COLEGIO DE BACHILLERES
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
FASCÍCULO 4.
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL UNA VISIÓN ESTÁ
Autores: Alejandro J. López Argüelles Alberto Luque Luna
1
COLEGIO DE BACHILLERES
Colaboradores:
Asesoría Pedagógica:
Revisión de Contenido:
Diseño Editorial: Leonel Bello Cuevas Javier Darío Cruz Ortiz
2
ÍNDICE
5
INTRODUCCIÓN PROPÓSITO CUESTIONAMIENTO GUÍA
7 9
CAPÍTULO 1. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL
11
1.1 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y ÁREA BAJO LA CURVA
11
1.2 INTEGRAL DE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO
18
1.3 ÁREA BAJO LA CURVA.
29
1.4 ÁREA ENTRE CURVAS: UTILIDADES 1.5 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN
35
RECAPITULACIÓN
44
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
50
AUTOEVALUACIÓN
53
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
55
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
61
3
4
INTRODUCCIÓN
El contenido de éste fascículo te introducirá en el campo de las aplicaciones del Cálculo Integral por medio de ejemplos de diferentes áreas del conocimiento como Física, Ingeniería, Economía, Medicina y Biología.
Obtener el modelo matemático que represente al fenómeno en estudio será difícil si se trata de fenómenos dinámicos, es decir, que experimenten cambios respecto al tiempo o respecto a otras variables. Este tipo de modelos matemáticos son las ecuaciones diferenciales y se resuelven generalmente mediante el Cálculo Integral, aunque también pueden hacerse por medio de métodos numéricos y una computadora como instrumento de apoyo.
El estudio de los fenómenos dinámicos es una nueva tendencia en el campo de la Matemática, impulsada por la utilización generalizada de las computadoras, que además de resolver rápidamente estos modelos matemáticos pueden probar la eficacia y veracidad de los modelos de experimentación.
5
6
PROPÓSITO
El contenido de este fascículo pretende que al concluir su estudio:
¿QUÉ APRENDERÁS?
A aplicar los conocimientos tanto de la integral indefinida como de la definida.
¿CÓMO LO APRENDERÁS?
Mediante la utilización de algunas técnicas de integración en la resolución de diferentes problemas de aplicación real generados por fenómenos dinámicos.
¿PARA QUE TE VA A SERVIR?
Para mayor comprensión del cálculo integral y su aplicación en las diferentes ramas de la Ciencia.
7
8
CUESTIONAMIENTO GUÍA
¿Sabías que existe un método para evaluar la temperatura en lugares extremadamente fríos? ¿Cómo se puede saber la cantidad dosificada de insulina para un diabético en diferentes periodos? ¿Cómo calcularías la energía que consume un sistema de clima artificial? ¿Sabías que se puede pronosticar el número total de bacterias de cierto cultivo para un instante determinado? El estudio de este fascículo te permitirá contestar estas interrogantes y muchas otras de la misma índole que se puedan presentar.
9
10
CAPÍTULO 1. APLICACIONES DEL CÀLCULO INTEGRAL 1.1 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y ÁREA BAJO LA CURVA En el Polo Norte se registra semanalmente la temperatura del ambiente al mediodía, durante un año. Las lecturas obtenidas fueron las siguientes: Semana Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Temperatura T(°C) 3.4 6.7 9.8 12.7 15.3 17.7 19.7 21.5 23.0 24.2 25.0 25.5 25.7 25.5 25.0 24.2 23.0 21.5 19.7 17.7 15.3 12.7 9.8 6.7 3.4 0.0
Semana Núm. 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 11
Temperatura T(°C) −3.6 −7.3 −11.0 −14.8 −18.6 −22.3 −25.9 −29.4 −32.7 −35.7 −38.5 −40.9 −42.8 −44.9 −45.3 −45.7 −45.4 −44.4 −42.5 −39.7 −36.0 −31.3 −25.4 −18.2 −9.8 0.0
La gráfica de barras para las primeras 26 semanas es: T ºC 25
20 15 10 5 semanas 0
5
10
15
20
25
Figura 1.
La gráfica de barras para las siguientes 26 semanas es: T ºC
26
30
35
40
−5 −10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 Figura 2.
12
45
50
semanas
¿Cómo obtendrías la temperatura promedio durante las primeras 26 semanas? Es como si en lugar de tener 26 barras de alturas diferentes (Figura 1) tuvieras solamente una, de altura constante (Figura 3). T ºC 26
0
26 semanas Figura 3.
Ésta no es tan alta como la barra más alta (13) ni tan baja como la más baja (26). Esto se debe a que las barras altas ceden pequeñas porciones a las barras pequeñas, de modo que la altura entre todas se iguala. Esto es, se está obteniendo el promedio de la altura de las 26 barras. Además, el área que representan las 26 barras debe ser igual a la que representa la barra única de 26 semanas de ancho. Para obtener el promedio de un número dado de datos deben sumarse todos ellos y posteriormente dividirse entre el número de datos. Así, la suma de la altura de las barras es 434.7°C, y al dividir este valor entre el número de datos (26) se obtiene el promedio de temperatura durante las primeras 26 semanas, es decir: 434.7 = 16.72 ºC 26 Para calcular el área de la barra ancha, de altura cuyo valor es 16.72°C, se multiplica la longitud de la base (26) por la altura (16.72); por consiguiente, el área es de 434.7[°C x semana]. T ºC
16.72
0
26 semanas Figura 4.
13
Si se desea determinar la prueba hay que calcular la suma de las áreas de las 26 primeras barras multiplicando la altura de cada barra por la longitud de la base, cuyo valor en este problema siempre es de 1; por último se efectúa la suma de áreas. El resultado que se obtiene es de 434.7[°C x semana]. Es el mismo procedimiento para calcular la temperatura promedio de las siguientes 26 semanas. Su promedio es de – 28.91°C(figura 5). T ºC 0
26
52 semanas
−28.91 Figura 5.
Para calcular el área se multiplica –28.91 por 26; por lo tanto, el área es de −751.6[°C x semana], mismo resultado que la suma de las áreas de las 26 barras consideradas. La temperatura promedio de las 52 semanas se obtiene mediante la suma de las dos áreas, que se divide entre el número de semanas como sigue: º C x semana 434.7 + ( −751.6) = = − 6. 1 º C semana 52 Con la relación funcional entre la temperatura y el tiempo transcurrido se determinan los fenómenos en estudio y se predicen futuros comportamientos; sin embargo, las más veces es complicado porque es necesario aplicar diversos conocimientos sobre funciones y comparar muchas de ellas hasta obtener la que mejor se ajuste a los datos registrados. La función o modelo matemático, cuya gráfica pase por los 52 puntos de la figura 6, aunque sea cercanamente, tiene la forma siguiente:
14
T ºC 25
semanas
0
13
26
39
52
−25
−50 Figura 6.
Después de probar diversas funciones, la que mejor se ajusta a ella es: ƒ(t) = 0.0001(t – 13)4 – 0.169(t – 13)2 + 25.7, Donde t es el número de semanas, el cual queda comprendido en el intervalo 0 ≤ t ≤ 52, y ƒ(t) expresa la temperatura en grados Celsius (°C). Para comprender qué significa la integral definida de la función ƒ(t) veamos un ejemplo:
∫
52 0
f (t ) dt
Al calcular la función:
∫
52 0
f (t ) dt =
∫
52 0
[0.0001(t − 13)
4
]
− 0.169(t − 13 ) + 25.7 dt 2
0.0001(t − 13 )5 0.169(t − 13 )3 ( ) f t dt = − + 25.7t dt ∫0 5 3 52
∫ ∫
0
[
f (t ) dt = 0.00002(t − 13 ) − 0.05633(t − 13 ) + 25.7t
52
5
3
f (t ) dt = − 316.886 [º C x semana ]
52 0
15
]
52 0
Este valor es el mismo que se obtiene al sumar las áreas de las 52 barras, o cuando se suman las áreas de las dos barras anchas; por consiguiente: 434.7 + (−751.6) = −316.886 [°C x semana] La integral definida es el área bajo la curva o bien el total acumulado de las temperaturas si el tiempo transcurrido entre una y otra lectura es de una semana.
Definición El área bajo la curva ƒ(t), desde que t forma el valor de a hasta que t toma el valor de b, es la siguiente integral definida: A =
∫
b a
f (t ) dt
La figura ilustra los límites de integración, f(t) A a
b
t
b−a donde b – a es la longitud de la base.
Para obtener la temperatura promedio de las 52 semanas se divide el área bajo la curva o el total acumulado de temperaturas entre el número de semanas o entre la longitud de la base del área considerada, b – a , o sea, 52 – 0. Así: Temperatura promedio anual =
− 316.88 º C x semana semana . 52
Las semanas pueden cancelarse y únicamente queda °C. Temperatura promedio anual = −6.1°C, que es el mismo valor calculado por medio de los diagramas de barras. En conclusión, el valor promedio de una función, f , se define matemáticamente como: f =
1 b−a
∫
16
b a
f (t ) dt
Donde
∫
b a
f (t ) dt es la suma total de valores o el área bajo la curva, y b – a la longitud de
la base del área considerada. Dado que la función ƒ(t) es sólo una aproximación a la gráfica que se obtuvo con el registro de datos, el área bajo la curva calculada por medio de la integral definida podría tener un valor diferente que el calculado mediante las barras. Lo mismo puede suceder al calcular el valor promedio de la función, puesto que únicamente se divide el valor de la integral definida entre la longitud del intervalo.
17
1.2 INTEGRAL DE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO Para controlar el organismo de un diabético existe la implantación de una cápsula que proporciona insulina, lenta y continuamente, a la corriente sanguínea. Al medir la cantidad de insulina administrada al paciente se registró lo siguiente: tiempo (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dosis acumulada (cm3) 0.00 0.10 0.36 0.78 1.33 1.99 2.73 3.56 4.45 5.38 6.36 7.37 8.39 9.44 10.49 11.54 12.58 13.62 14.65 15.66 16.66 17.64 18.59 19.52 20.43 21.31 22.17 23.00 23.80 24.57 25.32
tiempo (días) 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Dosis acumulada (cm3) 26.04 26.74 27.41 28.05 28.66 29.26 29.82 30.37 30.89 31.38 31.86 32.31 32.75 33.16 33.55 33.93 34.29 34.63 34.96 35.27 35.56 35.84 36.11 36.36 36.60 36.83 37.05 37.25 37.44 37.62
Para hallar la razón de cambio promedio (RCP) entre dos puntos, A y B, se divide el incremento de la función, ƒ(b) – ƒ(a), entre el incremento de la variable independiente, b – a. f ( b ) − f (a ) RCP = b−a 18
Donde: ƒ(a) – ƒ(b) son los valores de la función evaluada en t = a y t = b, respectivamente. La figura 7 ayuda a recordar este concepto. f(t)
f(b)
f(a)
0
a
b
t
Figura 7.
La razón de cambio promedio entre t = 0 y t = 1 se obtiene como sigue: RCP1 =
f (1) − f (0) ; 1− 0
Como ƒ(1) = 0.1 y ƒ(0) = 0 ; entonces RCP1 =
0.1 − 0 cm 3 1 − 0 dìa
cm 3 → RCP1 = 0.1 dìa
Determinar los datos que faltan en la siguiente tabla. Intervalo 1 2 3 4 5 6
b−a 1 1 1 1 1
ƒ(b) – ƒ(a) 0.10 0.26 0.42 0.55
RCP cm3/día 0.10 0.26 0.42 0.55
60
1
0.18
0.18
19
La gráfica de barras de la razón de cambio promedio, tiene la siguiente forma: cm3/día 1.0
0.5
0
10
20
30
40
50
60
días
Figura 8.
La suma de las áreas de todas las barras se obtiene al multiplicar a la altura de cada barra RCP por la longitud de la base, que en este caso es de un día; posteriormente se suman todos los productos:
∑ RCP
1
3 = 37.6 cm de insulina,
1− 60
Donde: ∑ RCP1 es la suma de las áreas de todos los rectángulos, desde el 1ο. hasta el 1−60
60ο. día. Esta suma representa el total de insulina suministrada al paciente al 60ο. día. Encontrar el área de todos los rectángulos comprendidos desde el inicio del suministro de insulina hasta el 30ο. día. Se puede hacer de tres maneras: Primera
∑ RCP
1
1−30
20
Encontrar la suma de las áreas de todos los rectángulos hasta el 60º. día. El valor por buscar es:
∑ RCP1 = 25.32
1− 30
Donde,
∑
∑
significa suma y
cm 3 dìa
suma de las áreas de todos los rectángulos
1−30
comprendidos desde el inicio del tratamiento, que corresponde al rectángulo 1ο., hasta el día 30, que corresponde al rectángulo 30º. Segunda El mismo valor del área se puede encontrar al sumar las siguientes áreas parciales.
∑ RCP
1
=
1− 30
∑ RCP + ∑ RCP 1
11− 30
1
1−10
cm 3 dìa
∑ RCP
= 18.96 + 6.36
∑ RCP
3 = 25.32 cm de insulina.
1
1− 30
o bien,
1
1− 30
Tercera Encontraremos el mismo valor del área con la suma de áreas parciales.
∑ RCP
=
∑ RCP
= 8.66 + 16.66
∑ RCP
3 = 25.32 cm de insulina.
1
1− 30
1
∑ RCP + ∑ RCP 1
21− 30
1
1− 20
1− 30
o bien,
1
1− 30
Como hay gran cantidad de combinaciones con las que obtendrías el mismo resultado, se puede verificar que
∑ RCP
1
1− b
=
∑ RCP + ∑ RCP 1
( a +1) − b
1
1− a
21
Donde:
∑ RCP
1
es el total de insulina suministrada al paciente, desde el 1ο. hasta el
1−30
30ο. día. La figura 9 representa los valores de la razón de cambio promedio encontrados. cm3/día 1.0
0.5
0
10
20
40
30
50
60
días
Figura 9.
Encontrar la función que pase, aunque sea cerca, por todos los puntos de la gráfica es bastante laborioso, aunque la que más se aproxima a la gráfica anterior es: ƒ(t) = 0.2te –0.07t cm3/día, que representa la función de cambio instantáneo, ƒ(t), con la que se suministra la insulina en términos de tiempo, t. La gráfica de la función de la razón de cambio instantáneo es continua, y puede obtenerse al unir todos los puntos de la gráfica de la razón de cambio promedio (figura 10).
22
cm3/día 1.0
0
60
días
Figura 10.
Recuerda que el área bajo la curva puede calcularse por medio de una integral definida de la función en cuestión, que para este caso representa la función de la razón de cambio instantáneo. Por lo tanto, para calcular el total de insulina suministrada desde que inicia el tratamiento hasta el 60ο. día se debe evaluar la integral definida de la función de la razón de cambio instantáneo. Cantidad total = 0 − 60
∫
60 0
0.2te −0.07t dt
Utilicemos el método de integración por partes para evaluar la integral definida. La fórmula es
∫ udv = uv − ∫ vdu, y como Cantidad total = 0.2∫ 0 − 60
60 0
te −0.07t dt
Se escoge u = t y dv = e-0.07t dt ; entonces, du = dt y
23
∫ dv .
Al aplicar la fórmula de integración por partes resulta: 60
1 1 e −0 −07t − ∫ − e −0.07t dt , Cantidad total = 0.2t − 0 . 07 0 . 07 0 − 60 0 o 60
1 t e −0.07t + e −0 − 07t dt , Cantidad total = 0.2− ∫ 0 . 07 0 . 07 0 − 60 0 o bien, 60
1 t e − 0.07t + e − 0 −07 t (− 0.07dt ) , Cantidad total = 0.2− ∫ 0 . 07 0 . 07 0 − 60 0 o también 60
1 t e − 0.07t − e −0.07t , Cantidad total = 0.2− 2 (0.07) 0.07 0 0 − 60 Al sustituir los límites de integración resulta: 60 −0.07( 60) 0 −0.07(0) 1 1 Cantidad total = 0.2− − − e e −0.07( 60) − − e e −0−07(0) . 2 2 (0.07) (0.07) 0.07 0 − 60 0.07
Al efectuar los productos indicados queda: Cantidad total = 0.2 [(− 12.853 − 3.06 ) − (− 0 − 204.0816 )] , 0 − 60
o bien, Cantidad total = 0.2[188.168], 0 − 60
o también Cantidad total = 37.634 cm3 de insulina suministrados durante los primeros 60 días. 0 − 60
24
Como se puede encontrar una equivalencia aproximada entre la suma de las áreas y la integral definida, por consiguiente:
∑ RCP
1
≅
1− 60
∫
60 0
(función de la razón de cambio instantáneo) dt .
Ahora calcularemos el total de insulina suministrada hasta el 30ο. día con base en integrales definidas. Primera Encontramos el total de insulina suministrada hasta el 30ο. día. Cantidad total = 0 − 30
∫
30 0
(función de la razón de cambio instantáneo) dt .
Al sustituir la función queda: Cantidad total = 0 − 30
∫
30 0
0.2te −0.07t dt .
Esta integración se realizó para evaluar el total de insulina suministrada hasta el 60º. Día con la excepción de que los límites de integración son diferentes. Así: 30
1 t e −0.07t − e −0.07t , Cantidad total = 0.2− 2 (0.07 ) 0.07 0 0 − 30 o 30 −0.07(30) 1 0 −0.07(0) 1 Cantidad total = 0.2− e e−0.07(30) − − e e−0−07(0) , − − 2 2 (0.07) (0.07) 0.07 0 − 30 0.07
o bien, Cantidad total = 0.2 [(− 52.4813 − 24.9911) − (− 0 − 204.0816 )] , 0 − 30
o también, Cantidad total = 0.2[126.6092], 0 − 30
Cantidad total = 25.32 cm3 de insulina suministrado durante los primeros 30 días. 0 − 30
25
Este valor también lo calculamos al sumar las áreas de todos los rectángulos hasta el 30ο. día. También aquí puedes encontrar la equivalencia aproximada entre la sumas de las áreas y la integral definida; por consiguiente,
∑ RCP
1
≅
1− 30
∫
30 0
(función de la razón de cambio instantáneo) dt .
Segunda La misma cantidad de insulina se puede encontrar al sumar las siguientes cantidades: Cantidad total = 0 − 30
∫ ∫
30
(función de la razón de cambio instantáneo) dt +
10 10
0
(función de la razón de cambio instantáneo) dt .
Al sustituir la función de la razón de cambio instantáneo tenemos: Cantidad total = 0 − 30
∫
30 10
0.2te −0.07t dt +
∫
10 0
0.2te −0.07t dt
Al evaluar las integrales se obtiene Cantidad total = 18.962 + 6.359. 0 − 30
Cantidad total = 25.321 cm3 de insulina suministrados durante los primeros 30 días. 0 − 30
La equivalencia aproximada entre la suma de las áreas y la integral definida es:
∑ RCP
1
1− 30
≅
∫ ∫
30 10 10
0
(función de la razón de cambio instantáneo) dt + (función de la razón de cambio instantáneo) dt .
donde la expresión
∫
10 0
(función de la razón de cambio instantáneo) dt representa la
insulina suministrada al paciente hasta el 10ο. día, de ahí que se pueda utilizar la siguiente equivalencia:
26
∫
10
(función de la razón de cambio instantáneo) dt = Acum10.
0
El valor aproximado de esta integral lo puedes encontrar en tu registro de datos para el 10ο. día. Entonces, la equivalencia aproximada entre la suma de las áreas de la integral definida se determina como:
∑ RCP
1
=
1− 30
∫
30 10
f (t )dt + Acum10 ,
donde: ƒ(t) representa la función de la razón de cambio instantáneo Acum10 representa el valor acumulado de insulina hasta el 10ο. día.
Tercera Encontramos la misma cantidad de insulina con la suma siguiente:
∫
Cantidad total = 0 − 30
30 20
20
f (t )dt + ∫ f (t )dt 0
Recuerda que ƒ(t) es la función de la razón de cambio instantáneo. Además, como el valor de la integral
∫
20 0
f (t )dt
representa la cantidad acumulada de insulina hasta el 20ο. día, entonces, Cantidad total = 0 − 30
∫
30 20
f (t )dt + Acum 20 .
Al evaluar las integrales se obtiene Cantidad total = 8.86 + 16.66 0 − 30
Cantidad total = 25.322 cm3 de insulina suministrados durante los primeros 30 días. 0 − 30
Como hay gran cantidad de combinaciones con las que se podría obtener el mismo resultado, se puede verificar que: b
Cantidad total = ∫ f (t )dt + Acum a desde a hasta b, a−b
a
27
donde: ƒ(t) es la función de la razón de cambio instantáneo Acum a representa el valor acumulado justamente hasta el instante t = a. Se observa que, la integral de la razón de cambio instantáneo representa, exclusivamente, un incremento, que en este problema es el aumento de insulina y no la cantidad total de insulina suministrada. Matemáticamente puede representarse como:
∫
b a
f (t )dt + ∆
a −b
donde: ƒ(t) representa la función de la razón de cambio instantáneo. ∆ representa el incremento obtenido desde el instante t = a hasta el instante t = b.
a−b
28
1.3 ÁREA BAJO LA CURVA Algunos desiertos del norte del país se caracterizan porque durante el día son demasiado calientes y durante la noche muy fríos. Para mantener constante la temperatura en su casa, los habitantes de esa región tienen instalado un sistema automático de clima artificial, el cual suministra calor durante la noche y frío durante el día; así, se equilibra la temperatura interior con la del exterior. Supongamos que se elabora un registro de datos, se encuentra la razón de cambio promedio de todos los pares y datos consecutivos, se grafica la razón de cambio promedio y se obtiene una función que pase lo más cercanamente posible por todos los puntos de la gráfica. Esta función se llama razón de cambio instantáneo. La función ƒ(t) que describe la velocidad o razón del cambio instantáneo con que el sistema de clima artificial suministra calor o frío es ƒ(t) = 200 cos
π 12
+ 50 cientos de BTU/h,
donde: t está dada en horas para t ξ [0,24] π está dado en radiantes. La unidad de medida es el BTU (British Thermal Unit: Unidad Térmica Británica). Completa la siguiente tabla: T ƒ(t)
0
2 223.2
4
6.965 9 0 −91.42
12
15 17.035 19 0 101.76 −91.42
24
Recuerda que se están utilizando radiante y no grados; por lo tanto, debe usar calculadora. La gráfica de la función es:
29
f(t) cientos de
BTU h
250
calienta 12
0
6
−150
18
t(h)
24
enfría Figura 11.
Los intervalos de t para los que el sistema de clima artificial calienta son: 0 ≤ t < 6.965 (muy temprano por la mañana) 17.035 < t ≤ 24 (después del atardecer). El intervalo durante el cual el sistema de clima artificial enfría es 6.965 < t < 17.035. Las regiones sombreadas en la figura 12 muestran el total de energía suministrada para calentar. BTU f(t) cientos de h
250
0
6
12
18
Figura 11.
30
24
t(h)
En la figura 13 se muestra la cantidad de energía que gasta el sistema para enfriar. f(t) cientos de
BTU h
250
6
12
18
24
0
t(h)
−150 Figura 13.
La cantidad de energía que gasta el sistema de clima artificial se observa en la figura 14. f(t) cientos de
BTU h
250
calienta 0
−150
6
12
18
24
t(h)
enfría Figura 14.
Esto se debe a que el sistema de clima artificial consume energía eléctrica tanto para calentar la habitación como para enfriarla. 31
Al calcular la energía que el sistema emplea para calentar se debe recordar que la integral definida de la función de la razón de cambio instantáneo representa el área bajo la curva comprendida en el intervalo definido por los límites de integración. Definición El área bajo la curva representa la energía total que consume el sistema de clima artificial, ya sea para calentar o para enfriar. Esto último puedes verificarlo multiplicando las unidades de la base (horas) por las unidades de altura (cientos de BTU/h). ciento de BTU hora
base x altura = horas x Al simplificar las horas, queda:
base x altura = cientos de BTU, que son las unidades de energía. De acuerdo con esto, debes evaluar la integral de la función de razón de cambio instantáneo para obtener la energía que consume el sistema de clima artificial, ya sea para calentar o enfriar. Mas si se quiere obtener la energía que consume el sistema para calentar, debemos observar las regiones que se encuentran por encima del eje X , a fin de determinar los límites de integración y sumar las áreas de ambas regiones. Por lo tanto: Energía para calentar =
∫
6.965 0
πt 200 cos 12 + 50 dt + 6.965
πt 12(200) sen + 50t = π 12 0
∫
24 17.035
πt 200 cos 12 + 50 dt 24
πt 12(200 ) + sen + 50t 12 π 17.035
12(200 ) π (6.965 ) π (0 ) − sen + 50(6.965 − 0 ) + ... sen = 12 12 π 12(200 ) π (24) π (17.035 ) − sen + 50(24 − 17.035 ) = sen 12 12 π = [763.94(0.968 − 0) + 348.25] + [763.94(0 + 0.968) + 50(6.965)] = 2 175.48 cientos de BTU para calentar.
32
El mismo razonamiento se aplica para calcular la energía que consume el sistema para enfriar, es decir, con base en la región que se encuentra por debajo del eje X se determinan los límites de integración y posteriormente se resuelve la integral.
∫
Energía para enfriar =
17.035 6.965
πt + 50 dt 200 cos
πt 12(200 ) sen + 50t = 12 π =
π (17.035 ) π (6.965 12(200 ) sen − sen + 50(17.035 − 6.965 ) 12 12 π
= 763.94(−0.968 – 0.968) + 50(10.07) = 763.94 (−1.936) + 503.5 = −1478.98 + 503.5 = −975.48 cientos de BTU para enfriar. El signo negativo indica que la región se encuentra por debajo del eje X, mientras que un signo positivo señalaría que se ubica por encima del eje X. El cálculo de la energía que gasta el sistema de clima artificial se determina mediante la suma de ambos valores, sin considerar su signo, puesto que el sistema gasta energía para calentar y enfriar. Así: Energía total gastada = 1 087.74 + 975.48 + 1 087.74 = 3 150.96 cientos de BTU. De lo anterior se concluye que el sistema de clima artificial en ciertas ocasiones calienta y en otras enfría la casa, pero ¿cuál es el efecto neto del sistema de clima artificial al cabo de las 24 horas?, ¿calienta más de lo que enfría la casa? Hay dos formas para encontrar el resultado: obteniendo la integral de 0 a 24. Efecto neto =
∫
24 0
πt 200 cos 12 + 50 dt
33
24
πt 12(200) = sen + 50t π 12 0 =
12(200 ) π (24) π (0 ) − sen + 50(24 − 0) sen 12 12 π
= 1200 cientos de BTU. Como el signo es positivo, el efecto neto del sistema es que calentó la casa en vez de enfriarla. La otra manera es sumando las integrales correspondientes a las regiones sombreadas. Efecto neto = A1 – A2 + A3 =
∫
6.695 0
f (t )dt − ∫
17.035 6.965
f (t )dt + ∫
24 17.035
f (t )dt
= 1087.74 – 975.48 + 1087.74 = 1200 cientos de BTU, que es el mismo valor calculado por medio de la integral de 0 a 24 Dado que la integral definida representa el área bajo la curva, o bien, el efecto total de una función la razón de cambio instantáneo y, como las unidades de esa área se obtienen al multiplicar las unidades del eje horizontal por las del eje vertical, lo mismo que cuando se multiplica la base por la altura, su cálculo ofrece muchas combinaciones y, por consiguiente, de aplicaciones en diferentes ramas del conocimiento.
34
1.4 ÁREA ENTRE CURVAS: UTILIDADES Para calcular las utilidades o ganancias de una empresa se deben considerar dos factores fundamentales: los ingresos y los costos. Los ingresos representan el dinero total que entra en la empresa, mientras que los costos representa el total de dinero que sale de la misma. De modo que, si por un lado entra dinero y por otro sale, la diferencia de lo que entra menos lo que sale son las utilidades. Así. U = I − C, Donde: U : utilidades I : ingresos C : costos Supongamos que una empresa decide patrocinar durante un año a popular cantante. Durante los primeros meses los ingresos aumentaban y los costos disminuían con el transcurso del tiempo. Al termino del séptimo mes la situación se revirtió: los ingresos disminuían y los costos aumentaban considerablemente. Los empresarios decidieron realizar un estudio económico a fin de pronosticar el momento más propicio para cancelar los contratos y dar por terminado el negocio. El estudio económico consistió en el registro de datos, primero de ingresos y después de costos, se determinó la razón de cambio promedio de todos los pares de datos consecutivos y se obtuvo la gráfica de los valores calculados. Posteriormente se obtuvo la función que más se aproximaba a la gráfica realizada (razón de cambio instantáneo). Con lo anterior se determinó que la tasa de ingresos mensuales que percibía la empresa estaban representados por la función. I(t) = −
1 (t − 6) 2 + 5 cientos de millones de dólares/mes, 6
mientras que la tasa de costos mensuales estaba representada por la función C(t) =
2 1 (t − 5 ) + 0.5 cientos de millones de dólares/mes 4
Ahora veamos las diferentes situaciones que se le presentaron a la empresa durante el estudio.
35
Una de ellas es el cálculo de los ingresos durante los primeros cuatro meses de patrocinio. Como la función I(t) representa una razón de cambio instantáneo, si aplicamos la fórmula del problema anterior.
∫
b a
f (t )dt + ∆
a −b
obtendremos el incremento de los ingresos desde el instante t = 0 hasta el instante t = 4, así:
∫
4 0
f (t )dt + ∆
0−4
Como se trata de un incremento, ∆ , a partir de t = 0, entonces se está obteniendo la 0− 4
cantidad total del ingreso; antes de t = 0 no había nada más; por consiguiente, los ingresos totales, I, cuando el tiempo está definido en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4 se calculan mediante la integral. I =
0− 4
∫
1 − (t − 6 ) 2 + 5 ; 0 6 4
o sea, 4
1 I = − (t − 6) 3 + 5t , 0− 4 6(3) 0 que es I = −
0− 4
[
]
1 ( 4 − 6) 3 − (0 − 6) 3 + 5( 4 − 0) , 18
o también I = −
0− 4
1 ( −8 + 216 ) + 20 . 18
Por lo tanto, I = 8.444 cientos de millones de dólares (CMD)
0− 4
Los costos totales durante los primeros cuatro meses de patrocinio se obtienen del mismo modo, es decir, también se calcula una integral. Así:
36
C =
0− 4
∫
4 0
1 2 4 (t − 5) + 0.5 dt ,
o sea, 4
1 C = (t − 5) 3 + 0.5t , 0− 4 4(3) 0 que es
[
]
C =
1 ( 4 − 5) 3 − (0 − 5) 3 + 0.5( 4 − 0) , 12
C=
1 ( −1 + 125 ) + 2 . 12
0− 4
o también
0− 4
Por lo tanto, C = 12.333 (CMD).
0− 4
Para calcular las utilidades de la empresa en ese mismo período se debe recordar que: U = I – C, Donde: U : utilidades I : ingresos C : costos Entonces las utilidades serán: U = I −C ,
0−4
0−4
0−4
o sea, U = 8.444 − 12.333 ,
0−4
o bien, U = −3.888 CMD
0−4
37
Como las utilidades calculadas son negativas, en los primeros cuatro meses se registraron solamente pérdidas. Veamos otro procedimientos Si primero se restan las funciones I(t) y C(t) y después se integra la diferencia obtenida, la integral sería: U =
0−4
∫
4 0
(I − C )dt
o sea, U =
0−4
∫
4
'0
1 1 2 2 − (t − 6) + 5 − (t − 5) + 0.5 dt ; 4 6
así U = −3.888 CMD,
0− 4
que representa el mismo valor calculado. Este procedimiento consiste en obtener el área entre dos funciones de t, f y g. Primero se calcula el área bajo la función f (figura 15). Y
f
0
a
Figura 15.
Después se calcula el área bajo la función g (figura 16).
38
b
t
Y
g
a
0
t
b
Figura 16.
Se restan ambas áreas (figura 17). Y g f
0
a
b
t
Figura 17.
Así, si se aplica el cálculo para encontrar dichas áreas se obtienen las siguientes expresiones: Área bajo la función f = Área bajo la función g =
b
∫ f dt a
∫
b a
t
g dt 39
Área entre ƒ y g =
b
b
a
a
∫ f dt − ∫
g dt .
La última expresión también se puede escribir como: Área entre ƒ y g =
∫
b a
(f − g ) dt
Al graficar las funciones C(t) e I(t) sobre el mismo plano cartesiano se obtiene la figura 18. El valor de las abscisas, o de los puntos de intersección 2.15 y 8.649 se encontró mediante calculadora. Puedes aproximarte a los mismos valores por medio del método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas. f(t) CMD/mes 7 6 C(t)
5 4 3
I(t)
2 1
2.15
8.649
t (meses) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Figura 18
Únicamente hemos calculado las áreas bajo la curva C(t) e I(t) de 0 a 4 meses, y la diferencia I(t) – C(t), en el mismo periodo. Otra forma para calcular las utilidades de 0 a 4 meses es calculando las utilidades, U = I – C, de 0 a 2.15 meses (figura 18) y las utilidades para 2.15 a 4 meses. Observa que cuando t = 2.15, se tiene el instante en el cual las dos curvas se intersectan, entonces: U =
0 − 2.15
I − C
0 − 2.15
40
0 − 2.15
Al aplicar la forma simplificada, puesto que son los mismos límites de integración, se obtiene: U =∫
0 − 2.15
2.15 0
1 1 2 2 − (t − 6) + 5 − (t − 5) + 0.5 dt , 4 6
o bien, U = 1.92 − 9.56 ,
0 − 2.15
o también U = −7.64 CMD.
0 − 2.15
La figura 19 ilustra este cálculo. La región sombreada representa más costos que ingresos, 7.64 CMD, siendo ésta el significado del signo negativo. f(t)
C
I
t (meses)
0
2.15 Figura 19
Para el siguiente periodo. U
2.15 − 4
=
I − C ,
2.15 − 4
2.15 − 4
resulta que: U
2.15 − 4
=
∫
4 2.15
1 1 2 2 − (t − 6) + 5 − (t − 5) + 0.5 dt , 6 4 41
o bien, U = 6.52 − 2.77 ,
2.15 − 4
o también U = 3.75 CMD.
2.15 − 4
La figura 20 representa este cálculo. f(t)
I
C
t (meses) 0
2.15
4 Figura 20
La región sombreada representa más ingresos que costos, 3.75 CMD. Para calcular las utilidades de 0 a 4 meses se deben sumar las dos utilidades calculadas anteriormente, es decir, U = U + V
0−4
0 − 2.15
2.15 − 4
,
o sea, U = −7.64 + 3.75 ,
0−4
o bien, U = −3.89 CMD.
0− 4
42
Llenar por medio de la forma simplificada los espacios en blanco de la siguiente tabla. Recuerda que la forma para hallar el área entre dos curvas es: b
A=
∫
U =
∫
a
(f − g ) dt .
En nuestro problema sería
a−b
b a
(I − C ) dt .
Al utilizar a = 0 y b = t meses se obtiene la siguiente tabla. 1 t(meses) U(CMD) −5.64
2
4* −3.89*
5 0.14
6
7 8.36
8
9 11.25
10
12 −9
(*) Valor ya calculado
De acuerdo con la tabla, para que la empresa comenzara a obtener ganancias, debieron transcurrir cinco meses, puesto que hasta ese momento los ingresos superaban los costos totales, de ahí que el signo de las utilidades totales sea positivo: + 0.14 CMD. Asimismo se puede apreciar en la tabla que debieron transcurrir nueve meses para que la empresa obtuviera el mayor beneficio. Ni antes ni después. Para los empresarios esto significaba estimar un comportamiento futuro, es decir, pronosticar la situación económica de su empresa a corto plazo. Realizar este análisis es fundamental para la toma de decisiones, sobre todo por el apoyo que brinda el manejo de las computadoras, pues así no se corren riesgos innecesarios y puede aumentarse la productividad tanto en los negocios como en otras esferas del saber.
43
1.4 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Existen bacterias patógenas (causan enfermedades) y bacterias inofensivas que tienen importante función en diversos procesos industriales, sin olvidar aquéllas que destacan por su importancia en el equilibrio del mundo viviente y por su aplicación en la medicina. Al registrar cada hora el número aproximado de bacterias que contiene cierto cultivo y, posteriormente calcular la razón de cambio promedio para pares de datos consecutivos, con el fin de graficar los valores encontrados y obtener la función que más se aproxime a la curva trazada, la función que resulta es: f (t ) = 1000 e 2t ,
donde: t: medida en horas ƒ(t): número de bacterias/horas.
Como ƒ(t) representa la función de la razón de cambio instantáneo, al calcular su integral definida se obtiene el incremento de la población en el periodo definido por los límites de la integración; pero si en lugar de evaluar la integral definida de la función de la razón de cambio instantáneo se calcula una integral indefinida, se obtiene una función que representa el valor de la variable en cualquier instante, t. Con base en la función de la razón de cambio instantáneo ƒ(t) = 1000 e2t bacterias/horas llenar los espacios en blanco de la siguiente tabla: t (horas)
f(t) bacterias horas
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1000.0 1491.8 2225.5 3320.1 4953.0 7389.1
44
La gráfica para todos los puntos de la tabla tiene la siguiente forma: f(t)
bacterias horas
8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
0.5
1.0
t (horas)
Figura 21
Ahora determinaremos la integral indefinida de la función de la razón de cambio instantáneo para obtener la función de la población, P(t), que nos proporcionará la cantidad de bacterias en el tiempo, t. Se tiene que: P (t ) = ∫ f (t )dt , entonces, P (t ) = ∫ 1000 e 2t dt; Como 1000 es un valor constante se puede colocar fuera de la integral, en consecuencia: P (t ) = 1000 ∫ e 2t dt . Al completar la integral queda: P (t ) =
1000 e 2t (2) dt, 2 ∫
y al evaluar dicha integral se obtiene: P (t ) = 500 e 2t + C ,
45
donde: P(t) representa la función de la población (cantidad de bacterias). C es la constante de integración, cuyo valor depende de las condiciones específicas del problema. Establezcamos las condiciones del problema a partir de la función de la población: P (t ) = 500 e 2t + C ,
Si se considera que la constante de integración vale cero, entonces, P (t ) = 500 e 2t .
Para esta última función llenar los espacios en blanco de la siguiente tabla: t (horas) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
P(t) (bacterias) 610.7 911.1 1359.1 2027.6 3024.8
La gráfica de estos puntos es la siguiente: P(t) bacterias 5000 C=0
4000 3000 2000 1000
t (horas) 0.5 Figura 22
46
1.0
Si se considera que la constante de integración toma otros valores además de cero, entonces: P(t) bacterias
C = 7000 C = 6000 C = 5000 C = 4000 C = 3000 C = 2000 C = 1000 C=0
8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
t (horas) 0.5
1.0
Figura 23.
La función P (t ) = 500 e 2t + C representa una familia de curvas porque la constante de integración puede tomar distintos valores; sin embargo, solamente una de estas curvas es la que caracteriza a nuestra población de bacterias porque es la única que corresponde a las condiciones del problema, que pueden determinarse de la siguiente manera: se observa una muestra de cultivo a través del microscopio y se estima la cantidad de bacterias, a la vez que se determina el instante en que se hizo la observación: Supongamos que en el instante t = 0.6 (horas) se observó la muestra a través del microscopio y se estimó una población de 6660 bacterias. Cuando el instante de observación corresponde a cero horas, se dice que la cantidad de bacterias en ese instante es la condición inicial del experimento. Busquemos las coordenadas (0.6 , 6660) en alguna gráfica de la familia de curvas.
47
P(t) bacterias
C = 7000 C = 6000 C = 5000 C = 4000
8000 7000
C = 3000 C = 2000 C = 1000 C=0
6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
0.5 0.6
1.0
t (horas)
Figura 24
De acuerdo con la figura 24, la curva que satisface las condiciones del problema es la que tiene por constante de integración C = 5000. En conclusión: El valor de la constante de integración, C, puede determinarse solamente si se conoce el valor de la integral, P(t), para un determinado valor de la variable, t.
Para determinar analíticamente el valor de la constante de integración, C, se parte de la función de la población: P (t ) = 500 e 2t + C .
Se sustituye tanto el valor estimado de la población, P(t), como el instante, t, en que fue obtenido. Por lo tanto: P (t ) = 500 e 2t + C ,
se convierte en 6660 = 500 e 2( 0.6 ) + C ,
48
igual que 6660 = 500(3.32) + C , o bien
6660 = 1660 + C , o también 6660 − 1660 = C . Al simplificar resulta: C = 5000 bacterias.
49
RECAPITULACIÓN
Determinar una variable fenómeno
Registrar la variable a Intervalos regulares de tiempo
Calcular la razón de cambio promedio de todos los pares de datos consecutivos
Graficar la razón de cambio promedio
Realizar un diagrama de barras
Obtener la función que más se aproxime a la gráfica: función de la razón de cambio instantáneo
Obtener el área bajo la curva, (valor total de la variable)
Integrar la función para encontrar el valor total de la variable (área bajo la curva)
Por este camino es imposible obtener pronósticos confiables
Por este camino se pueden obtener pronósticos más confiables
50
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
1. Con base en ƒ(t) = 0.0001 (t – 13)4 – 0.169 (t – 13)2 + 25.7 ºC, encontrar la temperatura promedio, f (t ) , para los siguientes intervalos:
Intervalo (semanas) ƒ(t) (ºC)
0−26
26−52
0−13
13−26
2. A partir de ƒ(t) = 0.2e−0.07t cm3/día calcular la cantidad de insulina suministrada al paciente. Intervalo cm3 de (días) insulina 0−10 10−20 20−30 30−40 40−50 50−60
3. A partir de ƒ(t) = 200 cos
πt + 50 cientos de BTU/hora, llenar los espacios en blanco 12
de las siguientes tablas: t ƒ(t)
1
6
8
11
51
13
18
23
*Energía * Energía para para calentar enfriar
Intervalo (meses
*Efecto neto
12 – 24 0 − 12 3 −21 (*) Cientos de BTU.
1 1 (t − 6) 2 + 5 CMD/mes y de C(t ) = (t − 5) 2 + 0.5 CMD/mes, 4 6 completar la siguiente tabla: 4. A partir de I(t) = −
Intervalo *ingresos (meses) totales I(t) 1–3 3–8 8 – 10 * En CMD.
*Costos totales C(t)
*Utilidades totales U(t)
5. A partir de ƒ(t) = 1000 e2t bacterias/hora llenar la siguiente tabla: Intervalo (horas)
Aumento de la Población total población (bacterias) (bacterias)
3–6 4–6 5–6
Verificar que
∫
6 3
f (t )dt + P (3) =
∫
6 4
f (t )dt + P ( 4) =
∫
6 5
f (t )dt + P (5) .
Calcular la constante de integración si se observó a través del microscopio una población de 200000 bacterias al cabo de: 1 hora, 2 horas y 3 horas (tres condiciones específicas).
52
AUTOEVALUACIÓN
1. Intervalo (semanas) ƒ(t) (ºC)
0−26 26−52 0−13 13−26 16.75 −28.95 16.75 16.75
2. Intervalo cm3 de (días) insulina 6.3594 0−10 10−20 10.3005 8.662 20−30 6.0627 30−40 3.8852 40−50 2.3637 50−60 37.6335
3. t ƒ(t)
1 243.2
6 50
8 11 13 −50 −143.2 −143.2
*Energía * Energía para para calentar enfriar 12 – 24 1087.94 −487.94 1087.94 −487.94 0 − 12 795.5 3 −21 −975.89 (*) Cientos de BTU. Intervalo (meses
53
18 50
*Efecto neto 600.00 600.00 −180.38
23 243.2
4. Intervalo *ingresos (meses) totales I(t) 1–3 4.5 3–8 23.06 8 – 10 6.89 * En CMD.
*Costos totales C(t) 5.6 5.42 9.16
*Utilidades totales U(t) −1.1 17.64 −2.28
5. Intervalo (horas) 3–6 4–6 5–6
Aumento de la Población total población (bacterias) (bacterias) 81175679 81450000 79886918 81450000 70364155 81450000
1 2 1 (horas) C (bacterias) 196305 172701 C = constante de integración
54
3 −1714
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
Pon a germinar unas cuantas semillas de frijol. Para tal efecto introduce algodón en un frasco de vidrio de boca ancha y coloca, separadas por el algodón, las semillas de frijol; posteriormente vacía un poco de agua en el interior del frasco. A los pocos días de iniciado el experimento observa el crecimiento de una de las semillas anotando su altura día con día en una tabla: día altura (cm)
1
2
3
4
5
6
7
...
Calcula la razón de cambio promedio de todos los pares de datos consecutivos y grafica los valores de la razón de cambio promedio en una hoja de papel milimétrico para obtener una gráfica como la siguiente: altura (cm/día)
días
0 Figura 25
La función que representa esta gráfica anterior es función de la razón de cambio instantáneo, y el área bajo la curva representa la altura total de la planta hasta el día en que se efectúo el último registro. Para calcular el área bajo la curva puedes utilizar el método de barras. 55
Sobre la gráfica anterior dibuja, de izquierda a derecha, barras del mismo ancho cuya altura sea el valor de función en los puntos medios de los intervalos. altura (cm/día
días
0 Figura 26
Para mejorar la precisión del cálculo del área, puedes aumentar el número de barras disminuyendo el ancho de las mismas. altura (cm/día)
días
0 Figura 27
El área bajo la curva se obtiene al sumar el área de todos los rectángulos, obtén esta suma y verifica que el resultado es la altura de tu planta. 56
Para obtener el efecto total de una función que representa un fenómeno dinámico (integral definida o el área bajo la curva) que se encuentre representando gráficamente como el experimento anterior, puedes aplicar el procedimiento (exclusivo para calcular integrales definidas) que se basa en el siguiente razonamiento: El área bajo la curva es proporcional al peso del papel limitado por la misma curva, el eje horizontal y los límites de integración. Entonces, si pesamos el papel bajo la curva, tendremos un indicativo del área buscada. Para obtener el valor numérico del área, es necesario tener una medida que sea considerada como unidad, (un pequeño rectángulo) y posteriormente se divide el peso bajo la curva entre el peso del rectángulo y se multiplica el resultado por el valor que represente dicho rectángulo, es decir, por su área. Procedimiento 1.Sobre papel milimétrico grafica la función. No olvides indicar los límites de integración. $/hora
12
6
0
2
4 Figura 28
2. Delimita el área sombreada y pésala.
Peso del ejemplo: 7.2 g. Figura 29
57
6
horas
3.Recorta un pequeño rectángulo de dimensiones conocidas. $/hora
12
6
0
2
4
6
horas
delimita y recorta Figura 30
En este caso, el área del rectángulo (base x altura) es A = (6 $/h) (2h), o sea, A = $12. No olvides multiplicar las unidades de los ejes coordenados 4.Pesa al pequeño rectángulo. Para este ejemplo es de 1.8 g.
Figura 31
5.Ahora divide el peso bajo la curva entre el peso del rectángulo. En nuestro caso sería: 7.2g = 4. 1 .8 g
58
6.Multiplica el resultado por el área del rectángulo. 4($12) = $48. No olvides las unidades ($). El resultado representa la integral definida de la función dada. Para mejorar la precisión de tus cálculos utiliza una balanza analítica del laboratorio de física, recorta y pesa papel aluminio en lugar de papel milimétrico, el cual solamente servirá como plantilla después de dibujar sobre él la gráfica. Prueba con funciones sencillas. 6
a)
∫
2
b)
∫
4
c)
∫
( x − 1) dx .
6
( x 2 + 1) dx .
6 −3
( x + 2) dx .
59
60
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
BAUM, Alan M. et al. Cálculo aplicado. Limusa, México, 1992. FLORES, M. Y Luque A. Cálculo diferencial. Fascículo I. Colegio de Bachilleres, México, 1994. GOLDSTEIN, Larry J. et. al. Cálculo y sus aplicaciones. Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1990. GRANVILLE, William Anthony. Cálculo diferencial e integral. Limusa, México, 1993. LUQUE A. Y Flores M.: Cálculo Diferencial. Fascículo III. Colegio de Bachilleres, México, 1994. METT, Coreen L. et al.: Cálculo con aplicaciones. Limusa, México, 1991. PHILLIPS, H. B. Elementos de Cálculo infinitesimal. UTHEA, México, 1960. ZILL, Dennis G. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1987.
61
