inition =oient a et b deu% nombres réels. Le nombre comple%e conugué de $ = a + bi est le nombre comple%e $ = a bi. '%emples : le conugué de K ?i est K + ?i. Aas particuliers : i = 0+1i = 0 − 1i = −i ) 7 = 7. ?.. ;ocabulaire : on dit que $ et $ sont des nombres comple%es conugués. ?.$. Nemarque : Ne($ ! = Ne($ !. ?.?. Aonséquences Crit+re pour qu'un nombre complexe soit r"el /resp. imaginaire pur0 $ +$ = Ne($ ! et $ − $ = i
n a : 't les propriétés suiantes :
$ est réel ⇔ $ = $
$ est imaginaire pur ⇔ $ = − $
et
"émonstration : Dotons $ = a + bi (aec a et b réels!. insi : $ +$ = a + bi + a − bi = a = Ne($ ! et $ − $ = a + bi − (a − bi! = bi = i
$ est réel ⇔
?.@.
% ($ !
→
e O
→
e1
−b
%e des réels
a
%' ($ !
?.6. Ghéorme our tout nombre comple%e $ = a + ib (aec a et b réels!, la quantité $$ est un nombre réel : $$ = a + b ∈
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pplication : pour écrire les nombres comple%es *ractionnaires sous la *orme a + bi, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conuguée. '%emples :
1 $ − ?i
+ $ + ?i = $ ?i = $ + ? i ($ − ?i!($ + ?i! @ @ @
=
1− i = i 1+ i 7$+ i = + 1 i @− i
?.7. Ghéorme Propri"t"s de la con1ugaison our tous nombres comple%es $ et $' , on a :
+=+′′ $$$$
−=− $
′′= $$$$
$
nn= $$
$$ = ($' ≠ 0! ÷ $ $ ′
"émonstration : posons $ = a + bi et $' = a' + b' i (aec a, b, a et b' réels!. lors :
+++ii $$ + ′ = abab
′′
= (!(! +++′′ aabb
i = (a + a' ! − (b + b' !i
$$ + ′ = ab+ i +ab′′+ i = a − bi + a' − b' i = (a + a' ! − (b + b' !i
+=+′′ "onc $$$$
. Les autres égalités se démontrent de *aMon analogue.
'%emples :
− + • Le conugué de $ 1 = ? @i est $ 1 = ? @i . $+ i $− i − • Aelui de $ = z − i est $ = z i = z + i . @ z + 1 @ z + 1 @ z + 1
'%ercice : déterminer le lieu des points % da**i%e z telle que
i z − 1 soit réel. z − i
i z − 1 =olution : pour z ≠ i, on a en posant z' = : z − i "i z − 1 = i z − 1 ⇔ +−=−+ z' ∈ ⇔ z ′ = z' ⇔ (1!(!(1!(! iiii zzzz z #i z − i
⇔ − z − i zz + i − z = i zz − z − z − i
z' ∈ ⇔ i zz = i ⇔ zz = 1 Dotons, z = a + bi (aec a et b réels!, ainsi : z' ∈ ⇔ a + b = 1 r, lensemble des points % (a, b! pour lesquels a + b = 1 est le cercle de centre O et de ra&on 1 (cercle unité! Aomme z ≠ i, le lieu des points % tels que
i z − 1 soit réel est le cercle unité prié du point da**i%e i. z − i
?.Q. pplication du théorme ?.7. : si un pol&n5me P, - coe**icients réels, admet un nombre comple%e $ comme racine alors $ est aussi une racine de P puisque, daprs les propriétés de la conugaison (qui commute aec les e%posants, les produits et les sommes! : P(R! = P$ (!
Nombres complexes
et donc si P($ ! = 0 alors P$ (! = 0 doI P(R! = 0.
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'%emple : on donne P( x! = x + x + 1. $ $ 1 1 n éri*iera que les nombres comple%es $ = − + i et $ = − − i sont tous deu% des racines de P.
). Module et "r#ument d'un nombre complexe ;oici la *igure illustrant les deu% dé*initions suiantes : %e des imaginaires purs
% ($ !
b S$ S →
θ = arg($ !
e O
→
a
e1
%e des réels
@.1. "é*inition n appelle module d’un nombre comple%e $ = a + bi la quantité positie S$ S =
a + b .
'n *ait, si $ est la**i%e dun point % (a ) b!, le module de $ n’est autre que la distance O% : O% = S$ S.
→ a
=i $ est la**i%e dun ecteur A,
b
, le module de $ représente la distance A, : A,
%$ ,
$ A %.
'%emples :
• Bodule de $ = −$ + ?i : S$ S = K + 16 = @ donc S$ S = @. Bodule de $ = Ki : S$2 = K. • n donne $ A = 1 + $i ) $ , = i. A est limage de $ A ) , est limage de $ , ) calculer la distance A, : → +− = @ la**i%e du ecteur A, est $ , $ A = $ ?i donc A, = S$ , $ AS = $(?! @.. Nemarques :
• S$ S 0 pour tout nombre comple%e $ . • S$ S = 0 équiaut - $ = 0. n a également (daprs le théorme ?.6.! S$ S = =i $ = a + bi est réel (b =
$$ ou encore $ = $$.
a = SaS. Le module dun nombre réel est donc sa aleur
absolue, ce qui usti*ie la notation. Le module de $ = a + bi est touours supérieur - ma%(SaS, SbS!. 'n e**et : a + b a et a + b b 't par passage - la racine carrée : "oI :
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S$ S SaS et S$ S SbS S$ S ma%(SaS, SbS!
Page Q
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'%ercice : soient A(0 ) ?!, ,($ ) 0! et C (6 ) Q!. Puelle est la nature du triangle A,C 3
pplication : u+( est imaginaire pur. u−(
=oient u et ( deu% nombres comple%es distincts et de m#me module r. lors
u(+ ÷ − u(
n a : 't daprs ?.?. on a :
+ = u(u( + = u(+ = uu(u(( − − u(− uu(u(( u(u( u+( est imaginaire pur u−(
= − u(+ u(−
@.$. "é*inition
→→ n appelle argument d’un nombre comple%e $ non nul toute mesure, en radians, de l’angle orienté ÷ ,eO% 1 n le note θ = arg ($ !. Cn nombre comple%e possde une in*inité darguments 8 =i
.
θ est un argument de $ , tout autre argument de $
est de la *orme θ + 3 π (3 ∈ !. Lunique argument θ appartenant - linteralle T −π ) πT sappelle largument principal. n notera par e%emple arg($ ! =
π ?
UπT ou arg($ ! =
π ?
modulo π pour signi*ier que arg($ ! peut #tre égal -
π mais aussi égal - nimporte lequel des nombres + 3 π oI 3 ∈ . ?
ttention 8 Le nombre comple%e nul $ = 0 ne possde pas darguments car, dans ce cas, langle
→→ ÷ ,eO% 1
π ?
ne
se dé*ini pas. '%emples : arg(i! =
π
UπT ) arg(1! = 0 UπT ) arg( −1! = π UπT ) arg( −i! = −
π
UπT ) arg(1 + i! =
π ?
UπT.
Aas particuliers importants : un réel strictement positi* a un argument nul U πT, un réel strictement négati* a un argument égal - π UπT. n peut dire :
$ ∈ ⇔ ( $ = 0 ou arg($ ! = 0 UπT !
π π U T et un
un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positie a un argument égal imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négatie a un argument égal n peut dire :
Nombres complexes
$ ∈ i ⇔ ( $ = 0 ou arg($ ! =
Page K
π
− π UπT.
UπT !
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&.4. ét(ode générale pour calculer l'argument principal d'un nombre complexe non nul : "aprs les relations métriques dans le triangle rectangle O&% (oir *igure ci9dessous!, on a :
π :
Aas oI θ ∈ 0)
cos(θ! =
O& = a &% = b et sin( θ! = O% $ O% $
π π O& a <=−0 (!−a = a &% = b θ ∈ θ = − π − θ = − Aas oI ! et sin( θ! = ) :cos( ! cos( $ O% $ O% $ %e des imaginaires purs
%e des imaginaires purs
% ($ !
% ($ !
b S$ S →
O
S$ S
θ = arg($ !
e
b
→
e1
& a
& a
%e des réels
θ = arg($ !
π−θ O
%e des réels
→
e1
"ans les cas oI θ est négati*, on raisonne de m#me, en tenant compte du *ait que sin( −θ ! = −sin(θ! et &% = −b. re*, dans tous les cas, nous aons :
cos(θ! =
a b et sin( θ! = $ $
=i les cosinus et sinus ci9dessus ont des aleurs remarquables, on peut trouer trigonométrique, sinon, - laide dune calculatrice, on utilise la rgle suiante :
a donne la aleur absolue de θ $
HincosH ÷
sin(θ! donne le signe de θ
θ directement - laide du cercle Doublions pas quun angle et son opposé ont le m#me cosinus. La − *onction HincosH ou Hcos 1H de la calculatrice, qui renoit une mesure dangle - partir de la donnée du cosinus doit donc *aire un choi% : celui de reno&er la mesure de langle comprise entre 0 et π.
'%emples :
θ
• rgument principal θ de $ = − $+ i . n a S$ S = a + b = 1 + ? = 16 donc S$ S = ?.
−θ
Dous deons maintenant résoudre le s&stme suiant :
−− cos(!θ== $$ ? sin(!θ== 1 ?
@π Aomme nous aons une bonne connaissance du cercle trigonométrique, nous concluons θ = . 6 • rgument principal θ de $ = $ − ?i. n a S$ S = K + 16 = @ donc S$ S = @. Dous deons résoudre le s&stme :
θ= cos(! sin(!θ=−
$ @ ? @
Ae ne sont pas des aleurs remarquables. La calculatrice donne S θS 0,K7$ rad. Bais sin( θ! est négati*, donc θ est négati* : θ −0,K7$ rad, cest9-9dire : θ @$,1$V.
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@.@. Ghéorme Propri"t"s des modules our tous nombres comple%es $ et $' :
• Bodule dun produit : S$ × $' S = S$ S × S$' S. 't en particulier, si λ est réel : S λ $ S = SλS S$ S. • Bodule dun quotient : $ = $ (lorsque $' ≠ 0!. 'n particulier, pour tout $ ≠ 0 : 11 = ′′ $$ $$ •
S$ $' S = $ $'$$ ′ = $ $'$$ ′ = $$$'$ ′ =S$ SS$' S = (2$22$'2! 2$ $'2 = 2$22$'2
't comme un module est positi* :
La deu%ime propriété se démontre de *aMon analogue.
%e des imaginaires purs
S($ ! $' ! %' ($' !
Puant - linégalité triangulaire, la *igure suiante est plus parlante que nimporte quelle démonstration. →
=oient % , %' et S les images respecti*s de $ , $' et $ ! $' . n a OS
% ($ !
e O
O% + O%' donc S$ ! $' S S$ S + S$' S.
→
%e des réels
e1
Cne preue rigoureuse de linégalité triangulaire sera donnée au W6. Aomplément : n dit que lapplication
→, $
a S$ S est une norme. Aela est dX au *ait que lon a les propriétés suiantes :
• S$ S 0 pour tout nombre comple%e $ . • S$ S = 0 équiaut - $ = 0. • Sλ $ S = SλS S$ S pour tout nombre comple%e $ et tout réel λ. • S$ ! $' S S$2 ! 2$'2 pour tous nombres comple%es $ et $' . @.6. Ghéorme Propri"t"s des arguments our tout $ ∈ Y : arg($ ! = −arg($ ! U πT
arg( −$ ! = arg($ ! + π UπT
arg( − $ ! = π − arg($ ! U πT
Ae théorme sillustre sur la *igure suiante : %e des imaginaires purs
N' (− $ !
b
% ($ !
→
θ = arg($ !
e
−a
N (−$ !
Nombres complexes
O
→
e1
−b
Page 11
%e des réels
a
%' ($ !
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Nemarque : soit $ ∈ Y
• =i λ ∈ ∗+ , alors :
arg( λ$ ! = arg($ ! U πT
• =i λ ∈ ∗− , alors :
arg( λ$ ! = arg($ ! + π UπT
"autres propriétés des arguments seront ues plus loin. '%ercice (hors programme! : soit $ = x + i - aec $ ≠ 0. "émontrer que lon a :
- ∗ ÷ si $ ∈ Z ∗− . arg($ ! = π si $ ∈ − et arg($ ! = arctan $ + x =oit C le cercle de centre O et de ra&on S$ S. =oient I , 4 et % les points da**i%es respecties S$ S, −S$ S et $ .
→ →
=oit θ un argument de $ . n a ainsi :
(OI ,O% ! = θ UπT
"aprs le théorme de langle au centre, on a :
-
→ →
→ →
(4I ,4% ! = (OI ,O% ! UπT
→ →
θ (4I ,4% ! = UπT θ tan ÷ = $x+
"oI : our tout % ∈ C Z E4 F, on a : 't si % = 4 , on a :
%
θ 4
θ x
I
C
θ=π
"oI le résultat.
*. +i,,!rentes ,ormes d'!critures des nombres complexes 6.1. >orme trigonométrique Lécriture $ = a + bi sappelle la forme algébri)ue de $ (ou encore forme cartésienne!. r, nous aons u (paragraphe @! que a = r cos(θ! et b = r sin(θ! oI r = S$ S et θ = arg($ !. Le nombre comple%e $ peut donc sécrire : $ = r (cos(θ! + i sin( θ!! ) cette écriture sappelle une forme trigonométri)ue de R. 6.. Nemarque : le nombre comple%e nul $
= 0 na pas de *orme trigonométrique (puisque pas dargument!.
our trouer une *orme trigonométrique dun nombre comple%e $ non nul il su**it de calculer son module et un argument. 6.$. Ghéorme
=i $ = r (cos(θ! + i sin( θ!! aec r [ 0 alors r = S$ S et θ = arg ($ ! U πT
"émonstration n a : r r [ 0, donc :
S$ S = r cos(θ! + r sin(θ! = r S$ S = r
=oit θ' un argument de $ , alors : $ = r (cos(θ' ! + i sin( θ' !! = r cos(θ' ! + i r sin( θ' ! r, par h&pothse :
$ = r (cos(θ! + i sin( θ!! = r cos(θ! + i r sin( θ!
't daprs le théorme .., a' + b' i = a + bi équiaut - a' = a et b' = b donc : Nombres complexes
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r cos(θ' ! = r cos(θ! et r sin( θ' ! = r sin ( θ! cos(θ' ! = cos(θ! et sin( θ' ! = sin(θ!
"oI :
θ' = θ UπT θ = arg($ ! U πT
Ae qui implique : "onc :
ππ
+ '%ercice : déterminer une *orme trigonométrique de $ = − ÷cossin ÷ ÷ @@ i
.
(ttention, lécriture ci9contre nest pas une *orme trigonométrique car un module n e peut #tre négati* 8!
ππ
ππ = ÷ cossin ÷ ÷ +π++πi @@
$ = ÷ −− ÷ ÷cossin i @@
Grans*ormons :
6π 6π − π = − ?π Le module de $ est donc r = et un de ses arguments est θ = . (rgument principal : ! @ @ @ Les propriétés suiantes sur les arguments permettent de multiplier et diiser simplement deu% nombres comple%es : 6.?. Ghéorme Propri"t"s des arguments /bis0 our tous nombres comple%es $ et $' non nuls on a : arg($$' ! = arg($ ! + arg($' ! U πT
$ arg ÷ ′ = arg($ ! − arg($' ! U πT $
1 = − arg($ ! U πT $
n notera lanalogie entre ces
arg ÷
relations et les propriétés de la
n
arg($ ! = n arg($ ! U πT pour tout n ∈
*onction logarit(me.
"émonstration : utilisons des *ormes trigonométriques de $ et $' : $ = r (cos(θ! + i sin( θ!! et $' = r' (cos(θ' ! + i sin( θ' !! $$' = r r' (cos(θ! + i sin( θ!! (cos(θ' ! + i sin( θ' !!
insi :
$$' = r r' Ucos(θ! cos(θ' ! − sin(θ! sin( θ' ! + i (sin( θ! cos(θ' ! + cos(θ! sin( θ' !!T Ae qui, daprs les *ormules trigonométriques daddition, donne : $$' = r r' (cos (θ + θ' ! + i sin ( θ + θ' !! 't comme r r ' [ 0, on en déduit daprs le théorme 6.$. que : S$$' S = r r' et arg($$' ! = θ + θ' = arg($ ! + arg($' ! U πT "oI la premire relation :
arg($$' ! = arg($ ! + arg($' ! U πT
1 'n spécialisant $' = dans cette relation, cela donne : $
1 arg(1! = arg ÷ + arg($ ! U πT $ 1 = − r, arg(1! = 0 UπT doI la seconde relation : arg ÷ arg($ ! U πT $ 'n remarquant que
$ = × 1 $ on a daprs ce qui précde : $ ′ $ ′
$ 1 arg ÷ ′ = arg($ ! + arg ÷ ′ = arg($ ! − arg($' ! U πT $ $ "oI la troisime relation.
Nombres complexes
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our la dernire relation, distinguons trois cas : n
• n[0:
arg($ ! = arg($ × $ × ... × $ ! = n arg($ ! U πT (eut se démontrer proprement par récurrence!
• n \ 0, alors en posant m = −n [ 0 et en utilisant le cas précédent aec m [ 0: n 1 1 = − arg($ ! = arg ÷ m = m arg ÷ m arg($ ! = n arg($ ! U πT $ $ • our n = 0, la relation arg($ n! = n arg($ ! U πT est triiale.
oralité : pour multiplier deux nombres complexes non nuls, on multiplie les modules et on additionne les arguments. *our diviser deux nombres complexes non nuls, on divise les modules et on soustrait les arguments.
'%emple :
ππ
=oit $ = $cossin ÷÷ ÷ −+− i ??
ππ + et $' = ÷ cossin i ÷ ÷ $$
. Aalculer $$' .
n pourrait sen tirer aec la trigonométrie classique, mais les propriétés des modules et des arguments lirent directement le résultat :
@@ππ + ÷ ÷ $$' = 6 ÷cossin 11 i
Dous allons oir maintenant une troisime *aMon, *ort commode, de noter les nombres comple%es. =oit ƒ lapplication :
ƒ : → θ a cos(θ! + i sin( θ!
"aprs ce que lon a u ci9dessus, on a pour tous θ et θ' de :
ƒ(θ + θ' ! = ƒ(θ!ƒ(θ' ! La *onction ƒ est donc une solution (comple%e! de léquation *onctionnelle ƒ(u + (! = ƒ(u!ƒ((!. r, on sait que les solutions de cette équation *onctionnelle sont solutions des équations di**érentielles du t&pe : -' = a"éterminons a (qui est ici dans puisque ƒ est - aleur dans !. 'n étendant les propriétés de la dériation au% *onctions de dans , on a ƒ dériable sur et :
ƒ' (θ! = −sin(θ! + i cos(θ! = i ƒ(θ! "oI a = i et :
Nombres complexes
ƒ(θ! = ƒ(0! eiθ = eiθ
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Aette constatation rend par*aitement légitime la dé*inition (ou notation! suiante : 6.@. "é*inition θ
our tout réel θ, on note ei le nombre comple%e cos(θ! + i sin( θ!. θ θ θ ei désigne donc le nombre comple%e de module 1 et dargument θ : S ei S = 1 et arg( ei ! = θ UπT.
i
π
iπ
'%emples : e = 1 ) e = i ) e = −1 ) e i0
i π
= 1 ) e
"i
π
= −i.
θ Cn nombre comple%e de module r et dargument θ sécrit alors $ = r e i .
Aette écriture est appelée une forme exponentielle de $ . θ
6.7. Nemarque : le conugué de ei est e
−θi
.
Cne simple transcription des propriétés ues sur les arguments donne alors : 6.Q. Ghéorme : pour tous θ et θ' de iθ
iθ
e ×e = e
θ
(e ) = e
ei = i(!θθ− e θ ei
i( θθ+ !
iθ n
inθ
pour n ∈
La notation e%ponentielle rend les calculs trs simples, par e%emple : =i $ = $e
i
$π ?
et $' = 7e
− i π $
alors $$' = 1 e
i
π 1
17 π
$ = $ i 1 et e $ 7
'%ercices : (1 + i! ? = 1!"éterminer la *orme algébrique du nombre $ . ( $ − i! $ osons $ 1 = 1 + i et $ = $ − i. "éterminons les *ormes e%ponentielles de $ 1 et $ : Aomme S$ 1S = et arg($ 1!
= π ?
π
UπT, on a : $ 1 = e
Aomme S$ S = et arg($ !
6
?
'n remarquant que (1 + i! = i, le résultat (1 + i!? = −? est immédiat.
π $ 1? = ? ei = −?
"oI :
= − π
i
−i
UπT, on a : $ = e $ $
"oI :
= Q e
$=
't *inalement :
π 6
−i π
= −Qi
$ 1? = − 1 i $ $
!Aalculer (1 + i!1? . osons $ = 1 + i. n a : "oI :
Nombres complexes
R = e $ = e 1?
7
i
7π
= 1Q e
i
π ?
i π
Page 1@
e
i
$π
= −1Q i
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]nigme : oI est lerreur dans le calcul suiant : e
i π
= 1 x = 1 x = 1
(e ) i π
'n éleant - la puissance x :
π
e i x = 1
"oI : 1 'n particulier pour x = : ? "oI :
i
e = 1
( )= e
Néponse : la relation e
π
iθ n
i = 1 inθ
1 nest pas alable si n = . ?
+.. -ne démonstration (ors programme! de l'inégalité triangulaire : our tous $ 1, $ ∈ , S$ 1 + $ S S$ 1S + S$ S θ
θ
Lemme : our tous nombres comple%es $ 1 = r1 e i 1 et $ = r e i , on a : SNe($ 1 $ !S r1 r. n démontre que lapplication : ϕ : ×
reue du lemme : SNe($ 1 $ !S = SNe(r1 r e i
θ1 −θ !
!S = S r1 r cos(θ1 − θ!S r1 r.
't, en particulier : Ne($ 1 $ ! r1 r.
→
($ 1 ) $ ! a Ne($$ 1
!
. Le lemme nest alors autre que
est un produit scalaire sur linégalité de Aauch&9=ch^ar_. Linégalité triangulaire en découle (oir la leMon sur le produit scalaire !
"émonstration de linégalité triangulaire : S$ 1 + $ S = ($ 1 + $ !( $1 + $ ! = ($ 1 + $ !($ 1 + $ ! = $ 1 $ 1 + $ 1 $ + $ $ 1 + $ $ = r1 + ($ 1 $ + $$ 1 ! +r
S$ 1 + $ S = r1 + Ne($ 1 $ ! + r 't daprs le lemme :
S$ 1 + $ S r1 + r1 r + r (r1 + r!
't par croissance de la *onction racine carrée : S$ 1 + $ S S$ 1S + S$ S Nemarque : cas dégalité dans linégalité triangulaire : - quelle condition a9t9on : S$ 1 + $ S = S$ 1S + S$ S 3 "aprs la démonstration *aite ci9dessus, on a : S$ 1 + $ S = S$ 1S + S$ S ⇔ Ne($ 1 $ ! = r1 r ⇔ cos(θ1 − θ! = 1 ⇔ θ1 − θ = 0 UπT ⇔ θ1 = θ UπT S$ 1 + $ S = S$ 1S + S$ S ⇔ O, % 1 et % sont alignés dans cet ordre
"oI :
/10
-. ormules de Moi(re. ormules d'Euler 7.1. Ghéorme
>ormules de Boire : pour tout θ ∈ et tout n ∈ (cos(θ! + i sin( θ!!n = cos (nθ! + i sin(n θ! >ormules d'uler :
(cos(θ! − i sin( θ!!n = cos (nθ! − i sin(n θ!
θ −θ ei + e i θ = cos( !
θ −θ ei − e i θ = sin( !
i
"émonstration : utilisons les *ormes e%ponentielles :
( )= e θ n
(cos(θ! + i sin( θ!!n = e i
inθ
= cos (nθ! + i sin(n θ!
"oI la premire *ormule de Boire.
(1!
Aes *ormules ne sont p lus e%plicitement au programme mais rien ninterdit un e%ercice (ou une actiité! de les introduire car leur utilisation (qui repose essentiellement sur les propriétés de le%ponentielle comple%e qui, elles, sont au programme...! s are trs pratique dans bien des situations. Nombres complexes
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La seconde *ormule est obtenue en remplaMant θ par −θ. θ
ei + e
−θi
= cos(θ! + i sin( θ! + cos(−θ! + i sin( −θ! = cos(θ! + i sin( θ! + cos(θ! − i sin( θ! = cos(θ!
θ −θ ei − e i = cos(θ! + i sin( θ! − cos(−θ! − i sin( −θ! = cos(θ! + i sin( θ! − cos(θ! + i sin( θ! = i sin( θ!
"oI les deu% *ormules d'uler. 7.. pplications : $ θ ? θ sin(! et cos(!
1!Linéariser :
!Aalculer cos($ θ! en *onction de cos(θ! et sin($ θ! en *onction de sin( θ!. θ
x − xcos(θ! + 1 = ( x − ei !( x − e
$!"émontrer que :
@!"émontrer que pour tout θ ≠
6!Aalculer
∑e
i3t
!
e it 1 Ne it ÷ et Ne it ÷ − e − 1 e 1
?!Aalculer, pour tout t ∈ :
n
−θi
π
UπT :
e
θ i
+θi = 1tan(! −θi 1tan(!
. 'n déduire que pour tout x ∈ :
3 = 0
n sinU(n + 1! xT = sin x ÷ ÷ cos(!1 3x − 3 = 0 7!n pose S = cos( p! + cos(q! et S' = sin( p! + sin(q!. p + q i pq− "émontrer que S + iS' = e cos ÷ . 'n déduire des e%pressions de S et S' sous *orme de produits. rocéder de m#me aec T = cos( p! − cos(q! et T' = sin( p! − sin(q!.
∑
=olutions : 1!n a : $
eeiiθ−θ− θ= ÷ sin(! i $
eeiiθ−θ+ θ= ÷ cos(! ?
?
θθ−θ−θ $$iiii $$ = eeee−+−
θθ−θ−θ iiii ?? ++++ = eeee ?6?
θ−θ ii = sin($!6sin(! −Qi
−Qi
θ+θ+ = cos(?!Qcos(!6
16
16
= − 1 sin($θ! + $ sin(θ! ?
?
= 1 cos(?θ! + 1 cos(θ! + $ Q
Q
!"aprs la *ormule de Boire : (cos(θ! + i sin( θ!!$ = cos($θ! + isin($ θ! cos$(θ! + $i cos(θ! sin( θ! − $ cos(θ! sin(θ! − i sin $(θ! = cos($θ! + isin($ θ! 't en identi*iant les parties réelles et imaginaires : cos($θ! = cos$(θ! − $cos(θ! sin(θ! = cos$(θ! − $cos(θ!(1 − cos(θ!! = ?cos$(θ! − $cos(θ! sin($θ! = $cos(θ! sin( θ! − sin$(θ! = $(1 − sin (θ!!sin(θ! − sin$(θ! = $sin( θ! − ?sin$(θ! $!n déeloppe : θ θ θ θ ( x − ei !( x − e )i ! = x − ( ei + e )i ! x + 1 = x − xcos(θ! + 1
?!our tout t ∈ , on a :
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1 e −1 it
=
1
(
eee
−
−
iii ttt ///
)
− it / − ie tt = = −−ii(cos(/!sin(/!!
= it / 1 sin(/! ie t
sin(/! t
sin(/! t
1 = − 1 Ne it ÷ e − 1
"oI :
tt + = − i cos(/!sin(/! sin(/! t
(Nésultat indépendant de t !
eit = 1 − eit − 1 1 − e it
't comme :
e it 1 = 1 Ne it ÷ = − Ne ÷ −it e − 1 e − 1
@!our tout θ ≠
π
("aprs le calcul précédent!
UπT, on a, en multipliant numérateur et dénominateur par cos( θ! :
+θi 1tan(! −θi 1tan(!
θ
θ+θ = cos(!sin(!i θ−θ i cos(!sin(!
i = e−θi = e i θ e
6!our tout t ∈ Z π, on a : n
∑e
i3t
= e
3 = 0
i (1! nt +
−1 =
eit − 1
int e
n + 1 t t sin ÷
sin ÷
Légalité est éidente si x ∈ π . osons t = x, ainsi pour tout x ∈ Z π :
n
∑e
Ne ÷ ÷
i3x
nx+ = cos(nx! sinU(1!T
+−− nxx = 1 sinU(1!Tsin(!
sin(! x
3 = 0
sinU(1!T nx+ sin(! x
"oI :
nx+ = 1 sinU(1!T
sin(! x
=
sin(! x
+ 1
n
∑ cos(!3x − 1 3 = 0
"oI le résultat.
7!n a :
"oI :
"e m#me :
"oI :
Nombres complexes
S + iS' = e + e = e i p
iq
i
p + q
−− ii pqpq ÷÷ ee +
−
= e
i
p + q
pq+ cos( p! + cos(q! = cos ÷
pq− cos ÷
pq+ sin( p! + sin(q! = sin ÷
pq− cos ÷
T + iT' = e − e = e i p
iq
i
p + q
−− ii pqpq ÷÷ ee −
−
= ie
i
p + q
pq− cos( p! − cos(q! = −sin ÷
pq+ sin ÷
pq− sin( p! − sin(q! = sin ÷
pq+ cos ÷
Page 1Q
pq− cos ÷
pq− sin ÷
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. Nombres complexes et !om!trie uruur
"ans tout ce paragraphe, le plan est muni dun repre orthonormal direct
(Oee),
).
1
Q.1. Aalculs de distances Nappelons que si $ A et $ , sont les a**i%es respecties de deu% points A et , alors : A, = S$ , − $ AS '%emples : 1!"éterminer lensemble des points % da**i%e z telles que : Sz − S = S z + i% n introduit A(! et ,( −i!, ainsi on a : A% = ,% Lensemble recherché est la médiatrice du segment U A,T. !"éterminer lensemble des points % da**i%e z telles que : Sz − $iS = n introduit C ($i!, ainsi on a : C% = Lensemble recherché est le cercle de centre C et de ra&on . $!"éterminer lensemble des points % da**i%e z telles que : Sz − S = S z + iS
i , ainsi :
n introduit A(! et , ÷−
A% = ,%
%A
%A = 3 %, %A = 3 %,
→
→
%A = 3 %,
→
→
→
→
( %A − 3%, !.( %A + 3%, ! = 0
→
n obtient alors : 't comme (1 − 3 !(1 + 3 ! ≠ 0 :
→
(1 − 3 ! %G.1 (1 + 3 ! %G = 0
→
→
%G.1 %G = 0
Lensemble recherché est donc le cercle de diamtre UG 1GT.
Nombres complexes
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Q.. Aalculs dangles Q..1. Ghéorme =i A et , sont deu% points distincts du plan comple%e da**i%es respecties a et b alors :
→
→
( e1 ) A, ! = arg(b − a! U πT "émonstration :
→ = A, O% →
=oit % ( z! le point tel que : insi :
→
→ → = ( e1 ) A, ! ( e1 ) O% ! = arg( z! = arg(b − a! U πT →
%e des imaginaires purs ,(b! % ( z! arg(b − a! →
A(a!
arg( z!
e
%e des réels
→
O
e1
'%emple :
→
→
n donne A(1! et ,(, i $!. "éterminer une mesure de langle ( e1 ) A, !. b − a = 1 + i $ = e
n a :
→
→
( e1 ) A, ! =
"oI :
π $
i
π $
UπT
Q... Ghéorme =i A, , et C sont trois points deu% - deu% distincts du plan comple%e da**i%es respecties a, b et c alors : → → b − c π ÷ U T (CA )C, ! = arg a − c
→
→
"émonstration : les a**i%es des ecteurs CA et C, sont respectiement (a − c! et (b − c!. →
"aprs Q..1. :
→
→
→
arg(a − c! = ( e1 ) CA ! UπT et arg(b − c! = ( e1 ) C, ! UπT
r, daprs la relation de Ahasles sur les angles : →
→
→
→
→
→
( e1 ) C, ! − ( e1 ) CA ! = (CA ) C, ! UπT 't daprs les propriétés des arguments :
b − c π ÷ U T arg(b − c! − arg(a − c! = arg a − c
"onc :
Nombres complexes
→ → b − c π ÷ U T (CA ) C, ! = arg a − c
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A= NG
π
(modulo π! que pour tous points A(a!, ,(b!
et C (c! tels que A ≠ C : b−c est réel ⇔ les points A, , et C sont alignés a −c 't si de plus , ≠ C : b−c est imaginaire pur ⇔ les droites (CA! et (C,! sont perpendiculaires. a −c '%emple : n donne A(@ + $i! et ,(@ − Qi!. Le triangle OA, est9il rectangle en O 3
→
→
b π U T a
( OA ) O, ! = arg ÷
"aprs ce qui précde :
− i∉ b = @Q− i = 1@@ i a @$+ i $?
r :
"onc les droites (OA! et (O,! ne sont pas perpendiculaires. '%tension : A(a!, ,(b!, C (c! et 5(d! étant ? points du plan, deu% - deu% distincts, on a : dc− ( A,! ⊥ (C5! ⇔ ba−
∈ i
( A,! ⊥ (C5!
'n e**et, on a les équialences suiantes :
→
→
( A, ) C5 ! =
→
→
→
π π U T
→
( A, ) e1 ! + ( e1 ) C5 ! =
π π U T
ec des ecteurs, la propriété ci9contre sécrit :
π arg(d − c! − arg(b − a! = UπT − π dc = arg ÷ UπT ba−
rr
u(⊥
()r r a** ()( a** u
⇔
∈ i¡
dc− ∈ i ba− Q.$. Liens entre les nombres comple%es et certaines trans*ormations du plan Aonsidérons une *onction ƒ dé*inie sur - aleurs dans
. Dous pouons associer - cette
*onction
ƒ la
trans*ormation ponctuelle T qui - chaque point % da**i%e z associe le point %' da**i%e z' = ƒ( z!.
Q.$.1. Ghéorme #criture complexe d'une translation →
La translation de ecteur u , da**i%e a, trans*orme un point % ( z! en un point %' ( z' ! tel que : z' = z + a 6A1outer un nombre a c'est translater d'un (ecteur d'a77ixe a6
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%e des imaginaires purs
%' ($ + a! % ($ !
→
A(a!
e O
%e des réels
→
e1
"émonstration :
→
"ire que %' est limage de % par la translation de ecteur u signi*ie :
→
→
%% ′ = u
z' − z = a
Ae qui se traduit, en termes da**i%es, par : "oI le théorme.
Q.$.. Ghéorme #criture complexe d'une rotation La rotation de centre Ω(ω! et dangle θ trans*orme un point % ( z! en un point %' ( z' ! tel que : θ
z' − ω = ei ( z − ω! θ 6%ultiplier par ei c'est 7aire tourner d'un angle θ 6 %' ( z' !
%e des imaginaires purs
θ Ω(ω!
→
z − ω
e O
% ( z!
%e des réels
→
e1
"émonstration : θ =i % = Ω, la relation z' − ω = ei ( z − ω! est triiale. =upposons désormais % ≠ Ω.
"ire que %' est limage de % par la rotation de centre Ω et dangle θ signi*ie :
′ Ω=Ω %% →→ ÷ %% ,UT ′ ÷ ΩΩ=θπ SSSS zz′ −ω=−ω Ae qui se traduit, en termes da**i%es, par : z′ −ω =θπ ÷ argUT z −ω Nombres complexes
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z′ −ω = iθ e z −ω
n en déduit : "oI le résultat. Aas particuliers :
• =i Ω = O, alors lécriture comple%e de la rotation deient : θ z' = ei z • θ= π =i
(quart de tour de sens direct!, alors lécriture comple%e de la rotation deient : z' − ω = i( z − ω!
• =i Ω = O et θ = π , alors lécriture comple%e de la rotation deient : z' = i z • Aas du triangle é)uilatéral. =oient A, , et C trois points du plan da**i%es respecties z A, z, et zC . i
π
A,C est un triangle équilatéral de sens direct ⇔ zC − z A = e $ ( z, − z A! ('n e**et, cest équialent - dire que C est limage de , par la rotation de centre A et dangle
π $
!
'%emple 1 : on donne deu% points distincts A(a! et ,(b!. n construit le carré A,C5 de sens direct. Puelle est la**i%e ω du centre Ω du carré A,C5 3 5
C
Ω
A
,
π
:
b − ω = i(a − ω!
ω(i − 1! = ia − b ω = ba− i 1− i
rr
u( = → → π '%emple : soit u ( x, -! un ecteur du plan (non nul! et ( ( x' , -' ! tels que rr (u(, ) = →
→
'%primer les coordonnées de ( en *onction de celles de u . θ
→
Aet e%emple montre ce que
→
Dotons z = r ei la**i%e deu et z' celle de ( . n a donc : "oI :
deiennent les coordonnées dun
iθ
z' = i z = i r e = i r (cos(θ! + i sin( θ!! = r (−sin(θ! + i cos(θ!! x' = − r sin(θ! = − - et -' = r cos(θ! = x
ecteur lorsquon le *ait HtournerH dun quart de tour direct.
→
( (− -, x!
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Q.$.$. Ghéorme #criture complexe d'une 8omot8"tie Lhomothétie de centre Ω(ω! et de rapport 3 ∈ Y trans*orme un point % ( z! en un point %' ( z' ! tel que : z' − ω = 3 ( z − ω! "émonstration : "ire que %' est limage de % par lhomothétie de centre Ω et de rapport 3 signi*ie :
→ → ′ Ω % = 3 Ω% Ae qui se traduit bien, en termes da**i%es, par : z' − ω = 3 ( z − ω!.
'%emple : soit ƒ la trans*ormation du plan qui, - tout point % ( z! du plan associe le point %' ( z' ! tel que : @ z' = − z + i
La démarche ci9contre *ait *igure de méthode.
"éterminer la nature de ƒ et préciser ses éléments caractéristiques.
Lorsquon a a**aire - une trans*ormation du planƒ
Bontrons que ƒ admet un unique point inariant.
dont lécriture comple%e est : z' = az + b (a ≠ 0!
ƒ(ω! = ω
our cela on résout léquation :
on commence par rechercher son éentuel point *i%e :
ω = − @ ω + i
•
ω= ?i
•
points du plan sont *i%es!
7
•
our déterminer la nature de ƒ on e%prime z' − ω en *onction de z − ω . n a :
i i
'n soustra&ant, membre - membre, ces deu% égalités, on obtient : z' − ω = −
si a = 1 et b ≠ 0, il n& a pas de point *i%e et ƒ est une translation.
? La trans*ormation ƒ admet un unique point inariant Ω da**i%e ω = i. 7
′ =−+@ zz ω=−ω+@
si a = 1 et b = 0, alors ƒ est lidentité (tous les
si a ≠ 1, il & a un unique point *i%e ω =
b 1− a
"ans ce cas, si a est un réel,ƒ est une homothétie de rapport a. =i a est un comple%e de module 1 θ
i (a = e !, ƒ est une rotation dangle
θ
i généralement (a = 9 e !, ƒ est une similitude
(oir cours de s pécialité!.
@ −ω ( z !
@ n en déduit, gr`ce - son écriture comple%e, que ƒ est lhomothétie de centre Ω et de rapport 3 = − . Q.?. ]quation paramétrique dun cercle Q.?.1. Ghéorme =oit C le cercle de centre Ω(ω! et de ra&on 9. =oit % un point da**i%e z. lors : θ % ∈ C ⇔ il e%iste un réel θ tel que z = ω + 9 ei
Nemarque : on peut choisir θ dans U0, π U ou tout autre interalle semi9ouert de longueur π.
"émonstration : nous aurons besoin du lemme suiant, *ort utile : Q.?.. Lemme : =oient z1 et z deu% nombres comple%es. lors : θ Sz1S = S zS ⇔ il e%iste un réel θ tel que z1 = ei z
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θ. lus
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"émonstration du lemme : =upposons Sz1S = S zS. =i z 1 et z sont de module nul (donc sont nuls!, nimporte quel réel θ *era la**aire. =upposons que le module r de z1 et z est non nul. Dotons α1 et α des arguments respecti*s de z 1 et z. α
α
z1 = r ei 1 et z = r e i
n a ainsi :
z1 = i (!α1−α e z
Aomme r [ 0, on a :
θ
z1 = ei z
z1 . z
θ Néciproquement, sil e%iste un réel θ tel que z1 = ei z, il est clair que Sz 1S = S zS.
Netour - la démonstration de Q.?.1. : % ∈ C ⇔ Ω % = 9 ⇔ Sz − ωS = 9
n a : r, daprs le lemme :
θ Sz − ωS = 9 ⇔ il e%iste un réel θ tel que z − ω = 9 ei
→ → θ = arg( z − ω! = ( e1 ) Ω % ! UπT
"oI le théorme et on a de plus :
uruur
(Oee), ), on considre le point A(a! du cercle de
'%emple : dans le plan muni dun repre orthonormé direct centre O et de ra&on 1 tel que arg(a! →
→
( e1 ) A, ! =
π ?
=
π 6
1
puis le point , du cercle de centre A et de ra&on
. Puelle est la**i%e b de , 3 a= e
n a clairement :
i
π 6
π
π
π
i 1 i 1 i b=a+ e ?= e 6+ e ? ? ?
"e plus : "oI :
1 tel que ?
b=
$ + 1 + + = ?$ + i i Q Q Q
+ i ?+
Q
Nemarque : =i on note ( x Ω, -Ω! les coordonnées de Ω et ( x, -! celles de % , on a :
xx9 =+θΩ % ∈ C ⇔ il e%iste un réel θ tel que =+θΩ --9
cos(! sin(!
Q.@. Dombres comple%es et bar¢re [email protected] Ghéorme =oit G le bar¢re de n points pondérés ( A 1, α1!, ( A, α!, ... , ( A n, αn! aec
n
∑α
p =1
p
≠ 0
Dotons z p les a**i%es des points A p (1 p n!. lors la**i%e z G de G est donnée par : n
zG
∑ α z = ∑α p =1 n
pp
p =1
p
:'a77ixe du bar-centre est la mo-enne /pond"r"e0 des a77ixes des points
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'n particulier, si on considre des points A(a!, ,(b! et C (c!, on a : ab+
• a**i%e du milieu de U A,T :
++ abc $
• a**i%e du centre de graité du triangle A,C :
'%emple : A,C est un triangle de sens direct. n construit le point P tel que :
→
→
( ,C , AP ! =
π
et AP = ,C
n construit de m#me les points ; et 9 tels que :
→ →
( CA , ,; ! =
→ →
( A, , C9 ! =
π
et ,; = CA
π
et C9 = A,
"émontrer que le triangle P;9 a le m#me centre de graité que A,C . P
n a donc :
p − a = i(c − b! q − b = i(a − c! r − c = i(b − a!
A
'n additionnant membre - membre ces trois égalités, il ient : p + q + r = a + b + c n en déduit que les deu% triangles ont le m#me centre de graité. ,
C 9
;
Q.6. Puelques lieu% de points =oient A et , deu% points distincts du plan.
• 'nsemble des points % tels que %A = 3 : cercle de centre A et de ra&on 3 si 3 [ 0 le point A si 3 est nul lensemble ide si 3 \ 0 % 3 A
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• 'nsemble des points % tels que %A = %, : médiatrice du segment U A,T %
A
×
×
<<
<<
,
→ → • 'nsemble des points % tels que ( %A ) %, ! = 0 UπT : droite ( A,! priée des points A et , %
A
Cn angle orienté de deu% ecteurs nest dé*ini que si
,
les ecteurs ne sont pas nuls. Aest pourquoi, les points A et , doient #tre retirés, le
A
,
%
cas échéant, des ensembles ci9contre.
→ → • 'nsemble des points % tels que ( %A ) %, ! = 0 UπT : droite ( A,! priée du segment U A,T %
A
,
A
,
%
→ → • 'nsemble des points % tels que ( %A ) %, ! = π UπT : segment ouert T A,U A
%
,
→ → • 'nsemble des points % tels que ( %A ) %, ! = π UπT :
cercle de diamtre U A,T prié des points A et , %
A
,
%'
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→
→
• 'nsemble des points % tels que ( %A ) %, ! = π UπT :
demi9cercle de diamtre U A,T prié des points A et , et tel que %A, soit direct %
A
→
,
→
• 'nsemble des points % tels que ( %A ) %, ! = − π UπT :
demi9cercle de diamtre U A,T prié des points A et , et tel que %A, soit indirect
A
,
%
→ → • 'nsemble des points % tels que %A . %, = 0 : cercle de diamtre U A,T
"ans un produit scalaire, les ecteurs peuent trs bien #tre nuls, cest pour cela,
%
quici, on ne retire pas les points A et ,. A
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,
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3. 4$u"tions du second de#r! 5 coe,,icients r!els /"cti(it! 5 compl!ter0 .. /0-A125 6- 17*8 x 9 a o a est un réel et x )uantité inconnue. 1. Nappeler les solutions de léquation x = a dans le cas oI a 0.
( )
. n suppose que a \ 0. ;éri*ier que a = i − a . 'n déduire que léquation x = a possde deu% solutions comple%es que lon précisera. Léquation x = a possde deu% solutions dans :
• =i a 0, ce sont les réels suiants : • =i a \ 0, ce sont les imaginaires purs conugués suiants : pplications : Nésoudre dans les équations suiantes : $ x = −$ z + = 0 ?
z = cos θ − 1
x +
1= 0 x
.9. /0-A125 6- 17*8 ax 9 # bx # c ; o a, b et c sont des réels avec a ; et x )uantité inconnue.
∆ = b − ?ac.
Aonsidérons le discriminant
1. Nappeler les solutions de léquation a x + bx + c = 0 (a ≠ 0! lorsque ∆ 0. x + bx + c
Nappelons (oir cours de remire! que léquation a
= 0 (a ≠ 0! peut sécrire de manire
équialente :
+ b = ∆ x ÷ a ?a . n suppose que
∆ \ 0. ;éri*ier que
( ) . 'n déduire que léquation ci9dessus possde deu%
∆ = i −∆
solutions comple%es que lon précisera. Léquation a x + bx + c = 0 (a ≠ 0! possde deu% solutions dans :
• =i ∆ 0, ce sont les réels suiants : • =i ∆ \ 0, ce sont les comple%es conugués suiants :
O N'G'D
a z
z! z z9! oI z1 et z sont les racines du pol&n5me az + bz + c
pplications : Nésoudre, dans , les équations suiantes : z − $ z + ? = 0
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x − x + = 0
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z? + z − 10 = 0
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16. 4$u"tions du second de#r! 5 coe,,icients complexes /7ors pro#r"mme0 ;.. /0-A125 6- 17*8 z 9 z; o z; est un complexe et z complexe inconnu. θ
n pose z0 = a + ib = r ei et z = x + i - oI a, b, x et - sont des réels. =i un argument θ de z0 est connu, léquation est *acile - résoudre, ses solutions sont : θ /
z1 =
et z = − r ei
r ei
θ /
"ans le cas contraire, on procde anal&tiquement. "aprs les propriétés des modules, on a : SzS = r x + - = r "e plus, léquation z = z0 sécrit :
( =1!
x + x-i − - = a + bi
'n identi*iant les parties réelles et imaginaires, il ient : x − - = a
( =!
x- = b
( =$!
't : 'n additionnant ( = 1! et ( =! :
x = r + a
'n soustra&ant ( = 1! et ( = ! :
- = r − a r SaS
n sait, daprs une remarque (@..! que :
"onc r + a et r − a sont positi*s, les réels x et - e%istent bien et on choisit leur signe de *aMon que leur produit soit du signe de b (a*in de satis*aire la condition x- = b!.
• =i b 0, on choisit : z1 = x1 + i -1 =
ra+
+ i ra−
et z = x + i - = −
ra+
− i ra−
et z = x + i - =
ra+
+ i ra−
• =i b 0, on choisit : ra+ z1 = x1 + i -1 = −
+ i ra−
n pourra éri*ier, a posteriori, ces résultats. '%emple : résoudre, dans , léquation : n écrit z = x + i -, ainsi :
z = $ + ?i x + x-i − - = $ + ?i
't aec la condition sur les modules (S zS = @!, on obtient le s&stme :
x-+= @ x- −= $ ? x- = Les deu% premires équations donnent :
x = ? et - = 1
r, daprs la troisime condition x- = , les réels x et - sont de m#me signe. n obtient donc : z1 = + i ) z = − − i
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